Variacion de g

7/27/2019 Variacion de g

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FISICA Y QUÍMICA TEMA-8

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Variación de la aceleración de la gravedad g con el radio r

(http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/gravedad1/gravedad1.htm)

La variación de la densidad de la Tierra con el radio es bien conocida. La densidad aumenta al

disminuir el radio, experimentando un cambio brusco para r c=3490 km o r c /R=0.548. El interior de

la Tierra se divide en dos partes: el núcleo una esfera de radio r c y el manto, una capa esférica de

radio interior r c y exterior R.

Una de las consecuencias más sorprendentes es que, la aceleración de la gravedad aumenta con la

profundidad hasta alcanzar un máximo y luego, disminuye.

Vamos a estudiar un modelo de Tierra que consta de un núcleo de radio r c=3490 km y densidad

constante ρc=11.0 g/cm3 y un manto de radio interior r c y radio exterior R=6371 km de densidad

constante ρm=4.437 g/cm3.

Naturalmente, ρc, ρm y la densidad media ρ=5.517 g/cm3 están relacionadas mediante la ecuación

Primero demostramos que la aceleración de la gravedad g en un punto P en el interior de una

distribución esférica de masa, se debe solamente a la masa contenida en la esfera de radio r<R, y se

calcula mediante la fórmula

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/gravedad1/gravedad1.htm







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A. ACELERACIÓN DE LA GRAVEDADLa aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r de la masa

puntual M se define como la fuerza sobre la unidad de masa, situada en dicho punto. Es un

vector de módulo, con dirección radial, y sentido hacia la masa puntual M , tal como se

muestra en la figura.

Vamos a calcular la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de

una distribución esférica y uniforme de masa de radio R.

El punto P está en el exterior de la esfera de radio R .

Supongamos que el punto P está situado a una distancia r>R a lo largo del eje Z del centro de un

planeta de masa M . Dividimos la esfera en discos (de color azul claro) de radio variable y de

espesor dz , tal como se muestra en la figura. Para calcular la fuerza que ejerce uno de estos discos

sobre la unidad de masa situada en P, dividimos cada disco en anillos (en color amarillo) de radio x,

de anchura dx y espesor dz .

Por simetría, como vemos en la figura, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la

fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo (considerados como masas puntuales, en color

rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la componente Z de la fuerza resultante queejerce la masa contenida en el anillo.

Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en

el anillo es ρ·(2π x·dx)·dz. La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la

sobre la unidad de masa situada en P es

Integramos respecto de la variable x, entre los límites 0 e y para calcular resultante de las fuerzas enP debidas a la distribución de masa contenida por el disco de radio y y de espesor dz .




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Relacionamos la variable y y z para integrar respecto de la variable z entre los límites – R y +R

z 2+y2=R2

La aceleración de la gravedad en el punto P, se obtendrá integrando

Integrando por partes el tercer término entre paréntesis

En vez de dividir la esfera en discos de radio variable y y espesor dz , podemos dividir la esfera en

capas esféricas concéntricas de radio x y de espesor dx.

Dicha capa la dividimos en anillos. Por simetría, como vemos en la figura, las componentes

horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo

(considerados como masas puntuales, en color rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la

componente Z de la fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo.




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el anillo es ρ·(2π xsenθ )·( x·dθ )·dx. La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo

sobre la sobre la unidad de masa situada en P

Integramos respecto de la variable θ , entre los límites 0 y π para calcular la fuerza sobre la unidad

de masa situada en P ejercida por la distribución de masa contenida en la capa esférica de radio x y

d espesor dx.

La primera integral es inmediata, integramos por partes la segunda. El resultado es

Esta expresión nos da la aceleración de la gravedad producida

por una capa esférica de radio x y de espesor dx en un punto P

situado a una distancia r>x del centro de la capa esférica.

Calculamos la fuerza ejercida por la esfera de masa M sobre la unidad de masa situada en P,

sumando la fuerza que ejerce cada una de las capas esféricas en la que hemos dividido la esfera. Elmódulo de la aceleración de la gravedad vale.




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Si tenemos en cuenta que el vector g apunta hacia el centro

de la Tierra

El punto P está en el interior de la esfera de radio R .

El punto P está a una distancia r<R del centro de la esfera.

Dividimos la esfera en dos, una esfera hueca de radio interior r y

radio exterior R. y una esfera maciza de radio r .

Fuerza que ejerce la esfera interior

La fuerza que ejerce la distribución de masa contenida en la esfera maciza de radio r sobre la unidad

de masa situada en el punto P a una distancia r del centro, la hemos calculado en el

apartado anterior, solamente hemos de cambiar el límite superior de la integral R por r .

Volvemos a calcular la fuerza que ejerce una capa esférica de radio r<x<R y de espesor dx, sobre la

unidad de masa situada en P. Ahora bien, la fuerza en P debida a la masa contenida en los anillos

que está por encima de P tiene la dirección del eje Z y sentido positivo, mientras que la fuerza en P

debida a los anillos que están por debajo de P tiene la misma dirección pero sentido contrario.

Porción de la capa esférica por encima de P




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Integramos respecto de la variable θ , entre los límites 0 y θ p=arccos(r/x) para

calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la porción

de capa esférica de radio x y de espesor dx que está por encima de P.

La segunda integral es inmediata, integramos la primera por partes. El resultado es

Porción de la capa esférica por debajo de P







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Integramos respecto de la variable θ , entre los límites θ p=arccos(r/x) y π para calcular la fuerza

sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la distribución de masa contenida en la capaesférica de radio x y d espesor dx.

La primera integral es inmediata, integramos la segunda por partes. El resultado es

Como la fuerza ejercida en P por la distribución de masa

contenida en la parte de al capa semiesférica que está por

encima de P y la fuerza ejercida en P por la distribución de

masa contenida en por la parte de la capa semiesférica que está

por debajo de P tienen el mismo valor pero signos contrarios.

La fuerza neta en P debida a la capa semiesférica completa de

radio x y de espesor dx es cero.

Por tanto, la fuerza ejercida sobre la unidad de masa situada en P por la distribución de masa

contenida en la esfera hueca de radio interior r y exterior R es cero.

La fuerza ejercida sobre la unidad de masa situada en P

a una distancia r del centro de la esfera de radio R,

solamente es debida a la distribución de masa

contenida en la esfera maciza de radio r<R




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Si tenemos en cuenta que el vector g apunta hacia el centro de la Tierra

r<R

La aceleración de la gravedad g aumenta linealmente de 0 a GM/R2, en el interior de unadistribución esférica y uniforme de masa M y radio R. En el exterior de dicha distribución, la

aceleración de la gravedad disminuye en proporción inversa al cuadrado de la distancia al centro de

dicha distribución GM/r 2

En la figura, se muestra la gráfica del módulo de la aceleración de la gravedad g en función del

cociente r/R para el planeta Tierra,G=6.67·10-11 Nm2/kg2, R=6.37·106 m, M =5.98·1024 kg. La

aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra vale g =9.83 m/s2




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B. VARIACIÓN DE g CON EL RADIO DE LA TIERRAVeamos ahora como es la variación de g con el radio r:

La aceleración de la gravedad en un punto situado en el interior del núcleo r<r c

g =19.577 (r/R) m/s2

La aceleración de la gravedad en un punto situado en el interior del manto r c<r<R

g =1.920( R/r )2+7.898(r/R) m/s2

La aceleración de la gravedad en un punto situado en el exterior de la Tierra r>R

g =9.82( R/r )2 m/s2

En la figura, se muestra la dependencia del módulo de g con el cociente r/R y se compara con el

valor de g en función de (r/R) suponiendo la Tierra homogénea (variación lineal), de densidad

constante e igual a la densidad media

La aceleración de la gravedad crece linealmente con el radio r , en el núcleo para r<r c. En el

manto g varía relativamente poco, disminuyendo al principio y aumentando al final, tal como vemos

con más detalle en la figura inferior.




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Calculamos el valor mínimo de la aceleración de la gravedad en el manto, derivando g con respecto

de r e igualando a cero.

En una primera aproximación, podemos tomar la aceleración de la gravedad en el manto (recta

horizontal) como constante e igual al siguiente valor medio

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