Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Vektorová algebra
Súradnice bodu na priamke a v rovine
0-2
B
-6 -4 1 32 4 5 76 8
A C D
Xy1
x10
y
x
X[x1,y1]
X[x1]
Sústava súradníc v priestorez
M [x1,y1,z1]
y
M´
M
z1
0
x1
x
y1
Vzdialenosť dvoch bodov
Vzdialenosť dvoch bodov A, B sa rovná veľkosti úsečky AB.
Vzdialenosť dvoch bodov na priamke
12 xxAB
0
x1 x2
BA
Vzdialenosť dvoch bodov
Vzdialenosť dvoch bodov v rovine – odvodíme
z Pytagorovej vety
212
2
12
2
12
2
12
2
2
12
2
12
2
12
12
yyxxAB
yyxxAB
yyxxAB
yyBC
xxAC
A
x1 x2 x
y1
y2
y
C
B
0
Vzdialenosť dvoch bodov
Vzdialenosť dvoch bodov v priestore
212
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
zzyyxxAB
zzyyxxAB
y
A´
A
z1
0
x1
x
y1
B
B´
x2
y2
z2
z
Stred úsečky
A
x1 x2 x
y1
y2
y
C
B
0
SAB
xS
yS
𝑆𝐴𝐵 =𝐴 + 𝐵
2
Vektory
Vektory
A
B
Veľkosť vektora
𝑢 = 𝑢12 + 𝑢2
2
𝑢 = 𝑢1
Vektory
𝑢
Príklad: A[5;-8], B[-7;-3].
Pre súradnice opačného vektora platí: −𝑢 = −𝑢1; −𝑢2
−𝑢
Súčet vektorov
𝑢 𝑣
𝑢 + 𝑣
Súradnice súčtu dvoch vektorov:𝑢 ; 𝑣; 𝑤 = 𝑢 + 𝑣• na priamke: 𝑤 = (u1 + v1)• v rovine: 𝑤 = (u1 + v1, u2 + v2)• v priestore: 𝑤 = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
Rozdiel vektorov
𝑢 – 𝑣 = 𝑢 + − 𝑣
Súradnice rozdielu dvoch vektorov:
𝑢 ; 𝑣; 𝑤 = 𝑢 – 𝑣
• na priamke: 𝑤 = (u1 – v1)
• v rovine: 𝑤 = (u1 – v1, u2 – v2)
• v priestore: 𝑤 = (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3)
𝑢
𝑣
− 𝑣
𝑢 − 𝑣
Súčin vektora a čísla
Súčin vektora 𝑢 a čísla k R je vektor 𝑤 rovnobežný s vektorom 𝑢, o ktorom platí:
1. Jeho veľkosť je |k|-krát väčšia ako veľkosť vektora 𝑢.
2. Jeho súradnice sú:◦ Ak 𝑢 je vektor na priamke: 𝑤 = (k.u1)
◦ Ak 𝑢 je vektor v rovine: 𝑤 = (k.u1; k.u2)
◦ Ak 𝑢 je vektor v priestore: 𝑤 = (k.u1; k.u2 ; k.u3)
𝑤 = 𝑘 ∙ 𝑢
Uhol dvoch vektorov
𝑢
Nech sú dané dva vektory 𝑢 a 𝑣. Uhlom týchto dvoch vektorov nazývame uhol, ktorý zvierajú orientované úsečky týchto vektorov umiestnené do jedného bodu.
Veľkosť uhla vektorov 𝑢 a 𝑣vypočítame podľa vzorca:
cos𝜑 =𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2
𝑢 ∙ 𝑣
𝑣
Skalárny súčin dvoch vektorov
Skalárny súčin dvoch vektorov 𝑢, 𝑣 je reálne číslo 𝑢 ∙ 𝑣, ktoré vypočítame:
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ cos𝜑
Nech 𝑢 = (u1, u2), 𝑣 = (v1, v2) sú vektory v rovine. Potom skalárny súčin vyjadríme v tvare:
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2
Platí, že dva vektory sú na seba kolmé práve vtedy, ak sa ich skalárny súčin rovná nule.
Teda: 𝑢 𝑣 ⇔ 𝑢 ∙ 𝑣
Vektorový súčin dvoch vektorov
sa dá vyjadriť a počítať iba v trojrozmernom priestore,
výsledkom vektorového súčinu je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu) a vypočítame ho:
𝑢 × 𝑣 = (u2v3 – v2 u3; u3v1 – v3u1; u1v2 – v1u2)
Nech 𝑢 × 𝑣 = 𝑤. Potom:
1. 𝑤 𝑢 𝑤 𝑣
2. |𝑢 × 𝑣| =|𝑢| . | 𝑣| . sin φ
3. vektory 𝑢; 𝑣;𝑤 tvoria pravotočivú sústavu