Vezba2

PRIRUČNIK ZA LABORATORIJSKE VEŽBE IZ AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA 1

Laboratorijska vežba 2

Funkcija prenosa

Ime i prezime studenta: ___________________________

Broj indeksa: ___________________________________

Datum: ________________________________________

Vežbu pregledao: ________________________________

FUNKCIJA PRENOSA

Kako bismo definisali funkciju prenosa najpre je potrebno definisati pojam sistema. U kontekstu automatskog upravljanja usvojićemo da je sistem uređaj, proces ili algoritam koji za neki ulazni signal u(t), na svom izlazu generiše izlazni signal y(t), kao što je to prikazano na slici 1.

Slika 1: Predstava sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom

Signal koji se nalazi na ulazu sistema naziva se pobudom, a signal koji se nalazi na izlazu sistema naziva se odzivom sistema.

Funkcija prenosa linearnog kontinualnog sistema automatskog upravljanja (SAU) sa vremenski invarijantnim parametrima je definisana kao količnik Laplasove transformacije izlaznog signala i ulaznog signala uz pretpostavku da su svi početni uslovi jednaki nuli. Izlazni signal se najčešće obeležava sa Y(s), a ulazni signal se obeležava sa U(s). Na slici 2 dat je opšti model funkcije prenosa koja je obeležena sa G(s).

Slika 2: Opšti model funkcije prenosa

Na osnovu slike možemo dati opšti izraz za funkciju prenosa:

퐺(푠) = ( )( )

(1)

Y(s) se može predstaviti kao polinom m-tog reda, dok se U(s) može predstaviti kao polinom n-tog reda pri čemu ćemo podrazumevati da je kod sistema sa kojima ćemo mi raditi n uvek veće od m. Sada možemo dati i malo drugačiji izraz za funkciju prenosa:

퐺(푠) = ( )( )

= ⋯⋯

(2)

Ponašanje sistema je u potpunosti određeno vrednostima koeficijenata 푎 , odnosno 푏 . Funkcija prenosa uzuma u obzir samo zavisnost ulaz-izlaz i ne pruža nikakvu informaciju o unutrašnjoj strukturi sistema. Koreni jednačine koja se dobija izjednačavanjem polinoma u imeniocu funkcije prenosa sa nulom određuju polove sistema.

푎 푠 + 푎 푠 + ⋯+ 푎 푠 + 푎 = 0 (3)

Analogna jednačina dobijena izjednačavanjem polinoma u brojiocu sa nulom omogućava da se odrede nule sistema.

푏 푠 + 푏 푠 +⋯+ 푏 푠 + 푏 = 0 (4)

Znajući funkciju prenosa možemo unapred podesiti parametre odgovarajućeg regulatora kako bi se dobilo željeno ponašanje sistema. Njeno poznavanje omogućava modeliranje SAU i analizu ponašanja na osnovu kompjuterske simulacije. U cilju dobijanja vremenskog odziva sistema neophodno je odrediti inverznu Laplasovu transformaciju odgovarajućeg odziva u kompleksnom domenu. Pri tome se koristi rastavljanje funkcije prenosa na parcijalne razlomke (Hevisajdov razvoj).

U daljem tekstu biće opisani pojedini primeri kako bi se ilustrovale mogućnosti primene programskog paketa MATLAB u pogledu određivanja polova i nula funkcije prenosa, određivanja funkcije prenosa na osnovu njihovog rasporeda, kao i njenog rastavljanja na parcijalne razlomke.

Koreni polinoma

Ukoliko je p vektor vrsta koji sadrži koeficijente polinoma, funkcija roots(p) vraća vektor kolonu čiji su elementi koreni tog polinoma. Ukoliko je r vektor kolona koji sadrži korene polinoma, funkcija poly(r) vraća vektor vrstu čiji su elementi koeficijenti polinoma.

1. primer: Odredite korene sledećeg polinoma

푠 + 9푠 + 31,25푠 + 61,25푠 + 67,75푠 + 14,75푠 + 15

Koeficijenti polinoma se unose kao vektor vrsta počevši od koeficijenta koji stoji uz promenljivu sa najvišim stepenom. Koreni se određuju koristeći funkciju roots.

>> p=[1 9 31.25 61.25 67.75 14.75 15];

>> r= roots(p)

Koreni polinoma se dobijaju u obliku vektora kolone

r =

-4.0000

-3.0000

-1.0000 + 2.0000i

-1.0000 - 2.0000i

0.0000 + 0.5000i

0.0000 - 0.5000i

2. primer: Koreni polinoma su −1,−2,−3 ± 푗4. Odredite koeficijente polinoma.

Da bi uneli kompleksan broj prvo je neophodno generisati kompleksnu jedinicu. Koreni se unose nakon toga u obliku vektora vrste. Koeficijenti polinoma se određuju pomoću funkcije poly.

>> i=sqrt(-1);

>> r=[-1 -2 -3+4*i -3-4*i];

>> p=poly(r)

Koeficijenti polinoma se dobijaju u obliku vektora vrste:

p =

1 9 45 87 50

koji odgovara polinomu

푠 + 9푠 + 45푠 + 87푠+50

Polovi i nule funkcije prenosa

Funkcija tf2zp određuje nule, polove i koeficijent statičkog pojačanja funkcije prenosa.

3. primer: Odrediti polove i nule sledeće funkcije prenosa:

퐻(푠) =푠 + 11푠 + 30푠

푠 + 9푠 + 45푠 + 87푠 + 50

>> num = [1 11 30 0];

>> den = [1 9 45 87 50];

>> [z,p,k] = tf2zp(num,den);

Rezultat se dobija kao što sledi

>> z

z =

0

-6.0000

-5.0000

>> p

p =

-3.0000 + 4.0000i

-3.0000 - 4.0000i

-2.0000

-1.0000

>> k

k =

1

Pošto su određeni nule z, polovi p i koeficijent statičkog pojačanja k konkretna funkcija prenosa se može zapisati u faktorizovanom obliku

퐻(푠) =푠(푠 + 5)(푠 + 6)

(푠 + 1)(푠 + 2)(푠 + 3 + 푗4)(푠 + 3− 푗4)

Funkcija zp2tf formira funkciju prenosa na osnovu poznatih vrednosti nula, polova i koeficijenta statičkog pojačanja sistema.

4. primer: Sistem ima nule -6, -5, 0, polove −3 ± 푗4,−2,−1 i koeficijent statičkog pojačanja 1. Funkcija prenosa sistema se određuje na sledeći način

>> z = [-6; -5; 0]; k = 1;

>> p = [-3+4*i; -3-4*i; -2; -1];

>> [num,den] = zp2tf(z,p,k);


>> num

num =

0 1 11 30 0

>> den

den =

1 9 45 87 50

Vektori num i den sadrže koeficijente polinoma u brojiocu i imeniocu pa funkcija prenosa sistema ima oblik

퐻(푠) =푠 + 11푠 + 30푠

푠 + 9푠 + 45푠 + 87푠 + 50

Rastavljanje na parcijale razlomke

U cilju određivanja odziva sistema potrebno je rastaviti funkciju prenosa na parcijalne razlomke kako bi se mogla primeniti inverzna Laplasova transformacija. Funkcija [r,p,k] = residue(a,b) omogućava da se funkcija prenosa

푃(푠)푄(푠) =

푏 푠 + 푏 푠 +⋯+ 푏 푠 + 푏푎 푠 + 푎 푠 + ⋯+ 푎 푠 + 푎

rastavi na parcijalne razlomke. Pri tome vektori b i a specificiraju koeficijente polinoma u brojiocu i imeniocu uvažavajući opadajući redosled potencija kompleksne promenljive s. Reziduali se vraćaju kao vektor kolona r, lokacije polova u vidu vektora kolone p, a direktni članovi u obliku vektora vrste k.

5. primer: Rastavite funkciju prenosa na parcijalne razlomke

퐹(푠) =2푠 + 9푠 + 1

푠 + 푠 + 4푠 + 4

Funkcija prenosa se rastavlja na sledeći način

>> b = [2 0 9 1];

>> a = [1 1 4 4];

>> [r,p,k] = residue(b,a);


>> r

r =

0.0000 - 0.2500i

0.0000 + 0.2500i

-2.0000

>> p

p =

-0.0000 + 2.0000i

-0.0000 - 2.0000i

-1.0000

>> k

k =

2

S obzirom da su svi potrebni elementi izračunati funkcija se može rastaviti i zapisati kao suma parcijalnih razlomaka

퐹(푠) = 2 +−2푠 + 1 +

푗0,25푠 + 2푗 +

−푗0,25푠 − 2푗

odnosno

퐹(푠) = 2 +−2푠 + 1

+1

푠 + 4

Obrnuti postupak zahteva da se primeni funkcija [b,a] = residue(r,p,k).

>> [b,a] = residue(r,p,k)


b =

2.0000 0.0000 9.0000 1.0000

a =

1.0000 1.0000 4.0000 4.0000

Zadaci za samostalan rad:

1. Rastaviti funkciju prenosa u sumu parcijalnih razlomaka pomoću naredbe residue i napisati ispod funkciju prenosa u rastavljenoj formi.

퐹(푠) =푠 + 4푠 + 5푠 + 1푠 + 2푠 + 푠 + 3

______________________________________________________________________________

2. Rastaviti funkciju prenosa u sumu parcijalnih razlomaka pomoću naredbe residue i napisati ispod funkciju prenosa u rastavljenoj formi. Koliko nula i polova ima funkcija prenosa?

퐹(푠) =(푠 + 1)(푠 + 5)

(푠 + 3) (푠 + 2)

_____________________________________________________________________________

Funkcija prenosa ima _________ nula i _________ polova.

3. Pomoću naredbe poly odrediti koeficijente polinoma u imeniocu funkcije prenosa i napisati izgled polinoma u imeniocu sa izračunatim koeficijentima:

퐹(푠) =2푠 + 1

(푠 + 1) (푠 + 4) (푠 + 7)

______________________________________________________________________________

4. Odrediti polove i nule funkcije prenosa pomoću naredbe tf2zp:

퐹(푠) =푠 + 5푠 + 3푠 + 1

푠 + 6푠 + 8푠 + 2푠 + 푠 + 3

Napisati polove funkcije prenosa:

______________________________________________________________________________

Napisati nule funkcije prenosa:

______________________________________________________________________________

5. Odredite polove funkcije prenosa:

퐹(푠) =푠 + 2

푠 + 4푠 + 8푠 + 2푠 + 5푠 + 3

Polovi funkcije prenosa su:

_____________________________________________________________________________

Documents

Vezba2