Fizičko tehnička merenja – Laboratorijski vežba – Sistemi I i II reda

strana 1 od 6

IV VEŽBA

4. SNIMANJE KARAKTERISTIKA DINAMIČKIH SISTEMA PRVOG I DRUGOG REDA

Dinamičke karakteristike većine senzora se mogu opisati diferencijalnim jednačinama prvog ili drugog reda. Sisteme prvog reda karakteriše vremenska konstana koja predstavlja vreme potrebno da izlaz pretvača dostigne 63.2 % vrednosti koje odgovara ustaljenom stanju, u odnosu na početak odskočne pobude kojoj je podvrgnut posmatrani pretvarač. Dinamičko ponašanje sistema drugog reda opisuje koeficijent prigušenja koji zavisi od sredine u kojoj se pretvarač nalazi i sopstvene učestanosti koja zavisi od konstrukcije pretvarača. Za prigušenja manja od 1, pri impulsnoj pobudi, odziv pretvarača su kvaziperiodične oscilacije, kod kojih amplituda oscilacija eksponencijalno opada sa vremenom, a što je prigušenje veće to i oscilacije brže isčezavaju.

4.1. ZADATAK VEŽBE

a) Sistem I reda. Izvršiti odskočnu pobudu silicijumskog temperaturskog senzora i na bazi odziva snimljenog računarom odrediti vremensku konstantu senzora s][ , bez i sa zaštitnog sloja. b) Sistem II reda. Ostvariti impulsnu pobudu pretvarača sile (konzole sa dve zalepljene merne trake) i odrediti sopstvenu učestanost s i koeficijent prigušenja ξ, pretvarača. Eksperiment izvesti za dve vrednosti prigušenja amortizera.

4.2. TEORIJSKI OSNOVI

4.2.1. SISTEMI PRVOG REDA

Tipični predstavnici dinamičkih sistema prvog reda su termometri i srodni tipovi senzora čiji se rad zasniva na razmeni toplote sa okolinom. Posmatra se temperaturski senzor mase m , specifične toplote c i spoljašnje površine S . Ako se senzor nalazi u fluidu čija temperatura iznosi aT u intervalu dt senzor prima od fluida količinu toplote dtTThSdQ a , gde je T temperatura senzora, a h koeficijent prenosa toplote na površini fluid-senzor. Ista količina toplote se akumulira u senzoru

mcdTdtTThSdQ a (4.1)

gde je dT elementaran porast temperature senzora u intervalu dt . Iz (4.1) dolazi se do poznate diferencijalne jednafine prvog reda

aTTdtdT

(4.2)

gde je hSmc / vremenska konstanta. Posmatra se termometar sa linearnom statičkom karakteristikom, čiji je izlazni napon

KTU i (4.3)

Konstanta C]/V[ K naziva se statička osetljivost. Ako se termometar nalazi u ustaljenom stanju na temperaturi tačke leda C 01 T i izloži skokovitoj promeni spuštanjem u kupatilo na temperaturi 2T iz (4.2) i (4.3) dobija se izlazni napon

Fizičko tehnička merenja – Laboratorijski vežba – Sistemi I i II reda

strana 2 od 6

/2 1 tii eUtKTtU (4.4)

gde je 22 KTUi maksimalni izlazni napon koji se dobija nakon dužeg boravka senzora na temperaturi 2T . Dijagram izlaznog napona (4.4) prikazanje na sl.4.1 a. Ako je t iz (4.4) sledi

12 2( ) (1 ) 0.632i i iu U e U . Polazeći od snimljenog odziva na odskočnu pobudu, sl.4.1 a, vremenska

konstanta se može najlakše proceniti kao apscisa pri kojoj promena napona iznosi 63.2 % od njegove maksimalne vrednosti. Ovaj način određivanja je veoma brz, ali ima i nedostataka. Naime, koristi se samo jedna tačka dijagrama, pri čemu nema provere da li snimljeni odziv odgovara izrazu (4.4), tj. da li je u pitanju zaista sistem I reda. Bolji metod za izračunavanje vremenske konstante je da se rezultati merenja predstave u linearizovanoj formi, tj. u polulogaritamskoj razmeri.

t

Utu

i

i

21ln (4.5)

Slika 4.1 a) Odziv sistema prvog reda na odskočnu pobudu, b) linearizovani dijagram iz koga se pomoću

svih snimljenih tačaka izračunava vremenska konstanta . Koristeći izraz (4.5) eksponencijalni dijagram sa sl.4.1 a pretvara se u linearan sl.4.1 b. Pri crtanju

polulogaritamskog dijagrama treba koristiti samo tačke sa strmog dela karakteristike, jer pri 2ii Utu logaritamski član teži beskonačnosti. Linearni dijagram crta se kao optimalna prava, tj. primenom metode najmanjih kvadrata odstupanja. Vremenska konstanta predstavlja recipročnu vrednost nagiba optimalne prave.

Ovaj metod dobijanja je pogodan iz dva razloga, a) vremenska konstanta se dobija na osnovu svih snimljenih tačaka, čime se postiže efekat usrednjavanja. b) Ako dijagram u polulogaritamskoj razmeri ima približno linearni oblik, onda se zaista radi o sistemu prvog reda. Ako dijagram znatnije odstupa od prave, to ukazuje da nije u pitanju sistem I reda.

4.2.2. SISTEMI DRUGOG REDA

U sisteme drugog reda spada većina senzora sile, pritiska, ubrzanja i drugih srodnih veličina. Pored elastičnih i viskoznih sila, kod ovih senzora dolazi do izražaja inercijalna sila usled ubrzanog kretanja pokretnih delova. Linearni sistem za merenje sile modelira se pomoću opruge koeficijenta krutosti

[N/m] k , viskoznog elementa-prigušivača, sa koeficijentom viskoznog trenja [Ns/m] c i inercijalnog elementa mase m . Izlazni napon iU senzora sile )(tF dat je diferencijalnom jednačinom drugog reda

)(2 222

2tKFu

dtdu

dtud

sisi

si (4.6)

gde je

mk

s (4.7)

sopstvena kružna frekvencija, a

Fizičko tehnička merenja – Laboratorijski vežba – Sistemi I i II reda

strana 3 od 6

mkc

2 (4.8)

koeficijent prigušcnja. Konstanta [V/N] /FUK i je osetljivost senzora sile u statičkom režimu.

Pri pobudi sistema II reda kratkotrajnom silom (trajanja st /2 ), pobuda se može smatrati Dirakovim impulsom. Ako sistem ima slabo prigušenje, 1 , njegov impulsni odziv ima prigušeno oscilatorni karakter, dat izrazom

ts

tesKJiu s

21sin21

(4.9)

gde je

t

dttFJ0

)( impuls sile. Karakteristično je da amplituda prigušenih oscilacija opada u vremenu po

eksponencijalnom zakonu srazmerno sa )exp( ts i da je perioda prigušenih oscilacija, T , data izrazom

21

2

s

T (4.10)

duža od sopstvene periode sTs /2 koje bi imale neprigušene oscilacije (teorijski slučaj kada je 0 ). Dijagram izlaznog napona datog izrazom (4.9) prikazanje na sl.4.2.

Slika 4.2 Izlazni napon slabo prigušenog sistema drugog reda )1( pri dejstvu sile oblika Dirakovog

impulsa. Sa snimljenog dijagrama sa sl.4.2 očitavaju se amplitude 0a , 1a , 2a , 3a ,..., na , gde su pozitivna

premašenja označena parnim, a negativna neparnim indeksima. Sa dijagrama se takođe meri trajanje periode prigušenih oscilacija T . Vreme između dva susedna premašenja, pozitivnog i negativnog, iznosi polovinu periode, 2/T . Količnik modula amplitude nultog i n -tog premašenja iznosi

2/0 nT

n

seaa (4.11)

Iz (4.10) i (4.11) sledi

210

n

ne

aa (4.12)

Fizičko tehnička merenja – Laboratorijski vežba – Sistemi I i II reda

strana 4 od 6

Iz (4.12) za koeficijent prigušenja sistema II reda dobija se

n

n

aan

aa

/ln

/ln

0222

0

(4.13)

Pošto se iz (4.13) odredi , pomoću (4.10) izračunava se sopstvena utestanost s .

Koristeći grafički metod može se poboljšati postupak, tako da se određivanje s i vrši na principu usrednjavanja korišćenjem većeg broja eksperimentalnih rezultata. Nakon snimanja dijagrama impulsnog odziva, sl.4.2 izmere se vrednosti svih premašenja 0a , 1a ,..., na , pri čemu se negativna premašenja uzimaju sa pozitivnim znakom.

Logaritmovanjem izraza (4.11) dobija se

nn btaa /ln 0 (4.14)

gde je sb , dok 2/nTt , n = l, 2, 3... predstavlja vremenske intervale između nultog i n -tog premašenja. Eksperimentalni rezultati prikazani uz pomoć polulogaritamskog izraza (4.14) leže na pravoj, koja polazi iz koordinatnog početka i čiji nagib iznosi sb tg , sl.4.3.

Slika 4.3 Optimalna prava dobijena iz svih izmerenih vrednosti maksimuma i minimuma krive sa sl.4.2

Nagib prave iznosi sb tg . Ukoliko eksperimentalno dobijene tačke leže blisko optimalnoj pravi, to potvrđuje da se odziv dobro

prikazuje teorijskim izrazom (4.9). Sa izmerenim nagibom sb , i periodom prigušenih oscilacija T uz pomoć izraza (4.10) dobija se

22241 bTTs (4.15)

Kocficijeni prigušcnja izračunava se izrazom

sb / (4.16)

4.3. APARATURA ZA SNIMANJE DINAMIČKIH KARAKTERISTIKA SENZORA

4.3.1. SISTEM I REDA

Aparatura koja se koristi za određivanje dinamičkih karakteristika (vremenske konstante i mrtvog vremena) silicijumskog temperaturskog senzora prikazana je na sl.4.4. Eksperiment se izvodi pomoću silicijumskog otpornog senzora temperature Siemens-KYT . On se isporučuje u vidu sonde gde je senzorski čip smešten u čauru od mesinga i zaliven u epoksi smoli, sl.4.4 a. Sonda je pričvršćena za plastični držač čime se olakšava rukovanje senzorom. Na senzor se može pričvrstiti zaštitni sloj od aluminijuma. Vremenska

Fizičko tehnička merenja – Laboratorijski vežba – Sistemi I i II reda

strana 5 od 6

konstanta, na taj način dobija dve različite vrednosti – originalnu, i veću vrednost, sa zaštitnim slojem. Odskočna pobuda se vrši brzim premeštanjem senzora iz ledenog kupatila u posudu sa vodom na temperaturi od oko C 40 , sl.4.4 b. Senzor )(TR je spojen na red sa otpornikom za linearizaciju 1R . Napon razdelnika napona 1)( RTR linearno zavisi od temperature. Takođe i izlazni napon operacionog pojačavača )(TU i predstavlja linearnu funkciju temperature. Na taj način uređaj na sl.4.4 b može se posmatrati kao sistem prvog reda sa ulaznom veličinom temperaturom T i izlaznim signalom )(TU i . Toplo kupatilo je snabdeveno mešalicom. Termometarski sistem se ponaša kao sistem prvog reda samo pod uslovom ako se nakon premeštanja senzora u toplo kupatilo voda u njemu intenzivno meša.

4.3.2. SISTEM II REDA

Kao sistem II reda posmatra se merač sile F koji u ustaljenom režimu ima linearnu karakteristiku izlaznog napona )(FU i . Koriste se dve poluprovodničke merne trake zalepljene sa dve strane aluminijumske konzole, na čijem kraju deluje sila koja se meri, sl.4.5 a. Konzola služi kao elastični element koji pretvara delovanje sile u elastične deformacije mernih traka. Pod dejstvom sile trake imaju promene otpornosti jednake po apsolutnoj vrednosti, ali suprotnog znaka. Na kraju konzole nalazi se prigušivač (amortizer). On se sastoji od menzure sa vodom u kojoj je potopljen pokretni klip, pričvršćen za kraj konzole. Sila kojom se prigušivač protivi pomeranju klipa proporcionalna je brzini.

Električni deo mernog sistema II reda prikazanje na sl.4.5 b. Dve poluprovodničke merne trake imaju jednaku nominalnu otpornost k 10R . Pod dejstvom sile trake menjaju otpornost u suprotnom smeru. One su spojene redno i formiraju polumost. Ovakva sprega ima diferencijalni karakter, tj. ima dvostruko veću osetljivost nego kada se koristi samo jedna merna traka i temperaturski je stabilna (kompenzovana). Izlazni signal polumosta pojačava se operacionim pojačavačem. Nula izlaznog napona podešava se promenljivim otpornikom od k 500 spojenim paralelno jednoj od mernih traka.

Slika 4.4 Eksperimentalni sistem za određivanje vremenske konstante Si otpornog senzora na bazi odziva

na odskočnu pobudu, a) presek senzora, b) šema veza.

Fizičko tehnička merenja – Laboratorijski vežba – Sistemi I i II reda

strana 6 od 6

Slika 4.5 Eksperimentalni sistem za određivanje dinamičkih karakteristika sistema II reda, a) mehanički deo sistema – konzola sa dve merne trake, b) merne trake u diferencijalnoj sprezi (polumost) i pojačavač

napona.