OSNOVNI POJMOVI

DEFINICIJA I KRATAK HISTORIJATTeorija vjerovatnoe je matematika disciplina koja izuava zakonitosti masovni slinih pojava.One se ispoljavaju pri viestrukom ponavljanju ogleda.

Cilj teorije vjerovatnosti:

Promatrajmo kao eksperiment bacanje novia.Sluajni eksperiment rezultata eksperimenta je neizvjestan

Teorija vjerovatnosti omoguuje:

dobivanje indikacije o najvjerovatnijem rezultatu

kvantificiranje (mjerenje) neizvjesnosti eksperimenta

U teoriji vjerovatnosti rezultat eksperimenta naziva se dogaaj

Ako je poznata neizvjesnost pojedinanog sluajnog eksperimenta, teorija vjerovatnosti

omoguuje proraun neizvjesnosti istog eksperimenta ponovljenog n puta (viestruki sluajni eksperiment).Pristupi teoriji vjerovatnosti:

Frekvenca (ili Bernoullijev)

Aksiomatski (oigledni)

Subjektivni (Finettierijev)Statistika je nauka o varijacijama obiljeja, zakonitostima razvoja i odnosa masovnih pojava i njihovih elemenata u vremenu i prostoru.Rije statistika potie od latinske rijei status to znai stanje, drava, ... . Kao nauka

pojavljuje se u XVII vijeku, mada neki korijeni statistikih metoda potiu jo iz vremena

najstarijih civilizacija. Smatra se da je rije statistika prvi upotrijebio naunik Gotfrid

Ahenval (Gottfried Achenwall, 1719-1772), unosei ovaj naziv u svoje radove i u naziv

jednog predmeta (pod nazivom Notitia politica vulgo statistica) na njemakom univerzitetu

u Getingenu. Dok je u Njemakoj i ostalim razvijenim zemljama kontinentalne Evrope razvoj

statistike djelatnosti bio pod snanim uticajem osnivaa univerzitetske kole-dravopisa,

dotle se u Engleskoj razvio drugi pravac, tzv. Politika aritmetika koja svoje teorijske osnove

ima u racionalnoj filozofiji Leonarda da Vinija, Dekarta i dr. Osniva ove kole bio je Don

Graunt (John Graunt, 1602-1674), dok je osniva pravca univerzitetska statistika bio prof.

Hermann Conring (1606-1671) / profesor istraivaa Gotfrida /.U XIX vijeku statistika se znatno razvila po sadrini i metodama, naroito koritenjem

rauna vjerovatnoe. Prve takve radove nalazimo kod Laplasa (Pierre Simon de Laplace) i

(Jean Baptiste Joseph) Fouriera poetkom XIX vijeka, kada su u Parizu i departmanima

Sene vrili procjenu broja ukupnog stanovnitva na bazi uzorka sa izraunavanjem

najvjerovatnije greke.Meutim, najznaajnije ime u razvoju statistike XIX vijeka je belgijski fiziar i

astronom (Lambert Adolphe Jacob) Ketle (Quetelet, 1796-1874), na iju je inicijativu odran

i kongres statistiara u Briselu (Brussels, Belgique-Belgium) 1853. godine, a zatim jo est

kongresa u zemljama srednje Evrope. Kao to je XX vijek postao vijek tehnike i hemije, a isto

tako je to i vijek statistike koja proima sav na ivot, jer se danas statistike metode koriste u

raznim istraivanjima (u fizici, tehnici, socioloko-politikim istraivanjima, ekonomiji itd.).

Od kraja XIX vijeka na ovamo statistika se naglo razvija i kao nauka i kao djelatnost-praksa.

Poetkom ovog vijeka javljaju se razliite metrije (biometrija, ekonometrija,

sociometrija, ...), a sredinom ovog vijeka javljaju se i neke bliske discipline kao to su:

kibernetika, teorija informacija, teorija veza i sl. Javlja se kao posebna disciplina i

matematika statistika, koja je oznaila upotpunjavanje i dalje razvijanje teorije i

metodologije kvantitativnog istraivanja masovnih pojava. U mnogim knjigama nalaze se

razni pokuaji definiranja statistike. Tako npr., Silvio Elazar (u knjizi: Matematika statistika)

daje ovu definiciju: Matematika statistika je nauka koja se bavi prouavanjem zakona

sluajnih dogaaja na osnovu teorije vjerovatnoe, matematikom obradom podataka

mjerenja masovnih pojava., dok neki drugi autori daju i ovu definiciju: Nauka koja

prouava pojave koje obuhvataju vrlo veliki broj elemenata koji imaju neko zajedniko

svojstvo (obiljeje) naziva se matematika statistika. Matematika statistika javlja se u

XVIII vijeku, prvenstveno u radovima D. Bernoullija i fiziara Maxwella.

No, savremena uenja u XX vijeku mogla bi se izrei po pitanju definiranja statistike

kao naune discipline u smislu da se usvoji ova (opisna) definicija: Statistika je nauka o

varijacijama obiljeja, zakonitostima razvoja i odnosa masovnih pojava i njihovih elemenata u

vremenu i prostoru.

Statistike metode istraivanja primjenjuju se na gotovo sva podruja ljudske

djelatnosti, gdje god se javlja veliki broj posmatranja, eksperimentisanja i mjerenja (kao npr.,

pri izuavanju problema dohotka-profita, nataliteta, mortaliteta, te raznih mjerenja u fizici,

hemiji, tehnici, ...).

U statistici se prvo prikupe podaci o pojavama koje se istrauju pomou opaanja,

anketa, popisa i dr., pa se ti podaci obrauju i izvode odreeni zakljuci i prognoze.OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE S PRIMJERIMA 4.2. Predmet i zadaci matematike statistike. Osnovni skup i obiljeje

U okviru matematike statistike kao matematike discipline razvijaju se i primjenjuju

metode izuavanja (dobivanja, opisivanja i obrade) statistikih podataka s ciljem

ustanovljavanja zakonitosti koje vae u odreenim sluajnim masovnim pojavama i

procesima masovnog karaktera. Pri tome se razlikuju sljedea dva osnovna problema:

1) Razvoj metoda prikupljanja i grupisanja statistikih podataka koji se istrauju

(dobijenih ili pomou zapaanja odnosno na osnovu posmatranja ili kao rezultat

specijalno izvedenih pokusa kao to su ankete, popisi, mjerenja i sl.).

2) Razrada i razvoj metoda analize statistikih podataka u zavisnosti od cilja istraivanja.

U okviru problema pod 2) mogu se identifikovati dvije grupe metoda:

a) Metode za ocjenu funkcije distribucije i parametara distribucije (raspodjele,

razdiobe). Npr., na osnovu odreenih statistikih podataka moe se ocijeniti da oni pripadaju

normalnoj (ili binomnoj) raspodjeli, a zatim se mogu odrediti i parametri (oekivanje) i

(standardna devijacija) te distribucije.

b) Metode za provjeru (testiranje) tzv. statistikih hipoteza o obliku (vrsti) zakona

distribucije ili ako je oblik zakona distribucije poznat, o parametrima zakona distribucije.

Npr., moe se provjeriti da je pretpostavka o normalnoj distribuciji ispravna ili pogrena.

Osnovni predmet razmatranja u statistici su skupovi elemenata koji imaju izvjesne

zajednike karakteristike. Pri tome se, intuitivno, pojam osnovnog skupa najee uvodi na

jedan od sljedeih (priblino) ekvivalentnih naina:

(i) Osnovni skup (populacija, generalni skup, statistiki skup, statistika masa) je skup

(cjelina) svih istorodnih elemenata (objekata) koji podlijeu (statistikom) ispitivanju.

(ii) Skup elemenata sa nekom zajednikom osobinom ija mjera vrijednosti varira od

elementa do elementa zove se statistiki (ili osnovni skup i sl.).

(iii) Statistiki skup predstavlja cjelinu sastavljenu od istorodnih meusobno uporedivih

elemenata sa zajednikim varijabilnim obiljejem to je u stvari tekua varijabla (npr. i x )

sluajne promjenljive (npr. X ).

(iv) Skupovi elemenata koje prouava statistika zovu se osnovni skupovi (ili populacije

i sl.).

U definicijama (i), (ii) i (iv) definira se jo i pojam obiljeja, tj. kae se jo da se

zajedniko svojstvo elemenata odreenog osnovnog skupa zove obiljeje tog skupa. Obiljeje

moe biti numerikog ali i atributivnog karaktera. No, obiljeja atributivnog karaktera mogu

se svesti na obiljeja numerikog karaktera.

Iz prethodnih definicija slijedi da osnovni skup mora biti homogen tj. elementi osnovnog skupa moraju biti istovrsni ali ne i istovjetni u odnosu na zajedniko svojstvo (obiljeje) koje

karakterie skup istovrsnih objekata. Ako je na osnovnom skupu definirano samo jedno

obiljeje, skup je jednodimenzionalan. Ako su definirana dva obiljeja, skup je

dvodimenzionalan. Zavisno od toga da li je obiljeje skupa kontinualno (neprekidno),

diskretno ili mjeovitog tipa, razlikuju se kontinualni, diskretni i mjeovitog tipa statistiki

skup.

Statistika raspodjela frekvencija (odnosno relativnih frekvencija) je

pridruivanje (preslikavanje) izmeu vrijednosti obiljeja (varijansi) i njihovih frekvencija

(odnosno relativnih frekvencija). Takoe se uvodi i pojam statistike raspodjele osnovnog

skupa kao zajedniki naziv za statistiku raspodjelu relativnih frekvencija i statistiku

raspodjelu apsolutnih frekvencija, tj. statistika raspodjela osnovnog skupa je pridruivanje

izmeu vrijednosti obiljeja (varijansi) i njihovih frekvencija ili relativnih frekvencija.

Najee se statistika raspodjela prikazuje tabelarno a ponekad i grafiki. Tabela je obino u

obliku:

PRIMJER:

U jednom razredu od 30 uenika uspjeh je prikazan slijedeom tabelom:

PRIMJER:

Na jednoj stonoj farmi je statistiki posmatrana mlijenost stotinu krava tj. x hl mlijeka koje svaka krava daje godinje.Podaci su prvo sreeni,pa su onda napisani u tabeli.Nacretati dijagram frekvencija I odgovarajui histogram frekevencija te izvesti odgovarajue prirodne zakljuake.

DEFINICIJA:Ogledom (ispitivanjem,eksperimentom) nazivamo svako ostvarenje odreenih uslova ili radnji pri kojima se posmatra izuavana pojava

PRIMJER:Bacanjem novia moe se desiti da on padne na grb ili na broj.Postoje,znai dvije mogunosti a svaka od njih se moe realizovati na jedan jedini nain.Ve odavde moemo zakljuiti da je vjerovatnost svakog dogaaja jednaka i iznosi .DEFINICIJA:

Sve to moe biti ishodom ogleda naziva se dogaajem.

PRIMJER:

Izvlaenje kuglice odreene boje iz kutijeDEFINICIJA:Dogaaj nazivamo pouzdanim ako on proizlazi iz datog ogleda

PRIMJER:Ako su u kutiji samo crvene loptice, dogaaj ''iz kutije izvuena crvena loptica'' se naziva se pouzdanim!DEFINICIJA:

Dogaaj nazivamo nemoguim ako se u datom ogledu ne moe ostvariti.

PRIMJER:

DEFINICIJA:Sluajan je dogaaj koji u datom ogledu moe da se pojavi ili ne pojavi

PRIMJER:

Tako je npr.pojava grba ili broja pri bacanju novia sluajan dogaaj.DEFINICIJA:

Za dogaaj kaemo da su zajedniki (uzajamno se ne iskljuuju) u datom ogledu,ako pojava jednog od njih ne iskljuuje pojavu drugog.

PRIMJER:

Tako npr.pri bacanju dva novia dogaaj ''broj na gornjoj strani prvog i grb na gornjoj strani drugog novia'' se ne iskljuuju.DEFINICIJA:

Dva dogaaja su nezajednika (uzajamno se iskljuuju) ako pojava jednog iskljuuje pojavu drugog u tom ogledu

PRIMJER:

Npr.dogaaj ''pojava grba i broja'' pri bacanju jednog novia se meusobno iskljuujuDEFINICIJA:

Vjerovatnoa dogaaja je odnos broja elementarnih rezultata povoljni datom dogaaju sa brojem svih jednako moguih rezultata ogleda u kojem se moe pojaviti taj dogaaj.

Vjerovatnou dogaaja A oznaavamo sa P(A), pa prema datoj definiciji je :

P(A)=m/n

Gdje su:

m- broj elementarnih rezultata povoljnih datom dogaaju A

n- broj svih jednako moguih elementarnih rezultata ogleda u kome se moe pojaviti dogaaj A, a koji obrazuju potpunu grupu.Data definicija vjerovatnoe naziva se i klasinom, a pojavila se u samom poetku razvoja teorije vjerovatnoe.

PRIMJER:

Izraunati vjerovatnou pojave grba i pojave broja pri jednom bacanju novia.

Neka je A pojava grba i B pojava broja na noviu.Pretpostavimo da su dogaaji A i B jednako mogui.Tada oni obrazuju potpunu grupu dogaaja.Za svaki od njih je broj povoljnih rezultata 1, a broj svih elementarnih rezultata je 2 tj.m=1 i n=2 , pa je

P(A)=1/2 i P(B)=1/2Iz date definicije vjerovatnoe slijede njene osobine:

1.Vjerovatnoa pouzdanog dogaaja je jednaka 1

Za pouzdan dogaaj svi elementarni rezultati su povoljni za taj dogaaj tj. m=n

2.Vjerovatnoa nemogueg dogaaja je jednaka 0

Za nemogui dogaaj nema ni jednog elementarnog rezultata koji je povoljan za taj dogaaj tj. m=0

3.Vjerovatnoa sluajnog dogaaja predstavljena je pozitivnim brojem koji je manji od 1

0