Valovi i optika - UNIOS

Valovi i optika

Natječaj za najbolju fotografiju iz Osnova fizike 3!

= širenje poremećaja kroz neko sredstvo (vakuum)= poremećaj koji se širi prostorom i prenosi energiju

Općenito:Valno gibanje je prijenos energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu, bez prijenosa tvari.

- prenosi se energija i količina gibanja (impuls), ali ne i tvar

1.1 Valovi

1.1 Valovi

• longitudinalni – čestice sredstva titraju u smjeru širenja vala (zvuk, el. pero)• transverzalni – čestice sredstva titraju okomito na smjer širenja vala (valovi na vodi, elektromagnetski val, val na užetu, žici...) • progresivni – val se širi u odreñenom smjeru i pritom se energija prenosi s čestice na česticu, • stojni – neke čestice titraju, a neke stalno miruju; energija se ne prenosi prostorom.

Periodički se valovi mogu opisati karakterističnim veličinama: frekvencijom, amplitudom, periodom i valnom duljinom.Udubine koje nastaju kada bacimo sredstvo u vodu zovemo valni dolovi i bregovi

Harmonijski valVal kod kojeg se iznos poremećaja (amplituda) mijenja sinusoidalno.Svi drugi oblici valova se mogu prikazati kao zbroj harmonijskih valova različitih amplituda i frekvencija, i ti zbrajani valovi se nazivaju harmoniciili harmonički članovi.

Vrste valova:

1.1 Valovi

Mehanički valovi zahtijevaju:1) izvor poremećaja2) medij/sredstvo koje prenosi poremećaj3) fizikalni mehanizam pomoću kojeg čestice sredstva meñusobno djeluju (i

prenose poremećaj)

Elastična tijela - Imaju svojstvo ponovnog zauzimanja početnog oblika nakon što je na njih djelovala sila (kratkotrajno) i deformirala ih (izobličila, promijenila mu oblik).

- Postoje elastične veze izmeñu čestica, pa pomak čestica u jednom dijelu tijela, tj. elastična deformacija, uzrokuje pomak susjednih čestica.

Zbog inercije čestica deformacije se ne prenose trenutačno, nego s nekom konačnom brzinom koja zavisi o elastičnim svojstvima te tvari.

Transverzalni valovi su mogući samo u tijelima čvrstog stanja, a longitudinalni valovi se mogu širiti u sredstvima svih agregatnih stanja (čvrstog, tekućeg i plinovitog). Za pojavu transverzalnog vala potrebne su sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju(u fluidima su takve sile zanemarive).

1.1 Valovi

-valovi na površini vode = kombinacija transverzalnih i longitudinalnih pomaka

-valovi potresa (seizmički valovi) = P valovi (longitudinalni, 7-8 km/s) i S valovi (transverzalni, 4-5 m/s); razlika u vremenu dolaska → odreñivanje udaljenosti do epicentra

-transverzalni poremećaj (puls)

-longitudinalni poremećaj

smjer širenja poremećaja

smjer gibanja užeta

-prvo promatramo jedan poremećaj, a onda periodične poremećaje → val

1.1 Valovi

-puls u t=0 -puls u t

-puls koji putuje udesno brzinom v

-oblik pulsa:

-element užeta na položaju x ima istu amplitudu y kao element na x-vt u trenutku t=0

-amplituda y za sve položaje x i vremena t u odnosu na ishodište O

-puls putuje udesno-puls putuje ulijevo

-y = valna funkcija; 2 varijable (x,t)

Pretpostavimo da je djelovanje sile u vremenu proizvelo u elastičnom sredstvu takav poremećaj da su sve čestice ili materijalne točke ravnine P1 pomaknute u danom trenutku za jednake vektore pomaka: ,'11AA '11BB

� Sve materijalne točke ravnine P1 nalaze se u novoj ravnini P1'

Nakon nekog vremena. � Lokalna deformacija prouzročit će sličnu deformaciju u nekoj susjednoj ravnini P2 , koja će biti pomaknuta u novi položaj P2'. � Tako se nastali valni puls, u obliku elastičnog vala pomaka, širi kroz sredstvo brzinom .v

�

Općenito: Pomaci dviju ravnina, P1 i P2, ili više ravnina, ne moraju biti meñusobno jednaki.

1.1 Valovi

Ravnina u kojoj materijalne točke imaju jednake vektore pomaka naziva se valna ravnina.

Meñusobno paralelne valne ravnine imaju materijalne točke u jednakom stanju gibanja, odnosno te točke imaju jednake vektore pomaka.

Val s paralelnim valnim ravninama nazivamo ravnim valom.

Pravac okomit na valnu ravninu je pravac nositelj brzine širenja vala, a nazivamo ga i valnom zrakom.

Odnos vektora pomaka u odnosu na valnu ravninu odreñuje vrstu vala:

1.1 Valovi

longitudinalni (uzdužni) val - Vektor pomaka čestica sredstva je okomit na valnu ravninu, odnosno paralelan s valnom zrakom.

longitudinalni val� čestice se gibaju ili titraju uzduž pravca širenja vala

x – pravac širenja valaAi Ai' – Titranje točke


1.1 Valovi

transverzalni (poprječni) val - Vektori pomaka materijalnih točaka leže u valnim ravninama, odnosno okomiti su na valnu zraku.

transverzalni val� čestice sredstva titraju okomito na smjer širenja vala

x – pravac širenja valaAi Ai' – Titranje točke


1.1 Valovi

Jednadžba longitudinalnog vala

Promatramo ravni val koji se giba kroz cilindrični štap presjeka S, neograničene dužine na oba kraja:

Promatramo beskonačno tanki sloj štapa izmeñu aksijalnih poprječnih presjeka So, S1 , koji u položaju ravnoteže imaju pripadne apscisex, x+dx

vanjski impuls sile � longitudinalni poremećaj � gibanje sloja So, S1 �

u nekom trenutku t, novi položaj So',S1', s apscisamax+u, x+dx+u+du.

u = pomak danog presjeka (može biti veći ili manji od nule ili ništica)

Sloj štapa u trenutku t ima neku akceleraciju i pretrpio je odreñenu deformaciju (stoga se općenito du razlikuje od ništice).

Jednadžba longitudinalnog vala 2

Kad se val počeo širiti, tj. kad su poremećaji već nastupili, unutar sredstva počinje djelovati elastična sila (zbog elastičnog naprezanja čvrstog tijela).

Na presjek So' djeluje sila F, a na S1' sila F+dF (protivnog smjera, u smislu udaljavanja od ravnotežnog položaja).

Neuravnotežena sila dF daje ubrzanje sloju So', S1'.

Kako naći jednadžbu gibanja sloja?


Kako naći jednadžbu gibanjasloja?

Koristimo zakone mehanike (Newtonove zakone).

Kolika je masa sloja debljine dx? dm dVρ=ρ ρ ρ ρ = gustoća nenapregnutog sloja sredstva (gustoća štapa) S= površina presjeka štapa

dm Sdxρ=

2. Newtonov zakon (sila daje ubrzanje a)� dF adm=

Pomak u je funkcija položaja i vremena, u = u(x,t)

2

2

ua

t

∂=∂

Sdxt

udF ρ

2

2

∂∂=


Što dalje?

Koristimo Hookeov zakon koji daje vezu izmeñu specifičnog izduženjasloja, du/dx, presjeka S i modula elastičnosti E (što je tzv. Youngovmodul elastičnosti):

lF ES

l

∆= ∆∆∆∆l/l = relativno izduženje

U našem slučaju �l u

l x

∆ → ∂→ ∂

Sdxt

udF ρ

2

2

∂∂=

uF ES

x

∂=∂

∂

2

2

dF uES

dx x

∂=∂

2

2

udF ES dx

x

∂=∂

2 2

2 2

u E u

t xρ∂ ∂=∂ ∂

Parcijalna diferencijalna jednadžba drugog reda koja opisuje longitudinalno valno gibanje u elastičnom sredstvu.


Što predstavlja E/ρρρρ? Dimenzija je: 1 2

2 23

E ML TL T

MLρ

− −−

−

= =

Koja fizikalna veličina ima dimenziju ms-1?2 2 2v L T− =

2 22

2 2

u uv

t x

∂ ∂=∂ ∂

2 2

2 2

u E u

t xρ∂ ∂=∂ ∂

Rješenje?

Ev

ρ=

Pretpostavljamo rješenje dif. jednadžbe u obliku funkcije u(x,t):

( ) ( )u f vt x vt xϕ= − + +

f(x,t) i ϕ(x,t) su neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1. i 2. reda po x i t).


2 22

2 2

u uv

t x

∂ ∂=∂ ∂

( ) ( )u f vt x vt xϕ= − + +

Provjera:

'( ) '( )u

f vt x vt xx

ϕ∂ = − − + +∂

'( ) '( )u

vf vt x v vt xt

ϕ∂ = − + +∂

2

2''( ) ''( )

uf vt x vt x

xϕ∂ = − + +

∂

22 2

2''( ) ''( )

uv f vt x v vt x

tϕ∂ = − + +

∂2 2 2 2''( ) ''( ) ''( ) ''( )v f vt x v vt x v f vt x v vt xϕ ϕ− + + = − + +

Lijeva i desna strana jednadžbe su identične. �� u je rješenje valne jed.

Funkcija u(x,t) = zbroj dviju funkcija:f(vt-x) funkcija valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x, ϕϕϕϕ(vt+x) funkcija valnog gibanja u protivnom smjeru (protivan predznak od x), odnosno u negativnom smjeru osi x.


2 22

2 2

u uv

t x

∂ ∂=∂ ∂

( ) ( )u f vt x vt xϕ= − + +

Općenito: Funkcija u(x,t) sastavljena je od dva gibanja uzduž osi x u suprotnim smjerovima.

Pribrajanje dviju valnih funkcija, koje daju jednu rezultantnu funkciju vala, nazivamo principom superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno o postojanju drugog vala).

Širenje jednoga ravnog vala ili poremećaja može se opisati samo jednom od funkcija u zbroju, npr:

1 ( )u f vt x= −u1= u1(x,t), tj. u1 zavisi o položaju i vremenu � funkcijau se može promatrati u ovisnosti o jednoj varijabli (i onda dvodimenzionalno prikazati), dok se za drugu varijablu uzima da ima konstantnu vrijednost

Jednadžba longitudinalnog vala 82 2

22 2

u uv

t x

∂ ∂=∂ ∂

( ) ( )u f vt x vt xϕ= − + +

Primjer: Ravninu presjeka kojeg promatramo stavimo u ishodište, onda je x = 0 , pa funkcija u1 postaje:

1 ( )u f vt x= −

Primjer kratkotrajnog pulsa:

1( 0, ) ( )u x t f vt= =

u1= u1(x,t), tj. u1 zavisi o položaju i vremenu � funkcijau se može promatrati u ovisnosti o jednoj varijabli (i onda dvodimenzionalno prikazati), dok se za drugu varijablu uzima da ima konstantnu vrijednost

Slično se može promatrati funkcija u ovisnosti samo o x , npr. u trenutku t = 0.

Jednadžba longitudinalnog vala 92 2

22 2

u uv

t x

∂ ∂=∂ ∂

( ) ( )u f vt x vt xϕ= − + +

Funkcija f u gornjem izrazu mora biti definirana za svaki argument pa i za vrijednost 0�

1 ( )u f vt x= −

v = brzina poremećaja koji se širi u pozitivnom smjeru osi x

0x

vt x vt

− = ⇒ =

Brzina v ne zavisi o obliku poremećaja (ne zavisi o funkciji f (vt – x)).

Brzina širenja vala v se još zove fazna brzina vala:E

vρ

=

u

t

∂∂

Brzina kojom se pomiču čestice elastičnog sredstva:

1.2 Sinusni valovi

- 1D sinusni val koji putuje udesno brzinom v

-razlikovati 2 vrste gibanja:1) gibanje vala – gibanje cijelog valnog

oblika (sinusoide) udesno brzinom v2) gibanje elementa sredstva/medija

(harmonijsko gibanje gore-dolje)

-gibanje vala kroz medij -gibanje vala u vremenu

valna duljina period

amplituda

1.2 Sinusni valovi

-valna duljina = minimalna udaljenost izmeñu bilo koje dvije identične točke susjednih valova-period = vremenski interval potreban da dvije identične točke susjednih valova proñu kroz neku točku-frekvencija = broj valnih krijesta koje proñu kroz danu točku u jedinici vremena

-amplituda = maksimalna udaljenost od ravnotežnog položaja

[s-1= Hz]

-sinusoidalni val koji putuje udesno

-val prijeñe udaljenost λ za period T:

-ako definiramo:

valni broj kutna frekvencija

-izrazi za brzinu vala

-općeniti izraz; ako u x=0, t=0, y nije 0

1.2 Sinusni valovi

1.2 Sinusni valovi na užetu/žici

-uže zatitramo pomoću vibratora, frekvencijom f-svaki element užeta harmonijski titra frekvencijom f u y smjeru, dok se val giba u x smjeru brzinom v-valna funkcija:-transverzalna brzina i akceleracija:

1.3 Brzina valova na užetu/žici

-ukupna (radijalna) sila na element ∆s=

-masa elementa:

-II Newtonov zakon:

Tcosθ

Tcosθ

1.3 Brzina valova na užetu/žici

-II Newtonov zakon:

-brzina transverzalnog pulsa na napetoj žici-aproksimacije: amplituda pulsa mala spram duljine žice,-napetost žice T ne mijenja se zbog prolaska pulsa (ista u svim točkama žice)-vrijedi za puls bilo kojeg oblika

Refleksija longitudinalnog vala

Impulsi sile � longitudinalni poremećaj u elastičnom štapu � predaja neke energije koja se širi štapom

Što se dogaña s energijom kada nastali ravni val stigne na kraj štapa?

Energija može prijeći na neko drugo sredstvo ili se vraća natrag u štap: tada dolazi do djelomične ili potpune refleksije longitudinalnog vala pomaka na kraju štapa.

Ako je na kraju štapa vakuum, val se ne može dalje prenijeti (jer nema sredstva) te dolazi do totalne refleksije vala i energije u savršeno elastičnom štapu.

Razlikujemo dva granična slučaja refleksije: a) kraj štapa je slobodan b) kraj štapa je nepomičan.

Refleksija longitudinalnog vala pomaka na slobodnom kraju

Neka je štap položen uzduž osi x tako da je slobodan kraj štapa smješten u ishodištu.

Na slobodnom kraju, dok traje refleksija, čestice (sloj) štapa će biti podvrgnute obim gibanjima, pa će pomak na slobodnom kraju biti:

1

2

( )

( )

u vt x upadni val

u f vt x reflektirani val

ϕ= += −

( ) ( )u f vt x vt xϕ= − + +Rubni uvjet - kako na slobodni kraj ne djeluje izvana nikakva sila, tanki krajnji sloj nije deformiran (∆∆∆∆u = 0), pa vrijedi:

0u

x

∂ =∂

Refleksija longitudinalnog vala pomaka na slobodnom kraju 2

U ishodištu, x = 0 �

Na rubu štapa, gdje se dogaña refleksija, f = ϕϕϕϕ

0u

x

∂ =∂

'( ) '( )u

f vt x vt xx

ϕ∂ = − − + +∂

'( ) '( )f vt vtϕ=

Pri refleksiji na slobodnom kraju oblik vala ostaje nepromijenjen.

1

2

( )

( )

u vt x upadni val

u vt x reflektirani val

ϕϕ

= += −

1 '( )u

vt xx

ϕ∂ = +∂

2 '( )u

vt xx

ϕ∂ = − −∂0

u

x

∂ >∂

0u

x

∂ <∂

povećanje volumena ili dilatacija

zgušnjenje ili kompresija

Dilatacija se reflektira na slobodnom kraju u kompresiju i obratno.


Primjer: Elastična zavojnica � Upadni longitudinalni val, koji dolazi na kraj zavojnice kao razrjeñenje (lokalno izduženje), odbija se na desnom slobodnom kraju (x = 0) kao zgušnjenje.


Refleksija longitudinalnog vala na jednom kraju nakon što se na drugom kraju zavojnice udarom ruke izazove upadni val (poremećaj).

Pokus: Weinholdova zavojnica -čelična spiralna zavojnica, opterećena olovnim kuglicama i obješena na dva niza niti


upadni val

reflektirani val

1

2

cos 2

cos 2

t xu A

T

t xu A

T

πλ

πλ

= +

= −

Upadni i odbijeni sinusni val imaju istu fazu u ravnini refleksije(ta ravnina prolazi ishodištem i okomita je na os x).

Zaključak: Za sinusni longitudinalni val, pri refleksiji vala na slobodnom kraju, nema promjene u fazi.

1( 0)

2( 0)

cos 2

cos 2

x

x

tu A

T

tu A

T

π

π

=

=

=

=

Refleksija longitudinalnog vala pomaka na nepomičnom kraju štapa

Nakon refleksije na nepomičnom kraju funkcija vala ostaje ista, ali mijenja predznak (skok u fazi za π), tj. vrijedi f = - ϕϕϕϕ:

Nepomičan kraj � Energija upadnog vala ne može se prenijeti preko kraja štapa jer je kraj učvršćen, ne može se pomicati. � refleksija

0 ( ) ( ) 0xu f vt x vt xϕ= = − + + =Rubni uvjeti: u = 0, za x = 0 (pomak sloja na kraju štapa u ishodištu)

0 0( ) ( )x xf vt vtϕ= == −

( ) ( )u vt x vt xϕ ϕ= + − −

Uz oznake: 1

2

( )

( )

u vt x

u vt x

ϕϕ

= += − −

[ ]

1

2

'( )

'( ) '( )

uvt x

xu

vt x vt xx

ϕ

ϕ ϕ

∂ = +∂∂ = − − − = −∂Za x = 0 1 2u u

x x

∂ ∂=∂ ∂

Na nepomičnom kraju štapa kompresiji (zgušnjenju) upadnog vala nakon refleksije odgovara kompresija odbijenog vala, odnosno dilatacija (izduženje) upadnog vala daje dilataciju odbijenog vala.

Refleksija longitudinalnog vala pomaka na nepomičnom kraju štapa 2

Pokus: Jedan kraj Weinholdove zavojnice pričvrstimo (npr. hvataljkom na stalku), a na drugom kraju zavojnice rukom se izvodi poremećaj; ovaj se prenosi kao longitudinalni val i na nepomičnom kraju zavojnice se zapaža kako je jednako zgušnjenje, odnosno dilatacija, kod upadnog i odbijenog vala.

Značenje promjene predznaka valne funkcije (uz rubni uvjet) za sinusni val?

1

2

( )

( )

u vt x

u vt x

ϕϕ

= += − −

1

2

cos 2

cos 2

t xu A

T

t xu A

T

πλ

π πλ

= +

= − −

Ima značenje skoka u faziza π nakon refleksije. (Kada se za funkcije sinus i cosinus kut npr. iz prvog kvadranta poveća za π ili 180 o , onda funkcija zadržava istu vrijednost, ali sa suprotnim predznakom.)

Stojni longitudinalni valovi

Do sada:- promatrali smo uglavnom kratkotrajne valove, pomake ili pulseve- refleksiju na kraju štapa gledamo kao superpoziciju dva gibanja

Promatramo dva ravna longitudinalna sinusna vala jednakih perioda i amplituda, jednakih brzina po iznosu ali suprotnog smjera u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu. Neka se valovi gibaju po osi x; ishodište sustava odabiremo u točki gdje su obje faze jednake. �

upadni val

reflektirani val

1

2

cos 2

cos 2

t xu A

T

t xu A

T

πλ

πλ

= +

= −

Superpozicija daje:

1 2

cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2

u u u

t x t x t x t xA

T T T Tπ π π π π π π π

λ λ λ λ

= + =

− + +

Stojni longitudinalni valovi2

Rezultantno gibanje � Produkt dviju cosinusnih funkcija od kojih jedna faza ovisi samo o prostorua druga samo o vremenu.

Simbolički pišemo:

1 2

cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2

u u u

t x t x t x t xA

T T T Tπ π π π π π π π

λ λ λ λ

= + =

− + +

1 2 2 cos 2 cos 2x t

u u u AT

π πλ

= + =

1 2 cosu u u a tω= + =

gdje amplituda pomaka a ovisi samo o apscisix : 2 cos 2x

a A πλ

=

Sve točke u sredstvu imaju istu vremensku fazu ωωωωt 2t

tT

ω π=

Ovakvu vrstu gibanja, zovemo stojnim (ili stacionarnim) valom, s pripadnom valnom funkcijomu.


Prikaz valne funkcije stojnog vala u zavisnosti o položaju x u dva trenutka gibanja t1 i t2 :


u u u AT

π πλ

= + = 1 2 cosu u u a tω= + =

anvelopa (ovojnica amplituda)

Najveća amplituda pomaka a?

Iznos jeao = 2A , i pojavljuje se u točkama gdje je cos(2ππππx/λλλλ) = 1, tj. gdje je 2ππππx/λ=λ=λ=λ=kπ π π π ili x = kλλλλ/2 (k = 0,1, 2, ...);

Tr = trbusi stojnog vala (mjesta najvećih amplituda)

Točke trbuha su meñusobno udaljene za prostorni poluperiodλλλλ/2.



u u u AT

π πλ

= + = 1 2 cosu u u a tω= + =

Č = čvorovi stojnog vala (mjesta na kojima su pomaci stalno nula)

Najmanje amplitude su jednake nuli, a pojavljuju se u točkama gdje je: cos(2ππππx/λλλλ) = 0, tj. gdje je 2ππππx/λ=(2λ=(2λ=(2λ=(2k+1)π/2 π/2 π/2 π/2 ili x = (2k+1)λλλλ/4

λλλλs = Prostorni period stojnog vala (npr. udaljenost izmeñu dva susjedna čvora) jednak je polovici perioda progresivnog vala λλλλ.

Progresivni val - poremećaj se širi u elastičnom sredstvuStojni val -čestice sredstva ostaju trajno u svom stanju titranja


Primjer: Upadni progresivni val reflektira se na kraju sredstva i zbroji s dolazećim upadnim valom.

Stojni val – nastaje kao zbroj (interferencija) dvaju valova jednake amplitude i jednake valne duljine, koji na istom pravcu putuju jedan nasuprot drugom.

Primjer: Refleksija na nepomičnom kraju štapa

nepomičan kraj � mora biti čvor stojnog vala (čvor ima nultu amplitudu, tj. nema pomaka, pa vrijedi: u = u1 + u2 = 0)


Primjer: Refleksija na slobodnom kraju štapa

slobodan kraj � mora biti trbuh stojnog vala

Zaključak: Štap ne može titrati proizvoljnim frekvencijama. Štap može titrati samo strogo odreñenim frekevencijama.

Longitudinalno titranje štapa duljine L

Na krajevima štapa � valovi se reflektiraju � nastaje sinusni stojni(stacionarni) val

štap � pobudimo ga nizom impulsa harmoničke sile u longitudinalnom smislu, tj. uzdužno, � u štapu će se pojaviti sinusni val pomaka

Način titranja zavisit će o tome jesu li krajevi štapa slobodni ili učvršćeni

Frekvencije slobodnog titranja štapa su diskretne; moguće su samo neke frekvencije (ovisno o rubnim uvjetima na oba kraja štapa).


� na krajevima štapa moraju biti trbusi (izmeñu kojih se nalaze čvorovi pomaka).

1. Slučaj - oba kraja štapa su slobodna:

Broj čvorova odreñuje frekvencije titranja:

a) Izmeñu trbuha samo 1 čvor. � Na duljinu štapa stane samo pola valne duljine, tjL = λλλλ/2� λ = 2λ = 2λ = 2λ = 2L

Koristimo vezu valne duljine, brzine i frekvencije λνλνλνλν = v �

1

2v

Lλν

= =1

1

2 2

v E

L Lν

ρ= =

v1 = najmanja frekvencija kojom štap može slobodno titrati; tzv. osnovna frekvencijapromatranog sustava (štapa), ili prvi harmonik.




Broj čvorova odreñuje frekvencije titranja:

b) Izmeñu trbuha ubacimo 2 čvora. � Na duljinu štapa stane cijela valna duljina, tjL = λλλλ �


2

vLλ

ν= =

2

1

2

v E

L Lν

ρ= =

v2 = prva viša harmonična frekvencija, ili drugi harmonik.




c) Izmeñu trbuha stavimo 3 čvora. � Na duljinu štapa stane 1,5 valne duljine, tjL = 3λλλλ/2� λ = 2λ = 2λ = 2λ = 2L/3


3

2

3

v Lλν

= =3

3 3

2 2

v E

L Lν

ρ= =

Nakon trećeg harmonika slično bi dobili četvrti, itd.

Za harmonike vrijedi odnos:

Frekvencije s kojima može titrati slobodan štap odnose se kao cijeli brojevi.

1

; 1,2,3,...k k kνν

= =


� na krajevima štapa moraju biti čvorovi (izmeñu kojih može biti jedan ili više trbuha pomaka.)

2. slučaj - oba kraja štapa su nepomična


1

2v

Lλν

= =1

1

2 2

v E

L Lν

ρ= =

a) Izmeñu čvorova samo 1 trbuh. � Na duljinu štapa stane samo pola valne duljine, tjL = λλλλ/2� λ = 2λ = 2λ = 2λ = 2L

Nakon prvog harmonika slično bi dobili drugi, treći, itd.


� na slobodnom kraju štapa mora biti trbuh, a na krutom kraju čvor �

3. slučaj – jedan kraj štapa je nepomičan, drugi slobodan

1

4v

Lλν

= =1

1

4 4

v E

L Lν

ρ= =

a) Izmeñu krajeva štapa nema ni trbuha ni čvora � Na duljinu štapa stane samo četvrtina valne duljine, tjL = λλλλ/4� λ = 4λ = 4λ = 4λ = 4L

v1 = najmanja frekvencija kojom štap može slobodno titrati; tzv. osnovna frekvencijapromatranog sustava (štapa), ili prvi harmonik.


� na slobodnom kraju štapa mora biti trbuh, a na krutom kraju čvor �

3. slučaj – jedan kraj štapa je nepomičan, drugi slobodan

2

4

3

v Lλν

= =2

3 3

4 4

v E

L Lν

ρ= =

b) Izmeñu krajeva štapa jedan čvor i jedan trbuh � Na duljinu štapa stane tri četvrtine valne duljine, tjL = 3λλλλ/4� λ = 4λ = 4λ = 4λ = 4L/3

Slično se dobiju frekvencije samo neparnih harmonika te vrijede odnosi: 1

2 1 ; 1,2,3,...k k kνν

= − =

Transverzalni valovi

Promatramo savršeno elastičnu nit (žicu), zanemarive težine, u stanju ravnoteže. Žicu pravocrtno zateže napetost.

Pod utjecajem vanjskih sila (npr. udarac), nit (žica ) se može deformirati.

Promatramo mali element niti � udarac (okomit na nit) � transverzalni pomak na niti

Promatramo mali pomak, tako da se napetost niti N ne mijenja � kut žice prema osi x (na kojoj leži nit) je tada mali.

Transverzalni valovi 2

sin

cosy

x

N N

N N

αα

=

=

Povećamo ∆x:

Silu napetosti niti rastavljamo na longitudinalnu i transverzalnu komponentu: na prvom kraju elementa za komponente vrijede sljedeći odnosi:

Za vrlo mali kut αααα, vrijede odnosi:

cos 1

sinxN N

tg

α

α α

≈≈

≈

definicija derivacije:

dytg

dxα = sin

dy

dxα⇒ =


sin

cos

y

x

N N

N N

αα

=

=

Pretpostavljamo da nema pomaka u longitudinalnom smjeru (∆∆∆∆Nx=0).

sindy

dxα =

y

dyN N

dx=

Računamo rezultantu sile u transverzalnom smjeru (okomito na žicu):Na prvom kraju elementa niti transverzalna sila je Ny (usmjerena prema dolje), a na drugom kraju elementa transverzalna sila je: Ny +∆∆∆∆Ny (prema gore) � Rezultantna transverzalna sila je ∆∆∆∆Ny.

Kako naći ∆∆∆∆Ny ? Diferenciranjem gornjeg izraza!


Uvodimo veličinu linearna gustoća mase (masa po jedinici duljine):

y

dyN N

dx=

2. Newtonov zakon � Diferencijal transverzalne sile jednak je umnošku diferencijala mase i transverzalnog ubrzanja elementa niti (koje je po definiciji druga derivacija puta po vremenu):

ydN d dyN

dx dx dx =

2

2y

d ydN N dx

dx=

dm

dxµ =

y ydN dma=2

2y

d ydN dm

dt=

2 2

2 2

d y d yN dx dm

dx dt=

2 2

2 2

d y d yN dx dx

dx dtµ=

2 2

2 2

y N y

t xµ∂ ∂=∂ ∂

Diferencijalna jednadžba drugog reda za transverzalno valno gibanje.


Dimenzija N/µ µ µ µ ?

22 2

/ /

N N kgmsm s

kg m kg mµ

−−

= = =

Isti oblik kao i kod longitudinalnog titranja. �

2 2

2 2

y N y

t xµ∂ ∂=∂ ∂

2 22

2 2

y yv

t x

∂ ∂=∂ ∂

Rješenje jednadžbe za y (transverzalni pomak elementa niti ili čestice elastičnog sredstva) je funkcija poznatog oblika:

( ) ( )y f vt x vt xϕ= − + +Uzimamo takoñer oznake, slično prethodnima:

1 ( )y f vt x= − 2 ( )y vt xϕ= + 1 2y y y= +

y1 - funkcija vala koji se širi u pozitivnom smjeru osi xy2 - funkcija vala koji se širi u negativnom smjeru osi x


Slično, kao u prethodnom poglavlju, rješenja:

2 22

2 2

y yv

t x

∂ ∂=∂ ∂

Slikovita usporedba longitudinalnih i transverzalnih pomaka slojeva u elastičnom sredstvu:

( ) ( )y f vt x vt xϕ= − + + 1 ( )y f vt x= − 2 ( )y vt xϕ= +

1

2

cos 2

cos 2

t xy A

T

t xy A

T

πλ

πλ

= −

= +

Refleksija transverzalnog vala

Slično, kao u prethodnom poglavlju, za refleksiju transverzalnog pulsa na nepomičnom kraju,općenito vrijedi takoñer rubni uvjet: y = 0�

f = -ϕϕϕϕRefleksija transverzalnog vala zbiva se uz promjenu predznaka valne funkcije.

Pokus –Transverzalni puls na napetoj gumenoj cijevi na nepomičnom kraju daje odbijeni val s amplitudom protivnog predznaka upadnom valu.

http://www.kettering.edu/physics/drussell/Demos/reflect/reflect.html

Refleksija na nepomičnom kraju:-reflektirani puls je invertiran, ali ne mijenja oblik-3. Newtonov zakon: uže djeluje silom prema gore na zid, a zid djeluje na uže jednakom silom prema dolje → inverzija pulsa

Refleksija na slobodnom kraju:-reflektirani puls nije invertiran i ne mijenja svoj oblik-upadni puls podiže prsten prema gore, napinje uže i zatim ga elastična sila povlači dolje;

tanje uže → deblje uže-dio energije upadnog pulsa/vala se reflektira, a dio se prenosi (transmitira)-reflektirani puls/val je invertiran (π)-vrijedi ZOE: Eu=Er+Et-amplitude reflektiranog i transmitiranogvala manje su od upadnog

deblje uže → tanje uže-dio energije upadnog pulsa/vala se reflektira, a dio se prenosi (transmitira)-reflektirani puls/val nije invertiran -vrijedi ZOE: Eu=Er+Et-amplitude reflektiranog i transmitiranogvala manje su od upadnog

Transverzalni stojni sinusni valovi

- nastaju pribrajanjem (superpozicijom) valnih gibanja, kao za valne funkcije iz jednadžbi y = y1 + y2 (npr. upadni i odbijeni kosinusni val).

2 22 cos cos

x ty A

T

π πλ

=

Kao kog longitudinalnih valova, razvijanjem funkcija kosinus dobije se već poznati oblik rezultantnog stojnog vala:

a = amplituda stojnog vala

Transverzalni stojni sinusni valovi2

Primjer transverzalnih stojnih valova: titranje napete žice

žica učvršćena na oba kraja � čvorovi

a) samo jedan trbuh i dva čvora �

1

2v

Lλν

= = 1

1

2 2

v N

L Lν

µ= =

b) dva trbuha i tri čvora � daju drugi harmonik:

2

vLλ

ν= = 2 1

12

v N

L Lν ν

µ= = =

Za tri trbuha na žici slično dobijemo frekvenciju trećeg harmonika.

Zaključak: Harmonici čine potpuni niz cijelih brojeva, što se naziva i Galileijevzakon za žice koje titraju: ννννk = kνννν1; k=1,2,3,…

Transverzalni stojni sinusni valovi3

Pokus– Promatramo titranja napete žice koja je na jednom kraju učvršćena, a na drugom kraju je preko koloture obješen uteg koji odreñuje napetost žice. Ako ugodimo osnovnu frekvenciju ili više harmonike za danu dužinu cijevi, pojavljuju se transverzalni stojni valovi (stacionarni, stalni čvorovi i trbusi na cijevi); ako uzbudna frekvencija ne odgovara niti jednom harmoniku, ne dolazi do formiranja stojnih valova.

Energija vala-širenjem kroz sredstvo valovi prenose energiju-promotrimo uteg obješen na užetu: nailaskom vala njegova gravitacijska potencijalna energija raste

-promotrimo dio užeta duljine ∆x i mase ∆m:giba se vertikalno harmonički istom amplitudom A i frekvencijom ω

-kinetička energija: ∆m=µ∆x

-za t = 0

-integracija prethodnog izraza po valnoj duljini λ:

-kinetička i potencijalna energija unutar užeta duljine l=λ

-ukupna energija u jednojvalnojduljini vala:

-snaga vala = energija koja proñe kroz neku točku užeta u jednom periodu

-proporcionalno kvadratu frekvencije i amplitude te brzini vala

Složena titranja elastičnog sredstva

Do sada: � uzbudimo sustav, npr. napetu čeličnu žicu ili gumenu cijev, na jednom kraju � nastane transverzalni stojni val

Što se dogaña ako i na drugom kraju istovremeno uzbudimo sustav, npr. na neki drugi harmonik? �

Primjer: Najjednostavniji slučaj nastupa kad je sustav pobuñen na prvi i drugi harmonik.

Stvori se poremećaj koji odgovara zbroju transverzalnih pomakay1 i y2stojnih valova danog sustava (žice).

1 11 1

2 22 2

2 22 cos cos

2 22 cos cos

x ty A

T

x ty A

T

π πλπ πλ

=

=

1 2

1 21 1 2 2

2 2 2 22 cos cos +2 cos cos

y y y

x t x tA A

T T

π π π πλ λ

= + =

Složena titranja elastičnog sredstva2

Općenito: Titranje sustava može biti puno složenije od navedenog primjera s dva harmonika; (npr. elastični štapovi mogu titrati i transverzalno kada su pričvršćeni na jednom kraju; titranje elastične tanke ploče ili membrane promatra se u dvije dimenzije, i dr.)

Periodična složena valna gibanja možemo uglavnom uspješno prikazati kao zbroj harmoničkih valova, što se izvodi postupkom harmoničke ili Fourierove analize.

0

0

1( )

T

a f t dtT

= ∫

Fourierova se analiza izvodi za periodične funkcije tako da se neka funkcija f(t), s periodom T, rastavi u zbroj sinusnih i kosinusnih funkcija. Naime, periodična funkcija f(t) = f(t + T) može se prikazati pomoću beskonačnog Fourierovog reda, kako slijedi:

f(t) = ao + a1cosωt + a2 cos 2ωt + ... + am cos mωt + ...+ bo + b1 sinωt + b2 sin 2ωt + + bn sin nωt + ...

0

2( )cos

T

ma f t m t dtT

ω= ∫0

2( )sin

T

nb f t n t dtT

ω= ∫

Složena titranja elastičnog sredstva3

0

0

1( )

T

a f t dtT

= ∫

Primjer. Zadana je periodična funkcija: f(t) = 1 , za 0 < t < T/2 ; f(t) = -1 , za T/2 < t < T. Aproksimirajmo je pomoću Fourierove analize.

0

2( )cos

T

ma f t m t dtT

ω= ∫0

2( )sin

T

nb f t n t dtT

ω= ∫

[ ]/ 2

0

0 / 2

1( ) 0

T T

T

a dt dtT

= + − =∫ ∫ [ ]/ 2

1

0 / 2

2cos ( cos ) 0

T T

T

a t dt t dtT

ω ω= + − =∫ ∫

[ ]/ 2

1

0 / 2

2sin ( sin 4 /

T T

T

b t dt t dtT

ω ω π= + − =∫ ∫

…� koeficijenti am iščezavaju, kao i parni koeficijenti b, dok su neparni: b3 = 4/3, b5 = 4/5, ..., itd

4 1 1( ) sin sin 3 sin 5 ...

3 5f t t t tω ω ω

π = + + +

2

T

πω =

1 2 3 4 5 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0Sin@xD,1ê3Sin@3xD,1ê5Sin@5xD

1 2 3 4 5 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Sin@xD+1ê3Sin@3xDD

1 2 3 4 5 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Sin@xD+1ê3Sin@3xD+1ê5Sin@5xD

Wolfram, Mathematica 7.0

InterferencijaHuygensov principOgib ili difrakcijaRefleksijaLomDopplerova pojava (efekt)Grupna i fazna brzina

Pojave pri širenju valova

Interferencija

valne linije = linije koje povezuju točke iste faze vala (2D-val)valne plohe = geometrijske točke (plohe) vala koje imaju istu fazu (3D-val)

valovi na vodi, 2 izvora

-promatramo valove koji dolaze od 2 izvora – rezultantno gibanje = superpozicijadvaju valnih gibanja: svaka čestica sredstva vrši dvostruko gibanje – od oba vala, a superpozicija daje konačni rezultat – interferencija-na mjestima gdje se susreću valovi u fazi, dolazi do pojačanja rezultantnog vala (konstruktivna interferencija), a na mjestima gdje su valovi u protufazi, dolazi do smanjenja rezultantnog vala (destruktivna interferencija); ako su valovi iste amplitude, onda je rezultantni val na mjestu destruktivne interferencije = 0; čvornelinije-koherentni izvori – izvori koji titraju s konstantnom razlikom u fazi

Huygensov princip

-elementarni val = valno gibanje koje se širi iz jednog točkastog izvora (kugla-3D, kružnica-2D)-valna fronta (čelo vala) = valno gibanje koje nastaje interferencijom skupa elementarnih valova -Huygensov princip (1678.) = opisuje način kako se iz elementarnih valova dobije valna fronta:Svaku točku valne fronte možemo smatrati izvorom novog elementarnog vala. Val koji rezultira iz interferencije svih elementarnih valova iz svih točaka tog originalnog vala identičan je s originalnim valom.-vrijedi za svako valno gibanje: zvuk, svjetlost,...; opisuje ogib, refleksiju, lom, širenje valova iza zapreke,...

t=0

t=0

t=∆t

t=∆t

Ogib ili difrakcija

-prolazak valova kroz pukotinu, širenje vala iza zapreke, zakretanje valova “iza ugla”-očituje se samo i isključivo kod pojava valne prirode –kriterij je li pojava valne prirode ili ne

Refleksija valova

A B C

A’

A’’

B’

C’’

α βvaln

a fro

nta

AA’A

’’

nova valna fronta AA’A’’

-valna fronta AA’A’’ i BB’-kuglasti valovi (Huygensov princip) u A i B-nova valna fronta = envelopa elementarnih kuglastih valova; tangenta kroz C-sukladnost trokuta ACA’’ i ACC’’ (AC-zajednička stranica, AC’’ i CA’’ su jednake stranice, kutovi kod A’’ i C’’ su pravi) → kutovi kod A i C su jednaki → αi β su jednaki

kut upada = kutu refleksije

Lom (refrakcija) valova

-kada val dospije na granicu dvaju sredstava u kojima se širi različitim brzinama-Huygensov princip

u1

u2

α

βA

A’A’’

B CC’

C’’

u1>u2

A’’C = u1t; AC’’ = u2t

( )

2

1

2

1

''

''

sin

sin

''sin

sin''

90cos

u

u

tu

tu

AC

CAAC

ACAC

CA

===

=

==−

βα

β

αα

-Snellov zakon loma; vrijedi za svako valno gibanje

Dopplerova pojava

http://www.kettering.edu/physics/drussell/Demos/doppler/doppler.html

00'

vv

vvff p

±±

=f0=frekvencija izvorav=brzina valova u sredstvuvp=brzina promatračav0=brzina izvorapredznak ovisi o dogovoru: ako se izvor i promatračpribližavaju, f’>f0 , a ako se udaljavaju f’<f0

izvor i promatrač miruju, f’=f0 izvor se giba

f’>f0f’<f0

-izvor se giba brzinom valova u sredstvu

-izvor se giba brzinom većom od brzine valova u sredstvu

Grupna i fazna brzina

-fazna brzina = brzina kojom se prostorom širi faza vala (valna fronta)

kv f

ω=

-grupna brzina = brzina kojom se kroz medij giba puls sastavljen od zbroja monokromatskih valova različitih frekvencija

g

dv

dk

ω=

-u disperzivnom mediju vg ≠ vf; vg ovisi o frekvenciji (valnoj duljini) vala -informacija se prenosi grupnom brzinom (manjom od c);

Documents

Valovi i optika - UNIOS