VẬT LÝ CHẤT RẮN - iop.vast.ac.vnnvthanh/cours/vatlychatran/CH6 Khi Fermi dien tu tu do.pdf · hamiltonian có dạng ... Trong cơ học lượng tử, xung lượng tuyến

VẬT LÝ CHẤT RẮN

TS. Ngô Văn Thanh

Viện Vật Lý

Hà Nội - 2016

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 2

Tài liệu tham khảo

[1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Eds. (John Wiley & Sons, 2005)

[2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).

[3] Charles Kittel, Mở đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân và Trần Hữu Phát dịch), (NXB KHKT Hà Nội, 1984).

[4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).

[5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG TP. HCM, 2002)

Website : http://iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/vatlychatran/

Email : [email protected]


CHƯƠNG 6. KHÍ FERMI CỦA ĐIỆN TỬ TỰ DO

1. Các mức năng lượng một chiều

2. Phân bố Fermi-Dirac

3. Khí điện tử tự do 3 chiều

4. Nhiệt dung của khí điện tử

5. Độ dẫn điện và định luật Ohm

6. Chuyển động trong từ trường

7. Độ dẫn nhiệt của kim loại



Energy levels in one dimension Xét một điện tử có khối lượng m bị giam trong các rào thế cao vô hạn cách nhau

một khoảng L

Phương trình Schrödinger

Bỏ qua phần thế năng,

hamiltonian có dạng

Toán tử xung lượng

Viết lại phương trình Schrödinger

là năng lượng của electron trong “quỹ đạo”

mỗi “quỹ đạo” ký hiệu cho nghiệm của hàm sóng đối với hệ chỉ có một điện tử

Mô hình quỹ đạo chỉ đúng nếu như các điện tử không tương tác với nhau



Điều kiện biên cho hàm sóng

Để thoả mãn các điều kiện biên thì hàm sóng phải có dạng hàm sin

• A : là hằng số

• n : là số nguyên, là số các nửa bước sóng trong khoảng từ 0 đến L :

Thay hàm sóng vào phương trình Schrödinger

Suy ra năng lượng :

Xét hệ N điện tử nằm trên một đường thẳng

Theo nguyên lý Pauli : chỉ có một điện tử trên một quỹ đạo

Các số lượng tử của quỹ đạo điện tử dẫn :

• n : số lượng tử, nguyên dương

• ms = ½ : số lượng tử từ (định hướng của spin)



Với mỗi giá trị của n, hệ có tối đa 2 quỹ đạo tương ứng với spin-up và spin-down

Xét ví dụ có 6 điện tử ở trạng thái cơ bản

• Các quỹ đạo sẽ được lấp đầy theo thứ tự của n

Suy biến (degeneracy)

có nhiều hơn 1 quỹ đạo có cùng mức năng lượng

Ký hiệu :

Là mức năng lượng cao nhất được lấp đầy

• Mức thấp nhất có n = 1

Năng lượng Fermi

Năng lượng tương ứng với mức n = nF

Trường hợp hệ có N (là số chẵn) điện tử, ta có điều kiện

n ms Số điện tử

trên quỹ

đạo

1 1

1 1

2 1

2 1

3 1

3 1

4 0

4 0


2. Phân bố Fermi-Dirac

Sự ảnh hưởng của nhiệt độ Phân bố các mức năng lượng phụ thuộc vào nhiệt độ

Khi nhiệt độ tăng => động năng của khí điện tử tăng

=> điện tử sẽ chuyển từ mức năng lượng thấp lên mức có năng lượng cao hơn

Phân bố Fermi-Dirac : xác suất để quỹ đạo chiếm được mức năng lượng

ở trạng thái cân bằng nhiệt

: là một hàm theo nhiệt độ

Tại nhiệt độ tuyệt đối 0K

• Hàm f gián đoạn tại

• f có bước nhảy giữa 0 và 1

Ở vùng năng lượng cao

• Trở thành phân bố Boltzmann

hay phân bố Maxwell



Xét hamiltonian của hạt tự do trong không gian 3 chiều

Xét hệ các điện tử bị giam trong hình lập phương có cạnh L

• Hàm sóng:

• : là các số nguyên dương, gốc toạ độ được chọn tại góc của hình hộp

Đưa vào hàm sóng thoả mãn điều kiện biên tuần hoàn

Viết lại hàm sóng dưới dạng sóng chạy

Các thành phần của vector sóng thoả mãn điều kiện

Mọi thành phần của vector sóng có dạng đều thoả mãn điều kiện

tuần hoàn trong khoảng L, n là số nguyên, dương hoặc âm



Kiểm chứng điều kiện tuần hoàn

Năng lượng của quỹ đạo

Hệ thức liên hệ

Trong cơ học lượng tử, xung lượng tuyến tính có thể biễu diễn dưới dạng

Tác dụng toán tử:

Sóng phằng là hàm riêng của toán tử xung lượng tuyến tính với trị riêng

là

Vận tốc của hạt trên quỹ đạo :



Năng lượng Fermi

Xét trạng thái cơ bản của hệ gồm N điện tử

Các quỹ đạo đã bị chiếm có thể được diễn tả bởi các điểm nằm trong hình cầu thuộc không gian

Năng lượng tại bề mặt của hình cầu

chính là năng lượng Fermi

Các vector sóng tại bề mặt

Fermi có độ lớn là

Biểu thức năng lượng Fermi



Xét yếu tố thể tích của không gian

Tổng số quỹ đạo nằm trong hình cầu thể tích là :

• Hệ số 2 thể hiện 2 trạng thái của spin. V = L3 là thể tích của mẫu

Suy ra biểu thức

• Đại lượng này chỉ phụ thuộc vào nồng độ hạt

Thay vector sóng vào biểu thức cho năng lượng :

Vận tốc của điện tự tại mặt Fermi

Tổng số quỹ đạo có năng lượng bé hơn hoặc bằng

Mật độ trạng thái : số quỹ đạo trên một đơn vị năng lượng



Heat capacity

Theo cơ học thống kê

Nhiệt dung của điện tử dẫn tự do là (3/2)kB

Với N nguyên tử, mỗi nguyên tử đóng góp 1

điện tử hóa trị tạo nên khí điện tử,

các điện tử này hoàn toàn linh động.

Phần đóng góp vào nhiệt dung là (3/2)NkB

Giá trị thực tế thấp hơn giá trị này

một lượng là 0.01

Theo phân bố Fermi và nguyên lý Pauli

Khi đốt nóng mẫu từ nhiệt độ tuyệt đối

Chỉ một số điện tử bị kích thích nhiệt và

nhận năng lượng nhiệt ~ kBT

• Đó là các điện tử trên quỹ đạo trong khoảng

năng lượng kBT quanh mức năng lượng Fermi

• Chỉ có một phần (T/TF) điện tử bị kích thích nhiệt

tại nhiệt độ T



Số lượng điện tử có năng lượng nhiệt cỡ kBT là:

Động năng toàn phàn do kích thích nhiệt của điện tử :

Nhiệt dung của điện tử :

• Phù hợp với thực nghiệm

Năng lượng đốt nóng N điện tử để hệ tăng nhiệt tử 0 đến T

Trong đó f là hàm phân bố Fermi-Dirac

là số quỹ đạo trong một đơn vị năng lượng

Nhân với đồng nhất thức

Ta thu được



Viết lại biểu thức năng lượng

• Tích phân thứ nhất : năng lượng cần thiết để kích thích điện tử chuyển từ mức năng lượng Fermi lên các mức năng lượng cao hơn

• Tích phân thứ hai : năng lượng cần thiết để

kích thích điện tử lên mức năng lượng Fermi

từ các mức năng lượng thấp hơn

• Số hạng trong tích phân 1

là số điện tử nhảy lên các quỹ đạo trong

khoảng quanh năng lượng

• Số hạng trong tích phân thứ 2

là xác suất để điện tử rời khỏi quỹ đạo

Nhiệt dung của điện tử

Chú ý: chỉ có hàm f phụ thuộc vào T



Mật độ trạng thái tại mức năng lượng Fermi có thể suy ra từ công thức:

Xét trường hợp , xem như thế hóa học không phụ thuộc vào T

Thay , lấy đạo hàm theo nhiệt độ hàm phân bố

Đặt

Khi , có thể bỏ qua đối số tích phân

Thay cận lấy tích phân

Sử dụng các biểu thức :

Cuối cùng :



Nhiệt dung của kim loại bằng thực nghiệm Tại nhiệt độ rất thấp so với nhiệt độ Debye và nhiệt độ Fermi TF

Nhiệt dung của kim loại :

Các hệ số được xác định bằng phương pháp làm khớp tuyến tính (fitting)

Fermion nặng: thường thấy trong một số hợp kim mà hằng số lớn hơn từ 2 đến 3 lần so với kim loại thường.



Hệ thức liên hệ giữa xung lượng của điện tử tự do và vector sóng

Lực tác dụng của điện trường và từ trường tác dụng lên điện tử tải

Xét trường hợp điện trường không đổi, nếu không có va chạm thì hình cầu Fermi

sẽ dịch chuyển đều trong không gian .



Trường hợp từ trường bằng 0

Tại thời điểm ban đầu t = 0, lực của điện trường bắt đầu tác dụng

lên khí điện tử đã lấp đầy hình cầu Fermi có tâm tại gốc tọa độ không gian

• Sau thời gian t, tâm của hình cầu Fermi sẽ dịch chuyển đến vị trí mới

• Mọi điện tử đều dịch chuyển một đoạn là

Xét trường hợp có va chạm giữa điện tử và các nguyên tử tạp, sai hỏng mạng…,

• sự dịch chuyển của hình cầu Fermi trong điện trường vẫn có thể ở trạng thái dừng

• Nếu thời gian va chạm là là rất ngắn

• Vận tốc của điện tử sẽ tăng :

Trường hợp điện trường không đổi

• Hệ bao gồm n điện tử trong một đơn vị thể tích, điện tử có điện tích q = -e

Định luật Ohm :

mật độ dòng điện :



Độ dẫn điện

Điện trở

• do va chạm giữa điện tử và các sai hỏng mạng hoặc các nguyên tử tạp



Xuất phát từ các phương trình cho lực điện-từ và độ dịch chuyển của quả cầu

Phương trình chuyển động của mặt cầu Fermi

Gia tốc của hạt tự do :

Lực ma sát = hiệu ứng va chạm :

Xét hệ chuyển động trong từ trường không đổi

Thay , ta có

Giả thiết từ trường hướng theo trục z

Hệ SI



Ở trạng thái dừng trong điện trường tĩnh, đạo hàm theo thời gian = 0, thay c = 1

• Các thành phần của vận tốc trượt :

• Trong đó là tần số cyclotron

Hiệu ứng Hall

Đặt một thanh vật dẫn dọc theo điện trường Ex và nằm ngang qua từ trường Bz

• Dòng điện jx chạy theo hướng x

• Để không có dòng chạy theo hướng y =>

• Điều kiện này chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi Hệ SI



Định nghĩa hệ số Hall

Dòng chạy theo phương x

• Trong hệ SI:

• Chú ý : Hệ số Hall < 0 đối với điện tử tự do, khi đó e là số dương

Trường Hall là điện trường phát sinh xuyên qua 2 mặt của vật dẫn khi có dòng chạy ngang qua từ trường

• Hướng của trường Hall

• Trường Hall làm triệt tiêu

lực Lorentz của từ trường


7. Độ dẫn nhiệt của kim loại

Độ dẫn nhiệt của các hạt

Độ dẫn nhiệt của khí Fermi với năng lượng Fermi

Từ công thức suy ra

• n : nồng độ của điện tử; : thời gian va chạm

• : quãng đường tự do trung bình

Tỷ số giữa độ dẫn nhiệt và điện

Định nghĩa số Lorentz :

Documents

VẬT LÝ CHẤT RẮN - iop.vast.ac.vnnvthanh/cours/vatlychatran/CH6 Khi Fermi dien tu tu do.pdf · hamiltonian có dạng ... Trong cơ học lượng tử, xung lượng tuyến