Vektor

Jangan lupa bagikan kepada teman‐temanmu…

Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2009

1

Pembahasan Soal

Vektor & Skalar

Oleh : Alexander san lohat



2

Daftar Isi

Besaran Vektor dan Skalar ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 3

Menggambar penjumlahan vektor ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 5

Menentukan Vektor Resultan menggunakan Metode Analitis

Menentukan Vektor Resultan menggunakan rumus Phytagoras ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 21

Menentukan Vektor Resultan menggunakan rumus Cosinus ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 25

Menentukan Vektor Resultan menggunakan Vektor Komponen ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 34

Kecepatan relatif (Dua dimensi) ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 69

Perkalian titik dan perkalian silang

Perkalian titik ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 74

Perkalian silang ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 79

Perkalian titik menggunakan komponen vektor satuan ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 84

Perkalian silang menggunakan komponen vektor satuan ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 94

Penjumlahan vektor menggunakan komponen vektor satuan ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 99

Selamat bertempur ☺



3

Besaran Vektor dan Skalar

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran‐besaran seperti massa, jarak, waktu dan volum, termasuk besaran skalar, yakni besaran yang hanya memiliki besar atau nilai saja tetapi tidak memiliki arah. Sedangkan besaran seperti perpindahan, kecepatan, percepatan dan gaya termasuk besaran vektor, yaitu besaran yang memiliki besar (atau nilai) dan juga memiliki arah.

Bagaimana membedakan besaran skalar dan vektor ?

Jika saya mengatakan massa sebuah bola adalah 400 gram, pernyataan ini sudah cukup bagi anda untuk mengetahui semua hal tentang massa bola. Anda tidak membutuhkan arah untuk mengetahui massa bola. Demikian juga dengan waktu, suhu, volume, massa jenis, usaha, kuat arus listrik, tekanan, daya dll.

Ada beberapa besaran fisika yang tidak dapat dinyatakan dengan nilai atau besarnya saja. Misalnya ketika saya mengatakan bahwa seorang anak berpindah sejauh 100 meter, maka pernyataan ini belum cukup. Anda mungkin bertanya, ia berpindah ke mana ? apakah ke arah utara, selatan, timur atau barat ? Demikian juga apabila anda mengatakan bahwa anda mendorong meja dengan gaya sebesar 200 N. Kemana arah dorongan anda ? nah, besaran yang demikian disebut besaran vektor, di mana memerlukan pernjelasan mengenai besar dan arahnya. Contoh besaran vektor adalah perpindahan, percepatan, impuls, momentum dll. Selengkapnya akan anda pelajari pada pokok bahasan yang berkaitan dengan besaran tersebut.

Bagaimana Menyatakan Suatu Vektor ?

Dalam fisika, akan selalu membantu jika digambarkan diagram mengenai suatu situasi tertentu, dan hal ini akan semakin berarti jika berhubungan dengan vektor. Pada diagram, setiap vektor dinyatakan dengan tanda panah. Tanda panah tersebut selalu digambarkan sedemikian rupa sehingga menunjuk ke arah yang merupakan arah vektor tersebut. Panjang tanda panah digambarkan sebanding dengan besar vektor. Sebagai contoh, pada gambar (a) dilukiskan suatu vektor perpindahan yang besarnya 60 meter dan berarah 45o utara dari timur atau 45o terhadap sumbu x positif. Besar perpindahan 60 meter dilukiskan dengan panjang anak panah 3 cm. ini berarti skala yang dipilih adalah 3 cm = 60 m atau 1 cm = 20 m. Arah perpindahan, yaitu ke 45o utara dari timur dilukiskan sebagai arah dari pangkal p ke ujung q. vektor perpindahan ini diberi nama A.



4

Aturan Penulisan Vektor

Dalam menuliskan vektor, apabila anda menggunakan tulisan tangan, lambang suatu vektor umumnya

ditulis dengan huruf besar dan di atasnya perlu ditambahkan tanda panah, misalnya Fr. Untuk buku

cetak, lambang vektor ditulis dengan huruf besar yang dicetak tebal, misalnya F. Untuk besar vektor, apabila kita menggunakan tulisan tangan maka besar suatu vektor ditulis dengan tanda harga mutlak,

misalnya Fr. Untuk buku cetak, besar vektor ditulis dengan huruf miring, misalnya F



5

Menggambar penjumlahan vektor

1. Gambarkan vektor berikut ini :

a) Vektor gaya 20 N, 45o terhadap sumbu x positif

b) Vektor perpindahan 50 m pada 120o

c) Vektor gaya 40 N, 60o terhadap sumbu y



6

d) Vektor gaya 30 N, ‐30o terhadap sumbu x

e) Vektor gaya 60 N, ‐45o terhadap sumbu y

2. Gambarkan penjumlahan vektor di bawah ini menggunakan metode segitiga



7

(a) A + B

(b) A – B

(c) B + A

(d) B ‐ A

Pembahasan :

(a) A + B

(b) A – B

(c) B + A



8

(d) B ‐ A

3. Gambarkan vektor resultan (R) menggunakan metode poligon

(a) A + B + C

(b) A + B – C

(c) A – B + C

(d) – A – B ‐ C

Pembahasan :

(a) A + B + C



9

(b) A + B – C

(c) A – B + C

(d) ‐ A – B – C

4. Gambarkan vektor resultan menggunakan metode poligon



10

(a) A + B + C + D

(b) A + B + C – D

(c) A + B – C + D

(d) A – B + C + D

(e) A + B – C – D

(f) A – B – C – D

Pembahasan :

(a) A + B + C + D

(b) A + B + C – D



11

(c) A + B – C + D

(d) A – B + C + D

(e) A + B – C – D



12

(f) A – B – C – D

5. Gambarkan vektor resultan menggunakan metode jajaran genjang

(a) A + B

(b) A – B

(c) – A + B

(d) – A – B



13

Pembahasan :

(a) A + B

(b) A – B

(c) –A + B



14

(d) – A – B

6. Sebuah mobil bergerak ke timur sejauh 100 meter, kemudian berbelok ke utara sejauh 100 meter. Setelah diam sesaat, mobil tersebut melanjutkan perjalanannya ke utara sejauh 200 meter. Gambarkan vektor resultan dari perpindahan mobil tersebut.

Pembahasan :

Cara pertama, menggunakan metode segitiga



15

Cara kedua, menggunakan metode jajaran genjang

7. Gambarkan resultan kedua vektor perpindahan berikut ini : 4 m pada 30o dan 6 m pada 120o

Pembahasan :

Cara pertama, menggunakan cara segitiga

Cara kedua, menggunakan cara jajaran genjang



16

8. Gambarkan vektor resultan menggunakan metode jajaran genjang

(a) A + B + C

(b) A + B ‐ C

Pembahasan :

(a) A + B + C

(b) A + B – C



17

9. Sebuah sepeda motor bergerak 2 km ke timur, 4 km ke utara, 3 km ke barat dan 1 km ke selatan. Gambarkanlah resultan vektor perpindahan mobil tersebut

Pembahasan :

Cara pertama, menggunakan metode poligon

Cara kedua, menggunakan metode jajaran genjang

Langkah pertama



18

Langkah kedua

Langkah ketiga

10. Gambar di bawah merupakan penjumlahan vektor dengan cara segitiga. Gambar manakah yang resultan vektornya sama dengan nol ? (soal Ebtanas 1995)



19

Pembahasan :

Perhatikan arah tanda panah pada ketiga vektor tersebut. Gambar yang resultan vektornya sama dengan nol adalah d.

11. Perhatikan gambar di bawah… (Soal Ebtanas 1996)

Manakah yang menggambarkan D = A + B + C ?

Pembahasan :

Perhatikan arah tanda panah… Yang menggambarkan D = A + B + C adalah gambar 4.



20

12. Perhatikan gambar di bawah… Bagaimana pernyataan yang benar mengenai gambar tersebut ?

Pembahasan :

Guampang sekali… perhatikan arah tanda panah… pernyataan yang benar adalah D + C + B = A

NB :

Cara segitiga hanya bisa digunakan untuk menjumlahkan dua vektor, cara poligon hanya digunakan untuk menjumlahan lebih dari dua vektor, cara jajaran genjang bisa digunakan untuk menjumlahkan dua vektor atau lebih dari dua vektor.



21

Menentukan Vektor Resultan menggunakan Metode Analitis

Penyelesaian soal ini sengaja dijelaskan secara berurutan atau bertahap. Tujuannya hanya untuk mempermudah pemahaman anda saja. Jika sudah mahir menyelesaikan soal vektor menggunakan metode analitis, anda tidak perlu harus terpaku dengan urutan penyelesaian soal sebagaimana yang digunakan dalam pembahasan ini.

Menentukan Vektor Resultan menggunakan rumus Phytagoras

1. Diketahui vektor Gaya, F1 dan F2 seperti tampak pada gambar di bawah. F1 = 20 N dan F2 = 10 N. Tentukan besar dan arah vektor resultan

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambar vektor resultan (R)

Langkah kedua, menentukan besar vektor resultan

R2 = F12 + F2

2

R2 = (20 N)2 + (10 N)2



22

R2 = (400 N2) + (100 N2)

R2 = 500 N2

R = 2500N

R = 2)5)(100( N

R = 10 5 N atau 22,4 N

Besar vektor resultan (R) = 10 5 N atau 22,4 N

Langkah ketiga, menentukan arah vektor resultan

Tan θ = 1

2

FF

Tan θ = NN

2010

Tan θ = 0,5

θ = Tan‐1 (0,5)

θ = 26,6o

2. Sebuah mobil bergerak ke barat sejauh 300 meter dan berbelok ke utara sejauh 400 meter. Tentukanlah besar dan arah vektor perpindahan mobil tersebut

Panduan jawaban :




23


R2 = (‐300 m)2 + (400 m)2

R2 = (90000 m2) + (160000 m2)

R2 = 250000 m2

R = 2250000m

R = 500 m

Besar vektor resultan (R) = 500 m


Tan θ = NN

300400

Tan θ = 1,3

θ = Tan‐1 1,3

θ = 52,4o

Arah vektor resultan adalah 52,4o (sebelah atas sumbu x negatif) atau 180o – 52,4o = 127,6o terhadap sumbu x positif

3. Sebuah sepeda motor bergerak ke selatan sejauh 300 meter dan berbelok arah menuju timur sejauh 200 meter. Tentukanlah besar dan arah vektor perpindahan mobil tersebut

Panduan jawaban :




24


R2 = (‐300 m)2 + (200 m)2

R2 = (90000 m2) + (40000 m2)

R2 = 130000 m2

R = 2130000m

R = 360,5 m

Besar vektor resultan (R) = 360,5 meter


Tan θ = NN

300200

Tan θ = 0,67

θ = Tan‐1 (0,67)

θ = 33,7o

Arah vektor resultan adalah 33,7o (sebelah kanan sumbu y negatif) atau 270o + 33,7o = 303,7o terhadap sumbu x positif

NB : Rumus phytagoras hanya digunakan ketika dua vektor saling tegak lurus (sudut apit atau sudut yang dibentuk = 90o)



25

Menentukan Vektor Resultan menggunakan rumus Cosinus

1. Dua vektor F1 dan F2 memiliki pangkal berhimpit, di mana F1 = 4 N dan F2 = 3 N. Vektor F1 membentuk sudut 30o terhadap sumbu x positif, sedangkan vektor F2 membentuk sudut 60o terhadap sumbu x positif. Berapakah besar dan arah vektor resultan ?

Panduan jawaban :


Langkah kedua, menentukan besar vektor resultan (R)

R = ),(cos2 21212

22

1 FFFFFF ∠++

R = )3060cos()3)(4(2)3()4( 22 ooNNNN −++

R = )30)(cos24(916 222 oNNN ++

R = )87,0)(24(25 22 NN +

R = 22 8,2025 NN +

R = 28,45 N

R = 6,8 N

Besar vektor resultan adalah 6,8 N



26

Langkah ketiga, menentukan arah vektor resultan (R)

),(180 21 FFo ∠−=α

)3060(180 ooo −−=α

oo 30180 −=α

o150=α

θ = sudut yang dicari....

Arah vektor resultan bisa ditentukan menggunakan rumus sinus :

αθ sin2 R

SinF

=

o

NSin

N150sin8,63

=θ

5,08,63 N

SinN

=θ

)5,0)(3())(8,6( NSinN =θ



27

)5,1())(8,6( NSinN =θ

NNSin

8,65,1

=θ

22,0=θSin

)22,0(1−= Sinθ

o7,12=θ

Arah vektor resultan adalah :

30o + 12,7o = 42,7o terhadap sumbu x positif

2. Tentukan resultan dua vektor gaya berikut ini : 30 N pada 30o dan 40 N pada 120o.

Panduan jawaban :



R = )30120cos()40)(30(2)40()30( 22 ooNNNN −++

R = )90)(cos40)(30(21600900 22 oNNNN ++

R = )0)(40)(30(21600900 22 NNNN ++



28

R = 22500N

R = 50 N

Besar vektor resultan adalah 50 N


)30120(180 ooo −−=α

oo 90180 −=α

o90=α



αθ sin40 RSin

N=

o

NSin

N90sin

5040=

θ



29

15040 N

SinN

=θ

)1)(40())(50( NSinN =θ

)40())(50( NSinN =θ

NNSin

5040

=θ

8,0=θSin

)8,0(1−= Sinθ

o53=θ


30o + 53o = 83o terhadap sumbu x positif

3. Dua vektor, A dan B masing‐masing besarnya 40 satuan dan 20 satuan. Vektor A membentuk sudut 30o terhadap sumbu x positif sedangkan vektor B membentuk sudut 60o terhadap sumbu x positif. Tentukan besar dan arah vektor resultan...

Panduan jawaban :



R = ),(cos))((222 BABABA ∠++

R = )3060cos()20)(40(2)20()40( 22 ooNN −++



30

R = )30cos()20)(40(2)20()40( 22 oNN++

R = )87,0(16004001600 ++

R = 13924001600 ++

R = 3392

R = 58

Besar vektor resultan adalah 58 satuan


oo 30180 −=α

o150=α



αθ sinR

SinB

=

oSin 150sin5820

=θ



31

5,05820

=θSin

)5,0)(20())(58( =θSin

)10())(50( =θSin

5010

=θSin

2,0=θSin

)2,0(1−= Sinθ

o5,11=θ


30o + 11,5o = 41,5o terhadap sumbu x positif

4. Vektor A dan B masing‐masing besarnya 5 satuan dan 10 satuan. Vektor A sejajar dengan sumbu x positif sedangkan vektor B membentuk sudut 60o terhadap sumbu x positif. Tentukan resultan dari A – B (Selesaikan soal ini menggunakan rumus cosinus....)

Panduan jawaban :


Sudut antara A dan –B = 180o – 60o = 120o



32


R = ),(cos))((2)( 22 BABABA ∠+−+

R = )120)(cos10)(5(2)10()5( 22 o++

R = )5,0)(100(10025 −++

R = 5010025 −+

R = 75

R = 8,7

Besar vektor resultan adalah 8,7 satuan


Arah vektor resultan bisa dihitung menggunakan rumus sinus :

o

RSin

B60sin

=−θ



33

87,07,810

=−

θSin

)87,0)(10()7,8)(( −=θSin

7,8)7,8)(( −=θSin

7,87,8−

=θSin

1−=θSin

)1(1 −= −Sinθ

o90−=θ

Arah vektor resultan adalah ‐90o terhadap sumbu x positif atau 360o – 90o = 270o terhadap sumbu x positif



34

Menentukan Vektor Resultan menggunakan Vektor Komponen

1. Tentukanlah komponen‐komponen vektor gaya (F) yang besarnya 50 N dan membentuk sudut 30o terhadap sumbu x positif

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambarkan vektor F dan menguraikan komponennya pada sumbu x dan sumbu y

Langkah kedua, menghitung besar komponen vektor F pada sumbu x dan sumbu y

Besar komponen vektor F pada sumbu x (Fx)

Cos θ = FFx

Fx = F cos θ

Fx = (50 N) cos 30o

Fx = (50 N)(0,87)

Fx = 43,5 N

Besar komponen vektor gaya pada sumbu x (Fx) adalah 43,5 N

Besar komponen vektor F pada sumbu y (Fy)

Sin θ = FFy

Fy = F sin θ



35

Fy = (50 N) sin 30o

Fy = (50 N)(0,5)

Fy = 25 N

Besar komponen vektor gaya pada sumbu y (Fy) adalah 25 N

2. Uraikanlah vektor kecepatan berikut ini ke dalam komponen‐komponennya : v1 = 20 m/s pada 20o dan v2 = 40 m/s pada 120o

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambarkan vektor v dan menguraikan komponennya pada sumbu x (vx) dan sumbu y (vy)

Langkah kedua, menghitung besar komponen vektor v pada sumbu x dan sumbu y

Besar komponen vektor v1 pada sumbu x (v1x)

Cos θ = 1vxvi

v1x = v1 cos θ

v1x = v1 cos 20o

v1x = (20 m/s)(0,94)

v1x = 18,8 m/s

Besar komponen vektor v1 pada sumbu y (v1y)



36

Sin θ = 1vyvi

v1y = v1 sin θ

v1x = v1 sin 20o

v1x = (20 m/s)(0,34)

v1x = 6,8 m/s

Besar komponen vektor v2 pada sumbu x (v2x)

Cos θ = 2

2

vxv

v2x = v2 cos θ

v2x = ‐v2 cos 60o

v2x = (‐40 m/s)(0,5)

v2x = ‐20 m/s

Besar komponen vektor v2 pada sumbu y (v2y)

Sin θ = 2

2

vyv

v2y = v2 sin θ

v2x = v2 sin 60o

v2x = (40 m/s)(0,87)

v2x = 34,8 m/s

3. Tentukan besar dan arah sebuah vektor gaya (F), di mana besar komponen vektor gaya pada sumbu x (Fx) = 40 N dan besar komponen vektor gaya pada sumbu y (Fy) = 30 N.

Panduan jawaban :



37

Langkah pertama, menggambarkan vektor F dan komponennya pada sumbu x dan y

Langkah kedua, menentukan besar vektor gaya (F) :

22 )()( FyFxF +=

22 )30()40( NNF +=

22 9001600 NNF +=

22500NF =

NF 50=

Langkah ketiga, menentukan arah vektor gaya

FxFyTan =θ

NNTan

4030

=θ

75,0=θTan

75,01−=Tanθ

o37=θ

Arah vektor F adalah 37o terhadap sumbu x positif



38

4. Tentukan resultan dari vektor perpindahan berikut ini : vektor L1, 30 m pada 30o dan vektor L2, 20 m pada 180o. Gunakan metode vektor komponen...

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambarkan vektor perpindahan dan komponennya pada sumbu x dan y

Langkah kedua, menentukan besar masing‐masing vektor komponen

Besar komponen vektor L1 pada sumbu x (L1x)

Cos θ = 1LxLi

L1x = L1 cos θ

L1x = L1 cos 30o

L1x = (30 m)(0,87)

L1x = 26,1 m

Besar komponen vektor L1 pada sumbu y (L1y)

Sin θ = 1LyLi

L1y = L1 sin θ

L1y = L1 sin 30o

L1y = (30 m)(0,5)



39

L1y = 15 m


L2x = ‐ 20 m


L2y = 0

Langkah ketiga, menjumlahkan komponen vektor yang sejenis

Lx = L1x + L2x = 26,1 m – 20 m = 6,1 m

Ly = L1y + L2y = 15 m + 0 = 15 m

Langkah keempat, menghitung besar vektor resultan

)()( 22 LyLxL +=

22 )15()1,6( mmL +=

22 22521,37 mmL +=

221,262 mL =

mL 2,16=

Besar vektor resultan adalah 16,2 m

Langkah kelima, menentukan arah vektor resultan

mmTan

1,615

=θ



40

46,2=θTan

46,21−=Tanθ

o9,67=θ

Arah vektor resultan = 67,9o terhadap sumbu x positif

Karena Lx dan Ly bernilai positif, maka vektor resultan berada di antara sumbu x positif dan sumbu y positif (lihat gambar di bawah)

5. Hitung besar dan arah dari resultan vektor perpindahan berikut ini : vektor L1, 10 m pada 120o, vektor L2, 20 m pada 45o. Gunakan metode vektor komponen

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambarkan vektor perpindahan dan komponennya pada sumbu x dan y





41

Cos θ = 1LxLi

L1x = L1 cos θ

L1x = ‐L1 cos 60o

L1x = (‐10 m)(0,5)

L1x = ‐5 m


Sin θ = 1LyLi

L1y = L1 sin θ

L1y = L1 sin 60o

L1y = (10 m)(0,87)

L1y = 8,7 m


Cos θ = 2

2

LxL

L2x = L2 cos θ

L2x = L2 cos 45o

L2x = (20 m)(0,7)

L2x = 14 m




42

Sin θ = 2

2

LyL

L2y = L2 sin θ

L2y = L2 sin 45o

L2y = (20 m)(0,7)

L2y = 14 m


Lx = L1x + L2x = ‐5 m + 14 m = 9 m

Ly = L1y + L2y = 8,7 m + 14 m = 22,7 m


)()( 22 LyLxL +=

22 )7,22()9( mmL +=

22 29,51581 mmL +=

229,596 mL =

mL 4,24=

Besar vektor resultan adalah 24,4 m


LxLyTan =θ

mmTan

97,22

=θ

5,2=θTan



43

5,21−= Tanθ

o4,68=θ


Karena Lx dan Ly bernilai positif, maka vektor resultan berada di antara sumbu x positif dan sumbu y positif (lihat gambar di bawah)

6. Tentukan resultan dari vektor kecepatan berikut ini : v1 = 20 m/s, berada pada 210o terhadap sumbu x dan v2 = 40 m/s, berada pada 300o terhadap sumbu x.

Langkah pertama, menggambarkan vektor kecepatan dan komponennya pada sumbu x dan y


Komponen v1 pada sumbu x (v1x)



44

Cos θ = 1vxvi

v1x = v1 cos θ

v1x = ‐v1 cos 30o

v1x = (‐20 m/s)(0,87)

v1x = ‐17,4 m/s

Komponen v1 pada sumbu y (v1y)

Sin θ = 1vyvi

v1y = v1 sin θ

v1y = ‐v1 sin 30o

v1y = (‐20 m/s)(0,5)

v1y = ‐10 m/s

Komponen v2 pada sumbu x (v2x)

Cos θ = 2

2

vxv

v2x = v2 cos θ

v2x = v2 cos 60o

v2x = (40 m/s)(0,5)

v2x = 20 m/s

komponen v2 pada sumbu y (v1y)



45

Sin θ = 2

2

vyv

v2y = v2 sin θ

v2y = ‐v2 sin 60o

v2y = (‐40 m/s)(0,87)

v2y = ‐34,8 m/s


vx = v1x + v2x = ‐17,4 m/s + 20 m/s = 2,6 m/s

vy = v1y + v2y = ‐10 m/s – 34,8 m/s = ‐44,8 m/s


)()( 22 vyvxv +=

22 )/8,44()/6,2( smsmv −+=

22 /04,2007/76,6 smsmv +=

22 /8,2013 smv =

smv /88,44=

Besar vektor resultan adalah 44,88 m/s


vxvyTan =θ

smsmTan

/6,2/8,44−

=θ



46

23,17−=θTan

23,171 −= −Tanθ

o7,86−=θ

Arah vektor resultan = ‐86,7o terhadap sumbu x positif atau 360o – 86,7o = 273,3o terhadap sumbu x positif

Karena vx bernilai positif dan vy bernilai negatif maka vektor resultan berada di antara sumbu x positif dan sumbu y negatif (lihat gambar di bawah)

7. Sebuah vektor gaya (F) membentuk sudut 60o terhadap sumbu x positif. Jika diketahui besar komponen vektor gaya pada sumbu x (Fx) = 40 N, tentukanlah besar komponen vektor gaya pada sumbu y (Fy).

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambarkan vektor gaya dan komponennya pada sumbu x dan y



47

Langkah kedua, menentukan besar vektor gaya (F)

Cos θ = FFx

F = θCos

Fx

F = oCosN60

40

F = 5,0

40N

F = N80

Langkah ketiga, menentukan besar komponen vektor gaya pada sumbu y (Fy)

Sinθ = FFy

Fy = θsinF

Fy = )60)(sin80( oN

Fy = )87,0)(80( N

Fy = N6,69

Besar komponen vektor gaya pada sumbu y (Fy) = 69,6 N



48

8. Sebuah vektor kecepatan (v) membentuk sudut 30o terhadap sumbu x negatif. Jika diketahui besar komponen vektor kecepatan pada sumbu y (vy) = ‐20 m/s, tentukanlah besar komponen vektor kecepatan pada sumbu x (vx).

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambarkan vektor kecepatan dan komponennya pada sumbu x dan y

Langkah kedua, menentukan vektor kecepatan (v)

Sinθ = vvy

v = θSin

vy

v = o

sm30sin

/20

v = 5,0/20 sm

v = sm /40

Langkah ketiga, menentukan komponen vektor kecepatan pada sumbu x (vx)

Cosθ = vvx

vx = ))(cos( θv−

vx = )30)(cos/40( osm−



49

vx = )87,0)(/40( sm−

vx = sm /8,34−

Komponen vektor kecepatan pada sumbu x (vx) = ‐34,8 m/s

9. Tiga vektor gaya, F1, F2 dan F3 masing‐masing besarnya 20 N, 30 N dan 40 N. Vektor gaya F1 membentuk sudut 60o terhadap sumbu x positif, vektor gaya F2 membentuk sudut 150o terhadap sumbu x positif dan vektor gaya F3 membentuk sudut 315o terhadap sumbu x positif. Tentukan besar dan arah vektor resultannya.

Panduan jawaban :



komponen F1 pada sumbu x (F1x)

Cos θ = 1FxFi

F1x = F1 cos θ

F1x = F1 cos 60o

F1x = (20 N)(0,87)

F1x = 10 N



50

komponen F1 pada sumbu y (F1y)

Sin θ = 1FyFi

F1y = F1 sin θ

F1y = F1 sin 60o

F1y = (20 N)(0,87)

F1y = 17,4 N


Cos θ = 2

2

FxF

F2x = F2 cos θ

F2x = ‐F2 cos 30o

F2x = (‐30 N)(0,87)

F2x = ‐26,1 N


Sin θ = 2

2

FyF

F2y = F2 sin θ

F2y = F2 sin 30o

F2y = (30 N)(0,5)

F2y = 15 N



51


Cos θ = 3

3

FxF

F3x = F3 cos θ

F3x = F3 cos 45o

F3x = (40 N)(0,7)

F3x = 28 N


Sin θ = 3

3

FyF

F3y = F3 sin θ

F3y = ‐F3 sin 45o

F3y = (‐40 N)(0,7)

F3y = ‐28 N


Fx = F1x + F2x + F3x = 10 N – 26,1 N + 28 N = 11,9 N

Fy = F1y + F2y + F3y = 17,4 N + 15 N – 28 N = 4,4 N


)()( 22 FyFxF +=

22 )4,4()9,11( NNF +=

22 36,1961,141 NNF +=



52

297,160 NF =

NF 7,12=



FxFyTan =θ

NNTan

9,114,4

=θ

37,0=θTan

37,01−= Tanθ

o3,20=θ


Karena Fx bernilai positif dan Fy bernilai positif maka vektor resultan berada di antara sumbu x positif dan sumbu y positif ‐‐‐ kuadran I (lihat gambar di bawah)

10. Perhatikan gambar di bawah...



53

F1 = 10 N, F2 = 20 N. Tentukan besar komponen gaya total yang searah sumbu x

Panduan jawaban :

komponen F1 yang searah sumbu x (F1x)

Cos 30o = 1FxFi

F1x = F1 cos 30o

F1x = (10 N)(0,87)

F1x = 8,7 N


Cos 45o = 2

2

FxF

F2x = F2 cos 45o

F2x = ‐F2 cos 45o

F2x = (‐20 N)(0,7)

F2x = ‐14 N

Komponen gaya total yang searah sumbu x = F1x + F2x = 8,7 N – 14 N = ‐ 5,3 N

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah komponen gaya total menuju sumbu x negatif (ke kiri)



54

11. Empat gaya sebidang tampak pada gambar di bawah. F1 = 40 N, F2 = 20 N, F3 = 30 N, F4 = 10 N. Tentukan resultan keempat gaya tersebut...

Panduan Jawaban :






55

Cos θ = 1FxFi

F1x = F1 cos θ

F1x = F1 cos 30o

F1x = (40 N)(0,87)

F1x = 34,8 N


Sin θ = 1FyFi

F1y = F1 sin θ

F1y = F1 sin 30o

F1y = (40 N)(0,5)

F1y = 20 N


Cos θ = 2

2

FxF

F2x = F2 cos θ

F2x = ‐F2 cos 60o

F2x = (‐20 N)(0,5)

F2x = ‐10 N


Sin θ = 2

2

FyF



56

F2y = F2 sin θ

F2y = F2 sin 60o

F2y = (20 N)(0,87)

F2y = 17,4 N


Cos θ = 3

3

FxF

F3x = F3 cos θ

F3x = ‐F3 cos 45o

F3x = (‐30 N)(0,7)

F3x = ‐21 N


Sin θ = 3

3

FyF

F3y = F3 sin θ

F3y = ‐F3 sin 45o

F3y = (‐30 N)(0,7)

F3y = ‐21 N


F4x = 0




57

F4y = ‐10 N


Fx = F1x + F2x + F3x + F4x = 34,8 N – 10 N – 21 N + 0 = 3,8 N

Fy = F1y + F2y + F3y + F4y = 20 N + 17,4 N – 21 N – 10 N = 6,4 N

Resultan vektor pada sumbu x = 3,8 N, resultan vektor pada sumbu y = 6,4 N


)()( 22 FyFxF +=

22 )4,6()8,3( NNF +=

22 96,4044,14 NNF +=

24,55 NF =

NF 4,7=



FxFyTan =θ

NNTan

8,34,6

=θ

68,1=θTan

68,11−= Tanθ

o59=θ



58

Arah vektor resultan = 59o terhadap sumbu x positif

Fx dan Fy bernilai positif, karenanya vektor resultan berada di antara sumbu x positif dan sumbu y positif ‐‐‐ kuadran I

12. Seorang anak menarik mobil mainan ke arah timur dengan gaya tarik sebesar 40 N. Jika tali yang digunakan untuk menarik mobil mainan membentuk sudut 40o dengan permukaan lantai, tentukan (a) Besar gaya tarik yang dialami oleh mobil mainan, (b) Besar gaya angkat yang dialami mobil mainan.

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambar vektor gaya dan menguraikan komponennya pada sumbu x dan sumbu y

Langkah kedua, menghitung besar komponen vektor gaya

Besar komponen F pada sumbu x (Fx)

Cos θ = FFx

Fx = F cos θ

Fx = F cos 40o

Fx = (40 N)(0,77)



59

Fx = 30,6 N

Besar gaya tarik yang dialami oleh mobil mainan = Besar komponen gaya pada sumbu x = Fx = 30,6

Besar komponen F pada sumbu y (Fy)

Sin θ = FFy

Fy = F sin θ

Fy = F sin 40o

Fy = (40 N)(0,64)

Fy = 25,7 N

Besar gaya angkat yang dialami oleh mobil mainan = Besar komponen gaya pada sumbu y = Fy = 25,7 N

13. Seorang anak menahan sebuah kotak pada permukaan lantai rumah yang miring 20o, agar kotak tersebut tidak meluncur ke bawah. Berapakah gaya dorong minimum yang diperlukan agar kotak tetap diam ? Berat kotak (w) = 20 N

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambarkan vektor gaya berat dan menguraikan komponennya pada sumbu x dan sumbu y

Langkah kedua, menghitung besar komponen gaya berat (w) kotak

Komponen gaya berat yang tegak lurus permukaan lantai = w cos 20o = (20 N)(0,94) = 18,8 N

Komponen gaya berat yang sejajar permukaan lantai = w sin 20o = (20 N)(0,34) = 6,8 N



60

Kotak dapat meluncur ke bawah akibat adanya komponen gaya berat yang sejajar permukaan lantai (6,8 N). Agar kotak tetap diam, maka gaya dorong minimum yang diperlukan adalah 6,8 N

14. Dua buah gaya (setitik tangkap) saling tegak lurus, besarnya masing‐masing 20 N dan 10 N. Tentukan besar resultan (R) kedua gaya tersebut.... (Soal Ebtanas 2002)

Pembahasan :

Besar vektor resultan dihitung menggunakan rumus phytagoras (Kedua vektor saling tegak lurus)

22 )10()20( NNR +=

22 100400 NNR +=

2500NR =

2)5)(100( NR =

NR 510= atau NR 36,22=

15. Jika tiap skala pada gambar di bawah = 1 m, berapakah besar resultan kedua vektor perpindahan ? (Soal Ebtanas 1990)

Pembahasan :

Karena tiap skala = 1 m, maka L1 = 6 m dan L2 = 8 m



61

Besar resultan vektor perpindahan dihitung menggunakan rumus phytagoras (Kedua vektor saling tegak lurus)

22 )8()6( mmR +=

22 6436 mmR +=

2100mR =

mR 10=

16. Dua buah vektor gaya, F1 dan F2 masing‐masing besarnya 2 N dan 4 N, bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60o. Tentukan resultan kedua vektor gaya tersebut... (Soal Ebtanas 2006)

Panduan jawaban :

),(cos))((2 21212

22

1 FFFFFFR ∠++=

oNNNNR 60cos)4)(2(2)4()2( 22 ++=

)5,0)(16(164 222 NNNR ++=

222 8164 NNNR ++=

228NR =

NR 3,5=

17. Diketahui A = 4 satuan, B = 3 satuan. Jika A + B = 5 satuan, tentukan besar sudut yang diapit kedua vektor (Soal Ebtanas 1986)

Pembahasan :

A + B = vektor resultan (R)

Gunakan rumus cosinus

),(cos222 BAABBAR ∠++= atau ),(cos2222 BAABBAR ∠++=



62

θcos)3)(4(2345 222 ++=

θcos2491625 ++=

θcos242525 +=

θcos242525 =−

θcos240 =

θcos240=

θcos0 =

0cos 1−=θ (Tekan kalkulator dengan tombol INV Cos atau Cos‐1)

o90=θ

18. Perhatikan gambar di bawah. Tentukan komponen vektor gaya F menurut sumbu x (Soal Ebtanas 1998)

Pembahasan :

Menguraikan komponen vektor F pada sumbu x



63

FFxo =45cos

oFFx 45cos=

221

=Fx F atau 0,7 F

19. Diketahui besar vektor A = 20 satuan, membentuk sudut 30o dengan sumbu x positif. Tentukan besar vektor A dalam sumbu x dan y (Soal Ebtanas 1988)

Pembahasan :

Menggambar vektor A dan menguraikan komponennya...

Besar vektor A dalam sumbu x

Cos 30o = AAx

Ax = A cos 30o

Ax = (20)(0,87)

Ax = 17 satuan

Besar vektor A dalam sumbu y

Sin 30o = AAy

Ay = A sin 30o

Ay = (20)(0,5)

Ay = 10 satuan



64

20. Tiga vektor setitik tangkap seperti tampak pada gambar di bawah. Besar masing‐masing vektor, A1 = 20 satuan, A2 = 20 satuan, A3 = 30 satuan. Tentukan besar resultan ketiga vektor tersebut (Soal UAN 2003)

Pembahasan :

Langkah pertama, menggambarkan vektor v dan menguraikan komponennya pada sumbu x (vx) dan sumbu y (vy)

Langkah kedua, menghitung besar komponen vektor A1, A2, dan A3 pada sumbu x dan sumbu y

Besar komponen vektor A1 pada sumbu x

1

130cosA

xAo =

oAxA 30cos11 =

oAxA 30cos11 −=

)87,0)(20(1 −=xA

4,171 −=xA satuan



65

Besar komponen vektor A1 pada sumbu y

1

130sinA

yAo =

oAyA 30sin11 =

)5,0)(20(1 =yA

101 =yA satuan


2

230cosA

xAo =

oAxA 30cos22 =

)87,0)(20(2 =xA

172 =xA satuan


2

230sinA

yAo =

oAyA 30sin22 =

)5,0)(20(2 =yA

102 =yA satuan


303 =xA satuan


03 =yA



66


Ax = A1x + A2x + A3x = ‐17,4 + 17 + 30 = 29,6 satuan

Ay = A1y + A2y + A3y = 10 + 10 + 0 = 20 satuan


)()( 22 AyAxA +=

22 )20()6,29( +=A

40016,876 +=A

16,1276=A

36=A

Besar vektor resultan adalah 36 satuan

21. Tentukan resultan ketiga gaya pada gambar di bawah... (Soal UAN 2004)

Pembahasan :

Anggap saja F1 = 4 N, F2 = 4 N, F3 = 8 N



67

Menentukan komponen vektor gaya pada sumbu x

1

160cosF

xFo =

oFxF 60cos11 =

)5,0)(4(1 NxF =

NxF 21 =

NxF 42 −=

3

360cosF

xFo =

oFxF 60cos33 =

)5,0)(8(3 NxF =

NxF 43 =



68

Komponen vektor gaya pada sumbu x

xFxFxFFx 321 ++=

NNNFx 442 +−=

NFx 2=

Menentukan komponen vektor gaya pada sumbu y

1

160sinF

yFo =

oFyF 60sin11 =

)87,0)(4(1 NyF =

NyF 5,31 =

02 =yF

3

360sinF

yFo =

oFyF 60sin33 =

oFyF 60sin33 −=

)87,0)(8(3 NyF −=

NyF 73 −=

Komponen vektor gaya pada sumbu x

yFyFyFFy 321 ++=

NNFy 705,3 −+=

NFy 5,3−=



69

Menentukan besar vektor resultan

)()( 22 FyFxF +=

22 )5,3()2( NNF −+=

22 25,124 NNF +=

225,16 NF =

4=F

Besar vektor resultan adalah 4 N

22. Laju sebuah kapal pada laut yang tenang = vKL = 10 m/s. Jika kapal tersebut hendak menyebrang lurus ke seberang laut yang laju arusnya = 2 m/s, dengan sudut berapakah kapal tersebut harus diarahkan ? lihat gambar di bawah...

vKD = kecepatan kapal relatif terhadap dermaga

vLD = kecepatan arus laut relatif terhadap dermaga

vKL = kecepatan kapal relatif terhadap arus laut

Soal ini berkaitan dengan kecepatan relatif atau kelajuan relatif dalam dua dimensi. Untuk memudahkan pemahamanmu, bayangkanlah sebuah sepeda motor sedang bergerak dengan laju 60 km/jam. Untuk kasus ini, kecepatan sepeda motor tersebut sebenarnya relatif terhadap jalan atau permukaan bumi. Apabila di belakang sepeda motor tersebut terdapat sepeda motor lain



70

yang bergerak pada arah yang sama dengan laju 50 km/jam, maka sepeda motor pertama tadi mempunyai laju relatif terhadap sepeda motor yang ada di belakangnya sebesar 60 km/jam – 50 km/jam = 10 km/jam.

Ketika kecepatan berada pada arah yang sama, penjumlahan dan pengurangan menjadi sangat mudah. Apabila kecepatan tidak berada pada arah yang sama, maka kita harus menggunakan penjumlahan vektor. Perlu diketahui bahwa ketika kita menentukan kecepatan suatu benda, kita perlu memperhatikan kerangka acuannya. Karenanya jika anda berhadapan dengan soal seperti ini, alangkah baiknya jika terlebih dahulu digambarkan diagram dan pemberian label untuk mempermudah penyelesaian.

Untuk contoh di atas, digunakan vKD, vLD dan vKL. vKD = kecepatan kapal relatif terhadap dermaga, vLD = kecepatan arus laut relatif terhadap dermaga, vKL = kecepatan kapal relatif terhadap arus laut. Perhatikan bahwa vKL merupakan kecepatan kapal relatif terhadap laut, sedangkan vKD merupakan kecepatan kapal relatif terhadap dermaga. Dalam hal ini, vKD = vKL ditambah efek yang ditimbulkan oleh arus laut (vLD). Jadi kecepatan kapal relatif terhadap dermaga atau tepi laut adalah vKD = vKL + vLD

Pertanyaan soal ini adalah : Dengan sudut berapakah kapal harus diarahkan ? Dengan berpedoman pada diagram, soal ini bisa dijawab dengan mudah...

KL

LD

vv

=θsin

smsm

/10/2sin =θ

2,0sin =θ

2,0sin 1−=θ

o5,11=θ

23. Lanjutan soal nomor 14. Laju kapal pada laut yang tenang = vKL = 10 m/s. Jika kapal tersebut menyebrang lurus ke seberang laut yang laju arusnya = 2 m/s, tentukan kecepatan (besar dan arah) kapal relatif terhadap dermaga atau tepi laut.

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambar diagram vektor kecepatan



71

vKD = kecepatan kapal relatif terhadap dermaga atau tepi laut = ?

vLD = kecepatan arus laut relatif terhadap dermaga = 2 m/s

vKL = kecepatan kapal relatif terhadap arus laut = 10 m/s

Langkah kedua, menentukan kelajuan atau besar kecepatan kapal relatif terhadap dermaga atau tepi laut (vKD)

LDKLKD vvv +=

22 )/2()/10( smsmvKD +=

2222 /4/100 smsmvKD +=

22 /104 smvKD =

smvKD /2,10=

Langkah ketiga, menghitung arah

KL

LD

vv

Tan =θ

smsmTan

/10/2

=θ

2,0=θTan



72

2,01−= Tanθ (Tekan kalkulator dengan tombol INV TAN atau Tan‐1)

o3,11=θ

Perhatikan bahwa walaupun soal ini mirip dengan soal sebelumnya, tetapi besar sudut yang diperoleh berbeda.

24. Sebuah pesawat, terbang dengan laju 400 km/jam ke arah timur dan pada saat yang sama angin meniup ke arah selatan dengan kecepatan 60 km/jam. Berapakah kecepatan (besar dan arah) pesawat relatif terhadap bumi ?

Panduan jawaban :

Langkah pertama, menggambar diagram kecepatan

Langkah kedua, menentukan kecepatan resultan (R) pesawat (kecepatan pesawat relatif terhadap bumi)

22 )/60()/400( jamkmjamkmR +=

2222 /3600/160000 jamkmjamkmR +=

22 /163600 jamkmR =

jamkmR /5,404=

Langkah ketiga, menentukan arah

jamkmjamkmTan

/400/60

=θ

15,0=θTan



73

15,01−=Tanθ (Tekan kalkulator dengan tombol INV TAN atau Tan‐1)

o5,8=θ

25. Lanjutan soal nomor 16. Dalam arah manakah pilot harus menerbangkan pesawat agar pesawat tersebut terbang tepat ke arah timur menurut pengamat di bumi ?

Langkah pertama, menggambar diagram kecepatan

Langkah kedua, menentukan arah

jamkmjamkmSin

/400/60

=θ

15,0=θSin

15,01−= Sinθ (Tekan kalkulator dengan tombol INV TAN atau Tan‐1)

o6,8=θ

Pilot harus menerbangkan pesawat 8,6o terhadap arah timur

Langkah ketiga, menentukan besar kecepatan resultan (R) pesawat (kecepatan pesawat relatif terhadap bumi)

jamkmRCos

/400=θ

)6,8)(/400( oCosjamkmR =

)99,0)(/400( ojamkmR =

jamkmR /5,395=

Kelajuan pesawat tepat pada arah timur = 395,5 km/jam. (Kelajuan = besar kecepatan)



74

Perkalian titik dan perkalian silang

Perkalian titik

1. Mengapa perkalian skalar disebut juga sebagai perkalian titik atau sebaliknya perkalian titik disebut juga sebagai perkalian skalar ?

Pembahasan :

Sebenarnya ini soal penamaan saja. Disebut perkalian skalar karena perkalian tersebut menghasilkan besaran skalar. Besaran skalar = besaran yang mempunyai besar saja. Besaran skalar tidak memiliki arah. Perkalian skalar dari dua vektor, misalnya vektor A dan B dinyatakan dengan A.B. Karena digunakan notasi titik (.) maka perkalian skalar dinamakan perkalian titik.

2. Dapatkah hasil perkalian titik bernilai negatif ?

Pembahasan :

Hasil perkalian titik bisa bernilai negatif. Misalnya terdapat dua vektor, sebut saja vektor A dan vektor B. Apabila kedua vektor ini berlawanan arah (membentuk sudut 180o), maka hasil perkalian titik antara vektor A dan vektor B bernilai negatif.

A.B = AB cos 180º = AB (‐1) = ‐AB

3. Jika A.B = 0, benarkah A dan B saling sejajar ? buktikan !

Pembahasan :

Ketika dua vektor, misalnya vektor A dan vektor B saling sejajar, maka besar sudut yang dibentuk = 0. Cos 0 = 1

A.B = AB cos 0 = AB (1) = AB

Dari hasil perhitungan ini bisa disimpulkan bahwa kedua vektor tidak saling sejajar. Kedua vektor tersebut sebenarnya saling tegak lurus. Ketika dua vektor saling tegak lurus, sudut yang dibentuk = 90o. Cos 90o = 0.

A.B = AB cos 90o = AB (0) = 0

4. Jika vektor A dan B berlawanan arah, bagaimana hasil perkalian titik dari vektor A dan B ? jelaskan dengan contoh !

Pembahasan :



75

Jika vektor A dan vektor B berlawanan arah maka sudut yang dibentuk = 180º. Cos 180º = ‐1. Dengan demikian hasil perkalian titik antara vektor A dan vektor B bernilai negatif.

A.B = AB cos 180º = AB (‐1) = ‐AB

Contoh :

Misalnya besar vektor A = 4 satuan dan besar vektor B = 5 satuan. Kedua vektor ini berlawanan arah…

A.B = AB cos 180º = (4)(5)(‐1) = ‐20 satuan

5. Buktikan bahwa A.B = B.A ! jelaskan dengan contoh...

Pembahasan :

Contoh 1 :

Misalnya terdapat dua vektor, sebut saja vektor A dan vektor B. A = 10 satuan, B = 20 satuan. Jika vektor A dan vektor B membentuk sudut 30º, tentukan A.B dan B.A

A.B = AB cosθ = (10)(20) cos 30o = (200)(0,87) = 173,2

B.A = BA cosθ = (20)(10) cos 30o = (200)(0,87) = 173,2

Contoh 2 :

A = 2 satuan, B = 4 satuan. Jika vektor A dan vektor B membentuk sudut 60º, tentukan A.B dan B.A

A.B = AB cosθ = (2)(4) cos 60o = (200)(0,5) = 100

B.A = BA cosθ = (4)(2) cos 60o = (200)(0,5) = 100

Hasilnya sama…..

6. Dua vektor A dan B, masing‐masing besarnya 4 satuan dan 5 satuan. Jika sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut adalah 60o, tentukan hasil perkalian titik dari vektor A dan B

Pembahasan :

Perkalian titik dari vektor A dan vektor B = A.B atau B.A

A.B = AB cosθ = (4)(5) cos 60o = (20)(0,5) = 10 satuan

B.A = BA cosθ = (5)(4) cos 60o = (20)(0,5) = 10 satuan



76

7. Vektor A dan B membentuk sudut 90o. Jika A = 10 satuan dan B = 5 satuan, tentukan A.B

Pembahasan :


8. Hitunglah hasil perkalian titik dari dua vektor berikut ini : P = 6 satuan pada 30o dan Q = 3 satuan pada 120o

Pembahasan :

Langkah pertama, menggambarkan vektor P dan Q

120o – 30o = 90o

Tujuan dari langkah pertama (menggambar vektor) adalah untuk mengetahui besar sudut apit antara vektor P dan Q. Tidak perlu melewati langkah pertama jika anda sudah terbiasa…

Langkah kedua, menentukan hasil perkalian titik vektor P dan Q

Karena P.Q = Q.P maka kita cukup menggunakan salah satunya saja…

P.Q = PQ cosθ = (6)(3) cos 90o = (18)(0) = 0

9. Vektor P dan Q memiliki pangkal berhimpit, di mana P = 4 satuan dan Q = 3 satuan. Vektor P membentuk sudut 30o terhadap sumbu x positif, sedangkan vektor Q membentuk sudut 60o terhadap sumbu x positif. Tentukan hasil perkalian titik dari kedua vektor tersebut !

Pembahasan :

Vektor P membentuk sudut 30o terhadap sumbu x positif sedangkan vektor Q membentuk sudut 60o terhadap sumbu x positif. Dengan demikian, vektor P dan Q membentuk sudut 60o – 30o = 30o

Hasil perkalian titik antara vektor P dan Q :

P.Q = PQ cosθ = (4)(3) cos 30o = (12)(0,9) = 10,7 satuan



77

10. Vektor A dan B membentuk sudut 60o. Jika A = 4 satuan dan A.B = 20, tentukan nilai B

Pembahasan :

A.B = AB cosθ

20 = (4)(B) cos 60o

20 = (4)(B) (0,5)

20 = (2)(B)

220

=B

10=B satuan

11. Diketahui A = 4 satuan, B = 5 satuan. Jika A.B = 10 satuan, tentukan sudut apit antara vektor A dan B

Pembahasan :

A.B = AB cosθ

10 = (4)(5) cosθ

10 = 20 cosθ

2010

=θCos

5,0=θCos

5,0cos 1−=θ (Tekan kalkulator dengan tombol INV Cos atau Cos‐1)

o60=θ

12. Vektor A dan B masing‐masing besarnya 1 satuan dan 2 satuan. Tentukan perkalian titik antara kedua vektor jika sudut yang terbentuk adalah 0, 30o, 60o, 90o, 120o, 150o, 180o

Pembahasan :

A.B = AB cosθ = (1)(2) cos 0 = (2)(1) = 2 satuan

A.B = AB cosθ = (1)(2) cos 30o = (2)(0,87) = 1,7 satuan




78

A.B = AB cosθ = (1)(2) cos 90o = (2)(0) = 0 satuan

A.B = AB cosθ = (1)(2) cos 120o = (2)(‐0,5) = ‐1 satuan

A.B = AB cosθ = (1)(2) cos 150o = (2)(‐0,87) = ‐1,7 satuan

A.B = AB cosθ = (1)(2) cos 180o = (2)(‐1) = ‐2 satuan



79

Perkalian silang

1. Mengapa perkalian vektor disebut juga sebagai perkalian silang dan sebaliknya perkalian silang disebut juga sebagai perkalian vektor ?

Pembahasan :

Ini soal penamaan saja. Disebut perkalian vektor karena perkalian tersebut menghasilkan besaran vektor. Besaran vektor = besaran yang mempunyai nilai dan arah. Perkalian vektor dari dua vektor, misalnya vektor A dan B dinyatakan dengan A x B. Karena digunakan notasi silang (x) maka perkalian vektor dinamakan perkalian silang.

2. Dapatkah hasil perkalian silang bernilai negatif ?

Pembahasan :

Hasil perkalian silang selalu bernilai positif. Perkalian silang antara dua vektor biasa dinyatakan

dengan persamaan berikut : A x B = AB sin θ atau B x A = BA sin →θ oo 1800 ≤≤θ

Yang menentukan suatu perkalian silang menghasilkan nilai positif atau negatif adalah sin θ .

Sin 0o = 0

Sin 30o = 0,5

Sin 60o = 0,87

Sin 90o = 1

Sin 120o = 0,87

Sin 150o = 0,5

Sin 180o = 0

(Semuanya bernilai positif)

3. Misalnya diketahui dua vektor, sebut saja vektor A dan B. Mungkinkah A x B = B x A ?

Pembahasan :

Perkalian silang tidak bersifat komutatif atau anti komutatif. Karenanya A x B tidak sama dengan B x A. Dalam perkalian silang, A x B = ‐ B x A. Tanda negatif menunjukkan bahwa A x B berlawanan arah B x A.



80

Untuk lebih memahami persoalan ini, silahkan pelajari materi perkalian silang pada modul perkalian vektor dan skalar. Sudah dijelaskan secara mendetail dalam modul.

4. Mungkinkah hasil perkalian silang dari dua vektor = 0 ?

Pembahasan :

Perkalian silang antara dua vektor bisa bernilai nol. Hal ini terjadi ketika kedua vektor saling sejajar atau berlawanan arah. Ketika kedua vektor saling sejajar, sudut yang dibentuk = 0o.

A x B = AB sin 0o = AB (0) = 0

B x A = BA sin 0o = BA (0) = 0

Sebaliknya ketika kedua vektor berlawanan arah, sudut yang dibentuk = 180o.

A x B = AB sin 180o = AB (0) = 0

B x A = BA sin 180o = BA (0) = 0

5. Dua vektor A dan B, masing‐masing besarnya 4 satuan dan 2 satuan. Jika sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut adalah 60o, tentukan hasil perkalian silang dari vektor A dan B (besar dan arah)

Pembahasan :

Langkah pertama, menghitung besar A x B dan B x A

A x B = (4)(2) sin 60o = (8)(0,866) = 6,9 satuan

B x A = (2)(4) sin 60o = (8)(0,866) = 6,9 satuan

Langkah kedua, menentukan arah A x B dan B x A

Arah A x B



81

Arah A x B tegak lurus bidang di mana vektor A dan B berada. Arah A x B bisa ditentukan menggunakan kaidah tangan kanan. Genggamlah jari tangan anda, di mana arahnya berlawanan dengan putaran jarum jam. Arah A x B searah dengan arah ibu jari tangan…

Arah B x A

Arah B x A tegak lurus bidang di mana vektor B dan A berada. Arah B x A bisa ditentukan menggunakan kaidah tangan kanan. Genggamlah jari tangan anda searah dengan putaran jarum jam. Arah B x A searah dengan arah ibu jari tangan…

6. Vektor A dan B membentuk sudut 90o. Jika A = 10 satuan dan B = 5 satuan, tentukan besar dan arah dari A x B dan B x A

Pembahasan :

Langkah pertama, menghitung besar A x B dan B x A

A x B = (10)(5) sin 90o = (50)(1) = 50 satuan

B x A = (5)(10) sin 90o = (50)(1) = 50 satuan

Langkah kedua, menentukan arah A x B dan B x A

Arah A x B



82

Arah A x B tegak lurus bidang di mana vektor A dan B berada. Arah A x B bisa ditentukan menggunakan kaidah tangan kanan. Genggamlah jari tangan anda, di mana arahnya berlawanan dengan putaran jarum jam. Arah A x B searah dengan arah ibu jari tangan…

Arah B x A

Arah B x A tegak lurus bidang di mana vektor B dan A berada. Arah B x A bisa ditentukan menggunakan kaidah tangan kanan. Genggamlah jari tangan anda searah dengan putaran jarum jam. Arah B x A searah dengan arah ibu jari tangan…

7. Diketahui P = 6 satuan, terletak pada 30o terhadap sumbu x dan Q = 5 satuan, terletak pada 120o terhadap sumbu x. Tentukan besar P x Q dan Q x P…

Pembahasan :

Vektor P terletak pada 30o terhadap sumbu x dan vektor Q terletak pada 120o terhadap sumbu x. Dengan demikian, vektor P dan Q membentuk sudut 120º ‐ 30º = 90o

P x Q = (6)(5) sin 90o = (30)(1) = 30 satuan

Q x P = (5)(6) sin 90o = (30)(1) = 30 satuan

8. Diketahui F1 = 4 N dan F2 = 3 N. Jika F1 x F2 = 0, tentukan besar sudut apit F1 dan F2

Pembahasan :

Jika hasil perkalian silang antara dua vektor = 0 maka kedua vektor pasti saling berhimpit (0o) atau berlawanan arah (180º). Lihat soal nomor 4

9. Vektor A dan B membentuk sudut 30o. Jika A = 8 satuan dan A x B = 20, tentukan nilai B

Pembahasan :



83

A x B = AB sin 30o

20 = (8)(B)(0,5)

20 = (4)(B)

420

=B

5=B satuan



84

Perkalian titik menggunakan komponen vektor satuan

1. Tunjukkan bahwa i . i = j . j = k . k = 1 dan i . j = j . k = k . i = 0

Pembahasan :

Vektor satuan (i, j dan k) merupakan suatu vektor yang besarnya = 1. Vektor satuan tidak mempunyai satuan. Vektor satuan berfungsi untuk menunjukan suatu arah dalam ruang. Pada sistem koordinat xyz kita menggunakan vektor satuan i untuk menunjukkan arah sumbu x positif, vektor satuan j untuk menunjukkan arah sumbu y positif dan vektor satuan k untuk menunjukkan arah sumbu y positif.

Vektor satuan i, j dan k saling tegak lurus satu sama lain (sebagaimana sumbu x, y dan z) sehingga memudahkan perhitungan. Soal ini bisa diselesaikan dengan mudah menggunakan persamaan perkalian skalar atau perkalian titik A.B = AB cosθ .

i . i = (1)(1) cos 0 = (1)(1)(1) = 1

j . j = (1)(1) cos 0 = (1)(1)(1) = 1

k . k = (1)(1) cos 0 = (1)(1)(1) = 1

Vektor satuan i berhimpit dengan i, j berhimpit dengan j dan k berhimpit dengan k, karenanya sudut yang dibentuk = 0.

i . j = (1)(1) cos 90o = (1)(1)(0) = 0

i . k = (1)(1) cos 90o = (1)(1)(0) = 0

j . k = (1)(1) cos 90o = (1)(1)(0) = 0

Vektor satuan i, j dan k saling tegak lurus satu sama lain (sudut yang dibentuk = 90o)

2. Diketahui vektor A = Axi + Ayj + Azk dan vektor B = Bxi + Byj + Bzk. Tunjukkan bahwa A . B = AxBx + AyBy + AzBz

Pembahasan :

A . B = (Axi + Ayj + Azk).(Bxi + Byj + Bzk)

A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +

Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +

Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk



85

A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +

AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +

AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)

Karena i . i = j . j = k . k = 1 dan i . j = i . k = j . k = 0, maka :

A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +

AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +

AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)

A . B = AxBx (1) + 0 + 0 +

0 + AyBy (1) + 0 +

0 + 0 + AzBz (1)

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

Berdasarkan hasil perhitungan ini, bisa disimpulkan bahwa perkalian skalar atau perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari perkalian komponen‐komponennya yang sejenis.

3. Diketahui dua vektor : A = 2i ‐ 4j dan B = ‐6i + 3j. Hitunglah A . B !

Pembahasan :


A . B = (2)(‐6) + (‐4)(3)

A . B = ‐12 – 12

A . B = ‐24

4. Diketahui dua vektor : A = 2i + 4j – 2k dan B = 3i + 6j + 3k. Hitunglah A . B dan B . A !

Pembahasan :

A . B = axbx + ayby + azbz

A . B = (2)(3) + (4)(6) + (‐2)(3)

A . B = 6 + 24 – 6



86

A . B = 24

B . A = BxAx + ByAy + BzAz

B . A = (3)(2) + (6)(4) + (3)(‐2)

B . A = 6 + 24 ‐ 6

B . A = 24

hasilnya sama… A . B = B . A

5. Diketahui tiga vektor : A = 3i + 4j + 5k, B = 2i + 3j + 4k dan C = 4i + 5j + 6k. Hitunglah A . (B + C)

Pembahasan :

Ax = 3, Ay = 4, Az = 5

Bx = 2, By = 3, Bz = 4

Cx = 4, Cy = 5, Cz = 6

Perkalian titik memenuhi hukum distributif : A . (B + C) = A . B + A . C


A . B = (3)(2) + (4)(3) + (5)(4)

A . B = 6 + 12 + 20

A . B = 38

A . C = AxCx + AyCy + AzCz

A . C = (3)(4) + (4)(5) + (5)(6)

A . C = 12 + 20 + 30

A . C = 62



87

A . (B + C) = A . B + A . C

A . (B + C) = 38 + 62

A . (B + C) = 100

6. Besar vektor A dan B berturut‐turut adalah 8 satuan dan 4 satuan. Amati gambar di bawah… Hitung A.B !

Pembahasan :

Sebelum menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu dihitung komponen vektor.

Ax = (8) cos 0o = (8) (1) = 8

Ay = (8) sin 0o = (8) (0) = 0

Az = 0

Bx = (4) cos 90o = (4) (0) = 0

By = (4) sin 90o = (4) (1) = 4

Bz = 0

Vektor A hanya mempunyai komponen vektor pada sumbu x dan vektor B hanya mempunyai komponen vektor pada sumbu y. Komponen z bernilai nol karena vektor A dan B berada pada bidang xy.

Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektor A dan B menggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :

A.B = Ax Bx + AyBy + AzBz



88

A.B = (8) (0) + (0) (4) + 0

A.B = 0 + 0 + 0

A.B = 0

Bandingkan dengan cara pertama

A.B = AB cosθ

A.B = (8)(4) cos 90

A.B = (8)(4) (0)

A.B = 0

Hasilnya sama…

7. Besar vektor A dan B berturut‐turut adalah 10 satuan dan 5 satuan. Hitunglah perkalian titik kedua vektor tersebut (A . B), jika sudut yang terbentuk adalah 60o. Amati gambar di bawah...

Pembahasan :

Sebelum menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu dihitung komponen vektor.

Ax = (10) cos 0o = (10) (1) = 10

Ay = (10) sin 0o = (10) (0) = 0

Az = 0

Bx = (5) cos 60o = (5) (0,5) = 2,5



89

By = (5) sin 60o = (5) (0,866) = 4,3

Bz = 0

Vektor A hanya mempunyai komponen vektor pada sumbu x dan vektor B mempunyai komponen vektor pada sumbu x dan y. Komponen z bernilai nol karena vektor A dan B berada pada bidang xy.

Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektor A dan B menggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :


A.B = (10) (2,5) + (0) (4,3) + 0

A.B = 25 + 0 + 0

A.B = 25 satuan


A.B = AB cosθ

A.B = (10)(5) cos 60o

A.B = (10)(5) (0,5)

A.B = 25 satuan

Hasilnya sama…

8. Diketahui A = 4 satuan, B = 8 satuan. Tentukan A.B menggunakan vektor satuan jika kedua vektor membentuk sudut 90o. Lihat gambar di bawah…



90

Pembahasan :

Terlebih dahulu dihitung komponen vektor.

Ax = A cos θ

Ax = (4) cos 30o = (4) (0,87) = 3,5 satuan

Ay = A sin θ

Ay = (4) sin 30o = (4)(0,5) = 2 satuan

Az = 0

Bx = ‐B cos θ

Bx = (‐8) cos 60o = (‐8) (0,5) = ‐4 satuan



91

By = B sin θ

By = (8) sin 60o = (8) (0,87) = 7 satuan

Bz = 0

Vektor A dan B mempunyai komponen vektor pada sumbu x dan y. Komponen z bernilai nol karena vektor A dan B berada pada bidang xy. Sekarang kita hitung perkalian skalar atau perkalian titik antara vektor A dan B.


A.B = (3,5) (‐4) + (2)(7) + 0

A.B = ‐14 + 14 + 0

A.B = 0


A.B = AB cosθ

A.B = (4)(8) cos 90o

A.B = (10)(5) (0)

A.B = 0

Hasilnya sama…

9. Vektor A dan B masing‐masing besarnya 4 satuan dan 8 satuan. Vektor A terletak pada 120o terhadap sumbu x positif sedangkan vektor B terletak pada 240o terhadap sumbu x positif. Tentukan A.B !

Pembahasan :



92

Terlebih dahulu dihitung komponen vektor.

Ax = ‐A cos θ

Ax = (‐4) cos 60o = (‐4) (0,5) = ‐2 satuan

Ay = A sin θ

Ay = (4) sin 60o = (4)(0,87) = 3,48 satuan

Az = 0

Bx = ‐B cos θ

Bx = (‐8) cos 60o = (‐8) (0,5) = ‐4 satuan

By = B sin θ

By = (‐8) sin 60o = (‐8) (0,87) = ‐6,96 satuan

Bz = 0

Sekarang kita hitung perkalian skalar atau perkalian titik antara vektor A dan B.


A.B = (‐2)(‐4) + (3,48)(‐6,96) + 0



93

A.B = 8 – 24,22 + 0

A.B = ‐16 satuan


A.B = AB cosθ

A.B = (4)(8) cos 120o

A.B = (4)(8) (‐0,5)

A.B = ‐16

Hasilnya sama…



94

Perkalian silang menggunakan komponen vektor satuan

1. Tunjukkan bahwa i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = k, j x k = i dan k x i = j

Pembahasan :

Menggunakan persamaan perkalian silang atau perkalian vektor A x B = AB sin θ , diperoleh :

i x i = (1)(1) sin 0 = (1)(1)(0) = 0

j x j = (1)(1) sin 0 = (1)(1)(0) = 0

k x k = (1)(1) sin 0 = (1)(1)(0) = 0

Vektor satuan i berhimpit dengan i, j berhimpit dengan j dan k berhimpit dengan k, karenanya sudut yang dibentuk = 0. Angka nol ditebalkan untuk mengingatkan bahwa hasil perkalian tersebut adalah vektor nol, sebuah vektor yang komponennya = 0 dan arah tak terdefinisikan.

Menggunakan persamaan perkalian silang atau perkalian vektor A x B = AB sin θ dan sifat anti komutatif dari perkalian vektor (A x B = ‐ B x A), maka diperoleh :

i x j = ‐j x i = (1)(1) sin 90o = (1)(1)(1) = k

j x k = ‐k x j = (1)(1) sin 90o = (1)(1)(1) = i

k x i = ‐i x k = (1)(1) sin 90o = (1)(1)(1) = j

Vektor satuan i, j dan k saling tegak lurus satu sama lain, sehingga sudut yang dibentuk = 90o

2. Diketahui vektor A = Axi + Ayj + Azk dan vektor B = Bxi + Byj + Bzk. Tunjukkan bahwa A x B = (AyBz ‐ AzBy)i + (AzBx ‐ AxBz) j + (AxBy ‐ AyBx) k

Pembahasan :

A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)

A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +

Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +

Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk

A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +

AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +



95

AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)

Karena i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = ‐j x i = k, j x k = ‐k x j = i, k x i = ‐i x k = j, maka :

A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (‐j) +

AyBx (‐k) + AyBy (0) + AyBz (i) +

AzBx (j) + AzBy (‐i) + AzBz (0)

A x B = AxBy (k) + Ax Bz (‐j) +

AyBx (‐k) + AyBz (i) +

AzBx (j) + AzBy (‐i)

A x B = AxBy (k) + Ax Bz (‐j) + AyBx (‐k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (‐i)

A x B = (AyBz ‐ AzBy)i + (AzBx ‐ Ax Bz)j + (AxBy ‐ AyBx )k

Pahami perlahan‐lahan....

3. Diketahui vektor A = Axi + Ayj + Azk dan vektor B = Bxi + Byj + Bzk. Cari B x A !

Pembahasan :

B x A = (Bxi + Byj + Bzk) + (Axi + Ayj + Azk)

B x A= Bxi x Axi + Bxi x Ayj + Bxi x Azk +

Byj x Axi + Byj x Ayj + Byj x Azk +

Bzk x Axi + Bzk x Ayj + Bzk x Azk

B x A = BxAx (i x i) + BxAy (i x j) + BxAz (i x k) +

ByAx (j x i) + ByAy (j x j) + ByAz (j x k) +

BzAx (k x i) + BzAy (k x j) + BzAz (k x k)

Karena i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = ‐j x i = k, j x k = ‐k x j = i, k x i = ‐i x k = j, maka :

B x A = BxAx (0) + BxAy (k) + BxAz (‐j) +

ByAx (‐k) + ByAy (0) + ByAz (i) +

BzAx (j) + BzAy (‐i) + BzAz (0)



96

B x A = BxAy (k) + BxAz (‐j) + ByAx (‐k) + ByAz (i) + BzAx (j) + BzAy (‐i)

B x A = ByAz (i) + BzAy (‐i) + BzAx (j) + BxAz (‐j) + BxAy (k) + ByAx (‐k)

B x A = (ByAz – BzAy)i + (BzAx ‐ BxAz)j + (BxAy – ByAx)k

4. Diketahui A = 2i ‐ 4j dan B = ‐6i + 3j. Hitunglah A x B !

Pembahasan :


A x B = ((‐4)(0) – (0)(3))i + ((0)(‐6) – (2)(0))j + ((2)(3) – (‐4)(‐6))k

A x B = 0 + 0 + (6 – 24)k

A x B = ‐18k

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah vektor satuan (k) menunjuk sumbu z negatif

5. Diketahui A = 2i ‐ 4j dan B = ‐6i + 3j. Hitunglah B x A !

Pembahasan :


B x A = ((3)(0) – (0)(‐4))i + ((0)(2) – (‐6)(0))j + ((‐6)(‐4) – (3)(2))k

B x A = (0 – 0)i + (0 – 0)j + (24 – 6)k

B x A = 0 + 0 + 18k

B x A = 18k

Tanda positif menunjukkan bahwa arah vektor satuan (k) menunjuk sumbu z positif. Bandingkan dengan jawaban nomor 4 (Besarnya sama, hanya arahnya berlawanan)

6. Diketahui dua vektor : A = 2i + 4j – 2k dan B = 3i + 6j + 3k. Hitunglah A x B dan B x A !

Pembahasan :

Ax = 2, Ay = 4, Az = ‐2

Bx = 3, By = 6, Bz = 3




97

A x B = ((4)(3) – (‐2)(6))i + ((‐2)(3) – (2)(3))j + ((2)(6) – (4)(3))k

A x B = (12 – (‐12)i + (‐6 ‐ 6)j + (12 ‐ 12 )k

A x B = (12 + 12)i + (‐12)j + (0)k

A x B = 24i ‐12j


B x A = ((6)(‐2) – (3)(4))i + ((3)(2) – (3)(‐2))j + ((3)(4) – (6)(2))k

B x A = (‐12 – 12)i + (6 – (‐6)j + (12 – 12)k

B x A = ‐24i + (6 + 6)j + (0)k

B x A = ‐24i + 12j

7. Diketahui dua vektor : A = 2i ‐ 4j + 3k dan B = 4i + 2j ‐ 6k. Hitunglah A x B dan B x A !

Pembahasan :

Ax = 2, Ay = ‐4, Az = 3

Bx = 4, By = 2, Bz = ‐6


A x B = ((‐4)(‐6) – (3)(2))i + ((3)(4) – (2)(‐6))j + ((2)(2) – (‐4)(4))k

A x B = (24 – 6)i + (12 – (‐12)j + (4 – (‐16)k

A x B = 18i + (12 + 12)j + (4 + 16)k

A x B = 18i + 24j + 20k


B x A = ((2)(3) – (‐6)(‐4))i + ((‐6)(2) – (4)(3)j + ((4)(‐4) – (2)(2))k

B x A = (6 – 24)i + (‐12 – 12)j + (‐16 – 4)k



98

B x A = ‐18i + (‐24)j + (‐20)k

B x A = ‐18i ‐ 24j ‐20k

8. Diketahui tiga vektor : A = 3i + 4j + 5k, B = 2i + 3j + 4k dan C= 4i + 5j + 6k. Hitunglah A . (B x C)

Pembahasan :

Ax = 3, Ay = 4, Az = 5

Bx = 2, By = 3, Bz = 4

Cx = 4, Cy = 5, Cz = 6

Terlebih dahulu dihitung B x C

B x C= (ByCz – BzCy)i + (BzCx ‐ BxCz)j + (BxCy – ByCx)k

B x C = ((3)(6) – (4)(5))i + ((4)(4) – (2)(6))j + ((2)(5) – (3)(4))k

B x C = (18 – 20)i + (16 – 12)j + (10 – 12)k

B x C = –2i + 4j + 2k

A . (B x C) = (3i + 4j + 5k).(–2i + 4j + 2k)

A . (B x C) = (3)(‐2) + (4)(4) + (5)(2)

A . (B x C) = ‐6 + 16 + 10

A . (B x C) = 20



99

Penjumlahan vektor menggunakan komponen vektor satuan

1. Nyatakanlah gaya‐gaya pada gambar di bawah dalam bentuk R = Rxi + Ryj + Rzk

Pembahasan :

R = 3i + 4j

2. Nyatakanlah gaya‐gaya pada gambar di bawah dalam bentuk R = Rxi + Ryj + Rzk

Pembahasan :

R = ‐3i + 4j

(Perhatikan tanda)

3. Diketahui F = 6i – 3j. Gambar resultan gaya tersebut…



100

Pembahasan :

4. Dua buah gaya yang bekerja pada sebuah benda dinyatakan sebagai berikut F1 = 3i + 6j N dan F2 = ‐6i – 3j N. Gambarkan resultan kedua gaya tersebut…

Pembahasan :

5. Lanjutan soal nomor 4. Tentukan resultan kedua gaya tersebut dalam bentuk komponen vektor satuan. Tentukan juga besar resultan kedua gaya tersebut.

F1 = 3i + 6j N

F2 = ‐6i – 3j N

Pembahasan :

(R = resultan)

Fx = 3 – 6 = ‐3 N

Fy = 6 – 3 = 3 N



101

Resultan kedua gaya dalam bentuk komponen :

F = Fxi + Fyj + Fzk

F = ‐3i + 3j N

Besar resultan kedua gaya :

222 FzFyFxF ++=

22 )3()3( NNF +−=

22 99 NNF +=

218NF =

NF 2,4=

6. Diketahui F1 = 2i + 4j N dan F2 = 3i + 6j N. Tentukan resultan kedua gaya tersebut dalam bentuk komponen vektor satuan. Tentukan juga besar resultan kedua gaya tersebut.

Pembahasan :

Fx = 2 + 3 = 5 N

Fy = 4 + 6 = 10 N

Resultan kedua gaya dalam bentuk komponen :

F = Fxi + Fyj + Fzk

F = 5i + 10j N

Besar resultan kedua gaya :

222 FzFyFxF ++=

22 )10()5( NNF +=

22 10025 NNF +=

2125NF =



102

NF 2,12=

7. Diketahui

F1 = 4i + 2j N

F2 = 6i + 3j N

F3 = ‐2i ‐ 8j N

Tentukan resultan ketiga gaya tersebut.

Pembahasan :

Fx = 4 + 6 – 2 = 8 N

Fy = 2 + 3 – 8 = ‐3 N

Resultan ketiga gaya dalam bentuk komponen :

F = Fxi + Fyj + Fzk

F = 8i ‐ 3j N

Besar resultan ketiga gaya :

222 FzFyFxF ++=

22 )3()8( NNF −+=

22 964 NNF +=

273NF =

NF 5,8=

8. Diketahui

F1 = 4i + 8j – 2k N

F2 = 3i + 3j + 3k N

F3 = ‐4i + 2j + 3k N

Tentukan resultan ketiga gaya tersebut.



103

Pembahasan :

Fx = 4 + 3 – 4 = 3 N

Fy = 8 + 3 + 2 = 13 N

Fz = ‐2 + 3 + 3 = 4 N

Resultan ketiga gaya dalam bentuk komponen :

F = Fxi + Fyj + Fzk

F = 3i + 13j + 4k N

Besar resultan ketiga gaya :

222 FzFyFxF ++=

222 )4()13()3( NNNF ++=

222 161699 NNNF ++=

2194NF =

NF 14=

9. Dua vektor, A dan B masing‐masing besarnya 8 satuan dan 4 satuan. Vektor A membentuk sudut 30o terhadap sumbu x positif sedangkan vektor B membentuk sudut 60o terhadap sumbu x negatif Tentukan resultan kedua vektor tersebut dalam bentuk komponen vektor satuan.

Pembahasan :



104

Ax = A cos 30o

Ax = (8)(0,87)

Ax = 7 satuan

Ay = A sin 30o

Ay = (8)(0,5)

Ay = 4 satuan

Bx = ‐B cos 60o

Bx = (‐4)(0,5)

Bx = ‐2 satuan

By = ‐B sin 60o

By = (‐4)(0,87)

By = ‐3,5 satuan

Rx = Ax + Bx = 7 ‐ 2 = 5

Ry = Ay + By = 4 – 3,5 = 0,5

Resultan (R) kedua vektor dalam bentuk komponen :

R = Rxi + Ryj + Rzk

R = 5i + 0,5j

Besar resultan kedua vektor :

222 FzRyRxR ++=

22 5,05 +=R



105

25,025 +=R

25,25=R

5=R

10. Sebuah mobil mainan ditarik menggunakan tali dengan gaya sebesar 20 N. Tali membentuk sudut 60o terhadap permukaan tanah. Nyatakanlah vektor gaya (F) dalam komponen‐komponennya !

Pembahasan :

Langkah pertama, menggambar vektor gaya

Langkah kedua, menghitung besar komponen vektor F pada sumbu x dan sumbu y

Fx = F cos θ

Fx = (20 N) cos 60o

Fx = (20 N)(0,5)

Fx = 10 N

Fy = F sin θ

Fy = (20 N) sin 60o

Fy = (20 N)(0,5)

Fy = 17 N



106

vektor F dalam bentuk komponen :

F = Fxi + Fyj + Fzk

F = 10i + 17j

11. Jika A = 2i + 4j dan B = 3i – 6j, tentukan resultan dari A + B, B + A, A – B dan B ‐ A

Pembahasan :

A + B = (2i + 4j) + (3i – 6j) = 2i + 4j + 3i – 6j = 5i – 2j

B + A = (3i – 6j) + (2i + 4j) = 3i – 6j + 2i + 4j = 5i – 2j

A – B = (2i + 4j) ‐ (3i – 6j) = 2i + 4j ‐ 3i + 6j = ‐i + 10j

B – A = (3i – 6j) ‐ (2i + 4j) = 3i – 6j ‐ 2i ‐ 4j = i – 10j

Perhatikan A – B : ‐ 3i + 6j adalah B dengan arah terbalik. Jadi A – B sama saja dengan hasil penjumlahan A dan B dengan arah terbalik.

Perhatikan B – A : ‐ 2i ‐ 4j adalah A dengan arah terbalik. Jadi B – A sama saja dengan hasil penjumlahan B dan A dengan arah terbalik.

12. Diketahui A = 8i + 20j ‐ 10k dan B = ‐2j + 3k. Tentukan resultan dari A + B dan A – B

Pembahasan :

A + B = (8i + 20j ‐ 10k) + (‐2j + 3k) = 8i + 20j ‐ 10k ‐2j + 3k = 8i + 18j ‐ 7k

A – B = (8i + 20j ‐ 10k) ‐ (‐2j + 3k) = 8i + 20j ‐ 10k + 2j ‐ 3k = 8i + 22j ‐ 13k

Documents

Vektor