BUDAPESTI MSZAKI S GAZDASGTUDOMNYI EGYETEM Mszaki Mechanikai
Tanszk
_____________________________________________________________________
VEKTOROK S TENZOROK OKTATSI SEGDLET 2
___________________________________________________________________________
sszelltotta: dr. Vrs Gbor, egyetemi docens, 2003. szeptember
mdostva: 2005. janur 3
___________________________________________________________________________
TARTALOM 1. Az sszegzsi
konvenci........................................................................................................
4 1.1. Vektorok szorzsa
...........................................................................................................
5 2. Msodrend tenzor, a lineris vektor-vektor fggvny
......................................................... 7 2.1.
Tenzorok
szorzsa.........................................................................................................
10 3.
Transzformcik...................................................................................................................
11 4. Tenzor sajtrtkei, a skalr invarinsok
.............................................................................
13 5. Grbevonal koordinta
rendszerek.....................................................................................
14 5.1. A kovarins derivlt
......................................................................................................
16 5.2. Differencilsi
szablyok..............................................................................................
17 5.3. Hengerkoordinta rendszer
...........................................................................................
19 6. Ajnlott
irodalom.................................................................................................................
22 4
___________________________________________________________________________
1. Az sszegzsi konvenci e1 e2e3 R F P123 1. bra
Az1.braszerintiderkszgDescartesflekoordintarendszerhromtengelynek
irnyt az e1, e2 s e3 egysgvektorok, ms szval a bzisvektorok jellik
ki. Ha a koordinta tengelyeken mrt vhosszak x1, x2, s x3, akkor a P
pont R helyvektora == + + =31 kk k 3 3 2 2 1 1x x x x e e e e R , s
egy, a P ponthoz kttt F vektor pedig a kvetkez mdon irhat fel: == +
+ =31 kk k 3 3 2 2 1 1F F F F e e e e F ,
aholazFiskalrmennyisgekazFvektorkoordinti.Atovbbiakbanazilyen
kifejezsekbenazsszegzsjeltelhagyjuk,smegllapodunkabban,hogyaktazonos
latin bet index a nma indexpr egy szorzat kifejezsen bell sszegzsi
utastst jelent. Az sszegz indexek rtknek fels hatra trbeli
feladatoknl 3. Termszetesen, mivel nem
azindexkntfelhasznltbetkonkrtformja,hanemazindexprmegjelenseutalaz
sszegzsre,brmelykisvagynagylatinbetfelhasznlhat.Ezekszerint,azsszegzsi
konvenci alkalmazsval az F vektor rviden az p p k kF F e e F = =(1)
alakban is
felrhat.Haegyszorzatkifejezsbentbbnmaindexprisszerepel,akkoraztbbszrssszegzst
jelent.Pldulhromnmaindexprralegyhuszonhttagsszegirhatlervidena
kvetkez formban: = = ==31 i31 j31 kk j i ijk k j i ijkd c b a d c b
a . 5
___________________________________________________________________________
Ilyenesetekbengyelnikellarra,hogyanmaindexekhezmrfelhasznltbetjeletne
hasznljuk mg egyszer, mert akkor az sszegzsi konvenci elveszti az
egyrtelmsgt.Ha azt akarjuk, hogy egy kifejezsben a nma indexpr ne
jelentsen sszegzst, akkor egyik indexet egy megklnbztet jellel,
alhzssal, kizrjuk. Ezek szerint az k ke a nem az (1)
szerintiavektor,hanemannakcsakak-adikvektorkomponense.Abzisvektorkindexe
ilyenkor szabad index, a koordinta k indexe pedig zrt. A most
bevezetett indexes jells nagy elnye a tmrebb lers mellett az, hogy
formlisan
sztvlasztottukavektortktrszre,askalrkoordintksabzisegysgvektorok
szorzatra.Ezavektorstenzoralgebrasanalziskrbenelvgzendszmtsokat
jelentsen leegyszersti, lervidti.
Akontinuumechanikakrbengyakranhasznljkegyttazalssfels(kovarinss
kontravarins)indexet.Erreakkorvanszksg,haakoordintarendszernknemmindig
derkszg.Atovbbiakbankizrlagamrnkigyakorlatbanfontosortogonlis
rendszereket hasznlunk. 1.1. Vektorok szorzsa A kvetkezkben rviden
sszefoglaljuk a vektorok krben ismert szorzsi szablyokat. Ha
felhasznljukaz(1)sszegzsikonvencit,akkoravektorokklnbzszorzataitcsakaz
ortogonlisbzisegysgvektorokkzttkellrtelmezni,mivel
askalrkoordintkszorzata egyrtelm. A. Skalr szorzat: Kt bzis
egysgvektor szorzata a ktindexes Kronecker szimblum: . j i ha 0 s j
iha 1 , ij ijij j i = = == e e (2) Ezzel kt tetszleges a s b vektor
skalr szorzata a kvetkez mdon irhat fel: 3 3 2 2 1 1 i i ij j i j i
j i j j i ib a b a b a b a b a b a ) (b ) (a + + = = = = = ) ( e e
e e b a .
Akilenctagsszegnekcsakahromnemfelttlenlzrustagjavan.Atovbbiakban
gyakranfelhasznljukaKroneckerszimblumnakadefincijblkvetkezindexcserl
szerept: i ij jb b =.(3)
Hakiktjk,hogyaKroneckerszimblumktindexelegyenmindigazonos,akkoraz
sszegzsi konvenci alkalmazsval belthat, hogy 3 33 22 11 ii= + + =
.(4) 6
___________________________________________________________________________
B.Vektorszorzat:Ktbzisegysgvektorvektorszorzattapermutcisszimblum
segtsgvel rjuk fel: r pqr q pe e e e = . (5a)
Avektorszorzattulajdonsgaiblkvetkezik,hogyazepqrferdnszimmetrikus,azazkt
szomszdos index felcserlse eljelvltst jelent s rtke zrus, ha brmely
kt, vagy mind a hrom index azonos. A zrustl klnbz hat rtk: . 1 e e
e, 1 e e e132 321 213 231 312 123 = = = + = = =(5b) Az a s b
vektorok vektorszorzata: i j i j k i j i j i j ijk1 2 3 2 3 3 2 3 1
1 3 1 2 2 1 k(a ) (b ) a b ( ) a b e(a b a b )(a b a b )(a b a b )c
.= = = = == + + =c a b e e e e ee e eke A huszonht tag sszeg tbbi
huszonegy tagja a permutcis szimblum (5b) defincijbl kvetkezen
zrus. Az eddigiek felhasznlsval szmtsuk ki a bzis egysgvektorok
ketts vektor szorzatt: ( ) ( )p ntp jkt t jkt n k j ne e e e e e e
e e = = . Msrszrl, a vektoralgebrbl ismert( ) ( ) ( ) b a c c a b c
b a = kifejtsi ttel alapjn: ( ) ( ) ( )nj k nk j j n k k n j k j n
e e e e e e e e e e e = = . Mivel a ktfle mdon kiszmolt eredmny
azonos, nj k nk j p ntp jkt e e e e e =. Fontos, hogy az egyenlsg
mindkt oldaln ugyanazok a j, k, n szabad indexek szerepelnek.
Mivelezeklehetsgesrtke1,2s3,ezazegysorbanfelirtegyenlsgelvileghuszonht
egyenlsgetfejezki,tovbbabaloldalon-atspnmaindexproklehetsgesrtkeit
szmbavvekilenc,illetveazindexrtkazonossgtkizrva,hattagsszegek
szerepelnek.Szorozzuk meg a fenti egyenlsg mindkt oldalt skalrisan
az es bzis egysgvektorral: nj ks nk js ps ntp jkt e e =.
Az(3)sapermutcisszimblumindexsorrendjrevonatkoz(5b)szablyalapjnaz
egyenlsg bal oldala talakthat: nj ks nk js snt jkt e e =.(6a) 7
___________________________________________________________________________
Ha kiktjk, hogy ebben az egyenlsgben a k s n szabad indexek
legyenek azonosak, akkor a (3) s (4) felhasznlsval: js js js kj ks
kk js skt jkt 2 3 e e = = = , (6b) tovbb, a j s s indexek
azonossgbl 6 2 e ejj jkt jkt= =(6c) kvetkezik. Hrom vektor vegyes
szorzata: ( )ijk k j ie c b a = c b a.(7)
Haezavegyesszorzatnemzrus,akkorahromvektornincsegyskban,msszval
linerisan fggetlenek. A vegyes szorzat eredmnye geometriailag gy is
rtelmezhet, mint a
hromvektorltalmeghatrozottprhuzamosoldalltest(paralelepipedon)trfogata.Az
ortogonlis bzisvektorok egysgvektorok - vegyes szorzata az (5)
permutcis szimblum ( )pqr r q pe = e e e .
C.Diadikusszorzat:Ktvektor(ab)diadikusvagyltalnosszorzatadefinciszerint
legyen a kvetkez tulajdonsg: ( ) ( ) ( ) ( )b a c b a c c b a c b a
= = ,, (8) ahol a * jel helyre brmelyik szorzs a skalr vagy a
vektor szorzs - jelt rhatjuk. Pldul ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c b a c
b a b a c b a c c b a c b a = = = vagy, .Ezalapjnnyilvnval,hogy
ltalban (a b) (b a). 2. Msodrend tenzor, a lineris vektor-vektor
fggvny
A(8)defincialapjnszmtsukkiaza1sb1vektorokdidjnaksazrhelyvektornaka
jobb oldali skalris szorzatt: ( ) ( )k 1k 1 1 1 1 1x b a r b a r b
a R = = = . Ltszik, hogy itt az R vektor, az r irnytl fggetlenl,
mindig prhuzamos az a1 vektorral. Ez teht egy olyan lineris homogn
fggvnykapcsolat az R s r vektorok kztt, ami a b1
vektorramerlegesskpontjaihozaholab1
sazrskalrszorzataazonos-aza1irny egyenesen ugyanazt a pontot
rendeli. Az ilyen fggvny elfajul (nem invertlhat), abban az
rtelemben,hogyahrommretteretegymretaltrreegyegyenesrekpezile. 8
___________________________________________________________________________
Bvtsk fenti szorzatot mg egy diddal gy, hogy az a1 s a2, valamint a
b1 s b2 vektorok ne legyenek prhuzamosak, azaza1a2 0, b1b2 0: ( ) (
) | | ( ) ( ) r b a r b a r b a b a R + = + =2 2 1 1 2 2 1 1. Most
az R vektor az a1 s a2 vektorok ltal meghatrozott skban van. Ez a
kibvtett lineris
fggvnyab1sb2vektorokramerlegesskokmetszsvonalnlvpontokhozaza1,a2
vektorok skjban egy pontot rendel, vagyis a hrommret teret egy
ktmret altrre, skra kpezi le.
Ezekutnmrknnyenbelthat,hogyalegltalnosabblinerishomognvektor-vektor
fggvny hrom did sszegeknt adhat meg: ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) r
b a r b a r b a r b a b a b a R + + = + + =3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1,
feltve, hogy az ak s bk vektorok linerisan fggetlenek, ms szval az
(7) vegyes szorzatuk nem zrus: a1.(a2a3) 0 s b1.(b2b3) 0.
Atovbbiakban,haabk
vektorokhelyettazekbzisegysgvektorokatalkalmazzuk,az(1)
sszegzsikonvenci s az ak = apkep azonossg felhasznlsval: ( ) ( ) (
) | | ( ) ( ) r A r e e r e a r e a e a e a R = = = + + =k p pk k k
3 3 2 2 1 1a ,(9a) aholk p pka e e A = (9b) egymsodrendtenzorsapk
azAtenzor33mretmtrixa,pasorskazoszlop sorszma. Az ak vektorok az A
tenzor mtrixnak oszlopvektorai: | |11 12 131 2 3 pk 2131 32 33a a
aa aa a a22 23a a ( ( ( = = ( ( a a a. (9c) Egy tenzor ltal leirt
lekpzs, a lineris vektor vektor fggvny teht akkor nem elfajul,
haazaposzlopvektoroklinerisanfggetlenek,msszvalaz(7)vegyesszorzatuknem
zrus. Az oszlopvektorok vegyes szorzata a tenzor determinnsa: () (
) ( ) ( ). e a a a e a a a e a a ae a a a a a akpq q3 p2 k1 pqk q3
p2 k1 ks pqs q3 p2 k1s pqs k q3 p2 k1 q p k q3 p2 k1 3 2 1= = == =
= = e e e e e a a a A det(10a)
Atenzoroszlopvektorsorrendjnekcserjveladeterminnsrtkenemvltozik,csak
esetleg az eljele. Pldul ( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2det = = A a a a a a
a . 9
___________________________________________________________________________
A hat lehetsges oszlopvektor sorrend eredmnyt egyben, az (5b)
felhasznlsval felrva( )rst kr ps qt kpqe a a a det = A e.(10b)
Haennekazegyenletnekmindktoldaltmegszorozzukazerstszimblummal,akkora(6c)
eredmnyhelyettestseutnazAtenzordeterminnsnakkiszmtsraalkalmas
sszefggst kapunk: ( )kr ps qt kpq rst1a a a e e6det = A.(10c)
Elfajul lekpzsnl det(A) = 0. Ha apk az A tenzor mtrixa, akkor akp
az AT transzponlt mtrixa. Az A szimmetrikus, haTkp pk, a a A A = =,
(11a) s ferdn szimmetrikus (aszimmetrikus), haTkp pk , a a A A = =
.(11b) Minden msodrend tenzor felbonthat egy szimmetrikus s egy
ferdn szimmetrikus rszre: ( ) ( )( ) ( )T TT T T Tpq pq qp pq pq qp
q1 1,2 21 1 , ,2 21 1E (a a ), (a a )=,2 2= + + = += + = = = = + =
A A A A A E E A A E A A p (12)
aholazEszimmetrikusazpedigaszimmetrikustenzorok.Mivelazaszimmetrikustenzor
ftljbanlvelemekrtkemindigzrus,annakcsakhromzrustlklnbzeleme
lehet.Haeztahromelemetegyvektorhromkoordintjnaktekintjk,akkora
permutcis szimblum (5b) s az aszimmetrikus tenzor (11b)
tulajdonsgainak hasonlsga alapjn belthat, hogy minden aszimmetrikus
tenzor felrhat a kvetkez alakban is: 3 2pq i iqp i ipq pq 3 12 10 e
e,= 0 0 ( ( ( = = ( ( . Ebblazegyenlsgblkifejezhetjkazi
vektort,hamindktoldaltmegszorozzukazejpq permutcis szimblummal. A
(6b) felhasznlsval ij i jpq ipq i jpq pq2 e e e = = , amibl 10
___________________________________________________________________________
j pq1 e2= jpq, (13)
kvetkezik.Azvektoraztenzorilletvea(12)kapcsolatalapjnazAtenzorvektor
invarinsa:( ) ( ) ( )j pq jpq1 32 23 2 31 13 3 21 121 A e,21 1 1A
A, A A,A A.2 2 2= = = =
AszimmetrikusEtenzorvektorinvarinsazrus,mivelegyszerenbelthat,hogy
.0 e Ejpq pq=Az I egysgtenzor mtrixa a (2) Kronecker delta: ( ) ( )
a e e e e e a I = = = = k k k ts s kt s s t k kta a a . (14) A (9b)
definciban az A msodrend tenzor, ahol a msodrend sz a bzisvektorok
szmra utal. Ebbl kiindulva kzenfekv az ltalnosts, pldul egy
negyedrend tenzor s r q p pqrsC e e e e C =alakban irhat fel. Ennek
a negyedrend tenzornak 81 skalr koordintja van. 2.1. Tenzorok
szorzsa
Avektoroknlhasznlatosszorzsimveleteketa(8)defincisazsszegzsikonvenci
alapjn most mr a tenzorokra is kiterjeszthetjk. Ezek kzl nzznk
nhny, a tovbbiakban is gyakran elfordul esetet. Egy tenzor s egy
vektor jobb oldali skalr szorzatnak eredmnye egy vektor: ( ) ( ) (
), b a c, b a b a b a b as ps pp s ps p ks s pk s k p s pk s s k p
pk== = = = = e e e e e e e e b A c,ahol felhasznltuk a Kronecker
szimblum (2)-(3) tulajdonsgait. A bal oldali skalr szorzat s sp p p
s spb a d , b a = = = e A b d . Ha az A szimmetrikus, azaz asp =
aps , akkor c = d.Egy tenzor s egy vektor jobb oldali vektor
szorzatnak eredmnye egy tenzor: ( )( ) ( ), e b a c, e b a b a b
akst s pk ptt p kst s pk s k p s pk s s k p pk== = = = e e e e e e
e e b A C ahol megjelent az (5) szerinti permutcis szimblum. 11
___________________________________________________________________________
Kt tenzor skalr szorzata egy ugyanolyan mret tenzor: ( ) ( ) ( ). b
a c, b a b a b a b akm pk pmm p km pk m p kt tm pk m t k p tm pk m
t tm k p pk== = = = = e e e e e e e e e e e e B A C
Kt tenzor ketts skalr szorzata egy skalr szm: ( ) ( ) ( )( ). b
a c, b a b a b a b a ckp pkkp pk pm kt tm pk m p t k tm pk m t tm k
p pk== = = = = e e e e e e e e B A Kt tenzor vektor szorzata egy
harmadrend tenzor: ( )( ) ( ). e b a c , e b a b a b akts tm pk
psmm s p kts tm pk m t k p tm pk m t tm k p pk== = = = e e e e e e
e e e e e B A C A harmadrend tenzornak 27 skalr koordintja van. Egy
tenzor s kt vektor jobb s baloldali skalr szorzata egy skalr szm: (
) ( ) ( ) ( ) ( )r p k s r p k s r pk s r pk s r pk s rp kr rs sc b
a d b a d b a d , c b a d .= = = = =b A d e e e e e e e es 3.
Transzformcik E1 E2E3 a e1e2e3 2. bra
Gyakranszksgvanarra,hogyegyvektorvagyegytenzorkoordintitklnbz
ortogonliskoordintarendszerekbenkellmegadni.Akoordintktszmtsa,vagy
transzformcija a bzis egysgvektorok kapcsolatbl kvetkezik. A 2. bra
szerint jellje EQ a kiindul, vagy eredeti, s ep az j rendszer bzis
egysgvektorait.
Azegyszerbbmegklnbztetsmiattazeredetirendszerrevonatkozkoordintknls
indexeknlhasznljukanagybets,mgazjrendszerbenakisbetsjellseket.
Termszetesen,ezeddighasznltsszegzsikonvencimindktrendszerbenvltozatlan
formban rvnyes. Induljunk ki abbl, hogy ismerjk az j bzis
egysgvektorokat, mint az eredeti bzis egysgvektorok lineris
kombinciit: Q pQ pt E e= . (15) 12
___________________________________________________________________________
HaennekazegyenletnekmindktoldaltskalrisanmegszorozzukazEKvektorral,
figyelembe vve, hogy QK K Q = E Ea (12) szerinti Kronecker
szimblum, a transzformci mtrixnak kiszmtsra alkalmas sszefggst
kapunk: | |((((
= =3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1pK K p pKt , tE e E e E eE e
E e E eE e E e E eE e . (16) Hasonl mdon, felrhatjuk a bzis
egysgvektorok inverz kapcsolatt is az( )q Kq1Kt e E=formban, amit
most skalrisan szorozva az ep bzis vektorral, a ( )p K Kp1t e E =
eredmnyt kapjuk. Mivel ( ) ( ) ( )KpTpKTK p p K Kp1t t t = = = =E e
e E ,
megllapthatjuk,hogyatranszformciinverzemegegyezikatranszponltjval.Ezrt,haa
transzformcis mtrixot megszorozzuk a transzponltjval, az eredmny az
egysgmtrix, a Kronecker delta lesz: ( ) ( ) . t t t t , t t t tKQ
pQ Kp pQ Kp-1qp Kp qK Kp-1qK= = = = (17) Ezzel a bzis egysgvektorok
inverz kapcsolata q Kq Kt e E = . (18) A (16) alapjn belthat, hogy
a [tKq] mtrix oszlopvektorai az eq bzis egysgvektorok, ezrt
det(tKq) = 1.A vektor s tenzor mennyisgeket a koordinta rendszer
megvlasztsa nem befolysolhatja,
msszval,azokakoordintatranszformcivalszembeninvarinsak.Atranszformci
sorn csak a vektorok vagy tenzorok koordinti vltozhatnak: n m mn K
P PK m m P Pa A , u U e e E E A e E u = = = = . Az u vektor
koordintinak kapcsolata a (16) vagy a (18) behelyettestsvel: P m m
P P Pm m m P PmP P m m m mP P P m mPu U U t u, u U t,u u u t U, Uu
t ,= = = == = = =E e ee E E(19a) s hasonl mdon az A tenzor
koordintinak kapcsolata: ( )( )Tmn PK Pm Kn mP PK KnTPK mn mP nK Pm
mn nKa A t t t A tA a t t t a t= == = .(19b) 13
___________________________________________________________________________
4. Tenzor sajtrtkei, a skalr invarinsok
Amsodrendtenzora(9a)defincijaszerintr A R =
,aholralinerisfggvnybena
fggetlenvltoz.Vizsgljukmeg,hogymiafeltteleannak,hogyazRsrvektorok
prhuzamosak legyenek, azaz r = n s R = r = I n ( ) ( ) , = = A r R
A I n 0(20)
aholegyskalrszm,0azrusvektorsnegyenlreismeretlenegysgvektor.A(15)
szerinttekintettelamsodrendtenzor(9a)alakjraaznvektoraz(AI)tenzor
oszlopvektorairamerleges,vagyismindahromoszlopvektoraznirnyramerleges
skban van, pontosabban, egyiknek sincs n irny vetlete.Teht az (A
I)tenzor biztosan
elfajulsezrta(10)szerintideterminnsa,amiahromoszlopvektorvegyesszorzata,
zrus: ( ) ( ) ( ) ( )( ) (( )k1 k1 p2 p2 q3 q3 kpq3 2kpq k1 p2 q3
kpq k1 p2 q3 k1 p2 q3 k1 p2 q3kpq k1 p2 q3 k1 p2 q3 k1 p2 q3 kpq k1
p2 q3 0 a a a e e e a a a e a a a a a a e a a a.det = = = + + + + +
+A I)= A (2), (5b) s (10) defincikbl kvetkez egyszerstsek utn az A
tenzor karakterisztikus egyenlete 0 A A A III II2I3= + (21) ahol a
polinom egytthati az A tenzor skalr invarinsai. Az els invarins a
ftlban lv elemek sszege, a msodik a ftlhoz tartoz aldeterminnsok
sszege, a harmadik pedig az A determinnsa: (). det a a a e A, ) a a
- a (a ) a a - a (a ) a a - a (aa a e a a e a a e A, a a a a Aq3 p2
k1 kpq III12 21 22 11 13 31 33 11 23 32 33 22p2 k1 3kp q3 k1 k2q q3
p2 1pq II33 22 11 kk 1A = =+ + == + + =+ + = =(22a) 14
___________________________________________________________________________
Azinvarinsmegnevezsarrautal,hogyegytenzornakezekaskalradataiaz(19)
transzformci sorn nem vltoznak. Pldul az els skalr invarins: ( )TI
mm PK Pm Km PK mP Km PK PK KA a A t t A t t A A = = = = =K,
mivelatranszformcismtrixtranszponltjamegegyezikazinverzvel.Hasonlmdon
igazolhat az AII s AIII s a (13) szerinti vektor invarins
tulajdonsga. A (21) polinom 1, 2, s 3 gykei az A tenzor sajtrtkei.
(Ttelezzk fel, hogy az A olyan tulajdonsg, hogy ezek vals szmok.)
Ha a sajtrtkeket rendre visszahelyettestjk az (20) egyenletbe,
akkor az ( ) 3, 2, 1, i , i= = 0 n I Ahomogn lineris egyenletek
megoldsval meghatrozhatjuk a hrom n1, n2, n3 sajtvektort.
Igazolhat, hogy szimmetrikus tenzorok sajtvektorai egymsra
merlegesek. Az ortogonlis
sajtvektorok(egysgvektorok)lehetnekegykoordintarendszerbzisvektorai.Haa
szimmetrikus A tenzort a (19) formulk szerint ebbe a rendszerbe
transzformljuk, akkor ott a mtrixa| |((((
= =321pq q p pq0 00 00 0a, a n n Adiagonl alak lesz. A
szimmetrikus tenzor (22a) skalr invarinsai a sajtrtkekkel kifejezve
a kvetkezk: (). A, A, a A3 2 1 III2 1 1 2 3 2 II3 2 1 kk 1A det = =
+ + = + + = =(22b) 5. Grbevonal koordinta rendszerek
Atregypontjnakhelytazxpkoordintkmellettmgms,clszerenmegvlasztott
szmhrmassalismegadhatjuk.Pldul,hahengerkoordintkhasznlunk:q1asugr,q2a
szgsq3azalkotmentnmrthosszsg.Ttelezzkfel,hogyismerjkazxpDescartes
flesaqkltalnoskoordintkkapcsolattlerxp(qk)fggvnyeketsezekqk(xp)
inverzeit is. Egy tetszleges, de rgztett q1 = a, q2 = b, q3 = c
koordintj P ponton thalad koordinta grbk egy paramteres
vektoregyenletei a kvetkezk: 15
___________________________________________________________________________
( )( )( ). q ) q b, q a, (q, q c) q , q a, (q, q c) q b, q , (q3 3
3 2 12 2 3 2 11 1 3 2 1r rr rr r= = == = == = = E1 E2E3 r
e1e2e3q3q2q1P 3. bra Grbevonal koordintk
APpontbeliloklisgrbevonalkoordintarendszerbzisvektorailegyenekaPponton
tmenkoordintavonalakrintegysgvektorai.Atovbbiakbancsakolyangrbevonal
rendszerekethasznlunk,amelyeknekazilymdonmegszerkesztettbzisvektorai
ortogonlisak. A p-edik (p = 1, 2, 3) koordinta grbe rint vektora
kpkppqxqerg== , (23) aminek a hossza, az abszolt rtke a Hp Lam
tnyez: p pp pH = + = g g g .(24) Az index alhzsa itt arra utal,
hogy a gykjel alatt nem egy sszeg szerepel, a kt p index
nemegynmaindexpr,mertazegyiketkizrtuk.Ezzelazortogonlisgrbevonal
rendszer bzis egysgvektorai a kvetkez mdon hatrozhatk meg.3. 2, 1,
p ,H1ppp= = g e (25)
Abzisegysgvektorokirnyapontrlpontravltozhat.Havalamelyikqpltalnos
koordintaakoordintagrbementnmrtvhossz,akkoramegfelelrintvektor
egysgvektor, azaz gp = ep sHp = 1. 16
___________________________________________________________________________
5.1. A kovarins derivlt
Tenzorsvektormennyisgekhasznlatasorngyakranmegkellhatrozniezekneka
helykoordintkszerintimegvltozst,differenciljt.Lnyeges,hogygrbevonal
koordintarendszerekhasznlataesetnavektorvagytenzordifferenciljanemcsaka
koordintk, hanem a bzis egysgvektor irnyok vltozst is
tartalmazza.Abzisegysgvektoroknakaqkkoordintkszerintiderivltjait,amikszintnvektorok
lesznek, a kvetkez alakban rjuk fel: skpskpq k ps,k psqeeee||.|
\|=||.|
\|||.|
\|=, (26) ahol az als kt index jelli, hogy honnan szrmazik a
derivlt egysgvektor egy fels index irny koordintja.Az r(qk)
helyvektor dr megvltozsa vagy differencilja s s s sssq q Hqd d dsq
d= = =rr g e ,(27) ahol felhasznltuk a (23) s a (25) sszefggseket
is.EzekalapjnszmtsukkiegyF(r)=F(qk)skalrfggvnymegvltozst,amitformlis
talaktsok utn kt vektor skalr szorzataknt rhatunk fel: ( ) ( ) r e
e rrd d d d dddd = ||.|
\|=== = F q HqFH1qHHqFqqF FFs s s kk kskskskkk, ahol ( ) (F)
grad FF= =r dd
azFfggvnygradiensvektorasennekmegfelelenaHamiltonfle,vektorrtk
differencil opertor defincija a kvetkez: k kkq H1= = er dd.(28) A
szimblum neve nabla. A kvetkezkben hatrozzuk meg egy u(r) = u(qk)
vektor mez differenciljt. Az eddigiek alapjn: ( )( ) r D r ue eu u
urruud dd d dddd = == ||.|
\|=== =
q d Hq H1qHHqqqs s s kk kskskskkk, (29) ahol D az u vektor
derivlt tenzora, vagy gradiense, amit tovbb rszletezve: 17
___________________________________________________________________________
( ). Dk stuquH1k stu quH1
k stuquH1 ququH1quH1k t tk k t sktkk t s t stkskk t s skskkkss
skskkks ske e e e e e ee e e eee eeu D=||.|
\|||.|
\|+=||.|
\|||.|
\|+==||.|
\|||.|
\|+=||.|
\|+== =(30)
Aparcilisderivltrasaderivlttenzorkoordintiragyakranhasznljukakvetkez
egyszer jellseket: ,uqu k , t kt= ahol ut,k a parcilis derivlt (a
koordinta s a derivlsi index kztt vessz van),,k stu uH1u D s k , t
kk ; ttk||.|
\|||.|
\|+ = =(31) az ut;k pedig a kovarins derivlt (a koordinta s a
derivlsi index kztt pontosvessz van).
Ltszik,hogyaparcilisderivltsakovarinsderivltkzttiklnbsgabzis
egysgvektorokhelyszerintimegvltozsblszrmazik.Egyenesvonalderkszg
koordinta rendszerben nyilvnvalan ut,k = ut;k . Kt Hamilton opertor
skalris szorzata a Laplace opertor: (((
||.|
\| = = t ttk kkq H1q H1e e .(32) 5.2. Differencilsi szablyok
AHamiltonsaLaplacefledifferencilopertorok(28),(32)alakjainlismt
megmutatkozikazindexesjellshasznlatnakelnye,mivelformlisansztvlika
koordintaamveletiutastssabzisvektor.Avektorokstenzorokkrben
hasznlatosszorzsimveleteketazsszegzsikonvencialapjnmostmraderivlsi
mveletekreiskiterjeszthetjk.Ezekkzlnzznkmegrszletesebbennhny,a
tovbbiakban gyakran elfordul esetet. Az F(qk) skalr fggvny gradiens
vektora 333 222 111k kkFH1FH1FH1qFH1F F, , ,grad e e e e G + + == =
= . (33)
Azu(qk)jobboldaligradienseavektorsadifferencilopertor(8)diadikusszorzata-a
derivlt vagy gradiens tenzor, ami a (30) alapjn: 18
___________________________________________________________________________
( ). uk stu uH1D , DququH1quH1k ; ts k t ktkk t tk kkss skskkks
sk=||.|
\|||.|
\|+ ==||.|
\|+== =,e e eee eeu D (34) A vektor bal oldali gradiense a
derivlt tenzor transzponltja: u = DT. Az u vektor divergencija a
vektor s a differencil opertor skalr szorzata: ( ),k stuquH1
k stuquH1quH1divtk s skkskk t s skskkks sk||.|
\|||.|
\|+== ||.|
\|||.|
\|+= = = = e e e eeu u F . uk sku uH1Fk ; ks k , k k=||.|
\|||.|
\|+ = (35) Az u vektor rotcija a vektor s a differencil opertor
vektor szorzata: ( ), c ek stuquH1ek stu equH1 k stuquH1quH1
p p p tkp sktkp tkp s p skpkskk t s skskkks ske e e ee e e eeu u
c=||.|
\|||.|
\|+=||.|
\|||.|
\|+== ||.|
\|||.|
\|+= = = = rot tkp k ; ttkp sktkpe u ek stuquH1c =||.|
\|||.|
\|+= .(36) Az A tenzor jobb oldali divergencija az opertor s a
tenzor skalr szorzata: ( ), ck qtak staqaH1 k qtak staqaH1qaH1t t
tk s sq qk t sq qk sksqkk t s sq q t sq q sksqkkkq s sqke e e ee e
e e e e e ee eA c=||.|
\|||.|
\|+ ||.|
\|+ == ||.|
\|||.|
\|+||.|
\|+= = = k ; tktq sk k , tk ktak qkak sta aH1c =||.|
\|||.|
\|+||.|
\|+ =. (37) 19
___________________________________________________________________________
Az F(qk) skalr fggvny (32) szerinti msodik derivltja: ( )||.|
\|+||.|
\|== ||.|
\|= = = s ksqFH1H1qFH1q H1
qFH1q H1F F Fs s k s s s ss kk k s se e grad div.(38) 5.3.
Hengerkoordinta rendszer Az elz kt fejezetben trgyalt sszefggseket
rjuk fel a gyakorlatban legtbbszr hasznlt hengerkoordinta
rendszerben. Az ltalnos koordintk legyenek a 4. bra szerinti r
sugr, a szg s a z alkot menti magassg.A Descartes fle s a grbe
vonal koordintk xp(qk) kapcsolata: z qx , r q q x, r q q x3 3 2 1 2
2 1 1= = = = = = sin sin cos cos . E1E2E3 e3e1e2P r z 4. bra Henger
koordintk A (23) rint vektorok: ,zxqx, cos sinxqx, sin cosxqx 3
kkk3k32 1 kkk2k22 1 kkk1k1E E E g E E E E gE E E E g=== + ===+ ===
r rr s a gk vektorok abszolt rtkei, a (24) Lam tnyezk: . 1 H , r H
, 1 H332211= = = = = = g g g 20
___________________________________________________________________________
A (25) bzis egysgvektorok: ,H1 ,H1,H13333 2 1222 2 1111E g e E E g
e E E g e = = + = = + = = cos sin sin
cosAbzisegysgvektorok(26)derivltjai,figyelembevve,hogyazokmostcsakaq2=
koordinta fggvnyei: .2 2kq,2 1kq1 2 1 k222 2 1 k21e E E eee E E ee
= =||.|
\|== + =||.|
\|=sin coscos sin Teht a derivlt bzisvektor koordintk zrustl
klnbz elemei: . 12 21 , 12 12 =||.|
\|=||.|
\|
Akoordintarendszerjellemzinekismeretbenfellehetrniaklnbzmennyisgek
derivltjait. Az F(r, , z) skalr fggvny (33) gradiens vektora z 3 2
r 1 3 2 1 kkkF Fr1FzF Fr1rFFH1F, , , ,e e e e e e e + + =+ += = . A
(34) szerinti = u D derivlt tenzornak auk stu uH1Dk ts k t ktk ;
,=||.|
\|||.|
\|+ =mtrixbl rszletezzk pldul az els sor msodik elem szmtst:
||.|
\| =||.|
\|||.|
\|+ =21s 2 1212uur1 2 s1u uH1D,. Hasonl mdon meghatrozhat a
gradiens tenzor mtrixnak tbbi eleme is: | |((((((((
||.|
\|+ ||.|
\| =zu ur1ruzuuur1ruzuuur1ruD3 3 3212 2121 1tk 21
___________________________________________________________________________
Az u vektor (35) divergencija: 13 2 1k ks k k kur1zu ur1ruuk sku
uH1 ++ += =||.|
\|||.|
\|+ = ; ,ua gradiens tenzor mtrixbl a ftlban lv elemek sszege.
Ez a tenzornak a (22a) szerint az els skalr invarinsa. Az A tenzor
= A cjobb oldali divergencijnak (37) koordinti: k ; tktq sk k , tk
ktak qkak sta aH1c =||.|
\|||.|
\|+||.|
\|+ =, ,1 1 1 k 3kak 2kak 1kak 31ak 21ak 11a aH1k qkak s1a
aH1c11 2213 12 1113 12 11 3k 2k 1k k , 1k k1q sk k , 1k k1arar za
ar ra+ ++==||.|
\|||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+ ==||.|
\|||.|
\|+||.|
\|+ = .1 1,1 1 13133 32 31321 1223 22 212ar za ar racarar za ar
rac+++=+ +++=
Az F(r, , z) skalr fggvny (38) szerinti msodik derivltja: rFr1zF
Fr1rFs ksqFH1H1qFH1q H1F22222 22s s k s s s s++ +=||.|
\|+||.|
\|= . 22
___________________________________________________________________________
6. Ajnlott irodalom Bda Gyula: Kontinuum mechanika I. Tanknyvkiad,
1980. Uj Jzsef: Kontinuum mechanika pldatr I. Tanknyvkiad 1987.
Elter Pln - Vrs Gbor: Alkalmazott mechanika I. Tanknyvkiad
1980.
Lnczos Kornl: A geometriai trfogalom fejldse. Gondolat Knyvkiad
1976. Rzsa Pl: Lineris algebra s alkalmazsai.Mszaki Knyvkiad 1976.
Simmonds, J.G: Tenzoranalzis dihjban. Mszaki Knyvkiad 1985.
