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Vetores Reta Orientada:
Possui Percurso
Segmento Orientado
Ponto Origem
Ponto Extremidade
Vetores Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados
de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.
Um segmento orientado é um conjunto de pontos.
Um vetor um conjunto de segmentos orientados.
Cada segmento orientado de um vetor é chamado de imagem geométrica ou representante de um vetor.
Os segmentos orientados de um vetor também são conhecidos como representantes.
Vetores
Emprega-se a palavra vetor em vez de imagem geométrica do vetor.
A palavra vetor significa transportado, ou seja, um ponto A é transportado até o ponto B.
Vetores Vetor é uma tripla constituída de uma direção, um
sentido e um módulo.
O Módulo é um número não negativo que indica o comprimento do vetor. Ex:
Vetores O Versor de um vetor v é o vetor unitário que tem a
mesma direção e sentido de v.
Vetores Vetor Oposto
Vetores Vetores colineares possuem a mesma direção, ou seja,
são paralelos ou pertencem à mesma reta.
Vetores equiversos possuem o mesmo sentido. Caso contrário, são contraversos.
Vetores Multiplicação de um vetor por um escalar k
Se k >0 , o vetor e o produto são equiversos
Vetores Se k< 0, os vetores são contraversos
Vetores coplanares possuem representantes no mesmo plano
Vetores Adição de Vetores
A soma de n vetores é feita considerando imagens geométricas dos vetores de modo que a extremidade de cada valor coincida com a origem do seguinte
O vetor soma é o vetor que fecha a poligonal.
Ex: Se B = A+u, e C = B + v, então u = B-A e v = C-B.
Vetores Propriedades:
Sob forma de tripla:
Vetores Subtração de Vetores
Na diferença entre dois vetores, eles possuem a mesma origem
A diferença não é comutativa:
Vetores
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Vetores Dois vetores não colineares são sempre coplanares
O vetor está está sempre no mesmo plano que v1 e v2
Vetores Se v1 e v2 estão em um plano e v3 em outro, a soma do
vetor com o vetor será um vetor no espaço.
Vetores
Vetores
Vetores
Vetores Ângulo
Exercícios
Vetores no R² e no R³ Vetores relacionados com os sistemas de eixos
cartesianos do plano e do espaço.
Dados dois vetores não colineares, qualquer vetor coplanar v pode ser decomposto segundo a direção desses dois.
Vetores no R² e no R³ Quando o vetor v estiver representado por:
dizemos que v é a combinação linear de v1 e v2, e que v é coplanar de v1 e v2.
Os vetores v,v1 e v2 estão no plano
Os números a1 e a2 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base {v1,v2}
É possível afirmar que o vetor a1v1 é chamado projeção de v sobre v1 segundo a direção de v2, e vice-versa
Bases ortonormais: os vetores são ortogonais e unitários, isto é:
Vetores no R² e no R³ Na figura abaixo, v = 3e1 + 2e2
Vetores no R² e no R³ Base canônica: possui segmentos orientados com
origem em O e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1).
Vetores no R² e no R³ Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números
reais e representados pela expressão analítica:
O componente x é a abcissa e y a ordenada.
Dois vetores são iguais se x1=x2, e y1=y2.
Sendo dois vetores , defini-se:
Vetores no R² e no R³ Exemplo de três pontos no plano
Vetores no R² e no R³ Exemplos
2) Encontrar os números a1 e a2 tais que:
W = a1U + a2V, sendo U=(1,2), V=(4,-2) e W = (-1,8)
Vetores no R² e no R³ O vetor tem origem no ponto A(x1,y1) e
extremidade em B(x2,y2), ou seja:
Ex: Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determinar D(x,y) de modo que:
BA
)12,12( yyxxBA ABBA
BADC
2
1
Vetores no R² e no R³
Exercícios Determinar a extremidade do segmento que
representa o vetor (2,-5), sabendo que sua origem é o ponto A(-1,3).
Dados os vetores = (3,1) e =(-1,2), determinar o vetor tal que:
Dados os vetores u=(2,-4) e v=(-5,1) e w=(-12,6), determinar k1 e k2 tal que
v
u
v w
)34(2)2(3)
23
1)(4)
uwuvwb
wuwvua
vkukw
21
Vetores no R² e no R³ No espaço, qualquer conjunto de 3 vetores não coplanares é
uma base.
Assim como no plano, um vetor no espaço é combinação linear dos vetores da base:
Base ortonormal no espaço: os três vetores são unitários, e ortogonais dois-a-dois.
Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: xy, xz e yz.
Cada ponto no espaço vai corresponder uma terna (a,b,c), chamadas coordenadas e denominadas, abcissa, ordenada e cota, respectivamente.
Vetores no R² e no R³ Três vetores no espaço
Vetores no R² e no R³ Combinação Linear no espaço
Vetores no R² e no R³
Vetores no R² e no R³ É possível afirmar que este espaço tem três dimensões
porque qualquer uma de suas bases tem três vetores.
Logo, o plano é bidimensional.
O conjunto formado pelo ponto O e pela base {i,j,k} é chamado referencial ortonormal da origem O, ou sistema cartesiano ortonormal.
O produto cartesiano R² é representado geometricamente no plano cartesiano
O produto cartesiano R³ é representado geometricamente no espaço cartesiano
Exemplos
Dados os pontos P(1,2,4), Q(2,3,2) e R(2,1,-1), determinar as coordenadas de um ponto S tal que P,Q,R e S sejam vértices de um paralelogramo.
Vetores no R² e no R³ Paralelismo entre Dois Vetores no Plano
Vetores no R² e no R³ Paralelismo de Dois Vetores no Espaço
Vetores no R² e no R³ Exemplo
Vetores no R² e no R³ Paralelismo entre três vetores no espaço:
Ex: Verificar se são colineares os pontos:
A(-1,-5,0), B(2,1,3) e C(-2,-7,-1)
Exemplos Determinar os valores de m e n para que sejam
paralelos os vetores u=(m+1,3,1) e v=(4,2,2n-1).
Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento da reta de extremidades A(x1,y1) e B(x2,y2)
Exercícios
Exercícios
Vetores no R² e no R³ Coplanaridade de vetores no espaço
Vetores no R² e no R³ Lembrete:
O determinante de uma Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária.
Exercícios