Vật lý đại cương A1 - Nguyễn Phước Thể

7/24/2019 Vật lý đại cương A1 - Nguyễn Phước Thể

http://slidepdf.com/reader/full/vat-ly-dai-cuong-a1-nguyen-phuoc-the 1/113

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA – KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN - VẬT LÝ

GIÁO TRÌNH

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A1

Dùng cho sinh viên hệ đại học

các nghành kỹ thuật

Gv: Nguyễn Phước Thể

Đà nẵng, năm 2009

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.BOIDUONGHOAHOCQUYNHON.BLOGSPOT.COM

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

óng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



Li gii thiệu

Vật lý là một ngành khoa học cơ bản nhất. Nó gắn liền với vận động vàcấu trúc vật chất. Lĩnh vực vật lý có thể phân thành vật lý cổ điển bao gồmchuyển động, chất lỏng, nhiệt, âm thanh, ánh sáng, điện trường, từ trường; vật lý

hiện đại bao gồm các phần tương đối tính, cấu trúc nguyên tử, vật liệu đông đặc,vật lý hạt nhân, những hạt cơ bản, vũ trụ học và vật lý cơ bản - Tuy nhiên sự

phân chia này ch mang tính tương đối.Sự hiểu biết về vật lý là rất quan trọng đối với những ai làm việc trongkhoa học và công nghệ. Nghiên cu Vật lý cũng giống như các khoa học khác làluôn cần sự nổ lực sáng tạo, điều này không phải là công việc đơn giản với tất cảmọi người . Trong nghiên cu vật lý , vấn đề quan trọng là xây dựng một lýthuyết để khảo sát đối tưn g quan sát, đây là cơ s trong việc giải thích các vấnđề liên quan đến vận động ca vật chất trong tự nhiên . Để xây dựng đưc một lýthuyết, các nhà khoa học thường phát minh ra các mô hình để phát thảo các hiệntưng vật lý nhm nắm bắt đư c các quy luật vận động cụ thể ca các vật . Mộtmô hình là một dạng hình ảnh hoặc tương tự mà có thể giúp mô tả hiện tưng bi các thành phần ca một số vấn đề gì đó chúng ta biết rõ. Một lý thuyết thường phát triển từ một mô hình , nếu mô hình phát thảo là đơn giản thì vấn đềquan sát đưc dễ hiểu . Từ các mô hình này ta có thể xây dựng các tiên đề, địnhngh ĩa, định lý, quy luật vận động tổng quát ca nó nhm mục đích nghiên c umột đối tưng, nhóm đối tư ng, giải thích các hiện tư ng và ng dụng khoa học – k ỹ thuật.

Trong phần cơ học đây ta s nghiên cu chuyển động ca các vật tầmv ĩ mô; đó là sự thay đổi vị trí ca các vật trong không gian mà không xét đến cấutạo cũng như những chuyển động xảy ra bên trong vật chất. Tiếp theo chúng ta

nghiên cu những quy luật vận độ ng nhiệt bao gồm một số quá trình xảy ra bêntrong vật, thí dụ vật nóng lên khi ma sát hay nóng chảy và bốc hơi khi bị đốtnóng,… phần này gọi là nhiệt học. Tuy nhiên, giới hạn nghiên cu đây là svận đng nhit ca cht khí.

Trong tậ p tài liệu này chúng ta s lấy một số ví dụ điển hình đ ối vớ i cáctính toán vật lý cơ bản, là cơ s để hiểu về đối tư ng vật lý. Tiếp theo là các ngdụng quan trọng mà cụ thể là các vấn đề, bài toán đưc đưa ra để thảo luận vàgiải quyết, những vấn đề này gắn liền với cuộc sống thườ ng ngày và trong khoahọc, kỹ thuật.







Nguyn Phưc Th

CHƯƠNG 1

ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

Chúng ta bắt đầu nghiên cu với cơ học, cơ học là một nhánh ca Vật lýhọc nghiên cu về s chuyển đng ca vật thể trong không gian và thời gian.

Đối tưng nghiên cu ca cơ học là từ các vật vô cùng bé (vi mô) như prôton,nơtron,electron,... đến các vật vô cùng lớ n (v ĩ mô) như các thiên thể, các hànhtinh,… Trong cuộc sống thường ngày, ta có thể thấy chuyển động cơ học có khắp mọi nơi: xe chạy, máy bay đang bay, Trái Đất chuyển động quanh MặtTr ời,...

Chuyển động ca các vật – các quả bóng, ô tô, người đi bộ hay thậm chí làmặt trăng và mặt trời đưc xảy ra hng ngày. Các chuyển động này không phảiđến thế kỷ 21 mới biết mà các vấn đề mà chúng ta biết hiện nay đều đã đưcchng minh từ rất sớm . Những đóng góp riêng lẻ ca các nhà khoa học , các tập

thể nghiên cu là r ất quan trọng vào sự hiểu biết này đặc biệt là Galileo (1564 -1642) và Isaac Newton (1642 - 1727),... Lĩnh vc nghiên cứu về cơ học liên quan đn chuyển đng ca các vật

gn liền vi lc và các dạng năng lượng. Bây giờ chúng ta ch thảo luận về cácchuyển động mà không có sự quay. Chuyển động như vậy gọi là chuyn độngtịnh tiến. Trong chương này chúng ta s quan tâm tới mô tả một vật mà vật đódi chuyển dọc theo một đuờng thẳng gọi là chuyển động tịnh tiến một chiều,hoặc theo các đường cong bất kỳ là hai, ba chiều.

Chúng ta thường sử dụng khái niệm hay mô hình ca một chất lý tưng

gọi là cht điểm hoc là hạt , là vật có kích thước không gian không đáng kể .Một chất điểm có chuyển động thì ch là chuyển động tịnh tiến. Lấy ví dụ, chúngta có thể xét một quả bi da hay sự kiện một con tàu vũ trụ di chuyển vào mặttrăng như là một chất điểm nhm mục đích mô tả và khảo sát chuyển động.

§1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1.1 Chuyển động cơ học

Trong thực tế ta dễ dàng quan sát thấy chuyển động cơ học có mặt khắpmọi nơi: người đi, xe chạy, sự chuyển động ca Trái Đất quanh Mặt Trời... Ở







mỗi thời điểm khác nhau thì vị trí ca vật cũng khác nhau , ngh ĩa là vị trí ca vậtluôn thay đổi theo thời gian trong không gian.

Tuy nhiên, xem một vật cụ thể nào đó đng yên hay chuyển động cũng chlà xét một cách tương đối. Chẳng hạn nếu xem quả đất đng yên thì s thấy con

người, xe cộ, tên lửa... đều chuyển động đối với quả đất (kể cả Mặt Trời cũngchuyển động tương đối với quả đất). Ngưc lại, nếu xem Mặt Trời đng yên thìcó thể thấy Trái Đất vừa tự quay xung quanh trục ca nó vừa quay xung quanhMặt Trời. Vì vậy, trước khi khảo sát chuyển động ca một đối tưng ta phải nắmrõ khái niệm về nó. Chuyển đng cơ học gọi tt là chuyển động là s thay đổi vịtrí ca mt vật này đối vi mt vật khác hoc ca phần này đối vi phần khác xảy ra trong không gian và theo thời gian.

Những phép đo vị trí, khoảng cách hay tốc độ cần xác định phải gắn liền

với hệ quy chiếu hay hệ ca vật đưc chọn làm mốc. Ví dụ, trong khi bạn trênmột tàu hỏa với tốc độ 80 km/h cho rng một người đi bộ ngưc chiều vớichuyển động ca bạn với tốc độ 5 km/h. 5 km/h này là vận tốc ca người đối vớitàu là đng yên . Với một phép so sánh đối với mặt đất thì người chuyển độngtương đối với vận tốc 80 km/h + 5 km/h = 85 km/h. Như vậy , cũng là ngườichuyển động nhưng đối với tàu thì vận tốc là 5 km/h nhưng với mặt đất thì vậntốc là 85 km/h. Trong các ví dụ trên , tàu và trái đất là các hệ quy chiếu do ngườikhảo sát đưa ra, như vậy việc chọn lựa hệ quy chiếu có vai tr rất quan trọng khitính vận tốc . Trong cuộc sống thường ngày, chúng ta luôn so sánh các sự kiện

trên trái đất mà quên đi tầm quan trọng ca nó, thường lấy nó làm hệ quy chiếu. Khi khảo sát chuyển động ca vật ta có thể chọn hệ qui chiếu này hoặc hệ quichiếu khác và thường chọn hệ qui chiếu sao cho việc khảo sát chuyển động đưcđơn giản nhất.

Tm lại , h quy chi u là các vật hoc h vật được quy ư c làđứng yên để khảo sát chuyển đng ca vật khác

Khi nghiên cu một vật mà ta ch quan tâm đến chuyển động mà khôngquan tâm đến hình dạng, kích thướ c ca vật thì ta dùng khái niệm chất điểm

hoặc hạt. Chuyển động ca chất điểm là chuyển động tịnh tiến. Cht điểm là vậtmà kích thưc hình học ca nó nhỏ hơn nhiều so vi phạm vi mà chng tanghiên cứu , khảo sát . Ví dụ: Khi xét chuyển động bay ca một viên đạn trongkhông khí ta có thể xem chuyển động đó như là chuyển động ca một chất điểm;còn nếu xét chuyển động xoay ca viên đạn quanh trục ca nó thì ta không thểxem chuyến động đó là chuyển động ca một chất điểm đưc. Như vậy việcxem một vật có phải là chất điểm hay không, tùy thuộc vào mục đích ta nghiêncu. Tậ p hp các chất điểm gọi là hệ chất điểm.

Khi chúng ta khảo sát chuyển động ca một chất điểm, điều quan trọng là phải ch rõ không ch tốc độ mà còn chiều ca chuyển động. Thông thườngchúng ta có thể biểu diễn một chuyển động một chiều bng cách sử dụng các







phương qua lại giữa Đông, Tây, Nam và Bắc. Trong Vật lý, chúng ta thường vmột hệ trục tọa độ để biểu diễn một hệ quy chiếu. Chúng ta có thể luôn luôn lấygốc O và chiều ca trục x hoặc y cho tiện li. Các vật định vị phía bên phải sovới gốc O trên trục x có một toạ độ x mà chúng ta thường chọn là dương: bên

trái so với vị trí ca điểm O là âm. Trong trường hp hai hoặc ba chiều, một trụcy và/ hoặc z vuông góc với nhau từng đôi đưc thêm vào và đưc quy ước tươngtự. Mỗi điểm trong không gian có thể đặc trưng bi các tọa độ x và y và z.

Đối với chuyển động một chiều, chúng ta thường chọn trục x là đườngthẳng dọc theo chuyển động ca nó trong không gian. Do đó vị trí ca một vậttại bất kỳ thời điểm nào đưc cho bi tọa độ x ca nó. Nếu chuyển động là thẳngđng, như chuyển động rơi tự do chúng ta thường dùng trục y.

Chúng ta thường đưa ramột ký hiệu cho sự thay đổi

giữa hai điểm do một vậtchuyển động là độ dời ca vật,độ dời đưc định nghĩa là hiệuca hai tọa độ . T ọa đ ca vật là vật xa bao nhiêu tính từ thời gốc toạ đ. Tuynhiên chúng ta cần phân biệt đ dời với qung đường , để nhận biết sự khác biệtgiữa quãng đường đi đưc và độ dời, chúng ta tưng tưng rng một ô tô chạyđưc 70 m về phía Bắc và sau đó quay ngưc tr lại phía Nam với một khoảngcách là 30m. Tổng khoảng cách đi đưc là 100 m, nhưng độ dời ch 40 m từđiểm bắt đầu.

Đ dời là đại lượng mà có cả đ ln và chiều . Đặc trưng bng một véctơvà biểu diễn bng một mũi tên trênđồ thị. (Chúng ta không nhắc lạimột cách đầy đ về véctơ vì các

bậc học khác đã nói rõ về nó .) Bâygiờ chúng ta liên hệ với chuyểnđộng một chiều dọc theo đường thẳng. Trong trường hp này, vị trí ca cácvéctơ đưc đánh dấu bng điểm, mặc dù các véctơ trong trường hp 1 chiều códấu dương theo độ lớn ca nó. Ví dụ, xét chuyển động ca một vật trong một

khoảng thời gian xác định. Chú ý rng tại thời điểm ban đầu t

1 vật trên trục x có

tọa độ là x1. Tại thời điểm sau t2 giả sử vật chuyển động tới vị trí x2. Độ dời cavật là x2 – x1:

12 x x x −=∆ , đây dầu ∆ ngh ĩa là “độ biến đổi”. Do đó x∆ ngh ĩa là độ biến đổi ca x hay sựthay đổi vị trí hay là độ dời. Chú ý rng độ biến đổi ca bất kỳ đại lưng bnggiá tr ị cuối ca đại lưng trừ cho giá tr ị đầu ca đại lưng.

Thay x1 = 10.0 m và x2 = 30.0 m. Ta đưc mmm x x x 0.200.100.3012 =−=−=∆ .

Trường hp hai hoặc ba chiều, trong v

ật lý nói chung cũng như trong cơ học nóiriêng người ta thường sử dụng một số hệ tọa độ sau đây:

O xx1 x2

10 30

( m)







a) H tọa đ Đề các

Hệ tọa độ này bao gồm 3 trục Ox, Oy và Oz tương ng vuông góc nhau

từng đôi một tạo thành một tam diện thuận Oxyz, gốc tọa độ là điểm O. Vị trí camột điểm M bất kỳ hoàn toàn đưc xác định bi vectơ bán kính r

. Trong hệ tọa

độ Đề các vị trí ca điểm M đưc xác định bi 3 tọa độ (x, y, z). Trên hình 1-1 tathấy P là hình chiếu ca M xuống Ox, Q là hình chiếu ca M xuống Oy và R làhình chiếu ca M xuống Oz. Như vậy ta có thể viết:

r OP OQ OM = + +

(1.6)

Nếu gọi i

, j

, k

là ba vectơ đơn vị hướng theo ba trục Ox, Oy, Oz, biểu thc(1.6) có thể đưc viết lại:

r x.i y. j z.k = + +

(1.7)Độ lớn ca véc tơ r

là:

2 2 2r x y z= + + (1.8)

b) H tọa đ trụ

Khi một vật chuyển động mà khoảng cách cavật so với một trục luôn không đổi thì người tathường dùng hệ tọa độ trụ để khảo sát . Trong hệtọa độ này, vị trí ca điểm M bất kỳ đưc xác định bi 3 tọa độ ρ , ϕ và z , trong đó ρ là hình chiếuca r

trên mặt phẳng (xOy), ϕ là góc hp bi trục

Ox và ρ , còn z là hình chiếu ca r

trên tr ục Oz. Nếu biết tọa độ trụ ca một điểm ta có thể xác

định đưc ba tọa độ ca điểm đó trong hệ tọa độĐề-các theo công thc sau:

x cos ρ ϕ =

y sin ρ ϕ = (1.9) z z=

Ngưc lại ta có: 2 2 x y ρ = +

yarctg

xϕ =

(1.10) z z=

c) H tọa đ cầu:

z

z M

yx

ϕ

r

Oy

z

M( x, y

R

P

r

j

x

P

Qk

i







Trường hp những vật chuyển động mà khoảng cách giữa vậ t so với mộtđiểm luôn không đổi người ta thường dùng hệ tọa độ cầu . Ví dụ như chuyểnđộng ca electron quanh hạt nhân . Trong hệ tọa độ cầu, vị trí ca một điểm Mđưc xác định bi 3 tọa độ r, θ , φ; trong đó r là độ dài bán kính vectơ r

, θ là góc

giữa trục Oz và r , φ là góc giữa trục Ox và tia hình chiếu ca r trong mặt phẳng xOy. Nếu biết ba tọa độ ca một điểm ta có thể xác định đưc ba tọa độ Đê -các cađiểm đó bng các công thc sau:

x r sin cosθ ϕ = y r sin sinθ ϕ = (1.11)

z r cosθ =

Ngưc lại ta có: 2 2 2r x y z= + +

2 2 2 zarccos

x y zθ =

+ + (1.12)

yarctg

xϕ =

Chú ý : Trong hệ tọa độ cầu thì0

0 180θ ≤ ≤ và 00 360ϕ ≤ ≤ . Nhận xét : Tùy theo tính chất cachuyển động, người ta có thể chọn

một hệ tọa độ thích hp để mô tảchuyển động. Nếu chất điểm chuyểnđộng theo một đường thẳng ta chọnhệ tọa độ Đề-các. Nếu chất điểm chuyển động quanh một trục ta chọn hệ tọa độ trụ, cn nếu chất điểm chuyểnđộng quanh một tâm ta chọn hệ tọa độ cầu. Bài tập 1. Một con kiến bắt đầu tại vị trí x = 20 cm trên một mảnh giấy caro vàđi theo trục x đến vị trí – 20 cm. Sau đó nó quay lại đi ngưc tr lại đến vị trí x =-10 cm. Vị trí con kiến đi đưc và tổng quãng đường đi đưc.

1.2. Phương tr ình chuyn động và phương tr ình quỹ đạo

Khi chất điểm chuyển động, chúng ta liên hệ vị trí ca nó với thời gian bngcác phương trình gọi là phương trình chuyển động. Trong hệ tọa độ Đề -các,

phương trình chuyển động ca một vật là hàm theo thời gian t có dạng: x x( t )

M y y( t )

z z( t )

=

= =

(1.13a)

Còn trong hệ tọa độ cầu, tọa độ ca điểm M đưc xác định: r r( t ), ( t ), ( t )θ θ ϕ ϕ = = = (1.13b)







Một cách tổng quát, phương trình chuyển động ca độ ca một chất điểm đưcviết ngắn gọn là r r( t )=

(1.14)

Ở mỗi thời điểm t , chất điểm có một vị trí xác định và khi t biến thiên thì vị tríchất điểm thay đổi một cách liên tục. Do đó hàm tọa độ r( t )

s là một hàm xác

định, đơn trị và liên tục. Ví dụ: Phương tr ình chuyển động ca chất điểm M trong hệ tọa độ xOy là:

x(t) = 2t (cm); y(t) = 3t 2 (cm); z(t) = t 2 +1 (cm).Ở thời điểm t = 2s, ta có:

x(2) = 4cm; y(2) = 12cm; z(2) = 5cm.Khoảng cách từ gốc tọa độ đến vật đưc tính bi công thc:

OM 2 = x2 + y2 + z2 = 42 + 122 + 52 = 185cm2.hay: OM = 13,6cm.

Trong quá trình chuyển động, vị trí ca chất điểm những thời điểm liêntiếp nhau s vạch ra trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là qu ỹđạo chuyển động ca chất điểm. Phương tr ình mô t ả quỹ đạo đó gọi là phươngtrình qu ỹ đạo. Trong hệ tọa độ Đề-các, phương tr ình quỹ đạo có dạng:

f ( x, y, z ) C = (1.15)trong đó f là hàm nào đó ca tọa độ x, y, z; C là một hng số.

Nếu biết phương trình chuyển động thì bng cách khử tham số t ta s tìmđưc phương trình quỹ đạo. Ví dụ: Một chuyển động có phương trình

4 x sin t ω = (cm) và 5 y cos t ω = (cm) thì ta biến đổi :2

2

24

xsin t ω =

và

22

25

ycos t ω =

Khử tham số t 2 phương trình trên ta đưc phương trình quỹ đạo: 2 2

2 2 1

4 5

x y+ =

Phương tr ình này là một phương tr ình đường elip nên ta nói quỹ đạo chuyểnđộng ca chất điểm là một elip có bán trục lớn là 5cm và bán trục nhỏ là 4cm.

§2. VẬN TỐC VÀ GIA TỐC

Hầu hết các vấn đề quan trọng vềchuyển động ca một vật chuyển động làchuyển động nhanh như thế nào – đó là đó làchúng ta đang nói đến tốc độ hay vận tốc. Thành phần tốc độ gắn liền với chuyển độngca một vật xa bao nhiêu trong một khoảngthời gian, không quan tâm đến chiều. Nếumột xe ô tô di chuyển 360 km trong 3 giờchúng ta nói r ng tốc độ trung bình ca nó là 120 km/h hay trong hệ SI tốc độ là







20 m/s. Trong trường hp tổng quát, tốc độ trung bình ca vật đưc định nghĩalà tổng quãng đường đi đưc chia cho thời gian mà vật đi hết quãng đường này.

Qu·ng ®êng ®i ®îcTèc ®é trung b×nh =

Thêi gian tr«i qua

Các đại lưng vận tốc và tốc độ thường đưc sử dụng thay thế nhau trong ngônngữ thông thường. Nhưng trong vật lý chúng ta cần biết sự khác biệt ca hai đạilưng này. Tốc độ đưc xác định đơn giản bi các giá trị độ lớn . Vận tốc theomột dạng khác đưc dùng để biểu diễn cho cả trị độ lớn là ca sự chuyển độngnhanh thế nào ca vật và chiều mà vật chuyển động. Do đó , vận tốc là mt véctơ .

2.1. Vận tốc

Vận tốc là một đại lưng đặc trưng cho sự chuyển động nhanh như thế nàovà chiều ca chuyển động . Việc xác đị nh vận tốc ta phân thành hai loại là vậntốc trung bình và vận tốc tc thời.Vận tốc trung bình đưc định nghĩa theo độ dời ca vật mà không phải là quãngđường đi đưc:

=®é dêi vÞ trÝ cuèi - vÞ trÝ ®Çu

VËn tèc trung b×nh =thêi gian tr«i qua Thêi gian tr«i qua

Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình có cùng độ lớn khi cả hai chuyển độngtheo một chiều. Trong các trường hp, chúng có thể khác: Ví dụ , bài toán đơngiản về một người đi ô tô qua một Đo theo hướng Bắc vào Nam hết 45 phút vàtheo đồng hồ độ dài đo đưc là 21 km, tuy nhiên khoảng cách giữa các cân Đotheo hương Bắc – Nam là 7 km. Khi đó,

2128 / .

0.45

kmkm h

h= = =

Qu·ng ®êng ®i ®îc Tèc ®é trung b×nh

Thêi gian tr«i qua.

= = =®é dêi 7,5 m

VËn tèc trung b×nh 10 / .

thêi gian tr«i qua 0.45

k km h

h.

Sự khác nhau về độ lớn ca tốc độ và vận tốc có thể xảy ra khi chúng tatính toán các giá tr ị trung bình ca chúng.Trưng hp một chiu . Để khảo sát chuyển động một chiều ca một vật trongtrường hp tổng quát, chúng ta thống nhất về mặt thời gian, thời điểm t1, vật vị trí x1 trên tr ục x ca hệ toạ độ và thời điểm t 2 vị trí ca vật là x2. Thi giantrôi qua là ∆ = −

2 1t t t ; trong khoảng thời gian này độ dời ca vật là ∆ = −2 1

x x x . Như vậy vận tốc trung bình định nghĩa là độ dời chia cho thời gian có thể viết là:

− ∆

= =− ∆2 1

2 1 ,

x x x

v t t t







đây v biểu diễn cho vận tốc cn dấu gạch ngang trên ( ) ca v là ký hiệuchuẩn nghĩa là trung bình.

Ví dụ: Một ôtô chuyển động dọc theo một đườ ng mòn (chúng ta gọi là tr ục x).Chúng ta coi ôtô như là một chất điểm. Vị trí ca nó như một hàm ca thờ igian đưc xác định bi phương tr ình x = At

2 + B, đây A = 2.10 m/s

2 và B

= 2.80 m.(a) Xác định độ dờ i ca đầu máy trong khoảng thờ i gian từ 3.00 s đến 5.00 s.(b) Xác định vận tốc trung bình trong suốt khoảng thừoi gian này.(c) Xác định độ lớ n ca vận tốc tc thờ i tại t = 5.00 s.Giải: a) Tại thời điểm t = 3.00 s vị trí ca ô tô là:

Tại thời điểm t = 5.00 s vị trí ca ô tô là:mmsm B At x 3.5580.2)s00.5)(/10.2(

222

22 =+=+= Độ dời là: 2 1 55.3 21.7 33.6 . x x x m m m∆ = − = − = b) Vận tốc trung bình là:

c) Để xác định gia tốc tc thời ta lấy đạo hàm phương trình chuyển động x = At2

+ B ta đưc:

Tại thời điểm t = 5.00 s và 22.10 / . A m s= Ta đưc,

Bài tập v dụ Một xe ô tô chạy với mộtvận tốc không đổi 50 km/h đưc 100 km.

Sau đó tăng lên 100 km/h và chạy đưc100 km. Tốc độ trung bình ca ô tô trong 200 km trên là bao nhiêu ? (a) 67km/h, (b) 75 km/h, (c) 81 km/h, (d) 50 km/h.

Trưng hp hai hoc ba chiu. Bây giờ chúng ta có thể m rộng các địnhngh ĩa vận tốc theo trường hp hai hoặc ba chiều.

mmsm B At x 7.2180.2)s00.3)(/10.2(222

11 =+=+=

2 1

2 1

33.616.8 /

2.00 x x x m

v m st t t s

−∆= = = =

∆ −

At B At dt

d

dt

dxv 2)( 2 =+==

22 2(2.10 / )(5.00 ) 21.0 /v m s s m s= =







Giả sử một hạt đi theo một đường trong không gian Oxyz như ch ra trong hìnhv trên. Tại thời điểm t1, hạt vị trí p1 và thời điểm t2 hạt vị trí p2. Véctơ

1

r là véctơ vị trí ca hạt thời điểm t1 (nó thay cho độ dời ca hạt từ điểm gốc

trong hệ tọa độ). Và

2r là véctơ vị trí thời điểm t2.

Trong trường hp một chiều, chúng ta định nghĩa độ dời như là sự thay đổivị trí ca vật. Trong trường hp tổng quá t là hai hoặc ba chiều, véctơ độ dờiđưc định nghĩa như véctơ thay thế sự thay đổi vị trí. Chúng ta gọi nó là ∆

r ,

đây ∆ = −

2 1r r r thay cho độ dời trong suốt khoảng thời gian từ ∆ = −2 1t t t .

Trong ký hiệu véctơ đơn vị, chúng ta viết, = + +

1 1 1 1 ,r x i y j z k

đây 1 1 1, µ x y v z là các tọa độ ca điểm p 1.Tương tự,

= + +

2 2 2 2.r x i y j z k Do đó , ∆ = − + − + −

2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) .r x x i y y j z z k

Nếu chuyển động ch dọc theo tr ục x thì − =2 1

0 y y , − =2 1 0z z và độ

lớn ca độ dời là ∆ = −2 1r x x , điều này phù hp với phương trình 1 chiều đơn

giản. Véctơ vận tốc trung bình qua một khoảng thời gian ∆ = −2 1t t t đưc định

ngh ĩa như sau∆

∆

r

Ën tèc trung b×nh =t

v .

Bây giờ chúng ta xét một khoảng thời gian rất ngắn, như vậy chúng ta đặt ∆t xấp x 0 do đó khoảng cách giữa hai điểm p1 và p2 cũng xấp x 0. Chúng ta định

ngh ĩa véctơ vận tốc tức thời như là giới hạn của vận tốc trung bình khi ∆t xấp xỉ 0:

∆ →

∆=

∆

0

r = lim .

tt

drv

dt Phương ca

v tại điểm bất kỳ dọc theo tiế p tuyến với quỹ đạo tại điểm đó.

1r

2r

∆r

x1

y1

z1

z

z2

x2

y2

,

y

P2P1







∆ = −2 1v .v v

Vận tốc tc thời đưc xác định bng đạo hàm ca véctơ vị trí theo thời gian cóthể viết dưới dạng sau:

= + + = + +

= . x y z

dr dx dy dzv i j k v i v j v k

dt dt dt dt

Ở đây vx = dx/dt, vy = dy/dt và vz = dz/dt là vận tốc theo các thành phần x, y vàĐộ lớn vận tốc đưc tính theo công thc:

2 2 2

2 2 2 x y z

dx dy dzv v v v

dt dt dt

= + + = + +

(1.23)

2.2. Gia tốcVận tốc ca một vật đang thay đổi ta nói r ng vật có gia tốc. Lấy ví dụ một

xe ô tô có vận tốc tăng giá trị từ 0 đến 80 km/h là có gia t ốc. Gia tốc đặc trưngcho vận tốc ca vật thay đổi nhanh như thế nào. Để đặc trưng cho sự thay đổi

ca vận tốc theo thời gian, người ta đưa ra một đại lưng vật lý là gia t ốc. Trongquá trình chuyển động, vận tốc ca chất điểm có thể thay đổ i cả về độ lớn lẫn

phương chiều, vì vậy gia tốc là một véctơ .Gia tốc trung bình

Gia tốc trung bình đư c định ngh ĩa là sự thay đổi vận tốc chia cho thờ i gianxảy ra sự thay đổi này. Giả sử tại thời điểm t , chất điểm vị trí M có vectơ vậntốc v

, tại thời điểm t' t t = + ∆ chất điểm vị trí M' và có vectơ vận tốc

v' v v= + ∆

. Như vậy trong khoảng thời gian t ∆ , vận tốc ca chất điểm biếnthiên một lưng:

v v' v∆ = −

chiu. Ký hiệu gia tốc trung bình a theoTrưng hp mộtkhoảng thờ i gian mà trong khoảng thờ i gian này vận tốc thayđổi là

Gia tốc trung bình đưc xác định là,

đơn vị ca gia tốc trong hệ SI là m/s2.

Gia tốc tc thi trong trưng hp này đưc định ngha là gii hạn ca g iatốc trung bnh trong khong thi gian xp x 0.

Câu hi:(a) Nếu vận tốc ca một vật bng 0 có phải điều đó có nghĩa là gia tốc

bng 0 hay không ? (b) Gia tốc ca một vật bng 0 có phải là vận tốc ca vậtcũng như vậy không? Cho một số ví dụ.

− ∆= =

− ∆2 1

2 1

v v va

t t t

∆ = −2 1t t t

2

20

t

v dv d xa lim .

t dt dt ∆ →

∆= = =

∆







Bài tập v dụ 1. Một chiếc ô tô chuyển động dọc theo tr ục x. Dấu ca gia tốcca ô tô là gì nếu nó chuyển động theo chiều dương ca x vớ i (a) tốc độ tăngdần, (b) tốc độ giảm dần ? Dấu ca gia tốc là gì nếu nó chuyển động theo chiềuâm ca tr ục x vớ i (c) tốc độ tăng dần hay (d) tốc độ giảm dần?

Bài tập v dụ 2. Chuyển động ca một vật đư c cho là:

= +3 3(2.00 m/s ) (2.50 m/s ) x t t .

Gia tốc ca vật tại t = 2.00 s là bao nhiêu ? (a) 13.0 m/s2, (b) 22.5 m/s

2, (c) 24.0

m/s2, (d) 2.00 m/s

2.

Trưng hp hai hoc ba chiu . Người ta định nghĩa đ ộ biến thiên ca vectơvận tốc trong một đơn vị thời gian đưc gọi là gia tốc trung bình ca chuyểnđộng trong thời gian t ∆ :

Gia tốc trung bình v

t ∆=∆

Gia tốc tc thời đưc định nghĩa là giới hạn ca gia tốc trung bình khi khoảngthời gian khi t ∆ xấp x 0.

2

20

t

v dv d r a lim .

t dt dt ∆ →

∆= = =

∆

Chúng ta có thể viết a

theo các thành phần tọ a độ ,2

x x

dv d xa

dt dt

= = ;

2

y

y

dv d ya

dt dt = = và

2

z z

dv d za

dt dt = = như sau:

+ +

= x y z

a a i a j a k

Độ lớn gia tốc tính theo công thc: 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2 x y z

d x d y d za a a a

dt dt dt

= + + = + +

V dụ : Vị trí ca một hạt như một hàm ca thời gian đư c cho b i phương trìnhnhư sau, đây r là mét và t làgiây. Xác định (a) Độ dờ i ca hạt trong khoảng t

1 = 2.0 s và t

2 = 3.0 s? (b) Xác

định vận tốc tc thờ i và gia tốc như một hàm ca thờ i gian. (c) Xác địnhvận tốc tc thời và gia tốc tc thời lúc t = 3.0 s.Gii (a) Tại t = 2.0 s,

= + 2 2 3 3[(5.0m/s)t+(6.0m/s )t ] [(7.0m)-(3.0m/s )t ] ,r i j

= +

= −

2 2 3 3

1 [(5.0 m/s)(2.0s)+(6.0 m/s )(2.0s) ] [(7.0 m)-(3.0m/s )(2.0s) ]

(34 ) (17 ) .

r i j

m i m j







Tại t = 3.0 s,

Do đ,

Suy ra, và ∆ = − ≈2 2(35 ) (57 ) 45 .r m m m

(b) Vận tốc theo thi gian:

Gia tốc theo thi gian:

(c) Vận tốc và gia tốc thi đim t = 3.0 s.

2.2.2 Độ cong và bán knh cong

Xét một chất điểm chuyển động có quỹ đạo

là một đường cong (C). Giả sử MN là một cung

r ất bé ca đường cong. Lấy một điểm P bất kỳnm giữa M và N (P thuộc MN ); qua ba điểmM, P và N ta có thể v một đường trn. Cho Ntiến đến M và qua ba điểm mới ta lại có thể vđưc một đường trn mới. Khi điểm N tiến đếngiới hạn tại M thì đường tròn trên cũng s tiếnđến một đường trn giới hạn gọi là đường trnmật tiếp với đường cong (C) tại điểm M. Nếugọi R là bán kính cong ca đường trn mật tiếp

đó thì:ds Rd ϕ = (1.29)

Độ cong K ca đường cong (C) tại M đưctính bng nghịch đảo ca bán kính cong R:

1

d K

R ds

ϕ = =

K đặc trưng cho độ cong ca quỹ đạo và phụ thuộc vào bán kính cong R cađường trn mật tiếp. Khi R càng lớn thì K càng nhỏ; R → ∞ thì 0K → ngh ĩa làchuyển động ca chất điểm trên quỹ đạo cong s dần tới chuyển động trên

đường thẳng. Lưu ý:+ Nu vật chuyển đng thng đều thì vận tốc trung bình bng vận tốc tức thời.

O

R

M

N ds

dφ

τ

P

∆ = − = + = −

2 1(69m-34 m) (-74 m+17m) (35 ) (57 ) .r r r i j m i m j

∆ = ∆35 , µ y=57 x m v m

= = +

2 3 2[5.0 m/s+(12.0 m/s )t] i [(0-(9.0 m/s )t ]j.dr

vdt

= = − 2 3(12.0m/s ) i (18m/s )t j.

dva

dt

= =

=

2 2

(5.0m/s+36 m/s )i -(81m/s)j (41m/s )i -(81m/s)j

(12 m/s )i -(54 m/s )j.

v

a

= + = −

2(15m+54m) (7.0m-81m) (69 ) (74 ) .r i j m i m j







+ Chuyển đng thng bin đổi đều thì gia tốc trung bình bng gia tốc tức thời.

2.2.3 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

Ta đã biết vectơ gia tốc đặc trưng cho sự biến thiên về phương, chiều và độlớn ca vectơ vận tốc. Tuy nhiên ta có thể phân tích vectơ gia tốc ra thành haithành phần, mỗi thành phần đặc trưng cho sự biến thiên ca vectơ vận tốc riêngvề một mặt nào đó. Nếu gọi τ

là vectơ đơn vị dọc theo phương tiếp tuyến ca quỹ đạo chuyển động

thì vectơ vận tốc đưc viết lại: ds

v v .dt

τ τ τ = =

Theo định nghĩa gia tốc, ta có:

dv d( v. ) dv d a v

dt dt dt dt

τ τ τ τ = = = +

Ta thấy rng số hạng đầu tiên vế phải ca biểu thc (1.32)dv

dt τ

hướng theo

phương tiếp tuyến và đưc gọi là vectơ gia tốc tip tuyn t a

. Vectơ gia tốc tiếptuyến này có:- Phương trùng với tiếp tuyến ca quỹ đạo tại chất điểm chuyển động.

- Chiều là cùng chiều chuyển động khi v tăng và ngưc chiều chuyển động khi v giảm. - Độ lớn bng đạo hàm độ lớn vận tốc đối với thời gian:

t

dva

dt = (1.33)

Tóm lại, vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên ca vectơ vận tốcvề giá trị.

Bây giờ ta hãy tínhd

dt

τ

số hạng th hai trong (1.32).

Trong giải tích toán học người ta chng minh đưc rng đạo hàm theo thời gianca vectơ đơn vị có phương tiếp tuyến với cung tại một điểm bng vận tốc gócca điểm đó trên cung nhân với vectơ đơn vị n

theo phương pháp tuyến với

cung tại điểm đó, nghĩa là: d d

. n ndt dt

τ ϕ ω = =

(1.34)

với ω là vận tốc góc ca điểm đó trên cung, trong đó d ϕ là góc giữa OM vàON (N là điểm mà M chuyển đến sau thời gian d τ ).Theo tính chất hàm số hp, kết hp với (1.18) và (1.30), (1.34) đưc viết lại:







d d ds vn n

dt ds dt R

τ ϕ = =

Như vậy, số hạng th hai vế phải ca biểuthc (1.32):

2

d v v

v v. n ndt R R

τ = =

Số hạng này đưc gọi là gia tốc pháp tuyếnhay gia tốc hướng tâm; nó đặc trưng cho sựthay đổi về phương ca vectơ vận tốc.

2

n

va n

R=

Vectơ này có các đặc điểm: - Có phương trùng với phương pháp tuyến ca quỹ đạo tại điểm đang khảo sát. - Có chiều hướng về phía lõm ca quỹ đạo.

- Có độ lớn: 2

n

va

R=

Biểu thc (1.32) đưc viết lại như sau: 2

dv v

a ndt R

τ = +

Kết luận: Gia t ốc a

ca mt cht điểm chuyển đng trên quỹ đạo cong là st ổng hợp ca hai thành phần gia tốc: gia tốc tip tuyn t a và gia t ốc pháp tuyn

na

.

t n t na a a a a nτ = + = +

trong đó: t

dva

dt = là độ lớn ca vectơ gia tốc tiếp tuyến.

2

n

va

R= là độ lớn ca vectơ gia tốc pháp tuyến.

Độ lớn ca vectơ gia tốc a

:22 2

2 2 t n

dv va a a

dt R

= + = +

(1.39)

Vectơ gia tố c tip tuyn đc trưng cho s bin thiên ca vectơ vận tốc về đ ln; Vectơ gia t ốc pháp tuyn dc trưng cho s bin thiên ca vectơ vận tốc về

phương .

Để làm rõ ý nghĩa ca gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến, ta xét hia trườnghp đặc biệt sau:

- Trường hp chất điểm chuyển động thẳng thì bán kính ca quỹ đạo R = ∞ nêngia tốc pháp tuyến 0

na =

và vectơ gia tốc ch có một thành phần là gia tốc tiếp

na

t a

v

n

τ

a M







tuyến t a

hướng dọc theo phương ca chuyển động thẳng; nghĩa là vận tốc cachất điểm ch thay đổi về độ lớn mà không thay đổi về phương. - Trường hp chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo trn có bán kính R, vậntốc chất điểm không đổi nên gia tốc tiếp tuyến bng 0. Nếu bán kính R càng nhỏ(tc gia tốc pháp tuyến càng lớn) thì quỹ đạo càng cong nhiều, kết quả phươngca vectơ vận tốc thay đổi nhiều.

2.3. Vận tốc góc và gia tốc góc

Trong chuyển động trn, người ta cn dùng các đạilưng vận tốc góc và gia tốc góc để đặc trưng chochuyển động này.

2.3.1 Vận tốc gc

Giả thiết quỹ đạo chuyển động ca chất điểmM là vòng tròn tâm O bán kính R. (hình 1-8).Trong khoảng thời gian dt bán kính OM = R quétđưc một góc dφ. Khi đó:

d

dt

ϕ ω =

đưc gọi là vận tốc góc ca chất điểm M.Vậy: vận tốc góc có giá trị bng đạo hàm ca góc quay đối vi thời gian.Vận tốc góc đưc đo bng đơn vị radian trên giây, kí hiệu là rad/s.

2.3.2 Gia tốc gc

Tương tự như chuyển động thẳng, trong chuyển động trn người ta cũng

định nghĩa gia tốc góc β

là đại lưng đặc trưng cho sự thay đổi ca vận tốc gócω

theo thời gian: 2

2

d d

dt dt

ω ϕ β = = (1.40)

Vậy: Gia t ốc góc có giá trị bng đạo hàm ca vận tốc góc đối vi thời gian vàbng đạo hàm bậc hai ca góc quay đối vi thời gian.

Gia tốc góc đo bng radian trên giây bình phương (rad/s2).- 0 β > , ω tăng, chuyển động trn nhanh dần;

- 0 β < , ω giảm, chuyển động trn chậm dần; - 0 β = , ω không đổi, chuyển động trn đều.

M'

M

R

Oφ

s







Tóm lại trong chuyển động trn ca chất điểm ta cũng có hệ thc giữa các đạilưng:

0 t ω β ω = +

2

0

1 2t t θ ω β = + (1.41)2 2

0 2ω ω βθ − = 2.3.3 Mối liên hệ ca vận tốc, gia tốc và tọa độ

a) M ối liên h giữa vận tốc dài và vận tốc góc:Ta có:

1

d d dS dS

dt dS dt R dt

ϕ ϕ = =

Khi 0t ∆ → thì dS dr ≈ , suy ra:1 1

d dr

vdt R dt R

ϕ ω = = ≡

hay: v . Rω = (1.42) Nếu biểu diễn bng các vectơ v , R

nm trong mặt phẳng vuông góc với ω

(hình1-9), khi đó:

v Rω = ×

(1.43)b) M ố i liên h giữa gia tốc dài và gia tốc góc:

Theo công thc (1.37), ta có: 2

dv v

a ndt R

τ = +

với R là bán kính đường trn. Ta có:

2 2 2 v R ω =

Suy ra:2

d a R R.n

dt

ω τ ω = +

Vậy: 2 a R R.n βτ ω = +

Trong đó: - Thành phần gia tốc tiếp tuyếnt

a R β = .

- Thành phần gia tốc pháp tuyến2

2 n

va R

Rω = ≡

§3. MỘT SỐ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CƠ ĐẶC BIỆT

3.1. Chuyn động thẳng thay đổi đu

ω

v R

ϕ







Xét một vật chuyển động thẳng thay đổi đều với gia tốc không đổi: a const =

Vì là chuyển động thẳng nên an = 0, do đó:

t

dv

a a const dt = = = Sau những khoảng thời gian bng nhau, vận tốc vật thay đổi những lưng bngnhau. Nếu trong khoảng thời gian từ 0 đến t , vận tốc biến thiên từ v0 đến v thìtheo định nghĩa gia tốc, ta có:

0

t v va const

t

−= = (1.44)

Từ (1.44) suy ra:

0 t

v v at = + (1.45)

(1.45) có thể viết lại: 0

t

dsv v at

dt = = +

do đó: 0 ds ( v at )dt = + (1.46)

Giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến t, chất điểm đi đưc quãng đường s,tích phân hai vế phương trình (1.46) ta đưc:

0

0 0

s t

ds ( v at )dt = +∫ ∫

Hay: 2

0 0

1

2s s v t at = + + (1.47)

Khử t trong (1.45) và (1.47) ta đưc hệ thc: 2 2

0 2t v v as− = (1.48)

3.2. Chuyn động v i gia tốc không đổi

Xét chuyển động ca một chất điểm xuất phát từ một điểm O trên mặt đấtvới vectơ vận tốc ban đầu thờiđiểm t = 0 là 0

v

hp với phươngnm ngang một góc α (hình 1-10)(bài toán chuyển động c a đạn pháo).Chọn hệ trục tọa độ xOy như hìnhv. Viên đạn chuyển động trongtrường trọng lực và do lực hướng

theo phương Oy nên theo phươngOx ta có thể xem chuyển động cađạn là chuyển động đều. Cn theo







phương Oy viên đạn chuyển động chậm dần với gia tốc rơi tự do g. Do đó, thành phần ca a

trên hai tr ục là:

0

x x

y

y

dva

dt adv

a gdt

= =

= = −

(1.49)

Lấy nguyên hàm hai vế theo t, ta đưc:

1

2

x

y

v C v

v gt C

=

= − +

với điều kiện đầu: v x = v x(t=0) = v0x = v0cosα = C 1

v y = v y(t=0) = v0y = v0sinα = C 2 Do đó:

0

0

x

y

v v cosv

v gt v sin

α

α

=

= − +

(1.50)

Mặt khác:

0

0

x

y

dxv v cos

dt v

dyv gt v sin

dt

α

α

= =

= = − +

Lấy nguyên hàm hai vế theo t , ta đưc: 0 3

2

0 4

1

2

x v t cos C

A( x, y ) y gt v sin C

α

α

= +

= − + +

với điều kiện: 3 0

4 0

0

0

( t )

( t )

C x

C y

=

=

= =

= =

Vậy phương trình chuyển động ca viên đạn:

0

2

0

1

2

x v t cos

y gt v sin

α

α

=

= − +

(1.51)

Khử t trong hai phương trình trên, ta đưc phương trình quỹ đạo: 2

2 2

0

1

2

gx y x.tg

v cosα

α = − + (1.52)

Phương tr ình (1.52) cho thấy quỹ đạo ca viên đạn là một parabol với phần lõmquay về phía dưới. Để tìm tọa độ đnh và vị trí cao nhất ca viên đạn, từ (1.50) ta suy ra:







2 2 2 2 2 2

0 0

2 2

0 0

20

1 2

2

2

x yv v v v cos ( gt v sin )

v g( gt v t sin )

v gy

α α

α

= + = + − +

= − − +

= −

(1.53)

Tại đnh A vectơ vận tốc nm ngang nên0

0

yA

xA

v

v v cosα

=

=; k ết hp với (1.53) ta

đưc: 2 2 2

0 0 2 Av cos v gyα = −

⇔ 2 2

0 2

A

v sin y

g

α = (1.54)

Viên đạn đạt độ cao cực đại vào thời điểm t ng với v y = 0:0

0 y Av v sin gt α = − =

⇔ 0 A

v sint

g

α = (1.55)

Khi đó, hoành độ ca đnh A là: 2 2

0 00

2

2 A A

v sin .cos v sin x v t cos

g g

α α α α = = = (1.56)

Tầm xa ca viên đạn: 2

0 2 2max A

v sin x xg

α = = (1.57)

Ta cũng có thể tìm độ cong cực đại ca quỹ đạo viên đạn bng cách tìm gia tốcca chuyển động tại đnh quỹ đạo. Vì tại đnh, v y = 0, v x = v0cosα nên thành phần gia tốc tiếp tuyến at = 0 và gia tốc pháp tuyến an = g.

2 2

0 n

v cosg a

R

α = =

Từ đó tính đưc độ cong ca quỹ đạo:

2 2

0

1

gK R v cos α = = (1.58)

III. BÀI TẬP

1. Một ô tô chuyển động thẳng nhanh dần đều, đi qua hai điểm A, B cách nhau20m trong thờ i gian t = 2giây. Vận tốc ca ô tô khi qua điểm B là 12m/s.Tìm:

a. Gia tốc ca chuyển động và vận tốc ca ô tô khi qua điểm A.

b. Quảng đường mà ô tô đã đi đư c từ điểm khi hành đến điểm A.2. Một vật chuyển động trên đoạn thẳng AB = 300m kh i hành không vận tốcđầu tại A vớ i chuyển động nhanh dần đều, gia tốc a1 = 2m/s2, tiế p theo là







chuyển động chậm dần đều vớ i gia tốc |a2| = 1m/s2 để đến B vớ i vận tốc triệttiêu.

a. Xác định vị trí C tại đó chuyển động tr thành chậm dần đều. b. Xác định thời gian đi hết đoạn AB.

8. Một người đng tại M cách một con đườ ngthẳng vớ i một khoảng h = 50m để chờ ô tô. Khithấy ô tô cách mình một đoạn a = 200m thì ngư ờ iấy bắt đầy chạy ra đường để gặ p ô tô (hình v).Biết ô tô chạy vớ i vận tốc v1 = 36km/h. Hỏi:a. Ngườ i ấy phải chạy theo hướng nào để gặp đúngô tô? Biết r ng ngườ i chạy vớ i vận tốc v2 =10,8km/h.

b. Ngườ i phải chạy vớ i vận tốc nhỏ nhất bng bao nhiêu để có thể gặp đư c ôtô?9. Từ một đnh tháp cao h = 25m ngườ i ta ném một hòn đá theo phương nmngang vớ i vận tốc v0 = 15m/s. Xác định:

a. Quỹ đạo ca hòn đá. b. Thờ i gian chuyển động ca hòn đá (từ lúc ném đến lúc chạm đất).c. Khoảng cách từ chân tháp đến điểm hòn đá chạm đất (tầm xa).d. Vận tốc, gia tốc toàn phần, gia tốc tiế p tuyến và gia tốc pháp tuyến ca

hòn đá tại điểm nó chạm đất.

e. Bán kính cong ca quỹ đạo tại điểm bắt đầu ném và điểm chạm đất. Bỏ qua sc cản không khí.

A

M

H

ah







16. Từ một đnh tháp cao H = 25m ngườ i ta ném một hòn đá lên phía trên vớ ivận tốc vo = 15m/s theo phương h p vớ i mặt phẳng nm ngang một góc = 30o.Xác định:a. Thờ i gian chuyển động ca hòn đá. b. Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi ca hòn đá. c. Vận tốc ca hòn đá lúc chạm đất.17. Từ một đnh tháp cao H = 30m ngườ i ta ném một hòn đá xu ống đất vớ ivận tốc vo = 10m/s theo phương h p vớ i mặt phẳng nm ngang một góc = 30o.Xác định:a. Thời gian để hòn đá rơi tớ i mặt đất k ể từ cú ném? b. Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi ca hòn đá? c. Dạng quỹ đạo ca hòn đá. 18. Một vô-lăng đang quay vớ i vận tốc 300 vòng/phút thì bị hãm lại. Sau một

phút hãm, vận tốc ca vô-lăng còn lại 180 vòng/phút. Tính:a. Gia tốc góc ca vô-lăng khi bị hãm. b. Số vng mà vô-lăng đã quay đưc trong thời gian 1 phút hãm đó.

Coi vô-lăng chuyển động chậm dần đều trong suốt thời gian hãm. 19. Một bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đng yên, sau đó quay xungquanh tr ục ca nó vớ i gia tốc góc bng 3,14rad/s2. Hỏi, sau giây th nhất:







a. Vận tốc góc và vận tốc dài ca một điểm trên vành bánh ? b. Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiế p tuyến và gia tốc toàn phần ca một điểm trênvành bánh ?c. Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính ca bánh xe (ng vớ i cùng một điểm

trên vành bánh) ?20. Một đoàn tàu bắt đầu chạy vào một đoạn đườ ng tròn, bán kính 1km, dài600m vớ i vận tốc 54km/h. Đoàn tàu chạy hết quãng đường đó trong 30giây. Tìm vận tốc dài, gia tốc tiế p tuyến, gia tốc pháp tuyến, gia tốc toàn phần và giatốc góc ca đoàn tàu cuối quãng đường đó. Coi chuyển động ca đoàn tàu lànhanh dần đều.21. Một ngườ i muốn chèo thuyền qua sông có dòngnướ c chảy. Nếu ngườ i ấy chèo thuyền theo hướ ng từ vị tríA sang vị trí B (AB vuông góc vớ i dòng nướ c) thì sau thờ i

gian t1 = 10phút thuyền s tớ i vị trí C, cách B một khoảngS = 120m về phía xuôi dòng (hình v). Nếu ngườ i ấyhướ ng thuyền chếch một góc so với phương AB về phíangư c dòng, thì sau thờ i gian t2 = 12,5phút, thuyền s tớ iđúng vị trí B.Coi vận tốc ca thuyền đối vớ i dòng nước là không đổi. Tính:a. Bề r ộng ca dòng sông. b. Vận tốc v ca thuyền đối vớ i dòng nướ c.c. Vận tốc V ca dòng nước đối vớ i bờ .

d. Góc lệch .22. Một máy bay, bay từ vị trí A tớ i vị trí B. AB nm theo hướng Tây Đôngvà cách nhau một khoảng 300m. Xác định thờ i gian bay nếu:a. Không có gió. b. Gió thổi theo hướ ng Nam Bắc.c. Gió thổi theo hướng Tây Đông. Cho biết vận tốc gió bng v1 = 20m/s. Vận tốc máy bay đối vớ i không khí v2 =600km/h.

A

B C







CHƯƠNG 2

ĐỘNG LỰ C HỌC CHẤT ĐIỂM

Trong chương đng học cht điểm, với một chuyển động chúng ta đã biếtcách làm thế nào xác định vị trí, vận tốc và gia tốc ca nó. Tuy nhiên ta chưa liênhệ vớ i các câu hỏi: Tại sao vật chuyển động đư c? cái gì đã làm cho vật từ tr ạngthái đng yên đến chuyển động? nguyên nhân làm cho vật tăng tốc hay giảm tốcgì làm? cái gì la m một vật chuyển động trên một đườ ng cong?Chúng ta có thể tr ả lời các trư ờ ng h p trên là do l l ự ự c c là đ. Ví dụ đoàn tàu bắtđầu chuyển bánh khi bánh xe ca đầu máy tác dụng vào đường ray; Trái đất vàcác hành tinh chuyển động quay quanh Mặt trời theo sự chi phối bi lực hấp dẫnca Mặt trời... Vậy lực là gì ? Khi quan sát chuyển động ca các vật thể, ta nhậnthấy các vật ch bắt đầu chuyển động cũng như ch thay đổi chuyển động khichịu tác dụng ca các vật khác. Mọi người đều hiểu khái niệm cơ bản ca lực từcác trải nghiệm thường ngày . Khi bạn đẩy một cái hộp rỗng trưt trên một mặt

bàn theo nghĩa là bạn đã truyền một lực lên nó . Đơn giản hơn , bạn truyền mộtlực lên quả bóng khi bạn ném hoặc lăn nó . Trong các ví dụ này , từ lc liên hệvới các tác dụng mạnh và làm cho thay đổi một lưng vận tốc ca vật . Tuynhiên, không phải lực luôn luôn gây ra chuyển động . Ví dụ, giả sử bạn đặt mộtcuốn sách trên bàn , lực trọng trường tác dụng lên cuốn sách nhưng cuốn sách

vẫn nm yên . Như vậy, giữa lực và các chuyển động có tuân theo các quy luậtnhất định. Mối liên hệ động – lực nêu lên quan hệ giữa lực tác dụng lên vật vàchuyển động ca vật. Người có công tổng quát mối liên hệ đó làtrong công trình nguyên lý cơ bả n (xuất bản năm 1687), trong công trình đó ôngnêu ra ba định luât vĩ đại về chuyển động.

I. MỤC ĐÍCH – YÊU CẨU

1. Nắm và vận dụng các định luật Newton để khảo sát chuyển động ca chấtđiểm.

2. Nắm đưc khái niệm động lưng, mômen động lưng, các định lý độnglưng.

II. NỘI DUNG

§1. CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTON

M M ố ố ii l l iiêê n n h hệệ g giiữ ữ a a l l ự ự c c vv à à c c h huu y yể ể n n đ đ ộộ n n g g l l à à g gìì ? Aristole (384-322 BC) quan niệmr ng cần có lực để làm cho một vật chuyển động dọc theo một mặt phẳng ngang.

Đối vớ i Aristole tr ạng thái tự nhiên ca một vật là đng yên và cần thiết phải cómột lực để làm cho một vật chuyển động. Thêm vào đó, Aristole biện luận r ngtác dụng một lực lớ n lên vật thì tốc độ ca vật là lớn hơn. Khoảng 2000 năm sau







đó, Galileo bác bỏ ý kiến đó : ông cho r ng tr ạng thái tự nhiên ca một vật làchuyển động vớ i vận tốc không đổi hoặc là trạng thái đng yên.Galileo biện luận: Đẩy một vật chuyển động dọc theo bề mặt ca mặt bàn vớ i tốcđộ không đổi đòi hỏi một lực có giá tr ị xác định liên tục lên vật . Nếu một lớ p

dầu hoặc một chất bôi trơn khác bôi vào giữa bề mặt ca vật và bàn thì g ần nhưkhông có lực cần thiết liên tục tác dụng đ ể làm cho vật chuyển động. Ở mc độtư duy hơn, chúng ta tưng tư ng r ng vật không cọ vào bàn chút nào – hay cómột sự bôi trơn hoàn hảo giữa vật và bàn – ch cần m ột điểm xuất phát, vậtchuyển động qua bàn vớ i tốc độ không đổi mà không có lực tác dụng.Có nhiều nhà khoa học thời bấy giờ đồng quan điểm này họ lập thành trư ờ ng

phái Galileo luôn tưng tư ng về một thế giớ i lý tư ng – không có ma sát – vàxem r ng điều đó làm cho chúng ta hiểu đầy đ và chính xác về thế giớ i thực. Sự lý tưng hóa này đã đưa ông đến k ết luận đáng chú ý rằng nếu không có lự c tác

dụng nào vào chuyn động ca vật, nó sẽ tiếp tục chuyn động v i tốc độ không đổi theo m ột đư ng thẳng. Một vật ch chậm dần nếu một lực truyềnvào nó. Trên cơ s đưa ra b i Galileo, Isaac Newton xây dựng lý thuyết chuyểnđộng v ĩ đại ca ông. Trong công trình nguyên lý cơ b ả n (xuất bản năm 1687), Newton sẳn sàng bày tỏ sự hiểu biết ca mình tớ i Galileo. Phân tích chuyểnđộng ca Newton đư c tổng quát trong ba định luật về chuyển động nổi tiếng.

2.1. Định luật I Newton (định luật quán tính)

Phát biu: M t vật giữ nguyên trạng thái đứng yên hoc chuyển đng thng đều

nu khi không chịu tác dụng ca bt kỳ ngoại lc nào.Định luật này xét đến chuyển động ca các chất điểm trong điều kiện không

có lực ngoại lực nào tác dụng lên nó hoặc tổng hình học các ngoại lực tác dụnglên chất điểm bng không. Trạng thái đng yên hay chuyển động thẳng đều cachất điểm là trạng thái vận tốc không thay đổi và giữ nguyên như cũ, tc là chấtđiểm có trạng thái quán tính. Nói khác đi, chất điểm s bảo toàn trạng thái quántính ca mình cho đến khi chưa có lực tác dụng ngh ĩa là định luật I Newton pháthiện và khẳng định lực chính là tác nhân duy nhất làm thay đổi trạng thái chuyểnđộng ca chất điểm.

Ví dụ: Một xe buýt tr ư ờ ng học dừng đột ngột và tất cả ba lô trên gác đều trư tvề phía trướ c. Lực gây ra chúng là gì ?Tr l i: Không có lực nào gây ra nó cả. Theo định luật th nhất ca Newton, tr ạng tháichuyển động ca vật tiế p tục về phía trướ c, duy trùy vận tốc ca nó. Chuyển độngchậm dần nếu lực tác dụng, chẳn hạn như ma sát ca gác.

2.2.Định luật II Newton

Khối lưng. Trong định luật ca th hai ca Newton có liên hệ đến khái niệmkhối lượng . Newton sử dụng dạng khối lưng như một cách dùng để định lưngvật chất. Ký hiệu trực giác này ca khối lưng ca một vật không quá chính xác







bi vì khái niệm định lư ng vật chất không định nghĩa rõ ràng Chính xác, khố ilượ ng là một phép đo quán tính củ a mộ t vậ t. Khối lượng càng ln thì quán tínhcàng ln và cng cần mt lc ln hơn để để thay đổi vận tốc từ trạng thái đứng yên. Newton sử dụng dạng khối lưng như một cách dùng đối với định lư ng vật

chất. Ký hiệu tr ực giác này ca khối lư ng ca một vật không quá chính xác b ivì khái niệm định lư ng vật chất không định ngh ĩa rõ ràng. Do đó một xe tải cónhiều quán tính hơn một quả bóng cùng tốc độ, và cũng cần một lực lớn hơn để thay đổi vận tốc so với quả bóng để đạt cùng tốc độ.

Khối lưng đầy đ ca một vật liên quan đến một lực mạnh bao nhiêu cần đểtạo ra một gia tốc xác định. Bi vậy một xe tải có nhiều quán tính hơn một quả bóng cùng tốc độ, và xe tải cần một lực lớn hơn cần để thay đổi cùng tốc độ nhưquả bóng . Do xe tải có khối lưng lớn hơn . Trong hệ đơn vị SI đơn vị khốilưng là kilogam (kg).

Các dạng khối lư ng và tr ọng lưng thườ ng lẫn lộn với nhau, điều quantr ọng là phân biệt chúng. Khối lượ ng là mt thuc tính ca chính vậ t (mc quántính ca một vật). Tr ọng lượ ng, theo mt nghĩa khác, là mt l c, sứ c kéo catr ọng trườ ng vật. Để nhìn thấy sự khác nhau giả sử chúng ta xét một vật trên mặttrăn. Vật s có tr ọng lư ng ch khoảng 1/6 tr ọng lư ng ca nó trên trái đất, do đólực hút lên nó yếu hơn. Nhưng khối lư ng ca nó là như nhau. Nó có cùng lư ngkhối lưng trên trái đất và s có nhiều quán tính - khi không có ma sát, nó s r ấtkhó để bắt đầu chuyển động trên mặt trăng như trên trái đất, hay dừng lại khi nóđang chuyển động.

Định luật Newton th nhất chng tỏ r ng nếu không có lực tác dụng lên vật tr ạng thái đng yên, vật vẫn tiế p tục tr ạng thái đng yên; hay nếu vật đangchuyển động thì nó tiế p tục chuyển động vớ i tốc độ không đổi trên đườ ng thẳng.

Nhưng chuyện gì xảy ra nếu có lực truyền lên vật ? Newton nhận định rng tốcđộ ca vật s thay đổi. Một ngoại lực truyền lên vật s làm cho vận tốc ca vậtthay đổi. Chúng ta có thể nói r ng ngoại lực gây ra gia tốc. Sự chính xác về mốiliên hệ giữa gia tốc và lực là gì ? Newton phát biểu:

Gia tố c củ a mộ t vậ t t ỷ l ệ thuậ n vớ i ngoại l ự c tác d ụng lên vật và t ỷ

l ệ nghị ch vớ i khối lượ ng củ a vậ t. Chiều củ a gia tố c là chiều củ a ngoại

l ự c tác d ụ ng lên vậ t. Dạng công thc như sau:

Hay,

Định luật th hai ca Newton mô tả sự liên hệ chuyển động (gia tốc) vớ i nguyênnhân ca chuyển động (lực). Nó là một mối liên hệ cơ bản trong vật lý va

phương trình cn gọi là phương trình cơ bản ca động lực học.Có thể đư c viết dướ i dạng thành phần:

= =∑

.

i F Fa

m m

= =∑

.i

F F ma

= =∑

F F ma= = =∑ ∑ ∑, , .

ix x iy y iz z F ma F ma F ma







= + +

. X y z

F F i F j F k

Ví dụ: Mt khc g co khi lưng 0.3kg đăttrên măt ngang, ma st không đng k. Hai

lc tc dng lên khc g như hnh ve, lc co đ lơn 5.0 N, lc

2F

co đ lơn 8.0 N.

Xc đnh c đ lơn v chiu ca gia tckhc g.

Giải:

Gia tốc toàn phần:

Chiều ca gia tốc toàn phần đối với chiều dương trục x có

2.3. Định luật III NewtonĐịnh luật th hai ca Newton về chuyển động mô tả định lưng mối quan hệ giữa l ực tác vàchuyển động. Nhưng đây, chúng ta hỏi, lực đến từ đâu ? Quan sát cho biết r ng lực truyềnđến một vật nào đó luôn đưc truyền bi từ các vật khác. Con ngựa kéo xe bò, một người đẩymột thùng hàng tạ p hóa, một cái búa đóng vào một cái đinh, một nam châm hút muột k ẹ pgiấy,...

Nhưng Newton cho rng, các vật không thực hiện truyền lực một cách riêng l. Khi cái búatruyền một lực lên cái đinh thì cái đinh r õ ràng truyền lực ngư c chiều lên cái búa . Vì trướckhi truyền lực t ốc độ ca búa là nhanh dần đến không khi đến điểm tiếp xúc sau đó tốc độgiảm dần đến 0. Đi hỏi một lực mạnh là nguyên nhân làm hãm cái búa. Dođó, Newton nóir ng, cơ bản là hai vật phải đối xử công bng vớ i nhau. Cái búa truyền lực lên cái đinh, và cáiđinh cũng truyền lực ngư c tr lại cái búa. Đây là bản chất ca định luật th ba ca Newtonvề chuyển động:

1F







B B â â t t k k y y k k h hii n n a a o o vv â â t t 11 t t r ruu y yêê n n l l êê n n vv â â t t 2 2 m m ô ô t t l l ư ư c c 12 F

t t h hii vv â â t t 2 2 t t r ruu y yêê n n m m ô ô t t l l ư ư c c

b băă n n g g đ đ ô ô l l ơ ơ n n vv a a n n g gư ư ơ ơ c c c c h hiiêê uu 21F

l l êê n n vv â â t t 11 . .

12 21F = -F

Chú ý : Hai lực này có tổng bng không nhưng tác dụng ca chúng không khửnhau vì điểm đặt ca chúng khác nhau.

V dụ: Một sự nhận thc rng, hỏa tiển tăng tốc là b i vì khíđư c phun ra tácđộng lên khí quyển , đến lưt mình khí quyển đ ẩy tr lại bề mặt làm hỏa tiển làm tăng tốc đó. đúng không?Câu trả lời là Không đúng. Thực tế là hỏa tuyển truyềnlực mạnh vào chất khí, tống chúng ra ngoài; và chất khítruyền lực bng và ngư c chiều lên hỏa tiển. Sau đó lực

này đẩy hỏa tiển hướ ng tớ i - lực truyền lên hỏa tiển b ikhí (định luật th ba ca Newton). Xét trườ ng hp đi bộ như thế nào. Một ngườ i bắt đầuđi bộ bng cách đẩy bàn chân ngư c lại mặt đất. Sau đó mặt đất truyền một lực bng và ngư c chiều lên ngườ i, và vớ i lực này ngườ i chuyển động ngư c lại.(Nếu bạn nghi ngờ điều này, cố gắng đi bộ theo phương thẳng đng, lúc nàykhông có lực ma sát như trườ ng h p làm nhẵn nước đá). Theo một cách đơngiản, một con chim bay tr ngư c bng cách truyền một lực vào không khí,không khí đẩy tr lại lên cánh chim làm cho chim bị đẩy tới (định luật ba

Newton). Trong tự nhiên, lực ch xuất hiện khi có t ương tác và tương tác ch xảy ra đốivới ít nhất là có hai vật, từ đó cho thất lực luôn xuất hiện theo từng cặp. Mặt dùđộ lớn ca hai vật bng nhau nhưng tác dụng ca nó s khác nhau vì mỗi vật cókhối lưng quán tính khác nhau nên gia tốc mỗi vật thu đư c s khác nhau.

Hệ qu: T ổng các ni lc ca mt h cht điểm cô lập (còn gọi là h kín) làbng không .

§2. ĐỘNG LƯỢNG VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘNG LƯỢ NG

3.1. Động lư ng ca một cht đim

Một chất điểm có khối lưng m chuyển động với vận tốc v

thì động lưngP

ca chất điểm đưc tính bi:

P mv=

(2.6)

Động lưng đưc đo bng đơn vị kg.m/s.







3.2. Thiết lập các định lý v động lư ng

Theo định luật II Newton, một chất điểm có khối lưng m chịu tác dụng ca

một lực F

(hoặc tổng hp F

ca nhiều lực) thì s có gia tốc a

. Ta có:F ma=

Ta có thể viết lại phương trình trên:

( )

d mvdvF m

dt dt = =

; với m = const

Nếu đặt P mv=

gọi là động lưng ca chất điểm thì:

dPF dt =

(2.7a)

Định lý 1: Đạo hàm đng lượng ca mt cht điểm đối vi thời gian có giá trịbng lc (hay tổng hợp lc) tác dụng lên cht điểm đ ó.

Từ phương trình (2.7) suy ra:

dP Fdt =

(2.7b)

Tích phân hai vế ca (2.7’) trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 ng với sự biếnthiên ca động lưng từ 1P

đến 2P

ta đưc:

2

1

1 2

t

t

P P P F . dt ∆ = − = ∫

(2.8)

Đại lưng P∆

đưc gọi là xung lưng ca lực F

. Do đó ta có thể phát biểu:

Định lý 2: Đ bin thiên đng lượng ca mt cht điểm trong mt khoảng thời gian nào đó có giá trị bng xung lượng ca lc (hay tổng hợp lc) tác dụng lêncht điểm trong khoảng thời gian đó.

Khi lực F

không đổi theo thời gian thì (2.8) thành:

PP F . t F

t

∆∆ = ∆ ⇔ =

∆

(2.9)

tc là độ biến thiên động lưng ca chất điểm trong đơn vị thời gian có giá tr ị bng lực tác dụng lên chất điểm đó.

* Ý nghĩa ca đng lượng :

Trong chương động học ta đã biết vectơ vận tốc là đại lưng đặc trưng cho

chuyển động về mặt động học. Tuy nhiên, về mặt động lực học thì ta khôngnhững xem xét đến vectơ vận tốc chất điểm mà cn phải quan tâm đến khốilưng ca nó. Đại lưng vật lý kết hp cả khối lưng và vận tốc chính là động







lưng. Nói cách khác động lưng đặc trưng cho chuyển động về mặt động lựchọc.

Để hiểu rõ hơn điều này, ta xét đến ví dụ sau: Một quả cầu khối lưng m1 đang

chuyển động với vận tốc 1v

đến va chạm không đàn hồi với một quả cầu có khốilưng m2 đang đng yên. Sau va chạm, quả cầu m2 chuyển động với vận tốc 2v

và 2 1 v v≠

. Thực n ghiệm chng tỏ 2v

phụ thuộc vào 1v

và m1 ngh ĩa là phụ

thuộc vào động lưng 1 1 P mv=

ca quả cầu th nhất. Vận tốc 2v

càng lớn khi

1P

càng lớn. Như vậy ta có thể kết luận động lưng là đại lưng đặc trưng chokhả năng truyền chuyển động.

* Ý nghĩa xung lượng :

Xung lưng là đại lưng đặc trưng cho tác dụng ca lực trong một khoảngthời gian. Tác dụng ca lực không những phụ thuộc vào cường độ lực mà còn phụ thuộc vào thời gian tác dụng. Cùng một lực nhưng thời gian tác dụng lâu thìđộng lưng biến thiên nhiều và ngưc lại, nếu lực lớn nhưng thời gian tác dụngngắn thì động lưng ca chất điểm biến thiên ít.

§3. Ứ NG DỤNG PHƯƠNG TR ÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌCĐỂ KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT

Trong bài này, chúng ta sử dụng các định luật cơ bản ca động lực học đểgiải một số bài toán thường gặp trong kỹ thuật. Về cơ bản, ta có thể phân chiacác bài toán động lực thành 2 dạng đó là bài toán thuận và bài toán ngược.

- Bài toán thuận là lớp các bài toán mà với giả thuyết ta biết trước gia tốc cachất điểm, cần xác định lực tác dụng gây ra chuyển động.

- Bài toán ngưc là lớp các bài toán mà với giả thuyết ta biết trước ngoại lực tácdụng vào chất điểm, cần xác định gia tốc, vận tốc,...

4.1. Bài toán thuận Bài toán thuận là lớp các bài toán mà với giả thuyết ta biếttrước gia tốc, cần xác định ngoại lực tác dụng. Để giải bàitoán thuận ta cần xác định gia tốc chất điểm, sau đó áp dụngđịnh luật II Newton để xác định lực tác dụng lên chất điểm.

Ví dụ 1: Kéo một vật nặng khối lưng m lên cao nhanh dầnvới gia tốc a. Xác định lực kéo (hình 2-1).

Giải:

Lực tác dụng lên vật nặng gồm lực kéo k F

và tr ọng lưngvật P mg= .

k F

P mg=

Hình







Theo định luật II Newton ta có:

k F P ma+ =

Chiếu phương trình trên lên phương chuyển động ta đưc:

k F P ma− =

⇔ k

F ma P m( a g )= + = +

Ví dụ 2: Một người th sơn khối lưng M ngồi trong một chiếc ghế treo khốilưng m. Để lên cao nhanh với gia tốc a, anhta kéo dây với lực kéo F k . Xác định lực kéoFk và tr ọng tải Ft tác dụng lên móc treo (hình2-2).

Giải: Người th kéo dây với một lực k F − thì theođịnh luật III Newton, dây th nhất cũng chịutác dụng ca lực k F . Qua ròng r ọc, dây thhai s kéo ghế treo với lực k F .

Theo định luật II Newton, ta có:

2 k F P ( M m )a+ = +

Chiếu lên phương chuyển động, chọn chiều dương hướng lên, ta đưc: 2

k F ( M m )g ( M m )a− + = +

12 2

k

g a ( M m )g aF ( M m )

g

+ + = + = +

Ta nhận thấy lực kéo k F ch cần lớn hơn một nửa trọng lưng người và ghế cũng

đ để đưa người và ghế lên cao.

Tải trọng mà móc treo phải chịu:

2 1t k

aF F ( M m )g

g

= = + +

Ví dụ 3: Một ô tô trọng lưng P quacầu cong bán kính R với vận tốc v.Xác định áp lực mà ô tô tác dụng lêncầu (Hình 2-3). Bỏ qua lực ma sát.

Giải:

k F

k F

k

F

k F

t F

k

Hình

Hình







Các lực tác dụng lên ô tô gồm:

- Phản lực pháp tuyến ca mặt cầu N

.

- Tr ọng lưng P

ca ô tô.

Ta có thể phân tích trọng lưng P thành hai thành phần nP và

t P có độ lớn:

- .cosnP P α = tạo ra gia tốc pháp tuyến ca ô tô.

- .sint P P α = tạo ra gia tốc tiếp tuyến.

Theo định luật II Newton ta có: 2

v

P.cos N m. R

α − =

Phản lực pháp tuyến N: 2 2

v v

N P.cos m. mg cos R g.R

α α

= − = −

Nhận xét: Áp lực mà ô tô tác dụng lên cầu về giá trị bng phản lực pháp tuyến N

. N

luôn nhỏ hơn trọng lưng ô tô P mg= và tùy thuộc vào vận tốc chuyển

động ca ô tô.

4.2. Bài toán th hai ca động lự c học

Bài toán ngưc là lớp các bài toán mà với giả thuyết ta biết trước ngoại lực, cầnxác định gia tốc và khảo sát chuyển động. Để giải bài toán loại hai này cần xácđịnh cụ thể lực tác dụng lên từng chất điểm, sau đó xác định gia tốc chất điểmthu đưc. Nếu biết vị trí ban đầu ca chất điểm thì có thể xác định đưc hàm vậntốc và tọa độ theo thời gian tc là xác định phương trình chuyển động cũng như

phương tr ình quỹ đạo ca chất điểm.

Ví dụ 1: Một hệ chuyển động gồm hai xe khối lưng m1 và m2. Xác định chuyểnđộng ca hệ dưới trọng lưng P mg= (Hình). Hệ chuyển động không ma sát,khối lưng dây nối không đáng kể.

Giải:

Gọi T

là lực căng dây nối trọng vật m vàvật m1. Lực mà si dây kéo vật m1 là T ;lực mà si dây kéo trọng vật m là –T .

Đối với trọng vật m, ta có phương tr ình:

ma P F = −

Hình







Gọi T 1 là lực căng dây giữa vật m1 và m2. Đối với vật m1:

1 1 m a T T = −

Đối với vật m2:

2 1 m a T =

Vì si dây không dãn nên ta có thể khảo sát chuyển động ca hệ 3 vật như mộtthể thống nhất, nghĩa là gia tốc chuyển động ca các vật là như nhau. Ta có:

1 2 ( m m m )a P mg+ + = =

1 2

m

a gm m m

=+ +

Ta cũng có thể thu đưc kết quả bng cách cộng vế theo vế ca ba phương trìnhchuyển động đối với từng vật.

Chuyển động ca hệ vật là nhanh dần đều với gia tốc a. Chọn tọa độ ban đầu làso, vận tốc ban đầu vo, ta thu đưc phương trình chuyểnđộng:

2

0 0

1

2s s v t at = + +

Ví dụ 2: Một hệ gồm ba vật khối lưng m1 , m2 và m3

treo trên các si dây không dãn vắt qua các rng rọcnhư hình v (hình 2 -5). Khối lưng dây và rng rọckhông đáng kể. Xác định gia tốc mỗi vật.

Giải:

Gọi lực căng dây lần lưt là T 1 , T 2 , T 3 và a1 , a2 , a3 là giatốc ca các vật. Áp dụng công thc (2.2) cho ba vật, tađưc ba phương trình sau:

2

11 1 1 1 12

d xm a m m g F

dt

= = − (1)

2

22 2 2 2 22

d xm a m m g F

dt = = − (2)

2

33 3 3 3 32

d xm a m m g F

dt = = − (3)

Vì ròng r ọc không có khối lưng, dây không dãn nên ta có:

2 3 T T = (4)

1 2 3 T T T = + (5)

Hình







Chọn chiều dương theo hướng từ trên xuống như hình v, gốc tọa độ O là trụcquay ca rng rọc th nhất. Vị trí ca m1 là x1 , m2 là x2 , m3 là x3 và xo là vị trítr ục quay ca rng rọc th hai. Gọi r là bán kính ca rng rọc; l1 và l2 là chiềudài các si dây hai rng rọc, ta có phương trình:

1 1 o

x x r lπ + + =

2 0 1 0 2 ( x x ) ( x x ) r lπ − + − + =

Nhân phương tr ình đầu với 2 rồi cộng với phương trình th hai, ta đưc:

1 2 3 1 22 2 3 x x x l l r π + + = + −

Vi phân hai lần phương trình trên, ta có: 2 2 2

1 2 3

2 2 22 0

d x d x d x

dt dt dt + + = (6)

hay: 1 2 32 0a a a+ + = (6')

Từ các phương trình (1), (2), (3), (4), (5) và (6) ta có thể xác định đưc 6 ẩn sốlà a1 , a2 , a3 , T 1 , T 2 , T 3.

Lấy (1) trừ (2) và (3) ta thu đưc:

1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( )m a m a m a m m m g− − = − − (7)

Lấy (2) trừ (3) thu đưc:

2 2 3 3 2 3 ( )m a m a m m g− = − (8)

Giải hệ (6'), (7) và (8) ta thu đưc: 2

3 1 3 1 2 2 33 2

2 3 1 2 3

3 4

4d x ( m m m m m m )g

adt m m m ( m m )

− += =

+ + (9)

Thay (9) vào (8) ta tìm đưc: 2

2 1 2 1 3 2 32 2

2 3 1 2 3

3

4

d x ( m m m m m m )ga

dt m m m ( m m )

− += =

+ +

(10)

Thay (10) vào (9) vào (6) ta tìm đưc: 2

1 1 2 3 2 31 2

2 3 1 2 3

4

4

d x m ( m m ) m m ga

dt m m m ( m m )

+ −= =

+ + (11)

Thay (11) vào (1) ta tìm đưc lực căng dây:

1

81 2 3

4 ( )2 3 1 2 3

m m m g

m m m m m

T

+ +

=

Chú ý đến (4) và (5) ta tìm đưc:







2 3

41 2 3

4 ( )2 3 1 2 3

m m m g

T T m m m m m

= =+ +

§4. MÔMEN ĐỘNG LƯỢ NG CỦA CHUYỂN ĐỘNG

Các khái niệm về mômen lực và mômen động lưng liên quan chặt ch vớichuyển động quay ca chất điểm, ca hệ chất điểm và ca cả vật rắn, mà ta xemlà một hệ chất điểm đặc biệt; trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ ca vậtluôn không đổi trong quá trình chuyển động. Nhiều định luật quan trọng ca cơhọc liên quan chặt ch đến các đại lưng trên (chẳng hạn định lý về động lưng).

Trong bài này, chúng ta s nghiên cu đầy đ các khái niệm đó.

5.1. Mômen ca một vectơ lực đối v i một đim

Mômen ca một lực F

đối với một điểmgốc O chọn trước nào đó là một vectơ

đưc ký hiệu ( ) / o F M đưc xác định

bng biểu thc:

( ) / o F r F = ∧

M trong đó r

là bán kính vectơ vạch từ O

đến điểm đặt M ca lực F

.

Theo định nghĩa ca tích vectơ, mômen

/ o ( F ) M là một vectơ có:

- Gốc đặt tại O.

- Chiều đưc xác định theo qui tắc vặn nút chai, đó là chiều thuận đối với chiều

quay từ r

sang F

.- Độ lớn đưc xác định:

/ o ( F ) r.F .sin h.F α = = M

trong đó α là góc tạo bi hai vectơ r

và F

, còn h là hình chiếu ca r

theo phương vuông góc với lực.

Từ (2.11) ta thấy mômen ca lực F

không thay đổi khi điểm đặt lực A dịchchuyển dọc theo phương F

.

Nếu 1 2 3 i

i

F F F ... F F = + + + = ∑

thì ta có:

O

h

F

M







( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2 n

i

i i

r F r F r F . . .r F

r F

= × = × + × + + × =

= × =∑ ∑

i

M

M (2.12)

Vậy: Mômen ca nhiều lc tác dụng đồng thời đối vi điểm O bng tổng hìnhhọc các mômen ca các lc thành phần ly vi cùng điểm đó.

Mômen ca lc F

đối vi mt trục Oz nào đó là thành phần Z

M trên tr ục Oz

ca vectơ mômen lc

M đối vi điểm O.

Lưu ý: Cần phân biệt mômen lực đối với một điểm và mômen lực đối với mộttr ục. Mômen lực đối với một điểm là một đại lưng vectơ, cn mômen lực cacùng lực đó đối với một trục bất kỳ đi qua điểm đó là một đại lưng vô hướng.

Tính cht: - ( ) 0 / o F =

M khi 0F =

hay khi h = 0 ngh ĩa là F

có phương đi qua O.

- Mômen ca một vectơ đối với O là một hàm tuyến tính ca vectơ đó:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2 / o / o / o

/ o / o

F F F F

.F . F λ λ

+ = +

=

M M M

M M

(2.13)

- Khi hai lực1

F

và2

F

cùng phương ngưc chiều và cùng độ lớn tc là:

1 2 0F F + =

thì: ( ) ( )1 2 0 / o / oF F + = M M (2.14)

5.2. Mômen động lư ng

Mômen đng lượng L

ca mt cht điểm có khối lượng m chuyển đng vivận tốc v

đối vi mt điểm O nào đó là mt vectơ được xác định b ng biểu

thức:

( ) ( ) L r mv r P= × = × (2.15)

trong đó r

là bán kính vectơ vạch từ O đến vị trí ca chất điểm; P mv=

làđộng lưng ca chất điểm.







33

Mômen động lưng đối với một trục Oz nào đó là thành phầ n L Z trên tr ục Oz ca mômen động lưng L đối với điểm O.

5.3. Định lý mômen động lưng đối v i một cht đim

Xét một chất điểm chuyển động trên quỹ đạo (C) dưới tác dụng ca lực F

(hình 2-7).

Theo (2.7) đạo hàm theo thời gian vectơ động lưng P mv=

bng lực tácdụng F

:

( )

d mvdPF

dt dt = =

(2.16)

Nhân hữu hướng hai vế phương trình trên với r OM =

:

( ) d mv

r r F dt

∧ = ∧

(2.17)

Xét đạo hàm( ) d r mv

dt

∧

:

( ) ( ) d r mv d mvdr mv r

dt dt dt

∧ = ∧ + ∧

(2.18)

Vìdr

v / / m vdt =

nên 0dr

mvdt ∧ =

Vậy (2.18) có thể đưc viết lại:

( ) d r mvr F

dt

∧= ∧

(2.19)

Thay r mv L∧ =

; ( ) / or F F ∧ =

M ta đưc:

( ) / o

dLF

dt =

M

(2.20)Định lý mômen động lưng: Đạo hàm theo thời gian mômen đng lượng cacht điểm chuyển đng đối vi điểm cố định O bng tổng mômen đối vi O cacác lc tác dụng lên cht điểm.

Hệ qu: Trường hp chất điểm chịu tác dụng ca lực xuyên tâm (phương ca

lực tác dụng F

luôn đi qua O cố định) thì ( ) 0 / o F = M . Do đó:

0dL

L const dt

= ⇒ =

(2.21)







34

Mômen đng lượng ca cht điểm đối vi mt điểm cố định không thay đổitheo thời gian nu mômen lc đối vi điểm đó luôn bng không .

Phương ca vectơ L

luôn không đổi theo thời gian và vuông góc với mặt

phẳng tạo bi O và vectơ P

ngh ĩa là chất điểm M luôn chuyển động trong mộtmặt phẳng cố định.

§6. CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI VÀ NGUYÊN LÝ GALILÊ

6.1. Chuyn động tương đối

Trong chương 1 ta đã biết chuyển động là sự thay đổi vị trí ca chất điểmso với vật làm mốc và nếu trên vật mốc gắn với một hệ tọa độ thì nó lập thànhmột hệ qui chiếu. Khi đó vị tr í ca vật đưc xác định bi các tọa độ không gianvà chúng thay đổi theo thời gian. Tuynhiên ta vẫn có thể chọn các hệ quychiếu khác nhau để xác định chuyểnđộng ca chất điểm nên tọa độ cachất điểm trong các hệ đó là khácnhau vì đối với hệ này là vật chuyển

động nhưng đối với hệ khác có thể vậtlại đng yên. Vì vậy quá trình chuyểnđộng (hoặc đng yên) ch mang tínhtương đối hay nói chung chuyển độngcó tính tương đối.

6.2. Phép biến đổi Galileo

Xét hai hệ quy chiếu quán tính K và K’ chuyển động tương đối với nhau.Giả thiết hệ K đng yên và hệ K’ chuyển động với vận tốc vo về phía dươngca trục Ox. Ở đây ta ch xét trường hp trục x’ ca hệ K’ trùng với trục x cahệ K , tr ục y’ song song với trục y, tr ục z’ song song với trục z. Chọn thời điểmt = 0 là lúc gốc tọa độ O và O’ ca hai hệ trùng nhau.

Xét một điểm M bất kỳ trong không gian có tọa độ đối với hai hệ quy chiếu là(x, y, z) và (x’, y’, z’), ta có tọa độ ca vật trong hệ quy chiếu K :

' ' ' '

'; '; '

o x OO x x v t

y y z z t t

= + = +

= = = (2.22)

Ngưc lại tọa độ ca vật trong hệ quy chiếu K’:

Hình







35

' '

' ; ' ; 'o

x x v t

y y z z t t

= −= = =

(2.23)

Các công thc trên ch đúng khi tốc độ chuyển động tương đối ca hai hệ K và

K’ là r ất nhỏ so với tốc độ ánh sáng.

6.3. Tính chất tương đối ca không gian và tuyệt đối ca thời gian

Giả thiết rng trong hệ tọa độ K có hai sự kiện xảy ra tại thời điểm t 1 tọađộ x1 và tại thời điểm t 2 tọa độ x2.

Theo công thc biến đổi (2.23) trong hệ K’, hai sự kiện trên xảy ra tại các thờiđiểm t 1’ = t 1, tọa độ x1’ = x1 – vot 1 và tại thời điểm t 2’ = t 2 tọa độ x2’ = x2 – vot 2.

Như vậy khoảng cách giữa hai sự kiện hệ K’ là:( ) ( )2 1 2 1 0 2 1

' ' x x x x v t t − = − − − (2.24)

Nếu gọi khoảng cách giữa hai sự kiện hệ K là 2 1 l x x= − thì khoảng cáchgiữa hai sự kiện hệ K’ là 2 1

' 'l x x= − :

( )2 1' ol l v t t = − − (2.25)

' 0l > nếu ( )2 1

ol v t t > − (2.26)

' 0l = nếu ( )0 2 1 l v t t = − (2.27)

' 0l < nếu ( )0 2 1 l v t t < − (2.28)

Như vậy khoảng cách giữa hai sự kiện phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ quy chiếu.Tính chất này đưc gọi là tính cht tương đối ca không gian.

Ta có thể lấy ví dụ để mô tả tính chất tương đối ca không gian: hai bữa ănsáng và chiều trên một chuyến tàu đối với hệ quy chiếu đoàn tàu thì có thể coinhư xảy ra cùng một chỗ nhưng đối với hệ quy chiếu trái đất thì hai bữa ăn

đó xảy ra cách nhau hàng trăm kilômét. Mặt khác, theo công thc (2.23) khoảng thời gian giữa hai sự kiện hệ K’ là:' '

2 1 2 1t t t t − = − (2.29)

ngh ĩa là nếu hệ K hai sự kiện xảy ra như thế nào (sớm hơn, muộn hơn hayđồng thời) thì hệ K’ hai sự kiện đó cũng xảy ra hoàn toàn như vậy. Đó là tínhcht tuyt đối ca thời gian.

6.4. Tổng hp vận tốc và gia tốc







36

Trong hệ K’ giả sử cho một chất điểm chuyển động với vận tốc v’. Cácthành phần tọa độ ca chất điểm trong hệ K’:

' ' '' ; ' ; '

' ' ' x y z

dx dy dzv v v

dt dt dt

= = = (2.30)

Trong hệ K ta có:

( ) '( ') ' ; ( ) '( ')

( ) '( ') ; '

x t x t vt y t y t

z t z t t t

= + =

= = (2.31)

Do đó các thành phần vận tốc ca chất điểm trong hệ K là:

' '

'

' ''

' '

'

x x

y y

z z

dx dxv v v u

dt dt

dy dyv vdt dt

dz dzv v

dt dt

= = + = +

= = =

= = =

(2.32)

Tóm lại ta có công thc cộng vận tốc trong cơ học cổ điển Newton:

'v v u= +

(2.33)

Lấy đạo hàm công thc vận tốc (2.33) ta đưc phép biến đổi gia tốc:

' '' '

dv dv dua a Adt dt dt = = + = +

(2.34)

trong đó: a

là gia tốc ca chất điểm trong hệ K .

'a

là gia tốc ca chất điểm trong hệ K’.

A

là gia tốc ca hệ quy chiếu K’ đối với hệ quy chiếu K .

Trường hp hệ quy chiếu K’ chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu K ,

khi đó 0

'

du A

dt

= =

nên:

'a a=

(2.35)

Nếu nhân hai vế ca biểu thc này với m, ta có:

' 'ma ma F F = ⇔ =

(2.36)

với F

là lực gây ra chuyển động ca chất điểm trong hệ K , 'F

là lực gây rachuyển động ca chất điểm trong hệ K’.

Từ (2.36), ta có thể kết luận: M t h quy chiu chuyển đng thng đều so vimt h quy chiu quán tính cho trưc thì nó cng là mt h quy chiu quántính.







37

6.5. Nguyên lý tương đối Galile

Theo k ết luận trên, nếu O là hệ quy chiếu quán tính và hệ O’ chuyển động

thẳng đều đối với O thì O’ cũng là hệ quy chiếu quán tính. Như vậy phép biếnđổi Galilê thực hiện sự chuyển các tọa độ không gian thời gian từ hệ quy chiếunày sang hệ quy chiếu khác. Kết quả qua ph ép biến đổi Galilê, các phươngtrình động lực học ca định luật Newton vẫn giữ nguyên dạng khi chuyển đổitừ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác. Do vậy nộidung ca nguyên lý tương đối Galilê như sau:

Các phương tr ình cơ học bt bin đối vi phép bin đổi Galilê.

Ta cũng có thể phát biểu nguyên lý tương đối Galilê dưới dạng:

M t h quy chiu chuyển đng thng đều đối vi mt h quy chiu quán tínhcng là mt h quy chiu quán tính.

Hệ qu: M t h chuyển đng có gia tốc đối vi mt h quy chiu quán tính thìkhông phải là mt h quy chiu quán tính.

Chứng minh:

Xét hệ K’ chuyển động có gia tốc so với hệ quy chiếu quán tính K. Ta có:

'a a A= +

(2.37)

⇔ 'ma ma mA= +

⇔ 'F mA F = +

hay: 'F F mA= −

(2.38)

Đặt: qt F mA= −

(2.39)

Suy ra: ' + qt F F F =

(2.40)

Ta thấy tổng các ngoại lực tác dụng vào vật trong hệ chuyển động có gia tốc

khác với tổng các ngoại lực tác dụng vào vật đó trong hệ quy chiếu quán tính.

III. BÀI TẬP

1. Một vật đưc đặt trên một mặt phẳng nghiêng h p vớ i mặt phẳng nmngang một góc 4o

. Hỏi:a. Giớ i hạn ca hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng để vật có thể

trưt đư c trên mặt phẳng nghiêng đó.

b. Nếu hệ số ma sát bng 0,03 thì gia tốc ca vật bng bao nhiêu ? Khi đómuốn trư t hết quãng đườ ng s = 100m, vật phải mất thờ i gian bao lâu ?







38

c. Trong điều kiện ca câu hỏi b., vận tốc ca vật cuối quãng đư ờ ng100m bng bao nhiêu ?

2. Hai vật đưc nối với nhau bng một si dây mãnh treo qua một rng rọc masát không đáng kể (hình v.) Nếu trên mặt nghiêng ma sát không đáng kểvà vật 1 khối lưng 2.0 kg, vật 2 khối lưng 6.0 kg và 0

45θ = . Tìm (a) giatốc ca các vật , (b) lực căng ca dây nối và (c) tốc độ ca vật 1 sau khi rờikhỏi trạng thái đng yên 1s.

3. Hai lực cho bi1 ( 6.0 4.0 )F i j N = − −

và2

( 3.0 7.0 )F i j N = − +

tác dụng lên một vật khối lưng 2.0 kg ban đầu đng yên tại tọa độ (-2.0 m, +4.0m). (a) các thành phần vận tốc ca vật tại t = 10.0 s? (b) Ở thời điểm t = 10.0 s thìvật chuyển động theo chiều nào ? (c) quãng đường mà vật đi đưc trong khoảngthời gian 10.0 s? (d) tọa độ ca vật sau 10.0 s là bao nhiêu?

4. Một vật trư t từ đnh một mặt phẳng nghiêng h p vớ i mặt phẳng nm ngangmột góc 30o

. Chiều dài ca mặt phẳng nghiêng bng l = 167cm, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng k = 0,2; vận tốc ban đầu ca vật bngkhông. Hỏi sau bao lâu vật trư t hết mặt phẳng nghiêng ?

5. Từ đnh dốc A (OA = h, dốc nghiêng một góc so với phương ngang), mộtchất điểm khối lư ng m bắt đầu trư t xuống không ma sát. Xác định tại thờ iđiểm t và đối vớ i O:

a. Mômen tổng h p các lực tác dụng lên chất điểm. b. Mômen động lư ng ca chất điểm.

6. Một tàu điện, sau khi xuất phát, chuyển động vớ i gia tốc không đổi a =0,5m/s2. 12 giây sau khi bắt đầu chuyển động, ngườ i ta tắt động cơ ca tàuđiện và tàu chuyển động chậm dần đều cho tớ i khi dừng hẳn. Trên toàn bộ quãng đườ ng hệ số ma sát bng k = 0,01. Tìm:

a. Vận tốc lớ n nhất ca tàu. b. Thờ i gian toàn bộ k ể từ lúc tàu xuất phát cho tớ i khi tàu dừng hẳn.c. Gia tốc ca tàu trong chuyển động chậm dần đều.d. Quãng đườ ng toàn bộ mà tàu đã đi đư c.

7. Xác định gia tốc ca vật m1 trong hình bên. Bỏ qua

ma sát, khối lư ng ca ròng r ọc và dây. Áp dụng chotrườ ng h p m1 = m2.

8. Một chiếc xe có khối lư ng 20kg có thể chuyển độngkhông ma sát trên một mặt phẳng nm ngang. Trên xe có đặt một hòn đákhối lư ng 2kg, hệ số ma sát giữa hòn đá và xe là 0,25. Lần th nhất ngườ ita tác dụng lên hònđá m ột lực bng 2N, lần th hai bng 20N. Lực có phương nm ngang và hướ ng dọc theo xe. Xác định:

a. Lực ma sát giữa hòn đá và xe.

b. Gia tố

c c

a hònđá và xe trong hai trườ

ng h p trên.

m1

m2







39

A

B

9. a. Một viên đạn khối lư ng 10g chuyển động trong nòng súng một thờ i gian0, 001t giây và đạt vận tốc Vo = 200m/s đầu nòng súng. Tìm lực đẩy

trung bình ca hơi thuốc súng lên đầu đạn. b. Vớ i vận tốc đầu nòng trên, viên đạn đậ p vào một tấm gỗ và xuyên sâu

vào tấm gỗ một đoạn l. Biết thờ i gian chuyển động ca đạn trong tấm gỗ là t= 4.10-4giây. Xác định lực cản trung bình ca tấm gỗ lên viên đạn và độ xuyên l ca viên đạn.

10. Trên một đĩa nm ngang đang quay, người ta đặt một vật có khối lư ngm = 1kg cách tr ục quay r = 50cm. Hệ số ma sát giữa vật và đĩa b ng k =0,25. Hỏi:

a. Lực ma sát phải có độ lớ n bng bao nhiêu để vật đư c giữ trên đĩa nếuđĩa quay vớ i vận tốc n = 12 vòng/phút ?

b. Vớ i vận tốc góc nào thì vật bắt đầu trư t khỏi đĩa ?

11. Một thang máy kh i hành không vận tốc đầu từ một độ cao h = 100m.Trong 20m đầu thang máy chuyển động nhanh dần đều và đạt đư c vận tốcv = 2m/s. K ế đó thang máy chuyển động đều trong quãng đư ờ ng 70m. Saucùng thang máy chuyển động chậm dần đều và đến mặt đất vớ i vận tốc triệttiêu.

a. Tính gia tốc ca thang máy trong 3 giai đoạn chuyển động. b. Một khối lưng M = 2kg đư c treo vào đầu một lực k ế lò xo gắn vào

tr ần thang máy. Xác định độ ch ca lực k ế trong 3 giai đoạn.c. Xác định tr ọng lư ng biểu kiến ca một ngườ i nặng 60kg đng trong

thang máy.Cho g = 10m/s2.12. Ngườ i ta gắn vào mép bàn (nm ngang) một ròng r ọc có khối lư ng

k hông đáng kể. Hai vật A và B có khối lư ng bng nhau mA = mB = 1kgđư c nối vớ i nhau bng một s i dây vắt qua ròng r ọc. Hệ số ma sát giữa vậtB và mặt bàn là k = 0,1. Tìm:

a. Gia tốc ca hệ. b. Lực căng ca dây.Coi ma sát ròng r ọc là không đáng kể.

13. Một bản gỗ A đưc đặt trên một mặt phẳng nm ngang. Bản A đư c nối vớ i bản Bkhác bng một s i dây vắt qua một ròng r ọccố định (hình v). Khối lư ng ca ròng r ọcvà ca dây coi như không đáng kể.

a. Tính lực căng ca dây nếu cho mA =200g, mB = 300g, hệ số ma sát giữa A và mặt bàn nm ngang k = 0,25.

b. Nếu đổi vị trí ca A và B thì lực căngdây s bng bao nhiêu ? Xem hệ số ma sát vẫn như cũ.







40

14. a. Một ô tô khối lư ng 1 tấn chuyển động trên một đườ ng bng, hệ số ma sát giữa bánh ô tô và mặt đườ ng là 0,1. Tính lực kéo ca động cơ ô tôvớ i gia tốc bng 2m/s2.

b. Cũng câu hỏi trên nhưng cho trườ ng h p ô tô chuyển động đều và:

+ Lên dốc có độ dốc 4%.+ Xuống dốc nghiêng 4% đó.

Hệ số ma sát bng 0,1 trong suốt thờ i gian chuyển động.15. Hai vật có khối lư ng M = 0,8kg và m = 0,7kg đư c nối vớ i nhau nhờ

một dây khối lưng không đáng kể. Vật m chuyển động theo phương thẳngđng, vật M trư t không ma sát trên một mặt phẳng nghiêng một góc 30o đối vớ i mặt phẳng ngang. Cho g = 10m/s2.

a. Tính gia tốc ca hệ và sc căng ca dây. b. Sau thờ i gian 1 giây k ể từ lúc hệ thống đư c thả ra không vận tốc đầu

ngườ i ta cắt dây nối liên m và M. Khảo sát chuyển động ca M sau đó. 16. Một vật có khối lưng m = 200g đư c treo đầu một s i dây dài l =40cm. Vật quay trong mặt phẳng nm ngang vớ i vận tốc không đổi sao chos i dây vạch một mặt nón, giả sử khi đó dây tạo với phương thẳng đng mộtgóc 60o. Tìm vận tốc ca vật và sc căng ca dây.

17. Một xe khối lư ng 15tấn chuyển động chậm dần đều vớ i gia tốc có độ lớ n bng 0,49m/s2. Biết vận tốc ban đầu ca xe là Vo = 27km/h. Hỏi:

a. Lực hãm tác dụng lên xe. b. Sau bao lâu xe dừng lại.

18. Một xe khối lư ng 20 tấn chuyển động chậm dần đều dướ i tác dụng camột lực bng 6000N, vận tốc ban đầu ca xe bng 15m/s. Hỏi:a. Gia tốc ca xe. b. Sau bao lâu xe dừng lại.c. Đoạn đường xe đã chạy đư c k ể từ lúc hãm cho tớ i khi xe dừng hẳn.

19. (a) Một viên đạn khối lư ng 10g chuyển động trong nòng súng một thờ igian 0.001 giây và đạt vận tốc V

o = 200m/s đầu nòng súng. Tìm lực đẩy

trung bình ca hơi thuốc súng lên đầu đạn và (b) Vớ i vận tốc đầu nòng trên,viên đạn đậ p vào một tấm gỗ và xuyên sâu vào tấm gỗ một đoạn l. Biết thờ i

gian chuyển động ca đạn trong tấm gỗ là t = 4.10-4

giây. Xác định lực cảntrung bình ca tấm gỗ lên viên đạn và độ xuyên l ca viên đạn.

20. Một ngườ i di chuyển một chiếc xe vớ i vận tốc không đổi. Lúc đầu ngườ iấy kéo xe về phía trước, sau đó người đó đẩy xe về phía sau. Trong cả haitrườ ng hp phương tác dụng lực ca người đó so vớ i mặt phẳng nm nganglà không đổi.

Hỏi trong trườ ng h p nào ngườ i ấy phải đặt lên xe một lực lớn hơn ? Biếtr ng tr ọng lư ng xe là P, hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đườ ng là K.







41

CHƯƠNG 3

ĐỘNG LỰ C HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM

Chương này khảo sát động lực ca một hệ chất điểm, đặc biệt quan tâmđến chuyển động ca một vật rắn. Ở chương này ta s nghiên cu các phươngtrình cơ bản ca chuyển động ca vật rắn và hai định luật bảo toàn cơ bản đó làđịnh luật bảo toàn động lưng và định luật bảo toàn momen động lưng.

I. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU

1. Nắm định nghĩa khối tâm và vận dụng để xác định khối tâm ca một

vật. 2. Nắm và vận dụng đưc định luật bảo toàn động lưng. 3. Xác định đưc mômen động lưng, mômen quán tính một vật rắn quay

quanh một trục đi qua (hoặc không đi qua) vật rắn.

II. NỘI DUNG

§1. KHỐI TÂM

Trong bài này chúng ta s thảo luận về các dạng chuyển động ca hệ cơ học dưới dạngmột điểm đặc biệt gọi là khối tâm ca hệ . Hệ cơ học có thể là hệ các hạt như là tập hp cácnguyên tử trong một bình cha , một vật rắn ,…Chúng ta s thấy rng khối tâm ca hệ chuyển độngnhư toàn bộ khối lưng ca hệ tập trung tại mộtđiểm. Do đó , nếu có ngoại lực tác dụng vào hệ là

iF ∑ và tổng khối lưng ca hệ là M

, khối tâm ca

hệ chuyển động với gia tốc /ia F M = ∑ . Chuyển động như vậy cũng giống như chuyển

động ca một điểm có khối lưng M nm tại tâm ca hệ.

Xét một hệ cơ học bao gồm một tập hp các hạt có khối lưng khác n hau liên hệ với

nhau bng một thanh kim loại mãnh . Có một vị trí gọi là vị trí trung bình khối lưng ca hệngười ta gọi là khối tâm . Khối tâm ca hệ nm một nơi nào đó trên đường nối các hạt vàgần với hạt có khối lưng lớn hơn. Nếu một lực tác dụng vào một nơi nào đó trên thanh kimloại nm giữa khối tâm và hạt khối lưng bé hơn ,hạt quay theo chiều kim đồng hồ . Nếu lực tác dụngvào một nơi giữa khối tâm và vật khối lưng lớnhơn thì vật quay ngưc chiều kim đồng hồ . Nếu lựctác dụng vào khối tâm thì vật chuyển động tịnh tiến

mà không quay. Do đó, khối tâm ca hệ có thể đưcxác định dễ dàng.

1.1. Định ngh a







42

Giả sử có một hệ gồm hai chất điểm M1 và M2 có khối lưng m1 và m2 đặttrong tr ọng trường đều. Khi đó hai chất điểm chịu tác dụng ca trọng lực

1 1 P m g= và 2 2 P m g=

. Điểm đặt ca tổng hp hai trọng lực là điểm G nmtrên M1M2 sao cho:

1 2 2

1 12

M G m g m

m g m M G= − = − hay 1 1 2 2 0m M G m M G+ =

Ta có thể viết biểu thc trên dưới dạng vectơ như sau:

1 1 2 2 0m M G m M G+ =

(3.1)Điểm G thỏa mãn (3.1) đưc gọi là khối tâm ca hệ chất điểm M1M2. Từ đó,tổng quát hóa ta có thể định nghĩa khối tâm ca một hệ bất kỳ gồm n chất điểmnhư sau:

Khối tâm ca một hệ chất điểm M1, M2, ..., Mn lần lưt có khối lưng m1, m2,..., mn là một điểm G xác định bi đẳng thc:

1 1 2 2 ... 0n nm M G m M G m M G+ + + =

Hay1

. 0n

i i

i

m M G=

=∑

(3.2)

Bây giờ ta s xác định tọa độ k hối tâm G đối với một gốc tọa độ O nào đó. Đốivới một chất điểm th i, ta có:

i iOG OM M G= +

(3.3)

Nhân hai vế ca (3.3) với m rồi cộng các phương trình nhận đưc theo vế từ 1đến n, ta đưc:

1 1 1

n n n

i i i i i

i i i

m OG m OM m M G= = =

= +

∑ ∑ ∑

Với chú ý (3.2) ta đưc:

1 1

n n

i i i

i i

m OG m OM = =

=

∑ ∑

Suy ra: 1

1

.

n

i i

i

n

i

i

m OM

OG

m

=

=

=∑

∑

(3.4)

Đặt OG R=

với ba tọa độ là X, Y, Z và i iOM r =

với ba tọa độ là xi , yi , zi; biểu thc (3.4) thành:

1

1

.n

i i

i

n

i

i

m r

R

m

=

=

=∑

∑

(3.5)

Vậy tọa độ khối tâm G đưc xác định bi ba tọa độ:







43

1 1 1

1 1 1

. . .

; ;

n n n

i i i i i i

i i in n n

i i i

i i i

m x m y m z

X Y Z

m m m

= = =

= = =

= = =∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ (3.6)

VVii dduu 11:: Ba vật khối lưng lần lưt là và Xác địnhkhối tâm ca hệ ba vật trên.

LLơ ơ ii ggiiaa ii :: Chúng ta sử dụng đị nh nghĩacác phương trình theo các thành phầntọa độ ca khối tâm và chú ý rng, zCM =0. Chúng ta thu đưc:

VVii dduu 22:: ((aa)).. Hảy chng tỏ khối tâm ca một thanhkhối lưng M và chiều dài L nm giữa các đầu ,giả thuyết thanh có mật độ khối lưng không đổi .(b) Giả sử mật độ khối lưng không đều mà biếnđổi tuyến tính theo trục x đưc biểu diễn là

, xλ α = đây α là hng số . Tìm khối tâm t rên

trục x theo L.LLơ ơ ii ggiiaa ii:: aa.. Gọi mật độ khối lưng là λ .







44

b. Do , xλ α = nên:

Ta lại có,

Ta đưc:

1.2. Vận tốc khối tâm

Gọi V

là vận tốc khối tâm. Ta có:

i i ii i

i ii i

dr m m v

dt dRV

dt m m= = =

∑ ∑

∑ ∑

(3.7)

với i i

dr vdt =

là vận tốc ca chất điểm th M i.

Mặt khác ta lại có i i i

i i

m v p P= =∑ ∑

là tổng động lưng ca hệ. Do đó

vận tốc khối tâm ca hệ là:

ii

PV

m=

∑

(3.8)

Suy ra: .ii

P m V

= ∑

(3.9)

Kết luận: T ổng đng lượng ca h bng tổng đng lượng ca mt cht điểmđt tại khối tâm ca h, có khối lượng bng tổng khối lượng ca h và có vậnt ốc bng vận tốc khối tâm ca h.

1.3. Phương tr ình chuyển động ca khối tâm

Giả sử n chất điểm M1, M2, ..., Mn ca hệ lần lưt chịu tác động ca các lực

1 2, , ..., nF F F

chuyển động với gia tốc 1 2, , ..., na a a

và thỏa mãn định luật II

Newton i i iF m a= . Đạo hàm vận tốc khối tâm (3.8) theo thời gian, ta tìm đưc phương tr ình chuyển động ca khối tâm:







43

.

ii

ii i i i

i i i i

i

dvm

dt dV dV m m a F

dt m dt

= ⇔ = =

∑∑ ∑ ∑∑

hay: .i i ii i

m a F

=

∑ ∑

(3.10)

trong đódV

adt

=

là vectơ gia tốc ca khối tâm. Tóm lại, ta có thể kết luận:

Khối tâm ca h chuyển đng như mt cht điểm có khối lượng bng tổngkhối lượng ca h và chịu tác dụng ca mt lc bng tổng hợp ngoại lc tácd ụng lên h.

§2. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢ NG

2.1. Thiết lập

Như ta đã biết, tổng động lưng P

ca hệ gồm n chất điểm là:

1 1 2 21

...n

n n i ii

P m v m v m v m v=

= + + + = ∑

và ( )1 1 2 2 ... n n

dP d F m v m v m v

dt dt

= = + + +

trong đó F

là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ. Nếu hệ chất điểm cô lập tc không có ngoại lực tác dụng hoặc ngoại lực tác

dụng vào hệ cân bng nhau thì:

( )1 1 2 2 ... 0n n

d m v m v m v

dt + + + =

hay 1 1 2 2 ... n nm v m v m v const + + + =

(3.11)Vậy: T ổng đng lượng ca mt h cô lập là mt đại lượng được bảo toàn. Trường hp hệ chất điểm không cô lập nghĩa là 0F ≠

nhưng hình chiếu

ca F lên một phương nào đó (giả sử phương x) luôn bng 0 thì hình chiếuca vectơ:

( )1 1 2 2 ... n n

d m v m v m v F

dt + + + =

lên phương đó s là:

1 1 2 2 ... x x n nxm v m v m v const + + + = (3.11’)Vậy: Hình chiu ca tổng đng lượng ca h không cô lập lên phương x là

mt đại lượng được bảo toàn.

2.2. Ứ ng dụng ca định luật bo toàn động lư ng







44

2.2.1 Hiện tưng giật lùi ca súng

Một khẩu súng có khối lưng M đặt trên bệ súng chuyển động không ma sáttrên đường ray; nng súng có một viên đạn khối lưng m. Giả sử súng nhả đạn

theo phương nm ngang v à vận tốc viên đạn khi ra khỏi nng súng là v 0. Tìmvận tốc ca bệ súng ngay sau khi bắn biết rng trước khi bắn bệ súng đng yên.

Ta thấy hệ súng đạn chịu tác dụng ca hai lực: trọng lực P

và phản lực N

.Do hệ súng đạn đưc đặt nm ngang nên P

và N

tr ực đối nhau. Khi đó:

0F P N = + =

Vì vậy ta có thể xem hệ súng đạn như là một hệ cô lập. Gọi 1 2, ,v v v

lần lưt là vận tốc ca hệ trước khi nhả đạn; vận tốc ca bệ

súng sau khi nhả đạn và vận tốc đạn sau khi nhả đạn. Vì trước khi bắn thì hệ

súng đạn đng yên nên vận tốc trước khi bắn 0v =

.Động lưng ca hệ trước khi nhả đạn: ( ) 0t P M m v= + =

Động lưng ca hệ sau khi nhả đạn: 1 2 sP Mv mv= +

Vì hệ đưc xem là cô lập nên tổng động lưng ca hệ đưc bảo toàn nghĩa là

động lưng ca hệ trước khi bắn bng động lưng hệ sau khi bắn:

1 2 0s t P P Mv mv= ⇔ + =

Chọn chiều dương là chiều chuyển động ca viên đạn, chiếu phương trình

trên phương chuyển động, ta đưc:

1 2

0 Mv mv+ = Vậy vận tốc giật lùi ca súng sau khi bắn là:

21

.m vv

M = − (3.12)

Dấu trừ chng tỏ súng chuyển động ngưc chiều chuyển động ca viên đạn.Về giá trị ta thấy vl tỷ lệ với m và tỷ lệ nghịch với M .

2.2.2 Chuyn động ca tên lửa

Tên lửa là một hệ cơ hoạt động theo nguyên lý phản lực. Bên trong tên lửacha một hỗn hp khí nóng. Nếu hỗn hp khí nóng đưc phụt ra phía sau thìtheo định luật bảo toàn động lưng tên lửa s chuyển động về phía trước.Trong quá trình hoạt động khối lưng ca tên lửa s thay đổi theo thời gian.

- Gọi thời điểm ban đầu là t0 thì khối lưng tên lửa là M0, vận tốc là 0V

. Ở

thời điểm t, tên lửa có khối lưng M và vận tốc V

. Độnglưng ca tên lửa lúc này là:

1 p MV =

- Trong khoảng thời gian rất bé dt thì tên lửa phụt ra phía sau khối lưng khí

là dM 1:







45

- Gọi v

là vận tốc phụt khí đối với tên lửa thì ( ) v V +

là

vận tốc phụt khí đối với hệ quy chiếu đang quan sát (mặt

đất). Ta có động lưng khí phụt ra là ( )1 dM v V +

.

- Sau khi phụt đi khối lưng khí dM 1, khối lưng cn lại ca tên lửa là( ) M dM + với chú ý:

1 dM dM = − (3.13)

và vận tốc tên lửa tăng lên thành ( ) V dV +

.

Động lưng tên lửa sau khi phụt khí là: ( )( ) M dM V dV + +

. Suy ra động

lưng ca hệ sau khi phụt khí là:

( )( ) ( )2 1 p M dM V dV dM v V = + + + +

Nếu bỏ qua trọng lưng thì hệ gồm tên lửa và khối khí phụt xem như cô lậpngh ĩa là tuân theo định luật bảo toàn động lưng:

( )( ) ( )2 1 p p M dM V dV dM v V M V

MdV vdM

dM dV v

M

= ⇔ + + − + =

⇔ =

⇔ =

Phương tr ình trên đưc gọi là phương trình chuyển động Messesski.

Đối với tàu vũ trụ V

và v cùng phương ngưc chiều nên: dM

dV v M

= − (3.14)

Tích phân hai vế phương trình (3.14), ta đưc:

( ) ( ) ln ln

o o o

t t t

o

t t t

dM dM dV v v v M M

M M = − = − = − − ∫ ∫ ∫

⇔ ( ) ( ) ln lno oV V v M M − = −

⇔ 00 ln M V v V

M = +

(3.14’)

Theo công thc trên, muốn cho vận tốc tên lửa lớn thì vận tốc phụt khí (đối

với tên lửa) và tỷ số 0M

M phải lớn. Trong thực tế, tên lửa đưc chia làm nhiều

tầng. Khi đốt hết nhiên liệu, các tầng s tự động tách khỏi để giảm khối lưngtên lửa.

§3. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN







46

Vật rắn là một hệ chất điểm đặc biệt mà khoảng cách giữa các chất điểmluôn không thay đổi trong quá trình chuyển động ca hệ. Vì vậy về nguyên tắckhi nghiên cu chuyển động ca vật rắn có thể áp dụng các phương trình độnglực học về chuyển động ca hệ chất điểm. Tuy nhiên, chuyển động ca vật rắn

cũng có đặc thù riêng mà ta có thể quy về tích ca hai chuyển động cơ bản làchuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.

3.1. Các dạng chuyn động cơ bn ca vật rắn

3.1.1 Bậc tự do ca vật rắn

Khi mô tả chuyển động ca vật rắn, ta cần phải xác định đưc vị trí ca nó.Để làm đưc điều này ta cần xác định vị trí ca ba điểm bất kỳ không thẳnghàng trên vật rắn nghĩa là xác định vị trí ca một tam giác bất kỳ gắn liền vớivật. Với ba điểm đó, trong không gian ta s có chín tọa độ. Tuy nhiên, do tínhchất ca vật rắn, ba điểm chính là 3 đnh ca một tam giác xác định nên 9 tọađộ liên hệ với nhau bng 3 phương trình xác định độ dài không đổi ca ba cạnhtam giác, thành thử ch có 6 tọa độ là độc lập. Do đó để xác định vị trí ca vậtr ắn ch cần 6 tọa độ độc lập hay 6 tham số độc lập.

Vậy: S ố tham số đc lập cần thit để xác định hoàn toàn vị trí ca vật rngọi là số bậc t do ca nó.

Vật rắn hoàn toàn tự do có sáu bậc tự do. Nếu vật rắn không hoàn toàn tự do

thì số bậc tự do ca nó s giảm xuống. Ví dụ: vật rắn có một điểm cố định thì ba tọa độ ca điểm đó hoàn toàn xác

định nên vật rắn ch cn 3 bậc tự do. Vật rắn có 2 điểm cố định thì s có 5 thamsố cố định nên nó ch cn một bậc tự do. Vật rắn ch có thể quay quanh đườngthẳng nối hai điểm trên và bậc tự do cn lại xác định vị trí vật quay quanh trụccố định.

3.1.2 Chuyn động tịnh tiến ca vật rắn

Chuyển động ca vật rắn là chuyển động mà trong đó vectơ AB - đưc xácđịnh bi hai điểm bất kỳ A và B ca vật rắn - luôn bng với chính nó đưc gọilà chuyển động tịnh tiến. Khi một vật chuyểnđộng tịnh tiến thì mọi chất điểm ca nóchuyển động theo những quỹ đạo giống nhauvà chúng có cùng vectơ vận tốc và vectơ giatốc. Nếu n chất điểm ca vật rắn có khốilưng m1, m2..., mn chịu tác dụng các lực

1 2, , ..., nF F F

tương ng và chúng có cùng

gia tốc a

thì các vectơ lực 1 2, , ..., nF F F

songsong và cùng chiều. Khi đó theo định luật II Newton ta có:

A

B

A

B

Hình







47

1 1

.n n

i ii i

m a F = =

=

∑ ∑

(3.15)

Đây là phương tr ình chuyển động ca vật rắn tịnh tiến; nó có dạng tương tự

phương tr ình chuyển động ca một chất điểm với khối lưng bng tổng khố ilưng vật rắn, chịu tác dụng một lực bng tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn.(3.15) cũng là phương trình chuyển động ca khối tâm nên khi khảo sát chuyểnđộng tịnh tiến ta ch cần khảo sát chuyển động ca một điểm bất kỳ ca vậtr ắn; thường người ta chọn khối tâm ca vật.

3.1.3 Chuyn động quay ca vật rắn

Chuyển động quay ca vật rắn quanh một trục Δ là chuyển động trong đó

mọi điểm ca vật rắn nm trên Δ đều cố định trong quá trình chuyển động.Tr ục Δ đưc gọi là trục quay ca vật rắn. Tính cht:

- Các điểm ca vật rắn nm ngoài trục quay đều chuyển động theo nhữngquỹ đạo trn có tâm nm trên Δ và trong những mặt phẳng vuông góc với Δ.

- Khi vật rắn ch quay quanh một trục Δ thì số bậc tự do ca nó là một.Tọa độ độc lập đó chính là góc quay θ. Để biết vị trí ca vật rắn thời điểm bấtk ỳ, ta cần biết sự biến thiên ca θ theo thời gian:

( ) f t θ =

- Trong chuyển động quay ca vật rắn quanh một trục, các điểm ca vậtr ắn đều có cùng góc quay, do đó có cùng vận tốc góc và gia tốc góc.+ Vận tốc góc ω trong chuyển động quay ca vật rắn bng đạo hàm theo

thời gian góc quay θ:

0 lim

t

d

t dt

θ θ ω

∆ →

∆= =

∆

+ Gia tốc góc β trong chuyển động quay ca vật rắn bng đạo hàm theothời gian ca vận tốc ω hay bng đạo hàm bậc hai theo thời gian ca góc quayθ:

2

20 lim

t

d d t dt dt

ω ω θ β ∆ →

∆= = =∆

3.2. Chuyn động quay ca vật rắn quanh một trục cố định

Khi vật rắn quay quanh một trục (nm trong hay nm ngoài vật rắn đó) thìmọi chất điểm mi trên vật rắn đều quay quanh trục với cùng một vận tốc góc,đồng thời có quỹ đạo là những đường trn nm trong mặt phẳng vuông góc vớitr ục quay. Tâm ca đường trn nm ngay trên trục quay và bán kính đườngtròn r i đưc tính từ chất điểm mi đến trục quay. Muốn vật rắn quay đưc thì







48

phải tác dụng lực lên vật r ắn đó và để vật rắn quay đưc thì lực này không thểsong song với trục quay cũng như có giá đi qua trục quay.

3.2.1 Tác dụng ca lực trongchuyn động quay

Xét một vật rắn có thể quay quanhmột trục cố định Δ dưới tác dụng calực F

đặt tại điểm M. Ta có thể phân

F

thành hai thành phần:

// F F F ⊥= +

trong đó F ⊥ ⊥

với trục, // //F

vớitr ục. Lực F ⊥

nm trong mặt phẳngvuông góc với trục Δ đi qua M có thể phân tích thành hai thành phần:

t nF F F ⊥ = +

K ết hp hai phương trình trên ta có:

// t nF F F F = + +

Từ hình (3-2) ta nhận thấy:

- Thành phần //F

không gây ra chuyển động q uay mà ch có tác dụng làmvật rắn trưt dọc theo trục quay. Điều này không thể xảy ra vì ta đã giả thiếtvật rắn ch quay quanh trục Δ.

- Thành phần nF

cũng không gây ra chuyển động quay; nó ch có tác dụngkéo vật rắn rời khỏi trục quay. Trường hp này cũng không thể xảy ra.

- Như vậy chuyển động quay ca vật rắn dưới tác dụng ca lực F

tươngđương với tác dụng ca thành phần t F

.

Từ những nhận xét trên ta có thể kết luận: Trong chuyển đng quay ca mt vật rn quanh mt trục chỉ những thành

phần lc tip tuyn vi quỹ đạo ca cht điểm tại nơi trùng vi điểm đt camt lc mi có tác dụng thc s gây ra chuyển đng quay.

3.2.2 Mômen ca lực đối vi trục quay

Thực nghiệm chng tỏ tác dụng ca lực không những phụ thuộc vào cườngđộ lực mà cn phụ thuộc vào khoảng cách r . Khoảng cách r càng lớn thì tácdụng lực càng mạnh. Để đặc trưng cho tác dụng ca lực trong chuyển độngquay, người ta đưa ra khái niệm mômen lc.

Định nghĩa: Mômen ca lực t F

đối với trục quay Δ là một vectơ ( )/ t F ∆

M xác định bi biểu thc:

O

M //F

F

F ⊥

n

F

M

rt F

Hình 3-2 Tác dụng củal ực trong chuyển động







49

( )/ t t F r F ∆ = × M (3.16)

M có phương dọc theo trục Δ nghĩa là nó vuông góc với mặt phẳng cha r

và t F

(hình 3-2), có chiều thuận là chiều quay từ r

sang t F

và có độ lớn:

( ) ( )/ . .sin ,t t t F r F r F ∆ = M (3.17)

Chú ý: + Nếu //F ∆

thì ( )/ 0F ∆ =

M .

+ Nếu F

có hướng bất kỳ thì có thể phân tích F

thành hai thành phần F ⊥

và //F

. Khi đó mômen ca F

đối với trục Δ tương đương với mômen ca lực

F ⊥

đối với Δ. + Nếu có nhiều lực tác dụng thì mômen tổng hp đối với trục Δ bng tổng

mômen ca các lực thành phần đối với cùng trục đó.

( ) ( ) ( ) ( )/ / / / /1 2

1

...n

n i

i

F F F F ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

=

= + + + = ∑ M M M M M (3.18)

3.2.3 Thiết lập phương trnh cơ bn ca chuyn động quay Xét một chất điểm bất kỳ có khối lưng mi ca vật rắn cách trục quay một

khoảng r i và chịu tác dụng ca ngoại lực tiếp tuyến tiF

; chất điểm có gia tốc

tia

. Theo định luật II Newton ta có:

.i ti tim a F =

Nhân hữu hướng hai vế với bán kính vectơ ir

, ta đưc:

[ ].i i ti i tim r a r F × = ×

(3.19)

Chú ý i ti ir F × =

M là mômen ca tiF

đối với trục quay. Vectơ

ti ia r β = ×

là gia tốc ca chất điểm i trên quỹ đạo. Do đó tích:

[ ] ( ) ( ) 2 . . . . .i ti i i i i i i ir a r r r r r r r β β β β × = × × = − =

với

( ). 0ir β =

vì ir β ⊥

.

Vậy (3.19) đưc viết lại:

( )2 . .i im r β =

iM (3.20)







50

Đại lưng vô hướng ( )2 .i im r bng tích khối lưng chất điểm với bình

phương khoảng cách ca nó đến trục đưc gọi là mômen quán tính ca chấtđiểm đối với trục quay.

Lấy tổng cho tất cả các khối lưng nguyên tố (chú ý tổng các mômen nội lực bng 0), phương trình (3.20) có dạng:

2. .i i ii i

m r β

= = ∑ ∑

M M

(3.21)

M là tổng hp mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn; 2. Ii i

i

m r = ∑

đưc gọi là mômen quán tính ca vật rắn đối với trục quay. Khi đó (3.21) dưcviết thành:

I. β =

M (3.22)Đây là phương tr ình cơ bản ca chuyển động quay ca vật rắn xung quanh

một trục. Nó có dạng giống phương trình định luật II Newton chỗ mômen lựcđóng vai tr ò ca lực, mômen quán tính đóng vai tr ca khối lưng và gia tốc

góc đóng vai tr ò ca gia tốc dài. Từ (3.22) ta cũng có thể viết:

I β =

M

(3.23)

Gia t ốc góc trong chuyển đng quay ca vật rn xung quanh mt trục tỷ lvi tổng hợp mômen các ngoại lc đối vi trục và tỷ l nghịch vi mômenquán tính ca vật rn đối vi trục đó.

3.3. Tính mômen quán tính

Mômen quán tính I ca vật rắn đối với một trục Δ đưc tính theo công thc:

O

M

Mi

ir

tiF

Hình 3-3 Thi ết lập phươngt r ì nh của chuyển động

β







51

2 .i ii

I m r = ∑ (3.24)

trong đó 2.i im r là mômen quán tính ca chất điểm M i ca vật rắn đối với trục.

Nếu vật rắn phân bố một cách liên tục, ta chia vật rắn thành những phần tử vôcùng nhỏ, mỗi phần tử có khối lưng vi phân dm dV ρ = và cách tr ục Δ mộtkhoảng r . Khi đó mômen quán tính I ca cả vật rắn đối với trục là:

2 2 2

V V

I r dm r dV r dV ρ ρ = = =∫ ∫ ∫ (3.25)

với ρ là mật độ khối lưng, dV là thể tích rất nhỏ ca vật rắn. Sau đây ta s áp dụng công thc (3.24) để tính mômen quán tính ca một số

vật rắn.

3.3.1 Mômen quán tính ca hệ ri rạc

Xét một hệ gồm tám quả cầu giốngnhau khối lưng m phân bố trên támđnh ca một hình khối cạnh a đối vớimột trục Oz đi qua cạnh ca hình khối(hình 3-4).

Nhìn vào hình v ta thấy tổngmômen quán tính ca các quả cầu 1,

3, 5, 7 bng 4ma2

, ca hai quả cầu 4, 8là ( )

222. 2 4m a ma

=

và ca hai

quả cầu 2, 6 bng không. Áp dụng(3.24) ta có mômen quán tính ca hệđối với trục Oz là:

2 2 24 4 8 I ma ma ma= + =

3.3.2 Mômen quán tính ca một thanh

Giả sử có thanh AB đồng chất có chiều dài l và có khối lưng m. Ta tínhmômen quán tính ca thanh đối với trục Δ đi qua đầu A ca thanh và vuônggóc với thanh (hình 3-5).

Xét một phần tử dx ca thanh Acách một đoạn x. Khối lưng ca phần tử dx là dm:

.dm dx ρ =

trong đó ml

ρ = là khối lưng

ca một đơn vị độ dài ca thanh.

1

2 3

4

7

85

6

z

a

a

a

Hình 3-4

O

A Bdx

z

O

x

l

Hình 3-5







52

Mômen quán tính dI ca phần tử dx là:2 2 . . .dI dm x x dx ρ = =

Tích phân hai vế ca phương trình trên, ta đưc mômen quán tính I ca

thanh: 32 2

0 0

. . .3

l lm m l

I dI x dx x dxl l

ρ = = = =∫ ∫ ∫

hay2

3

l I m=

3.3.3 Mômen quán tính ca một vành tròn đồng tnh đối vi trục đi quatâm

Giả sử có một vành trn bán kính R. Lấytrên vành tròn một phần tử chiều dài dl (hình3-6). Khối lưng ca phần tử dl là:

.dm dl ρ = Mômen quán tính ca phần tử dl đối với

tr ục Oz là:2 2 . . .dI R dm R dl ρ = =

Độ dài ca vành trn là 2l Rπ = và khối

lưng ca nó là . 2 . .m l R ρ π ρ = =

. Bng cách lấy tích phân dI từ 0 đến 2πR, tacó:2 2

2 3 2

0 0

. . 2 R R

I dI R dl R mRπ π

ρ πρ = = = =∫ ∫

Công thc này cũng có thể áp dụng cho hình trụ rỗng có độ dày không đángk ể đối với trục ca nó.

3.3.4 Mômen quán tính ca một đa tròn

Tính mômen quán tính ca một cái đĩa trn bán kính R chiều dày b và khốilưng m đối với trục đi qua tâm ca nó (hình 3-7).

O

z

br dr

Hình 3-7

R

dl

O

z

Hình 3-6







53

Chia đĩa thành những vành trn đồng tâm chiều rộng là dr , tất cả các điểmtrên vành tròn cách đều tâm đĩa một đoạn r . Thể tích vành trn là:

2dV rbdr π = Áp dụng công thc (3.25) ta có mômen quán tính ca đĩa đối với tr ục Oz:

2 3 3

0 0

4

2 2

24

R R

I r dV r bdr b r dr

Rb

ρ ρ π π ρ

π

= = =

=

∫ ∫ ∫

Vì thể tích ca đĩa là 2b Rπ nên khối lưng ca nó là 2 m b R ρπ = , do đó

mômen quán tính có thể viết: 21

2

I mR= (3.26)

Công thc này cũng đúng cho hình trụ đặcđối với trục ca nó.

3.3.5 Mômen quán tính ca các vật tròn xoay

Một vật trn xoay là vật mà bề mặt ngoài canó đưc tạo thành bi sự quay ca một đườngcong phẳng quanh một trục nm trong mặt

phẳng cha đường cong đó. Ở hình 3-8, hình tròn xoayđưc tạ o biđường cong ( ) f h khi nó quay quanh tr ục Oz.

Ta có thể tính mômen quán tính ca hình trnxoay đối với trục Oz khi biết sự phụ thuộc hàm

( ) f h vào mật độ ρ .

Chia vật thành các đĩa mỏng có bề cao dh. Mômen quán tính dI ca mỗi đĩa: 2 41 1

2 2

dI f dm f dhπρ = =

trong đó 2dm f πρ = là khối lưng ca đĩa. Tích phân hai vế ta đưc mômenquán tính I ca toàn bộ vật trn xoay đối với trục quay:

4

0

1

2

H

I dI f dhπρ = =∫ ∫ (3.27)

Ta áp dụng (3.27) để tính mômen quán tính ca hình nón và hình cầu. a) Mômen quán tính ca hình nón

h

i

O

z

dh

0

H

Hình 3-8







54

Giả sử hình nón có chiều cao H có đáy làđường trn bán kính R (hình 3-9). Hàm ( ) f h

ca đường trn là:

( ) R

f h h H =

Thay vào công thc (3.27) ta đưc:

4 4 54

0

4

1 1 .

2 2 5

1

10

H R R H

I h dh H H

R H

πρ πρ

πρ

= =

=

∫

Thể tích hình nón 21

3V R H π = nên khối lưng ca nó: 21

3

m R H π ρ = .

Vì vậy: 23

10

I mR= (3.28)

b) Mômen quán tính ca hình cầu Để tính mômen quán tính ca hình cầu ta ch

cần tính mômen quán tính ca một nửa hình

cầu đối với trục Oz đi qua tâm ca nó (hình 3 -10). Từ hình v ta có hàm ( ) f h ca hình cầu: 2 2 2 f R h= −

Thay vào công thc (3.27) ta đưc:

( )

( )

2

4 2 21

0 0

4 2 2 4

0

5 5 5 5

1 1

2 2

1 2

2

1 2 1 8

2 3 5 30

R R

R

I f dh R h dh

R R h h dh

R R R R

πρ πρ

πρ

πρ πρ

= = −

= − +

= − + =

∫ ∫

∫

Vậy mômen quán tính I ca quả cầu:

5 3 2 21

8 2 4 2 2

15 5 3 5

I I R R R mRπρ πρ

= = = =

(3.29)

R

f

h

H

z

OHình 3-9

O

z

R

f

h

Hình 3-10







55

§4. MÔMEN ĐỘNG LƯỢ NG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM

4.1. Định ngh a

Xét một hệ các chất điểm có khối lưng lần lưt là m1, m2, ..., mi, ...chuyểnđộng với những vận tốc 1 2, , ..., , ...iv v v

đối với hệ quy chiếu gốc O. Ở thời

điểm t, vị trí các chất điểm đó đưc xác định bi các vectơ bán kính

1 2, , ..., , ...ir r r

Khi đó mômen động lưng ca hệ đối với O đưc định nghĩa:

[ ] i i ii i

L L r mv= = ×∑ ∑

bng tổng mômen động lưng ca các chất điểm trong hệ đối với O. 4.1.1 Mômen động lưng ca hệ cht đim quay quanh trục cố định

Chất điểm th i quay quanh một trục cố định Δ có mômen quán tính I i , quayvới vận tốc góc iω

thì mômen động lưng ca nó đối với trục Δ là:

i i i L I ω =

Khi đó mômen động lưng ca hệ chất điểm đưc cho bi:

i i ii i

L L I ω = =∑ ∑

(3.30)

4.1.2 Mômen động lưng ca một vật rắn quay xung quanh trục cố định

Khi vật rắn quay quanh một trục cố định với vận tốc góc ω thì mọi chấtđiểm ca nó cũng chuyển động với cùng vận tốc góc đó, nghĩa là:

1 2 ... ...i nω ω ω ω = = = = =

Do đó:

ii

L I I ω ω

= = ∑

(3.31)

trong đó: 2 i i i

i i

I I m r = =∑ ∑

là mômen quán tính ca vật r ắn đối với trục quay Δ

4.2. Các định lý v mômen động lư ng ca hệ cht đim

Định l 1: Đạo hàm theo thời gian ca mômen đng lượng ca mt h bngt ổng mômen các ngoại lc tác dụng lên h (đối vi gốc O bt kỳ).

( )/ o i

i

d L F

dt = =∑

M M (3.32)

Định lí 2:Từ biểu thc:







56

2 2

1 1

t t

t t

dLdL dt dL dt

dt = ⇔ = ⇔ =∫ ∫

M M M

hay2

1

1 2

t

t

L L L dt ∆ = − = ∫

M (3.33)

trong đó tích phân đưc lấy từ thời điểm t 1 đến t2 tương ng với sự biến thiênca L

từ 1 L

đến 2 L

. Biểu thc trong vế th hai ca (3.33) đưc gọi là xung

lưng ca mômen lực

M trong khoảng thời gian Δt = t 2 – t 1.Phát biu: Đ bin thiên mômen đng lượng ca vật rn trong khoảng thời

gian nào đó bng tổng mômen xung lc tá c d ụng lên vật rn trong cùng mtkhoảng thời gian đó.

Nếu

M không đổi thì ta đưc: L t ∆ = ∆

M

Lưu ý : Trong chuyển động quay ca vật rắn quanh một trục cố định thìmômen quán tính ca nó I = const . Khi đó ta có thể viết:

( ) d d

L I I dt dt

ω ω = = =

M

hay . I β =

M ta thu đưc phương trình cơ bản chuyển động quay ca vật rắn quanh một trục.

III. BÀI TẬP1. Tại 3 đnh ca một tam giác đều cạnh a có đặt 3 chất điểm, khối lư ng lần

lư t là m1, m2, m3. Xác định khối tâm ca hệ 3 chất điểm đó. Áp dụng chotrườ ng h p: m2 = m3 = m; m1 = 2m.

2. Có một bệ súng khối lư ng 10 tấn có thể chuyển động không ma sát trênđườ ng ray. Trên bệ súng có gắn một khấu đại bác khối lư ng 5 tấn. Giả sử khẩu đại bác nhả đạn theo phương đường ray. Viên đạn có khối lư ng100kg và có vận tốc đầu nòng là 500m/s. Xác định vận tốc ca bệ súng ngaysau khi bắn, biết r ng:

a. Lúc đầu bệ súng đng yên. b. Trướ c khi bắn, bệ súng chuyển động vớ i vận tốc 18km/h theo chiều

bắn.c. Trướ c khi bắn, bệ súng chuyển động vớ i vận tốc 18km/h ngư c chiều

bắn.3. Một xe ch đầy cát chuyển động không ma sát vớ i vận tốc v1 = 1m/s trên

mặt đườ ng nm ngang. Toàn bộ xe cát có khối lư ng M = 10kg. Một quả cầu khối lư ng m = 2kg bay theo chiều ngư c lại vớ i vận tốc nm ngang v2 = 7m/s.

Sau khi gặ p xe, quả cầu nm ngậ p trong cát. Hỏi sau đó xe chuyển độngtheo chiều nào, vớ i vận tốc bng bao nhiêu ?







57

4. Một xe ch đầy cát, đỗ trên đườ ng ray nm ngang. Toàn bộ xe có khốilư ng M = 5000kg. Một viên đạn khối lư ng m = 5kg bay dọc theo đườ ngray vớ i vận tốc v = 400m/s theo phương h p vớ i mặt phẳng nm ngang mộtgóc 36o và tới đậ p vào xe cát. Sau khi gặp xe, viên đạn nm ngậ p trong cát.

Tìm vận tốc ca xe nếu bỏ qua ma sát giữa xe và đườ ng ray.5. Một vô lăng hình đĩa trn có kh ối lư ng m = 500kg, bán kính r = 20cm

đang quay xung quanh trục ca nó vớ i vận tốc n = 480 vòng/phút. Tác dụngmột mômen hãm lên vô lăng. Tìm mômen hãm đó trong hai trườ ng h p:

a. Vô lăng dừng lại sau khi hãm 50 giây. b. Vô lăng dừng lại sau khi đã quay thêm đư c N = 200 vòng.

6. Một thanh mảnh đồng chất có chiều dài l = 1m, tr ọng lư ng P = 5N quayxung quanh một tr ục thẳng góc với thanh và đi qua điểm giữa ca nó.

Tìm gia tốc góc ca thanh nếu mômen lực tác dụng lên thanh là M =

0,1Nm.7. Một thanh đồng chất chiều dài l = 0,5m có thể quay tự do xung quanh một

tr ục nm ngang đi qua một đầu ca thanh. Một viên đạn khối lư ng m =0,01kg bay theo phương nm ngang vớ i vận tốc v = 400m/s tớ i xuyên vàođầu kia ca thanh và mắc vào thanh.

Tìm vận tốc góc ca thanh ngay sau khi viên đạn đậ p vào thanh. Biếtmômen quán tính ca thanh đối vớ i tr ục quay bng 5kgm2.

8. Xác định mômen quán tính ca một thanh dài l khối lưng m đối vớ i cáctr ục sau đây:

a. Tr ục đi qua điểm giữa ca thanh và tạo vớ i thanh một góc nào đó. b. Tr ục song song vớ i thanh và cách thanh một đoạn d.c. Tr ục vuông góc với thanh và cách điểm giữa thanh một đoạn d.

9. Một tr ụ r ỗng có khối lưng 50kg, đường kính 1m, đang quay vớ i vận tốc800 vòng/phút. Tác dụng vào tr ụ một lực hãm tiế p tuyến vớ i mặt tr ụ vàvuông góc vớ i tr ục quay. Sau 2 phút 37 giây, tr ụ dừng lại. Tìm:

a. Mômen hãm. b. Lực hãm tiế p tuyến.

10. Tác dụng lên một bánh xe bán kính R = 0,5m và có mômen quán tính I =

20kg.m

2

, mộ

t lự

c tiế p tuy

ến v

ớ i vành bánh Ft = 100N. Tìm:a. Gia tốc góc ca bánh xe.

b. Vận tốc dài ca một điểm trên vành bánh sau khi tác dụng lực 10giây biết r ng lúc đầu bánh xe đng yên.

11. Một đĩa bng đồng (khối lư ng riêng 38,9.10 kg/m3) có bề dày b =

4.10-3m, bán kính R = 5.10-2m. Đĩa bị khoét thng hai lỗ tròn bán kính R/2 như hình v . Tìm mômen quán tínhca đĩa đã bị khoét đối vớ i tr ục vuông góc với đĩa và điqua tâm O ca đĩa.

12. Một tr ụ đặc đồng chất có khối lư ng m = 100kg quayxung quanh một tr ục nm ngang trùng vớ i tr ục ca tr ụ.

O1O1O

R







58

Trên tr ụ có cuốn một s i dây không giãn tr ọng lưng không đáng kể. Đầu tự do ca dây có treo một vật nặng khối lư ng M = 20kg (hình v).

Để vật nặng tự nó chuyển động. Tìm gia tốc ca vật nặng và sc căng cadây.

13. Trên một tr ụ r ỗng khối lư ng m = 1kg, ngườ i ta cuộn một s i dây khônggiãn có khối lưng và đườ ng kính nhỏ không đáng kể. Đầu tự do ca dây đư c gắn trên một giá cố định (hình dướ i).

Để tr ụ rơi dướ i tác dụng ca tr ọng lực. Tìm gia tốc ca tr ụ và sc căng ca dây treo.

14. Hai vật có khối lư ng lần lư t là m1 và m2 (m1 > m2), đư cnối vớ i nhau bng một s i dây vắt qua ròng r ọc (khối lư ng ròng r ọc bng

m) (hình dướ i). Tìm:a. Gia tốc ca vật. b. Sc căng T1 và T2 ca các dây treo. Coi ròng r ọc là

một đĩa trn, ma sát không đáng kể. Áp dụng bng số: m1 = 2kg, m2 = 1kg, m = 1kg.

15. Một hệ gồm một tr ụ đặc khối lư ng M = 2,54kg và mộtvật nặng khối lưng m = 0,5kg đư c nối vớ i nhau bngmột s i dây vắt qua ròng r ọc (hình dư ớ i). Bỏ qua khối

lư ng ca dây, ca ròng r ọc và khung gắn vớ i tr ụ.

Tìm gia tốc ca vật nặng và sc căng ca dây.

m

m2

m1







59

CHƯƠNG 4

CÔNG VÀ NĂNG LƯỢ NG

Năng lưng là một vấn đề quan trọng trong khoa học và kỹ thuật , một vậtmuốn thực hiệ n công lên vật khác thì vật đó phải có năng lưng . Trong cuộcsống thường ngày , chúng ta biết đưc năng lưng dưới dạng nhiên liệu biếnthành nhiệt ; điện năng biến thành quang năng ; năng lưng do tiêu thụ thcăn,... Tuy nhiên, tất cả các dạng năng lưng trên không phải vấn đề đây màvấn đề ta quan tâm là năng lượng cơ học .

Như vậy, năng lưng cơ học là gì ? Đưc xác định như thế nào ? ng dụng như

thế nào trong khảo sát chuyển động?Để hiểu đưc điều đó, đầu tiên ta tìm hiểu đại lưng vật lý là công. Công hoànthành ca mt lc tác dụng lên vật khi điểm tác dụng ca lc đi được mtqung đường và lc có thành phần dọc theo đường chuyển đng . Tiếp theochúng ta tìm hiểu các loại năng lưng trong cơ học , đây là năng lưng một vậtnhận đưc trong chuyển động hoặc tương tác với vật khác . Một vấn đề màchúng ta cũng rất quan tâm là công suất, đại lưng đặc trưng cho khả năng thực hiện công ca một vật . Đối tưng nghiên cu này cũng cho phép ta khảo sátđộng lực học . Ta biết rng , trường hp gia tốc thay đổi thì chúng ta không áp

dụng các định luật Newton về chuyển động để khảo sát . Tuy vậy, thông thườngmột hạt trong tự nhiên chịu tác dụng ca lực thay đổi rất phổ biến và như vậygia tốc cũng thay đổi.


1. Nắm đưc biểu thc công, công suất, năng lưng, động năng.

2. Nắm đưc thế nào là trường lực thế và vận dụng đưc định luật bảotoàn cơ năng trong trường lực thế (trường lực bảo toàn).

II. NỘI DUNG

§1. CÔNG VÀ CÔNG SUẤT1.1. Công

Hầu hết tất cả các dạng chúng ta đã sử dụng và khảo sát trong cơ học làkhoảng cách, vận tốc, gia tốc và lực. Tuy nhiên, bây giờ chúng ta xét thêm mộtdạng khác đó là công . Khi tác dụng mt lc liên tục lên vật làm vật di chuyểnta nói rng lc đó thc hin công . Tuy nhiên, để xác định công ta lưu ý các

trường hp sau:







60

s

Công thc hin bi mt lc không đổi trên

mt vật bi mt tác nhân truyền lc lên vật đượcđịnh nghĩa bng tích đ ln ca đ dời ca vậtvi thành phần lc song song vi đ dời đó.

cos A F s θ = ⋅ ⋅

Công là một đại lưng vô hướng , ta viết dướidạng tích véc tơ như sau: dA F ds= ⋅

Đơn vị ca công trong hệ SI là joul (j).

+ Nếu2

π θ < thì 0dA > , lực tác dụng thực hiện công dương.

+ Nếu2

π θ > thì 0dA < , lực tác dụng thực hiện công âm.

+ Nếu 0θ = thì 0dA = , lực tác dụng không thực hiệncông.

Một người nhấc một hộp nặng khối lưng m cókhoảng cách theo phương thẳng đng h và đi đưc một khoảng dtheo phương ngang. Xác định (a) công anh ta thực hiện lên hộp và (b)công thực hiện lên hộp bi lực trọng trườ ng.

VVii dduu :: Một vật chuyển động trong một mặt phẳng có quãng đường đưc xácđịnh là (2.0 3.0 )s i j m= +

dưới tác dụng ca một lực không đổi

(5.0 2.0 )F i j N = +

. (a) Tính độ lớn ca độ dời và lực đó . (b) Tính công hoànthành bi lực trên.

LLơ ơ ii ggiiaa ii:: a. Tính độ lớn ca quãng đường và lực: 2 2 2 2(2.0) (3.0) 3.6 .s x y m= + = + =

2 2 2 2(5.0) (2.0) 5.4 . x yF F F N = + = + =

b. Tính công thực hiện bi lực:

. (5.0 2.0 )(2.0 3.0 )

5.0 2.0 5.0 3.0 2.0 2.0 2.0 3.0

1 00 0 6 1 6.

A F s i j i j

i i i j j i j j

J

= = + +

= + + +

= + + + =

Nếu lực tác dụng lên một vật là hng số thì ta đã biếtcách xác định. Tuy nhiên, trong rất nhiều trường hp







61

lực thay đổi cả độ lớn và / hoặc chiều trong suốt quá trình tác dụng . Trong cáctrường hp này để tính công ta chia quỹ đạo thành nhiều đoạn ngắn sao chotrên mỗi đoạn đó lực tác dụng không đổi để xác định công trên từng đoạn, côngtoàn phần bng tổng các công thành phần này . Ví dụ , tính công trong dịch

chuyển từ a đến b như hình v ta chia đường cong này thành 9 đoạn,1 2 9, ,...,s s s∆ ∆ ∆ trên mỗi đoạn nhỏ này các lực tác dụng gần như không đổi.

Xét trong đoạn th nhất , 1 1 1 1. .cos , A F s θ ∆ = ∆ trên đoạn th hai ,

2 2 2 2. .cos , A F s θ ∆ = ∆ …Công ca trong toàn bộ quãng đườn g

1 2 9...s s s s= ∆ + ∆ + + ∆ là9

1

. .cos .i i ii

A F s θ =

= ∆∑ Kết quả tính toán như trên ch

cho ta giá trị gần đúng ca công hoàn thà nh. Nếu số khoảng chia là vô cùng thì

s∆

tr thành ds , chúng ta tìm đưc chính xác công hoàn thành . Vậy,

0lim . .cos . .cos

i

b

i i is

a

A F s F dsθ θ ∆ →

= ∆ =∑ ∫

Hay, . db

a

A F s= ∫

.

Viết dưới dạng các thành phần ca lực F

mà đoạn dịch chuyển ds trên ba tr ục

tọa độ là F x , F y , F z là ; x y zF F i F j F k = + +

và dx, dy, dz làds dx i dy j dz k = + +

. Tích phân trên chuyển thành:

. dx+ . dy+ . dzb b b

a a a

x y z

x y z x y z

A F F F = ∫ ∫ ∫

VVii dduu :: Một l xo có hệ số đàn hồi k , một đầu gắnvới một vật khối l ưng m . Xác định công cần thiếtđể kéo l xo một khoảng x.

LLơ ơ ii ggiiaa ii:: Khi kéo vật ra một khoảng x thì vật chịu tác dụng camột lực đàn hồi:

Công cần để kéo vật một đoạn x là công cần thiết đểkéo lò xo là:

2 2 21 1 1. ( ) .

2 2 2

f f

i i

x x

f i

x x

A F dx kx dx kx kx kx= = = − =∫ ∫

1.2. Công sut







62

Khi định nghĩa công mà một lực F

thực hiện đưc trên một khoảng dịchchuyển, ta không đề cập đến thời gian thực hiện công. Để đặc trưng cho khảnăng sinh công nhanh hay chậm ca vật tác dụng ( đúng hơn là các máy sinhcông) người ta dùng khái niệm công sut .

Công suất trung bình Ptb ca lực nào đó là một đại lưng về trị số bng tỷ sốca công ΔA và khoảng thời gian Δt mà lực sản ra công ấy:

tb

AP

t

∆=

∆ (4.5)

Về mặt ý nghĩa, công suất trung bình có giá trị bng công trung bình ca lựcsản ra trong một đơn vị thời gian.

Để tính công suất tc thời đưc định nghĩa là giới hạn ca công suất trung bình

khi 0t ∆ → :

0 lim .

t

A dAP

t dt ∆ →

∆= =

∆

Công sut ca mt lc nào đó, về giá trị bng đạo hàm theo thời gian cacông do lc đó sinh ra.

Ta có thể biến đổi như sau: . .dA ds

P F F vdt dt

= = =

Công sut ca mt lc tác dụng bng tích vô hưng ca lc đó vi vectơ vậnt ốc dịch chuyển ca điểm đt lc.

VVii dduu :: Xét một ô tô khối lưng m đang gia tốc lên một ngọn đồi . Tổng lực cảnca ô tô có độ lớn xác định: . Ở đây v là vận tốc ca ô tô.

Xác định công suất ca động cơ ô tô biết:

LLơ ơ ii ggiiaa ii:: Tổng ngoại lực tác dụng lên ô tô:

1.3. Công và công sut trong chuyn động quayd

t F

d

O

M

Hình

⇒







63

Trường hp vật rắn có khối lưng m quay xung quanh một trục cố định dưới

tác dụng ca lực F

thì công vi phân ca một thành phần tiếp tuyến t F

cho bi:

.t dA F ds=

mà ds rd α = , với α là góc quay ng với chuyển dời ds nên t dA rF d α = .

Mặt khác t rF = M là mômen ca lực t F

đối với trục quay, do đó:

dA d α = M (4.8)

Suy ra biểu thc ca công suất:

dA d P

dt dt

α = = M

hay .P ω =

M (4.9)

§2. NĂNG LƯỢ NG

Trong tự nhiên, mọi vật chất vận động đều có năng lưng nghĩa là nănglưng đặc trưng cho mc độ vận động ca vật chất. Một vật có năng lưng xácđịnh khi nó trong một trạng thái xác định. Nếu vật không cô lập nghĩa là cósự tương tác với bên ngoài thì s có sự biến đổi trạng thái và trao đổi năng

lưng với bên ngoài. Nếu ch xét trong cơ học thì năng lưng đưc trao đổithông qua quá trình tương tác giữa các vật. Ví dụ: vật A tác động lên vật B mộtlực và lực này sinh công làm vật B chuyển động. Điều đó cho thấy công là mộtđại lưng đặc trưng cho quá trình trao đổi năng lưng giữa các vật tc là khimột hệ thực hiện công thì năng lưng ca nó biến đổi.

Giả sử có một quá trình biến đổi ca một hệ nào đó từ trạng thái 1 có nănglưng W 1 sang tr ạng thái 2 có năng lưng W 2; quá trình này hệ nhận đưc từ bên ngoài (hoặc s inh công cho bên ngoài) một công A. Thực nghiệm chng tỏđộ biến thiên năng lưng ca hệ trước và sau quá trình biến đổi có giá trị bng

công A:

1 2 W W A− = (4.10)

Phát biu: Đ bin thiên năng lượng ca mt h trong quá trình nào đó có giátr ị bng công mà h nhận được từ bên ngoài trong quá trình đó.

Nhận xét :

+ Nếu hệ nhận công từ bên ngoài thì A > 0, năng lưng ca hệ tăng.

+ Nếu hệ sinh công cho bên ngoài thì A < 0, năng lưng ca hệ giảm.

+ Nếu hệ cô lập tc không có sự trao đổi năng lưng với bên ngoài thìA=0 và:







64

1 2 W W const = = (4.11)

Khi đó: Năng lượng ca mt h cô lập được bảo toàn.

Định luật bo toàn năng lưng: Năng lượng không t nhiên mt đi cng

không t nhiên sinh ra, năng lượng chỉ chuyển từ h này sang h khác. Từ định luật bảo toàn năng lưng, ta thấy rng năng lưng ca hệ là hữu hạnnên hệ không thể tự sinh công mãi đưc. Do đó muốn hệ tiếp tục sinh công thìcần cung cấp năng lưng cho hệ để bù vào phần năng lưng đã mất đi trongquá trình làm việc. Điều này phù hp với định luật bảo toàn và chuyển hóanăng lưng: không thể có mt h sinh công mi mi mà không nhận thêm nănglượng từ nguồn bên ngoài. Nói cách khác, ta không thể chế tạo đưc đng cơvĩnh cửu, đó là loại động cơ sinh công mãi mãi mà không n hận thêm nănglưng bên ngoài.

§3. ĐỘNG NĂNG

3.1. Định lý công - động năng

Động năng là năng lưng có đưc do chuyển động ca các vật. Để làm sángtỏ khái niệm động năng, ta s tính công calực ngoài tác dụng lên vật. Xét một chất điểm khối lưng m ch chịutác dụng ca một lực F

không đổi chuyển

động từ P đến Q theo đường cong (C). TạiP vận tốc chất điểm là Pv

, tại Q vận tốc

chất điểm là Qv

. Công mà lực F

tác dụng

lên chất điểm thực hiện khi chất điểm dịch chuyển từ P đến Q (hình 4-3) là:

.

Q

PQ

P

A F ds= ∫

màdv

F ma mdt

= =

và .ds v dt =

Suy ra:

2

. . .2

Q Q Q

PQ

P P P

dv v A m v dt mv dv m d

dt

= = =

∫ ∫ ∫

P

Qov

v

F

(C)

-







65

hay2

2

Q

PQ

P

mv A d

=

∫

Tính tích phân trên, ta đưc: 2 21 1

2 2

PQ Q P A mv mv= − (4.12)

trong đó vQ là vận tốc ca chất điểm tại Q, vP là vận tốc ca chất điểm tại P.

Theo (4.10) công A có giá tr ị bng độ biến thiên cơ năng, do đó ta có thể địnhngh ĩa động năng ca chất điểm và ký hiệu là E đ :

21

2® E mv=

Theo định luật bảo toàn năng lưng khi lực F thực hiện công dương, nănglưng đưc truyền sang chất điểm. Năng lưng ca chất điểm đó tăng lên vàđưc dự trữ dưới dạng chuyển động. Năng lưng đó chính là động năng cachất điểm.

Định lý: Đ bin thiên đng năng ca mt cht điểm trong mt qung đườngnào đó có giá trị bng công ca ngoại lc tác dụng lên cht điểm sinh ra trongquãng đường đó.

®Q ®P PQ E E A− = (4.13)

Động năng là một dạng năng lưng có cùng th nguyên với công và đưc đo bng đơn vị Jun (J) hoặc kiloJun (kJ).

3.2. Động năng trong trư ng h p vật rắn quay

Khi vật rắn chuyển động thì nó có một động năng nhất định. Chúng ta xem vậtr ắn là một hệ chất điểm (cơ hệ) nên động năng ca vật rắn cũng chính là độngnăng ca cơ hệ. Người ta định nghĩa động năng E đ ca một hệ chất điểm làtổng động năng ca mọi chất điểm trong hệ:

2

1

12

®

n

i i

i

E m v=

= ∑ (4.14)

Trong trường hp hệ chất điểm phân bố liên tục thành vật thì:

21.

2® E v dm= ∫ (4.15)

Ta s áp dụng (4.15) để tính động năng ca vật rắn trong một số chuyển động.

3.2.1 Động năng ca vật rắn chuyn động tịnh tiến







66

Trong chuyển động tịnh tiến, mọi điểm ca vật rắn đều có chung một vậntốc như vận tốc Gv

khối tâm. Áp dụng (4.14) ta có:

2 2 2

1 1

1 1 1

2 2 2®

n n

i G G i Gi i E m v v m mv= =

= = =

∑ ∑ (4.16)

trong đó m là khối lưng tổng cộng ca cả vật.

Đng năng ca mt vật rn chuyển đng tịnh tin bng đng năng ca khốitâm mang khối lượng ca cả vật.

3.2.2 Động năng ca vật rắn quay quanh một trục cố định

Nếu gọi r i là khoảng cách từ phần tử Mi đến trục quay và ω là vận tốc gócca vật rắn thì vận tốc dài vi ca Mi là:

.i iv r ω =

Động năng ca vật rắn theo công thc (4.14) bng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2®

n n n

i i i i i i

i i i

E m v m r m r I ω ω ω

= = =

= = = =∑ ∑ ∑ (4.17)

trong đó I là mômen quán tính ca vật đối với trục quay. Đại lưng21

2® E I ω = đưc gọi là động năng quay ca vật rắn.

3.2.3 Động năng ca vật rắn chuyn động tổng quát

Trong trường hp tổng quát vật rắn vừa thực hiện chuyển động quay vừachuyển động tịnh tiến, động năng toàn phần ca vật rắn bng tổng động năngquay và động năng tịnh tiến:

2 21 1

2 2® E mv I ω = + (4.18)

Nếu vật rắn đối xng trn xoay lăn không trưt, khi đó vận tốc dài ca điểmtiếp xúc với mặt phẳng mà trên đó vật lăn không trưt là v Rω = với R là bánkính tiết diện vật rắn. Vật động năng toàn phần ca vật rắn là:

22

12®

I

E m v R

= +

(4.18a)

§4. VA CHẠM







67

Va chạm là một hiện tưng khá phổ biến trong vật lý cũng như trong kỹ thuật. Trong quá trình va chạm các vật tác dụng lên nhau những lực F có khi

r ất lớn trong một khoảng thời gian rất ngắn nên gia tốc mà các vật thu đưc lúcva chạm cũng rất lớn. Việc sử dụng trực tiếp định luật Newton để giải các bàitoán va chạm là khó khăn. Do đó thay vì sử dụng các định luật Newton, ngườita thường sử dụng các định luật bảo toàn để giải một cách dễ dàng các bài toánva chạm.

4.1. Va chạm đàn hồi

Xét trường hp va chạm đàn hồi ca hai quả cầu chuyển động trên đườngthẳng nối liền tâm ca chúng (va chạm xuyên tâm).

Gọi m1 , m2 là khối lưng ca hai quả cầu và 10v

, 20v

là vận tốc ca chúngtrước va chạm. Sau va chạm, vận tốc ca hai quảcầu lần lưt là 1v

và 2v

.

Theo định luật bảo toàn động lưng ta có (chviết phương trình đại số vì trước va chạm vận tốcca hai vật cùng phương):

1 10 2 20 1 1 2 2 m v m v m v m v+ = + (4.19)Theo định luật bảo toàn năng lưng ta có:

( ) ( )2 2 2 21 10 2 20 1 1 2 2

1 1

2 2m v m v m v m v+ = +

(4.20)

Biết v10 và v20; m1 và m2 giải hệ phương trình (4.19) và (4.20) ta tìm đưc vậntốc v1 và v2 ca quả cầu sau va chạm.

Viết lại (4.19) và (4.20):

( ) ( )1 10 1 2 2 20 m v v m v v− = − (4.19a)

( ) ( )2 2 2 21 10 1 2 2 20 m v v m v v− = − (4.20a)

Chia theo vế (4.20) cho (4.19) ta đưc:

10 1 2 20 v v v v− = − (4.21)

( ) ( )1 10 1 2 2 20 m v v m v v− = − (4.21a)

Cộng theo vế (4.19) với (4.21a) ta tìm đưc vận tốc ca hai quả cầu sau vachạm:

m2

10v

20v

m2

m2

10v 20v

Hình

a

b

c







68

( )1 10 1 2 202

1 2

2m v m m vv

m m

− −=

+ (4.22)

Vai trò ca hai quả cầu hoàn toàn tương đương, đổi các ch s ố 1 và 2 ta tìm

đưc vận tốc ca quả cầu 1 sau va chạm: ( )2 20 2 1 10

11 2

2m v m m vv

m m

− −=

+ (4.23)

Trong trường hp đặc biệt m1 = m2 thì v10 = v2 ; v20 = v1 ta nói r ng khi đóhai quả cầu trao đổi vận tốc với nhau.

Nếu ban đầu quả cầu 2 đng yên (v20 = 0), ta s có:

1 2

1 101 2

12 10

1 2

.

2 .

m mv v

m m

mv v

m m

−=

+

=+

(4.24)

Khi m1 = m2 thì v1 = 0 ; v2 = v10; chúng trao đổi vận tốc với nhau. Quả cầu 1 sđng yên, quả cầu 2 chuyển động với vận tốc bng vận tốc ca quả cầu 1 trướcva chạm.

Trường hp m1 << m2 thì theo (4.24):

1 10

2

0

v vv

= −=

ngh ĩa là quả cầu 2 vẫn đng yên, quả cầu 1 bị bắn ngưc tr lại với vận tốc vềgiá tr ị bng vận tốc tc thời ca nó trước lúc va chạm.

4.2. Va chạm mm

Do bị biến dạng không đàn hồi, sau va chạm hai vật gắn với nhau và chuyểnđộng vớ i cùng vận tốc v. Va chạm như vậy đưc gọi là va chạm mềm.

Gọi vận tốc ca hai vật trước va chạm là

10v

và 20v

, vận tốc chung sau va

chạm là v. Theo định luật bảo toàn động lưng:

( )1 10 2 20 1 2 m v m v m m v+ = +

1 10 2 20

1 2

m v m vv

m m

+=

+ (4.25)

Trong va chạm mềm, một phần động năng ban đầu ca hai vật chuyển thànhnhiệt năng và công làm biến dạng hai vật. Do đó, động năng ca hai vật sau vachạm nhỏ hơn tổng động năng ca chúng trước va chạm.

Tổng động năng trướ c va chạm:







69

2 21 10 2 20

1 1

2 2®o E m v m v= +

Tổng động năng sau va chạm:

( ) ( )

( )

22 1 10 2 20

1 21 2

1

2 2®

m v m v E m m v

m m

+= + =

+

Phần động năng tiêu hao trong va chạm là:

( ) ( )

21 210 20

1 2

1

2® ®

m m

E E E v vm m

∆ = − = −+

(4.26)

Như vậy ta thấy phần động năng chuyển thành các dạng năng lưng khác trongva chạ m phụ thuộc vào vận tốc tương đối

( )10 20 v v− ca hai vật trước va

chạm cũng như phụ thuộc vào khối lưng m1 và m2 ca chúng.

Ví dụ 1 : Muốn đập vỡ một viên gạch tc là muốn chuyển động năng thànhnăng lưng biến dạng, ta cần tăng hiệu ( )10 20 v v− ngh ĩa là cần tăng vận tốc

ca búa trước lúc va chạm.

Muốn đóng đinh, tc là muốn chuyển động năng ca búa thành động năng cađinh rồi thành công ấn sâu đinh, ta cần giảm phần động năng tiêu hao. Muốnvậy cần tăng khối lưng m1 ca búa để đạt đưc một động năng ca búa lớn

với vận tốc v

10 chưa lớn. Nhờ vậy mà giảm đưc động năng tiêu hao.

Ví dụ 2: Để xác định vận tốc v10 ca một viên đạn khối lưng M lúc ra khỏinòng súng, người ta bắn viên đạn vào một cái bao cát có khối lưng m2. Sau vachạm hệ bao cát và viên đạn (m1 + m2) có vận tốc v. Hệ (m1 + m2) gắn đầumột thanh cng độ dài l. Đầu kia ca thanh cóthể quay đưc. Nhờ động năng sau va chạm, hệquay một góc θ , khối (m1 + m2) đưc nâng lênđộ cao h (hình 4-5). Nếu đo đưc θ , biết m1, m2,

l ta xác định đưc vận tốc v10 ca viên đạn. Theo định luật bảo toàn động lưng, ta có:

( )1 10 1 2 m v m m v= +

⇔ 1 10

1 2

m v

vm m

=+

Động năng ca hệ sau va chạm là:

( ) ( )

2 2

2 1 101 21 2

1 12 2

® m v E m m vm m= + = +

h

θ

Hình 4-5 Con







70

Thế năng ca hệ vị trí đưc xác định bng góc θ :

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 cost E m m gh m m gl θ = + = + −

Theo định luật bảo toàn cơ năng:

( ) ( )( )

2 21 10

1 21 2

1 1 cos

2

m vm m gl

m mθ + − =

+

21 cos 2sin2

θ θ − =

2

2 2110

1 2

4 .sin .2

mgl v

m m

θ =

+

hay 1 210

1

2 . .sin2

m mv gl

m

θ +=

Hệ thống thiết bị trên cho phép xác định vận tốc ban đầu v10 ca đạn đưc gọilà con lc thử đạn.

§5. TRƯỜ NG LỰ C THẾ - THẾ NĂNG

5.1. Trư ng lự c thế

5.1.1 Định ngha

Một chất điểm đưc gọi là chuyểnđộng trong một trường lc nếu mỗi vịtrí chất điểm chịu tác dụng ca một lực F

ch là hàm ca các tọa độ xác định vị trí

chất điểm. Khi đó, ta nói vật chịu tácdụng ca một lc trường .

( ) ( ) , ,F F r F x y z= =

(4.27)

Công mà lực F

thực hiện khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí P sang vị trí Q bất kỳ là:

.PQ

PQ

A F ds= ∫

(4.28)

v

d s

N

M

F

m

Hình 4-







71

Nếu công APQ ca lực F

không phụ thuộc đường dịch chuyển PQ mà ch phụthuộc vị trí ca điểm đầu P và điểm cuối Q thì ta nói r ng ( )F r

là lực ca một

trường th .

Định ngha: Trường lc mà công ca lc tác dụng lên cht điểm làm chtđiểm dịch chuyển mt qung đường và không phụ thuc vào dạng đường đi màchỉ phụ thuc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối được gọi là trường lc th .

Bây giờ ta xét công mà lực trường thế thực hiện dịch chuyển chất điểm theomột đường cong kín (hình 4-6).

Do tính chất ca trường thế, công mà lực trường thếthực hiện khi dịch chuyển chất điểm theo đườngPM 1Q và theo đường PM 2Q là bng nhau.

1 2 PM Q PM Q A A=

hay

2 1

2 2 1 1

PM Q PM Q

F . ds F . ds=∫ ∫

trong đó 1F

và 2F

là những lực ca trường thế tại M 1 và M 2.

Mặt khác ta có:

2 22 2 2 2

PM Q QM PF . ds F . ds= −

∫ ∫

Vậy công là lực trường thế thực hiện khi dịch chuyển chất điểm theo đườngcong kín PM 1QM 2P là:

1 2

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2PM QM P

PM Q QM P PM Q PM Q

A F .ds F .ds F .ds F .ds= + = −∫ ∫ ∫ ∫

hay1 2

0 PM QM P A = (4.29)

Công mà lc trường th thc hin khi dịch chuyển cht điểm theo mt đườngcong kín bng không.

5.1.2 Một số th dụ v trưng lực thế

Ví dụ 1: Tính công mà tr ọng lực thực hiện khidịch chuyển chất điểm khối lưng m từ vị trí Png với độ cao hP đến vị trí Q ng với độ cao

hQ (hình 4-7).Giải:

d s

2F

2F

1F

P

Q

M 2

M 2

Hình

P

d h

mg

M

M

h

h

Hình







64

Giả sử chất điểm dịch chuyển theo đường PMQ dưới tác dụng ca trọng lực.Trên đoạn dịch chuyển MM’, tr ọng lực thực hiện một công:

dA mg.MM ' mg.dh= − = −

Trong đoạn dịch chuyển từ M đến M’ thì dh < 0 nên công dA = - mgh > 0. Dođó, công ca trọng lực khi chất điểm chuyển dời từ P đến Q là:

( ) ( )

Q

P

h

PQ P Q

h

A mg dh mg h h= − = −∫ (4.30)

Ta thấy công APQ mà tr ọng lực thực hiện khi dịch chuyển chất điểm từ vị tríđầu hP đến vị trí cuối hQ ch phụ thuộc hP, hQ ngh ĩa là phụ thuộc vào vị trí caP, Q mà không phụ thuộc vào đường dịch chuyển. Nói cách khác trường trọng

lực là trường thế. Ví dụ 2: Một điện tích điểm q đặt tại một điểm O cố định gây ra một điệntr ường xung quanh nó. Tính công ca lực tĩnh điện tác động lên một điện tíchq 0 đặt tại một vị trí bất kỳ cách q một khoảng r.

Giải:

Khi điện tích q0 đặt trong điện trường do điện tích q gây ra thì nó s chịu tácdụng ca một lực tĩnh điện F

có độ lớn:

02

q q

F k r ε = (4.31)

Ta giả thiết rng q0 > 0 và q > 0 nên F

s là lực đẩy. Dưới tác dụng ca lực F

,giả sử điện tích q0 dịch chuyển từ P đến Q. Khi đó công vi phân trong chuyểndời rất nhỏ AB ds=

là:

. . .cos .dA F ds F AB F AH α = = =

trong đó AH là hình chiếu ca AB

lên phương ca lực F

.

Mặt khác, nếu cung vi phân ds

r ất nhỏ thì ta có gần đúng: ,OA r OB r dr OH = = + ≈

nên AH OB OA dr ≈ − =

Suy ra:

02

.q q

dA F dr k dr r ε

= =

Lấy tích phân hai vế ca biểu thc trên, ta thu đưc công ca lực tĩnh điện thực

hiện để dịch chuyển điện tích q0 từ P đến Q:







65

02

.

Q

P

r Q

PQ

P r

q q A F dr k dr

r ε = =∫ ∫

0 0 PQP Q

q q q q A k k r r ε ε

= − (4.32)

Ta thấy công APQ ch phụ thuộc vị trí hai điểm đầu và cuối là P và Q chng tỏtrường tĩnh điện là một trường thế.

5.2. Thế năng

5.2.1 Định ngha

Th năng ca cht điểm trong trường lc th là mt hàm E t phụ thuc vị tríca cht điểm sao cho:

PQ tP tQ A E E = − (4.33)

Từ biểu thc trên ta thấy rng nếu đồng thời cộng Et(P) và Et(Q) với cùng mộthng số thì định nghĩa trên vẫn đúng. Như vậy thế năng ca chất điểm tại mộtvị trí đưc định nghĩa sai khác một hng số cộng. Ví dụ trong trọng trường

đều, thế năng chất điểm tại vị trí có độ cao z là E tz = mgz + C . Còn trong điệntrường Culông, thế năng ca điện tích q0 tại vị trí cách q một đoạn r là

( ) 0t

q qE r k C

r ε = + .

Ví dụ: - Tính thế năng ca l xo bị nén.

Chọn vị trí chất điểm mà lực l xo tác dụng lên chất điểm là 0F =

làm gốcthế năng. Thế năng ca một chất điểm chịu tác dụng ca l xo lúc l xo bị nén một đoạn x:

( )0 2

0

1 .

2t x

x

E x A F dx kx C = = = +∫

- Tính thế năng trong trọng trường.

Chọn một điểm trên bề mặt trái đất ng với độ cao h = 0 làm gốc thế năng. Thếnăng trong trọng trường ca một vật khối lưng m độ cao h gần bề mặt tráiđất:

( ) ( )

0

t hoh

E h A mg dh mgh C = = − = +

∫







66

5.2.2 Tính cht

a) Thế năng tại một vị trí đưc xác định sai khác một hng số cộng nhưng hiệu

thế năng giữa hai vị trí thì hoàn toàn xác định. b) Công bng thế năng vị trí đầu trừ thế năng vị trí cuối:

.PQ tP tQ

PQ

A F ds E E = = −∫

(4.34)

Nếu chất điểm dịch chuyển theo một vng kín nghĩa là vị trí điểm đầu trùngvới vị trí điểm cuối thì ta có:

. 0PQ A F ds= =∫

(4.35)

5.2.3 Ý ngh a thế năng

Th năng là dạng năng lượng đc trưng cho tương tác.

Ví d ụ : Thế năng ca chất điểm trong trọng trường ca trái đất là năng lưngđặc trưng cho tương tác giữa trái đất với chất điểm. Thế năng ca điện tích q0 trong điện trường Colomb ca điện tích q là thế năng tương tác giữa q và q0.

§6. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG TRONG TRƯỜ NG LỰ C THẾ

6.1. Cơ năng

T ổng đng năng và th năng ca cht điểm được gọi là cơ năng ca chtđiểm. Tại mt thời điểm và vị trí xác định, cơ năng ca mt cht điểm có biểuthức:

® t E E E = + (4.36)

6.2. Định luật bo toàn cơ năng

Xét một chất điểm khối lưng m chuyển động trong trường thế. Giả sử dướitác dụng ca trường thế, chất điểm chuyển động từ P đến Q. Công mà lựctrường thế thực hiện trong dịch chuyển là:







67

.

Q

PQ

P

A F ds= ∫

Theo định lý động năng (4.13), công A PQ bng độ tăng động năng ca chấtđiểm:

2 21 1

2 2®Q ®P PQ Q P A E E mv mv= − = − (4.37)

trong đó vP, vQ lần lư t là vận tốc ca chất điểm tại P và Q.

Mặt khác theo (4.33), công APQ do trường thế thực hiện bng độ giảm thế năngtừ P đến Q:

PQ tP tQ A E E = − (4.38)

Từ (4.37) và (4.38) suy ra:

2 21 1

2 2tP tQ ®Q ®P Q P E E E E mv mv− = − = − (4.39)

Trong trường th đ giảm th năng ca mt cht điểm bng đ tăng đng năngca cht điểm y.

Từ (4.39) ta cn có thể viết:

®P tQ ®Q tP E E E E E + = + =

2 21 1

2 2P tP Q tQ E mv E mv E = + = + (4.40)

Vì P và Q là những vị trí bất kỳ trong trường thế nên ta có thể kết luận:

Cơ năng ca mt cht điểm chuyển đng trong trường th là mt đại lượngkhông đổi:

21

2t E E mv const = + = (4.41)

Nói cách khác, trong trường thế cơ năng là mt đại lượng được bảo toàn . Đâylà nội dung ca định luật bảo toàn cơ năng.

Tổng quát, nếu vị trí ca chất điểm đưc xác định bng bán kính vectơ r

thìthế năng là hàm phụ thuộc vào r

:

( ) t t E E r =

Vận tốc v tính bng đạo hàm bậc nhất theo thời gian ca vectơ tọa độ

( ) dr

v t

dt

=

. Do đó, cơ năng ca chất điểm trong trường thế có dạng:







( )2

1

2t

dr E E r m

dt

= +

(4.42)

Khi chất điểm chuyển động trong trường thế, bán kính vectơ r

là hàm thời

gian, dr dt

cũng là hàm thời gian, nhưng cơ năng E là một đại lưng bảo toàn

ngh ĩa là không phụ thuộc vào thời gian. Lúc đó, người ta nói cơ năng ca chtđiểm chuyển đng trong trường th là mt tích phân chuyển đng .

III. BÀI TẬP1. Một vật đư c ném thẳng đng từ độ cao h = 240m xuống mặt đất vớ i vận

tốc ban đầu vo = 14m/s. Vật đi sâu vào mặt đất một đoạn s = 0,2m. Cho khối

lư ng ca vật m = 1kg. Bỏ qua ma sát ca không khí. Tìm lực cản trung bình ca đất lên vật.

2. Một ô tô khối lư ng 1 tấn, khi tắt máy chuyển động xuống dốc thì có vậntốc không đổi v = 54km/h. Độ nghiêng ca dốc là 4%. Hỏi động cơ ô tô phải có công suất bao nhiêu để nó lên đư c dốc trên vớ i cùng vận tốc54km/h ?

3. Một chiếc xe khối lư ng 20000kg chuyển động chậm dần đều dướ i tác dụngca lực ma sát bng 6000N. Sau một thờ i gian xe dừng lại. Vận tốc ban đầuca xe là 54km/h. Tính:

a. Công ca lực ma sát. b. Quãng đường mà xe đã đi đư c k ể từ lúc có lực ma sát tác dụng cho tớ ikhi xe dừng hẳn.

4. Một vật khối lưng m = 1kg trư t trên mặt phẳng nghiêng h p vớ i mặt phẳng nm ngang một góc sao cho sin 0,1 . Sau khi trư t hết mặt phẳng nghiêng, vật còn tiế p tục chuyển động trên mặt phẳng nm ngangmột đoạn l = 10m mớ i dừng lại. Hệ số ma sát trong suốt quá trình chuyểnđộng k = 0,05. Tìm vận tốc ca vật cuối mặt phẳng nghiêng. Lấy gia tốctr ọng trườ ng g = 10m/s2.

5. Một xe chuyển động từ đnh một dốc phẳng DC có độ cao h và dừng lại saukhi đã đi đưc đoạn nm ngang CB. Cho AB = s, AC = l; hệ số ma sát giữaxe và mặt đường trên đoạn DC và CB bng nhau.

Tính hệ số ma sát và gia tốc ca xe trên các đoạn đườ ng DC và CB.

6. Một viên đạn khối lưng m = 10kg đang bay vớ i vận tốc v = 100m/s thì gặ p

một bản gỗ dày và cắm sâu vào bản gỗ một đoạn s = 4cm. Tìm:a. Lực cản trung bình ca bản gỗ lên viên đạn. b. Vận tốc viên đạn sau khi ra khỏi bản gỗ ch dày d = 2cm.

D

A C B







7. Một vật khối lưng m trư t không ma sát từ đnh một mặt cầu xuống dướ i(hình dướ i). Hỏi từ khoảng cách h nào (tính từ đnh mặt cầu) vật bắt đầu rơikhỏi mặt cầu. Cho bán kính mặt cầu R = 90cm.

8. Một vật có khối lư ng m1 = 3kg chuyển động vớ i vận tốc v1 = 4m/s tớ i vachạm vào một vật th hai đang đng yên và có khối lư ng m2 = m1. Coi vachạm là xuyên tâm và hoàn toàn không đàn hồi (va chạm mềm). Tìm nhiệtlư ng tỏa ra trong quá trình va chạm.

9. Một quả cầu khối lư ng 2kg, chuyển động vớ i vận tốc 3m/s va chạm xuyêntâm vớ i một quả cầu th hai khối lưng 3kg đang chuyển động cùng chiềuvớ i quả cầu th nhất vớ i vận tốc 1m/s. Tìm vận tốc ca các quả cầu sau va

chạm nếu:a. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. b. Va chạm là không đàn hồi (va chạm mềm).

10. Một hòn bi khối lư ng m chuyển động không ma sát trên một đườ ngrãnh có dạng như hình v. Hòn bi đư c thả không vận tốc đầu từ độ cao h =2R, kích thướ c ca bi nhỏ không đáng kể. Hỏi:

a. Ở độ cao nào hòn bi s r ờ i khỏi đườ ng rãnh ? b. Độ cao lớ n nhất mà hòn bi s đạt đư c sau khi r ờ i khỏi rãnh ?

hR







CHƯƠNG 5

CÁC ĐỊNH LUẬT THỰ C NGHIỆM VỀ CHẤT KHÍ VÀNGUYÊN LÝ THỨ NHẤT CỦA NHIỆT ĐỘNG HỌC

Trong phần cơ học ta đã nghiên cu chuyển động ca các vật tầm vĩ mô;đó là sự thay đổi vị trí ca các vật trong không gian mà không xét đến cấu tạocũng như những chuyển động xảy ra bên trong vật chất.

Trong phần nhiệt học này ta s nghiên cu một số quá trình xảy ra bên trongvật, thí dụ vật nóng lên khi ma sát hay nóng chảy và bốc hơi khi bị đốt nóng…

Các hiện tưng này liên quan đến dạng chuyển động mới gọi là chuyển đngnhit . Đây cũng là đối tưng nghiên cu ca nhiệt học.


1. Nắm bắt đưc các đại lưng vật lý cơ bản trong khảo sát nhiệt học.

2. Biết và vận dụng các định luật thực nghiệm về chất khí.

3. Nắm vững nguyên lý th nhất ca nhiệt động học và cách vận dụng.

II. NỘI DUNG

§1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. Thông số trạng thái và phương trình trạng thái

Khi nghiên cu tính chất vật lý ca một hệ nhiệt động, nếu thấy các tínhchất đó thay đổi người ta nói rng tr ạng thái ca vật đã thay đổi. Như vậy trạng

thái ca một hệ nhiệt động nói lên tính chất ca hệ nhiệt động đó. Mỗi tính chấtthường đưc đặc trưng bi một đại lưng vật lý. Các đại lưng vật lý này đưcgọi là các thông số trạng thái . Ví dụ đối với một hệ nhiệt động thì đưc đặctrưng bi các thông số thể tích V , áp suất P, nhiệt độ T , mật độ khối lưng ρ ;còn đối với một khối khí đưc đặc trưng bi các thông số thể tích V , áp suất P và nhiệt độ T .

Phương tr ình nêu lên mối liên hệ giữa các thông số trạng thái đưc gọi là phương tr ình tr ạng thái. Dạng tổng quát là:

( )0, , f P V T = (5.1)

Phương trình tr ạng thái phải thỏa mãn các điều kiện liên t ục, gii ni và đơntr ị.







1.2. Các thông số trạng thái ca khối khí

a) Thể tích: Thể tích khối khí là bng với thể tích ca bình cha khí. Ký hiệuca thể tích là V.

Th nguyên ca thể tích là [độ dài]3

= L3

. Trong hệ SI, thể tích có đơn vị métkhối m3.

b) Áp sut : Áp suất ca khối khí đưc định nghĩa là đại lưng vật lý có giá trị bng lực nén ca khí vuông góc lên một đơn vị diện tích. Nếu lực nén là F tácdụng lên đơn vị diện tích S ∆ thì áp suất là:

F p

S =

∆ (5.2)

Th nguyên ca áp suất là [lực].[độ dài]-2 = MLT-2.L-2 = ML-1T-2. Trong hệ SI

đơn vị áp suất là Newton trên mét vuông (N/m2) hay Pascal (Pa). Ngoài rangười ta cn dùng các đơn vị:

- Atmosphere k ỹ thuật : là áp suất bng 9,81.104 N/m2.

- Millimetre thy ngân : là áp suất bng áp suất tạo bi trọng lưng cột thyngân cao 1mm. Đơn vị ca millimetre thy ngân đưc viết tắt là mmHg.

1at = 736mmHg = 9,81.104 N/m2

c) Nhit đ: là một thông số trạng thái đặc trưng cho mc độ chuyển động hỗnloạn ca các phân tử trong một khối khí.

Để xác định nhiệt độ ca khối khí người ta dùng nhiệt biểu. Thang đo nhiệt độgọi là nhiệt giai. Có hai loại thang đo:

- Nhiệt giai bách phân; đơn vị là độ C (toC).

- Nhiệt giai Kenvil, đơn vị là độ K (ToK)

Gọi T là nhiệt độ trong thang đo tuyệt đối, t là nhiệt độ trong thang bách phân,ta có:

T = t + 273 (5.3)

§2. CÁC ĐỊNH LUẬT THỰ C NGHIỆM VỀ CHẤT KHÍ

2.1. Định luật Bôilơ -Mariôt

Khi nghiên cu quá trình đẳng nhiệt cacác chất khí, Bôilơ và Mariôt đã tìm ra định luật

sau:

P

O

V

T

T

T

T 1<T 2<

Hình 7-1 Họ đường đẳng







Trong quá trìnhđng nhit ca mt khối khí, tích số ca thể tích và áp sutca khối khí là mt hng số .

pV = const

Hình 7-1 biểu diễn mối liên hệ giữa áp suất và thể tích ca một khối khí nhấtđịnh. Các đườ ng hypebol gọi là đường đng nhit . Ứng với các nhiệt độ khácnhau ta có các đường đẳng nhiệt khác nhau. Nhiệt độ càng cao thì các đườngđẳng nhiệt càng xa gốc toạ độ.

2.2. Các định luật Gay-Luytxăc

a) Định luật Gay-Luytxăc đối với quá trình đẳng tích:

Trong quá trình đng tích, áp sut tỷ l vi nhit đ tuyt đối.

pconst

T = (5.4)

b) Định luật Gay-Luytxăc đối với quá trình đẳng áp:

Trong quá trình đng áp, thể tích tỷ l vi nhit đ tuyt đối.

V const

T = (5.5)

2.3. Gi i hạn sử dụng định luật ca các định luật trên

Các định luật trên đưc Bôilơ -Mariôt và Gay-Luytxắc đưa ra khi nghiêncu các chất khí nhiệt độ và áp suất trong điều kiện thường nên chúng chđúng trong các điều kiện đó. Nếu áp suất khí quá lớn hoặc nhiệt độ khí quáthấp thì các chất khí không cn tuân theo các định luật đó nữa. Thực nghiệmchng tỏ áp suất và thể tích khí không phải lúc nào cũng tỷ lệ bậc nhất vớinhiệt độ. Trường hp nhiệt độ thấp và áp suất thông thường thì các chất khí

đều hóa lỏng; lúc này chúng ta không thể sử dụng đưc các định luật trên nữa.

P

O

V


P

O

V








§3. PHƯƠNG TR ÌNH TRẠNG THÁI KHÍ LÝ TƯỞ NG

3.1. Thiết lập phương tr ình trạng thái khí lý tư ng

Thực nghiệm đã chng tỏ nếu áp suất không quá lớn và nhiệt độ không quáthấp thì các chất khí vẫn cn tuân theo định luật Bôilơ -Mariôt và Gay-Luytxắc.Do đó để đơn giản người ta xem khí lý t ưng là khí tuân theo hoàn toàn chính

xác hai định luật Bôilơ -Mariôt và Gay- Luytxc.

Giả sử lúc đầu có 1 kilomol khí trạngthái M1 đưc xác định bi các thông số

( )1 1 1, , p V T ; sau đó biến đổi sang trạngthái M2 đưc xác định bi các thông số( )2 2 2, , p V T . Trên hình 7-4 tr ạng thái đầu

và tr ạng thái cuối đưc biểu diễn bng haiđiểm M 1 và M 2 trên hai đường đẳng nhiệtT 1 và T 2.

Để tìm liên hệ giữa các thông số, ta giả sử sự biến đổi từ trạng thái đầu M 1 sangtr ạng thái cuối M 2 có tr ải qua hai quá trình: quá trình đẳng nhiệt từ M 1 sang M’1

với các thông số ( )1 2 1' , , p V T và quá trình đẳng tích từ M’1 sang M 2.Theo định luật Bôilơ -Mariôt cho quá trình đẳng nhiệt, ta có:

11 1 2 ' p V p V =

Theo định luật Gay-Luytxắc cho quá trình đẳng tích, ta có:

1 2 11 2

1 2 2

' '

p p T p p

T T T = ⇒ =

Thay 1' p vào trên ta đưc:

1 1 2 2

1 2

p V p V

T T = (5.6)

Từ (5.6) ta suy ra đối với một kilômol khí đã cho thì lưng pV

T là hng số:

pV const R

T = =

Suy ra: pV RT =

P

O

V

M’

M 2

Hình 7-4

M 1P

P P’

V

V 2

T 2>T

T







Đối với một khối khí có khối lưng m, nếu gọi v là thể tích ca nó thì:

.V vm

µ = ; trong đó µ là khối lưng phân tử. Suy ra:

m pV RT µ

= (5.7)

3.2. Giá trị hằng số khí R

Theo định luật Avôgađrô, cùng một điều kiện nhiệt độ và thể tích giốngnhau các chất khí khác nhau đều chiếm cùng một thể tích. Khi choT0=273,160K (00C), áp suất p0 = 1,033at = 1,013.105 N.m2 thì một kilomol khí

chiếm cùng thể tích là 22,410m3:5 2 3 3

3

1,03.10 / .22,4.10 /

273,16

8,31.10.

o o

o

p V N m m kmol R

T K

jun R

kmol K

= =

=

Nếu áp suất p đo bng asmosphere thì: 3.

0,084 .

m at R kmol K =

Từ phương trình trạng thái ca khí lý tưng ta có thể tính đưc khối lưngriêng ca khí lý tưng khi cho m ρ = với v = 1:

p

RT

µ ρ = (5.8)

§4. NỘI NĂNG CỦA MỘT HỆ NHIỆT ĐỘNG.

CÔNG VÀ NHIỆT

4.1. Hệ nhiệt động

Người ta định nghĩa mọi tập hp các vật đưc xác định hoàn toàn bi mộtsố các thông số vĩ mô, độc lập với nhau đưc gọi là h vĩ mô hay h nhitđng . Các vật cn lại không thuộc hệ đưc coi là ngoại vật hay môi trường xung quanh ca hệ.

Người ta chia hệ nhiệt động thành h cô lập và h không cô lập.







+ H cô lập là hệ không tương tác hoàn toàn với môi trường bên ngoài. Tuynhiên, nếu hệ và ngoại vật không trao đổi nhiệt thì h là cô lập về phương dinnhit. Nếu hệ trao đổi nhiệt nhưng không sinh công do sự nén hoặc giãn n thìh là cô lập về phương din cơ học.

+ H không cô lập là hệ có tương tác với môi trường bên ngoài.

4.2. Nội năng

Vật chất luôn luôn vận động và năng lưng chính là đại lưng xác địnhmc độ vận động ca vật chất trong hệ đó. Ở một trạng thái xác định thì vậtchất có năng lưng xác định. Khi trạng thái hệ thay đổi thì năng lưng hệ có

thể thay đổi và độ biến thiên năng lưng ch phụ thuộc vào trạng thái đầu vàtr ạng thái cuối mà không phụ thuộc vào quá trình biến đổi. Nói vậy nghĩa lànăng lưng ch phụ thuộc vào tr ạng thái ca hệ; do đó năng lưng là một hàmtr ạng thái.

Năng lưng ca một hệ gồm động năng chuyển động có hướng ca cả hệ, thếnăng tương tác ca hệ với môi trường ngoài và năng lưng ng với vận động bên trong ca hệ gọi là nội năng.

d t W W W U = + +

Nội năng ca một hệ bao gồm năng lưng cha bên trong hệ đó. Nội năngcũng phụ thuộc trạng thái nên nó cũng là một hàm trạng thái. Có thể chia nộinăng thành các phần:

+ Động năng chuyển động hỗn loạn ca các phần tử, bao gồm chuyển độngquay và chuyển động tịnh tiến.

+ Thế năng tương tác giữa các phân tử.

+ Động năng và thế năng chuyển động dao động ca các nguyên tử trong phântử.

+ Năng lưng vỏ điện tử ca các nguyên tử và ion, năng lưng trong hạt nhânnguyên tử.

Đối với khí lý tưng do các phân tử khí không tương tác với nhau nên các phântử khí ch có động năng. Vì vậy nội năng khí lý tưng là tổng động năngchuyển động nhiệt ca các phân tử. Ta xét cho một chất khí bất kỳ có i bậc tựdo thì theođịnh luật phân bố đều năng lưng thì độn g năng trung bình ca phân tử là:

2

d

iW KT = (5.9)

Trong đó i là số bậc tự do ca phân tử khí, K là hng số Boltzman, T là nhiệtđộ tuyệt đối.







Nội năng . .2 2

A d A

i iU N W N KT RT = = =

Suy ra2

iRT U =

Vậy đối với một khối khí lý tưng có khối lưng m(kg) thì nội năng ca khốikhí đó là

2

m iRT U

µ = (5.10)

4.3. Công và nhiệt

Công là một dạng truyền năng lưng làm tăng mc độ chuyển động có trậttự ca một vật vĩ mô, tc là vật có kích thước lớn hơn rất nhiều kích thước catừng phân tử. Ví dụ khí giãn n trong xilanh sinh công làm pittong chuyểnđộng.

Nhit là dạng truyền năng lưng trực tiếp giữa các phân tử chuyển động hỗnloạn. Khi hệ đưc trao đổi năng lưng theo dạng này, mc độ chuyển động hỗnloạn ca các phân tử thay đổi, do đó nội năng hệ cũng thay đổi theo. Ví dụ chovật nóng tiếp xúc với vật lạnh, các phân tử chuyển động nhanh ca vật nóng

tiếp xúc với các phân tử chuyển động chậm hơn ca vật lạnh và truyền đi một phần động năng ca mình. Khi đó nội năng vật lạnh tăng lên, nội năng vậtnóng giảm đi. Quá trình này dừng lại khi nhiệt độ ca hai vật bng nhau.

Vậy đại lưng công và nhiệt đều đặc trưng cho mc độ trao đổi năng lưng cahệ. Chúng khác nhau chỗ công liên quan tới chuyển động có trật tự, còn nhiệtliên quan đến chuyển động hỗn loạn ca các phân tử. Tuy vậy chúng vẫn có thểchuyển hóa lẫn nhau.

§5. NGUYÊN LÝ THỨ NHẤT CỦA NHIỆT ĐỘNG HỌC

5.1. Phát biu

Độ biến thiên năng lưng toàn phần W ∆ ca hệ trong quá trình biến đổi vĩmô có giá tr ị bng tổng công A và nhiệt Q mà hệ nhận đưc trong quá trình đó.

W A Q∆ = + (5.11)

Nếu giả thiết rng cơ năng ca hệ không đổi, khi đó W U ∆ = ∆ , biểu thc(5.9) thành







U A Q∆ = + (5.12)

Vậy: Trong quá trình bin đổi, đ bin thiên ni năng ca h có giá trị bngt ổng công và nhit mà h nhận được trong quá trình đó. Đây chính là phát biểu

ca nguyên lý th nhất ca nhiệt động học. * M t số quy ưc:

- Nếu A và Q là công và nhiệt mà hệ nhận đưc thì A’ = -A và Q’ = -Q là côngvà nhiệt mà hệ sinh ra.

- Các đại lưng ∆U, A, Q có thể dương hay âm. Nếu A > 0 và Q > 0 thì ∆U >0, ngh ĩa là nội năng ca hệ tăng khi hệ nhận công và nhiệt lưng từ bên ngoài.Còn nếu A < 0 và Q < 0 thì ∆U < 0, ngh ĩa là nội năng ca hệ giảm khi hệ sinhcông và tỏa nhiệt ta bên ngoài.

Từ (5.12) có thể đưc viết lại: 'Q U A= ∆ + (5.13’)

nên nguyên lý th I có thể đưc phát biểu lại như sau: Nhit truyền cho htrong mt quá trình có giá trị bng đ bin thiên ni năng ca h và công doh sinh ra trong quá trình đó.

5.2. Hệ qu

a) H quả 1:

Đối với hệ cô lập, nghĩa là hệ không trao đổi công và nhiệt với bên ngoài thì A= Q = 0, theo (5.12) suy ra:

0U ∆ =

hay U const =

Vậy: N i năng ca mt h cô lập được bảo toàn.

b) H quả 2:

Nếu hệ cô lập gồm hai vật ch trao đổi nhiệt với nhau và Q1, Q2 là nhiệt lưngmà chúng nhận đưc thì:

1 2

1 2

0

Q Q Q

Q Q

= + =

= −

trong mt h cô lập gồm hai vật chỉ trao đổi nhit, nhit lượng do vật này tỏara bng nhit lượng do vật kia thu vào.

c) H quả 3:







Trường hp hệ là một máy làm việc theo chu trình, nghĩa là sau một loạt cácquá trình biến đổi, hệ tr lại trạng thái ban đầu thì độ biến thiên nội năng cahệ bng không ( ∆U = 0). Lúc đó:

A Q= −

Nếu A < 0 thì Q > 0 và ngưc lại, A > 0 thì Q < 0 nhưng về giá trị tuyệt đối thì| A| = |Q|.

Vậy: Trong mt chu trình, công mà h nhận được có giá trị bng nhit lượngdo h tỏa ra bên ngoài hay ngược lại, công do h sinh ra có giá trị bng nhith nhận vào từ bên ngoài.

Khi hệ thực hiện quá trình biến đổi vô cùng nhỏ thì (5.12) đưc viết lại:

dU A Qδ δ = + (5.13’’)

với dU là độ biến thiên nội năng và Aδ và Qδ là công và nhiệt lưng hệ nhậntrong quá trình đó. Ý nghĩa vật lý ca cách viết này là: bi vì U là hàm tr ạngthái, độ biến thiên ca nó không phụ thuộc quá trình biến đổi nên vi phân dU làmột vi phân toàn phần.

5.3. Ý ngh a ca nguyên lý th nht

- Nguyên lý th nhất chính là định luật bảo toàn và bin đổi vận đng .

- Nguyên lý th nhất khẳng định không thể ch tạo đng cơ vĩnh cửu loại mt .Động cơ vĩnh cửu loại một là loại động cơ tuần hoàn sinh công mà không nhậnthêm bất kỳ năng lưng nào từ bên ngoài hoặc sinh công lớn hơn năng lưngtruyền cho nó.







Giáo trình vật lý Học phần vật lý đại cươ ng A1

- 1 -

§6. DÙNG NGUYÊN LÝ THỨ NHẤT ĐỂ KHẢO SÁTCÁC QUÁ TRÌNH CÂN BẰNG CỦA KHÍ LÝ TƯỞ NG

6.1. Trạng thái cân bằng và quá trình cân bằng

6.1.1 Trạng thái cân bằng

Định ngha: Tr ạng thái cân bng ca h là tr ạng thái không bin đổi theo thời gianvà không phụ thuc vào quá trình ca ngoại vật .

Trong cơ học, ta biết rng trạng thái cân bng ca một vật là trạng thái mà vật đóđng yên đối với một hệ quy chiếu quán tính nhất định.

Trong nhiệt động lực học khái niệm trạng thái cân bng ca một hệ là trạng thái trongđó các đại lưng vĩ mô (p, V, T) xác định trạng thái ca hệ là không thay đổi. Nhữngđại lưng xác định trạng thái ca một vật cn gọi là thông số trạng thái.

Ở trạng thái cân bng nhiệt động lực học không thể xảy ra các hiện tưng truyềnnhiệt, các phản ng hóa học, biến đổi trạng thái giữa khí, lỏng, rắn. Trạng thái cân bng nhiệt động lực học khác với trạng thái cân bng cơ học chỗ là mặc dù các đạilưng vĩ mô đặc trưng cho hệ không đổi nhưng các phần tử cấu tạo nên hệ vẫn khôngngừng chuyển động hỗn loạn. Chẳng hạn một hệ gồm một chất lỏng, đựng trong bình

kín, trên mặt ca chất lỏng có hơi bão hoà ca nó. Hệ này trạng thái cân bng nêncác đại lưng p, V, T là không đổi. Tuy nhiên bên trong hệ vẫn có những phân tử bayhơi ra khỏi chất lỏng và ngưc lại cũng có những phân tử thuộc phần hơi bão hoà baytr lại vào chất lỏng. Dĩ nhiên số phân tử bay ra và bay tr vào chất lỏng trong cùngmột thời gian nào đấy phải bng nhau.

6.1.2 Quá trình cân bằng

Khi một hệ biến đổi từ trạng thái này sang trạng thái khác, một chuỗi các trạngthái nối tiếp nhau xảy ra, tạo nên một quá trình. Những trạng thái nối tiếp nhau này lànhững tr ạng thái cân bng vì sự biến thiên ca các thông số trạng thái theo thời gianlà đ chậm so với khoảng thời gian giữa hai trạng thái kế tiếp đưc chọn tuỳ ý .Mộtquá trình diễn biến vô cùng chậm như thế đưc gọi là quá trình chuẩn cân bng (chuẩn tĩnh) và có thể coi nó là một dãy nối tiếp các trạng thái cân bng.

Những quá trình xảy ra trong thực tế không phải là những quá trình chuẩn cân bngnhưng nếu chúng xảy ra càng chậm bao nhiêu thì càng gần đúng là quá trình chuẩncân bng bấy nhiêu.

Định ngha: Quá trình cân bng là mt quá trình bin đổi gồm mt chuỗi liên tipcác tr ạng thái cân bng .








- 2 -

6.2. Công và nhiệt trong quá trình cân bằng. Nội năng kh lý tư ng

6.2.1 Công trong quá trình cân bằng

Giả sử xylanh cha khối khí biến đổi theo một quátrình cân bng từ thể tích V 1 đến V 2; ngoại lực tác dụnglên pittong là F . Pittong dịch chuyển một đoạn dl thìkhối khí nhận đưc công là:

A Fdlδ = −

Gọi p là áp suất ca khí lên pittong, S là diện tích pittong thì giá tr ị ngoại lực là:

.F p S =

Do đó: . . A p Sdl p dV δ = − = −

Công khối k hí nhận đưc trong quá trình nén trên là:

2

1

.V

V A A p dV δ = = −∫ ∫ (5.13)

Hình 8-1 diễn tả cách biểu diễn công trên đồ thị. Công có giá trị dương và có trị số bng diện tích giới hạn bi đường cong biểu diễn quá trình cân bng.

6.2.2 Nhiệt trong quá trình cân bằng

Thực nghiệm cho thấy nhiệt lưng thu vào hay tỏa ra ca một vật tỷ lệ với khối lưngvà độ biến thiên nhiệt độ ca vật đó.

. .Q m c t = ∆

trong đó c là nhiệt dung riêng ca vật; nó phụ thuộc vào bản chất vật.

.

Q

c m t = ∆ (5.14)

Từ đó nhiệt dung riêng đưc định nghĩa:

Định ngha: Nhit dung riêng c ca mt cht là đại lượng vật lý về giá trị bng nhitlượng cân thit truyền cho mt đơn vị khối lượng để nhit đ ca nó tăng thêm mtđơn vị.

Ngoài ra, người ta cn dùng nhiệt dung mol C ca một chất; là nhiệt lưng cần truyềncho một mol chất đó tăng lên một độ.

.C cµ = (5.15)trong đó μ là khối lưng ca một mol chất.

Đơn vị ca c là J/kg.K , còn đơn vị ca C là J/mol.K .

1

b

c2

p

VV 2V 1

a

Hình 8-1 Côn h








- 3 -

Một mol khí có khối lưng m(kg) thì số mol ca khối khí làµ

m n =

Ta suy ra: 2 1 2 1 . .( ) .( )m

Q n C T T C T T

µ

= − = − (5.16)

6.2.3 Nội năng kh lý tưng

Theo thuyết động học phân tử, khí lý tưng là một hệ gồm số lưng lớn các phântử giống nhau, kích thước nhỏ không đáng kể và không tương tác với nhau. Các phântử này chuyển động hỗn loạn không ngừng và nếu không có tác dụng ca bên ngoàithì mật độ khí phân bố đồng đều.

Do các phân tử khí ca khí lý tưng không tương tác với nhau nên thế năng cachúng bng không. Khi đó nội năng ca khí lý tưng bng tổng động năng trung bìnhca tất cả các phân tử khí có trong khối khí đó.

Gọiđ

W là động năng trung bình ca mỗi phân tử khí và đưc tính bi công thc:

đ

3

2 BW k T = (5.17)

trong đó 231,38.10 J/K B

Rk

N

−= = đưc gọi là hng số Boltzman, R là hng số khí lý

tưng và N là số Avogadro.

Công thc (5.17) là động năng trung bình ca phân tử khí có cấu tạo đơn nguyên tử,tc là phân tử đó có 3 bậc tự do. M rộng công thc (5.17), người ta chng minhđưc biểu thc tổng quát động năng trung bình ca phân tử có dạng:

đ

2 B

iW k T = (5.18)

i đây là số bậc tự do ca phân tử. Đối với phân tử có một nguyên tử i = 3; với phân

tử có hai nguyên tử i = 5 và với phân tử cấu tạo từ 3 nguyên tử tr lên i=6.Từ (5.18) ta có thể tính đưc nội năng ca một mol khí lý tưng:

đ .

2 B

iU N W Nk T = =

hay2

iU RT = (5.18’)

Vậy: ni năng ca mt khối khí lý tưng chỉ phụ thuc vào nhit đ ca khối khí đó.

6.3. Kho sát các quá trình cân bằng








- 4 -

6.3.1 Quá trình đẳng tch (V = const)

Xuất phát từ định luật Gay-Luytxac cho quá trình đẳng tích, ta có:

p const T

= , ngh ĩa là 1 2

1 2

p pT T

=

Công mà khối khí nhận đưc là:

2

1

0V

V A pdV = − =∫ (5.19)

Nhiệt lưng khối khí nhận đưc:

( )2

2

2 1 .T

V V V

T

m m mQ Q C dT C T T C T

µ µ µ

= = = − = ∆∫ ∫ (5.20)

Áp dụng nguyên lý th nhất, ta có độ biến thiên nội năng:

U A Q Q∆ = + = (5.21)

Vậy trong quá trình biến đổi đẳng tích, nhiệt lưng trao đổi đúng bng độ biến thiênnội năng ca khối khí.

Mặt khác, ta đã tính đưc nội năng U khí lý tưng (5.10), từ đó có thể suy ra độ biến thiên nội năng khí lý tưng:

.2

m iU R T µ

∆ = ∆ (5.22)

và biểu thc nhiệt dung mol đẳng tích bng cách so sánh (5.20) và (5.22):

2V

iC R= (5.23)

6.3.2 Quá trình đẳng áp (p = const)

Theo định luật Gay-Luytxac ta có phương tr ình ca quá trình đẳng áp:

V const

T = , ngh ĩa là 1 2

1 2

V V

T T =

Công khối khí nhận trong quá trình đẳng áp là:

( )2

11 2 .

V

V A p dV p V V = − = −∫ (5.24)

Nhiệt khối khí nhận đưc trong quá trình đẳng áp là: 2

1

.T

p pT

m mQ Q C dT C T δ

µ µ = = = ∆∫ ∫ (5.25)








- 5 -

trong đó C p là nhiệt dung mol đẳng áp ca khí.

Độ biến thiên nội năng ca khí:

( )1 2 . p

mU A Q p V V C T

µ

∆ = + = − + ∆ (5.26)

Do nội năng khí lý tưng ch phụ thuộc vào nhiệt độ nên trong quá trình đẳng áp độ biến thiên nội năng cũng đưc tính theo (5.22). Từ đó ta có thể tính đưc nhiệt dungmol đẳng tích C p.

Từ phương trình trạng thái khí lý tưngm

pV RT µ

= , ta có:

( ) ( )1 2 1 2 .m m

p V V R T T R T µ µ

− = − = − ∆ (5.27)

Thay (5.27) vào (5.26) r ồi so sánh với (5.22) ta đưc:

2

2 p

iC R

+= (5.28)

và p V C C R− = (5.29)

Công thc trên gọi là h thức Maye.

Tỷ số:

2 p

V

C iC i

γ += = (5.30)

đưc gọi là h số Poisson hay chỉ số đoạn nhit .

6.3.3 Quá trình đẳng nhiệt

Theo định luật Bôilơ -Mariot ta có phương tr ình ca quá trình đẳng nhiệt:

pV const = , hay 1 1 2 2 p V p V = Từ phương trình trạng thái khí lý tưng, ta có:

.m RT

pV µ

= (5.31)

Do đó, công khối khí nhận đưc trong quá trình đẳng nhiệt là:

2 2

1 1

1

2

. .lnV V

V V

m dV m V A p dV RT RT

V V µ µ = − = − =∫ ∫ (5.32)

Ta cũng có thể viết:








- 6 -

1

2

. lnm V

A RT V µ

= (5.33)

Áp dụng nguyên lý th nhất và chú ý nội năng trong quá trình đẳng nhiệt bng không0U ∆ = , ta suy ra nhiệt lưng khối khí nhận trong quá trình đẳng nhiệt:

1 1

2 2

.ln .lnm V m p

Q A RT RT V pµ µ

= − = = (5.34)

6.3.4 Quá trình đoạn nhiệt

Đoạn nhiệt là quá trình mà trong đó hệ không trao đổi nhiệt với bên ngoài, tc làQ = 0. Theo nguyên lý th nhất, độ biến thiên nội năng ca khí là:

.Tm

U A RT µ

∆ = = ∆ (5.35)

hoặc có thể viết: .m

dU A RT dT δ µ

= = (5.35’)

Thay . A p dV δ = − và2

V

iC R= vào (8.26’), ta đưc:

. . V

m

p dV C dT µ − = (5.35’’)

Từ phươ ng trình tr ạng thái khí lý tưng (5.31), (5.35’’) có thể đưc viết gọn lại:

. 0V

dT R dV

T C V + = (5.36)

Tích phân phương tr ình (5.36) với lưu ý 1 p V

V V

C C R

C C γ

−= = − , ta có:

( ) ( )1ln 1 ln ln .T V const T V const γ γ −+ − = ⇔ =

Do đó: 1.T V const

γ − = (5.37)

Phương tr ình (5.37) cho biết mối quan hệ giữa T và V trong quá trình đoạn nhiệt.

Để tìm mối quan hệ p và V, T và p, ta lần lưt rút T, V từ phương trình trạng thái khílý tưng rồi thay vào (5.37) s đưc hai phương trình:

. p V const

γ

= (5.38)1

.T p const

γ

γ

−

= (5.39)








- 7 -

Từ các phương trình này, ta có thể tính công trong quá trình đoạn nhiệt.

Vì 1 1 pV p V γ γ = nên 1 1

p V p

V

γ

γ = , thay vào công thc tính công trong quá trình đoạn

nhiệt, ta đưc:

2 2

1 1

1 11 11 2 1 .

1

V V

V V

dV p V A p dV pV V V

V

γ γ γ γ

γ γ

− − = − = − = − −∫ ∫

hay1

1 1 2

1

11

p V V A

V

γ

γ

− = −

−

(5.40)

Tương tự, thay 1 1 2 2 p V p V γ γ = ta đưc:

2 2 1 1 1

p V p V Aγ

−=−

(5.41)

Hoặc thay 1 1 1 m

p V RT µ

= vào (5.40) ta đưc:

1

1 2

1

m . 1

1

RT V A

V

γ

µ γ

− = −

−

(5.42)

và1

1 2

1

m . 1

1

RT p A

p

γ γ

µ γ

− = − −

(5.43)

III. BÀI TẬPCho hng số khí lý tưng:

- Trong hệ SI: 3 J J8, 31.10 8, 31

kmol.K mol.KR

- Nếu áp suất p đo bng atmospher (1at = 736mmHg = 9,81.104 N/m2) thì:3m at lít.at

0, 0848 0, 0848kmol.K mol.K

R

1. Có 1 gam ôxy áp suất 3at sau khi hơ nóng đẳng áp nó chiếm một thể tích 1l. Tìmnhiệt độ sau khi hơ nóng. Coi khí ôxy là khí lý tư ng.

2. Một khối khí nitơ có thể tích 8,3l, áp suất 15at, và nhiệt độ 27oC.a. Tính khối lư ng ca khối khí đó.

b. Hơ nóng đẳng tích khối khí đó đến nhiệt độ 127oC. Tính áp suất ca khối khísau khi hơ nóng.

3. Có 40g khí ôxy chiếm thể tích 3lít, áp suất 10at.

a. Tính nhiệt độ ca khối khí. b. Cho khối khí giãn n đẳng áp đến thể tích 4lít. Hỏi nhiệt độ ca khối khí sau

giãn n .








- 8 -

4. Có 6,5g Hydrô nhiệt độ 27oC, nhận đư c nhiệt nên thể tích giãn n gấp đôi,trong điều kiện áp suất không đổi. Tính:

a. Công mà khí sinh ra. b. Độ biến thiên nội năng ca khối khí.

c. Nhiệt lưng đã cung cấ p cho khối khí.5. Có 10g khí ôxy nhiệt độ 10oC, áp suất 3.105 N/m2. Sau khi hơ nóng đẳng áp, thể tích khí tăng lên đến 10lít. Tìm:

a. Nhiệt lư ng mà khối khí nhận đư c. b. Nội năng ca khối khí trước và sau khi hơ nóng.

6. Có 10g khí ôxy nhiệt độ 10oC, áp suất 3at đưc hơ nóng đẳng áp và giãn n đếnthể tích 10lít. Tìm:

a. Nhiệt lư ng cung cấ p cho khối khí. b. Công do khối khí sinh ra khi giãn n .

7. Hơ nóng 16g khí ôxy trong một bình khí giãn n kém nhiệt độ 37oC, từ áp suất105 N/m2 lên tớ i 3.105 N/m2. Tìm:

a. Nhiệt độ ca khối khí sau khi hơ nóng. b. Nhiệt lưng đã cung cấ p cho khối khí.

8. Một chất khí lưỡ ng nguyên tử có thể tích V1 = 0,5lít, áp suất p1 = 0,5at. Nó bị nén đoạn nhiệt tớ i thể tích V2 và áp suất p2. Sau đó ngườ i ta giữ nguyên thể tích V2 và làm lạnh nó đến nhiệt độ ban đầu. Khi đó áp suất khí là po = 1at.

a. V đồ thị ca quá trình. b. Tìm thể tích V2 và áp suất p2.








- 9 -

CHƯƠNG 6

NGUYÊN LÝ THỨ HAI CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰ C HỌC

Trong chương trước chúng ta đã nghiên cu nguyên lý th nhất ca nhiệt độnghọc. Nội dung ca nguyên lý đó là định luật bảo toàn và biến đổi năng lưng. Nó phùhp với tất cả các quá trình vĩ mô trong tự nhiên. Nhưng một số quá trình vĩ mô phùhp với nguyên lý th nhất nhưng lại có thể không xảy ra trong thực tế.

Ví dụ 1: Xét hai vật có nhiệt độ khác nhau khi đặt chúng tiếp xúc với nhau thì chúngs trao đổi nhiệt với nhau. Theo nguyên lý th nhất thì nhiệt lưng toả ra từ vật này bng với nhiệt lưng mà vật kia thu vào cn trong hệ thì nhiệt có thể truyền từ vậtnóng sang vật lạnh hoặc từ vật lạnh sang vật nóng. Tuy nhiên trong thực tế thì nhiệtch có thể truyền từ vật nóng sang vật lạnh cn chiều ngưc lại thì không.

Ví dụ 2: Một hn đá có khối lưng m đưc nâng lên độ cao z trong chân không, thếnăng ca nó là mgz. Nếu nó rơi xuống đất thì sau khi nó chạm đất nếu hn đá nmyên trên mặt đất thì nó s làm cho đất nóng lên. Bây giờ nếu hn đá nm tại mặt đất,ta cung cấp cho nó một nhiệt lưng bng nhiệt lưng m nó cung cấp cho đất thì nókhông thể nâng lên độ cao z đưc.

Hai ví dụ trên ta thấy sự mâu thuẫn ca nguyên lý th nhất với quá trình diễn biến

xảy ra. Để giải quyết đưc những vấn đề mà nguyên lý th nhất không thể giải quyết đưcngười ta đã đưa ra nguyên lý hai ca nhiệt động lực học.


1. Nắm đưc các quá trình thuận nghịch, không thuận nghịch và nguyên lý II canhiệt động học.

2. Nắm đưc chu trình Cácnô, biểu thc hiệu suất ca chu trình Cácnô. 3. Nắm đưc hàm entrôpi, nguyên lý tăng entrôpi, ý nghĩa ca entrôpi và vậndụng để giải các bài toán nhiệt động học.

II. NỘI DUNG

§1. QUÁ TRÌNH THUẬN NGHỊCH VÀQUÁ TRÌNH KHÔNG THUẬN NGHỊCH








- 10 -

Trong nhiệt động lực học, không những chúng ta ch xét quá trình nói chung mà tacần chú ý đến chiều diễn biến ca quá trình. Dựa vào đặc tính ca các quá trình,người ta chia ra chúng thành hai loại: quá trình thuận nghịch và quá trình khôngthuận nghịch.

1.1. Quá trình thuận nghịch và quá trình không thuận nghịch

1.1.1 Quá trình thuận nghịch

Định ngha: M t quá trình bin đổi ca h từ trạng thái 1 sang trạng thái 2 được gọilà quá trình thuận nghịch, khi đó nó có thể bin đổi theo chiều ngược lại và trongquá trình ngược đó, h đi qua các trạng thái trung gian như trong quá trình thuận.

- Mọi quá trình thuận nghịch đều là quá trình cân bng . Ta có thể biểu diễn quá trìnhthuận nghịch trên đồ thị bng một đường cong liền nét như đối với quá trình cân bng. Công mà hệ nhận đưc trong quá trình nghịch bng và ngưc dấu với công dohệ cung cấp cho bên ngoài trong quá trình thuận. Nội năng ca hệ cũng không thayđổi. Nhiệt lưng mà hệ nhận vào trong quá trình nghịch bng nhiệt lưng mà hệ tỏara trong quá trình thuận.

1.1.2 Quá trình không thuận nghịch

Trong thực tế, có nhiều quá trình biến đổi qua một số trạng thái không cân bng. Mộtkhi tr ạng thái cân bng thay đổi thì không thể tạo lại trạng thái ban đầu đưc nữa.

Định ngha: Quá trình không thuận nghịch là quá trình mà k hi tin hành theo chiềungược lại, h không qua đầy đ các trạng thái trung gian như trong quá trình thuận.

- Trong quá trình không cân bng, công và nhiệt lưng hệ nhận từ bên ngoài trongquá trình nghịch không bng công và nhiệt lưng hệ cung cấp cho môi trường bênngoài. Do đó, đối vi quá trình không thuận nghịch, sau khi thc hin quá trình

thuận và quá trình nghịch để đưa h về trạng thái ban đầu thì môi trường xungquanh đ ã bị bin đổi.

1.2. Một số ví dụ

1.2.1 Quá trình thuận nghịch

a) Dao đng ca con lc đơn: Trường hp bỏ qua ma sát và xem như nhiệt độ ca nó bng nhiệt độ ca môi trường thì sự dao động ca con lắc đơn là một quá trình thuận








- 11 -

nghịch. Sau quá trình thuận và quá trình nghịch thì công trọng lực sinh ra bngkhông, môi trường xung quanh không bị biến đổi.

b) Quá trình nén và giãn khíđoạn nhit vô cùng chậm : Đây cũng là một quá trìnhthuận nghịch. Một khối khí đựng trong một xylanh có vỏ cách nhiệt giãn n vô cùng

chậm từ thể tích V 1 đến V 2 để đưc xem là quá trình cân bng. Nếu tiến hành ngưclại, tc là nén khí vô cùng chậm từ thể tích V 2 đến V 1, khối khí s đi qua các trạng tháicân bng trung gian như trong quá trình thuận. Công sinh ra trong quá trình thuận bng công sinh ra trong quá trình nghịch và khi tr về trạng thái ban đầu, khí khôngtrao đổi công với môi trường. Do xylanh có vỏ cách nhiệt nên khí cũng không traođổi nhiệt với môi trường bên ngoài. Kết quả là môi trường xung quanh không bị biếnđổi.

Tóm lại, mọi quá trình cơ học không có ma sát đều là quá trình thuận nghịch.

1.2.2 Quá trình không thuận nghịch

Thực tế chng tỏ rng mọi quá trình vĩ mô thực luôn có sự trao đổi nhiệt với bênngoài. Do đó, tất cả các quá trình đó đều là quá trình không thuận nghịch.

a) Các quá trình xảy ra có ma sát: Do có ma sát nên trong cả quá trình thuận và quátrình nghịch, một phần công bị biến thành nhiệt và nhiệt đó ch làm nóng các vật khácch không tự nó biến thành công đưc. Do đó sau khi tiến hành quá trình thuận vàquá trình nghịch thì môi trường xung quanh đã bị biến đổi.

b) Quá trình truyền nhit từ vật nóng sang vật lạnh: Đây cũng là một quá trình khôngthuận nghịch. Quá trình này xảy ra một cách tự phát mà không cần tác dụng nào ca bên ngoài và dừng lại khi nhiệt độ ca các vật cân bng nhau. Thực hiện quá trìnhngưc lại, nhiệt từ vật lạnh truyền sang cho vật nóng thì phải có tác dụng từ bênngoài. Như vậy đối với quá trình truyền nhiệt, sau khi thực hiện quá trình thuận vàquá trình nghịch thì môi trường đã bị biến đổi.

1.3. Ý ngh a c a việc nghiên c u các quá trình thuận nghịch và không thuậnnghịch

Ta biết rng các quá trình cơ học thuần tuý là những quý trình lý tưng trongcác quá trình thực tế đều là quá trình bất thuận nghịch mà công A trong quá trình bấcthuận nghịch nhỏ hơn công A trong quá trình thuận nghịch vì vậy ta chế tạo các độngcơ sao cho các động cơ đó hoạt động gần với quá trình thuận nghịch, muốn vậy ngườita phải giảm bớt ma sát ca động cơ để công có ích đưc lớn hơn.

§2. NGUYÊN LÝ THỨ HAI CỦA NHIỆT ĐỘNG HỌC

2.1. Máy nhiệt








- 12 -

Máy nhit là một hệ hoạt động tuần hoàn biến đổi công A thành nhiệt lưng Q hoặc biến nhiệt lưng Q thành công A.

Trong máy nhiệt có các chất vận chuyển biếnnhiệt thành công hoặc biến công thành nhiệtđưc gọi là tác nhân. Khi máy hoạt động, tácnhân trao đổi với các vật có nhiệt độ khác nhauđưc gọi là nguồn nhit . Các máy nhiệt thườngtrao đổi với hai nguồn nhiệt là nguồn nóng vànguồn lạnh. Tác nhân trong máy nhiệt biến đổitheo các chu trình.

- Đng cơ nhit là một loại máy nhiệt biến nhiệt

thành công. Ví dụ máy hơi nước, đ ộng cơ đốttrong...

- Đng cơ vĩnh cửu loại 2 là loại động cơ có thể biến toàn bộ nhiệt lưng Q thànhcông A. Động cơ này có ưu điểm là ch cần một nguồn nhiệt cung cấp năng lưng Qcho nó là đ.

Thực tế ta không thể chế tạo đưc loại động cơ như vậy bi vì mọi loại động cơ phảituân theo một điều kiện là trong mỗi chu trình, động cơ nhiệt nhận nhiệt lưng Q1 từnguồn nóng để sinh công A thì đồng thời nó phải truyền nhiệt lưng Q2 cho mộtnguồn nhiệt khác (nguồn lạnh).

2.2. Nguyên lý th hai ca nhiệt động học

Phát biu 1 (ca Claudiut): Nhit không thể t đng truyền từ vật lạnh sang vật nónghơn hay không thể thc hin được mt quá trình mà kt quả duy nht là truyền nănglượng dưi dạng nhit từ vật lạnh sang vật nóng .

Phát biu 2 (ca Thompson): Không thể ch tạo được mt máy hoạt đng tuần hoànbin đổi liên tục nhit thành công nhờ làm lạnh mt vật và xung quanh không chịumt s thay đổi đồng thời nào.

Hay: không thể ch tạo được đng cơ vĩnh cửu loại 2.

2.3. Hiệu sut ca động cơ nhiệt

Theo nguyên lý 2, tác nhân phải làm việc với nguồn nóng T 1 có tác dụng truyềncho tác nhân nhiệt lưng Q 1 và nguồn lạnh T2 có nhiệm vụ nhận nhiệt lưng Q2 ca

tác nhân thải ra trong mỗi chu trình. Tỷ số:

T1 N uồn

Tác

T2 Nguồn Công

Q

Q

Hình








- 13 -

1 2

1 1

A Q Q

Q Qη

−= = (6.1)

đưc gọi là hiu sut ca đng cơ nhit .

§3. CHU TRÌNH CACNÔ VÀ ĐỊNH LÝ CACNÔ

Chu trình Cacnô có vai trò to lớn trong sự phát triển ca nhiệt động lực học vàk ỹ thuật vì nó cho phép thiết lập biểu thc định lưng ca nguyên lý th hai, phântích hiệu suất ca các máy nhiệt và địn h ngh ĩa đưc nhiệt độ nhiệt động học tuyệtđối.

3.1. Chu trình Cacnô thuận nghịch và hiệu sut ca nó

Định ngha: Chu trình cacnô thuận nghịch là mt chu trình gồm có 4 quá trình trongđó có 2 quá tr ình đng nhit và 2 quá trình đoạn nhit (không trao đ ổi nhit vi môitrường bên ngoài).

Quá trình (1) – (2): quá trình giãn n đẳngnhiệt.

Quá trình (2) – (3): quá trình giãn n đoạn

nhiệt. Quá trình (3) – (4): quá trình nén đẳng nhiệt.

Quá trình (4) – (1): quá trình nén đoạn nhiệt.

Hiệu suất ca chu trình Cacnô:

1max

2

1T

T η = − (6.2)

Kết luận: Hiu sut ca chu trình Cacnô thuận nghịch đối vi khí lý tưng chỉ phụthuc vào nhit đ tuyt đối ca nguồn nóng và nguồn lạnh.* Ý nghĩa:

- Hiệu suất càng lớn khi chênh lệch nhiệt độ giữa nguồn nóng và nguồn lạnh càngnhiều.

- Vì T 1 < T 2 nên 1η ≤ . Do đó muốn nâng cao hiệu suất thì giải pháp tăng T 1 là hiệuquả nhất, nghĩa là cần phải tìm nhiên liệu có hiệu suất tỏa nhiệt lớn.

3.2. Định lý Cacnô

1 (p1, V 1,

2 (p2, V 2,

3 (p3, V 3,4 (p4, V 4,

T 1

T 2

Q 1

Q 2

O V

P

Hình 9-2 Chut r ì nh








- 14 -

Định lý: Hiu sut ca tt cả các đng cơ thuận nghịch chạy theo chu trình Cacnôvi cùng nguồn nóng và nguồn lạnh đều bng nhau và không phụ thuc vào tác nhâncng như cách ch tạo máy. Hiu sut ca đng cơ không thuận nghịch nhỏ hơn hiusut ca đng cơ thuận nghịch.

3.3. Biu thc định lư ng ca nguyên lý hai

Từ hiệu suất ca động cơ chạy theo chu trình cacnô thuận nghịch: '2

1

1Q

Qη = − và 1

max2

1T

T η = −

ta suy ra:

'2 2

1 1

Q T

Q T = (6.3)

Từ biểu thc hiệu suất ca chu trình Cacnô (6.2) và biểu thc hiệu suất (6.1), ta suyra đưc biểu thc định lưng ca nguyên lý hai:

' '1 2 1 2

1 1

Q Q T T

Q T ≤

− − (6.4)

Để tìm biểu thc định lưng tổng quát ca nguyên lý hai, từ (6.4) ta suy ra: '2 2

1 1

Q T

Q T ≥ (6.5)

trong đó Q’2 là nhiệt mà hệ nhả cho nguồn lạnh. Gọi Q2 = -Q’2 là nhiệt hệ nhận từnguồn lạnh thì (6.5) đưc viết lại:

1 2

1 2

0Q Q

T T + ≤ (6.6)

Biểu thc này m rộng ra cho nhiều nguồn nhiệt, ta s có: 0i

ii

Q

T ≤∑ (6.7)

Nếu trong chu trình hệ biến thiên liên tục thì (6.7) tr thành:

0Q

T

δ ≤∫ (6.8)

Dấu bng (=) ng với chu trình thuận nghịch, dấu bé hơn (<) ng với chu trình không

thuận nghịch. - Bài toán ví d ụ: Cho một động cơ nhiệt làm việc theo chu trình Cacnô có công suất P= 73600W. Nhiệt độ nguồn nóng là 100oC, nhiệt độ nguồn lạnh là 0oC. Tính:








- 15 -

a) Hiệu suất ca động cơ.

b) Nhiệt lưng mà tác nhân nhận đưc ca nguồn nóng trong 1 phút.

c) Nhiệt lưng mà tác nhân nhả cho nguồn lạnh trong 1 phút.

Giải: a) Hiệu suất ca động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình Cacnô là:

2

1

373 1 1 27%

273

T

T η = − = − =

b) Theo định nghĩa ca công suất, ta suy ra công sinh ra trong 1 giây là A’ = 73600Jvà từ biểu thc hiệu suất ca động cơ nhiệt, ta suy ra công động cơ nhận từ nguồnnóng (trong 1 giây):

1

'

AQ

η =

Nhiệt lưng động cơ nhận trong 1 phút:

1 1

' 73600 60. 60 60 16470 3950

0,27 ph

AQ Q kJ kcal

η = = = ≈ ≈

c) Nhiệt lưng tác nhân nhả cho nguồn lạnh trong 1 giây: '2 1 'Q Q A= −

Vậy, trong một phút thì tác nhân đã nhả cho nguồn lạnh một nhiệt lưng:

( )2 1 1' 60 ' 60 ' 12054 2890 phQ Q A Q A kJ kcal= − = − = =

§4. HÀM ENTROPI VÀ NGUYÊN LÝ TĂNG ENTROPI

4.1. Hàm entropi

Ở bài trước, khi một quá trình biến đổi theo một chu trình thuận nghịch thì:

= 0Q

T

δ ∫ (6.9)

- Xét một hệ biến đổi từ trạng thái (1) sang trạng thái (2) theo hai quá trình thuậnnghịch khác nhau 1a2 và 1b2. Vì 1b2 là thuận nghịch nên có thể thực hiện theo chiềungưc 2b1 qua những trạng thái trung gian như 1b2. Kết quả ta có chu trình thuậnnghịch 1a2b1 và:

1 2 1

= 0

a b

QT

δ ∫ (6.10)








- 16 -

Suy ra:

1 2 2 1 1 2 1 2

0

a b a b

Q Q Q Q

T T T T

δ δ δ δ −+ = + =∫ ∫ ∫ ∫

Do đó:

1 2 1 2

a b

Q Q

T T

δ δ =∫ ∫

Điều này nghĩa là: Tích phânQ

T

δ ∫ theo các quá trình thuận nghịch từ trạng thái (1)

sang tr ạng thái (2) không phụ thuc vào quá trình mà chỉ phụ thuc trạng thái đầu vàtr ạng thái cuối.

- Một hàm trạng thái S ca hệ sao cho biến thiên ca S từ (1) đến (2) có giá trị bngtích phân

Q

T

δ ∫ từ (1) đến (2) theo một quá trình thuận nghịch nào đó:

(2)

2 1(1)

Q

S S S T

δ ∆ = − = ∫ (6.11)

Hàm S gọi là hàm entropi ca hệ. Suy ra vi phân ca hàm S là:

QdS

T

δ = (6.12)

* Tính cht ca hàm entropi (tương tự tính chất nội năng):

- Entropi S là một hàm trạng thái.

- Entropi S là một đại lưng có tính cộng đưc.

- Entropi đưc xác định sai kém một hng số cộng:

o

QS S

T

δ = + ∫ (6.13)

với S 0 là giá tr ị entropi tại gốc tính toán và quy ước S 0 = 0 trạng thái T = 0oK .

- Đơn vị ca entropi S : jun trên Kelvin (J/K).

- Nếu hệ biến đổi theo một chu trình gồm quá trình không thuận nghịch 1a2 và quátrình thuận nghịch 2b1 thì chu trình này là không thuân nghịch. Do đó:

0Q

T

δ <∫

Từ đó suy ra:

1 2 1 2

a b

Q Q

T T

δ δ

<∫ ∫ (6.14)

Vì 1b2 là quá trình thuận nghịch nên có thể áp dụng (6.11) cho (6.14), ta đưc:








- 17 -

ktn

QS

T

δ < ∆∫ (6.15)

K ết hp (6.11) và (6.14), suy ra:

QS T

δ ∆ ≥ ∫ (6.16)

hay dạng vi phân: Q

dS T

δ ≥ (6.17)

(6.17) cũng là một cách viết khác biểu thc định lưng ca nguyên lý th hai.

4.2. Nguyên lý tăng entropi

- Đối với hệ không cô lập, S ∆ có thể dương hoặc âm hoặc bng không là tùy thuộc

vào dấu và giá trị nhiệt lưng nhận vào; nghĩa là entropi ca hệ có thể tăng, giảmhoặc không đổi. Cn đối với hệ cô lập nên 0Qδ = , do đó theo (6.16) thì:

0S ∆ ≥ (6.18)

Vậy trong một hệ cô lập, nếu quá trình là thuận nghịch thì entropi hệ không đổi0S ∆ = và nếu quá trình là không thuận nghịch thì entropi hệ tăng 0S ∆ > . Do

trong thực tế, các quá trình nhiệt động đều là không thuận nghịch nên ta có nguyên lýtăng entropi:

- V i quá trình nhit đng thc t xảy ra trong h cô lập, entropi ca h luôn luôn

tăng và đạt cc đại khi h trạng thái cân bng . Nguyên lý này có ngh ĩa là: một hệcô lập không thể hai lần đi qua cùng một trạng thái. Lúc hệ trạng thái cân bng thìquá trình thuận nghịch cũng kết thúc, entropi không tăng nữa và đạt cực đại.

4.3. Entropi ca khí lý tư ng

Giả sử tính S ∆ ca một khối khí lý tưng trong một quá trình biến đổi cân bngtừ trạng thái 1 ( p1 , V 1 , T 1) sang tr ạng thái 2 ( p2 , V 2 , T 2).

a) Quá trình là đoạn nhit ( 0Qδ = ):

0Q

S T

δ ∆ = =∫ (6.19)

ngh ĩa là S = const . Khi đó quá tr ình đoạn nhiệt đưc gọi là quá trình đng entropi.

b) Quá trình là đ ng nhit (T = const):

Q QS

T T

δ ∆ = =∫ (6.20)

c) Quá trình là bt kỳ: Theo nguyên lý th nhất ta có Q dU Aδ δ = − , trong đó A pdV δ = − . Suy ra:








- 18 -

Q dU pdV δ = +

Mặt khác:

;V

m m RT dU C dT p

V µ µ

= =

nên:

V

m m dV Q C dT RT

V δ

µ µ = +

và:

2 2

1 1

2 2

1 1

ln ln

T V

V T V

V

Q m dT m dV S C R

T T V

m T m V C RT V

δ

µ µ

µ µ

∆ = = +

= +

∫ ∫ ∫ (6.21)

Nếu lấy thông số p và V thì:

2 2

1 1

ln lnV p

m p m V S C C

p V µ µ ∆ = + (6.22)

4.4. Ý ngh a thống kê ca entropi và nguyên lý th hai

Nguyên lý th hai cho thấy nhiệt không thể tự động truyền từ vật lạnh sang vậtnóng hơn và entropi ca hệ cô lập không thể giảm. Nói cách khác, một khi hệ từ trạngthái không cân bng đạt đến trạng thái cân bng thì hệ s không tự động tr lại trạngthái cân bng ban đầu đưc nữa.

Theo quan điểm động học thì entropi là thưc đo mức đ hỗn loạn ca các phân tửtrong h.

Theo quan điểm ca động học phân tử, một trạng thái vĩ mô ca một hệ (vĩ thái) mà

các thông số có giá trị trung bình xác định là gồm những sự thay thế nhau khôngngừng ca một số trạng thái vi mô ca hệ (vi thái). Số vi thái càng nhiều thì khả năngxảy ra vĩ thái cũng càng nhiều. Nếu gọi w là xác suất nhiệt động ca trạng thái vĩ môđó thì quan hệ giữa w và S là:

lnS k w= (6.23)

trong đó k là hng số Boltzman.

Nguyên lý th hai ch áp dụng cho hệ vĩ mô gồm số lưng lớn hạt mà trong đó ảnhhưng ca các thăng giáng có thể bỏ qua.

III. BÀI TẬP








- 19 -

1. Một động cơ nhiệt làm việc theo chu trình Cácnô có công suất P = 73600W. Nhiệtđộ ca nguồn nóng là 100oC, nhiệt độ ca nguồn lạnh là 0oC. Tính:a. Hiệu suất ca động cơ. b. Nhiệt mà tác nhân thu đư c từ nguồn nóng trong 1 phút.

c. Nhiệt mà tác nhân nhả cho nguồn lạnh trong 1 phút.2. Một máy hơi nướ c có công suất 14,7kW, tiêu thụ 8,1kg than trong 1 giờ. Năngsuất tỏa nhiệt ca than là 7800kcal/kg. Nhiệt độ ca nguồn nóng là 200oC, nhiệtđộ ca nguồn lạnh là 58oC. Tìm hiệu suất thực tế ca máy. So sánh hiệu suất đóvớ i hiệu suất lý tư ng ca máy nhiệt làm việc theo chu trình Cacnô vớ i nhữngnguồn nhiệt k ể trên.

3. Một máy làm lạnh làm việc theo chu trình Cacnô nghịch, tiêu thụ công suất36800W. Nhiệt độ ca nguồn lạnh là -10oC, nhiệt độ ca nguồn nóng là 37oC.Tính:a. Hệ số làm lạnh ca máy. b. Nhiệt lư ng lấy đư c từ nguồn lạnh trong 1 giây.c. Nhiệt lư ng tỏa ra cho nguồn nóng trong 1giây.

4. Một máy hơi nướ c chạy theo chu trình Stilingồm 2 quá trìnhđ ẳng nhiệt và quá trìnhđ ẳngtích (hình v).a. Tính hiệu suất ca chu trình. b. So sánh hiệu suất này vớ i hiệu suất ca chutrình Cácnô có cùng nhiệt độ ca nguồn nóng và

nguồn lạnh.5. Một kilomol khí lý tư ng, thực hiện một chu trình gồm 2 quá trình đẳng tích và 2

quá trình đẳng áp. Khi đó, thể tích ca khí thay đổi từ V1 = 25m3 đến V2 = 50m3 và áp suất từ p1 = 1at đến p2 = 2at. Hỏi công thực hiện b i chu trình này nhỏ hơn bao nhiêu lần so vớ i công thực hiện b i chu trình Cácnô, cóđư ờng đẳng nhiệtng vớ i nhiệt độ lớ n nhất và nhỏ nhất ca chu trình trên, nếu khi giãn đẳng nhiệt,thể tích tăng 2 lần.

6. Một cục nước đá có khối lư ng 0,1kg nhiệt độ 240oK, đư c biến thành hơinướ c 373oK. Tính độ biến thiên entrôpi trong quá trình biến đổi trên nếu cho

r ng nhiệt dung ca nước đá và nướ c không phụ thuộc nhiệt độ. Áp suất trongquá trình biến đổi là áp suất khí quyển. Nhiệt dung riêng ca nước đá là1,8.103J/kg.độ; ca nướ c là 4,18.103J/kg.độ; nhiệt nóng chảy riêng ca nước đá là3,35.105J/kg.độ; nhiệt hóa hơi riêng ca nướ c là 2,26.106J/kg.

7. Tính độ biến thiên entrôpi khi hơ nóng đẳng áp 6,5g hiđrô, thể tích khí tăng gấ pđôi.

8. Tính độ biến thiên entrôpi khi biến đổi 1g nước đá 0oC thành hơi nướ c 100oC.9. 10g ôxi đưc hơ nóng từ t1 = 50oC tớ i t2 = 150oC. Tính độ biến thiên entrôpi nếu

quá trình hơ nóng là:

a. Đẳng tích. b. Đẳng áp.

3

4

1

2

V1 V2 V

P

V1 V2 V

P

P1A B

C D








10. Tính độ biến thiên entrôpi ca một chất khí lý tư ng khi tr ạng thái ca nó thayđổi từ A đến B (hình v) theo:a. Đườ ng ACB.

b. Đườ ng ADB.

Cho biết V1 = 3 lít; P1 = 8,31.105

N/m2

, t1 = 27o

C; V2 = 4,5 lít, P2 = 6.105

N/m2

.11. 200g sắt 100oC đư c bỏ vào một nhiệt lư ng k ế cha 300g nướ c 12oC.Entrôpi ca hệ thế nào khi cân bng nhiệt.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHONWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Documents

Vật lý đại cương A1 - Nguyễn Phước Thể