Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
1
Pali~je na sliki je obremenjeno s koncentrirano silo - udarno obte`bo, ki je predstavljena s simetri~nim trikotnim sunkom.
3.0 m 3.0 m
4.0 m
1 2
3 4 5
M1
P(t) Vse palice so iz enakega materiala in imajo enak prerez, zato velja EA=121.5 kN. Palice so osno deformabilne. Masa M1=1500 kg. Simetri~ni trikotni impulzni sunek
t1
Po Po=1.8 kN
P(t)
t12 t1
2 t
Dolo~i vertikalni odziv koncentrirane mase M1 za primer, ko traja impulz: a) t1=0.6 s b) t1=1.8 s. RE[ITEV 1.0 Izbrira prostostnih stopenj Najprej moramo izbrati prostostne stopnje: konstrukcija ima dejansko dve prostostni stopnji
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
2
3.0 m 3.0 m
4.0 m
1 2
3 45
u1
M1 u2
2.0 Podajnostna matrika Izra~un podajnostne matrike: konstrukcijo obremenimo z virtualnima silama x1=1 in x2=1 v smereh izbranih prostostnih stopenj in izra~unamo notranje stati~ne koli~ine (osne sile) za vsak obte`ni primer posebej. Osne sile za silo x1=1 `e poznamo:
Za silo x2=1 dobimo naslednje notranje stati~ne koli~ine:
^lene podajnostne matrike izra~unamo kot:
3.0 m 3.0 m
4.0 m
1 2
3 45
M1 x2=1
Palica L N x2
1 3 0.375 2 3 0.375 3 5 -0.625 4 5 -0.625 5 4 1
3.0 m 3.0 m
4.0 m
1 2
3 45
[N2]
Palica L N x2
1 3 1 2 3 0.0 3 5 0.0 4 5 0.0 5 4 0.0
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
3
( ) ( )d
N x N x L
EAijk i k j k
kk=
=
1
5
Posamezni ~leni so:
dEA EA
dEA EA
dEA EA
11
12
22
2 0 421875 2 1953125 4 8 75
0 375 1 3 1125
1 1 3 2 1953125 4 3
= + +
=
=
=
= + +
=
. . .
. .
.
Podajnostna matrika je tako:
d =
7.201646090534979 0.92592592592592590.9259259259259259 2.469135802469135
10-5
3.0 Masna matrika: Izra~un kineti~ne energije:
E TM u M u
Tu
M uM u
ddt
Tu
M u
Tu
M uM u
ddt
Tu
M u
k = =
+
=
=
=
=
=
=
1 12
1 22
1
1 11 1
11 1
2
1 21 2
21 2
2 22
2
22
& &
&
&&
&&&
&
&&
&&&
[ ]MM
M=
=
1
1
00
1500 00 1500
4.0 Dinami~na matrika je:
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
4
[ ] [ ]DM =
=
d M0.1080246913580247 0.013888888888888890.01388888888888889 0.03703703703703704
5. Lastne frekvence
12
1 1
22
2 2
= = =
= = =
9.03788656056529 3.006307795380454 rads
0.4784687460904976 Hz
29.05592206982869 5.390354540271789 rads
0.8579015701020964 Hz
6. Matrika lastnih vektorjev
[ ]$ =
0.02537218148357076 0.0047873869105614950.004787386910561495 0.02537218148357076
7.0 Izpeljava nevezanih ena~be gibanja Vezane ena~be gibanja se glasijo:
[ ] { } [ ] { } ( ){ }( )
M u K u P tF t
+ = =
&&0
Nevezane ena~be dobimo kot:
[ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] ( ){ }[ ] { } [ ] { } [ ] ( ){ } ( )( )
$ $ && $ $ $
&& $
T T T
T
M y K y P t
I y y P t
+ =
+ = =
20.02537218148357076 F t0.004787386910561495 F t
a) Impulz traja t1=0.6 s. Celotni odziv razdelimo na tri faze: I. fazo nara{~anja obte`be 0 0 0 3. . t s , II. fazo zmanj{evanja obte`be 0 3 0 6. . t s , III. fazo brez obte`be 0 60. s t I) Faza nara{~anja obte`be 0 0 0 3. . t s Obte`ba se zapi{e kot:
( )F tt
t= = 18000 3
6000.
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
5
Za~etna (robna) pogoja vodita do:
( ) ( )( ) ( )
t u yu y
i i
i i
= = =
= =
0 0 0 0 00 0 0 0
:& &
, i = 1 2,
( ) ( )( ) ( )
y ty t
1
2 0 0=
= +
16.843865105683 t 5.60284011056269461951 sin 3.00630836741675544 t98858751578853171 t 183399419064294187 sin 5.3903524931121165 t. .
oziroma v glavnih koordinatah
( ) ( )( )
( ) ( )( )
u t
u t
1
2
0 0=
=
+
. .4320983532792007 t 1421562761086263 sin 3.00630836741675544 t0.0008780039782329842 sin 5.3903524931121165
0.05555547746723061 t 0.02682296340727676 sin 3.00630836741675544 t0.00465324334448072 sin 5.3903524931121165
Na koncu intervala t1 dobimo naslednje vrednosti:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
t u yu y
t u yu y
= = =
= =
= = =
= =
0 3 0 3 0 3 00 3 0 0 3
0 3 0 3 0 3 00 3 0 3
1 1
1 1
2 2
2 2
. : . . .& . . & .
. : . . .& . & .
0.01723057326879969 65772076709182621672967526733165 6.3985396454200120.0002722318828517762 1133734562867895
0.004388516512188687 1.034352069805172
II. Faza zmanj{evanja obte`be 0 3 0 6. . t s , Obte`ba se zapi{e kot:
( )F tt
=
1800 2 0 3.
Za~etna (robna) pogoja sta enaka vrednostim na koncu prvega intervala
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
t u yu y
t u yu y
= = =
= =
= = =
= =
0 3 0 3 0 3 00 3 0 0 3
0 3 0 3 0 3 00 3 0 3
1 1
1 1
2 2
2 2
. : . . .& . . & .
. : . . .& . & .
0.01723057326879969 65772076709182621672967526733165 6.3985396454200120.0002722318828517762 1133734562867895
0.004388516512188687 1.034352069805172
vodita do re{itev:
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
6
( ) ( )( )
( ) ( )( )
y t
y t
1
2 0 00 0
= +
+ +
= + +
+
16.84388723474173791 t 8.790887368786151657 cos 3.00630836741675544 t1.346097657043412 3.00630836741675544 t 10.10633234084504274452
988588892445251997 t 36640542820519667 cos 5.3903524931121165 t20038045263955685246 5.3903524931121165 t 593153335467151
sin. .
. sin .
oziroma v glavnih koordinatah
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )( )( )
u t
u t
1
2
0=
+
+ +
=
+
+
+ +
.
sinsin
sinsin
4320989213322871 t 0.2230439897224721 cos 3.00630836741675544 t0.001754124550948238 cos 5.3903524931121165 t0.03415343404911483 3.00630836741675544 t0.0009592987560990021 5.3903524931121165 t 2.592593527993723
0.0555555484788133 t 0.0420853791215472 cos 3.00630836741675544 t0.009296505020987709 cos 5.3903524931121165 t0.006444290303667123 3.00630836741675544 t0.005084089210130891 5.3903524931121165 t 0.03333332908728798
III. Faza brez obte`be 0 60. s t Obte`ba je ( )F t = 0 in diferencialna ena~ba je sedaj homogena Za~etna (robna) pogoja
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
t u yu y
t u yu y
= = =
= =
= = =
= =
0 6 0 6 0 0 60 6 0 0 6
0 3 0 6 0 6 00 6 0 6
1 1
1 1
2 2
2 2
. : . . .& . . & .
. : . . .& . & .
1210249034931212 3.339424173166785354837639152389 7.9358136555304330.006804698866383938 3833674755993563
0.04919860906390304 0.09576291704051511
vodita do re{itev:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
y t
y t
1
2
0
=
=
+
2.639715673030777765 3.00630836741675544 t3.33942280937422988762510557 cos 3.00630836741675544 t
0.01776679930667618 5.3903524931121165 t3833669448831571463 5.3903524931121165 t
sin
sin. cos
oziroma v glavnih koordinatah
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
7
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
u t
u t
1
2
=
+
=
+
+
+
0.08472844156981869 cos 3.00630836741675544 t0.001835325893875576 cos 5.3903524931121165 t0.06697534512116303 3.00630836741675544 t0.00008505654244335463 5.3903524931121165 t
0.01598710904642868 cos 3.00630836741675544 t0.009726855700377534 cos 5.3903524931121165 t0.01263734026067157 3.00630836741675544 t0.0004507824563911674 5.3903524931121165 t
sinsin
sinsin
1 2 3 4 5 6
-0.1
-0.05
0.05
0.1u1
t
Odziv v prvi prostostni stopnji za ~as 10t1=6 sek.
Maksimalni pomik nastopi ob ~asu t= 0.761672095857632 s in zna{a 0.1045367939656104 m.
1 2 3 4 5 6
-0.03
-0.02
-0.01
0.01
0.02u2
t
Odziv v drugi prostostni stopnji za ~as 10t1=6 sek.
Iz slik in ena~b odzivov vidimo, da na odziv v prvi prostostni stopnji najbolj
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
8
vpliva prva lastna frekvenca (koeficienta, ki pripadata periodi~nima komponentama druge stopnje, sta mnogo manj{a). To pa ne velja za odziv v drugi prostosni stopnji, kjer sta dva koeficienta enakega reda ( )0.01598710904642868,0.01263734026067157 , kar povzro~i mnogo manj enoli~no sliko odziva v drugi prostostni stopnji:
5 10 15 20
-0.03
-0.02
-0.01
0.01
0.02
0.03u2
t
Odziv v drugi prostostni stopnji za ~as 40t1=24 sek.
Maksimalni pomik nastopi ob ~asu t= 7.037964425744104 s in zna{a 0.02966433147150937 m. 9.0 Dolo~itev notranjih sil v konstrukciji Uporabimo zvezo:
( ){ } [ ] { } [ ]F t k u kuu
= =
1
2.
Ker imamo odziv podan za tri ~asovne odseke, moramo sile tudi podati za pripadajo~e ~asovne odseke: I) Faza nara{~anja obte`be 0 0 0 3. . t s
( ) ( )( )
( ) ( )( )
F t
F t
1
2
=
=
+
5999.994414267579 t 1927.188446013245 sin 3.00630836741675544 t38.26682275280575 sin 5.3903524931121165
0.001067927503754617 t 363.6343507397423 sin 3.00630836741675544 t202.8064139837713 sin 5.3903524931121165 ]
II. Faza zmanj{evanja obte`be 0 3 0 6. . t s ,
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
9
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
F t
F t
1
2
=
+
+
=
+
+
+
6000. t 3023.769415691392 cos 3.00630836741675544 t76.45155937968792 cos 5.3903524931121165 t463.0122938844721 3.00630836741675544 t41.80996484834433 5.3903524931121165 t 3600.00
0.00115404402185959 t 570.5443235383904 cos 3.00630836741675544 t405.1777881173851 cos 5.3903524931121165 t87.36414709184158 3.00630836741675544 t221.5843498284303 5.3903524931121165 t 0.0006924264132521784
sinsin
sinsin
III. Faza brez obte`be 0 60. s t
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
F t
F t
1
2
=
+
=
+
+
+
1148.649065042259 cos 3.00630836741675544 t79.99062921778119 cos 5.3903524931121165 t907.9733573396726 3.00630836741675544 t3.707094403144783 5.3903524931121165 t
216.7345169895144 cos 3.00630836741675544 t423.9341418219581 cos 5.3903524931121165 t171.3222715548215 3.00630836741675544 t19.64684988502157 5.3903524931121165 t
sinsin
sinsin
1 2 3 4 5 6
-1500
-1000
-500
500
1000
1500 ( )F t1
t
Spreminjanje sile v prvi prostostni stopnji za ~as 10t1=6 sek.
Maksimalna sila nastopi ob ~asu t= 0.7935493348585294 s in zna{a 1426.623612210019 N.
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
10
1 2 3 4 5 6
-600
-400
-200
200
400
600 ( )F t2
t
Spreminjanje sile v drugi prostostni stopnji za ~as 10t1=6 sek.
Maksimalna sila nastopi ob ~asu t= 1.120860367014158 s in zna{a 579.3395048258684N. Vidimo, da maksimalna sila ( )F t1 ne nastopi v trenutku, ko nastopi tudi maksimalni pomik u1, enako pa velja tudi za drugo prostostno stopnjo. Na osnovi ~asa, ko nastopi maksimalni pomik v posamezni prostostni stopnji, ne moremo ve~ sklepati o ~asu, ko nastopi maksimalna sila v tej prostostni stopnji (v obravnavanem primeru je dokaj dobro ujemanje naklju~no). Prav tako maksimalna sila v posamezni prostostni stopnji ne predstavlja direktno najneugodnej{ega obte`nega slu~aja. Zato je potrebno izvesti izra~un notranjih stati~nih koli~in za sile, ki nastopijo v prostostnih stopnjah v razli~nih, primerno izbranih ~asih. b) Impulz traja t1=1.8 s. Celotni odziv ponovno razdelimo na tri faze: I. fazo nara{~anja obte`be 0 0 0 9. . t s , II. fazo zmanj{evanja obte`be 0 9 18. . t s , III. fazo brez obte`be 180. s t I) Faza nara{~anja obte`be 0 0 0 9. . t s Obte`ba se zapi{e kot:
( )F tt
t= = 18000 9
2000.
Za~etna (robna) pogoja vodita do:
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
11
( ) ( )( ) ( )
t u yu y
i i
i i
= = =
= =
0 0 0 0 00 0 0 0
:& &
, i = 1 2,
( ) ( )( ) ( )
y ty t
1
2
=
= +
5.6146290782472459692 t 1.867615823812429654 sin 3.00630836741675544 t0.329529286650904 t 0.0611331609708237241 sin 5.3903524931121165 t
oziroma v glavnih koordinatah
( ) ( )( )
( ) ( )( )
u t
u t
1
2
=
=
+
0.1440329721297819 t 0.04738548762335748 sin 3.00630836741675544 t0.0002926680946329703 sin 5.3903524931121165
0.01851852489180047 t 0.008940999548877149 sin 3.00630836741675544 t0.001551081654816084 sin 5.3903524931121165
Na koncu intervala t1 dobimo naslednje vrednosti:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
t u yu y
t u yu y
= = =
= =
= = =
= =
0 9 0 9 0 90 9 0 9
0 9 0 9 0 90 9 0 9
1 1
1 1
2 2
2 2
. : . .& . & .
. : . .& . & .
0.1099114690569684 4.2645838364691630.2729480382273948 10.70420061764210.01135528670562137 0.3571204997863679
0.04404210220392211 0.2838954831560769
II. Faza zmanj{evanja obte`be 0 9 18. . t s , Obte`ba se zapi{e kot:
( )F tt
=
1800 2 0 9.
Za~etna (robna) pogoja sta enaka vrednostim na koncu prvega intervala
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
t u yu y
t u yu y
= = =
= =
= = =
= =
0 9 0 9 0 90 9 0 9
0 9 0 9 0 90 9 0 9
1 1
1 1
2 2
2 2
. : . .& . & .
. : . .& . & .
0.1099114690569684 4.2645838364691630.2729480382273948 10.70420061764210.01135528670562137 0.3571204997863679
0.04404210220392211 0.2838954831560769
vodita do re{itev:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
y t
y t
1
2
0
=
+
= +
+
5.6146290782472459692 t 1.5771611034600464751 cos 3.00630836741675544 t5.2535450582130685454 3.00630836741675544 t 10.10633234084504274452
0.32952963081508402 t 0.1210881459585125025 cos 5.3903524931121165 t 0.044200704422079079748 5.3903524931121165 t 593153335467151
sin
sin .
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
12
oziroma v glavnih koordinatah
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
u t
u t
1
2
=
+
+
=
+ +
0.144032973777429 t 0.04001601774581702 cos 3.00630836741675544 t0.0005796958049859424 cos 5.3903524931121165 t0.1332938986490983 3.00630836741675544 t0.000211605873787859 5.3903524931121165 t 2.592593527993722
0.01851851615960443 t 0.007550480422551352 cos 3.00630836741675544 t0.003072270414768484 cos 5.3903524931121165 t0.02515075284573426 3.00630836741675544 t0.001121468294298659 5.3903524931121165 t 0.03333332908728798
sinsin
sinsin
III. Faza brez obte`be 180. s t Obte`ba je ( )F t = 0 in diferencialna ena~ba je sedaj homogena Za~etna (robna) pogoja
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
t u yu y
t u yu y
= = =
= =
= = =
= =
18 18 1818 18
18 18 1818 18
1 1
1 1
2 2
2 2
. : . .& . & .
. : . .& . & .
0.2956135898575147 3.0068426277098380.05389046906392701 19.406368190318940.03975229615095551 0.10431984863570180.006816596439994561 0.0786240209102918
vodita do re{itev:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
y t
y t
1
2
=
=
6.4552234762284950165 3.00630836741675544 t3.00684546287342015805 cos 3.00630836741675544 t
0.0145878369377274164 5.3903524931121165 t0.10431975140576680089 5.3903524931121165 t
sin
sincos
oziroma v glavnih koordinatah
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
13
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
u t
u t
1
2
=
+
+
=
0.07629022877707575 cos 3.00630836741675544 t0.0004994190123929972 cos 5.3903524931121165 t0.1637831015558759 3.00630836741675544 t0.00006983761960908172 5.3903524931121165 t
0.01439493261104143 cos 3.00630836741675544 t 0.002646819664988101 cos 5.3903524931121165 t0.03090365237484556 3.00630836741675544 t0.0003701252462367571 5.3903524931121165 t
sinsin
sinsin
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-0.15-0.1-0.05
0.050.1
0.150.2 u1
t
Odziv v prvi prostostni stopnji za ~as 10t1=18 sek.
Maksimalni pomik nastopi ob ~asu t= 1.350834022331489 s in zna{a 0.1950943904724066 m.
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-0.03-0.02-0.01
0.010.020.03
u2
t
Odziv v drugi prostostni stopnji za ~as 10t1=18 sek.
Maksimalni pomik nastopi ob ~asu t= 7.674724002916926 s in zna{a
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
14
0.03651517564947892 m. Iz slik in ena~b odzivov vidimo, da na odziva v obeh prostostnih stopnjah najbolj vpliva prva lastna frekvenca (koeficienta, ki pripadata periodi~nima komponentama druge stopnje, sta mnogo manj{a). 9.0 Dolo~itev notranjih sil v konstrukciji Uporabimo zvezo:
( ){ } [ ] { } [ ]F t k u kuu
= =
1
2.
Ker imamo odziv podan za tri ~asovne odseke, moramo sile tudi podati za pripadajo~e ~asovne odseke: I) Faza nara{~anja obte`be 0 0 0 9. . t s
( ) ( )( )
( ) ( )( )
F t
F t
1
2
=
=
+
2000.000699243329 t 642.3969926354634 sin 3.00630836741675544 t12.75561202497125 sin 5.3903524931121165
4.098329327462124 10 t 121.2116094912258 sin 3.00630836741675544 t67.60216152941564 sin 5.3903524931121165
-6
II. Faza zmanj{evanja obte`be 0 9 18. . t s ,
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
F t
F t
1
2
=
+
+
=
+
2000.000771054187 t 542.490343488393 cos 3.00630836741675544 t25.26539420081725 cos 5.3903524931121165 t1807.042702809057 3.00630836741675544 t9.222605667447059 5.3903524931121165 t 3600.001387897537
0.0003846813406198634 t 102.3605783051823 cos 3.00630836741675544 t133.9014746234301 cos 5.3903524931121165 t340.9644766988418 3.00630836741675544 t48.87794304438834 5.3903524931121165 t 0.0006924264130248047
sinsin
sinsin
III. Faza brez obte`be 0 60. s t
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
15
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
F t
F t
1
2
=
+
+
=
1034.253650050177 cos 3.00630836741675544 t21.7666198564226 cos 5.3903524931121165 t2220.379638599327 3.00630836741675544 t3.043794649355728 5.3903524931121165 t
195.1496519783618 cos 3.00630836741675544 t115.3586788781765 cos 5.3903524931121165 t418.9555567064981 3.00630836741675544 t16.13149546609706 5.3903524931121165 t
sinsin
sinsin
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-2000
-1000
1000
2000
( )F t1
t
Spreminjanje sile v prvi prostostni stopnji za ~as 10t1=18 sek. Maksimalna sila nastopi ob ~asu t= 1.34182299764323 s in zna{a 2670.87918646
N.
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-600
-400
-200
200
400
( )F t2
t
Spreminjanje sile v drugi prostostni stopnji za ~as 10t1=18 sek.
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
16
Maksimalna sila nastopi ob ~asu t= 7.652390949058 s in zna{a 571.09893381104 N. Vidimo, da maksimalna sila ( )F t1 ponovno ne nastopi v trenutku, ko nastopi tudi maksimalni pomik u1, enako pa velja tudi za drugo prostostno stopnjo. Na osnovi ~asa, ko nastopi maksimalni pomik v posamezni prostostni stopnji, ne moremo ve~ sklepati o ~asu, ko nastopi maksimalna sila v tej prostostni stopnji (v obravnavanem primeru je dokaj dobro ujemanje naklju~no). Prav tako maksimalna sila v posamezni prostostni stopnji ne predstavlja direktno najneugodnej{ega obte`nega slu~aja. Zato je potrebno izvesti izra~un notranjih stati~nih koli~in za sile, ki nastopijo v prostostnih stopnjah v razli~nih, primerno izbranih ~asih. Izra~un lastne frekvence konstrukcije s pomo~jo metode kon~nih elementov Vdona datoteka (dinav010.dat) 4 1 0.0 0.0 2 3 0. 3 6 0 4 3 4. 5 1 1 2 1 1 121.5e3 0 0. 2 2 3 1 1 121.5e3 0 0. 3 1 4 1 1 121.5e3 0 0. 4 4 3 1 1 121.5e3 0 0. 5 2 4 1 1 121.5e3 0 0. SE 4 1 1 2 2 3 0 4 0 1 2 1500 3 1 1 1 2 3 2 DODATEK: Ali se lastni frekvenci spremenita, ~e je tudi desna podpora na konstrukciji
Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30
17
nepomi~na? Utemelji svoj odgovor? Podajnostna matrika:
d =
0.00006507201646090533 0.00001234567901234567
00
Lastni frekvenci
1
2
==
0.5094216165418758 Hz1.169545201850514 Hz