VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1...BỘ MÔN VẬT LÝ VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1 Chương 2 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN NỘI DUNG 1. KHỐI TÂM 2. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SƯ

BỘ MÔN VẬT LÝ

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1

Chương 2

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

NỘI DUNG

1. KHỐI TÂM

2. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

3. MÔMEN QUÁN TÍNH

6. GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

5. MÔ-MEN ĐỘNG LƯỢNG VÀ ĐỊNH LUẬT

BẢO TOÀN MÔ-MEN ĐỘNG LƯỢNG

VR

0dmMG

Khối tâm của hệ chất điểm là điểm G thỏa mãn:

0GMmn

1i

ii

Khối tâm của VẬT RẮN là G:

G

m1

m3

m2

M1

M2

M3

Trong đó: M: là vị trí của yếu tố

khối lượng vi phân dm dm = dV = dS = dl

1 - Định nghĩa:

M

G

1. KHỐI TÂM

Đặc điểm của G:

Đặc trưng cho hệ; là điểm rút gọn của hệ.

Nằm trên các yếu tố đối xứng.

Trên thực tế G trùng với trọng tâm hình học

1. KHỐI TÂM

2 - Xác Định Khối Tâm G:

Thực hành: - Tìm giao của các trục đối xứng.

- Dùng quả rọi.

n

1i

i

n

1i

ii

G

m

rm

OGr

Lý thuyết: PP toạ độ.

m1

m3

m2

G

O

1r

2r

3r

Gr

1. KHỐI TÂM

Tọa độ khối tâm của hệ chất điểm – vật rắn: n

i i

vat rani 1G n

i

vat rani 1

n

i i

vat rani 1G n

i

vat rani 1

n

i i

vat rani 1G n

i

vat rani 1

xdmm x

xdmm

ydmm y

ydmm

zdmm z

zdmm

(x,y,z) là tọa độ

của phần tử dm

(xi ,yi ,zi) là tọa

độ của chất điểm

thứ i

(xG,yG,zG) là tọa

độ của khối tâm G

1. KHỐI TÂM

Ba chất điểm m1 = 2mo ; m2 = 3mo ; m3 = 3mo đặt tại ba đỉnh A,B,C của tam giác đều cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Cần phải tăng hay giảm khối lượng của vật m1 đi bao nhiêu để G trùng với trọng tâm tam giác ABC?

m1

m

2

m

3

C B O

x

A

Ví dụ 1:

1. KHỐI TÂM

m1

m

2

m

3

C B O

x

A

Giải:

1 1 2 2 3 3G

1 2 3

m x m x m xx

m m m

a

0G

0 0 0

2m a 3 / 2 0 0 a 3x

2m 3m 3m 8

G

Để G trùng với trọng tâm của

tam giác ABC thì m1 = m2 = m3

Vậy phải tăng khối lượng m1

thêm m = m0

1. KHỐI TÂM

Xác định khối tâm của khối hình

nón đồng nhất, có đường cao h.

?

G

h

x

O

R

r

dx

Ví dụ 2:

1. KHỐI TÂM

Giải:

2 2

VR VR VRG

2 2

VR VR VR

xdm x r dx xr dx

xdm r dx r dx

Mà: r h x R

r (h x)R h h

Nên:

h

2

0G h

2

0

x(h x) dx

x

(h x) dx

h

4

Xác định vị trí khối tâm của

thước dẹt đồng chất có dạng

hình bên.

Áp dụng số:

a = 10cm; b = 50cm.

a

a

b

b

Ví dụ 3:

1. KHỐI TÂM

a

a

b

b

Giải:

O1

G

O2 Vậy G cách chân thước một khoảng:

G

a 3bx

4

Với a = 10cm, b = 50cm thì xG = 40cm.

O

x

1 1 2 2G

1 2

m x m xx

m m

1. KHỐI TÂM

• Một đĩa tròn đồng nhất bán kính R,

bị khoét một lỗ cũng có dạng hình

tròn bán kính r. Tâm của phần

khoét cách tâm đĩa một khoảng d.

Xác định G của phần còn lại.

• Xét trường hợp: r = d = R/2.

• Hỏi tương tự đối với khối cầu

đặc đồng chất.

d

R

r

Ví dụ 4:

1. KHỐI TÂM

d

R

r

Giải:

x

G O

O’

Chọn trục Ox như hình vẽ. Gọi m

là khối lượng ban đầu, m1 là khối

lượng bị khoét và m2 là khối

lượng phần còn lại.

Lúc chưa khoét thì:

1 1 2 2O

1 2

m x m xx 0

m m

1 12

2

m xx

m

21 1

2 22 2

m S r

m S R r

1. KHỐI TÂM

d

R

r

x

G O

O’

3

2 3 3

r dx

R r

Vậy: 2

2 2 2

r dx

(R r )

(dấu trừ chứng tỏ G nằm

ngược phía với lỗ khoét)

2

Rx

6

r = d =R/2

Với khối cầu bị khoét, tương tự, ta có:

2

Rx

14

r = d = R/2

1. KHỐI TÂM

3 – Chuyển động của khối tâm G:

- Vận tốc của G:

n n

i i i

G i 1 i 1G n

i

i 1

m a Fd v F

adt m m

m

- Gia tốc của G:

n n

i i i i

G i 1 i 1G n

i

i 1

m v m vd r

vdt m

m

(m là khối lượng của hệ)

Kết luận: Khối tâm G chuyển động như một chất

điểm có khối lượng bằng khối lượng của toàn hệ.

1. KHỐI TÂM

Khi VR tịnh tiến, mọi điểm trên VR đều vạch ra

các qũi đạo giống nhau với cùng một vận tốc.

Chuyển động của VR được qui về cđ của G

GNM vvv

a. Vật rắn tịnh tiến:


b. Vật rắn quay quanh trục cố định :

Mọi điểm trên vật rắn đều vạch ra các

đường tròn đồng trục với cùng vận tốc

góc .

Vận tốc dài của một điểm bất kì là:

RvRxv

R

v

Tại một thời điểm, mọi điểm trên vật rắn đều có

cùng vận tốc góc , gia tốc góc và góc quay .


VÍ DỤ: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua khối

trụ I và bánh xe II. Bán kính khối trụ và bánh xe

là r1 = 30cm và r2 = 75cm. Bánh xe bắt đầu quay

với gia tốc góc 0,4 rad/s2. Hỏi sau bao lâu, khối

trụ I sẽ quay với vận tốc 300 vòng/phút? (dây

cuaroa không trượt trên khối trụ và bánh xe).

Giải

Vì các điểm tiếp xúc với dây cuaroa luôn có cùng vận

tốc dài, nên v1 = v2 , hay 1r1 = 2r2

r1 r

2


r1 r

2

Do đó: 2 1

1 2 1

r t 30

r 75

Vậy: 12 2.10t 10s

5 5.0,4


c. Vật rắn chuyển động phức tạp :

Phân tích cđ phức tạp thành 2 cđ đồng thời:

• Tịnh tiến của G.

• Quay quanh trục qua G.

Tổng quát: nếu chọn điểm N trên vật rắn là điểm cơ bản thì:

Rxvv GM

'Rxvv NM

Do đó vận tốc của điểm M bất kì trên vật rắn là:

R ' NM


Ví dụ: Bánh xe bán kính R lăn không trượt

trên đường ngang với vận tốc vo.

Xác định :

a) vận tốc của các điểm A, B, C, D.

b) Qũi đạo của điểm M bất kì trên

vành bánh xe và quãng đường nó đi

được sau 2 lần liên tiếp tiếp xúc với

mặt đường.

O C

D

B

A

ov


Vận tốc của điểm C:

O C

D

B

A

ov

CRx

CGC Rxvv

C C 0v | v | v 2


Vận tốc của điểm A:

AoA Rxvv

O C

D

B

A

ov

0vA


Vận tốc của điểm D:

oD v2v

DoD Rxvv

O C

D

B

A

ov


Vận tốc – qũi đạo của điểm M:

M

A

D

G

ov

y

Mv

Rx

O x

Ñöôøng cong

cycloid

M Gv v x R

Đi qua điểm D

Mv

x 0

M M 0

y 0

v v (1 cos t) tv v 2v | sin( ) |

v v sin t 2

T T

M 0

0 0

ts v dt 2v | sin( ) | dt 8R

2

Với 0v 2

R T


n

1i

2

iirmI

2mrI

vr

2dmrI

Của một chất điểm:

Của hệ chất điểm:

Của một vật rắn:

Ý nghĩa: mômen quán tính đặc trưng cho mức quán

tính trong chuyển động quay

Đơn vị đo: kgm2

1.Định nghĩa: Mômen quán tính đối với trục :

r: k/c từ chất điểm

đến trục

ri : k/c từ chất điểm

thứ i đến trục

r : k/c từ yếu tố

khối lượng dm đến

trục


VÍ DỤ 1:

Ba chất điểm m1 = mo, m2 = 2mo , m3 = 3mo đặt tại ba đỉnh A, B, C của tam giác đều cạnh a. Tính momen quán tính của hệ đối với trục quay:

- Chứa đường cao AH

- Chứa cạnh AB

- Chứa cạnh BC

- Đi qua trọng tâm tam giac ABC và vuông góc mp(ABC)

m1

m2

m3

C B H

A


Giải:

m1

m

2

m

3

C B H

A

1 2

3

Mômen quán tính đối với 1:

a

2 2 21 1 1 2 2 3 3I m r m r m r

2 2 2o

1 o o 0

a a 5m aI m .0 2m . 3m

4 4 4

Mômen quán tính đối với 2:

2o

2

9m aI

4

Mômen quán tính đối với 3: 2

o3

3m aI

4


VÍ DỤ 2:

Tính momen quán tính của khối trụ

rỗng, thành mỏng, khối lượng m, bán

kính R đối với trục đối xứng của nó.

Giải

h

dm

2 2 2

Vr Vr

I r dm R dm mR

m: khối lượng của khối trụ

R: bán kính đáy


VÍ DỤ 3:

Tính momen quán tính của một thanh mảnh, đồng chất khối

lượng m, chiều dài L đối với trục quay đi qua khối tâm của

thanh và vuông góc với thanh.

Giải

L/ 2

2 2 2

Vr Vr L/ 2

I r dm x dx x dx

dx

x L

2

L

2

32m 1 L 1

I . . mLL 3 4 12


b . Mô men quán tính đối với trục quay qua khối tâm

của các vật rắn đồng chất:

Khối trụ đặc, đĩa tròn: 21I mR

2

Khối trụ rỗng, vành tròn: 2I mR

Thanh mảnh dài L: 21I mL

12

Khối cầu đặc: 22I mR

5

Quả cầu rỗng: 22I mR

3


c. Định lý Huygens – Steiner:

Nếu // G thì:

G

2/Ví dụ:

2

2 21 1I m m m

12 2 3

I = IG + md2


Mômen quán tính của các vật rắn thường gặp:


Ví dụ 1:

Tính mômen quán tính của một vành tròn khối lượng m, bán

kính R đối với trục quay chứa đường kính của vành tròn và đối

với trục quay là tiếp tuyến của vành tròn.

Giải:

O

y

x

dm

x

y Ta có:

Do tính đối xứng, nên:

2

vtron

1R dm

2


y

O

Mômen quán tính đối với trục :

2GI I md

d

2 21mR mR

2

23I mR

2

G

R

Chú ý: 2GI mR

21I mR

2


Ví dụ 2: Tính mômen quán tính của một đĩa tròn khối lượng m, bán

kính R đối với trục quay chứa đường kính của đĩa và với trục

quay nằm trong mặt phẳng của đĩa, vuông góc với bán kính

R tại trung điểm của R.

dm

r

dr

O

y Giải:

Chia đĩa tròn thành những hình

vành khăn, bán kính r, bề rộng dr.

Mỗi hình vành khăn đó coi như một

vòng tròn và mômen quán tính của

nó đối với trục Oy là:

21dI r dm

2 với dm = dS = 2rdr

R


3dI r dr

Suy ra, mômen quán tính của cả đĩa

tròn là:

dm

r

dr

O

y

R R

3 4

diatron 0

1I dI r dr R

4

Do m = S = R2, nên: 21I mR

4

Đối với trục vuông góc với R

tại trung điểm: O

y

d

2GI I md

2

21 RmR m

4 2

21mR

2


Chú ý:

21I mR

2

21I mR

4

21I m

12

I 0

21I m

3



a. Tác dụng của lực trong chuyển động quay –

Mô men lực.

Giả sử vật rắn chịu tác dụng ngoại lực F:

Z n tF F F F

Phân tích:

/ /ZF nF

Không gây ra chuyển động quay (lực đồng phẳng với trục quay)

Lực tiếp tuyến gây ra chuyển động quay


b. Phương trình cơ bản của chuyển động quay.

Chia vật rắn thành các chất điểm, mỗi chất điểm có khối lượng mi, chịu tác dụng lực tiếp tuyến Fti.

Theo ĐL II Newton cho chất điểm thứ i:

Vì:

Do đó:

. .i i i ii t t i i t i tm a F m r a r F

. . .ii t i i i i i ir a r r r r r r = 0 do

ir

2 2. . .i i ii i i t t i i t

i i

m r r F m r

M M


Kết luận:

Trong chuyển động quay của vật rắn quanh một trục chỉ có thành phần lực tiếp tuyến với quĩ đạo điểm đặt mới có tác dụng quay thực sự.

Mô men lực: là đại lượng đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay:

tM F r F r

M

Độ lớn: | | . .sin .tM F r F r | M |


2 2. . .i i ii i i t t i i t

i i

m r r F m r

M M

Mô men quán tính I Tổng mô men lực

Vậy phương trình cơ bản chuyển động quay

.II

M

M

Ví dụ về tính mômen lực

M = Fd = 10.0,2 = 2 Nm

F = 10N; d = 20cm. Tính momen

của lực F đối với trục .

MO = F2.OA.sin300 – F1.OB

A B

= 12.2.0,5 – 8.5 = - 28 Nm

+ Tổng đại số momen của

ngoại lực đối với trục O:

5. Mô men động lượng Định luật bảo toàn mô men động lượng

a. Mô men động lượng của hệ chất điểm.

- Mô men động lượng của hệ

chất điểm quay xung quanh trục:

Đặc điểm của vectơ

mômen động lượng:

- Phương:

- Chiều:

- Modun: L = mrvsin

- Điểm đặt:

n

h LL1i

ieä

M O


a. Các Định lý về Mô men động lượng của hệ chất điểm.

- Định lý 1: Đạo hàm mô men động lượng của chất điểm theo thời gian có giá trị bằng tổng các mô men ngoại lực tác dụng lên chất điểm đó.

dL

dt M

- Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó có giá trị băng xung lượng của lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó.

2 2

1 1

2 1

t t

t t

L L L dL dt M

xung lượng của mô men lực F tác dụng lên hệ chất điểm trong khoảng thời gian t = t2 – t1.

+ Hệ quả: Độ biến thiên mô men động lượng của hệ chất điểm

theo thời gian có giá trị bằng mô men lực (trung bình) tác dụng

lên chất điểm trong thời gian đó.


c. Định luật bảo toàn mô men động lượng của hệ chất điểm.

- Ta có:

- Với hệ cô lập 1

0 0 onst (I . )=constn

i i i

i

dLL c

dt

M M

“Hệ cô lập hoặc có mômen ngoại lực triệt tiêu thì mômen động lượng không đổi”

- Ứng dụng:


- Ứng dụng:


Cđ của máy bay lên thẳng.

Vũ Bale

Cđ trong trường lực xuyên tâm

B1: Phân tích các lực tác dụng lên VR.

B2: Viết các PTĐLH cho chuyển động tịnh

tiến và chuyển động quay (nếu có).

B3: Chiếu phương trình vectơ lên các trục

tọa độ cần thiết.

B4: Giải hệ pt và biện luận kết quả.

Các bước:


F

Ví dụ 1:

Một khối trụ đặc đồng chất khối

lượng m lăn không trượt trên mặt

phẳng ngang dưới tác dụng của

lực kéo F đặt tại trục quay như

hình vẽ. Tính gia tốc tịnh tiến của

khối trụ, lực ma sát. Bỏ qua

mômen cản lăn.

AD: m = 4kg; F = 6N

P

N

msF


giải:

F

P

N

msF

Phương trình ĐLH cho chuyển động tịnh tiến của

khối tâm: msP N F F m a (1)

Phương trình ĐLH cho chuyển động quay

quanh khối tâm: msF .R I (2)

Chiếu (1) lên phương chuyển động: msF F ma (3)

Vì vật lăn không trượt, nên: a = at = R (4)

Giải (2), (3), (4) ta được:

2

F 2Fa

I 3mm

R

22.61m / s

3.4

Lực masát:

ms

FF F ma 2N

3


Một sợi dây nhẹ, không co giãn, vắt qua ròng rọc có dạng đĩa tròn đống chất, khối lượng m. Hai đầu dây buộc hai vật m1 và m2 (m1 > m2). Tính gia tốc của các vật và sức căng dây. Bỏ qua mômen cản ở trục ròng rọc.

Áp dụng số: m1 = 6kg ; m2 = 3kg ; m = 2kg.

Ví dụ 2:

m1

m2

2P

1P

2T

2'T

1'T

1TP

N


m1

m2

2P

1P

2T

2'T

1'T

1T

1 2

1 2

m ma g

1m m m

2

1 1T m (g a) 42 (N)

2 2T m (g a) 39 (N)

giải: Ta có: P1 – T1 = m1a1 (1)

T2 – P2 = m2a2 (2)

T’1.R – T’2.R = I (3)

Vì dây không giãn và không trượt trên ròng rọc,

nên: a = a1 = a2 = at = R (4)

Vì dây nhẹ nên: T1 = T’1 ; T2 = T’2 (5)

Giải hệ phương trình, ta được:

26 3a 10 3 (m / s )

6 3 1


Cho cơ hệ như hình vẽ. Dây nối rất nhẹ, không co giãn, ròng rọc C có dạng đĩa tròn đống chất, khối lượng m. Hai đầu dây buộc hai vật A và B khối lượng m1 và m2. Hệ số ma sát trượt giữa A và mặt bàn là k. Bỏ qua mômen cản ở trục ròng rọc. Xác định gia tốc của các vật, sức căng dây theo m1, m2 và k. Tìm điều kiện của k để hệ chuyển động.

Ví dụ 3:

2T

2'T

B

C A

2P

1P

N

1T1T '

msF


Giải:

2T

2'T

B

C A

2P

1P

N

1T1T '

msF

x

y

O

Vật A 1 ms 1 1T F m a (1)

1P N 0 (2)

Vật B 2 2 2 2P T m a (3)

Ròng rọc C 2 1T ' .R T ' .R I (4)

Dây không dãn, không trượt trên

ròng rọc:

1 2 ta a a a .R (5)

Khối lượng dây = 0:

1 1 2 2T ' T ;T ' T (6)

msF kN (7)


Đáp số: 2 1

1 2

m kma g

1m m m

2

2 1 1

2

1 2

1m g(m km m)

2T1

m m m2

1 2 2

1

1 2

1m g(m km km)

2T1

m m m2

2T

2'T

B

C A

2P

1P

N

1T1T '

msF

x

y

O


Thả cho trụ rỗng lăn xuống dưới.

Biết khối lượng của trụ là m, bán

kính trụ là R. Dây không giãn và

không có khối lượng.

Xác định gia tốc tịnh tiến và gia tốc

góc của trụ, sức căng dây.

Ví dụ 4:

m

P

T


Ta có:

m

P

T

P T ma (1)

T.R I (2)

ta a R (3)

Giải hệ (1), (2), (3) ta được:


g 1 ga ;T mg;

2 2 2R

Cho cơ hệ như hình vẽ. Dây nối

rất nhẹ, không co giãn, các ròng

rọc có dạng đĩa tròn đống chất,

khối lượng m; hai vật A và B có

khối lượng m1 và m2. Bỏ qua

mômen cản ở trục ròng rọc.

Xác định gia tốc của các vật, sức

căng dây.

Ví dụ 4:

m1

m2


Giải:

m1

m2

2P

2T

2'T

1'T

1T

1 r rP P P

3T

O

x

x2

x1

2 2 2 2m g T m a (1)

1 1 3 1 1(m m)g T T (m m)a (2)

2 1 2 2(T ' T ' )R I (3)


1 21

1 2

m m 2ma g

m 4m 3,5m

1 22

1 2

m m 2ma 2g

m 4m 3,5m

;d K d L

F Mdt dt

GamF MI

Rxvv GM

REVIEW

ÔN TẬP

+ Phần lý thuyết gồm các nội dung: Khái niệm về khối tâm, các tính

chất cơ bản của chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định.

Phương trình cơ bản của động học vật rắn quay. Định lý Steiner –

Huyghen. Các khái niêm Mô-men động lượng, định luật bảo toàn

mô-men động lượng và các hệ quả.

+ Phần bài tập:

Các bài tập tối thiểu yêu cầu sinh viên ôn tập (Sách BTVLĐC tập 1):

3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.9, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.19-3.22, 3.24

Documents

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1...BỘ MÔN VẬT LÝ VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1 Chương 2 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN NỘI DUNG 1. KHỐI TÂM 2. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN