Vacker och spännande matematik

1

Vacker och spännande matematik

http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik

Lars-Erik PerssonLuleå Tekniska Universitet


Den Gyllene Kunskapstriangeln

2

Kunskap

IntresseSjälv-

förtroende

3

Oväntade och vackra resultat väcker intresse….

4

Den magiska attraktorn

47167641-1467

1010

47168532-2358

1010

76146174

2358 6174

5

67146642-2466

1010

6642

617447167641-1467

1010


667146642-2466

1010

7218

6174

47167641-1467

1010

34478721-1278

1010

69937443-3447

1010

46269963-3699

1010


7

• Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror lika) och räkna på!

• Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid till det magiska talet 6174 efter högst 7 upprepningar!

• Vad händer om du gör samma sak med 3-siffriga eller 5 siffriga tal?


8

Talet kallas för Kaprekars tal efter den indiska matematikern D.R. Kaprekar (1905-1986), som upptäckte egenskaperna hos talet år 1949.

6174

Den magiska attraktorn - historik

Den magiska attraktorns pedagogiska värde

9

10

Fibonaccis kaninproblem

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144… = Fibonaccitalen

3 5 8 13 21 34 551,5 1,667... 1,6 1,625... 1, 616... 1,619... 1,617...

2 3 5 8́ 13 21 34

89 5 1 5 11,618... 1,618 kallas DET GYLLENE SNITTET

55 2 2

= = = = = = =

+ += »®

http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers3.shtml

11

Pentagon

12

Pentagon och det gyllene snittet

Förhållandet mellan längden av en diagonal och en sida är det Gyllene snittet

Upprepa proceduren i den inre (mindre) pentagonen och du får en ny femuddig stjärna (Självlikformighet)

618.12

15

13

Leonardo da Vinci - Nattvarden

a

b

618.12

15 ab

14

Gyllene snittet hos människanHela längden

gyllene snittetHuvud till fingertopp

Huvud till fingertoppgyllene snittet

Huvud till navel

Huvud till navelgyllene snittet

Bredd mellan axlarna

Bredd mellan axlarnagy

Armbåge till fingertopp

=

=

=

= llene snittet

Huvudet formar en gyllene rektangel och ögonen är mittpunkten

Armens, benens och fingrarnas delning

15

En gyllene rektangel

Höjden är sidan och basen diagonalen i enPentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet

http://www.codefun.com/Geometry_golden1.htm

http://www.codefun.com/Geometry_golden1.htm

16

a bGyllene snittet:

aba

ba

sätt xba

xx

11

012 xx

121

21

2

x

251x

17

Att förstå på flera olika sätt (flera sinnen) väcker intresse…

Räkneregler

( )2 2 22+ = + +a b a ab b

a b

a

b

baaa=a2

b2ab

19

”Snickartriangeln”

5

4

3

2 2 23 4 5+ = (9+16=25)

20

Pythagoras sats

2 2 2a b c+ =

c

a

b

21

Finns det fler ”Snickartrianglar”?

Ja tex:

a = 5, b = 12, c = 13

52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169)

men även

a = 99, b = 20, c = 101

(9801 + 400 = 10201)

22

Finns det fler ”Snickartrianglar”? I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar

tex. alla tal av typen:

a = m2 – n2

b = 2mn m > nc = m2 + n2 n = 1,2,…

är snickartrianglar eftersom

a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 – 2m2n2 + n4 + 4m2n2

= m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 Exempel:

m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101

Exempel:

m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101

23

Pythagoras sats

Ett ”vackert” bevis

Pythagoras sats:

a2 + b2 = c2

”Ytan av stora Kvadraten”(a + b)2 = c2 + 4(ab)/2

a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab

a2 + b2 = c2

25

Finns det heltal a, b, c som uppfyllera3 + b3 = c3 ?

Svar: NEJ!

Finns det heltal a, b, c som uppfyllera4 + b4 = c4 ?Svar: NEJ!

osv….

Fermats gåta

Fermats gåta

P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han

bevisat att det inte finns några heltal

a, b, c som uppfyller an+ bn = cn

för n = 3,4,5..osv

Påståendet var sant men kunde

bevisas först 1995 av A. Wiles

27

Lösning av spännande problem väcker intresse…

28

Födelsedagsproblemet

• Hur stor är sannolikheten för att minst två personer i en grupp med n personer har födelsedag samma dag?

29För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer!

n sannolikhet

23 50%

30 70%

41 90%

47 95%

57 99%

Födelsedagsproblemet

30

Lösning födelsedagsproblemet

1 2 3 4

1 2

3 1 2

1 2 3

Personer: A ,A ,A ,A ...

364 Sannolikheten att A och A inte fyller år samma dag är

365363

Sannolikheten att A inte fyller år samma dag som A och A är 365

Sannolikheten att A ,A och A inte fyl

o

o

o

1 2 23

364 363ler år samma dag är

365 365364 363 343

Sannolikheten att A ,A ,...A inte fyller år samma dag är ... 0, 4927365 365 365

Sannolikheten att det finns minst två peroner med samma födelsedag bland

×

× × × »o

o 1 2 23A ,A ,...A

är 1 0,4927 0,5073» - =

31

Schackbrädesproblemet

Schackbräde utan två hörn

Schackbrädet har 64-2 = 62 rutor

Kan vi täcka alla rutor med 31 dominobrickor ?

Svar: Nej! (Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en dominobricka täcker en svart och en vit…)

32

Snabbräkning på Gauss vis

1 2 3 ... 100 ?+ + + + =

C.F. Gauss (1777-1855) fick följande problem som 10-åring

33

1 + 2 + 3 + … + 100

100 + 99 + 98 + … + 1

101 + 101 + 101 + … + 101

Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050)

( )På samma sätt inser man att

11 2 3 ...

2

n nn

++ + + + =

Snabbräkning på Gauss vis

(100·101)/2 = 5050

34

PlattproblemetAntal plattor = N

Hur långt om N = 1 ?• L = ½

Hur långt om N = 2 ?• L = ½ + ¼ = ½ (1+½)...

Hur långt om N är godtyckligt ?

L = ½ (1+ ½ + 1/3 + … + 1/N)

Exempel:

N = 3 L = 11/12

N = 4 L = 25/24

N = 100 L ~ 2.6

N = 1000 L ~ 3.8

35

Spännande exempel från modern matematik väcker intresse…

36

Von Kochs snöflingekurvaEtt exempel på en (fraktal) figur som har oändlig omkrets men ändlig innesluten area.

Area på snöflingan är 8/5 gångerså stor som bastriangelns area.

Längden av kurvan efter n steg = (4/3)n

37

Fler fraktaler….Juliamängder och MandelbrotmängdMandelbrotmängden kan ses som ett register

där varje punkt ger en Juliamängd.

38

Fler fraktaler….Juliamängder och Mandelbrotmängd

• Den vanligaste Juliamängden fås ur den rekursiva ekvationen

f(z) = z2 + c där

z = en punkt i komplexa talplanet och

c = är en punkt i Mandelbrotmängden

• Den franska matematikern Gaston Julia gjorde sin fundamentala upptäckt redan 1918.

• Benoît B. Mandelbrot upptäckte sin mängd först 1976. (Varje c i Mandelbrotmängden ger en Juliamängd).

39

Fler fraktaler….

Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor

40

En resa in i Seahorse Valley…

41

Möbiusband

• Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje!

• Den kan konstrueras genom att en av ändarna på en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan ändarna sätts ihop.

42

• Denna typ av ytor är uppkallade efter den nederländske matematikern och astronomen August F. Möbius (1790-1868).

• Han beskrev den ungefär samtidigt som en annan matematiker, Johann Benedict Listing, år 1858, men de gjorde det oberoende av varandra.

Möbiusband

43

Möbiusband

…i tekniska tillämpningar

44

Möbiusband

…i konsten

”Endless ribbon” av M. Bill 1935

45

Möbiusband

…i konsten

”Immortality” av J. Robinson

46

Möbiusband

…i konsten

”We have died and gone to Mobius heaven” av Teja Krasek & Cliff Pickover

47

Möbiusband

…som frimärksmotiv

48

Referenser

1. Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborg, 2008

2. Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm, 1998

3. Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm, 1991

4. Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta, Stockholm, 1997

5. Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber, Stockholm, 2003

6. Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik: läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008

49

7. Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1988

8. Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1989

9. Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl., Stockholm, 2001

10. Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New York, 1998

11. Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste matematiska problem, Norstedt, Stockholm, 1998

12. Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, 1982

13. Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR), Stockholm, 1993

Referenser

Kunskap

IntresseSjälv-

förtroende

Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!


51

Magisk kvadrat

Känd redan under Zhou-dynastin i Kina 1122-256 f.kr.

=”Mini-Sudoku”

Placera talen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 så att summan i varje rad, kolumn

och diagonal = 15

52

53

Magisk Kvadrat

• Magiska kvadratens historia sträcker sig, enligt flera kinesiska legender, mer än 4 000 år tillbaka, till kejsaren Yu-Huangs tid. I dessa legender fick kejsaren en gång syn på den gudomliga sköldpaddan vid floden Los stränder. På sköldpaddans rygg fanns ett mönster av 3 x 3 rutor, och i rutorna fanns ett antal prickar som symboliserade talen 1 till 9. Summan var densamma på de tre raderna och i de tre kolumnerna och de två diagonalerna. Talen bildade en magisk kvadrat av tredje ordningen - Lo Shu. Det finns bara en möjlig lösning på en sådan kvadrat om man bortser från speglingar och rotationer.

http://fof.se/main/hjarnbruk/01_1bruk2.htm

http://fof.se/main/hjarnbruk/01_1bruk2.htm

54

Sudoku - matematik

Suuji wa dokushin ni kagiru

~ ”en siffra som måste förbli ensam”

Su doku ”en ensam siffra”

Sudoku

55

Sudoku - matematik

• New York 1979 (H. Garnes)• Japan 1984 (Nikoli)• 1997 – 2003 W Gould konstruerade ett

datorprogram som genererade sodukun automatiskt

• Han publicerade ett Sodoku i The Times 12 november 2004!

Då EXPLODERADE det!

56

Sudoku - matematik

• Hur hittar man sitt eget Sudoku?Svar: WEBBENhttp://www.goobix.com/games/sudoku/• Hur många Sudokun finns det?Svar 1: Det finns 5 472 730 538 väsentligt olika

slutkonfigurationer!Svar 2: Totalt finns det

6 670 903 752 021 072 936 960 Sudokun!Räknades ut 2005 av B. Felgenhauer

http://www.goobix.com/games/sudoku/

57

Sudoku - matematik

• Hur många rutor med siffror måste det minst finnas i ett Sudoku

Svar: Man vet ej!

Det minsta man hittills hittat är 17

58

”Färg” och Barn- Sudoku

http://www.activityvillage.co.uk/

http://www.activityvillage.co.uk/

59

Sudokus pedagogiska värde

• JA! ALLA kan träna systematiskt och logiskt tänkande (vilket vi gör för lite) utan att först kunna en massa matematik

• Varför inte en morgonsudoku som träning för hjärnan som komplement till kvällens joggingrunda

60

Referenser1. Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har

en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborg, 2008

2. Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm, 1998

3. Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm, 1991

4. Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta, Stockholm, 1997

5. Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber, Stockholm, 2003

6. Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik: läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008

61

7. Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1988

8. Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1989

9. Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl., Stockholm, 2001

10. Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New York, 1998

11. Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste matematiska problem, Norstedt, Stockholm, 1998

12. Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, 1982

13. Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR), Stockholm, 1993

Referenser

Kunskap

IntresseSjälv-

förtroende

Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!


63

Vacker och spännande matematik


Lars-Erik PerssonLuleå Tekniska Universitet


Documents

Vacker och spännande matematik