Скалрни и векторски физички величини. Операции со векторите

Физички величини можат да се претстават математички со помош на скалари и вектори. Скаларни величини се физичките величини кои се потполно определени само со нивната бројна вредност. Такви физички величини се: маса, време, температура, волумен и др.Скаларот може да биде позитивен и негативен број. Векторските физички величини се величини што се определени со големина (бројна вредност), правец и насока. Векторските физички величини, геометриски се претставуваат со вектор.

Апсолутната вредност на големината на векторската физичка величина се вика модул. Векторски величини кои вообичаено се користат во механиката се: поместување, сила, брзина, забрзување, импулс и др.

Собирање на вектори

Да се соберат два (или повеќе) вектори, тоа значи тие два (или повеќе) вектора да се заменат со еден вектор кој би бил еквивалентен на нив. Собирањето на два вектори може да се изврши по превило на триаголник или по правило на паралелограм. На сликата е дадена илустрација на примената на двете правила при собирање на векторите и

За векторскиот збир важи комутативниот закон:

Повеќе вектори се собираат по правило на многуаголник (правило на полигон):

Ако се доведат два вектори кон заеднички почеток и над нив се конструира паралелограм тогаш едната

дијагонала на паралелограмот, која има заеднички почеток со двата вектори ќе го претставува нивниот збир, а другата дијагонала која која ги сврзува краевите на двата вектори ќе ја претставува нивната разлика

Визуелизација на операциите собирање и одземање на векторите можете да најдете на следните линкови:

http://www.cabrillo.edu/~jmccullough/Applets/Flash/Mathematical%20Concepts/Add2Vectors.swf

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vect.html#vec7

http://www.drcruzan.com/MathVectors.html

https://www.youtube.com/watch?v=wmq9XcXsRqo&list=PLGPyytMHz56NBeNu68Obn065RnietiOr8

https://phet.colorado.edu/mk/simulation/vector-addition

Множење на вектор со скалар

Ако еден вектор се помножи со скалар n , се добива нов вектор кој е даден со равенката:

чиј модул n - пати е поголем од модулот на векторот . Насоката на векторот или се совпаѓа со насоката на

векторот (ако n > 0 ) или е спротивна на насоката на векторот (ако n < 0 ).

Одземање на вектори

Два вектори кои имаат еднаков модул, ист правец и спротивни насоки се викаат спротивни вектори. По

дефиниција вектор е спротивен на векторот . Одземањето на еден вектор од друг е еквивалентно на

додавање(собирање) спротивен вектор. На сликата се прикажани два еквивалентни дијаграми на одземање на

векторот од векторот . Се забележува дека на тие два дијаграми векторот е насочен спротивно, но во

двата случаи ја запазува својата апсолутна вредност (својот модул) и својата насока.

Значи, ако векторот се помножи со негативен број, тогаш насоката на добиениот вектор се менува на спротивна. Множењето со бројот -1 ја менува насоката на векторот на спротивна, па се добива спротивен вектор.

Разложување на вектор на компоненти

Често пати е згодно еден вектор да се замени со два други вектори, чиј векторски збир би бил еквивалентен на зададениот вектор. Таквата операција се вика разложување на векторот на своите компоненти. Оваа операција, геометриски, се сведува на обратна операција од собирање на два вектори по правило на паралелограм. Во овој случај, дијагоналата е позната (тоа е векторот што треба да се разложи), а треба да се определат големините на страните на тој паралелограм. Бидејќи со позната дијагонала може да се конструираат бесконечно многу различни паралелограми, задачата разложување на вектор на две компоненети има бесконечно многу решенија. За да има едно решение треба да бидат дадени правците на компонентните вектори.Многу е важен случајот кога правците на компонентите зафаќаат агол од 90 0 . Таков случај е прикажан на

сликата подолу.

Проекција на вектор на координатна оска

Даден е векторот кој заедно со оската OX лежи во истата рамнина.

Спуштаме нормали од почетокот А и крајот B на векторот a врз оската X . Точките A1 и B1 се проекции на точките А и В на оската X. Должината на отсечката A1 B1 меѓу проекциите на почетокот и крајот на векторот AB , земена со знак ,,+” или ,,-“ се вика проекција на векторот a на оската X. Проекцијата на вектор се означува со иста буква како и векторот, но без стрелка над буквата исо индекс што укажува на оската. Така на пример, проекцијата на векторот a на оската X се означувасо a x . Проекцијата a x на векторот a се смета за позитивна, ако од почетокот на проекцијата кон крајот на проекцијата на векторот a треба да се оди по позитивната насока на X - оската.Во спротивно таа е негативна.Проекцијата на вектор на дадена координатна оска е алгебарска величина. Таа може да бидепозитивна, негативна или еднаква на нула.Проекцијата од збир на два (или повеќе) вектора на дадена координатна оска е еднаква назбирот од проекциите на тие вектори.

Прашања, Задачи

1. Како се дефинираат скаларите, а како векторските величини?2. Кои методи се користат за собирање на вектори?3. Како може да се разложи еден вектор на компоненти?