Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
V I L L A M O S S Á G TA N I I I .1 . R É S Z
S O M O G Y I N É D R . M O L N Á R J U D I T
ÜTEMTERVA tantárgy követelményrendszerének ismertetése. Átmeneti jelenségek
bevezetése. Stacionárius és tranziens megoldás. Tranziens megoldás differenciál
egyenlettel. Időállandó fogalma.
Laplace transzformáció fogalma. Laplace transzformáció tulajdonságai. Derivált és
integrál transzformációja.
Speciális vizsgálójelek, egységugrás, Dirac-delta. Alap függvények Laplace
transzformáltja (ε(t), δ(t), t, sin(ωt) cos(ωt), stb.).
Laplace transzformáció legfontosabb tételei.
1. zárthelyi
ÜTEMTERVInverz Laplace transzformáció résztörtekre bontással. Kifejtési tétel.
Operátoros impedanciák. Laplace transzformáció alkalmazása nem
energiamentes kezdőállapot esetén.
Bekapcsolás jelenség. Kikapcsolás jelenség. Átkapcsolási jelenség.
2. zárthelyi
Megoldás periodikus gerjesztés esetén.
Kezdeti és végérték tétel. Kapcsolat az idő- és a frekvenciatartomány között.
Periodikus jelek Laplace transzformáltja. Átviteli függvény, súlyfüggvény, átmeneti
függvény. Konvolúció tétel. Duhamel tétel.
3. zárthelyi
A Fourier sor alkalmazása periodikus gerjesztésű áramkörök számításánál.
Többhullámú feszültségek és áramok. A teljesítmény számítása. Többfázisú
rendszerek.
A TÁRGY LEZÁRÁSÁNAK MÓDJA: AL ÁÍRÁS, GYAKJEGY
Az aláírás és gyakjegy megszerzésénekfeltétele:
A félév során megírandó 3 db zárthelyi dolgozatkülön-külön legalább elégséges szintű megírása (5-dik, 9-dik és 13-dik hét előadásán).
A zárthelyik elméleti kérdéseinek 40% alattiteljesítése esetén a zárthelyi sikertelennek minősül!
Mindegyik zárthelyi 10 pontos, a félév során tehát 30pont szerezhető. Az elégséges szint 60% (18 pont).
Akinek az összpontszáma 18 pont alatt van, az utolsóhéten megírásra kerülő pótzárthelyin szerezhetimeg az aláírást és a gyakjegyet, ahol a maximális 30pontból szintén 18 pont a megfelelt eredmény.
4
Pontszám Értékelés
0-17 1
18-20 2
21-23 3
24-26 4
27-30 5
A Z AL ÁÍRÁS PÓTL ÁSA
5
A félév végéig meg nem szerzett aláírást és gyakjegyet akar dékánja által kijelölt időszakban, a tanulmányi ésvizsgaszabályzatban előírtak szerint lehet pótolni. Azgyakjegypótló zárthelyi anyaga az évközi zárthelyikegyüttes anyagával egyezik meg.
Gyakjegy birtokában lehet Villamosságtan szigorlatottenni a félévben!
Szigorlat:
1. Elméleti tétel
2. Gyakorlati tétel
A JÁNLOTT IRODALOM
6
• Demeter Károlyné - Dén Gábor: Villamosságtan
• Hollós Edit -Vágó István: Villamosságtan
• Demeter Károlyné: Villamosságtan II.
• Fodor György: Elméleti elektrotechnika I-II.
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
STACIONÁRIUS/ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOT t → ∞ (induktivitás rövidzár, UL=0)
A homogén egyenlet (U0=0) = TRANZIENS/ÁTMENETI ÁLLAPOT (nincs gerjesztés)
DIFFERENCIÁLEGYENLET MEGOLDÁSAyIH= yH+ yP
Lineáris inhomogén diff. egyenlet általános
megoldása = homogén egyenlet általános megoldása
+ inhomogén egyenlet partikuláris megoldása
HOMOGÉN ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS
INHOMOGÉN PARTIKULÁRIS MEGOLDÁSKonstansvariálás módszere
INHOMOGÉN PARTIKULÁRIS MEGOLDÁSKonstansvariálás módszere
INHOMOGÉN PARTIKULÁRIS MEGOLDÁSKonstansvariálás módszere
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
Kezdeti érték feltétel: i(0)=0
mert a feszültség rákapcsolásakor az áramerősség 0!
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
L L
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
T = τ = időállandó [sec]
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
T = τ = időállandó [sec]
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
Az áramváltozás
gyorsaságát és a
tranziens folyamat
gyakorlati időtartamát az
időállandó szabja meg!
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
SOROS RL KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
SOROS RC KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
Kezdeti érték feltétel: i(0)=U0/R
𝑅𝑖 +1
𝐶න 𝑖 𝑑𝑡 − 𝑈0 = 0
𝑖′ +1
𝑅𝐶𝑖 = 0
t szerint
deriválás átrendezés
SOROS RC KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
SOROS RC KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
SOROS RC KÖRRE UDC KAPCSOLÁSA
LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ
LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓDifferenciálegyenletek megoldása bonyolultabb áramkörök esetén sok időt vesz igénybe
LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ
MATEMATIKAI ALAPOK
Egységugrás
függvény!!!
MATEMATIKAI ALAPOKEgységugrás függvény
LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TULAJDONSÁGAI
LINEARITÁS:
K
K
LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TULAJDONSÁGAI
DERIVÁLT FÜGGVÉNY TRANSZFORMÁLTJA:
f’(t) g(t)
Parciális
integrálás!
Deriválás = s-el való
szorzás!
Mi lehet az integrálás???
VIZSGÁLÓ FÜGGVÉNYEK -IDŐTARTOMÁNYBAN
• Dirac delta függvény
→0
• Egységugrás függvény
Kapcsoló kiváltása!
VIZSGÁLÓ FÜGGVÉNYEK -IDŐTARTOMÁNYBAN
• Dirac delta függvény (pl. gázfröccs)
• Egységugrás függvény (pl. hirtelen gázadás)
1(t) vagy ε(t) Átmeneti függvény
v(t)
δ(t) Súlyfüggvény
w(t)
Rendszer
válasza
Bemenő
jel
Átviteli
függvény
Rendszer
válasza
Bemenő
jel
Átviteli
függvény
LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TULAJDONSÁGAI
LAPLACE TRANSZFORMÁLT DERIVÁLÁSA:
FÜGGVÉNYEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA
FÜGGVÉNYEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA
+ 𝑐𝑜𝑠𝜙 =𝑒𝑖𝜙 + 𝑒−𝑖𝜙
2
Nyilvánvalóan a = ω
(−𝑠)2−(𝑖𝑎)2 𝑠2 + 𝑎2
L sin at = ⋯ =𝑎
𝑎2 + 𝑠2
FÜGGVÉNYEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA
(−(𝑠 − 𝑎))2
ÖSSZEFOGLALVA
LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TÉTELEI
HASONLÓSÁGI TÉTEL:
A jel nyújtása, vagy gyorsítása a jel frekvenciakomponenseinek fordított arányú változását eredményezi!
pl. magnókazettát dupla sebességgel játsszuk le → frekvenciatartománybeli alak szélesedni kezd → de
ugyanazon jelkomponensek futnak → cincogás ☺
LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TÉTELEI
CSILLAPÍTÁSI TÉTEL: előjel fordul!
ELTOLÁSI TÉTEL:
előjel NEM fordul!
∗ 𝜀(𝑡 − 𝜏)∗ 𝜀(𝑡 − 𝜏)
INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ
INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ
INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓKIFEJTÉSI TÉTEL
• Csak valódi racionális törtfüggvények esetén alkalmazható (M és N polinomok)
• A nevező fokszámának nagyobbnak kell lennie, mint a számlálónak
• A nevezőt képző polinomnak csak egyszeres gyökei lehetnek
𝐹 𝑠 =𝑀(𝑠)
𝑁(𝑠)=
𝑀(𝑠)
𝑠−𝑠1 𝑠−𝑠2 …(𝑠−𝑠𝑛)ahol s1, s2, … sn: az N polinom gyökei
𝐹 𝑠 =𝐶1
𝑠−𝑠1+
𝐶2
𝑠−𝑠2+…+
𝐶𝑛
𝑠−𝑠𝑛résztörteket kell visszatranszformálni
nem szorzótényezőket
𝐿−1 σ𝑘=1𝑛 𝐶𝑘
𝑠−𝑠𝑘= σ𝑘=1
𝑛 𝐶𝑘 ∗ 𝑒𝑠𝑘𝑡 ∗ 𝜀 𝑡 C együtthatókat hogy kapjuk meg?
INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓKIFEJTÉSI TÉTEL
𝐹 𝑠 =𝑀(𝑠)
𝑁(𝑠)=
𝑀(𝑠)
𝑠−𝑠1 𝑠−𝑠2 …(𝑠−𝑠𝑛)=
𝐶1
𝑠−𝑠1+
𝐶2
𝑠−𝑠2+…+
𝐶𝑛
𝑠−𝑠𝑛/* 𝑠 − 𝑠1
𝑀(𝑠)
𝑁(𝑠)∗ (𝑠 − 𝑠1) = 𝐶1 +
𝐶2
𝑠−𝑠2* 𝑠 − 𝑠1 +…+
𝐶𝑛
𝑠−𝑠𝑛∗ 𝑠 − 𝑠1 ha 𝑠 = 𝑠1 csak C1 marad a jobb oldalon
bal oldal: 0/0→ lim!
𝐶𝑘 = lim𝑠→𝑠𝑘
𝑀(𝑠)(𝑠 − 𝑠𝑘)
𝑁(𝑠)= 𝑀(𝑠𝑘) lim
𝑠→𝑠𝑘
𝑠 − 𝑠𝑘
𝑁(𝑠)=
𝑀(𝑠𝑘)
𝑁′(𝑠𝑘)
𝐿−1𝑀(𝑠)
𝑁(𝑠)=
𝑘=1
𝑛𝑀(𝑠𝑘)
𝑁′(𝑠𝑘)∗ 𝑒𝑠𝑘𝑡 ∗ 𝜀 𝑡
L'Hospital-szabály
𝑀(𝑠1) lim𝑠→𝑠1
𝑠 − 𝑠1
𝑁(𝑠)= 𝑀 𝑠1
1
𝑁′ 𝑠1=
𝑀 𝑠1
𝑁′ 𝑠1= 𝐶1
Deriválás s szerint
Á𝐥𝐭𝐚𝐥á𝐧𝐨𝐬Í𝐭𝐯𝐚
INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓKIFEJTÉSI TÉTEL - PÉLDA
𝐿−1𝑀(𝑠)
𝑁(𝑠)=
𝑘=1
𝑛𝑀(𝑠𝑘)
𝑁′(𝑠𝑘)∗ 𝑒𝑠𝑘𝑡 ∗ 𝜀 𝑡 𝐿−1
1
𝑠2 + 5𝑠 + 6= ⋯ = 𝑒−2𝑡 − 𝑒−3𝑡
INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓKIFEJTÉSI TÉTEL – GYORSABB VERZIÓ
𝐿−1𝑀(𝑠)
𝑁(𝑠)=
𝑘=1
𝑛𝑀(𝑠𝑘)
𝑁′(𝑠𝑘)∗ 𝑒𝑠𝑘𝑡 ∗ 𝜀 𝑡
SZORZAT DERIVÁLÁSA
𝑠 − 𝑠1 ∗ 𝑠 − 𝑠2 ∗ ⋯ ∗ 𝑠 − 𝑠𝑛′
= 1 ∗ 𝑠 − 𝑠2 ∗ ⋯ ∗ 𝑠 − 𝑠𝑛 + 𝑠 − 𝑠1 ∗ 1 ∗ ⋯ ∗ 𝑠 − 𝑠𝑛 + ⋯ + 𝑠 − 𝑠1 ∗ 𝑠 − 𝑠2 ∗ ⋯ ∗ 1
1 𝑠 − 𝑠2 𝑠 − 𝑠3 … 𝑠 − 𝑠𝑛
𝑠 − 𝑠1 1 𝑠 − 𝑠3 … 𝑠 − 𝑠𝑛
𝑠 − 𝑠1 𝑠 − 𝑠2 1 … 𝑠 − 𝑠𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑠 − 𝑠1 𝑠 − 𝑠2 𝑠 − 𝑠3 … 1
𝑠 − 𝑠1 ℎ𝑖á𝑛𝑦𝑧𝑖𝑘
𝑠 − 𝑠2 ℎ𝑖á𝑛𝑦𝑧𝑖𝑘
𝑠 − 𝑠3 ℎ𝑖á𝑛𝑦𝑧𝑖𝑘⋮
𝑠 − 𝑠𝑛 ℎ𝑖á𝑛𝑦𝑧𝑖𝑘
L
E
T
A
K
A
R
Á
S
s=s1csak az első sor≠0
s=s2 csak a második sor≠0
…
s=sn csak az n-edik sor≠0
INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓKIFEJTÉSI TÉTEL – GYORSABB VERZIÓ
𝐿−11
(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑖 𝑎𝑧𝑡 𝑎 𝑡𝑎𝑔𝑜𝑡, 𝑎𝑚𝑒𝑙𝑦𝑖𝑘 𝑛𝑢𝑙𝑙á𝑡 𝑎𝑑𝑛𝑎 az adott gyökkel
𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑎𝑑é𝑘 𝑘𝑖𝑓𝑒𝑗𝑒𝑧é𝑠𝑏𝑒 𝑏𝑒ℎ𝑒𝑙𝑦𝑒𝑡𝑡𝑒𝑠í𝑡𝑗ü𝑘 𝑎 𝑔𝑦ö𝑘 é𝑟𝑡é𝑘é𝑡
𝑏𝑒ℎ𝑒𝑙𝑦𝑒𝑡𝑡𝑒𝑠í𝑡é𝑠 𝑎 𝑘é𝑝𝑙𝑒𝑡𝑏𝑒: 𝐿−1𝑀(𝑠)
𝑁(𝑠)=
𝑘=1
𝑛
𝐿𝐸𝑇𝐴𝐾𝐴𝑅Á𝑆𝑆𝐴𝐿 ∗ 𝑒𝑠𝑘𝑡 ∗ 𝜀 𝑡 =
𝑒−2𝑡 − 𝑒−3𝑡
𝑔𝑦ö𝑘ö𝑘 𝑚𝑒𝑔ℎ𝑎𝑡á𝑟𝑜𝑧á𝑠𝑎:𝑠 = −2𝑠 = −3
INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ ELŐNYE
Kapcsolás átrakása frekvenciatartományba →Villamosságtan I.
tudás ☺ → inverz Laplace transzformáció = időtartományba
történő visszatérés
V I L L A M O S S Á G TA N I I I .2 . R É S Z
S O M O G Y I N É D R . M O L N Á R J U D I T
OPERÁTOROS IMPEDANCIÁK
𝑢 𝑡 = 𝑅 𝑖(𝑡)
𝑈 𝑠 = 𝑅 𝐼(𝑠)
Ha az induktivitás kezdeti árama (I0) és a kondenzátor kezdeti feszültsége (U0) nulla (energiamentes kezdeti állapot):
Bekapcsolási
jelenség
OPERÁTOROS IMPEDANCIÁK
BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG – SOROS RL
visszatranszformálás
𝑈
𝑠 𝑠𝐿
visszatranszformálás
á𝑏𝑟á𝑧𝑜𝑙á𝑠!
BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG – SOROS RC
visszatranszformálás −
1
𝑠𝐶
𝑈
𝑠
á𝑏𝑟á𝑧𝑜𝑙á𝑠!
NEM ENERGIAMENTES KEZDŐÁLLAPOTINDUKTIVITÁS
NEM ENERGIAMENTES KEZDŐÁLLAPOTINDUKTIVITÁS
NEM ENERGIAMENTES KEZDŐÁLLAPOTKONDENZÁTOR
U 𝑠 =𝑈0𝑠+
1
𝑠𝐶𝐼 𝑠
NEM ENERGIAMENTES KEZDŐÁLLAPOT KONDENZÁTOR
KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG – RL iL(t)=iR2(t)
𝐼𝐿0 =𝑈0𝑅
2
uL(t)
Az induktivitás az energiáját az R2 ellenálláson tudja leadni
(hővé alakul át →WL=1/2*L*(IL0)2). Termelő: U & I iránya
ellentétes!!!
iL(t)
KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG – RL
𝐼𝐿0 =𝑈0𝑅
2
iL(t)
iL(t)=iR2(t)
𝑢 = 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
uL(t)
KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG – RL
𝐼𝐿0 =𝑈0𝑅
2
iL(t)
iL(t)=iR2(t)
𝑢 = 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG – RC
uC(t)=uR2(t)
uC(t)
𝑖𝑐 𝑡 =𝑈𝐶0𝑅2
𝑒−
1𝑅2𝐶 𝜀(𝑡)
ic(t)
A kapacitás energiája az R2 ellenálláson hővé alakul.
Termelő: U & I iránya ellentétes!!!
uR2(t)
KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG – RC
uC(t)
𝑖𝑐 𝑡 =𝑈𝐶0𝑅2
𝑒−
1𝑅2𝐶 𝜀(𝑡)
uC(t)=uR2(t)
i= 𝐶𝑑𝑢
𝑑𝑡
BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG – DE NEM ENERGIAMENTES
Millman tétel!
BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG – RLC
D>0
D=0
D<0
h𝑎 𝐷 > 0
𝐿−1𝑈0𝐿
(𝑠 + 𝑠1)(𝑠 + 𝑠2)=𝑈0𝐿
1
(−𝑠1 + 𝑠2)𝑒−𝑠1𝑡 +
1
(−𝑠2 + 𝑠1)𝑒−𝑠2𝑡 Csak tranziens van!
Aperiodikus megoldás
BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG – RLC
h𝑎 𝐷 = 0 𝑠1,2 = −𝑅
2𝐿
𝐿−1𝑈0𝐿
𝑠 +𝑅2𝐿
2 =𝑈0𝐿𝑡 ∗ 𝑒−
𝑅2𝐿𝑡 á𝑏𝑟á𝑧𝑜𝑙á𝑠!
BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG – RLC
h𝑎 𝐷 < 0
𝐿−1𝑈0𝐿
𝑠2+𝑅
𝐿𝑠+
1
𝐿𝐶
= teljes négyzetté alakítás → csillapodó szinuszos jel
Periodikus megoldás → exp burkológörbe
α: csillapítási tényező
ω0: a kör saját
csillapítatlan
körfrekvenciája
ωcs: a kör csillapított
körfrekvenciája
𝜔0 =1
𝐿𝐶
𝜔𝑐𝑠 = 𝜔02 − 𝛼2
𝛼 =𝑅
2𝐿
Induktivitás és kapacitás között ismétlődő
energialengés jön létre. Áram csökken →
induktivitás energiájának egy részét a kapacitásnak
adja át → villamos energia formájában benne
felhalmozódik → majd kisül → visszaadja az
energiát az induktivitásnak. DE az ellenállás egyre
több energiát emészt fel → csillapodás
ÁTKAPCSOLÁSI JELENSÉG
ÁTKAPCSOLÁSI JELENSÉG – PÉLDA
Bekapcsolás: 𝐿−140
𝑠1
𝑠𝐶+𝑅𝑇ℎ
→ 𝑖𝐶 𝑡 =40
𝑅𝑇ℎ𝑒−
1
𝑅𝑇ℎ𝐶𝑡
𝜏 = 𝑅𝑇ℎ𝐶 = 2𝑚𝑠𝑡 = 4 𝑚𝑠 → 𝑖 = 0,027 𝐴
𝐿−140
𝑠
1𝑠𝐶
1𝑠𝐶 + 𝑅𝑇ℎ
→ 𝑢𝐶 𝑡 = 40 − 40𝑒−
1𝑅𝑇ℎ𝐶
𝑡
Átkapcsolás: 𝐿−124,6
𝑠1
𝑠𝐶+𝑅𝑇ℎ
→ 𝑖𝐶′ (𝑡) = −
24,6
𝑅𝑇ℎ𝑒−
1
𝑅𝑇ℎ𝐶𝑡
𝜏 = 𝑅𝑇ℎ𝐶 = 2𝑚𝑠𝑡 = 0 𝑚𝑠 → 𝑖𝐶 = −0,123 𝐴
UC(t=4ms)= 34,6 V
BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG – UAC
GERJESZTÉSSEL
𝜏 =𝐿
𝑅
Ha az áram szöge φ1=0 azaz ψ = φ → tranziens nem lép fel!
BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG – UAC
GERJESZTÉSSEL
Ha pl. 90°-nál kapcsolunk be és τ többszöröse a periódusidőnek → az áram
pillanatértéke a sin első negatív csúcsánál az állandósult áram legnagyobb
pillanatértékének csaknem 2x-ese lesz!
KEZDETI ÉS VÉGÉRTÉK TÉTEL
A lineáris invariáns hálózatok keresett feszültségeinek és áramainak értékét a
𝑡 → 0 pillanatra és
𝑡 → ∞ esetére
az átmeneti jelenség számítása nélkül meg tudjuk határozni az alábbi
összefüggéssel
idő és frekvencia fordítottan arányos!
A Laplace transzformációval történő számítás ellenőrzésére jó lehetőséget
jelent!
KEZDETI ÉS VÉGÉRTÉK TÉTEL– PÉLDA
𝑈
𝑠 𝑠𝐿
𝑡 = 0 lim𝑠→∞
𝑠 𝐼(𝑠)= lim𝑠→∞
𝑠𝑈
𝑠(𝑅 + 𝑠𝐿)= lim
𝑠→∞
𝑈
(𝑅 + 𝑠𝐿)= 0
𝑡 = ∞ lim𝑠→0
𝑠 𝐼(𝑠)= lim𝑠→0
𝑠𝑈
𝑠(𝑅 + 𝑠𝐿)= lim
𝑠→0
𝑈
(𝑅 + 𝑠𝐿)=𝑈
𝑅
i(t)
𝑈
𝑅
PERIODIKUS JELEK LAPLACETRANSZFORMÁLTJA
Egy periódus időfüggvénye:
Egy periódus Laplace transzformáltja:
A periodikus jel Laplace transzformáltja:
𝑓𝑇 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝜀 𝑡 − 𝑓(𝑡 − 𝑇)𝜀 𝑡 − 𝑇
𝐹𝑇 𝑠 = 𝐹 𝑠 − 𝐹 𝑠 𝑒−𝑠𝑡 = 𝐹(𝑠)(1 − 𝑒−𝑠𝑡)
𝐹 𝑠 =𝐹𝑇 𝑠
1 − 𝑒−𝑠𝑡
PERIODIKUS JELEK LAPLACETRANSZFORMÁLTJA
Mi lehet a
megoldás?
PERIODIKUS JELEK LAPLACETRANSZFORMÁLTJA
PERIODIKUS JELEK LAPLACETRANSZFORMÁLTJA
PERIODIKUS JELEK LAPLACETRANSZFORMÁLTJA
PERIODIKUS JELEK LAPLACETRANSZFORMÁLTJA
PERIODIKUS JELEK LAPLACETRANSZFORMÁLTJA
ÁTVITELI FÜGGVÉNY
u(t) v(t) U(s) V(s)
Rendszer
válasza
Bemenő
jel
Átviteli
függvény
Rendszer
válasza
Bemenő
jel
Átviteli
függvény
Ha egy rendszernek ismerjük az átviteli függvényét, akkor könnyen meghatározhatjuk a
különböző bementekhez tartozó válaszokat.
Időtartomány Frekvencia tartomány
Az átviteli függvény definíció szerint a kimeneti jel
Laplace transzformáltja osztva a bemeneti jel
Laplace transzformáltjával.
VÁLASZ EGYSÉGIMPULZUS BEMENETRE
δ(t) w(t) 1 W(s)
Rendszer
válasza
Bemenő
jel
Átviteli
függvény
Rendszer
válasza
Bemenő
jel
Átviteli
függvény
Időtartomány Frekvencia tartomány
𝑊 𝑠 = 𝑌(𝑠)az átviteli függvény a súlyfüggvény
Laplace transzformáltja
VÁLASZ EGYSÉGUGRÁS BEMENETRE
ε(t) v(t) 1/s V(s)
Rendszer
válasza
Bemenő
jel
Átviteli
függvény
Rendszer
válasza
Bemenő
jel
Átviteli
függvény
Időtartomány Frekvencia tartomány
𝑉 𝑠 =1
𝑠𝑌 𝑠
𝑉 𝑠 =1
𝑠𝑊 𝑠 → 𝑊 𝑠 = 𝑠 𝑉 𝑠
v t = න0
𝜏
𝑤 𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑎𝑔𝑦 w t =𝑑𝑣
𝑑𝑡
a súlyfüggvény az átmeneti függvény
deriváltja
az átmeneti függvény a súlyfüggvény idő
szerinti integrálja
𝑊 𝑠 = 𝑌(𝑠)
PÉLDÁK
i(t)
i(t)
i(t)
i(t)
Feszültség számítása
Feszültség számítása
V I L L A M O S S Á G TA N I I I .3 . R É S Z
S O M O G Y I N É D R . M O L N Á R J U D I T
TÖBBHULLÁMÚ MENNYISÉGEK
Mi van, ha periodikus a generátor U/I jele, de NEM szinuszos?
pl: négyszög; egy, vagy kétüteműen egyenirányított szinuszos jel, stb.
Lineáris terhelés Nem lineáris terhelés
Determinisztikus jelek: matematikai kifejezésekkel leírhatóak és matematikai összefüggésekkel
kezelhetőek.
Sztochasztikus jelek: matematikai módszerekkel csak részlegesen kezelhetőek. Statisztikai
jellemzőkkel vázolhatók.
A kváziperiodikus jel hasonlít a periodikus jelre, de csak bizonyos frekvencián van értelmezve.
Tranziens jelek: egyszeri, nem periodikus folyamatok.
Fourier transzformáció Laplace transzformáció
FOURIER SORFEJTÉSI TÉTELE
• Periodikus függvény előállítható végtelen tagszámú szinuszosés koszinuszos függvény összegeként, amelyeknekkörfrekvenciái az alap-körfrekvencia (legkisebb körfrekvenciájútag körfrekvenciája) egész számú többszörösei.
• A periodikus jelet harmonikus komponenseire bontjuk.
f1: alapharmonikus frekvenciája1fnfn =
SZINUSZOS JEL
)sin()( φtfπAtf += 2
ω
ÖSSZETETT PERIODIKUS JEL
KVÁZI PERIODIKUS JEL
FOURIER TRANSZFORMÁCIÓ
)sincos()( ∑∞
tωktωktf BAF kk
k ++==1
0
Nehezen ábrázolható (kétértékű lenne a függvény) → két
együttható lesz ugyanarra a frekvenciára → más leírásmód
lenne célszerű!
Egyszerűen megkapható a Fourier sor együttható sorozata.
Szinuszos-koszinuszos leírásmód:
AZ EGYÜTTHATÓK SZÁMÍTÁSA
∫∫π2
00
ωωπ2
11)()(=)(= tdtfdttf
T
T
oF
∫∫π2
00
ωωωπ
1ω
2)(cos)(=cos)(= tdtktfdttktf
T
T
kA
∫∫π2
00
ωωωπ
1ω
2)(sin)(=sin)(= tdtktfdttktf
T
T
kB
Lineáris
középérték (DC
összetevő)
k = 1, alapharmonikus
k > 1, felharmonikus
FOURIER TRANSZFORMÁCIÓAbszolút érték és fázis leírásmód:
Ck: amplitúdó → spektrum ρk: fázis
22BAC kkk
+=k
k
k A
Barctg=
Sin-os és cos-os tag összevonása egy cos-os
komponensbe.
)(cos)( ∑∞
ρCF kk
ktωktf ++=
=10
FOURIER SOR NÉHÁNY TULAJDONSÁGAHa a periodikus f (t) függvény:
3.) A két félperiódus egymásnak tükörképe
f(t + T/2) = -f(t) (kizárólag a páratlan indexű együtthatók lehetnek zérustól különbözőek)
F0 = 0 A2n = 0 B2n = 0
2.) páros: f(-t) = f(t) (csak valós komponense lesz a jelnek)
Bk = 0 (páros függvény Fourier-sorában sin(kωt) nem szerepel)
1.) páratlan: f(-t) = -f(t) (csak képzetes komponense lesz a jelnek)
F0 = 0 Ak = 0 (páratlan függvény Fourier-sorában cos(kωt) nem szerepel)
)sincos()( ∑∞
tωktωktf BAF kk
k ++==1
0
ISMERT JELEK FOURIER-SORA
Négyszögjel (ptl) Fourier sora:
T=10 → 𝝎 =𝟐𝝅
𝑻=
𝟐𝝅
𝟏𝟎az alapharmonikus
Együtthatók számítása:
𝐵𝑘 = 2 ∗1
𝜋න0
𝜋
1 ∗ sin 𝑘𝜔𝑡 𝑑𝜔𝑡 =2
𝜋
−cos 𝑘𝜔𝑡
𝑘0
𝜋
=
2
𝑘𝜋[ − cos 𝑘𝜋 + cos(0 ] =
4
𝑘𝜋
1. Alapharmonikus
2. Alap- és az első felharmonikus
3. Alap- és az első két felharmonikus
4. Alap- és az első kilenc felharmonikus
5. Alap- és az első száz felharmonikus
6. Alap- és az első ezer felharmonikus
1.
3.
5.
2.
4.
6.
HÉTKÖZNAPI PÉLDÁK FT ALKALMAZÁSÁRAHangfeldolgozás • equalizer: különböző frekvenciák amplitúdóinak változtatása
HÉTKÖZNAPI PÉLDÁK FT ALKALMAZÁSÁRAKépfeldolgozás• Fourier-transzformáció segítségével frekvenciatérben végezhetünk képeken módosításokat.• Kiszűrhetjük, vagy eltüntethetjük az éleket pusztán azzal, hogy kiemeljük, vagy elnyomjuk a
magas frekvenciákat (felül- és aluláteresztő szűrők).
HÉTKÖZNAPI PÉLDÁK FT ALKALMAZÁSÁRAMég a kiváló minőségű erősítők is torzítják a jeleket:
• Balra: 1 MHz frekvenciájú és 1 V amplitúdójú szinusz jel torzítatlannak tűnik• Jobbra: frekvenciaspektrumán viszont már egyértelműen láthatók az alapharmonikus
többszörösein megjelenő felharmonikusok. Az egyre csökkenő amplitúdójú felharmonikusok rendre a 2, 3 és 4 MHz-es frekvencián, az 1 MHz-es alapharmonikus frekvenciájának egész számú többszörösein jelennek meg!
NEM PERIODIKUS JELNÉL MI VAN?
Egyszeri folyamatoknak tekinthetők
T→∞ azaz a frekvencia spektrum besűrűsödik
Fourier integrál alkalmas a jel leírására (minden frekvencián értelmezve van):
−
−= dtetfωF tωj)()(
NEM SZINUSZOS PERIODIKUS ÁRAMÚ HÁLÓZATOK SZÁMÍTÁSATöbbhullámú feszültséggenerátor
• a periodikus jelet időben állandó és szinuszos, ill. koszinuszos jelek
összegére bontjuk fel
• szuperpozíció elv alapján: sorba kapcsolt generátorok, melyek az egyes
harmonikusoknak megfelelő szinuszos feszültséget és UDC-t szolgáltatják
egyenáram alapharmonikus felharmonikusok
Harmonikusokként rakjuk össze!!!
uk(kωt)u1(ωt)Uo
u(ωt)
i(ωt)
Ellenállás
UU
II
R
UI
R
UI
R
UI
kkkk
oo
11
11 ==...==
UU
kII
Lk
UI
L
UI
kkkk
11
11
1
ωω==...=
Kapacitás (XC is változik a frekivel)
Induktivitás (XL az egyes harmonikusokra más és más)
UU
kII
CkUICUIkk
kk11
11 ωω ==...=
egyenáram alapharmonikus felharmonikusok
alapharmonikus felharmonikusok
alapharmonikus felharmonikusok
Egy periodikus feszültségjel hatására kialakult áram
felharmonikusát az induktivitás fojtja/simítja. Röviden:
növekvő frekvencia elnyomja/fojtja a harmonikus áramokat.
Növekvő frekvencia megnöveli/kiemeli a harmonikus áramokat.
Ohmos terhelés esetén az áram és a feszültség
felharmonikusainak aránya megegyezik.
⇒𝑈𝑘𝐼𝑘
=𝑈1𝐼1
PERIODIKUS JEL EFFEKTÍV ÉRTÉKELegyen u(t) és i(t) egy periodikus feszültség, ill. áram Fourier sora:
A feszültség és áram effektív értéke a RMS alapján:
Harmonikusok effektív értékei
TÖBBHULLÁMÚ FESZÜLTSÉGEK ÉS ÁRAMOK TELJESÍTMÉNYEIHatásos teljesítmény: az egyes harmonikusok hatásos
teljesítményeinek összege φ∑∑∞∞
11kk
kkoo
kko IUIUPPP cos+=+=
==
Hatásos teljesítményt csak
azonos rendszámú
(összetartozó) U és I hoz
létre!!!
TÖBBHULLÁMÚ FESZÜLTSÉGEK ÉS ÁRAMOK TELJESÍTMÉNYEIMeddő teljesítmény: az egyes harmonikusok meddő
teljesítményeinek összege
Látszólagos teljesítmény: effektív értékek szorzata
Meddőteljesítményt csak
azonos rendszámú
(összetartozó) U és I hoz
létre!!!
Egyenáramú összetevő
meddő teljesítményt NEM
hoz létre!
Eltérés a szinuszos áramú
hálózatoktól:
PÉLDA 1
Fogyasztó feszültségének és áramának időfüggvénye:
P, Q, S = ? → harmonikusokként kell számolni!
(fáziseltérések egyszerű leolvasása miatt egységesítés lehet
szükséges: csak sin/cos
PÉLDA 1
Kapacitív
jelleg!
PÉLDA 1
PÉLDA 2
Eredőáram, hatásos teljesítmény = ?
Megoldás:
1. Reaktanciák számítása a különböző
körfrekvenciákra (rezgőkör van-e?).
2. Szuperpozíció tétel alkalmazása (3
fesz.gen soros kapcsolása).
3. Eredőáram számítása általánosított
Ohm törvénnyel (sajnos komplex lesz).
PÉLDA 3
Megoldás:
1. Reaktanciák számítása a különböző körfrekvenciákra (rezgőkör van-e?).
2. Szuperpozíció tétel alkalmazása (3 fesz.gen soros kapcsolása).
3. Eredőáram számítása általánosított Ohm törvénnyel (sajnos komplex lesz).
Eredőáram, eredő látszólagos teljesítmény = ?
50sin(2𝜔𝑡 + 90°)
5sin(2𝜔𝑡 + 90°)
PÉLDA 4
Megoldás:
1. Reaktanciák számítása a különböző körfrekvenciákra (rezgőkör van-e?). ( )
2. Szuperpozíció tétel alkalmazása (3 fesz.gen soros kapcsolása).
3. Eredőáram számítása általánosított Ohm törvénnyel (sajnos komplex lesz).
4. Áramosztó formula alkalmazása.
= ?
𝑎𝑙𝑎𝑝𝑓𝑟𝑒𝑘𝑖𝑛
PÉLDA 5
Megoldás:
1. Reaktancia számítása 2ω-ra
2. Szuperpozíció tétel alkalmazása (2 fesz.gen soros kapcsolása + az egyenfeszültségű gen.).
3. Feszültségosztó formula alkalmazása.
? =
uC(t)=? és a kondenzátor feszültségének effektív értéke =?