Valutazione della dose assorbita dal paziente in

Universita degli studi di TrentoFACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea in Fisica e Tecnologie Biomediche

Daniele Ravanelli

Valutazione della dose assorbita dalpaziente in radiologia digitale:

sviluppo di un modello fisico basatosull’imaging digitale

Tesi di Laurea Specialistica

Sessione Dicembre 2008

Anno Accademico 2007/2008

2

Universita degli studi di TrentoFACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea in Fisica e Tecnologie Biomediche

Valutazione della dose assorbita dal paziente in radiologiadigitale:

sviluppo di un modello fisico basato sull’imaging digitale

Relatori:

Prof.Aldo Valentini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prof.Renzo Antolini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Laureando:Daniele Ravanelli

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sessione Dicembre 2008

Anno Accademico 2007/2008

Parole chiave: Digital Radiology, X-Ray Imaging Simulation, Ray-tracing,Grafica 3D, Dose efficace, Dose assorbita, Scattering Compton, Scattering Ray-leigh

2

Indice

1 Introduzione 3

2 Aspetto Legislativo legato alle Radiazioni Ionizzanti 5

3 Raggi-X 73.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Radiazioni Ionizzanti e Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2 Grandezze Radiometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Interazioni delle radiazioni indirettamente ionizzanti . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.1 Il Coefficiente di Attenuazione Lineare ed Attenuazione Esponenziale . . 11

4 La Fisica dell’Interazione Radiazione-Materia 134.1 Effetto Fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Scattering Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.1 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Rayleigh . . . . . . . . . 184.3 Scattering Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.1 La Probabilita di collisione Compton: la formula di Klein-Nishina . . . 214.3.2 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Compton . . . . . . . . 23

4.4 Produzione di Coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Attenuazione di un fascio di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6 I coefficienti d’interazione usati in dosimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Dosimetria 315.1 Le Condizioni di Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 L’Energia Impartita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 La Dose Assorbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.4 Il calcolo della Dose Assorbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.5 Il Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.6 La Dose Assorbita e il Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.7 La Misura della Dose Assorbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.8 Dose-Area Product DPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.8.1 Valutazione della dose agli organi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Rischio Radiologico e Dati di Interesse 436.1 Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente ed Efficace . . . . . . . . . . . 436.2 Valutazione del Rischio Stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 INDICE

7 Produzione di Raggi-X in radiologia 517.1 Tubo a Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.2 Anodo e Catodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.3 Spettro dei Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.3.1 Interazione degli elettroni con il target . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.3.2 Radiazione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.3.3 Radiazione Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3.4 Distribuzione Angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8 Radiologia Digitale 618.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 Computed Radiography (CR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2.1 Il Plate PSP (Photostimulable Storage Phosphor) . . . . . . . . . . . . 638.2.2 Scanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.3 Digital Radiography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.3.1 Sistema Indiretto a Fotodiodi CsI(Tl)-a-Si . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.3.2 Sistema Diretto con Fotocatodo a-Se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9 Modello Analitico del Software 739.1 Modello Fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.1.1 Simulazione della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.1.2 Simulazione dello Scatter al Primo Ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.1.3 Simulazione dello Scatter Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.2 Simulazione della Sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.2.1 Caratterizzazione dell’Output dell’Apparecchio Radiologico . . . . . . . 849.2.2 Generazione degli Spettri per un Apparecchio Radiologico . . . . . . . . 84

9.3 Simulazione del Fascio di Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.4 Simulazione del Detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.5 Simulazione del Fantoccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.6 Simulazione Dosimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.6.1 Legge dell’Inverso del Quadrato delle Distanze . . . . . . . . . . . . . . 909.6.2 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro monoenergetico . . . . . . 929.6.3 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro polienergetico . . . . . . . 939.6.4 Contributo della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.6.5 Contributo della Radiazione Diffusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10 Descrizione del Software 10310.1 Dati Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310.2 Elaborazione Dati Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.3 Dati Output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11 Validazione del Software con Tomografia Assiale Computerizzata 11311.1 Simulazione della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.2 Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Ordine . . . . . . . . . . . . . . 121

11.2.1 Scattering di un singolo Voxel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.2.2 Contributo dello Scattering al Primo Ordine nell’imaging di trasmissione 123

11.3 Simulazione della Radiazione Diffusa Multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.3.1 Inferenza Statistica sui parametri stimati . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

12 Applicazione Pratica 13312.0.2 Misure Sperimentali Necessarie allo Sviluppo del Software . . . . . . . . 13312.0.3 Applicazione pratica del Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13512.0.4 Inferenza Statistica sui parametri stimati . . . . . . . . . . . . . . . . . 13912.0.5 Considerazioni Energetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

13 Conclusioni 143

INDICE 3

A Elementi di Geometria Vettoriale e Ray-Tracing 151A.1 Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A.2 Rotazioni nello Spazio 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156A.3 Equazioni di Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.3.1 Equazioni Parametriche di Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159A.4 Operazioni con Piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161A.5 Operazioni con Rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165A.6 Intersezioni tra Retta e Oggetti Geometrici (Ray-Tracing) . . . . . . . . . . . . 166

B Grafica 3D con DirectX 8.0 173B.1 DirectX 8.0 SDK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173B.2 Grafica 3D con DirectX 8.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

B.2.1 Appunti di Geometria: coordinate omogenee . . . . . . . . . . . . . . . 176B.2.2 World Matrix e Trasformazione dei Vertici . . . . . . . . . . . . . . . . . 177B.2.3 View Matrix e View Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179B.2.4 Projection Matrix e Camera Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

B.3 Grafica 3D Interattiva con DirectX 8.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

C Calcolo Analitico dello Scatter al Primo Ordine 187

D Regressione Lineare Multipla ed Inferenza Statistica 193

E Immagini delle Simulazioni 197E.1 Immagini delle varie tipologie di fantoccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197E.2 Immagini delle varie tipologie del rivelatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202E.3 Immagini delle varie tipologie di calcolo di simulazione . . . . . . . . . . . . . . 205

F Tabella dei Dati necessari al funzionamento del Software 209

Bibliografia 217

Capitolo 1Introduzione

La valutazione della dose assorbita dal paziente, nella diagnosi e terapia medica, e uno degliobiettivi della Fisica Sanitaria al fine di assicurarne la radioprotezione o la maggior probabilita dieffetti terapeutici.Questa esigenza oggi e ancor piu necessaria, viste le nuove direttive europee recepite anche da legginazionali (D.Lgs. 187/2000) che impongono la stima della dose efficace relativa al paziente.In radioterapia le valutazioni di dose assorbita sono supportate da lunga esperienza, modelli edalgoritmi di calcolo affidabili, a partire da determinazioni sperimentali delle caratteristiche di distri-buzione dei fasci radianti in mezzi omogenei.Per quanto riguarda la valutazione della dose nell’ambito diagnostico ci si limita generalmente allastima della dose in ingresso partendo da misure o calcoli effettuati su fascio radiante primario.L’avvento della nuova tecnologia digitale - Computed Radiography (CR) e Direct Radiology (DR) -permette ora di gestire in modo informatizzato l’immagine generata, ovvero i valori di trasmissionedella radiazione attraverso il paziente, misurati pixel per pixel.Obiettivo della tesi e quello di sviluppare un software basato su un modello fisico, al fine di potervalutare la dose assorbita a partire dalle letture (pixel values) ottenute dai sistemi digitali diagno-stici. Si dovra affrontare la problematica teorica dell’interazione della radiazione con la materia, lasua scomposizione in componente trasmessa diretta e componente diffusa che a sua volta in partepuo contribuire all’immagine e in parte non essere rilevata.In una prima fase verra affrontato il problema della simulazione di un fascio radiante utilizzandostrumenti informatici come l’ambiente Visual Basic 6.0 e strumenti analitici quali geometria vetto-riale, tecniche di ray-tracing e grafica 3D.Allo scopo di validare il modello utilizzato con dati presenti in letteratura, si determineranno delleimmagini radiologiche relative a fantocci omogenei in tomografia assiale computerizzata (TAC).Si analizzera approfonditamente la generazione di un fascio radiante e i parametri ad essa connessi,come verra poi studiato a fondo anche il fenomeno della rilevazione della radiazione.Constatata la bonta del modello, infine si passera all’applicazione del software creato. Si analiz-zeranno poi gli effetti che il fascio radiante genera nel corpo umano, al fine di stimare il rischioradiologico di induzione tumorale.La valutazione della dose al paziente non deve essere vista come una procedura volta ad una preci-sione estrema, ma deve essere messa in pratica con metodi semplici e affidabili che permettano diraggiungere l’ottimizzazione degli esami radiologici, la diminuzione della dose data alla popolazionee la valutazione corretta dei rischi connessi all’esposizione medica.

6 Introduzione

Capitolo 2Aspetto Legislativo legato alleRadiazioni Ionizzanti

Si riporta di seguito quanto concerne l’attuale legislazione in materia di radiazioni ionizzanti;vengono mostrati i principi base e le leggi a cui l’esperto in Fisica Medica deve ottemperare.

Il Decreto Legislativo del 26 Maggio 2000, n.187 impone l’attuazione della direttiva 43/97/EU-RATOM riguardante la protezione sanitaria delle persone contro i pericoli delle radiazioniionizzanti connesse ad esposizioni mediche. In particolare tali direttive attuano una serie diprincipi che sono recepiti dalle raccomandazioni internazionali della International Commissionon Radiological Protection (ICRP):

• Articolo 3: (Comma 1)(Principio di giustificazione) E vietata l’esposizione non giusti-ficata. Le esposizione mediche . . . devono mostrare di essere sufficientemente efficacimediante la valutazione dei potenziali vantaggi diagnostici o terapeutici complessivi daesse prodotti, inclusi i benefici diretti per la salute, della persona e della collettivita,rispetto al danno alla persona, che l’esposizione potrebbe causare, tenendo conto dell’ef-ficacia dei vantaggi e dei rischi di tecniche alternative disponibili, che si propongono lostesso obiettivo, ma che non comportano un’esposizione, ovvero comportano una minoreesposizione alle radiazioni ionizzanti.

• Articolo 4: (Comma 1)(Principio di Ottimizzazione) Tutte le dosi dovute ad esposizionimediche per scopi radiologici . . . ad eccezione delle procedure radioterapeutiche devonoessere mantenute al livello piu basso ragionevolmente ottenibile e compatibile con il rag-giungimento dell’informazione diagnostica richiesta, tenendo conto dei fattori economicie sociali (principio noto anche come ALARA, ovvero As Low As Reasonably Achievable).

• Articolo 4: (Comma 3) Ai fini dell’ottimizzazione dell’esecuzione degli esami radiodia-gnostici, si deve tener conto dei Livelli Diagnostici di Riferimento (LDR) secondo le lineeguida indicate nell’allegato II . . .

A questo scopo il Servizio di Fisica Sanitaria attua delle misurazioni sul fascio radiante iningresso al paziente per assicurare che i valori relativi al fascio radiante siano entro i limitidettati dai LDR. Tuttavia dato che nessuna esposizione a radiazioni ionizzanti e priva di rischiodi induzione di tumori, anche a valori molto bassi di esposizione, il decreto legislativo obbligail responsabile dell’impianto ad una valutazione della dose data al paziente:

• Articolo 4:(Comma 1). . . Il principio di ottimizzazione riguarda la scelta delle attrezzatu-re, la produzione di un’informazione diagnostica appropriata o del risultato terapeutico,

8 Aspetto Legislativo legato alle Radiazioni Ionizzanti

la delega degli aspetti pratici, nonche i programmi per la garanzia di qualita, inclusi ilcontrollo della qualita dell’esame e la valutazione delle dosi o delle attivita somministrateal paziente.

• Articolo 7: (Comma 5) Le attivita dell’esperto in fisica medica sono quelle dirette pre-valentemente alla valutazione preventiva, ottimizzazione e verifica delle dose impartitenelle esposizioni mediche, nonche ai controlli di qualita degli impianti radiologici . . .

• Articolo 8: (Comma 2) Il responsabile dell’impianto radiologico, avvalendosi dell’espertoin fisica medica, provvede a che siano intrapresi adeguati programmi di garanzia dellaqualita, compreso il controllo di qualita, nonche di valutazione della dose o dell’attivitasomministrata ai pazienti . . .

• Articolo 8: (Comma 9) I dati relativi ai programmi, ai controlli e alle prove di cuial Comma 2 sono registrati e conservati per almeno 5 anni a cura del responsabiledell’impanto radiologico, anche su supporto informatico; in tale caso deve essere garantitala permanenza delle registrazoni anche mediante la duplicazione del supporto.

Adempiere a questi aspetti del decreto legislativo rientra nei compiti del Servizio di FisicaSanitaria ed in questo contesto si rende necessario lo sviluppo di tecniche che permettano lavalutazione della dose assorbita dal paziente.

Capitolo 3Raggi-X

Indice3.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Radiazioni Ionizzanti e Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.2 Grandezze Radiometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Interazioni delle radiazioni indirettamente ionizzanti . . . . . . . 10

3.2.1 Il Coefficiente di Attenuazione Lineare ed Attenuazione Esponenziale 11

In questo capitolo si presentano le principali definizioni necessarie alla comprensione e ana-lisi di quanto verra presentato nei capitoli seguenti; seguira una parte introduttiva riguardantel’interazione delle radiazioni indirettamente ionizzanti con la materia.

3.1 Definizioni

3.1.1 Radiazioni Ionizzanti e Raggi-X

Per radiazione si intende il trasferimento di energia da un mezzo che la produce, definitocome radiante, ad un mezzo che la riceve, definito come irradiato. In fisica classica si e solitidistinguere le radiazioni in corpuscolari ed onde elettromagnetiche. Nel caso di radiazionielettromagnetiche la trasmissione avviene per mezzo di fotoni (caratterizzati da frequenza elunghezza d’onda), nel caso di radiazioni corpuscolari per mezzo di particelle (caratterizzateda massa, carica e velocita).Le radiazioni sono dette ionizzanti quando sono in grado di trasferire una sufficiente quantitadi energia, tale da liberare degli elettroni dagli atomi del mezzo irradiato e quindi produrreionizzazione. L’azione lesiva delle particelle ionizzanti sull’organismo e una diretta conseguenzadei processi fisici di eccitazione e ionizzazione degli atomi e delle molecole dei tessuti biologicidovuti all’interazione della radiazione con la materia.Tipicamente le radiazioni ionizzanti che si presentano come onde elettromagnetiche vengonospesso suddivise, a seconda del processo di produzione della radiazione stessa, in due categorie:i Raggi-X se l’origne e atomica, e i Raggi-Γ, se l’origine e nucleare. In radiologia si utilizzanosolo raggi-X, mentre raggi-Γ e radiazioni corpuscolari vengono utilizzate in medicina nuclearee radioterapia, dove vengono impiegati tuttavia anche raggi-X ad alta energia (superirore adun MeV).Secondo la Legge di Plank, ad un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto e associataun’energia pari a E = hν = c/λ dove vale:

10 Raggi-X

Figura 3.1: Spettro elettromagnetico relativo ai vari impieghi nella pratica clinica ospedaliera

• E ≡ energia elettromagnetica dei fotoni ( misurata in 1eV = 1.602 ∗ 10−19J)

• h ≡ costante di Plank ( pari a 6.626 ∗ 10−34Js )

• ν = c/λ ≡ frequenza (misurata in Hz)

• λ ≡ lunghezza d’onda (misurata in m)

• c ≡ velocita della luce (pari a 2.99 ∗ 108ms−1)

Come e possibile osservare dall’immagine 3.1 in medicina vengono utilizzate energie che, perle radiazioni indirettamente ionizzanti, variano da 25 a 700 KeV con lunghezze d’onda che va-riano da 0.5 a 0.01∗10−10m. La relazione per passare dall’energia di un’onda elettromagneticaalla sua lunghezza d’onda e la seguente:

E(KeV ) =1.24λ(nm)

(3.1)

3.1.2 Grandezze Radiometriche

Il modo piu semplice per descrivere un campo di radiazione e quello di contare punto perpunto il numero di particelle presenti. Si definisce Fluenza di particelle in un certo punto diun mezzo materiale irradiato e si indica con il simbolo φ la quantita:

φ =dN

dA[φ] = m−2 (3.2)

dove dN rappresenta il numero delle particelle incidenti su una sfera di sezione massima dAavente centro nel punto considerato. Si fa riferimento ad una sfera perche viene cosı soddisfattanel modo piu semplice la condizione di avere la sezione elementare dA sempre perpendicolarealla direzione d’incidenza delle particelle.Scrivendo la 3.2 si e fatto uso della notazione differenziale in quanto la definizione deve potersiapplicare anche nel caso di campi non uniformi, nei quali quindi la fluenza varia da punto apunto. A causa della natura statistica propria dei campi di radiazione, le variabili con le qualisi tratta sono sempre di tipo casuale. Tale e anche il numero di particelle N , il cui differenzialedN deve intendersi come differenziale del numero medio atteso di particelle.L’Intensita o Rateo di Fluenza di Particelle ϕ, spesso chiamata anche Densita di Flusso diParticelle, e a sua volta definita da:

ϕ =dφ

dT=

d2N

dAdT[ϕ] = m−2s−1 (3.3)

dove dT indica l’intervallo di tempo.Quando si vuole esprimere l’intensita (o il rateo) di fluenza di particelle che si propaga in

3.1 Definizioni 11

una fissata direzione entro un angolo solido dΩ e utile introdurre la Radianza di Particelle Pdefinita come:

P =dϕ

dΩ=

d3N

dAdTdΩ[P ] = m−2s−1sr−1 (3.4)

in cui dΩ e misurato in steradianti [sr].Per una descrizione piu completa del campo di radiazione e pero necessario considerare an-che la dipendenza dall’energia cinetica E delle particelle. Cio puo essere fatto attraverso laDistribuzione Spettrale della Radianza di Particelle PE , espressa da:

PE =dP

dE=

d4N

dAdTdΩdE[PE ] = m−2s−1sr−1J−1 (3.5)

La grandezza PE rappresenta il numero di particelle di determinata energia cinetica che passain un certo istante in un prefissato punto dello spazio, propagandosi in una fissata direzione,per unita di superficie perpendicolare alla direzione del loro moto, per unita di tempo, perunita di angolo solido e per unita di energia.Integrando la 3.5 si puo pensare di ridefinire la fluenza di particelle in modo alternativo alla3.2:

φ =∫T

dT

∫E

dE

∫Ω

PEdΩ (3.6)

e quindi:

φ =∫T

dT

∫E

dE

∫Ω

dΩd4N(T,E,Ω)dAdTdΩdE

=dN

dA(3.7)

Valgono naturalmente anche le seguenti relazioni:

P =∫E

PEdE (3.8)

ϕ =∫E

∫Ω

PEdEdΩ (3.9)

In numerose occasioni vi e maggiore interesse a conoscere l’energia totale trasportata dalleparticelle in una certa regione, piuttosto che il loro numero.Conviene allora introdurre l’Energia Radiante R, misurata in [J ], che coincide con l’energiadelle particelle (escluse quelle di quiete) emessa, trasferita o ricevuta. Come nel caso dellaradianza di particelle, si usa definire la Distribuzione Spettrale dell’Energia Radiante RE :

RE =dR(E)dE

(3.10)

Il trasporto di energia delle particelle nello spazio puo allora essere descritto per mezzo diun’altra grandezza, la Fluenza di Energia delle Particelle Ψ:

Ψ =dR

dA[Ψ] = Jm−2 (3.11)

dove dR rappresenta l’energia radiante incidente su una sfera infinitesima di sezione massimadA centrata nel punto considerato, ovvero la somma delle energie, escluse quelle di quiete, ditutte le particelle che attraversano una sezione massima dA di tale sfera.Anche in questo caso ha senso considerare Intensita di Fluenza di Energia o Densita di Fluenzadi Energia ψ, definta da:

ψ =dΨdT

=d2R

dAdT[ψ] = Jm−2s−1 = Wm−2 (3.12)

L’intensita (o il rateo) di fluenza di energia delle particelle che si propaga in una fissata direzioneentro un angolo solido dΩ si esprime mediante la Radianza di Energia r:

r =dψ

dΩ=

d3R

dAdTdΩ[r] = Wm−2sr−1 (3.13)

12 Raggi-X

Ovviamente nel caso di una distribuzione spettrale della radianza di particelle PE valogono leseguenti relazioni:

r =∫E

EPEdE (3.14)

ψ =∫E

∫Ω

EPEdEdΩ (3.15)

Ψ =∫E

∫Ω

∫T

EPEdEdΩdT (3.16)

Sempre nel caso di un campo di radiazione costituito da particelle aventi un certo spettrodi energia, si e soliti spesso far uso anche di altre funzioni di distribuzione delle grandezzesopra definite. In particolare con φ(E) e Ψ(E) si intenderanno rispettivamente la fluenza diparticelle di energia cinetica non superiore ad E. Si tratta dunque di funzioni crescenti conE, i cui valori limite sono φ e Ψ.Le distribuzioni differenziali di fluenza di particelle e di fluenza di energia, alle quali ci si rife-risce anche con la notazione di Spettri Differenziali, sono a loro volta definite rispettivamentecome:

φE =φ(E)dE

(3.17)

ΨE =Ψ(E)dE

(3.18)

Si noti che φEdEdA rappresenta il numero medio di particelle di energia cinetica compresatra E e E + dE che entrano in un volume sferico il cui cerchio di area massima e dA. Analo-gamente ΨEdEdA e l’energia cinetica media trasportata da particelle di energia compresa traE e E + dE nel predetto volume.Le grandezze introdotte tramite le equazioni 3.17 e 3.18 sono legate dalle seguenti relazioni:

ΨE = EφE (3.19)

φ(E) =∫ E

0

φEdE (3.20)

Ψ(E) =∫ E

0

ΨEdE =∫ E

0

EφEdE (3.21)

Quando i precedenti integrali delle equazioni 3.20 e 3.21 sono estesi a tutte le possibili energie,i loro valori coincidono rispettivamente con la fluenza di particelle e di energia totali.Ha senso calcolare il valore medio dell’energia delle particelle presenti E, pesando la media siasulla fluenza di particelle che sulla fluenza di energia. Nei due casi si trova rispettivamente:

Eφ =

∫ Emax0

EφEdE∫ Emax0

φEdE(3.22)

EΨ =

∫ Emax0

EΨEdE∫ Emax0

ΨEdE(3.23)

Poiche in generale φE e diversa da ΨE , anche i due valori medi sopra definiti saranno diversitra loro. In pratica, parlando di energia media di un certo campo di radiazione, e quindisempre opportuno specificare bene a quale dei due valori medi ci si intenda riferire [1].

3.2 Interazioni delle radiazioni indirettamente ionizzanti

Quando un fascio di raggi-X, ovvero un fascio di fotoni, attraversa un mezzo assorbentecome i tessuti del corpo umano, parte dell’energia portata dal fascio viene ceduta al mezzo a

3.2 Interazioni delle radiazioni indirettamente ionizzanti 13

causare in questo modo dei danni biologici. L’energia ceduta per unita di massa del mezzo enota come dose assorbita ed e una quantita molto utile nel predire i danni biologici. Tuttaviagli eventi che correlano la quantita di dose assorbita al danno biologico sono assai complicati.Essi sono riportati nella figura 3.2.

Figura 3.2: Effetti delle Radiazioni Indirettamente Ionizzanti

Tipicamente il primo step del processo coinvolge la collisione di un fotone e di alcuni elet-troni del mezzo, risultando nello scattering della radiazione incidente e nella messa in motodi elettroni ad alta velocita. Nell’attraversare il mezzo, l’elettrone ad alta velocita produceuna traccia, lungo la quale avvengono le ionizzazioni o le eccitazioni degli atomi, che possonoportare alla rottura dei legami molecolari e quindi ad un possibile danno. Tuttavia la mag-gior parte dell’energia e convertita in calore, producendo nessun effetto biologico grave se nonil riscaldamento locale del tessuto stesso. Alcuni elettroni di alta velocita possono colliderecon il nucleo dell’atomo del mezzo producendo radiazione di Bremsstrahlung che a sua voltapuo subire delle interazioni del tutto analoghe a quelle che accadono alla radiazione incidentesul mezzo. Tipicamente per il range di energie utilizzato in radiologia e per mezzi tessuto-equivalenti sono richieste circa 30 interazioni prima che tutta l’energia del fotone sia convertitain movimento elettronico.I raggi-X possono interagire con il mezzo assorbitore e risultare nella messa in moto di elet-troni attraverso quattro importanti meccanismi, noti come Effetto Fotoelettrico, ScatteringIncoerente o (Compton), Scattering Coerente o (Rayleigh), Produzione di Coppie. Da notareche i quattro processi spesso avvengono contemporaneamente all’interno dello stesso mezzoirradiato, per cui la descrizione globale e deterministica di ogni singolo fenomeno diventa assaicomplessa ed articolata [2].

3.2.1 Il Coefficiente di Attenuazione Lineare ed Attenuazione Espo-nenziale

Immaginiamo che un detector, posto ad un punto P possa registrare il numero di fotoni diun fascio di raggi-X che lo attraversano. Se il numero di fotoni registrato e N e lo spessoredel materiale che viene interposto tra detettore e fascio incidente e ∆x, un numero n difotoni interagira con il mezzo attenuatore e verra rimosso dal fascio. Ora un fotone non puoessere fermato parzialmente dagli atomi del mezzo attenuatore. Esso si avvicinera abbastanzaall’atomo da interagire ed essere cosı rimosso o non sara influenzato per niente. Cosı il numeron di fotoni rimosso dipendera direttamente dal numero di fotoni presenti e dallo spessoredell’attenuatore, ovvero

n = µN∆x (3.24)

dove µ e una costante di proporzionalita, definita come Coefficiente di Attenuazione Li-neare. L’equazione e valida fintantoche N rimane costante, ovvero fintantoche µ∆x << 1.

14 Raggi-X

L’equazione 3.24 puo essere scritta in un’altra forma. Sia ∆N il numero di fotoni rimosso dalfascio che attraversa un mezzo assorbitore di spessore ∆x. Allora poiche N si riduce di unfotone per ogni singola interazione, vale ∆N = −n ed otteniamo in questo modo:

∆N = −µN∆x (3.25)

Da notare che l’equazione 3.25 descrive come cambia il numero di fotoni di un fascio N ,quando passa attraverso un attenuatore, mentre l’equazione 3.24 restituisce il numero di inte-razioni che avvengono quando il mezzo attenuatore e bombardato dal fascio di N fotoni. Perdeterminare le dimensioni con cui esprimere µ, ricordiamo che N , ∆N e n sono adimensionaliin quanto numeri puri. Allora l’unita di misura sara l’inverso di una lunghezza, per esempiocm−1. Supponiamo per ora che µ sia costante, anche se come si vedra piu avanti dipendera inmaniera complicata dall’energia e dalla natura del mezzo. Riarrangiando l’equazione 3.24 siottiene:

µ =n/N

∆x(3.26)

che dimostra che µ altro non e che la frazione di fotoni che interagisce per unita di spessoredi attenuatore. Ora se scegliamo ∆x sufficientemente piccolo e calcoliamo lo spessore di unattenuatore come somma di tanti piccoli sottili spessori, e possibile calcolare il numero totaledi fotoni che vengono trasmessi attraverso l’attenuatore integrando sul numero di fotoni chesopravvivono ad ogni sottile spessore che compone l’attenuatore.

N = N0e−µx (3.27)

L’equazione 3.27 rappresenta il numero N di fotoni trasmessi attraverso un mezzo di spes-sore x a partire da un fascio con un numero di fotoni iniziali pari a N0.Il vantaggio di quest’ultima equazione e che a differenza della 3.25, valida solo quando la ridu-zione frazionale del numero di fotoni e piccola, l’equazione 3.27 e applicabile ad ogni spessoredi materiale [2].

Capitolo 4La Fisica dell’InterazioneRadiazione-Materia

Indice4.1 Effetto Fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Scattering Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.1 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Rayleigh . . . . . . . 18

4.3 Scattering Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.1 La Probabilita di collisione Compton: la formula di Klein-Nishina . 21

4.3.2 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Compton . . . . . . 23

4.4 Produzione di Coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Attenuazione di un fascio di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.6 I coefficienti d’interazione usati in dosimetria . . . . . . . . . . . 27

In questa sezione si considereranno brevemente i processi di interazione a cui partecipano ifotoni all’interno di un mezzo materiale in modo molto piu approfondito rispetto a quanto fattonei capitoli precedenti. Verranno cosı poste le basi per un processo di modellizzazione necessarioper una simulazione analitica di tali fenomeni.

4.1 Effetto Fotoelettrico

Nel processo fotoelettrico, illustrato nella figura 4.1 un fotone di energia hν collide con unatomo ed espelle uno degli elettroni legati delle shell (per esempio K, L, M o N). L’elettroneespulso viene definito Fotoelettrone ed esce dall’atomo con energia pari ad hν − Es dove Esrappresenta l’energia di legame dell’elettrone espulso nella sua shell. L’atomo viene lasciato inuno stato eccitato e si possono verificare due situazioni: emissione di radiazione caratteristica(che spesso risulta essere radiazione di fluorescenza) o emissione di elettroni Auger. Nel pri-mo caso la lacuna lasciata dal fotoelettrone viene riempita dagli elettroni della shell esterni,mentre nel secondo caso vengono emessi gli elettroni che determinano lo stato di eccitazionedell’atomo, riportandolo allo stato fondamentale non eccitato.

16 La Fisica dell’Interazione Radiazione-Materia

Figura 4.1: Effetto Fotoelettrico

Il coefficiente di attenuazione lineare per il processo fotoelettrico e tipicmente rappresentatodalla lettera graca τ ed il coefficiente massico da τ/ρ. Il coefficiente massico, come rappresen-tato in figura 4.2, varia in funzione dell’energia portata dal fotone ed anche in funzione delnumero atomico del materiale attraversato dalla radiazione.Tale comportamento e dovuto principalmente al fatto che il processo dipende dallo stato di

Figura 4.2: Coefficiente Massico del Piombo per il processo Fotoelettrico in funzionedell’energia del fotone

legame degli elettroni nel materiale preso in considerazione. La probabilita di estrarre un elet-trone e massima se il fotone ha abbastanza energia per togliere l’elettrone stesso dalla shell incui si trova. Approssimativamente la sezione d’urto fotoelettrica varia con l’energia del fotoneincidente secondo 1/(hν)3.La sezione d’urto presenta, quindi, un andamento decrescente con l’energia dei fotoni, conimprovvise discontinuita in corrispondenza delle energie di soglia del processo per le differentiorbite (K, L, M). Dette energie di soglia sono approssimativamente date dalla Legge di Moseley:

E = 13.6(Z − σ)2

n2[eV ] (4.1)

4.1 Effetto Fotoelettrico 17

in cui σ e la costante di schermo che puo essere assunta pari ad 1 per l’orbita K, 5 per L e13 per M ed n e il numero quantico dell’orbita (n = 1 per K, n = 2 per L, n = 3 per M); lediscontinuita sono piu evidenti e numerose per i materiali di elevato numero atomico.E essenziale che l’elettrone sia legato per la conservazione dell’energia e della quantita di motodel sistema fotone-atomo. Proprio per questo, la probabilita che il processo avvenga aumentarapidamente al crescere dell’energia di legame degli elettroni (circa l’80% di queste interazioniinteressa gli elettroni della shell K). L’energia trasferita come energia cinetica Te all’elettronepuo essere calcolata se e noto a priori l’energia di legame della shell da cui verra espulso l’elet-trone: Te = hν−Es−Ta ≈ hν−Es, avendo trascurato l’energia cinetica acquistata dall’atomoTa in quanto molto piu piccola delle altre energie in gioco.Rimane poi da calcolare come viene riempita la lacuna prodotta dall’espulsione dell’elettrone.Tipicamente si presentano due casi: emissione di elettorni Auger o emissione di radiazione difluorescenza. Il primo predomina per elementi a basso numero atomico, il secondo per elementiad alto numero atomico.Capita spesso che la radiazione di fluorescenza abbia cosı poca energia che viene effettivamenteriassorbita in prossimita del fenomeno di ionizzazione. Tipicamente in una collisione fotoe-lettrica in un materiale a basso numero atomico si assume che l’energia in eccesso rispetto aquella di legame sia infatti localmente assorbita.I fotoelettroni messi in moto da fotoni a basse energie tendono ad essere espulsi ad ango-li perpendicolari alla direzione del fascio e la distribuzione angolare dei fotoelettroni emessinell’angolo solido dΩ, per radiazione incidente non polarizzata, e data da:

dN

dΩ=

sin2 θ

(1− β cos θ)2(4.2)

dove θ e l’angolo tra la direzione del fotone incidente e il fotoelettrone e β e il rapporto tra lavelocita del fotoelettrone e la velocita c del fotone.

Figura 4.3: Distribuzione angolare del fotoelettrone al variare dell’energia incidente del fotone

Essa presenta dei lobi simili a quelli mostrati in figura 4.3. Al crescere dell’energia deifotoni, i lobi tendono ad allinearsi verso la direzione di propagazione del fascio. La radiazionedi fluorescenza al contrario viene emessa isotropicamente.Una valutazione esatta della sezione d’urto atomica per l’effetto fotoelettrico richiederebbe unatrattazione teorica piuttosto complicata ed inoltre non esiste nessuna espressione analitica chesia in buon accordo con i dati sperimentali per ogni energia dei fotoni.Sperimentalmente si e trovato che la dipendenza della sezione d’urto dal numero atomico Zdell’elemento considerato e del tipo: σFotoelettrico ∝ Zn dove l’esponente n varia da 4 a 4.6 inun range energetico che varia da 100 KeV a 2.62 MeV.


4.2 Scattering Rayleigh

Nel processo di Scatter Coerente (o Rayleigh) non si ha nessuna conversione dell’energiadella radiazione in energia cinetica di particelle secondarie, ma essa viene totalmente diffusa.Il processo e rappresentato schematicamente nella figura 4.4 dove viene mostrata un’onda elet-tromagnetica con lunghezza d’onda λ che incide su un atomo.Lo scattering Rayleigh viene spesso anche chiamato Scattering Classico, dato che e spiegabi-

Figura 4.4: Scattering Coerente

le interamente tramite un approccio basato sulla fisica classica. Quando un fascio di fotoni,ovvero classicamente parlando un’onda elettromagnetica, investe un elettrone, quest’ultimoviene momentaneamente accelerato dal campo elettrico dell’onda incidente ed irraggia energiasecondo le leggi dell’elettrodinamica con una lunghezza d’onda λ′ pari a quella della radiazioneincidente λ. Questo processo viene chiamato Scattering Thomson e come detto precedente-mente la sezione d’urto di tale processo puo essere calcolata dalla fisica classica.Le onde scatterate dagli elettroni all’interno dell’atomo si combinano e interferiscono tra loroper formare l’onda elettromagnetica diffusa. Lo scattering risulta percio da un fenomeno coo-perativo e viene quindi definito come coerente.

Figura 4.5: Propagazione di un’onda elettromagnetica nello spazio

Si immagini un’onda elettromagnetica rappresentata dal suo vettore elettrico ~E e magne-tico ~B ortogonali alla direzione di propagazione, come mostrato in figura 4.5 che si propaga avelocita della luce c. Questo perche qualsiasi radiazione non polarizzata e comunque scompo-nibile nelle sue componenti in onde polarizzate.Si consideri il caso di un’elettrone investito da un’onda che si muove in direzione z con unangolo θ nel piano XZ. L’elettrone subisce allora delle accelerazioni che saranno legate aicampi dell’onda elettromagnetica nel seguente modo:

Ex = Ex0eiωt −→ ~rx = eEx/me

Ey = Ey0eiωt −→ ~ry = eEy/me

(4.3)

4.2 Scattering Rayleigh 19

L’energia incidente per unita di area su un elettrone e data dal Vettore di Poynting ~S:

Sx = cε0E2xz

Sy = cε0E2y z

(4.4)

Utilizzando la Formula di Larmor e facendo la media sul tempo si ottiene l’intensita dellaradiazione diffusa in un angolo solido dΩ:

−(dW

dt

)x

dΩ =e4 cos2 θ

16π2m2eε

20c

4SxdΩ

−(dW

dt

)y

dΩ =e4 cos2 θ

16π2m2eε

20c

4SydΩ

(4.5)

Considerando fotoni non polarizzati, ovvero Sx = Sy = S/2, definendo la sezione d’urtodifferenziale come l’energia irradiata per unita di tempo e angolo solido su energia incidenteper unita di tempo e area si ottiene:

dσ0

dΩ=

e4

16π2m2eε

20c

4

1 + cos2θ

2=r20

2(1 + cos2θ) (4.6)

Figura 4.6: Sezione Differenziale d’Urto Thomson

La quantita dσ0dΩ e chiamata coefficiente classico di scattering per elettrone e per unita di

angolo solido. E spesso chiamata anche Coefficiente Thomson e dato che non viene cedutaenergia all’elettrone, la frequenza e la lunghezza d’onda della radiazione scatterata sono lestesse di quelle incidenti. Puo venir considerata percio come una frazione del numero di fotonidiffusi per unita di angolo solido ad un determinato angolo θ.In figura 4.6 e mostrato l’andamento in funzione dell’angolo della sezione d’urto Thomson:si nota che per θ = 90 il valore di dσ0

dΩ e circa meta rispetto ai valori per θ = 0 e θ =180, significando che l’elettrone diffonde energia maggiormente nella direzione di propagazionedell’onda incidente o nella direzione opposta.


Ora integrando sull’angolo solido dΩ = 2π sin θdθ per tutti i possibili angoli θ, si ottiene lasezione d’urto totale dello scattering Thomson per un elettrone:

σ0 =e4

6πm2eε

20c

4=

83πr2

0 = 66.525 ∗ 10−30 m2 (4.7)

Come si e notato questa sezione d’urto risulta essere indipendente dall’energia del fotoneincidente.

4.2.1 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Rayleigh

Come detto nei paragrafi precedenti, all’interno dell’atomo ci sono piu elettroni legati checontribuiscono alla diffusione Rayleigh. Lo scattering di differenti parti della nuvola atomicasi combina per dare uno scatter coerente, ovvero una diffusione in cui si ha una radiazionediffusa della stessa lunghezza d’onda della radiazione incidente. Questo processo si manifestasoprattutto ad energie basse per valori di Z elevati, dove le elevate energie di legame deglielettroni non permettono il manifestarsi dell’effetto Compton. Il processo puo essere descritto

in termini del parametro X =sin( θ2 )λ in cui λ rappresenta la lunghezza d’onda del fotone

incidente e θ l’angolo a cui viene diffuso il fotone. Allora e possibile calcolare la sezione d’urtodifferenziale per lo scattering Rayleigh utilizzando dei valori tabulati che descrivono il risultatodell’interferenza e combinazione dei singoli elettroni a partire dal parametro X, introducendola funzione F (X,Z) chiamata Fattore di Forma Atomico:

dσRayleighdΩ

=r20

2(1 + cos2 θ)[F (X,Z)]2 =

dσ0

dΩ[F (X,Z)]2 (4.8)

Il grafico 4.7 riporta la sezione d’urto del processo di scattering coerente in funzione dell’energiae dell’angolo: la funzione di correzione modula la sezione d’urto di Thomson, spostando laprobabilita del processo ad angoli θ piccoli e quindi il processo risulta importante per angolilungo la direzione di propagazione.

Figura 4.7: Sezione Differenziale d’Urto Rayleigh con F(X,Z) tabulata

4.3 Scattering Compton 21

Una semplice approssimazione del fattore di forma atomico e stata proposta da Viegele,utilizzando il modello di Thomas-Fermi:

F (U) = Z[(

1− e−0.3)e−1.49U0.388

+ 0.00327]

con U = 2137αZ1/3

sinθ

2(4.9)

dove α = hν/mec2. Come e possibile osservare dalla figura 4.8 e possibile notare delle differenze

tra i valori della sezione d’urto calcolata con il modello di Thomas-Fermi e quella calcolatacon i dati tabulati, che tuttavia rispecchia meglio i dati sperimentali.

Figura 4.8: Sezione Differenziale d’Urto Rayleigh secondo il modello di Thomes-Fermi

Approssimativamente si puo scrivere la sezione d’urto del processo Rayleigh come:

σRayleigh ∝ (hν)−2Z2.5 (4.10)

Si tratta quindi di un effetto che assume rilievo nei materiali pesanti ed alle basse energie. Intali condizioni esso e tuttavia molto meno importante dell’effetto fotoelettrico, che e respon-sabile dell’attenuazione del fascio di fotoni per oltre il 95%.La sezione d’urto σRayleigh dello scatter coerente decresce rapidamente con il crescere dell’e-nergia dei fotoni e sono del tutto trascurabili per energie che superano il MeV per materiali dibasso numero atomico. Lo scatter coerente avviene principalmente nella direzione del fascioprimario, cosicche l’effetto del processo e quello di aumentare la larghezza angolare del fasciostesso.Di questo processo si deve tuttavia tener conto ai fini della valutazione dei coefficienti d’inte-razione e nei problemi di trasporto della radiazione, come verra mostrato nei capitoli successivi.

4.3 Scattering Compton

Lo Scattering Compton di fotoni, detto anche Diffusione Compton, cioe la diffusione difotoni da parte di elettroni liberi e uno degli esperimenti fondamentali a conferma del concet-to di quanto di un’onda elettromagnetica. Dal punto di vista dell’elettromagnetismo classicoinfatti il cambiamento di frequenza dei fotoni diffusi, sperimentalmente osservato in funzione


dell’angolo, non puo essere spiegato. Esso trova invece una spiegazione naturale se si ammetteche la radiazione incidente di frequenza ν sia descrivibile come un fascio di fotoni ciascuno deiquali ha un’energia hν e che la diffusione sia descrivibile come un urto anelastico tra i fotonidel fascio radiante e gli elettroni liberi del mezzo. Infatti si ipotizza che l’energia del fotoneincidente sia maggiore dell’energia di legame dell’elettrone orbitale. Nell’interazione il fotoneviene diffuso in una direzione diversa da quella di incidenza, mentre a sua volta l’elettroneviene messo in moto con una certa energia cinetica. Si tratta, come detto precedentementedi un processo anelastico a causa della frazione di energia spesa per vincere l’energia di le-game dell’elettrone, ed incoerente, poiche gli elettorni si comportano come se fossero liberi,diffondendo liberamente uno dall’altro. La cinematica del processo e mostrata in figura 4.9.

Figura 4.9: Scattering Incoerente

Imponendo la conservazione dell’energia si ottiene la relazione:

hν − hν′ = E = m0c2

1√1− v2

c2

− 1

(4.11)

mentre imponendo la conservazione dell’impulso, assegnando l’impulso p al fotone incidente,p′ a quello diffuso e q all’elettrone, la somma di p′ e q deve uguagliare p, il che significa:

q2 = p2 + (p′)2 − 2pp′ cos θ (4.12)

che puo essere scomposta in due componenti:

hν

c=hν′

ccos θ +

m0v√1− v2

c2

cosφ (4.13)

hν′

csin θ =

m0v√1− v2

c2

sinφ (4.14)

Eliminando v e φ dalle precedenti equazioni si ottiene:

hν′ =hν[

1 +hν

mec2(1− cos θ)

] (4.15)

che puo essere scritta, ricordando che ν = c/λ, in funzione della lunghezza d’onda come

λ′ − λ =h

mec(1− cos θ) (4.16)

o ancora esprimendo l’equazione in funzione dell’energia dei fotoni(1E′− 1E

)=

1mec2

(1− cos θ) (4.17)


avendo indicato con E′ = hν′ l’energia del fotone diffuso e con E = hν l’energia del fotoneincidente. La quantita h

mec= 2.42 ∗ 10−12 m delle formule precedenti, viene chiamata la

lunghezza d’onda Compton dell’elettrone.La sezione d’urto del processo e data, classicamente dalla formula di Thomson

dσ

dΩ= r2

e

1 + cos2 θ

2(4.18)

dove

r2e =

e2

mec2= 2.82 10−15 m (4.19)

e il cosidetto raggio classico dell’elettrone.

4.3.1 La Probabilita di collisione Compton: la formula di Klein-Nishina

Nel paragrafo precedente si e visto come e possibile analizzare la collisione di un fotonecon un elettrone libero in dettaglio in modo classico. Tuttavia e possibile dare una descrizionedel fenomeno secondo le leggi della meccanica quantistica. Nello stato iniziale il sistemacoinvolge un elettrone a riposo e un fotone con energia hν e momento hν/c. Lo stato finaledell’elettrone ha energia E e momento q ad un angolo φ, mentre il fotone ha energia hν′ emomento hν′/c ad un angolo θ. Per stimare la probabilita di questa transizione, si devonodescrivere lo stato iniziale e finale del sistema attraverso adatte funzioni d’onda. Allora laprobabilita della transizione da uno stato ad un altro puo essere determinata dalla meccanicaquantistica. Da una complessa analisi di questo tipo, Klein e Nishina hanno mostrato che lasezione d’urto differenziale per unita di angolo solido e determinata dal prodotto della sezioned’urto differenziale classica di Thomson per un fattore FKN dove, imposto α = hν

mec2, si ha:

dσ

dΩ=r2

e

(1 + cos2 θ

2

)1

[1 + α(1− cos θ)]2×

×[1 +

α2(1− cos θ)2

(1 + cos2 θ)[1 + α(1− cos θ)]

] (4.20)

e quindi

FKN =1

[1 + α(1− cos θ)]2

[1 +

α2(1− cos θ)2

(1 + cos2 θ)[1 + α(1− cos θ)]

](4.21)

FKN e sempre minore di 1.0 e quando α e piccolo tale funzione tende al valore 1.0 mentrel’equazione 4.20 si riduce all’espressione classica della sezione d’urto differenziale di Thomson,come accade anche se l’angolo θ = 0 e l’elettrone rinculato non acquista nessuna energia.

L’equazione 4.20 e interpolata e mostrata in figura 4.10 per diversi valori di energia deifotoni incidenti a diversi angoli di diffusione θ.Per trovare la probabilita totale che un fotone interagisca con un elettrone libero attraversoun processo Compton, l’equazione 4.20 deve essere moltiplicata per l’elemento di angolo solidodΩ = 2π sin θdθ ed integrata su tutti i possibili angoli θ. In questo modo si ottiene la sezioned’urto totale del processo Compton tra un elettrone ed un fotone:

σComptonTot =34σ0

(1 + α

α2

)(2(1 + α)1 + 2α

− ln(1 + 2α)α

)+

+ln(1 + 2α)

2α− 1 + 3α

(1 + 2α)2

(4.22)

Per valori di α = 0 questa sezione d’urto si riduce a quella classica totale di Thomson σ0.Al fine di calcolare la frazione di energia cinetica trasferita alle particelle cariche in ogni


Figura 4.10: Sezione Differenziale d’Urto Klein-Nishina

singolo processo Compton, si moltiplica la sezione d’urto differenziale dell’equazione 4.20 perla frazione di energia trasferita all’elettrone, ottenendo:

dσtrdΩ

= r2e

(1 + cos2 θ

2

)FKN

(α(1− cos θ)

1 + α(1− cos θ)

)(4.23)

che integrata come precedentemente permette la stima del coefficiente totale di trasferi-mento per il processo Compton:

σtr =34σ0

2(1 + α)2

α2(1 + 2α)− (1 + 3α)

(1 + 2α)2+

(1 + α)(1 + 2α− 2α2)α2(1 + 2α)2

−

− 4α2

3(1 + 2α)3−(

1 + α

α3− 1

2α+

12α3

)ln(1 + 2α)

(4.24)

Come si puo notare dalla figura 4.11, la sezione d’urto di trasferimento di energia cresce conil crescere dell’energia fino a circa 0.5 MeV per poi decrescere progressivamente all’aumentaredell’energia.

Si definisce poi anche il coefficiente di scatter per il processo Compton σs, ottenuto comedifferenza tra la sezione d’urto totale ed il coefficiente di trasferimento totale:

σs = σComptonTot − σtr (4.25)

Per energie basse σs e all’incirca uguale alla sezione d’urto totale del processo Compton, datoche a queste energie l’elettrone colpito non riceve praticamente nessuna energia cinetica, mentread alte energie esso rappresenta solo una piccola frazione.E ora possibile anche ricavare il valore dell’energia media trasferita all’eletttrone libero σEtrper il singolo processo Compton:

σEtr = hνσtr

σComptonTot(4.26)


Figura 4.11: Sezione d’Urto totale di Klein-Nishina a diverse energie del fotone incidente

In ultima analisi, nel caso in cui l’elettrone e considerato libero, e possibile anche in seguitoad alcuni passaggi matematici ricavare dall’equazione 4.20 la sezione d’urto per la produzionedi un elettrone dσ/dE con energia compresa tra E e E + dE. La figura 4.10 mostra l’anda-mento in funzione dell’energia di tale probabilita. Le curve, ognuna delle quali relative ad unasingola energia iniziale del fotone, mostrano tutte piu o meno lo stesso andamento: presen-tano un picco alla massima energia possibile che l’elettrone puo acquisire e un picco inizialea cui corrisponde una energia nulla ed un minimo compreso tra i due picchi. Quindi si puoconcludere che in un processo Compton e piu probabile che vengano prodotti elettroni a bassao alta energia che elettroni aventi un’energia intermedia. L’area sotto una determinata curvarappresenta la sezione d’urto totale del processo Compton per quella energia.

4.3.2 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Compton

Finora si e ipotizzato che l’elettrone sia libero e stazionario. In realta si deve tener conto chegli elettroni nell’atomo si trovano in uno stato legato e che e richiesta dell’energia per espelleredalla shell dell’atomo gli elettorni. Naturalmente la conoscenza della posizione e della velocitadi un elettrone in un atomo implica una conoscenza delle funzioni d’onda di tutti i singolielettroni all’interno dell’atomo stesso. Anche se si fosse a conoscenza di tali funzioni d’ondarimane il problema della stima della probabilita di transizione che per essere calcolata implicapassaggi molto complessi.Tuttavia si puo procedere con la seguente approssimazione, ovvero considerare solo lo statolegato e non le quantita di moto portata dagli elettroni del mezzo. La probabilita Comptonviene rappresentata come prodotto di due fattori, A e B. Il primo fattore A e dato dalla sezioned’urto di Klein-Nishina calcolata dalla elettrodinamica quantistica per un elettrone libero. Essarappresenta la probabilita che un fotone sia diffuso ad un angolo θ e l’elettrone acquisti unmomento q come se fosse libero. Il secondo fattore B rappresenta la probabilita che l’elettroneche ha ricevuto un momento q da un fotone, lasci l’atomo con energia E. Ovviamente ilsecondo fattore B implica la conoscenza di alcune proprieta dell’atomo. Quest’ultimo fattoreB risulta essere molto importante per collisioni in cui il momento trasferito q e piccolo tantoche l’elettrone puo avere una probabilita finita di non scappare dall’atomo.Il momento trasferito e calcolato a partire dall’equazione 4.12:

q =

√(hν)2

c2+

(hν′)2

c2− 2hνhν′

c2cos θ (4.27)


Per fotoni a bassa energia (α piccolo) l’elettrone acquista poca energia e quindi vale hν ≈ hν′.Allora il momento q diventa:

q ≈ hν

c

√2(1− cos θ =

hν

c

√4 sin2

(θ

2

)=

2hνc

sin(θ

2

)(4.28)

Ora se definiamo X =sin( θ2 )λ e sapendo che c = λν si ottiene q = 2hX.

Quindi il momento trasferito all’elettrone e proporzionale al parametro X che dipende dall’an-golo di scatter θ e dall’energia del fotone secondo λ.Il fattore B puo anche esser calcolato utilizzando la meccanica quantistica determinando la pro-babilita che un elettrone in seguito ad una collisione Compton venga espulso con un momentoq. Il fattore B viene tipicamente rappresentato da una funzione S(X,Z), chiamata Funzionedi Scatter Incoerente che dipende da X e dal numero atomico del mezzo considerato Z. Algiorno d’oggi esistono tabulazioni di tale funzione che permettono la stima corretta della pro-babilita differenziale del processo Compton. Nella libreria EPDL97 (Evalueted Photons DataLibreries) i dati sono salvati in file ENDF/B. Gli stessi dati vengono utilizzati anche in tuttele simulazioni MonteCarlo in quanto sono accettati e revisionati sia dall’IAEA (InternationalAtomic Energy Agency) che dagli autori Dermott E. Cullen, John H. Hubbell e Lynn Kisseldella University of California per conto del Lawrence Livermore National Laboratory. Allorala sezione d’urto differenziale e riscrivibile come:

dσIncoerentedΩ

=dσCompton

dΩS(X,Z) (4.29)

mentre la sezione d’urto totale puo essere cacolata solo integrando numericamente e nonanaliticamente la dσIncoerente

dΩ :

σIncoerente =∫ π

θ=0

r20

2FKNS(X,Z)2π sin θdθ (4.30)

Nei grafici seguenti, riportati in figura 4.12 e possibile notare come le sezioni d’urto differenzialicalcolate con l’equazione 4.29 siano assai diverse dalle sezioni d’urto differenziali di Klein-Nishina (in cui non si e tenuto conto dell’energia di legame dell’elettrone) soprattutto perenergie basse, a dimostrazione di quanto detto in precedenza.Tuttavia come precedentemente mostrato per lo scattering coerente, Viegele ha utilizzato il

modello di Thomas-Fermi per dare una relazione analitica alla funzione di scatter incoerente inmodo da poter calcolare matematicamente l’equazione 4.30. Secondo tale modello la funzioneS(X,Z) e calcolabile come:

S(V,Z) = Z[1− e−(4.88V 0.858)

]dove V =

23

137αZ

23

sin(θ

2

)(4.31)

in cui come al solito α = hν/mec2. Nella seguente immagine 4.13 e possibile osservare la

differenza con i valori ottenuti utilizzando invece i valori tabulati della funzione di scatterincoerente.


Figura 4.12: Sezione d’Urto Comtpon con S(x,Z) tabulata

Figura 4.13: Sezione d’Urto Compton con S(x,Z) secondo il modello Thomas-Fermi


4.4 Produzione di Coppie

Nella creazione di coppie il fotone viene assorbito e la sua energia viene in parte trasferitain massa di quiete di una coppia elettrone-positrone e in parte come energia cinetica di questedue particelle. Dai principi di conservazione dell’energia e del momento si puo vedere chequesto effetto e possibile soltanto nel campo coulombiano di un nucleo o di un elettrone.Si tratta ovviamente di un processo a soglia, che puo aver luogo, nel campo del nucleo, soltantoquando hν ≥ 2mec

2 = 1.022MeV . La quantita di energia trasformata in energia cinetica dellacoppia di particelle prodotte e Ee+ +Ee− = hν − 2mec

2 e l’energia non si distribuisce in partiuguali tra le due particelle, in quanto il positrone mediamente tende a riceverne un po’ di piudell’elettrone a causa della repulsione da parte del nucleo, ma questa differenza finisce con loscomparire al crescere dell’energia. Successivamente il positrone si annichila emettendo duequanti da 511 KeV in direzioni opposte. La produzione di coppie puo avvenire anche nel campocoulombiano di un elettrone orbitale. In questo caso si ha una produzione di una tripletta: lacoppia elettrone-positrone, alla quale si aggiunge l’elettrone orbitale nel cui campo si producela coppia e che viene emesso dall’atomo. Questo processo e notevolmente meno probabile diquello che avviene nel campo del nucleo ed ha una soglia in energia pari a 4mec

2. Quandosono verificate le condizioni di approssimazione di Born, la sezione d’urto atomica del processodi creazione di coppie nel campo di un nucleo e data da:

aσCoppie = σZ2

(289

ln 2hν

mec2− 218

27

)(4.32)

Quando invece il processo avviene nel campo di un elettrone si ottiene:

eσCoppie = σZ2

(289

ln 2hν

mec2− 11.3

)(4.33)

in cui per entrambe le equazioni vale σ = r2e137 = 5.794 ∗ 10−28 cm2. Si noti che la sezione

d’urto dipende dal numero atomico Z secondo Z2 o da Z a seconda che il processo avvenganel campo di un nucleo o di un elettrone.

4.5 Attenuazione di un fascio di fotoni

Si consideri ora un fascio collimato di fotoni incidenti su un assorbitore di densita ρ incondizione cosiddette di buona geometria. Ci si trova in tali condizioni allorche un rivelatoreposto sull’asse del fascio, dietro l’assorbitore, difficilmente puo essere raggiunto da fotoni chehanno subito interazioni nell’assorbitore stesso. Nella figura 4.14 e mostrato un tipico esperi-mento condotto in condizioni di buona geometria.

Figura 4.14: Condizioni di buona geometria

La frazione dN/N di fotoni che subisce interazioni nel tratto dl di assorbitore e non vienequindi rilevata dal rivelatore e evidentemente data da:

4.6 I coefficienti d’interazione usati in dosimetria 29

dN

N= ρ

NAA·a σtotdl (4.34)

dove ρNA/A rappresenta il numero di atomi presenti per cm3 di assorbitore e aσtot la sezioned’urto atomica totale, cioe la somma delle sezioni d’urto atomiche per i vari processi esaminatinei paragrafi precedenti, ricordando che la sezione d’urto atomica e ottenuta moltiplicandoquella del singolo processo per il numero atomico Z, ovvero aσ =e σZ,:

aσtot =a σFotoel. +a σCompton +a σRayleigh +a σCoppie (4.35)

Nello scrivere la 4.34 si e trascurato l’effetto fotonucleare che puo raggiungere un contributodel 5-10% alle alte energie, con cio di fatto ipotizzando per i fotoni in esame un’energia inferioreai 10 MeV.Integrando la 4.33 si ottiene:

N = N0e−µl (4.36)

avendo posto:

µ = ρNAA·a σtot (4.37)

Il coefficiente µ viene detto Coefficiente di Attenuazione Lineare e si misura in [m−1].Facendo uso delle sezioni d’urto dei singoli processi, esso puo essere disaggregato nei contributidovuti a ciascuno di essi:

µ = ρNAA

(aσFotoel. +a σCompton +a σRayleigh +a σCoppie)

= τFotoel. + σCompton + σRayleigh + κCoppie

(4.38)

dove τFotoel. = ρNAA ·a σFotoel., σCompton = ρNAA ·a σCompton, σRayleigh = ρNAA ·a σRayleigh,κCoppie = ρNAA ·aσCoppie, sono i coefficienti di attenuazione lineare rispettivamente per l’effettofotoelettrico, per l’effetto Compton, per la diffusuione coerente e per la produzione di coppie.Il reciproco del coefficiente di attenuazione lineare λ = 1/µ rappresenta il libero camminomedio, cioe lo spessore in cui l’intensita del fascio si riduce a 1/e.

4.6 I coefficienti d’interazione usati in dosimetria

Spesso, in dosimetria, anziche del coefficiente di attenuazione lineare, si preferisce far usodel Coefficiente di Attenuazione Massico µ/ρ, che si ottiene dividendo il primo per la densitadel mezzo. Questo nuovo coefficiente, che si esprime in [m2Kg−1] ha la proprieta di essereindipendente dallo stato fisico e dalla densita dell’assorbitore.Tenendo conto che:

µ

ρ=NAA·a σ (4.39)

la 4.36 puo essere riscritta:N = N0e

−µρ ρl (4.40)

dove:µ

ρ=τ

ρ+σCompton

ρ+σRayleigh

ρ+κ

ρ(4.41)

avendo indicato con τρ , σCompton

ρ , σRayleighρ , κ

ρ , i coefficienti di attenuazione massici rispettiva-mente ad ogni singolo processo fisico. L’andamento di µ/ρ e delle sue componenti in funzionedell’energia dei fotoni e mostrato in 4.15 a titolo d’esempio nel caso del piombo.


Figura 4.15: Coefficiente Massico del Piombo in funzione dell’energia del fotone incidente

Se il mezzo considerato e una miscela di piu elementi, il suo coefficiente di attenuazione mas-sico µ/ρ puo essere approssimativamente valutato mediante una media pesata dei coefficientiµi/ρi degli elementi costituenti: (

µ

ρ

)=∑i

wiµiρi

(4.42)

dove wi e la frazione in peso dell’i-esimo elemento. La precedente equazione puo ancheessere utilizzata nel caso di composti chimici in quanto le energie di legame chimico tra gliatomi delle molecole sono molto modeste. La sua applicazione fornisce ottimi risultati, specieper energie superiori ai 10 MeV, dove gli errori risultano minori di qualche %. Al decresceredell’energia aumentano le incertezze, che possono comportare un errore anche di un fattore 2nell’intervallo compreso tra 10 e 100 eV.Quando ci si voglia riferire solo alla parte di energia dei fotoni primari che e stata trasferitasottoforma di energia cinetica delle particelle secondarie cariche messe in moto, si introduceun altro coefficiente, il Coefficiente di Trasferimento di Energia Massico, µtr/ρ definito come:

µtrρ

=1

ρEN

dEtrdl

(4.43)

in cui dEtrEN , rappresenta appunto la frazione dell’energia dei fotoni incidenti trasferita in

energia cinetica di particelle cariche secondarie a causa delle interazioni subite nel tratto dldel mezzo di densita ρ. Nel computo di µtr/ρ si devono dunque escludere tutte le cessionidi energia che non ricompaiono sotto forma di energia cinetica dei secondari carichi messi inmoto.Si possono naturalmente esplicitare i contributi relativi ai vari effetti, analogamente a quantofatto nella 4.41 a proposito del coefficiente massico:

µtrρ

=τtrρ

+ trσComptonρ

+κtrρ

(4.44)

dove τtrρ , trσCompton

ρ , κtrρ , rappresentano i coefficienti di trasferimento di energia massici

relativi ai singoli processi. In particolare:

τtrρ

=τ

ρ

(1− δ

hν

)(4.45)

avendo indicato con δ l’energia emessa in media per fluorescenza per ogni fotone assorbitoper effetto fotoelettrico;

4.6 I coefficienti d’interazione usati in dosimetria 31

trσComptonρ

=σCompton

ρ

Eehν

(4.46)

avendo indicato con Ee l’energia media degli elettroni Compton per fotone assorbito;

κtrρ

=κ

ρ

(1− 2mec

2

hν

)(4.47)

Da notare che non viene considerata la diffusione coerente in quanto non si ha nessuntrasferimento di energia nel mezzo assorbente. Analogamente a quanto fatto per il coefficientemassico, per valutare il coefficiente massico di trasferimanto di un composto vale la relazione:(

µtrρ

)=∑i

wi

(µtrρ

)i

(4.48)

Quando infine si e interessati a conoscere l’energia effettivamente depositata in un certoelemento di volume, e necessario far uso del Coefficiente di Assorbimento di Energia Massicoµen/ρ definito come:

µenρ

=µtrρ

(1− g) (4.49)

avendo indicato con g la frazione di energia che i secondari carichi dissipano in radiazionedi frenamento nel materiale di interesse. I valori numerici di g risultano elevati alle alte energiee nei materiali pesanti, mentre sono del tutto trascurabili per materiali biologici ed energieutilizzate in ambito medico. Pertanto i valori µtr/ρ ≈ µen/ρ e sono quindi apprezzabilmentediversi soltanto quando le energie delle particelle cariche prodotte sono molto maggiori dellaloro energia di quiete e specialmente nel caso di materiali di elevato numero atomico [1].Merita di essere sottolineato il fatto che dal momento che le sezioni d’urto dei singoli processidipendono dall’energia dei fotoni incidenti e dal numero atomico del materiale irradiato, anchetutti i coefficienti, sia quelli lineari che massici, dipendono dall’energia e dal numero atomico:

µ

ρ=µ

ρ(E,Z)

µtrρ

=µtrρ

(E,Z)µenρ

=µenρ

(E,Z)


Capitolo 5Dosimetria

Indice5.1 Le Condizioni di Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 L’Energia Impartita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 La Dose Assorbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.4 Il calcolo della Dose Assorbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.5 Il Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.6 La Dose Assorbita e il Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.7 La Misura della Dose Assorbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.8 Dose-Area Product DPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.8.1 Valutazione della dose agli organi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

In questo capitolo si affrontano argomenti legati alla dosimetria; vengono definite le principalidefinizioni ed esposto il problema della misura della grandezza dose assorbita.

Gli effetti indotti dal passaggio di radiazioni ionizzanti nella materia hanno all’origine pro-cessi di ionizzazione ed eccitazione. Nel caso dell’organismo umano il trasferimento di energiadalle particelle ionizzanti ai vari tessuti e organi irradiati puo concludersi con la manifestazionedi un certo effetto biologico.Il problema fondamentale e quello di mettere in relazione gli effetti osservati con le carat-teristiche fisiche del campo di radiazione. Poiche tutti gli effetti, sia biologici che fisici echimici, indotti dalle radiazioni ionizzanti si manifestano soltanto quando avviene una cessio-ne di energia alla materia, si e tentato di risolvere il problema mediante l’introduzione dellaDose Assorbita che come si vedra piu avanti coincide con l’energia assorbita dall’unita di massadel mezzo. La misura o il calcolo della dose assorbita costituisce il principale obiettivo dellaDosimetria.Oltre alla dose assorbita, sono state introdotte in dosimetria, altre grandezze fisiche che vengo-no comunemente dette grandezze dosimetriche allo scopo di descrivere le varie fasi dei processidi trasferimento di energia [1].

5.1 Le Condizioni di Equilibrio

Si parla in genere di Equilibrio di Radiazione in un certo punto di un mezzo irradiatoquando il valore atteso dell’energia radiante che entra in un volume infinitesimo intorno a quel

34 Dosimetria

punto e uguale a quello dell’energia radiante che ne esce.Talvolta puo accadere che in un certo punto dello spazio le condizioni sopra richiamate sianoverificate soltanto per un particolare gruppo di particelle. Se tali condizioni si verificanno perle particelle cariche si parla di Equilibrio delle Particelle Cariche o se riguarda i raggi-δ si parladi Equilibrio di raggi-δ.Tipicamente le radiazioni indirettamente ionizzanti come i fotoni con energia minore di 1-2MeV, a causa del loro elevato libero cammino medio, raramente soddisfano l’equilibrio di radia-zione, ma poiche mettono in moto secondari carichi il cui percorso e considerevolmente minoredel libero cammino medio dei primari, viene soddisfatto l’equilibrio delle particelle cariche.Nel rapporto ICRU80, si definisce l’equilibrio di particelle cariche quando il numero, l’energiae la direzione delle particelle cariche si mantengono costanti nel volume d’interesse, ossia quan-do non varia attraverso esso la distribuzione spettrale della radianza delle particelle cariche.Come conseguenza di tale definizione, devono essere uguali le somme delle energie cinetichedelle particelle che entrano ed escono dal volume considerato [1].

5.2 L’Energia Impartita

L’Energia Impartita ε in un certo volume di un mezzo irradiato da particelle ionizzanti chelo attraversano e la grandezza basilare della dosimetria delle radiazioni. In accordo con ladefinizione data nel rapporto ICRU80 e data da:

ε = Rin −Rout +∑

Q [J ] (5.1)

dove Rin rappresenta l’energia radiante incidente nel volume considerato, cioe la somma delleenergie (escluse quelle di quiete) di tutte le particelle direttamente e indirettamente ionizzantiche entrano nel volume considerato, Rout l’energia radiante uscente dallo stesso volume, cioela somma delle energie (escluse quelle di quiete) di tutte le particelle direttamente e indiret-tamente ionizzanti che ne escono e

∑Q la somma di tutte le energie liberate, diminuita della

somma di tutte le energie consumate in ogni trasformazione di nuclei e particelle elementariavvenuta in tale volume (in pratica

∑Q rappresenta l’energia spesa per aumentare la massa

del sistema).L’energia impartita e una grandezza stocastica e come tale e soggetta a fluttuazioni casualiche possono essere molto grandi sia se ci si riferisce ad elementi di volume di dimensioni parti-colarmente ridotte, sia se la densita di flusso delle particelle cariche presenti e particolarmentemodesta e per questo motivo si introduce il valor medio, indicato con ε.Ovviamente danno contributo a ε soltanto le particelle ionizzanti che interagiscono nel volumeconsiderato; particelle che vi entrano e ne escono senza subirvi interazioni non danno invecealcun contributo, in quanto la loro energia cinetica si mantiene la stessa in ingresso e in uscita.Cosı come e stata definita, quindi, ε dipende dal volume di interesse e dal tempo di osserva-zione prescelto. Si e allora data una definizione alternativa di ε come somma dei contributiindipendenti dal tempo e dal volume associati ai vari processi elementari di base:

ε =∑i

∆εi (5.2)

dove ∆εi e l’energia impartita in ciascuno degli i eventi discreti che si verificano nel volumeconsiderato, ovvero quella frazione dell’energia cinetica delle particelle interagenti che vieneconvertita in forme di energia diversa dall’energia cinetica di particelle ionizzanti o in energiadi quiete di nuclei o di particelle elementari.I singoli contributi ∆εi in cui la ε viene disaggregata risultano quindi indipendenti dal tempodi osservazione e dal volume, cosicche la dipendenza di ε da queste due variabili discende dalladistribuzione nello spazio e nel tempo dei processi di base che li originano [1].

5.3 La Dose Assorbita 35

5.3 La Dose Assorbita

La grandezza stocastica energia impartita serve per introdurre la definizione della piuimportante delle grandezze dosimetriche, la Dose Assorbita D:

D =dε

dm(5.3)

in cui dε rappresenta il valor medio dell’energia impartita nel volume di massa dm. Perdeterminare il valore della dose assorbita in un punto con l’equazione 5.3, sono necessari duepassaggi al limite. Il primo riguarda la valutazione di ε che, in linea di principio, richiederipetute esposizioni di elementi finiti di massa nel campo di radiazione interessato con relativaoperazione di media dei valori ε misurati. Il valor medio e cosı proporzionale alla dose assorbitamedia, dalla quale si puo passare alla dose assorbita nel punto di interesse facendo tendere azero la massa dell’elemento di volume considerato:

D = limm→0

ε

m= limV→0

1ρ

ε

V(5.4)

Nel sistema internazionale, la dose assorbita si misura in Gray [Gy], dove 1Gy = 1J/Kg. Sidefinisce anche il Rateo o Intensita di Dose Assorbita, D come:

D =dD

dt(5.5)

misurato in Gys−1 e in cui dt rappresenta l’unita di tempo misurato in secondi [1].

5.4 Il calcolo della Dose Assorbita

Il calcolo della dose assorbita in un punto di un mezzo irradiato risulta essere un problemaassai arduo da risolvere. Ipotizzando che nel volume di interesse ci sia un numero di processielementari per unita di massa dN/dm e che per ciascun processo il valore medio di ∆ε sia ∆ε,il valore della dose assorbita puo essere calcolato come:

D =dN

dm∆ε (5.6)

Si consideri dapprima il caso in cui le deposizioni di energia nel mezzo siano dovute a particellesoltanto di un certo tipo. Per applicare la 5.5 e necessario valutare il numero di interazioni chetali particelle subiscono nell’unita di volume e l’energia ceduta in media in ciascuna interazio-ne. Per ottenere la prima quantita basta moltiplicare la fluenza di particelle per la relativaprobabilita di interazione per unita di lunghezza, che per un fascio di fotoni risulta essere ilcoefficiente di attenuazione lineare µ. Se e verificata la condizione di equilibrio delle particellecariche, il calcolo della dose assorbita, per un fascio di fotoni, puo essere infatti effettuato aprescindere dalla conoscenza della fluenza di particelle cariche nel punto di interesse. Si puoinfatti dimostrare che in tali condizioni vale:

D =∫µen(E)ρ

ΨE,udE (5.7)

avendo per semplicita considerato il caso in cui siano presenti particelle indirettamente ioniz-zanti di un solo tipo di fluenza d’energia differenziale ΨE,u e avendo indicato con µen(E)/ρ ilcoefficiente di assorbimento di energia massico del mezzo in questione per tali radiazioni.Quando l’energia persa per irraggiamento dai secondari carichi messi in moto dalle particelleprimarie puo essere trascurata, µen/ρ ≈ µtr/ρ, la precedente equazione si riduce a:

D =∫µtr(E)ρ

ΨE,udE (5.8)

36 Dosimetria

Nel caso invece di un mezzo materiale omogeneo irraggiato con particelle cariche, ipotizzandouna condizione di equilibrio dei raggi-δ ed ipotizzando la produzione di radiazione di frena-mento trascurabile, come abitualmente avviene per basse energie e per bassi valori del numeroatomico, la dose assorbita puo essere calcolata come:

D =∫φE,p

(S

ρ

)col

dE (5.9)

in cui φE,p e la fluenza differenziale di paricelle cariche primarie e(Sρ

)col

rappresenta il pote-re frenante massico per collisione del mezzo, ovvero la perdita media di energia per unita dipercorso dovuto a collisioni anelastiche [1].

5.5 Il Kerma

Il processo di trasferimento di energia al mezzo da parte delle radiazioni indirettamenteionizzanti avviene sostanzialmente in due fasi successive. Nella prima la radiazione primariamette in moto i secondari carichi. Nella seconda questi ultimi depositano l’energia attraversole collisioni che subiscono nel mezzo. La dose assorbita e stata introdotta per tener contodell’effetto finale del processo sopra illustrato. Per descivere soltanto la prima parte si e solitifar uso in dosimetria di un’altra grandezza, il Kerma K, il cui nome trae origine da un acronimoche in lingua inglese sta per Kinetic Energy Released to the MAtter, ed e definito come:

K =dEtrdm

(5.10)

dove dEtr e la somma delle energie cinetiche iniziali di tutte le particelle cariche prodotte daparticelle indirettamente ionizzanti in un certo elemento di volume di specificato materiale edi massa dm.Si noti che nel termine dEtr e anche inclusa l’energia che le particelle secondarie caricheirradiano sottoforma di radiazione di frenamento e le energie di particelle cariche prodotte inprocessi secondari (come per esempio gli elettroni Auger) nell’elemento di volume considerato.Si definisce anche il Rateo o Intensita di Kerma K:

K =dK

dt(5.11)

Il kerma e il rateo di kerma si esprimono nelle stesse unita di misura rispettivamente della doseassorbita e del rateo di dose assorbita.Nota la fluenza di energia delle particelle indirettamente ionizzanti in un punto di un mezzo ilcui coefficiente di trasferimanto di energia massico sia µtr/ρ, si puo determinare il valore delKerma in quel punto [1]. Infatti si ha:

K =µtrρ

Ψ (5.12)

ovvero nel caso di particelle primarie aventi uno spettro differenziale ΨE

K =∫µtrρ

ΨEdE (5.13)

5.6 La Dose Assorbita e il Kerma

Sebbene il kerma e la dose assorbita siano grandezze concettualmente assai simili, nonesiste in generale alcuna semplice relazione tra di esse. La situazione si semplifica invecenotevolmente nelle condizioni di equilibrio. Sotto questa ipotesi si suppone ulteriormente chele perdite per irraggiamento subite dai secondari carichi messi in moto siano trascurabili. Se

5.6 La Dose Assorbita e il Kerma 37

si indica allora con dε l’energia impartita in media all’elemento di volume in parola, si puoscrivere:

dε = (dRin)c + (dRin)u − (dRout)c − (dRout)u + (dQ)u (5.14)

dove (dRin)c rappresenta l’energia cinetica delle particelle cariche che enrtano nell’elemento divolume, (dRout)c l’energia cinetica delle paarticelle cariche che ne escono, (dRin)u e (dRout)ugli analoghi termini per le particelle neutre e (dQ)u l’energia spesa per aumentare la massadel sistema.Se sono verificate le condizioni di equilibrio delle particelle cariche vale:

(dRin)c = (dRout)c

per cui la 5.14 diviene:dε = (dRin)u − (dRout)u + (dQ)u (5.15)

il secondo termine della 5.15 non rappresenta altro che l’energia trasferita al mezzo sottofor-ma di energia cinetica delle particelle cariche secondarie, prodotte da parte dei primari dεtr.Quindi:

dε = dεtr

e dunque:

D =dε

dm=dεtrdm

= K (5.16)

Dalla 5.16 si ritrova la 5.8, se si passa dal caso di uno spettro monoenergetico a quello di unospettro continuo.La situazione puo essere illustrata graficamente considerando un fascio di particelle indiret-tamente ionizzanti incidente su certo assorbitore e riportando l’andamento del kerma e delladose assorbita in funzione dello spessore attraversato, limitatamente a profondita per le qualisia ragionevole trascurare l’assorbimento. L’iniziale crescita della dose assorbita con lo spes-sore, si spiega con la crescita della fluenza dei secondari carichi messi in moto, che in ciascunpunto vi contribuiscono e si arresta quando quest’ultima raggiunge il suo massimo. Nella zonain cui il kerma e dose assorbita sono uniformi, vi e equilibrio di particelle cariche e le duegrandezze assumono lo stesso valore. Se cosı non fosse, si dovrebbe ipotizzare in tale regioneuna creazione o distruzione di energia incompatibile con il principio di conservazione.

Figura 5.1: Dose Assorbita e kerma in funzione della profondita

In pratica pero l’assorbimento non e affatto trascurabile e tenendone conto si ottiene lasituazione mostrata nella figura 5.1. Le condizioni di equilibrio delle particelle cariche non siverificano in un’intera regione, ma bensı soltanto in un punto, dove la curva del kerma intersecaquella della dose assorbita. Vi e pero un’ampia regione nella quale le due quantita si manten-gono strettamente proporzionali e che diviene sede di condizioni dette di quasi equilibrio. Inqueste condizioni si possono ancora applicare le relazioni ricavate in condizioni di equilibriopur di introdurre i necessari fattori di correzione.Se si tiene infine conto anche delle perdite di energia per irraggiamento da parte dei secondari

38 Dosimetria

carichi, si ottiene la situazione illustrata nella figura 5.1. Le differenze tra kerma e dose assor-bita tendono a diminuire, a causa della riduzione della dose assorbita nei vari punti del mezzoirradiato, e le due curve sono quindi piu vicine di quanto non lo fossero nel caso precedente. Inqueste circostanze si puo anche verificare come la curva della dose assorbita resti completamen-te al di sotto di quella del kerma, e come le due grandezze non coincidano quindi neanche neipunti in cui siano eventualmente verificate le condizioni di equilibrio tra le particelle cariche.Le due quantita continuano pero ad essere proporzionali nella stessa regione in cui lo eranonel caso precedente.Alle alte energie divengono piu rare le situazioni in cui sono verificate le condizioni di equilibriodi particelle cariche. Tuttavia le differenze tra kerma e dose assorbita tendono a diminuire,sicche e probabile che le correzioni da apportare ad eventuali relazioni ricavate in tali condi-zioni siano abbastanza modeste.Il kerma viene abitualmente usato come valore approssimato della dose assorbita nei mez-zi estesi irradiati con neutroni, sebbene questa approssimazione non valga alle alte energie(E > 30 MeV) e in prossimita della superficie di separazione di differenti mezzi.Una significativa chiarificazione delle relazioni intercorrenti tra il kerma e la dose assorbita,puo essere ottenuta ripartendo il kerma in due componenti, una relativa a quella parte del-l’energia cinetica delle particelle cariche secondarie che e successivamente spesa in collisioni,Kerma per collisioni Kc:

Kc =µenµtr

K (5.17)

e l’altra alla parte invece spesa per irraggiamento, Kerma per irraggiamento Kr:

Kr =µtr − µen

µtrK (5.18)

Si noti che in virtu della seguente equazione, nell’ipotesi di radiazione neutra e di equilibriodelle particelle cariche:

εntr = (dRin)u − (dRout)non−ru −Rru +∑

Q = εtr −Rru (5.19)

dove (dRin)u e l’energia radiante delle particelle neutre che entra nel volume di interesse,(dRout)non−ru l’energia radiante delle particelle neutre che lascia il il volume, Rru e l’energiaradiante emessa sottoforma di irraggiamento da parte delle particelle cariche originate nelvolume di interesse e come al solito

∑Q rappresenta l’energie spesa per aumentare la massa

del sistema. Allora vale:Kc =

dεutrdm

(5.20)

mentre:

Kr =dR

r

u

dm(5.21)

Poiche in condizioni di equilibrio di particelle cariche risulta:

ε = εtr

dalla 5.3 e dalla 5.20 si trova:D = Kc =

µenρ

Ψ (5.22)

indipendentemente dalla presenza o meno di perdite per irraggiamento da parte dei secon-dari carichi, come peraltro si era gia scritto per uno spettro continuo, con la 5.7 e come equalitativamente illustrato in figura 5.1 [1].

5.7 La Misura della Dose Assorbita

Conviene ora affrontare, seppur soltanto per gli aspetti concettuali, il problema della misuradella dose assorbita in un punto di un mezzo materiale irradiato. Per effettuare la misura in

5.7 La Misura della Dose Assorbita 39

parola si dovrebbe poter praticare una cavita intorno al punto di interessee introdurre in essa unmateriale C sensibile alla dose, cioe un dosimetro. Se il materiale C fosse della stessa naturadel materiale M costituente il mezzo irradiato, la procedura descritta non perturberebbe ilcampo preesistente e il valore della dose assorbita cosı determinato non risulterebbe diversoda quello cercato.In genere pero il mezzo ed il rivelatore non sono affatto omogenei, per cui l’energia assorbitasara diseguale nei due diversi materiali. Per risalire dalla dose DC alla dose DM nel mezzoimperturbato, si dovra moltiplicare la prima per un opportuno fattore di correzione:

DM =1fDC (5.23)

La determinazione del valore del fattore di correzione f costituisce l’obiettivo fondamentaledella Teoria della Cavita, che verra descritta nei suoi aspetti piu generali.Intuitivamente, viene da pensare che tanto piu piccola e la cavita praticata intorno al puntonel quale si vuole effettuare la misura, tanto minore e la perturbazione apportata al campodi radiazione e tanto piu vicini saranno quindi i valori di DM e DC . Si inizia quindi colconsiderare una cavita piccola, definita come tale se verifica le seguenti condizioni:

• le sue dimensioni sono cosı modeste rispetto al percorso dei secondari carichi messi inmoto nel mezzo, che questi perdono in essa attraversandola soltanto una piccola frazionedella loro energia;

• le sue dimensioni sono sufficientemente modeste rispetto al libero cammino medio deiquanti primari, da poter trascurare le interazioni che questi subiscono nella cavita stessa

Per semplicita si ipotizzi che la fluenza differenziale φE,M dei secondari prodotti nel mezzoM dai quanti primari incidenti sia uniforme e che le cessioni di energia avvengano secondo ilmodello di rallentamento continuo. Sotto queste ipotesi, la presenza della cavita non perturbala fluenza dei secondari, che risulta essere la stessa nei due mezzi. Allora la dose assorbita inun certo punto del mezzo M e allora data da:

DM =∫φE,M

(S

ρ

)col,M

dE (5.24)

Analogamente, quando e invece presente il mezzo C si puo scrivere per la dose assorbita nellostesso punto:

DC =∫φE,M

(S

ρ

)col,C

dE (5.25)

Dalle due precedenti relazioni si ricava che:

DM

DC=

∫φE,M

(Sρ

)col,M

dE∫φE,M

(Sρ

)col,C

dE(5.26)

Dividendo a secondo membro numeratore e denominatore per∫φE,MdE si ottiene:

DM

DC=

∫φE,M(Sρ )

col,MdE∫

φE,MdE∫φE,M(Sρ )

col,CdE∫

φE,MdE

(5.27)

Ora e possibile osservare che le quantita al denominatore e numeratore del secondo membro,non rappresentano altro che i valori rispettivamente di

(Sρ

)col,M

e(Sρ

)col,C

mediati sullo

spettro di rallentamento dei secondari carichi. Si puo quindi scrivere:

DM

DC=

(Sρ

)col,M(

Sρ

)col,C

(5.28)

40 Dosimetria

Ponendo:

SCM =

(Sρ

)col,M(

Sρ

)col,C

(5.29)

allora e possibile esprimere la dose assorbita nel mezzo a partire da quella ricavata dal dosimetrocome:

DM =1SCM

DC (5.30)

che e uno dei modi di scrivere la fondamentale relazione di Bragg-Gray. La costante SCM , unadelle piu importanti in dosimetria, rappresenta quindi il rapporto tra i valori medi dei poterifrenanti massici per collisione nei due mezzi C e M dove la media si intende effettuata sullospettro di rallentamento dei secondari carichi. Essa fornisce, nel caso di cavita piccola, il valoreda attribuire al fattore di correzione f dell’equazione 5.23. Il calcolo esatto di SCM e operazionepiuttosto complessa, in quanto presuppone la conoscenza della fluenza degli elettroni secon-dari nel punto di interesse, incluso quindi lo spettro dei raggi-δ. Ipotizzando che le cessionidi energia da parte dei primari avvengano secondo il modello di rallentamento continuo edequilibrio di raggi-δ, si possono ricavare i valori si SCM . In figura 5.2, per esempio, e mostratol’andamento di tale parametro in funzione dell’energia degli elettroni nel caso di un dosimetrodi polietilene immerso in acqua (1), carbonio (2), alluminio (3), ferro (4) e piombo (5).

Figura 5.2: Rapporto dei poteri frenanti per un dosimetro in polietilene per diversi materiali

L’altro problema pratico da risolvere nell’applicazione della relazione di Bragg-Gray e larealizzazione di cavita di dimensioni sufficientemente modeste, che viene quasi sempre risoltofacendo ricorso a mezzi gassosi.Al crescere delle dimensioni della cavita, le interazioni dei fotoni primari nel materiale Cnon possono piu essere trascurate. Quando dette dimensioni diventano molto maggiori delpercorso dei secondari carichi provenienti dal mezzo circostante (caso della Cavita Grande) ladose assorbita nella cavita e di fatto dovuta quasi esclusivamente alle interazioni dei fotoninella cavita stessa e il suo valore risulta quindi direttamente proporzionale al coefficiente diassorbimento di energia massico (µen/ρ)C del materiale che riempie la cavita. Se si tiene contoche la dose assorbita nel mezzo M e a sua volta determinata dal corrispondente coefficiente diassorbimento di energia massico (µen/ρ)M si trova:

f =(µen/ρ)C(µen/ρ)M

(5.31)

L’andamento di tale rapporto, che spesso si usa denotare con il simbolo µCM e mostrato infigura 5.3 in funzione dell’energia dei fotoni, nel caso di un dosimetro in polietilene immersonegli stessi materiali di cui alla precedente figura 5.2.

5.7 La Misura della Dose Assorbita 41

Figura 5.3: Rapporto dei coefficienti massici di trasferimento per un dosimetro di polietileneper diversi materiali

Nel passare da una cavita piccola ad una grande, il coefficiente f cambia progressivamenteda SCM a µCM . Quindi nel caso in cui le dimensioni della cavita siano confrontabili con ilpercorso degli elettroni secondari, la dose assorbita nel materiale del dosimetro e causata siadagli elettroni messi in moto nel mezzo circostante fuori dal dosimetro, sia da quelli generatinel materiale del dosimetro stesso. Si puo allora dimostrare che vale:

f = dSCM + (1− d)µCM (5.32)

in cui vale:

d =1− e−βg

βg(5.33)

β essendo un coefficiente di attenuazione efficace per gli elettroni e g il percorso medio nellacavita, pari a quattro volte il suo volume diviso per la superficie. Naturalmente, quando ledimensioni in gioco non sono trascurabili, nel computo della dose si dovra tener conto anchedell’attenuaziuone subita dal fascio di fotoni primari.L’applicazione pratica delle relazioni sopra riportate, richiede il calcolo di SCM e di µCM e larealizzazione di cavita effettivamente rispondenti alle ipotesi introdotte nella loro derivazione.Detti problemi si semplificano pero completamente quando i due mezzi M e C hanno la stesssacomposizione chimica. In tal caso infatti, sia SCM che µCM valgono 1 e vale DC = DM , indi-pendentemente dalle dimensioni della cavita e dalle altre ipotesi introdotte precedentemente.In realta la richiesta di equivalenza chimica e eccessiva, bastando che siano per essi uguali irispettivi coefficienti di interazione, vale a dire che abbiano lo stesso potere frenante massico(Sρ

)coll

e lo stesso coefficiente di assorbimento di energia massico µen. Quando si verificaquesta condizione i due mezzi vengono detti equivalenti e la cavita e definita omogenea. Allestesse conclusioni si poteva giungere servendosi del Teorema di Fano che afferma che in unmezzo di data composizione chimica, esposto ad una fluenza uniforme di radiazione primaria,la fluenza della radiazione corpuscolare associata e anch’essa uniforme e indipendente dalladensita del materiale.A causa della diversa dipendenza di

(Sρ

)coll

e µen dal numero atomico Z, in pratica e pero as-sai difficile trovare dei materiali che possano considerarsi completamente equivalenti per tuttele energie. Per quanto riguarda le interazioni dei fotoni, si e soliti associare a ciascun materiale(composto o miscela) un numero atomico efficace Zeff , valutabile in base alla sua composi-zione elementare. Materiali aventi un uguale Zeff si comportano come mezzi equivalenti inrapporto alle interazioni con i fotoni. Poiche tuttavia il coefficiente di assorbimento di energiamassico e dipendente dall’energia dei fotoni incidenti, l’equivalenza tra i due materiali e dinorma valida all’interno di un intervallo di energia.In molte circostanze il dosimetro puo avere pareti di natura diversa da quelle del rivelatore edel mezzo circostante. Se lo spessore delle pareti e molto modesto in confronto con il percorsodei secondari, la loro presenza non avra alcuna influenza sull’energia assorbita nel mezzo ri-velatore. Al contrario, quando le pareti sono molto spesse, l’energia depositata nella cavita e

42 Dosimetria

principalmente originata da secondari carichi messi in moto da esse. Nelle varie condizioni epossibile ricavare dalla teoria il valore da attribuire al fattore f che compare nella 5.23 [1].

5.8 Dose-Area Product DPA

Negli ultimi 30 anni le dosi assorbite dai pazienti e dagli operatori nelle procedure di radio-diagnostica sono progressivamente diminuite, grazie all’attuazione di seri programmi di radio-protezione e alla veloce evoluzione tecnologica. D’altra parte, il numero degli esami radiologicie sensibilmente aumentato; questo giustifica il perche la dosimetria del paziente rimane unargomento di enorme importanza. In quest’ottica i Livelli Diagnostici di Riferimento (LDR)introdotti nel D.Lgs.187/2000, che recepisce la direttiva Euratom 97/43, si riferiscono a livellidi dose nelle pratiche radiodiagnostiche mediche relativamente a ben specificate tipologie diesame, pazienti di corporatura standard o fantocci standard e determinate attrezzature.Per agevolare il lavoro di ottimizzazione e molto piu conveniente far riferimento a grandezzefisiche facilmente misurabili ed indipendenti dai particolari fattori correttivi e fattori di pesodegli organi/tessuti wT relativi al particolare indicatore di rischio utilizzato.Queste caratteristiche sono soddisfatte dalla grandezza fisica energia impartita al paziente, laquale e relativamente semplice da valutare attraverso la misura del Kerma in aria integratosull’area del fascio (

∫AKAriadA) mediante una camera a ionizzazione piatta posta perpendico-

larmente all’asse del fascio stesso. Per i raggi-X utilizzati in diagnostica, essendo generalmentesoddisfatte le condizioni di equilibrio elettronico, il Kerma puo essere assunto uguale alla doseassorbita: per questo motivo le camere a trasmissione (e gli elettrometri associati) per la mi-sura della quantita

∫AKAriadA sono denominate KAP-meter o DAP-meter.

Infatti il Dose-Area Product o Dose Areale (DAP) e definito come la dose assorbita in ariaintegrata sull’area del fascio ed e espresso quindi come:

DAP =∫A

DAriadA (5.34)

Questa quantita e misurabile con una camera a ionizzazione a trasmissione piatta, opportu-namente calibrata avente un’area maggiore della massima sezione del fascio utile inserita nelleguide poste all’uscita del tubo radiogeno; il risultato e espresso in

[mGy · cm2

].

Le caratteristiche di funzionamento e di prova di un DAP-meter, sono descritte nella normaIEC 580 e tradotte in italiano nella norma CEI 62-7. Alcune delle caratteristiche che devonoavere i DAP-meter secondo le suddette norme sono di seguito indicate:

• il volume utile della camera a ionizzazione deve poter essere fissato in modo che, variandola sezione del campo utile e mantenendo costanti tutte le altre condizioni, la corrente diuscita della camera sia proporzionale all’area di tale sezione;

• l’attenuazione equivalente introdotta non deve superare 0.5mm Al;

• se la camera a ionizzazione e destinata ad essere montata su un diaframma luminoso, latrasparenza di quest’ultima alla luce visibile deve essere tale da trasmettere almeno il70% del flusso luminoso;

• l’errore totale del valore della misura indicata non deve superare il ±25%;

La quantita DAP =∫ADAriadA e indipendente dalla distanza della camera dal fuoco, almeno

finche l’attenuazione dell’aria puo essere trascurata: questa proprieta e utilizzata nella proce-dura di verifica della calibrazione del DAP-meter.Infatti dalla misura di Kerma in aria sull’asse del fascio, ottenuta posizionando un rivelatoretarato in termini di Kerma in aria in modo da poter trascurare la radiazione diffusa, note ledimensioni del campo utile in corrispondenza del rivelatore (con una pellicola radiografica ilimiti del campo sono definiti dal 50% della densita ottica nel campo), si puo confrontare ilprodotto tra il Kerma in aria misurato dal rivelatore per l’area del campo utile alla distanza

5.8 Dose-Area Product DPA 43

fuoco-rivelatore (in[mGy · cm2

]) con il valore misurato dal DAP-meter ed apportare, se del

caso, le dovute correzioni.L’utilita di uno strumento non invasivo come il DAP-meter diventa ancora piu evidente allaluce del D.Lgs.187/2000 il quale prevede, all’art. 8 p.to 8, che le attrezzature radiodiagnosti-che di nuova installazione devono essere munite, se fattibile, di un dispositivo che informi lospecialista circa la quantita di radiazioni ionizzanti prodotte dall’attrezzatura nel corso dellaprocedura radiologica.La dose areale e considerata un buon indicatore del rischio radiologico, in quanto tiene contosia della dose erogata, sia dell’area corporea irraggiata. L’uso di un DAP-meter e vantaggiosoin quanto permette una visualizzazione in tempo reale della quantita di radiazione ricevutadal paziente durante un esame senza interferire con esso; lo strumento e particolarmente indi-cato per la dosimetria in vivo routinaria in un reparto, sopprattutto per esami che richiedonodiverse proiezioni e l’utilizzo sia di grafia che di scopia.Con un DAP-meter, come detto, viene misurata la dose areale che viene emessa dal tubo: ilvalore letto potrebbe quindi sovrastimare, per una serie di fattori, la dose areale effettivamenteimpartita al paziente. Un primo fattore e costituito dalla radiazione retrodiffusa dal pazienteche dipende dall’area del fascio e dalla qualita della radiazione, ma si puo considerare trascura-bile ad una distanza superiore ai 30-40 cm dal paziente. Occorre poi tenere conto che il fascioemesso puo eccedere le dimensioni del paziente, percui non tutta la dose misurata dalla cameraa ionizzazione va effettivamente ad incidere su di esso. Da considerare inoltre, come fonte diimprecisione, la radiazione diffusa dai collimatori, misurata dalla camera ma non incidente sulpaziente.Un’altro fattore di sovrastima puo essere dovuto all’assunzione, in sede di calibrazione, che ilKerma in aria misurato sull’asse del fascio rappresenti un valore costante sull’intera area A delcampo; questa e comunque una buona approssimazione per campi di modesta ampiezza (es.10x10 cm2) [19].

5.8.1 Valutazione della dose agli organi

Per la stima del rischio stocastico e necessario conoscere la dose media assorbita in ciascunorgano radiosensibile di interesse. Questa puo essere determinata con l’ausilio di dosimetripiccoli e sensibili (per esempio dosimetri termoluminescenti) posizionati sul corpo del pazienteo in cavita interne. Nei casi in cui l’organo di interesse e piccolo e situato in prossimita deldosimetro, solo piccole correzioni alla lettura sono necessarie (per esempio il cristallino, tiroide,gonadi maschili). Nel caso di organi di grandi dimensioni o distribuiti all’interno del corpo,la dose assorbita media puo essere determinata attraverso simulazioni in fantocci sperimental-mente o mediante calcoli.Il principale svantaggio nell’uso di dosimetri sul/nel corpo del paziente e dovuto al fatto che laloro applicazione disturba l’esame radiologico ed inoltre la comparsa della loro immagine puodisturbare la diagnosi.Negli esami radiodiagnostici solo una parte limitata del corpo e esposta al campo di radiazioni:per una valutazione del rischio radiologico e necessario quindi determinare la Dose EfficaceE. Il calcolo formale di questa grandezza definita nel ICRP60, richiede la dose ai 12 organi otessuti con lo specificato fattore di peso ed ai 10 organi rimanenti (ghiandole surrenali, cervello,intestino tenue, intestino crasso superiore, rene, muscolo, pancreas, milza, timo e utero).I fattori di peso dell’ICRP60 sono stati ottenuti con una popolazione di riferimento con ugualenumero di maschi e di femmine e per una larga fascia di eta.La dose efficace E sostituisce l’analoga grandezza Equivalente di Dose Efficace HE , introdottacon l’ICRP26 per valutazioni di irradiazioni non uniformi ricevute in campo occupazionale,ma gradualmente adottata come indice di dose per irradiazioni diagnostiche.In alternativa alla determinazione della dose ai singoli organi mediante dosimetri sul/nel corpodel paziente e/o simulazioni in fantocci, e possibile stimare la dose efficace ricavandola diret-tamente dalla misura di DAP, utilizzaando fattori di conversione calcolati col metodo MonteCarlo su fantocci matematici.

44 Dosimetria

La dose agli organi e calcolata attraverso coefficienti di conversione determinati col metodoMonte Carlo applicato ad un fantoccio rappresentativo di pazienti adulti, per diverse proiezionie posizioni del campo sul corpo del paziente.I fattori di conversione, espressi in

[mSv/Gy · cm2

], sono poi ricavati per diversi valori di

tensione (da 50 a 140 kVp) e di filtrazione totale sul fascio (da 1,5 a 4 mm Al).E possibile stimare con un margine di incertezza accettabile, la dose efficace anche utiliz-zando un numero ristretto di coefficienti: ad esempio con un fattore di conversione pari a0, 21

[mSv/Gy · cm2

]si puo stimare la dose efficace in proiezioni antero-posteriori per colonna

cervicale, torace, rene, addome e pelvi con un’incertezza del 30% rispetto al valore ottenutoutilizzando il calcolo della dose agli organi [19].Da quanto detto risultano ora chiare le limitazioni della stima della dose assorbita utilizzandoi DAP-meter, metodo considerato ormai come convenzionale e standard:

• necessaria calibrazione al variare di alcuni parametri dell’apparecchio radiologico (ten-sione, filtraggio, corrente anodica . . . )

• interferenza del DAP-meter con il fascio primario della radiazione

• sovrastima della dose assorbita: radiazione retrodiffusa, dose areale del fascio vs doseareale del paziente, errori di calibrazione

ma anche la valutazione della dose agli organi effettuata nel modo convenzionale sopra descrittopone dei problemi:

• perturbazione della misura con il fascio primario e degrado dell’immagine radiologica

• invasivita nel caso di inserzione di rivelatori all’interno del paziente

• costo computazionale in termini di tempo nell’utilizzo di simulatori Monte Carlo per lavalutazione dei fattori di conversione

• fattori correttivi legati a dimensioni e valori standard

Il software che e stato progettato e sviluppato si pone proprio come obiettivo quello di ottenereuna simulazione rapida e veloce che sia dinamica al variare dei parametri in gioco e che superii limiti legati alle procedure standard per la valutazione della dose assorbita e della dose agliorgani, utilizzando un modello fisico che permetta la simulazione oltre che del fascio primarioanche del fascio diffuso.La simulazione tuttavia non puo essere effettuata in tempo reale, ma rispetto a simulazioniMonte Carlo i tempi necessari all’ottenimento dei dati relativi permettono un’applicazioneclinica come strumento per la valutazione della dose assorbita dal paziente in radiologia.Un modello che viene utilizzato per valutare l’energia impartita al paziente e quindi in seguito ladose assorbita, e il metodo Gkanatsios & Huda. Questi autori hanno effettuato delle simulazionidi energia impartita a fantocci infiniti di vari spessori con fasci di varie energie, utilizzando ilmetodo Monte Carlo. Trovano che l’energia impartita per unita di erogzione e per unita diarea del campo radiante e direttamente proporzionale all’ Half Value Layer HVL, ovvero lostrato emivalente. La relazione fra energia impartita per unita di erogazione e unita di area ela quantita ωk (y, Tensione, HV L), funzione dello spessore del fantoccio y, della tensione dilavoro Tensione e dell’HV L (che descrive la qualita del fascio radiante stesso), e per gli autoridata da:

ωk (z, Tensione, HV L) = αk (z, Tensione) ·HV L+ βk (z, Tensione) (5.35)

in cui l’unita di misura di αk e [J ·Gy−1 ·m−2/mmAl], di βk e ωk e [J ·Gy−1 ·m−2] e dell’HV Le [mmAl]. Pertanto l’energia impartita al fantoccio infinitamente esteso risulta quindi essere

5.8 Dose-Area Product DPA 45

data dalla relazione:

ε (z, TensioneHV L, K, Area) = ωk (z, Tensione, HV L) ·K ·Area= ωk (z, Tensione, HV L) ·KAP= ωk (z, Tensione, HV L) ·DAP= (αk (z, Tensione) ·HV L+ βk (z, Tensione)) ·DAP

(5.36)

in cui K e il kerma calcolato in aria all’ingresso del fantoccio, Area e l’area del fascio radiante,KAP e il kerma area product che per le energie utilizzate e per l’aria equivale al DAP , ovverodose area product [20].

46 Dosimetria

Capitolo 6Rischio Radiologico e Dati diInteresse

Indice6.1 Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente ed Efficace . . . 43

6.2 Valutazione del Rischio Stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Energie al di sopra di qualche KeV possono causare danni permanenti alle strutture cellularicolpite. E quindi un tipo di indagine diagnostica da effettuare con cautela e l’uso di schermi diradioprotettivi e molto importante, come la verifica della corretta erogazione dei raggi-X tramitecontrolli di qualita e di funzionalita dell’apparecchiatura.

6.1 Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente edEfficace

L’esposizione alle radiazioni ionizzanti comporta dei rischi di effetti sanitari per gli esseriviventi e richiede quindi l’adozione di adeguate cautele.Gli effetti sanitari indotti sull’uomo vengono distinti in effetti somatici ed effetti genetici aseconda che si manifestino sull’individuo esposto o sui suoi discendenti.Gran parte degli effetti somatici sono di tipo non stocastico. La loro gravita e in relazionealla dose assorbita nell’organo o tessuto di interesse e, per ciascun effetto, esiste un valore disoglia della dose assorbita soltanto superato il quale esso si manifesta. I valori delle dosi corri-spondenti alle varie soglie sono sempre piuttosto elevati e conosciuti in genere con accettabileaccuratezza.Tutti gli effetti genetici e i piu importanti effetti somatici (leucemia, carcinogenesi) hanno in-vece carattere stocastico. Sono cioe caratterizzati da una probabilita di accadimento funzionedella dose ricevuta e dall’assenza di un valore di soglia sotto il quale l’effetto non si manifesti.Allo scopo di assicurare la protezione degli individui esposti, della loro progenie e del genereumano nel suo insieme, dagli eventuali danni che potrebbero derivare dallo svolgimento delleattivita con rischio da radiazioni ionizzanti si e andata sviluppando, parallelemente all’usodelle tecnolgie nucleari, una ormai relativamente nuova disciplina, la Radioprotezione.Si tratta di una materia fortemente interdisciplinare che richiede la conoscenza di nozioni difisica, biologia, medicina, chimica, economia e alla quale non e ormai estranea nemmeno lapolitica.

48 Rischio Radiologico e Dati di Interesse

Nessuna delle grandezze dosimetriche presentate (dose assorbita, kerma, energia impartita) eper sua natura idonea ad interpretare in modo completo gli effetti provocati dal trasferimentodi energia dalle radiazioni ionizzanti alla materia vivente. La dose assorbita, che pur resta difondamentale importanza, non consente in particolare di tener conto della diversita degli effettibiologici indotti da radiazioni di diversa qualita. Uno dei problemi centrali della radioprote-zione e proprio quello di individuare delle grandezze atte a quantificare i rischi di esposizioneai diversi tipi di radiazioni ionizzanti.Una soluzione rigorosa di questo problema non e ancora stata trovata. Sono state tuttaviadefinite una serie di grandezze che fungono da indicatori del rischio da radiazoni ionizzanti eche consentono di dare un soddisfaciente assetto al momento preventivo. Queste grandezze,che costituiscono nel loro insieme la famiglia delle grandezze radioprotezionistiche, permettonodi tener conto, seppur in modo empirico, anche della qualita della radiazione.La prima e piu elementare di esse e la dose equivalente H, per mezzo della quale la doseassorbita viene ponderata con opportuni fattori correttivi per tener conto della qualita dellaradiazione e delle condizioni di irradiazione.La dose equivalente H in un certo punto di un tessuto irradiato e definita come:

H = QDN (6.1)

dove D e la dose assorbita, Q e il fattore di qualita della radiazione ed N il prodotto di tuttigli altri fattori correttivi, tra i quali potrebbero rientrare quelli che servono a descrivere lecaratteristiche specifiche dell’irradiazione (frazionamento della dose, rateo di dose,. . . ).In effetti, poiche l’ICRP ritiene di poter assegnare ad N il valore unitario, la 6.1 puo piusemplicemente essere riscritta come:

H = QD (6.2)

Il fattore di qualita serve a tener conto della distribuzione dell’energia assorbita a livello mi-croscopico ed e quindi il parametro per mezzo del quale si prende in considerazione la diversaqualita della radiazione. Poiche tale distribuzione dipende dalla natura e dalla velocita delleparticelle cariche che liberano la dose, essa puo essere caratterizzata attraverso la grandezzafisica LET.Il LET (Linear Energy Transfer) o trasferimento lineare di energia e definito come:

L∆ =(dE

dl

)∆

(6.3)

dove dE rappresenta l’energia ceduta localmente per collisioni da una particella carica lungo unsegmento di traccia dl, avendo considerato nel computo di dE solo le collisioni che comportanoun trasferimento di energia minore di ∆ (di solito in eV). Abitualmente si esprime il LET in[KeV · µm−1

]. Naturalmente se si tengono conto di tutte le perdite di energia, senza imporre

alcun limite, si ottiene per il LET, che in questo caso si indica con il simbolo L∞, lo stessovalore numerico del potere frenante per collisione.Finora l’ICRP ha raccomandato i valori di Q servendosi del L∞ in acqua. I valori numericiprescelti sono riportati nella seguente tabella:

L∞ in acqua[KeV · µm−1

]Q

3.5(o meno) 17 2

23 553 10

175(o piu) 20

Nel caso in cui le cessioni di energia avvengano con un certo spettro di valori di L∞, in luogodi Q si dovra calcolare un opportuno valore efficace Q dato da:

Q =1D

∫Q(L∞)D(L∞)dL∞ (6.4)

6.1 Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente ed Efficace 49

dove D(L∞)dL∞ e la dose assorbita nell’intervallo di LET compreso tra L∞ e L∞ + dL∞ nelpunto di interesse.Una difficolta pratica nell’applicazione dell’equazione 6.4 risiede nella circostanza che soltan-to raramente sono disponibili dettagliate informazioni sulla distribuzione di dose assorbita infunzione del L∞. Quando tali dati non siano disponibili, un’accettabile approssimazione di Qe quella mostrata nella segente tabelle:

Tipo di radiazione Q

Raggi-X, Raggi-Γ ed elettroni 1Neutroni, protoni e particelle di carica unitaria e di massa a riposopiu grande dell’unita di massa atomica 10

Particelle alfa e particelle di carica multipla o non conosciuta 20

I valori del fattore di qualita e il concetto stesso di fattore di qualita si intendono applicabilisoltanto nell’ambito di basse dosi. Nello stesso ambito si deve pertanto intendere limitato anchel’uso della grandezza dose equivalente. Quando le dosi ricevute eccedono i limiti raccomandati,le valutazioni radioprotezionistiche devono essere effettuate in termini di dose assorbita.Nel sistema internazionale delle unita di misura, la dose equivalente si esprime in

[Sv = J

Kg

]e nel caso di particelle con fattore di qualita Q = 1 allora vale 1Sv = 1Gy = 1JKg−1.La variazione di H nell’unita di tempo viene definita come Rateo di Dose Equivalente dH

dt

misurato in[Svs

]e relativi multipli e sottomultipli.

Come si sara gia notato, la dose equivalente non e una grandezza fisica, ma soltanto un mez-zo per esprimere su scala comune gli effetti prodotti alle basse dosi da radiazioni di qualitadiversa. La debolezza intrinseca di questa quantita riflette la mancanza di chiarezza tuttoraesistente in merito agli effetti delle piccole dosi sugli organismi viventi.Gli effetti prodotti sull’uomo dalle piccole dosi di radiazioni (carcinogenesi, effetti ereditari)sono di natura stocastica. La relazione che lega la probabilita di accadimento alla dose ricevutanon e pero ancora completamente ben nota. E questo il problema centrale che la radioprote-zione deve ancora risolvere.I dati radiobiologici disponibili raramente si riferiscono poi all’intervallo di dosi cui si e in-teressati in radioprotezione. Spesso si tratta infatti di risultati di studi epidemiologici o diesperimenti condotti con elevati valori di dose o rateo di dose assorbita, che devono quindiessere estrapolati alla zona delle basse dosi. Nel far questo si deve introdurre una qualcheipotesi sul tipo di legge che lega la frequenza degli effetti stocastici osservati alla dose ricevuta.L’ICRP giudica cautelativo assumere tale relazione di tipo lineare senza soglia. E questo ilmattone fondamentale sul quale la predetta organizzazione fonda tutto il suo sistema di limi-tazione delle dosi.Sulla base di una tal ipotesi, l’estrapolazione alle basse dosi degli effetti osservati dovrebbedare risultati tanto piu conservativi quanto piu sigmoide e la relazione effettiva tra dose edeffetto. In realta si e attualmente portati a credere che per le particelle di alto LET la relazionedose-effetto sia effettivamente di tipo lineare.Nel caso della radiazione di basso LET, l’ipotesi di linearita senza soglia potrebbe invece costi-tuire un’approssimazione cautelativa almeno per certi effetti. Secondo i risultati di numeroseosservazioni sperimentali e l’analisi dei dati epidemiologici, la risposta dei sistemi biologicifino a dosi dell’ordine di qualche gray sembra, per vari effetti stocastici, ben rappresentata daun’espressione del tipo:

E = aD + bD2 (6.5)

dove E e la frequenza degli effetti osservati, D la dose assorbita, a e b due costanti.Sebbene 6.5 si sia dimostrata valida per una gran varieta di effetti, i valori delle costanti ae b cambiano da osservazione a osservazione. Soltanto raramente possono poi essere ricavatistudiando dati relativi a irradiazioni con non piu di 0.5 Gy. Si deve in genere procedere quindialle sopra menzionate estrapolazioni, con le sovrastime che esse potrebbero comportare allebasse dosi.I valori delle costanti a e b dovrebbero comunque essere tali che il termine quadratico della


equazione 6.5 predomina ad elevate dosi assorbite (generalmente sopra a 1 Gy) e ad elevatiratei di dose (dell’ordine di 1 Gy al minuto), mentre il termine lineare predomina a basse dosie bassi ratei di dose.Per alcuni effetti tuttavia, ad esempio il cancro alla mammella o della tiroide, anche nel casodella radiazione di basso LET, la relazione con la dose assorbita dovrebbe essere di tipo lineare.In considerazione della definizione di dose eqiuvalente, l’ipotesi di linearita tra frequenza deglieffetti indotti e dose assorbita si traduce in un’analoga relazione tra frequenza degli effettiindotti e dose equivalente. Il fattore di proporzionalita, che si esprime in

[Sv−1

], rappresenta

la frequenza degli effetti attesi per unita di dose equivalente ricevuta nell’organo di interesse.I sopra menzionati coefficienti di proporzionalita tra la frequenza degli effetti stocastici legatiall’irradiazione dei vari organi e tessuti e le dosi equivalenti ricevute, estrapolati dai datidisponobili ad alte dosi, risultano in generale diversi tra loro.Volendo tener conto del rischio di effetti stocastici d’insieme connesso all’esposizione di tuttii vari organi e tessuti dell’individuo esposto, l’ICRP ha introdotto un’apposita grandezza, laDose Efficace E definita da:

E =T=NT∑T=1

wTHT (6.6)

dove HT e la dose equivalente ricevuta dal tessuto o organo T e wT il fattore di ponderazionerelativo a tale tessuto o organo ricavato in base a considerazioni sul rischio radiologico. I valoridi wT adottati dall’ICRP sono mostrati nella seguente tabella:

Organo o Tessuto Stima del rischio (casi per 10−3 Sv−1) wT

Gonadi 3.3 0.20Mammella 0.8 0.05

Midollo osseo rosso 2.0 0.12Polmoni 2.0 0.12Tiroide 0.8 0.05

Superficie ossea 0.1 0.01Colon 2.0 0.12

Stomaco 2.0 0.12Vescica 0.8 0.05Fegato 0.8 0.05Esofago 0.8 0.05

Pelle 0.1 0.01Rimanenti organi e tessuti 0.8 0.05

Tabella 6.1: Valori di wT adottati dall’ICRP

Osservando la tabella si puo notare che per ciascun organo o tessuto, il valore di wT e ugualeal rapporto tra il rischio stocastico per l’irradiazione di tale organo o tessuto ed il rischiostocastico globale relativo all’irradiazione uniforme del copro intero, che risulta essere pari a1.65 ∗ 10−2 Sv−1.Recentemente l’ICRP ha pubblicato i nuovi fattori di wT , che sono riportati invece in figura6.1, ma non vengono ancora adottati in clinica dato che per legge devono essere utilizzati icoefficienti di tabella 6.1.

Conviene ricordare che nel computo dei valori wT , l’ICRP ha preso in considerazione sol-tanto i cancri con esito fatale e gli effetti ereditari relativi alle prime due generazioni. La doseefficace quindi e un indicatore del rischio legato ai predetti effetti e non del rischio globale pertutti gli effetti stocastici. Secondo stime dell’ICRP stessa, l’aver trascurato il rischio dei cancrinon fatali e gli effetti genetici relativi alle generazioni successive alla seconda, comporta unasottostima dell’ordine soltanto del 24%. Allo scopo di meglio precisare il significato dei valoridi wT , si osservi che se il rischio globale risultante da una data dose di radiazione distribuita

6.1 Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente ed Efficace 51

Figura 6.1: Tabella dei nuovi coefficienti wt come pubblicato dall’ICRP in data 13/02/07

uniformemente al corpo intero viene assunto uguale ad 1, allora tale rischio si deve conside-rare ripartito tra i vari organi e per i vari effetti secondo le percentuali indicate nella tabellaprecedente.Il probelma degli effetti indotti dall’esposizione di gruppi di individui a basse dosi di radiazioniionizzanti e tra i piu delicati da affrontare per via delle numerose incertezze tuttora esistentisui vari aspetti che esso presenta.L’ICRP ha ritenuto opportuno introdurre appositamente alcuni nuovi concetti allo scopo difornire una guida per valutare piu puntualmente i livelli di rischio cui sono esposti gruppi piuo meno numerosi di individui della popolazione.Al fine di identificare e quantificare per quanto possibile l’insieme di tutti gli effetti dannosi (ef-fetti sanitari stocastici e non stocastici, effetti dannosi di tipo non sanitario), e stato introdottoil concetto di detrimento. Tale quantita e in linea generale definita come l’attesa matematicadi ogni danno subito da una certa popolazione a causa dell’esposizione alle radiazioni, tenutoconto di tutti i tipi di possibili effetti dannosi e della gravita di ciascuno di essi.Nel detrimento possono dunque distinguersi due componenti di natura diversa: una di tipooggettivo che riguarda le conseguenze sanitarie presumubilmente patite dalle popolazioni espo-ste; l’altra a carattere piu soggettivo che concerne invece effetti di natura non sanitaria, mapur sempre collegabili allo stato di salute e di benessere degli individui. Un esempio di questotipo sono gli stati di ansieta psicologica talvolta indotti nelle popolazioni dalla vicinanza delleloro abitazioni ad impianti radiogeni. Il caso piu noto e quello dei gruppi di popolazione chevivono in prossimita delle centrali nucleari.Nel seguito ci si limitera a trattare la prima componente, quella oggettiva, la sola per la qualesiano attualmente possibili valutazioni, sebbene ancora insufficienti, di tipo quantitativo.Se si indica con pi la probabilita che un certo individuo della popolazione sia colpito dall’effettoi, la cui gravita sia espressa da un fattore di severita gi, il detrimento sanitario G subito daun guppo di N individui puo esprimersi come:

G = N∑i

pigi (6.7)

Per scopi di radioprotezione si puo assumere in prima approssimazione che il detrimento siaprevalentemente dominato da eventi quali i tumori letali e gli effetti ereditari gravi nelle primedue generazioni, effetti per i quali si puo porre gi = 1. Allora si esprime il detrimento sanitariocome:

G = N∑i

pi (6.8)

La relazione intercorrente tra grandezze radioprotezionistiche e detrimento non e in genere no-ta. In molte situazioni pratiche tale quantita puo pero essere correlata ad una nuova grandezza,


la Dose Eefficace Colllettiva SE , definita come:

SE =∫ ∞

0

EN(E)dE (6.9)

in cui N(E)dE e il numero di individui esposti che ricevono in ogni precisato organo o tessuto,una dose efficace compresa tra E e E+dE. La dose efficace collettiva si esprime abitualmentein [Sv −man].Il concetto di dose efficace collettiva tuttavia e fortemente legato al numero di individui checostituiscono il gruppo della popolazione in esame. Piu il gruppo e numeroso, piu elevata risul-ta, a parita di ogni altra condizione, la dose collettiva. Talvolta puo essere quindi significativofar riferimento anche al concetto di dose efficace ricevuta da un ipotetico individuo medioappartenente al gruppo. Si parla allora di Dose Efficace Pro-capite, che si ottiene dividendo ladose efficace collettiva per il gruppo di popolazione in esame in un dato istante per il numerodegli individui che lo compongono [1].

6.2 Valutazione del Rischio Stocastico

Ai fini della radioprotezione, il rischio di danni stocastici e proporzionale alla somma deicontributi delle dosi assorbite dai vari organi moltiplicate per opportuni fattori di ponderazionedipendenti dall’organo. La dose efficace esprime appunto il concetto di dose media, uniforme-mente distribuita sull’organismo, ottenuta come somma dei contributi della dose equivalentedai vari organi pesata dai fattori wT . Detta E, la dose efficace, e con fR un coefficiente dettobrevemente Fattore di Rischio, il rischio viene valutato come:

R = frE (6.10)

dove R e espresso in numero di cancri fatali e non fatali ed effetti ereditari inducibili (spes-so riassunto con il termine Detrimento); E e espresso in dose efficace collettiva misuarta in[Sv −man].L’ICRP 60 (1990) fornisce la seguente tabella dei coefficienti nominali di rischio per effettistocastici (usabili per il calcolo del detrimento):

PopolazioneEsposta

Cancri Fatali[Sv−1]

Cancri NONFatali [Sv−1]

Effetti eredi-tari [Sv−1]

Totale [Sv−1]

LavoratoriAdulti

5.0 · 10−2 0.8 · 10−2 0.8 · 10−2 6.6 · 10−2

Popolazione 5.0 · 10−2 1.0 · 10−2 1.3 · 10−2 7.3 · 10−2

Ai fini della radioprotezione del paziente e al fine della valutazione del rischio degli opera-tori, come gia detto, la grandezza che va stimata e la dose efficace E.Infatti il rischio legato all’esposizione a radiazioni ionizzanti e direttamente proporzionale allagrandezza radioprotezionistica dose efficace, (grandezza non misurabile) ovvero alla sommadelle dosi equivalenti nei diversi organi e/o tessuti, opportunamente pesati. Nelle valutazioniadottate dall’Azienda Per i Servizi Sanitari di Trento si assume che fR = 7.3 ∗ 10−2 Sv−1.Nella parte seguente si assume che ai fini della radioprotezione, il rischio di danni stocastici eproporzionale alla somma dei contributi dell’energia assorbita dai vari organi moltiplicate peropportuni fattori peso che tengono conto delle diverse sensibilita cellulari e dimensioni degliorgani stessi (tramite il fattore wT ) e si ipotizza che il fattore di ponderazione della qualitadella radiazione ionizzante sia wR = 1 in quanto valido per tutti i tipi di fotoni.Nota l’energia impartita ad un volume (di densita uniforme) e possibile calcolare la dose mediaassorbita nel volume irradiato dalla relazione:

D [Gy] =ε [J ]m [Kg]

(6.11)

6.2 Valutazione del Rischio Stocastico 53

dove m e la massa irradiata e vale la relazione m = V ρ in cui V e il volume considerato e ρ ela densita di tale volume. La dose efficace DE viene calcolata con la nota relazione:

DE [Sv] =T=NT∑T=1

DT [Gy] · wT [Sv/Gy] (6.12)

La somma e estesa a tutti gli organi o tessuti (T = 1 . . . NT ) interessati all’irraggiamento edove wT e il fattore di ponderazione per l’organo o tessuto T , DT e la dose equivalente chenel caso di radiazione elettromagnetico, come gia detto precedentemente e uguale alla doseassorbita dall’organo T , cha a sua volta dipende dall’energia impartita ε [J ]. La precedenterelazione si puo esplicitare anche come:

DE [Sv] =T=NT∑T=1

DT [Gy] · sT [Sv/Kg/Gy] ·mT [kg] =T=NT∑T=1

εT [J ] · sT [Sv/J ] (6.13)

in cui sT e la sensibilita alle radiazioni ionizzanti, specifica per l’organo o tessuto T, mT e lamassa dell’organo T e εT e l’energia impartita all’organo T. Al fine della stima del rischio sieffettuano due ipotesi distinte, che portano ad uno stesso risultato:

a) La dose assorbita dall’organo non e nota. La miglior stima di DE si ottiene assegnando adogni organo una dose pari al valor medio della dose agli organi irradiati, ovvero la stimadella dose efficace si ottiene quindi da:

DE [Sv] =T=NT∑T=1

DT [Gy] · wT [Sv/Gy] ≈T=NT∑T=1

D[Gy] · wT [Sv/Gy]

= D[Gy] ·T=NT∑T=1

wT [Sv/Gy] =ε [J ]m [Kg]

·T=NT∑T=1

wT [Sv/Gy]

(6.14)

dove m =T=NT∑T=1

mT e la massa complessiva irradiata. Nell’ipotesi che non siano noti

esattamente gli organi irradiati o, per i vari organi, la frazione irradiata e quindi i fattoriwT , in prima approssimazione si puo assumere:

T=NT∑T=1

wT [Sv/Gy] = m [Kg]M [Kg] · wTB [Sv/Gy]

dove :wTB [Sv/Gy] = Fattore peso Total Body = 1 Sv/Gy

(6.15)

e quindi per un uomo definito come standard avente massa corporea pari a 75 Kg risulta:

DE [Sv] =ε [J ]m [Kg]

· m [Kg]M [Kg]

· wTB [Sv/Gy] =ε [J ]

M [Kg]· wTB [Sv/Gy]

=ε [J ]

75 [Kg]· wTB [Sv/Gy] = 0.0133 [Sv/J ] · ε [J ]

(6.16)

b) La sensibilita alla radiazione dei vari tessuti sT non e nota (non sono esattamente notii tessuti irradiati). La miglior stima di DE si ottiene assegnando sT = sTB , ovveroipotizzando una sensibilita dei vari organi pari alla sensibilita media al corpo intero. Lastima della dose efficace si ottiene quindi da:

DE [Sv] =T=NT∑T=1

εT [J ] · sT [Sv/J ]

≈T=NT∑T=1

εT [J ] · sTB [Sv/J ] = sTB [Sv/J ] ·T=NT∑T=1

εT [J ]

= sTB [Sv/J ] · ε[J ]

(6.17)


dove ε =T=NT∑T=1

εT e l’energia totale impartita agli organi irradiati. Ora:

wTB [Sv/Gy] = sTB [Sv/J ] ·MTB [kg]dove:MTB [kg] = M = Massa corpo intero

(6.18)

e quindi:

DE [Sv] = sTB [Sv/J ] · ε[J ] =wTB [Sv/Gy]

M [kg]· ε[J ] (6.19)

analoga alla relazione ottenuta con l’ipotesi a).

Il Rischio, per un uomo di peso pari a 75 Kg, e quindi dato dalla relazione:

R = fR[Sv−1] ·DE [Sv] = 7.3 · 10−2 [Sv−1] · 0.0133 [Sv/J ] · ε [J ]

= 0.00097 [J−1] · ε [J ]

≈ 10−3 [J−1] · ε [J ]

(6.20)

Questa relazione fornisce quindi la stima del rischio stocastico in funzione dell’energia imparti-ta. Riprendendo le stime dell’energia impartita nelle due situazioni di radiologia interventisticae radiodiagnostica per un esame di routine:

εINTERV ENTISTICA = 0.51 [J ]εRADIODIAGNOSTICA = 0.03 [J ] (6.21)

e quindi si ha che, per un uomo definito come standard avente massa corporea pari a 75 Kg,:

[DE ]INTERV ENTISTICA = 6.783 [mSv][DE ]RADIODIAGNOSTICA = 0.399 [mSv] (6.22)

da cui si ottiene allora una stima del rischio pari a:

RINTERV ENTISTICA ≈ 10−3 [J−1] · ε [J ] = 51 · 10−5

RRADIODIAGNOSTICA ≈ 10−3 [J−1] · ε [J ] = 3 · 10−5 (6.23)

ovvero:RINTERV ENTISTICA ≈ 510 casi/milione di interventiRRADIODIAGNOSTICA ≈ 30 casi/milione di radiografie (6.24)

Da sottolineare che questi sono valori del tutto indicativi (per un uomo standard di 75 Kg) e cheper una stima piu corretta bisogna essere a conoscenza di molteplci parametri che influenzanopesantemente la stima del rischio.

Capitolo 7Produzione di Raggi-X inradiologia

Indice7.1 Tubo a Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2 Anodo e Catodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3 Spettro dei Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.3.1 Interazione degli elettroni con il target . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.3.2 Radiazione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.3.3 Radiazione Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3.4 Distribuzione Angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Di seguito verranno mostrate la tecnologia ed i principi fisici necessari alla produzione di unfascio di raggi-X in radiologia; verra descritto in modo particolare il tubo radiogeno in tutte le suecomponenti e si porra particolare attenzione alla radiazione generata da tale tecnologia.

7.1 Tubo a Raggi-X

La tecnologia che piu diffusamente viene utilizzata nella generazione di un fascio di Raggi-X in radiologia diagnostica e il Tubo a Raggi-X, in cui si sfrutta il principio che quandouna sostanza viene bombardata da elettroni ad alta velocita si produce radiazione-X. Comemostrato in figura 7.1 qualsiasi tubo radiogeno e formato da due elettrodi, l’anodo e il catodoposti sotto vuoto in un tubo di vetro.

Figura 7.1: Tubo a Raggi-X

56 Produzione di Raggi-X in radiologia

Il catodo in realta e formato dal filamento di tungsteno e dalla coppa di focalizzazione.Quando il filamento viene portato ad alte temperature, tramite corrente, vengono emessi deglielettroni dal filamento stesso per effetto termoionico. Se ora l’anodo viene posto ad un vol-taggio positivo rispetto al filamento (tipicamente 20 − 150 KVolt), questi elettroni verrannoattratti dall’anodo stesso a creare una corrente, detta Corrente di Tubo che tipicamente e nel-l’ordine dei milliampere (mA).Dal momento che nello spazio tra anodo e catodo e creato il vuoto, gli elettroni non collidonocon le molecole del gas nell’attraversare il tubo stesso ed acquistano velocita. Alla superficiedell’anodo, l’energia cinetica acquistata da questi elettroni vale ECinetica = ∆V e, in cui ∆Vrappresenta la differenza di potenziale tra anodo e catodo ed e = 1.602 ∗ 10−19 Coulomb lacarica portata da un elettrone (il prodotto della differenza di potenziale per la carica dell’elet-trone e appunto un’energia: 1eV = 1.602 ∗ 10−19C ∗ 1volt = 1.602 ∗ 10−19J).Quando gli elettroni ragginugono l’anodo, essi collidono con l’anodo stesso, emettendo radia-zione in tutte le direzioni. Almeno meta di questa radiazione e assorbita dal target stesso edella rimanente, solo quella che emerge dalla finestra del fascio primario e utilizzata, dato chel’intero sistema e poi schermato per impedire qualsiasi uscita di radiazione diversa da quelladel fascio primario. Per i voltaggi applicati in diagnostica, meno dell’1% dell’energia portatadagli elettroni e convertita in raggi-X, mentre il rimanente 99% viene trasformata in calore,che deve essere allontanato dall’anodo stesso. La coppa focalizzante e disegnata in modo daconcentrare gli elettroni su una piccolo zona dell’anodo, detta macchia focale. La parte del-l’anodo dove vengono focalizzati gli elettroni e fatta tipicamente di tungsteno o una lega ditungsteno e rodio (90% tungsteno, 10% rodio). L’aggiunta del rodio serve a rendere piu duttileil target per evitare le rotture causate da un eccessivo riscaldamento.Per capire come viene utilizzato il tubo a raggi-X in un circuito elettrico, e essenziale sapere

Figura 7.2: Effetto della Tensione applicata al tubo radiogeno

come la corrente di tubo dipende dal voltaggio applicato per un dato filamento di eccitazione,come mostrato in figura 7.2. Quando si applicano pochi kV di voltaggio, la corrente di tuborisulta essere piccola a causa dell’effetto della carica spaziale presente al catodo. Infatti acausa del basso voltaggio non tutti gli elettroni vengono accelerati, e una nuvola di elettronicirconda il filamento tendendo a respingere indietro gli elettroni sul filamento finche non eapplicato un voltaggio che li accelera e quindi li sottrae al catodo ad un rate pari a quellodi produzione degli elettroni stessi per effetto termoionico. Questa nuvola di elettorni vienespesso chiamata Carica Spaziale. Quando il voltaggio aumenta, l’effetto della carica spazialeviene gradualmente eliminato e la corrente del tubo cresce finche tutti gli elettroni liberatidal filamento sono accelerati sull’anodo. Molti dei tubi radiogeni usati in diagnostica operanoin un range di voltaggio che sta sopra la regione dove si presentano le limitazioni dell caricaspaziale e sotto la regione di saturazione, dove anche aumentando il voltaggio non si ha unaumento della corrente di tubo poiche non vengono generati elettroni per effetto termoinicoad un rate sufficiente.La figura 7.2 mostra, per esempio, che un cambiamento nella corrente di filamento del 2.5%altera la corrente di tubo del 25% se il potenziale applicato tra anodo e catodo e di 100 KV.

7.2 Anodo e Catodo 57

Quindi per ottenere stabilita nelle operazioni con tubi a raggi-X e necessario che la correntedi filamento sia ben stabilizzata e controllata.La forma delle curve riportate in figura 7.2 dipende inoltre da molti fattori, quali la distanzatra anodo e catodo, la configurazione della coppa focalizzante, la macchia focale e la tempe-ratura del filamento. Tuttavia il fattore che maggiormente influenza l’andamento delle curvesopra riportate e il potenziale della coppa focalizzante rispetto a quello del filamento. Se lacoppa viene portata ad essere molto negativa rispetto al filamento, la nuvola elettronica vienead essere contenuta nella coppa stessa ed allora, a causa della repulsione, non passa nessunacorrente di tubo. Utilizzando questo principio e allora possibile ottenere tubi con tempi diswitching dell’ordine dei millisecondi, oppure e possibile ottenere macchie focali di diverse di-mensioni, come mostrato in figura 7.3.

Figura 7.3: Sezione di un Catodo

7.2 Anodo e Catodo

I tubi a raggi-X diagnostici sono progettati per generare un’immagine del paziente. Perfinose il paziente e immoblizzato, alcuni movimenti fisiologici sono sempre presenti, come peresempio la respirazione e il battito cardiaco. A tale scopo l’esposizone al fascio deve esserebreve e molto precisa per eliminare ogni possibile movimento. Questo implica che per avereun’immagine precisa bisogna che la sorgente sia puntiforme e per avere un tempo di esposizionecorto che il flusso di elettroni sul target sia molto alto. Questo implica che l’anodo andrebbedistrutto poiche verrebbero concentrati un alto flusso di elettroni su un area infinitesima. Molticostruttori hanno trovato il modo di distribuire gli elettroni su un’area maggiore per evitarele rotture dei tubi stessi e di far apparire il fascio di raggi-X come se uscisse da un’area moltopiu piccola. Come mostrato dalla figura 7.4 gli elettorni sono fatti collidere su un’area dilunghezza ab di un target che presenta un’inclinazione di un angolo θ. La lunghezza dell’areain uscita ricavata geometricamente risulta quindi essere cd = ab sin θ. In questo modo il fasciodi raggi-X sembra provenire da un’area piccola del target, mentre il fascio di elettroni colpisceun’area maggiore di target. I tubi diagnostici presentano angoli che variano da 6 a 21.

L’Anodo Rotante e stato sviluppato per aumentare il carico possibile del tubo radiogeno,facendo ruotare rapidamente il target durante l’erogazione della corrente di tubo. Gli elettroniallora colpiscono una regione che risulta essere 2πR/ef volte maggiore rispetto all’area di unanodo fisso ef. Con questo accorgimento si puo ottenere un carico molto maggiore dell’ap-parecchio. La costruzione dell’anodo rotante comporta uno sviluppo tecnologico significante,dato che la porzione dell’anodo rotante deve lavorare sotto vuoto e ruotare ad alta velocita condei cuscinetti. L’anodo e collegato ad un’armatura di un motore ad induzione, che e guidatoda bobine poste all’esterno del tubo in vetro. Un diagramma di questo anodo e mostrato infigura 7.5.


Figura 7.4: Anodo Rotante e Macchia Focale Elettronica ed Ottica

Per incrementare la versatilita dei tubi a raggi-X il catodo viene spesso munito di due fila-

Figura 7.5: Anodo Rotante

menti, come mostrato in figura 7.6. Un filamento e costruito per focalizzare gli elettroni sudi un’area larga dell’anodo ed e utilizzato quando il tubo deve esser caricato pesantemente.Il secondo filamento, uno molto piu fino, e utilizzato per focalizzare gli elettroni su un’areapiccola del target e viene utilizzato quando e richiesta alta risoluzione ed il carico dell’appa-recchio non e un problema. Entrambi i filamenti devono focalizzare gli elettroni sulla stessaparte dell’anodo in modo che la macchia focale sia centrata sullo stesso punto in entrambe lemodalita di funzionamento.In maniera del tutto analoga, i costruttori forniscono anche anodi rotanti con due angoli di

Figura 7.6: Filamenti del Catodo

inclinazione. L’angolo piu piccolo e utilizzato con la macchia focale minore, mentre quello piugrande con quella maggiore. Molti anodi al giorno d’oggi, sono fatti di una lega di tungsteno

7.3 Spettro dei Raggi-X 59

e rodio (90:10) innestati su un disco di molibdeno. La lega resiste maggiormente al bombar-damento degli elettroni che il solo tungsteno, presentando quindi un tempo di vita maggiore;infatti con l’utilizzo, tutti i tubi si deteriorano sull’anodo che presenta dei fori dovuti al bom-bardamento degli elettroni. Un anodo forato puo influenzare il campo elettrico tra catodo eanodo stesso, alterando in questo modo le dimensioni della macchia focale.

7.3 Spettro dei Raggi-X

Per comprendere i processi fondamentali coinvolti nella produzione dei raggi-X convienedapprima analizzare le proprieta di un tipico fascio di raggi-X.

Figura 7.7: Spettri Energetici

La figure 7.7 mostra delle tipiche distribuzioni spettrali di fotoni emessi a diversi voltaggidel tubo. Il grafico mostra il numero relativo di fotoni per ogni singolo intervallo di energia.L’area sottesa alla curva rappresenta il numero totale di fotoni emessi. Gli stessi dati possonoessere rappresentati in un’altra maniera, ponendo in funzione dell’energia del singolo fotonel’intensita, ottenuta moltiplicando il numero relativo di fotoni per l’energia portata dai fotonistessi. L’area sottesa alla curva in questo caso e proporzionale all’energia trasportata dal fa-scio.Da questi spettri misurati e evidente che lo spettro consiste di uno spettro continuo chimatoanche Radiazione di Frenamento o Radiazione di Bremsstrahlung a cui e sovrapposto uno spet-tro a righe che viene spesso detto Radiazione Caratteristica dato che le posizione delle righespettrali dipendono dal numero atomico del materiale utilizzato come anodo.

7.3.1 Interazione degli elettroni con il target

Quando un elettrone ad alta velocita colpisce una superficie di un target, esso collide inmolti modi diversi tra loro. Molte collisioni coinvolgono un trasferimento di energia che portaad una ionizzazione degli atomi del target. Un’altra classe di collisioni porta alla produzionedi radiazione. Per quanto concerne la prima tipologia, prima che l’elettrone si fermi e ionizzil’atomo avvengono molte collisioni con trasferimento di energia piccola, che appare macro-scopicamente come calore. Molto piu interessanti risultano le collisioni piu rare in cui si haproduzione di raggi-X.Se l’elettrone colpisce uno degli elettroni della shell K dell’atomo di tungsteno dell’anodo, si


crea una lacuna ed i due elettroni proseguono poi il loro percorso. La lacuna viene poi riempitada un elettrone della shell piu esterna, emettendo radiazione caratteristica della shell K. Infattise l’elettrone non ha sufficiente energia per espellere l’elettrone della shell K nello spettro deiraggi-X non compare la riga spettrale K.Quando l’elettrone passa invece vicino al nucleo, l’elettrone subisce la forza del campo coulom-biano del nucleo stesso ed esce da tale campo con un’energia ridotta, dato che parte dell’energiainiziale e stata emessa sottoforma di radiazione di frenamento.Ultima tipologia di interazione e la collisione dell’elettrone con il nucleo stesso dell’atomo edin questa collisione viene fermato: l’intera energia cinetica viene emessa come radiazione difrenamento. Questa tipologia ovviamente e assai rara.Come detto in precedenza, a 100kV, per esempio, gli elettroni che collidono il target perdonoil 99% della loro energia in collisioni che ionizzano il target e quindi l’energia viene poi persasottoforma di calore, mentre solo l’1% dell’energia viene convertita in radiazione. Va inoltresottolineato che i processi di collisione dell’elettrone fin qui descritti possono verificarsi con-temporaneamente lungo la traiettoria di un singolo elettrone e che la radiazione generata devepoi emergere dal target, che si comporta quindi anche come attenuatore della radiazione seessa viene generata in profondita.

7.3.2 Radiazione caratteristica

Figura 7.8: Processo di formazione della radiazione caratteristica e diagramma dei livellienergetici di tale radiazione per il tungsteno

Per comprendere la produzione di radiazione caratteristica, e necessario introdurre undiagramma dei livelli di energia molto piu dettagliato rispetto a quello di Bohr basato sulleorbite elettroniche e mostrato in figura 7.8. Studi piu accurati hanno mostrato che la shellL e formata da 3 subshell, la shell M da 5 subshell e la shel N da 7 subshell. Quando vieneespulso un elettrone dalla shell K, la lacuna lasciata puo essere riempita da un elettrone dellashell L, M, N, dando luogo ad una cosiddetta Transizione e l’energia rilasciata sottoforma diradiazione corrisponde alla differenza energetica della shell L, M, N con quella K. Tuttavia,dalla meccanica quantistica, non tutte le transizioni sono possibili, ma risultano tali solo quelleche seguono delle determinate regole di selezione.Per esempio la Kα1 e la Kα2 risultano dalla transizione tra LIII e LII con K, separate solo da10 KeV da Kβ1 e la Kβ2 che risultano dalla transizione tra MIII e MII con K. L’importanzadella radiazione caratteristica rispetto allo spettro di frenamento dipende principalmente dalvoltaggio applicato e dalla filtrazione della radiazione stessa. Per raggi-X diagnostici talecontributo e all’incirca il 30%.


7.3.3 Radiazione Bremsstrahlung

Quando un elettrone accelerato, che colpisce la superficie dell’anodo, passa in prossimitadel nucleo di un atomo del materiale target, esso interagisce con il campo coulombiano delnucleo, cambia la sua direzione di moto e viene quindi accelerato. In accordo con la teora clas-sica, una particella carica accelerata irradia un’onda elettromagnetica, cosicche una porzionedell’energia cinetica dell’elettrone incidente viene convertita in radiazione elettromagnetica difrequenza ν e porta un’energia pari a E = hν.Questo processo e chiamato Radiazione di Bremsstrahlung ed e mostrato in figura 7.9. Elet-

Figura 7.9: Processo di formazione di radiazione di Bremsstrahlung

troni che sfiorano il campo coulombiano del nucleo emettono soltanto una piccola porzionedell’energia cinetica, mentre elettroni che colpiscono direttamente il nucleo possono emetterefotoni con energia cha al massimo puo essere la frazione totale dell’energia cinetica dell’elet-trone. La massima frequenza possibile che puo raggiungere un fotone emesso quando l’ener-gia cinetica dell’elettrone e interamente convertita in radiazione, puo essere determinata dalbilancio dell’energia:

νmax =∆V eh

(7.1)

Una teoria che simuli l’interazione degli elettroni e la conseguente produzione di raggi-X in untarget deve tener conto di:

• il percorso dell’elettrone nel target

• cambiamento nella direzione di moto dell’elettrone ad ogni singola interazione

• la probabilita di una perdita di energia cinetica per ionizzazione e per radiazione difrenamento ad ogni incremento di percorso

• la direzione e l’emissione della radiazione di Bremsstrahlung

• attenuazione e scattering dei raggi-X prodotti nell’emergere dal target stesso

La complessita di tutto il processo non permette una soluzione teorica del problema. Se ci silimita ad un target sottile, cosicche nessun elettrone subisce piu di una collisione in media nelpassare attraverso il target, allora e possibile risolvere il problema. Una teoria semplificataindica che quando un fascio di elettroni di energia E1 collide su un target sottile, l’intensitadella radiazione emessa per ogni intervallo di energia del fotone da 0 a E1 e costante. Poichel’intensita e proporzionale al prodotto del numero di fotoni per la loro energia, un fotone conenergia E1/2 sara prodotto con probabilita doppia rispetto ad un fotone con energia E1. Sesi grafica il numero di fotoni per intervallo di energia in funzione dell’energia, si ottiene unacurva che presenta valori elevati per per piccole energie, come mostrato dall afigura 7.10. L’areasottesa da tale curva rappresenta l’energia irradiata totale ed e proporzionale sia ad E1 che alnumero atomico Z dell’elemento costituente il target dell’anodo. Questa teoria semplificata ein buon accordo per elettroni a basse energie (fino a 100 KeV) con le misure sperimentali, marisulta soltanto un’approssimazione per energie superiori.

Ora e possibile immaginare un target spesso come somma di molti taregt sottili. Allora lospettro finale risulta essere la somma dei singoli spettri generati da ogni singolo strato sottile,e vale quindi l’equazione:

I(E) = CZ(Emax − E) (7.2)


Figura 7.10: Spettri generati in un tubo Radiogeno

dove I(E) e l’intensita di radiazione per l’energia E, Emax e l’energia massima del fotoneemesso che risulta essere pari all’energia cinetica massima dell’elettrone, Z e il numero atomi-co dell’elemento che costituisce il target e C e una costante. L’area sottesa da questa curvariportata in figura 7.10 rappresenta l’energia irradiata come raggi-X e risulta proporzionale aE2max.

Rimane infine da tener conto dell’attenuazione e della filtrazione che tale spettro subisce acausa della finestra del tubo a raggi-X o per l’aggiunta di filtri, tipicamente in alluminio, permodulare lo spettro stesso di raggi-X. Infatti ponendo dei materiali in uscita al fascio si pos-sono attenuare i raggi-X a basse energie, che in radiologia non contribuiscono all’immaginee danno solo una dose maggiore al paziente in quanto depositano tutta la loro energia nelpaziente stesso, generando lo spettro riportato in figura 7.10.

7.3.4 Distribuzione Angolare

Se un fascio di elettroni a bassa energia incide su un target sottile, si trova che i raggi-Xsono emessi principalmente nella direzione perpendicolare a quella di propagazione del fasciodi elettroni, come mostrato nella figura 7.11, mentre per energie maggiori (circa 10 MeV) ladistribuzione tende alla direzione di propagazione (notare che la lunghezza delle frecce indical’intensita relativa alle diverse direzioni).

Figura 7.11: Distribuzione angolare dei raggi-X per diversi materiali e diverse energie deglielettroni incidenti


Figura 7.12: Effetto Heel

In realta, il target dell’anodo e uno strato spesso, che riesce a fermare l’elettrone. Questoporta ad una distribuzione angolare dei raggi-X verso la direzione perpendicolare alla dire-zione di propagazione, ma poiche l’anodo presenta una superficie inclinata, emergeranno daltarget solo i fotoni dalla parte inclinata, mentre nella direzione opposta saranno ovviamenteattenuati.Facendo riferimanto alla figura 7.12, dove e riportata la distribuzione angolare dei fotoni ge-nerati, la resa massima si ottiene per angoli compresi tra 5− 10 per un tipico tubo a raggi-Xutilizzato in diagnostica.L’intensita varia tipicamente di un 30% su tutto il fascio utile di raggi-X presentando il valorepiu basso verso la parte dell’anodo. Tale effetto e spesso chiamato Effetto Heel.


Capitolo 8Radiologia Digitale

Indice8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.2 Computed Radiography (CR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2.1 Il Plate PSP (Photostimulable Storage Phosphor) . . . . . . . . . . 63

8.2.2 Scanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.3 Digital Radiography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.3.1 Sistema Indiretto a Fotodiodi CsI(Tl)-a-Si . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.3.2 Sistema Diretto con Fotocatodo a-Se . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

La radiologia digitale e un sistema radiologico che sta largamente diffondendosi per molteplicimotivazioni; si mostreranno i principi fisici di funzionamento e le varie tipologie con i rispettivivantaggi ad esse legate. Infine verra mostrato in ogni singolo passaggio il processo di formazionedell’immagine radiologica nelle varie tecniche di imaging digitale.

8.1 Introduzione

La produzione di immagini radiologiche in ambito medico in questi ultimi anni e stata ra-dicalmente rivoluzionata dall’introduzione della tecnologia digitale. I vantaggi di un’immaginedigitale rispetto ad una convenzionale radiografia in pellicola sono molteplici:

• possibilita di separare il processo di rivelazione da quello di visualizzazione delle immaginiprodotte

• abbattimento dei costi delle pellicole radiografiche a fronte di plate riutilizzabili

• possibilita di elaborare a posteriori le immagini

• possibilita di integrare le informazioni cliniche di immagini acquisite con modalita diverse

• informazione della rivelazione data in formato di matrice numerica

• archiviazione e gestione elettronica dell’immagine stessa, abbattendo i costi di gestione

Il passaggio da radiologia convenzionale a quella digitale rimane graduale: inizialmente non harichiesto la sostituzione degli apparecchi radiologici delle varie Unita Operative di Radiologia.

66 Radiologia Digitale

Infatti l’introduzione della Computed Radiography (CR) basata su piastre ai fosfori (Photo-stimulable Plates) ha richiesto solo la sostituzione delle cassette radiografiche.Tuttavia anche la CR e destinata ad essere soppiantata dalla Radiologia Digitale (Digital Ra-diology o DR), basata su pannelli rivelatori (Flat Panel Transistor) costituiti da una matricedi elementi fotosensibili e di transistors a film sottile, sopra al quale e depositato uno stratodi materiale scintillante drogato come lo CsI(Tl).

Tipicamente lo schema di acqusizione delle immagine radiografiche e il seguente, come

Figura 8.1: Sistema di acquisizione dell’immagine radiologica

mostrato in figura 8.1

• generatore di raggi-X: tipicamente si tratta di un tubo radiogeno;

• filtro di alluminio: rimuove i fotoni a bassa energia (processo noto anche come beam-hardening) che non contribuiscono alla formazione dell’immagine ma soltanto all’aumentodella dose rilasciata perche totalmente assorbiti dal paziente;

• collimatore: necessario per generare un fascio ben definito sulla regione del paziente chedeve essere irraggiata;

• paziente: cioncide da un punto di vista fisico ad un mezzo attenuante e diffondente;

• griglia: matrice collimatrice di tungsteno che assorbe i fotoni diffusi (o scatterati),fermando tuttavia solo quelli a grande angolo di incidenza;

• rivelatore: puo essere una combinazione schermo-pellicola, un’intensificatore d’immaginecon camera CCD, una cassetta per CR o DR con lo scopo di rilevare la radiazioneattenuata dal paziente.

Il processo di produzione dell’immagine prevede la generazione di un fascio di raggi-X conspettro noto e filtrato adeguatamente allo scopo diagnostico, la rivelazione dell’attenuazionespaziale del fascio (causata dal passaggio della radiazione attraverso il paziente) ed il trasferi-mento di questa informazione in scala di grigi.Con l’avvento della radiologia digitale si introduce nella procedura di formazione dell’immagi-ne una nuova fase, quella dell’elaborazione dell’immagine. Questa tesi si pone come obiettivoquello di calcolare la dose rilasciata al paziente a partire dall’immagine radiologica, vista oracome matrice di pixel-values legati alla rivelazione della radiazione sia primaria che diffusa.L’aspetto dell’immagine radiografica dipende da:

• caratteristiche del fascio primario di raggi-X generato

• geometria di acquisizione dell’immagine

• caratteristiche del paziente (interazione della radiazione con i vari tessuti del paziente)

• caratteristiche del sistema di rivelazione dei raggi-X trasmessi

8.2 Computed Radiography (CR) 67

Un’immagine digitale e una matrice costituita da elementi detti pixel e la dimensione di un’im-magine e data dal numero di pixel presenti nelle righe e nelle colonne. Un pixel e caratterizzatoda 3 numeri: due definiscono la sua posizione all’interno dell’immagine ed il terzo l’intensitadell’immagine che viene indicata matematicamente con I(m,n). I(m,n) e una variabile di-screta che puo assumere 2n valori, in cui n e chiamato numero di bit; in radiografia si usanotipicamente immagini fino a 12 bit, cioe con 212 = 4096 intensita o livelli di grigio. Allorala dimensione di un’immagine e data da (M × N)K, in cui (M × N) rappresenta il numerototale di pixel presenti nell’immagine digitale e K = n e la profondita dell’immagine ovvero ilnumero di bit dell’immagine.Per avere immagini di buona qualita e non perdere informazione, la dimensione del pixel deveessere quanto piu piccola possibile e il numero di bit quanto piu elevato possibile.I segnali digitali si ottengono con un campionamento, ad intervalli discreti sia in posizione chein intensita (quest’ultima detta anche quantizzazione) dei segnali analogici, che al contrariopresentano una variazione continua sia spaziale che in intensita.

8.2 Computed Radiography (CR)

Lo schermo, o plate, ai fosfori fotostimolabili, chiamato anche Photostimulable StoragePhosphor o PSP, utilizzato dai sistemi della radiografia computerizzata, e del tutto simile aquelli usati in radiografia tradizionale ed e contenuto in cassette di forma e dimensioni ugualia quelle delle abituali cassette portapellicola.Quando lo schermo viene esposto ad un fascio di raggi-X, si imprime sullo schermo un’imma-gine elettronica latente dell’oggetto interposto tra la sorgente di raggi-X ed lo schermo, sottoforma di elettroni intrappolati in stati metastabili mediante assorbimento dei fotoni del fascioincidente. Il PSP se eccitato con luce laser di opportuna frequenza, tipicamente nella fequenzadella luce rossa, emette luminanza fotostimolata nella frequenza della luce blu, di maggiore eminore intensita in funzione degli elettroni intrappolati negli stati metastabili e dell’intensitastessa del laser utilizzato per la lettura. Infine un fotocatodo raccoglie la luce emessa dal PSPe la converte in un segnale elettronico, inviato poi ad un convertitore analogico-digitale. Inquesto modo e possibile ottenere un’immagine radiologica digitale proporzionale agli elettroniintrappolati negli stati metastabili, ottenuti tramite drogaggio dei fosfori dello schermo.

8.2.1 Il Plate PSP (Photostimulable Storage Phosphor)

Le piastre al fosforo possono essere costruite con diversi materiali fosforescenti quali BaF-Br:Eu2+, BaFCl:Eu2+, ZnS:Cu, LaOBr:Tb. I plates utilizzati presso l’Azienda Provincialeper i Servizi Sanitari di Trento sono costituiti da Bromofluoruro di Bario con impurezze diEuropio (BaFBr:Eu2+).

Nell’immagine 8.2 e schematizzata la sezione di un plate con valori indicativi dei rispettivi

Figura 8.2: Sezione di un Plate PSP


spessori di materiale, che varia da ditta a ditta. Il primo strato e lo strato protettivo posterio-re, tipicamente in alluminio, ricoperto poi da uno strato protettivo posteriore per la luce, dauno strato di supporto, da uno strato riflettente la luce e conduttore elettrico, da uno stratodi fosforo drogato ed infine un ultimo strato protettivo tipicamente in fibra di carbonio.L’immagine latente nei sistemi a plate PSP e data dalla distribuzione spaziale, ovvero dal-la densita, degli elettroni intrappolati nei livelli metastabili della banda proibita. Infatti glielettroni vengono eccitati dai fotoni incidenti e passano dalla banda di valenza alla banda diconduzione (la differenza di energia e pari a 8,3 eV per il PSP considerato). Da questo statoinstabile gli elettroni tendono a ritornare alla banda di conduzione, ma vengono intrappolatinella banda proibita a causa della presenza di stati energetici metastabili generati dal drogag-gio dei fosfori del plate. Queste impurezze introdotte nel plate sono di tipo Br- per gli elettronie di tipo Eu2+ per le lacune. In figura 8.3 viene riportata la teoria che spiega il processo diassorbimento dell’energia e la formazione dei centri di luminescenza.

Figura 8.3: Teoria di Von Seggern e Takahashi

8.2.2 Scanner

In seguito alla creazione dell’immagine latente, in un intervallo di tempo che va da 10 minutia 8 ore successivi all’esposizione, e possibile esplorare gli stati metastabili mediante un raggiolaser (avente spettro uguale allo spettro di assorbimento del Br- ). Tipicamente si utilizza unaluce di stimolazione (rossa) con frequenza diversa da quella di fotoluminescenza (blu). La lucedi luminescenza puo quindi essere separata dalla luce laser incidente, essere convogliata su untubo fotomoltiplicatore che la converte in segnale elettronico analogico; infine un convertitoreanalogico digitale (Analogic to Digital Converter ADC) trasforma quest’ultimo segnale in datodigitale. In figura 8.4 e mostrato il sistema di lettura del plate.Mediante una serie di dispositivi ottici, il laser e focalizzato sul plate e con appositi deflettorilo spot e fatto muovere lungo la direzione ortogonale al trascinamento meccanico del platestesso. Poiche l’intensita della luce di luminescenza e proporzionale a quella emessa dal la-ser in fase di lettura, una parte del raggio laser viene deviata su un rivelatore di riferimentoper individuare possibili fluttuazioni di intensita del laser ed eventualmente compensarle. Lacomponente maggiore del fascio e invece convogliata sul plate, attraversando una serie di com-ponenti ottiche che generano una distribuzione della macchia focale del laser incidente aventeprofilo gaussiano. In seguito alla lettura del laser, sul plate rimane un segnale residuo deter-minato dagli elettroni ancora presenti. L’eliminazione di tale segnale, ovvero la cancellazione

8.3 Digital Radiography 69

del plate, avviene per mezzo di tubi fluorescenti che emettono luce bianca molto intensa.Come detto precedentemente, l’intensita del segnale prodotto e proporzionale alla dose as-sorbita nel volume eccitato dalla luce del laser e all’intensita del fascio laser stesso. Il platerisulta essere lineare all’esposizione per piu di cinque ordini di grandezza, contro i tre ordinidi grandezza tipici dei sistemi schermo-pellicola. Questo significa che non ci sono problemi diperdita di informazione per sovra o sotto esposizione.La risoluzione spaziale inoltre risulta confrontabile con i sistemi convenzionali ed e limitatasolo dalla sezione del fascio laser nella fase di lettura. La velocita di scansione invece e deter-minata dal movemento meccanico del plate sempre in fase di lettura e la dose data al pazienterisulta essere confrontabile con i metodi convenzionali.Tuttavia ci sono altre importanti limitazioni:

• azzeramento dell’informazione contenuta nel plate in fase di lettura

• necessita di azzerare le trappole stimolandole con luce bianca per evitare effetti dimemoria

• necessita operativa di trasferire il plate dal sistema di esposizione (apparecchio radiolo-gico) al sistema di lettura e azzeramento (scanner)

• tempi complessivi di ottenimento dell’immagine sono ancora troppo lunghi

• non e possibile utilizzare il plate in scopia

Figura 8.4: Sistema di lettura di un plate CR

8.3 Digital Radiography

I nuovi rivelatori a matrice attiva di TFTs (Thin Film Transistors, o film sottile di tran-sistor) o FDP (Flat Panel Detector) possono essere distinti in due categorie principali: quelliche attuano la conversione diretta dei raggi-X incidenti in un segnale elettrico e quelli inveceche necessitano della conversione in radiazione luminosa della radiazione-X incidente. I rive-latori diretti sono costituiti da un fotoconduttore, come ad esempio il selenio amorfo (a-Se),che converte direttamente i fotoni-X in una carica elettrica. Nei rivelatori indiretti invece laradizione incidente viene prima convertita in luce visibile quindi in carica elettrica, medianteuna matrice di fotodiodi di silicio amorfo (a-Si). Per entrambe le metodiche, mostrate in fi-gura 8.5, la carica elettrica viene convogliata ad un sistema di lettura per essere convertita da


segnale analogico a digitale.

Figura 8.5: Sistemi Digital Radiography

Una tipica matrice attiva di TFTs, detta anche AMA (Active Matrix Arrays) consiste inuna matrice bidimensionale di transistor a film sottile realizzati in materiale semiconduttoreamorfo o policristallino. L’unita elementare della matrice, come mostrato in figura 8.6, e ilpixel costituito da:

Figura 8.6: Flat Panel Detector

• un TFT per la scansione elettronica

• un elettrodo collettore per raccogliere la carica generata nel fotoconduttore o fotodiodo

• un condensatore che immagazzina la carica prima che venga letta

Ciascun pixel porta la carica attraverso l’elettrodo collettore al condensatore Cij la cui caricapuo essere letta per mezzo del transistor TFTij quando e attivato dalla porta della linea i-esima (gate line) e dalla sorgente della linea j-esima (data line). Infatti durante l’esposizione igates sono chiusi e la carica si accumula; la lettura di una riga avviene variandone il potenziale


(gates aperti): sorgenti e collettori sono, in questo modo, in contatto ed i pixel di ogni rigascaricano la carica accumulata. I segnali delle varie righe vengono serializzati, amplificati edinviati al convertitore analogico-digitale (ADC).

8.3.1 Sistema Indiretto a Fotodiodi CsI(Tl)-a-Si

Figura 8.7: Sistema DR Indiretto

Lo schema in figura 8.7 rappresenta il sistema di formazione dell’immagine tramite DRindiretto. I raggi-X colpiscono il materiale scintillatore, che in quanto stimolato emette luce.Questa viene raccolta dal fotodiodo di ogni singolo pixel che converte il segnale luminoso incarica elettrica, che viene letta tramite un TFT. Tale segnale elettrico viene amplificato emandato ad un convertitore analogico-digitale per la formazione dell’immagine digitale.I tre componenti del FPD possono essere realizzati diversamente in relazione alla ditta pro-duttrice. I componenti sono: uno scintillatore, un fotodiodo (che converte la luce in caricaelettrica) e una matrice TFT (che permette il trasferimento indipendente della carica raccoltain ogni pixel verso l’elettronica esterna in cui viene amplificata e quantizzata).Il silicio amorfo (a-Si) e un semiconduttore che e pratico per la costruzione di fotodiodi edinterruttori attivi su superfici molto grandi, presenta un’alta efficienza per l’assorbimento deifotoni nel range visibile, mentre ha una grande stabilita relativa ai raggi-X. Altri vantag-gi nella formazione dell’immagine tramite il sistema indiretto vengono portati dal materialescintillatore:

• lo scintillatore CsI:Tl puo essere depositato su grandi superfici

• lo scintillatore CsI:Tl ha un’alta efficienza di assorbimento di raggi-X

• lo scintillatore CsI:Tl ha un’alta efficienza di conversione dell’energia assorbita in lucevisibile

• lo scintillatore CsI:Tl ha una buona trasmissione (foto-conduzione) verticale che rendepossibile una alta risoluzione geometrica con cristalli a struttura tubulare

La risoluzione spaziale e limitata dalla dimensione del fotodiodo e la velocita di scansione elimitata dai tempi di spazzolamento delle righe e delle colonne, ovvero dalla velocita dell’elet-tronica in fase di lettura. Rispetto alla CR non vi e la necessita di un succesivo azzeramentodella matrice e si prospetta una significativa diminuzione della dose al paziente. Il vantaggioprincipale e la formazione istantanea dell’immagine digitale, senza alcuna rimozione o inseri-mento di cassette e quindi senza alcun sistema di lettura a parte. Si presenta quindi anchecome ottimo sistema di formazione dell’immagine anche per la scopia


Figura 8.8: Cristalli Scintillanti di CSI a formare un pixel

La tecnologia basata sullo ioduro di cesio rappresenta il miglior equilibrio tra qualita diimmagine e dose di radiazioni per il paziente. La funzione dello scintillatore di CsI nel sistemaDR e identica alla funzione dello schermo di rinforzo nei sistemi convenzionali pellicola-schermoe cioe l’amplificazione dei fotoni X, con conseguente riduzione di dose, senza deterioramento,della qualita d’immagine: ciascun cristallo di CsI infatti, grazie alla struttura ordinata ad aghidei cristalli all’interno dello scintillatore, funge da guida d’onda eliminando la diffusione tipicadegli schermi di rinforzo, come mostrato in figura 8.8La DR indiretta sfrutta, anziche il fenomeno della fosforescenza (tempi di intrappolamen-to lunghi), il fenomeno della fluorescenza (tempi di intrappolamento brevissimi). Il cristalloscintillatore (attualmente si usa il CsI:Tl, come detto precedentemente) e sempre un semicon-duttore il cui principio fisico di funzionamento puo essere schematizzato dal grafico seguente8.9:Le fasi del processo sono:

Figura 8.9: Fluorescenza di un Cristallo Scintillatore

1. un fotone di un fascio di raggi-X incide sul semiconduttore. Esso cede parte o tutta lasua energia agli elettroni del cristallo che in termini energetici si trovano in una dellebande di valenza

2. gli elettroni acquisiscono energia sufficiente a portarsi nella banda di conduzione

3. gli elettroni si trovano in uno stato non legato e tendono a tornare, appena possibile, alloro stato fondamentale, ovvero alla banda di valenza

4. durante il processo di ritorno alla banda di valenza alcuni elettroni possono venir catturatida delle trappole, ovvero delle buche di potenziale, dovute alla non perfetta regolarita


della struttura del cristallo scintillatore e dall’introduzione del Tallio come materialedrogante.

5. gli elettroni catturati rimangono nelle buche di potenziale per tempi brevissimi

6. gli elettroni ritornano allo stato legato perdendo la loro energia sotto forma di luce conlunghezza d’onda caratteristica a seconda di ogni cristallo.

La tecnologia impiegata per la realizzazione delle AMA a silicio amorfo idrogenato (a-Si:H),invece, e analoga a quella impiegata nella fabbricazione di pannelli solari, fotocopiatrici, fax,nonche nei monitor a cristalli liquidi (LCD) dei PC. Nel caso delle AMA, strati successivi difilm sottili sono depositati su di un supporto di vetro di grandi dimensioni (fino ad 1m x 1m)impiegando il gas Silano (SiH4). Il processo avviene in un reattore al plasma alla temperaturadi circa 250C, impiegando, generalmente, la tecnica PECVD (Plasma Enhanced ChemicalVapor Deposition). Le caratteristiche salienti sono:

1. il singolo film silicio amorfo (a-Si:H), presenta, contemporaneamente, caratteristiche diordine a corto raggio e di disordine a lungo raggio, con proprieta che possono variare,in relazione ai parametri di deposizione (temperatura o frequenza di plasma) tra quelledei materiali cristallini e di quelli amorfi (nano, micro e policristallini). Ne deriva unaconfigurazione energetica a bande, tipica dei materiali cristallini, insieme con la forma-zione di stati all’interno della banda proibita, che sarebbero impossibili in un cristalloperfetto. L’aspetto disordinato e responsabile, tra l’altro, dell’altissima tolleranza ai di-fetti indotti dalle radiazioni X e gli stati nella banda proibita determinano le principaliproprieta elettriche del materiale.

2. durante il processo di deposizione, diversi gas possono essere introdotti nel plasma, percontrollare accuratamente il livello di drogaggio degli strati successivi del materiale,che includono strati isolanti, conduttori e quelli dedicati alle interconnessioni tra i varicomponenti elettronici (ad esempio transistors, fotodiodi o condensatori), necessari perconsentire l’operativita delle AMA.

3. l’impiego di tecniche fotolitografiche, infine, permette di rimuove selettivamente le partinon utili del sistema, che, a seconda della complessita puo essere costituito da 4 a 12strati.

8.3.2 Sistema Diretto con Fotocatodo a-Se

Il metodo diretto e la modernissima e piu efficace tecnologia presente oggi sul mercato.Visti i recenti sviluppi si conosce una sola tecnica in grado di fare la conversione diretta delsegnale, con uno schermo FPD. Il detettore a conversione diretta e costruito aggiungendo unostrato fotoconduttore in posizione adiacente al TFT in silicio amorfo e al condensatore diaccumulo di carica.Il selenio amorfo (a-Se) e utilizzato come materiale costituente il fotoconduttore per le sueeccellenti proprieta di rivelazione dei raggi-X e per la sua elevatissima risoluzione spazialeintrinseca. Il processo di formazione dell’immagine utilizzando la metodica del sistema direttoe mostrato in figura 8.10.

Prima dell’esposizione si applica un campo elettrico attraverso lo strato di selenio amorfo,mediante un elettrodo di polarizzazione posto sulla superficie superiore del selenio. Durantel’assorbimento dei raggi-X nel rivelatore, le cariche elettriche generate vengono prelevate lungole linee del campo elettrico e condotte direttamente agli elettrodi del condensatore di accumulodi carica, come mostrato in figura 8.11.

La sottostante elettronica di lettura amplifica la carica raccolta in ogni condensatore diaccumulo e la quantizza in codice digitale per ogni pixel.Gli elementi del rivelatore sono efficacemente separati dal campo elettrico all’interno dello


Figura 8.10: Sistema Diretto

Figura 8.11: Raccolta delle cariche tramite applicazione di un campo elettrico


strato di selenio e quindi l’intera superficie di selenio e disponibile per la conversione dellacarica generata dai raggi-X. Pertanto la struttura dell’elettrodo di raccolta della carica ha unFattore di Riempimento Effettivo, ovvero il rapporto di area sensibile rispetto all’area totaleesposta del rivelatore, prossimo al 100%. Tale valore e ottenibile utilizzando linee di campoelettrico che coprono anche lo spazio fra gli elettrodi. Con la DR indiretta si ottiene inveceun fattore di riempimento effettivo che e all’incirca 81%, come mostrato in figura 8.12, il chesignifica che il 19% della radiazione incidente non contribuisce alla formazione dell’immagine.

Figura 8.12: Pixel di una matrice atttiva

Dato che il selenio e usato nella sua forma amorfa, e possibile creare ampie piastre diquesto materiale mediante deposizione in fase vapore, una tecnologia altamente riproducibileed economicamente vantaggiosa.Una caratteristica peculiare di questa metodica e che il rivelatore a conversione diretta nonmodifica la sua risoluzione al variare dello spessore del selenio amorfo assorbente. Grazie almaggiore fattore di riempimento, il sistema indiretto permette una effettiva riduzione di doseal paziente a parita di qualita dell’immagine.In figura 8.13 si riporta infine il confronto tra le tre modalita per quanto concerne la risoluzionespaziale, espressa in termini di line spread function o funzione di distribuzione lineare: la nettasuperiorita della conversione diretta e ben osservabile.

Figura 8.13: Confronto dei tre sistemi principali utilizzati per la formazione dell’immagineradiologica


Capitolo 9Modello Analitico del Software

Indice9.1 Modello Fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.1.1 Simulazione della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.1.2 Simulazione dello Scatter al Primo Ordine . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.1.3 Simulazione dello Scatter Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.2 Simulazione della Sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.2.1 Caratterizzazione dell’Output dell’Apparecchio Radiologico . . . . . 84

9.2.2 Generazione degli Spettri per un Apparecchio Radiologico . . . . . . 84

9.3 Simulazione del Fascio di Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.4 Simulazione del Detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.5 Simulazione del Fantoccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.6 Simulazione Dosimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.6.1 Legge dell’Inverso del Quadrato delle Distanze . . . . . . . . . . . . 90

9.6.2 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro monoenergetico . . . . 92

9.6.3 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro polienergetico . . . . . 93

9.6.4 Contributo della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.6.5 Contributo della Radiazione Diffusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

In questo capitolo si cerchera di spiegare da un punto di vista matematico come e statosviluppato il software che stima la dose assorbita effettiva, attraverso la simulazione del fascioprimario e della radiazione diffusa. Da un punto di vista fisico verra esposto il modello analiticosviluppato e adottato, definendo le motivazioni delle scelte effettuate

9.1 Modello Fisico

Quando un oggetto viene posto in un fascio di raggi-X, ogni punto di questo oggetto puoessere considerato come una seconda sorgente. In questo modo un detector, ovunque esso siaposto, riceve oltre che al contributo della radiazione primaria, anche il contributo della radia-zione diffusa dall’oggetto stesso.Al fine di dare una stima corretta della dose assorbita dal paziente in radiologia diagnostica edinterventistica, risulta quindi necessario considerare lo scattering generato dal paziente stesso.Questo viene effettuato mediante la simulazione, oltre che del fascio primario anche della ra-diazione diffusa, tramite l’utilizzo di modelli fisici basati tutti sulla teoria del passaggio della

78 Modello Analitico del Software

radiazione nella materia e sulla tecnica del Ray Tracing o Ray Casting.L’Approssimazione del Fattore di Forma Atomico, ovvero Form-Factor Aproximation, e ilmodello maggiormente utilizzato nella simulazione dello scattering Rayleigh nella teoria deltrasporto di fotoni. Esso decrive lo scattering a partire dalle distribuzioni delle cariche atomi-che. Nel campo di applicazione di questa approssimazione, la sezione d’urto differenziale perlo scattering di fotoni incidenti non polarizzati e scritta come:

dσRayleighdΩ

=r20

2(1 + cos2 θ)[F (q, Z)]2 =

dσ0

dΩ[F (q, Z)]2 (9.1)

dove dσ0dΩ e la sezione differenziale d’urto di Thomson, θ e l’angolo tra la direzione del fotone

incidente e quella del fotone scatterato, r0 il raggio classico dell’elettrone; F (q, Z) indica ilfattore di forma atomico, funzione della grandezza momento trasferito q e del numero atomicoZ; q e determinato dalla relazione:

q = 2E

csin(θ

2

)(9.2)

dove E e l’energia el fotone e c la velocita della luce nel vuoto. In letteratura viene spessoutilizzata la variabile X invece che q. La relazione tra X e q e la seguente:

X =q

2h=

sin(θ2

)λ

(9.3)

dove h e la costante di Plank e λ e la lunghezza d’onda del fotone incidente.Come conseguenza delle variazioni del fattore di forma atomico, la sezione d’urto differenzialee fortemente piccata nella direzione di propagazione del fotone incidente. Molte tabulazionidei vari fattori di forma atomici (ottenute con metodi sia relativistici che non relativistici) sonodisponibili, e tra queste quelle di Hubble et al. sono largamente utilizzate. I fattori di formaatomici non relativistici di Hubbel sono inclusi nel database EPDL97, distribuito da Cullen etal.Molti gruppi di ricerca hanno tabulato i valori delle sezioni d’urto differenziali relative alloscattering Rayleigh, investigando la validita delle diverse possibili approssimazioni (Fattoredi Forma Atomico, Fattore di Forma Atomico Modificato, Fattore di Scattering Anomalo,Matrice-S).L’approssimazione del fattore di forma atomico non e il modello piu accurato, ma ad oggi elargamente utilizzata per la sua semplicita e la relativa buona precisione. Gli aspetti principalidi tale approssimazione sono i seguenti:

• Non approssima bene per energie di fotoni vicine o sotto la soglia dell’effetto fotoelettricodella shell K, e per trasferimenti di momenti molto alti

• Sopra la soglia della shell K, le sezioni d’urto predette dall’approssimazione del fattoredi forma atomico sono molto buone (errori minori di qualche percento) nella direzionedi propagazione del fotone incidente, per tutti gli elementi

• Le sezioni d’urto differenziali calcolate con l’approssimazione del fattore di forma atomicosono corrette (errori minori del 10%) per tutti gli angoli e tutti gli elementi, tranne cheper elementi pesanti; per questi resta valida per angoli piccoli su di un range energeticoche si estende dalla soglia della shell K fino a valori energetici pari a dieci volte tale soglia

• Ci sono evidenze teoriche e sperimentali che suggericono che i fattori di forma ato-mici relativistici producano piccole variazioni rispetto al calcolo tradizionale, in modoparticolare per gli atomi pesanti

Infine deve essere ricordato che l’approssimazione del fattore di forma atomico si basa sullateoria dello scattering di fotoni di un singolo atomo. Questo implica che non vengano consi-derati nessun tipo di effetto di legame chimico tra i vari elementi o tra i singoli atomi di un

9.1 Modello Fisico 79

unico elemento. Dato che gli effetti di interferenza tra gli atomi o molecole che diffondono sonotipicamente piccoli nella maggior parte delle metodiche di imaging con raggi-X, si utilizzera inseguito l’approsimazione di additivita, ovvero la sezione d’urto di un mezzo (sia esso compostoda un singolo elemento o un composto) sara approssimata come la somma delle singole sezionid’urto atomiche dei singoli atomi costituenti il mezzo stesso.Per quanto concerne lo scattering Compton, il modello a cui si fa riferimento e l’approssimazionedella Funzione di Scatter Incoerente, ovvero Incoherent Scatter Function Aproximation. Nelcaso della diffusione di un elettrone libero in quiete, la conservazione dell’energia e del mo-mento, espresse nel campo della cinematica relativistica, restituisce le seguenti relazioni tral’energia del fotone incidente E, l’energia del fotone scatterato E′ e l’angolo compreso tra ladirezione di propagazione del fotone primario e la direzione del fotone diffuso:(

1E′− 1E

)=

1mec2

(1− cos θ) (9.4)

dove me e la massa a riposo dell’elettrone.Applicando la teoria quantisitica relativistica, Klein e Nishina hanno derivato la seguenteespressione angolare della sezione d’urto differenziale, nell’ipotesi di radiazione non polarizzatae ponendo α = E

mec2:

dσKN (θ,E)dΩ

=r2e

(1 + cos2 θ

2

)1

[1 + α(1− cos θ)]2×

×[1 +

α2(1− cos θ)2

(1 + cos2 θ)[1 + α(1− cos θ)]

] (9.5)

A causa dell’effetto di legame dell’elettrone di ogni singolo atomo, la sezione d’urto differenzialeatomica di Klein-Nishina non puo essere corretta. La correzione piu largamente utilizzata perconsiderare l’elettrone non come libero ma legato, e appunto l’approssimazione della funzionedi scatter incoerente. In questa approssimazione, la sezione d’urto differenziale atomica delloscattering Compton e il prodotto della sezione d’urto differenziale angolare di Klein-Nishinaper una funzione di scatter incoerente S(X,Z):

dσComptondΩ

=dσKN (θ,E)

dΩS(X,Z) (9.6)

La funzione di scatter incoerente e una semplice approssimazione per tener conto del fattoche gli elettroni legati possono contribuire allo scattering Compton solo se l’energia trasferitaE − E′ e molto piu grande della energia di legame Eb della shell considerata. S(X,Z) e unamisura del numero di elettroni che contribuiscono allo scattering come se questi fossero liberi.In ogni caso non viene considerato l’effetto Doppler Broadening, ovvero non viene consideratol’effetto della quantita di moto posseduta dall’elettrone coinvolto nel processo Compton.Diverse tabulazioni della funzione di scatter incoerente sono disponibili, tra le quali quelle diHubbel et al. sono le piu utilizzate. Questo set di funzioni e inclusa nel database EPDL97.A basse energie, la funzione di scatter incoerente svolge un ruolo importante nel sopprimerela componente di scatter che si propaga in direzione del fotone incidente. Ad alte energie, lafunzione di scatter incoerente gioca un ruolo meno importante, eccetto che per piccoli valoridi angolo di diffusione in cui sopprime lo scattering in direzione di propagazione del fotoneprimario.La validita dell’approssimazione della funzione di scatter incoerente e stata oggetto di studiodi diversi gruppi di ricerca, confrontando i valori teorici con i set di dati ottenuti sperimen-talmente. I valori della funzione S(X,Z) ottenuti utilizzando l’approssimazione di Waller eHartree concordano quasi completamente con quelli ottenuti dall’approssimazione dell’impulsorelativistica, eccetto che per piccole differenze osservabili a piccoli momenti trasferiti nel caso dielettroni delle shell piu interne. Nella sua revisione delle informazioni esistenti a riguardo delloscattering incoerente di fotoni, Hubbell conclude che l’approssimazione della funzione di scat-ter incoerente e ancora uno strumento utile per i calcoli riguardo il trasoprto della radiazione


nella materia. Afferma inoltre che per angoli piccoli, ovvero lungo la direzione di propagazionedel fotone primario, e per numeri atomici piccoli e medi, le tabulazioni non relativistiche diS(X,Z) sono accurate entro il 5% o addirittura meglio, mentre per angoli maggiori e materialipiu pesanti le incertezze arrivano ad un massimo di 20%.La teoria della matrice-S relativistica al secondo ordine sembra essere la miglior interpretazio-ne della diffusione Compton, unica che permette un’applicazione a tutti gli spettri di energia.Pratt e collaboratori hanno effettuato nuovi importanti calcoli dello scattering Compton siadi elettroni delle singole shell interne che degli atomi utilizzando questa teoria. Tuttavia irisultati non sono ancora disponibili in una forma sufficientemente conveniente per l’utilizzonei calcoli di simulazione del trasprto di radiazione nella materia.Infine si deve ricordare che, utilizzando l’approssimazione di funzione di scatter incoerente, nonviene considerato nessun effetto di stato solido. Nei materiali, l’additivita delle sezioni d’urtodifferenziali viene tipicamente considerata come una legge soddisfacente, facendo l’assunzioneche gli atomi siano isolati, ovvero che lo stato solido abbia un effetto minimo sulle energie dilegame degli elettroni negli atomi.

9.1.1 Simulazione della Radiazione Primaria

La tecnica del Ray Tracing o Ray Casting, per altro utilizzata anche nella grafica 3D persimulare le riflessioni e trasmissioni della luce sugli oggetti, utilizza la geometria vettoriale perindividuare i punti di intersezione di un raggio con gli oggetti interposti sul suo cammino.Tipicamente il raggio viene simulato attraverso una retta nello spazio 3D e gli oggetti vengonodescritti dalle loro superfici 3D.Per la simulazione di un fascio di raggi-X si utilizza appunto un approccio basato sulla teo-ria del Pencil-beam, ovvero si ipotizza che il fascio totale di raggi-X sia costituito da tantipiccoli fasci, chiamati pencil-beam, che possono quindi essere approssimati a delle rette. Poisi calcola l’intersezione con gli oggetti 3D di ogni singolo pencil-beam, sia in entrata che inuscita. Risulta cosı possibile stimare lo spessore attraversato dalla retta e quindi dal pencil-beam di raggi-X. In questo modo e possibile calcolare il deposito di energia che avviene lungoil percorso nell’oggetto a partire dalle caratterisitiche stesse dell’oggetto e del fascio primario.E possibile anche stimare l’intensita trasmessa di ogni singolo pencil-beam e simulare quindianche il deposito di energia che avviene sul rivelatore, in modo da ottenere il contributo dellaradiazione primaria alla formazione dell’immagine radiologica rilevata. Inoltre sara propriolungo il percorso nell’oggetto che si sviluppera la simulazione della radiazione diffusa, datoche la diffusione dell’aria risulta trascurabile rispetto a quella dell’oggetto interposto sul fasciodi raggi-X. Infatti l’energia assorbita dall’aria e trascurabile rispetto a quella assorbita dalfantoccio o dal paziente.

9.1.2 Simulazione dello Scatter al Primo Ordine

Si e deciso di simulare soltanto lo scatter al primo ordine, ovvero considerare solo i fotoniche raggiungono il detector dopo solo un’interazione di diffusione avvenuta nel mezzo. Si epoi deciso di utilizzare lo stesso approccio deterministico usato per le immagini generate dalfascio primario e generalizzare quindi gli algoritmi utilizzati nel ray-tracing con pencil-beam.Le principali motivazioni per cui si e deciso di considerare soltanto il primo ordine di scattersono le seguenti:

• Limitandosi al primo ordine di scatter, l’approccio deterministico e molto piu velocedelle simulazioni Monte Carlo, con nessuna presenza di rumore nei risultati, dato cheuna simulazione analitica fornisce direttamente il numero di fotoni che colpiscono ildetector.

• Gli algoritmi per il primo ordine di scatter sono abbastanza semplici, veloci e facili daimplementare ed ottimizzare rispetto agli algoritmi per ordini maggiori di scatter.


• La simulazione di scatter multiplo utilizzando un approccio completamente determini-stico richiede un enorme costo computazionale. Infatti per lo scatter multiplo risulta piuconveniente utilizzare simulazioni Monte Carlo.

L’approssimazione del fattore di forma atomico e l’approssimazione delle funzione di scatterincoerente vengono ritenute il miglior compromesso per modellizzare lo scatter Rayleigh eCompton con sufficiente accuratezza e complessita accettabile.Il software progettato presenta tre differenti modalita di calcolo e simualzione del fascio ra-diante generato dall’apparecchio radiologico, tutte basate sulla tecnica del ray-tracing e sul-l’approssimazione di pencil-beam per stimare il deposito di energia nel fantoccio e l’energiauscente dal fantoccio stesso. Le tre modalita differiscono tra loro per la tecnica con cui sicampiona la radiazione sia primaria che secondaria e su come viene calcolato il contributodella radiazione diffusa al primo ordine.

La modalita di “verifica” e suddivisa in due parti:“verfica step” e “verifica fast”. La primamodalita di verifica campiona il fascio della radiazione primaria in base al campionamentodel rivelatore; dopo aver calcolato se il rivelatore ricopre totalmente o parzialmente il fascioradiante primario, si campiona dapprima la radiazione primaria che non cade nel rivelatorecon lo stesso step di campionamento del rivelatore, per poi passare a calcolare i pencil-beamdella primaria che cadono nel rivelatore; per ogni singolo raggio primario, definiti i relativipunti di entrata e uscita del fantoccio e definti i vari centri diffusori lungo il percorso internoal fantoccio secondo un campionamento definito dall’utente, si calcolano tutte le semirette checadono sui vari pixel del rivelatore. In questo modo e possibile, grazie alla geometria vettoriale,ricavare l’angolo di ogni singolo raggio diffuso e poter stimare cosı la probabilita di diffusioneutilizzando le formule dei capitoli precedenti.Questa modalita viene chiamata “verifica” perche e possibile simulare un’immagine radiologicada confrontare con quella reale per ogni singolo apparecchio e per un determinato fantoccioomogeneo al fine di verificare la bonta del modello adottato e stimare i parametri necessari peril calcolo dello scatter multiplo; l’immagine simulata viene infatti creata sommando l’intensitache cade nel rivelatore sia della radiazione primaria che secondaria al primo ordine che lo scat-ter multiplo. Questa modalita permette anche di confrontare le simulazione del software conquelle che si trovano in letteratura riguardanti la Cone-Beam Computed Tomography, sempreallo scopo di validare il software creato.

La modalita “verifica” fin qui descritta viene chiamata nel software “verifica step”. Questoperche la radiazione diffusa viene campionata secondo un determinato “step” (o passo) edil numero di centri diffusori e quello che determina il costo computazionale: aumentandoil campionamento si aumanta il tempo si simulazione. E possibile tuttavia utilizzare unatecnica, che nel software e definita “verifica fast”, che permette di ridurre notevolmente ilcosto computazionale basata sulla integrazione della radiazione diffusa al primo ordine checade su un singolo pixel.L’idea di base e quella mostrata in figura 9.2, in cui invece che calcolare la radiazione diogni singolo pixel come la somma di tutti i contributi dei singoli centri diffusori, si calcolatale contributo come integrale di tutti i punti della retta che approssima il pencil-beam dellaradiazione primaria all’interno del fantoccio. Si hanno per questo motivo due fondamentalivantaggi:

• riduzione del costo computazionale

• stima piu accurata del contributo della radiazione diffusa

La stima risulta essere piu accurata perche il campionamento in modalita “verifica step”non riesce a simulare, in tempi accettabili, centri diffusori su scala atomica e quindi non siha una corretta valutazione del contributo della diffusa. Appunto perche i centri diffusorireali si trovano a distanze che stanno su scala atomica o quantomeno molecolare, e possibileipotizzare una loro distribuzione continua lungo il percorso della radiazione primaria, datoche le dimensioni dei pixel del rivelatore simulato sono su scala millimetrica. Risulta quindi


Figura 9.1: Modalita verifica


possibile, con opportuni accorgimenti, integrare, lungo il percorso della radiazione primariaeffettuato all’interno del fantoccio, il contributo della radiazione diffusa su ogni singolo pixel,come mostrato in figura 9.2. Questo e proprio quello che effettua la modalita “verifica fast”.

Figura 9.2: Esempio schematico del principio di integrazione e schema di interpolazione lineare

Per il calcolo numerico del contributo dello scatter singolo e stato implementato il seguen-te schema: dapprima l’intero fascio primario e stato campionato in Npx · Npy pencil-beamprimari. Per ogni singolo raggio primario si sono calcolati i punti di ingresso e uscita dalfantoccio e per migliorare l’accuratezza del calcolo, lungo la lunghezza all’interno del fantocciodi ogni singolo raggio primario si sono selezionati un numero di centri diffusori (da 3 ad unnumero a piacere dell’utente) per i quali e calcolato esattamente il contributo su ogni singolopixel secondo il modello fisico adottato e presentato nei capitoli precedenti. Si vengono inquesto modo a definire dei segmenti che campionano il raggio primario lungo il suo percorsoall’interno del fantoccio. Per integrare il contributo dello scatter al primo ordine lungo questisegmenti, si utilizza una tecnica basata sull’interpolazione lineare delle sezioni d’urto e dellalunghezza attraversata dal pencil-beam diffuso all’interno del fantoccio, calcolate esattamenteper i centri diffusori presenti lungo il percorso della radiazione primaria. La figura 9.2 mostralo schema di interpolazione lineare utilizzato. Si e adottata questa approssimazione percherisulta impossibile avere una risoluzione analitica dell’integrazione del contributo della radia-zione diffusa lungo il percorso della primaria, dato che per ogni singola tipologia di fantocciole condizioni al contorno cambiano radicalmente.Con riferimento alla figura 9.2 si ipotizzi la simulazione di un fascio primario e si selezioninolungo il percorso del pencil-beam primario, per esempio quello centrale al fascio, tre centridiffusori alle posizioni s0, s1, s2. Per ognuno di questi centri diffusori, la probabilita di scatte-ring σ (θ) deve essere calcolata come l’integrale di superficie sulla sezione d’urto di scatteringdifferenziale angolare dσ

dΩ (θ) per l’intera superficie del pixel del detector Adet, ovvero:

σ (θ) =∫Adet

dσ

dΩ(θ) dΩ (9.7)

che puo essere approssimata per aree piccole dei pixel del detector (tipicamente nelle simulazio-ni sono dell’ordine di pochi mm2) e grandi distanze r dal centro diffusore al pixel del detector(tipicamente nelle simulazioni sono dell’ordine delle centinaia o migliaia di mm) come:

σ (θ) ≈ dσ

dΩ(θ) · Adet · cos (φ)

r2(9.8)

In questa equazione, φ e l’angolo tra la normale del pixel del rivelatore e il pencil-beam diffusodel centro diffusore che cade sul pixel stesso, come mostrato in figura 9.3. La sezione d’urto discattering differenziale angolare e ottenuta a partire dai modelli fisici precedentemente descrit-ti utilizzando le tabelle fornite dalla libreria EPDL97, sia per il processo Compton che Rayleigh.

La figura 9.3 mostra i fattori che influenzano il calcolo della radiazione diffusa al primoordine. Per una determinata posizione della sorgente del pencil-beam primario e del pixel sul


Figura 9.3: Fattori componenti la stima della radiazione diffusa al primo ordine

detector viene determinata la lunghezza del pencil-beam primario e diffuso percorsa all’in-terno del fantoccio. Il contributo all’intensita di scatter Scd di questo pencil-beam primarioalla radiazione diffusa di primo ordine e ottenuto considerando l’attenuazione all’interno delfantoccio del pencil-beam primario e−µd1 fino al centro diffusore cd, la probabilita di diffu-sione in dipendenza dall’angolo tra il pencil-beam primario ed il pencil-beam diffuso σ (θ) edell’attenuazione dentro il fantoccio della radiazione diffusa e−µd2 . Allora risulta che, comemostrato in figura 9.3:

Scd ∝ e−µd1 · σ (θ) · e−µd2 (9.9)

Definiamo la quantita che rappresenta l’attenuazione all’interno del fantoccio per il singolopencil-beam primario ed il corrispettivo pencil-beam diffuso e−µD = e−µd1+µd2. Da notareche µ non puo essere raccolto, in quanto µ (E) ovvero dipendente dall’energia della radiazione.Infatti modellizzando lo scatter, se per lo scatter Rayleigh l’energia della radiazione diffusa E′

risulta essere la stessa della primaria E, per lo scatter Compton si ha una dipendenza dall’an-golo di scatter e quindi l’energia della radiazione diffusa non coincide con quella primaria. Intermini di coefficienti lineari di attenuazione µ (E) 6= µ (E′).Si vuole ora calcolare il contributo della radiazione diffusa dovuta ad un singolo pencil-beamprimario in modo da poter considerare ogni singolo centro diffusore lungo il percorso dellaprimaria all’interno del fantoccio, ovvero integrando lungo il percorso del pencil-beam prima-rio. Con riferimento alla figura 9.2 si calcola per esempio il contributo Sip (s0, s1) del segmento[s0, s1] all’intensita di scatter nel seguente modo:

Sip (s0, s1) =∫ s1

s0

σ (s) e−µD(s)ds (9.10)

Come mostrato in figura 9.2, sia la probabilita di scattering σ (θ) che l’attenuazione µDsono interpolate linearmente in funzione del parametro di posizione s. Valgono quindi leseguenti relazioni:

σ(s)−σ0s−s0 = σ1−σ0

s1−s0µD(s)−µD0

s−s0 = µD1−µD0s1−s0

(9.11)

da cui si ricava:σ (s) =

[σ1(s−s0)s1−s0 + σ0(s1−s)

s1−s0

]µD (s) =

[µD1(s−s0)s1−s0 + µD0(s1−s)

s1−s0

] (9.12)

L’equazione 9.10 puo allora essere scritta come:

Sip (s0, s1) =

s1∫s0

(σ0 ·

s1 − ss1 − s0

+ σ1 ·s− s0

s1 − s0

)· e−

(µD0· s1−ss1−s0

+µD1s−s0s1−s0

)ds (9.13)


Allora per un caso piu generale il contributo dello scattering relativo ad un raggio primariotra due centri diffusori adiacenti si e si+1 all’interno del percorso nel fantoccio, per qualsiasicombinazione di posizione della sorgente e del fantoccio e calcolato come:

Sip (si, si+1) =

si+1∫si

(σi ·

si+1 − ssi+1 − si

+ σi+1 ·s− si

si+1 − si

)· e−

(µDi·

si+1−ssi+1−si

+µDi+1s−si

si+1−si

)ds

(9.14)L’integrale, ora analitico, in seguito ad alcuni passaggi matematici e semplificazioni, risultaessere quindi:

Sip (si, si+1) =σi+1si+1

µDi − µDi+1· e−µDi+1 +

σisiµDi − µDi+1

· e−µDi−

− σisi+1

µDi − µDi+1· e−µDi − σi+1si

µDi − µDi+1· e−µDi+1+

+(σi+1si+1 − σisi+1 − σi+1si + σisi)

µDi − µDi+1·[e−µDi − e−µDi+1

µDi − µDi+1

] (9.15)

Se ora si pone si = 0 l’integrale ulteriormente si semplifica in:

Sip (si, si+1) =σi+1 · si+1

µDi − µDi+1· e−µDi+1 − σi · si+1

µDi − µDi+1· e−µDi+

+(

σi+1 · si+1

µDi − µDi+1− σi · si+1

µDi − µDi+1

)· e−µDi − e−µDi+1

µDi − µDi+1

(9.16)

Per il caso specifico in cui s0 = 0 e per il calcolo del primo segmento del pencil-beam primariocentrale al fascio riportato in figura 9.2, semplificando alcuni contributi del precedente integralesi ottiene:

Sip (s0, s1) =σ1 · s1

µD0 − µD1· e−µD1 − σ0 · s1

µD0 − µD1· e−µD0+

+(

σ1 · s1

µD0 − µD1− σ0 · s1

µD0 − µD1

)· e−µD0 − e−µD1

µD0 − µD1

(9.17)

Infine il contributo totale SPixel dello scatter al primo ordine che finisce nel singolo pixel ecalcolato sommando dapprima i contributi degli N segmenti formanti in percorso del raggioprimario all’interno del fantoccio e poi sommando gli Npx ·Npy raggi primari che intersecanoil fantoccio per lo scatter sia Compton SkC che Rayleigh SkR, sempre sotto l’ipotesi che ladiffusione dovuta all’aria sia trascurabile.

SPixel =Npx·Npy∑P=1

SPtot =Npx·Npy∑P=1

[N−1∑i=0

SiR (si, si+1) +N−1∑i=0

SiC (si, si+1)

](9.18)

La modalita “verifica fast” puo essere interpretata come un caso estremo di filtraggio convo-lutivo, dove per ogni singolo pencil-beam primario la Single Scatter Point Spread Functione calcolata ottimamente in base alla conoscenza della forma del fantoccio. Maggiori sarannoinfatti i centri diffusori, migliore risultera la stima del contributo dello scatter al primo ordine,ma maggiore sara anche il costo computazionale. Infatti anche con solo tre punti diffusori lastima risulta essere accurata ed il tempo di calcolo risulta essere assai ridotto rispetto alla“verifica step”. Infatti calcolando il costo computazionale (costo) per le due modalita si han-no le seguenti situazioni; per un fascio radiante con un detector campionato con Npx · Npypencil-beam primari e quindi anche Ndx ·Ndy = Npx ·Npy pencil-beam diffusi per ogni singolocentro diffusore, si comprende benissimo che per esempio per un fantoccio cilindrico infinita-mente lungo e di spessore 300 mm (in una tipica simulazione di apparecchio radiologico conun definito spettro energetico), se consideriamo un campionamento dei centri diffusori pari ad1 mm, 0.5 mm e 0.25 mm per la modalita “verifica step” (ovvero Ncd = 300, 600, 1200 centridiffusori) e di solo Ncd = 2, 3, 4 centri diffusori (ovvero 1,2,3 segmenti lungo un raggio primario


che interseca il fantoccio) per la modalita “verifica fast”, si ottiene la seguente tabella 9.4 diconfronto dei tempi di calcolo espressi in secondi, in cui il tempo di calcolo e stato stimatocome costo (Npx, Npy, Ncd) = Ncd (·Npx ·Npy)2, ovvero esiste quasi un fattore 300 di differenza.

Figura 9.4: Tabella riportante la stima dei tempi di calcolo per le due modalita verifica

La terza modalita implementata nel software e chiamata “verifica voxel” ed e stata im-plementata per ottenere oltre che alla simulazione di un fascio radiante e della radiazionediffusa, anche il calcolo della energia depositata nel paziente non solo in base al principiodi conservazione dell’ energia, ma anche calcolando la dose assorbita dal paziente stesso inogni suo organo. Per fare questo si e campionato il fantoccio con dei voxel e per ogni sin-golo voxel e stato calcolato la dose assorbita dalla radiazione primaria secondo la relazioneDa =

∫ΨE ·

(µρ

)Materiale

dE a partire dalla fluenza di energia ΨE . L’intensita della radiazio-ne primaria e calcolata come al solito attraverso il Ray-Tracing descritto per le altre modlita,ma con la differenza che in questo caso al posto dei pixel del rivelatore ci sono i punti centralidei voxel. Analogamente per la radiazione diffusa si calcola la dose assorbita da ogni singolovoxel come nel caso della radiazione primaria, con la differenza che ogni voxel viene visto comeuna sorgente secondaria che contribuisce alla dose assorbita di tutti i voxel. Questo processodi somma delle radiazioni diffuse viene poi ripetuto per k-volte fino ad un valore minimo dienergia assorbita chiamato di cut-off per il quale la dose assorbita dovuta a tale radiazionediffusa non e importante. Tipicamente da dati noti in letterature l’ordine minimo per ottene-re dei valori corretti e 4, ovvero si deve considerare lo scatter multiplo fino al quarto ordine[23], [24]. Per stimare poi la radiazione diffusa che cade sul rivelatore si procede come nellamodalita “verifica step”. A questo punto si comprende benissimo che questa modalita, anchese permette di ottenere una distribuzione spaziale 3D della dose assorbita dal paziente, daun punto di vista computazionale aggiunge un costo computazionale enorme, direttamenteproporzionale a Nk

voxel in cui k rappresenta l’ordine di scatter sul quale effettuare il cut-offed Nvoxel il numero di voxel che compongono il fantoccio. Inoltre le dimensioni dei voxel, alfine di non introdurre artefatti nei valori stimati, devono essere di dimensioni molto piccolarispetto a quelle del paziente. Tutto questo puo essere superato utilizzando dei cluster di pc,mentre la simulazione con questa modalita su un singolo pc risulta essere impossibile. Unicasimulazione fattibile con questa modalita e lo scatter al primo ordine che e stato confrontatocon i valori ottenuti con le altre modalita mostrando un completo accordo. Tuttavia all’Ospe-dale S.Chiara e in previsione di utilizzare un cluster di pc e quindi e stato implementato sulsoftware anche questa modalita per essere utilizzata in futuro per determinare non solo la doseassorbita dal paziente in radiologia digitale, ma anche in radioterapia, sfruttando il fatto chequesta modalita permette di ottenere una distribuzione tridimensionale della dose assorbitaall’interno del pazienta senza alcuna procedure invasiva sul paziente.

9.2 Simulazione della Sorgente 87

In sintesi, dopo aver verificato che tutte e tre le modalita implementate restituiscono gli stessivalori, si e deciso di sfruttare per le varie simulazioni, sia in fase di validazione del modellofisico adottato che in fase di simulazione reale, la modalita “verifica fast” in quanto permettedi effettuare simulazioni con tempi che variano da pochi minuti ad alcune ore su un unico pce con rivlatori con un campionamento maggiore rispetto alle altre modalita.

9.1.3 Simulazione dello Scatter Multiplo

Nei paragrafi precedenti e stato mostrato come, a partire da una rappresentazione 3D di unoggetto e da un modello fisico, sia possibile calcolare con molta accuratezza in modo analiticola distribuzione dell’intensita della radiazione diffusa al primo ordine.Tuttavia, come detto in precedenza, un considerevole contributo della radiazione diffusa cheviene rilevata dal detector proviene dallo scatter multiplo originatosi all’interno dell’oggetto.Per scatter multiplo si intende la radiazione che subisce piu di un evento di diffusione; la si-mulazione analitica di questo fenomeno porta ad un costo computazionale enorme, dato chetipicamente l’ordine di scatter minimo da considerare per una simulazione, sia essa MonteCarlo od analitica, e il quarto.Per ovviare a questo dispendio di tempo si e adottato un modello fisico diverso da quello ana-litico utilizzato precedentemente per la stima dello scatter al primo ordine e diverso anche daquello utilizzato nella modalita “verifica voxel” dato l’enorme dispendio temporale di questatecnica. Si tratta di un modello parametrico che sfrutta il detector e l’immagine da esso crea-ta per determinare il contributo della radiazione multipla. L’innovazione della tesi consisteproprio nell’utilizzo dell’immagine radiologica vista ora non solo come immagine medica dia-gnostica ma come matrice bidimensionale di valori che esprimono i contributi della radiazionetotale, sia primaria che diffusa, che viene assorbita dal rivelatore stesso.In letteratura e noto che la probabilita di scatter multiplo e legata all’intensita della radiazio-ne incidente, all’attenuazione di tale radiazione ed alle dimensioni dell’oggetto all’interno delquale lo scatter multiplo si origina. Si e pertanto adottato un modello fisico parametrico checonsiderasse tutti questi aspetti, ovvero matematicamente parlando si e stimato il contirbutoMij dello scatter multiplo per ogni singolo pixel ij come:

Mij = p1 + p2 · Sij ·+p3 · Sij · µDij + p4 · Sij · Fij (9.19)

in cui gli indici ij rappresentano gli indici del pixel della matrice del rivelatore, Sij il contributodello scatter al primo ordine calcolato analiticamente come detto nei paragrafi precedenti, µDij

l’attenuazione media per ogni pixel della radiazione diffusa al primo ordine e Fij un fattoredi copertura che rappresenta il rapporto dell’area del pixel con l’area totale del detector se ilpixel stesso si trova nella proiezione dell’oggetto sul rivelatore, altrimenti assume valore nullo.I parametri p1, p2, p3, p4 sono calcolati secondo la tecnica della regressione lineare multiplaper ogni immagine radiologica generata. In questo modo risulta possibile ottenere un modelloadattivo per ogni acquisizione a partire dalla simulazione analitica dello scatter al primo ordinein tempi molto ridotti, che rendono possibile una stima della dose assorbita dal paziente inpoco tempo.Stimati i parametri a partire da profili ricavati dall’immagine radiologica opportunamenteconvertita in valori di dose assorbita dal rivelatore, risulta pertanto possibile ottenere per ognisingolo pixel il contributo dello scatter multiplo.

9.2 Simulazione della Sorgente

La simulazione della sorgente e stata effettuata con alcune approssimazioni ed utilizzando ilprogramma Xcomp5, basato sulla modellizzazione del fenomeno di Bremsstrhalung, descrittonei capitoli precedenti, per anodi radiologici in tungsteno, riportato in figura 9.5.


Figura 9.5: Presentazione programma Xcomp5

Tale programma e un file eseguibile .exe che presenta la seguente schermata, riportata infigura 9.6 in cui inserire i dati necessari per la simulazione di una sorgente di raggi-X.

Figura 9.6: Dati Input per Xcomp5

Vengono richiesti in input la tensione, la corrente e l’angolo anodico dell’apparecchio ra-diologico, gli spessori e i materiali di filtrazione del fascio di raggi-X. I dati di output delprogramma sono quelli riportati in figura 9.2, ovvero lo spettro energetico del fascio di raggi-Xuscente dall’apparecchio radiologico, come quello presentato in figura e altri dati relativi alflusso di fotoni totale, il flusso di fotoni della shell K e L ed i rispettivi valori di kerma alladistanza di riferimento dall’apparecchio radiologico, precedentemente richiesta in fase di inputdei dati, come mostrato in figura 9.2.

(a) Spettro (b) Dati Output

9.2.1 Caratterizzazione dell’Output dell’Apparecchio Radiologico

Introdotta la grandezza Rateo di Kerma in Aria, definita alla distanza d dalla sorgenteradiogena puntiforme alimentata con una corrente I e di un dato spettro di emissione Spettro,si puo scrivere:

KSpettro(d, I) = ΓRK,Spettro ·I

d2

[Gys−1

](9.20)

9.2 Simulazione della Sorgente 89

e definita la grandezza Air Kerma Strength:

AKSSpettro(d, I) = KSpettro(d, I) · d2 = ΓRK,Spettro · I[Gym2s−1

](9.21)

si ottiene la grandezza Output Standardizzato

ΓRK,SpettroRif =KSpettroRif (d0, I0)

I0· d2

0 =AKSSpettroRif (d0, I0)

I0(9.22)

che, misurato in[Gym2s−1A−1

]=[mGym2s−1mA−1

], caratterizza il singolo apparecchio ed

e determinata dalla misura del rateo di kerma in aria ad una data distanza di riferimentoper la distanza stessa al quadrato diviso la corrente di alimentazione ad una fissata tensionedi riferimento TensRif che definisce lo spettro di emisione di riferimento SpettroRif . Legrandezze precedentemente utilizzate hanno le seguenti unita di misura:

K = Rateo di Kerma in aria [Gy/s]I = Corrente al tubo radiologico [mA]d = Distanza sorgente punto di interesse [m]I0 = Corrente di taratura al tubo radiologico [mA]d0 = Distanza di taratura sorgente punto di interesse [m]Spettro = Tensione, Filtro, SEV, Angolo Anodo, Materiale Anodo, Forma onda, ... SpettroRif = TensioneRif, Filtro, SEV, Angolo Anodo, Materiale Anodo, Forma onda, ...

Il rateo di kerma in aria per tensioni diverse dalla tensione di riferimento e ottenuto dallaseguente relazione approsimata:

KTensione, F iltro, ....(d, I) = ΓRK,TensRif, F iltro, .... ·I

d2·(Tensione

TensRif

)n(9.23)

dove n = parametro sperimentale ≈ 2. Tipici valori di Output Standardizzato sono:

ΓRK,80kV p, 2mmAl,Tungsteno,18 ≈ 0.065[mGy ·m2

mAs

]Ogni singolo apparecchio radiologico e caratterizzato oltre che dall’Output Standardizzatoanche da una funzione chiamata Isotropia che definisce come varia il valore Output Standar-dizzato lungo tutto il fascio di raggi-X. Tale funzione tiene conto dell’effetto Heel e delle varieinfluenze dei collimatori utilizzati in ogni singolo apparecchio e risulta pertanto caratteristicadel singolo sistema radiologico. Descrive quindi come viene modulato il fascio di raggi-X ri-spetto ad una emissione isotropa pura. Per questo motivo nella fase di simulazione si e decisodi porre tale funzione di default come una funzione a gradino: questa funzione ha valore pari ad1 se le coordinate del raggio simulato appartengono alla piramide che simula il fascio radiante,pari a 0 se non vi appartengono. Tuttavia il controllo non viene fatto sulle coordinate, masull’ampiezza del pencil-beam simulato rispetto agli angoli che definiscono il fascio di raggi-X.In caso che sia nota dai tecnici come viene effettuata la modulazione, allora e possibile cambia-re la funzione isotropia da quella posta di default a quella caratteristica del singolo apparecchio.

9.2.2 Generazione degli Spettri per un Apparecchio Radiologico

A questo punto risulta possibile stimare lo spettro di fotoni numerico secondo il seguentemodello:

• creazione dello Spettro Normalizzato a partire dallo spettro generato dal programmaXComp5

• calcolo della numerosita dei fotoni a partire dal valore di Output Standardizzato


L’andamento del parametro Output Standardizzato e calcolato a partire dalla tensione appli-cata utilizzando il fit ottenuto dalle misurazioni sperimentali effettuate con il dosimetro.Il Kerma in aria e definito da:

K =dETrdm

=µTrρ·ΨE =

µTrρ· E ·Ψn (9.24)

che nel caso di spettro non monoenergetico diviene:

K =i=L∑i=i

µTr(Ei)ρ ·ΨE =

i=L∑i=i

µTr(Ei)ρ · Ei ·Ψn

L = numero livelli energetici spettro[µρ

]= m2

Kg

[E] = J[Ψn] = n Fotoni ·m−2

[K] = Gy

(9.25)

Dato lo spettro energetico SpettrosorgenteRX = ni, Ei = N · wi, Ei dove:

[ni] = n fotoni(Ei)m2 @ 1 m.

[Ei] = J[wi] = numero

N =i=N∑i=1

ni

wi = niN

i=N∑i=1

wi = 1

e definito anche Ψn = ni ·(d0d

)2, allora si ha che:

KSpettro.sorgenteRX (d) =i=N∑i=i

(µEn(Ei)

ρ

)Aria· ni ·

(d0d

)2 · Eidove :d = Distanza sorgente - punto interessed0 = Distanza sorgente - punto riferimento

(9.26)

Definite queste quantita risulta ora posibile ricavare la numerosita dei fotoni, ovvero N , dallemisure di di Output Standardizzato. Noti lo Spettro Energetico Normalizzato e l’ OutputStandardizzato pari al Kerma in aria ad 1 metro standardizzato [Output] = Gy/mAs@1m =Gy ∗m2/mAs si ha che:

OutputSpettro.SorgenteRX(d0, T ensione0) =K(Tensione0, d)

(dd0

)2

· d20

Carica

=KSpettro.SorgenteRX (Tensione0, d) ·

(dd0

)2

· d20

Carica

=

i=N∑i=i

(µEn(Ei)

ρ

)Aria· ni · Ei

∣∣∣Spettro.SorgenteRX

· d20

Carica

=N ·

i=N∑i=i

(µEn(Ei)

ρ

)Aria· wi · Ei

∣∣∣Spettro.SorgenteRX

· d20

Carica

(9.27)

in cui Carica rappresenta le carica generata dal tubo radiogeno ed e misurata tipicamente in[mAs]. A questo punto la numerosita N dei fotoni ricavata dall’Output Standardizzato puoessere moltiplicata per lo Spettro Normalizzato ed ottenere in questo modo uno Spettro diFotoni.

9.3 Simulazione del Fascio di Raggi-X 91

9.3 Simulazione del Fascio di Raggi-X

I punti geometrici di maggior interesse sono: Punto Sorgente, Punto Isocentro, PuntoCentro Fantoccio, Punto Centro Rivelatore. Scelto un sistema cartesiano con origine nelPunto Isocentro abbiamo:

I = P Isocenter = 0, 0, 0

La sorgente e definita dalle coordinate:

S = PSource = xSource, ySource, zSource

Il fantoccio e centrato nel punto:

C = PPhantom = XPhantom, YPhantom, ZPhantom

Il centro del rivelatore e definito come:

R = PDetector = XDetector, YDetector, ZDetector

e per i casi in cui tale rivelatore non e puntuale, si definscono le coordinate dei singoli pixelxDetettore, yDetettore, zDetettore rispetto al centro stesso del detettore. Si definiscono poi legrandezze legate alla geometria di irradiazione, ovvero le distanze:

SID = DSource−Isocenter = Source - Isocenter DistanceIDD = DIsocenter - Detector = Isocenter - Detector Distance

Definiti gli angoli che individuano l’asse del fascio radiante, rispetto al punto Sorgente:

θ0 = angolo della proiezione dell’asse fascio sul piano XZ (in SRI)φ0 = angolo della proiezione dell’asse fascio sul piano YZ (in SRI)

Definito il Sistema Locale di Riferimento (SLR), solidale con la sorgente e quindi con il fascioradiante, ed il Sistema di Riferimento Isocentro (SRI) (solidale con il fantoccio descritto dallecoordinate x, y, z), si introduce ora un sistema di coordinate polari in cui, con riferimento allafigura 9.7, la rappresentazione angolare e definita come:

Figura 9.7: Sistema di coordinate polari adottato

generico angolo θ = angolo nel SRI della proiezione del vettore sul piano XZgenerico angolo φ = angolo nel SRI della proiezione del vettore sul piano YZ

Con questo sistema di riferimento le relazioni diventano:

x = ρ · cos(φ) · sin(θ)z = ρ · cos(φ) · cos(θ)y = ρ · sin(φ) · cos(θ)


dove:θ = K

_

OPXZ

φ = K_

OPY Z

e quindi:

ρ · cos(φ) = OPXZ = proiezione del vettore sul piano XZ del SLRρ · cos(θ) = OPY Z = proiezione del vettore sul piano YZ del SLRx = (ρ · cos(φ)) · sin(θ) = proiezione sul piano XZ riproiettato sull’asse X del SLRy = (ρ · cos(θ)) · sin(φ) = proiezione sul piano YZ riproiettato sull’asse Y del SLRz = ρ · cos(φ) · cos(θ) = (ρ · cos(φ)) · cos(θ) = proiezione sul piano XZ riproiettato sull’asse Z del SLR

Introdotti i vettori ~S = Vettore Sorgente = IS e ~R = Vettore Punto Rivelazione = IR , la sor-gente e quindi definita anche dalle terne ~S = SID·cos(θS) · sin(φS), sin(θS) · sin(φS), cos(θS).Ora nel SLR si introducono gli angoli che definiscono la direzione del generico raggio:

α = Angolo di vista del raggio di interesse sul piano XZβ = Angolo di vista del raggio di interesse sul piano σ ortogonale a XZλ = Angolo di rotazione attorno all’asse del fascio

e nel SRI si introducono i rispettivi angoli che definiscono sempre la stessa direzione del genericoraggio come:

ω = Angolo della proiezione dell’asse fascio sul piano XZ= α− 180

γ = Angolo della proiezione dell’asse fascio sul piano σ⊥XZ= β − 180

Il fascio radiante e geometricamente definito dalle dimensioni del campo proiettate sulpiano XY a livello dell’isocentro: LX · LY quando la sorgente e allineata all’asse Z. Gli angolidei bordi sottesi sono definiti dalle relazioni seguenti:

LX = Ampiezza campo ad Isocentro sul piano XY nella direzione Xα1 = arctan

(- LX/2/DSource - Isocenter

)= arctan

(- LX/2/SID

)α2 = arctan

(+LX/2/DSource - Isocenter

)= arctan

(+LX/2/SID

)ed analogamente:

LY = Ampiezza campo ad Isocentro sul piano XY nella direzione Yβ1 = arctan

(- LY/2/DSource - Isocenter

)= arctan

(- LY/2/SID

)β2 = arctan

(+LY/2/DSource - Isocenter

)= arctan

(+LY/2/SID

)Il raggio di interesse generico e individuato dal punto ~S e dagli angoli α0 + α, β0 + β nelsistema di riferimento SLR, dove gli angoli relativi sono condizionati da:

α1 ≤ α ≤ α2

β1 ≤ β ≤ β2

Gli angoli α, β sono definiti angoli-raggio e definiscono l’ampiezza angolare della direzionedel raggio (nel SLR) rispetto all’asse del fascio, rispettivamente nel piano XY e σ⊥XZ. Icorrispondenti angoli nel SRI sono: ω = α − 180 e γ = β − 180. Gli angoli α e β sono infattidefiniti nel SRL, mentre ω e γ nel sistema SRI.Nel SRI in coordinate polari si hanno i seguenti casi particolari:

θ = 0 e φ = qualunque⇒ Vettore coincidente con ~Z

θ = 90 e φ = 0⇒ Vettore coincidente con ~X

θ = 90 e φ = 90⇒ Vettore coincidente con ~Y

9.4 Simulazione del Detector 93

Nel SRL sono interessanti le combinazioni di movimenti angolari cosi definite (nei casi in cuiφ = qualunque allora si assume φ = 0):

α = 0 e β = qualunque⇒ Asse coincidente con + ~X

α = 90 e β = 0⇒ Asse coincidente con + ~Z

α = 180 e β = qualunque⇒ Asse coincidente con - ~Xα = 270 e β = 0⇒ Asse coincidente con - ~Zα = 90 e β = 90⇒ Asse coincidente con + ~Y

α = 270 e β = 90⇒ Asse coincidente con - ~Yα = 90 e β = 180⇒ Asse coincidente con . + ~Z

α = 270 e β = 180⇒ Asse coincidente con + ~Z

α = 270 e β = 270⇒ Asse coincidente con + ~Y

9.4 Simulazione del Detector

Si e deciso di confrontare i dati ottenuti dalla simulazione con quelli presenti in letteraturache avessero le stesse energie ed analoghi parametri rispetto alla radiologia digitale. Per questomotivo si sono creati detector per tomografia computerizzata assiale e detector per radiologiadigitale ed interventistica. I primi sono dei pixel distribuiti su una superficie cilindrica, che aseconda della tipologia del tomografo sono centrati rispetto all’isocentro o alla sorgente, men-tre i secondi sono disposti come in un plate e quindi a formare un piano. Per ogni tipologia didetector viene richiesta la coordinata spaziale del centro del detector e le dimensioni geometri-che totali del detector. Poi si decide quanti pixel simulare all’interno del detector, sapendo cheall’aumentare del numero di pixel aumenta logicamente il costo computazionale, ma i risultatisono piu accurati.Si passano ora in rassegna le principali tipologie di detectors considerate nella simulazione:

• Puntuale: geometricamente rappresentato da un punto a distanza IDD (Isocenter-DetectorDistance) dall’isocentro ed appartenente al piano XZ

• Lineare a Corona: geometricamente rappresentato da un settore circolare di ampiezzaangolare α ed appartenente al piano XZ

• Lineare a Segmento: geometricamente rappresentato da un segmento rettilineo di am-piezza angolare α ed appartenente al piano XZ (congiungente i punti estremi del rivela-tore a settore circolare della stessa ampiezza, ovvero la corda del settore circolare) e condistanza IDD dall’isocentro al centro del detettore medesimo.

• Superficie Cilindrica: geometricamente rappresentato da una superficie definita da unsettore cilindrico di ampiezza angolare α lungo il piano XZ e di lunghezza con aperturaangolare β lungo il piano Y Z. Il cilindro inoltre puo essere scelto come avente il centroall’isocentro oppure alla sorgente, a seconda di quale tomografo si voglia simulare.

• Superficie Piana: geometricamente rappresentato da un rettangolo di dimensioni DX ·DY

corrispondente ad un’ampiezza angolare α nel piano XZ e β nel piano Y Z. La distanzadal centro di tale superficie all’isocentro e pari a IDD e il plate puo essere orientato apiacere nello spazio 3D.

• Rivelatore Sferico: geometricamente rappresentato da una superficie sferica definita daun raggio R e dal centro della sfera stessa C che tipicamente coincide con l’isocentro I.

Il punto di intersezione del detector con i singoli raggi che simulano il fascio di raggi-X evincolato agli intervalli angolari α1 ≤ α ≤ α2 e β1 ≤ β ≤ β2, ovvero dall’ampiezza del campo.Definite le distanze:

IDD = Isocenter Detector Distance = DDI = Distanza Detettore - IsocentroSDD = Source Detector Distance = DDS = Distanza Detettore - SorgenteISD = Isocenter Source Distance


a seconda dei vari rivelatori si ha che, utilizzando il Teorema dei seni:

• Puntuale: α1 = α2 = θ0 + θ e β1 = β2 = φ0 + φ

e tale che

DDI = IDD

DDS = IDD · sin(180−θ−arcsin( SIDIDD ·sin(θ)))sin(θ)

• Lineare a Corona:

α1 = arctan(

- DX/2DDetector - Isocenter

)= arctan

(- DX/2IDD

)α2 = arctan

(+ DX/2

DDetector - Isocenter

)= arctan

(+ DX/2

IDD

)e tale che α1 ≤ θ0 + θ ≤ α2

e tale che

DDI = IDD

DDS = IDD · sin(180−θ−arcsin( SIDIDD ·sin(θ)))sin(θ)

• Lineare a Segmento:

α1 = arctan(


)= arctan

(- DX/2IDD

)α2 = arctan

(+ DX/2


)= arctan

(+ DX/2

IDD

)e tale che α1 ≤ θ0 + θ ≤ α2

e tale cheDDI = IDDDDS = (IDD + SID) · cot(θ)

• Superficie Cilindrica:

α1 = arctan(


)= arctan

(- DX/2IDD

)α2 = arctan

(+ DX/2


)= arctan

(+ DX/2

IDD

)β1 = arctan

(- DY/2


)= arctan

(- DY/2IDD

)β2 = arctan

(+ DY/2


)= arctan

(+ DY/2

IDD

)e tale che α1 ≤ θ0 + θ ≤ α2 e β1 = β2 = φ0 + φ

e tale cheDDI = IDDDDS = (IDD + SID) · cot(θ) · cot(φ)

• Superficie Piana:

α1 = arctan(


)= arctan

(- DX/2IDD

)α2 = arctan

(+ DX/2


)= arctan

(+ DX/2

IDD

)β1 = arctan

(- DY/2


)= arctan

(- DY/2IDD

)β2 = arctan

(+ DY/2


)= arctan

(+ DY/2

IDD

)e tale che α1 ≤ θ0 + θ ≤ α2 e β1 = β2 = φ0 + φ

e tale cheDDI = IDD

DDS = (IDD + SID) ·√

cot(θ0 + θ)2 + cot(φ0 + φ)2

• Rivelatore Sferico:R = Raggio SferaC = I = Isocentro = Centro Sfera

Definita la geometria del rivelatore, il programma permette all’utente di selezionare latipologia del materiale costituente il rivelatore stesso. Dato che il software e pensato per unutilizzo principalmente in radiodiagnostica, interventistica e tomografia assiale computerizzatanei database dei coefficienti massici si sono inseriti anche i coefficienti di assorbimento massicoper i due materiali piu diffusi in radiologia digitale: i cristalli allo ioduro di cesio CsI per latipologia di DR indiretta ed il selenio amorfo a-Se per la tipologia DR diretta.I rivelatori di raggi-X devono interagire, tipicamente con un processo di assorbimento di energiache tende ad essere il maggiore possibile, dato che i raggi-X che attraversano il rivelatore senzaessere assorbiti vengono essenzialmente persi. Infatti il segnale generato da un rivelatore eproporzionale all’ammontare dell’energia assorbita nel materiale costituente il detector stesso.Per un dato spessore d di un determinato materiale, la frazione di energia assorbita η comefunzione dell’energia E del fotone incidente puo essere approssimata come:

η (E) = 1− e−(µρ (E))en·ρ· d

cos(θ) (9.28)

9.5 Simulazione del Fantoccio 95

in cui(µρ (E)

)en

e il coefficiente massico di assorbimento del materiale, dipendente dall’energia

del fotone incidente E, di densita ρ e dcos(θ) rappresenta il percorso effettuato nel materiale

dalla radiazione incidente con un generico angolo θ rispetto alla normale del rivelatore stesso.

9.5 Simulazione del Fantoccio

Il fantoccio viene simulato come un oggetto convesso che puo essere una sfera, un elissoide,un cilindro ellittico, un cilindro retto e un parallelepipedo di un materiale omogeneo. Anchein questo caso gli oggetti sono descritti dalle loro superfici 3D e cio che e di interesse e il puntodi intersezione dei vari raggi, componenti il fascio di raggi-X ed il fascio di raggi-X diffuso, siain ingresso che in uscita. Nella tecnica di Ray-Traycing si sono utilizzate la retta parametricapassante per la sorgente ~S e per il centro di ogni singolo pixel ~R, vettorialmente descrittacome ~P = ~S + t(~R− ~S), e nel caso di intersezione con il fantoccio i punti di entrata ed uscitadal fantoccio stesso sono stati calcolati determinando il valore t1 e t2 corretto del parametro tdella retta, secondo le leggi della geometria vettoriale, come descritto in Appendice A.Il fantoccio e ipotizzato essere costituito da un singolo materiale omogeneo. I vari materialidi interesse sono acqua, polimetilmetacrilato (plexiglass), tessuto osseo, tessuto polmonare,tessuto molle e perfino aria (nel qual caso si ottine un fascio di raggi-X che risulta attenuatoe diffuso solo dall’aria). Per quanto concerne la composizione e le costanti dei materiali,esse sono riportate nella seguente tabella 9.1. Le composizioni dei vari tessuti umani sonostate calcolate a partire dalle indicazioni del ICRU Report 44 (1989). Vengono riportati: ilvalor medio del rapporto tra numero e massa atomica < Z/A >, il valor medio dell’energiadi ionizzazione < I >, la densita del materiale stesso e la frazione di massa di ogni singoloelemento costituente il materiale stesso.Per i dati relativi ai coefficienti massici, fattori di forma atomici e funzioni di scatter incoerente

si rimanda alle tabulazioni riportate in Appendice F.

9.6 Simulazione Dosimetrica

In questo paragrafo si discutera principalmente della trasmissione del fascio principale ediffuso, considerando la geometria del sistema di rilevazione, a partire dalla distribuzione spet-trale del fascio del singolo apparecchio radiologico.

9.6.1 Legge dell’Inverso del Quadrato delle Distanze

Data una sorgente puntiforme, l’intensita del fascio Id, ovvero la sua fluenza energetica (inquanto per il semplice caso monoenergetico Id = N(E)E in cui N(E) e il numero di fotoni conenergia E), risulta essere dipendente dalla distanza dalla sorgente stessa d secondo la seguentelegge:

Id =I0d2

(9.29)

in cui I0 e la fluenza energetica iniziale della sorgente puntiforme stessa.Dato che fisicamente non e possibile ottenere l’intensita iniziale, in quanto questa e definitaper una distanza nulla, si ottiene l’attenuazione dovuta alla distanza a partire da una misurasperimentale di intensita Iref ad una distanza nota dref , detta Distanza di Riferimento. Allorasi ottiene l’attenuazione nel seguente modo:

Id = Iref

(drefd

)2

(9.30)

La legge del quadrato dell’inverso delle distanze e da utilizzarsi anche per fasci di raggi-Xdivergenti e nella simulazione di fasci radianti con pencil-beam di apparecchi radiologici e ne-


Materiale < Z/A > < I > Densita Elemento Composizione Frazione(eV) (g/cm3) (Z) (in peso)

Air, Dry 0.49919 8,75 1,21E+00 C 6 0.000124(near sea level) N 7 0.755268

O 8 0.231781Ar 18 0.012827

Water-Liquid 0.55508 75,00 1,00E+03 H 1 0.111898O 8 0.888102

PMMA 0.53937 74,00 1,19E+03 H 1 0.080541C 6 0.599846O 8 0.319613

Lung Tissue 0.55048 75,20 1,05E+03 H 1 0.103000C 6 0.105000N 7 0.031000O 8 0.749000Na 11 0.002000P 15 0.002000S 16 0.003000Cl 17 0.003000K 19 0.002000

Tissue-Soft 0.54996 74,70 1,06E+03 H 1 0.102000C 6 0.143000N 7 0.034000O 8 0.708000Na 11 0.002000P 15 0.003000S 16 0.003000Cl 17 0.002000K 19 0.003000

Bone-Cortical 0.51478 112,00 1,92E+03 H 1 0.034000C 6 0.155000N 7 0.042000O 8 0.435000Na 11 0.001000Mg 12 0.002000P 15 0.103000S 16 0.003000

Ca 20 0.225000Bone-Plastic 0.52740 85,90 1,45E+03 H 1 0.065473

C 6 0.536942N 7 0.021500O 8 0.032084F 9 0.167415

Ca 20 0.176585

Tabella 9.1: Tabella dei dati relativi ai materiali del fantoccio simulato

9.6 Simulazione Dosimetrica 97

cessario tener conto dell’attanuazione dell’intensita dovuta a tale fenomeno per ogni singolopencil-beam, sia primario che secondario.

9.6.2 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro monoenergetico

Sia ~P (t) un generico punto di interazione della radiazione approssimata da un pencil-beam.Questo punto e individuato dalle equazioni:

x(t) = XSorgente + t · (xDetector −XDetector −XSorgente)z(t) = ZSorgente + t · (zDetector − ZDetector − ZSorgente)y(t) = YSorgente + t · (yDetector − YDetector − YSorgente)

ovvero altro non e che un punto della retta parametrica passante per la sorgente ed il pixeldel rivelatore. Ora, ricavando l’intersezione della retta con il fantoccio e possibile ottenere lospessore s attraversato dal pencil-beam all’interno del materiale stesso.Detto N(E, s) il numero di fotoni di un pencil-beam che attraversano lo spessore s, vale larelazione dell’attenuazione in condizioni di buona geometria:

N(E, s) = N(E, 0) · exp[−(µ(E,Z)

ρ

)· ρ · s

]dove :µ(E,Z) = Coefficiente attenuazione lineare

[m−1

](µ(E,Z)

ρ

)= Coefficiente attenuazione massico

[m2 ·Kg−1

]s = Spessore materiale [m]ρ = Densita materiale

[Kg ·m−3

](9.31)

Si introducono i due fattori, Fattore di attenuazione (di fotoni monoenergetici) e Fattore ditrasmissione (di fotoni monoenergetici), che utilizzando il concetto di coefficiente massico diattenuazione, si scrivono:

Attenuazione(Materiale, E, ρ, s) = 1− e−[(µ(E)

ρ )Materiale

·ρ·s]

Trasmissione(Materiale, E, ρ, s) = e−[(µ(E)

ρ )Materiale

·ρ·s] (9.32)

Vale allora anche

Attenuazione (Materiale, E, ρMateriale, s) == 1− Trasmissione (Materiale, E, ρMateriale, s)

(9.33)

Il coefficiente massico totale di attenuazione(µ(E)ρ

)Materiale

e la somma dei contributi dellesezioni d’urto per foto-assorbimento, scatter Compton, Rayleigh e produzione di coppie. Ivalori di questi coefficienti si trovano su varie pubblicazioni ed anche in rete, per esempio neldatabase EPDL97 e nell’XCOM del NIST. I coefficienti massici di assorbimento dei materialidi interesse utilizzato nelle simulazioni sono riportati nelle tabelle della Appendice F.

9.6.3 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro polienergetico

Lo spettro reale di fluenza dell’emissione fotonica di un apparecchio radiologico e definitodalla funzione Spettro(E) legata alla grandezza N(E) cosı definita:

N(E)dE = numero totale di fotoni emessi con energia nell’intervallo E - E + dEsu tutto l’angolo solido 4π

(9.34)

Introdotto il concetto di Spettro di Fluenza di Fotoni, come:

Spettro(E) · dE =dN(E)dA

· dE [Spettro] = m−2 (9.35)


la fluenza di fotoni dNdA , misurata in[fotoni/m2

]risulta essere:

E=∞∫E=0

Spettro(E) · dE =dN

dA(9.36)

ed il numero di fotoni N pertanto puo essere ricavato come:

E=∞∫E=0

Spettro(E) · dA = N (9.37)

Si definisce poi la Densita di Flusso o Intensita di Fotoni come:

Intensita(E) · dE =dSpettro(E)

dt= Spettro(E) [m−2 · s−1] (9.38)

ed anche il concetto di Spettro Normalizzato come:

SpettroNormalizzato(E) =Spettro(E)

E=∞∫E=0

Spettro(E) · dE(9.39)

per cui:E=∞∫E=0

SpettroNormalizzato(E) · dE = 1 (9.40)

La trasmissione e definita come il rapporto fra il numero di fotoni di energia E che superanolo spessore s rapportati al numero entrante di fotoni:

Trasmissione(Materiale, E, ρ, s) =N(E, s)N(E)

(9.41)

Il concetto di trasmissione puo essere associato al concetto di frequenza relativa (numerodi fotoni che superano lo spessore s) nel caso si considerino un set di fotoni entranti o allaprobabilita di trasmissione (ovvero che il singolo fotone superi lo spessore s) qualora si considerila storia del singolo fotone.La probabilita di attenuazione e quindi di trasmissione di ogni fotone di energia E e data dallarelazione precedentemente vista per fotoni monoenergetici, dipendente dal materiale, densitae spessore attraversato, ovvero:

Attenuazione(Materiale, E, ρ, s) = 1− exp[−(µ(E)ρ

)Materiale

· ρ · s]

Trasmissione(Materiale, E, ρ, s) = exp[−(µ(E)ρ

)Materiale

· ρ · s] (9.42)

La fluenza totale di fotoni trasmessi sara quindi:dNdA (Materiale, ρ, s) =

=E=∞∫E=0

Spettro(E) · Trasmissione(Materiale, E, ρ, s) · dE =

=E=∞∫E=0

Spettro(E) · exp[−(µ(E)ρ

)Materiale

· ρ · s]· dE

(9.43)

e l’unita di misura sara quindi[numero di fotoni/m2

]. Il Coefficiente di Trasmissione Globale

di Fotoni e quindi definito come:

TrasmissioneSpettro(Materiale, ρ, s) =

=E=∞∫E=0

SpettroNormalizzato(E) · Trasmissione(Materiale, E, ρ, s) · dE =

=E=∞∫E=0

SpettroNormalizzato(E) · exp[−(µ(E)ρ

)Materiale

· ρ · s]· dE

(9.44)


Da un punto di vista fisico e conveniente introdurre il concetto di Spettro Energetico cosıdefinito:

SpettroEnergetico(E) = Spettro(E) · E (9.45)

Allora il Flusso di Energia Trasmessa e dato dalla relazione:

TrasmissioneEnergia(Materiale, ρ, s) =

=E=∞∫E=0

SpettroEnergetico(E) · Trasmissione(Materiale, E, ρ, s) · dE =

=E=∞∫E=0

Spettro(E) · E · Trasmissione(Materiale, E, ρ, s) · dE =

=E=∞∫E=0

Spettro(E) · E · exp[−(µ(E)ρ

)Materiale

· ρ · s]· dE

(9.46)

ed il Valor Medio Spettrale viene definito come:

〈E〉Spettro =

E=∞∫E=0

SpettroEnergetico(E) · dE

E=∞∫E=0

Spettro(E) · dE=

E=∞∫E=0

E · Spettro(E) · dE

E=∞∫E=0


Ora, essendo:

SpettroNormalizzato(E) =Spettro(E)

E=∞∫E=0


si ottiene che:

〈E〉Spettro =

E=∞∫E=0

E · SpettroNormalizzato(E) · dE (9.49)

Se si considera invece lo spettro normalizzato e lo spettro energetico, definiti come in prece-denza, e dato che vale:

SpettroEnergetico(E) = E · Spettro(E)SpettroEnergeticoNormalizzato(E) = E · SpettroNormalizzato(E) (9.50)

Allora si ottiene il Valor Medio Spettrale Normalizzato come:

〈E〉SpettroNormalizzato =

E=∞∫E=0

SpettroEnergeticoNormalizzato(E) · dE

E=∞∫E=0

SpettroNormalizzato(E) · dE=

=

E=∞∫E=0

SpettroEnergetico(E)E=∞∫E=0

SpettroEnergetico(E′)·dE′· dE

E=∞∫E=0

Spettro(E)E=∞∫E=0

Spettro(E′)·dE′· dE

(9.51)

Nella figura 9.8 sono riportati i quattro casi in cui si ha uno spettro di fotoni, uno spettronormalizzato di fotoni, uno spettro energetico di fotoni e uno spettro energetico normalizzatodi fotoni.


Figura 9.8: Confronto tra le diverse tipologie di spettri

9.6.4 Contributo della Radiazione Primaria

Nel grafico 9.9 sottostante e simboleggiata un’interazione di un fotone primario emesso dal-la sorgente ~S, con un punto diffusore ~D del fantoccio ed il suo percorso all’interno del fantoccioda ~P1 fino a ~P2 e quindi fino al punto di rivelazione ~R e del fotone diffuso dal punto diffusore~D fino a P ′2 e quindi fino al punto di rivelazione ~R′ e le grandezze geometriche che descrivonoil processo.

Figura 9.9: Geometria di diffusione


Le grandezze geometriche in gioco sono:

~r2 = Vettore(SP2)~r3 = Vettore(SR)~r′ = ~r′3 = Vettore(DR)~r′2 = Vettore(DP ′2)d1 = Distanza(S, P1) = |~r1|d2 = Distanza(S, P2) = |~r2|d3 = Distanza(S,R) = |~r3|d(t) = Distanza(P1, D) = |~r − ~r1|d′2 = Distanza(D,P ′2) = |~r′2|d′3 = Distanza(D,R′) = |~r′3 − ~r′2|

L’intensita del singolo pencil-beam monoenergetico e data dalla relazione:

IPrimaria (θ, φ,E, d) =IPrimaria (0, 0, E, d0) ·(d0

d

)2

· Isotropia(θ, φ)·

· Trasmissione (Materiale, E, ρ, s)(9.52)

e il flusso energetico e dato dalla relazione:

IPrimariaE (θ, φ,E, d) =IPrimariaE (0, 0, E, d0) ·(d0

d

)2


· Trasmissione (Materiale, E, ρ, s)(9.53)

dove:

IPrimaria (θ, φ,E, d) = Densita di flusso di fotoni [m - 2 · s−1]IPrimaria (0, 0, E, d0) =Densita di flusso di fotoni alla distanza di riferimento

(in aria) in assenza di attenuazione

eIPrimariaE (θ, φ,E, d) = Densita di flusso di energia fotonica [J ·m - 2 · s−1]IPrimariaE (0, 0, E, d0) =Densita di flusso di energia fotonica alla distanza di

riferimento (in aria) in assenza di attenuazione

ed inoltre vale:(d0d

)2= Correzione quadrato delle distanze

Isotropia(θ, φ) = Funzione di anisotropia sferica normalizzata a 1Trasmissione (Materiale, E, ρ, s) =Fattore di trasmissione

nel materiale interposto=Probabilita di trasmissione nel materiale interposto

Possiamo scrivere le relazioni che regolano il trasferimento della radiazione primaria dallasorgente al rivelatore suddividendo il percorso in vari step:

• Step 0: SorgenteLa distribuzione spaziale della radiazione e modulata dall’apertura dei diaframmi, dalladiffusione all’interno della testata, dalla dimensione del fuoco, dall’omogeneita di genera-zione (effetto Heel) e da altri fenomeni. La funzione di isotropia descrive la modulazionedel fascio rispetto ad una emissione isotropa pura.La funzione isotropia puo essere, in prima approssimazione, definita dalla seguenterelazione:

Isotropia(θ, φ) = [H(θ − θ1)−H(θ − θ2)] · [H(φ− φ1)−H(φ− φ2)] (9.54)


dove H(x) e la funzione a gradino di Heaviside1. In questo caso, scelto come default, sipone la funzione Isotropia come una funzione a gradino che assume il valore 1 all’internodella piramide che simula il fascio radiante ed il valore 0 fuori dal fascio di raggi-X.

• Step 1: Sorgente-Ingresso FantoccioNel caso specifico di trasmissione attraverso l’aria pre-fantoccio si ha che:

IPrimaria (θ, φ,E, d1) =IPrimaria (0, 0, E, d0) ·(d0

d1

)2


· Trasmissione (Aria,E, ρAria, s)(9.55)

dove:d1 = Distanza Sorgente− Entrata fantoccioρAria = 1.205 kg/m3

d1 =√

(x1 − xSource)2 + (z1 − zSource)2 + (y1 − ySource)2

P1 = x1, y1, z1

• Step 2: Ingresso Fantoccio-Uscita FantoccioSegue la trasmissione attraverso il fantoccio omogeneo di un determinato materiale:

IPrimaria (θ, φ,E, d2) = IPrimaria (θ, φ,E, d1) ·(d1

d2

)2

·

· Trasmissione (Materiale, E, ρMateriale, s)(9.56)

dove:d2 = Distanza Sorgente−Uscita fantoccioρMateriale = Densita Materiale

s = d2 − d1 =√

(x2 − x1)2 + (z2 − z1)2 + (y2 − y1)2 =

= percorso in fantoccio

• Step 3: Uscita Fantoccio-RivelatoreInfine si calcola la trasmissione attraverso l’aria dopo il fantoccio come:

IPrimaria (θ, φ,E, d3) =IPrimaria (θ, φ,E, d2) ·(d2

d3

)2

·

· Trasmissione (Aria,E, ρAria, s)(9.57)

dove:d3 = Distanza Sorgente−DetettoreρAria = 1.205 kg/m3

s = d3 − d2 =√

(xR − x2)2 + (zR − z2)2 + (yR − y2)2

Combinando le trasmissioni, si ottiene la relazione complessiva per la radiazione primaria in

1La funzione a gradino di Heaviside, o funzione a gradino unitaria e una funzione discontinua che ha valorezero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi:

H(x) =

0, x<0

1, x>0

La funzione di Heaviside e l’integrale della Delta di Dirac: H(x) =x∫−∞

δ(t)dt


approssimazione di pencil-beam e nel caso monoenergetico:

IPrimaria (θ, φ,E, d1, d2, d3) = IPrimaria (0, 0, E, d0) · Isotropia(θ, φ)·

·(d0

d1

)2

· Trasmissione (Aria,E, ρAria, d1) ·

·(d1

d2

)2

· Trasmissione (Materiale, E, ρMateriale, d2 − d1) ·

·(d2

d3

)2

· Trasmissione (Aria,E, ρAria, d3 − d2)

(9.58)

ovvero:

IPrimaria (θ, φ,E, d1, d2, d3) = IPrimaria (0, 0, E, d0) ·(d0

d3

)2


· e−[(µρ )

Aria·ρAria·d1

]· e−

[(µρ )

Aria·ρAria·(d3−d2)

]· e−

[(µρ )

Materiale·ρMateriale·(d2−d1)

](9.59)

Assunto:

Isotropia(θ, φ) = [H(θ1)−H(θ2)] · [H(φ1)−H(φ2)] = 1 ⇒ ( entro il fascio)

allora e possibile semplificare:


d3

)2

·

· e−[(µρ )

Aria·ρAria·(d1+d3−d2)

]· e−

[(µρ )

Materiale·ρMateriale·(d2−d1)

] (9.60)

dove:

IPrimaria (0, 0, E, d0) = Intensita di taraturaIPrimaria (θ, φ,E, d1, d2, d3) = Intensita nella regione coperta dal fascio(µ(E)ρ

)Aria

= Coeff. massico dell’ Aria per fascio monocromatico di energia E(µ(E)ρ

)Materiale

= Coeff. massico del Materiale per fascio monocromatico di energia E

d1, d2, d3 = distanze in funzione di θ, φ(9.61)

Introdotta la funzione:

T (E,Materiale1, d1,Materiale2, d2, ..., ) =

e−[(µ(E)

ρ )Materiale1

·ρMateriale1 ·d1]· e−[(µ(E)

ρ )Materiale2

·ρMateriale2 ·d2]· ...

= T (E,Materiale1, d1) · T (E,Materiale2, d2) · T (E, ..., ... )

(9.62)

e la funzione:

F (E,Materiale1, d1,Materiale2, d2 ) = T (E,Materiale1, d1,Materiale2, d2 ) =

= e−[(µ(E)

ρ )Materiale1

·ρMateriale1 ·d1]· e−[(µ(E)

ρ )Materiale2

·ρMateriale2 ·d2] (9.63)

Allora si ottiene:


d3

)2


· T (E,Materiale1, d1) · T (E,Materiale2, d2) · T (E,Materiale3, d3)(9.64)

ovvero:


d3

)2

·

· F (E,Aria, d1 + d3 − d2,Materiale, d2 − d1)(9.65)


9.6.5 Contributo della Radiazione Diffusa

Per un dato punto del rivelatore ~R′, il contributo a questo pixel della radiazione scatteratasi ottiene calcolando tutti i possibili contributi dei punti ~P (t) lungo il raggio primario interni alfantoccio, quindi definiti dal parametro t nell’intervallo [t1, t2] oppure [0, 1] 2. Questa modalitadi calcolo viene definita “verifica step”3.L’equazione parametrica, del raggio diffuso, diventa quindi:

x′(t) = xP (t) + t′ ·(x′Detector −XDetector − xP (t)

)z′(t) = zP (t) + t′ ·

(z′Detector − ZDetector − zP (t)

)y′(t) = yP (t) + t′ ·

(y′Detector − YDetector − yP (t)

)t ∈ [t1 · · · t2], t′ ∈ [0 · · · t′3]

dove:~P ′(t′) = x′(t′), y′(t′), z′(t′) = punto su raggio diffuso~P (t) =

xP (t), yP (t), zP (t)

= punto su raggio primario

~R′ = x′Detector, y′Detector, z′Detector = punto rivelazione secondariat′ ∈ [0 · · · t′3]t ∈ [t1 · · · t2]

E possibile ora calcolare l’attenuazione della radiazione diffusa come:

IScatter (θ, φ,E, d(t), θ′, E′, d′2, d′3) = IPrimaria (θ, φ,E, d(t)) · σ(E, ϑ′)·

·(d(t)d′2

)2

· Trasmissione (Materiale, E′, ρMateriale, d′2 − d(t)) ·

·(d′2d′3

)2

· Trasmissione (Aria,E′, ρAria, d′3 − d′2)

(9.66)

ovvero:

IScatter (θ, φ,E, d(t), θ′, E′, d′2, d′3) = IPrimaria (0, 0, E, d0) · Isotropia(θ, φ)·

·(d0

d1

)2

· Trasmissione (Aria,E, ρAria, d1) ·

·(d1

d(t)

)2

· Trasmissione (Materiale, E, ρMateriale, d(t)− d1) ·

· σ(E, ϑ′)·

·(d(t)d′2

)2

· Trasmissione (Materiale, E′, ρMateriale, d′2 − d(t)) ·

·(d′2d′3

)2


(9.67)

2L’intervallo parametrico in cui varia il parametro t (che parametrizza il raggio primario) e assunto [0, 1]poiche l’origine della semiretta parametrica si assume nel punto di entrata nel fantoccio. Qualora si assumesse ilpunto sorgente S come origine della semiretta, allora il percorso nel fantoccio sarebbe determinato dall’intervallo[t1, t2]. L’intervallo [0, t1] individua il percorso sorgente - punto entrata fantoccio, l’intervallo [t1, t2] il percorsonel fantoccio e [t2, t3] il percorso punto uscita fantoccio - punto rivelazione radiazione primaria. I due sistemidi riferimento sono assolutamente equivalenti (si tratta solo di una traslazione dell’origine della semiretta). Neltesto verra utilizzato indifferentemente l’uno o l’altro a seconda della convenienza di notazione. Il parametro t′

(che parametrizza il raggio diffuso) varia nell’intervallo[0, t′2

]dove descrive il percorso nel fantoccio dal punto

di diffusione al punto di uscita del fantoccio e l’intervallo[t′2, t′3

]che descrive il raggio diffuso dal punto di

uscita del fantoccio al punto di rivelazione della radiazione diffusa.3Nella modalita “verifica step” si fissa il pixel di interesse e si vanno a calcolare tutti i contributi di radiazione

diffusa dei punti campionati lungo il raggio primario entro il fantoccio (e quindi ad angoli di diffusione noti) eper tutti i raggi primari campionati del fascio.


dove, come si e precedentemente visto:

d1 = Distanza Sorgente− Entrata fantocciod2 = Distanza Sorgente−Uscita fantocciod(t)− d1 = Spessore attraversato nel fantoccio per arrivare in ~Dd′2 = distanza punto diffusione - uscita fantoccio della radiazione scatteratad′3 = distanza punto diffusione - detectorσ(E, ϑ′) = Probabilita di scatterϑ′ = θ′ − θd(t)− d1 = Spessore attraversato nel fantoccio per arrivare in ~D =

=√

(x(t)− x1)2 + (z(t)− z1)2 + (y(t)− y2)2

d′2 − d(t) = distanza d(t) - uscita fantoccio della radiazione scatterata =

=√

(x′2 − x(t))2 + (z′2 − z(t))2 + (y′2 − y(t))2

d′3 − d′2 = distanza (uscita fantoccio della radiazione scatterata) - detector =

=√

(xR′ − x′2)2 + (zR′ − z′2)2 + (yR′ − y′2)2

Utilizzando le definizioni delle funzioni di trasmissione della radiazione primaria, possiamoscrivere anche per la radiazione diffusa la seguente equazione:

IScatter (θ, φ,E, d(t), θ′, E′, d′2, d′3) = IPrimaria (0, 0, E, d0) ·

· Isotropia(θ, φ) ·(d0

d′3

)2

·

· Trasmissione (Aria,E, ρAria, d1) ·· Trasmissione (Materiale, E, ρMateriale, d(t)− d1) ·· σ(E, ϑ′)·· Trasmissione (Materiale, E′, ρMateriale, d

′2 − d(t)) ·


(9.68)

od anche:

IScatter (θ, φ,E, d(t), θ′, E′, d′2, d′3) = IPrimaria (0, 0, E, d0) · Isotropia(θ, φ) ·

(d0

d′3

)2

·

· F (E,Aria, d1, d(t)− d1) ·· σ(E, ϑ′)·· F (E′,Materiale, d′2 − d(t), Aria, d′3 − d′2)

(9.69)

L’intensita al rivelatore per singolo pencil-beam primario e determinata dal contributo dellaradiazione primaria sommata a tutti i contributi dei vari pencil-beam diffusi lungo il percorsoeffettuato dalla primaria stessa nel fantoccio, ovvero:

IRivelatore (θ, φ,E, d1, d2, d3) = IPrimaria (θ, φ,E, d1, d2, d3) +

+

t=1∫t=0

IScatter (θ, φ,E, d(t), θ′) · dt(9.70)

Nel caso si consideri il rivelatore rettangolare (o analogamente quello cilindrico sostituendo irispettivi angoli) e fascio monoenergetico, la radiazione totale che cade nel rivelatore e data


da:

θ=θ2∫θ=θ1

φ=φ2∫φ=φ1

IRivelatore (θ, φ,E, d1, d2, d3) · dθdφ =

=

θ=θ2∫θ=θ1

φ=φ2∫φ=φ1

IPrimaria (θ, φ,E, d1, d2, d3) · dθdφ+

+

θ=θ2∫θ=θ1

φ=φ2∫φ=φ1

t=1∫t=0

IScatter (θ, φ,E, d(t), θ′) · dt · dθdφ

(9.71)

mentre se il fascio e polienergetico allora risulta:

EMAX∫0

dE

θ=θ2∫θ=θ1

φ=φ2∫φ=φ1

IRivelatore (θ, φ,E, d1, d2, d3) · dθdφ =

=

EMAX∫0

IPrimaria (0, 0, E, d0) · dEθ=θ2∫θ=θ1

φ=φ2∫φ=φ1

(d0

d3

)2

·

· F (E,Aria, d1 + d3 − d2,Materiale, d2 − d1) · dθdφ+

+

EMAX∫0

IPrimaria (0, 0, E, d0) · dEθ=θ2∫θ=θ1

φ=φ2∫φ=φ1

t=1∫t=0

Isotropia(θ, φ) ·(d0

d′3

)2

·

· F (E,Aria, d1, d(t)− d1) · σ(E, ϑ′)·· F (E′,Materiale, d′2 − d(t), Aria, d′3 − d′2) · dt · dθdφ

(9.72)

Quanto descritto fino ad adesso descrive come vengono calcolate le relativi matrici di intensitafotonica poi convertite in fluenza di energia, oppure in dose assorbita calcolata a partire dallafluenza di energia stessa e dello spettro di fotoni al rivelatore, per la modalita “verifica step”.Per la modalita “verifica fast” vengono utilizzate le stesse formule per un numero limitato dicentri diffusori, mentre le interpolazioni e le integrazioni lungo il percorso della radiazione pri-maria relativamente alla radiazione diffusa al primo ordine, vengono effettuate secondo quantodescritto nei paragrafi precedenti e nell’Appendice C.Come detto in precedenza il software restituisce le matrici relative alla fluenza di energia (oequivalentemente dose assorbita in aria) del rivelatore per tutte le componenti del fascio ra-diante: radiazione primaria, diffusa al 1 ordine e diffusa multipla. Questo permette di stimarel’energia impartita al paziente tramite l’applicazione del principio di conservazione dell’ener-gia. Infatti il software calcola l’energia erogata dall’apparecchio radiologico e rispetto a talevalore sottrae i contributi energetici delle varie componenti della radiazione in modo da otte-nere direttamente l’energia impartita che opportunamente moltiplicata con i rispettivi fattorirestituisce la dose efficace. Si comprende benissimo ora che le matrici relative al rivelatoredecrivono solamente il contributo della radiazione, sia primaria che diffusa che cade sul rive-latore stesso, sovrastimando in questo modo l’energia impartita. Per questo motivo e statocreato un rivelatore sferico che permette di raccogliere tutta la radiazione che arriva su talesfera. Tuttavia tale rivelatore necessita dei parametri per la stima dello scatter multiplo peruna corretta valutazione dell’energia impartita e quindi deve essere effettuata una simulazionecon il rivelatore delle stesse dimensioni di quello reale per stimare tali parametri a partire dal-l’immagine radiologica, vista ora come matrice bidimensionale di valori di trasmissioni dellaradiazione totale. I parametri vengono stimati con la tecnica della regressione lineare multipla.Per superare la limitazione di calcolare la dose assorbita dal paziente come differenza di valoridi energia, si e implementato nel software la modalita “verifica voxel”, che permette di stimare


la dose assorbita agli organi, dato che restituisce una distribuzione spaziale delle dose assorbitada ogni singolo voxel, che costituisce l’oggetto 3D posto sotto il fascio di fotoni. Come dettonei paragrafi precedenti tale modalita necessita di tempi di simulazione enormi e all’OspedaleS.Chiara verra installato un cluster di pc permettendo quindi una simulazione corretta, datoche su un singolo pc emergono artefatti in quanto le dimensioni dei voxel sono troppo grandi,ma l’aumento in numerosita dei voxel comporta un dispendio temporale enorme, impedendoqualsiasi simulazione.I conti dosimetrici sono esattamente gli stessi effettuati con la modalita “verifica step”, con lasola differenza che viene considerato come punto di deposito di energia il centro dei vari voxelinvece che i vari pixel del detector. Per la radiazione diffusa, come gia detto, viene calcolato ilcontributo della radiazione diffusa di tutti i voxel rispetto ad un singolo voxel. Questo processoviene ripetuto fino a che non si raggiunge un limite minimo di energia chiamato cut-off in cuisi decide che l’energia impartita risulta essere trascurabile. Tipicamente, da dati noti in let-teratura [23], [24], l’ordine minimo per ottenere simulazioni corrette di distribuzione spazialedella dose assorbita risulta essere il quarto.


Capitolo 10Descrizione del Software

Indice10.1 Dati Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

10.2 Elaborazione Dati Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

10.3 Dati Output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

In questo capitolo si e deciso di mostrare come il software creato si presenta all’utente (ovverola sua interfaccia con l’utente), mostrando i dati che devono essere forniti (Dati Input), come essivengono elaborati (Elaborazione Dati Input) e come vengono restituiti all’utente (Dati Input).

Il software e stato costruito a partire da nozioni fondamentali di informatica con Visual Ba-sic 6.0 ed utilizzando i modelli fisici esposti nei capitoli precedenti. Per il calcolo dei parametrie delle distanze da inserire nel modello fisico si sono utilizzate le tecniche del Ray-Tracing apartire dall’introduzione della geometria vettoriale nello spazio 3D e si sono utilizzate le librerieDirectX 8.0 (collezione di API grafiche) per permettere anche una visualizzazione dell’appa-recchio radiologico simulato in 3D che fosse anche interattiva. Si rimanda quindi all’AppendiceA e B il compito di descrivere come sono state utilizzate e introdotte nel software le nozionidi Geometria Vettoriale, Ray-Tracing e Grafica 3D, mentre nel seguente capitolo si descriverafisicamente come il software si presenta all’utente e come puo essere gestito, senza entrare nellospecifico, dato che tutti i dati di interesse relativi ai modelli fisici e alle tecniche utilizzate sonodescritti precedentemente o nelle appendici.Nei seguenti paragrafi si parlera di radiazione diffusa; con questo termine si indichera infattinon solo la radiazione diffusa una sola volta, secondo i modelli precedentemente descritti, maanche quella che deriva dallo scatter multiplo. Invece ci si riferira alla radiazione scatterata so-lamente una volta come radiazione diffusa singolarmente o come radiazione secondaria singola.

10.1 Dati Input

Il software necessita che vengano inseriti dei parametri in ingresso al fine di ottenere unasimulazione corretta. Un file .xls contenente il foglio “Set-Up”, mostrato in figura 10.1 ed infigura 10.2 mostra quali siano i parametri necessari per avviare il programma. Di seguito sidescrive cosa essi siano e come possono influenzare la simulazione.

Ogni parametro viene descritto con un simbolo, ha un valore di default (colonna azzurra)e un valore che puo essere specificato dall’utente (colonna gialla). Vengono poi riportate a

110 Descrizione del Software

Figura 10.1: Prima parte dei dati di input

fianco le unita di misura ed alcune note utili per la comprensione dei dati da inserire. Glistessi parametri vengono suddivisi in piccoli gruppi per una migliore comprensione.

I primi dati da inserire sono quelli relativi alla rotazione della testata. Ipotizzando infattiche il fascio generato dall’apparecchio radiologico sia di tipo piramidale, nella simulazione epossibile simulare una rotazione della testata dell’apparecchio. Poiche si vuole ottenere unarotazione nello spazio 3D in qualsiasi punto, e necessario utilizzare tre rotazioni: due sonolungo i piani ZX e ZY, la terza attorno all’asse del fascio radiante.Per queste rotazioni si definiscono l’angolo minimo, l’angolo massimo e lo step di campionamen-to. Queste rotazioni permettono di simulare un sistema radiologico che esegue piu scansioni(per esempio la TAC), tuttavia vengono utilizzate in ogni caso in radiologia e interventisticaper posizionare nello spazio la testata come desidera l’utente. La terza rotazione e introdottasolo per poter ruotare nello spazio la testata ed e una rotazione attorno all’asse del fascio:in poche parole si ruota la base della piramide tenendo fisso l’apice. Da notare che tutte etre le rotazioni vengono eseguite nell’ordine che compaiono nel file e che quindi i movimentieffettuati dalla testata saranno proprio in tale ordine (la composizione di piu rotazioni non ecommutativa). L’effetto che generano queste rotazioni e quello di ruotare la testata rispettoal sistema di riferimento solidale al paziente, come mostrato in figura 10.3 e gli angoli relativinon sono altro che gli angoli che si formano tra l’asse del fascio (riportato in figura con il coloregiallo) e i rispettivi assi cartesiani solidali con il fantoccio (colore rosso per l’asse X, coloreverde per l’asse Y, colore blu per l’asse Z). Da notare che tutto questo e ben visibile nell’areaselezionata in rosso: nella prima simulazione la testata e l’asse del fascio sono situati lungol’asse Z, mentre nel secondo caso sono inclinati rispetto a tutti e tre gli assiPer quanto concerne la geometria del fascio dell’apparecchio si inseriscono le coordinate del-l’isocentro (dove si applichera il sistema di riferimento globale, solidale con il fantoccio), ladistanza sorgente-isocentro (SID) e la distanza isocentro-centro detector (IDD). Si definiscepoi l’ampiezza del campo di radiazione all’isocentro lungo l’asse X e l’asse Y.Il fantoccio viene descritto dalla tipologia (in quanto puo essere di tipo ellissoide, parallele-pipedo, cilindrico o cilindrico ellittico), dai tre semiassi lungo asse X, Y, Z (per il caso delparallelepipedo sono le tre semilunghezze e per il caso cilindrico sono il raggio e la lunghezza

10.1 Dati Input 111

Figura 10.2: Seconda parte dei dati di input

del fantoccio stesso) ed infine dalla coordinata del centro del fantoccio.In Appendice E vengono riportate le simulazioni di un appareccho radiologico avente un de-tector piano con le diverse tipologie di fantoccio. Piu complessa risulta la descrizione delrivelatore. La tipologia del rivelatore puo essere una delle seguenti:

• Puntuale: geometricamente rappresentato da un punto a distanza IDD dall’isocentro edappartenente al piano XZ

• Lineare a Corona: geometricamente rappresentato da un settore circolare di ampiezzaangolare α ed appartenente al piano XZ

• Lineare a Segmento: geometricamente rappresentato da un segmento rettilineo di am-piezza angolare α ed appartenente al piano XZ (congiungente i punti estremi del rivela-tore a settore circolare della stessa ampiezza, ovvero la corda del settore circolare) e condistanza IDD dall’isocentro al centro del detettore medesimo.

• Superficie Cilindrica: geometricamente rappresentato da una superficie definita da unsettore cilindrico di ampiezza angolare α lungo il piano XZ e di lunghezza con aperturaangolare β lungo il piano Y Z. Il cilindro inoltre puo essere scelto come avente il centroall’isocentro oppure alla sorgente, a seconda di quale tomografo si voglia simulare.

• Superficie Piana: geometricamente rappresentato da un rettangolo di dimensioni DX ·DY

corrispondente ad un’ampiezza angolare α nel piano XZ e β nel piano Y Z. La distanzadal centro di tale superficie all’isocentro e pari a IDD e il plate puo essere orientato apiacere nello spazio 3D.

• Rivelatore Sferico: geometricamente rappresentato da una superficie sferica definita daun raggio R e dal centro della sfera stessa C che tipicamente coincide con l’isocentro I.


Figura 10.3: Confronto di simulazioni aventi diverso posizionamento della testata

In Appendice E vengono riportate le simulazioni di un appareccho radiologico avente un fan-toccio cilindrico con le diverse tipologie di rivelatore.Si definiscono poi le coordinate del vettore spostamento del detector: esse indicano le coordi-nate del centro del detector rispetto al punto sull’asse del fascio a distanza IDD dall’isocentro.Vengono definite in seguito le due dimensioni del detector lungo l’asse X e Y del sistema radio-logico: per la tipologia di superficie cilindrica queste dimensioni sono riferite ai quattro verticiche determinano tale superficie (in pratica viene richiesta la lunghezza della corda dell’arco dicirconferenza che e disegnata dal rivelatore).Gli angoli di Tilt e Flip sono gli angoli da introdurre nel caso in cui il rivelatore invece di essereperfettamente ortogonale al fascio presenta una certa inclinazione lungo l’asse X (angolo diTilt) e lungo l’asse Y (angolo di Flip), come mostrato in figura 10.4

Figura 10.4: Esempio di Tilt e Flip di un rivelatore piano

Per quello che riguarda la sorgente, viene richiesto di inserire il valore dell’Output Stan-dardizzato, costante che viene caricata anche nel file dello spettro energetico di un apparecchioradiologico ma che viene qui richiesta per evitare di caricare file che non siano corretti. Viene

10.1 Dati Input 113

richiesta anche la tensione e l’area di taratura a cui il valore di Output Standardizzato e statomisurato.Per quanto concerne i parametri di interazione, essi riguardano principalmente la specifica diquale materiale sia fatto il fantoccio e il caricamento dei file contenenti tutti i dati fisici delmateriale in questione. Viene poi anche inserito il materiale aria per una corretta simulazionedel sistema radiologico. Da notare che in questo caso la colonna di default e colorata di verde,a dimostrazione che si tratta di inserire la path (dove si trovano i dati relativi ai due materialiscelti per la simulazione), il nome del file e i due materiali scelti (aria e materiale costituenteil fantoccio omogeneo).Analogamente per il caricamento dei dati dello spettro relativo si devono introdurre il nomedella path, del file e la tipologia di spettro relativa all’apparecchio, codificata da un codicecontenente la tensione di lavoro, l’angolo anodico, la distanza di riferimento a cui simulare lospettro, lo spessore di filtrazione e la tipologia del materiale utilizzato nella filtrazione.Viene poi richiesto di inserire i dati necessari a creare le tabelle relative alle probabilita di diffu-sione singola sia Rayleigh che Compton, con i diversi modelli presentati nei capitoli precedenti,per un determinato set di angoli e di energie per cui si deve fornire un angolo mimino, unomassimo e lo step con cui campionare tale intervallo. Analogamente si inseriscono i dati perquanto concerne l’energia del fotone. Nel paragrafo “default tabella probabilita” se il valoreminimo e massimo dell’energia sono entrambi uguali a zero si carica lo spettro salvato nel file.xls e se ne utilizza il range energetico; se entrambi sono diversi da zero e diversi tra loro siutilizzano questi parametri per generare uno spettro uniforme e quindi le relative tebelle diprobabilita; se entrambi sono diversi da zero ma uguali tra loro viene generato uno spettromonoenergetico.

Figura 10.5: Angoli del fascio primario

I parametri relativi al fascio primario sono gli angoli, minimo e massimo, e lo step dicampionamento del fascio primario, ovvero geometricamente parlando e il campionamentodella piramide che rappresenta il fascio radiologico primario, come mostrato in figura 10.5.Viene poi richiesta la modalita di calcolo da utilizzare nella simulazione ed i parametri dicampionamento della radiazione diffusa singolarmente, del detector e del rivelatore sferico. Sideve scegliere poi se i valori delle varie matrici di Dati Output calcolate debbano essere influenza di energia, misurata in

[KeVcm2

], o in dose standardizzata, ovvero misurata in

[µGymAs

].

L’utente deve poi inserire i parametri p1, p2, p3, p4 relativi al modello parametrico dello scattermultiplo; se tali valori sono tutti nulli allora lo scatter multiplo non viene nemmeno simulato.Infine si richiede la path ed il nome del file .xls che contiene i dati della funzione di scatterincoerente e del fattore di forma atomico degli elementi che compongono il materiale del


fantoccio per poter calcolare sia le tabelle delle probabilita che simulare il fascio radiante.Sempre in fase di raccolta di dati input, il software carica tutti i file relativi allo spettroenergetico dell’apparecchio radiologico che si vuole modellizzare e ed i file relativi ai parametrifisici del materiale costituente il fantoccio omogeneo ed il materiale assorbente che simulail rivelatore. Vengono sempre caricati i file relativi all’aria, dato che l’attenuazione dellaradiazione primaria e diffusa singolarmente in aria viene sempre considerata per ogni tipologiadi rivelatore e fantoccio. Vediamo ora in particolare come sono costituiti questi file.

Figura 10.6: Heder del file contenente gli spettri energetici dei vari apparecchi radiologici

Un file .xls contiene tutti gli spettri relativi ai vari apparecchi radiologici per le diversecondizioni di tensione, filtraggio e inclinazione dell’angolo anodico. Per selezionare il foglio diexcel contenente lo spettro desiderato, il software utilizza il codice che e stato immesso nelparametro dei dati di input. Prima dei vari spettri esiste un foglio excel chiamato “header”,riportato in figura 10.6, che mostra come sono strutturati i fogli excel contenenti lo spettro espiega cosa sia inserito in ogni singola cella del foglio. In figura 10.7 si riporta un esempio delfoglio contente un tipico spettro.

Figura 10.7: Esempio di un foglio contenente i dati dello spettro energetico

Analogamente esiste un foglio header mostrato in figura 10.8 per i file relativi ai coefficientimassici e agli altri dati relativi al materiale che compone il fantoccio omogeneo.

10.2 Elaborazione Dati Input 115

Figura 10.8: Header del file contenente i coefficienti massici dei vari materiali e altri parametrifisici

Un tipico foglio contenente i dati del materiale e mostrato in 10.9

Figura 10.9: Esempio di un foglio contenente i dati fisici di un materiale

Infine anche per il calcolo delle probabilita il programma carica un file .xls contenente unfoglio header riportato in figura 10.10 ed i dati relativi al singolo elemento.In figura 10.11 e riportato il foglio contenente i dati relativi alla funzione di scatter incoerente

Figura 10.10: Header del file contenente le funzioni di scatter incoerente e i fattori di formaatomici dei singoli elementi

e al fattore di forma atomico in funzione del parametrio X descritto nei paragrafi precedenti.

10.2 Elaborazione Dati Input

Caricati tutti i dati di input, il software chiede all’utente di selezionare quale tipologia dicalcolo e risultato vuole ottenere. La schermata che compare e quella riportata in figura 10.12.

Selezionando la prima opzione si decide di calcolare una tabella che viene poi graficatain un file .xls. Vengono cosı calcolate le curve che mostrano la distribuzione angolare dellaradiazione diffusa singolarmente sia per lo scattering Compton, sia per lo scattering Rayleigh.La seconda opzione grafica invece l’apparecchio radiologico in base ai dati di input inseritinella fase di lettura iniziale. Vengono create tre finestre in cui sono graficati il piano XY, ZX,


Figura 10.11: Esempio di un foglio contenente i dati relativi alla funzione di scatter incoerentee il fattore di forma atomico

Figura 10.12: Menu delle diverse modalita

ZY (vedi Appendice E per alcuni esempi di simulazione e chiarimenti) e un’ultima in cui sivisualizza una grafica 3D. La grafica e necessaria per visualizzare che tutti i dati in ingressosono stati inseriti correttamente e permette inoltre una visualizzazione diretta dei conti, datoche viene simulato il fascio radiante in modo interattivo: il colore blu indica che il pencil-beamnon interseca il rivelatore, il colore rosso se lo interseca ma non interseca il fantoccio. Se ilpencil-beam primario viene rilevato ed interseca il fantoccio allora viene colorato di rosso finoal punto di ingresso del fantoccio, di blu all’interno del fantoccio e di verde dal punto di uscitadel fantoccio fino al punto di rivelazione. Per la radiazione diffusa singolarmente i codici deicolori sono i seguenti: rosso mentre attraversa il fantoccio e verde da quando esce dal fantocciofino al punto di rivelazione. Da notare che i colori descritti sono quelli di default. L’utentepuo modificare a piacere questi colori.E possibile quindi monitorare passo per passo quello che viene simulato. Inoltre e possibiledecidere se graficare anche la radiazione diffusa singolarmente oppure soltanto la primaria,dato che graficare la simulazione della radiazione diffusa singolarmente comporta un caricoassai pesante da un punto di vista computazionale con una spesa temporale assai ingente. Siconsiglia quindi di utilizzare un campionamento del rivelatore assai grossolano in una fase digrafica (e quindi verifica della correttezza dei dati) per poi passare ad una simulazione piu finesoltanto utilizzando i conti (per la radiazione diffusa singolarmente), ottenendo un risparmiodi tempo assai notevole.La terza opzione permette il calcolo della energia impartita sia della radiazione primaria siadella radiazione diffusa singolarmente utilizzando soltanto i conti, senza mandare nulla in grafi-ca. Analogamente con la quarta e quinta scelta si seleziona soltanto il contributo della primaria

10.3 Dati Output 117

e della secondaria singola. Da sottolineare che computazionalmente parlando cio che impiegaun tempo maggiore per essere calcolato e il contributo della radiazione diffusa singolarmente,mentre il contributo della radiazione primaria e calcolato in tempi molto rapidi. Risulta quindipossibile e consigliabile calcolare il contributo della primaria con uno step di campionamentodel rivelatore assai piccolo per dare una descrizione molto accurata della radiazione primaria,mentre si potrebbe utilizzare un campionamento piu largo e quindi risparmiare del tempo peril calcolo del contributo della radiazione diffusa singolarmente, dato che in ogni caso sia perla radiazione primaria che per la radiazione secondaria singola un campionamento inferioredetermina una sovrastima della energia impartita e quindi una stima in eccesso del rischio.Da notare che tutte le modalita “verifica” calcolano solamente la radiazione che cade all’in-terno del detector, campionandola secondo il passo di campionamento del detector stesso. Sicomprende bene ora che in questo modo si considera soltanto una parte della radiazione dif-fusa, quella che cade nel detector. A tale scopo si e deciso di introdurre un rivelatore sferico(ovviamente in fase di simulazione) che raccolga tutta la radiazione sia primaria che diffusache viene generata all’interno dell’oggetto diffondente.Una regola di cui tener conto e che all’aumentare del campinamento, sia del fascio che del de-tector, che del rivelatore sferico, aumenta l’accuratezza delle simulazioni effettuate ma aumentaconseguentemente anche il tempo di calcolo.

10.3 Dati Output

I dati di Output generati dal sofwtare dipendono dall’opzione selezionata dall’utente:

1. Viene generata una tabella contenente al variare del range energetico assegnato in fasedi input dei dati, gli angoli e la probabilita di diffusione per un fotone sia per lo scat-tering Compton che per lo scattering Rayleigh. Vengono poi costruite anche le tabelleche stimano la probabilta di diffusione per un fotone con i diversi modelli fisici preceden-temente descritti: modello Thomson, modello di Thomas-Fermi, modello basato sulletabelle della EPDL (approssimazione del fattore di forma atomico e della funzione discatter incoerente)

2. Viene graficata la geometria del sistema radiologico che si vuole simulare: si ottengonole tre visualizzazioni ortogonali tra loro lungo i piani XY, ZX, ZY ed anche una grafica3D. Tutte le finestre sono interattive nel senso che mostrano lo sviluppo dei calcolimodificando la loro visualizzazione a seconda dell’avanzamento della simulazione stessa.Il software permette di fermare la simulazione e di salvare dei file temporanei contenentile immagini di tutte le finestre, in modo da poter esportare le immagini della simulazionestessa.

3. Viene generato un file .xls contenente l’intensita della radiazione primaria per ogni sin-golo pixel del rivelatore. Viene poi generata una seconda mappa contenente l’intensitadi ogni singolo pixel sia per la componente della radiazione diffusa singolarmente Comp-ton che Rayleigh per quanto concerne le modalita di “verifica step” e “verifica fast”. Sigenera poi un’immagine totale in cui si sommano la componente primaria e diffusa sin-golarmente (non e da confondere con l’immagine radiologica in quanto manca lo scattermultiplo). Infine si calcola una mappa del SPR1, ovvero del Single Scatter to PrimaryRatio, definito come il rapporto dell’intensita della componente diffusa singolarmenterispetto a quella primaria per ogni singolo pixel e per ogni singolo processo modellizzato(sia Compton che Rayleigh). Vengono poi riportate le matrici dell’attenuazione mediaper ogni singolo pixel e la matrice di copertura, calcolate per la stima dei parametridello scatter multiplo. Infine viene riportata anche la matrice relativa all’intensita delloscatter multiplo stimato con i parametri forniti in fase di input dati.

4. Viene generato in output quanto detto per il caso precedente solamente riferito allacomponente primaria


5. Viene generato in output quanto detto per il caso precedente solamente riferito allacomponente diffusa

Da notare che per ogni modalita con cui si simula la radiazione sia primaria che diffusache cade sul rivelatore viene automaticamente calcolato anche l’energia del fascio radiante equella che cade sul rivelatore stesso, al fine di poter stimare l’energia impartita al paziente apartire dal principio di conservazione dell’energia.

Capitolo 11Validazione del Software conTomografia AssialeComputerizzata

Indice11.1 Simulazione della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . 114

11.2 Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Ordine . . . . . . 121

11.2.1 Scattering di un singolo Voxel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11.2.2 Contributo dello Scattering al Primo Ordine nell’imaging di trasmis-sione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

11.3 Simulazione della Radiazione Diffusa Multipla . . . . . . . . . . . 125

11.3.1 Inferenza Statistica sui parametri stimati . . . . . . . . . . . . . . . 129

In questo capitolo viene descritta la procedura di validazione del modello fisico sviluppatoutilizzando dati relativi alla tomografia assiale computerizzata (TAC) nelle sue componenti principalirelative alla simulazione della radiazione primaria, diffusa al primo ordine e diffusa multipla.

La Verifica di un Software e un processo in cui si determina se il programma codifica cor-rettamente ed adempie a specifiche richieste. La Validazione di un codice e un processo diverifica del software al fine di assicurarne la corretta Compliance con l’applicabilita fisica delprocesso che si vuole modellizzare. La procedura di validazione di un codice quindi consistenel confrontare i dati di output con dei dati noti, sia sperimentali che in letteratura, al variaredei parametri fisici che vengono richiesti in fase di input dei dati al software stesso.La validazione e un processo necessario e fondamentale per lo sviluppo di un modello fisico.Senza questa fase nell’applicazione del software stesso si rischia infatti di ottenere dati in out-put che possono essere non del tutto corretti.Per quanto concerne la simulazione di un apparecchio radiologico si e cercato in letteraturase esistessero dei modelli in cui viene simulato il trasporto di energia sia per la radiazioneprimaria che diffusa, sia al primo ordine che scattering multiplo.Esistono dei modelli che forniscono dati che riguardano la simulazione di un fascio prima-rio e diffuso in Tomografia Assiale Computerizzata, in particolare la Cone Beam ComputedTomography o (CBCT) in quanto la non presenza della griglia antidiffusione ha costretto icostruttori a sviluppare tecniche di correzione dello scatter presente sull’immagine dato chegli algoritmi di ricostruzione delle immagini TAC necessitano di proiezioni della radiazione

120 Validazione del Software con Tomografia Assiale Computerizzata

primaria che non contengano contributi della radiazione diffusa, pena la creazione di artefattinell’immagine radiologico. Se nel passato tuttavia tali problemi non esistevano, visto che idetectors presentavano poche slice di rivelatori e quindi la radiazione era raccolta in condizionidi buona geometria, con l’avvento della tecnica multislice si e ampliato il campo di rivelazionee con esso anche le tecniche di correzione dell’immagine. I metodi Monte Carlo non possonoessere utilizzati in quanto troppo dispendiosi da un punto di vista temporale e quindi vengonoadottati modelli analitici o misure sperimantali eseguite sull’immagine radiologica stessa, adiscapito di alcuni pixel del rivelatori che vengono utilizzati per quest’ultima tecnica, oppuresi utilizzano tecniche Monte Carlo dedicate, rese veloci per poter correggere lo scatter presentee ricostruire l’immagine in tempi accettabili ma con incertezze molto importanti.Risulta possibile confrontare delle simulazioni pubblicate per la CBCT con i risulatati ottenutiutilizzando il software sviluppato, dato che all’interno del software stesso e possibile effettuareanche delle simulazioni TAC.Prima di illustrare la validazione del modello fisico adattato e necessario sottolineare alcuniaspetti relativi alla operazione di confronto dei dati ottenuti.Se per la geometria del sistema radiologico simulato non e possibile che esistano delle variazionida un codice all’altro, per quanto concerne i dati presenti nei databse dei singoli programmideve essere fatta attenzione sul valore del discostamento che potrebbe risultare nella fluenzadei fotoni. Infatti puo essere che i risultati differiscano perche i database utilizzati non sonogli stessi.Nelle simulazioni del trasporto e deposito di energia nei materiali e necesario sottolineare che icoefficienti massici compaiono all’esponente e quindi il valore delle fluenze di energia calcolatepossono differire di parecchio.Anche il confronto con dati sperimentali tuttavia puo fornire delle discrepanze; infatti le im-purita presenti nel materiale che compongono il fantoccio, in particolar modo quelle ad alto Z,possono generare una variazione sostanziale delle fluenza di energia, in quanto come si e vistonei capitoli precedenti le sezioni d’urto dei singoli processi dipendono dal numero atomico Z.Quindi per una validazione di un software risulta piu corretto confrontare i valori ottenuti inoutput con dei dati presenti in letteratura ed accettati come corretti piuttosto che validareil modello con misure sperimentali, in quanto se per il primo confronto e presente solo la di-screpanza dovuta ai coefficienti massici diversi utilizzati nei rispettivi database, nel secondoconfronto sono presenti inoltre anche gli errori legati alle impurita dei materiali ed altre discre-panze dovute al fatto che in un caso si sta simulando una situazione ideale mentre nell’altrosi stanno effettuando misure e ci si aspetta quindi una discrepanza maggiore rispetto al casoprecedente.

11.1 Simulazione della Radiazione Primaria

I valori della trasmissione della radiazione primaria per due fantocci di acqua cilindricicon differente diametro sono stati comparati con i valori ottenuti con il codice Monte CarloMCNP5. Questi valori sono stati anche ottenuti dalle simulazioni con il ToolKit CT-Mod(simulatore Monte Carlo dedicato per la CBCT reso piu veloce dall’introduzione di alcuneapprossimazioni).Le proiezioni della radiazione primaria sono state calcolate in una geometria che simula unoscanner utilizzato in Computed Tomograpyh (CT). La geometria consiste in una sorgente pun-tiforme, un fantoccio cilindrico ad un array di punti che simulano il rivelatore disposti su unasuperficie cilindrica centrata nella sorgente stessa.La sorgente emette fotoni monoenergetici con energie iniziali di 30, 60, 90, 120 KeV rispettiva-mente. La distanza della sorgente dall’isocentro e SID=700 mm mentre il centro del rivelatoresi trova a IDD=300 mm. La larghezza del fascio, corrispondente a quella del rivelatore, e paria w=200 mm, mentre la lunghezza e l=700 mm, analogamente per il rivelatore come mostratoin figura 11.1.

11.1 Simulazione della Radiazione Primaria 121

(a) Piano ZX (b) Piano XY

(c) Piano ZY (d) 3D

Figura 11.1: Geometria di simulazione


I fantocci simulati sono di acqua, omogenei e con lunghezza pari a 25 cm e di diverso raggio,8 cm e 16 cm, con asse posto all’isocentro e parallelo all’asse Y. Il software e stato settatoin modo da poter ottenere la fluenza di energia al rivelatore e l’erogazione dell’apparecchioradiologico e stata calcolata in modo che la sorgente emetta un fotone su angolo solido, comeriportato nell’articolo di Malusek et Al.[16].Si e simulato un rivelatore con 64 × 13 elementi, al fine di avere le stesse coordinate spazialidei punti ottenuti con la simulazione Monte Carlo; il software infatti permetterebbe di avereun rivelatore con molti piu elementi in tempi ridotti. Infatti, come descritto in [17], il codiceMCNP5 fornisce la fluenza di energia solo in 12 punti data la grandissima quantita di tempoimpiegato per una simulazione. I dati forniti dal MCNP5 sono stati confermati poi anchedal ToolKit CT-Mod con una discrepanza dell’ordine del 0.5%. Questi valori vengono quindiassunti come corretti e come parametro di confronto.Nelle tabelle riportate in figura 11.2 sono riportati i valori ottenuti con il codice MCNP5 equelli ottenuti dalle simulazione del software con una interpolazione lineare dei coefficientimassici utilizzati nella simulazione stessa della radiazione primaria, per le diverse energie eper i due diversi fantocci e la differenza relativa. I valori rappresentano la fluenza energeticaespressa in KeV/cm2 relativa ai singoli pixel della slice centrale del rivelatore .

(a)

(b)

Figura 11.2: Tabelle riportanti i valori di fluenza energetica in KeV/cm2 per i due diversiraggi del fantoccio di 8 cm a e di 16 cm b in funzione dell’indice del pixel i e dell’energiadel fascio monocromatico E di 30, 60, 90, 120 KeV delle simulazioni con MCNP5 e con ilsoftware sviluppato. In fondo alle tabelle vengono riportate i dati relativi alla simulazione conil software utilizzando una interpolazione logaritmica dei coefficienti massici rispetto a quellalineare.

Le differenze relative ∆E sono inferiori del 2,2% per il fantoccio di raggio 8 cm, mentreinferiori al 4,5% per il fantoccio di raggio di 16 cm, come mostrato dalle tabelle riportate infigura 11.3.

Come si vede dalla figura 11.4 il software sviluppato permette di ottenere dei porfili moltopiu accurati rispetto al codice MCNP5 con un dispendio temporale enormemente inferiore.


(a)

(b)

Figura 11.3: Differenza relativa dei valori di fluenza energetica del software rispetto ai valoricalcolati con MCNP5 per i due casi di fantoccio con raggio di 8 cm a e di 16 cm b


Infatti i profili della radiazione primaria, riportati su scala logaritmica, vengono calcolati inpochi minuti.Nelle tabelle della figura 11.2 vengono riportati i valori ottenuti dalle simulazione del softwarecon una interpolazione logaritmica dei coefficienti massici: le differenze relative in questo casosono inferiori del 0,6% per il raggio di 8 cm e di 1,3% per il raggio di 16 cm (vengono riportatesolo i valori per le energie di 90 e 120 KeV perche sono quei valori che maggiormente si dico-stano da quelli dati dalle simulazioni MCNP5), a dimostrazione che la maggiore discrepanzaottenuta nelle precedenti simulazioni era dovuta soltanto alla tipologia di interpolazione. Perquesto motivo sul software si e deciso di far scegliere manualmente all’utente quale tipologiadi interpolazione utilizzare, ricordando che per interpolazione lineare lin-lin si intende:

y = yi +yi+1 − yixi+1 − xi

· (x− xi) (11.1)

in cui y = f(x) e una funzione che e campionata da un set di n-punti (xi, yi) tale che 1 ≤ i ≤ n,mentre per interpolazione logaritmica log-log si intende:

y = exp

[ln(yi) +

ln(yi+1 − ln(yi))ln(xi+1 − ln(xi))

· (ln(x)− ln(xi))]

(11.2)

In figura 11.5 viene mostrato il discostamento per le due energie di 90 e 120 dato che sono ledue energie per le quali maggiormente si manifesta la differenza nell’utilizzo delle interpolazioni.


Figura 11.4: Fluenza di energia in aria primaria per gli spettri monoenergetici di 30, 60, 90,120 KeV per i due casi di fantoccio cilindrico avente diametro pari a 160 e 320 mm in funzionedella distanza del pixel dall’isocentro lungo l’asse X per la slice centrale del plate.


Figura 11.5: Confronto tra le diverse tipologie di interpolazione per gli spettri monoenergeticidi 90 e 120 KeV per le due tipologie di fantoccio di diametro pari a 160 e 320 mm

11.2 Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Ordine 127

11.2 Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Or-dine

11.2.1 Scattering di un singolo Voxel

Prima di iniziare con la simulazione dello scattering di un oggetto 3D macroscopico, risultaistruttivo e necessario validare il modello della radiazione diffusa per il caso di un oggettoavente un volume infinitesimo, non solo per verificare la coerenza delle simulazioni effettuatecon il software rispetto ai dati presenti in letteratura, ma anche per migliorare la comprensionedel fenomeno di scattering da parte di un voxel. Infatti lo scattering di un singolo voxel risultaessere la base per simulare la diffusione generata da oggetti macroscopici.Dato che in letteratura non sono presenti simulazioni di voxel puntiformi ne in radiologia digi-tale ne in tomografia computerizzata, si e deciso di validare la diffusione di un voxel puntiformecon i dati presenti in letteratura relativi all’utilizzo di radiazioni ionizzanti per la radiografiadi materiali. In particolare si e deciso di confrontare i risultati ottenuti dalla simulazione delsoftware con quelli ottenuti con un modello deterministico e relativi allo scatter al primo ordineche riguardassero rispettivamente il contributo sia Compton che Rayleigh.Con riferimento all’articolo di Freud, Duvauchelle et Al.[7] si e simulato un voxel di ferrocubico molto piccolo di lato x = 1µm. In questo modo sia l’attenuazione dei fotoni che laprobabilita di scatter multiplo possono essere considerate trascurabili. Infatti la probabilitache un fotone di 100 KeV venga trasmesso senza alcuna interazione attraverso il voxel e pari ap = e−(µρ ·ρ·x) = 0, 9997 dove µ

ρ e il coefficiente massico del ferro a 100 KeV e ρ = 7, 87 g/cm3.I parametri geometrici sono gli stessi presenti nell’articolo di Freud et Al., ovvero si ha unadistanza del voxel dalla sorgente pari a SID=100 mm ed il detector piano e posto ad unadistanza IDD=500 µm, formato da 75×75 pixel ognuno avente dimensione pari a 1,778 µm2 adifferenza dei 500×500 pixel calcolati nell’articolo di confronto. La sorgente e ipotizzata esserepuntiforme, monocromatica con fotoni di energia pari a 100 KeV con emissione di N0 = 1012

fotoni.Di seguito vengono riportate dapprima le immagini relative alle simulazioni dell’articolo diFreud et Al. ed i profili dei pixel centrali relativi allo scattering sia Compton che Rayleigh.

(a) Compton (b) Rayleigh

(c) Profilo dello scatterCompton

(d) Profilo dello scatterRayleigh

Figura 11.6: Immagini radiologiche del numero di fotoni che arrivano sul rivelatore e rispettiviprofili dei pixel centrali generate dallo scatter di un voxel puntiforme di ferro dall’articolo diFreud et Al [7].


Le seguenti immagini invece mostrano le immagini ed i profili dei pixel centrali ottenuticon il software creato: la concordanza con i dati precedenti e ben evidente e quindi il softwarerisulta pertanto essere validato per il caso dello scattering al primo ordine di un voxel punti-forme per il caso sia Compton che Rayleigh.

(a) Compton (b) Rayleigh

(c) Profilo dello scatter Compton (d) Profilo dello scatter Rayleigh

Figura 11.7: Immagini radiologiche del numero di fotoni che arrivano sul rivelatore e rispettiviprofili dei pixel centrali generate dallo scatter di un voxel puntiforme di ferro

11.2 Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Ordine 129

11.2.2 Contributo dello Scattering al Primo Ordine nell’imaging ditrasmissione

Constatata la bonta dello scattering di un voxel assunto come puntiforme, si e deciso di si-mulare lo scattering da parte di un oggetto 3D macroscopico. Si e deciso di simulare dapprimaun caso semplice: un plate di ferro, geometricamente parlando un parallelepipedo, irradiatocon un fascio monocromatico. Questo tipo di configurazione puo essere utilizzata per valutarela percentuale di fotoni diffusi rilevati da un detector posto dietro l’oggetto 3D per differentivalori di energia del fascio, spessore del plate e differenti materiali. Si e deciso di simulare laconfigurazione descritta nell’articlo di Freud at al.[7] per effettuare un confronto del softwarecreato per oggetti 3D macroscopici.La sorgente e puntiforme con emissione isotropica di 1012 fotoni/steradianti di energia paria 100KeV ad una distanza dall’oggetto SID = 1000 mm ed un rivelatore posto a distanzaIDD = 10 mm con dimensioni 2 mm × 100 mm. Il plate di ferro presenta le seguenti dimen-sioni: 50 mm × 50 mm × 5 mm e in base a quanto letto nell’articolo di Freud et al. si e decisodi effettuare una discretizzazione dell’oggetto e del rivelatore che impiegasse il minor tempopossibile ma che permettesse una corretta valutazione dei profili della radiazione diffusa alprimo ordine sia Compton che Rayleigh senza introdurre artefatti di campionamento (1mm3

per la voxelizzazione del plate di ferro e 1 × 50 per il numero dei pixels del rivelatore).Di seguito si riportano i profili del rivelatore ottenuti con tale configurazione di simulazioneed i profili ottenuti da Frued con una simulazione avente voxel di lato 200µm ed il numerodi pixel del rivelatore pari a 500 × 500: si nota che la concordanza tra i due andamenti e deltutto verificata.

(a) Freud et al. (b) Modalita Verifica Voxel

(c) Freud et al. (d) Modalita Verifica Voxel

Figura 11.8: Confronto dei profili dello scatter al 1 ordine sia Rayleigh che Compton edinfluenza dello scatter rispetto al profilo generato sul rivelatore dalla radiazione primaria.


Verificata quindi la bonta del modello relativo allo scatter Compton e Rayleigh al 1 ordinenell’imaging di trasmissione si e deciso di verificare il modello per oggetti macroscopici 3D chesiano di interesse radiologico e con una geometria di acquisizione delle immagini radiologicheche sia quanto piu simile a quella degli apparecchi diagnostici utilizzati in clinica.Anche per il caso dello scatter al primo ordine si e ricorsi alla tomografia assiale computeriz-zata per verificare che le simulazioni effettuate fossero corrette.Si sono confrontati i dati con quelli presenti in un articolo di Yiannis Kyriakou et Al. [11] perquello che rigurda il contributo allo scatter al primo ordine sia Compton che Rayleigh.Il setup della simulazione di tale articolo viene descritto in un altro articolo di Willy A. Ka-lender [4] e consiste in una sorgente, il fantoccio ed il rivelatore. La geometria del sistemaradiologico e quella che descrive un tipico C-Arm Flat Panel Detector Computed TomographySystem: l’Axiom Artis dTA della Siemens Medical Solution.La distanza della sorgente dall’isocentro e SID=785 mm, il detector e un plate di dimensionipari a 40 cm × 30 cm a distanza IDD=415 mm dall’isocentro con materiale scintillante CsI dispessore pari a 0,6 mm, con un fascio radiante di dimensioni 261 cm × 200 cm all’isocentro.La sorgente e simulata come puntiforme con emissione monocromatica di fotoni aventi energiapari a 40, 80 e 120 KeV ed il fantoccio e cilindrico di acqua omogeneo.Si sono effettuate diverse simulazioni per diversi raggi del fantoccio al variare dell’energia deifotoni emessi; questo e stato possibile grazie alla velocita di simulazione che il software permet-te. Si sono poi elaborati i dati relativi al pixel centrale del rivelatore per poterli confrontarecon qulli noti dall’articolo. Infatti viene graficato in funzione dell’energia dei fotoni radiantiprimari il rapporto Ri = Si/Stot in cui Si rappresenta l’intensita della radiazione diffusa alprimo ordine tale che i ∈ Compton, Rayleigh ed Stot rappresenta lo scatter al primo ordine,ovvero la somma dei contributi Compton e Rayleigh.In figura 11.9 vengono riportati gli andamenti ottenuti con la simulazione e quelli dell’articolodi Yiannis Kyriakou et Al.: si nota la completa concordanza degli andamenti e la bonta del mo-dello adottato. Dato che non sono dati nell’articolo i valori dei punti che descrivono tali curvenon e stato possibile quantificare il discostamento delle simulazioni effettuate. Si nota tuttaviaun discostamento degli andamenti per l’energia relativa ai 40 KeV per entrambi i contributi siaRayleigh che Compton. Questa differenza verra spiegata ampiamente nel paragrafo successivo.

(a) Yiannis Kyriakou et Al.[11] (b) Simulazione

Figura 11.9: Confronto dei contributi relativi Ri della componente Rayleigh e Compton ri-spetto all’intensita dello scatter al primo ordine per il pixel centrale del rivelatore in funzionedel raggio del fantoccio al variare delle energie del fascio monocromatico simulato [11].

11.3 Simulazione della Radiazione Diffusa Multipla 131

11.3 Simulazione della Radiazione Diffusa Multipla

Validato il modello fisico adottato per quanto rigurda la radiazione primaria e diffusa alprimo ordine, si e deciso di adottare come modello fisico per lo scattering multiplo il modelloparametrico presentato nei paragrafi precedenti. Anche in questo caso la validazione e stataeffettuata in tomografia assiale computerizzata, riferendosi ai lavori eseguiti da A. Malusek etAl. [12][16][17], che riportano simulazioni effettuate sia con il codice Monte Carlo MCNP5 checon il ToolKit CT-Mod.La geometria e le tipologie di simulazione sono le stesse di quelle descritte per la radiazioneprimaria e si rimanda a tale paragrafo per ulteriori dettagli. I valori della fluenza di energia inaria della radiazione diffusa totale simulata con MCNP5 sono stati assunti come valori correttisui quali effettuare la regressione lineare multipla al fine di estrarre i parametri dello scattermultiplo: si e sottratto infatti a tali valori il contributo della radiazione diffusa al primo ordineed in seguito sono stati stimati i parametri relativi ad ogni singola energia di 30, 60, 90, 120KeV per le due tipologie di fantoccio cilindrico di acqua omogeneo di raggio di 8 cm e 16 cm.

(a)

(b)

Figura 11.10: Tabelle relative ai valori di fluenza di energia in aria in KeV/cm2 in funzionedelle diverse energie E 30, 60, 90 e 120 KeV e dell’inidce i dei pixel della slice centrale per idue fantocci di raggio a di 8 cm e b di 16 cm delle due diverse simulazioni con MCNP5 ed ilsoftware sviluppato e relativa differenza

La regressione lineare e stata effettuata solo sui dodici punti del rivelatore, dato che lasimulazione Monte Carlo restituisce solo pochi punti del rivelatore; come al solito questi puntidescrivono il profilo dei pixel della slice centrale; i valori relativi alle simulazioni effettuatesia con MCNP5 che con il software sviluppato sono riportate nelle tabelle di figura 11.10 eper una migliore comprensione sono state graficati in figura 11.12 in cui si riporta lo scattertotale calcolato con MCNP5 e lo scattering multiplo e al primo ordine calcolato con il softwaresviluppato. L’interpolazione utilizzata per coefficienti massici utilizzati e logaritmica, mentreper il fattore di forma atomico e la funzione di scatter incoerente si e utilizzato un’interpola-zione lineare. Come si nota dalle tabelle di figura 11.10 la discrepanza tra le due simulazioni


sono dell’ordine del 1-2%, eccetto che per l’energie di 30 KeV dove si raggiungono incertezzeanche del 20%. Questa discrepanza dipende solamente dai database utilizzati per i coefficientimassici, XCOM del NIST per il software sviluppato e DLC-200 per il MCNP5 e gia nel con-fronto con il ToolKit CT-Mod Malusek et Al., nel lavoro [17], hanno mostrato che per basseenergie, dove i coefficienti variano maggiormente tra i diversi database, una differenza del 4%nel coefficiente massico lineare dell’acqua per un’energia di 30 KeV per un fantoccio avente unraggio di 16 cm, genera una discrepanza nella fluenza di energia che risulta essere dell’ordinedel 38%. In figura 11.11 vengono mostrate le differenza relative alle varie sezioni d’urto equindi al coefficiente di attenuazione lineare per l’energia di 30 KeV supponendo una densitadell’acqua pari a ρ = 1 g/cm3.

Figura 11.11: Confronto delle sezioni d’urto per l’interazione Rayleigh ΣCo, incoerente ΣIn,effetto fotoelettrico ΣPh e totale Σtot relative all’energia di 30 KeV supposta una densitadell’acqua pari a ρ = 1 g/cm3 per i diversi database [17].

In figura 11.13 vengono mostrati i profili della slice centrale del rivelatore: la simulazionedella radiazione diffusa che cade su tutto il rivelatore e stata stimata con i parametri ricavatidai valori dei dodici punti simulati con MCNP5 e che vengono opportunamente riportati perun confronto immediato: e possibile apprezzare il miglior dettaglio del profilo calcolato con ilsoftware.


Figura 11.12: Fluenza di energia in aria diffusa per gli spettri monoenergetici di 30, 60, 90, 120KeV per i due casi di fantoccio cilindrico avente diametro pari a 160 e 320 mm in funzione delladistanza del pixel dall’isocentro lungo l’asse X per la slice centrale del plate. Sono riportati ivalori relativi ai dodici punti del profilo centrale.


Figura 11.13: Fluenza di energia in aria diffusa per gli spettri monoenergetici di 30, 60, 90,120 KeV per i due casi di fantoccio cilindrico avente diametro pari a 160 e 320 mm in funzionedella distanza del pixel dall’isocentro lungo l’asse X per la slice centrale del plate. Sono ancheriportati i valori dei dodici punti calcolati con MCNP del profilo centrale.


11.3.1 Inferenza Statistica sui parametri stimati

La modellizzazione della radiazione diffusa multipla viene effettuata attraverso un modelloparametrico a partire da dati ottenuti da una simulazione iniziale e dalla conoscenza dell’ef-fettivo valore di fluenza di energia di ogni singolo pixel per lo scattering multiplo. I datiriguardanti l’intensita della radiazione diffusa totale calcolati con MCNP5 sono stati assunticome andamenti teorici corretti, da cui ricavare i valori della fluenza di energia attraverso lasottrazione dei valori della fluenza di energia dello scatter al 1 ordine. Questo ha permesso distimare i parametri del modello parametrico dello scattering multiplo attraverso la RegressioneLineare Multipla secondo l’equazione:

Mij = p1 + p2 · Sij ·+p3 · Sij · µDij + p4 · Sij · Fij (11.3)

in cui gli indici ij rappresentano gli indici del pixel della matrice del rivelatore, Mij rappre-senta il contibuto dello scatter multiplo calcolato a partire dai dati ottenuti con MCNP5, Sijil contributo dello scatter al primo ordine calcolato analiticamente come detto nei paragrafiprecedenti, µDij l’attenuazione media per ogni pixel della radiazione diffusa al primo ordine eFij un fattore di copertura che rappresenta che rappresenta il rapporto dell’area del pixel conl’area totale del detector se il pixel stesso si trova nella proiezione dell’oggetto sul rivelatore,altrimenti assume valore nullo.Si rimanda all’ Appendice D la descrizione ed il significato di questa tecnica, dove viene descrit-to anche la tecnica di inferenza statistica ANOVA sui parametri stimati che e stata applicataper verificare la bonta del modello parametrico stesso. Di seguito vengono analizzati i risultatiottenuti dall’applicazione di queste due tecniche.I parametri p1 p2 p3 p4 sono riportati nella tabella di figura 11.14 al variare delle diverse energiee per le due diverse tipologie di fantoccio (raggio pari ad 8 cm o 16 cm). Vengono riportateanche i valori dei rispettivi R-quadro aggiustato R2

adj ed i p-value. Dato che il massimo valoridi R2

adj puo essere 1, si nota chiaramente che le esplicative, ovvero le variabili indipendenti, so-no state capaci di catturare la variabilita della variabile dipendente, ovvero il contributo delloscattering multiplo. I valori dell’R2

adj sono tutti maggiori di 0,9958 indicando che il modellosegue molto bene l’andamento dei dati raccolti. E’ stato poi eseguito il test ANOVA per rica-vare i p-value relativi alle varie simulazioni per verificare la significativita del modello linearestesso adottato. Scelto come livello critico del p-value lo 0,05, valore tipicamente accettatoper ottenere una confidenza del modello che sia del 95%, si e osservato che tutti i p-valuestimati sono minori di questo valore, determinando quindi un livello di confidenza dei relativiparametri che supera il 95%.

Figura 11.14: Tabella riassuntiva dei parametri determinati attraverso la regressione linearemultipla ed inferenza statistica con il test ANOVA


Per verificare che tutte le variabili indipendenti fossero significative, ovvero che i singoliparametri stimati fossero tutti necessari per una corretta descrizione della variabile dipendente,si e deciso di effettuare il test t-Student per ogni parametro per stimare la significativita singoladel parametro stesso. I risultati del test sono i p-value relativi ai parametri stimati per lediverse energie adottate per i due diversi casi del fantoccio di diametro pari a 160 mm e 320mm, riportati in figura 11.15. Tutti i valori deel p-value sono inferiori al 0.05, confermando ilfatto che tutte le variabili indipendenti sono necessarie al modello parametrico stimato.

Figura 11.15: p-value dei singoli parametri ricavati con il t-Student per le diverse energie eper i due fantocci di diametro pari a 160 mm e 320 mm

Il test ANOVA restituisce anche i valori dei residui per ogni singola simulazione. I Box-Plotrelativi a tali residui (per maggiori dettagli sul significato di questi grafici si rimanda all’Ap-pendice D) per tutte le diverse energie e rispettivamente per i due fantocci simulati sono statianalizzati e mostrati in figura 11.16. Dai Box-Plot presentati si osserva che effettivamente iresidui presentano tutti media nulla ed i valori dei residui minimo e massimo sono equidistanti.Tuttavia la distribuzione non risulta normale, in quanto la mediana non risulta coincidere conla media ed essere quindi equidistante dai percentili che descrivono la distribuzione dei residuistessi. Questo e dovuto al fatto che la regressione lineare multipla e stata fatta su un setlimitato di punti, solamente 12 a causa del fatto che in letteratura tali dati sono ricavati conMCNP5 e non su un numero sufficientemente elevato per effettuare un’analisi statistica, madata la bonta dell’R2

adj , i parametri possono essere assunti come corretti vista anche la medianulla dei residui e l’equidistanza dei valori minimo e massimo. Ci si aspetta che aumentandoil numero di punti con cui effettuare la regressione lineare i valori dei residui possano assu-mere una distribuzione normale, confermando pienamente la correttezza dei parametri stimati.


(a) φ = 16 cm (b) φ = 16 cm

(c) φ = 16 cm (d) φ = 16 cm

(e) φ = 32 cm (f) φ = 32 cm

(g) φ = 32 cm (h) φ = 32 cm

Figura 11.16: Box-Plot dei residui relativi alle simulazioni effettuate per le energie di 30, 60,90, 120 KeV per i due casi di fantoccio con diametro φ pari a 16 cm e 32 cm


Capitolo 12Applicazione Pratica

Indice12.0.2 Misure Sperimentali Necessarie allo Sviluppo del Software . . . . . . 133

12.0.3 Applicazione pratica del Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

12.0.4 Inferenza Statistica sui parametri stimati . . . . . . . . . . . . . . . 139

12.0.5 Considerazioni Energetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Si e deciso di simulare un tipico caso clinico utilizzando un fantoccio cilindrico, utilizzatoanche in tomografia assiale computerizzata per dosimetria, per un sistema radiologico digitaleutilizzato all’Ospedale S.Chiara di Trento. Si tratta dell’apparecchio digitale Siemens AristosFX della Siemens Medical Solution del Pronto Soccorso, riportato in figura 12.1.

12.0.2 Misure Sperimentali Necessarie allo Sviluppo del Software

Prima di effettuare le simulazioni con il software sviluppato e stato necessario effettuaredelle misurazioni e delle verifiche per poter poi passare alla fase di simulazione e confronto deiprofili di trasmissione delle immagini radiologiche.Una prima procedura effettuata sulle immagini radiologiche ottenute e la Standardizzazionedelle immagini radiologiche stesse. Questa procedura consiste nella divisione dei pixel-valuesdell’immagine per il valore della carica generata dal tubo radiogeno. Questa procedura risulta

Figura 12.1: Siemens Aristos FX

140 Applicazione Pratica

corretta solo se la risposta del rivelatore alla variazione di carica generata e lineare. In unaprima fase quindi si e reso necessario verificare la linearita della risposta del rivelatore allavariazione della carica generata. Questo e stato effettuato tramite la generazione di immaginiradiologiche senza fantoccio per diversi valori di carica generata per le diverse tensioni chesi vogliono simulare. Per ogni immagine si e evidenziata una ROI, ovvero una Region OfInterest (regione di interesse), al centro dell’immagine e si e letto il pixel-value medio. Questaprocedura e stata ripetuta per diversi valori di carica generata alle diverse tensioni.

Figura 12.2: Linearita dei livelli di grigio (o pixel-values) PV in funzione della Carica generatadal tubo radiogeno misurata in [mAs]

La figura 12.2 mostra l’andamento lineare dei pixel-values PV al variare della carica gene-rata alla tensione applicata di 90 kVp: il valore R2 = 1 mostra che l’andamanto e sicuramentelineare. Curve analoghe sono state ottenute per gli altri valori di tensione 70 kVp e 113 kVp,confermando che il rivelatore digitale possiede una risposta lineare in funzione della caricagenerata del tipo PV = a ·Carica+ b. I valori dei coefficienti a e b sono riportati nella tabelladi figura 12.3 assieme al valore R-quadro per la valutazione della linearita supposta.

Figura 12.3: Tabella riportante i parametri del fit lineare dei PV rispetto alla Carica generataper le diverse tensioni di lavoro

Le immagini radiologiche del fantoccio omogeneo di PMMA sono state quindi standardiz-zate rispetto alla carica generata dividendo i PV per la carica generata. L’immagine presentatuttavia una distorsione causata dall’effetto Heel. Questa distorsione dell’immagine viene eli-minata utilizzando ancora le immagini radiologiche acquisite senza fantoccio standardizzaterispetto alla carica generata; infatti dividendo l’immagine acquisita con il fantoccio stesso perl’immagine radiologica senza fantoccio si ottiene direttamente l’immagine della trasmissionedel fantoccio stesso corretta dall’effetto Heel, dato che questo si presenta in entrambe le im-magini.Rimane un’ultima procedura da effettuare prima di passare ad una simulazione di un appa-recchio radiologico reale; se in fase di simulazione la numerosita dei fotoni viene data come

141

parametro di input, per i casi reali lo spettro di fotoni non e un dato noto, nemmeno neidata sheet degli apparecchi radiologici stessi. Per evitare questo problema si e utilizzato unospettro normalizzato generato dal programma XComp5 che e stato poi moltiplicato per lanumerosita ricavata dall’Output Standardizzato secondo quanto esposto nel paragrafo relativoalla simulazione della sorgente. Si e reso quindi necessario misurare a diverse tensioni l’OutputStandardizzato, al fine di ricavare una curva che permetta di ottenere l’Output Standardizzatoper ogni voltaggio settato.

Figura 12.4: Tabella riportante le misure effettuate con il PMX-III

Per questo tipo di misure, riportate nella tabella di figura 12.4, e stato utilizzato il sistemaimpiegato di norma per i controlli di qualita, costituito dal dosimetro PMX-III della RTIElectronics (riportato in figura 12.5), formato da un elettrometro al quale possono essereconnessi diversi tipi di rivelatori a stato solido, tra cui l’MX al silicio a barriera di superficie,per le misure in modalita grafia.

Figura 12.5: PMX-III con sonda MX al silicio a barriera di superficie

Il multimetro PMX-III puo essere collegato ad un calcolatore tramite il quale e possibileacquisire automaticamente le misure con il software di gestione ORTIGO. Per la misura deikVp e dei tempi di esposizione le caratteristiche sono recuperate nel file dicom dell’immagineradiologica stessa. Tutti i valori presentano un’incertezza che e pari ad un digit per cui nellevarie tabelle non vengono riportate tutte le incertezza per motivi di spazio. La sonda e stataposta a 1000 mm dalla sorgente radiogena, impostando una carica pari a 20 mAs per un tempopari a 500 ms.

In figura 12.6 viene mostrato il fitting dei dati sperimentali raccolti: questa curva permettedi stimare l’Output Standardizzato a partire dalla tensione applicata, utilizzando il fit ricavato.Il valore dell’R2 = 0, 9983 mostra che la tensione di lavoro e l’Output Standardizzato seguonocon buona approssimazione la curva del tipo y = axb tale che a = 0, 0081 e b = 1, 9779.


Figura 12.6: Fit dei dati sperimentali ottenuti

A questo punto risulta possibile effettuare una simulazine completa dell’apparecchio radiolo-gico.

12.0.3 Applicazione pratica del Software

Constatata la linearita dei pixel values rispetto alla carica generata dall’apparechio radio-logico ed ottenuta la relazione che lega le tensioni di lavoro alla grandezza Output Standar-dizzato, si e passati alla simulazione vera e propria dell’apparecchio radiologico.La sorgente e ipotizzata puntiforme con spettri polienergetici dipendenti dal voltaggio e filtra-zione applicata. I voltaggi applicati sono 70, 90 e 113 KV e la filtrazione del fascio radiante edi 2.1 mm di Cu. Gli spettri normalizzati di queste configurazioni, da cui tramite la proceduradescritta nel paragrafo relativo al modello della sorgente radiologica, si sono ricavati gli spettriutilizzati nelle simulazioni, sono mostrati in figura 12.7:

Figura 12.7: Spettri Utilizzati

La sorgente si trova ad una distanza dall’isocentro pari a SID=1060 mm, mentre il rive-

143

latore digitale si trova ad una distanza pari a IDD=380 mm ed e piano, composto da 100 ×100 pixel con dimensioni pari a 430 cm × 430 cm e con uno spessore di CsI pari a 0,6 mm.Il fascio radiante copre l’intero rivelatore con dimensioni che all’isocentro sono 325,77 mm ×325,77 mm. Il fantoccio e cilindrico, omogeneo di PMMA e di lunghezza pari a 150 mm e didiametro pari a 160 mm. L’erogazione, ovvero l’Output Standardizzato dipende dal voltaggioapplicato ed e stata calcolato come descritto nel paragrafo precedente.Le immagini radiologiche sono state acquisite con e senza il fantoccio per poter correggerel’effetto Heel sulla immagine stessa ed ottenere cosı delle immagini che rappresentano le tra-smissioni della radiazione sia primaria che diffusa del paziente, velocizzando in questo modo lesimulazioni per le quali la funzione Isotropia e stata impostata quindi come funzione a gradi-no. Da notare che tali immagini sono state acquisite senza griglia antidiffusione. Le immaginituttavia sono state acquisite con diversa corrente del tubo radiogeno e quindi, verificata l’ef-fettiva linearita dei pixel-values alla carica generata, si sono normalizzate tali immagini.

Figura 12.8: Immagine radiologica del fantoccio cilindrico a 113 kVp

Analogamente a quanto fatto per le immagini reali, per la simulazione si sono generate delleimmagini radiologiche con il fantoccio cilindrico che sono state poi corrette con le immaginiottenute con una simulazione senza il fanotoccio. In questa fase si e introdotta l’innovazionedella tesi, ovvero da un profilo ottenuto dall’immagine radiologica elaborata come detto inprecedenza, si sono ricavati i parametri relativi allo scatter multiplo.In figura 12.9 sono mostrati i profili di trasmissione, ricavati dall’immagine radiologica, confron-tati con i valori ottenuti dalle simulazioni sia della radiazione primaria che totale in funzionedell’indice del pixel della slice centrale del rivelatore per i diversi voltaggi applicati all’apparec-chio radiogeno. Tali valori sono stati riportati in scala logaritmica per poter meglio apprezzarela correzioni dovuta allo scatter rispetto alla radiazione primaria ed a fianco e riportato ilrelativo Scatter to Primary Ratio SPR = SPrimaria/SDiffusaTot in cui SPrimaria rappresental’intensita della radiazione primaria e SDiffusaTot e l’intensita della radiazione diffusa totale,calcolata come somma dell’intensita dello scatter multiplo e al 1ordine.


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 12.9: Confronto tra i profili misurati e simulati per diverso voltaggio applicato erispettivo SPR: a e b per 70 kVp, c e d per 90 kVp, e ed f per 113 kVp

145

12.0.4 Inferenza Statistica sui parametri stimati

La modellizzazione della radiazione diffusa multipla viene effettuata attraverso un modelloparametrico a partire da dati ottenuti da una simulazione iniziale e dall’ipotesi che l’imma-gine radiologica costituisce la somma della radiazione primaria, diffusa al 1 ordine e diffusamultipla. In questo modo e possibile stimare i parametri del modello dello scattering multiploutilizzando, come descritto in fase di validazione del software, la tecnica di regressione linearemultipla e poi utilizzando il test ANOVA per verificare la bonta del modello stesso.

Figura 12.10: Tabella riassuntiva dei parametri determinati attraverso la regressione linearemultipla ed inferenza statistica con il test ANOVA

I valori dei vari parametri sono riportati nella tabella di figura 12.10 per le diverse tensioniadottate, dove vengono riportati anche i valori dell’R-quadrato aggiustato e del rispettivo p-value. In questo caso e ben osservabile la significativita dei parametri stimati, dato che tutti ip-value sono nulli, mentre il valore dell’R-quadrato risulta essere inferiore ai valori ottenuti infase di validazione del modello, ma comunque molto buona dato che il peggiore dei valori risultaessere 0,83166. Questo significa che il modello riesce a spiegare circa l’83% della variabilitainsita nell’insieme dei valori dei pixel (PV). Il rimanenete 17% della vaariabilita non e spiegatoprobabilmente perche nel caso reale si e dovuto ricavare il profilo della radiazione multipladall’immagine radiologica e la fase di matching del profilo reale con quello simulato, dato chela simulazione non riesce ad ottenere i 1900 × 1900 pixel del rivelatore reale, ha introdottosicuramente degli errori. Inoltre il profilo ricavato dal plate presenta del rumore intrinseco.Sicuramente una fase di processing dell’immagine radiologica in cui si toglie parzialmenteil rumore (operazione nota come smootihng) potrebbe migliorare il valore dell’R-quadratoaggiustato. Si e poi verificata la siginficativita di ogni singolo parametro con il test t-Studentper determinare se tutte le variabili indipendenti adottate fossero necessarie al modello stesso.I risultati, riportati in figura 12.11, mostrano che i relativi p-value sono tutti inferiori al valore0.05 e che quindi tutti i parametri stimati sono neccessari per una corretta simulazione.

Figura 12.11: p-value relativi ai singoli parametri al variare della tensione di lavoro per ilfantoccio di diametro pari a 160 mm

Anche per questi parametri si e effettuata un’analisi dei residui che hanno mostrato, comenel caso della validazione, una media praticamente nulla e una distribuzione normale rispettoa tale media. I relativi Box-Plot sono riportati in figura 12.12.


(a) (b)

(c)

Figura 12.12: Box-Plot dei residui relativi alle simulazioni effettuate per le tensioni di a 70kVp, b 90 kVp e c 113 kVp

147

12.0.5 Considerazioni Energetiche

Ottenuti i valori dei parametri per determinare lo scattering multiplo, in una seconda fa-se si e nuovamente simulato l’apparecchio radiologico nelle diverse condizioni di setup. Si ecalcolata la fluenza di energia utilizzando non piu il rivelatore piano, ma il rivelatore sferico,ovvero una sfera virtuale composta da vari pixel, centrata all’isocentro che racchiude tuttoil sistema radiologico (l’utente difinisce il raggio, posto pari a 1070 mm per le simulazionidell’apparecchio digitale Siemens Aristos FX) e che permette una stima dello scattering totaledovuto al fantoccio stesso. A questo punto per il principio di conservazione dell’energia, l’e-nergia impartita al paziente risulta essere la differenza tra l’energia del fascio stesso e quellarilevata dal rivelatore.Di seguito vengono riportati i valori relativi all’energia del fascio e del rivelatore. Quest’ulti-ma e calcolalta nelle sue due componenti, primaria e diffusa, permettendo quindi anche unaverifica della bonta del modello in quanto l’energia della radiazione primaria calcolata con ilrivelatore sferico deve essere la stessa di quella calcolata con il rivelatore piano, a meno delladiscretizzazione dei pixel dei due rivelatori (per tutti i casi si sono utilizzati 100 × 100 pixelper il rivelatore piano e 100 × 65 pixel per il rivelatore sferico).Nella tabella di figura 12.13 vengono riportate le varie energie per i diversi voltaggi applicati.In seguito si sono stimate le energie impartite al fantoccio di PMMA a partire dal DAP se-

Figura 12.13: Tabella relativa al conto energetico effettuato con il rivelatore sferico per 70, 90,113 kVp dell’apparecchio radiologico simulato

condo il metodo di Gkanatsios & Huda, descritto nei paragrafi precedenti. Per poter utilizzarequesto modello si e dovuto misurare in funzione della tensione di lavoro il valore di HVL perla configurazione utilizzata nella simulazione realizzate, per poter in seguito stimare i coeffi-cienti di conversione del DAP in energia impartita. In figura 12.14 viene riportato anche larelazione ricavata dalle misurazioni dell’HVL dell’apparecchio Siemens Arisots FX in funzionedella tensione di lavoro utilizzata.

Figura 12.14: Variazione dell’HVL in funzione della tensione applicata

Il valore del DAP viene dato nel file DICOM dell’immagine radiologica stessa e quindi, noti


gli HVL alle varie tensioni e stato possibile stimare i coefficienti utilizzati del modello. Tutti idati relativi al calcolo dell’energia impartita sono riportati nella tabella di figura 12.15.La differenza dei dati ottenuti risiede nel fatto che il metodo Gkanatsios & Huda considera

Figura 12.15: Energia Impartita e parametri necessari alla stima a partire dal DAP per 70, 90e 113 kVp, utilizzando il metodo Gkanatsios & Huda

un fantoccio infinitamente esteso ed i coefficienti αk e βk utilizzati sono quelli relativi ad unfantoccio omogeneo di acqua e non di PMMA. La motivazione della scelta di confrontare ivalori ottenuti della energia impartita risiede nel fatto che non esistono in letteratura altrimetodi, che a partire dal DAP restituiscano il valore dell’energia impartita o dei parametriad essa connessi. I coefficienti utilizzati nel metodo Gkanatsios & Huda vengono forniti perfantocci omogenei di acqua, ma si ricordi che la differenza che esiste tra coefficienti massicidell’acqua e del PMMA non e sull’ordine di grandezza, che risulta essere lo stesso per ilrange di energie utilizzate in radiodiagnostica. Infatti a conferma di questo i risultati ottenutimostrano lo stesso ordine di grandezza dei valori stimati. Inoltre i coefficienti massici utilizzatinella simulazione Monte Carlo di Gkanatsios & Huda non sono gli stessi utilizzati nel softwaresviluppato.A questo punto e stata determinata la Dose Assorbita Standardizzata DStandardizzata, ovverola dose assorbita per unita di carica generata, dato che tutte le simulazioni effettuate sonostate eseguite per unita di carica generata dal tubo radiogeno, a partire dall’energia impartitaε per unita di carica generata, secondo la definizione stessa di dose assorbita:

DStandardizzata [Sv/mAs] =ε [J/mAs]m [Kg]

=ε

ρ · V(12.1)

in cui m rappresenta la massa, ρ la densita e V il volume dell’oggetto irradiato. Nella tabellariportata in figura 12.16 vengono presentate le dosi assorbite standardizzate calcolate a partiredall’energia impartita stimata dalle simulazioni per le diverse tensioni di lavoro. Vengono mo-strate anche le stime della dose assorbita Dinterventistica e Dradiodiagnostica secondo la relazioneDassorbita = DStandardizzata ·Carica ·Tempo a cui viene sottoposto un paziente per casi tipiciclinici: in radiodiagnostica approssimativamente la carica erogata e stimata essere (in eccesso)circa 40 mAs per un tempo pari ad un secondo, mentre in interventistica tipci valori sono 2.5mAs per 1000 secondi.

Figura 12.16: Tabella riportatante le dosi DStandardizzata, Dradiodiagnostica, Dinterventistica

stimate a partire dall’energia impartita alle varie tensioni di lavoro

Capitolo 13Conclusioni

Nella prima parte di questa tesi si e effettuato un approfondito studio sulle definizionifisiche, dosimetriche e radioprotezionistiche necessario per la comprensione degli obiettivi pre-fissati riguardanti la tesi stessa. Si e analizzato in particolare l’interazione della radiazioneindirettamente ionizzante con la materia, sopprattutto per comprendere i processi fisici dellagenerazione, trasmissione e rilevazione di un fascio radiante di raggi-X. Quest’analisi appro-fondita ha permesso di ottenere una simulazione di un apparecchio radiologico in tutte le suecomponenti, che non fosse troppo complessa, come accade nei codici Monte Carlo, ma cheugualmente tenesse conto dei parametri fondamentali per l’ottenimento di risultati corretti eaffidabili. Infatti nella valutazione della dose assorbita dal paziente in radiologia digitale e ne-cessario introdurre uno strumento che permetta una stima della dose assorbita in modo veloce,al fine di poter utilizzare tale strumento nella pratica clinica. Infatti se il gold standard nellasimulazione di fasci radianti rimane il metodo Monte Carlo, tuttavia un approccio determi-nistico permette, sotto alcune approssimazioni ed ipotesi, di stimare parametri dosimetrici inmodo veloce ed accurato, superando i limiti del Monte Carlo stesso. Con il software sviluppatosi possono ottenere immagini radiologiche in tempi ristretti (da pochi minuti ad alcune ore)su un singolo pc, cosa impraticabile per una simulazione Monte Carlo, che anche su cluster dipc necessita ugualmente di un enorme tempo di simulazione.Lo studio sulla interazione della radiazione indirettamente ionizzante ha permesso di sviluppa-re un modello fisico per la radiazione primaria e diffusa al primo ordine che necessita solo deidatabase relativi ai coefficienti massici, ai fattori di forma atomici ed alle funzioni di scatterincoerente. Per altro questi database sono costamtemente aggiornati dall’IAEA (InternationalAtomic Energy Agency) e dai laboratori del NIST (National Institute of Standards and Tech-nology) e possono quindi essere aggiornati adeguatamente ai progressi tecnologici. Il modellosviluppato si basa sulla tecnica della simulazione del fascio radiante chiamata Pencil-Beam,ovvero la scomposizione di tale fascio in fasci piu piccoli tali che la loro somma rappresentail fascio stesso. Il deposito di energia del fascio radiante viene calcolato lungo il percorso deipencil-beams primari all’interno dell’oggetto 3D posto sotto il fascio di fotoni. Il percorso deivari pencil-beams all’interno dell’oggetto e stato calcolato con la tecnica del Ray-Tracing: l’og-getto 3D e stato approssimato con una superficie geometrica ed i songoli pencil-beam vengonoconsiderati come rette parametriche nello spazio tridimensionale che intersecano tale superfi-cie. Quindi e stato possibile calcolare i punti di ingresso e uscita delle rette 3D con la superficieadottata. Lo sviluppo di queste due tecniche da un punto di vista informatico ha richiestouno studio approfondito di geometria vettoriale nello spazio 3D e l’utilizzo di Visual Basicper la programmazione vera e propria. Visual Basic e stato adottato, oltre che per le ottimeprestazione di compilazione in fase di creazione del codice, anche perche permette di genera-re un’interfaccia grafica utente-software e di generare dei file .exe e di setup che consentonol’installazione del software sviluppato su qualsiasi pc, senza necessariamente installare VisualBasic stesso.Prima della creazione del software per la simulazine di apparecchi radiologici si e deciso di

150 Conclusioni

aggiungere al software la possibilita di determinare gli andamenti di alcuni parametri del mo-dello stesso, come le tabelle riportanti le sezioni d’urto differenziali dei vari processi fisici.Questo ha permesso poi in fase di sviluppo del modello fisico di adottare scelte corrette rela-tive, per esempio, alla sezioni d’urto differenziali. Infatti si e scelto come modello fisico per lesezioni d’urto quello dell’Approssimazione del Fattore di Forma Atomico e dell’Approssima-zione della Funzione di Scatter Incoerente a discapito di altri modelli come quelli proposti daThomas-Fermi. Sempre durante la fase di creazione del codice relativo al modello fisico, si eimplementata anche una grafica 3D degli oggetti simulati con la libreria DirectX 8. Questoconsente di verificare che gli oggetti simulati ed i conti effettuati siano corretti e concordantitra loro, oltre che fornire all’utente la visualizzazione delle impostazioni che ha scelto in fasedi input dei dati geometrici e la visualizzazione di come il software procede nella simulazionestessa, permettendo un’interruzione qualora qualche parametro non sia stato definito nel modocorretto.In una seconda fase si sono analizzati tutti i parametri tecnici relativi alla radiologia digitaleper avere un quadro generale ed approfondito di questa nuova tecnica che sta diffondendosilargamente nei vari ospedali; in particolare ci si e soffermati sulla generazione e rivelazione delfascio di raggi-X con le nuove metodiche presenti sul mercato, la Computed Radiography e laDirect Radiography. Questo ha permesso poi in fase di elaborazione del software di introdurretutti i parametri necessari ad una corretta simulazione.Le novita assolute che la tesi presenta nell’ambito della radiologia digitale sono le seguenti:

• utilizzo dell’immagine radiologica non solo come strumento diagnostico ma anche comerivelatore del fascio radiante

• sviluppo di un modello fisico basato su un approccio analitico che permette simulazionicon un singolo pc in tempi molto brevi rispetto a quelli utilizzati con Monte Carlo o adaltri algoritmi deterministici

Infatti il software sviluppato utilizza il rivelatore non solo come strumento per la formazionedi immagine, ma anche come rivelatore del fascio di fotoni che investe l’oggetto 3D postonel fascio stesso. L’immagine radiologica in questo modo viene interpretata come matricebidimensionale delle trasmissioni della radiazione stessa che attraversa l’oggetto 3D. Dall’im-magine radiologica vengono ricavati dei parametri che verranno poi utilizzati nel modello fisicosviluppato per ottenere una simulazione completa della radiazione diffusa.Come detto in precedenza il modello fisico non e un modello puramente teorico, come lo sonoil Monte Carlo od altri modelli analitici, non solo perche devono essere ricavati i parametrirelativi allo scatter multiplo, ma perche per una simulazione completa di un apparecchio realee necessario effettuare alcune misurazioni, in particolare ricavare la curva tensione di lavoro -Output Standardizzato, dato che le ditte fornitrici dell’apparecchio radiologico non fornisconoquesto parametro al variare delle tensioni.La velocita del software sviluppato dipende dal fatto che il modello stesso non calcola diretta-mente lo scatter multiplo, ma ne stima l’intensita a partire dallo scatter al primo ordine ed aiparametri stimati tramite regressione lineare dall’immagine radiologica. Inoltre nella modalitadi verifica fast il software calcola lo scatter al primo ordine in modo ancor piu veloce perchecalcola tutti i contributi dei centri diffusori come interpolazione ed integrazione effettuata solosu pochi centri diffusori. L’integrazione analitica permette quindi un risparmio in termini ditempo tale da poter utilizzare questo software nella pratica clinica, affiancandolo agli altriestimatori del rischio radiologico utilizzati finora.La terza fase ha riguardato principalmente la validazione del modello creato. Dato che inambito della radiologia digitale non e stato trovato nessun articolo o lavoro che trattasse delproblema di una simulazione di un apparecchio radiologico digitale, si e deciso di studiare ilavori effettuati in Tomografia Assiale Computerizzata (TAC). Il motivo principale per cui si estudiato lo scatter in TAC e che il software sviluppato, oltre ad essere utilizzato per il calcolodella dose assorbita dal paziente in radiologia, permette anche la simulazione di un apparecchioTAC; e stato quindi possibile validare il modello sui dati presenti in letteratura. In particolaresi e fatto riferimento alla Cone-Beam Computed Tomography, che possiede come rivelatori

151

proprio i flat panel detector e che quindi presenta la stessa problematica concernente lo scatterdella radiologia digitale.La validazione del modello fisico rappresenta una fase fondamentale nello sviluppo di un soft-ware di simulazione, in quanto viene testata la compliance che la simulazione stessa mostra alvariare dei parametri di input della simulazione stessa.Per quello che riguarda la validazione del modello fisico relativo alla radiazione primaria si efatto riferimento ai lavori di Malusek et Al. [16], [17], [15] in CBCT in quanto hanno permessoun’analisi quantitativa ed un confronto diretto dei porfili centrali del rivelatore della radiazioneprimaria in termini di fluenza di energia con il codice Monte Carlo MCNP5. Tali risultati sonostati confermati entro lo 0,5% anche dal ToolKit CT-Mod, una versione piu veloce del codiceMonte Carlo dedicata alla simulazione di fasci radianti in TAC. I dati sono presentati persorgenti monocromatiche ad energie di 30, 60, 90 e 120 KeV, permettendo quindi un’analisied un confronto dettagliato ma veloce delle simulazioni. In una prima fase si sono effettuate lesimulazioni col software sviluppato, ottenendo un’incertezza sui valori di fluenza energetica alplate che ha mostrato una discrepanza che tipicamante per il fantoccio di acqua omogeneo didiametro pari a 160 mm e risutlata essere nel caso peggiore di 2,19 %, mentre per il fantocciodi diametro di 320 mm sempre nel caso peggiore e risultata essere del 4,50 %. Il fatto che cifosse un aumento della discrepanza all’aumentare dello spessore attraversato tra valori simu-lati e i dati noti in letteratura ha fatto ipotizzare che ci fosse qualche errore nel modello fisicosviluppato. Si e deciso allora di approfondire come il codice Monte Carlo stima i coefficientimassici [18] e si e notatao che, come prima differenza tra i due codici, il metodo MCNP5 haun’interpolazione logaritmica dei coefficienti massici, mentre il codice creato presentava un’in-terpolazione lineare dei coefficienti massici. Si e deciso quindi di inserire nel software entrambele tipologie di interpolazione e di lanciare nuovamente le simulazioni per confrontare i valoriottenuti con quelli di Malusek et Al. [17]. I risultati ottenuti relativi alla fluenza di energiadella radiazione primaria sono stati eccellenti: l’incertezza si e abbassata a 0,64 % per il primofantoccio ed a 1,32 % per il fantoccio piu grande, sempre nei casi peggiori. Gia nella fase dideterminazione dei profili della radiazione primaria e stato possibile apprezzare il vantaggio diuna simulazione analitica rispetto ad una effettuata con codici Monte Carlo; per prima cosale simulazioni sono veloci e poi il numero di pixel del rivelatori che possono essere simulatiaumenta drasticamente (vengono dati 12 punti con l’MCNP5 contro i 64 × 13 utilizzati dalsoftware), ottenendo quindi dei profili molto piu dettagliati. Se questo non e di rilevanza perla radiazione primaria in quanto presenta un andamento che non varia molte volte lungo unprofilo, per la radiazione diffusa che presenta andamenti che hanno alte fequenze spaziali, que-sto fatto permette di ottenere una migliore descrizione dello scatter che raggiunge il plate.La validazione della radiazione diffusa e risultata invece piu difficile da analizzare, data lamaggiore complessita del fenomeno fisico. Per prima cosa si e confrontato, anche se solo quali-tativamente, con i dati ottenuti da Freud et Al. [7], lo scattering al primo ordine e le immaginiradiologiche relative al contributo allo scatter sia Rayleigh che Compton, generate da un sin-golo voxel di ferro supposto puntiforme per verificare la correttezza del modello fisico stesso eosservare come un singolo voxel genera la radiazione diffusa al primo ordine. Questo perchelo scattering di un singolo voxel risulta essere la base per lo scattering generato da oggetti 3Dmacroscopici. Il voxel e stato scelto puntiforme di ferro come nell’articolo [7] perche in questomodo lo scattering multiplo risulta essere trascurabile rispetto a quello al primo ordine. I datiottenuti e le immagini del numero di fotoni che raggiungono il rivelatore sono in completoaccordo con i dati dell’articolo. Sempre in riferimento a questo lavoro di Freud et Al. si e ef-fettuato anche una validazione dello scatter al primo ordine per quello che riguarda l’imagingdi trasmissione, effettuando una simulazione di una radiografia ad un plate di ferro. Sottol’ipotesi di assenza di scatter muliplto, si sono ricavati i profili relativi alla radiazione diffusaCompton e Rayleigh lungo il rivelatore e confrontati qualitativamente con quelli presenti nel-l’articolo di Freud et Al.[7]. E stato possibile apprezzare come il contributo della radiazionediffusa rispetto a quello della primaria di un oggetto 3D macroscopico non sia assolutamentetrascurabile, ma anzi proprio nella parte dell’immagine in cui si vuole effettuare una diagnosi,lo scatter contribuisca quasi come la radiazione primaria stessa.Verificata quindi la bonta del modello relativo allo scatter Compton e Rayleigh al 1 ordine

152 Conclusioni

nell’imaging di trasmissione si e deciso di verificare il modello per oggetti macroscopici 3Dche siano di interesse radiologico e con una geometria di acquisizione delle immagini, che siaquanto piu simile a quella degli apparecchi diagnostici utilizzati in clinica. Anche per il casodello scatter al primo ordine si e ricorsi alla tomografia assiale computerizzata per verificareche le simulazioni effettuate fossero corrette. Si sono confrontati i dati con quelli presenti inun articolo di Yiannis Kyriakou et Al. [11] per quello che rigurda il contributo allo scatter alprimo ordine sia Compton che Rayleigh. E stato verificato in questo modo la simulazione delrivelatore anche come materiale assorbente. Per ottenere i grafici dei vari contributi Comptone Rayleigh alle energie di 40, 80 e 120 KeV al variare del raggio del fantoccio (20, 40, 60, 80,100, 120, 140, 160 mm) e stato di fondamentale importanza il fatto che il software fosse velocee permettesse quindi di ottenere i profili di fluenza energetica assorbita in tempi accettabili. Inquesto caso si e notato un perfetto accordo dei dati con l’unica eccezione dell’energia relativaai 40 KeV, dove i valori dei relativi contributi presentano lo stesso andamento ma con valoridifferenti. Visto che nell’articolo non viene riportato alcun valore ma soltanto i grafici, non estato possibile effettuare una stima quantitativa sia della bonta che del discostamento dei datiottenuti con la simulazione stessa.Validato il software per la componente primaria e diffusa al primo ordine si e deciso di adottareper la radiazione mutipla un modello parametrico. Questo stima il contributo dello scattermultiplo con un modello lineare basato sul fatto che la componente multipla dello sactter pre-senta una dipendenza lineare dallo scatter singolo, dall’attenuazione media e dalle dimensionidell’oggetto 3D. Anche in questo caso la validazione e stata effettuata in tomografia assialecomputerizzata, riferendosi ai lavori eseguiti da A. Malusek et Al. [12] [16] [17], che riportanosimulazioni effettuate sia con il codice Monte Carlo MCNP5 che con il ToolKit CT-Mod.I valori della fluenza di energia in aria della radiazione diffusa totale simulata con MCNP5sono stati assunti come valori corretti sui quali effettuare la regressione lineare multipla al finedi estrarre i parametri necessari al modello dello scatter multiplo. Si e sottratto infatti a talivalori il contributo della radiazione diffusa al primo ordine simulato ed in seguito sono statistimati i parametri relativi ad ogni singola energia di 30, 60, 90, 120 KeV per le due tipologiedi fantoccio cilindrico di acqua omogeneo di raggio di 8 cm e 16 cm. Stimati i parmetri e statopossibile confrontare quantitativamente i contributi dello scatter totale con i dati relativi alMCNP5. La differenza relativa tra le due simulazione e risultata essere quasi sempre inferioreall’1%, tranne che per l’energia di 30 KeV che presenta discrepanze dell’ordine dell’1,38% peril fantoccio di diametro di 160 mm e del 20,79% per il diametro di 320 mm. Questa discrepan-za dipende solamente dai database utilizzati per i coefficienti massici, XCOM del NIST peril software sviluppato e DLC-200 per il MCNP5. Gia nel confronto con il ToolKit CT-Mod,Malusek et Al. hanno mostrato, nel lavoro [17] (come anche descritto in [8]), che per basseenergie, dove i coefficienti variano maggiormente tra i diversi database, una differenza del 4%nel coefficiente massico lineare dell’acqua per un’energia di 30 KeV per un fantoccio avente undiametro di 320 cm, genera una discrepanza nella fluenza di energia che risulta essere dell’or-dine del 38%. Questo spiega anche il perche nella validazione della radiazione diffusa al primoordine l’andamento del contributo allo scatter sul pixel centrale sia Compton che Rayleigh nonseguisse perfettamente quello riportato nell’articolo relativo.Per verificare la significativita del modello parametrico adottato e la bonta del modello stesso sie effettuata un’inferenza statistica sui parametri stimati. I valori dell’R2

adj sono tutti maggioridi 0,9958 indicando che il modello segue molto bene l’andamento dei dati raccolti. E’ statopoi eseguito il test ANOVA per ricavare i p-value relativi alle varie simulazioni per verificarela confidenza del modello lineare stesso adottato. Scelto come livello critico del p-value lo0,05, valore tipicamente accettato per ottenere una confidenza del modello che sia del 95%,si e osservato che tutti i p-value stimati sono minori di questo valore, determinando quindiun livello di confidenza del modello adottato che supera il 95%. Oltre a questo si e deciso dieffettuare l’analisi dei residui per confermare la correttezza dei parametri stimati. Dai Box-Plot presentati e stato osservato che effettivamente i residui presentano tutti media nulla edil minimo ed il massimo sono equidistanti. Tuttavia la distribuzione non risulta normale, inquanto la mediana non e equidistante dai percentili che descrivono la distribuzione dei residuistessi. Questo e dovuto al fatto che la regressione lineare multipla e stata fatta su un set

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limitato di punti. Infatti questi sono solamente 12 poiche in letteratura tali dati sono ricavaticon MCNP5 e non su un numero sufficientemente elevato per effettuare un’analisi statistica;data la bonta dell’R2

adj , i parametri possono essere assunti come corretti vista anche la medianulla dei residui e l’equidistanza dei valori minimmo e massimo. Ci si aspetta che aumentandoil numero di punti con cui effettuare la regressione lineare i valori dei residui possano assumereuna distribuzione normale. Per verificare la significativita di ogni singolo parametro adottatonel modello si e applicato il test di t-Student per ottenere il p-value relativo ai singoli para-metri. Per entrambi i fantocci e per tutte le energie, i valori del p-value dei singoli parametrisono stati inferiori al 0.05, mostrando che tutti i parametri introdotti nel modello hanno unaconfidenza che supera il 95%.A questo punto il modello fisico sviluppato che sta alla base del software risulta completamentevalidato in tutte le sue parti ed e stato utilizzato per applicazioni pratiche in casi d’interesseradiologico.Si e deciso di simulare un tipico caso clinico utilizzando un fantoccio cilinidrico per un siste-ma radiologico digitale utilizzato all’Ospedale S.Chiara di Trento. Si tratta dell’apparecchiodigitale Siemens Aristos FX della Siemens Medical Solution del Pronto Soccorso. Sono stateeffettuate delle misure sperimentali per ricavare la curva che relaziona la tensione di lavorocon l’Output Standardizzato. Questo perche nella modellizzazione della sorgente e necessarioricavare la numerosita dei fotoni, dato che lo spettro generato dal programma XComp5 vie-ne assunto come spettro normalizzato. Questo permette di ottenere una sorgente radiologicaestremamente reale e corretta. Prima della simulazione dell’apparecchio radiologico si e resonecessario confermare che il rivelatore presenta una risposta lineare alla carica generata daltubo radiogeno, dato che spesso in radiologia si utilizza una carica diversa per le immaginiacquisite con e senza fantoccio per non entrare nel range di saturazione stessa del plate (nelqual caso si ottiene un’immagine radiologica che presenta valori di livelli di grigio che sonotutti pari a 4095, il che significa che il rivelatore non riesce a rilevare tutta la carica generatanel plate stesso). Nella fase di acquisizione delle immagini radiologiche e stato necessario effet-tuare quindi esposizioni senza fantoccio anche per poter poi ottenere i profili di trasmissionedella radizione dividendo l’immagine con il fantoccio per quella senza il fantoccio. In questomodo si e eliminato anche l’effetto Heel presente nell’imagine stessa. Stessa procedura e sta-ta effettuata per le immagini radiologiche ottenute con la simulazione, allo scopo di poterleconfrontare per stimare i parametri del modello dello scatter multiplo. Il profilo della trasmis-sione della slice centrale del rivelatore e stato ricavato dall’immagine eleborata come dettoprecedentemente e tramite regressione lineare si sono ricavati i parametri ricercati. Anche perquesti parametri non ci si e limitati ad un’analisi dell’R2

adj , che risulta essere sempre superioreal valore 0,8316, confermando un buon fitting dei dati, ma si e applicato nuovamente il testANOVA per la stima della significativita del modello lineare stesso. I relativi p-value per levarie tensioni di lavoro mostrano che nuovamente il modello, posto come livello critico delp-value lo 0,05, ha una confidenza per piu del 95%. Infine anche per il caso reale si e effettuatal’analisi dei residui. I Box-Plot mostrano chiaramente come tutti hannno media nulla, valoridi minimo e massimo equidistanti dalla media stessa e una distribuzione normale in quantola mediana e equidistante dai vari percentili e media mediana sono quasi uguali. Questo fattoconferma le ipotesi effettuate in fase di validazione, in cui si era ottenuta una distribuzione peri residui con media differente dalla mediana a causa del piccolo numero di punti utilizzati perla regressione lineare stessa. La motivazione della differenza dei valori di R2

adj tra validazionee caso reale risiede nel fatto che mentre nella fase di validazione lo scatter multiplo utilizzatoera del tutto corretto, passando ad un caso reale si e dovuto ricavare il profilo della radiazionemultipla dall’immagine radiologica. La fase di matching del profilo reale con quello simulato,dato che la simulazione non riesce ad ottenere i 1900 × 1900 pixel del rivelatore reale, intro-duce sicuramente un errore. Inoltre il profilo ricavato dal plate presenta del rumore intrinseco.Certamente una fase di processing dell’immagine radiologica in cui si toglie parzialmente ilrumore potrebbe migliorare il valore dell’R2

adj . Come per la fase di validazione, anche per ilcaso reale si e applicato il test t-Student ai parametri singoli del modello lineare; i p-value diogni parametro sono tutti inferiori al livello critico di 0,05, mostrando quindi una confidenzache per ogni parametro risulta essere maggiore del 95%. Quindi il modello lineare necessita di

154 Conclusioni

tutti i parametri stimati.Infine per valutare l’energia impartita al paziente per questo caso reale si sono effettuate dellesimulazioni con il rivelatore sferico. Questo ha permesso una stima dell’energia impartita apartire dal principio di conservazione dell’energia, calcolandola come differenza dell’energiaerogata dall’apparecchio radiologico e quella raccolta dal rivelatore. In questo modo e statopossibile stimare anche i contributi all’energia impartita dovuti alla radiazione sia primariache diffusa. Si sono infine confrontati i valori cosı ottenuti con quelli stimati a partire dalDAP attraverso il metodo Gkanatsios & Huda. La differenza dei dati ottenuti risiede nel fattoche il metodo Gkanatsios & Huda considera un fantoccio infinitamente esteso ed i coefficientiutilizzati sono quelli relativi ad un fantoccio omogeneo di acqua e non di PMMA. La motiva-zione della scelta di confrontare i valori ottenuti della energia impartita con quelli stimati dalDAP con il metodo Gkanatsios & Huda risiede nel fatto che non esistono in letteratura altrimetodi che a partire dal DAP restituiscano il valore dell’energia impartita o dei parametriad essa connessi. I coefficienti utilizzati in quest’ultimo metodo vengono forniti per fantocciomogenei di acqua, ma si ricordi che la differenza che esiste tra coefficienti massici dell’acquae del PMMA non e sull’ordine di grandezza, che risulta essere lo stesso per il range di energieutilizzate in radiodiagnostica. Infatti a conferma di questo i risultati ottenuti mostrano lostesso ordine di grandezza dei valori stimati.Il vantaggio nell’utilizzo del DAP come parametro da cui ricavare l’energia impartita casomaie l’immediatezza della misura del DAP stesso, al contrario delle simulazioni effettuate cherichiedono un tempo di simulazione, seppur breve e la sua invarianza rispetto alla distanzadalla sorgente. Tuttavia bisogna sempre ricordarsi che il valore e stato ottenuto con delle ap-prossimazioni introdotte nella stima dell’energia impartita che non sono del tutto trascurabili.Riassumendo brevemente gli obiettivi della tesi raggiunti sono i seguenti:

• analisi e studio dell’interazione di un fascio di raggi-X con la materia

• analisi e studio della nuova tecnologia digitale in radiologia

• sviluppo di un modello fisico

• ottimizzazione del modello fisico adottato

• implementazione del modello fisico in un software con interfaccia grafica per l’utente egrafica 3D

• validazione del software creato

• inferenza statistica sul modello adottato

• applicazione del software ad un caso reale

Brevemente i vantaggi che tale software presenta sono i seguenti:

• possibilita di effettuare una simulazione di un apparecchio radiologico su un singolo pc

• possibilita di effettuare una simulazione di un apparecchio radiologico in tempi accettabiliper un’applicazione clinica

• utilizzo, nel modello fisico adottato, dell’immagine radiologica come matrice bidimensio-nale di valori di trasmissione

• completa parametrizzazione dell’apparecchio radiologico, che permette di ottenere qual-siasi configurazione geometrica e tipologia di rivelatore

• il software fornisce in ogni punto di interesse sia lo spettro primario trasmesso che diffusoal primo ordine (sonda spettrometrica)

• il software e stato costruito per poter essere facilmente estendibile a fantocci disomogenei

• possibilita di accedere al codice per eventuali modifiche o futuri sviluppi

155

Vanno ricordati anche i limiti di questo software:

• non vengono considerate le disomogeneita

• sono possibili simulazioni con oggetti 3D che possono essere descritti solo matematica-mente da un superficie

• servono delle misurazioni sperimentali

• servono le acqusizioni delle immagini radiologiche

• l’energia impartita al paziente e calcolata tramita l’applicazione del principio di conser-vazione dell’energia e non viene quindi determinata una distribuzione spaziale della doseassorbita

Tuttavia tali limitazioni non sono poi cosı vincolanti. Infatti per quello che concerne le diso-mogeneita non trattate basti ricordare che i tessuti che compongono il corpo umano presentanodei valori di coefficienti massici e di poteri frenanti che sono dello stesso ordine dell’acqua e chequindi, in termini di interazione della radizione, i vari tessuti presentano un comportamentoche non si discosta molto da quello dell’acqua. Le misurazioni sperimentali che vengono ri-chieste servono a dare una descrizione dell’Output Standardizzato dell’apparecchio radiologicostesso e quindi possono essere effettuate solo una volta per un determinato apparecchio radio-logico. Diverso invece e il discorso per l’acqusizione delle immagini radiologiche che devonoessere acquisite con e senza il fantoccio per ogni singola simulazione. Per superare appunto lelimitazioni delle disomogeneita e della mancata distribuzione spaziale della dose, si e imple-mentato nel software una modalita che permette la simulazione dell’oggetto 3D composto daun numero finito di voxel. Ad ogni voxel e possibile associare un materiale diverso ed anche laforma del fantoccio stesso puo essere scelta di qualsiasi tipo. Questa modalita calcola la doseassorbita dal singolo voxel secondo lo stesso modello fisico sviluppato per le altre modalita.Problema di quest’ultima modalita e il tempo molto lungo per convergere a dei valori correttie quindi la necessita di un cluster di processori per poter effettuare in tempi brevi e con voxeldi dimensioni adeguate una simulazione reale. All’Ospedale S.Chiara e installato un clusterdi 16 CPU che, adottata una GRID, permettera l’utilizzo di tale modalita, per ora solo im-plementata nel software. L’obiettivo sara quello di utilizzare come voxel quelli generati dalleimmagini TAC del paziente o del fantoccio. In questo modo il software sviluppato potra essereutilizzato per studiare gli assorbimenti nei vari organi ed ottenere quindi una miglior stimadella dose efficace.Per risolvere il problema delle disomogeneita, come descritto nel lavoro di J.Wiegert [14], ilmodello analitico dello scatter al primo ordine puo essere semplicemente corretto creando unamappa di voxel con i rispettivi materiali ed utilizzando un Fast Ray Casting, ovvero un algo-ritmo che permetta di calcolare le intersezioni di un pencil-beam su di una griglia predefinita,che in questo caso sarebbero i centri dei voxel stessi. Questo consente di ottenere immaginiper oggetti qualsiasi ed eterogenei, aumentando pero il costo computazionale. In ogni casosarebbe possibile effettuare tali simulazioni su un singolo pc. Infatti il modello parametricodello scatter multiplo permette di risparmiare tempo rispetto alle simulazioni standard conMonte Carlo o modelli deterministici.Il software sviluppato permette inoltre di effettuare studi sullo scatter presente sia in radiologiadigitale che in tomografia assiale computerizzata. Per il caso reale si e anche stimato l’SPRpresente sul plate ed i valori ottenuti sono in completo accordo con quelli che si trovano in let-teratura. Senz’altro il programma verra utilizzato per analizzare come i parametri geometricie fisici di input modificano il contributo della radiazione diffusa sul rivelatore e quindi stimarela distorsione dell’immagine radiologica indotta da essa. Questo se per la radiodiagnostica none un problema dato l’utilizzo di griglie antidiffusione, per quello che rigurda la Computed To-mography comporta la creazione di artefatti chiamati cupping-artifact. Essi si mostrano comediverse gradazioni di livelli di grigio al centro dell’immagine. Sono gli artefatti di ricostruzioneTAC piu difficili da essere individuati ed eliminati, dato che essi vengono generati quandoviene ricostruita l’immagine dalle proiezioni secondo l’antitrasformata di Radon o l’algoritmo

156 Conclusioni

FDK; le proiezioni ottenute dovrebbero essere quelle relative solamente alla radiazione prima-ria, mentre in realta e presente anche la radiazione diffusa. Questo accade perche al giornod’oggi si utilizzano plate di rivelatori sempre piu ampi e quindi lo scatter si manifesta mag-giormente. In radiologia digitale tale problema e risolto adottando griglie antidiffusione, anchese studi [25] hanno mostrato che in realta l’SNR, ovvero il Signal to Noise Ratio, migliora conl’adozione della griglia antidiffusione solo per condizioni di scatter elevato, ovvero con dimen-sioni dell’oggetto 3D molto grandi rispetto a quelle del rivelatore mentre per le condizioni dimedio-basso scatter l’adozione della griglia stessa risulta questionabile dato l’aumento di doseal paziente per avere un’immagine radiologica che presenti un buon contrasto. Questi studisono stati effettuati con un software deterministico simile a quello sviluppato ed un possibilefuturo sviluppo del software creato sara proprio quello di implementare un modello per le gri-glie antidiffusione e poter cosı verificare quanto detto in letteratura a riguardo del guadagnosull’SNR.

Questo non e stato fatto nella tesi, come tutti gli sviluppi futuri proposti, per evidentimotivi di tempo, dato che lo sviluppo, la validazione e l’applicazione del modello fisico basatosull’imaging ha richiesto un lavoro di un anno intero.Altre applicazioni del software, che non sono state impiegate sempre per motivi di tempo,riguardano l’utilizzo del software stesso per la valutazione della dose assorbita in radiologiadigitale, oltre cha dal paziente anche dagli operatori, come l’utilizzo del software per l’otti-mizzazione di un apparecchio radiologico e come la correzione dello scatter del plate utilizzatonella IGRT per la verifica della corretta irradiazione degli organi in radioterapia.Il software e inoltre immediatamente adattabile alle problematiche radioterapiche, dato che leuniche aggiunte da effettuare sono introdurre la fisica della creazione di coppie nel modellofisico adottato ed adottare gli spettri degli acceleratori nella fase di simulazione della sorgentedel fascio di fotoni.

Appendice AElementi di Geometria Vettorialee Ray-Tracing

IndiceA.1 Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori . . . . . . . . . . . 151

A.2 Rotazioni nello Spazio 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.3 Equazioni di Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.3.1 Equazioni Parametriche di Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.4 Operazioni con Piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A.5 Operazioni con Rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

A.6 Intersezioni tra Retta e Oggetti Geometrici (Ray-Tracing) . . . 166

A.1 Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori

Figura A.1: Cerchio unitario con la descrizione delle principali funzioni trigonometriche

Definito un sistema cartesiano destrorso, con origine nell’isocentro del fascio radiante, ri-cordate le funzioni trigonometriche che saranno impiegate successivamente e riportate in figuraA.1, si definsce l’orientazione del sistema cartesiano di riferimento stesso, come mostrato infigura A.2:

• asse x (colore rosso) nella direzione perpendicolare all’asse del fascio

• asse z (colore blu) nella direzione dell’asse del fascio, definito come la congiungente dellasorgente con il centro del detettore per una simulazione di default come quella riportatain figura A.2

• asse y (colore verde) nella rimanente direzione lungo il paziente o fantoccio

158 Elementi di Geometria Vettoriale e Ray-Tracing

Figura A.2: Sistema di riferimento destrorso

Il sistema di assi cartesiani si assume con origine al centro. Quindi il piano XZ e il pianodi movimentazione dell’apparecchio radiologico, mentre il piano XY e il piano di rivelazionedel fascio.Per poter simulare un fascio radiante di raggi-X nello spazio 3D e necessario introdurre unapproccio matematico basato sulla geometria vettoriale, che permette una trattazione dellamodellizzazione degli oggetti nello spazio a partire dalla definizione di vettore.Definiamo un vettore nello spazio come ~V :

V = Vx, Vy, Vz =

VxVyVz

(A.1)

dove Vx, Vy, Vz sono le componenti del vettore lungo gli assi cartesiani individuati dai versoriix, iy, iz

. Vengono poi definite la somma e la differenza tra due vettori:

~Vsomma = ~V1 + ~V2 =

V 1x + V 2

x

V 1y + V 2

y

V 1z + V 2

z

~Vdifferenza = ~V1 − ~V2 =

V 1x − V 2

x

V 1y − V 2

y

V 1z − V 2

z

(A.2)

Va sottolineato che i vettori utilizzati per la simulazione sono vettori riportati alla stessaorigine, non sono vettori applicati, e quindi anche il vettore somma o differenza rimangonoapplicati all’isocentro. Se questo sembra essere una limitazione, in realta si osservera in seguitoche questo fatto se da un lato complica formalmente le operazioni di simulazioni, dall’altrolato grazie alla flessibilita di tale sistema e possibile semplificare alcune operazioni vettoriali.Si definisce poi la norma di un vettore come il modulo della sua lunghezza:

norma =‖ ~V ‖=√V 2x + V 2

y + V 2z (A.3)

Allora e possibile definire anche il versore, indicato con v di un dato vettore ~V :

v =~V∥∥∥ ~V ∥∥∥ =

Vx√

V 2x+V 2

y +V 2z

Vy√V 2x+V 2

y +V 2z

Vz√V 2x+V 2

y +V 2z

(A.4)

In matematica, un versore e un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzatoper indicare una particolare direzione e verso. Vengono spesso utilizzati i versori associati agliassi cartesiani nello spazio tridimensionale:

ix =

100

iy =

010

iz =

001

(A.5)

A.1 Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori 159

Definiamo poi il prodotto scalare tra due vettori ~A e ~B, aventi versori A e B come:

~A • ~B =‖ ~A ‖‖ ~B ‖ cos (θ) (A.6)

in cui θ e l’angolo tra i due vettori ~A e ~B e quindi possiamo definire anche le rispettiveproiezioni di ~B su ~A, −→pr ~A( ~B), e di ~A su ~B, −→pr ~B( ~A) :

−→pr ~A( ~B) =‖ ~B ‖ cos (θ) A−→pr ~B( ~A) =‖ ~A ‖ cos (θ) B

(A.7)

Se l’angolo tra i due vettori e acuto ~A • ~B > 0, se e ottuso ~A • ~B < 0 e se e retto, ovveroθ = 90, allora vale ~A • ~B = 0.Il prodotto scalare e esprimibile anche in funzione delle componenti del vettore come:

~A • ~B = Axix •Bxix +Ay iy •By iy +Az iz •Bz iz= AxBx +AyBy +AzBz

(A.8)

Questo perche il prodotto scalare di vettori base ortonormali soddisfa le seguenti equazioni,secondo la definizione stessa di prodotto scalare:

ix • ix =‖ ix ‖2= 1 ix • iy = iy • ix = 0iy • iy =‖ iy ‖2= 1 iy • iz = iz • iz = 0iz • iz =‖ iz ‖2= 1 iz • ix = ix • iz = 0

(A.9)

Utilizzando l’ultima definizione di prodotto scalare e invertendo l’equazione A.6 e possibilericavare l’angolo tra due vettori θ:

θ = arccos

(~A • ~B

‖ ~A ‖‖ ~B ‖

)= arccos

AxBx +AyBy +AzBz√A2x +A2

y +A2z ·√B2x +B2

y +B2z

(A.10)

Viene introdotto anche il prodotto vettoriale del vettore ~A per un vettore non parallelo ~Bdefinito come il vettore ~C che si cotruisce nel modo seguente:

1. il suo modulo e numericamente uguale all’area del parallelogramma costruito sui vettori~A e ~B, ovvero pari a ‖ ~C ‖=‖ ~A ‖‖ ~B ‖ sin (θ), in cui come al solito θ e l’angolo compresotra i due vettori

2. la sua direzione e perpendicolare al piano del parallelogramma menzionato

3. il senso del vettore ~C e scelto in modo che la terna sia destrorsa, ovvero con la regoladella mano destra

La notazione per il prodotto scalare e la seguente: ~C = ~A × ~B. Se i due vettori ~A e ~B sonotra loro paralleli, allora l’area del parallelogrammo menzionato e nulla e quindi il prodottovettoriale diventa il vettore nullo.Il prodotto vettoriale applicato ad una base ortonormale, secondo la sua definizione determinale seguenti relazioni:

ix × ix = 0 ix × iy = iz ix × iz = −iyiy × ix = −iz iy × iy = 0 iy × iz = ixiz × ix = iy iz × iy = −ix iz × iz = 0

(A.11)

Vediamo ora, come nel caso del prodotto scalare, come e possibile legare il pordotto vettorialealle componenti di un vettore, data una base ortonormale. A tale scopo si deve introdurre ilconcetto di matrice e determinante di una matrice.Si definisce una matrice 2x2 M2×2 una struttura di dati ordinati nel seguente modo:

M2×2 =(m11 m12

m21 m22

)(A.12)


mentre una matrice 3x3 puo essere definita come:

M3×3 =

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

(A.13)

Il determinante di una matrice 2x2 viene indicato con due barre e definito nel seguente modo:

det M2×2 =∣∣∣∣( m11 m12

m21 m22

)∣∣∣∣ = m11m22 −m12m21 (A.14)

mentre il determinante di una matrice 3x3 viene calcolato nel seguente modo, a partire dalladefinizione di determinante di una matrice 2x2 secondo una formula ricorsiva:

det M3×3 =

∣∣∣∣∣∣ m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

∣∣∣∣∣∣= m11

∣∣∣∣ m22 m23

m32 m33

∣∣∣∣−m12

∣∣∣∣ m21 m23

m31 m33

∣∣∣∣+m13

∣∣∣∣ m21 m22

m31 m32

∣∣∣∣(A.15)

Da quanto detto precedentemente e possibile ora scrivere il prodotto vettoriale in funzionedelle coordinate dei vettori ~A e ~B come:

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣( Ay AzBy Bz

)∣∣∣∣∣∣∣∣( Az AxBz Bx

)∣∣∣∣∣∣∣∣( Ax AyBx By

)∣∣∣∣

=

AyBz −AzByAzBx −AxBzAxBy −AyBx

(A.16)

Altro oggetto geometrico che deve essere definito e che si mostrera molto utile e il piano chepassa per un determinato punto ~M0 = (x0, y0, z0) ed e perpendicolare al vettore ~n = (A,B,C),detto vettore normale. I punti appartenenti a tale piano soddifano la seguente equazione:

A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) +D = 0 (A.17)

Oltre che in questa forma il piano puo essere dato anche in forma parematrica, a partire da unpunto ad esso appartenente ~V0 e da due vettori che appartengono al piano stesso e non coin-cidenti ~V direzione1 e ~V direzione2 , permettendo il calcolo di ogni singolo Punto(s, t) appartenenteal piano stesso, al variare dei parametri s e t tali che s, t ∈ <:

Punto(s, t) = ~V0 + s~V direzione1 + t~V direzione2 =

V 0x

V 0y

V 0z

+ s

V 1x

V 1y

V 1z

+ t

V 2x

V 2y

V 2z

(A.18)

Analogamente si definisce l’ente geometrico retta in forma parametrica comeRetta =~Vorigine, ~Vdirezione

,

in cui ~Vorigine e il punto per il quale la retta passa e ~Vdirezione e il vettore che segue la direzio-ne della retta stessa, da cui e sempre possibile ricavare un punto appartenente a data retta,scegliendo un valore appropriato del parametro t ∈ <:

Punto(t) =

V originex

V originey

V originez

+ t

V direzionex

V direzioney

V direzionez

(A.19)

Infine definiamo un segmento come un ente geometrico definito da due vettori, ~V1 e ~V2 chesono rispettivamente il punto nello spazio di inizio e del segmento e il punto nello spazio difine del segmento

Segmento =~V1, ~V2

(A.20)

A.1 Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori 161

Figura A.3: Sistema di riferimento sferico

Si definisce poi anche il vettore sferico, ovvero il vettore descritto secondo il sistema sfericomostrato in figura A.3, in cui il set di coordinate e: ρ, θ, φ in cui ρ e la distanza dall’origine,θ e l’elevazione o colatitudine e φ e l’azimut o longitudine.

I due sistemi di coordinate cartesiano e sferico sono in relazione tra loro tramite le seguentiequazioni:

ρ =√x2 + y2 + z2 0 ≤ ρ < +∞

θ = arctan(√

x2+y2

z

)= arccos

(z√

x2+y2+z2

)0 ≤ θ ≤ π

φ = arctan(yx

)0 ≤ φ ≤ 2π

(A.21)

e le loro inverse:x = ρ sin(θ) cos(φ)y = ρ sin(θ) sin(φ)x = ρ cos(θ)

(A.22)

Quindi e possibile scrivere in forma matriciale anche le relazioni tra i versori dei rispettivisistemi di coordinate sferico e cartesiano: ir

iθiφ

=

sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) − sin(φ)cos(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ) − sin(θ)− sin(θ) cos(θ) 0

· ix

iyiz

(A.23)

oppure utilizzare la matrice inversa: ixiyiz

=

sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) − sin(φ)sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) cos(θ)

cos(θ) − sin(θ) 0

· ir

iθiφ

(A.24)

Deve essere quindi introdotto il prodotto di un vettore per una matrice. Generalmente ivettori di n-dimensioni possono essere considerati delle matrici ad una colonna. Per questomotivo e lecito parlare di moltiplicazioni tra matrici e vettori; in ossequio alle regole dellamoltiplicazione di matrici, un vettore colonna ~V (di dimensione n × 1) sara moltiplicabile, asinistra o a destra, per una matrice M a condizione che il numero di colonne di M sia n. Ilrisultato sara un vettore ~V ′ con le stesse dimensioni di ~V . Per il nostro caso quindi, dato chei vettori sono tridimensionali, l’unico vincolo da porre ad una matrice M che moltiplica talevettore e che la sua dimensione sia 3.Allora si ottiene che:

~V ′ = M3×3 · ~V =

V ′xV ′yV ′z

=

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

· Vx

VyVz

=

=

Vxm11 + Vym12 + Vzm13



(A.25)


A questo punto si introduce anche il prodotto di uno scalare λ ∈ <, ovvero di un numero, perun vettore ~V al fine di ottenere un vettore ~V ′ cosı definito:

~V ′ = λ · ~V =

V ′xV ′yV ′z

= λ ·

VxVyVz

=

λVxλVyλVz

(A.26)

Un’altra importante operazione che si effettua con i vettori applicati all’origine del sistema diriferimento e la distanza, definita positiva, tra i due vettori ~V1 e ~V2, definita come:

Distanza =√

(V 2x − V 1

x )2 +(V 2y − V 1

y

)2 + (V 2z − V 1

z )2 (A.27)

Infine si definiscono due vettori come paralleli se l’angolo tra i due vettori stessi e pari a 0

o 180, mentre si definiscono ortogonali o perpendicolari se l’angolo tra i due vettori risultaessere 90 o 270.

A.2 Rotazioni nello Spazio 3D

Si definisce anche la rotazione nello spazio di un generico vettore tridimensionale in coor-dinate cartesiane, dato che tramite le matrici sopra riportate e sempre possibile passare dalsistema sferico a quello cartesiano. La rotazione di un vettore nello spazio tridimensionale edeterminata da un asse, ortogonale alla direzione di rotazione, e da un angolo θ di rotazione.Per evitare ambiguita si fissa una direzione sull’asse e si considera la rotazione di angolo θeffettuata in senso antiorario rispetto all’asse orientato. La rotazione e descritta nel modo piusintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale, sceltacome quella cartesiana per comodita. Allora la rotazione trasforma il vettore di coordinateVx, Vy, Vz in V ′x, V

′y , V

′z . La rotazione di angolo θ attorno ad un asse determinato dal versore

avente conponenti x, y, z risulta pertanto essere: V ′xV ′yV ′z

=

cos(θ) + (1− cos(θ))x2 (1− cos(θ))xy − sin(θ)z (1− cos(θ))xz + sin(θ)y(1− cos(θ))yx+ sin(θ)z cos(θ) + (1− cos(θ))y2 (1− cos(θ))yz − sin(θ)x(1− cos(θ))zx− sin(θ)y (1− cos(θ))zy + sin(θ)x cos(θ) + (1− cos(θ))z2

· Vx

VyVz

(A.28)

che puo essere riscritta in forma vettoriale come: ~V ′ = R~n(θ) · ~V in cui si e posto

R~n(θ) =

cos(θ) + (1− cos(θ))x2 (1− cos(θ))xy − sin(θ)z (1− cos(θ))xz + sin(θ)y(1− cos(θ))yx+ sin(θ)z cos(θ) + (1− cos(θ))y2 (1− cos(θ))yz − sin(θ)x(1− cos(θ))zx− sin(θ)y (1− cos(θ))zy + sin(θ)x cos(θ) + (1− cos(θ))z2

(A.29)

e in cui ~n rappresenta il versore dell’asse di rotazione per un angolo θ di un vettore ~V inun vettore ~V ′. Tipicamente si trova in letteratura, che una rotazione generale nello spazio edata dalla moltiplicazione delle tre matrici di rotazione attorno ai singoli assi cartesiani. Permostrare l’equivalenza della matrice di rotazione definita nell’equazione A.29, si mostra comee possibile ricavare le tre rotazioni attorno agli assi, ponendo appunto come assi di rotazionei versori cartesiani.

~n = x =

100

⇒

V ′xV ′yV ′z

=

1 0 00 cos(θ) − sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)

· Vx

VyVz

(A.30)

~n = y =

010

⇒

V ′xV ′yV ′z

=

cos(θ) 0 sin(θ)0 1 0

sin(θ) 0 cos(θ)

· Vx

VyVz

(A.31)

~n = z =

001

⇒

V ′xV ′yV ′z

=

cos(θ) − sin(θ) 0sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1

· Vx

VyVz

(A.32)

A.3 Equazioni di Superfici 163

Ora, risulta molto piu comodo e piu veloce da un punto di vista computazionale utilizzareuna singola matrice per la rotazione nello spazio 3D di un generico vettore attorno ad un assegenerico, definito da un versore, piuttosto che moltiplicare tre matrici di rotazione attorno aisingoli assi.Si introduce ora una rototraslazione, ovvero una rotazione di un generico vettore nello spazio3D che non sia applicato nell’origine del sistema di riferimento. Infatti tutte le matrici dirotazioni finora introdotte servono alla rotazione di generici vettori che hanno tutti la codadel vettore applicata al centro del sistema di riferimento. Per descrivere una rotazione di unvettore, che puo coincidere analogamente ad una rotazione di un segmento nello spazio, sidevono utilizzare sia la matrice di rotazione che effettuare una traslazione. Si parlera quindidi una rototraslazione di un segmento, definito come in precedenza, per non confondersi conla rotazone di un generico vettore applicato al centro del sistema di riferimento.Per ruotare nello spazio un generico segmento e necessario conoscere il versore dell’asse di ro-tazione, che essendo un versore e applicato all’origine del sistema di riferimento. Il segmento edefinito da due vettori, quello di inizio e quello di fine. La loro differenza determina un vettoreche cioncide con il segmento stesso, ma che a differenza del segmento, che si trova distantedall’origine, questo, in quanto vettore, si trova traslato gia all’origine. Allora risulta possibileapplicare la rotazione al vettore differenza, dato che anche il versore dell’asse di rotazione eapplicato all’origine. Il vettore ruotato cosı ottenuto deve poi essere traslato dall’origne al pun-to iniziale del segmento, dove si ipotizza che sia applicato il centro di rotazione del segmentostesso. Si somma quindi il vettore iniziale al vettore ruotato, che coincide con l’effettuare unatraslazione.Il segmento ruotato sara quindi un segmento che ha come vettore iniziale lo stesso del segmentonon ruotato e come vettore finale la somma del vettore iniziale con la differenza tra vettoreiniziale e finale ruotata dell’angolo voluto e lungo l’asse descritto dal versore di rotazione.

A.3 Equazioni di Superfici

Un’equazione che lega tra loro le coordinate x, y, z, si chiama Equazione di una SuperficieS se sono soddisfatte le due seguenti condizioni:

• le coordinate x, y, z di ogni punto della superficie S verificano questa equazione

• le coordinate di ogni punto che non giace sulla superficie S non verificano questa equa-zione

Da osservare che se si trasforma il sistema di coordinate, anche l’equazione di una superficieviene trasformata in un’altra equazione, ottenuta mediante le formule di trasformazione dellecordinate applicate alle cordinate della precedente superficie.Una superficie generata dal moto di una retta, per questo detta generatrice, che durante ilmoto resta parallela ad una retta fisssa, si chiama Superficie Cilindrica. Ogni linea interseca-ta (in un solo punto) dalla generatrice in qualunque sua posizione, si chiama direttrice dellasuperficie cilindrica.Ogni equazione che non contiene la coordinata z e che sul piano XOY rappresenta una certalinea L, rappresenta nello spazio una superficie cilindrica, la cui generatrice e parallela all’asseOZ e della quale la linea L e una direttrice.

L’equazione:x2

a2+y2

b2= 1 (A.33)

rappresenta sul piano XOY l’ellisse ABA′B′ con i semiassi a = OA e b = OB, come mostratoin figura A.3. Nello spazio essa rappresenta la superficie cilindrica S con le generatrici paralleleall’asse OZ e l’ellisse ABA′B′ ne e una sua direttrice. Tale superficie e detta cilindro ellitticoe nel caso particolare in cui i due semiassi siano di uguale lunghezza, si ottiene come direttrice


(a) Cilindro ellittico (b) Cilindro iperbolico

delle superficie una circonferenza e suddetta superficie viene chiamata cilindro circolare retto.L’equazione:

x2

a2− y2

b2= 1 (A.34)

rappresenta una superficie cilindrica riportata in figura A.3 con le generatrici parallele all’asseOZ e una sua direttrice e l’iperbole CDC ′D′ detta cilindro iperbolico.L’equazione:

y2 = 2px (A.35)

rappresenta un cilindro parabolico, riportato in figura A.4, avente generatrici ancora paralleleall’asse OZ e una sua direttrice e la parabola EOF .

Figura A.4: Cilindro parabolico

Da notare che se la direttrice e una retta, la superficie cilindrica e piana. Cosı l’equazioneAx + By + D = 0 rappresenta nello spazio un piano parallelo all’asse OZ, ovvero un pianocome definito nei paragrafi precedenti.Si chiama equazione algebrica di secondo grado (in tre incognite x, y, z) ogni equazione dellaforma:

Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Eyz + Fzx+Gx+Hy +Kz + L = 0 (A.36)

dove almeno uno dei coefficienti A, B, C, D, E, F , non sia uguale a zero. In maniera analogasi definiscono le equazioni algebriche di qualsiasi altro grado.Se una superficie S e rappresentata in un sistema di coordinate ortogonali da un’equazione di n-esimo grado, in ogni altro sistema di coordinate ortogonali essa e rappresentata da un’equazionedel medesimo grado.Una superficie rappresentata da una equazione algebrica di n-esimo grado si chiama superficiealgebrica dell’n-esimo ordine. Ogni superficie del primo ordine e un piano, come i precedenticilindri altro non sono che superfici algebriche del secondo ordine.L’equazione di secondo grado:

x2 + y2 + z2 = R2 (A.37)

A.3 Equazioni di Superfici 165

rappresenta una sfera di raggio R con il centro nell’origine delle coordinate. Se l’origine dellecoordinate non coincide con il centro della sfera, quest’ultima e ugualmente rappresentata dallaseguente equazione di secondo grado:

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (A.38)

dove a, b, c sono le coordinate del centro della sfera.L’equazione di secondo grado:

Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Eyz + Fzx+Gx+Hy +Kz + L = 0 (A.39)

rappresenta una sfera se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

A = B = CD = 0 E = 0 F = 0

G2 +H2 +K2 − 4AL > 0(A.40)

In tali condizioni infatti si ottiene che:

a = − G2A b = − H

2A c = − K2A R2 = G2+H2+K2−4AL

4A2 (A.41)

La superficie rappresentata dall’equazione :

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 (A.42)

si chiama ellissoide ed e rappresentato in figura A.5. Questo perche la curva di intersezioneABA′B′ di tale equazione con il piano XOY e rappresentata dal sistema:

x2

a2 + y2

b2 + z2

c2

z = 0(A.43)

la cui risoluzione determina l’ellisse:

x2

a2+y2

b2= 1 (A.44)

Figura A.5: Ellissoide

Analogamente l’intersezione dell’ellissoide con gli altri due piani determinano altre due el-lissi aventi un semiasse in comune.Si chiama superficie conica ogni superficie generata dal moto di una retta, detta come prece-dentemente generatrice, che in ogni posizione passa per un punto fisso, definito come verticedella superficie conica. Ogni curva non passante per il vertice che interseca la generatrice inqualunque sua posizione si chiama direttrice. La superficie di equazione:

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0 (A.45)

che, come sara mostrato piu avanti, e conica, si chiama cono del secondo ordine, in quanto la su-perficie stessa appartiene alle superfici algebriche di secondo ordine ed e mostrato in figura A.6.


Figura A.6: Cono del secondo ordine

A.3.1 Equazioni Parametriche di Superfici

In matematica, l’equazione parametrica e un’equazione in cui le variabili (indipendente edipendente) di una funzione sono espresse a loro volta in funzione di uno o piu parametri.Una retta e una curva in genere possono essere sempre espressi parametricamente. Mentre laparametrizzazione della retta, definita vettorialmente nello spazio 3D, e gia stata introdottaprecedentemente, come analogamente e stato fatto per il piano nello spazio 3D, rimane dadefinire la parametrizzazione delle curve e delle superfici nello spazio 3D riportate nel para-grafo precedente. Da notare che, in genere, la parametrizzazione non e mai unica, infatti ilparametro (o i parametri) puo essere scelto in diversi modi a seconda del tipo di curva, diequazione o in modo da semplificare i calcoli.La parametrizzazione, se da un lato complica le equazioni delle curve e delle superfici, dall’al-tro ne permette un uso molto piu ampio e logico per poter individuare per esempio in manieraimmediata le intersezioni tra i vari enti geometrici fin qui presentati.Nella geometria 3D, una sfera con il centro nel punto ~M0 = x0, y0, z0 e di raggio ρ e rappre-sentata dall’insieme di punti x, y, z tali che (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = ρ. I puntidella sfera possono quindi essere parametrizzati nel segunete modo: x = x0 + ρ sin(t∗) cos(s∗)

y = y0 + ρ sin(t∗) sin(s∗)z = z0 + ρ cos(t∗)

tale che0 ≤ t∗ ≤ π

0 ≤ s∗ < 2π (A.46)

in cui t∗ e s∗ sono i patrametri, o alternativamente: x = x0 + ρ sin(2πt) cos(2πs)y = y0 + ρ sin(2πt) sin(2πs)z = z0 + ρ cos(2πt)

tale che t, s ∈ < (A.47)

Ogni punto della sfera e descritto da una sola coppia di valori dei parametri ((t∗, s∗) o (t, s)),tranne che per i poli della sfera, che devono essere imposti: la coppia (0, s∗) rappresenta ilpolo nord della sfera, mentre (π, s∗) il polo sud per qualsiasi valore di s∗. Solitamente ci siriferisce a t∗ come latitudine, mentre a s∗ come longitudine.In maniera del tutto analoga e possibile generalizzare la parametrizzazione della sfera ad unellissoide di semiassi a, b, c, ottenendo: x = x0 + a sin(t∗) cos(s∗)

y = y0 + b sin(t∗) sin(s∗)z = z0 + c cos(t∗)

tale che0 ≤ t∗ ≤ π

0 ≤ s∗ < 2π (A.48)

in cui t∗ e s∗ sono i parametri o alternativamente: x = x0 + a sin(2πt) cos(2πs)y = y0 + b sin(2πt) sin(2πs)z = z0 + c cos(2πt)

tale che t, s ∈ < (A.49)

A.4 Operazioni con Piani 167

La superficie laterale di un cilindro ellittico con semiassi a e b ed avente altezza pari ad h ebase passante per il punto ~M0 = x0, y0, z0 puo essere parametrizzata nel seguente modo: x = x0 + a cos(t∗)

y = y0 + b sin(t∗)z = z0 + k

tale che0 ≤ t∗ < 2π0 ≤ k ≤ h (A.50)

in cui t∗ e k sono i parametri, oppure anche come x = x0 + a cos(2πt)y = y0 + b sin(2πt)z = z0 + k

tale chet ∈ <

0 ≤ k ≤ h (A.51)

in cui t e k sono i parametri utilizzati.Infine e possibile parametrizzare anche la superficie di un cono con base centrata in ~M0 =x0, y0, z0 di altezza h e raggio ρ: x = x0 + h−k

h ρ cos(t∗)y = y0 + h−k

h ρ sin(t∗)z = z0 + k

tale che0 ≤ t∗ < 2π0 ≤ k ≤ h (A.52)

in cui t∗ e k sono i parametri, o alternativamente: x = x0 + h−kh ρ cos(2πt)

y = y0 + h−kh ρ sin(2πt)

z = z0 + ktale che

t ∈ <0 ≤ k ≤ h (A.53)

in cui t e k sono i parametri.

A.4 Operazioni con Piani

1. Condizione di Parallelismo e Perpendicolarita fra Due PianiSe i piani A1x+B1y +C1z +D1 = 0 e A2x+B2y +C2z +D2 = 0 sono paralleli, allorai vettori normali ~n1 e ~n2 sono collineari e vale anche viceversa. Percio la condizione diparallelismo necessaria e sufficiente risulta essere:

A2

A1=B2

B1=C2

C1(A.54)

Se i piani A1x+B1y +C1z +D1 = 0 e A2x+B2y +C2z +D2 = 0 sono perpendicolari,allora sono perpendicolari anche i loro vettori normali ~n1 e ~n2 e viceversa. Percio lacondizione di perpendicolarita risulta essere:

A2A1 +B2B1 + C2C1 = 0 (A.55)

2. Angolo tra due PianiI due piani A1x + B1y + C1z + D1 = 0 e A2x + B2y + C2z + D2 = 0 formano quattroangoli diedri, a due a due uguali. Uno di essi e uguale all’angolo formato dai vettorinormali ~n1 e ~n2. Indicando con φ uno qualunque di questi angoli diedri, si ottiene:

cos(φ) = ± A1A2 +B1B2 + C1C2√A2

1 +B21 + C2

1 ·√A2

2 +B22 + C2

2

(A.56)

Scegliendo il segno positivo si ottiene il coseno dell’angolo tra i due vettori normali, men-tre con il meno si ottiene l’altro angolo diedro diverso da quello tra i due vettori normali.Per ricavare l’angolo basta applicare la funzione inversa del coseno.


3. Piano passante per un Punto Dato e Parallelo ad un Piano DatoIl piano passante per il punto ~M1 = x1, y1, z1 e parallelo al piano Ax+By+Cz+D = 0e rappresentato dall’equazione:

A(x− x1) +B(y − y1) + C(z − z1) = 0 (A.57)

come segue dall’applicazione della definizione di parallelismo fra piani e di equazione diun piano passante per un punto.

4. Piano Passante per Tre PuntiSe i punti ~M0 = x0, y0, z0, ~M1 = x1, y1, z1, ~M2 = x2, y2, z2 non giacciono su unastessa retta, il piano che li contiene ha per equazione:∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0

∣∣∣∣∣∣ = 0 (A.58)

che risolta applicando la definizione di determinante per una matrice 3x3 porta adottenere i coefficienti A, B, C, D di un piano pari a:

A = [(y1 − y0)(z2 − z0)− (y2 − y0)(z1 − z0)]B = − [(x1 − x0)(z2 − z0)− (x2 − x0)(z1 − z0)]C = [(x1 − x0)(y2 − y0)− (x2 − x0)(y1 − y0)]D =− x0 [(y1 − y0)(z2 − z0)− (y2 − y0)(z1 − z0)] +

+ y0 [(x1 − x0)(z2 − z0)− (x2 − x0)(z1 − z0)]−− z0 [(x1 − x0)(y2 − y0)− (x2 − x0)(y1 − y0)]

(A.59)

Se i tre punti giacciono sulla stessa retta, l’equazione precedente diventa una identita eper questi punti e possibile tracciare un’infinita di piani.

5. Piano Passante per Due Punti e Perpendicolare a un Piano DatoIl piano passante per i due punti ~M0 = x0, y0, z0 e ~M1 = x1, y1, z1 e perpendicolareal piano Ax+By + Cz +D = 0 e dato dall’equazione:∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0 (A.60)

che risolta permette di stimare i coefficienti dell’equazione del piano cercato A′, B′, C ′

e D′:

A′ = [(y1 − y0)C −B(z1 − z0)]B′ = − [(x1 − x0)C −A(z1 − z0)]C ′ = [(x1 − x0)B −A(y1 − y0)]D′ =− x0 [(y1 − y0)C −B(z1 − z0)] + y0 [(x1 − x0)C −A(z1 − z0)]−

− z0 [(x1 − x0)B −A(y1 − y0)]

(A.61)

Nel caso in cui la retta passante per ~M0 e ~M1 sia perpendicolare al piano dato, il pianoricercato non e definito e l’equazione precedente diventa una identita, in quanto esistonoinfiniti piani paralleli ad un dato piano.

6. Piano Passante per un Punto Dato e Perpendicolare a Due Piani DatiIl piano passanto per il punto ~M0 = x0, y0, z0 e perpendicolare ai due piani dati tra

A.4 Operazioni con Piani 169

loro non paralleli di equazione rispettivamente A1x+B1y+C1z+D1 = 0 e A2x+B2y+C2z +D2 = 0 ha per equazione:∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

A1 B1 C1

A2 B2 C2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (A.62)

ovvero i suoi coefficienti A,B, C, D sono:

A = [B1C2 −B2C1]B = − [A1C2 −A2C1]C = [A1B2 −A2B1]D = −x0 [B1C2 −B2C1] + y0 [A1C2 −A2C1]− z0 [A1B2 −A2B1]

(A.63)

Nel caso in cui i due piani dati siano tra loro paralleli, l’equazione del piano risulta essereun’identita ed il piano ricercato rimane non definito, ovvero ci sono infiniti piani tra loroparalleli.

7. Punto di Intersezione di Tre PianiTre piani possono non avere alcun punto in comune (se almeno due di essi sono parallelitra loro o anche quando le loro rette di intersezione sono tra loro parallele), oppurepossono avere una infinita di punti in comune (quando tutti e tre passano per una stessaretta), oppure infine possono avere un solo punto in comune. Nel primo caso il sistemadi equazioni A1x+B1y + C1z +D1 = 0

A2x+B2y + C2z +D2 = 0A3x+B3y + C3z +D3 = 0

(A.64)

non ha soluzioni, nel secondo ha un insieme infinito di soluzioni, nel terzo soltanto unasingola soluzione. Il modo piu semplice di studiare i vari casi risulta essere come applicatoprecedentemente l’utilizzo del determinante

8. Distanza di un Punto da un PianoLa distanza d, definita positiva, di un punto ~M0 = x0, y0, z0 dal piano di equazioneAx+By + Cz +D = 0 e uguale al valore assoluto della quantita δ, cioe:

d = |δ| = |Ax0 +By0 + Cz0 +D|√A2 +B2 + C2

(A.65)

9. Retta come Intersezione di Due PianiOgni retta dello spazio puo essere rappresentata da un sistema di due equazioni

A1x+B1y + C1z +D1 = 0A2x+B2y + C2z +D2 = 0 (A.66)

che rappresentano, se considerate separatamente, due piani P1 e P2 qualsiasi distintipassanti per la retta data. Il sistema sopra riportato viene detto equazione generale diuna retta. Questo significa che le coordinate di ogni punto M appartenente alla rettasoddisfano simultaneamente entrambe le equazioni del sistema e che i punti non appar-tenenti alla retta non soddifano almeno una delle due equazioni del sistema.Inoltre i coefficienti A2, B2, C2, D2 non devono essere proporzionali a A1, B1, C1, D1,in quanto per definire una retta i due piani devono essere distinti, ovvero non parallelitra loro e non coincidenti.Ora ogni vettore non nullo ~v = l,m, n che giace sulla retta si chiama vettore direttoredi questa retta e le coordinate l,m, n si chiamano coefficienti direttori della retta.Allora, vista la definizione di retta nello spazio come intersezione di due piani, e possibilericavare il vettore direttore di una retta sfruttando la proprieta del prodotto vettoriale


e il fatto che la retta generata dai due piani e ortogonale ad entrambi i vettori normalidei piani che la originano: ~v = ~n1 × ~n2 in cui, con riferimento all’equazione generale diuna retta ~n1 = A1, B1, C1 e ~n2 = A2, B2, C2.

10. Equazione del Piano Passante per un Punto Dato e Perpendicolare ad una Retta DataIl piano passante per il punto ~M1 = x1, y1, z1 e perpendicolare alla retta passante perlo stesso punto con equazione scritta in forma frazionaria:

x− x1

l1=y − y1

m1=z − z1

n1(A.67)

ha per vettore normale il vettore direttore della retta stessa ~v = l1,m1, n1 e quindi haper equazione:

l1(x− x1) +m1(y − y1) + n1(z − z1) = 0 (A.68)

da cui e possibile ricavare i rispettivi coefficienti dell’equazione generale del piano A = l1,B = m1, C = n1, D = l1x1 +m1y1 + n1z1

11. Equazione di un Piano Passante per un Punto e per una Retta DatiIl piano passante per il punto ~M0 = x0, y0, z0 e per la retta con vettore direttore~v = l,m, n non contenente il punto ~M0 ma passante per il punto ~M1 = x1, y1, z1, haper equazione la seguente: ∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

l m n

∣∣∣∣∣∣ = 0 (A.69)

da cui si ricavano facilmente i coefficienti:

A = [(y1 − y0)n−m(z1 − z0)]B = − [(x1 − x0)n− l(z1 − z0)]C = [(x1 − x0)m− l(y1 − y0)]D =− x0 [(y1 − y0)n−m(z1 − z0)] + y0 [(x1 − x0)n− l(z1 − z0)]−

− z0 [(x1 − x0)m− l(y1 − y0)]

(A.70)

Se la retta contiene il punto ~M0, allora l’equazione del piano diventa una identita e il pro-blema ha inifinite soluzioni, ottenendo un fascio di piani avente asse lungo la retta stessa.

12. Equazione di un Piano Passante per un Punto Dato e Parallelo a due Rette ComplanariDateIl piano passante per il punto ~M0 = x0, y0, z0 e parallelo alle rette complanari date,vincolate ad essere non parallele tra loro, aventi vettori direttori ~v = l1,m1, n1 e~v = l2,m2, n2, ha per equazione:∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (A.71)

da cui si ricava:

A = [m1n2 −m2n1]B = − [l1n2 − l2n1]C = [l1m2 − l2m1]D = −x0 [m1n2 −m2n1] + y0 [l1n2 − l2n1]− z0 [l1m2 − l2m1]

(A.72)

Se le due rette sono tra loro parallele, l’equazione del piano diventa una identita ed ilproblema ha infinite soluzioni: si ottiene un fascio di piani il cui sostegno passa per ~M0

ed e parallelo alle altre due rette date.

A.5 Operazioni con Rette 171

13. Equazione di un Piano Passante per una Retta Data e Perpendicolare ad un Piano DatoIl piano passante per la retta data, definita dal vettore direttore ~v = l1,m1, n1, passanteper ~M0 = x0, y0, z0 e perpendicolare al piano dato di equazione Ax+By+Cz+D = 0ha per equazione: ∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0 (A.73)

overo i coefficienti A′, B′, C ′, D′ del piano ricrcato sono:

A′ = [m1C −Bn1]B′ = − [l1C −An1]C ′ = [l1B −Am1]D′ = −x0 [m1C −Bn1] + y0 [l1C −An1]− z0 [l1B −Am1]

(A.74)

14. Piano Normale ad una Retta Data e Passante per un Punto DatoIl piano di equazione Ax + By + Cz + D = 0 passante per il punto ~M0 = x0, y0, z0 enormale ad una data retta definita da un vettore direttore ~v = l1,m1, n1 deve averenecessariamente il vettore normale coicidente con il vettore direttore della retta data equindi rimane soltanto da vincolare il paramentro D affinche tale piano passi per il punto~M0, ovvero:

A = l1B = m1

C = n1

D = −(l1x0 +m1y0 + n1z0)

(A.75)

A.5 Operazioni con Rette

1. Coseni Direttori di una RettaIn geometria analitica, i coseni direttori di una retta sono i coseni degli angoli convessiche la retta forma con gli assi coordinati. I coseni direttori sono univocamente individuatiin valore e segno se la retta e orientata, ed individuati in valore, ma non in segno, se laretta non e orientata. Cambiando orientamento alla retta, i coseni direttori cambianosimultaneamente di segno.Nello spazio, se si ricavano i coseni direttori di una retta, si ottengono tre scalari checostituiscono le coordinate del versore del vettore direttore della retta ~v = l,m, n,ovvero del vettore che giace lungo la retta:

cos(α) = l√l2+m2+n2

cos(β) = m√l2+m2+n2

cos(γ) = n√l2+m2+n2

(A.76)

2. Angolo Fra Due RetteSfruttando il fatto che una retta nello spazio puo essere rappresentata dal suo vettoredirettore, e possibile calcolare l’angolo tra due rette φ come l’angolo tra i due vettoridirettori, ~v = l,m, n e ~v′ = l′,m′, n′, utilizzando il prodotto scalare definito sullecomponenti dei vettori direttori stessi, per cui si ottiene che:

cos(φ) =ll′ +mm′ + nn′√

l2 +m2 + n2 ·√l′2 +m′2 + n′2

(A.77)

3. Angolo fra una Retta ed un PianoL’angolo ψ fra una retta con vettore direttore ~v = l,m, n e il piano di equazioneAx+By+Cz+D = 0 si trova applicando la definizione del prodotto vettoriale, definitosulle componenti del vettore direttore della retta e del vettore normale al piano,:

sin(ψ) =|lA+mB + nC|√

l2 +m2 + n2 ·√A2 +B2 + C2

(A.78)


4. Condizioni di Parallelismo e Perpendicolarita tra Retta e PianoLa condizione di parallelismo fra una retta con coefficienti direttori l,m, n e un piano diequazione Ax+By + Cz +D = 0 e la seguente:

Al +Bm+ Cn = 0 (A.79)

Essa esprime la condizione di perpendicolarita tra vettore normale ~n = A,B,C delpiano e la retta stessa.Con le stesse notazioni, la condizione di perpendicolarita fra la retta ed il suddetto pianoe:

l

A=m

B=n

C(A.80)

che esprime il parallelismo tra il vettore direttore delle retta ed il versore normale al piano.

5. Equazione di una Retta Passante per Due Punti DatiLa retta passante per i punti ~M1 = x1, y1, z1 e ~M2 = x2, y2, z2 ha per equazioni:

x− x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1=

z − z1

z2 − z1(A.81)

6. Equazione di una Retta Passante per un Punto Dato e Perpendicolare ad un Piano DatoLa retta passante per il punto ~M1 = x1, y1, z1 e perpendicolare al piano Ax + By +Cz + D = 0 ha come vettore direttore il vettore normale al piano stesso, ovvero ~n =A,B,C = ~v, e quindi l’equazione della retta e esprimibile in forma frazionaria come:

x− x1

A=y − y1

B=z − z1

C(A.82)

7. Lunghezza della Perpendicolare Abbassata da un Punto Dato su una Retta DataDati il punto ~M0 = x0, y0, z0 e la retta con vettore direttore ~v = l1,m1, n1 e passanteper il punto ~M1 = x1, y1, z1, la perpendicolare abbassata da tale punto su tale rettad, altro non e che la lunghezza della perpendicolare, ovvero del segmento piu corto checollega il punto ~M0 con la retta, tra il punto dato e la retta data:

d =

√∣∣∣∣( y0 − y1 z0 − z1

m1 n1

)∣∣∣∣2 +∣∣∣∣( z0 − z1 x0 − x1

n1 l1

)∣∣∣∣2 +∣∣∣∣( x0 − x1 y0 − y1

l1 m1

)∣∣∣∣2√l21 +m2

1 + n21

(A.83)in cui non si sono svolti i determinanti delle matrici 2x2 per non appensantire la nota-zione.

8. Condizione di Complanarita di due RetteSe due rette con vettori direttori ~v1 = l1,m1, n1 e ~v2 = l2,m2, n2 e passanti rispet-tivamente per ~M1 = x1, y1, z1 e ~M2 = x2, y2, z2 giacciono sullo stesso piano, ovverosono complanari, allora si ha che verificano questa equazione:∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (A.84)

A.6 Intersezioni tra Retta e Oggetti Geometrici (Ray-Tracing)

L’intersezione tra una retta nello spazio e diversi enti geometrici risulta di interesse poiche epossibile, tramite l’utilizzo della forma parametrica della retta, identificare il punto di ingresso

A.6 Intersezioni tra Retta e Oggetti Geometrici (Ray-Tracing) 173

e di uscita di una retta che interseca l’oggetto in questione. Si e scelta questa tecnica, dettaanche Ray Tracing o Ray Casting, poiche in fase di simulazione fisica del fascio radiante diraggi-X si utilizza un approccio pencil-beam ovvero la simulazione di un fascio come compostoda tanti piccoli fasci, detti appunto pencil-beam, approssimati da una retta. I punti di inter-sezione risultano essere necessari per determinare la lunghezza che il pencil beam attraversanell’oggetto, per poi poter simulare il deposito di energia lungo il percorso all’interno dell’og-getto geometrico stesso.

1. Intersezione Retta-RettaL’algebra di intersezione di due rette complanari nello spazio 3D diventa molto piu com-plicata che nel caso dell’intersezione di due rette complanari nel piano 2D.Date due rette passanti per i punti ~M1 = x1, y1, z1 e ~M2 = x2, y2, z2 e per i punti~M3 = x3, y3, z3 e ~M4 = x4, y4, z4 rispettivamente, la loro intersezione puo essere tro-

vata direttamente risolvendo simultaneamente il seguente sistema di rette parametriche,in cui il vettore direttore di ogni singola retta e calcolato come differenza tra i due puntiper cui la retta stessa passa ed i parametri sono come al solito s e t tali che s, t ∈ <:

~x = ~M1 + s( ~M2 − ~M1)~x = ~M3 + t( ~M4 − ~M3)

(A.85)

con la condizione che i quattro punti appartengano ad un unico piano, ovvero che sianorette complanari e non sghembe:∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1x4 y4 z4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = ( ~M3 − ~M1) •[(

~M2 − ~M1

)×(~M4 − ~M3

)]= 0 (A.86)

Allora risulta possibile stimare il parametro s, definite le seguenti entita vettoriali:

~a = ~M2 − ~M1

~b = ~M4 − ~M3

~c = ~M3 − ~M1

(A.87)

Il parametro s risulta quindi stimato dalla seguente equazione vettoriale, definiti ilprodotto vettoriale ed il prodotto scalare:

s =(~c×~b) • (~a×~b)∣∣∣~a×~b∣∣∣2 (A.88)

Sostituendo il parametro s nell’equazione della retta si ottiene il punto di intersezionecercato.

2. Intersezione Retta-PianoIn geometria analitica, l’intersezione di una retta con un piano puo essere un insiemevuoto, un punto o una retta stessa, come mostrato in figura A.7. Sono possibili dueapprocci per calcolare la soluzione del problema.

Il primo utilizza le forme parametriche sia della retta che del piano: una retta parametricadi parametro t ∈ < passante per i punti ~Ma = xa, ya, za e ~Mb = xb, yb, zb haequazione:

~Ma + t( ~Mb − ~Ma) (A.89)

mentre un piano, passante per i punti ~M0 = x0, y0, z0, ~M1 = x1, y1, z1 e ~M2 =x2, y2, z2 e parametrizzabile con i parametri u ∈ < e v ∈ <:

~M0 + ( ~M1 − ~M0)u+ ( ~M2 − ~M0)v (A.90)


Figura A.7: Intersezione Retta-Piano

Il punto di intersezione puo essere determinato imponendo che il punto della rettaparametrica sia uguale a quello del piano parametrico, ovvero in forma matriciale: xa − x0

ya − y0

za − z0

=

xa − xb x1 − x0 x2 − x0

ya − yb y1 − y0 y2 − y0

za − zb z1 − z0 z2 − z0

· t

uv

(A.91)

Allora la soluzione e ottenuta invertendo tale matrice e determinando in questo modo iparametri t, u e v: t

uv

=

xa − xb x1 − x0 x2 − x0

ya − yb y1 − y0 y2 − y0

za − zb z1 − z0 z2 − z0

−1

·

xa − x0

ya − y0

za − z0

(A.92)

Vediamo ora di risolvere il problema con un approccio basato sul formalismo vettoriale.Il piano definito come Ax+ By + Cz +D = 0 puo essere scritto come prodotto scalaredel vettore normale ~n per un punto ~M0 = x, y, z appartenente al piano stesso: −D =~M0 • ~n. Il vettore normale ~n puo essere trovato come prodotto scalare di due vettori

appartenenti al piano stesso calcolati come differenza di due punti del piano, ovvero~n = ( ~M1 − ~M0) × ( ~M2 − ~M0). Imponendo allora che il punto del piano ~x sia anchequello della retta parametrica con parametro t passante per i punti ~Ma = xa, ya, za e~Mb = xb, yb, zb, si ottiene:

~x =[~Ma + t( ~Mb − ~Ma)

]• ~n = −D (A.93)

Il punto di intersezione si ottiene ponendo il seguente valore del parametro t nell’equa-zione parametrica della retta:

t = − D + ~Ma • ~n( ~Mb − ~Ma) • ~n

= − Axa +Bya + CzaA(xb − xa) +B(yb − ya) + C(zb − za)

(A.94)

Da notare che se la retta e perpendicolare al piano, allora il denominatore dell’equazioneche restituisce il valore del parametro t risulta essere nullo; se la retta appartiene alpiano stesso, allora sia il numeratore che il denominatore sono nulli e ogni valore di t esoluzione del problema.

3. Intersezione Retta-SferaUn punto ~x = x, y, z di una retta passante per i punti ~M1 = x1, y1, z1 e ~M2 =x2, y2, z2 e descritto in forma parametrica del parametro t ∈ < come:

~x = ~M1 + t( ~M2 − ~M1) =

xyz

=

x1 + t(x2 − x1)y1 + t(y2 − y1)z1 + t(z2 − z1)

(A.95)


Una sfera con il centro nel punto ~Mc = xc, yc, zc e di raggio r presenta un’equazioneche in coordinate puo essere scritta come:

(x− xc)2 + (y − yc)2 + (z − zc)2 = r2 (A.96)

Allora risulta possibile calcolare i punti di intersezione tra la retta e la sfera sostituendol’equazione del punto di una retta parametrica nell’equazione della sfera. I risultato eun’equazione quadratica del tipo:

at2 + bt+ c = 0 (A.97)

dove:

a = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

b = 2 [(x2 − x1)(x1 − xc) + (y2 − y1)(y1 − yc) + (z2 − z1)(z1 − zc)]c = x2

c + y2c + z2

c + x21 + y2

1 + z21 − 2 [xcx1 + ycy1 + zcz1]− r2

(A.98)

La risoluzione dell’equazione quadratica restituisce i valori t1 e t2 del parametro t concui poi calcolare i punti di intersezione:

t1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a(A.99)

Il comportamento della soluzione e determinato dall’espressione sotto la radice quadrata,ovvero da b2 − 4ac, ed i tre casi sono riportati in figura A.8:

• se b2 − 4ac < 0 allora la retta non interseca la sfera

• se b2 − 4ac = 0 allora la retta e tangente alla sfera ed il punto di intersezione e unosoltanto per t = −b

2a

• se b2 − 4ac > 0 allora la retta interseca la sfera in due punti distinti dello spaziodeterminati da t1 e t2

Figura A.8: Intersezione Retta-Sfera

4. Intersezione Retta-EllissoideAnalogamente a quanto fatto precedentemente per l’intersezione di una sfera con unaretta, l’intersezione di un ellissoide con una retta e determinata a partire dall’equazioneparametrica della retta e dall’equazione della superficie dell’ellissoideUn punto ~x = x, y, z di una retta passante per i punti ~M1 = x1, y1, z1 e ~M2 =x2, y2, z2 e descritto in forma parametrica del parametro t ∈ < come:

~x = ~M1 + t( ~M2 − ~M1) =

xyz

=

x1 + t(x2 − x1)y1 + t(y2 − y1)z1 + t(z2 − z1)

(A.100)


Un ellissoide con il centro nel punto ~Mc = xc, yc, zc e di semiassi A, B, C presentaun’equazione della sua superficie che in coordinate puo essere scritta come:

(x− xc)2

A2+

(y − yc)2

B2+

(z − zc)2

C2= 1 (A.101)

Sostituendo l’equazione parametrica delle singole coordinate nell’equazione della super-ficie dell’ellissoide si ottiene una equazione quadratica del tipo:

at2 + bt+ c = 0 (A.102)

dove:

a = B2C2(x2 − x1)2 +A2C2(y2 − y1)2 +A2B2(z2 − z1)2

b =2[B2C2(x2 − x1)(x1 − xc) +A2C2(y2 − y1)(y1 − yc)

]+

+ 2[A2B2(z2 − z1)(z1 − zc)

]c = B2C2x2

c +A2C2y2c +A2B2z2

c +B2C2x21 +A2C2y2

1 +A2B2z21

−2[B2C2xcx1 +A2C2ycy1 +A2B2zcz1

]−A2B2C2

(A.103)


t1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a(A.104)

Da notare che l’intersezione di una retta con una sfera e un caso degenere dell’intersezionedi una retta con l’ellissoide, nel caso in cui appunto A = B = C = r. Come nel casodella sfera il comportamento della soluzione e determinato dall’espressione sotto la radicequadrata, ovvero da b2 − 4ac:

• se b2 − 4ac < 0 allora la retta non interseca l’ellissoide

• se b2 − 4ac = 0 allora la retta e tangente all’ellissoide ed il punto di intersezione euno soltanto per t = −b

2a

• se b2 − 4ac > 0 allora la retta interseca l’ellissoide in due punti distinti dello spaziodeterminati da t1 e t2

5. Intersezione Retta-CilindroL’intersezione di una retta con un cilindro e calcolata a partire come al solito dall’equa-zione parametrica della retta, definita come nei casi precedenti, ma data la non differen-ziabilita della superficie del cilindro all’incontro tra la superficie delle basi e la superficielaterale e necessario un passaggio ulteriore. In una prima fase si calcola l’intersezione diuna retta con un cilindro infinitamente lungo, per poi imporre delle condizioni sulle basie calcolare l’intersezione della base del cilindro stesso con le retta parametrica.Si suppone che il cilindro abbia l’asse lungo l’asse Y, il centro nel punto ~Mc = xc, yc, zce la base abbia il raggio paria a r. In questo modo la superficie parametrica di un cilindroinfinitamente lungo, avente asse parallelo all’asse Y, e ottenibile esprimendo soltanto ledue cordinate x e z in funzione del parametro t∗ tale che t∗ ∈ [0, 2π]:

x = xc + r cos(t∗)z = zc + r sin(t∗) (A.105)

Sostituendo le equazioni delle coordinate della retta in quelle della superficie del cilindrosi ottiene:

cos(t∗) = x1−xcr + t (x2−x1)

r

sin(t∗) = z1−zcr + t (z2−z1)

r

(A.106)

Imponendo la relazione trigonometrica cos2(t∗) + sin2(t∗) = 1 si ottiene un’equazione disecondo grado del tipo:

at2 + bt+ c = 0 (A.107)


dove:a = (x2 − x1)2 + (z2 − z1)2

b = 2 [(x2 − x1)(x1 − xc) + (z2 − z1)(z1 − zc)]c = x2

c + z2c + x2

1 + z21 − 2 [xcx1 + zcz1]− r2

(A.108)


t1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a(A.109)

Il comportamento della soluzione e determinato dall’espressione sotto la radice quadrata,ovvero da b2 − 4ac:

• se b2 − 4ac < 0 allora la retta non interseca la superficie laterale del cilindroinfinitamente lungo

• se b2 − 4ac = 0 allora la retta e tangente alla superficie laterale del cilindroinfinitamente lungo ed il punto di intersezione e uno soltanto per t = −b

2a

• se b2−4ac > 0 allora la retta interseca la superficie laterale del cilindro infinitamentelungo in due punti distinti dello spazio determinati da t1 e t2

Rimane ora da imporre la condizione sulla terza coordinata y. Per fare questo il meto-do piu intuitivo e veloce e calcolare la coordinata y utilizzando l’equazione della rettaparametrica con i parametri t1,2 precedentemente calcolati per l’intersezione della rettastessa con un cilindro infinito. In questo caso si ottengono al massimo due valori diy, y1,2 che devono essere confrontati con la lunghezza L del cilindro. Per semplicita siipotizzi il sistema di riferimento al centro del cilindro stesso, in modo che −L2 ≤ y ≤ L

2rappresenta la coordinata y di un punto della sua superficie. Allora se il valore di y1,2

e compreso nell’intervallo[−L2 ,

L2

]le coordinate y1,2 sono corrette e descrivono i punti

di intersezione del fantoccio, altrimenti se entrambi i valori non appartengono a taleintervallo non c’e intersezione tra la retta ed il cilindro. Infine il caso in cui solo uno deidue valori di y1,2 appartiene all’intervallo richiesto significa che la retta entra nel cilindrodalla superficie laterale ed esce dalla superficie di una delle basi o viceversa. Allora siimpone che il valore della coordinata y sia pari a −L2 o L

2 a seconda del segno del valoredi y1,2 che non appartiene all’intervallo. Si ricalcolano poi le coordinate x e z sapendoche la retta deve passare per il punto di intersezione presente sulla superficie laterale delcilindro stesso e per il punto sorgente del fascio radiante primario.

6. Intersezione Retta-ParallelepipedoL’intersezione di una retta con un parallelepipedo altro non e che un caso particolare diintersezione di una retta con un poliedro convesso (che per semplicita d’ora in poi verradetto poliedro).In questo caso si riduce il problema ad identificare se la retta interseca o meno il poligonodescritto sul piano passante per ogni singola faccia del poliedro stesso. Il problemaquindi diventa quello di determinare l’intersezione di una retta con un poligono, chenel caso di un parallelepipedo altro non e che un rettangolo. In una seconda fase poioltre a determinare se la retta interseca le singole facce del poliedro, si tratteranno i casiparticolari di intersezione, ma in ogni caso a partire sempre dall’intersezione della rettacon i poligoni dei vari piani delle facce poliedriche.Per prima cosa si calcola l’intersezione della retta parametrica con il piano passante peri vertici che delimitano la faccia del poligono. A questo punto rimane da verificare seil punto appartiene o meno al poligono descritto dai vertici. Questa operazione vieneeffettuata calcolando la congiungente di ogni vertice con il punto di intersezione, comeretta passante per due punti; si costruiscono poi le rette di ogni singolo lato del poligono,si determina la distanza tra tali rette e tra il punto di intersezione e poi si isola la distanzaminima. Si calcola l’angolo tra una congiungente e la successiva, ovvero l’angolo sottesoal lato del poligono. Infine si sommano tutti gli angoli e si effettua il controllo finale:


• se la distanza minima e nulla allora il punto di intersezione si trova sul bordo dellapoligonale

• se l’angolo totale e minore di 360 e la distanza e diversa da zero, allora il punto diintersezione e interno al poligono

• se l’angolo totale e maggiore di 360 e la distanza diversa da zero, allora il puntodi intersezione e esterno

Ora bisogna effettuare tale operazione su un poligono descritto da una poligonale chiusa,ovvero per un rettangolo si devono considerare come vertici 5 punti (i 4 vertici delrettangolo ed il primo vertice nuovamente).A questo punto non rimane che effettuare il controllo dell’intersezione con tutti i poligonidi ogni singola faccia del poliedro e tener conto di ogni singolo risultato dell’intersezione,considerando intersezione anche l’intersezione con il bordo. Per semplicita si consideri ilcaso di un parallelepipedo a 4 facce. Allora si hanno i seguenti casi:

• nessuna intersezione =⇒ la retta non interseca il parallelepipedo

• una sola intersezione =⇒ la retta interseca il parallelepipedo lungo una faccia intera

• due intersezioni =⇒ la retta interseca il parallelepipedo su due facce o e tangentead uno spigolo tra due facce

• tre intersezioni =⇒ la retta interseca lo spigolo tra due facce e la faccia contrappostaa tale spigolo o e tangente allo spigolo tra tre facce

• quattro intersezioni =⇒ la retta interseca lo spigolo tra tre facce e la faccia con-trapposta a tale spigolo

• cinque intersezioni =⇒ la retta interseca lo spigolo tra tre facce e lo spigolo tra duefacce ad esso contrapposto contemporaneamente

• sei intersezioni =⇒ la retta interseca contemporaneamente due spigoli tra tre faccecontrapposti uno all’altro

In questo modo si possono calcolare i punti di intersezione di una retta con un poliedronello spazio 3D, come i punti di intersezione di ogni singolo poligono descritto sul pianodi ogni singola faccia del poliedro.

Appendice BGrafica 3D con DirectX 8.0

IndiceB.1 DirectX 8.0 SDK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.2 Grafica 3D con DirectX 8.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

B.2.1 Appunti di Geometria: coordinate omogenee . . . . . . . . . . . . . 176

B.2.2 World Matrix e Trasformazione dei Vertici . . . . . . . . . . . . . . . 177

B.2.3 View Matrix e View Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

B.2.4 Projection Matrix e Camera Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

B.3 Grafica 3D Interattiva con DirectX 8.0 . . . . . . . . . . . . . . . 185

B.1 DirectX 8.0 SDK

DirectX e un set di istruzioni API (Application Programming Interfaces) dedicate allosviluppo di applicazioni multimediali che include il supporto per grafica 2D e 3D (attraversouna serie di interfacce note come DirectX Graphics), effetti sonori e musica (DirectX Audio),il controllo di dispositivi di input (DirectInput), lo sviluppo di Networked Applications egiochi Multiplayer (DirectPlay) ed infine funzioni di Mediastreaming (DirectShow). Dato cheil nostro interesse e volto principalmente verso il 3D (ovvero la DirectX 3D Graphics) si inizieraa dare uno sguardo all’architettura interna della Direct3D per comprendere le relazioni cheintercorrono tra i vari blocchi ed il percorso che compiono le informazioni che si fornirannoprima di rappresentare la grafica su monitor.Uno schema molto semplificato, chiamato Pipeline, e riportato in B.1.

Vertex Input sono i dati che forniamo in input e che rappresentano le primitive da visua-lizzare in 3D. I dati vengono raccolti in appositi buffer (VertexBuffer) ed inviati all’unita chesi occupa della loro prima elaborazione. Vertex Shaders esegue tutta una serie di istruzionisullo stream di dati in ingresso (come ad esempio il prodotto tra vettori o matrici) ed in uscitafornisce informazioni sulla posizione, il colore ed eventuali texture associate alla geometria.Le Primitive Operations sono una serie di funzioni che si occupano di disegnare le primitivetrasformate dal Vertex Shader (non viene ancora visualizzato nulla sullo schermo) ed infine idati sui pixel da graficare vengono inviati al blocco successivo. I Pixel Shaders si occupano dieseguire determinate operazioni sui pixel (gli vengono passate anche tutte le informazioni sucolore e texture) ed eseguono operazioni di colore, alpha blending e texture mapping sui singolipixel. A questo punto il pixel e pronto per poter essere inviato al monitor (Pixel Output).Da notare che sia il Pixel Shader che il Vertex Shader sono unita completamente program-mabili e dotate di un apposito linguaggio fatto di Istruzioni Assembly e opportune Macro peraccelerare le operazioni piu semplici. In ogni caso maggiori informazioni a riguardo possonoessere ottenute consultando la documentazione dell’SDK.

180 Grafica 3D con DirectX 8.0

Figura B.1: Pipeline semplificato

Lo scopo principale delle DirectX e quello di fornire al programmatore una serie di funzioni edinterfacce che siano il piu possibile indipendenti dall’hardware video che si trova sul computerdell’utente. Questo viene ottenuto mediante l’HAL (Hardware Abstraction Layer); l’HAL vienein pratica fornito dal produttore delle schede video ed implementato mediante appositi drivero DLL esterne; compito del DirectX e fornire un’interfaccia semplice ed intuitiva che consentadi sfruttare a pieno le possibilita delle schede video in commercio interagendo direttamentecon l’infrastruttura fornita dall’HAL.L’Hardware Abstraction Layer implementa quindi un codice che e strettamente device-dependent(dipendente dal dispositivo) e fortemente ottimizzato dal costruttore stesso. L’HAL non con-sente emulazione di funzioni o caratteristiche non supportate dalla periferica (per questo ingenere la DirectX implementa anche opportune funzioni di emulazione che scavalcano l’HALper simulare via software caratteristiche non presenti nell’hardware della scheda video); daultimo notiamo che l’HAL non effettua alcun tipo di controllo sui parametri che gli vengonopassati (con il risultato che se questi ultimi non sono corretti l’applicazione va irrimediabilmen-te in crash o produce risultati di scarsissima qualita visiva). E compito della libreria DirectX(e del programmatore) effettuare la validazione dei parametri.In ultimo (ma su questo si tornera in seguito) si ricorda che l’HAL ha tre modi fondamentalidi gestire e processare le informazioni sui vertici: Software Vertex Processing, Hardware VertexProcessing e Mixed Vertex Processing; (ovviamente da un punto di vista di pure prestazioni emolto conveniente far gestire tutto dall’hardware della scheda senza oberare di lavoro la CPU).In conclusione si puo riassumere le relazioni che intercorrono tra il Direct3D (D3D) e la schedavideo come quelle riportate nel diagramma mostrato in B.2 (in cui si esegue anche un confrontocon la precedente architettura GDI).

Direct3D consente quindi due distinti metodi per operare con l’hardware video:

• attraverso l’HAL, fornendo tutta una serie di funzioni che siano capaci di identificare arun-time le caratteristiche supportate dalla scheda.

• attraverso emulazione-software per fornire comunque un modo per implementare de-terminate funzionalita o caratteristiche quando queste non siano integrate nella schedavideo.

Direct3D, cosi come DirectX in generale, viene implementato mediante oggetti ed interfacceCOM (Component Object Model). In un progetto D3D il primo oggetto ad essere creatoe il Direct3D Object; esso contiene tutta una serie di strutture per recuperare, enumerare emantenere le funzioni supportate dalla scheda video che verranno memorizzate in opportuniDirect3D Device (dispositivi D3D) permettendo all’applicazione di accedere a piu dispositivisenza doverli ricreare ogni volta. Data la sua funzione di contenitore, il Direct3D Object nonsolo sara il primo oggetto ad essere creato, ma anche l’ultimo a venir distrutto (pena crash di

B.1 DirectX 8.0 SDK 181

Figura B.2: Architettura presente tra D3D e scheda video

sistema o memory leakege per via di altri moduli non deallocati).Il Direct3D Device e il componente che si occupa di effettuare il rendering a video, vienequindi creato subito dopo il D3D Object; si occupa di eseguire trasformazioni, operazionidi lighting (illuminazione) e rasterizzazione (ovvero illuminazione dei pixel sullo schermo performare l’immagine voluta) dell’immagine su una superficie; ognuna di queste operazioni vieneeseguita da un modulo separato. Se si sviluppano funzioni proprie per eseguire le trasformazionigeometriche e le operazioni di illuminazione, i corrispondenti moduli del D3D possono esserefacilmente bypassati. Tre sono le tipologie di device supportate da D3D:

• Hardware Abstraction Layer (HAL), di cui si e gia parlato sopra: le funzioni operatedai tre moduli sopra indicate (trasformazione, illuminazione e rasterizzazione) vengonoeseguite in hardware dalla scheda. (Attenzione: non tutte le funzioni presenti in D3Dpossono essere utilizzate in quanto non tutte implementate dai costruttori delle schedeaccelerate)

• Reference Device (dispositivo di riferimento): sfruttano funzioni realizzate via softwareper garantire l’accuratezza della visualizzazione piuttosto che elevate prestazioni; fannouso di particolari set di istruzioni specifiche delle nuove generazioni di processori (SSE e3DNOW!) ed implementano tutto il set di funzioni disponibili in D3D; lo svantaggio ela non elevata velocita di esecuzione.

• Software Device: emulano le funzioni di rasterizzazione dell’hardware 3D via software,possono fare uso dei set di istruzioni specifici di ogni processore se opportunamenteprogrammati; comunicano con l’hardware grafico mediante una interfaccia simile al-l’hardware device driver interface (DDI, vedi schema precedente). Maggiori informazionisui Software Device e la documentazione per svilupparne possono essere reperite nelDirect3D DDK.

Possiamo riassumere i concetti sino ad ora esposti nello schema riportato in B.3.Come si e gia detto tutta la libreria DirectX e implementata attraverso oggetti ed interfacce

COM; un oggetto COM non e altro che una collezione di interfacce, che a loro volta sono col-lezioni di funzioni (il tutto e organizzato in maniera analoga alle classi di Visual Basic). Ogniinterfaccia COM viene derivata da una classe base chiamata IUnknown (la I nella UngarianNotation adottata da Microsoft sta per Interface; Unknown sta per sconosciuto nel senso chesi tratta di funzioni comuni ad ogni oggetto e quindi non qualificabili in altro modo).Dato che oggetti diversi possono presentare diverse interfacce e che queste ultime possonoessere comuni a piu di un oggetto occorre un metodo per poter distinguere univocamente


Figura B.3: Schema funzionamento D3D

gli oggetti e le relative interfacce (possono esistere oggetti con lo stesso nome descrittivo,ad esempio Idirect3D8, ma che fanno riferimento ad entita separate e con funzionalita dif-ferenti). Questo viene ottenuto mediante l’utilizzo di codici detti GUIDs (Globally UniqueIdentifiers). Un GUID e una struttura a 128 bit creata in modo da garantire che non ne possaesistere un’altra identica. Generalmente vengono espressi sotto forma di stringhe del tipo:V V V V V V V V −WWWW −XXXX − Y Y Y Y − ZZZZZZZZZZZZ, dove ogni letteracorrisponde ad un numero esadecimale. Dato che sarebbe impossibile ricordare i GUIDs deivari oggetti solitamente ne viene fornito un identificativo equivalente che ricordi il particolareoggetto a cui sono associati.Note queste prime conoscenze base di come opera la libreria DirectX 8.0 e come questa siinterfaccia con il monitor e ora possibile passare alla descrizione della grafica 3D di oggettigeometrici.

B.2 Grafica 3D con DirectX 8.0

B.2.1 Appunti di Geometria: coordinate omogenee

Lavorando con le DirectX 8.0 si utilizza come base per lo spazio vettoriale <3 una ternaortonormale sinistrorsa, perche in un certo modo piu intuitiva per la rappresentazione; infattigli oggetti posti sullo schermo per convenzione vengono graficati come aventi l’asse Z che entranello schermo e asse X e Y lungo le due dimensioni dell schermo (Y lungo le ordinate e X lungole ascisse). Se si utilizza tuttavia una terna sinistrorsa si deve porre attenzione all’operazionedi prodotto vettoriale, che viene calcolato in modo differente a quanto descritto nei capitoliprecedenti. Infatti la formula e le proprieta risultano essere le stesse di quelle relative alleterne destrorse solamente con i segni cambiati.Ora e possibile definire la grafica 3D a partire da vettori omogenei. Questo perche se da unlato complica la notazione matematica iniziale, per la gestione delle trasformazioni che vengonoapplicate ad un vettore questa tecnica risulta essere facile ed immediata nell’impiego.Quando si utilizzano coordinate omogenee e necessario porre particolare attenzione quandosi eseguono operazioni tra vettori. Utilizzando coordinate omogenee non e possibile sommaremembro a membro le componenti perche altrimenti si giunge ad un risultato non corretto.La soluzione piu ovvia e portare i vettori operandi in forma normale (w = 1) e poi eseguirela normale operazione di addizione sulle prime tre coordinate. In questo modo pero sononecessarie sei divisioni oltre alle normali addizioni. Risulta quindi consigliabile trovare laformulazione corretta per l’operazione di somma con vettori espressi con coordinate omogenee.

B.2 Grafica 3D con DirectX 8.0 183

Nel caso tridimensionale si ha quindi:

(x1, y1, z1, w1) + (x2, y2, z2, w2) =(x1

w1,y1

w1,z1

w1, 1)

+(x2

w2,y2

w2,z2

w2, 1)

=(w2x1 + w1x2

w1w2,w2y1 + w1y2

w1w2,w2z1 + w1z2

w1w2, 1) (B.1)

La formula risultante e quindi

(x1, y1, z1, w1) + (x2, y2, z2, w2) = (w2x1 + w1x2, w2y1 + w1y2, w2z1 + w1z2, w1w2) (B.2)

In questo modo si utilizzano solamente addizioni e moltiplicazioni eliminando la divisione chee sicuramente piu pesante dal punto di vista computazionale. Un discorso analogo puo esserefatto per il prodotto scalare e vettoriale. Per il primo si puo scrivere:

(x1, y1, z1, w1) • (x2, y2, z2, w2) =(x1

w1,y1

w1,z1

w1, 1)•(x2

w2,y2

w2,z2

w2, 1)

=x1x2

w1w2+

y1y2

w1w2+

z1z2

w1w2=x1x2 + y1y2 + z1z2

w1w2

(B.3)

e quindi non e possibile eliminare del tutto le divisioni. Per il prodotto vettoriale invece:

(x1, y1, z1, w1)× (x2, y2, z2, w2) =(x1

w1,y1

w1,z1

w1, 1)×(x2

w2,y2

w2,z2

w2, 1)

=(y1z2 − z1y2

w1w2,z1x2 − x1z2

w1w2,x1y2 − y1x2

w1w2, 1) (B.4)

quindi in definitiva il prodotto vettoriale in coordinate omogenee richiede solamente unamoltiplicazione in piu.

(x1, y1, z1, w1)× (x2, y2, z2, w2) = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2, w1w2) (B.5)

La moltiplicazione per uno scalare c ∈ < rimane sostanzialmente immutata e non comportaoperazioni aggiuntive:

c (x1, y1, z1, w1) = (cx1, cy1, cz1, w1) (B.6)

B.2.2 World Matrix e Trasformazione dei Vertici

I vettori (o vertici) non sono sufficienti per codificare le operazioni che si possono effettua-re su oggetti 3D. Occorrono altri strumenti capaci di raggruppare insiemi bidimensionali dinumeri: le matrici sono lo strumento matematico destinato a tale scopo.Tra numeri, vettori e matrici sono state definite numerose operazioni matematiche. Questeoperazioni vengono adoperate nella grafica 3D per eseguire le varie operazioni necessarie acostruire le immagini. I vettori sono importanti nella grafica 3D perche sono utilizzati permemorizzare le coordinate dei punti che compongono i vari oggetti modellati. Vengono ancheutilizzati per determinare l’orientamento delle superfici e le velocita di movimento degli oggetti.Le matrici memorizzano invece tutte le operazioni di trasformazione e di proiezione che occor-rono per realizzare rotazioni, traslazioni, cambi di scala, skew ed altro. Generalmente tutte letrasformazioni relative ad un vettore (o altrimenti detto vertice) possono essere conglobate inun’unica matrice che viene chiamata spesso World Matrix. Le trasformazioni si applicano aipunti moltiplicando il vettore corrispondente al punto per la matrice che identifica la trasfor-mazione totale. Moltiplicando tra loro le matrici che rappresentano le varie trasformazioni siriduce l’intero processo di trasformazione ad una unica matrice, appunto la World Matrix.Si definsce traslazione la trasformazione affine che sposta i punti sommando a tutti i punti unvettore di spostamento ~d, ovvero dato un vettore ~P si ottiene il vettore traslato ~P ′ = ~P + ~d.


Passando ora ad una notazione in coordinate omogenee e possibile rappresentare la traslazionetramite una matrice T 4x4 tale che ~P ′ = ~P T . Allora vale

T (dx, dy, dz) =

1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

(B.7)

in cui dx, dy, dz sono le componenti del vettore di spostamento ~d. La traslazione inversa siottiene invertendo la matrice di traslazione T :

T−1 (dx, dy, dz) = T (−dx,−dy,−dz) =

1 0 0 −dx0 1 0 −dy0 0 1 −dz0 0 0 1

(B.8)

Si definisce Rotazione una trasformazione affine che:

• non cambia la distanza tra i punti (e rigida)

• lascia fisso (almeno) un punto: centro di rotazione (Caso particolare: rotazione attorno aun asse in cui restano fissi tutti i punti di una retta data definita come asse di rotazione)

Qualunque rotazione si puo ottenere mediante una sequenza di tre rotazioni attorno ad assiindipendenti. Caso particolare sono le rotazioni attorno agli assi coordinati, asse X, asse Y easse Z. In coordinate omogenee e possibile esprimere una rotazione tramite l’utilizzo di unamatrice R che trasforma un vettore dato ~P in un vettore ruotato ~P ′ = R ~P , in cui vale:

R =

rxx rxy rxz 0ryx ryy ryz 0rzx rzy rzz 00 0 0 1

(B.9)

dove R rappresenta una rotazione generica centrata all’origine ed i vettori rxx, rxy, rxz,ryx, ryy, ryz, rzx, rzy, rzz hanno norma uno e sono ortogonali tra loro. Vale sempre R−1 =RT e qualunque rotazione si puo esprimere come combinazione di tre rotazioni attorno agliassi coordinati. Quindi data una R rotazione attorno all’origine, esistono sempre Rx, Ry,Rz matrici di rotazione attorno ai tre assi coordinati tali che R = RzRyRx. L’ordine delletre rotazioni risulta essere fondamentale, dato che per il prodotto di matrici non e valida laproprieta di commutazione. Definito θ l’angolo di rotazione attorno al singolo asse, le trematrici di rotazione attorno agli assi coordinanti risultano pertanto essere:

Rz =

cos (θ) − sin (θ) 0 0sin (θ) cos (θ) 0 0

0 0 1 00 0 0 1

Ry =

cos (θ) 0 sin (θ) 0

0 1 0 0− sin (θ) 0 cos (θ) 0

0 0 0 1

Rx =

1 0 0 00 cos (θ) − sin (θ) 00 sin (θ) cos (θ) 00 0 0 1

(B.10)

La Scalatura e una trasformazione che lascia un punto fisso e dilata o comprime lo spazioattorno a quel punto in una o piu direzioni per un dato fattore di scala. Esiste la scalaturauniforme, ovvero la dilatazione o compressione dello stesso fattore di scala nelle tre direzionicardinali e la scalatura direzionale in cui si dilata solo lungo una direzione (arbitraria). Fattoridi scala negativi producono riflessioni. In coordinate omogenee si ottiene una scalatura di un


vettore ~P moltiplicandolo per una matrice S definita nel seguente modo:

S (sx, sy, sz) =

sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1

(B.11)

in cui sx, sy, sz sono detti appunto fattori di scala lungo gli assi coordinanti.Diverse trasformazioni si possono comporre in sequenza ed ogni trasformazione e rappresentatada una matrice. Applicare una trasformazione significa moltiplicare una matrice per un vet-tore e quindi l’applicazione di una sequenza di trasformazioni corrisponde ad una sequenza dimoltiplicazioni di matrici. La matrice che ne risulta contiene tutte le informazioni per traslare,scalare e ruotare un vettore (o un insieme di vettori) nello spazio 3D e viene indicata comeWorld Matrix. Infatti con questa tenica e possibile generare un modello 3D di un oggetto e poimoltiplicando tutti i suoi vertici per la World Matrix e possibile posizionarlo correttamentenello spazio.

B.2.3 View Matrix e View Space

Dopo che tutti gli oggetti sono stati posizionati nello spazio mediante le World Matrix enecessario stabilire la posizione e l’orientazione dell’osservatore. Quello che si desidera effetti-vamente e calcolare le coordinate dei vertici espresse secondo un nuovo sistema di riferimentoche sia ortonormale

(~O′, i′, j′, k′

)in cui l’origine ~O′ coincide con la posizione dell’osservatore,

l’asse Z ′ coincida con la direzione di osservazione e la direzione dell’asse Y ′ identifica sulloschermo il sopra e la direzione dell’asse X ′ identifica sullo schermo lo spostamento verso de-stra.Questo nuovo sistema di riferimento, chiamato View Space risulta particolarmente comodo pereseguire le operazioni di clipping e di proiezione. La legge generale che regola il cambiamentodel sistema di riferimento puo essere scomposta nella parte traslazionale ed in quella rotazio-nale ed il problema viene quindi scomposto in due sottoproblemi piu semplici. Per la partetraslazionale si ha che:

~P − ~O = xi+ yj + zk~O − ~O′ = x0i+ y0j + z0k~P − ~O′ = (x− x0)i+ (y − y0)j + (z − z0)k

(B.12)

Ovvero per passare dalle coordinate del vecchio a quelle del nuovo sistema di riferimento esufficiente sottrarre dalle coordinate correnti dei punti quelle del centro del nuovo sistema diriferimento. Per la parte rotazionale invece (si consideri in questo caso ~O ≡ ~O′) si possonoeffettuare le seguenti considerazioni, basate sul fatto che le terne sono ortonormali:

~P − ~O = xi+ yj + zk~P − ~O′ = x′i′ + y′j′ + z′k′

i =(i • i′

)· i′ +

(i • j′

)· j′ +

(i • k′

)· k′

j =(j • i′

)· i′ +

(j • j′

)· j′ +

(j • k′

)· k′

k =(k • i′

)· i′ +

(k • j′

)· j′ +

(k • k′

)· k′

(B.13)

Questo risulta essere vero perche se tutti i vettori hanno modulo unitario, il loro prodottorappresenta il coseno dell’angolo tra essi compreso e rappresenta anche il valore della proiezionedell’uno sull’altro.A questo punto e possibile sostituire gli ultimi tre valori nella seconda equazione ed ottenerela matrice 3x3 di rotazione che rappresenta il cambiamento del sistema di riferimento. x′

y′

z′

=

cos(ii′) cos(j i′) cos(ki′)cos(ij′) cos(jj′) cos(kj′)cos(ik′) cos(jk′) cos(kk′)

· x

yz

(B.14)


Se ora si considera l’espressione dei versori del nuovo sistema di riferimento rispetto al vecchiosi ha che:

i′ = xii+ yij + zik

j′ = xj i+ yj j + zj k

k′ = xk i+ yk j + zkk x′

y′

z′

=

xi yi zixj yj zjxk yk zk

· x

yz

(B.15)

A questo punto conviene passare alle coordinate omogenee per rappresentare il cambiamentodi sistema con una sola matrice. Per trovare la matrice che rappresenta tutta la trasformazionebasta considerare che le coordinate nel nuovo sistema si trovano combinando una traslazionecon una rotazione e pertanto si ha che:

xi yi zi 0xj yj zj 0xk yk zk 00 0 0 1

·

1 0 0 −O′x0 1 0 −O′y0 0 1 −O′z0 0 0 1

=

xi yi zi −

(xiO

′x + yiO

′y + ziO

′z

)xj yj zj −

(xjO

′x + yjO

′y + zjO

′z

)xk yk zk −

(xkO

′x + ykO

′y + zkO

′z

)0 0 0 1

(B.16)

Si riconosce nell’ultima colonna il prodotto scalare tra i vari versori delle nuove direzioni eil vettore che identifica il nuovo centro di riferimento, quindi la precedente matrice vienesolitamente espressa in questo modo:

xi yi zi −(i′ • ~O′

)xj yj zj −

(j′ • ~O′

)xk yk zk −

(k′ • ~O′

)0 0 0 1

(B.17)

La View Matrix puo essere definita mediante la posizione dell’origine e le coordinate dei suoiassi rispetto al sistema di riferimento attuale. Non e pero ne facile ne intuitivo definire l’o-rientazione dell’osservatore facendo attenzione affinche il nuovo sistema sia ortonormale; perquesto motivo si utilizzano modi alternativi per definire la View Matrix. La notazione cheviene utilizzata per denominare gli assi e solitamente: UVN, dove ~N rappresenta la direzionedi osservazione, ~V la direzione sopra (asse Y ′) e il terzo asse ~U viene calcolato sulla base deiprimi due. Solitamente si realizzano delle routine che generano la View Matrix partendo dadati che bene identificano il nuovo sistema nello spazio. Una volta che si e definito la nuovaorigine e la direzione di osservazione ~N e sufficiente infatti stabilire il vettore ~V per determi-nare poi in modo univoco il rimanente versore ~U . La difficolta e che il vettore ~V deve esserenormale ad ~N e di lunghezza unitaria. La soluzione e stabilire un generico vettore

−→Up che

indica la direzione sopra in maniera generale e poi ricavare ~V proiettando il vettore−→Up nel

piano parallelo ad ~N e normalizzandolo. In questo modo i dati passati alla routine sono ~C,~N , ~Up da cui si ricavano i tre assi del nuovo sistema di riferimento:

~O ≡ ~C~N ≡ ~N~V ≡

−→Up− (

−→Up • ~N) · ~N

~U = ~N × ~V

(B.18)

In questo modo la terna che si e creata e sinistrorsa e per ottenerla destrorsa e sufficienteinvertire l’ordine dell’ultimo prodotto vettoriale. Per trovare il vettore ~V e sufficiente ricavareil vettore proiezione di

−→Up sulla normale al piano.

Un modo alternativo di definire la View Matrix e specificare la nuova origine ~C , il punto doveosservare

−→At e il vettore

−→Up come nel caso precedente. In questo caso si ricava inizialmente il

vettore ~N come:~N = Atx − Cx, Aty − Cy, Atz − Cz (B.19)


e poi si procede come nel caso precedente. La libreria DirectX 8.0 mette a disposizione dueroutine differenti chiamate D3DXMatrixLookAtLH e D3DXMatrixLookAtRH che ricavano laView Matrix con quest’ultima tecnica, seguendo una strada leggermente differente: dopo averricavato il versore ~N , invece di calcolare la proiezione di

−→Up nel piano perpendicolare ad ~N ,

si ricava immediatamente ~U dal prodotto vettoriale di−→Up e ~N e successiva normalizzazione.

A questo punto il vettore ~V si ricava semplicemente con il prodotto vettoriale di ~U e ~N . Daricordare che la libreria DirectX 8.0 utilizza una terna sinistrorsa, quindi l’usuale formula diprodotto vettoriale non e valida e deve essere corretta cambiando di segno ogni termine pre-sente, come detto nei paragrafi precedenti.

B.2.4 Projection Matrix e Camera Space

Capire a fondo la matrice di proiezione non e facile e bisogna procedere per gradi in mododa comprendere tutte le implicazioni racchiuse in essa. La Projection Matrix viene applicatadopo la View Matrix e quindi tutte le coordinate sono espresse nello spazio dell’osservatore,chiamato anche Camera Space. L’osservatore coincide con l’origine ed osserva lungo l’asse delleZ con la direziona Y considerata come sopra. Il tipo di proiezioni che rappresenta meglio lapercezione della realta che abbiamo con i nostri occhi e sicuramente la proiezione prospettica;si considerera quindi questo tipo di proiezione. Si posizioni a tal scopo un piano di proiezioneparallelo all’asse delle Z e sia d la distanza di questo piano dall’origine; la situazione puo essererappresentata comodamente in 2D nel piano x=0 con la figura B.2.4:

Lo scopo e trovare le coordinate del punto proiettato; da semplici considerazioni geometri-che si ricava dalla similitudine dei triangoli PpQO′ e POQ che:

ypd

=y

z⇒ yp =

y

zd (B.20)

La stessa considerazione puo essere effettuata per la coordinata x e quindi per torvare lecoordinate dei punti proiettate nel piano e sufficiente moltiplicare le coordinate x ed y delfattore d/z e la coordinata z assume naturalmente il valore d per qualsiasi punto proiettato.Nello spazio omogeneo la matrice che realizza questa trasformazione e la seguente:

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1

d 0

(B.21)

Infatti un generico vettore (x, y, z, 1) trasformato diventa (x, y, z, z/d) e quindi quando si divideper w per tornare nelle coordinate 3D si ha la proiezione nel piano. Il termine della quartariga e terza colonna della matrice dovrebbe tuttavia essere pari ad 1, ovvero:

d 0 0 00 d 0 00 0 d 00 0 1 0

(B.22)

Questa matrice trasforma un vettore (x, y, z, 1) nel vettore (xd, yd, zd, z) che riportato in 3D halo stesso valore del precedente, in questo modo pero la coordinata w del vettore trasformato


assume il valore z e quindi puo essere utilizzato efficacemente per implementare un DepthBuffer, come lo Z-Buffer. Le matrici che hanno questa proprieta sono chiamate nella DirectXcome W-Friendly Projection Matrix.Tuttavia nessuno trovera mai la precedente matrice utilizzata nelle librerie grafiche 3D comela DirectX o le OpenGL per un motivo molto semplice: il Clipping. Dopo aver definito laposizione e l’orientazione dell’osservatore mediante la View Matrix e necessario infatti definireoltre alla distanza del piano di proiezione una dimensione della finestra di proiezione, in mododa sapere quali vertici saranno visibili e quali no. Questa semplificazione risulta necessariaperche risparmia operazioni al rasterizzatore che deve elaborare solamente i vertici visibilidall’osservatore; tale situazione e rappresentata nella figura B.2.4.

Le coordinate umin, umax, vmin, vmax, zn, zf determinano in maniera univoca il volumedi proiezione: tutti i vertici che si trovano all’esterno di tale volume non sono visibili dal-l’osservatore. Il piano posto a distanza zn dall’origine viene chiamato Front Clipping Plane eper analogia quello posto a zf viene chiamato Far Clipping Plane. Il volume individuato inquesto modo assume il nome di Viewing Frustum (ovvero tronco di piramide della visuale).Naturalmente tutte queste coordinate sono state espresse secondo il sistema di riferimentodell’osservatore.Prima di applicare la matrice di proiezione vista nel paragrafo precedente e necessario effet-tuare il clipping con le coordinate 3D dei punti, operazione che non e ne intuitiva ne semplice,soprattutto da implementare in hardware. La soluzione che si adotta e quella di trovare unamatrice di trasformazione che faccia coincidere il viewing frustum con un volume di riferimentoin cui il clipping sia molto semplice da fare; nel caso in esame si considera il volume indivi-duato dai piani x = −1, x = 1, y = −1, y = 1, z = 0, z = 1, che prende il nome di VolumeCanonico. Fare il clipping in questo volume e veramente semplice ed inoltre le coordinate deipunti risultano gia proiettate e pronte per essere mandate al rasterizzatore.Ora e necessario trovare la catena di trasformazioni che trasformano il viewing frustum nelvolume canonico. Come prima cosa dobbiamo definire alcuni termini: la posizione dell’osserva-tore e quella in cui convergono i raggi prospettici viene chiamata PRP (Perspection ProjectionPoint), mentre il centro della finestra di visualizzazione definita da umin, umax, vmin, vmaxprende il nome di CW (Center of Window). La prima operazione e effettuare uno shearingper fare in modo che l’asse Z passi per il punto CW. Questa operazione consiste appunto inuno shearing delle coordinate x e y ed e rappresentata dalla matrice:

1 0 Shx 00 1 Shy 00 0 1 00 0 0 1

(B.23)

Una tale operazione non influisce sulle coordinate z, ma aggiunge alle coordinate x e y unafrazione della coordinata z espressa dai parametri di shearing. Ora come prima cosa bisognatrovare il valore di questi parametri imponendo la condizione che la direzione di osservazio-ne (CW-PRP) coincida con l’asse Z. Il vettore (CW − PRP ) = (CWx, CWy, zn, 1) dopo la


trasformazione deve divenire quindi (0, 0, zn, 1), ovvero deve valere:1 0 Shx 00 1 Shy 00 0 1 00 0 0 1

·

umax+umin2

vmax+vmin2zn1

=

umax+umin

2 + znShxvmax+vmin

2 + znShyzn1

(B.24)

Ponendo a zero le prime due coordinate del vettore risultato si trovano i valori cercati per idue coefficienti:

Shx = −umax+umin2zn

Shy = −vmax+vmin2zn

(B.25)

Ora bisogna calcolare le nuove coordinate che definiscono la finestra di vista sul front plane, adesempio l’angolo in alto a destra di coordinate (umax, vmax, zn) viene trasformato nel punto:

1 0 −umax+umin2zn

00 1 −vmax+vmin

2zn0

0 0 1 00 0 0 1

·

umax

vmax

zn1

=

umax − umax+umin

2znvmax − vmax+vmin

2znzn1

(B.26)

Ripetendo lo stesso calcolo si trova che i nuovi limiti della finestra di vista sono divenuti:

−umax−umin2 < x < umax−umin

2−vmax−vmin

2 < y < vmax−vmin2

(B.27)

Ora il viewing frustum e centrato nell’asse Z, la successiva operazione e quella di rendere lelunghezze dei piani laterali pari ad 1 (dato che le altre lunghezze del viewing frustum sui duepiani sono gia state calcolate); tale risultato si ottiene semplicemente con uno scaling dellecoordinate x e y. I nuovi limiti della finestra debbono divenire in modulo pari a zn in modoche i piani laterali abbiano lunghezza unitaria. E facile allora pervenire alla matrice di scalingcorrispondente, considerando le nuove espressioni delle coordinate dei limiti della finestra divisualizzazione:

2znumax−umin

0 0 00 2zn

vmax−vmin0 0

0 0 1 00 0 0 1

(B.28)

L’ultima trasformazione rimasta e la piu complessa: infatti si deve effettuare una espansionenell’asse Z per trasformare un volume piramidale in un volume di tipo parallelepipedo; secon-dariamente si deve fare in modo che il piano z = zn vada a coincidere con il piano z = 0 ed ilpiano z = zf vada a coincidere con il piano z = 1.Per trovare la matrice che rappresenta questa trasformazione bisogna procedere per gradi.Dopo lo scaling precedente i limiti della finestra di visualizzazione sono ora tutti eguali e paria zn; la prima cosa da fare e dividere le coordinate x e y per il valore z, in modo che il volumediventa un parallelepipedo, utilizzando la seguente matrice:

1 0 0 00 1 0 0Cx Cy Cz Cw0 0 1 0

(B.29)

dove i valori della terza riga sono lasciati appositamente in sospeso con i termini Cx,Cy,Cz,Cw.In questo modo si ottiene la divisione per z delle coordinate x e y ma e necessario che il frontplane, che si trova a distanza zn, venga mappato sul piano z = 0 ed il far clipping planeche si trova a distanza zf sia mappato sul piano z = 1. L’operazione che fa questo none immediata e non fa parte delle trasformazioni 3D standard, ma la si puo ricavare con unsemplice ragionamento. La riga della matrice di trasformazione che genera la nuova coordinataz e la terza, lasciata appositamente incognita fino ad ora. La prima considerazione e che la


trasformazione cercata e indipendente dai valori di x e y e che i piani paralleli al piano z = 0lo rimangono anche dopo la trasformazione. Se chiamiamo Cx, Cy, Cz, e Cw gli elementi dellaterza riga della matrice, allora si ha che Cx = Cy = 0. Per trovare il valore di Cz e Cw siprocede in questo modo: la coordinata z trasformata e pari a zCz + wCw e bisogna quindiimporre due condizioni per trovare i due coefficienti incogniti. Le condizioni cercate derivanonaturalmente dalla trasformazione del far e del near clipping plane, ovvero:

wznCz+wCwwzn

= 0wzfCz+wCw

wzf= 1

(B.30)

Nella formula e stata correttamente inclusa anche l’operazione di divisione per la nuova coor-dinata w (che e pari a wz), necessaria per portarsi dallo spazio omogeneo a quello 3D. Enecessario considerare che per le trasformazioni precedenti i punti che delimitano il viewingfrustum assumono i valori seguenti umax = vmax = −umin = −vmin = zn. Risolvendo ilsistema si ha che:

Cz = zfzf−zn

Cw = − zfznzf−zn

(B.31)

La trasformazione finale e pertanto:1 0 0 00 1 0 00 0 zf

zf−zn − zfznzf−zn

0 0 1 0

(B.32)

Per trovare la matrice di trasformazione finale e sufficiente comporre le matrici di shearing, discaling e l’ultima appena trovata che e a tutti gli effetti una matrice di proiezione. Il risultatoe:

2znumax−umin

0 umax+uminumin−umax

00 2zn

vmax−vmin

vmax+vminvmin−vmax

00 0 zf

zf−zn − zfznzf−zn

0 0 1 0

(B.33)

La matrice e anche W-Friendly dato che mantiene la coordinata z nella coordinata omogeneaw. Dopo aver applicato questa trasformazione effettuare il clipping e molto semplice perchebasta controllare che siano valide le seguenti disuguaglianze:

−1 < xw < 1

−1 < yw < 1

0 < zw < 1

⇒−w < x < w−w < y < w0 < z < w

(B.34)

Come e evidente l’operazione di clipping risulta ora veramente banale. Le coordinate x e ydei punti che sono accettati dal clipping debbono subire un’ultima semplice trasformazioneche rappresenta il Mapping nel Viewport finale, che nel nostro caso e lo schermo o piu ingenerale la finestra di rendering. Nella libreria DirectX la funzione che realizza questa matricea partire dalle dimensioni del viewing frustum e la D3DXMatrixPerspectiveOffCenterLH().Naturalmente per i sistemi di riferimento destrorsi il discorso e assolutamente uguale, masvolgendo i conti si ottiene una matrice leggermente differente:

2znumax−umin

0 umax+uminumax−umin

00 2zn

vmax−vmin

vmax+vminvmax−vmin

00 0 zf

zn−zfzfznzn−zf

0 0 −1 0

(B.35)

Quello che si e cosı ottenuto e una serie di moltiplicazioni di matrici 4x4 che a partire daisingoli vertici rappresentati in coordiante omogenee permette di ottenere la rappresentazioneproiettiva su di un piano della disposizione 3D dei songoli oggetti. Tale rappresentazione e 2De quindi puo essere mandata infine a schermo utilizzando il rasterizzatore. In sintesi tutto ilprocesso di grafica 3D puo essere riassunto nel seguente schema riportato anche in B.2.4:

B.3 Grafica 3D Interattiva con DirectX 8.0 191

• definizione dei vertici (vettori in coordinate omogenee) componenti l’oggetto, creati apiacere nello spazio 3D

• moltiplicazione dei singoli vertici per la World Matrix e disposizione corretta nello spaziodegli oggetti

• moltiplicazione per la View Matrix al fine di cambiare sistema di riferimento per lavisualizzazione 3D

• moltiplicazione per la Projection Matrix per ottenere un’immagine 2D degli oggetti 3D

B.3 Grafica 3D Interattiva con DirectX 8.0

In questo paragrafo verra trattata brevemente la grafica tridimensionale nei prodotti inte-rattivi. In particolare verrano presentate le piu comuni tecniche per integrare la grafica 3Dnei linguaggi di programmazione. La quantita di codice necessaria per visualizzare oggettitridimensionali in tempo reale e enorme. Per questo si ricorre solitamente a librerie di funzionigia realizzate come la DirectX 8.0.I principali livelli di funzionalita (che possono variare in funzione del particolare motoreconsiderato) sono:

1. Disegno dei triangoli

2. Proiezione e clipping

3. Visualizzazione di modelli 3D

4. Visualizzazione dei mondi 3D

Il livello di Disegno dei triangoli si occupa di disegnare velocemente sullo schermo triangolibidimensionali. Ogni triangolo puo venire disegnato anche con una texture ed un modello diilluminazione. Il livello di Proiezione e clipping, si occupa di proiettare triangoli (definiti inuno spazio tridimensionale) sullo schermo del calcolatore, cosı come apparirebbero agli occhidi un osservatore posizionato in un dato luogo (come descritto nei paragrafi precedenti). Illivello di Proiezione e clipping identifica gli oggetti che non sono visibili (clipping), calcolale coordinate dei triangoli in due dimensioni (corrispondenti alle proiezioni dei triangoli 3D)ed infine utilizza le primitive del livello precedente per visualizzarli sullo schermo. Il livellodi Visualizzazione dei modelli 3D scompone ogni oggetto tridimensionale in un insieme ditriangoli, calcolandone opportunamente le posizione dei vertici nello spazio, ed utilizza leprimitive del livello precedente per rappresentarli sullo schermo. Il livello di Visualizzazionedei mondi 3D gestisce la presenza contemporanea di piu oggetti tridimensionali, ottimizza lavisualizzazione scartando quelli troppo lontani o comunque non visibili, e gestisce semplicianimazioni degli elementi coinvolti.Affinche un programma possa utilizzare le procedure di un motore di rendering o di unalibreria di supporto, come appunto le DirectX 8.0, deve rispettare un’architettura precisa.In particolare deve eseguire un insieme di operazioni in un determinato ordine. Le fasi darispettare sono le seguenti:


1. Inizializzazione della libreria

2. Inizializzazione dell’applicazione

3. Ciclo di rendering

4. Rilascio delle risorse

Nella fase di Inizializzazione della libreria si richiamano un insieme di procedure appartenentialla libreria grafica o al motore di rendering per definire i requisiti grafici richiesti dall’appli-cazione. Ad esempio si stabiliscono la risoluzione dell’applicazione, il tipo di grafica adottata(2D, 3D, presenza di illuminazione, texture, . . . ). Nella fase di Inizializzazione dell’applicazio-ne si creano tutte le struttre dati necessarie a realizzare l’applicazione. Ad esempio si caricanole geometrie degli oggetti, le texture, le definizioni dei mondi virtuali, si azzerano i timer e icontatori. Il Ciclo di Rendering, rappresenta invece il cuore dell’applicazione. Esso si ripetefino a quando il programma non termina. Il suo scopo e quello di ridisegnare continuamente lagrafica dell’applicazione, secondo i cambiamenti avvenuti nel frattempo. Il ciclo di rendering sioccupa solamente di ridisegnare la grafica sullo schermo. Qualsiasi modifica o interazione deveavvenrie in risposta ad eventi esterni quali timer o input provenienti da periferiche collegate alsistema. L’uscita dal ciclo di rendering si verifica solamente quando un evento esterno stabi-lisce la fine del programma, ad esempio impostando una particolare variabile. Bisogna quindisempre ricordarsi di inserire qualche meccanismo per consentire l’uscita dal ciclo. E possibilequindi, tramita l’utilizzo dell’uscita dal cilco di rendering, far funzionare in parallelo sia lagrafica 3D che qualsiasi altro codice, a discapito solo della prestazione della CPU in terminidi velocita di esecuzione del codice stesso. La fase di Rilascio delle risorse conclude l’appli-cazione liberando le risorse occupate dalle strutture dati allocate durante le fasi precedenti.Vengono utilizzate a tal scopo sia funzioni specifiche dell’applicazione sia funzioni generichedella libreria.Per quanto concerne l’utilizzo della libreria DirectX 8.0 e di tutte le sue funzioni si e deci-so di non riportare i vari codici, rimandando alla documentazione della SDK per maggioriinformazioni e dettagli.

Appendice CCalcolo Analitico dello Scatter alPrimo Ordine

In figura C.1 viene mostrata la geometria di calcolo che sta alla base dell’integrazione delcontributo dello scattering che cade su un punto generico dello spazio 3D.

Figura C.1: Geometria di integrazione

Si analizzera di seguito il contributo della radiazione diffusa al primo ordine per il casomonoenergetico nell’ipotesi che l’attenuazione della radiazione diffusa nell’aria sia trascurabile,scomposta nelle sue due principali componenti: lo scattering Rayleigh e lo scattering Compton.Inizialmente si prendera in considerazione il contributo Rayleigh in quanto i conti svolti sonoformalmente meno pesanti dato che il coefficiente di attenuazione della radiazione primaria µPRe lo stesso del coefficiente della radiazione diffusa µDR e quindi vale la seguente relazione:

µPRDi = µPRsi + µDRdi = µPR (si + di)µPRDi+1 = µPRsi+1 + µDRdi+1 = µPR (si+1 + di+1) (C.1)

con riferimento all’immagine C.1.Interpolando linearmente le sezioni d’urto e le attenuazioni che avvengono all’interno del fan-toccio per il pencil-beam sia primario che diffuso al primo ordine, per un caso generale, ilcontributo dello scattering Rayleigh relativo ad un raggio primario tra due centri diffusoriadiacenti posti ad una distanza si ed si+1 dal punto di entrata del pencil-beam primarionel fantoccio, per qualsiasi combinazione di posizione della sorgente e del fantoccio stesso e

194 Calcolo Analitico dello Scatter al Primo Ordine

calcolato come:

SiR (si, si+1) =

si+1∫si

(σi ·


+ σi+1 ·s− si

si+1 − si

)· e−

(µPRDi·

si+1−ssi+1−si

+µPRDi+1s−si

si+1−si

)ds

(C.2)Questo integrale puo essere svolto analiticamente e si vedranno in seguito i principali passagginecessari alla risoluzione di tale integrazione. La prima semplificazione da effettuare sono leseguenti sostituzioni, al fine di poter scomporre e scrivere l’integrale stesso in una forma piucomoda:

x = ssi+1−si A = si

si+1−si B = si+1si+1−si ds = (si+1 − si) dx (C.3)

Allora il precedente integrale risulta essere:

SiR (si, si+1) =

B∫A

[σi (B − x) + σi+1 (x−A)] · e−[µPRDi(B−x)+µPRDi+1(x−A)] · (si+1 − si) dx

(C.4)che sviluppato diviene:

SiR (si, si+1) =

B∫A

(si+1 − si) · [σiB − σi+1A+ x (σi+1 − σi)]·e−µPRDiB+µPRDi+1A·ex(µ

PRDi−µ

PRDi+1)dx

(C.5)Posto C =

(µPRDi − µPRDi+1

)e portando fuori dall’integrale le costanti si ottiene:

SiR (si, si+1) = (si+1 − si) ·e−µPRDiB+µPRDi+1A ·

B∫A

[σiB − σi+1A+ x (σi+1 − σi)] ·exCdx (C.6)

Raggruppando tutte le costanti in λ:

λ = (si+1 − si) · e−µPRDiB+µPRDi+1A (C.7)

risulta ora possibile separare l’integrale in due parti, a) e b), ed integrare singolarmente ognunadi esse (le costanti che moltiplicano entrambi gli integrali verranno moltiplicate in seguito):

a) χ =B∫A

[σiB − σi+1A] · exCdx

b) ξ =B∫A

[x (σi+1 − σi)] · exCdx(C.8)

Allora per l’integrale a) si ottiene che:

χ =

B∫A

[σiB − σi+1A] · exCdx =[σiB − σi+1A]

C·[eCB − eCA

](C.9)

mentre per l’integrale b) si ha che, utilizzando l’integrazione per parti:

ξ =

B∫A

[x (σi+1 − σi)] · exCdx = (σi+1 − σi) ·

[x · e

Cx

C

]∣∣∣∣BA

−B∫A

eCx

Cdx

= (σi+1 − σi) ·

[B · e

CB

C−A · e

CA

C

]−[eCB

C2− eCA

C2

](C.10)

195

Ora prima di esplicitare λ, il risultato dell’integrazione puo essere semplificato ulteriormentein:

SiR (si, si+1) = λ · (χ+ ξ) =λ ·

[σiBe

CB − σi+1AeCB − σiBeCA + σi+1Ae

CA]

C

+

+ λ ·

[σi+1Be

CB − σiBeCB − σi+1AeCA + σiAe

CA]

C

+

+ λ ·

(σi − σi+1) ·[eCB

C2− eCA

C2

](C.11)

che risulta in:

SiR (si, si+1) = λ·[−σi+1Ae

CB − σiBeCA + σi+1BeCB + σiAe

CA]

C+λ·(σi − σi+1)·

[eCB

C2− eCA

C2

](C.12)

Ora rimane solo da esplicitare λ precedentemente stimata. Tuttavia risulta piu comodo effet-tuare dapprima la moltiplicazione dell’esponenziale costante con i due esponenziali che sonopresenti nell’integrale svolto, ovvero si ottiene che:

1) e−µPRDiB+µPRDi+1A · eCA = e−µ

PRDiB+µPRDi+1A · eµPRDiA−µPRDi+1A = e−µ

PRDi(B−A) = e−µ

PRDi

2) e−µPRDiB+µPRDi+1A · eCB = e−µ

PRDiB+µPRDi+1A · eµPRDiB−µPRDi+1B = e−µ

PRDi+1(B−A) = e−µ

PRDi+1

(C.13)dato che vale:

B −A =si+1

si+1 − si− sisi+1 − si

= 1 (C.14)

Risulta allora possibile moltiplicare i due integrali calcolati per le costanti rimanenti ottenendoil seguente risultato:

SiR (si, si+1) =(si+1 − si)

C·[−σi+1Ae

−µPRDi+1 − σiBe−µPRDi + σi+1Be

−µPRDi+1 + σiAe−µPRDi

]+

+(si+1 − si)

C· (σi − σi+1) ·

[e−µ

PRDi+1

C− e−µ

PRDi

C

](C.15)

Infine sostituendo i valori di A e B si ottiene la soluzione finale:

SiR (si, si+1) =σi+1si+1

µPRDi − µPRDi+1· e−µ

PRDi+1 +

σisiµPRDi − µPRDi+1

· e−µPRDi−

− σisi+1


PRDi − σi+1si


PRDi+1+


µPRDi − µPRDi+1·

[e−µ

PRDi − e−µPRDi+1

µPRDi − µPRDi+1

] (C.16)


SiR (0, si+1) =σi+1 · si+1


PRDi+1 − σi · si+1


PRDi+

+(

σi+1 · si+1

µPRDi − µPRDi+1− σi · si+1

µPRDi − µPRDi+1

)· e−µPRDi − e−µPRDi+1

µPRDi − µPRDi+1

(C.17)

Per il caso Compton invece si deve tener conto del fatto che il coefficiente di attenuazionedella radiazione primaria µPC e diverso dal coefficiente di attenuazione della radiazione diffusaµDC in quanto il coefficiente di attenuazione massico dipende dall’energia E del fotone, ovvero


µ = µ (E). Allora µDC dipende dall’energia della radiazione diffusa e quindi dall’angolo cheviene a formarsi tra il pencil-beam primario e diffuso, secondo l’andamento dato dalla sezioned’urto differenziale di Klein-Nishina.Quindi dato che µPC 6= µDC , si avra che:

µCDi = µPCsi + µDiC diµCDi+1 = µPCsi+1 + µ

Di+1C di+1

(C.18)

in cui µDiC 6= µDi+1C poiche come e comprensibile dalla figura C.1 l’angolo tra il fotone primario

e quello diffuso e diverso dato che si 6= si+1 e quindi saranno diversi anche i coefficienti diattenuazione lineare.Interpolando linearmente le sezioni d’urto e le attenuazioni che avvengono all’interno del fan-toccio, e possibile calcolare il contributo dello scatter Compton per un generico punto nellospazio utilizzando lo stesso integrale visto per il caso Rayleigh: unica differenza consite nelporre attenzione all’esponenziale, diverso in quanto non e possibile raccogliere il coefficiente diattenuazione lineare.

SiC (si, si+1) =

si+1∫si

(σi ·


+ σi+1 ·s− si

si+1 − si

)· e−

(µCDi·

si+1−ssi+1−si

+µCDi+1s−si

si+1−si

)ds

(C.19)Le procedure per la risoluzione di questo integrale sono del tutto uguali a quelle mostrate peril contributo dello scatter Rayleigh; la solo differenza sta nel fatto che ora il coefficiente Cutilizzato nell’integrazione risulta essere piu complicato:

C = (µCDi − µCDi+1) =(µPCsi + µDiC di − µPCsi+1 − µDi+1

C di+1

)=[µPC (si − si+1) + µDiC di − µDi+1

C di+1

] (C.20)

Il contributo dovuto allo scattering Compton risulta pertanto essere pari a:

SiC (si, si+1) =σi+1si+1

µCDi − µCDi+1· e−µCDi+1 +

σisiµCDi − µCDi+1

· e−µCDi−

− σisi+1

µCDi − µCDi+1· e−µCDi − σi+1si

µCDi − µCDi+1· e−µCDi+1+


µCDi − µCDi+1·[e−µCDi − e−µCDi+1

µCDi − µCDi+1

] (C.21)


SiC (0, si+1) =σi+1 · si+1

µCDi − µCDi+1· e−µCDi+1 − σi · si+1

µCDi − µCDi+1· e−µCDi+

+(

σi+1 · si+1

µCDi − µCDi+1− σi · si+1

µCDi − µCDi+1

)· e−µCDi − e−µCDi+1

µCDi − µCDi+1

(C.22)

Inifne integrando su tutto il percorso del pencil-beam primario e sommando tutti i contributidegli N − 1 segmenti costituenti il percorso all’interno del fantoccio del pencil-beam primariostesso sia per Compton che Rayleigh, lo scatter dovuto a tale pencil-beam per un singolo pixeldel rivelatore risulta essere pari a:

SPtot = SPR + SPC =N−1∑i=0

SiR (si, si+1) +N−1∑i=0

SiC (si, si+1) (C.23)

Allora il contributo della radiazione diffusa su un singolo pixel dovuta alla radiazione primariacostituita da Npx ·Npy pencil-beam primari, nell’ipotesi che tutti i pencil-beam intersechino ilfantoccio, risulta essere:

SPixelq =Npx·Npy∑P=1

SPtot =Npx·Npy∑P=1

[N−1∑i=0

SiR (si, si+1) +N−1∑i=0

SiC (si, si+1)

](C.24)

197

Infine il contributo dello scatter al primo ordine su tutto il plate e stimato come somma suiNdx ·Ndy pixel che campionano il detector:

SPlateTOT =Ndx·Ndy∑q=1

SPixelq =Ndx·Ndy∑q=1

Npx·Npy∑P=1

[N−1∑i=0

SiR (si, si+1) +N−1∑i=0

SiC (si, si+1)

] (C.25)

L’interpolazione e l’integrazione analitica fin qui presentata risulta essere corretta per il casoin cui C 6= 0. I casi in cui C = 0 si presentano quando il pencil-beam diffuso cade sullo stessopixel del pencil-beam primario, oppure in direzione opposta, ovvero quando, definito θ l’angolotra il pencil-beam primario e il pencil-beam diffuso, vale θ = 0 o θ = 180.In questi casi infatti si ha che si + di = si+1 + di+1, ovvero vale:

C = µ · (Di −Di+1) = µ · (si + di − (si+1 + di+1)) = 0 (C.26)

Allora la risoluzione dell’integrale lungo il tratto [si+1 − si] puo essere effettuata nel seguentemodo:

SR (si, si+1) = (si+1 − si) · e−µPRDiB+µPRDi+1A ·

B∫A

[σiB − σi+1A+ x (σi+1 − σi)] · exCdx

= (si+1 − si) · e−µPRDiB+µPRDi+1A ·

B∫A

[σiB − σi+1A+ x (σi+1 − σi)] dx

(C.27)

in cui si e considerato solo il caso dello scatter Rayleigh dato che per il caso Compton fisica-mente non e possibile la diffusione nella direzione di propagazione del pencil-beam primario enel caso di θ = 180 l’energia del pencil-beam diffuso non risulta essere la stessa del pencil-beamprimario e quindi anche i coefficienti di attenuazione non saranno gli stessi in modo che C 6= 0.Si definisce allora la quantita η come:

η =

B∫A

[σiB − σi+1A+ x (σi+1 − σi)] dx (C.28)

che integrando risulta essere:

η = (B −A) · (σiB − σi+1A) +(B2 −A2

2

)· (σi+1 − σi) (C.29)

Poiche vale:

B2 −A2 =(

si+1

si+1 − si

)2

−(

sisi+1 − si

)2

=si+1 + sisi+1 − si

(C.30)

il precedente risultato puo essere riscritto come:

η =σisi+1

si+1 − si− σi+1sisi+1 − si

+12·(si+1 + sisi+1 − si

)· (σi+1 − σi) (C.31)

Allora e possibile stimare il contributo dello scatter al primo ordine per un pencil-beamprimario per un intervallo [si+1 − si]:

SR (si, si+1) = e−µPRDiB+µPRDi+1A

[σisi+1 − σi+1si +

12· (si+1 + si) · (σi+1 − σi)

](C.32)

che puo essere riscritto come:

SR (si, si+1) = e−µPRDiB+µPRDi+1A

[(si+1 − si) · (σi+1 + σi)

2

](C.33)


Appendice DRegressione Lineare Multipla edInferenza Statistica

La Regressione Lineare Multipla, anche detta Regressione Lineare Multivariata, e un’e-stensione della regressione lineare semplice in cui esistono molteplici variabili indipendenti.Si utilizza per analizzare l’effetto che le varie variabili indipendenti x1, x2 . . . xk hanno sul-la variabile dipendente y. Quindi per un dato set di variabili indipendenti x1, x2 . . . xk,la regressione lineare multipla stima i parametri che legano le variabili indipendenti a quelladipendente secondo il seguente modello:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + . . . . . .+ βkxk + ε (D.1)

in cui β0 rappresenta l’intercetta della regressione lineare multipla e β1, β2 . . . βk vengonochiamati parametri del modello.Per stimare i parametri del modello si assume che i residui, definiti come:

resi = yi − (β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + . . . . . .+ βkxk) (D.2)

seguano una distribuzione con media nulla e varianza uguale a σ2i . Allora la stima dei parametri

βi viene effettuata attraverso il criterio di massimoverosimiglianza minimizzando il χ2. Per ilcaso della regressione lineare semplice questo coincide con il seguente calcolo:

χ2 =n∑i=1

(yi − yi)2

σ2i

(D.3)

dove σi sono gli errori delle variabili indipendenti misurate. Se queste non sono presenti sipone σi = 1. Per la regressione lineare mutipla le cose si fanno formalmente piu complesse mal’idea di base rimane la stessa. Per un set di n-osservabili e k-predittori si possono stimare iparametri βi con il metodo dei minimi quadrati risolvendo le seguenti equazioni

β0n + β1

∑xn1+ . . . . . .+ βk

∑xnk =

∑yn

β0

∑xn1+ β1

∑x2n1+ . . . . . .+ βk

∑xn1xnk =

∑xn1yn

......

......

...β0

∑xnk+ β1

∑xnkxn1+ . . . . . .+ βk

∑x2nk =

∑xn1yn

(D.4)

Tutto risulta piu comprensibile utilizzando una notazione matriciale. Allora il modello risultaessere semplicemente Y = XB + E dove:

Y =

y1

y2

...yn

X =

1 x11 x12 · · · x1k

1 x21 x22 · · · x2k

......

... · · ·...

1 xn1 xn2 · · · xnk

B =

β1

β2

...βn

E =

ε1

ε2

...εn

(D.5)

200 Regressione Lineare Multipla ed Inferenza Statistica

Allora la stima dei parametri e calcolata come:

B =

β1

β2

...βn

=(XtX

)−1XtY (D.6)

in cui Xt e la matrice trasposta della matrice X. Stimati i parametri come descritto, risultapossibile effettuare un’inferenza statistica sul modello della regressione lineare adottato perverificare le seguenti cose:

• adattamento del modello ai dati

• bonta del modello lineare

• significativita dei parametri stimati

Per effettuare questo vengono stimati i residui, definiti come:

yi − yi = yi −(β0 + β1xi1 + β2xi2 + β3xi3 + . . . . . .+ βkxik

)(D.7)

e la somma del quadrato degli errori risulta essere:

SS (residual) =∑

(yi − yi)2 =∑[

yi −(β0 + β1xi1 + β2xi2 + β3xi3 + . . . . . .+ βkxik

)]2σ2i

(D.8)Dato che ci sono k coefficienti, i gradi di liberta per la somma dei quadrati sono n− (k + 1) equindi si definiscono le deviazioni standard residue sepsilon come:

sε =

√SS (residual)n− (k + 1)

(D.9)

Il coefficiente di determinazione R2, utilizzato per stimare la bonta di adattamento dellaregressione lineare effettuata, viene calcolato come:

R2 =SS(total)− SS(residual)

SS(total)(D.10)

dove SS(total) =∑

(yi − y)2. Tuttavia il parametro da utilizzare per stimare la bontadel modello lineare risulta essere l’R2

adj ovvero il coefficiente di determinazione corretto, perconsiderare i gradi di liberta del sistema:

R2adj = 1−

(1−R2

)· (n− 1)n− (k + 1)

(D.11)

in cui n = numero di osservazioni e k = numero di variabili indipendenti. La deviazionestandard di ogni singolo parametro invece viene calcolata come:

sβρ = sε

√√√√ 1∑(xij − xj)2 ·

(1−R2

xρ

) (D.12)

in cui V e l’R2 calcolato con la xj come variabile dipendente e le altre xi come variabili in-dipendenti. Riassumendo la bonta del modello lineare viene determinata non solo dal valoreassunto dall’R2

adj (0 per un modello pessimo ed 1 per uno perfetto), ma anche dalle singoledeviazioni standard dei singoli parametri e dall’analisi dei residui, che devono presentarsi amedia nulla e con una distribuzione normale attorno a questa media. Questo perche tale e

201

l’andamento che ci si aspetta, pena la non validita delle ipotesi fatte stesse con cui si sonoricavati i parametri del modello lineare. La distribuzione dei residui puo essere descritta inmodo molto sintetico e compatto tramite l’utilizzo dei Box-Plot. Quelli riportati in questa tesisono stati generati con OriginLab 8 e di seguito viene riportata la legenda per una migliorecomprensione dei risultati [31].

Figura D.1: Legenda di un Box-Plot

Una volta valutata, sulla base dell’analisi dei residui, l’adeguatezza del modello di regres-sione lineare multipla, e possibile verificare se ci sia una relazione significativa tra la variabiledipendente e l’insieme delle variabili indipendenti. Dal momento che si e in presenza di piudi una variabile esplicativa, l’ipotesi nulla e quella alternativa vanno specificate nella manieraseguente:

• H0: βi = 0∀ i (Non vi e alcuna relazione lineare tra la variabile dipendente e le variabiliesplicative.)

• H1: almeno βi 6= 0 (Vi e almeno una relazione lineare tra la variabile dipendente e unadelle variabili esplicative.)

Come nel caso del modello di regressione lineare semplice, tale problema di verifica di ipotesiviene risolto ricorrendo al test F. Questo test, utilizato dall’ANOVA restituisce i valori F-valueche vengono poi utilizzati dal test ANOVA per ottenere il p-value relativo alla significativitadel modello lineare. Definito un livello di significativita critica α, che tipicamente risulta essereα = 0, 005, si confronta il p-value restituita dall’ANOVA per il modello adottato; se p−value ≤α allora il modello adottato presenta una confidenza del 95%, mentre se p− value ≥ α allorail modello non e significativo per il 95%. L’accettazione della significativita del modello comesi puo ben capire dipende quindi dal valore α che viene usato nel confronto con il p-value delmodello lineare stesso.Per stimare invece la significativita di ogni singolo parametro ci si riferisce al test t-Studentper ottenere i p-value relativi ai singoli parametri del modello lineare. Anlogamente a quantodetto per la significativita del modello in generale, anche per i parametri singoli, il p-valueviene confrontato con un livello critico che tipicamente e 0.05. Se il p-value del parametro esopra tale livello il parametro stesso puo essere tolto dal modello lineare adottato perche il suocontributo e ininfluente.

202 Regressione Lineare Multipla ed Inferenza Statistica

Appendice EImmagini delle Simulazioni

E.1 Immagini delle varie tipologie di fantoccio

Di seguito vengono inserite le immagini relative a delle simulazioni con le diverse tipologie difantoccio (cilindro, cilindro ellittico, sfera, ellissoide e parallelepipedo) aventi tutte la tipologiadi rivelatore piano.

(a) 3D (b) Piano XY

(c) htbp (d) Piano ZY

Figura E.1: Fantoccio cilindrico

204 Immagini delle Simulazioni

(a) 3D (b) Piano XY

(c) Piano ZX (d) Piano ZY

Figura E.2: Fantoccio cilindrico ellittico

E.1 Immagini delle varie tipologie di fantoccio 205

(a) 3D (b) Piano XY


Figura E.3: Fantoccio sferico


(a) 3D (b) Piano XY


Figura E.4: Fantoccio ellissoide

E.1 Immagini delle varie tipologie di fantoccio 207

(a) 3D (b) Piano XY


Figura E.5: Fantoccio parallelepipedo


E.2 Immagini delle varie tipologie del rivelatore

Si mostrano ora le immagini relative a simulazioni effettuate con diverse tipologie di rive-latore (superficie cilindrica SID, superficie cilindrica IDD e piano) con fantoccio di tipologiacilindrica. Le altre tipologie di rivelatori (lineare a segmento, lineare a corona e puntuale) sonocasi degeneri di queste principali tipologie.

(a) 3D (b) Piano XY


Figura E.6: Rivelatore con superficie cilindrica (SID)

E.2 Immagini delle varie tipologie del rivelatore 209

(a) 3D (b) Piano XY


Figura E.7: Rivelatore con superficie cilindrica (IDD)


(a) 3D (b) Piano XY


Figura E.8: Rivelatore con superficie piana

E.3 Immagini delle varie tipologie di calcolo di simulazione 211

E.3 Immagini delle varie tipologie di calcolo di simula-zione

(a) 3D (b) Piano XY

(c) Piano ZX

Figura E.9: Rivelatore maggiore della base del fascio di Raggi-X


(a) 3D (b) Piano XY

(c) Piano ZX

Figura E.10: Rivelatore minore della base del fascio di Raggi-X; si nota anche il primo puntodiffusore e la radiazione diffusa che cade sul rivelatore stesso

E.3 Immagini delle varie tipologie di calcolo di simulazione 213

(a) 3D (b) Piano XY

(c) Piano ZX

Figura E.11: Esempio di Ray-tracing che non interseca il fantoccio


Appendice FTabella dei Dati necessari alfunzionamento del Software

Vengono di seguito riportate alcune tabelle riguardanti i dati necessari al funzionamentodel Software sviluppato. Non sono stati riportati tutti i dati del database del programma inquanto si e deciso di mostrare solo alcune tabelle a titolo di esempio. Infatti i coefficientimassici e le funzioni di scatter incoerente ed i fattori di forma atomici presenti nei file .xls delsoftware si presentano esattamente in questa forma e sono stati convertiti in questo formato apartire dai formati presenti nei database della libreria EPDL97 e X-COM NIST per permettereall’utente una migliore comprensione ed una rapida verifica dei dati richiesti in fase di input.Vengono riportate le tabelle relative ai coefficienti massici dei principali materiali di interessedosimetrico e a titolo di esempio le tabelle relative alla funzione di scatter incoerente ed ilfattore di forma atomico delli idorgeno e del carbonio.Tutti i dati relativi ad altri materiali ed elementi sono tuttavia reperibili in [29] e [30].

216 Tabella dei Dati necessari al funzionamento del Software

Aria Secca Acqua LiquidaEnergia µ/ρ (µ/ρ)en Energia µ/ρ (µ/ρ)en[MeV ] [cm2/g] [cm2/g] [MeV ] [cm2/g] [cm2/g]

1,00E-03 3,6060E+03 3,5990E+03 1,00E-03 4,08E+03 4,07E+031,50E-03 1,1910E+03 1,1880E+03 1,50E-03 1,38E+03 1,37E+032,00E-03 5,2790E+02 5,2620E+02 2,00E-03 6,17E+02 6,15E+023,00E-03 1,6250E+02 1,6140E+02 3,00E-03 1,93E+02 1,92E+023,20E-03 1,3400E+02 1,3300E+02 4,00E-03 8,28E+01 8,19E+013,20E-03 1,4850E+02 1,4600E+02 5,00E-03 4,26E+01 4,19E+014,00E-03 7,7880E+01 7,6360E+01 6,00E-03 2,46E+01 2,41E+015,00E-03 4,0270E+01 3,9310E+01 8,00E-03 1,04E+01 9,92E+006,00E-03 2,3410E+01 2,2700E+01 1,00E-02 5,33E+00 4,94E+008,00E-03 9,9210E+00 9,4460E+00 1,50E-02 1,67E+00 1,37E+001,00E-02 5,1200E+00 4,7420E+00 2,00E-02 8,10E-01 5,50E-011,50E-02 1,6140E+00 1,3340E+00 3,00E-02 3,76E-01 1,56E-012,00E-02 7,7790E-01 5,3890E-01 4,00E-02 2,68E-01 6,95E-023,00E-02 3,5380E-01 1,5370E-01 5,00E-02 2,27E-01 4,22E-024,00E-02 2,4850E-01 6,8330E-02 6,00E-02 2,06E-01 3,19E-025,00E-02 2,0800E-01 4,0980E-02 8,00E-02 1,84E-01 2,60E-026,00E-02 1,8750E-01 3,0410E-02 1,00E-01 1,71E-01 2,55E-028,00E-02 1,6620E-01 2,4070E-02 1,50E-01 1,51E-01 2,76E-021,00E-01 1,5410E-01 2,3250E-02 2,00E-01 1,37E-01 2,97E-021,50E-01 1,3560E-01 2,4960E-02 3,00E-01 1,19E-01 3,19E-022,00E-01 1,2330E-01 2,6720E-02 4,00E-01 1,06E-01 3,28E-023,00E-01 1,0670E-01 2,8720E-02 5,00E-01 9,69E-02 3,30E-024,00E-01 9,5490E-02 2,9490E-02 6,00E-01 8,96E-02 3,28E-025,00E-01 8,7120E-02 2,9660E-02 8,00E-01 7,87E-02 3,21E-026,00E-01 8,0550E-02 2,9530E-02 1,00E+00 7,07E-02 3,10E-028,00E-01 7,0740E-02 2,8820E-02 1,25E+00 6,32E-02 2,97E-021,00E+00 6,3580E-02 2,7890E-02 1,50E+00 5,75E-02 2,83E-021,25E+00 5,6870E-02 2,6660E-02 2,00E+00 4,94E-02 2,61E-021,50E+00 5,1750E-02 2,5470E-02 3,00E+00 3,97E-02 2,28E-022,00E+00 4,4470E-02 2,3450E-02 4,00E+00 3,40E-02 2,00E-023,00E+00 3,5810E-02 2,0570E-02 5,00E+00 3,03E-02 1,84E-024,00E+00 3,0790E-02 1,8700E-02 6,00E+00 2,77E-02 1,73E-025,00E+00 2,7510E-02 1,7400E-02 8,00E+00 2,43E-02 1,58E-026,00E+00 2,5220E-02 1,6470E-02 1,00E+01 2,22E-02 1,48E-028,00E+00 2,2250E-02 1,5250E-02 1,50E+01 1,94E-02 1,35E-021,00E+01 2,0450E-02 1,4500E-02 2,00E+01 1,81E-02 1,28E-021,50E+01 1,8100E-02 1,3530E-022,00E+01 1,7050E-02 1,3110E-02

217

Polimetimetacrilato Tessuto-Osseo B-100Energia µ/ρ (µ/ρ)en Energia µ/ρ (µ/ρ)en[MeV ] [cm2/g] [cm2/g] [MeV ] [cm2/g] [cm2/g]

1,000E-03 2,794E+03 2,788E+03 1,00E-03 3,21E+03 3,20E+031,500E-03 9,153E+02 9,131E+02 1,50E-03 1,08E+03 1,08E+032,000E-03 4,037E+02 4,024E+02 2,00E-03 4,88E+02 4,86E+023,000E-03 1,236E+02 1,228E+02 3,00E-03 1,54E+02 1,53E+024,000E-03 5,247E+01 5,181E+01 4,00E-03 6,72E+01 6,62E+015,000E-03 2,681E+01 2,627E+01 4,04E-03 6,54E+01 6,44E+016,000E-03 1,545E+01 1,498E+01 4,04E-03 2,25E+02 2,01E+028,000E-03 6,494E+00 6,114E+00 5,00E-03 1,30E+02 1,18E+021,000E-02 3,357E+00 3,026E+00 6,00E-03 7,94E+01 7,29E+011,500E-02 1,101E+00 8,324E-01 8,00E-03 3,62E+01 3,36E+012,000E-02 5,714E-01 3,328E-01 1,00E-02 1,94E+01 1,81E+013,000E-02 3,032E-01 9,645E-02 1,50E-02 6,22E+00 5,69E+004,000E-02 2,350E-01 4,599E-02 2,00E-02 2,80E+00 2,45E+005,000E-02 2,074E-01 3,067E-02 3,00E-02 9,75E-01 7,34E-016,000E-02 1,924E-01 2,530E-02 4,00E-02 5,18E-01 3,12E-018,000E-02 1,751E-01 2,302E-02 5,00E-02 3,51E-01 1,65E-011,000E-01 1,641E-01 2,368E-02 6,00E-02 2,74E-01 1,01E-011,500E-01 1,456E-01 2,657E-02 8,00E-02 2,08E-01 5,37E-022,000E-01 1,328E-01 2,872E-02 1,00E-01 1,79E-01 3,86E-023,000E-01 1,152E-01 3,099E-02 1,50E-01 1,48E-01 3,03E-024,000E-01 1,031E-01 3,185E-02 2,00E-01 1,33E-01 2,98E-025,000E-01 9,410E-02 3,206E-02 3,00E-01 1,14E-01 3,08E-026,000E-01 8,701E-02 3,191E-02 4,00E-01 1,01E-01 3,14E-028,000E-01 7,641E-02 3,116E-02 5,00E-01 9,23E-02 3,15E-021,000E+00 6,870E-02 3,015E-02 6,00E-01 8,53E-02 3,13E-021,250E+00 6,143E-02 2,882E-02 8,00E-01 7,48E-02 3,05E-021,500E+00 5,591E-02 2,755E-02 1,00E+00 6,72E-02 2,95E-022,000E+00 4,796E-02 2,533E-02 1,25E+00 6,01E-02 2,82E-023,000E+00 3,844E-02 2,210E-02 1,50E+00 5,47E-02 2,69E-024,000E+00 3,286E-02 1,995E-02 2,00E+00 4,71E-02 2,48E-025,000E+00 2,919E-02 1,843E-02 3,00E+00 3,80E-02 2,18E-026,000E+00 2,659E-02 1,731E-02 4,00E+00 3,28E-02 1,99E-028,000E+00 2,317E-02 1,579E-02 5,00E+00 2,94E-02 1,86E-021,000E+01 2,105E-02 1,482E-02 6,00E+00 2,70E-02 1,77E-021,500E+01 1,820E-02 1,348E-02 8,00E+00 2,40E-02 1,64E-022,000E+01 1,684E-02 1,282E-02 1,00E+01 2,22E-02 1,57E-02

1,50E+01 1,99E-02 1,48E-022,00E+01 1,89E-02 1,44E-02


Tessuto-Polmonare Tessuto-Osseo-CorticaleEnergia µ/ρ (µ/ρ)en Energia µ/ρ (µ/ρ)en[MeV ] [cm2/g] [cm2/g] [MeV ] [cm2/g] [cm2/g]

1,00E-03 3,80E+03 3,79E+03 1,00E-03 3,71E+03 3,70E+031,04E-03 3,47E+03 3,46E+03 1,04E-03 3,39E+03 3,38E+031,07E-03 3,16E+03 3,16E+03 1,07E-03 3,09E+03 3,08E+031,07E-03 3,18E+03 3,17E+03 1,07E-03 3,10E+03 3,09E+031,50E-03 1,28E+03 1,28E+03 1,50E-03 1,25E+03 1,25E+032,00E-03 5,75E+02 5,73E+02 2,00E-03 5,60E+02 5,58E+022,15E-03 4,71E+02 4,69E+02 2,15E-03 4,58E+02 4,57E+022,15E-03 4,75E+02 4,73E+02 2,15E-03 4,65E+02 4,63E+022,30E-03 3,88E+02 3,87E+02 2,30E-03 3,80E+02 3,78E+022,47E-03 3,17E+02 3,15E+02 2,47E-03 3,10E+02 3,09E+022,47E-03 3,23E+02 3,21E+02 2,47E-03 3,16E+02 3,14E+022,64E-03 2,67E+02 2,65E+02 2,64E-03 2,61E+02 2,59E+022,82E-03 2,20E+02 2,19E+02 2,82E-03 2,16E+02 2,14E+022,82E-03 2,25E+02 2,23E+02 2,82E-03 2,19E+02 2,17E+023,00E-03 1,89E+02 1,87E+02 3,00E-03 1,84E+02 1,82E+023,61E-03 1,10E+02 1,09E+02 3,61E-03 1,07E+02 1,06E+023,61E-03 1,13E+02 1,11E+02 3,61E-03 1,11E+02 1,09E+024,00E-03 8,31E+01 8,18E+01 4,00E-03 8,16E+01 8,03E+015,00E-03 4,30E+01 4,21E+01 5,00E-03 4,22E+01 4,14E+016,00E-03 2,50E+01 2,43E+01 6,00E-03 2,46E+01 2,39E+018,00E-03 1,06E+01 1,01E+01 8,00E-03 1,04E+01 9,94E+001,00E-02 5,46E+00 5,07E+00 1,00E-02 5,38E+00 4,99E+001,50E-02 1,72E+00 1,42E+00 1,50E-02 1,70E+00 1,40E+002,00E-02 8,32E-01 5,74E-01 2,00E-02 8,23E-01 5,66E-013,00E-02 3,82E-01 1,64E-01 3,00E-02 3,79E-01 1,62E-014,00E-02 2,70E-01 7,29E-02 4,00E-02 2,69E-01 7,22E-025,00E-02 2,27E-01 4,39E-02 5,00E-02 2,26E-01 4,36E-026,00E-02 2,05E-01 3,28E-02 6,00E-02 2,05E-01 3,26E-028,00E-02 1,83E-01 2,63E-02 8,00E-02 1,82E-01 2,62E-021,00E-01 1,70E-01 2,55E-02 1,00E-01 1,69E-01 2,55E-021,50E-01 1,49E-01 2,75E-02 1,50E-01 1,49E-01 2,75E-022,00E-01 1,36E-01 2,95E-02 2,00E-01 1,36E-01 2,94E-023,00E-01 1,18E-01 3,17E-02 3,00E-01 1,18E-01 3,16E-024,00E-01 1,05E-01 3,25E-02 4,00E-01 1,05E-01 3,25E-025,00E-01 9,61E-02 3,27E-02 5,00E-01 9,60E-02 3,27E-026,00E-01 8,88E-02 3,26E-02 6,00E-01 8,87E-02 3,25E-028,00E-01 7,80E-02 3,18E-02 8,00E-01 7,79E-02 3,18E-021,00E+00 7,01E-02 3,08E-02 1,00E+00 7,01E-02 3,07E-021,25E+00 6,27E-02 2,94E-02 1,25E+00 6,27E-02 2,94E-021,50E+00 5,71E-02 2,81E-02 1,50E+00 5,70E-02 2,81E-022,00E+00 4,90E-02 2,59E-02 2,00E+00 4,90E-02 2,58E-023,00E+00 3,94E-02 2,26E-02 3,00E+00 3,93E-02 2,26E-02

4,00E+00 3,37E-02 2,05E-025,00E+00 3,00E-02 1,90E-026,00E+00 2,74E-02 1,79E-028,00E+00 2,40E-02 1,64E-021,00E+01 2,19E-02 1,55E-021,50E+01 1,92E-02 1,42E-022,00E+01 1,79E-02 1,36E-02

219

H(Idrogeno) C(Carbonio)X S(X,Z) X F(X,Z) X S(X,Z) X F(X,Z)1,00E+01 4,41E-13 0,00E+00 1,00E+00 1,00E+01 1,30E-12 0,00E+00 6,00E+001,00E+02 4,41E-11 1,00E+05 1,00E+00 1,00E+02 1,30E-10 1,00E+05 6,00E+001,00E+03 4,41E-09 5,00E+05 9,99E-01 1,00E+03 1,30E-08 5,00E+05 6,00E+001,00E+04 4,41E-07 1,00E+06 9,98E-01 1,00E+04 1,30E-06 6,25E+05 6,00E+001,00E+05 4,41E-05 1,50E+06 9,95E-01 1,00E+05 1,30E-04 7,19E+05 5,99E+005,00E+05 1,10E-03 2,00E+06 9,91E-01 5,00E+05 3,25E-03 8,15E+05 5,99E+001,00E+06 4,41E-03 2,50E+06 9,86E-01 6,25E+05 5,07E-03 8,81E+05 5,99E+001,50E+06 9,89E-03 3,00E+06 9,80E-01 7,19E+05 6,71E-03 9,60E+05 5,99E+002,00E+06 1,75E-02 3,75E+06 9,70E-01 8,15E+05 8,64E-03 1,00E+06 5,99E+002,50E+06 2,72E-02 4,00E+06 9,66E-01 8,81E+05 1,01E-02 1,50E+06 5,98E+003,00E+06 3,88E-02 4,75E+06 9,52E-01 9,60E+05 1,20E-02 2,00E+06 5,96E+003,75E+06 5,98E-02 5,00E+06 9,47E-01 1,00E+06 1,30E-02 2,25E+06 5,95E+004,00E+06 6,77E-02 5,88E+06 9,28E-01 1,50E+06 2,95E-02 2,50E+06 5,94E+004,75E+06 9,38E-02 6,63E+06 9,10E-01 2,00E+06 5,16E-02 3,00E+06 5,91E+005,00E+06 1,03E-01 7,00E+06 9,00E-01 2,25E+06 6,52E-02 3,50E+06 5,88E+005,88E+06 1,39E-01 7,88E+06 8,76E-01 2,50E+06 8,05E-02 4,00E+06 5,84E+006,63E+06 1,73E-01 8,00E+06 8,72E-01 3,00E+06 1,16E-01 4,75E+06 5,78E+007,00E+06 1,90E-01 8,63E+06 8,54E-01 3,50E+06 1,56E-01 5,00E+06 5,75E+007,88E+06 2,33E-01 9,00E+06 8,42E-01 4,00E+06 2,02E-01 5,50E+06 5,70E+008,00E+06 2,39E-01 9,75E+06 8,19E-01 4,75E+06 2,80E-01 6,00E+06 5,65E+008,63E+06 2,71E-01 1,00E+07 8,11E-01 5,00E+06 3,09E-01 6,25E+06 5,62E+009,00E+06 2,90E-01 1,06E+07 7,90E-01 5,50E+06 3,69E-01 7,00E+06 5,54E+009,75E+06 3,29E-01 1,16E+07 7,59E-01 6,00E+06 4,32E-01 8,00E+06 5,41E+001,00E+07 3,43E-01 1,25E+07 7,27E-01 6,25E+06 4,65E-01 9,00E+06 5,27E+001,06E+07 3,75E-01 1,36E+07 6,89E-01 7,00E+06 5,69E-01 9,75E+06 5,16E+001,16E+07 4,24E-01 1,45E+07 6,57E-01 8,00E+06 7,17E-01 1,00E+07 5,12E+001,25E+07 4,71E-01 1,50E+07 6,41E-01 9,00E+06 8,76E-01 1,06E+07 5,03E+001,36E+07 5,25E-01 1,61E+07 6,04E-01 9,75E+06 9,98E-01 1,13E+07 4,94E+001,45E+07 5,68E-01 1,70E+07 5,73E-01 1,00E+07 1,04E+00 1,16E+07 4,89E+001,50E+07 5,89E-01 1,75E+07 5,58E-01 1,06E+07 1,14E+00 1,22E+07 4,79E+001,61E+07 6,35E-01 1,88E+07 5,19E-01 1,13E+07 1,24E+00 1,25E+07 4,74E+001,70E+07 6,71E-01 2,00E+07 4,81E-01 1,16E+07 1,29E+00 1,38E+07 4,54E+001,75E+07 6,89E-01 2,13E+07 4,45E-01 1,22E+07 1,40E+00 1,50E+07 4,33E+001,88E+07 7,31E-01 2,22E+07 4,19E-01 1,25E+07 1,45E+00 1,63E+07 4,13E+002,00E+07 7,69E-01 2,29E+07 4,01E-01 1,38E+07 1,66E+00 1,75E+07 3,94E+002,13E+07 8,02E-01 2,36E+07 3,83E-01 1,50E+07 1,87E+00 1,88E+07 3,75E+002,22E+07 8,24E-01 2,43E+07 3,66E-01 1,63E+07 2,06E+00 1,94E+07 3,66E+002,29E+07 8,39E-01 2,50E+07 3,50E-01 1,75E+07 2,25E+00 2,00E+07 3,58E+002,36E+07 8,53E-01 2,63E+07 3,22E-01 1,88E+07 2,43E+00 2,13E+07 3,41E+002,43E+07 8,66E-01 2,72E+07 3,03E-01 1,94E+07 2,52E+00 2,22E+07 3,29E+002,50E+07 8,78E-01 2,79E+07 2,89E-01 2,00E+07 2,60E+00 2,31E+07 3,17E+002,63E+07 8,96E-01 2,91E+07 2,67E-01 2,13E+07 2,77E+00 2,50E+07 2,96E+002,72E+07 9,08E-01 2,93E+07 2,63E-01 2,22E+07 2,88E+00 2,72E+07 2,74E+002,79E+07 9,16E-01 3,00E+07 2,51E-01 2,31E+07 2,99E+00 2,91E+07 2,58E+002,91E+07 9,28E-01 3,18E+07 2,23E-01 2,50E+07 3,20E+00 3,00E+07 2,50E+002,93E+07 9,31E-01 3,25E+07 2,13E-01 2,72E+07 3,41E+00 3,25E+07 2,32E+003,00E+07 9,37E-01 3,33E+07 2,02E-01 2,91E+07 3,57E+00 3,44E+07 2,21E+003,18E+07 9,50E-01 3,50E+07 1,81E-01 3,00E+07 3,64E+00 3,72E+07 2,07E+00


3,25E+07 9,55E-01 3,63E+07 1,66E-01 3,25E+07 3,81E+00 3,81E+07 2,03E+003,33E+07 9,59E-01 3,68E+07 1,61E-01 3,44E+07 3,92E+00 4,00E+07 1,95E+003,50E+07 9,67E-01 3,89E+07 1,40E-01 3,72E+07 4,07E+00 4,25E+07 1,87E+003,63E+07 9,72E-01 4,00E+07 1,30E-01 3,81E+07 4,11E+00 4,50E+07 1,80E+003,68E+07 9,74E-01 4,25E+07 1,11E-01 4,00E+07 4,18E+00 4,63E+07 1,77E+003,89E+07 9,80E-01 4,44E+07 9,91E-02 4,25E+07 4,27E+00 5,00E+07 1,69E+004,00E+07 9,83E-01 4,50E+07 9,53E-02 4,50E+07 4,35E+00 5,50E+07 1,60E+004,25E+07 9,88E-01 4,72E+07 8,35E-02 4,63E+07 4,38E+00 6,00E+07 1,54E+004,44E+07 9,90E-01 5,00E+07 7,06E-02 5,00E+07 4,48E+00 7,00E+07 1,42E+004,50E+07 9,91E-01 5,25E+07 6,11E-02 5,50E+07 4,59E+00 7,75E+07 1,35E+004,72E+07 9,93E-01 5,63E+07 4,94E-02 6,00E+07 4,69E+00 8,00E+07 1,32E+005,00E+07 9,95E-01 6,00E+07 4,03E-02 7,00E+07 4,88E+00 8,50E+07 1,27E+005,25E+07 9,96E-01 6,50E+07 3,11E-02 7,75E+07 5,01E+00 9,00E+07 1,22E+005,63E+07 9,98E-01 7,00E+07 2,43E-02 8,00E+07 5,05E+00 9,50E+07 1,16E+006,00E+07 9,98E-01 7,50E+07 1,92E-02 8,50E+07 5,13E+00 1,00E+08 1,11E+006,50E+07 9,99E-01 8,00E+07 1,53E-02 9,00E+07 5,21E+00 1,06E+08 1,05E+007,00E+07 9,99E-01 8,75E+07 1,12E-02 9,50E+07 5,28E+00 1,11E+08 1,00E+007,50E+07 1,00E+00 9,00E+07 1,01E-02 1,00E+08 5,35E+00 1,18E+08 9,31E-018,00E+07 1,00E+00 1,00E+08 6,88E-03 1,06E+08 5,43E+00 1,19E+08 9,24E-018,75E+07 1,00E+00 1,13E+08 4,45E-03 1,11E+08 5,48E+00 1,25E+08 8,65E-019,00E+07 1,00E+00 1,25E+08 2,99E-03 1,18E+08 5,55E+00 1,31E+08 8,08E-011,00E+08 1,00E+00 1,44E+08 1,76E-03 1,19E+08 5,56E+00 1,39E+08 7,39E-011,13E+08 1,00E+00 1,50E+08 1,49E-03 1,25E+08 5,62E+00 1,44E+08 7,04E-011,25E+08 1,00E+00 1,75E+08 8,23E-04 1,31E+08 5,66E+00 1,46E+08 6,83E-011,44E+08 1,00E+00 2,00E+08 4,89E-04 1,39E+08 5,72E+00 1,50E+08 6,57E-011,50E+08 1,00E+00 2,50E+08 2,04E-04 1,44E+08 5,75E+00 1,59E+08 5,93E-011,75E+08 1,00E+00 3,00E+08 9,90E-05 1,46E+08 5,76E+00 1,67E+08 5,44E-012,00E+08 1,00E+00 3,50E+08 5,37E-05 1,50E+08 5,78E+00 1,75E+08 4,95E-012,50E+08 1,00E+00 4,00E+08 3,16E-05 1,59E+08 5,82E+00 1,75E+08 4,94E-013,00E+08 1,00E+00 5,00E+08 1,30E-05 1,67E+08 5,85E+00 1,84E+08 4,47E-013,50E+08 1,00E+00 6,00E+08 6,28E-06 1,75E+08 5,88E+00 1,95E+08 3,95E-014,00E+08 1,00E+00 7,00E+08 3,40E-06 1,75E+08 5,88E+00 2,00E+08 3,72E-015,00E+08 1,00E+00 8,00E+08 1,99E-06 1,84E+08 5,90E+00 2,13E+08 3,23E-016,00E+08 1,00E+00 1,00E+09 8,17E-07 1,95E+08 5,92E+00 2,22E+08 2,91E-017,00E+08 1,00E+00 1,50E+09 1,62E-07 2,00E+08 5,93E+00 2,36E+08 2,50E-018,00E+08 1,00E+00 2,00E+09 5,11E-08 2,13E+08 5,95E+00 2,50E+08 2,15E-011,00E+09 1,00E+00 5,00E+09 1,31E-09 2,22E+08 5,96E+00 2,63E+08 1,88E-011,50E+09 1,00E+00 8,00E+09 2,00E-10 2,36E+08 5,97E+00 2,81E+08 1,55E-012,00E+09 1,00E+00 1,00E+10 8,18E-11 2,50E+08 5,98E+00 3,00E+08 1,29E-015,00E+09 1,00E+00 1,00E+11 8,18E-15 2,63E+08 5,98E+00 3,22E+08 1,04E-018,00E+09 1,00E+00 1,00E+14 8,18E-27 2,81E+08 5,99E+00 3,41E+08 8,76E-021,00E+10 1,00E+00 1,00E+17 8,18E-39 3,00E+08 5,99E+00 3,50E+08 8,05E-021,00E+11 1,00E+00 3,22E+08 5,99E+00 3,75E+08 6,45E-021,00E+14 1,00E+00 3,41E+08 6,00E+00 4,00E+08 5,22E-021,00E+17 1,00E+00 3,50E+08 6,00E+00 4,25E+08 4,26E-02

3,75E+08 6,00E+00 4,63E+08 3,19E-024,00E+08 6,00E+00 5,00E+08 2,43E-024,25E+08 6,00E+00 5,50E+08 1,73E-024,63E+08 6,00E+00 6,00E+08 1,27E-025,00E+08 6,00E+00 6,75E+08 8,19E-035,50E+08 6,00E+00 7,00E+08 7,15E-036,00E+08 6,00E+00 8,00E+08 4,32E-03

221

6,75E+08 6,00E+00 9,00E+08 2,76E-037,00E+08 6,00E+00 1,00E+09 1,84E-038,00E+08 6,00E+00 1,22E+09 8,52E-049,00E+08 6,00E+00 1,50E+09 3,78E-041,00E+09 6,00E+00 2,00E+09 1,22E-041,22E+09 6,00E+00 5,00E+09 3,24E-061,50E+09 6,00E+00 7,25E+09 7,47E-072,00E+09 6,00E+00 8,00E+09 5,07E-075,00E+09 6,00E+00 1,00E+10 2,11E-077,25E+09 6,00E+00 1,27E+10 8,29E-088,00E+09 6,00E+00 1,56E+10 3,76E-081,00E+10 6,00E+00 2,01E+10 1,41E-081,27E+10 6,00E+00 2,41E+10 7,04E-091,56E+10 6,00E+00 2,88E+10 3,55E-092,01E+10 6,00E+00 3,54E+10 1,63E-092,41E+10 6,00E+00 4,35E+10 7,53E-102,88E+10 6,00E+00 5,36E+10 3,46E-103,54E+10 6,00E+00 6,21E+10 2,01E-104,35E+10 6,00E+00 7,57E+10 9,82E-115,36E+10 6,00E+00 8,78E+10 5,73E-116,21E+10 6,00E+00 1,00E+11 3,60E-117,57E+10 6,00E+00 1,17E+11 2,05E-118,78E+10 6,00E+00 1,37E+11 1,19E-111,00E+11 6,00E+00 1,71E+11 5,49E-121,17E+11 6,00E+00 2,05E+11 2,93E-121,37E+11 6,00E+00 2,52E+11 1,44E-121,71E+11 6,00E+00 3,36E+11 5,51E-132,05E+11 6,00E+00 4,68E+11 1,83E-132,52E+11 6,00E+00 6,33E+11 6,84E-143,36E+11 6,00E+00 1,04E+12 1,42E-144,68E+11 6,00E+00 1,59E+12 3,70E-156,33E+11 6,00E+00 3,03E+12 5,06E-161,04E+12 6,00E+00 7,27E+12 3,64E-171,59E+12 6,00E+00 2,70E+13 7,67E-193,03E+12 6,00E+00 1,00E+14 1,66E-207,27E+12 6,00E+00 5,62E+14 1,01E-222,70E+13 6,00E+00 5,42E+15 1,13E-251,00E+14 6,00E+00 1,00E+17 1,68E-295,62E+14 6,00E+005,42E+15 6,00E+001,00E+17 6,00E+00


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Ringraziamenti

Giunto al termine di questo lavoro desidero ringraziare ed esprimere la mia riconoscenzanei confronti di tutte le persone che, in modi diversi, mi sono state vicine e hanno permessoe incoraggiato sia i miei studi che la realizzazione e stesura di questa tesi. I miei piu sentitiringraziamenti vanno a chi mi ha seguito durante la redazione del lavoro di tesi:

• Prof. Aldo Valentini che con la sua disponibilita, pazienza e cortesia mi ha permesso discrivere questo lavoro di tesi, mostrandosi un persona eccezionale, non solo da un puntodi vista lavorativo ma anche umano. Grazie Professore, veramente di cuore, per averdedicato tempo a questa tesi ed essere stato esempio e guida per il mio lavoro.

• Prof. Renzo Antolini che con pazienza e consigli mi ha seguito nella stesura e presenta-zione di questa tesi.

Desidero ringraziare anche tutto il reparto di Fisica Sanitaria dell’Ospedale S.Chiara di Trentoche quotidianamente ho disturbato e dove ho trovato persone disponibili, gentili e competenti.Con loro mi sono trovato veramente bene.Per ultimi, ma di certo non per importanza, ringrazio la mia famiglia, Elena e gli amici chemi sono stati molto vicini in tutti questi anni: oltre ad avermi sempre supportato mi hannopiu di tutto sopportato.

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Valutazione della dose assorbita dal paziente in