VLNNHQV 'LIIHUHQWLDOOLJQLQJHUolewitthansen.dk/Fysik/Fysikkens_Differentialligninger.pdf¡UVWH RUGHQV GLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU S 57 0J G\ GS 6RP EHNHQGW DIWDJHU WHPSHUDWXUHQ FD PHG R&

$Page 1: VLNNHQV 'LIIHUHQWLDOOLJQLQJHUolewitthansen.dk/Fysik/Fysikkens_Differentialligninger.pdf¡UVWH RUGHQV GLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU S 57 0J G\ GS 6RP EHNHQGW DIWDJHU WHPSHUDWXUHQ FD PHG R&$
Eksempler paring Fysikkens Differentialligninger

Dette er en artikel fra min hjemmeside wwwolewitthansendk

Ole Witt-Hansen 2008

Indhold 1 Trykkets afhaeligngighed af hoslashjden over jordoverfladen 3 2 Radioaktive henfaldskaeligder 4 3 Retlinet bevaeliggelse af en partikel i vaeligsker og gasser7 31 kugleformet legeme som synker i en vaeligske 7 32 Lodret turbulent bevaeliggelse i vaeligsker og gasser 9 321 Opadgaringende bevaeliggelse 10 322 Nedadgaringende bevaeliggelse 11 323 Lodret bevaeliggelse i luft12 4 Det Skraring kast 14 41 Skraringt kast uden luftmodstand14 42 Skraringt kast med luftmodstand15 5 Daeligmpet harmonisk svingning 17 51 Loslashsning af differentialligningen ved hjaeliglp af komplekse tal 18 52 Traditionel loslashsning af differentialligningen 19 6 Tvungen harmonisk svingning uden daeligmpning 22 7 Differentialligninger der ikke kan loslashses analytisk 25 71 Taylors formel25 72 Numerisk loslashsning af 1 ordens differentialligninger 26

Foslashrste ordens differentialligninger 3

1 Trykkets afhaeligngighed af hoslashjden over jordoverfladen Vi betragter et kasseformet udsnit af atmosfaeligren Arealet af endefladerne betegnes A Kassen befinder sig i hoslashjden y over jordoverfladen Kassen har hoslashjden Δy Trykket paring overside og underside betegnes p(y+ Δy) og p(y) Massefylden for luften i hoslashjden y betegnes ρ(y) Vi minder om at kraften paring en flade med areal A er F = pA hvor p er trykket paring fladen Vi udtrykker nu at forskellen i kraften paring underside og overside er lig med tyngden af den luft der befinder sig i kassen Dette fordi luften i kassen er i hvile

ygAygVygmAyypAyp airair )()()()(

Saring der gaeliglder ygAyAyypAyp )()()( Divideres med AΔy farings

gyy

ypyyp)(

)()(

og erstattes

y

ypyyp

)()(

med dy

dp faringr man

(11) gydy

dp)(

For at loslashse differentialligningen (11) maring vi imidlertid kende endnu en sammenhaeligng mellem ρ(y) og p(y) Den kan vi imidlertid faring af

1 Tilstandsligningen for ideale gasser PV = nRT

2 Definition af molmasse M M

mnnMm hvor n er antal mol samt

3 Definition af massefylde VmV

m

Indsaeligttes nemlig de to sidste ligninger i tilstandsligningen finder man

PRT

MRT

M

VRT

M

mnRTPV

Dette udtryk for massefylden indsaeligttes saring i (11) som herefter giver


(12) pRT

Mg

dy

dp

Som bekendt aftager temperaturen ca med 1oC for hver 200 m man kommer til vejrs men vi antager foslashrst at temperaturen er konstant op igennem atmosfaeligren Loslashsningen til differentialligningen (12) er kendt saring vi finder

(13) y

RT

Mg

epyp

0)(

Indsaeligttes vaeligrdier for konstanterne M =29 gmol g = 982 ms2 R= 831 J(molK) og T = 273 K finder man

(14) yepyp426101

0)(

Hvor y skal maringles i meter Dette giver et trykfald paring 13 pr 100 m og 12 pr 1000 m Vi ser dernaeligst paring loslashsningen til differentialligningen hvis temperaturen antages at aftage lineaeligrt med 10C pr 200 m Temperaturen ved jordoverfladen saeligttes til 20 0C = 293 K Temperaturen i hoslashjden y er derfor T = T(y) = 293 ndash y200 Differentialligningen bliver herefter

(15) pR

Mg

dy

dpy )293(

200

Denne ligning loslashses paring saeligdvanlig vis ved separation og integration

yp

p

dyyR

Mg

p

dp

0 200293

1

0

200293

1

1

1

02930

med

R

Mg

p

dpyp

p

dyy

Ligningen integreres til at give

(16)

R

Mg

yppyR

Mg

p

p 2930 )1()1ln(

293)

0ln(

Udregnes trykket efter (16) giver det kun anledning til afvigelser fra (14) paring 01 ndash 02

2 Radioaktive henfaldskaeligder Differentialligningen for antallet af radioaktive kerner er kendt fra undervisningen

(21) kNdt

dN

Som har loslashsningen (22) kteNtN 0)(


Aktiviteten er defineret som antal soslashnderdelinger pr sekund

(23) )()( tkNdt

dNtA

hvor k som saeligdvanlig betegner henfaldskonstanten (soslashnderdelingskonstanten) Henfaldskonstanten k er lig med ln2 divideret med halveringstiden Tfrac12 idet

frac12002

1 kTeNN giverfrac12

2ln

Tk

Vi vil nu se paring det tilfaeliglde hvor den oprindelige kerne henfalder til en ny kerne som ogsaring er radioaktiv noget der er velkendt for henfaldskaeligderne Uranserien- Thorium- og Actinium serien Betegnes de to kerner med henholdsvis (1) og (2) kan man opstille to differentialligninger Den foslashrste for kerne (1) som er identisk med (21) mens den anden udtrykker at kerne (2) produceres med en hastighed der er lig med aktiviteten af kerne (1) og soslashnderdeles efter henfaldsloven

(22) 22112

2212

111 NkNk

dt

dNNk

dt

dN

dt

dNogNk

dt

dN

Den sidste differentialligning er af formen

(23) )(xhkydx

dy

Den loslashses ved at flytte leddet ndashkmiddoty over paring venstre side multiplicere ligningen med ekx og omskrive til en enkelt differentialkvotient

(24) xkxk

xkxkxk exhdx

yedexhykee

dx

dyxhky

dx

dy

)()(

)()(

hvis dxexhxH xk)()( saring har differentialligningen loslashsningen

(25) xkxkxk ceexHycxHye )()( Konstanten c er som saeligdvanlig en integrationskonstant der er bestemt af begyndelsesbetingelserne Erstatter man x med t y med N2 og h(x) med N1(t) i (23) og foretages de samme omskrivninger med de nye variable finder man

tkeNNNkNkdt

dN1

0122112


tktktktk eeNkNekdt

dNe 2122

01222

tkk

tk

eNkdt

Ned )(01

2 12

2 )(

cekk

kNNe tkktk )(

12

102

122

tktk cee

kk

kNtNN

21

12

1022 )(

Konstanten c bestemmes ved N2(0)=0 =gt 12

10 kk

kNc

Loslashsningen bliver herefter

(26)

tktkk

tktk

eekk

kNtN

ekk

kNe

kk

kNtN

212

21

)1()(

)(

)(

12

102

12

10

12

102

Bemaeligrk at N2 gt 0 for t gt 0 uafhaeligngig af om k2 gtk1 eller omvendt (Tilfaeligldet k2 = k1 har kun matematisk interesse men loslashsningen er tkteNkN 2

012 )

Resultatet er imidletid relativt let at fortolke idet de foslashrste to faktorer er det antal N1 kerner der er henfaldet til N2 kerner men som ikke er henfaldet endnu og den sidste faktor er henfaldsloven for N2 kerner Hvis henfaldskaeligden er laeligngere en tre kerner kan det i princippet loslashses helt paring den samme maringde idet man blot skal erstatte udtrykket for N1(t) med udtrykket for N2(t) i differentialligningen for N3(t) Loslashsninger af typen (26) kan anvendes til aldersbestemmelse for et radioaktivt stof I praksis kender man de to soslashnderdelingskonstanter k1 og k2 samt forholdet mellem de to kerner N2N1 Dette giver foslashlgende ligning fra hvilken man i princippet kan bestemme den tid der er forloslashbet siden kernerne (1) blev skabt Denne slags beregninger har givet de foslashrste trovaeligrdige beregninger af jordens faktiske alder

(27) )1()1(

)(

12

1

0

)(0

1

2 21

1

212

12

1tkk

tk

tktkk

ekk

k

eN

eeN

N

N kk

k

Man ser at hvis k2 gt k1 saring vil

tforkk

k

N

N

12

1

1

2

Anden ordens differentialligninger 7

3 Retlinet bevaeliggelse af en partikel i vaeligsker og gasser Naringr man analyserer mekaniske systemer saring antager man som regel at de er gnidningsfrie Dette er naturligvis kun realistisk i en vis udstraeligkning men de diferentialligninger der beskriver systemet kan ofte kun loslashses hvis man ser bort fra gnidning eller hvis gnidningskraften ikke afhaelignger af hastigheden andet end lineaeligrt Vi vil nu beskrive nogle simple eksempler paring bevaeliggelse i gasser og vaeligsker hvor gnidningen (viskositeten) afhaelignger af hastigheden

31 kugleformet legeme som synker i en vaeligske Vi skal foslashrst betragte en partikel (karakteristisk en kugle) der synker i en vaeligske under paringvirkning af tyngdekraften Hvis partiklens hastighed i vaeligsken ikke er for stor er der tale om laminar stroslashmning I dette tilfaeliglde er gnidningskraften proportional med og modsat rettet hastigheden Hvis hastigheden vokser er der derimod tale om turbulent stroslashmning Turbulens kan bedst beskrives ved at der opstaringr stroslashmhvirvler i vaeligsken eller gassen Turbulens er et af de stadig delvis uloslashste problemer i den klassiske fysik Ingen har kunnet give en stringent teoretisk forklaring paring hvorfor og isaeligr hvornaringr turbulens opstaringr Et teoretisk udtryk for gnidningskraften paring en kugle ved laminar stroslashmning er givet ved Stokes lov (31) rvFgn 6

Hvor r = Radius af kuglen v = Hastigheden = viskositetskoefficienten af vaeligsken I det foslashlgende vil vi blot for kortheds skyld skrive proportionaliteten mellem gnidningskraft og hastighed som vFgn Denne formel gaeliglder uafhaeligngig af legemets form blot der er tale om

laminar stroslashmning For en bevaeliggelse langs en x-akse gaeliglder der som bekendt

Hastighed dt

dxv acceleration

2

2

dt

xd

dt

dva og Newtons 2 lov maFres

Et legeme der synker i en vaeligske vil vaeligre paringvirket af 1 Tyngdekraften FT = mg 2 En opdrift VgF vop

(Lig med tyngden af den fortraeligngte vaeligskemaeligngde) hvor v er vaeligskens massefylde og m

V er

rumfanget af legemet med masefylden 3 gnidningskraften vFgn


FT ndash Fop = gmVgVgVgVgmg rvvv )(

hvor mvg er det som tyngden reduceres til naringr legemet nedsaelignkes i vaeligsken Bevaeliggelsesligningen er derfor

(32) gmvm

vmdt

dvvgm

dt

dvmmaF vres

For nemheds skyld saeligtter vi ggmvm

v

Ligningen loslashses helt paring samme maringde som vi gjorde det i (24) Vi multiplicerer med t

me

og omskriver

(33)

cgem

ve

gedt

ved

gevemdt

dve

v

tm

tm

v

tm

tm

v

tm

tm

tm

)(

Som loslashses med hensyn til v

(34) t

m

tm

cegvm

v

cevmgv

Tilfoslashjer vi begyndelsesbetingelsen v(0) = 0 finder man

gvmc som indsat i loslashsningen giver

(35) )1(t

mv egm

v

Det ses at hastigheden naeligrmer sig asymptotisk til

gvmv

Halveringstiden for at opnaring denne hastighed findes paring saeligdvanligvis som

2ln2ln

2

1

2

1

mt

mkog

kt

For de fleste bevaeliggelser i vaeligsker opnarings sluthastigheden meget hurtigt Ligningen (35) kan naturligvis integreres for at opnaring straeligkningen x Man finder

(36) ))1((0 t

mv em

tgm

xx


Hvis legemet har begyndelseshastigheden v0 og bevaeliggelsen er modsat rettet tyngden skal der

skiftes fortegn paring mg leddet i (34) og

gvmvc 0

Vi finder i dette tilfaeliglde loslashsningen

(37) )1(0 t

mt

m eevv gvm

Vi ser at hastigheden igen naeligrmer sig asymptotisk til

gvmv

32 Lodret turbulent bevaeliggelse i vaeligsker og gasser En del studieretningsrapporter beskaeligftiger sig med bevaeliggelse med luftmodstand eller bevaeliggelse i vaeligsker I de senere aringr har rapporterne vaeligret centreret paring optagelse af bevaeliggelserne med hoslashjhastighedskamera fulgt af analyse af billederne med et computerprogram Med den nuvaeligrende matematik- og fysikundervisning i gymnasiet er en teoretisk indgang nok ikke saeligrlig oplagt men alligevel er det ikke uinteressant at kunne sammenligne med teori Jeg har haft meget svaeligrt ved at finde en teoretisk behandling af emnerne nedenfor saring jeg kan ikke henvise til nogen kilder Vi skal se paring et legeme der bevaeligger sig lodret i en vaeligske k eller luftart Kun paringvirket af tyngdekraften opdriften og denm den gnidningsmodstand som skyldes viskositet

For vaeligsker deler bevaeliggelsesligningerne op eftersom legemets massefylde er stoslashrre end vaeligskens (legemet synker) eller omvendt saring legemet bevaeligger sig op Gnidningsmodstanden er altid rettet modsat hastigheden mens tyngdekraften altid er nedadrettet Vi anvender foslashlgende udtryk semi-empiriske udtryk for gnidningskraften (38) 2

21 AvcF wvisc

ρ er massefylden for vaeligskenluften A er tvaeligrsnitsarealet for legemet v er hastigheden og cw er den saringkaldte

(dimensionsloslashse) formfaktor For nemheds skyld saeligtter vi 2cvFvisc

En omtrentlig vaeligrdi for cw kan findes i en tabel feks Databogen hvor man ogsaring finder den kinematiske viskositet ν og den dynamiske viskositet η Sammenhaeligngen mellem de to viskositeter er den at η= νρ cw er angivet for forskellige udformninger af legemet og Reynoldstallet som er defineret som

(39)

Dv Re

v (i taeliglleren) betegner hastigheden og ν i naeligvneren den kinematiske viskositet D er den lineaeligre udstraeligkning af legemet Det bemaeligrkes at bevaeliggelsesligningerne nedenfor godt kan loslashses hvis man i stedet anvender Stokes lov for gnidningsmodstanden rvFstoke 6 men det giver resultater der for legemer med


en diameter paring nogle centimeter og som vejer omk 100 gram som ikke er i overensstemmelse med erfaringen Hvis legemet bevaeligger sig op paring grund af opdriften vil det vaeligre paringvirket af opdriften samt tyngdekraften og gnidningsmodstanden som begge har samme retning (310) 2cvgmmgmaFFFF vviscopTres

Hvis legemet derimod synker gaeliglder der at legemet er paringvirket af opdriften samt tyngdekraften og gnidningsmodstanden som nu er modsat rettede (311) 2cvgmmgmaFFFF vviscopTres

m betegner massen af legemet og mv er den fortraeligngte vaeligskemaeligngde ifoslashlge Arkimedes lov

321 Opadgaringende bevaeliggelse

(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Ligningen kan loslashses direkte ved separation af de to variable v og t og lidt regne-regne men man kan ogsaring gaeligtte loslashsningen ved at bemaeligrke at (tanh x)rsquo = 1 ndash tanh2 x

Saeligtter vi nemlig gm

ck

2 antager ligningen formen

(314) ))(1( 2kvgdt

dv

som ses at have loslashsningen

(315) )tanh(1

gktk

v

eller naringr man indsaeligtter vaeligrdien for k

(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(

tanh naeligrmer sig hurtigt asymptotisk til 1 feks er tanh(1) = 076 og tanh(2) = 096

Sluthastigheden bliver c

gmm

kv v )(1


hvilket ogsaring kan ses direkte ved i (313) at saeligttek

vkvgdt

dv 10))(1(0 2

Taelignker vi os feks en badebold med diameter 030 m saring vil vi forsoslashge at udregne den fart hvormed den forlader overfladen hvis den er holdt under vand Man kan slaring formfaktoren op i en tabel og der finder man at den for en kugle er cw = 02 For ovennaeligvnte badebold giver dette vaeligrdien c = 707 kgm (317) 22

21 cvAvcF wvisc

Loslashser vi ligningen 2)(

2

t

m

gmmc v

som svarer til 96 af sluthastigheden ses at det drejer sig om broslashkdele af et sekund foslashr den er

opnaringet saring i eksemplerne nedenfor kan vi anvende sluthastigheden smc

gmmv v 44

)(

Slippes en badebold der er holdt under vand vil den efter at have naringet overfladen

hoppe stykket mg

vh 980

2

2

For en bordtennisbold med radius 2 cm og massen 30 g forloslashber regningerne saringledes

76

10611001

0404Re

Dv

som giver formfaktoren cw = 02 A = π (002)2 m2 = 126 10-3 ρ = 103 kgm3 Heraf udregnes

Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34

Sluthastigheden bliver smsmc

gmmv v 541

1260

82903050)(

Med denne sluthastighed skulle bolden altsaring kunne hoppe et stykke mg

vh 120

2

2

322 Nedadgaringende bevaeliggelse Vi ser nu paring et legeme der synker i vand Bevaeliggelsesligningen er (318) 2cvgmmgmaFFFF vviscopTres

Forskellen fra foslashr er blot at massen af legemet m gt mv (massen af den fortraeligngte vaeligskemaeligngde) Bevaeliggelsesligninger bliver den samme som foslashr bortset fra et minustegn


(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Ligningen har den samme loslashsning som foslashr (bortset fra et minustegn)

Hvis vi som foslashr saeligtter vi gm

ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(

Ser vi feks paring en jernkugle med radius 5 cm og massefylde ρ=78 103 kgm3 finder man for c c = 079 (SI-enheder) mv = ρvand Vkugle = 10 103 ∙43(5 10-2)3 kg = 0524 kg og m =ρjern Vkugle = 78 103 43(5 10-2)3 kg = 41 kg Heraf faringr man sluthastigheden

hkmsmc

gmmv v 2476

)(

323 Lodret bevaeliggelse i luft For bevaeliggelse i luft kan man i almindelighed se bort fra opdriften De to bevaeliggelsesligninger bliver Bevaeliggelse op 2cvmgmaFFF luftTres

(323) Bevaeliggelse ned 2cvmgmaFFF luftTres

Vi loslashser foslashrst for bevaeliggelsen op

(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv

Som foslashr kan ligningen loslashses ved separation af de to variable v og t men det er lettere at bemaeligrke at (tan x)rsquo =1+tan2x og saring gaeligtte paring en loslashsning af formen btav tan

bbtadt

dv)tan1( 2

Ved sammenligning med

))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan

1tan og foslashlgelig gkbgab

Loslashsningen er derfor

(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1

For kgt ltlt 1 er tan(kgt) = kgt og formlen garingr over i v = v0 ndash gt som den burde For en bold med r = 005 m og masse m = 250 g er c = 20 10-3 kgm og k = 00285 sm Hvis denne bold kastes op med en begyndelseshastighed paring 50 ms kan vi bestemme tidspunktet hvor den vender ved at loslashse ligningen v = 0 0tan kvgkt som giver t = 051 s

Hvis man vil finde hvor langt den naringr op skal man integrere ligningen ovenfor

(327) ))ln(cos(120 gktgk

ss

Udregner man denne straeligkning svarende til en begyndelseshastighed v0 = 50 ms saring er der kun en forskel paring 2 decimal i forhold til et lodret kast uden luftmodstand Vi skal derefter se paring et frit fald med luftmodstand 2cvmgmaFFF luftTres som foslashrer til ligningen

))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg

ck 2 Den sidste ligning har som vist ovenfor loslashsningen

(328) )tanh(1

gktk

v


Sluthastigheden er c

mg

kv

1

Indsaeligttes vaeligrdierne for c = 81 10-3 svarende til en kugle med r = 010 m og massefylde 10 103 kgm3 faringr man vslut =226 ms

Straeligkningen kan bestemmes ved at integrere hastigheden Man faringr )ln(cosh(1

20 gktgk

ss

Sluthastigheden opnarings omtrent naringr gkt =2 som giver t = 1gk = 46 s Dette vil svare til en straeligkning s ndash s0 = 5200 m Jeg kan ikke staring til ansvar for hvorvidt ovenstaringende beregninger passer med virkeligheden Feks er formfaktoren er kun fastlagt paring naeligr en faktor 2

4 Det Skraring kast Som indledning vil vi betragte det skraring kast uden luftmodstand ogsaring for at kunne sammenligne med kastet naringr der er luftmodstand

41 Skraringt kast uden luftmodstand Vi antager at en partikel affyres med elevationen θ (vinklen med vandret) og med begyndelseshastighed v0 De velkendte bevaeliggelsesligninger er

(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv

(Begyndelseshastigheden)

Bevaeliggelsen er med konstant acceleration i x- y planen hvorfor der gaeliglder ligningerne (42) 0vtav

og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r

finder man ved direkte indsaeligtning i (42)

(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr

Stighoslashjden kan bestemmes ved at saeligtte vy = 0 g

vt

sin0 som indsat i y giver

(44) g

vy

2

)sin( 20

max

Kastevidden (laeligngden af kastet) kan bestemmes ved at loslashse ligningen y = 0

g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0


Kastevidden bestemmes da ved at indsaeligtte den anden loslashsning i udtrykket for x som kan reduceres til (idet sin 2θ= 2sinθcosθ)

(45) g

vx

2sin20

max

Det laeligngste kast opnarings ved 04512sin som det er velkendt fra den elementaeligre fysikundervisning Banekurven er i oslashvrigt en parabel hvilket kan ses ved at eliminere tiden t fra de to ligninger for x og y Man finder

22

0

21

)cos(tan x

v

gxy

Kurven kaldes som bekendt en kasteparabel

42 Skraringt kast med luftmodstand Ved hastigheder blot over 50 ms er antagelsen om laminar stroslashmning naeligppe opfyldt men bevaeliggelsesligningerne lader sig ikke loslashse analytisk hvis der er tale om turbulent stroslashmning Ved turbulent stroslashmning er gnidningskraften Fgn = vβ hvor 21 Saring vi vil foreloslashbig noslashjes med at loslashse bevaeliggelsesligningerne for laminar stroslashmning For bevaeliggelse i gasser kan man i almindelighed se bort fra opdriften saring i dette tilfaeliglde er

(46) vFogvF gngn

||

Bevaeliggelsesligningerne bliver da

(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd

Disse to differentialligninger har vi imidlertid allerede loslashst for en retlinet bevaeliggelse i (34) og (35)

Er begyndelseshastigheden )sincos( 00 vvv

finder man loslashsningerne

(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm

ltlt 1 altsaring hvis gnidningsmodstanden er forsvindende lille saring kan man benytte

tilnaeligrmelsen xe x 1

(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx

Hvis vi dropper alle led proportionale med α finder man de tidligere udledte udtryk for skraringt kast uden gnidning (hvilket altid er betryggende i en teoretisk udledning)


tgvvogvv yx sincos 00

For at finde positionen (xy) skal vi integrere (42) med hensyn til tiden Vaeliglger vi (x0 y0) = (00) finder man

t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm

ltlt 1 altsaring hvis gnidningsmodstanden er forsvindende lille kan man benytte

tilnaeligrmelsen 2211 xxex + frac12x2 med x = t

m

Hvis man dropper alle led der er proportionale

med α finder man igen de tidligere udledte udtryk for skraringt kast uden gnidning

200 frac12sincos tgtvyogtvx

Hverken (48) eller (410) er saeligrlig gennemskuelige eller anvendelige til teoretiske beregninger Det er muligt at finde stighoslashjden idet ligningen vy = 0 godt kan loslashses for at bestemme t som saring kan indsaeligttes i udtrykket for y Man kan imidlertid ikke finde et analytisk udtryk for kastevidden idet ligningen (43) y = 0 er en transcendent ligning Vi skal senere se paring numerisk loslashsning af differentialligninger Som omtalt kan bevaeliggelsesligningerne for det skraring kast ikke loslashses hvis luftmodstanden er proportional med v2 men nedenfor er angivet en numerisk loslashsning med vaeligrdier for α = 0 (ingen luftmodstand) α = 00001 α = 00005 α = 0001


5 Daeligmpet harmonisk svingning En harmonisk svingning er en retliniet bevaeliggelse (langs en x-akse) hvor den resulterende kraft er proportional med afstanden til ligevaeliggtsstillingen (x=0) og til stadighed rettet mod ligevaeliggtsstillingen Der gaeliglder altsaring ligningen

(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m

k finder man den fuldstaeligndige loslashsning

(52) )cos( 0 tAx

A er amplituden ω kaldes den cykliske frekvens og φ0 er begyndelsesfasen

Svingningstiden er givet ved udtrykket k

mTT

22

I matematik undervisningen skriver man den fuldstaeligndige loslashsning til (51) paring en lidt anden maringde tctcx sincos 21 At dette faktisk er den samme loslashsningsformel kan indses idet man anvender additionsformlen

vuvuvu sinsincoscos)cos( paring loslashsningen (52)

)sin()sin()cos()cos()cos( 000 tAtAtAx

og saeligtter )sin()cos( 0201 AcogAc

som har loslashsningerne 22

21

1

2tan ccAogc

c

Hvis der er friktion i bevaeliggelsen skal der tilfoslashjes endnu et led til differentialligningen (51) Vi vil foslashrst goslashre den antagelse at friktionen er proportional med og modsat rettet hastigheden Proportionalitetskoefficienten vil afhaelignge af hvilket legeme der er tale om og hvilket medium (vaeligske luft) den bevaeligger sig i

Fgn = -αmiddotv =gt dt

dxFgn

Differentialligningen for bevaeliggelsen bliver herefter


(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres

Det viser sig noget mere besvaeligrligt at loslashse differentialligningen (53) end (51) Foslashr vi garingr i gang omskriver vi ligningen for at faring et mere generelt udtryk

(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb

(54) er en 2 ordens lineaeligr homogen differentialligning med konstante koefficienter b og c Lineaeligr fordi alle led der indeholder x optraeligder i 1 potens Homogen fordi der ikke er noget led som afhaelignger eksplicit af t

51 Loslashsning af differentialligningen ved hjaeliglp af komplekse tal Ligningen (52) kan altid loslashses idet loslashsningen kan reduceres til at finde de komplekse loslashsninger til en 2 grads ligning Tilsvarende kan loslashsning af en n-te ordens lineaeligr homogen differentialligning med konstante koefficienter reduceres til at bestemme de komplekse roslashdder i et nte grads polynomium Selv om komplekse tal ikke er en del af gymnasiets pensum i matematik vil vi alligevel vise metoden fordi den er enkel og effektiv For at loslashse ligningen (54) saeligtter vi tzex hvor z er et komplekst tal Det foslashlger saring

tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2

Indsaeligttes dette i (54) og bortforkorter man tze faringr man 2gradsligningen

02 czbz

Diskriminanten cbd 42 Hvis d gt 0 har 2 gradsligningen de to reelle loslashsninger

(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz

Vender vi tilbage til den oprindelige differentialligning ses det at c=km gt 0 saring begge loslashsninger i (55) er negative (Hvis d = 0) reduceres det til en loslashsning Hvis d lt 0 har 2 gradsligningen ingen reelle loslashsninger men til gengaeligld de to komplekse loslashsninger


(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz

Her er i den komplekse enhed i2=-1 I teorien for komplekse funktioner er formlen nedenfor (Eulers ligning) en af de vigtigste formler (faktisk en af de vigtigste formler i den matematiske analyse overhovedet) Hvis yixz er et kompleks tal hvor x og y er reelle gaeliglder der nemlig (56) )sin(cos yiyeeeee xiyxiyxz Vi er (naturligvis) kun interesseret i den reelle del af loslashsningen til differentialligningen (54) Vi bemaeligrker endvidere at da vi foretog substitutionen tzex kunne vi lige saring godt have skrevet

0itzAex Hermed faringr vi to integrationskonstanter A og 0 Saeligtter vi endvidere

2

4 2bc kan vi skrive loslashsningen til differentialligningen (54) paring foslashlgende form

(57) )cos()( 02

tAetxt

b

Man ser at loslashsningen er en harmonisk svingning med en amplitude der aftager eksponentielt med tiden Dette kaldes en daeligmpet harmonisk svingning Indsaeligttes de oprindelige vaeligrdier for b og c

m

kcog

mb

hvor er viskositetskoefficienten i ligningen Fgn = -αmiddotv og k er fjederkonstanten finder man udtrykket

2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm

Forudsaeligtningen for denne loslashsning er at det som staringr under kvadratrodstegnet er positivt I modsat fald (diskriminanten d ovenfor er negativ) vil der aldrig komme en svingning i gang men udsvinget vil naeligrme sig eksponentielt til ligevaeliggtsstillingen Man bemaeligrker i oslashvrigt at naringr =0 garingr loslashsningen over i det tidligere udtryk for en harmonisk svingning

52 Traditionel loslashsning af differentialligningen

(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

Som tidligere omskriver vi ligningen for at faring et mere generelt udtryk


02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb

Differentialligningen kan dog ogsaring loslashses paring traditionel vis men metoderne er lidt forskellige Den anvendte metode her er i familie med den der bruges naringr man loslashser 1 ordens differentialligning Man indfoslashrer en hjaeliglpefunktion til at omskrive differentialligningen til eacuten som vi kan loslashse nemlig differentialligningen for den harmoniske svingning

(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm

som har loslashsningen (511) 0cos tAy

For at opnaring dette ser vi paring foslashlgende differentialligning hvor vi har sat y = x te

(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed

Formaringlet er at omforme denne ligning til den oprindelige ligning 02

2

xcdt

dxb

dt

xd ved et

passende valg af konstanterne β og 2 Vi udregner derfor

ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(

Vi tilfoslashjer leddet txe 2 og saeligtter resultatet lig med nul

(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd

Ligningen reduceres ved division med te

(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd

Dette sammenlignes da med den oprindelige differentialligning


(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd

Man ser at de to differentialligninger er identiske hvis og kun hvis

m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22

Vi kan imidlertid loslashse (513) direkte Hvis vi nemlig saeligtter texy er differentialligningen af formen

(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0

Differentialligningen (516) loslashsningen )cos( 0 tAy saring vi finder

(517) )cos()cos( 00 teAxtAexy tt

Tilbagefoslashrer vi nu fra oprindelige differentialligning hvor m2

and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm

Vi finder altsaring den samme loslashsning som vi fandt ved hjaeliglp af komplekse tal med en eksponentielt aftagende amplitude Nedenfor er vist en grafen for en numerisk loslashsning af differentialligningen

02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

For den eksponentielt daeligmpede harmoniske svingning og hvor den eksponentielle indhyldningskurve ogsaring er tegnet


Daeligmpede harmoniske svingninger findes overalt i naturen og udtrykket (514) genfinder man derfor ofte til beskrivelse af saringdanne svingninger

6 Tvungen harmonisk svingning uden daeligmpning Vi betragter en tvungen svingning uden daeligmpning hvor massen m foruden rdquofjederkraftenrdquo (som opfylder Hookes lov) er paringvirket af en ydre tidsafhaeligngig kraft Resultaterne kan direkte overfoslashres til en elektrisk svingningskreds men en spole og en kapacitor som er paringlagt en vekselspaelignding

(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2

Vi vil antage at den ydre kraft varierer harmonisk tiydre em

f

m

tF 0)(


Loslashsningen til differentialligningen ovenfor er (som bekendt) en partikulaeligr loslashsning til den inhomogene ligning plus den fuldstaeligndige loslashsning til den homogene ligning

(62) 02

2

xm

k

dt

xd

som har loslashsningen

m

khvortAx 00 )cos(

Da differentialligningen

titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2

er af 2 orden med konstante koefficienter kan vi bestemme en partikulaeligr loslashsning som tiAex (hvor ω er den paringtrykte frekvens) som indsat giver

(63) tititi em

fAeAe 02

02

som loslashses med hensyn til A til at give

22

0

0

m

f

A

Den fuldstaeligndige loslashsning til differentialligningen kan herefter skrives som den partikulaeligre loslashsning plus den fuldstaeligndige loslashsning til den homogene ligning

(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx

Skriver vi dette som x = Amiddotcos(ω0t+φ)+ Bmiddotcos(ωt) kan vi i tilfaeligldet hvor A = B anvende den foslashrste af de logaritmiske formler for addition af to cos-funktioner

2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx

Systemet vil altsaring udfoslashre svingninger med frekvensen 2

0 og med en rdquoamplituderdquo

)frac122

cos(2 0

tA der afhaelignger af tiden skiftende mellem vaeligrdierne -2A og 2A

Faelignomenet kaldes for rdquosvaeligvningerrdquo som isaeligr er kendt for lydboslashlger


I almindelighed er de to amplituder A og B naturligvis ikke lig med hinanden men det aeligndrer kun lidt paring resultatet idet man for to tal A og B altid kan bestemme tal C og D saringledes at A = C+D og B = C - D og loslashse for C og D

22

BADog

BAC

Saring loslashsningen (64) kan skrives

Amiddotcos(ω0t+φ)+ Bmiddotcos(ωt)=(C+D)cos (ω0t+φ)+ (C-D) cos(ωt)= Cmiddotcos (ω0t+φ)+ Cmiddotcos(ωt)+ Dmiddotcos (ω0t+φ)- Dmiddotcos(ωt)

Herefter kan loslashsningen omskrives til

(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx

Resultatet er saringledes to svaeligvninger med samme frekvens men hvor rdquoamplitudenrdquo er 2

ude af

fase Dette vanskeliggoslashr en eksperimentel bestemmelse af frekvensen i svaeligvningerne En daeligmpet harmonisk svingning kan i princippet behandles paring helt samme maringde men det er mindre interessant da daeligmpningsleddet vil forsvinde efter en vis tid (afhaeligngig af daeligmpningen) og man derfor ikke efter et stykke tid vil observere de svaeligvningsfaelignomener der er beskrevet ovenfor

Numerisk loslashsning af differentialligninger 25

7 Differentialligninger der ikke kan loslashses analytisk Det er faktisk de faeligrreste differentialligninger (problemer) i fysikken der har en analytisk loslashsning Analytisk loslashsning betyder at man kan finde matematiske funktioner der beskriver systemets position og hastighed til ethvert tidspunkt Den matematiske disciplin der beskaeligftiger sig med numeriske loslashsninger til problemer kaldes for numerisk analyse Det er teoretisk set et omfattende omraringde og i modsaeligtning til hvad man maringske umiddelbart skulle tro saring er teorien udviklet lang tid foslashr fremkomsten af computere Man kan ikke overvurdere betydningen af analytiske loslashsninger til fysiske problemer Alternativet er numeriske loslashsninger som groft set kan karakteriseres ved at man regner med smaring med endelige

tilvaeligkster Δx Δt i stedet for med infinitesimale stoslashrrelser dx dt differenskvotienter t

x

i stedet for

differentialkvotienter dt

dx og summer ititf )( i stedet for integraler dttf )(

Kort sagt man har ikke laeligngere hele differential- og integralregningen til raringdighed For eksempel har beregning af kastevidden ved et skraringt kast overordentlig stor betydning for traditionelt artilleri Der findes imidlertid ikke analytiske loslashsninger fordi mundingshastigheden er saring stor at gnidningskraften ikke laeligngere er proportional med farten v men med vα hvor 1 lt α lt 2 Artillerister er derfor henvist til interpolation i meget omfattende tabeller der afhaelignger af elevationen kanonens kaliber projektilets udformning mv Disse tabeller er ofte lavet paring grundlag af hundrede af forsoslashg I dette tilfaeliglde er det let at forstaring fordelen ved i stedet at have et analytisk funktionsudtryk

71 Taylors formel Vi vil i foslashrste omgang kun se paring numerisk loslashsning af 1 ordens differentialligninger For at kunne vurdere noslashjagtigheden af formlerne (og det er naturligvis vigtigt) er det noslashdvendigt at kende Taylors Formel Denne formel kan formuleres paring flere maringder hvor vi kun giver den version der anvendes til approksimation af en funktion omkring et punkt x0 Har vi givet en reel funktion y = f(x) x0 er et fast punkt og hvis h betegner en lille til vaeligkst til x0 saring gaeliglder der under ret generelle forudsaeligtninger

(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(

Det sidste led (restleddet) ses at vaeligre proportionalt med hn+1 vi skriver dette som O(hn)h hvor symbolet O(hn) laeligses som af orden hn Undlader man restleddet faringr man en approksimation til f(x0+h) Alt efter hvor mange led man medtager faringr man en 0te 1 2 ordens approksimation

hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000

(73) hhOhxfhxfxfhxf )()()()()( 22

0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf

(74) hhOhxfhxfhxfxfhxf )()()()()()( 33

0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf

72 Numerisk loslashsning af 1 ordens differentialligninger

Skal vi nu loslashse en differentialligning af 1 orden )()( yxgxfdx

dy hvor vi kender en

begyndelsesvaeligrdi )( 00 yx saring kan det goslashres ved at anvende (61) idet

hyxgyhxfxfhxf )()()()( 000000

(x1 y1) = (x0+h f(x0+h)) = (x0+h f(x0)+ frsquo(x0)h) =(x1 y0+g(x0 y0)) (x2 y2) = (x1+h f(x1+h)) = (x1+h f(x1)+frsquo(x1)h) =(x1+h y1+g(x1 y1) h) Metoden kaldes for numerisk integration og naringr man anvender (61) kaldes det ofte for Euler integration Euler integration anvendes stort set aldrig i praksis fordi fejlene akkumulerer hvis fortegnet for f(x) er konstant For at opnaring en bedre tilnaeligrmelse til f(x) end (61) kan man anvende foslashlgende

(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222

Hvis man raeligkkeudvikler begge led i )()(22 00hh xfxf ved hjaeliglp af Taylors formel finder man

hhOxfxfxfxfxfxfxfxf hhhhhh )())()(()(()()()()()( 200000000 4

2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22

Som man kan se er denne formel korrekt til orden i h3 i modsaeligtning til 2ordens formlen Hvis

10

1h saring er korrektionsleddet (fejlen) af stoslashrrelsesorden 1000

13 h i stedet for Euler integrationen

hvor korrektionsleddet (fejlen) er af stoslashrrelsesorden 100

12 h Det sidste er bestemt ikke

uvaeligsentligt for korrekte beregninger Loslashsningen af 1 ordens differentialligninger foregaringr naeligsten paring samme maringde som foslashr Man regner iterativt (skridtvis) frem i enheder af h idet

(77) hyxgxfhxfxfxf hhh )()()()()( 000000 222


Den eneste forskel er at man bliver noslashdt til at kende funktionsvaeligrdien i to punkter med afstanden frac12h for at starte iterationen Dette goslashres imidlertid ved en eller flere Euler skridt Formlen (77) kan anvendes i en del tilfaeliglde men den har ogsaring nogle uheldige egenskaber isaeligr hvis den anvendes til at loslashse 2 ordens differentialligninger Til loslashsning af praktiske problemer anvendes stort set altid Runge-Kuttas metode der er betydelig mere kompliceret end (67) men hvor korrektionsleddet (fejlen) er af stoslashrrelsesorden h4 De loslashsninger af 1 og 2 ordens differentialligninger der er lavet med Mathemat-programmet og Satellitbevaeliggelse - programmet er alle lavet med Runge-Kuttas metode Som omtalt findes der ikke analytiske loslashsninger til selv relativt ukomplicerede problemer i fysikken To legeme problemet feks maringnens bevaeliggelse omkring jorden eller en planets bevaeliggelse omkring solen kan faktisk loslashses analytisk hvor loslashsningskurven er et keglesnit (ellipse parabel eller hyperbel) mens 3 legeme problemet ikke har nogen eksakt analytisk loslashsning Naringr man skal beregne energiniveauerne i et atom er det altid brintatomet man behandler idet det (ogsaring i kvantemekanikken) er det eneste der kan loslashses eksakt Faktisk var astronomerne nogle af dem der mest energisk arbejdede paring udviklingen af computere fordi de oslashnskede at kunne beregne himmellegemernes baner mere korrekt


Indhold 1 Trykkets afhaeligngighed af hoslashjden over jordoverfladen 3 2 Radioaktive henfaldskaeligder 4 3 Retlinet bevaeliggelse af en partikel i vaeligsker og gasser7 31 kugleformet legeme som synker i en vaeligske 7 32 Lodret turbulent bevaeliggelse i vaeligsker og gasser 9 321 Opadgaringende bevaeliggelse 10 322 Nedadgaringende bevaeliggelse 11 323 Lodret bevaeliggelse i luft12 4 Det Skraring kast 14 41 Skraringt kast uden luftmodstand14 42 Skraringt kast med luftmodstand15 5 Daeligmpet harmonisk svingning 17 51 Loslashsning af differentialligningen ved hjaeliglp af komplekse tal 18 52 Traditionel loslashsning af differentialligningen 19 6 Tvungen harmonisk svingning uden daeligmpning 22 7 Differentialligninger der ikke kan loslashses analytisk 25 71 Taylors formel25 72 Numerisk loslashsning af 1 ordens differentialligninger 26





gyy

ypyyp)(

)()(

og erstattes

y

ypyyp

)()(

med dy

dp faringr man

(11) gydy

dp)(






m


PRT

MRT

M

VRT

M

mnRTPV



(12) pRT

Mg

dy

dp


(13) y

RT

Mg

epyp

0)(


(14) yepyp426101

0)(


(15) pR

Mg

dy

dpy )293(

200


yp

p

dyyR

Mg

p

dp

0 200293

1

0

200293

1

1

1

02930

med

R

Mg

p

dpyp

p

dyy


(16)

R

Mg

yppyR

Mg

p

p 2930 )1()1ln(

293)

0ln(



(21) kNdt

dN




(23) )()( tkNdt

dNtA


frac12002

1 kTeNN giverfrac12

2ln

Tk


(22) 22112

2212

111 NkNk

dt

dNNk

dt

dN

dt

dNogNk

dt

dN


(23) )(xhkydx

dy


(24) xkxk

xkxkxk exhdx

yedexhykee

dx

dyxhky

dx

dy

)()(

)()(



tkeNNNkNkdt

dN1

0122112


tktktktk eeNkNekdt

dNe 2122

01222

tkk

tk

eNkdt

Ned )(01

2 12

2 )(

cekk

kNNe tkktk )(

12

102

122

tktk cee

kk

kNtNN

21

12

1022 )(


10 kk

kNc


(26)

tktkk

tktk

eekk

kNtN

ekk

kNe

kk

kNtN

212

21

)1()(

)(

)(

12

102

12

10

12

102


012 )


(27) )1()1(

)(

12

1

0

)(0

1

2 21

1

212

12

1tkk

tk

tktkk

ekk

k

eN

eeN

N

N kk

k


tforkk

k

N

N

12

1

1

2






Hastighed dt

dxv acceleration

2

2

dt

xd

dt




V er





(32) gmvm

vmdt

dvvgm

dt

dvmmaF vres


v


me

og omskriver

(33)

cgem

ve

gedt

ved

gevemdt

dve

v

tm

tm

v

tm

tm

v

tm

tm

tm

)(


(34) t

m

tm

cegvm

v

cevmgv



(35) )1(t

mv egm

v


gvmv


2ln2ln

2

1

2

1

mt

mkog

kt


(36) ))1((0 t

mv em

tgm

xx




gvmvc 0


(37) )1(0 t

mt

m eevv gvm


gvmv



21 AvcF wvisc




(39)

Dv Re







(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(314) ))(1( 2kvgdt

dv


(315) )tanh(1

gktk

v


(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(



gmm

kv v )(1



vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10














gyy

ypyyp)(

)()(

og erstattes

y

ypyyp

)()(

med dy

dp faringr man

(11) gydy

dp)(






m


PRT

MRT

M

VRT

M

mnRTPV



(12) pRT

Mg

dy

dp


(13) y

RT

Mg

epyp

0)(


(14) yepyp426101

0)(


(15) pR

Mg

dy

dpy )293(

200


yp

p

dyyR

Mg

p

dp

0 200293

1

0

200293

1

1

1

02930

med

R

Mg

p

dpyp

p

dyy


(16)

R

Mg

yppyR

Mg

p

p 2930 )1()1ln(

293)

0ln(



(21) kNdt

dN




(23) )()( tkNdt

dNtA


frac12002

1 kTeNN giverfrac12

2ln

Tk


(22) 22112

2212

111 NkNk

dt

dNNk

dt

dN

dt

dNogNk

dt

dN


(23) )(xhkydx

dy


(24) xkxk

xkxkxk exhdx

yedexhykee

dx

dyxhky

dx

dy

)()(

)()(



tkeNNNkNkdt

dN1

0122112


tktktktk eeNkNekdt

dNe 2122

01222

tkk

tk

eNkdt

Ned )(01

2 12

2 )(

cekk

kNNe tkktk )(

12

102

122

tktk cee

kk

kNtNN

21

12

1022 )(


10 kk

kNc


(26)

tktkk

tktk

eekk

kNtN

ekk

kNe

kk

kNtN

212

21

)1()(

)(

)(

12

102

12

10

12

102


012 )


(27) )1()1(

)(

12

1

0

)(0

1

2 21

1

212

12

1tkk

tk

tktkk

ekk

k

eN

eeN

N

N kk

k


tforkk

k

N

N

12

1

1

2






Hastighed dt

dxv acceleration

2

2

dt

xd

dt




V er





(32) gmvm

vmdt

dvvgm

dt

dvmmaF vres


v


me

og omskriver

(33)

cgem

ve

gedt

ved

gevemdt

dve

v

tm

tm

v

tm

tm

v

tm

tm

tm

)(


(34) t

m

tm

cegvm

v

cevmgv



(35) )1(t

mv egm

v


gvmv


2ln2ln

2

1

2

1

mt

mkog

kt


(36) ))1((0 t

mv em

tgm

xx




gvmvc 0


(37) )1(0 t

mt

m eevv gvm


gvmv



21 AvcF wvisc




(39)

Dv Re







(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(314) ))(1( 2kvgdt

dv


(315) )tanh(1

gktk

v


(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(



gmm

kv v )(1



vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10











(12) pRT

Mg

dy

dp


(13) y

RT

Mg

epyp

0)(


(14) yepyp426101

0)(


(15) pR

Mg

dy

dpy )293(

200


yp

p

dyyR

Mg

p

dp

0 200293

1

0

200293

1

1

1

02930

med

R

Mg

p

dpyp

p

dyy


(16)

R

Mg

yppyR

Mg

p

p 2930 )1()1ln(

293)

0ln(



(21) kNdt

dN




(23) )()( tkNdt

dNtA


frac12002

1 kTeNN giverfrac12

2ln

Tk


(22) 22112

2212

111 NkNk

dt

dNNk

dt

dN

dt

dNogNk

dt

dN


(23) )(xhkydx

dy


(24) xkxk

xkxkxk exhdx

yedexhykee

dx

dyxhky

dx

dy

)()(

)()(



tkeNNNkNkdt

dN1

0122112


tktktktk eeNkNekdt

dNe 2122

01222

tkk

tk

eNkdt

Ned )(01

2 12

2 )(

cekk

kNNe tkktk )(

12

102

122

tktk cee

kk

kNtNN

21

12

1022 )(


10 kk

kNc


(26)

tktkk

tktk

eekk

kNtN

ekk

kNe

kk

kNtN

212

21

)1()(

)(

)(

12

102

12

10

12

102


012 )


(27) )1()1(

)(

12

1

0

)(0

1

2 21

1

212

12

1tkk

tk

tktkk

ekk

k

eN

eeN

N

N kk

k


tforkk

k

N

N

12

1

1

2






Hastighed dt

dxv acceleration

2

2

dt

xd

dt




V er





(32) gmvm

vmdt

dvvgm

dt

dvmmaF vres


v


me

og omskriver

(33)

cgem

ve

gedt

ved

gevemdt

dve

v

tm

tm

v

tm

tm

v

tm

tm

tm

)(


(34) t

m

tm

cegvm

v

cevmgv



(35) )1(t

mv egm

v


gvmv


2ln2ln

2

1

2

1

mt

mkog

kt


(36) ))1((0 t

mv em

tgm

xx




gvmvc 0


(37) )1(0 t

mt

m eevv gvm


gvmv



21 AvcF wvisc




(39)

Dv Re







(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(314) ))(1( 2kvgdt

dv


(315) )tanh(1

gktk

v


(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(



gmm

kv v )(1



vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10












(23) )()( tkNdt

dNtA


frac12002

1 kTeNN giverfrac12

2ln

Tk


(22) 22112

2212

111 NkNk

dt

dNNk

dt

dN

dt

dNogNk

dt

dN


(23) )(xhkydx

dy


(24) xkxk

xkxkxk exhdx

yedexhykee

dx

dyxhky

dx

dy

)()(

)()(



tkeNNNkNkdt

dN1

0122112


tktktktk eeNkNekdt

dNe 2122

01222

tkk

tk

eNkdt

Ned )(01

2 12

2 )(

cekk

kNNe tkktk )(

12

102

122

tktk cee

kk

kNtNN

21

12

1022 )(


10 kk

kNc


(26)

tktkk

tktk

eekk

kNtN

ekk

kNe

kk

kNtN

212

21

)1()(

)(

)(

12

102

12

10

12

102


012 )


(27) )1()1(

)(

12

1

0

)(0

1

2 21

1

212

12

1tkk

tk

tktkk

ekk

k

eN

eeN

N

N kk

k


tforkk

k

N

N

12

1

1

2






Hastighed dt

dxv acceleration

2

2

dt

xd

dt




V er





(32) gmvm

vmdt

dvvgm

dt

dvmmaF vres


v


me

og omskriver

(33)

cgem

ve

gedt

ved

gevemdt

dve

v

tm

tm

v

tm

tm

v

tm

tm

tm

)(


(34) t

m

tm

cegvm

v

cevmgv



(35) )1(t

mv egm

v


gvmv


2ln2ln

2

1

2

1

mt

mkog

kt


(36) ))1((0 t

mv em

tgm

xx




gvmvc 0


(37) )1(0 t

mt

m eevv gvm


gvmv



21 AvcF wvisc




(39)

Dv Re







(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(314) ))(1( 2kvgdt

dv


(315) )tanh(1

gktk

v


(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(



gmm

kv v )(1



vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10











tktktktk eeNkNekdt

dNe 2122

01222

tkk

tk

eNkdt

Ned )(01

2 12

2 )(

cekk

kNNe tkktk )(

12

102

122

tktk cee

kk

kNtNN

21

12

1022 )(


10 kk

kNc


(26)

tktkk

tktk

eekk

kNtN

ekk

kNe

kk

kNtN

212

21

)1()(

)(

)(

12

102

12

10

12

102


012 )


(27) )1()1(

)(

12

1

0

)(0

1

2 21

1

212

12

1tkk

tk

tktkk

ekk

k

eN

eeN

N

N kk

k


tforkk

k

N

N

12

1

1

2






Hastighed dt

dxv acceleration

2

2

dt

xd

dt




V er





(32) gmvm

vmdt

dvvgm

dt

dvmmaF vres


v


me

og omskriver

(33)

cgem

ve

gedt

ved

gevemdt

dve

v

tm

tm

v

tm

tm

v

tm

tm

tm

)(


(34) t

m

tm

cegvm

v

cevmgv



(35) )1(t

mv egm

v


gvmv


2ln2ln

2

1

2

1

mt

mkog

kt


(36) ))1((0 t

mv em

tgm

xx




gvmvc 0


(37) )1(0 t

mt

m eevv gvm


gvmv



21 AvcF wvisc




(39)

Dv Re







(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(314) ))(1( 2kvgdt

dv


(315) )tanh(1

gktk

v


(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(



gmm

kv v )(1



vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10















Hastighed dt

dxv acceleration

2

2

dt

xd

dt




V er





(32) gmvm

vmdt

dvvgm

dt

dvmmaF vres


v


me

og omskriver

(33)

cgem

ve

gedt

ved

gevemdt

dve

v

tm

tm

v

tm

tm

v

tm

tm

tm

)(


(34) t

m

tm

cegvm

v

cevmgv



(35) )1(t

mv egm

v


gvmv


2ln2ln

2

1

2

1

mt

mkog

kt


(36) ))1((0 t

mv em

tgm

xx




gvmvc 0


(37) )1(0 t

mt

m eevv gvm


gvmv



21 AvcF wvisc




(39)

Dv Re







(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(314) ))(1( 2kvgdt

dv


(315) )tanh(1

gktk

v


(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(



gmm

kv v )(1



vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10













(32) gmvm

vmdt

dvvgm

dt

dvmmaF vres


v


me

og omskriver

(33)

cgem

ve

gedt

ved

gevemdt

dve

v

tm

tm

v

tm

tm

v

tm

tm

tm

)(


(34) t

m

tm

cegvm

v

cevmgv



(35) )1(t

mv egm

v


gvmv


2ln2ln

2

1

2

1

mt

mkog

kt


(36) ))1((0 t

mv em

tgm

xx




gvmvc 0


(37) )1(0 t

mt

m eevv gvm


gvmv



21 AvcF wvisc




(39)

Dv Re







(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(314) ))(1( 2kvgdt

dv


(315) )tanh(1

gktk

v


(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(



gmm

kv v )(1



vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10













gvmvc 0


(37) )1(0 t

mt

m eevv gvm


gvmv



21 AvcF wvisc




(39)

Dv Re







(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(314) ))(1( 2kvgdt

dv


(315) )tanh(1

gktk

v


(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(



gmm

kv v )(1



vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10















(312) 2vm

cg

m

mm

dt

dva v

Vi saeligtter m

mmv

(313) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(314) ))(1( 2kvgdt

dv


(315) )tanh(1

gktk

v


(316) tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(



gmm

kv v )(1



vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10












vkvgdt

dv 10))(1(0 2


21 cvAvcF wvisc


2

t

m

gmmc v



gmmv v 44

)(


hoppe stykket mg

vh 980

2

2


76

10611001

0404Re

Dv


Acc w21 01∙ 103 ∙ 126 10-3 kgm = 0126 gm kgrmv 033503

34


gmmv v 541

1260

82903050)(


vh 120

2

2




(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10











(319) 22 vm

cg

m

mmv

m

cg

m

mm

dt

dva vv

Vi saeligtter m

mm v og faringr da

(320) )1( 22 vgm

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva



ck


(321) ))(1( 2kvgdt

dv


(322) )tanh(1

gktk

v lt=gt tm

gmmc

c

gmmv vv

2

)(tanh

)(


hkmsmc

gmmv v 2476

)(




(324) )1( 22 vmg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dva

Vi saeligtter mg

ck og faringr


(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10











(325) ))(1( 2kvgdt

dv


bbtadt

dv)tan1( 2


))(1( 2kvgdt

dv

ses at

kasaringbt

kvkvbt

1tan



(326) )tan(1

0 kgtk

vv hvor mg

ck og Acc w2

1




ss


))(1()1( 222 kvgdt

dvv

mg

cg

dt

dvv

m

cg

dt

dv

Hvor vi har sat mg


(328) )tanh(1

gktk

v



mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10












mg

kv

1



20 gktgk

ss




(41) gmFres

hvor

g

g0

og

sin

cos

0

00 v

vv



og 00

221 rtvtar

Saeligtter vi

0

00r


(43)

gtv

v

v

vv

y

x

sin

cos

0

0 og

2

21

0

0

sin

cos

gttv

tv

y

xr


vt


(44) g

vy

2

)sin( 20

max


g

vtt

gttvy

sin20

0sin0

0

221

0



(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10












(45) g

vx

2sin20

max


22

0

21

)cos(tan x

v

gxy



(46) vFogvF gngn

||


(47)

yy

xx v

mg

dt

dvogv

mdt

dv

vm

gdt

vd




(48) )1(sincos 00

tm

tm

y

tm

x emg

evvogevv

Hvis tm



(49) ))1(1()1(sin)1(cos 00 tm

mgt

mvvogt

mvv yx





t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10













t

tm

tt

m

tt

m dtemg

dtevyogdtevx00

0

0

0 )1(sincos

(410) ))1(()1(sin)1(cos 00

tm

tm

tm e

mt

mge

mvyoge

mvx

Igen hvis tm



m







(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10












(51) xm

k

dt

xdkx

dt

xdmxkFres

2

2

2

2

Saeligtter man m


(52) )cos( 0 tAx



mTT

22






21

1

2tan ccAogc

c



dxFgn



(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10











(53)

02

2

2

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

kxdt

dx

dt

xdm

FxkF gnres


(54) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb



tztz ezdt

xdogez

dt

dx 22

2


02 czbz


(55) 2

4

22

4

2

22 cbbz

cbbz



(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10











(55) 2

4

22

4

2

22 bci

bz

bci

bz



2


(57) )cos()( 02

tAetxt

b


m

kcog

mb


2

2

4mm

k

som indsat giver

(58) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm



(59) 02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd



02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10











02

2

xcdt

dxb

dt

xd hvor

m

kcog

mb


(510) 00 22

2

2

2

2

2

ydt

ydy

m

k

dt

ydky

dt

ydm



(512) 0)( 2

2

2

tt

xedt

xed


2

xcdt

dxb

dt

xd ved et


ttttttt

exedt

dxe

dt

dxe

dt

xdexe

dt

dx

dt

d

dt

xed

22

2

2

2

)()(

tttt

exedt

dxe

dt

xd

dt

exd

22

2

2

2

2)(


(513)

0)( 2

2

2t

t

xedt

xed

02 222

2

tttt xeexedt

dxe

dt

xd


(514) 0)(2 222

2

dt

dx

dt

xd



(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10











(515) 02

2

xcdt

dxb

dt

xd


m

b

22

og c22 mm

kbc

44

22

22


(516) ydt

ydy

dt

yd 22

22

2

2

0




and mm

k

4

22 farings

(518) )4

cos()( 02

22

tmm

kAetx

tm


02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd





(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10













(61)

m

tFx

m

k

dt

xd

tFkxdt

xdm

FxkF

ydre

ydre

ydreres

)(

)(

2

2

2

2


f

m

tF 0)(



(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10












(62) 02

2

xm

k

dt

xd


m

khvortAx 00 )cos(


titi em

fx

dt

xde

m

fx

m

k

dt

xd 0202

20

2

2


(63) tititi em

fAeAe 02

02


22

0

0

m

f

A


(64) )cos()cos(22

0

0

00 tm

f

tAx


2cos

2cos2coscos

vuvuvu

og

2sin

2sin2coscos

vuvuvu

(65) )frac122

cos()frac122

cos(2 00

ttAx



)frac122

cos(2 0





22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10












22

BADog

BAC




(66) )frac122

sin()frac122

sin(2)frac122

cos()frac122

cos(2 0000

ttDttCx


ude af





x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10













x

i stedet for





(71)

h

nn

nn

dttn

txfh

n

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

0

0)1(

0)(

30)3(

20000

)(

)(

3

)(

2

)(

1

)()()(


hhOxfhxf )()()( 000

)()( 00 xfhxf

(72) hhOhxfxfhxf )()()()( 000

hxfxfhxf )()()( 000


0000 2

1


20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10











20000 )()()()(

2

1 hxfhxfxfhxf


0)3(2

0000 6

1

2

1

30

)3(20000 )()()()()(

6

1

2

1 hxfhxfhxfxfhxf







(75) hxfxfxfh

xfxfxf hh

hh

)()()()()(

)( 000

00

0 2222



2

2

1)

24

2

2

1

222

(76) hhOhxfxfxf hh )()()()( 2000 22


10














Documents

VLNNHQV 'LIIHUHQWLDOOLJQLQJHUolewitthansen.dk/Fysik/Fysikkens_Differentialligninger.pdf¡UVWH RUGHQV GLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU S 57 0J G\ GS 6RP EHNHQGW DIWDJHU WHPSHUDWXUHQ FD PHG R&