1.

1. Förord................................................................................................................................2

2. Vilka verktyg behöver du? .................................................................................................2

3. Roliga trianglar .................................................................................................................3

3.1 Vad är en triangel? ..................................................................................................................... 3

3.2 Den ”roliga triangelns” beståndsdelar ...................................................................................... 4

4. Kan Pythagora bli rolig någonsin?....................................................................................5

4.1. Uppgifter : Pythagoras sats................................................................................................. 7

5. Trigonometri......................................................................................................................8

5.1 Sinus och cosinus – vad är det?................................................................................................. 8

5.2 Exempel........................................................................................................................................ 9

6. Sammanfattning ..............................................................................................................10

7. Ellära trianglar................................................................................................................11

7.1 Seriekretsar................................................................................................................................ 11

2.

1. Förord

Kära EC2 elever! Flera av Er har önskat en enklare och framförallt roligare Ellära B kurs och denna lathund som jag utarbetat under min fritid är ett av mina blygsamma försök att bemöta Era önskemål. Jag har offrat min fritid för att kunna skriva lathunden och därför kan jag med gott samvete begära av Er en del av Er fritid där Ni i lugn och ro kan studera/använda den. Genom att använda den som ett komplement till den övriga kurslitteraturen så är min förhoppning att alla Ni klarar kursen och får höga betyg. Sist men inte minst: Ert misslyckande är mitt misslyckande.

Vesat./

2. Vilka verktyg behöver du? När du jobbar praktiskt med olika elinstallationer så behöver du oundvikligen flera verktyg: skruvmejslar, avbitare, kniv etc. Samma sak gäller när du jobbar teoretiskt med olika kurser. Även här behöver du verktyg annars kan man inte bearbeta kursmaterialen. Dessa verktyg kallar jag för virtuella eller teoretiska verktyg. Dessa verktyg kan inte köpas i affären utan man måste bygga upp de steg för steg. När det gäller kursen Ellära B så behöver du följande verktyg:

• Pythagoras sats • Trigonometri

Låt oss nu börja med att virtuellt bygga upp dessa verktyg.

Frågor att besvara: 1. Vilka ”virtuella” verktyg behöver du för att kunna klara av kursen Ellära B?

3.

3. Roliga trianglar För att kunna använda verktyg så behöver man även arbetsmaterial. T ex för att kunna genomföra en elinstallation så räcker det inte med skruvmejsel, avbitare etc. utan man måste ha även arbetsmaterial såsom kablar, strömbrytare, eluttag, elcentral etc. Dessutom så måste man veta t ex hur en strömbrytare fungerar, hur den ser ut osv. Det är samma sak med våra virtuella verktyg. Pythagoras sats och trigonometri används när man ska jobba med trianglar . genom att använda dessa verktyg så kan man ”lösa” en triangel. I grund och botten så består kursen Ellära B av en massa trianglar som skall ”lösas”. Med andra ord klarar man att lösa en triangel så klarar man lösa minst 80% av kursuppgifterna under förutsättning att man behärskar Ohms lagen.

3.1 Vad är en triangel? En triangel är en geometrisk figur bestående av tre sammanslutna linjer . Det finns olika typer av trianglar. Här nedan så har jag ritat 3 olika trianglar (se bilden nedan):

a) b) c) Triangeln c) är den triangel som man jobbar med i kursen Ellära B och av förståeliga skäl så anser jag att den är roligast. Från och med nu så tar jag friheten att döpa om den med namnet ”den roliga triangeln”. Denna triangel kallas också för rätvinklig triangel eftersom 2 triangelsidorna bildar rät vinkel (90o). Dessutom som vi snart kommer att se så kan Pythagoras sats tillämpas bara på den rätvinkliga triangeln.

90o

TESTA DIG SJÄLV!

1. Vad är en triangel? 2. Vad menar man med rätvinklig triangel?

4.

3.2 Den ”roliga triangelns” beståndsdelar

Som vi sa tidigare så är triangeln en geometrisk figur bestående av tre sammanslutna linjer. Om två av dessa linjer bildar en rättvinkel (90o) så kallas triangeln dessutom rättvinklig (se bilden nedan).

Oavsett utseendet på den rätvinkliga triangeln så är det alltid så att de två kortaste sidor (linjer) skapar den rätta vinkeln (90o). I triangeln kallas de två kortsidorna som bildar rät vinkel med varandra kateter. Den tredje och längsta sidan kallas för hypotenusa. I bilden till vänster så är a och b kateter medan c är hypotenusa. Som vi kan se av bilden så bildar kateterna a och b den räta vinkeln φ = 90o.

Här har vi betecknat kateterna med bokstäverna a,b men vi kan beteckna de med vilka som helst bokstäver vi kan till och med använda våra namn om vi vill (se bilden nedan):

Här är det Vesat och Reino som omvandlades till kateter medan Stefan blir en hypotenusa. Dessutom är Stefan även i verkligheten längre än Vesat och längre än Reino.

OBS! Har du inte läst och förstått avsnitt 3.1 så kan det här avsnittet bli tråkigt.

φ

TESTA DIG SJÄLV!

1. Vad menar man med ordet katet? 2. Vad menar man med ordet hypotenusa?

5.

4. Kan Pythagora bli rolig någonsin?

Pythagora var en gubbe som sysslade mycket med geometri och siffror. Dessutom var han också lärare (jag antar att han var en rolig sådan) som hade många lärjungar som i sin tur blev också kända precis som Pythagora själv. Under sina lediga stunder så studerade han rätvinkliga trianglar . Så småningom upptäckte han ett matematiskt samband mellan hypotenusan och kateter. Han insåg att om man kan längden på två av rätvinkliga triangelns sidor så kunde man alltid beräkna den tredje sidans längd. Det här sambandet kallar vi för Pythagoras sats. Följande fall kan förekoma: Fall 1: Jag kan längden på hypotenusan och en katet. Jag vill beräkna den andra kateten.

Formeln lyder så här:

Hur ska du komma ihåg denna formel? Eftersom vi beräknar en katet och kateten är alltid mindre an hypotenusan (i fallet ovan så är kateten a mindre en hypotenusan c) så är det ganska logiskt att man subtraherar katetens kvadrat från hypotenusans kvadrat dvs. c2 - b2 och sedan beräknar man roten ur…

OBS! Om du inte vet vad hypotenusa eller kateter är för någonting så förstör du den roliga med denna kurs. Gå tillbaka till avsnitt 3.2 istället så blir det ännu roligare.

6.

Om vi tillämpar ovanstående formel på triangeln ovan så blir det: Svar: b = 8m Fall 2: Jag kan längden på två kateter och vill beräkna längden på hypotenusan.

Nu lyder formeln så här: Om vi tillämpar formeln så får vi:

Svar: c = 15cm

7.

Generellt kan man skriva så här:

eller:

eller:

4.1. Uppgifter : Pythagoras sats

1. Rita en rätvinklig triangel. Beteckna kateterna med p, s och hypotenusan med t. Skriv Pythagoras sats (formeln):

a) som beräknar kateten p om man kan s och t b) som beräknar hypotenusan t om man kan kateterna p och s c) som beräknar kateten s om man kan p och t.

2. I en rätvinklig triangel så är kateten d=3, hypotenusan g=5. Beräkna kateten f.

3. Rita en rätvinklig triangel. Beteckna kateterna med z och w medan hypotenusan betecknar du med x. Längden på kateterna är z=4 och w=6. Beräkna längden på hypotenusan x. 4. Rita en rätvinklig triangel. Beteckna den vågräta kateten med UR. Beteckna den

lodräta kateten med UL. Beteckna hypotenusan med U. Gör nu följande:

a) beräkna UR om UL=6 och U=14. b) beräkna U om UL=4 och UR=7.

c) Beräkna UL om UR=5 och U =9

8.

5. Trigonometri

Ni har säkert hört ordet trigonometri. Men vad är trigonometrin egentligen? Trigonometrin är läran om förhållandet mellan vinklar och sidor i en rättvinklig triangel. Trigonometri användes först i det forntida Egyptens, Mesopotamiens och Induskulturens civilisationer, för mer än 4000 år sen. Man talar om trigonometriska funktioner såsom sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tan) cotangens (cot) , sekant (sec) och cosecant (csc). När det gäller Ellära B så räcker det att kunna sinus och cosinus funktionerna.

5.1 Sinus och cosinus – vad är det? Låt oss betrakta nedanstående bild:

Kateten a ligger mitt emot vinkeln φ. Denna katet kallar vi för motstående katet. Kateten b ligger vid sidan om vinkeln φ. Denna katet kallar vi för närliggande katet. Förhållandet (kvoten) mellan den motstående kateten och hypotenusan kallar vi för sinus av vinkeln φ och betecknar med sin φ.

Med andra ord : c

a=ϕsin

Förhållandet (kvoten) mellan den närliggande kateten och hypotenusan kallar vi för cosinus av vinkeln φ och betecknar med cos φ.

Med andra ord: c

b=ϕcos

Generellt kan man skriva så här:

hypotenusa

katetmotstående.sin =ϕ och

hypotenusa

katetenärliggand .cos =ϕ

9.

5.2 Exempel a) I en rättvinklig triangel är motstående katet a = 6 och hypotenusan c = 12. Beräkna storleken på vinkeln φ i triangeln.

hypotenusa

katetmotstående.sin =ϕ

12

6sin =ϕ 5,0sin =ϕ

När du fått 0,5 på räknarens display använder du knappen sin-1 för att omvandla sinusvärdet till en vinkel. Du matar in följande på din miniräknare: 0,5sin-1 och som resultat så får du 30. Därmed blir svaret: φ = 30 o. b) Beräkna cosinusvärdet för en vinkel som är 60o . Skriv 60 på räknaren och tryck på knappen cos så får du cosinusvärdet 0,5. c) Beräkna vinkel φ i en rättvinklig triangel (se bilden nedan) som har g = 17,69 och f = 15

.

hypotenusa

katetenärliggand .cos =ϕ

g

f=ϕcos

69,17

15cos =ϕ

8480,0cos =ϕ

Omvandla cosinusvärdet 0,8480 till en vinkel genom att använda knappen cos-1 på miniräknaren: 0,8480 cos-1. Som resultat så får du 32. Därmed blir svaret: φ = 32 o.

10.

6. Sammanfattning

Pythagoras sats:

eller:

Trigonometri:

hypotenusa

katetmotstående.sin =ϕ eller:

c

a=ϕsin

hypotenusa

katetenärliggand .cos =ϕ eller:

c

b=ϕcos

22

22

22

12

21

21

katethypotenusakatet

katethypotenusakatet

katetkatethypotenusa

−=

−=

+=

22

22

22

acb

bca

bac

−=

−=

+=

TESTA DIG SJÄLV!

1. Hur definierar man sinus av en vinkel φ i en rättvinklig triangel? 2. Hur definierar man cosinus av en vinkel φ i en rättvinklig triangel?

11.

7. Ellära trianglar

7.1 Seriekretsar De trianglar som man konstruerar genom att analysera ström och spänning i RL och RC seriekretsar har jag valt att sammanfatta i nedanstående tabell:

LR - krets

Spänningstriangel Motståndstriangel Effekttriangel

U

U

U

U

riTrigonomet

UUU

UUU

UUU

Pythagora

L

R

RL

LR

LR

=

=

−=

−=

+=

ϕ

ϕ

sin

cos

:

:

22

22

22

Z

X

Z

R

riTrigonomet

RZX

XZR

XRZ

Pythagora

L

L

L

L

=

=

−=

−=

+=

ϕ

ϕ

sin

cos

:

22

22

22

S

Q

S

P

riTrigonomet

PSQ

QSP

QPS

Pythagora

L

L

L

L

=

=

−=

−=

+=

ϕ

ϕ

sin

cos

:

:

22

22

22

12.

RC - krets

Spänningstriangel Motståndstriangel Effekttriangel

U

U

U

U

riTrigonomet

UUU

UUU

UUU

Pythagora

C

R

RC

CR

CR

=

=

−=

−=

+=

ϕ

ϕ

sin

cos

:

:

22

22

22

Z

X

Z

R

riTrigonomet

RZX

XZR

XRZ

Pythagora

C

C

C

C

=

=

−=

−=

+=

ϕ

ϕ

sin

cos

:

22

22

22

S

Q

S

P

riTrigonomet

PSQ

QSP

QPS

Pythagora

C

C

C

C

=

=

−=

−=

+=

ϕ

ϕ

sin

cos

:

:

22

22

22