VECTORES FUNDAMENTALES

7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES

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Vectores tangentes y vectores normales

En la sección precedente se vio que el vector velocidad apunta en la dirección del

movimiento. Esta observación lleva a la definición siguiente, que es válida para

cualquier curva suave, no sólo para aquellas en las que el parámetro es el tiempo.

DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE

Como se recordará, una curva es suave en un intervalo si es continua y distinta de

cero en el intervalo. Por tanto, la “suavidad” es suficiente para garantizar que una

curva tenga vector unitario tangente.



Hallar el vector unitario tangente a la curva dada por





La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por

el punto y es paralela al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se

usa el vector unitario tangente para hallar la recta tangente a unahélice en un punto.



Hallar T(t) y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta

tangente a la hélice dada por



DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL

Sea C una curva suave en un intervalo abierto I representada por

. Si entonces el vector unitario normal principal en Tꞌ(t )sedefine como







El vector unitario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamente. En

curvas planas, se puede simplificar el álgebra hallando



Hallar el vector unitario normal principal para la hélice dada por





Componentes tangencial y normal de la

aceleración

Ahora se vuelve al problema de describir el movimiento de un objeto a lo largo deuna curva. En la sección anterior, se vio que si un objeto se mueve con rapidez

constante, los vectores velocidad y aceleración son perpendiculares. Esto parece

razonable, porque la rapidez no sería constante si alguna aceleración actuara en

dirección del movimiento. Esta afirmación se puede verificar observando que



TEOREMA VECTOR ACELERACIÓN

Si r(t) es el vector posición de una curva suave C y N(t) existe,

entonces el vector aceleración a(t) se encuentra en el planodeterminado por T(t )y N(t ).

Como a se expresa mediante una combinación lineal deT y Nse sigue que a está

en el plano determinado por T Y N

























Longitud de arco













Halle la longitud de la curva dada por la parametrización

Solución:

La longitud de α será:



La ecuación de una curva es 2 =

3. Halle la longitud del arco queune (1;1) a (1; 1).



















TRIEDRO DE FRENET





El plano que generan T y N se denomina plano osculador.



El plano que generan N y B se denomina plano normal.



El plano que generan T y B se denomina plano rectificante.



C



Curvatura

Un uso importante del parámetro longitud de arco es hallar la curvatura, la medida

de cuán agudamente se dobla una curva. Por ejemplo, en la figura 12.32 la curva se

dobla más agudamente en P que en Q, y se dice que la curvatura es mayor en P queen Q. Se puede hallar la curvatura calculando la magnitud de la tasa o ritmo de

cambio del vector unitario tangente T con respecto a la longitud de arco s, como se

muestra en la figura 12.33.





Encuentre la curvatura de un círculo de radio a



Encuentre la curvatura de un círculo de radio a.





Planos osculante normal y de rectificación



Planos osculante, normal y de rectificación



Finalmente de aqui podemos despejar la curvatura



Finalmente de aqui podemos despejar la curvatura





H ll l t d l d fi id



Hallar la curvatura de la curva definida por







TORSION



TORSION

La torsion de una curva se calcula:



















Hallar la torsion del arco de helice parametrizado por:



Vamos a calcular el triedro de Frenet, la curvatura y la



, ytorsion de la curva













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