Vectores en r3 Problemas Resueltos

2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-1-

1. Halla un vector en la dirección de la bisectriz de los vectores 14,1 u

y 1,1,0 v

.

La dirección de la bisectriz viene marcada por el vector

suma, siempre que los módulos de los dos vectores su-

mandos sean iguales. Bastará entonces encontrar dos

vectores en la dirección de los dados, pero con el mismo

módulo, por ejemplo ambos unitarios, y hacer su suma.

2

2,

2

2,02

6

2,

3

22,

6

22318

v

vbv

u

uau

3

22,

6

27,

6

2bac

2. Sean u

y v

dos vectores tales que 9u

y 17 vuvu

. Calcula el módulo del

vector v

.

Se resuelve fácilmente aplicando las propiedades del producto escalar:

17vuvu

1722

vu

17812

v

81781 v

3. Un vector de módulo 10 se descompone en suma de otros dos de módulos iguales y que for-

man un ángulo 45º. Halla el módulo de cada uno de los vectores sumandos.

El problema se resuelve sencillamente por trigonometría.

Basta aplicar el teorema del coseno al triángulo de la figura.

135cos210222 vuvu

2222100222

uuu

2

22100

22

1002u

2

2210

vu

4. Sabiendo que vu

2 y que º60, vu

, determina el ángulo formado por a

y b

, siendo

vua

2 y vub

2

Aplicando las propiedades del producto escalar: 2224422 vvuuvuvua

.

Como: º60cosvuvu 2

2

12 vvv

, resulta:

a

b

c

u

uv

10

45º

-2- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO

22222

12442 vvvva

va

32 .

vuvub

222

22

44 vvuu

2

13v

vb

13

Por otra parte: vuvuba

2222

232 vvuu

2

9 v

vv

v

ba

ba

1332

9cos

2

392

9arccos

5. En un vértice de un cubo se aplican tres fuerzas dirigidas según las diagonales de las tres

caras que pasan por dicho vértice. Los módulos de estas fuerzas son 1, 2 y 3. Hallar el módulo

de la fuerza resultante de aquellas tres.

Tomando un sistema de coordenadas adecuado,

las fuerzas aplicadas están en la dirección de

los vectores: 1,1,0a

, 1,0,1b

y

0,1,1c

. Pero no son éstos exactamente,

porque sus módulos no coinciden con los pedi-

dos: 2 cba

. Ajustando los módulos

a los indicados:

2

2,

2

2,01

a

aF

2,0,2

22

b

bF

y

0,

2

23,

2

2333

c

cF

, la resultante será:

52

23,22,

2

25

FFF i

6. Dados los vectores cba

y , tales que 3a

, 1b

, 4c

y 0

cba , calcular la su-

ma de los siguientes productos escalares: cbcaba

SUMANDO

c

b

a

cbcaccbcacba

cbbacbbbacba

cabacabaacba

1600

100

900

2

2

2

262 cbcaba

13 cbcaba

x

y

z

a

b

c


7. Sea ABC un triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual es A. Hallar el coseno del ángulo A

sabiendo que las medianas trazadas desde los vértices B y C son recíprocamente perpendicu-

lares.

Tomemos un sistema de referencia tal que los puntos A,B y C

sean los indicados en la figura.

Lo primero que tenemos que hacer es determinar cuál a cuáles

son los triángulos isósceles que satisfacen la condición de per-

pendicularidad impuesta en el enunciado. Si suponemos que el

vértice A se mueve a lo largo del eje y, su posición quedará

determinada en cada caso por el valor del parámetro .

Para una posición determinada de A, los puntos medios de los

lados iguales son:

2,

2

11

M y

2,

2

12

M .

La dirección de las medianas a las que se refiere el enunciado vienen marcadas por los vectores:

,3

2,

2

3 //1

BM y

,32

,2

3 //2

CM , con lo que:

21 CMBM 0,3,3 09 2 3

Hay dos triángulos en las condiciones descritas en el problema, uno por encima del eje x y otro

por debajo, pero los dos simétricos respecto de él.

Una vez que sabemos la posición del tercer vértice: 3,0A , el problema se reduce a encontrar

el ángulo formado por los vectores; 3,1AB y 3,1AC .

5

4

10

8cos

ACAB

ACAB

8. Encuentra los vectores unitarios de 3 que son perpendiculares a 1,0,1v

y forman un

ángulo de 60º con

2

1,

2

2,

2

1w

.

Como el vector pedido es de 3 , tendrá tres coordenadas zyxx ,,

que debemos determinar.

Para ello traduciremos las condiciones impuestas a ecuaciones:

00 zxvxvx

(I)

)0,1(B )0,1(C

),0( A

2,211 M 2,212 M


22

2

22

1

14

1

2

1

4

1

1

º60cosº60

zyx

w

x

wx

wx

12 zyx (II)

11 222 zyxx

(III)

Las coordenadas x, y y z se determinan resolviendo el sistema:

1

12

0

222 zyx

zyx

zx

12 xyx

xz

2

2y

2

121

2

1 222 xxx2

1x

El problema tiene dos soluciones:

2

1,

2

2,

2

1y

2

1,

2

2,

2

121 xx

9. Determina t para que los puntos 1,1,1A , 2,0,3B , 2,2,5 C y

tD ,1,2 sean coplanarios. Para dicho valor de t, obtén el área

del polígono A,B,C,D.

A

B

C

D1T 2T

Los puntos serán coplanarios si 2,, ADACABr

0

101

134

112

t

024 t 2t

Como no sabemos nada sobre la regularidad del polígono, para encontrar su área recurrimos a su

triangulación:

ADACACABSSS TT 2

1

2

121

)3,3,3(

101

134

)2,2,2(

134

112

kji

ADAC

kji

ACAB

27122

1S

2u 2

35S


10. Un triángulo tiene dos de sus vértices en los puntos )0,0,0(A y )1,1,1(B . El tercero, C, lo

tiene sobre la recta

1

2:

z

yxr . Encuentra las coordenadas del tercer vértice, sabiendo que

el área del triángulo es 2

2 .

Se trata de determinar un punto rC con la condición de que 2

2

2

1 ACAB .

La forma más cómoda de obtenerlos es utilizar la ecuación paramétrica

1

2

:

z

y

x

r

,

1,,21,,2 ACCrC ,21,1

111

12

kji

ACAB

.

2

2

2

1ACAB 2211 222

066 2

1

0

Luego el problema tiene dos soluciones: )1,1,2(y)1,0,0( 21 CC

11. En 3V se consideran los vectores: 1,3,1a

, 1,2,1b

, 0,1,2c

y 10,4,2 d

.

a) Demostrar que los vectores a

, b

y c

son coplanarios

b) Demostrar que b

, c

y d

son perpendiculares dos a dos y encontrar el volumen del pa-

ralelepípedo que determinan.

a) Como en el espacio tridimensional, tres vectores son coplanarios si y solo si son linealmente

dependientes, bastará probar que:

0

012

121

131

b) cb

pues 00,1,21,2,1 cb

; db

pues 010,4,21,2,1 db

y dc

pues 010,4,20,1,2 dc

.

El volumen del paralelepípedo se determina con el producto mixtos:

3u 60

1042

012

121

,,

dcbVp

12. Determina un punto de la recta: 22

:z

yx

r que forme con los puntos )0,0,0(A ;

)0,0,1(B y )1,1,0( C un tetraedro de volumen 1.


El problema es muy parecido al anterior, pues se trata de determinar un punto de r pero ahora

con la condición de que 1,,6

1. ADACABVteta .

2

2

:

z

y

x

r

3

22

110

001

,, ADACAB 12

1,,6

1 ADACAB

2

2

Existen dos puntos que cumplen las condiciones impuestas: )4,2,4(y)4,2,4( 21 DD

13. Un cubo, cuyo volumen es 3u 8 , tiene dos de sus caras sobre los planos :

01243:1 azyx y 0362486:2 zyx

Halla los posibles valores de “a”.

Como estos dos planos son paralelos, su distancia coincidirá con la longitud de la arista del cubo,

es decir, 28, 321 d

Por otra parte, la distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto de uno

de ellos al otro. Tomamos entonces un punto 2P e imponemos que 28, 31 Pd .

Tomando como punto de 2 )0,0,6(P , resulta: 13

18

1243

63,

2221

aaPd

2, 1Pd

2618

26182

13

18

a

aa

8

44

a

a

14. Dadas las rectas:

tz

ty

tx

r

1

62

21

: 14

6

2

8

13:

zyxs

a) Estudiar su posición relativa y encontrar el ángulo que forman.

b) Si dos de las aristas de un cubo se encuentran sobre estas rectas, halla su volumen.

a) Para el estudio de la posición relativa de las rectas necesitamos sus respectivas determinacio-

nes lineales:

)1,6,2(

)1,2,1(

rv

Ar y

)14,2,13(

)6,8,0(

sv

Bs .

Como 2, sr vvr

las rectas se cortan o se cruzan.

0246

7101

14213

162

3,, ABvvr sr

las rectas se cruzan.


Para determinar el ángulo formados por dos rectas basta encontrar el ángulo formado por sus

vectores dirección:

0,cossr

srsr

vv

vvvv

sr . Las rectas se cruzan perpendicularmente

b) Por el apartado anterior deducimos que las

rectas contienen a dos aristas que se cruzan,

luego las distancias entre ellas coincide con la

longitud de la arista del cubo. Basta entonces

determinar “d” y tendremos que el volumen es 33 u d .

Como sólo necesitamos “d”, no los puntos de

la perpendicular común, la forma más rápida

de obtenerla es por la expresión:

sr

sr

vv

ABvv

d

,,

. Además este producto

mixto es el determinante calculado anterior-

mente en el estudio de la posición relativa.

)82,41,82(

14213

162

kji

vv sr

)2,1,2(41 2,1,241sr vv

123 .

Luego: 2123

246d

3u 8V

15. Dadas las rectas: zyxr : y 22

2

1

1:

zyxs

, se pide:

a) Estudiar su posición relativa

b) Hallar la recta que corta a las dos anteriores y además es paralela a la recta de ecuación

1,2,13,2,1,,: zyxt

a) Tomamos como determinación lineal de las rectas:

)1,1,1(

)0,0,0(

rv

Ar y

)2,2,1(

)0,2,1(

sv

Bs

es inmediato comprobar que se cruzan.

b) Para resolver este apartado basta encontrar rP y sQ )1,2,1( PQ .

)2,22,1(

),,(

QsQ

PrP

)1,2,1(2,22,1

PQPQ

1

2

2

22

1

1

1

2

1

1

2

22

1

1

3

1

0

d

s

r


Los puntos buscados son : ),0,0,0(P y

3

2,

3

4,

3

2Q y la recta la determinada por

tv

Pt

s )1,2,1(

)0,0,0(

121:

zyxt

16. En el espacio (y en ejes OXYZ; el eje OZ es vertical ascendente) se consideran las rectas:

4

1:

z

yxr

032

23:

zy

zyxs

Una conducción de agua ocupa la posición de r. En un punto P de esta conducción se pro-

duce un fuga de agua; el correspondiente goteo cae sobre un punto Q de s. Hallar P y Q.

Admitiendo que el goteo caerá verticalmente, es decir, en la dirección de )1,0,0(k

, se trata de

determinar rP y sQ )1,0,0(QP .

Empecemos por encontrar las ecuaciones paramétricas de ambas rectas:

x

z

yxr

4

1:

4

1:

z

y

x

r

y

zy

zyxs

032

23:

23

57

:

z

y

x

s

23,,57

4,1,

QsQ

PrP

)1,0,0(27,1,57

QPQP

1

27

0

1

0

57

01

057

2

3

Por lo que los puntos buscados son: )1,2,3(y )4,2,3( QP

17. En el espacio (y en ejes OXYZ; el eje OZ es vertical ascendente, el plano OXY es horizontal)

se considera la varilla vertical de extremos )9,2,1(A y )0,2,1(A . En dos momentos de-

terminado de un día, las sombras que proyecta A sobre el plano OXY son los puntos

)0,3,4(1 S y )0,6,1(2S . Se pide:

a) La recta que describe la sombra de A a lo largo del día.

b) La sombra 0S de A en el momento en el que la sobra de la varilla es más corta.

c) La sombra 3S de A en el momento del día en el que la sombra de AA tiene la misma

longitud que la sombra AS 1


a) Admitiendo que la sombra del extremo superior de la varilla describe una recta contenida en

el plano del suelo )0( z , esta será la que pasa por los puntos 1S y 2S , por lo que una determi-

nación lineal es:

)0,3,1()0,9,3(

)0,6,1(

21

2

SS

Ss

0

36

1

:

z

y

x

s

en forma paramétrica.

b) La longitud de la sombra de la varilla es en ca-

da instante i la distancia entre punto sSi y el pie

de la varilla A , por lo que 0S es la proyección or-

togonal de A sobre s.

Buscamos sS 0 )0,3,1(0 SA :

.

)0,2,1(

)0,36,1(00

A

SsS

)0,3,1(

00)0,34,2(

SASA

00,3,10,34,2 1

)0,3,2(0 S

c) Si las longitudes de las sombras tienen que ser iguales, es decir 13 ,, SAdSAd , el punto

3S debe ser el simétrico de 1S respecto de 0S . Imponiendo que 310 , de medio pto. SSS , resul-

ta: )0,9,0(3 S

18. Dos varilla fijas AA y BB , de espesor despreciable,

están entrelazada por una goma elástica como indica la

figura.

La goma, que está tensa, puede deslizarse libremente

por las varillas sin rozamiento. Se sabe que las varillas

ocupan las posiciones:

2

5

2

4

1

2:

zyxAA

4

3:

z

yxBB

a) ¿Qué posición relativas tienen estas recta?

b) Hallar la longitud total de la goma en su posición de

equilibrio

AA’

BB’

a) Obtenido una determinación lineal de cada recta:

)2,2,1(

)5,4,2(

1v

PAA y

)0,1,1(

)4,0,3(

2v

QBB , es

fácil comprobar que las dos rectas se cruzan.

b) Una goma elástica que se desliza libremente, tenderá a ocupar la posición que la permita estar

lo menos tensa posible, es decir, a ocupar su posición de mínima longitud. Esta mínima longi-

s

0,6,12S

0S

20,1A

3S

1l

13 ll

0l

Plano del suelo

0z

0,3,41 S

iSil


tud coincide necesariamente con la distancia mínima entre las dos rectas. Bastará entonces en-

contrar la distancia entre estas rectas y multiplicarla por dos.

21

21 ,,

2vv

PQvv

l

9

92 u 6l

19. Hallar la ecuación de la recta que se obtiene al proyectar ortogonalmente sobre el plano

2 2 0x y z la recta 1

1

21

2:

zyxr .

La forma más cómoda de obtener la pro-

yección de una recta sobre un plano es

como intersección de dos plano: uno el

plano y el otro el , plano que con-

tiene a r y es perpendicular a .

)1,2,1(

y

)1,0,2(

rv

A

r

. Por otra

parte, )1,1,2(w

, con lo

que ya tenemos una determinación lineal

del plano buscado:

)1,1,2(

)1,2,1(

)1,0,2(

w

v

A

r

0

112

121

12

:

zyx

01: zyx

La proyección, en forma implícita, es la recta:

01

022:

zyx

zyxr

20. Un foco luminoso se encuentra en el punto )1,3,3(P y una varilla ocupa la posición de la re-

cta

01

02:

zy

zxr . La varilla arroja una sombra sobre el plano 32: zyx . Hallar

el punto de esta sombra que está en el plano 0z .

En este caso también se trata de proyectar una recta sobre un plano, pero no ortogonalmente, si

no según los rayos luminosos que, partiendo de P, cortan a la recta r. La sombra será entonces

la recta intersección del plano dado con el plano determinado por P y r.

Av

w

r

r


planos de Haz

01

02:

zy

zxr 012: zyzx 0112: zyx

P 0111233 1 01: zyx

La sombra es la recta

01

032:

zyx

zyxr y el punto de intersección de ésta con el

suelo ( 0z ):

0

01

032

:

z

zyx

zyx

Q )0,1,2(Q

21. Dados la recta xzxy 21,1 y los puntos )1,0,1(B y )0,0,0(C , se pide:

a) Hallar un punto A de la recta que diste del punto B el doble que de C y esté por debajo del

plano XY.

b) Hallar la proyección ortogonal de C sobre la recta BP, donde P es el punto de intersec-

ción de la recta del apartado anterior con el plano YZ.

a) Como la ecuación paramétrica de la recta dada es:

21

1:

z

y

x

r , se trata de determinar

)21,1,( A ),(2),( ACdABd

222222

2112211 0143 2

3

1

1

.

Hay dos puntos que cumplen la condición: 1,0,1 y

3

1,

3

2,

3

1 , pero como además se

pide que esté por debajo del eje plano XY 0z , el punto pedido es )1,0,1( A

b) Para encontrar la proyección, lo primero que necesitamos es la ecuación de la recta sobre la

que debemos proyectar. De ella ya conocemos un punto el )01,1(B y nos dicen que otro el la

intersección de r con el plano 0: x . La forma más sencilla de encontrar la intersección de

recta y plano, es llevar las ecuaciones paramétricas de la recta a la implícita del plano, en este

caso:

0: x 0 )1,1,0(P , con lo que la recta

)0,1,1(

)1,0,1(

BP

Bs

1

1

:

z

y

x

s

.

La proyección de C sobre s es sC 00,1,11,,1 svCC

2

1

1,

2

1,

2

1C


22. Se consideran los planos de ecuación:

0:1 azyax y 013:2 aza

yxa

a) Estudiar su posición relativa en función de a.

b) Si para 2a los planos contienen caras de un cubo, calcular el volumen de éste.

a) La posición relativa viene determinada por la de sus respectivos vectores asociados. Vea-

mos cuando éstos son paralelos y cuando no lo son.

13:

0:

2

1

za

yxa

azyax

aazyxaa

azyax

3:

0:

2

2

1

2121 ww

a

a

aa

a

1

1

32 aaa 32 2a (pues 0a ha sido ex-

cluido).

2a 21 ww

los planos se cortan.

2a 21 ww

los planos son paralelos o coincidentes.

222:

022:

2

1

zyx

zyx

2

0

2

2

1

1

2

2los planos son paralelos.

b) Como para 2a los planos son paralelos, las caras del cubo que están contenidas en ellos

también lo son y la longitud de la arista será la distancia entre estos dos planos.

La distancia entre dos planos paralelos es la distancia de un punto de uno de ellos al otro plano.

1)0,0,0( P 3

2

9

2, 21 dl

3

Cubo u 27

8V

23. Determinar, en función de los distintos valores de , la posición relativa de los planos.

1:1 zyx 12:2 yx 1:3 zyx

11

02

11

A 23 1223 A 0A

1

2

-2y 1 Sistema compatible determinado, los planos se cortan en un punto.

1


1111

1012

1111

2)(

2)(

Mr

Ar

como soluciones tantas

ado,indetermin compatible Sistema

Los planos se cortan en una recta, si los estudiamos dos a dos, vemos que 31 y 2 los

corta.

2

1112

1022

1211

3)(

2)(

Mr

Ar

leincompatib Sistema

Los tres planos no tienen ningún punto en común, pero si los analizamos dos a dos, vemos que

no hay planos paralelos, por lo que: los planos se cortan dos a dos determinando tres rectas

paralelas.

24. Hallar “a” para que el plano 07: zyax y la recta

12

032:

zyx

zyxr sean parale-

los

Sea rv

el vector dirección de r y w

el vector característico de , wvr r

)1,3,5(

211

132

)7,1,(

kji

v

aw

r

01,3,57,1,awvr

2a

25. Dadas las rectas 1

1

2

11:

zy

a

xr y

1:

zy

byxs , determinar a y b para que se cor-

ten perpendicularmente.

Necesitamos una determinación de cada una de las rectas.

y

zy

byxs

1:

1

:

z

y

bx

s

)1,1,1(

)1,0,(

sv

bBs y

)1,2,(

)1,1,1(:

av

Ar

r

sr 0)1,2,()1,1,1( a 3a

Las rectas se cortan si

0

111

123

111

2,,

b

vvABr sr

03b 3b


26. Sean A, B y C los puntos de la recta 3

6

2

612

zyx que están en los planos coorde-

nados: 0x , 0y y 0z . Se pide:

a) Determinar razonadamente cuál de los tres puntos se encutra entre los otros dos.

b) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB,

DAC o DBC tiene mayor área.

Para trabajar con mayor comodidad ponemos

la recta en forma paramétrica:

3,2,1

6,6,12

rv

Pr

36

26

12

z

y

x

.

Los puntos de corte con los planos coordena-

dos son:

0x

yzrA 012 12 30,30,0 A

0y

xzrB 026 3 15,0,15B

0z

xyrC 036 2 0,10,10 C

La posición de los puntos A, B y C respecto a P viene dada por el valor correspondiente del

parámetro . A y C están a un lado, supongamos a la izquierda, por ser 0 , y además A

más alejado que C. Por una razón análoga, B está a la derecha de P, por lo que la posición rela-

tiva es la indicada en la figura, es decir, C está entre A y B.

Para contestar al segundo apartado, basta tener en cuenta que los tres triángulos tienen la misma

altura: rDdh , , por lo que tendrá mayor área aquél que tenga mayor base. Por el apartado

anterior, éste es el triángulo DAB.

27. Sea ABC un triángulo tal que la mediana AM, correspondiente al lado BC, divide al ángulo

A en dos ángulo que miden 60º y 30º. Hallar razonadamente los tres ángulos del triángulo.

Hallar en función de la longitud AMm , de la mediana, el área del triángulo.

Como A queda dividido en dos ángulos de 60º y 30º, es evidente

que º90ˆ A , podemos fijar un sistema de coordenadas con origen

en A y ejes las rectas que contienen a los catetos del triángulo dado.

Sean 0,0A 0,bB y cC ,0 las coordenadas de los vértices del

triángulo respecto al sistema de coordenadas establecido. Por ser

mm yxM , el punto medio del segmento BC , será 2bxm , por lo

que podemos afirmar que el triángulo AMB es isósceles, y en con-

secuencia º60ˆ B . Por una razón parecida a ésta, o sencillamente

porque la suma de los lados de un triángulo debe ser 180º,

º30ˆ C .

P

A

C

B

h

rv

D

)0,(bB

),0( cC

),( mm yxM

mx

my

A

º60


En el triángulo rectángulo podemos tomar como base mxb 2 º60cos2m m y por altura

myc 2 º60sen2m 3m , por lo que el área es: 2

2

u 2

3mS

28. Dados los vectores aaau 2,1,

, aav ,1,

y 1,,1 aw

, se pide:

a) Determinar los valores de a para los que los vectores ,u

v

y w

son linealmente depen-

cientes

b) Estudiar si el vector )0,3,3(c

depende linealmente de los vectores ,u

v

y w

para el

caso 2a . Justifica la respuesta.

c) Justificar razonadamente si para 0a se cumple la igualdad 0 wvu

, siendo el

producto vectorial.

a) La dependencia lineal de los vectores ,u

v

y w

depende del determinante:

011

11

1

21

aaa

a

aa

aaa

1

1

0

a

a

a

. Si a toma alguno de estos valores,

los vectores son linealmente dependientes, en otro caso son independientes.

b) Para 2a , ,u

v

y w

son tres vectores linealmente independientes en el espacio vectorial

tridimensional, y en consecuencia una base, por lo que )0,3,3(c

, y cualquier otro, pude poner-

se como combinación lineal de ellos.

c) Para 0a wvu

, y como wv

es perpendicular a todos los vectores del plano determi-

nado por v

y w

también lo es a u

en ese caso, por lo que 0 wvu

. O sencillamente,

como por definición wvuwvu

,, es el producto mixto de estos tres vectores, que coin-

cide con el valor del determinante , éste es nulo para 0a

29. Dados los puntos del espacio: 3,1,1P , 1,2,1Q y 1,0,1 R , se pide:

a) Encontrar la distancia la distancia del punto P a la recta que pasa por Q y R.

b) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos dados.

c) Encontrar todos los puntos S del plano determinado por P, Q y R de forma que el cua-

drilátero de de vértices P, Q R y S sea un paralelogramo.

Los dos primeros apartados se encuentran fácilmente, aplicando las expresiones dadas en teoría,

por lo que sólo se desarrolla la última.

En realidad, la condición de que los puntos S buscados están en el plano determinado por P, Q y

R no es necesaria, pues el hecho de formar un paralelogramo con éstos, es una condición que

implica el ser coplanarios. Bastará entonces imponer únicamente la condición que deben cum-

plir los puntos para que determinen un paralelogramo, que no es otra que los vectores que resulta

al unirlos dos a dos, sean equipolentes:

Si designamos por zyxS ,, los casos que se pueden presentar son los siguientes:


SRPQ zyx 1,,12,3,0 1,3,1S

SRQP zyx 1,,12,3,0 3,3,1 S

SQPR zyx 1,2,14,1,0 5,1,1S

Se puede comprobar que las otras tres combinaciones posibles, son equivalentes a éstas:

SRPQSPRQ ; SRQPQSPR ; SQPRSPRQ

30. Resuelve la siguiente ecuación vectorial: 5,3,11,1,2 x

, sabiendo que 6x

, don-

de el símbolo significa “producto vectorial”.

Si ),,( zyxx

, la primera condición nos conduce a:

5,3,11,1,2 x

)5,3,1(

112

zyx

kji

)5,3,1(2,2, yxzxzy

52

32

1

yx

zx

zy

que podemos comprobar es un sistema compatible indeterminado, que resolviendo en función de

y, resulta:

1

52

z

y

x

.

Teniendo en cuenta estos resultados: 6x

6)1(52 222

3

5

2

Lo que nos indica que hay dos vectores que verifican las dos condiciones impuestas:

3

2,

3

5,

3

5y)1,2,1( 21 xx

31. Sea la superficie esférica de ecuación 09866222 zyxzyx . Se pide:

a) Determinar su centro y su radio.

b) Hallar la ecuación de la recta que contiene al diámetro paralelo al eje OY.

c) Obtener el centro y el radio de la circunferencia que resulta al cortar dicha esfera

con el plano 0z

d) Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en su punto del eje OX.

a) La esfera de centro ccc zyxC ,, y radio r tiene por ecuación:

2222rzzyyxx ccc 0222 2222222 rzyxzzyyxxzyx ccxccc

Igualando con los coeficientes de la ecuación dada:

9

82

62

62

2222rzyx

z

y

x

ccc

c

c

c

5

)4,3,3(

r

C


b) Por contener a un diámetro, la recta debe pasar por el centro; por ser paralelo al eje OY,

estará en la dirección del vector: )0,1,0(i

:

ri

rCr

//)0,1,0(

)4,3,3(:

0

4

1

3

0

3:

zyxr

c) Por tratarse de la intersección de dos superficies, se ecuación se puede expresar como el

sistema formado por dos ecuaciones:

0

09866222

z

zyxzyx096622 yxyx , que efectivamente es una cir-

cunferencia, cuyo elementos, como en el primer apartado, se pueden obtener identificando coefi-

cientes:

9

02

62

62

222ryx

z

y

x

cc

c

c

c

63

)0,3,3(

r

C

d) El punto de intersección pedido es:

0

0

09866

:

222

z

y

zyxzyx

P )0,0,3(P . El plano pedido viene determinado por:

)4,3,0(

)0,0,3(:

PC

P

0)0,0,3(

43:)4,3,0(

DP

DzyPC

043: zy

32. Siendo los puntos )0,,1( A ; )2,1,1( B y ),1,1( C , se pide:

a) Comprobar que no están alineados, cualquiera que sea el valor del parámetro

b) Hallar el área del triángulo que determinan los tres puntos

a) Para comprobar que los puntos no están

alineados, bastará probar que los vectores AB y

AC son siempre linealmente independientes, o lo

que es lo mismo, que 2, ACABr .

)2,1,0(

)2,1,0(

AC

AB

ACABr ,

10

210r

El rango de esta matriz sólo depende del menor:

)0,,1( A

)2,1,1( B

),1,1( C


2

1

21

por lo que evidentemente: 2, ACABr .

b) Como ACABS t 2

1 , siendo el producto vectorial, basta comprobar que

)0,0,2( ACAB , con lo que 2u1tS

33. Dados la recta 2

1

4

1:

zy

m

xr y el plano 02: kzyx , se pide:

a) Calcula m y k para que la recta sea perpendicular al plano.

b) Calcula m y k para que la recta este contenida en el plano.

a) Como rmv )2,4,(

y ),1,2( kw

, wvr

k

m 2

1

4

2 21

8

k

m

b) Para que r en primer lugar tiene que ser wv

0),1,2()2,4,( km

0422 km (*).

Con la condición anterior se garantiza que r , para que r basta imponer además que un

punto de la recta, por ejemplo )1,0,1(A , pertenezca al plano.

02)1,0,1( k 2k . Llevando este resultado a la ecuación (*) obtenemos:

2y 4 km

34. Los vértices de un triángulo son )1,2( A , )5,7(B y ),( yxC

a) Calcula el área del triángulo en función de x e y.

b) Encontrar el lugar geométrico de los puntos yx, tales que el área anterior es 36

a) En primer lugar, y para poder utilizar el producto vectorial en el cálculo del área del triángulo,

planteamos el problema en el espacio tridimensional. Consideramos que los puntos dados,

que son puntos de un plano, están sobre el plano del suelo 0z , con lo que sus coordena-

das pasan a ser: )0,1,2( A , )0,5,7(B y )0,,( yxC . Con esto el área del triángulo es:

ACABST 21

012

069

yx

kji

ACAB

396,0,0 yx 39621, yxyxS T

b) El lugar geométrico pedido es el conjunto de puntos tales que 3639621 yx , es decir:

72396 yx

72396

72396

yx

yx

03732

03532

yx

yx


Se trata de dos rectas paralelas, y además paralelas al vector AB , lo que tiene una sencilla inter-

pretación.

Se puede considerar que todos los triángulos pe-

didos tienen por base 133AB , por lo que su

altura debe ser 13

1324

133

236

h , es decir, el

punto C debe ser tal que su distancia a la recta

que une A y B sea precisamente h. Esos son,

obviamente, los puntos de un par de rectas para-

lelas al lado c.

35. Siendo 1,1A y 1,1B dos puntos del plano, se pide:

a) Determinar las ecuaciones de todas las circunferencia que pasan por A y B, razo-

nando dónde están situados sus centros

b) De entre las circunferencias del apartado anterior, hallar centro y radio de la que

es tangente a la recta xy

Hay infinidad de circunferencia que pasan por dos

puntos dados, pero el centro siempre estará en el

lugar geométrico de los puntos que equidistan de A

y B, es decir, en su mediatriz. En este caso con-

creto la mediatriz es el eje OY, es decir, la recta

0x , por lo que el centro será necesariamente un

punto de la forma cyC ,0 , y la ecuación de las

circunferencias del tipo: 222 ryyx c

Por otra parte, debe ser CAdr , , por lo que:

22 11 cyr cc yy 222 . Si llevamos este

resultado a la ecuación anterior y simplificamos,

obtendremos:

ccc yyyyyx 22222

que es la familia de circunferencias que cumple las

condiciones impuestas.

Para resolver el segundo apartado tendremos en

cuenta que como la circunferencia es tangente a la

recta xyb : y bA , el centro debe estar en la

recta n, perpendicular a b por A. Es fácil obtener

la ecuación de esta recta, 2: xyn .

El centro de la circunferencia será la intersección

de n y el eje OY, es decir: )2,0(C y el radio

A

B

cC

h

h

r

AB

cyC ,0

b

n

C

A


2),( CAdr , por lo que en este caso, la ecuación es:

2222 yx 2422 yyx qué lógicamente coincide con el resultado que ob-

tendríamos si en la familia de circunferencias anterior hacemos 2cy

Dada las rectas:

0

162:

yx

zyxr y z

a

yxs

1

2:

a) Determinar la posición relativa de r y s según los parámetros de a.

b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando 2a

Entre las distintas formas de trabajar, lo hacemos a partir de su determinación lineal:

z

yx

zyxr

0

162:

z

y

x

231

231

1,2,2

0,31,31

rv

Pr

za

yxs

1

2:

1,,2

0,1,1

av

Qs

s

2a sr vv

rr

sr

o Para saber en cuál de los dos casos nos encontramos, tenemos que

considerar el vector 0,34,34 PQ 0,1,1 , que no es paralelo a los vectores dirección de

las rectas, por lo se trata de dos rectas paralelas.

2a los vectores no son paralelos, por lo que las rectas se cortan o se cruzan, lo que depende

del rango de:

011

12

122

a , que para 2a es 3, pues el determinante es a 2 . En consecuencia, en

este caso se trata de dos rectas que se cruzan.

Documents

Vectores en r3 Problemas Resueltos