Uvod

UAAG Uvod u algebru s analitikom geometrijom

doc. dr. sc. Damir Vukievi www.pmfst.hr/~vukicevi

Znanja iz klasine algebre vektora i vektorskog zasnivanja analitike geometrije u ravnini i prostoru te elementarno poznavanje algebarskih struktura kroz prikladne primjere i osnovna svojstva. Student je stekao osnovna predznanja za izgradnju apstraktnih pojmova, kao to su vektorski prostori, operatori, afini prostori i slino, s kojima e se susresti u kolegijima Linearna algebra i Euklidski prostori. Sadraji vezani uz krivulje, plohe i geometrijske transformacije posluit e kao uvod u geometrijske kolegije na viim godinama studija.

Klasina algebra vektora u V2 i V3. Orijentirane duine.Vektori. Modul, smjer i orijentacija vektora. Zbrajanje vektora. Vektori i skalari. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora. Baza i dimenzija. Koordinatizacija. Skalarni produkt. Ortonormirana baza. Koordinatni prikaz skalarnog produkta. Vektorski produkt. Mjeoviti produkt.

Elementi analitike geometrije u E3. Kartezijev koordinatni sustav na pravcu, u ravnini i prostoru. Razni oblici jednadbe ravnine. Udaljenost toke od ravnine. Kut dviju ravnina. Analitika predoenja pravca. Kut dvaju pravaca. Kut pravca i ravnine. Udaljenost toke od pravca. Zajednika normala i udaljenost dvaju pravaca. Krivulje drugog reda u ravnini i njihovo analitiko predoenje. Plohe drugog reda. Krivulje u prostoru. Neki drugi koordinatni sustavi. Geometrijske transformacije u R2 i R3. Koordinatni i matrini zapis transformacija. Kompozicija transformacija. Svojstva pojedinih skupova transformacija s obzirom na kompoziciju.

Algebarske strukture. Binarne operacija. Osnovne algebarske structure, definicije i primjeri. Grupe. Podgrupe. Primjeri iz prethodnih sadraja. Grupe permutacija. Prsteni i polja, definicije i primjeri. Linearni prostori. Baza i dimenzija. Potprostori, presjek i suma.

K. Horvati, Linearna algebra I i II, PMF Matematiki odjel, HMD, Zagreb, 1995. N. Elezovi, A. Agli, Linearna algebra, Element, Zagreb, 1999 . N. Baki, A. Milas, Zbirka zadataka iz linearne algebre s rjeenjima, PMFMatematiki odjel, HMD, Zagreb, 1995. N. Elezovi, A. Agli, Linearna algebra, Zbirka zadataka, Element, Zagreb, 1999.

B. Pavkovi, D. Veljan, Elementarna matematika 2, kolska knjiga, Zagreb, 1994. S. Kurepa, Konanodimenzionalni vektorski prostori i primjene, Liber, Zagreb 1992.

I. Vektori

1.Operacije s vektorima

orjentirana

Duljinom, smjerom i orjentacijom (usmjerenjem)

smjer (ili usmjerenje)

smjeru

usmjerenju

i usmjerenje

2. je vektorski prostor

3 V

Za skup vektora a1 , a2 ,..., ak kaemo da je linearno nezavisan ako vrijedi:

1 a1 + 2 a2 + ... + k ak = 0 1 = 2 = ... = k = 0

3. Koordinatni sustavi i kanonska baza

4.Skalarni produkt

5. Vektorski produkt

Matrica (kao tablica brojeva) Determinanta Determinatne drugog reda Determinante treeg reda: - Klasino raunanje - Sarussovo pravilo

6. Mjeoviti produkt

7. Rastav vektora po bazi

8. Dvostruki produkt

II. Toka, pravac i ravnina

1. Toka

2. Ravnina

Ax + By + Cz Ax1 By1 Cz1 = 0

x 2 y + 3z 5 = 0

n

3. Pravac

4. Meusobni poloaj pravaca i ravnina