Verovatnoća i statistika

UNIVERZITET SINGIDUNUM

*

*Autor:

Recenzenti:

UNIVERZITET SINGIDUNUM

Godina izdanja:

tampa:

PREDGOVOR

Ovaj udbenik predstavlja osnovni, jednosemestralni kurs, za studente koji se

po prvi put sreu sa verovatnoom i matematikom statistikom. Posveena je studentima informatike i raunarstva, pa je udbenik pisan bez strogih matema-tikih dokaza, kako bi se itaoci upoznali sa osnovnim pojmovima teorije i prakse, prihvatili ih i osposobili se da ih primene u struci.

Beograd, avgust 2011. Autor

SIMBOLI - upotreba grke azbuke

-( mi) oznaka za matematiko oekivanje sluajne promenljive -(sigma) oznaka za standardno odstupanje sluajne promenljive

2 -(sigma) oznaka za disperziju sluajne promenljive -(fi) oznaka za funkciju raspodele normalne sluajne promenljive -(lambda) oznaka za parametar Poasonove raspodele -(epsilon) oznaka za mali pozitivan broj -(veliko sigma) oznaka za zbir

SADRAJ

Predgovor IIIUvod 1

1. VEROVATNOA 7

1.1.SLUAJNIEKSPERIMENTIISLUAJNIDOGAAJI 81.2.ALGEBRADOGAAJA 91.3.AKSIOMETEORIJEVEROVATNOE 10 1.3.1.AKSIOME 11 1.3.2.VANETEOREME 111.4.STATISTIKADEFINICIJAVEROVATNOE 121.5.KLASINADEFNICIJAVEROVATNOE 131.6.VEROVATNOAZBIRADOGAAJA 161.7.VANIOBRASCI 181.8.ZADACI 18

2.USLOVNAVEROVATNOAINEZAVISNOST 33

2.1.USLOVNAVEROVATNOA 332.2.VEROVATNOAPROIZVODADOGAAJANEZAVISNI

IZAVISNIDOGAAJI 352.3.TOTALNAVEROVATNOA 372.4.BAJESOVAFORMULA 392.5.VANIOBRASCI 402.6.ZADACI 41

3.SLUAJNEPROMENLJIVEFUNKCIJARASPODELE 49

3.1.DISKRETNASLUAJNAPROMENLJIVA 503.2.FUNKCIJARASPODELE 513.3.NEPREKIDNASLUAJNAPROMENLJIVA 543.5.VANIOBRASCI 583.6.ZADACI 58

4.PARAMETRIILIBROJNEKARAKTERISTIKESLUAJNIHPROMENLJIVIH 65

4.1. PARAMETRIKOJIREPREZENTUJUCENTARRASTURANJA 654.2. PARAMETRIKOJIMERERASTURANJESLUAJNE

PROMENLJIVEOKOCENTRARASTURANJA 694.3. VANIOBRASCI 734.4.ZADACI 74

5.RASPODELESLUAJNIHPROMENLJIVIH 815.1.BERNULIJEVIEKSPERIMENTIBINOMNARASPODELA 815.2.POASONOVARASPODELA 855.3.APROKSIMACIJEBINOMNERASPODELEPOASONOVOM 865.4.NORMALNAGAUSOVARASPODELA 885.5.APROKSIMACIJEBINOMNERASPODELENORMALNOM 95

5.6. 2 RASPODELA 975.7.STUDENTOVARASPODELA 985.8.VANIOBRASCI 1025.9.ZADACI 104

6.GRANINETEOREME 1216.1.ZAKONVELIKIHBROJEVA 1216.2.CENTRALNAGRANINATEOREMA 122

7.MATEMATIKASTATISTIKA 125

7.1.OSNOVNIPOJMOVISTATISTIKE 125 7.2.STATISTIKETABELE,POLIGONIIHISTOGRAMI EMPIRISKERASPODELEOBELEJA 129

7.3.PARAMETRISTATISTIKESLUAJNIH STATISTIKIHPROMENLJIVIH 1337.3.1. PARAMETRIKOJIREPREZENTUJUCENTAR

RASTURANJASREDNJEVREDNOSTI 133 7.3.2. PARAMETRIKOJIMERERASTURANJESLUAJNE

PROMENLJIVEOKOCENTRARASTURANJA 1377.4.RASPODELEPARAMETARASTATISTIKAUZORKA 140

7.4.1.RASPODELAARITMETIKIHSREDINAUZORKA 1407.5.VANIOBRASCI 1427.6.ZADACI 144

8.OCENJIVANJEPARAMETARARASPODELE 1578.1.TAKASTEOCENE 160

8.1.1.TAKASTEOCENEMATEMATIKOGOEKIVANJA 1618.1.2.TAKASTEOCENEVARIJANSE 1618.1.3.TAKASTEOCENEVEROVATNOE 162

8.2.INTERVALIPOVERENJA 1638.2.1.INTERVALPOVERENJAZAMATEMATIKO

OEKIVANJE KADAJEPOZNATADISPERZIJA 2 1648.2.2.INTERVALPOVERENJAZAMATEMATIKO

OEKIVANJE KADAJENEPOZNATADISPERZIJA 2 1678.2.3.INTERVALPOVERENJAZANEPOZNATUDISPERZIJU 2 1698.2.4.INTERVALPOVERENJAZAVEROVATNOUp BINOMNERASPODELE 171

8.3.VANIOBRASCI 1738.4.ZADACI 174

9.TESTIRANJEHIPOTEZA 185

9.1TESTIRANJEPARAMETERSKIHHIPOTEZA 1859.2.GREKETESTIRANJAHIPOTEZA 188

9.3.TESTIRANJEHIPOTEZE ( )0 0H = AKOSLUAJNAPROMENLJIVAIMANORMALNURASPODELU,A JEPOZNATO1909.4.TESTIRANJEHIPOTEZE ( )0 0H = AKOSLUAJNAPROMENLJIVAIMANORMALNURASPODELU,A JENEPOZNATO1949.5.VANIOBRASCI 1959.6.ZADACI 196

INDEKSPOJMOVA 205LITERATURA 207TABLICE 209

UVOD

Teorija verovatnoe je matematika disciplina koja izuava zakonitosti sluajnih pojava.

Prvi problemi koji pripadaju verovatnoi potiu iz 10 i 11 veka i odnose se na rezultate pri bacanju kocke i drugih hazardnih igara. Raanje teorije verovatnoe vezano je za imena Bleza Paskala (1623-1662), Pjera de Ferma (1601-1665) i Kristijana Hajgensa (1629-1695). Izmeu Paskala i Ferma poela je 1654. godine prepiska o nizu problema, meu kojima je bio i zadatak o podeli uloga prilikom prekida kockarske igre. Naime Paskalu se obratio njegov prijatelj kockar sa sledeim problemom: Dva igraa A i B se dogovore da itav ulog pripadne onom koji prvi dobije tri igre. Kada je igra A dobio 2 igre, a igra B jednu morali su da prekinu igru. Postavlja se pitanje kako da podele ulog? Paskal je odgovorio 3:1. Ovaj zanimljivi primer se esto uzima kao poetak nastanka verovatnoe.

Prvu knjigu iz verovatnoe O raunu u hazardnim igrama napisao je Hajgens 1657g. i istakao je da je knjiga manje o hazardnim igrama, a vie o osnovama jedne nove teorije. U njoj Hajgens po prvi put spominje pojmove kao to su matematiko oekivanje, sluajne promenljive i sl.

Period formiranja verovatnoe kao nauke zapoinje pojavom knjige vajcarskog matematiara Jakoba Bernulija (1654-1705) Vetina predvianja. U ovoj knjizi je strogo definisana prva granina teorema, zakon velikih brojeva, koja se danas naziva i

Bernulijeva teorema. Ona utvruje da je verovatnoa veih odstupanja frekvencije mn

od verovatnoe p mala, ako je samo n dovoljno veliko. Eksperimenti koji se bave bacanjem novia potvrdli su Bernulijevu teoremu. Bufon je bacio novi 4040 puta i 2060 puta je dobio grb. Pirson je 12 000 puta bacio novi i dobio 6019 puta grb, a kada ga je bacio 24 000 puta dobio je 12 012 puta. Frekvencije pojave grba u ovim eksperimentima su 0,5100, 0,5016 i 0,5005.

Poetak 18 veka obeleen je radovima Abrahama de Muavra (1667-1754). U radu Uenje o sluajevima on razmatra niz pitanja koja su vezana za Bernulijevu

teoremu. Razmatrao je pitanje, sa kakvim verovatnoama odstupanja frkvencije mn

od

verovatnoe p mogu da uzmu razliite vrednosti.

1

Pjer Laplas (1749-1827) proirio je Muavrovu teoremu. U knjizi Analitika teorija verovatnoa definie pravilo koje se smatra klasinom definicijom verovatnoe. Sumirajui svoje radove i radove svojih predhodnika produbio je matematike i filozofske probleme vezane za verovatnou.

Nemaki matematiar Karl Gaus (1777-1855) daje normalni zakon raspodele sluajnih greaka, zatim ocenu parametara normalne raspodele, metod najmanjih kvadrata i sl. Njegovi rezultati iz teorije greaka i sada se, bez izmena, nalaze u matematikim udbenicima.

Svakako treba spomenuti i mnoge druge matematiare koji su se bavili ovom oblau i ostavili veliki doprinos i to: T. Bajes (1702-1763), L. Ojler (1707-1788), Puason (1781-1840) i dr.

U drugoj polovini 19 veka u Zapadnoj Evropi dolazi do zastoja u razvoju teorije verovatnoe. Meutim, u Rusiji mnogi veliki matematiari ozbilnjo se bave ovom disciplinom i to prvo Bunjakovski i Ostrogradski, a pod nihovim uticajem Pafnuti ebiev (1821-1894) koji je uneo nove ideje u teoriju verovatnoe. Njegovi najznaajniji sledbenici su bili Andrej Markov (1856-1922) i Aleksandar Ljapunov (1858-1918). Za ime Markova vezani su lanci Markova, to jest nizovi sluajnih promenljivih povezanih tako da verovatnoa realizacije jednog eksperimenta uzima odreenu vrednost ako je poznat rezultat predhodnog eksperimenta. Poseban doprinos dao je Ljapunov. Definisao je teoremu koja je dobila naziv centralna granina teorema. Zahvaljujui uspehu ruskih matematiara postepeno se tokom 20 veka povratio interes za verovatnou u Evropi i Americi.

Primene verovatnoe postavile su zahtev za preciziranjem njene logike osnove, odnosno definisanjem aksiomatskog metoda koji je ve bio uveden u mnoge druge matematike discipline. Prvu aksiomatiku verovatnoe dao je Bertajn 1917.godine, a zatim ju je proirio Andrej Kolmogorov 1933. godine.

I danas su mnogima najinteresantniji kockarski aspekti primene teorije verovatnoe. Povremeno se uje kako je neki genijalan matematiar doveo kazino na rub propasti, jer je naao sistem koji sigurno dobija.

Mnogo znaajnije od kockarskih problema je to da je verovatnoa danas sastavni deo nauke i tehnike. Sa verovatnoom kao matematikim modelom, praktini problemi transformiu se u teorijske i tako e jednostavnije i lake reavaju.

2

Zapravo, veliki interes za verovatnou i statistiku poeo je posle drugog svetskog rata. Nauni interes usmeren je u vie pravaca. Jedni produbljuju klasine granine teoreme, drugi se posveuju primenama u razliitim oblastima, trei razrauju nove oblasti. Jedna izuzetno znaajna nova oblast je teorija sluajnih procesa koju je zasnovao Kolmogorov. Od posebnog praktinog znaaja su procesi Markova koji se primenjuju u problemima masovnog opsluivanja (telefonija, saobraaj, trgovina). Metodi simulacije (Monte Karlo metodi) koristei se raunarima, koriste se u najrazliitijim oblastima. Zahvaljujui razvoju teorije verovatnoe nastale su i nove matematike discipline:

teorija masovnog opsluivanja, teorija informacija, teorija pouzdanosti tehnikih sistema, teorija zaliha. Ostaje nerazjanjena dilema da li su zakoni prirode deterministiki, ili mi vidimo

sluajnost samo zato to ne umemo da prouimo brojne uzrono posledine veze, ili ona stvarno postoji u prirodi. Laplas zastupa strogi determinizam i smatra da poznavanje parametara koji definiu stanje kosmosa omoguio bi tano predvianje rezultata svakog sluajnog eksperimenta. Dogaaji bi se delili samo na nemogue i sigurne. Meutim, jedno je sigurno, da sluajne pojave postoje, imaju svoje zakonitosti i njima se bavi teorija verovatnoe.

Re statistika potie od latinske rei status , tako da bi statistika bila opisivanje

stanja. U 17-om veku su se pojavile dve velike statistike kole, nemaka i engleska. Po nemakoj koli zadatak statistike je sistematizacija podataka o stanovnitvu i

privredi u cilju voenja dravne politike, bez naglaska na otkrivanje zakonitosti. Zadatak statistike se uglavnom zasnivao na opisu, pa je kasnije ovaj pravac nazvan jo i deskriptivna kola ili dravopis.

Engleska kola istakla je zahtev za matematikom obradom statistikih podataka i za otkrivanjem zakonitosti u ponaanju posmatranih pojava to je doprinelo brem razvoju savremene statistike. Postigli su znaajne rezultate u istraivanju odnosa demografskih, sociolokih i ekonomskih pojava.

3

Matematika statistika kao nauna disciplina je poela da se razvija tek nedavno. Tek poetkom 20 veka pojavile su se prve tane formulacije osnova matematike statistike. Savremena statistika metodologija vezana je za imena amerikanaca Nejmana i Volda. Zahvaljujui njihovim radovima razvile su se tri oblasti:

teorija estimacije (ocene), teorija provere (verifikacije) statistiih hipoteza, teorija planiranja eksperimenta. Teorija estimacije se sastoji u konstruisanju metoda za ocenu vrednosti jednog ili

vie parametara zakona raspodele verovatnoa sluajnih promenljivih. Njen tvorac je Nejman.

Osnovni zadatak teorija provere (verifikacije) statistikih hipoteza je u odreivanju pravila ili kriterijuma na osnovu kog se pomou eksperimentalnih vrednosti sluajnih promenljivih moe reiti, da li prihvatiti ili odbaciti predloenu hipotezu.

Trea, najmlaa oblast statistike je teorija planiranja eksperimenta. Praksa je pokazala da bitnu ulogu u primeni statistike igra sama ema eksperimenta, jer u zavisnosti od nje moe da se dobije nepotpuna ili potpunija i kvalitetnija informacija. Unapred je utvren broj posmatranja na osnovu kojih se izvode statistiki zakljuci. Nova metoda koju je zasnovao A. Vold, takozvana sekvencijalana metoda , odlikuje se time to broj posmatranja nije stalna veliina, unapred zadata, nego je sluajnog karaktera.

Matematika statistika je savremeno orue inenjera, ekonomista, lekara, biologa i drugih. Na poetku veka na prste jedne ruke mogle su se nabrojati oblasti ljudskog istraivanja koje su koristile teoriju verovatnoe i matematiku statistiku. U nae vreme situacija je potpuno obrnuta.

Statistika je svuda oko nas, na primer, bez nje se ne moe predstaviti novi proizvod jer se za njega trai procena uspenosti. Pomou statistike pokazuje se otprilike koji mesec ili nedelja su bili najproduktivniji i po tim podacima se odluuje u kom pravcu dalje raditi.

Statistika je korisna u predvianju budunosti, jer nema boljeg naina da se odredi koliko vremena, resursa, napora, novca i sl. treba upotrebiti da bi se realizovao neki

4

projekat. Poto se to ne moe tano unapred predvideti, na osnovu iskustava, prakse, odnosno koristei statistike metode donose se zakljuci.

U teoriji verovatnoe izuavaju se matematiki modeli stvarnih pojava, dok se u statistici, metodom sluajnog uzorka, uspostavlja veza izmeu stvarnih pojava i odgovarajuih modela. Statistika je blia realnosti od verovatnoe.

ebiev je u polu aljivoj formi istoriju matematike podelio na tri perioda: u prvom su zadatke postavljali bogovi (delfski problem udvajanja kocke,

kvadratura kruga, trisekcija ugla i td.), u drugom su zadatke postavljali polubogovi (Paskal, Ferma i dr), u treem zadatke postavljalja praksa.

5

1. VEROVATNOA

Neke od pojava koje se dogaaju oko nas moemo da predvidimo, objasnimo i

kontroliemo poto poznajemo zakonitosti njihovog nastanka. Tako na primer, moemo da predvidimo pomraenje sunca i meseca, pojavu plime i oseke, elektriciteta i sl.

Nasuprot tome postoje pojave ije uzroke nismo u stanju da odredimo, pa takve pojave ne moemo u potpunosti da predvidimo i objasnimo. Tu spadaju na primer, meteroloke pojave, pojava zemljotresa, ali i dobitak na lutriji, sportskoj prognozi i sl. To su pojave, dogaaji, koji se ne moraju nuno dogoditi, ali nisu ni nemogui. Takve i sline dogaaje prouava teorija verovatnoe.

Da bismo bolje objasnili ime se bavi teorija verovatnoe posmatrajmo sledei primer.

Prilikom bacanja novia moe da padne pismo ili grb i obe mogunosti su jednako verovatne. Ako novi bacamo vie puta onda oekujemo da se broj grbova nee mnogo razlikovati od broja pisama. Kod malog broja bacanja to ne mora da se dogodi, ali pri velikom broju bacanja to e u velikoj meri biti ispunjeno. Izvreni su sledei eksperimenti: Bufon je bacio novi 4040 puta i 2060 puta je dobio grb, Pirson je 12 000 puta bacio novi i dobio 6019 puta grb, a kada ga je bacio 24 000 puta dobio ga je 12 012 puta. Frekvencije pojave grba u ovim eksperimentima su 0,5100; 0,5016 i 0,5005. Vidimo da veliki broj ponavljanja eksperimenta izraava neku zakonitost u pogledu broja grbova.

Kod ovog i slinih primera moemo uoiti da pri pojedinanim posmatranjima dogaaji se realizuju bez ikakvog reda, po istoj sluajnosti, bez mogunosti predvianja. Tako, kada bacamo dinar mi ne znamo da li e pasti pismo ili glava. Ali pri velikom broju ponavljanja uoene pojave, moemo da uoimo neke zakonitosti. Takvim zakonitostima se bavi teorija verovatnoe. Ove zakonitosti su drugaijeg tipa od onih na koje smo navikli, je se one uoavaju tek pri velikom broju ponavljanja uoene pojave, odnosno ponavljanja eksperimenta.

Osnovna dilema sa kojom se sreu matematiari i filozofi nauke, je da li su zakoni prirode sutinski deterministiki, i pri emu se sluajnost javlja samo kao nemogunost poznavanja realnosti, odnosno brojnih uzrono-posledinih veza u realnosti, ili sluajnost objektivno postoji kao suprotnost determinisanosti.

7

1.1. SLUAJNI EKSPERIMENTI I SLUAJNI DOGAAJI Eksperimentima se u nauci prikupljaju podaci koji se zatim obrauju i dobijeni

rezultati koriste u praksi ili za dokazivanje novih teorija. Meutim, kod nekih eksperimenata nismo u mogunosti da tano odredimo i kontroliemo vrednosti dobijenih rezultata, odnosno ti rezultati ne mogu pouzdano da se predvide.

Takvi eksperimenti su predmet izuavanja verovatnoe i nazivaju se sluajni

eksperimenti.

Primer: Bacamo novi. Ovaj eksperiment moemo ponavljati proizvoljno mnogo puta, a mogui ishodi ovog su grb i pismo. Primer: Rezultat eksperimenta koji se sastoji u bacanju kocke su brojne vrednosti koje pripadaju sledeem skupu { }1,2,3,4,5,6 .

Teorija verovatnoe za svoja istraivanja koristi idealni eksperiment koji moe da

se, ponavlja proizvoljan broj puta pod istim uslovima, svi njegovi ishodi su unapred definisani, ishod pojedinog eksperimenta nije unapred poznat. Sluajni eksperimenti nazivaju se jo i statistiki ili stohastiki eksperimeni. Ishod sluajnog eksperimenta je sluajan dogaaj.

Primer: Pol deteta ili pojava grba pri bacanju novia su sluajni dogaaji.

Sluajni dogaaji mogu da budu elementarni, koji ne mogu da se redukuju na

jednostavnije i sloeni koji mogu da se dalje redukuju na elementarne dogaaje.

8

Kao polazna osnova za prouavanje sluajnih dogaaja je odreivanje skupa (prostora) elementarnih dogaaja.

Svaki mogui ishod eksperimenta naziva se elementaran dogaaj i obeleava sa . Skup svih elementarnih dogaaja, odnosno skup svih ishoda eksperimenta zove se

i prostor elementarnih dogaaja, a obeleava se sa { }1 2, , , n = K . Svaki podskup skupa naziva se dogaaj. Dogaaji se obeleavaju velikim

slovima A,B,C... Dogaaj koji se pojavljuje prilikom svake realizacije eksperimenta je sigurnan

dogaaj. Skup svih elementarnih dogaaja je siguran dogaaj . Dogaaj koji se nikada ne moe pojaviti pri realizaciji eksperimenta zove se

nemogu dogaaj. Nemogu dogaaj se obeleava kao prazan skup . Ako su 1 2, , , nA A AK sluajni dogaaji takvi da je 1 2 nA A A+ + + = K i da se

svaka dva dogaaja iskljuuju, tj. [ ]; , 1,i jA A i j n= , tada ovi dogaaji ine potpuni sistem dogaaja.

Primer: U eksperimentu bacanja jednog novia ishodi su G i P ( glava ili pismo ). Dakle

{ },G P = . Primer: U eksperimentu bacanja kocke ishodi su 1,2,3,4,5,6. Dakle { }1, 2,3, 4,5,6 = . Dogaaj da padne paran broj ima ishode { }2,4,6A = . Primer: Dogaaj da kada bacamo kocku za igru padne bilo koji broj od jedan do est je siguran dogaaj, a da padne broj 7, je nemogu dogaaj.

1.2. ALGEBRA DOGAAJA Poto se dogaaji definiu kao podskupovi skupa elementarnih dogaaja ,

mogue je veze izmeu dogaaja izraziti pomou odgovarajuih skupovnih realcija i operacija.

9

Ako su A i B dogaaji, tada: dogaaj A ili B oznaavamo sa A B A B= +U , dogaaj A i B oznaavamo sa A B AB=I , dogaaj A ali ne B oznaavamo sa \A B , suprotan dogaaj dogaaju A obeleavamo sa A ili A , gde se komplement

posmatra u odnosu na . Ako dogaaj A povlai ( implicira ) dogaaj B, tada kaemo da je A B . Ako za dogaaje A i B vai da je A B i B A , tada kaemo da su

dogaaji A i B jednaki i piemo A B= .

Primer: Dogaaj A da se na gornjoj strani kocke pojavi broj pet, odnosno dogaaj B da se pojavi paran broj, su dogaaji koji se iskljuuju, odnosno disjunktni su. Primer: Zbir dogaaja A, koji se sastoji da se na kocki pojavi broj vei od tri ili dogaaja B, koji se sastoji u pojavi parnog broja, je dogaaj koji se sastoji u pojavi brojeva 2,4,5 ili 6, odnosno

{ } { } { }4,5,6 2,4,6 2,4,5,6A B = =U U Primer: Proizvod dogaaja koji se sastoji u pojavi parnog broja na gornjoj strani kocke i dogaaja da se pojavi broj vei od tri je { } { } { }2,4,6 4,5,6 4,6=I .

1.3. AKSIOME TEORIJE VEROVATNOE Osnovni zadatak teorije verovatnoe jeste odreivanje metoda i pravila za

izraunavanje verovatnoa sluajnih dogaaja. Teorija verovatnoe je strogo matematiki formalizovana i zasniva se na aksiomama i teoremama koje proistiu iz njih.

10

1.3.1.AKSIOME Ako je skup svih elementarnih dogaaja i neka su dogaaji ,A B .

Funkcija P naziva se verovatnoom na skupu , ako vae sledee aksiome: 1. ( ) 1P = , 2. ( )0 1,P A 3. Ako se dogaaji A i B meusobno iskljuuju onda vai ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + . Uopteno moemo rei da je ( ) ( )i

iP A P A= , ako se dogaaj A razlae na n

konanih ili prebrojivo mnogo dogaaja koji se meusobno iskljuuju. Verovatnoa je dakle funkcija, preslikavanje, oblika, [ ]: 0,1P skup dogaaja . Drugim reima, ova funkcija dogaaje iz skupa svih dogaaja preslikava u interval

[ ]0,1 realne ose. Napomena: Oznaka P za verovatnou potie od poetnog slova latinske rei

probalilitas, sto znai verovatnoa. 1.3.2.VANETEOREMETeorema: Ako dogaaji iA ine potpuni sistem, odnosno vai

1 2 nA A A+ + + = K , onda je ( ) ( )

11

n

ii

P A P A=

= = . Dokaz: Dokaz direktno sledi iz aksiome 3 Teorema: Verovatnoa dogaaja A koji je suprotan ( komplementaran)

dogaaju A iznosi ( ) ( )1P A P A= .

11

Dokaz: Kako je A A+ = , pri emu se dogaaji A i A iskljuuju, a ( ) 1P = ,

dobijamo da je ( ) ( ) ( ) ( ) 1P A A P A P A P+ = + = = , odakle sledi ( ) ( )1P A P A= . Teorema: Verovatnoa nemogueg dogaaja je 0. Dokaz: Kako je = , na osnovu predhodne teoreme sledi ( ) ( )1 1 1 0P P = = = . Teorema: Ako je A B , onda je ( ) ( )P A P B . Dokaz: Ako je A B , onda je ( )\B A B A= U , odnosno poto se dogaaji A i \B A

iskljuuju ( ) ( ) ( )\P B P A P B A= + , odakle sledi ( ) ( ) ( )\ 0P B A P B P A= , ime je teorema dokazana.

B

A

\B A

1.4. STATISTIKA DEFINICIJA VEROVATNOE Verovatnoa sluajnog dogaaja je numerika mera objektivne mogunosti

ostvarivanja tog dogaaja. Do pojma verovatnoe moe se doi i iskustveno (empirijski) korienjem pojma relativne frekvence.

Pretpostavimo da se eksperiment u kome se moe realizovati dogaaj A ponavlja n puta. Neka je broj m broj povoljnih realizacija dogaaja A u n ponavljanja ekspe-rimenta.

12

Broj mrn

= predstavlja relativnu uestalost (frekvencu) pojave dogaaja A u n ponavljanja eksperimenta. U nekoj drugoj seriji od n ponavljanja istog eksperimenta dobiece se 1m realizacija dogaaja i neki drugi broj koji predstavlja frekvenciju

11mrn

= . Ako bi nastavili sa ponavljanjem eksperimenta dobili bi niz razliitih vrednosti

koje se u velikim serijama, kada je broj ponavljanja eksperimenta neogranieno veliki, grupiu oko nekog broja ( )P A koji nazivamo i statistika definicija verovatnoe

( ) limn

mP An

= .

Primer: Izvrene su 3 serije bacanja kocke od 600, 6 000, 60 000 puta. Broj 2 se u tim bacanjima pojavio 106, 982, 10 190 puta, tako da relativne frekvence iznose 0,18; 0,164; 0,170.

Ove relativne frekvence pojavljivanja broja 2 grupiu se oko broja 1 0,166...6=

Naravno i intuitivno je jasno da e se svaki broj sa kocke pojaviti podjednak broj puta. Ova definicija ukazuje na tesnu povezanost sa realnou, ali nedostatak joj je zato

to granini proces kojim je data definicija nije jasno definisan. I pored svih nedostataka ova definicija omoguava da se definie verovatnoa na konanom skupu elementarnih dogaaja.

1.5. KLASINA DEFNICIJA VEROVATNOE Klasinu definiciju verovatnoe dao je markiz P. Laplas ( 1749-1827 ), francuski

matematiar i astronom. Definicija se odnosi samo na one sluajne eksperimente kod kojih je skup

elementarnih dogaaja konaan, a dogaaji su jednako verovatni. Tipian ovakav eksperiment je bacanje novia. Skup elementarnih dogaaja je

dvolani skup {glava, pismo}, a oba dogaaja su jednako verovatna, jer kada bacamo novi obe opcije su ravnopravne.

13

Definicija: Neka skup sadri n elementarnih dogaaja koji su disjunktni i jednako

mogui. Ako je (0 )m m n , broj svih povoljnih ishoda dogaaja A, onda je verovatnoa ( )P A jednaka

( ) mP An

= ,

Primer: Kolika je verovatnoa dogaaja A da prilikom bacanja novia padne glava?

( ) 12

P A = . Primer: Kolika je verovatnoa dogaaja A da prilikom bacanja kocke za igru pojavi se paran broj?

( ) 36

P A = . Klasina definicija verovatnoe se naziva i definicija apriori. Primenljiva je kao to

smo ve naglasili samo u sluaju kada je konaan skup, a svi ishodi imaju jednaku verovatnou. Jednakost verovatnoa pojavljuje se samo u malom broju sluajeva, kao to su primeri bacanja novia ili kocke. To najee nije sluaj u primenama, statistici, biologiji, ekonomiji i sl. Nema smisla oekivati jednakost verovatnoa. ak ni raenje deaka i devojice nisu dva jednako verovatna dogaaja. Ipak i pored svojih nedostataka ova definicija je imala izuzetan znaaj jer je dovela do nastanka drugih, preciznijih definicija verovatnoe.

Napomena: U eksperimentima iji su ishodi jednako verovatni, ishode je potrebno

prebrojati, pa se u ovim zadacima koristi kombinatorika.Podsetimo se nekih osnovnih pojmova i obrazaca.

Neka je dat skup { }1 2, , , nA a a a= L . Broj permutacija skupa od n elemenata, bez ponavljanja, iznosi

( ) ( )1 2 1 !P n n n n= =L 14

Broj permutacija sa ponavljanjem, skupa od n elemenata, meu kojima ima

1 2, , , mk k kK jednakih iznosi ( )1 2, ,1 2

!! ! !mk k k m

nP nk k k

=K K . Varijacijak klase od n elemenata je bilo koja k -torka razliitih elemenata skupa

A . Broj varijacija iznosi ( ) ( )1 1nkV n n n k= +L . Varijacija sa ponavljanem k klase od n elemenata je bilo koja k -torka elemenata

skupa A . Broj varijacija iznosi n kkV n= . Kombijacija klase od k elemenata je bilo koja k -torka razliitih elemenata skupa

A , bez obzira na redosled elemenata.

Broj kombinacija iznosi ( ) ( )1 1

! !

nn kk

n n n n kVCkk k

+ = = = L

.

Izraz nk ita se n nad.

Kombijacija sa ponavljenjem k klase od n elemenata je bilo koja k -torka elemenata skupa A

Broj kombinacija iznosi 1n

k

n kC

k+ = .

Primer: Od 10 istovetnih proizvoda jedne fabrike 7 je ispravnih, a ostali su neispravni. Nasumice se bira 5 proizvoda. Kolika je verovatnoa da e meu izvuenim proizvodima biti 3 ispravna?

( ) 7 33 2105

7 33 2 10510 2525

C CP AC

= = = .

Primer: Kocka se baca 3 puta. Kolika je verovatnoa da se bar jednom pojavi broj 6?

15

Izraunaemo prvo verovatnou suprotnog dogaaja, da se ne pojavi broj 6.

( )( ) ( )

5 336 3

3

5 1256 216

125 911 1216 216

VP AV

P A P A

= = =

= = =

1.6. VEROVATNOA ZBIRA DOGAAJA Definicija Neka je dat skup i dogaaji ,A B . Ako se dogaaji meusobno iskljuuju,

tj. A B = I , onda je verovatnoa zbira dogaaja ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +

Za konano mnogo dogaaja vai formula

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21

n

n n ii

P A A A P A P A P A P A=

+ + + = + + + = K K

Primer: U kutiji se nalazi 100 cedulja na kojima su ispisani prirodni brojevi od 1 do 100. Izvlaimo jednu cedulju. Kolika je verovatnoa da je broj koji smo izvukli deljiv sa 2 ili deljiv sa 15 ili deljiv sa 29? Ako sa A, B, C oznaimo ove dogaaje, onda je njihova verovatnoa

( ) ( ) ( ) ( ) 5 0 6 3 5 91 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

P A B C P A P B P C+ + = + + = + + = . Teorema: Ako se dogaaji A i B meusobno ne iskljuuju, tj. A B I , onda je

verovatnoa zbira dogaaja ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB+ = +

Dokaz: Dogaaj A B+ moe se prikazati kao zbir dogaaja A i ( )\B A BI , pri emu se

ovi dogaaji iskljuuju.

16

B

A

\B AABI

Zato je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )\P A B P A P B AB P A P B P AB+ = + = +

Na osnovu ove formule mogu se izvesti i formule za zbir vie od dva dogaaja koji

se ne iskljuuju. Za tri dogaaja imamo formulu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC+ + = + + +

B

A

ABI

C

A CI BCI

A B CI I

Primer: Bacamo kocku. Kolika je verovatnoa da dobijemo broj koji je deljiv sa 2 ili sa 3? Neka je A dogaaj da je dobijeni broj deljiv sa 2, a B dogaaj da je deljiv sa 3. Dogaaji A i B se ne iskljuuju, jer postoji broj 6 koji je deljiv i sa 2 i sa 3.

Kako je ( ) ( ) ( )3 2 1, ,6 6 6

P A P B P AB= = = , dobijamo

( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 26 6 6 3

P A B P A P B P AB+ = + = + = .

17

VANI OBRASCI

Klasina definicija verovatnoe

( ) mP An

= Verovatnoa zbira dogaaja koji se iskljuuju

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21

n

n n ii

P A A A P A P A P A P A=

+ + + = + + + = K K Verovatnoa zbira dogaaja koji se ne iskljuuju

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )\P A B P A P B AB P A P B P AB+ = + = +

1.8. ZADACI 1. Odrediti suprotne dogaaje dogaajima:

A- pojava dva grba pri bacanju 2 dinara, B- pojava bele kuglice prilikom izvlaenja jedne kuglice iz kutije u kojoj se nalaze

2 bele, 3 crne i 4 crvene kuglice, C- tri pogotka u tri gaanja, D- makar jedan pogodak u pet gaanja, E- ne vie od dva pogotka u pet gaanja.

Reenje: A - pojava bar jednog pisma, B - pojava crne ili crvene, C - bar jedan promaaj, D - svih pet promaaja, E - vie od dva pogotka.

2. U prodavnici se nalaze sijalice iz dve fabrike. Dogaaj da je sluajno izabrana

sijalica iz prve fabrike obeleimo sa A, a da je dobrog kvalteta sa B. ta znae sledei dogaaji: , , , , , ,A A A AA AB A B AB AB+ + ?

18

Reenje: A - je dogaaj da je sijalica iz druge fabrike, A A+ - je dogaaj da je sijalica iz prve ili druge fabrike, AA - dogaaj je nemogu, AB - da je iz prve fabrike i da je dobra, A B+ - ili da je iz prve fabrike ili da je dobra, AB - da je iz prve fabrike i da nije dobra, AB - da je iz druge fabrike i da je dobra.

3. Meta se gaa sa tri metka. Neka je , 1, 2,3iA i = dogaaj pogotka mete iz i-tog

gaanja. Predstaviti sledee dogaaje: A - sva tri pogotka, B - sva tri promaaja, C - makar jedan pogodak, D - ne manje od dva pogotka, E - ne vie od jednog pogotka. Reenje: 1 2 3A A A A= , 1 2 3B A A A= , 1 2 3C A A A= + + , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3D A A A A A A A A A A A A= + + + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3E A A A A A A A A A A A A= + + + . 4. Navesti skup svih dogaaja za sledee eksperimente A bacanje jednog dinara, B bacanje dva dinara, C bacanje kocke i dinara, D bacanje dve kocke, E - bacanje tri kocke.

19

Reenje: { },G P = , { }, , ,GG PP GP PG = , { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6G G G G G G P P P P P P = Eksperiment bacanja dve kocke ima 26 36= elementarnih dogaaja: 11,12,13,14,15,16, 21,22,23,24,25,26,

31,32,33,34,35,36, 41,42,43,44,45,46,

51,52,53,54,55,56, 61,62,63,64,65,66, Eksperiment bacanja tri kocke ima 36 216= elementarnih dogaaja. 5. Ako je A dogaaj da dve kocke pri istovremenom bacanju pokau brojeve iji je

zbir paran broj, a B dogaaj da pokau brojeve iji je proizvod paran broj, nai zbir A+B?

Reenje: A B+ = 6. U poslednjih 10 godina beleen je broj padavina i temperatura u martu mesecu u

Beogradu i dobijeni su sledei podaci: dogaaj A-105 dana je bilo je sa padavinama, dogaaj B-135 dana je bilo hladno i 53 dana je bilo hladno sa padavinama. Odrediti verovatnoe

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , / ,P A P B P AB P A B P AB P A B P AB+ Reenje: Kako mesec mart ima 31 dan, ukupno je posmatrano 310 dana.

( ) 105310

P A = , ( ) 135310

P B = , ( ) 53310

P AB = ,

20

Iskoristimo Venove dijagrame da prikaemo dogaaje

A B

52 53 82

123

dan sa padavinama ili hladan ( ) 187310

P A B+ =

dan bez padavina i hladan ( ) 82310

P AB =

dan sa padavinama i nije hladan ( ) 52/310

P A B =

dan bez padavina i nije hladan ( ) ( ) 123310P AB P A B= + = 7. U jednoj prodavnici tokom 10 dana prodavan je isti proizvod i to:

dani 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Br. proizv. 42 16 11 10 8 8 12 23 56 300

Odrediti verovatnou prodaje drugog dana i od treeg do sedmog dana. Reenje:

( ) 16 0,533300

P A = =

( ) 11 10 8 8 12 0,163300

P B + + + += = 8. U posudi se nalazi 12 belih, 13 crvenih i 14 plavih kuglica. Kolika je verovatnoa

da izvuemo plavu kuglicu pod uslovom da su sve mogunosti jednako verovatne?

21

Reenje:

( ) 1439

P A = 9. Ako se kocka za igru baci jednom, kolika je verovatnoa pojave a) parnog broja

b) pojave broja taaka koji je manji od 5. Reenje:

a) Neka je A dogaaj da padne paran broj. U tom sluaju je 2 4 6A A A A= U U i ( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 1 1 1 16 6 6 2P A P A P A P A= + + = + + = .

b) Dogaaj da se pojavi broj taaka koji je manji od 5 je suprotan dogaaju da je

broj taaka vei ili jednak 5.

( ) ( ) ( )( )5 6 1 1 21 1 6 6 3P B P A P A = + = + = . 10. Na osam listia napisani su brojevi 2,4,6,7,8,11,12,13. Na sluajan nain biraju se

dva listia. Odrediti verovatnou da se razlomak dobijen od ovih brojeva moe skratiti.

Reenje:

( ) 5282

52 58 142

CP AC

= = = .

11. Deset kartica numerisano je brojevima od 1 do 10. Izvlae se dve kartice istovremeno. Nai verovatnou da je zbir brojeva na izvuenim karticama jednak 10.

Reenje:

( ) 4 410 452

P A = = .

22

12. U kutiji se nalazi 8 crvenih i 6 plavih kuglica. Nasumice izvlaimo 2 kuglice. Kolika je verovatnoa da e: a) izvuene kuglice biti razliitih boja b) da e obe kuglice biti crvene c) da e obe kuglice biti plave

Reenje:

a) ( ) 6 8 4814 452

P A = = , b) ( )

82 28

14 912

P B

= = , c) ( )

62 15

14 912

P C

= = .

Ovi dogaaji ine potpuni sistem i ( ) ( ) ( ) 48 28 15 191

P A P B P C + ++ + = = . 13. U kutiji se nalazi 8 crvenih i 6 plavih kuglica. Nasumice izvlaimo 5 kuglica.

Kolika je verovatnoa da e meu njima biti tano 3 plave? Reenje:

( )6 83 2 20 28 560

14 2002 20025

P A

= = = .

14. Kolika je verovatnoa da emo izvlaenjem 5 brojeva na lutriji od 50 brojeva izvui brojeve 7,13,33?

Reenje:

( )472 1

50 19605

P A

= = .

Povoljan je svaki dodaaj da izvuemo 7,13,33 pa je ostalo da od preostalih 50-3=47 cedulja izvuemo 2.

23

15. U seriji od 5 sijalica jedna je neispravna. Kolika je verovatnoa da izmeu 3 nasumino izabrane sijalice a) bude neispravna sijalica b) ne bude neispravna.

Reenje:

a) ( )42 6 35 10 53

P A

= = = .

Ako je jedna neispravna onda od preostale 4 treba birati 2.

b) ( ) 3 21 5 5P A = = . 16. U jednoj seriji od 10 istovetnih sijalica nalazi se jedna neispravna. Nasumice se

biraju 3 sijalice. Kolika je verovatnoa da nisu sve tri izabrane sijalice ispravne? Reenje:

( ) 0,3P A = . 17. Meu n proizvoda m je loeg kvaliteta. Nai verovatnou da je meu k sluajno

izabranih proizvoda bar jedan loeg kvaliteta. Reenje: Dogaaj A je suprotan dogaaju da su svi proizvodi dobri.

( ) 1n mk

P Ank

= .

18. U pakovanju od n proizvoda ima m neispravnih. Nai verovatnou da se u uzorku od r sluajno izabranih proizvoda nae k neispravnih.

24

Reenje:

( )m n mk r k

P Anr

= .

19. Dete ima 4 ploice za igru na kojima pie 2,3,5,6. Od tih brojeva prave se razni

etvorocifreni brojevi. Kolika je verovatnoa da dete dobije broj a) deljiv sa 4 b) deljiv sa 2

Reenje: a) Broj svih ishoda su permutacije od 4 elementa, tj. 4!=24. Brojeva deljivih sa 4 ima

8 . To su brojevi koji se zavravaju sa dvocifrenim brojevima deljivim sa 4. ( 32,36,52,56 ). Tada preostale 2 cifre ine 2 razliite permutacije, tj 4.2=8.

( ) 2 4 8 14! 24 3

P B = = =

b) ( ) 12 12 14! 24 2

P B = = = . 20. Problem roendana: Koja je verovatnoa da u drutvu od n osoba postoje bar dve

koje su roene istog dana u godini? Reenje: Problem treba reiti kao suprotan dogaaj, dogaaju, da svi imaju razliit datum

roenja.

( ) ( ) ( ) ( )365 364 365 11 1365 nn

nP A P A P A

+= = =K . Moe se izraunati da je 22 0,467P , a 23 0,507P . Dakle, ako postoje vie

od 22 osobe, onda je vea verovatnoa da postoje 2 osobe sa istim datumom roendana.

A kako je 68 0,999P , onda za vie od 68 osoba sa sigurnou od 99,9%, moemo tvrditi da postoje bar dve osobe roene istog datuma.

25

21. Bacamo 3 novia jedan za drugim. Nai verovatnou da emo dobiti 2 pisma i jedan grb.

Reenje: Broj svih ishoda je 23 8n V= = . Povoljni ishodi su grb i dva pisma. Njih ima 3,

jer grb moe da se pojavi u prvom, drugom ili treem bacanju. Dakle

( ) 38

P A = . 22. est porodica se sastoje od oca, majke i troje dece. Izaberu se sluajno jedan otac,

jedna majka i jedno dete. Kolika je verovatnoa da pripadaju istoj porodici? Reenje:

( ) 6 3 16 6 18 36

P A = = . 23. Imamo 7 pertli razliitih boja, od kojih je jedna crvena, a jedna zelena. Nai

verovatnou da e crvena i zelena pertla biti jedna pored druge, ako se pertle reaju na sluajan nain

a) na prav konac, b) u krug. Reenje:

a) Broj svih naina da se naniu pertle na prav konac je 7! . Da bismo odredili povoljne realizacije, zamislimo da su crvena i zelena pertla jedna pored druge i to crvena pa zelena. Dakle imamo 6 objekata, ( ove dve kao 1 i ostalih 5 ) koje treba raspodeliti na 6 mesta, dakle 6! Dve pertle jo mogu da razmene

mesta pa je ( ) 2 6! 27! 7

P A = = . b) Ako se pertle reaju u krug, odnosno ako im se mesta ne razlikuju. U

jednom krunom rasporedu ima 7 razliitih mesta, jer ogrlicu moemo rasei na 7 mesta.

Prema tome broj razliitih krunih rasporeda je 7 puta manji od broja linijskih rasporeda, dakle 6! Slino je i za povoljne ishode, pa je

( ) 2 5! 2 16! 6 3

P B = = = .

26

24. est kuglica rasporeeno je nasumice u 12 kutija. Nai verovatnou da je tano 10

kutija prazno. Reenje: Ukupan broj ishoda je 612 , jer prvu kuglicu moemo da stavimo u bilo koju od

12 kutija, drugu takoe i td. Ako je 10 kutija prazno, znai da smo svih 6 kuglica stavili u 2 kutije. Broj

naina za 2 kuglice je 122

. Broj naina da 6 kuglica stavimo u 2 kutije je 62 .

Ali meu ovim nainima postoje i 2 naina u kojima je jedna od dve kutije prazana. Zato broj naina rasporeda 6 kuglica u 2 kutije, a da nijedna nije prazna je 62 2 .

( )( )6

6

122 2

212

P A

= . 25. Iz pila od 52 karte za igru na sluajan nain izvlae se 3 karte. Nai verovatnou

da to budu tri razliite slike. Reenje:

( )4 4 41 1 1

0,0029523

P A

= = ili ( ) 12 8 4 0,0029

52 51 50P A = = .

26. Telefonski broj se sastoji od 6 cifara. Ako se pretpostavi da postoje svi telefonski

brojevi od 000 000 do 999 999, koja je verovatnoa da u proizvoljno izabranom broju sve cifre budu razliite?

Reenje:

( ) 10610 66

10 9 8 7 6 5 0,151210

VP AV

= = = .

27

27. U televizijskom studiju ima 3 kamere. Verovatnoa da je kamera ukljuena za

svaku kameru iznosi 0,6. Odrediti verovatnou da je u datom trenutku ukljuena bar jedna.

Reenje: ( ) 31 0,4 0,936P A = = . 28. Kocka ije su sve strane obojene raseena je na 1000 kockica istih dimenzija. Sve

kockice su stavljene u jednu kutiju. Kolika je verovatnoa da izvuena kockica ima: a) 3 obojene strane, b) 2 obojene strane, c) 1 obojenu stranu.

Reenje:

a) ( ) 8 0,0081000

P A = =

b) ( ) 96 0,0961000

P B = =

c) ( ) 384 0,3841000

P C = = . 29. Posmatramo 3 zatvorene kutije. U jednoj od njih se nalazi poklon koji elimo da

dobijemo, a ostale 2 su prazne.Vlasnik kutija zna u kojoj se nalazi poklon. Igra pokazuje jednu kutiju, kao svoj izbor. Ona se ne otvara. Zatim vlasnik otvara jednu od preostale dve kutije i ona je obavezno prazna. Zatim vlasnik pita igraa da li eli da promeni kutiju, izmeni svoj prvobirni izbor. Da li je za igraa bolje da promeni odluku o izboru kutije?

Reenje: A je dogaaj da je u prvom pokazivanju izabrao praznu, B promenio je izbor i osvaja poklon.

Oigledno je A=B, odnosno ( ) ( ) 23

P A P B= = . Znai, bolje je da promeni kutiju.

28

30. Jedan student je od 30 ispitnih pitanja nauio 24, a drugi 15. Na ispitu su dobili po 3 pitanja . Kolika je verovatnoa da e prvi, odnosno drugi da odgovorio na:

a) najmanje 2 pitanja b) najvie 1 pitanje

Reenje:

( ) ( )

( ) ( )

24 6 24 15 15 152 1 3 2 1 3

0,96, .30 303 3

24 6 6 15 15 151 2 3 1 2 3

, .30 303 3

P A P B

P A P B

+ + = = = + + = =

31. Bacamo istovremeno kocku i novi. Kolika je verovatnoa da emo dobiti na

noviu pismo ili na kocki broj 5?

Reenje: Neka je A dogaaj da dobijemo pismo, a B dogaaj da dobijemo broj 5. Dogaaji A i B se iskljuuju.

( ) ( ) ( ) 1 1 22 6 3

P A B P A P B+ = + = + = . 32. Dva strelca gaaju cilj. Verovatnoa da prvi pogodi cilj je 0,7, a drugi je 0,4.

Obojica istovremeno opale prema cilju. Kolika je verovatnoa da ce cilj biti pogoen?

Reenje: A je dogaaj da cilj pogodi prvi strelac, B je dogaaj da cilj pigodi drugi srelac. Dogaaji A i B se ne iskljuuju jer je mogue da oba strelca istovremeno cilj

pogode.

29

( ) ( ) ( ) ( ) 0,7 0,4 0,7 0,4 0,82P A B P A P B P AB+ = + = + = . 33. U grupi je 20 studenata i 10 studentkinja. Polovina od ove grupe pui. Kolika je

verovatnoa da e sluajno izabrana osoba biti ili studentkinja ili pua. Reenje: A je dogaaj da je izabrana osoba studentkinja B je dogaaj da je izabrana osoba pua

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

10 1 15 1 10 15 5 1, ,30 3 30 2 30 30 30 6

1 1 1 23 2 6 3

P A P B P AB

P A B P A P B P AB

= = = = = = =

+ = + = + =

34. Kolika je verovatnoa da pri bacanju dve kocke jedna kocka prikae broj deljiv sa

3 ili deljiv sa 4?

Reenje: A je dodaaj da se na jednoj kocki pojavi broj delji sa 3, odnosno jedan od

brojeva je 3 ili 6, onda je ( ) 2036

P A = . B je dodaaj da se na jednoj kocki pojavi broj deljiv sa 4, odnosno jedan od

brojeva je 4, onda je ( ) 1136

P B = .

Dogaaji A i B se ne iskljuuju, pa je ( ) 436

P AB = .

( ) ( ) ( ) ( ) 20 11 4 336 36 36 4

P A B P A P B P AB+ = + = + = . 35. Bacamo dinar tri puta. Neka je dogaaj A pojavljivanje samo jednog pisma,

dogaaj B pojavljivanje najmanje jednog grba, i dogaaj C pojavljivanje prvi put pisma, a druga dva puta grb. Izraunati ( )P A B C+ + .

Reenje: Broj svih elementarnih dogaaja je 32 .

30

( ) ( ) ( ){ }, ,A PGG GPG GGP= , ( ) 38

P A =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , ,B GPP PGP PPG PGG GPG GGP GGG= , ( ) 78

P B =

( ){ }C PGG= , ( ) 18

P C = . ,A B A A C B C A B C C= = = =I I I I I .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 7 1 3 1 1 1 78 8 8 8 8 8 8 8

P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC+ + = + + + =+ + + =

36. Kolika je verovatnoa da se istovremenim bacanjem 3 kocke dobiju bar 2 jednaka

broja? Reenje:

( ) 49

P A = . 37. Iz pila od 32 karte za igru izvlaimo jednu kartu. Kolika je verovatnoa sa emo

izvui karo kartu ili kralja? Reenje:

( ) 1132

P A = .

31

2. USLOVNA VEROVATNOA I NEZAVISNOST

2.1. USLOVNA VEROVATNOA Verovatnoa dogaaja A, znajui da se dogaaj B ve realizovao ili

predpostavljajui da e se realizovati naziva se uslovna verovatnoa. Definicija:

Verovatnoa ( )P A B zove se uslovna verovatnoa dogaaja A pod uslovom B i definie se sa ( ) ( )( )

P ABP A B

P B= , za ( ) 0P B > .

Primer: Kolika je verovatnoa da e se na kocki prilikom bacanja pojaviti paran broja, pod uslovom da je taj broj manji od 4 ? Neka je A dogaaj pojave parnog broja, a B pojava brojeva manjih od 4.

{ } { } { }2, 4,6 , 1, 2,3 , 2A B A B= = =I , ( ) ( )1 3,6 6

P AB P B= = ,

( ) ( )( ) ( )( )21 2 31

163 36

P AB PP A B

P B P

= = = =+ +

Primer: U kesi se nalazi 5 belih i 9 crnih kuglica. Izvlaimo nasumice 2 kuglice, jednu po jednu, bez vraanja. Kolika je verovatnoa da emo iz drugog puta izvui crnu, ako znamo da je prvo izvuena bela kuglica? Neka je A dogaaj izvlaenja crne kuglice, a B verovatnoa pojave bele kuglice iz prvog izvlaenja.

33

( ) 514

P B = .

( ) 142

45 45 4514 13 182

P ABV

= = = , ali mogli smo da izraunamo i kao

( )( ) ( )( )

5 9 4514 13 182

913

P AB

P ABP A B

P B

= =

= =

Primer: Dinar se baca ili do pojave grba ili do tri uzastopne pojave pisma. Pod uslovom da je rezultat prvog bacanja pismo, nai verovatnou da dinar bude baen 3 puta. Prilikom bacanja novia mogue je da se dogodi G, PG, PPG, PPP.

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1, , ,2 4 8 8

P G P PG P PPG P PPP= = = = , Neka je B dogaaj pojave pisma u prvom bacanju ( B=PG+PPG+PPP) , pa je

( ) 1 1 1 14 8 8 2

P B = + + = . Ako je A dogaaj da se dinar baca 3 puta, onda je ( A=PPG+PPP) i

( ) 1 1 18 8 4

P A = + = .

Kako je AB=A i ( ) 14

P AB = .

( ) ( )( )1

141 22

P ABP A B

P B= = = .

34

2.2. VEROVATNOA PROIZVODA DOGAAJA-NEZAVISNI I ZAVISNI DOGAAJI

Neka je dat skup i ,A B . Dogaaj A je zavisan od dogaaja B, ako ostvarivanje dogaaja B utie na verovatnou dogaaja A. U suprotnom su nezavisni. Primer: Bacamo dve kocke. Neka je A dogaaj da prva kocka pokae broj 5, a B dogaaj da druga kocka pokae broj 6.

( ) 16

P A = bez obzira da li se dogaaj B realizovao ili ne. Isto vai i u obrnutom sluaju. Dakle dogaaji A i B su nezavisni. Primer: Imamo 6 artikala jedne fabrike od kojih je 3 neispravno. Biramo dva artikla, jedan pa drugi. Neka je A dogaaj da u prvom izvlaenju dobijemo neispravan artikal, a B dogaaj da i u drugom izvlaenju izvuemo neispravan artikal. Jasno je da e realizacija dogaaja A uticati na realizaciju dogaaja B.

Ako ne bi obraali panju na dogaaj A, onda je ( ) 36

P B = . Pod predpostavkom da

se dogaaj A realizovao, tada je ( ) 26

P B = . Dogaaji A i B su zavisni. Definicija: Ako su dogaaji A i B meusobno zavisni, tada je

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P AB P B P A B P A P B A= = .

35


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 2 1 1 2 1n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A=K K K

Definicija Dogaaji A i B meusobno nezavisni ako je

( ) ( ) ( ) ( ),P A B P A P B A P B= = ili

( ) ( ) ( )P AB P A P B= .


( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2n nP A A A P A P A P A=K K

Izuzetno je vano praviti razliku izmeu nezavisnosti i disjunktnosti (dogaaji koji se iskljuuju). Nezavisni dogaaji se definiu nad skupom , za razliku od disjunktnosti koja postoji nezavisno od definicije verovatnoe. Primer: Eksperiment se sastoji u bacanju 2 dinara. Neka su dogaaji: A: pojava grba na prvom dinaru B: pojava makar jednog grba C: pojava makar jednog pisma D: pojava grba na drugom dinaru Ispitati da li su dogaaji A i C, A i D, B i C, B i D, zavisni ili nezavisni.

Dogaaji A i C su zavisni, ( ) 34

P C = ( ) 12

P C A = .

Dogaaji A i D su nezavisni, ( ) 12

P A = ( ) 12

P A D = .

Dogaaji B i C su zavisni, ( ) 34

P B = ( ) 23

P B C = .

Dogaaji B i D su zavisni, ( ) 34

P B = ( ) 1P B D = .

36

Primer: Radnik radi na 3 automatske maine.Verovatnoa da tokom 1 sata maina ne zahteva intervenciju je za prvu mainu 0,9, za drugu 0,8 i za treu 0,85. Kolika je verovatnoa da nijedna od 3 maine ne zahteva intervenciju tokom sata. U pitanju su nezavisni dogaaji i ako sa A, B, C oznaimo dogaaje da nije potrebna intervencija, onda je ( ) ( ) ( ) ( ) 0,9 0,8 0,85 0,612P ABC P A P B P C= = = Primer: Meu proizvodima jedne fabrike ima 5% karta, a od proizvoda koji su dobri 80% je prve klase. Nai verovatnou da je sluajno izabrani proizvod prve klase. Neka je A dogaaj da proizvod nije kart, ( ) 0,95P A = i ako je B dogaaj da proizvod prve klase ( ) 0,8P B A = , onda je ( ) ( ) ( ) 0,95 0,8 0,76P AB P A P B A= = = .

2.3. TOTALNA VEROVATNOA

Neka nezavisni dogaaji 1 2, , , nH H HK ine jedno razlaganje skupa , potpuni sistem hipoteza, odnosno

1

n

kkH

== , gde su verovatnoe ( )kP H unapred poznate.

Neka se proizvoljni dogaaj A ostvaruje uz realizaciju bar jednog od ovih dogaaja.

Da bismo odredili verovatnou dogaaja A potrebno je nai uslovne verovatnoe

( )kP A H , tj. realizacije pojedinih hipoteza koje su dovele do ostvarivanja dogaaja A. Definicija: Formula totalne verovatnoe: Ako dogaaji 1 2, , , nH H HK ine potpuni sistem hipoteza u odnosu na dogaaj A, tada je

( ) ( ) ( )1

n

k kk

P A P H P A H=

= .

37

Primer: Na ispit iz matematike izalo je 60% studenata koji polau prvi put i 40% ostalih. Verovatnoa da e student koji polae prvi put poloiti ispit je 0,3, a za ostale 0,4. Odrediti verovatnou da e sluajno izabrani student poloiti ispit. Neka su 1 2,H H verovatnoe da student polae prvi put, odnosno vie puta. ( ) ( )1 20,6 0, 4P H P H= =

A je dogaaj da student poloi ispit, ( ) 1,2iP A H i = su verovatnoe da poloi ispit iz prvog, odnosno ostalih puta.

( ) ( )1 20,3 0,4P A H P A H= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0,6 0,3 0,4 0,4 0,34P A P H P A H P H P A H= + = + = .

Primer: U nekoj fabrici 30% proizvodnje otpada na prvu mainu, 25% na drugu mainu i ostalo na treu mainu. Na prvoj maini pojavljuje se 1% karta, na drugoj maini 1,2% i na treoj maini 2% karta. Kolika je verovatnoa da e sluajno izabrani proizvod biti kart? A je dogaaj da je sluajno izabrani proizvod kart.

1 2 3, ,H H H su proizvodi izraeni na mainama. ( ) ( ) ( )1 2 30,30, 0,25, 0,45P H P H P H= = = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 1 2 2 3 3

0,01, 0,012, 0,02

0,015.

P A H P A H P A H

P A P H P A H P H P A H P H P A H

= = == + + =

Primer: Odreeni artikal proizvode 3 fabrike. Poznato je da prva fabrika proizvodi dva puta vie od druge, a druga i trea isto. Takoe 2% proizvoda iz prve i druge fabrike je defektno, a 4% iz tree. Svi proizvodi nalaze se na istom skladitu. Sluajno se bira jedan proizvod. Nai verovatnou da je on defektan.

38

Ako sa 1 2 3, ,H H H obeleimo dogaaje da je proizvod iz ovih fabrika respektivno. Iz uslova zadatka imamo da je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 2 32 , , 1P H P H P H P H P H P H P H= = + + = ,

pa dobijamo da je ( ) ( ) ( )1 2 31 12 4P H P H P H= = = . Ako je dogaaj A da je izabrani proizvod defektan imamo da je

( ) ( ) ( )1 2 30,02 0,04P A H P A H P A H= = = . Na osnovu formule totalne verovatnoe dobijamo da je

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 31 1 10,02 0,02 0,04 0,0252 4 4

P A P H P A H P H P A H P H P A H= + + + + =

2.4. BAJESOVA FORMULA

Na osnovu formule totalne verovatnoe ne moemo da u prethodnom primeru

odgovorimo na pitanje iz koje fabrike potie izabrani proizvod. Odgovor na ovo pitanje daje Bajesova formula. Definicija: Bajesova formula: Ako dogaaji 1 2, , , nH H HK ine potpuni sistem hipoteza u odnosu na dogaaj A i ( ) 0P A > , tada je

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

1

, 1, ,i i i ii nk k

k

P H P A H P H P A HP H A i n

P A P H P A H=

= = =

K .

Bajesova formula se zove i formula verovatnoa hipoteza ( uzoraka ), jer na

dogaaje 1 2, , , nH H HK moemo gledati kao na razliite uzroke koji mogu dovesti do realizacije dogaaja A.

39

Primer: U predhodnom primeru verovatnoa da je traeni proizvod iz prve fabrike je

( )1 0,5 0,02 0,40,025P H A = = . Primer: Baca se kocka. Ako se na kocki pojavi 1 ili 6 uzima se kuglica iz prve kutije, u suprotnom se uzima iz druge kutije. Prva kutija sadri 3 crne, 2 bele i 1 zelenu kuglicu, a druga kutija sadi 4 bele i 2 zelene kuglice. a) Nai verovatnou da je izvuena bela kuglica b) Nai verovatnou da je izvuena iz prve kutije, ako znamo da je bela. a) Ako su 1 2,H H dogaaji da su izabrane prva odnosno druga kutija , imamo

( ) ( )1 22 1 4 2,6 3 6 3P H P H= = = = , ( ) ( )1 22 1 4 2,6 3 6 3P A H P A H= = = = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 15P A P H P A H P H P A H= + =

b) ( ) ( ) ( )( )1 11 15P H P A H

P H AP A

= = .

2.5. VANI OBRASCI

Uslovna verovatnoa

( ) ( )( )P AB

P A BP B

= Zavisni dogaaji

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P AB P B P A B P A P B A= = Nezavisni dogaaji

( ) ( ) ( )P AB P A P B=

40

Formula totalne verovatnoe

( ) ( ) ( )1

n

k kk

P A P H P A H=

= Bajesova Formula

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

1

, 1, ,i i i ii nk k

k

P H P A H P H P A HP H A i n

P A P H P A H=

= = =

K

2.6. ZADACI

1. U jednoj kutiji nalaze se 4 bele i 8 crnih kuglica, a u drugoj 3 bele i 9 crnih. Izvlaimo iz svake kutije po jednu kuglicu. Odrediti verovatnou da je iz obe kutije izvuena bela?

Reenje: Dogaaj A: bela kuglica iz prve kutije. Dogaaj B: bela kuglica iz druge kutije, Dogaaji A i B su nezavisni.

( ) ( ) ( ) 4 3 112 12 12

P AB P A P B= = = .

2. U magacinu se nalazi 12 proizvoda, od kojih je 8 ispravnih. Radnik nasumice bira 2 proizvoda, prvo jedan pa drugi. Nai verovatnou da su oba proizvoda ispravna .

Reenje: Dogaaji A i B su zavisni.

( ) ( ) ( ) 8 7 0,424212 11

P AB P A P B A= = = .

3. Iz pila za igru izvuena je jedna karta, a zatim je vraena u pil, a zatim je ponovo izvuena jedna karta.

41

a) kolika je verovatnoa da su oba puta izvuene petice? b) kolika je verovatnoa da su oba puta izvuene petice, ako se posle prvog

izvlaenja karta ne vraa u pil?

Reenje: A- je dogaaj da je u prvom izvlaenju izvuena petica B- je dogaaj da je u drugom izvlaenju izvuena petica

a) Dogaaji su nezavisni, pa je ( ) ( ) ( ) 24 4 1652 52 52P AB P A P B= = = , b) Dogaaji su zavisni, pa je ( ) ( ) ( ) 4 3 12

52 51 2652P AB P A P B A= = = .

4. Pri bacanju dve kocke posmatramo zbir koji se pojavljuje na njima. Kolika je

verovatnoa da je zbir 6, ako se zna da je zbir paran broj? Reenje: Dogaaj A: zbir je 6. Dogaaj B: zbir je paran broj.

( ) ( )( )5

53618 1836

P ABP A B

P B= = = .

5. U jednom odeljenju od 30 uenika, 12 nosi naoare, 8 pie levom rukom, a 6 ima obe te osobine. Kolika je verovatnoa da sluajno izabrani uenik pie levom rukom, ako znamo da nosi naoare.

Reenje: Neka je A dogaaj da uenik pie levom rukom. Neka je B dogaaj da uenik nosi naoare.

( ) ( )( )6

3308 430

P ABP A B

P B= = = .

42

6. Student je izaao na ispit znajui 20 od 25 pitanja. Ispitiva je postavio 3 pitanja. Nai verovatnou da je student znao odgovor na sva 3 pitanja.

Reenje: Ako sa A, B C oznaimo dogaaje da su izvlaena pitanja koje student zna, onda

( ) ( ) ( ) 20 19 18 0,49625 24 23

P P A P B A P C AB= = = . Zadatak se mogao reiti primenom klasine definicije verovatnoe

20 53 0

253

P

= .

7. Iz pila od 32 karte za igru sluajno se, odjednom, izvlae 2 karte. Neka je A

dogaaj da je izvuena bar jedna dama i B dogaaj da je izvuen bar jedan pik. Nai verovatnou da je izvuena bar jedna dama i bar jedan pik.

Reenje:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

28 242 2236 4401 1 , 1 1

32 32992 9922 2

212 5721 1

32 9922

104992

P A P A P B P B

P AB P AB

P A B P A P B P AB

= = = = = = = = =

+ = + =

43

8. U kutiji se nalaze 6 cvenih i 4 bele kuglice. Izvlaimo 2 kuglice jednu za drugom.. Kolika je verovatnoa da, ako je prva izvuena kuglica crvana, druga bude bela? Reenje:

( ) 49

P A = . 9. Dat je niz prirodnih brojeva 1,2,3,4,5,6,7,8, 9. Biramo 2 broja. Kolika je

verovatnoa da njihov zbir bude vei od 12 i neparan? Reenje:

( ) 112

P A = .

10. Letilica se gaa 2 puta. U prvom gaanju verovatnoa pogotka je 0,3 a u drugom 0,6. Jednom pogoena letilica se rui sa verovatnoom 0,2 a dva puta pogoena rui se sa verovatnoom 0,9. Kolika je verovatnoa da letilica padne?

Reenje: H1- letilica je pogoena jedanput H2 -letilica je pogoena dva puta A- letilica je pogoena ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1 1 2 2

0,3 0,4 0,7 0,6 0,56

0,3 0,6 0,18

0,56 0,2 0,18 0,9 0,29

P H

P H

P A P H P A H P H P A H

= + == =

= + = + =

11. Fabrika proizvodi televizore. Tri pogona proizvode respektivno 25%, 35% i 40%

celokupne proizvodnje. Pogoni redom daju 5%, 4% i 2% kartova.

a) Kolika je verovatnoa da je sluajno izabrani televizor kart? b) Kolika je verovatnoa da je taj televizor proizveden u drugom pogonu?

44

Reenje: ( )1 0, 25P H = , ( )2 0,35P H = , ( )3 0, 40P H = ( )1 0,05P A H = , ( )2 0,04P A H = , ( )3 0,02P A H =

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 2345100P A P H P A H P H P A H P H P A H= + + =

b) ( ) ( ) ( )( )2 222

35 428100 100

345 69100

P H P A HP H A

P A

= = = .

12. Na magacinu se nalaze proizvodi iste vrste, proizvedeni u tri razliita pogona,

respektivno 20%, 40% i 40% proizvoda. Pogoni redom daju 0,01; 0,02 i 0,04 kartova.

a) Kolika je verovatnoa da je sluajno izabrani prozvod kart? b) Kolika je verovatnoa da je taj proizvod izraen u prvom pogonu?

Reenje: a)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

0,2; 0,4; 0,4;

0,01; 0,02; 0,04;

0,026

P H P H P H

P A H P A H P A H

P A P H P A H P H P A H P H P A H

= = == = =

= + + =

b) ( ) ( ) ( )( )1 11 0,2 0,01 0,7690,026P H P A H

P H AP A

= = = .

13. U dve kutije nalaze se kuglice. U prvoj kutiji se nalazi 2 crvene i 4 bele, a u drugoj 6 crvenih i 2 bele. Izvlai se jedna kuglica iz sluajno izabrane kutije. Ona je bela. Kolika je verovatnoa da je iz prve kutije? Reenje: Dogaaj B: kuglica je bele boje. Dogaaj , 1,2iA i = : Kuglica je iz i te kutije.

45

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 11

1 1 2 2

1 1 4 2, , ,2 2 6 8

819

P A P A P B A P B A

P A P B AP A B

P A P B A P A P B A

= = = =

= =+

14. Od tri jednaka pitolja bira se jedan na sluajan nain.

a) Odrediti verovatnou da je cilj pogoen ako verovatnoa pogotka za prvi

pitolj iznosi 34

, za drugi 1720

i za trei 120

.

b) Ako je cilj pogoen, odrediti verovatnou da je pogoen prvim pitoljem ?

Reenje:

( )

( )1

1 3 1 17 1 1) 0,553 4 3 20 3 20

1 33 4) 0,450,55

a P A

b P H A

= + + =

= =

15. Verovatnoa da e student A reiti neki zadatak je 0,7, a za studenta B je 0,9.

a) Nai verovatnou da e zadatak biti reen ako ga reavaju oba studenta, nezavisno jedan od drugog.

b) Ako je zadatak reen, koja je verovatnoa da ga je reio student B? Reenje: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,7 0,1 0,3 0,9 0,7 0,9P R P AB AB AB= + + = + +

Ili

( )1 1 0,3 0,1P AB= = . b) 1 10,7 0,9 0,8

2 2P = + = .

46

16. Tri kutije sadre po 10 proizvoda. U prvoj kutiji ima 4 neispravna proizvoda, u drugoj 2 , a u treoj 5. Odrediti verovatnou da uzorak sadri 0,1,2,3 neispravna proizvoda.

Reenje: Kako svaka kutija moe da se izabere sa istom verovatnoom imamo da je

( ) ( ) ( )1 2 3 13P K P K P K= = = . Posmatrajmo prvo prvu kutiju.

( )14 6

3, 0,1,2,3

103

k kP k K k

= = .

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 3 10 , 1 , 2 , 36 2 10 30P K P K P K P K= = = = . Na isti nain bi izraunali ( ) ( )2 3,P k K P k K . Na osnovu formule totalne verovatnoe imamo da je

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 30 0 0 01 1 1 7 1 1 433 6 3 15 3 12 180

P P K P K P K P K P K P K= + + = + + =

( ) ( ) ( )83 47 71 , 2 , 3120 180 180

P P P= = = .

17. U prodavnici se nalaze cipele iz dve fabrike i to 70% je iz prve fabrike, a 30% je iz druge. 2% cipela iz prve fabrike je loeg kvaliteta, a 5% iz druge fabrike. a) Odrediti verovatnou da sluajni kupac kupi kvalitetne cipele? b) Kolika je verovatnoa da su to cipele proizvedene u prvoj fabrici?

Reenje: a) 0,97 b) 0,71

47

18. Svaka od 3 kutije za nakit ima 2 pregrade. U prvoj od kutija u jednoj od predgrada nalazi se zlatni prsten, a u drugoj srebrni. U drugoj kutiji u obe pregrade su zlatni prstenovi, a u treoj u obe pregrade srebrni prstenovi. Na sluajan nain biramo jednu od kutija, otvaramo jednu pregradu i nalazimo srebrni prsten. Kolika je verovatnoa da je u drugoj pregradi zlatan prsten? Reenje: 1/3

19. Na jednom uskom putu u susret jedan drugom idu 2 vozaa. Ako su oba vozaa

trezna verovatnoa da nee doi do sudara je 0,999, ako je jedan voza pripit verovatnoa je 0,7 i ako su oba vozaa pripita verovatnoa je 0,4. Ako sa zna da je svaki deseti voza pripit odrediti verovatnou da nee doi do sudara.

Reenje: ( )1 0,9 0,9 0,81P H = = , ( )2 0,9 0,1 0,1 0,9 0,18P H = + = , ( )3 0,1 0,1 0,01P H = = ( )1 0,99P A H = , ( )2 0,7P A H = , ( )3 0,4P A H = ( ) 0,94P A = .

20. Na ispitu ima 20 pitanja. Od 10 kandidata koji su izali na ispit 3 su se pripremili

odlino, 4 vrlo dobro, 2 dobro i 1 slabo. Student koji se odlino pripremio zna odgovore na sva pitanja, vrlo dobro pripremljeni student zna odgovore na 14 pitanja, a slabo pripremljeni zna odgovore na 7 pitanja. Sluajno izabrani student je odgovorio na sva tri pitanja. Kolika je verovatnoa da je to vrlo dobro pripremljeni student?

Reenje:

( ) ( ) ( )( )2 22

163420103 0,4 0,49 0,348

0,3 1 0,4 0,49 0,2 0,32 0,1 0,03 0,563P H P AH

P H AP A

= = = = + + +

48

3. SLUAJNE PROMENLJIVE FUNKCIJA RASPODELE

U predhodnim razmatranjima sluajne dogaaje smo okarakterisali reima.

Meutim, mnogo je svrsishodnije sluajne dogaaje okarkterisati kao brojnu vrednost, kao neki realni broj. Na taj nain dolazimo do pojma sluajne promenljive.

Primer: Novi se baca dva puta. Kako je { }, , ,PP PG GP GG = i ako je sluajna promenljiva X broj registrovanih pisama onda je

( ) ( ) ( ) ( )2, 1, 1, 0.X PP X GP X PG X GG= = = = Znai sluajna promenljiva X uzima 3 vrednosti, a to su 0,1,2.

Definicija: Funkcija X koja svakom sluajnom dogaaju dodeljuje neki realni broj ( )X zove se sluajna promenljiva, gde je :X R .

Sluajne promenljive obeleavamo velikim slovima X,Y,Z....., a njihove vrednosti

malim slovima x,y,z......Da bismo okarakterisali sluajnu promenljivu moramo znati sve vrednosti koje ona moe da ima.

Znaajno je uoiti da ovako definisana sluajna promenljiva predstavlja jedan apstraktan matematiki model. Na primer, ako bi u eksperimentu bacanja kocke sa X=0 oznaili pojavu parnog broja, a sa X=1 neparnog, a u eksperimentu bacanja novia sa X=0 pojavu pisma, a sa X=1 pojavu glava, dobili bi da se razliiti sluajni dogaaji preslikavaju u iste realne brojeva. Znai, u pitanju je jedan isti apstraktani model sa dva podjednako verovatna ishoda.

Sluajna promenljiva predstavlja preslikavanje dogaaja iz skupa u skup realnih brojeva, dok je verovatnoa preslikavanje dogaaja iz skupa na interval [ ]0,1 .

Vano je shvatiti da sluajna promenljiva nema neku odreenu vrednost, ve se samo govori o verovatnoama da uzme neku vrednost.

49

Razlikujemo dva osnovna tipa sluajnih promenljivih, diskretne i neprekidne sluajne promenljive. Podela se vri u zavisnosti da li sluajna promenljiva uzima vrednosti u konanom, odnosno prebrojivom ili neprebrojivom skupu vrednosti.

3.1. DISKRETNA SLUAJNA PROMENLJIVA Definicija: Neka sluajna promenljiva X moe da uzme vrednosti 1 2, , , nx x xK , sa

verovatnoama 1 2, , , np p pK , pri emu je 1 2 1np p p+ + + =K . Skup parova ( )( ), , 1,2,...,i i ix p P X x i n= = = ili napisano

1 2

1 2

x xp p

KK

ini raspodelu verovatnoa sluajne promenljive X ili zakon raspodele diskretne sluajne promenljive.

Napomena: Definicija zakona raspodele je identina i u sluaju prebrojivo mnogo vrednosti.

Raspodela verovatnoa kao potpuna karakteristika odnosi se samo na diskretnu

sluajnu promenljivu.

Dakle u predhodnom primeru bacanja dva novia , gde je sluajna promenljiva X

broj registrovanih pisama, raspodela verovatnoa bi bila 0 1 21 1 14 2 4

.

Raspodele sluajne promenljive mogu se prikazati i grafiki, u koordinatnom

sistemu, na dva naina. a) Ako se na x-osu nanesu vrednosti ix , sluajne promenljive X, a na y-osu

njihove verovatnoe ip , tada take ( ),i i iA x p , kada se spoje daju poligon raspodela.

50

x

p

( )1 1 1,A x p 2A

b) Ako se nacrtaju pravougaonici, tako da je 1 , , ii i i i ii

pd x x A xd+

= , dobija se

histogram raspodela

1x 2x

/p d

x

3.2. FUNKCIJA RASPODELE Vrednost sluajne promenljive ne moe se predvideti pre obavljenog eksperimenta. Funkcija raspodele je karakteristika sluajne promenljive X koja omoguava da se

izrauna verovatnoa da sluajna promenljiva uzme vrednost na nekom intervalu na x osi. Drugim reima, sluajna promenljiva ( )X uzima neku vrednost x sa verovatnoom ( )P .

Umesto verovatnoe da sluajna promenljiva uzme neku vrednost, ee govorimo o verovatnoi da vrednost sluajne promenljive pripada nekom intervalu. Razlog za ovakvo rezonovanje su eksperimenti koji nemaju ishode na diskretnom skupu vrednosti.

51

x osax( )X x

Funkcija ( ) ( )( )F x P X x= < , zove se funkcija raspodele verovatnoa sluajne promenljive. Definicija: Neka je X sluajna promenljiva. Realna funkcija (preslikavanje) F definisana kao

( ){ } ( ){ } ( )PX x P X x F x = naziva se funkcijom raspodele sluajne promenljive X. Funkcija raspodele daje sve bitne osobine sluajne promenljive. Za razliku od

vrednosti sluajne promenljive koja se ne zna pre obavljenog eksperimenta, funkcija raspodele je potpuno poznata. Iz ovih razloga predmet prouavanja teorije verovatnoe nisu sluane promenljive, ve njihove raspodele i funkcije raspodela.

Primer: Ako je sluajna promenljiva X ishod bacanja kocke, i pre bacanja kocke znamo da je

( ) ( ) 446

F x P X= = , iako ne moemo da tano predvidimo koju vrednost e sluajna promenljiva X imati u konkretnom bacanju.

52

OSOBINE FUNKCIJE RASPODELE: Neka je F funkcija raspodele sluajne promenljive X. Tada je:

1. ( )0 1, ,F x x R 2. ( ) ( )lim 0, lim 1,

x xF x F x += =

jer je verovatnoa nemogueg dogaaja ( )X < jednaka 0, a sigurnog ( )X < + jednaka 1

3. Funkcija F je monotono ne opadajua, ( ) ( )1 2 1 2x x F x F x . 4. Funkcija je neprekidna s leva, ( ) ( )

0limh

F x h F x = . Kod diskretne sluajne promenljive, funkcija raspodele se zove i kumulativna

funkcija i oblika je:

( )1

1, 1 2

1 2 2 3

0,

,.......................1, n

x xp x x x

F x p p x x x

x x

<

Primer: Bacamo novi. Neka je sluajna promenljiva X broj registrovanih pisama. Onda je

( ) ( )1, 0,X P X G= = znai sluajna promenljiva uzima dve mogue vrednosti 0,1. Zakon raspodele i funkcija raspodele sluajne promenljive X su:

( )0, 0

0 11: , 0 11 1 2

2 2 1, 1

x

X F x x

x

Definicija: Kod neprekidne sluajne promenljive X funkcija raspodele moe se predstaviti kao

( ) ( )( ) ( ) ,xF x P X x f t dt x

= = < < gde je

1. ( ) 0f x 2. ( ) 1f x dx+

=

Funkcija ( )f x naziva se funkcija gustine.

Grafiki prikaz funkcije raspodele za neprekidu sluajnu promenljivu dat je na sledeoj slici:

x

( )F x1

Kriva na narednoj slici naziva se kriva gustine.

( )F xx

( )f x

55

Polazei od geometrijskog tumaenja odreenog integrala, funkcija raspodele F(x) predstavlja povrinu dela ravni izmeu krive gustine i apscisne ose u granicama od do x.

Funkcija gustine verovatnoe omoguava da se izrauna verovatnoa da se realizacija sluajne veliine nae u nekom intervalu. Ta verovatnoa je jednaka povrini koja je ograniena funkcijom gustine i granicama datog intervala.

( ) ( )ba

P a X b f x dx< < = .

x

( )f x

ba

Prema tome moemo zakljuiti: 1. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a< < = . 2. ( ) 0,P X x x R= = Kod neprekidne funkcije, nemogue je svakom elementu x iz intervala (a,b)

dodeliti pozitivnu verovatnou, jer bi njihov zbir bio beskonaan, a zbir verovatnoa skupa vrednosti promenljive X mora biti jednak 1. Zato se uzima da je ( ) 0P X x= = .

Prividno ovo je paradoks. Meutim, ovakvi paradoksi postoje u nauci. U geometriji du ima pozitivnu duinu, a duina svake take je 0. U mehanici, masa tela postoji, a masa svakog pojedinog dela je nula.

Jednakost ( ) 0P X x= = ne znai da e da se u praksi dogaaj X x= nikada nee ostvariti, ve samo da je mala, veoma mala verovatnoa da e se on ostvariti. To je prihvatljivo, jer sluajna promenljiva X moe da uzme bilo koju vrednost sa intervala (a,b), a njih je neprebrojivo mnogo, pa su mali izgledi da uzme ba vrednost x .

56

Kao posledica navedenog vai i: ( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b P a X b P a X b< < = < = < = .

Teorema: Izmeu funkcije raspodele i funkcije gustine postoju veza ( ) ( )F x f x = . Dokaz: Verovatnoa sluajne promenljive X na intervalu ( ),x x x+ iznosi ( ) ( )x x

x

P x X x x f t dt+

+ = ili aproksimativno ( ) ( )P x X x x f x x + = .

Primer:

Odrediti konstantu a tako da funkcija ( ) 2 , 0 10, 0, 1ax x

f xx x

= < >,

bude funkcija gustine raspodele verovatnoe neprekidne sluajne promenljive. Zatim nai funkciju raspodele i izraunati ( )0 2P X< < . Kako je

( )

12

0

1

1 3

f x dx

ax dx a

=

= =

.

Funkcija gustine glasi ( ) 23 , 0 10, 0, 1x x

f xx x

= < >.

Ova funkcija je definisana za svako R, pozitivna, i neprekidna svuda osim u taki x=1, pa moe da bude funkcija gustine.

Funkcija raspodele prema formuli glasi: ( ) 2 30

0, 0

3 , 0 1

1, 1

x

x

F x x dx x x

x

3.4. VANI OBRASCI

Zakon raspodele diskretne sluajne promenljive

1 2

1 2

:x x

Xp p

KK

Kumulativna funkcija raspodele diskretne sluajne promenljive

( )1

1, 1 2

1 2 2 3

0,

,.......................1, n

x xp x x x

F x p p x x x

x x

<

Zakon raspodele je: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

: 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 136 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

X

.

2. U kesi se nalaze 5 belih i 3 crne kuglice. Vade se po 2 kuglice. Neka sluajna

promenljiva X predstavlja broj belih kuglica. Napisati zakon raspodele sluajne promenljive X.

Reenje: Sluajna promenljiva uzima 3 mogue vrednosti 0,1,2. Broj belih kuglica je sluajna promenljiva sa verovatnoama:

( ) ( ) ( )3 15 100 , 1 , 228 28 28

P X P X P X= = = = = = .

0 1 2: 3 15 5

28 28 14X

.

3. U bacanju 3 dinara broj grbova koji se moe pojaviti na gornjim stranama dinara

je 0,1,2,3. Odrediti zakon raspodele sluajne promenljive X koja predstavlja broj grbova, kao i funkciju raspodele.

Reenje: Neka je sluajna promenljiva X broj registrovanih grbova.

El.dog. GGG GGP GPG PGG GPP PGP PPG PPP

Broj grbova 3 2 2 2 1 1 1 0 verovatnoe 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

Sluajna promenljiva uzima 4 mogue vrednosti 0,1,2,3

Broj grbova je sluajna promenljiva sa verovatnoama:

( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 10 , 1 , 2 , 38 8 8 8

P X P X P X P X= = = = = = = = .

59

Zakon raspodele verovatnoa broja grbova je: 0 1 2 3

: 1 3 3 18 8 8 8

X

Funkciju raspodela:

( )

0, 01 , 0 184 , 1 287 , 2 381, 3

x

x

F x x

x

x

5. Sluajna promenljiva X data je zakonom raspodele

2 1 2 3:

0,08 0,4 0,32 0,2X

Nai verovatnoe dogaaja

( ) ( ) ( )2 , 1 3 , 1 3P X P X P X< < < .

Reenje: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 1 0,48

1 3 1 1 0,72

1 3 2 3 0,52

P X P X P X

P X P X P X

P X P X P X

< = = + = = < = = + = =< = = + = =

6. Kocka za igru se baca do pojave petice, a najvie 4 puta. Neka je X broj bacanja.

Odrediti zakon raspodele sluajne promenljive X, funkciju raspodele i nacrtati grafik.

7. Kocka za igru se baca dva puta. Neka je X maksimum dobijenih brojeva. Odrediti

zakon raspodele sluajne promenljive X.

8. Data je ( ) 3 , 00, 0

xce xf x

x

>= . Odrediti nepoznati parametar c tako da ova

funkcija bude funkcija gustine sluajne promenljive X. Zatim odrediti funkciju raspodele i izraunati ( )1 2P X< < , ( )3P X i ( )1P X < .

Reenje:

Kako je

( ) ( )3 3 30

lim 103 3 3

1 33

x x x

x

c c cf x dx ce dx e e

c c

= = = =

= =

.

61

( ) 3 30 3 1 , 00, 0

xx xe dx e x

F xx

= >=

( ) ( ) ( ) 3 61 2 2 1P X F F e e < < = = ( ) ( ) ( ) 93 1 3 1 3P X P X F e = < = = ( ) ( ) 31 1 1P X F e< = = .

9. Data je ( )2 , 1 2, 2 3

0, 3

cx xf x cx x

x

= <

( )3

2

1

2

2

0, 1

6 2 2 , 1 229 29

6 3 4 , 2 329 291, 3

x

x

x

xx dx xF x

xxdx x

x

= = = < = < = .

10. Odrediti konstantu a tako da funkcija ( ) 2 1af xx

= + , bude funkcija gustine raspodela verovatnoa neprekidne sluajne promenljive. Zatim nai funkciju raspodela i izraunati ( )1 1P X < < .

Reenje:

Kako je

( ) ( )( )2111

2 2

af x dx dx a arctg arctgx

a a

= = =+

+ = =

.

Funkcija gustine glasi ( ) ( )211f x x= + . Ova raspodela se zove Koijeva raspodela.

Traena verovatnoa

( ) ( ) ( )( )1

21

1 11 1 1 121

dxP X arctg arctgx

< < = = =+ .

63

11. Funkcija raspodele sluajne promenljive X data je izrazom

( ) 21 , 00, 0

xe xF x

x

= , c) i ( )3 4P X < .

Reenje:

a) Kako je ( ) ( ) 22 , 00, 0

xe xdFf x F xdx x

= = = = = = . Ovaj izraz je bilo mogue i izraunati kao

( ) ( ) 42 2 1P X F e = = , a kako je ( ) ( ) ( )4 42 1 2 1 1P X P X e e > = = =

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 4 3 4 3P X P X P X F F < = = = ( )8 81 0 1e e =

Ili ( ) ( )4 0 4 2 2 83 3 0

43 4 0 2 1

0x xP X f x dx dx e dx e e

< = = + = = .

12. Data je ( ) ( ) [ ]24 2 , 0,20, 2, 0

a x x xf x

x x

= >

64

4. PARAMETRI ILI BROJNE KARAKTERISTIKE SLUAJNIH PROMENLJIVIH

Funkcija raspodele ili zakon raspodele, za diskretnu sluajnu promenljivu, i

funkcija raspodele ili gustina raspodele verovatnoa, za neprekidnu sluajnu promenljivu predstavljaju potpune karakteristike tih promenljivih. Meutim, u mnogim praktinim problemima, nije potrebno okarakterisati sluajnu promenljivu u potpunosti. Najee je potrebno ukazati samo na neke parametre ( numerike pokazatelje ) koji do izvesne mere karakteriu bitne osobine raspodele verovatnoa. Najvei praktini znaaj imaju dve grupe parametara.

Parametri koji reprezentuju centar rasturanja vrednosti sluajne promenljive, parametri koji mere to rasturanje oko centra rasturanja.

4.1. PARAMETRI KOJI REPREZENTUJU CENTAR RASTURANJA

Matematiko oekivanje je oekivana vrednost, srednja ( prosena ) vrednost, nada, sluajne promenljive.

Definicija: Ako je X diskretna sluajna promenljiva ija je raspodela verovatnoa jednaka

1 2

1 2

n

n

x x xp p p

KK i 1 2 1np p p+ + + =K , onda je matematiko oekivanje sluajne

promenljive X

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 21

n

n n n n i ii

E X xP X x x P X x x P X x x p x p x p xP X x=

= = + = + + = = + + + = =K K .

Diskretna sluajna promenljiva moe da uzima konano mnogo, kao u predhodnoj definiciji ili prebrojivo mnogo vrednosti.

65

U specijalnom sluaju, kada je sluajna promenljiva X vezana za eksperiment koji se nezavisno n puta realizuje i verovatnoe su jednake. Ako sluajna promenljiva X uzima vrednost 1x u 1f u prvom eksperimenatu, 2x u 2f u drugom eksperimenatu i td. gde je 1 2 nf f f n+ + =K , matematiko oekivanje iznosi

( ) 1 1 2 2 n nx f x f x fE Xn

+ + += K i predstavlja aritmetiku sredinu vrednosti 1 2, , nx x xK .

Definicija: Ako je X neprekidna sluajna promenljiva sa gustinom raspodele ( )f x , onda je matematiko oekivanje

( ) ( )E X x f x dx+

= . Napomena: Da bi postojalo matematiko oekivanje, nesvojstveni integral kod neprekidne sluajne promenljive, odnosno red kod diskretne sluajne promenljive, moraju da konvergiraju.

OSOBINE MATEMATIKOG OEKIVANJA Neka je C proizvoljni realni broj, a X i Y sluajne promenljive. Tada vai: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

E C C

E CX CE X

E X Y E X E Y

==

+ = +

Ako su X i Y nezavisne sluajne promenljive ( ) ( ) ( )E XY E X E Y=

66

Primer:

Neka je 3 5 21 6 3

10 10 10

zakon raspodele diskretne sluajne promenljive X. Nai

matematiko oekivanje ( )E X i zatim ( ) ( )25 1 ,E X E X+ . ( ) 1 1 2 2 3 3 1 6 3 393 5 210 10 10 10E X x p x p x p= + + = + + = ( ) ( ) 415 1 5 1

2E X E X+ = + =

( )2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 6 3 1719 25 410 10 10 10E X x p x p x p= + + = + + = . Primer: Data je neprekidna sluajna promenljiva sa funkcijom gustine

( )1 ,

0, ,

a x bf x b a

x a x b

= < >.

Nai matematiko oekivanje ( )E X i ( )2E X .

( ) ( ) 21 12 2

bba

a

x a bE X x f x dx x dxb a b a

+

+= = = = , ( ) ( ) 3 3 2 22 2 2 1 1

3 3

b

a

b a b ab aE X x f x dx x dxb a b a

+

+ += = = = .

Za matematiko oekivanje umesto oznake ( )E X se koriste oznake X ili .

Iako se naziva oekivanje, matematiko oekivanje nije vrednost koju treba oekivati, ak ne mora da bude ni mogua vrednost sluajne promenljive.

67

Primer: Neka sluajna promenljiva X predstavlja broj pisama u tri bacanja novia.

Zakon raspodele sluajne promenljive X je0 1 2 31 3 3 18 8 8 8

.

Matematiko oekivanje ( ) 1 3 3 10 1 2 3 1,58 8 8 8

E X = + + + = . Matematiko oekivanje se naziva i momentom prvog reda.

Moment k-tog reda definie se kao ( ) ( )1

nk k

i ii

E X x P X x=

= = . Primer: Dva igraa bacaju kocku. Pre bacanja prvi igra uplati unapred neku svotu. Posle bacanja drugi igra plaa prvom onoliko dinara koliki broj padne. Koliko treba da uplati prvi igra da bi igra bila fer? Ako bi prvi igra uplatio 1 dinar, posle prvog bacanja drugi igra bi morao da uplati prvom bar dinar, a verovatno i vie, znai igra je nepovoljna za njega, drugog igraa. Ako prvi uplati 6 dinara, moe da dobije uloeni novac, ali je verovatnije da e dobiti manje, pa je to nepovoljnije za prvog igraa. Ali ako posmatramo matematiko oekivanje sluajne promenljive X koja predstavlja broj koji moe da se dobije kada kocka padne, sa podjednakim verovatnoama 1/6,

( ) 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 3,56 6 6 6 6 6

E X = + + + + + = . Znai prvi igra treba da uplatiti 3,5 dinara da bi igra bila podjednako povoljna za obojicu.

68

4.2. PARAMETRI KOJI MERE RASTURANJE SLUAJNE PROMENLJIVE OKO CENTRA RASTURANJA

U nekim situacijama srednja vrednost nije dovoljna karakteristika za opisivanje

pojava. To moemo da vidimo iz sledeih primera.

Primer: Ako se kae da je prosena temperatura u nekom mestu tokom godine 15 stepeni, imamo utisak prijatne klime, ali moda je leti 040 , a zimi 010 . Primer: Posmatrajmo dve diskretne sluajne promenljive iji su zakoni raspodele dati sa:

1 2 6

: 2 1 47 7 7

X

i 60 30 44,5

: 2 1 47 7 7

Y

.

U oba sluaja matematika oekivanja su ista, tj ( ) ( ) 4E X E Y= = . Odstupanja za prvu sluajnu promenljivu, ( )X E X , su redom -3, -2, 2 dok su za drugu promenljivu, ( )Y E Y , redom -64, -34, 40,5. Iako su im matematika oekivanja ista, odstupanja za promenljivu X su relativno mala, dok su za promenljivu Y velika, pa se raspodele sluajnih promenljivih dosta razlikuju.

Prema tome, osim srednje vrednosti potrebno je znati kolika su odstupanja,

odnosno kolika je rasprostranjenost moguih vrednosti sluajne promenljive oko oekivane vrednosti.

69

Definicija: Neka je X sluajna promenljiva sa matematikim oekivanjem ( )E X . Disperzija ili varijansa sluajne promenljive X se definie kao matematiko oekivanje kvadrata odstupanja sluajne promenljive X od matematikog oekivanja

( ) ( )( )2D X E X E X= Kvadratni koren varijanse naziva se standardna devijacija ili standardno odstupanje

( ) ( )X D X = . Definicija: Ako je X diskretna sluajna promenljiva , onda je disperzija

( ) ( )( )2D X E X E X= = ( )( )21

n

i iix E X p

=

Definicija: Ako je X neprekidna sluajna promenljiva sa gustinom raspodele ( )f x , onda je disperzija

( ) ( )( ) ( )2D X x E x f x dx+

=

Disperzija predstavlja meru rasturanja vrednosti sluajne promenljive X oko

sredine ( )E X . Ako je koncentracija vrednosti oko sredine velika, disperzija je mala, dok ako se vrednosti sluajne promenljive znaajno rasipaju oko sredine, disperzija je velika. Ova injenica je ilustrovana na narednom grafiku.

70

E =

mala disperzija

velika disperzija

x

( )f x

OSOBINE VARIJANSE Neka je C proizvoljni realni broj, a X i Y sluajne promenljive. Tada vai: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2

0D C

D X E X E X

D CX C D X

D X a D X

== =

+ =

Ako su X i Y nezavisne sluajne promenljive ( ) ( ) ( )D X Y D X D Y+ = +

Primer: Izraunati disperziju i standardno odstupanje sluajne promenljive X, ako je

definisana sa 0 1 21 3 12 8 8

.

( ) 1 3 1 50 1 22 8 8 8

E X = + + = ,

( ) ( )( ) 2 2 2 22 5 5 1 5 3 5 1 310 1 28 8 2 8 8 8 8 64

D X E X E x E X = = = + + = .

( ) 3164

X = ,

71

ili koristei osobinu po kojoj je ( ) ( ) ( )22D X E X E X=

20 1 4

: 1 3 12 8 8

X

( )2 1 3 1 70 1 42 8 8 8E X = + + = ,

( ) ( ) ( ) 222 7 5 318 8 64D X E X E X = = = . Primer: Neka je data gustina raspodele verovatnoe sluajne promenljive X

( )1 1 1 , 0 23 20, 0, 2

x xf x

x x

+ = < >.

Izraunati disperziju i standardnu devijaciju sluajne promenljive X.

( ) ( ) 20

1 1 1012 2 9

E X x f x dx x x dx+

= = + = , ( )( )

22

0

10 1 1 261 ,9 2 2 81

2681

D X x x dx

X

= + = =

72

4.3. VANI OBRASCI Matematiko oekivanje diskretne sluajne promnljive

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 21

n

n n n n i ii

E X xP X x x P X x x P X x x p x p x p xP X x=

= = + = + + = = + + + = =K K Matematiko oekivanje neprekidne sluajne promenljive

( ) ( )E X x f x dx+

= Osobine matematikog oekivanja

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

E C C

E CX CE X

E X Y E X E Y

==

+ = +

( ) ( ) ( )E XY E X E Y= Disperzija ili varijansa sluajne promenljive

( ) ( )( )2D X E X E X=

Standardna devijacija ili standardno odstupanje

( ) ( )X D X =

Disperzija ili varijansa diskretne sluajne promenljive

( )D X = ( )( )21

n

i iix E X p

=

Disperzija ili varijansa neprekidne sluajne promenljive

( ) ( )( ) ( )2D X x E x f x dx+

=

73

Osobine disperzije ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2

0D C

D X E X E X

D CX C D X

D X a D X

== =

+ =

( ) ( ) ( )D X Y D X D Y+ = +

4.4. ZADACI

1. Neka je dat zakon raspodele za X izrazom 1 2 3

2 3 510 10 10

x x x .

Nai matematiko oekivanje. Reenje:

U ovom primeru aritmetika sredina bila bi ( )1 2 31 2 3 510x x x x= + + , ili ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3x P X x x P X x x P X x= + = + = , to je u stvari matematiko oekivanje.

2. Data je sluajna promenljiva X zakonom raspodele 2 1 3

1 1 13 6 2

. Nai

( ) ( ) ( )2, 3 4 ,E X E X E X+ . Reenje:

( ) 1 1 12 1 3 13 6 2

E X = + + = ( ) ( ) ( )3 4 3 4 3 4 7E X E X E X+ = + = + = ( ) ( )22 2 21 1 12 1 3 63 6 2E X = + + = .

74

3. Prvi igra baca 2 kocke, a drugi igra mu plaa onoliko dinara koliko iznosi zbir dobijenih brojeva baenih kocki. Kolika je srednja dobit prvog igraa?

Reenje:

2 3 4 7 11 12: 1 2 3 6 2 1

36 36 36 36 36 36X

L L

L L,

( ) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 736 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

E X = + + + + + + + + + + = .

4. Prvi igra baca 2 kocke, a drugi igra mu plaa onoliko dinara koliko iznosi proizvod dobijenih brojeva baenih kocki. Kolika je srednja dobit prvog igraa?

Reenje: 12,15.

5. Dve koarkake ekipe su postigle 96 poena. U prvoj 4 igraa su postigla po 6 , 4

igraa po 8 i 4 po 10 poena, a u drugij ekipi 11 igraa po 4 i 1 po 52 poena. Neka su X i Y sluajne promenljive broj poena sluajno izabranog igraa. Odrediti njihove funkcije raspodele, grafiki ih prikai i nai matematika oekivanja.

Reenje: 6 8 104 4 4

12 12 12X

= ,

4 5211 112 12

Y =

( ) ( )

0, 60, 44 ,6 8 1112 ,4 52

8 12,8 10 1, 52121, 10

xx

xF x F x x

x xx

( )F x1

x6 8 10

4 12

8 12

( )F x1

x4 52

11 12

( ) ( ) ( )1 11 16 8 10 8, 4 52 03 12 11

E X E Y= + + = = + = .

6. Lutrija ima sledee dobitke:

1 dobitak od 500 000 dinara 2 dobitka od 100 000 dinara 5 dobitaka od 50 000 dinara 20 dobitaka od 10 000 dinara 100 dobitaka od 5 000 dinara 1000 dobitaka od 1 000 dinara Ako cena jednog loza iznosi 100 dinara i izdato je 50 000 lozova, koliko je matematiko oekivanje osobe koja kupi loz?

76

Reenje: Verovatnoa da uesnik izvue loz sa nekim dobitkom je

, 1,2,3,4,550000kP k= = .

( ) ( )21 1 500000 2 100000 5 50000 20 10000 100 5000 1000 100 4750000E X = + + + + + = Moe se dakle zakljuiti da je lutrija nepovoljna za uesnika, od svakog kupljenog loza gubi 47 dinara. 7. Prodavac sladoleda zaradi 120 dinara kada je lep dan i 40 dinara kada je

hladno.Koliko moe da oekuje da zaradi u danu za koji je verovatnoa da e biti hladno 0,35?

Reenje:

( ) 120 0,65 40 0,35 84E X = + =

8. Neka je X nepr

Documents

Verovatnoća i statistika