-i-

3ISTDAS 0011 GANHO DilSClt:IIT.AMilf'l'II VA.lIADO :

Yyt TIOIICA D~ AllALl$J

JO SI LUCJ.5 140UIÃO lU.IOJL DT'l'O

Uma tese_ submetiia ae Cerpe Decente eia . Oeerdena,9ãe C!les ?r,c+-•t.na~ :Pés-Oraduades

de ln~enharia ia U.P.I.J. c•m• parte des :. ·~ ..,

requisites péé8si;)iries. para a eptepça,

11'1 ,rau à.e Mestre em Ci&noia ( 11. l!e. ) •

A.prevaia per

-ii-

J.GIW>JCIJIUTO

A meus pais, pe·r tuê.e •

.A. Carles Táv,ra, P•r sua l'Hteiêneia.

-1-

FÔlha t! tulo •••••••••••••• º ••• º ••• º ••••••• • • º ••••••••••.••.•••.••••.• º • • • i

Agradec:Ltnento • •• º •••• •·•. • • • • ••• •. •·• ••••• .,. • ••• • ., •.•••• •. • .. º • •••••• • • • • ii

Índice

amiário

o••••o••••••••••••••••o•••••••••o••••••••••o•o••• .. •••••••••••••

o•~•oo•••••••.,•••••••••••••••••••••••••••••••••••o••••o•••oo-••

I Introdução ..

• definiçoes ••••• •·• •• º • .......... •• •·•• •·• ...... ••. Oap.

Oap.

Cap.

Gap.

Oap.

II

IIÍ

, .

Analise da resposta do sistema estudado ••••••••••o•••••••

Primeiro tipo de aplicações (.AGGD) ••••••••º••••••·••••·•

IV _Segundo tipo de aplicações (Chopper) o ••.•••••••••••••• - •

V - Conclusões . .................................................. .

1

2

3

16

21

Bibliografia ••••••••••••••.••••.••••••••• •-• ..••••••••• •-• •• •·• ••••• •-·• • ..... 30

Um .méteà.e de anilise .õaseadê numa relaçâe entre 0perad@res

& àesenv0lvide, para sistemas lineares variantes n0 tempe que aâmitam em@­

àêl© apresentad©. Aplicações dêste mét0de si0 apresentadas, 00m0 exemple,p,!_

ra amplifioaà@res cem ganho digitalmente contr0lad0, e amplificaderes tipe

ch0pper.

Capítulo I - INTRODUÇÃO E DEI!'IHIÇÕ~S

I.l - Sistema a ser estudado

- Apresentação do mod;lo

-3-

Seja o sistema S (representado na. Fig 1 (a) , cujos estJgios

s-

L. -l

(a)

(b)

Fig I.l 1. , i= 1, 2, .. º, n são passiveis de decomposição em subsistt!lmas, como indicado

J.

na Fig 1 (b) , onde

(a) ,

G. e um subsistema, J..

cuja entrada E. 1 (t) e cuja saida l-

E! (t) se relacionam da forma abaixo : J.

E! (t) ::: g.(t) E. 1(t) ,

]. J. ].-i = 1, 2, ••• , n (l)

onde

0 io t < e:-,

ºn e t t .e: t"~ l - ,:,

••••• o 1) ••• '& •••••••••••

g. (t) ;:: · J. ºilc (2~

••••••••••••••••••••••

sendo os c:i.k constantes reais finitas.

(b) H. ~ um subsistema linear, invariante no tempo, caracteri-1.

zado por sua resposta ao impulso hi(t) , de

saida E.(t) se encontrem relacionadas por: J.

sendo

h.(t)=O ]. . \f t < o

maneira que sua entrada E' (t) e sua i

(3)

(4)

Io2 - Caracteristicas do modêlo

(a) Garacteristicas de S

-4-

(i) Consideremos como entrada do sistemas, a função , en-,

trada de 11 , e, como suas saídas, r , .

as saidas de seue estagies L., i = 1, 2, ••• n 1

e, dessa maneira, teremos n saidas: E_i_, E2 , E3 , ••• , En º Por extensão, escre­

veremos:

E = tf o (5)

(ii) Resüringiremos as funções de entrada do sistema, ~quelas

funções 4' limitadas no intervalo ( - 00 , t] , ou seja, exigiremos ;

(-00 ,12] (iii) Das definições anteriores, se depreende ser linear o

•, N ,

sistema S, Ja que o sao os seue elementos conectados em cascata, G. e H. ºSe, e,n 1 1

tretanto, variante no tempo, j; que o são os subsistemas G .• 1

(b) Caracteristicas de G .• 1

(i) Uma forma alternativa de se expressar g.(t) J.

onde

, alem de

g. = - L dik u, 1 k=O K

- ciO

ci k-1 - cik

k = O

k = 1, 2, ••• p

k = O,l, .• _., p

, e a saguinte:

(6)

(.7)

(B)*

*Ocaso em que um ganho constante existe no sistema, para todo t anterior a to-.,

dos os outros considerados, pode ser tratado, fazendo-se, formalmente, 'C"O = - co

e u0 =u(t+W)=l.

-5-

(ii) G. pode ser interpretado, como veremos nas aplicações, J.

como um sistema cujo ganho salta bruscamente, em cada instante ~, do valor

ci k-l para o wlor cik: , dando portanto um salto de - dik = cik - ci k-l º

(c) Caracteristicas de H .• J; que, como foi indicado anteriormente, h.(t) = O J. 1

if t <O, o sistema , , ,

H. , alem de linear, e causal. Podemos escrever tambem: J.

Ei (t) ::: J t hi (t-t 1 ) Ei (t 1 ) dt 1 (9) -00

o que decorre de

equivalente a (4).

h. ( t-t 1 ) = O V- t 1 > t J.

I.3 - Operadpres associados a G. e H .• 1 1

(10)

Para simplificar a notação, vamos introduzir agora dois ope-n 1tf A ,4 N

radores, 'íl'i e l~i, como aqueles que, operan~o sobre as funçoes de entrada dos N ' N

blocos Gi e Hi , nos fornecem as respectivas sa1das, ou seja, aquêles operadores

tais que as equações

~i [ Ei-1 (t) J = E! (t) J.

e }0. [ E! (t) ] = E. (t)

J. 1. . 1

sejam, pela definição, equivalentes ;s equações (2) e (3) •

Assim,

íl . E. l = g. E. l õ1 1- 1 1-

J1o. E! = J t h. (t-t 1 ) E! (t') dt' J. 1 -00 l. J.

~ Expressão das saidas E1 , de Li•

Substituindo (11) elJl (12) ,

Ei = 1(,i[ ~i Ei_l] = *· n. E. 1 1 li 1-

--------------

(11)

(12)

(13)

(14) **

(15)

** - Por conveni;ncia, a dependência funcional em t , (t) , ser: omitida. Assim,

g-{ = gi (t) , Ei# = Ei (t) , etc., Depend;ncias funcionais em outras vari;veis se­

rão assinaladas.

Portanto, aplicando i v;zes a equação (15), e observando que fizemos E = o

teremos :

Ei = '){,, i q, i )'bi-1 ~i-1 º • • '}bl q,l 4>

ou ainda,

Ei = CL~ < Tu j ~j f e se convencionarmos representar por

i

}I;_Wl

-6-

'

(16)

(17)

o operador correspondente ~ aplicação sucessiva e ordenada dos operadores CW) 1 , 'Wl2,

• •• , 'YY) i , ou seja, o operador mi rw) i-l • • • o/Yl l •

- Jiplicação sucessiva dos operadores q~j e JÍ? j

(a) operador ~j º

de maneira que

ou

(i) Definamos: i

g\t =lf g J. j:-.;=1 j

l

º' = ir ik ·-1 , J-

d* = e* - e* ik i k-J. :Lk

'C L tL t O - ,. l

o •••••••••••••••••••• _._ ••••

g~ = l.

-Ck f t L~+l ... , ...................... .

(18)

(19)

(20)

(21)

(ii) Apliquemos, nessa ordem, a uma função~, os operadores

(J;_ , ~ 2 , •• •ii . O resultado dessa aplic•t~. ser; :

~i ii-1 ••• ~l = (t gj) 4' = g!f (22)

em virtude das definições de () . e gtl' º tJ l.

(b) operador )bj. Definiremos simple~mente, tp i' como o resultado da aplicação su-

cessiva elos operadores )bj, j = l, 2, ••• , i sÔbre a função de entrada ~ 0

-7-

Então, i

1 i = < ! raj ) ~ = i i 16 i-1 .... 161 lf (23)

I.4 - Plano geral do trabalho ,

O presente trabalho se encontra dividido em cinco capitulos,

a saber

I - Introdução e defjniçÕes :. introduz, como foi visto, o

sistema S, suas equações fundamentais, al~m dos operadores que caracterizam os

blocos de S. ,

II - em que a resposta de Se obtida para o caso geral. ,

III e IV - onde a teoria vista e aplicada a dois tipos essen-

cialmente distintos de aplicações: sistemas onde se desja obter uma saida multipla ..

da entrada, por um fator variavel com o tempo, de intervalo para intervalo, e sis

temas onde, em oposição, se deseja apenas amplificar (por um fator constante) a

entrada do sistema. Representa o primeiro tipo, o chamado amplificador de ganho

digitalmente controlado, e o segundo, o amplificador do tipo chopper, que utiliza

um amplificador ac de maneira a obter amplificação numa faixa dj_stinta de frequên­

cias, incluindo mesmo o zero. Para ambos os casos, problemas tipicos simples são

examinados.

V - Conclusões, onde se faz uma revista geral dos resultados,

e se mencionam as possibil1dades de aplicação e extensão dêste trabalho.

Capítulo II - ANÁLISE DA RG.SPOSTh DO SISTF.Má ESTUDADO

II.l - Introdução

-8-

Nêste capitulo, utilizando os elementos d.ntroduzidos no ca-, ,

pitulo anterior, chegamos inicialmente a um resultado valido para qmüquer siste-

ma s, expresso na forma de um teorema, com auxilio do qual a resposta do sistema , ~ obtida como a soma de duas parcelas essencialmente distintas, cujas principais

propriedades são analisadas.

II.2 - Lema

Sejam os operadores ¼ e 4 , definidos por :

:l/o f. = L: h(t-t') f(t 1 ) dt 1 (1) p

~ f = g f , sendo g = - T d .k uk ( 2, 3) li=()

onde os d.k são constantes reais finitasº Êsses operadores satisfazem a relação

abaixo :

onde

Demonstra cão :

Temos, por. substituição direta:

¼~r-4dbr= Jbl gr) -g~f =

= .Jb Í - i d k uk f 1 +. :f d k u. ¼,t = l k=O • k=O • 1C

= ta d.k l llic )b ; - ¼ ( f llic ~ em vtitude da linearidade de¼. Em consequência de (1),

ou ainda,

e assim,

1f>lru1J = o

% lr uk} =

:V-- t L~

"¼ ( f uk 1 uk

)ti C}r - ~Jbr =

(4)

(5)

(6):,

(7)

(8)

usando novamente a linearidade de )6. Aplicando (5) em (8), obteremos (4).

-9-

Oorol:rio l : Se considerarmos (ver nota *, cap I ) z: = - ro , u = l e portanto, o o

v = O • Nêsta caso, a relação (4) se escreve : o p

Yoqr-iJíor= {;1

d.kl\:·lb(rvk] (9)

Gorol;rio 2 : Se tivermos :

1b = ~-J j

4 - m~\ qm ( g = gj ' d .k = djk )

f = '-{' j-1

poderemos escrever :

€ •• JJ

(10)

onde definimos p

fjj = ho d~k ~ Kbl t{'j-1 vk} (11)

,ll,3 Teorem~ : Os operadores ~j e ¼j , e a função tf satisfazem a relação

~i; : .• _· ( 12) ,. . ·w

onde

Prova 1

i E: • = lí ··}{o

iJ _._._1

m m-J-..·

(por induçâ'.o finita)

(13)

(a) para i=l, a relação (12) se escreve:

Jbl lb. q}O - ~l 1'fol l{) O = ~\1 (14) ,

o que e um caso particular de (10), quando se faz j=l.

(b) suponhamos que (12) seja v;lida para um dado i. Provare­

mos que ela~ então vJlida para i+l. (12) pode ser escrita:

i

* + :::::..L ,.~ = gi 10 i e.

' j=l ij (15)

i .¼ -* i+l gi+l {- E iJ'

J=l

(16)

-10-

Examinaremos agora, de per si, as duas parcelas do segundo membro. Em vista de (4),

fazendo

chegaremos a : - p .

Ji,i+ll ~+l 4'i) = ~+l ¼i+l tf1 + ~ d!+l k "k ~+l [ ~i vk) =

== g* 10 + t i+l li+l i+l i+l (17)

Por outro lado,

(1$)

observando-se (13).

Substituindo agora (18) e (17) em (16), obteremos :

i~l

ou ainda,

como

::: gi+l \f>i+l + 2-;_ Éi+l j

(T[ !b. n \ D ~lf n . j Jb) ,n = ~ j=l J v{j) 1 j=l ÔJ j=l jj 1 j=l

t que riamos obterº

f i+l j

(e) Dessa forma, vistos (a) e (b) , o m;todo da indução fini­

ta mostra a validade de (12) para qualquer i.

II.4 - Expressão final das respostas de S - Ei

Como visto no Capitulo I (Eq.I.22),

E. Jf tfo. n _l 1 1 lj=l J ~OJ j Combinando a equação acima com o teorema anterior (Eq. 15), temos:

i

E. ::: gir 10. + L fJ.. j 1 1 11 j=l

E .. =( +t }(? íl ) f .. J.J \m=J+l m Õm JJ

onde

(I.22)

(20)

(21)

-11-

e p ,.. l

f .. = L di!k ul d0 . r (íl. l vk J J k=O .~ {: J L i J-

(22)

Dessa forma, a resposta fica decomposta em duas parcelas,

cujas caracteristicas e propriedades principais relacionamos abaixo: i i

(a) A primeira parcela, g~ ~-, ou seja, ll íl. -li- /\J,...... ,o , i 1 j=l K"J j=l 4~ 1 e

a saida do sistema representado na Fig II.4, e iguala o produto de uma funçaÕ do

tempo, g!, pela resposta ~ide UJil sistema invariante no tempo.

i*~i 1 · ar--r--' ~ ---1 4v. r

Fig II.4

(b). €:: jj pode ser decomposto em uma soma de funções que se

anulam idênticamente antes dos instantes Z'k. Cada uma dessas,funçÕes depende ,_

exclusivamente do sal to djk a ela associado, independendo das outras transições

que o sistema sofreu ou ainda vai sofrer 9

(e} Se aplicarmos os resultados do Ap;ndice II.A ao c:lculo

de fij a partir de ~jj , veremos que a propriedade da decomposiçio do tipo con­

siderado ainda permanece, sendo que agora, entretanto, cada uma das parcelas, que , N

vai multiplicar uk contera nao apenas o fator djk , como anteriormente, e sim ta,m

b;m os valores de todos os sal tos ocorridos para t ~ tk , nos est;gios que o si­

nal atravessou, ou seja, ~ij vai ser função de djk e dos saltos dmlc , j+l~· m ~ i.

te relacionada com a

sistemas invariantos

... ,... , A importancia das propriedades listadas acima esta diretamen-

utilizaç:o desta teoria, como se pode ver: i

(a) ~i = 1T ~J. co ~ a resposta do sistema composto pelos suJ2 J=l l ,

no tempo, e pode portanto, ser calculada por metodos mais s=i:Jn ,

ples, metodos operacionais, por exemplo as transformadas de Laplace (simples ou bi-

lateral), acrescendo ainda que~ e os ~j são certamente funções mais simples do

que, pv~ exemplo, E. ou g.Ei. J. 1

(b) Sabemos que para usar a trc:,nsformada de Laplace (simples),

devemos ter como funções de entrada(e de saida) funções id;nticamente nulas para

t < o, ou, utilizando UJ!l deslocamento no tempo, para tL e:,, sendo -e positivo ou ne-

-12-

gativo. Dessa forma, podemos calcular por interm;dio das transformadas de Laplace,

os [ .. depois de 1J obtidos os E jj •

(e) Naqueles sistemas em que cada H. (s) = [, [h. (t)] ~ uma fun - 1 J.. -

N l? , N 1• d n N , çao racional de s, cada Gjj e uma combinaçao inear as runçoes proprias do sistema,

em cada intervalo [ c:-k , C:::k+l) , enquanto € ij t uma combinação linear das funções

priprias do sistema Hj_ (s) Hj+l (s) ••• Hi (s) , no mesmo intervalo. Êstes fatos de­

correm de q_ue uk Jb j lf vk]; mna combinação linear das funções próprias de H/s) , N , A, li,

uma vez que nao ha termo forçado para t ~ i::k: , por ser f vk = O nesse intervalo.

for outro lado, a resposta de Hi ( s) a mna das funções pr~prias de~,H/s) ~ uma fun­

ção pr~pria de Hi (s) H/ s) para quaisquer i e j , ou então wna combinação linear

delas.

lü;rn do ser usada nas simplificações descrites ac:i.Ino, a decom-

po siçê'o efetua da nas , ,.

saídas do sistema , Ei , pode ser usada naqueles casos em que ~-...

um dos termos pode ser identificado com a resposta desejado do sistema (Ver Cap III)

ou. então ser nula, ou ainda desprezivel em relaç~o aos outros t;rmos (Gap IV)

II.5 - Um ~nico instante de transição ( p=l)

' , Vamos agora examinar um caso particular em que somente e neceJl

s;rio uma transição nas funções gi o Usaremos a mesma notação que anteriormente, o-

, . k d d , . bt 1 d mitindo entreatanto o ind11.ce =1, quan o esnecessario, para o er a gumas as pro-

priedades caracteristicnsdo sistema, nêste caso.

onde u = u1 = u (t ,

Alem disso, agora,

e

Ass:i.In,

- d. u J..

ê:j_) = u ( t - e:: ) sendo ~ = - et> e Z:l = r: º

v=l-u

- d~ u J.

Reescrevendo os resultados de II.4,

i

E. = g~• ,o. + L E. • • i i 1i j=l J.J

onde i

f . . = li .Jfu e: E • . J.J m=j+l m '-1Il J J

Gomo E .. = O lf, t ~ e::: e JJ

g = e m m1 Tf-t~c::::.,

i

teremos é. ij

Sejam agora.,

.. .. Em termos dest~s.,

onde

É •• J.J l

i

=T m=j+l ºm1 mll

~ .. = u U,. [ f. l V ] JJ J J-

S .. = [T ")h l €jJ' J.J m=j+l m

t .. =A .. ~ij J.J J.J

i

Aij = d~ ·-ir ºm1 J m=j+l

1f,lll }/êjj =O ift~c:::,

-1.3-

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

... Dessa maneira, neste caso particulur, podemos decompor cada f .. , em um produ­

J.J -to A.. ~.. , onde :

J.J J.J

(a) A •• J.J

(b) 3iJ

, ~

so depende das funçoes g1 , g2 , ••• gi •

depende da função de entrada~ e dos sistemas H1 , H2,

••• Hi , e do instante <::: em que se realiza a transição.

O caso A .. = l , cm que € •• = 5 .. , ~ um caso particular 1J J.J J.J

muito importante. Êle pode ser alcançado fazendo-se, por exemplo,

t L C

g -g- =g=l 2 - 3 - ••o n , . -

e pode ser usado como base teorica para dcterminaçao experimental de s.. de vez J.J

-14-'• H '• , t que, se tivermos uma unica transiçao em um unico estagio j, e ob ivermos experimen-

talmente €.. , podnremos simplesmente obter todos os ·-g .. , e depois, calcular os J 1J

E. . a partir das transições sofr.tdas pelo sistema. 1J

ft • t II-A - Apendice ao Capitulo II

p

II.A.l - Demonstração:. Se x = 2_ ~ 1,c k=O

decomposição semelhante:

-15-

p

e y =L. yk ~ , z = x y admite uma k=O

~

onde zk = L ~ Ym m=O

=

=

p

II.A.2 - Demonstração : Se x admite a decomposição (=o ~(t) 1,c então, 1b g,. x

admite decomposição da mesma forma.

p

ou seja, fu~ x = ~ ~ 16[ zk 1,J já que %[zk uk1 = uk 1b l zk ~J em virtude da causalidade de Kb º

-16-

Capítulo III - Primeira típ~ de aplioaç0es ( AOCD)

III.l - lntreduçãe

O amplificador de canho dícitalmente º*ntralado, (também

ehamad0 amplifio~der 00m centrôle aut9mátioa ie canhe dicital - AGCD) é um

sistema em que a sa!ta pede influir sabre e seu «anhe total, «e maneira a

manter e seu nível de saída entre niveis prêfixadea, submetide.aàicienalme.a

te à restriçãe de s0mente variar• canh• por petênoias àe deiso i'um caso

particular de uma série de sistemas ( amplificadores) euje canhQ é brusca­

mente varia.de, de uma_ maneira <iepenàen·te, eenforme e sistema, da saída eu

de um comando extern0. Tais sistemas.têm em cemum e fate de que mudanças de

ganhe devem ser transmitidas à saída, e pertant0, de que as mudanças àe ca­nhe em seus estqies amplificadores sãe essenciais, ~end0 os fatores que de

vem cemper a mudança de canhe total aparente à saída. A varieàade desiste­

mas assim oonstituides, tem uma c0nstante: a precisãe de canh0 pede ser ob­

tida ãessa maneira é bastante superior àquela que pode ser ebtida cem canhes

continuamente variadas, precisão esta difícil de ser obtida.

 análise de um sistema dêase tipe, pretjetade ceme é, para

a ebtençie de um sinal determinad0, deve incluir a definição de um êrro, e,!_

paz de medir,nêste eaao, a inabilidade da saída de atingir imediatamente a­pés cada transição, 0 valar da saída 00rresp0ndente ae nove «anho instalada

nc sistema, meàinde per tant0 a diferença entre a saída atual do sistema, e

uma· saída desejada, que àeve ser definida incluindo as variaçees de ganhe,

que se des$jam aparentes à saída, e também aquelas deformaç9es que 0 siste­

ma introduz no sinal, mesme quando não há nenhuma transiçãe. lste se&"Unde

aspecto pode ser aceite, em consequência de fate de que nenhum sistema fiai

ce, a ganhe c0nstante, que seja, é capaz de reproduzir fielmente uma entra­

da aplicada a êle. lo n0ss0 sistema, tais deformaç0es ainda vão existir, e

oontinuarãe aparentes, mesm© quando das transições s@fridas, mas nã0 devem

ser inoluidas em um êrr0 cuja :finalidade é analisar o efei t0 de uma mudança

de ganho na sistema, e assim na saída desejada.

O sistema 3 estudada anteriormente, pode representar e si,.!

-17-

tema ie que tratamos acima, e .nêsse easo, em geral, 0s bleoes o1 representarie

atenuadores variáveis que se alternarão cem est~gios amplificadores H1, carac­

terizados per suas funções de transferência H1(s).

De acôrdo com as considerações acima, a saída desejada pode

ser eL =-l l('.>~ , para o estágio Li' e e\\,:::. 4! I.{)-'\,\, vai representar a s1a,ída te tal des.!!_

jadat Observamos que:

(a) * (h caracteriza as mudanças de canho aofrida,s entre os

estág-ios l e L

(b) \()i inclui as deformações que os estágios amplificadores

H1(s) introduzem no sinal, mesmo quando «1= constante.

Des s;;.i, maneira, fi êrro será d efi nid0 com@ E.;_ .:: ti_ e~, sendo o

êrro devido às mudanças de ganho sofridas pelo sistema. A seção seguinte é ded,1

cada às definições, e à expressão de f-é, , obtida através dos resulta.doa ele capí

tulo anterior • .As demais seções examinam exemplos dêste tipo de aplicação.

III.2 - Definição de êrro, e sua expressão

. . Definimos a saída deseja.da para o está~io L1 de sistema s, como aendoei)_fr~:iri'~, onde (), e Jbj são os operadores definidos no capítulo I,

l.1=-' j ':;.\ ~ 01 J ~ ~ & a entrada db sistema.

Definimos o êrro €.;_, devido às transições sofridas pelo si.2,

tema s, à saída de 11 , como sendo igual à diferença entre a saída atual E1 e

a saída desejada e., 1

€i: =- t.l - ei De acôrdo com (II.20), ~- se escreve:

•

sendo é'.,j como

f:_ •• 'j

(1)

(2)

Convém obse;tvar que, nestas condições, ~i ~ o êrr0 total à

saída de 11 , Ejj é o êrro introduzido pelo estári0 j, observado à saída de Lj,

e EU~ o resultado d~ propagação do êrro até o estágio Li, onde é observado,

sendo portanto o êrro a;cerado por Lj ,observado em Li • 111,

O: êrro total, à saída de :3 ( ou de Ln ) é E""'--=- j~ ½ , igual

à aoma dos êrros gerados nos eatá,:ioa anteriores, observados à saída do siste-

ma.

III.) - Jrro de um sistema composto por estágios de primeira ordem, idênticos.

Seja, em particul~r, e sistema 3 representado na p~rina

se,;uinte.

-18-

Fig. III.3

@nde es estágios H1 (idênticos) são earacterizadoe por sua fun9ão de transfe­

rência oemum, H( s:) , e as funções g1 sofrem uma únioa. transição em t- z •

ção de )b j , mas,

como surerido no

t- z- à

madamente,

De acôrdo oom o encontrado na seção II. 5 , r;.J, = l,{_ )bj. [ ,o, v-) = u, rt ()l G-ôl(+--t'\o'. (·P) ~(+') dt' =

~j-1 . too 'J-1 :

- oc (t--'Z:-) ) = ~i l z:.) & u., ( l-- z:. ( 3)

Para calcular ~j , podemes empre,:ar as inter;raia de def'-dini­

entretanto, é mais simples usar as transformadas de Laplace,

capitule anterior, fazendo-se eorre:aponder, por simplicida.de,

( 5)

(6)

dem deduzir da expressão de Ei. e àa aproxims.ção a.cima.

III.~ - Análise dos resulta.d.os obtidos.

Consideremos o amplificador de ganho bruscamente variado da

seção anterior. Vimos, e~tão, quê o êrro é dado por

onde

Éi,::: z. Âtj~j L"'\

l t>ll\·-~)) l-j

l c-J) ~ se tefininnos, para facilitar a análise, X.::. IX li-- t) •

(8)

-19-

Fodemos ver, das expressões encontradas para Si:_j , que ·s;i: (ou ~j) é uma fu~9ã0 deoresoente de x (ou de t), para x 70, passanà0 por um;

máxime em x•O. (~j = 4!i•{c:,) ), no instante da transição. Além disso, TlJ (1,tj) se

anula. para x-0 , passa per um máxime (ou mínimo::, con:ferme a sinal de tl/.J-c) ), e decai exponencialmente para zero, quande ;i__,, a::>. Observando

~~i = -.e. [ .J..=i - , l (10) Q"l, lj 'X, J

que se anula para x=i-j, vemos que e máximo, nêsse instante, é e~-') i-J -( C-j) w.4'5:· = \Q,ld. J. é (11)

'J J li -j} ! . Ias condições ãa aproxima9ã.0 feita na seção anterior ( ~jx l{J ) , _ 'tlJ· ~ f'unçãQ a-

penas de 1-j, eu seja, de número de estágios que 0 êrro atravessa, desde que

é gerado, até o estágio em que é observado.

Vamos acora considerar o caso em que o sistema, em t-~, S,!,

* * * fre· uma mudança de canho, passando de um ganho e""'º para um ca.nho ~,:::t,LC.M, e em

que se aupae::que +i,penas o estágio k sofre uma tra.nsiçio, passando. de .ganho ~º para o canho \-l~o • Censià.eraremoa ainda válida a aproximação l(l.i'lt-~ , vista ante­

riormente. Teremos:

Ci:o -:::. ci, ) i.t- k

µe~ -:::. C~1 ( C-::. k)

:portanto, e~ ~ i,.:: ~ LO = Ci:,,

',li; V, C~-o :::. ~

Ct:, t ~ k.

de manéira que

tl[ =

df -:::::

Assim, ~,j :::

~;~ :::.

Dessa maneira, '\,\,

o * \, ~

C.~o l \_ P-\ 1\ c,\fv\o :::. e,i:o l \ - }A l lvl-::.~+ 1

* VI,

e\¼) l\-\A-) J~ .g-~ -'\,\,-~ ~ 'L j,_;_ v,=.o -J t

em valor absoluto, para

e~~ ·2:_ ~ 171 = .i :.\ "

l ~ )\( \' X ou, e\,\. ~ cl,\,i) - CIAI J ~ (t) G-

0 que mostra que tanto maior será,

o valor de€...., quanto menor fôr k, de maneira que a melhor

(12)

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

(18)

j~k (19)

(21)

qualquer x, (eu t),

situação será quan-

do tivermos k,máximo, igual a n. Uma transição, dessa forma, conduz ao menor

êrro, quando se realiza, integralmente, no ultimo est~io.

Podemos provar, nêste caso, que os miximos de¾ não tem correspondente em ~:

<. o

-20-\

(22)

!lrro relativo. Um êrra relativo padaria. ser definido como elA. /(ct1 ({lvJt-)) , di­

vidindo o êrre _ ( a.bsolute) encontrado, pelo valer da. sa!d.a àesejada. no instan­

te considera.de. Jlais o6mode, entretant0, é usar para representar tf}t-) ~ valor

de ~lt:,) e definir um êrro relativo

e"'" e-t, '{'l t-)

nas condições da aproximagão feita.

Para o easo particular acima,

cl - e!(\-}"-) .i,c: ~Í /* l '\ e c;.,-1/1. - J .J / (,,'IA.\ l(> t, 1

depenàe de um fator \-:::. l~ , sendo µ.

Of_b,IL 1 para e OL I~\ para

(23)

(2~)

(25) (26)

Quando se leva a cab0 uma diminuição de ganho, por um fa­

tor µ, , o êrro relativo & bem maior que q_ua.ndo o ganho aumenta, pelo mesmo

fator. Dessa maneira, como uma norma para a escôlha de uma rotina ãas mu4an­

ças de i'anhe de um sistema real, deveremos_ escolher par& as diminuições de

canho, os est,gios mais próximos do último • .il&m disso, notemos apenas que

como év.., proporcional a l(>lt:-) ( aproximadamente) se e instante ~ ~ esc0lhido d.e

manei~a a anular ou minimizar ~l~), o mesmo acontecerá, (aproximadamente), a

~ .. Evidentemente, uma análise bem mais detalhada pode ser fei

ta, ma~ isso não é o desejado aqui, onde eia apenas tii111ra como um exemple de

aplioâgão da teoria vista.

Capítulo IV - Segundo tipo de aplicacêts; chopper

IV.l - Introdução

-21-

O amplificador d. o. a vibrador s:f.ncrono pode ter âescri to

o 13e1,1 funcionamento, dizendo-se que êle amplifica sinais de baixa frequência

(d.e.) usando-os para modular um sinal em forma de onda quadrada, que é en­

tão amplificado por um amplificador a.e. (cuja faixa de passagem não inclui,

em geral, as frequências da entrada). Um estágio posterior faz a demodulªyão

e a filtragem do sinal, de maneira que a. saída reproduz a entrada amplifica­

da. lfão nos cabe aqui discutir ou demonstrar as qualidades e desvantagens do

sistema, nem sequer a sua realização prática. Interessa-nos apenas mostrar

que a teoria desenvolvida anteriormente permite analisar o seu comportamento,

sendo aplicada aqui de maneira inteiramente diversa da encontrada no capítulo

anterior.

Por simplicidade, êate capítulo se divide em quatro seções,

à. saber:

IV~l esta introàu9ã0

IV&2 - generalidades sôbre a apliêação da.teoria ao tipo de

sistema aqui estudado

IV.3 - uma análise sucinta de um modêlo extremamente simpl,i

ficado

IV.4 - oomentários dos resultados de IV.3, em que se estu­

d.am as características principais tio sistema em estado permanente ou transi tê­

rio

IV.2 - Generalidades

Um sistema como o amplificador ohopper sumáriamente ãescr,i

te em IV.l, pode ser representado pelo sistema S estudade anteriormente, como

abaixo, (fazendo-se, naturalmente, n~2)

Fig.IV.2

º1 e 02 represent~m @s estágios modulador e demodulador.

As funções ~1(t) e g2(t) que os definam, em geral, serio semelhantes ou i­

guais. Exemplos para. êles são os ohoppers, simétrico e assimétrico:

(a) chopper assimétrico :

~~ ~T ~ t t,, ( .2.v.-t 1) T 'h ~ t.2.v.'\'1)1 f. t L .i(\A--1-,) T (1) ,1

<t-2-:. \- <à-1 (2)

(b) ohopper simétrico : \ -1

} +I

~1 ~ t L l'2¾-4l)T

( LM_..i., 1\1 f:. t L !Ll 'IA-\-\) ·1

-22-

( 3)

(4) lim continuação, n1 e H2 representam o estágio amplificador

(~.o.) e o filtro. De forma geral, H1 será um sistema passabania ou passaalt0,

e H2 será um sistema pas~abaixo,destinado a eliminar as frequências mais altas

introduzidas no processo.

Ie caso prático, a função tf de entrada será constituída de

frequ~noias inteiramente fora da faixa de passagem de n1, e, nessas condições,

potii ereme s tomar :

( 5)

como uma aproximação suficiente. lo caso em que~• constante, a aproximação

se tornará em igualàade, isto é, teremos realmente %1 l{J:::. O e

lfessas oondigÕ·es, escreveremos :

(6)

e portanto,

( 7)

Como vemes, aqui reside a distinção essencial entre êste

tipo de aplieaçÕos e o anterior, de vez que naquêle, o têrmo mais importante

da resposta é aqui nu.lo ou desprezív·el, e a resposta clesejaà.a do sistema de­

ve ser procurada no têrmo E:'.i.1 , que n~quele caso era apena.a uma parcela de êrre.

Observemos apenas, para concluir, que se não tivermos

X,1~~ O polil.eremos sempre levar avante o oê!loulé, e obter os têrmos ez.. e E..i-z..

eia respesta. Entretant0, realmente, repetim0s, o valor de{),-i%,~ poder~, em C,!

ral, ser d«sprezado, frente a f'.i1 , e a~: respasta será dada por éz. 1 •

IV.3 - Análise de um eas0 extremamente simplificado

Censideraremea nesta seção, e na secuinte, um caso particu­

lar eJtremamente simplif4cado daquêle encontrado em IV.2 • Faremos, 00m efei-

to, do primeil'o I - de transferência de H1 e H2

,irau as funçoes '

quais sejam,

\-\, (.ç) -::. s -::. \- --!-'+ ~ S-k ~ (8)

\--\2 l s) = O(

(9) .!; -1- \\(

e cem que as funções g1

( t) e c2(t) sejam icuais . .

-23-

'C L Ü

~Í f. t" L(~-1: \) Í (10)

\~-\-l)í ~ \- L ll IM-+ l)T , lvl:0,1, ... Podemas exprimir também r«1(t)=c2(t) na forma já us~da anteriormente,

ro W

4-:: - L d.~~ =- L (-\)1< u. (t--- k-T) (11) \.:.:.o 1':-=-o

0 que nes permite escrever (k-~1)

&. ·l' :: l- 1) (12) ~')

Para que se tenha realmente%\ ~~O, tomaremea para a a­

nálise, l.p-:z. Lfo = constante, come função cie entra.eia. A resposta a tfc.l{)0 seri .i.­

presentada nesta seção, e suas propriedades principais, na seção seguinte.

Temes :

(13)

(14)

e

Assim,

(16)

Portanto,

Ep 'li,,_ q.,_ i;,, ~ ~i. [ 4- lo d . ._ ti._ 'Xi.[~¾)] (17)

De aeêrdo com o apêndice IV-A, temp.s, para qT f t , (q+l)T

,: _ ,_ _fX'lt--q,T) ~ .- ~lt--t4-1) e.. 1.. _ 1.i.4 6 + º'1- G (18)

onde, 00nforme a pariàad.e de q, (q • 2p eu , ... 2p+l) ,

*) - Nêste caso, u0 J O, e pori o tó i t d d d T · · ss , e 130ma -r o se ex en e -. es e zero, mes-

ma :para o cálculo de éjj ( no cas&, é.11 ) •

- Â soma indicada ( até infinito) representa apenas a soma até q, sende

o intervale [ qT , {q+l)T ) o i11terval0 que centém e ponto t considera.ão.

Bip -;::; lX~º IX-~

B'lf·H-=- o lstes resultados

l -t f:::, - ~ (q, + 1 )'T

\+1::,-foT

serão analisaàos e oomentades na ae9ão sel'fl,inte.

IV. ,4 - A.nâli se dos resulta.d.os obtidos.

(21)

(22)

1m vista das express0es encentradae n0 final ia s~ção an­

terior, pedemgs dizer que

(a) Durante o intervale em que c2fo (intervalos onde q & par) a resposta do sistema, uma superposi9ãa à~s expenenciais característi-

( ~ 11,T ) .1 • • ( -~T ) cas do amplifioa.d.Gr ~ 1v , e 1;1.e filtro passa.baixo G. , e nes inte1:

valos em que q é ímpar, (onde ~2-o), apenas a segun~a expenen0ial se aprese!!.

ta, em virtude do desac0plament0 efetuade per g2•0.

(b) Pede-se verificar que a saída 12 é uma funçi0 contínua

(23)

e que

(24)

o que j4 era, naturalmente, esperade.

(e) À medida que q oresee, Ã e B têm dois p0nt0s de acu­q q mulagão, eaàa um. la realidade, podemos observar que:

= ~ l _l__ r' ·- GcxT ·i - -E _ _2-off \ :, «-~ l l+6fí l i- 60(1

\-GZOlT \

=- IX\(}o E O(Í r 6 O<T 1 ) - P., +-

Q(-~ l-G°'TL \4-6°'T l.+G~T 1

e

Lw. Âl,\)-\'I ;. l)[~º­

~--400 ot-~ l l~b~Tt ,~::: 1 + t-6::T \ =

- (){ \{)º GlXT l \ ~ G~T j -

!X-~ 1-t:0(1 l-+ G"''T

~IM- Bip . 1XlPo + - B \ -f,T

..... p ·--\ OCI 0<.-0 -t t

~-

(25)

(26)

(27)

e, em

sendo

estada permanente, »2 peãe ser esorit0:

~ =- p., + G. -NTo + E,+ é- ~+-o nes intervalos pares

ti. -=- Â- 6 -~+---0 nes intervales ímpares

t 0 a tempo contada a partir do ínici© de intervalo.

(28)

(29) ( 30)

(d) o val<?'médio de E2 poàe ser caloulad0, c@mo sendo, em

estado permanente: r- T

- . 11 ( -+ - txto Ei. =- _I (\ E + :l.T o

( 31)

_l --h l _oc:T 1-t 6 2.~T O( -~\ 1- <:: p.>T ] = ~ lfo =- é + G .

,ií I+ €: ~T ~ \ ..+ E ~•

de maneira que K será o efetivo «anho do sistema. Bum sistema r~àl, deveria-

mos ainda aeresoentar a êste fator K, e ganhe do amplificaâor a.o., que, ne

nosso exemplo, foi ternado unitário, ,, portanto, teríamos um canho efetivo

KK0 , chamandG de K0 êsse outro fatoro

-26-

IV-A - A.pêndice

Cáloul0 de 12 ; lste apênàice centém a demonstração da expressão apresentada

na seção IV.3 •

Come ponte de partida, temos,

t, ~ )b, l 4 [ ,1_,, '-'lc %, e ~,i-.1 J onde

Come

Ora, como ~ k k

- \ - (-1) ·z d, \M ~ l ('--\)V\,\-\, 1 ""'

'h-t::.O 'Z

T ~ (\\A- 1,) 1 (-d'- - é~ fo !c:.T & •'lv\ G ::. ---~---

'lvl::.o 1 + e f!>T e, além disso, usando a transformada de Laplace ( utilizando JOmo tempo t-kT)

1j [ ~ /M +-- llT) ) J r'~, r rx · ~ J - -' l~ lj__ _ _i \) _

teremes :

601- é LL(t-k-T =-- .J.. LJ>-1-o( .s+~ - [ ~-OI.~+()( -t-+fo) -

_ (), \ e.- r,.l+-lcT)_ é- ~l-1--lt.í)\ _r_ I::; ) u (-hk:Tl ~-<X

k - ~\LT (_,, ,.. 6

\+ & pr

l+ C-1) t<

:2,

-21-

Se su:r>usermes t ocrntid0 ne intervalo [ qT , (q+l)T ) , escreveremos :

\+ (-\J lt. )( -t<Ít--!Lf) _ fb(+-l~T)) É - E

2-. 4t · -~·t:-

Vam0s agora calcular os fatores que multiplicam é e G na expressão acima,

oalculande as somas indicadas abaixe •

~ ~ z [ 1-- ,s~k'T (_,) 1' - .1-+ ~<) I<] t=- l>l\t.T = k:--=-O 1-+ G ~T ]

[

1- é l)(lq_+í)í . l-1- 6 loL-fo) (~-1- i) T (-\) ~ -

= 1 +I G (b T 1- <::-ôlT 1-+ é toc - ~) T T 'f. J_ ( ,_ ~ O( l4+1)T + I+ 6.0ll'4+ 1) /-) ') J

- 2 1- éllc'.T l--4- G,blT

~ \ ~\c.T l '\ k I<: ] íl.\ií s =- l \- G ..,... - \ ) .- 1-+ ( -í) b 1" :::

~ ~=- O \-t é ~ I 2-

\ Í 1- é~{ iq.+ \) T _ l-+ ~,) ~ ] = \+ ~ P.,T l 1- E. (b'í

_..L l-1- 6 f1>(1-+1)Í + ,l+éfol':\-+1)T{-l)tq.]

2 l-6/bT 1-+E-jbT

Cam aux!lie dêsses resultad0s, p0derem0s escrever:

ande ¾: O(IPo -O(_ {b

- (>('-Po

e o/-~

~:- .:.!; \::ti= Í~l-_;;..é_~(-:-e?t-f-=-1)_t - \+(-l)q.J-~ [1-t~( ... t,]T ~ 1+lllfl:\_,~l - ~ G )f-t-E~Tl l-e~T '2 2 1- elhT Hf:r,

Se levarmos em conta a paridade (ou não) de q, eu seja, fazendo q•2p (q•2p+l),

eu

Bip =

Bip + 1 ~ o

-28-

V.- Conolus@ea

Como foi visto anteriormente, 0 ponto fundamental ãêste

trabalhe é o estabelecimento de uma relação entre os operadores característ!,.

cos do sistema estudado.

lata relação, apresentada na forma de um teorema, é váli­

da para os sistemas passíveis da decomposição em blocos apresentada no Cap.

I. Nessa ocasiãe foram feit~s várias_hipáteses, para assegurar a validade

do teorema, como passamos a discutir:

O teorema é válido, de acârdo com as hipóteses feitas, P,!

ra os op~radores 1(o correspondentes a sistema lineares, causais, invariantes

no tempo. ls duas primeiras restrições, necessárias à demonstração, foi, por

oomodid~de, acrescentada a última., que não é essencial para a. demonstração do

teorema.

As restrições feitas a q,, eu à sua função característica

gi(t) (continuidade e constância por intervalos), foram feitas de maneira a

incluir os casos em que transições são levadas a efeito, em um ou em váries

estágios,.simultâ.neamente ou nie, e a particularização para um único instante

de transição permite analisar não apenas êsse caso específico, mas também o

caso em que as transições si.o suficientemente afastadil,s entre si no tempe, de

maneira que uma influi àesprezívelmente sobre a outra.

Da maneira como f0ram a.presentadas, es instantes de transi

ção são supostos conhecidos, mas na realidade basta que êles sejam função de

um sinal externo qualquer, que pode até mesmo ser a entrada eu outro sinal de

pendem·~e dela. Dessa maneira, esoolhende: se convenientemente os instantes de

t~ansiçia, podemos analisar aquêles sistemas não lineares, que sejam pa~sí

veia de equivalência a um sistema variante no tempo, como 0 oensiderado.

Quanta às aplicações apresentadas nos Capa. III e IV, sua

análise figura apena.s como e:J;ernplo de utilizaçã© da «eoomp@siçãe do sinal pe1:

mi tida pelo teorema estudado.

Assim, no Cap. III, uma saída desejada e um êrra são defi

nidos, e e última calculada, para uma amplificador de 1anh0 bruscamente ( 0 u

discretamente) variade, e, por outro lado, no Cap. IV, a saída é calculada,

para um modêlo simples de amplificador chopper, em estado permanente e esta­

ão transitárie, e seu ranho efetivo é determinado.

O trabalho vist0, pode ser ceneralizado e (0u) extendido,

a nosso ver, nas seguintes direções principais:

(a) extensão a sistemas não lineares passíveis de equiva­

lência a sistema lineares variantes n0 tempo, eeme o sistema aqui estuàad@.

-29-

(b) extensão aos sistemas variantes no tempo, em que

g.(t) se transforme em uma funçi0 contínua. 1

(e) exame à0 cas0 em que aa comutaçâes.de ~anha sio fei

tas em instantes e (eu) valeres escolhidos aleatóriamente.

(d) análise de ruído no case de transições conhecidas.

-30-

lH:BLIOGRAlf'IA

lo Geophysics, Dez, 1965 - Abstraets ef papers presented at the 35th Annual

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