[VNMATH.COM]-100-BAI-TOAN-KHAO-SAT- kshs-TRAN-SI-TUNG

5/12/2018 [VNMATH.COM]-100-BAI-TOAN-KHAO-SAT- kshs-TRAN-SI-TUNG - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/vnmathcom-100-bai-toan-khao-sat-kshs-tran-si-tung-55a4d0b1

www.VNMATH.com

TRAÀN SÓ TUØNG

----›š & ›š ----

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2011



www.VNMATH.com

Tr ần S ĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số

Trang 1

KSHS 01: TÍNH ĐƠ N ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Cho hàm số y m x mx m x3 21

( 1) (3 2)3

= - + + - (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2= .

2) Tìm tất cả các giá tr ị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tậ p xác định của nó.

· T ậ p xác định: D = R. y m x mx m2( 1) 2 3 2¢= - + + - .

(1) đồng biế n trên R Û y x0,¢³ " Û m 2³

Câu 2. Cho hàm số mx

y x m

4+=

+(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= - .

2) Tìm tất cả các giá tr ị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ .

·

T ậ p xác

định: D = R \ {–m}.

m

y x m

2

2

4

( )

-¢=+ .

Hàm số nghịch biế n trên t ừ ng khoảng xác định Û y m0 2 2¢< Û - < < (1) Để hàm số (1) nghịch biế n trên khoảng( ;1)-¥ thì ta phải có m m1 1- ³ Û £ - (2) K ế t hợ p (1) và (2) ta đượ c: m2 1- < £ - .

Câu 3. Cho hàm số y x x mx3 23 4= + - - (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0= .

2) Tìm tất cả các giá tr ị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)-¥ .

· m 3£ -

Câu 4. Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1= - + + + + có đồ thị (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )+¥

· y x m x m m2' 6 6(2 1) 6 ( 1)= - + + + có m m m2 2(2 1) 4( ) 1 0D = + - + = >

x m y

x m' 0

1

é == Û ê = +ë

. Hàm số đồng biế n trên các khoảng m m( ; ), ( 1; )-¥ + +¥

Do đ ó: hàm số đồng biế n trên (2; )+¥ Û m 1 2+ £ Û m 1£

Câu 5. Cho hàm số 4 22 3 1 y x mx m= - - + (1), (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).

· Ta có 3 2' 4 4 4 ( ) y x mx x x m= - = -

+ 0m £ , 0,¢³ " y x Þ 0m £ thoả mãn.

+ 0m > , 0¢= y có 3 nghiệm phân biệt: , 0,m m- .

Hàm số (1) đồng biế n trên (1; 2) khi chỉ khi 1 0 1£ Û < £m m . V ậ y ( ];1m Î -¥ .

Câu 6. Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2 y x m x m x m= + - + - + + .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( )0;+¥ .



www.VNMATH.com

100 Khảo sát hàm số Tr ần S ĩ Tùng

Trang 2

· Hàm đồng biến trên (0; )+¥ y x m x m23 (1 2 ) (22 ) 0¢Û += - + - ³ vớ i x 0 )( ;" Î +¥

x f x m

x

x2 23

( )4 1

2+Û = ³

+

+vớ i x 0 )( ;" Î +¥

Ta có: x

f x x x

x x

x

22

2

2(6( ) 0

3) 1 7336

(4 1

012

)

+ - - ±+ - = Û =¢ = = Û

+

Lậ p bảng biến thiên của hàm f x( ) trên (0; )+¥ , từ đó ta đi đến k ết luận:

f m m1 73 3 73

12 8

æ ö- + +³ Û ³ç ÷

ç ÷è ø

KSHS 02: CỰ C TR Ị CỦA HÀM SỐ

Câu 7. Cho hàm số y x x mx m3 2

3 – 2= + + + (m là tham số) có đồ thị là (Cm).1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối vớ i tr ục hoành.

· PT hoành độ giao đ iể m của (C) và tr ục hoành:

x x mx m3 23 – 2 0 (1)+ + + = Û x

g x x x m2

1

( ) 2 2 0 (2)

é = -ê = + + - =ë

(C m ) có 2 đ iể m cự c tr ị nằ m về 2 phía đố i vớ i tr ục 0x Û PT (1) có 3 nghiệm phân biệt

Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û m

g m

3 0

( 1) 3 0

Dì ¢= - >í

- = - ¹î Û m 3<

Câu 8. Cho hàm số y x m x m m x3 2 2(2 1) ( 3 2) 4= - + + - - + - (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của tr ục tung.

· y x m x m m2 23 2(2 1) ( 3 2)¢= - + + - - + .

(C m ) có các đ iể m C Đ và CT nằ m về hai phía của tr ục tung Û PT y 0¢ = có 2 nghiệm trái

d ấ u Û m m23( 3 2) 0- + < Û m1 2< < .

Câu 9. Cho hàm số 3 21 (2 1) 33 x mx m x= - + - - (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.

2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối vớ i tr ục tung.

· TX Đ: D = R ; y x mx m2 – 2 2 –1¢= + .

Đồ thị (C m ) có 2 đ iể m C Đ , CT nằ m cùng phía đố i vớ i tr ục tung Û y 0¢= có 2 nghiệm phân

biệt cùng d ấ u Û 2 2 1 0

2 1 0

ì ¢ïD = - + >í

- >ïî

m m

m

1

1

2

m

m

¹ìï

Û í>ïî

Câu 10. Cho hàm số 3 23 2 y x x mx= - - + (m là tham số) có đồ thị là (Cm).


2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đườ ng thẳng y x 1= - .



www.VNMATH.com


Trang 3

· Ta có: 2' 3 6= - - y x x m .

Hàm số có C Đ , CT 2' 3 6 0 y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2; x

' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*)Gọi hai đ iể m cự c tr ị là ( ) ( )1 21 2; ; ; A B x y x

Thự c hiện phép chia y cho y¢ ta đượ c:

1 1 2

' 2 23 3 3 3

m m

y x y x

æ ö æ ö æ ö

= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

Þ ( ) ( )1 1 1 22 2

2 22 2 ; 2 2

3 3 3 3

æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø= =

ø= =

è y y x y y

m x

m m m x x

Þ Phươ ng trình đườ ng thẳ ng đ i qua 2 đ iể m cự c tr ị là D:2

2 23 3

m m y x

æ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

Các đ iể m cự c tr ị cách đề u đườ ng thẳ ng y x 1= - Û xả y ra 1 trong 2 tr ườ ng hợ p:TH1: Đườ ng thẳ ng đ i qua 2 đ iể m cự c tr ị song song hoặ c trùng vớ i đườ ng thẳ ng y x 1= -

2 32 1

3 2

mm

æ ö- + = ÛçÛ = -÷

è ø(thỏa mãn)

TH2: Trung đ iể m I của AB nằ m trên đườ ng thẳ ng y x 1= -

( ) ( )21 2 1

1 2 12

22 21 1

2 22 2

3 3

2 23 .2 6 0

3 3

æ ö æ ö- + + + - = + -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

æ öÛ + = -

+ +Û = - Û = - Û

Û =ç ÷è ø

I I

x m m x x x x

x

m m

y y

m

y x

V ậ y các giá tr ị cần tìm của m là:3

0;2

mì ü

= -í ýî þ

Câu 11. Cho hàm số y x mx m3 2 33 4= - + (m là tham số) có đồ thị là (Cm).1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đườ ng thẳng y = x.

· Ta có: y x mx23 6¢ = - ; x y

x m

00

2

é =¢ = Û ê =ë. Để hàm số có cự c đại và cự c tiể u thì m ¹ 0.

Đồ thị hàm số có hai đ iể m cự c tr ị là: A(0; 4m3 ), B(2m; 0) Þ AB m m3(2 ; 4 )= - uur

Trung đ iể m của đ oạn AB là I(m; 2m3 )

A, B đố i xứ ng nhau qua đườ ng thẳ ng d: y = x Û AB d

I d

ì ^í

Îî Û m m

m m

3

3

2 4 0

2

ìï - =í

=ïîÛ m

2

2= ±

Câu 12. Cho hàm số y x mx m3 23 3 1= - + - - .


2) Vớ i giá tr ị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng vớ inhau qua đườ ng thẳng d: x y8 74 0+ - = .

· y x mx23 6¢= - + ; y x x m0 0 2¢= Û = Ú = .

Hàm số có C Đ , CT Û PT y 0¢= có 2 nghiệm phân biệt Û m 0¹ .

Khi đ ó 2 đ iể m cự c tr ị là: A m B m m m3(0; 3 1), (2 ;4 3 1)- - - - Þ AB m m3(2 ;4 ) uuur

Trung đ iể m I của AB có toạ độ: I m m m3( ;2 3 1)- -

Đườ ng thẳ ng d: x y8 74 0+ - = có một VTCP (8; 1)u = -r

.



www.VNMATH.com


Trang 4

A và B đố i xứ ng vớ i nhau qua d Û I d

AB d

Îìí

^î Û

38(2 3 1) 74 0

. 0

m m m

ABu

ì + - - - =ïí

=ïîuuur r Û m 2=

Câu 13. Cho hàm số y x x mx3 23= - + (1).


2) Vớ i giá tr ị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng

vớ i nhau qua đườ ng thẳng d: x y– 2 – 5 0= .

· Ta có y x x mx y x x m3 2 23 ' 3 6= - + Þ = - +

Hàm số có cự c đại, cự c tiể u Û y 0¢= có hai nghiệm phân biệt m m9 3 0 3D¢Û = - > Û <

Ta có: y x y m x m1 1 2 1

23 3 3 3

æ ö æ ö¢= - + - +ç ÷ ç ÷è ø è ø

T ại các đ iể m cự c tr ị thì y 0¢= , do đ ó t ọa độ các đ iể m cự c tr ị thỏa mãn phươ ng trình:

y m x m

2 123 3

æ ö

= - +ç ÷è ø

Như vậ y đườ ng thẳ ng D đ i qua các đ iể m cự c tr ị có phươ ng trình y m x m2 1

23 3

æ ö= - +ç ÷

è ø

nên D có hệ số góc k m1

22

3= - .

d: x y– 2 – 5 0= y x1 5

2 2Û = - Þ d có hệ số góc k 2

1

2=

Để hai đ iể m cự c tr ị đố i xứ ng qua d thì ta phải có d ^ D

Þ k k m m1 2 1 21 2 1 02 3

æ ö= - Û - = - Û =ç ÷

è ø

V ớ i m = 0 thì đồ thị có hai đ iể m cự c tr ị là (0; 0) và (2; –4), nên trung đ iể m của chúng là I(1; –2). Ta thấ y I Î d, do đ ó hai đ iể m cự c tr ị đố i xứ ng vớ i nhau qua d.V ậ y: m = 0

Câu 14. Cho hàm số y x m x x m3 23( 1) 9 2= - + + + - (1) có đồ thị là (Cm).


2) Vớ i giá tr ị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng vớ i

nhau qua đườ ng thẳng d: y x

1

2= .

· y x m x2' 3 6( 1) 9= - + +

Hàm số có C Đ , CT Û m 2' 9( 1) 3.9 0D = + - > m ( ; 1 3) ( 1 3; )Û Î -¥ - - È - + +¥

Ta cóm

y x y m m x m21 1

2( 2 2) 4 13 3

æ ö+ ¢= - - + - + +ç ÷è ø

Giả sử các đ iể m cự c đại và cự c tiể u là A x y B x y1 1 2 2( ; ), ( ; ) , I là trung đ iể m của AB.

y m m x m2

1 12( 2 2) 4 1Þ = - + - + + ; y m m x m2

2 22( 2 2) 4 1= - + - + +

và: x x m x x

1 2

1 2

2( 1). 3

ì + = +í=î

V ậ y đườ ng thẳ ng đ i qua hai đ iể m cự c đại và cự c tiể u là y m m x m22( 2 2) 4 1= - + - + +



www.VNMATH.com


Trang 5

A, B đố i xứ ng qua (d): y x1

2= Û AB d

I d

ì ^í Îî

Û m 1= .

Câu 15. Cho hàm số m x xm x y -++-= 9)1(3 23 , vớ i m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng vớ i 1=m .

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tr ị tại 21 , x x sao cho 221 £- x x .

· Ta có .9)1(63' 2 ++-= xm x y

+ Hàm số đạt cự c đại, cự c tiể u t ại 21, x x Û PT 0'= y có hai nghi ệm phân biệt 21, x x

Û PT 03)1(22 =++- xm x có hai nghi ệm phân biệt là 21, x x .

êêë

é

--<

+->Û>-+=DÛ

31

3103)1(' 2

m

mm )1(

+ Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 =+=+ x xm x x Khi đ ó:

( ) ( ) 412144422

212

2121 £-+Û£-+Û£- m x x x x x x

m m2( 1) 4 3 1Û + £ Û - £ £ (2)

+ T ừ (1) và (2) suy ra giá tr ị của m cần tìm là 313 --<£- m và .131 £<+- m

Câu 16. Cho hàm số y x m x m x m3 2(1 2 ) (2 ) 2= + - + - + + , vớ i m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng vớ i 1=m .

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tr ị tại x x1 2, sao cho x x1 2

1

3- > .

· Ta có: y x m x m2' 3 (1 2 22 ) ( )= - + -+

Hàm số có C Đ , CT y ' 0Û = có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, (giả sử x x1 2< )

mm m m m

m

2 25

' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 41

D

é>êÛ = - - - = - - > Û

ê< -ë

(*)

Hàm số đạt cự c tr ị t ại các đ iể m x x1 2, . Khi đ ó ta có:

m x x

m x x

1 2

1 2

(1 2 )

32

2

3

ì -+ = -ï

í-ï =

î

( ) ( ) x x x x x x x x

2

1 2 1 22 21

2

1

1

3

1

4 9Û = + -- >- >

m m m m m m2 2 3 29 3 29

4(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 08 8

+ -Û - - - > Û - - > Û > Ú <

K ế t hợ p (*), ta suy ra m m3 29

18

+> Ú < -

Câu 17. Cho hàm số y x m x m x3 21 1

( 1) 3( 2)3 3

= - - + - + , vớ i m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng vớ i m 2= .

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tr ị tại x x1 2, sao cho x x1 22 1+ = .

· Ta có: y x m x m2 2( 1) 3( 2)¢= - - + -



www.VNMATH.com


Trang 6

Hàm số có cự c đại và cự c tiể u Û y 0¢= có hai nghiệm phân biệt x x1 2,

Û m m2

0 5 7 0D¢ > Û - + > (luôn đ úng vớ i " m)

Khi đ ó ta có: x x m

x x m1 2

1 2

2( 1)

3( 2)

ì + = -í

= -î Û

( ) x m

x x m2

2 2

3 2

1 2 3( 2)

ì = -ïí - = -ïî

m m m2 4 348 16 9 0

4- ±Û + - = Û = .

Câu 18. Cho hàm số y x mx x3 24 – 3= + .


2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực tr ị x x1 2, thỏa x x1 24= - .

· y x mx212 2 – 3¢= + . Ta có: m m2 36 0,D¢ = + > " Þ hàm số luôn có 2 cự c tr ị x x1 2, .

Khi đ ó:

1 2

1 2

1 2

4

6

1

4

x x m x x

x x

ìï = -ïï

+ = -íïï

= -ïî

9

2mÞ = ±

Câu hỏi t ươ ng t ự :

a) y x x mx3 23 1= + + + ; x x1 22 3+ = ĐS: m 105= - .

Câu 19. Cho hàm số y m x x mx3 2( 2) 3 5= + + + - , m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.2) Tìm các giá tr ị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ

là các số dươ ng.

· Các đ iể m cự c đại, cự c tiể u của đồ thị hàm số đ ã cho có hoành độ là các số d ươ ng

Û PT y m x x m =2' 3( 2) 6 0= + + + có 2 nghiệm d ươ ng phân biệt

a m

m mm m m

mm m mP

m m m

S m

2

( 2) 0

' 9 3 ( 2) 0' 2 3 0 3 1

0 0 3 203( 2) 2 0 2

302

DD

ì = + ¹ï = - + > ì ì= - - + > - < <ïï ï ï

Û Û < Û < Û - < < -= >í í í+ï ï ï+ < < -îî-ï

= >ï +î

Câu 20. Cho hàm số y x x3 2– 3 2= + (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2) Tìm điểm M thuộc đườ ng thẳng d: y x3 2= - sao tổng khoảng cách từ M tớ i hai điểm cực

tr ị nhỏ nhất.

· Các đ iể m cự c tr ị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biể u thứ c g x y x y( , ) 3 2= - - ta có:

A A A A B B B B

g x y x y g x y x y( , ) 3 2 4 0; ( , ) 3 2 6 0= - - = - < = - - = >

Þ 2 đ iể m cự c đại và cự c tiể u nằ m về hai phía của đườ ng thẳ ng d: y x3 2= - . Do đ ó MA + MB nhỏ nhấ t Û 3 đ iể m A, M, B thẳ ng hàng Û M là giao đ iể m của d và AB. Phươ ng trình đườ ng thẳ ng AB: y x2 2= - +



www.VNMATH.com


Trang 7

T ọa độ đ iể m M là nghiệm của hệ:

4

3 2 5

2 2 2

5

x y x

y x y

ì=ï= -ì ï

Ûí í= - +î ï =

ïî

Þ 4 2

;5 5

M æ öç ÷è ø

Câu 21. Cho hàm số y x m x m x m3 2(1– 2 ) (2 – ) 2= + + + + (m là tham số) (1).1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

2) Tìm các giá tr ị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thờ ihoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơ n 1.

· y x m x m g x23 2(1 2 ) 2 ( )¢= + - + - =

YCBT Û phươ ng trình y 0¢= có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thỏa mãn: x x1 2 1< < .

Û m m

g m

S m

24 5 0

(1) 5 7 0

2 112 3

Dì ¢ = - - >ïï = - + >í

-

ï = <ïî

Û m5 7

4 5< < .

Câu 22. Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1) y x mx m x m m= - + - - + (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số (1) có cực tr ị đồng thờ i khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số

đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa

độ O.

· Ta có 2 23 6 3( 1)¢= - + - y x mx m

Hàm số

(1) có cự

c tr ị

thì PT 0¢=

y có 2 nghiệm phân bi

ệt 2 22 1 0 x mx mÛ - + - = có 2 nhiệm phân biệt 1 0, mÛ D = > "

Khi đ ó: đ iể m cự c đại A m m( 1;2 2 )- - và đ iể m cự c tiể u B m m( 1; 2 2 )+ - -

Ta có 23 2 2

2 6 1 03 2 2

mOA OB m m

m

é = - += Û + + = Û ê

= - -êë.

Câu 23. Cho hàm số y x mx m x m m3 2 2 3 23 3(1 )= - + + - + - (1)


2) Viết phươ ng trình đườ ng thẳng qua hai điểm cực tr ị của đồ thị hàm số (1).

· y x mx m2 23 6 3(1 )¢= - + + - .

PT y 0¢= có m1 0,D = > " Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 đ iể m cự c tr ị x y x y1 1 2 2( ; ), ( ; ) .

Chia y cho y¢ ta đượ c:m

y x y x m m21

23 3

æ ö ¢= - + - +ç ÷è ø

Khi đ ó: y x m m2

1 12= - + ; y x m m2

2 22= - +

PT đườ ng thẳ ng qua hai đ iể m cự c tr ị của đồ thị hàm số (1) là y x m m22= - + .

Câu 24. Cho hàm số

3 2

3 2 y x x mx= - - +

có đồ thị là (Cm).1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đườ ng thẳng đi qua các điểm cực tr ị song

song vớ i đườ ng thẳng d: y x4 3= - + .



www.VNMATH.com


Trang 8

· Ta có: 2' 3 6= - - y x x m .

Hàm số có C Đ , CT 2' 3 6 0 y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2; x x

' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*)Gọi hai đ iể m cự c tr ị là ( ) ( )1 21 2; ; ; A B x y y x

Thự c hiện phép chia y cho y¢ ta đượ c:

1 1 2

' 2 23 3 3 3

m m

y x y x

æ ö æ ö æ ö

= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

Þ ( ) ( )1 1 1 22 2

2 22 2 ; 2 2

3 3 3 3

æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷


ø= =

è y y x y y

m x

m m m x x

Þ Phươ ng trình đườ ng thẳ ng đ i qua 2 đ iể m cự c tr ị là d:2

2 23 3

m m y x

æ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

Đườ ng thẳ ng đ i qua các đ iể m cự c tr ị song song vớ i d: y x4 3= - +

22 4

33

2 33

m

m

m

ì æ ö- + = -ç ÷ï

ï è øÛ Û =í

æ öï - ¹ç ÷ïè øî

(thỏa mãn)

Câu 25. Cho hàm số 3 23 2 y x x mx= - - + có đồ thị là (Cm).


2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đườ ng thẳng đi qua các điểm cực tr ị tạo

vớ i đườ ng thẳng d: x y4 – 5 0+ = một góc 045 .

· Ta có: 2' 3 6= - - y x x m .

Hàm số có C Đ , CT 2' 3 6 0 y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2; x x

' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*)Gọi hai đ iể m cự c tr ị là ( ) ( )1 21 2; ; ; A B x y y x

Thự c hiện phép chia y cho y¢ ta đượ c:1 1 2

' 2 23 3 3 3

m m y x y x

æ ö æ ö æ ö= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø

Þ ( ) ( )1 1 1 22 2

2 22 2 ; 2 2

3 3 3 3

æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷


ø= =

è y y x y y

m x

m m m x x

Þ Phươ ng trình đườ ng thẳ ng đ i qua 2 đ iể m cự c tr ị là D:2

2 23 3

m m y x

æ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

Đặ t

2

23

m

k

æ ö

= - +ç ÷è ø . Đườ ng thẳ ng d: x y4 – 5 0+ = có hệ số góc bằ ng

1

4- .

Ta có:

3 391 111

5 104 44tan 451 1 1 5 1

1 14 4 4 3 2

k mk k k

k k k k m

é éé= = -+ = -+ ê êê

= Û Û Ûê êêê êê- + = - + = - = -ê êêë ëë

o

K ế t hợ p đ iề u kiện (*), suy ra giá tr ị m cần tìm là:1

2m = -

Câu 26. Cho hàm số y x x m3 23= + + (1)


2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực tr ị A, B sao cho· AOB

0120= .



www.VNMATH.com


Trang 9

· Ta có: y x x23 6¢= + ; x y m y

x y m

2 40

0

é = - Þ = +¢= Û ê = Þ =ë

V ậ y hàm số có hai đ iể m cự c tr ị A(0 ; m) và B( - 2 ; m + 4)

OA m OB m(0; ), ( 2; 4)= = - + uur uur

. Để · AOB

0120= thì AOB

1cos

2= -

( )( ) mm m m m m m

m mm m

2 22

2 2

4 0( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4)2 3 24 44 0

4 ( 4)

ì- < <+Û = - Û + + = - + Û í+ + =î+ +

m

mm

4 012 2 3

12 2 33

3

ì- < <- +ï

Û Û =í - ±=ïî

Câu 27. Cho hàm số y x mx m x m3 2 2 3– 3 3( –1) –= + (Cm)


2) Chứng minh r ằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượ t chạy trên mỗiđườ ng thẳng cố định.

· y x mx m2 23 6 3( 1)¢= - + - ; x m y

x m

10

1

é = +¢= Û ê = -ë

Điể m cự c đại M m m( –1;2 –3 ) chạ y trên đườ ng thẳ ng cố định:1

2 3

t

y t

= - +ìí

= -î

Điể m cự c tiể u N m m( 1; 2 – )+ - chạ y trên đườ ng thẳ ng cố định:1

2 3

t

y t

= +ìí

= - -î

Câu 28. Cho hàm số y x mx4 21 3

2 2= - + (1)


2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.

· y x mx x x m3 22 2 2 ( )¢= - = - . x

y x m

2

00

é =¢= Û ê=ë

Đồ thị của hàm số (1) có cự c tiể u mà không có cự c đại Û PT y 0¢= có 1 nghiệm Û m 0£

Câu 29. Cho hàm số 4 2 2( ) 2( 2) 5 5= = + - + - + y f x x m x m m m

C ( ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.

2) Tìm các giá tr ị của m để đồ thị m

C ( ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1

tam giác vuông cân.

· Ta có ( ) 3

2

04 4( 2) 0

2

=é¢ = + - = Û ê

= -ë

x f x x m x

x m

Hàm số có C Đ , CT Û PT f x( ) 0¢ = có 3 nghiệm phân biệt Û m 2< (*)

Khi đ ó toạ độ các đ iể m cự c tr ị là: ( ) ( ) ( ) A m m B m m C m m20; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1- + - - - - -

Þ ( ) ( ) AB m m m AC m m m2 2

2 ; 4 4 , 2 ; 4 4= - - + - = - - - + -

uur uuur

Do D ABC luôn cân t ại A, nên bài toán thoả mãn khi D ABC vuông t ại A

Û ( ) 1120.3

=Û-=-Û= mm AC AB (tho ả (*))



www.VNMATH.com


Trang 10

Câu 30. Cho hàm số ( )mC mm xm x y 55)2(2 224 +-+-+=

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.2) Vớ i những giá tr ị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thờ icác điểm cực đại và điểm cực tiểu lậ p thành một tam giác đều.

· Ta có ( ) 3

2

04 4( 2) 0

2

=é¢ = + - = Û ê

= -ë

x f x x m x

m

Hàm số có C Đ , CT Û PT f x( ) 0¢ = có 3 nghiệm phân biệt Û m 2< (*)

Khi đ ó toạ độ các đ iể m cự c tr ị là: ( ) ( ) ( ) A m m B m m C m m20; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1- + - - - - -

Þ ( ) ( ) AB m m m AC m m m2 22 ; 4 4 , 2 ; 4 4= - - + - = - - - + - uur uuur

Do D ABC luôn cân t ại A, nên bài toán thoả mãn khi µ A

060= Û A

1cos

2=

Û AB AC

AB AC

. 1

2.=

uuur uuur

uuur uuur Û 3 32 -=m .

Câu hỏi t ươ ng t ự đố i vớ i hàm số : y x m x m4 24( 1) 2 1= - - + -

Câu 31. Cho hàm số y x mx m m4 2 22= + + + có đồ thị (Cm) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.

2) Vớ i những giá tr ị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực tr ị, đồng thờ i ba điểm cực tr ị

đó lậ p thành một tam giác có một góc bằng0

120 .

· Ta có y x mx34 4¢ = + ; x

y x x m x m

2 00 4 ( ) 0

é =¢ = Û + = Û ê

= ± -êë(m < 0)

Khi đ ó các đ iể m cự c tr ị là: ( ) ( ) A m m B m m C m m2(0; ), ; , ;+ - - -

AB m m2( ; )= - - uur

; AC m m2( ; )= - - - uuur

. D ABC cân t ại A nên góc 120o chính là

µ A .

µ A 120= o AB AC m m m

Am m AB AC

4

4

1 . 1 . 1cos

2 2 2.

- - - +Û = - Û = - Û = -

-

uur uuur

uur uuur

m loaïim m

m m m m m mmm m

44 4 4

43

0 ( )1

12 2 3 02

3

é =+ êÛ = - Þ + = - Û + = Û

= -ê- êë

V ậ y m313

= - .

Câu 32. Cho hàm số y x mx m4 22 1= - + - có đồ thị (Cm) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.2) Vớ i những giá tr ị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực tr ị, đồng thờ i ba điểm cực tr ị đó lậ p thành một tam giác có bán kính đườ ng tròn ngoại tiế p bằng 1 .

· Ta có x

y x mx x x m x m

3 22

04 4 4 ( ) 0

é =¢= - = - = Û ê=ë

Hàm số đ ã cho có ba đ iể m cự c tr ị Û PT y 0¢= có ba nghiệm phân biệt và y ¢ đổ i d ấ u khi x đ i qua các nghiệm đ ó m 0Û > . Khi đ ó ba đ iể m cự c tr ị của đồ thị (Cm) là:

( ) ( ) A m B m m m C m m m2 2(0; 1), ; 1 , ; 1- - - + - - + -



www.VNMATH.com


Trang 11

ABC B A C BS y y x x m m

21.

2= - - =

V; AB AC m m BC m4 , 2= = + =

ABC

m AB AC BC m m m

R m mS mm m

43

2

1. . ( )2

1 1 2 1 0 5 14 4

2

é =+ ê= = Û = Û - + = Û -ê =

ëV

Câu hỏi t ươ ng t ự :

a) y x mx4 22 1= - + ĐS: m m1 5

1,2

- += =

Câu 33. Cho hàm số y x mx m m4 2 42 2= - + + có đồ thị (Cm) .


2) Vớ i những giá tr ị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực tr ị, đồng thờ i ba điểm cực tr ị đó lậ p thành một tam giác có diện tích bằng 4.

· Ta có 3

2

0' 4 4 0

( ) 0

x y x mx

g x x m

=é= - = Û ê

= - =ë

Hàm số có 3 cự c tr ị ' 0 yÛ = có 3 nghiệm phân biệt 0 0 g m mÛ D = > Û > (*)

V ớ i đ iề u kiện (*), phươ ng trình y 0¢= có 3 nghiệm 1 2 3; 0;= - = =m x x m . Hàm số đạt

cự c tr ị t ại 1 2 3; ; x x . G ọi ( ) ( )4 4 2 4 2(0;2 ); ; 2 ; ; 2+ - + - - + A m m B m m m m C m m m m là 3đ iể m cự c tr ị của (C m ) .Ta có: 2 2 4 2; 4 AB AC m m BC m ABC = = + = Þ D cân đỉ nh A

Gọi M là trung đ iể m của BC M m m m AM m m4 2 2 2(0; 2 )Þ - + Þ = = Vì ABC D cân t ại A nên AM cũng là đườ ng cao, do đ ó:

ABC S AM BC m m m m m

52 5 52

1 1. . . 4 4 4 16 16

2 2D= = = Û = Û = Û =

V ậ y m5

16= .Câu hỏi t ươ ng t ự :

a) y x m x4 2 22 1= - + , S = 32 ĐS: m 2= ±

KSHS 03: SỰ TƯƠ NG GIAO

Câu 34. Cho hàm số y = x3 + 3 x2 + mx + 1 (m là tham số) (1)1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.2) Tìm m để đườ ng thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiế p tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc vớ i nhau.

· PT hoành độ giao đ iể m của (1) và d: x x mx x x x m3 2 23 1 1 ( 3 ) 0+ + + = Û + + =

d cắ t (1) t ại 3 đ iể m phân biệt A(0; 1), B, C Û 9

, 04

< ¹m m

Khi đ ó: B C

x x, là các nghiệm của PT: x x m2

3 0+ + = Þ B C B C

x x x x m3; .+ = - =

H ệ số góc của tiế p tuyế n t ại B là B B

k x x m2

1 3 6= + + và t ại C làC C

k x x m2

2 3 6= + +

Tiế p tuyế n của (C) t ại B và C vuông góc vớ i nhau Û k k 1 2. 1= - Û m m

24 9 1 0- + =

Û 9 65 9 65

8 8

- += Ú =m m



www.VNMATH.com


Trang 12

Câu 35. Cho hàm số y x x3 – 3 1= + có đồ thị (C) và đườ ng thẳng (d): y mx m 3= + + .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiế p tuyến của (C) tại N và P vuông góc

vớ i nhau.

· Phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của (C) và (d): x m x m3 – ( 3) – – 2 0+ =

Û x x x m2( 1)( – – – 2) 0+ = Û

x y

g x x x m2

1 ( 3)

( ) 2 0

é = - =ê = - - - =ë

d cắ t (1) t ại 3 đ iể m phân biệt M(–1; 3), N, P Û 9

, 04

> - ¹m m

Khi đ ó: N P

x x, là các nghiệm của PT: x x m2

2 0- - - = Þ N P N P

x x x x m1; . 2+ = = - -

H ệ số góc của tiế p tuyế n t ại N là N k x2

1 3 3= - và t ại P làPk x2

2 3 3= -

Tiế p tuyế n của (C) t ại N và P vuông góc vớ i nhau Û k k 1 2. 1= - Û m m2

9 18 1 0+ + =

Û 3 2 2 3 2 23 3- + - -= Ú =m m

Câu 36. Cho hàm số y x x3 23 4= - + (C)


2) Gọi (d ) là đườ ng thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k . Tìm k để (d ) cắt (C) tại bađiểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiế p tuyến của (C) tại M và N vuông góc vớ i nhau.

· PT đườ ng thẳ ng (d): y k x( 2)= -

+ PT hoành độ giao đ iể m của (C) và (d): x x k x3 23 4 ( 2)- + = -

Û x x x k 2( 2)( 2 ) 0- - - - = Û A x xg x x x k

22

( ) 2 0é = =ê

= - - - =ë

+ (d) cắ t (C) t ại 3 đ iể m phân biệt A, M, N Û PT g x( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt, khác 2

Û 0 9

0(2) 0 4

k f

D >ìÛ - < ¹í

¹î(*)

+ Theo định lí Viet ta có:1

2

M N

M N

x x

x x k

+ =ìí

= - -î

+ Các tiế p tuyế n t ại M và N vuông góc vớ i nhau Û M N y x y x( ). ( ) 1¢ ¢ = -

Û 2 2(3 6 )(3 6 ) 1- - = -M M N N x x x x Û k k 2

9 18 1 0+ + =3 2 2

3k - ±Û = (thoả (*))

Câu 37. Cho hàm số y x x3 3= - (C)


2) Chứng minh r ằng khi m thay đổi, đườ ng thẳng (d): y m x( 1) 2= + + luôn cắt đồ thị (C) tại

một điểm M cố định và xác định các giá tr ị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P

sao cho tiế p tuyến của (C) tại N và P vuông góc vớ i nhau.

· PT hoành độ giao đ iể m x x x m2( 1)( 2 ) 0+ - - - = (1) Û x

x x m2

1 0

2 0 (2)

é + =ê

- - - =ë

(1) luôn có 1 nghiệm x 1= - ( y 2= ) Þ (d) luôn cắ t (C) t ại đ iể m M(–1; 2).



www.VNMATH.com


Trang 13

(d) cắ t (C) t ại 3 đ iể m phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1 Û 9

4

0

m

m

ì> -ï

íï ¹î

(*)

Tiế p tuyế n t ại N, P vuông góc Û '( ). '( ) 1 N P y x y x = - Û m3 2 2

3

- ±= (thoả (*))

Câu 38. Cho hàm số y x mx m x m3 2 2 23 3( 1) ( 1)= - + - - - ( m là tham số) (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0.=

2) Tìm các giá tr ị của m để đồ thị hàm số (1) cắt tr ục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

dươ ng.

· Để ĐTHS (1) cắ t tr ục hoành t ại 3 đ iể m phân biệt có hoành độ d ươ ng, ta phải có:

CÑ CT

CÑ CT

coù cöïc trò

y y

x x

a y

(1) 2

. 0

0, 0

. (0) 0

ìï <ïí

> >ï

<ïî

(*)

Trong đ ó: + y x mx m x m3 2 2 23 3( 1) ( 1)= - + - - - Þ y x mx m2 23 6 3( 1)¢ = - + -

+ y

m m m2 2 1 0 0,D

¢= - + = > "

+ CÑ

CT

x m x y

x m x

10

1

é = - =¢= Û ê = + =ë

Suy ra: (*)

m

mm

m m m m

m

2 2 2

2

1 0

1 03 1 2

( 1)( 3)( 2 1) 0

( 1) 0

ì - >ï + >ï

Û Û < < +í - - - - <ï

ï- - <î

Câu 39. Cho hàm số 3 21 2

3 3 y x mx x m= - - + + có đồ thị

mC ( ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.

2) Tìm m để m

C ( ) cắt tr ục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phươ ng các hoành độ lớ n

hơ n 15.

· YCBT Û x mx x m3 21 2

03 3

- - + + = (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa x x x2 2 21 2 3 15+ + > .

Ta có: (*) x x m x m2( 1)( (1 3 ) 2 3 ) 0Û - + - - - = Û x

g x x m x m2

1

( ) (1 3 ) 2 3 0é =ê = + - - - =ë

Do đ ó: YCBT Û g x( ) 0= có 2 nghiệm x x1 2, phân biệt khác 1 và thỏa x x2 21 2 14+ > .

m 1Û >

Câu hỏi t ươ ng t ự đố i vớ i hàm số : 3 23 3 3 2 y x mx x m= - - + +

Câu 40. Cho hàm số m x x x y +--= 93 23 , trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi 0=m .

2) Tìm tất cả các giá tr ị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt tr ục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lậ p thành cấ p số cộng.

· Đồ thị hàm số cắ t tr ục hoành t ại 3 đ iể m phân biệt có hoành độ l ậ p thành cấ p số cộng Û Phươ ng trình 3 23 9 0- - + = x x x m có 3 nghi ệm phân biệt l ậ p thành cấ p số cộng



www.VNMATH.com


Trang 14

Û Phươ ng trình 3 23 9 x x x m- - = - có 3 nghiệm phân biệt l ậ p thành cấ p số cộng Û Đườ ng thẳ ng m= - đ i qua đ iể m uố n của đồ thị (C)

.11 11m mÛ - = - Û =

Câu 41. Cho hàm số y x mx x3 23 9 7= - + - có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi 0=m .2) Tìm m để (Cm) cắt tr ục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lậ p thành cấ p số cộng.

· Hoành độ các giao đ iể m là nghiệm của phươ ng trình: x mx x3 2

3 9 7 0- + - = (1)Gọi hoành độ các giao đ iể m l ần l ượ t là x x x1 2 3; ; ta có: x x x m1 2 3 3+ + =

Để x x x1 2 3; ; l ậ p thành cấ p số cộng thì x m2= là nghiệm của phươ ng trình (1)

Þ m m3

2 9 7 0- + - = Û

m

m

m

1

1 15

2

1 15

2

éê =ê - +ê =ê

ê - -=êë

Thử l ại ta có m1 15

2

- -= là giá tr ị cần tìm.

Câu 42. Cho hàm số 3 23 x mx mx= - - có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m 1= .

2) Tìm m để (Cm) cắt đườ ng thẳng d: y x 2= + tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lậ p thành

cấ p số nhân.

· Xét phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của (C m ) và d:( ) ( )3 2 3 23 2 3 1 2 0 x mx mx x g x x mx m x- - = + Û = - - + - =

Đk cần: Giả sử (C) cắ t d t ại 3 đ iể m phân biệt có hoành độ 1 2 3; ; x x l ần l ượ t l ậ p thành cấ p

số nhân. Khi đ ó ta có: ( ) ( )( ) ( )1 2 3 g x x x x x x x= - - -

Suy ra:1 2 3

1 2 2 3 1 3

1 2 3

3

1

2

x x x m

x x x x x x m

x x x

+ + =ìï

+ + = - -íï =î

Vì 2 3 31 3 2 2 22 2 x x x x x= Þ = Þ = nên ta có: 3

3

51 4 2.3

3 2 1

m m m- - = + Û = -

+

Đk đủ: V ớ i3

5

3 2 1m = -

+ , thay vào tính nghiệm thấ y thỏa mãn.

V ậ y3

5

3 2 1m = -

+

Câu 43. Cho hàm số y x mx m x3 22 ( 3) 4= + + + + có đồ thị là (Cm) (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.

2) Cho đườ ng thẳng (d): y x 4= + và điểm K(1; 3). Tìm các giá tr ị của m để (d) cắt (Cm) tại

ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .· Phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của (C m ) và d là:

x mx m x x x x mx m3 2 22 ( 3) 4 4 ( 2 2) 0+ + + + = + Û + + + =



www.VNMATH.com


Trang 15

x y

g x x mx m2

0 ( 4)

( ) 2 2 0 (1)

é = =Û ê = + + + =ë

(d) cắ t (C m ) t ại ba đ iể m phân biệt A(0; 4), B, C Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

m mm mmg m

/ 2 1 22 02(0) 2 0

Dì ì £ - Ú ³= - - >Û Ûí í ¹ -= + ¹ îî(*)

Khi đ ó: B C B C

x x m x x m2 ; . 2+ = - = + .

M ặ t khác: d K d 1 3 4

( , ) 22

- += = . Do đ ó:

KBC S BC d K d BC BC

218 2 . ( , ) 8 2 16 256

2D= Û = Û = Û =

B C B C x x y y

2 2( ) ( ) 256Û - + - =

B C B C x x x x

2 2( ) (( 4) ( 4)) 256Û - + + - + =

B C B C B C x x x x x x

2 22( ) 256 ( ) 4 128Û - = Û + - =

m m m m m2 2 1 1374 4( 2) 128 34 02

±Û - + = Û - - = Û = (thỏa (*)).

V ậ y m1 137

2

±= .

Câu 44. Cho hàm số y x x3 23 4= - + có đồ thị là (C).


2) Gọik

d là đườ ng thẳng đi qua điểm A( 1; 0)- vớ i hệ số góc k k ( )Î ¡ . Tìm k để đườ ng

thẳngk

d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng vớ i gốc toạ

độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 .

· Ta có:k

d y kx k : = + Û kx y k 0- + =

Phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của (C m ) và d là:

x x kx k x x k x3 2 23 4 ( 1) ( 2) 0 1é ù- + = + Û + - - = Û = -ë û hoặ c x k 2( 2)- =

k d cắ t (C) t ại 3 đ iể m phân biệt k

k

0

9

ì >Û í

¹î

Khi đ ó các giao đ iể m là ( ) ( ) A B k k k k C k k k k ( 1;0), 2 ;3 , 2 ;3- - - + + .

k

k

BC k k d O BC d O d k

2

22 1 , ( , ) ( , )1

= + = = +

OBC

k S k k k k k k

k

2 3

2

1. .2 . 1 1 1 1 1

2 1D

= + = Û = Û = Û =+

Câu 45. Cho hàm số y x x3 23 2= - + có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phươ ng trình đườ ng thẳng qua E và cắt (C) tại

ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 .

· Ta có: E(1; 0). PT đườ ng thẳ ng D qua E có d ạng y k x( 1)= - .

PT hoành độ giao đ iể m của (C) và D: x x x k 2( 1)( 2 2 ) 0- - - - =

D cắ t (C) t ại 3 đ iể m phân biệt Û PT x x k 2

2 2 0- - - = có hai nghiệm phân biệt khác 1



www.VNMATH.com


Trang 16

Û k 3> -

OABS d O AB k k

1( , ). 3

2D= D = + Þ k k 3 2+ = Û

k

k

1

1 3

é = -ê

= - ±ë

V ậ y có 3 đườ ng thẳ ng thoả YCBT: ( ) y x y x1; 1 3 ( 1)= - + = - ± - .

Câu 46. Cho hàm số y x mx3 2= + + có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.

2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt tr ục hoành tại một điểm duy nhất.

· Phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của (C m ) vớ i tr ục hoành:

x mx3

2 0+ + = m x x x

2 2( 0)Û = - - ¹

Xét hàm số : x

f x x f x x x x x

32

2 2

2 2 2 2( ) '( ) 2

- += - - Þ = - + =

Ta có bảng biế n thiên:

f x( )¢

f x( )

-¥ +¥

-¥

+¥

-¥ -¥ Đồ thị (C m ) cắ t tr ục hoành t ại một đ iể m duy nhấ t m 3Û > - .

Câu 47. Cho hàm số y x m x mx3 22 3( 1) 6 2= - + + - có đồ thị (Cm)


2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt tr ục hoành tại một điểm duy nhất.

· m1 3 1 3- < < +

Câu 48. Cho hàm số y x x x3 26 9 6= - + - có đồ thị là (C).


2) Định m để đườ ng thẳng d y mx m( ) : 2 4= - - cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

· PT hoành độ giao đ iể m của (C) và (d): x x x mx m3 2

6 9 6 2 4- + - = - -

Û x x x m2( 2)( 4 1 ) 0- - + - = Û x

g x x x m2

2

( ) 4 1 0

é =ê

= - + - =ë

(d) cắ t (C) t ại ba đ iể m phân biệt Û PT g x( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û m 3> -

Câu 49. Cho hàm số y x x3 2– 3 1= + .


2) Tìm m để đườ ng thẳng (D): y m x m(2 1) – 4 –1= - cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân

biệt.

· Phươ ng trình hoành độ giao của (C) và ( D ): x x m x m3 2– 3 – (2 –1) 4 2 0+ + =

Û x x x m2( 2)( – – 2 –1) 0- =

x

f x x x m

2

2

( ) 2 1 0 (1)

é =Û ê

= - - - =ë

( D ) cắ t (C) t ại đ úng 2 đ iể m phân biệt Û (1) phải có nghiệm x x1 2, thỏa mãn:x x

x x1 2

1 2

2

2

é ¹ =ê = ¹ë



www.VNMATH.com


Trang 17

Û b

a

f

0

22

0

(2) 0

D

D

éì =ïêí

ê - ¹ïîêêì >

íê =îë

Û

m

m

m

8 5 0

12

2

8 5 0

2 1 0

éì + =ïêí

ê ¹ïîêìê + >íê - + =îë

Û m

m

5

81

2

é= -ê

êê =ë

V ậ y: m 58

= - ; m 12

= .

Câu 50. Cho hàm số 3 23 2 y x m x m= - + có đồ thị (Cm).


2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt tr ục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

· Để (C m ) cắ t tr ục hoành t ại đ úng hai đ iể m phân biệt thì (C m ) phải có 2 đ iể m cự c tr ị

Þ 0¢= y có 2 nghi ệm phân biệt 2 23 3 0 x mÛ - = có 2 nghiệm phân biệt Û 0m ¹ Khi đ ó ' 0 y x m= Û = ± .

(C m ) cắ t Ox t ại đ úng 2 đ iể m phân biệt Û yC Đ = 0 hoặ c yCT = 0Ta có: + 3( ) 0 2 2 0 0 y m m m m- = Û + = Û = (loại)

+ 3( ) 0 2 2 0 0 1 y m m m m m= Û - + = Û = Ú = ± V ậ y: 1m = ±

Câu 51. Cho hàm số y x mx m4 2 1= - + - có đồ thị là ( )mC

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 8= .

2) Định m để đồ thị ( )mC cắt tr ục tr ục hoành tại bốn điểm phân biệt.

· mm 12

ì >í ¹î

Câu 52. Cho hàm số ( )4 22 1 2 1 y x m x m= - + + + có đồ thị là ( )mC .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 0=m .

2) Định m để đồ thị ( )mC cắt tr ục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lậ p thành cấ p số

cộng.

· Xét phươ ng trình hoành độ giao đ iể m: ( )4 22 1 2 1 0 x m x m- + + + = (1)

Đặ t 2 , 0t x t = ³ thì (1) tr ở thành: ( )2( ) 2 1 2 1 0 f t t m t m= - + + + = .

Để (C m ) cắ t Ox t ại 4 đ iể m phân biệt thì f t ( ) 0= phải có 2 nghiệm d ươ ng phân biệt

( )

2' 0 1

2 1 0 2

02 1 0

mm

S mm P m

ìD = > ì> -ï ï

Û = + > Ûí íï ï ¹î= + >î

(*)

V ớ i (*), g ọi 1 2t t < là 2 nghiệm của f t ( ) 0= , khi đ ó hoành độ giao đ iể m của (C m ) vớ i Ox l ần

l ượ t là: 1 2 2 1 3 1 4 2; ; ; x t x t x t x t = - = - = =

x x x x1 2 3 4, , , l ậ p thành cấ p số cộng 2 1 3 2 4 3 2 19 x x x x x t t Û - = - = - Û =

( ) ( )45 4 4

1 9 1 5 4 1 45 4 4

9

=é= +é êÛ + + = + - Û = + Û Ûê ê- = + = -ëë

mm mm m m m m mm m m



www.VNMATH.com


Trang 18

V ậ y4

4;9

mì ü

= -í ýî þ

Câu hỏi t ươ ng t ự đố i vớ i hàm số y x m x m4 22( 2) 2 3= - + + - - ĐS: m m

133,

9= = - .

Câu 53. Cho hàm số y x m x m4 2– (3 2) 3= + + có đồ thị là (Cm), m là tham số.


2) Tìm m để đườ ng thẳng y 1= - cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ

hơ n 2.

· Phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của (C m ) và đườ ng thẳ ng y 1= - :

x m x m4 2– (3 2) 3 1+ + = - Û x m x m4 2– (3 2) 3 1 0+ + + = Û x

x m2

1

3 1 (*)

é = ±ê

= +ë

Đườ ng thẳ ng y 1= - cắ t (C m ) t ại 4 đ iể m phân biệt có hoành độ nhỏ hơ n 2 khi và chỉ khi phươ ng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ± 1 và nhỏ hơ n 2

Û m

m

0 3 1 4

3 1 1

ì < + <ïí

+ ¹ïî Û

m

m

11

3

0

ì- < <ïíï ¹î

Câu 54. Cho hàm số ( )4 22 1 2 1 y x m x m= - + + + có đồ thị là (Cm), m là tham số.


2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt tr ục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơ n 3.

· Xét phươ ng trình hoành độ giao đ iể m: ( )4 22 1 2 1 0 x m x m- + + + = (1)

Đặ t

2

, 0t x t = ³

thì (1) tr ở thành: ( )2

( ) 2 1 2 1 0 f t t m t m= - + + + =

.(C m ) cắ t Ox t ại 3 đ iể m phân biệt có hoành độ nhỏ hơ n 3

( ) f t Û có 2 nghiệm phân biệt 1 2,t t sao cho: 1 2

1 2

0 3

0 3

t t

t t

= < <éê < < £ë

( )

( )

( )

2

2' 0

' 03 4 4 0 1

(0) 2 1 0 122 1 0

2 1 32 1 0

ìD = >ìD = > ï

= - £ï ïÛ = + = Û = - Ú ³í í

= + >ï ï= + <î ï = + >î

mm

f m f m m m

S mS m

P m

V ậ y: 1 12m m= - Ú ³ .

Câu 55. Cho hàm số 4 2 2 42 2 x m x m m= - + + (1), vớ i m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = ..

2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt tr ục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, vớ i mọi

0m < .

· Phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của đồ thị (1) và tr ục Ox:4 2 2 42 2 0 x m x m m- + + = (1)

Đặ t ( )20t x t = ³ , (1) tr ở thành : 2 2 4

2 2 0t m t m m- + + = (2)

Ta có : ' 2 0mD = - > và 22 0S m= > vớ i mọi 0m > . Nên (2) có nghiệm d ươ ng

Þ (1) có ít nhấ t 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắ t tr ục Ox t ại ít nhấ t haiđ iể m phân biệt.



www.VNMATH.com


Trang 19

Câu 56. Cho hàm số x

y x

2 1

2

+=

+có đồ thị là (C).


2) Chứng minh r ằng đườ ng thẳng d: y x m= - + luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,

B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

· PT hoành độ giao đ iể m của (C) và d: x

x m x

2 1

2

+= - +

+

Û x

f x x m x m2

2

( ) (4 ) 1 2 0 (1)

ì ¹ -í

= + - + - =î

Do (1) có m2

1 0D = + > và f m m m2( 2) ( 2) (4 ).( 2) 1 2 3 0,- = - + - - + - = - ¹ " nên đườ ng thẳ ng d luôn luôn cắ t đồ thị (C ) t ại hai đ iể m phân biệt A, B.

Ta có: A A B B

y m x y m x;= - = - nên B A B A

AB x x y y m2 2 2 2( ) ( ) 2( 12)= - + - = +

Suy ra AB ng ắ n nhấ t Û

AB

2

nhỏ nhấ t Û

m 0= . Khi đ ó: AB 24= .Câu hỏi t ươ ng t ự đố i vớ i hàm số :

a)2

1

x y

x

-=

- ĐS: m = 2 b)

x y

x

1

2

-= ĐS: m

1

2=

Câu 57. Cho hàm số 3

1 y

-=

+.


2) Viết phươ ng trình đườ ng thẳng d qua điểm ( 1;1)- I và cắt đồ thị (C ) tại hai điểm M , N sao cho I là trung điểm của đoạn MN .

· Phươ ng trình đườ ng thẳ ng ( ): 1 1d y k x= + +

d cắ t (C) t ại 2 đ iể m phân biệt M, N 3

11

-Û = + +

+

xkx k

xcó 2 nghiệm phân biệt khác 1- .

Û 2( ) 2 4 0= + + + = f x kx kx k có 2 nghi ệm phân biệt khác 1-

Û

0

4 0 0

( 1) 4 0

¹ìï

D = - > Û <íï - = ¹î

k

k k

f

M ặ t khác: 2 2M N I x x x+ = - = Û I là trung đ iể m MN vớ i 0k " < .

K ế t luận: Phươ ng trình đườ ng thẳ ng cần tìm là 1 y kx k = + + vớ i 0k < .

Câu 58. Cho hàm số 2 4

1

x y

+=

-(C).


2) Gọi (d ) là đườ ng thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k . Tìm k để (d ) cắt (C ) tại hai điểm M,

N sao cho 3 10MN = .

· Phươ ng trình đườ ng thẳ ng ( ) : ( 1) 1.d y k x= - +

Bài toán tr ở thành: Tìm k để hệ phươ ng trình sau có hai nghiệm 1 1 2 2( ; ), ( ; ) x y x y phân bi ệt

sao cho ( ) ( )

2 2

2 1 2 1 90- + - = x x y y (a)2 4

( 1) 11

( 1) 1

+ì= - +ï

- +íï = - +î

xk x

x y k x

(I). Ta có:2 (2 3) 3 0

( )( 1) 1

kx k x k I

y k x

ì - - + + =Û í

= - +î



www.VNMATH.com


Trang 20

(I) có hai nghiệm phân biệt Û PT 2 (2 3) 3 0 ( )- - + + =kx k x k b có hai nghiệm phân biệt.

Û 3

0, .8

k k ¹ <

Ta biế n đổ i (a) tr ở thành: ( ) ( )2 22 2

2 1 2 1 2 1(1 ) 90 (1 ) 4 90é ù+ - = Û + + - =ë ûk x x k x x x x (c)

Theo định lí Viet cho (b) ta có: 1 2 1 2

2 3 3

, ,

k k

x x x xk k

- +

+ = = thế vào (c) ta có phươ ng trình: 3 2 28 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0k k k k k k + + - = Û + + - =

3 41 3 413; ;

16 16

- + - -Û = - = =k k k .

K ế t luận: V ậ y có 3 giá tr ị của k thoả mãn như trên.


1

x y

-=

+(C).


2) Tìm m để đườ ng thẳng (d ): y x m2= + cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho5= AB .

· PT hoành độ giao đ iể m:2 2

21

-= +

+

xm

x Û x mx m x

22 2 0 ( 1)+ + + = ¹ - (1)

d cắ t (C) t ại 2 đ iể m phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, khác –1

Û m m2

8 16 0- - > (2)

Khi đ ó ta có:1 2

1 2

2

2

2

m x x

m

x x

ì+ = -ïï

í+ï

=ïî

. Gọi ( ) ( ) A x x m B x x m1 1 2 2;2 , ;2+ + .

AB2 = 5 Û 2 2

1 2 1 2( ) 4( ) 5 x x x x- + - = Û 2

1 2 1 2( ) 4 1x x x x+ - = Û m m2

8 20 0- - =

Û m

m

10

2

é =ê = -ë

(thoả (2))

V ậ y: m m10; 2= = - .


y x m

1-=

+(1).


2) Tìm các giá tr ị của tham số m sao cho đườ ng thẳng (d ): y x 2= + cắt đồ thị hàm số (1) tại

hai điểm A và B sao cho AB 2 2= .

· PT hoành độ giao đ iể m: x m x

x x m x m x m

2

12

( 1) 2 1 0 (*)

ì ¹ --= + Û í

+ + + + + =î

d cắ t đồ thị hàm số (1) t ại hai đ iể m A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác m-

m mm m x m mm

20 3 2 3 3 2 36 3 0

11

D ì ìì > < - Ú > +- - >Û Û Ûí í í¹ - ¹ -¹ -î îî(**)

Khi đ ó g ọi x x1 2, là các nghiệm của (*), ta có

x x m

x x m1 2

1 2

( 1)

. 2 1

ì + = - +

í = +î

Các giao đ iể m của d và đồ thị hàm số (1) là A x x B x x1 1 2 2( ; 2), ( ; 2)+ + .



www.VNMATH.com


Trang 21

Suy ra AB x x x x x x m m2 2 2 21 2 1 2 1 22( ) 2 ( ) 4 2( 6 3)é ù= - = + - = - -

ë û

Theo giả thiế t ta đượ c mm m m m

m2 2 1

2( 6 3) 8 6 7 07

é = -- - = Û - - = Û ê =ë

K ế t hợ p vớ i đ iề u kiện (**) ta đượ c m 7= là giá tr ị cần tìm.


1

x y

-=

-(C).


2) Tìm m để đườ ng thẳng d: y x m= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB

vuông tại O.

· Phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của (C) và d: x m x m x2 ( 3) 1 0, 1+ - + - = ¹ (*)

(*) có m m m R2 2 5 0,D = - + > " Î và (*) không có nghiệm x = 1.

Þ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là A B

x x, . Theo định lí Viét: A B

A B

x x m

x x m

3

. 1

ì + = -í

= -î

Khi đ ó: ( ) ( ) A A B B A x x m B x x m; , ;+ +

OABD vuông t ại O thì ( )( ) A B A BOA OB x x x m x m. 0 0= Û + + + = uur uur

( ) 202 2 -=Û=+++Û mm x xm x x B A B A V ậ y: m = –2.

Câu 62. Cho hàm số: x

y x

2

2

+=

-.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2) Chứng minh r ằng vớ i mọi giá tr ị m thì trên (C) luôn có cặ p điểm A, B nằm về hai nhánh

của (C) và thỏa A A

B B

x y m

x y m

0

0

ì - + =í

- + =î.

· Ta có: A A A A

B B B B

x y m y x m A B d y x m

x y m y x m

0, ( ) :

0

ì ì- + = = +Û Þ Î = +í í

- + = = +î î

Þ A, B là giao đ iể m của (C) và (d). Phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của (C) và (d): x

x m f x x m x m x x

22( ) ( 3) (2 2) 0 ( 2)

2

++ = Û = + - - + = ¹

-(*).

(*) có m m m2 2 17 0,D = + + > " Þ (d) luôn cắ t (C) t ại hai đ iể m phân biệt A, B.

Và A B

f x x1. (2) 4 0 2= - < Þ < < hoặ c B A

x x2< < ( đ pcm).

KSHS 04: TIẾP TUYẾN

Câu 63. Cho hàm số 2)2()21( 23 ++-+-+= m xm xm x y (1) (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) vớ i m = 2.2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiế p tuyến tạo vớ i đườ ng thẳng d: 07 =++ y x

góc a , biết26

1cos =a .



www.VNMATH.com


Trang 22

· Gọi k là hệ số góc của tiế p tuyế n Þ tiế p tuyế n có VTPT n k 1 ( ; 1)= - r

Đườ ng thẳ ng d có VTPT n2 (1;1)= r

.

Ta cók n n k

k k n n k

k

1 2 2

21 2

3. 1 1 2cos 12 26 12 0

2. 26 2 13

a

é=ê-

= Û = Û - + = Û êê+ =ë

r r

r r

YCBT thoả mãn Û ít nhấ t một trong hai phươ ng trình sau có nghiệm:

y

y

3

22

3

é ¢=êê

¢ê =ë

Û

êêêê

ë

é

=-+-+

=-+-+

3

22)21(23

2

32)21(23

2

2

m xm x

m xm x Û

êêë

é

³D

³D

0

0

2/

1/

Û êêë

é

³--

³--

034

0128

2

2

mm

mm

Û

ê

êêê

ë

é

³-£

³-£

1;4

3

2

1;

4

1

mm

mm Û

4

1-£m hoặ c

2

1³m

Câu 64. Cho hàm số y x x3 23 1= - + có đồ thị (C).


2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiế p tuyến của (C) tại A và B song song vớ i

nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .

· Giả sử A a a a B b b b3 2 3 2( ; 3 1), ( ; 3 1)- + - + thuộc (C), vớ i a b¹ .Vì tiế p tuyế n của (C) t ại A và B song song vớ i nhau nên:

y a y b( ) ( )¢ ¢= Û a a b b a b a b a b a b2 2 2 23 6 3 6 2( ) 0 ( )( 2) 0- = - Û - - - = Û - + - =

Û a b b a2 0 2+ - = Û = - . Vì a b¹ nên a a a2 1¹ - Û ¹

Ta có: AB b a b b a a b a b a b a2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2( ) ( 3 1 3 1) ( ) ( 3( ))= - + - + - + - = - + - - -

b a b a ab b a b a b a2

2 3( ) ( ) 3 ( ) 3( )( )é ù= - + - + - - - +ë û

b a b a b a ab2

2 2 2( ) ( ) ( ) 3 3.2é ù= - + - - + -ë û

b a b a b a ab2

2 2 2( ) ( ) ( ) 6é ù= - + - + - -ë û b a b a ab2 2 2( ) ( ) ( 2 )= - + - - -

2 AB b a ab a a a2 2 2 2 2( ) 1 ( 2 ) (2 2 ) 1 ( 2 2)é ù é ù= - + - - = - + - -ë û ë û

a a a a a2

2 2 2 4 24( 1) 1 ( 1) 3 4( 1) ( 1) 6( 1) 10

é ùé ù é ù= - + - - = - - - - +ê úë û ë ûë û

a a a6 4 24( 1) 24( 1) 40( 1)= - - - + -

Mà AB 4 2= nên a a a6 4 24( 1) 24( 1) 40( 1) 32- - - + - =

a a a6 4 2( 1) 6( 1) 10( 1) 8 0Û - - - + - - = (*)

Đặ t t a t 2( 1) , 0= - > . Khi đ ó (*) tr ở thành:

t t t t t t t 3 2 26 10 8 0 ( 4)( 2 2) 0 4- + - = Û - - + = Û = Þ a b

aa b

2 3 1( 1) 4

1 3

é = Þ = -- = Û

ê = - Þ =ë

V ậ y 2 đ iể m thoả mãn YCBT là: A B(3;1), ( 1; 3)- - .



www.VNMATH.com


Trang 23

Câu 65. Cho hàm số y x x33= - (C).


2) Tìm trên đườ ng thẳng (d): y x= - các điểm mà từ đó k ẻ đượ c đúng 2 tiế p tuyến phân biệt

vớ i đồ thị (C).

· Các đ iể m cần tìm là: A(2; –2) và B(–2; 2).

Câu 66. Cho hàm số y x x3 23 2= - + - (C).


2) Tìm trên đườ ng thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó k ẻ đượ c 3 tiế p tuyến phân biệt vớ i đồ

thị (C).

· Gọi Î( ;2) ( ) M m d .

PT đườ ng thẳ ng D đ i qua đ iể m M và có hệ số góc k có d ạng : y k x m( ) 2= - +

D là tiế p tuyế n của (C) Û hệ PT sau có nghiệm x x k x m

x x k

3 2

2

3 2 ( ) 2 (1)

3 6 (2)

ìï- + - = - +í

- + =ïî(*).

Thay (2) và (1) ta đượ c: x m x mx x x m x3 2 22 3( 1) 6 4 0 ( 2) 2 (3 1) 2 0é ù- + + - = Û - - - + =ë û

Û =é

ê= - - + =ë

2

2

( ) 2 (3 1) 2 0 (3)

x

f x x m x

T ừ M k ẻ đượ c 3 tiế p tuyế n đế n đồ thị (C) Û hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt

Û (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2ì

D > < - >ì ïÛ Ûí í

¹î ï ¹î

50 1

3(2) 0

2

m hoÆc m

f m

.

V ậ y t

ừ các

đ iể m M(m; 2)

Î

(d): y = 2 vớ

i

ì< - >ï

íï ¹î

51

32

m hoÆc m

m có thể

k ẻ đượ

c 3 tiế p tuy

ế n

đế n (C).

Câu 67. Cho hàm số y f x mx m x m x3 21

( ) ( 1) (4 3 ) 13

= = + - + - + có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.2) Tìm các giá tr ị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà

tiế p tuyến tại đó vuông góc vớ i đườ ng thẳng (d): x y2 3 0+ - = .

· (d) có hệ số góc

1

2- Þ tiế p tuyế n có hệ số góc k 2= . Gọi x là hoành độ tiế p đ iể m thì:

f x mx m x m mx m x m2 2'( ) 2 2( 1) (4 3 ) 2 2( 1) 2 3 0= Û + - + - = Û + - + - = (1)

YCBT Û (1) có đ úng một nghiệm âm.+ N ế u m 0= thì (1) x x2 2 1Û - = - Û = (loại)

+ N ế u m 0¹ thì d ễ thấ y phươ ng trình (1) có 2 nghiệm làm

x hay x=m

2 31

-=

Do đ ó để (1) có một nghiệm âm thìm

m

m m

02 3

0 2

3

é <- ê< Û

ê >êë

V ậ y m hay m2

03

< > .



www.VNMATH.com


Trang 24

Câu 68. Cho hàm số ( ) ( ) y x x2 2

1 . 1= + -


2) Cho điểm A a( ;0) . Tìm a để từ A k ẻ đượ c 3 tiế p tuyến phân biệt vớ i đồ thị (C).

· Ta có y x x4 22 1= - + .

Phươ ng trình đườ ng thẳ ng d đ i qua A a( ;0) và có hệ số góc k : y k x a( )= -

d là tiế p tuyế n của (C) Û hệ phươ ng trình sau có nghiệm: x x k x a

I x x k

4 2

3

2 1 ( )( )

4 4

ì - + = -ïí

- =ïî

Ta có:k

I A x

2

0( ) ( )

1 0

ì =Û í

- =îhoặ c x x k

B f x x ax

2

2

4 ( 1)( )

( ) 3 4 1 0 (1)

ìï - =í

= - + =ïî

+ T ừ hệ (A), chỉ cho ta một tiế p tuyế n duy nhấ t là d y1 : 0= .

+ V ậ y để t ừ A k ẻ đượ c 3 tiế p tuyế n phân biệt vớ i (C) thì đ iề u kiện cần và đủ là hệ (B) phảicó 2 nghiệm phân biệt x k ( ; ) vớ i x 1¹ ± , t ứ c là phươ ng trình (1) phải có 2 nghiệm phân

biệt khác 1± Û a

f

24 3 0

( 1) 0

Dì ¢ = - >í± ¹î

Û a a3 3

1 12 2

- ¹ < - ¹ >hoÆc

Câu 69. Cho hàm số y f x x x4 2( ) 2= = - .


2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượ t là a và b. Tìm điều kiện đối

vớ i a và b để hai tiế p tuyến của (C) tại A và B song song vớ i nhau.

· Ta có: f x x x3'( ) 4 4= -

H ệ số góc tiế p tuyế n của (C) t ại A và B là A Bk f a a a k f b b b

3 3

'( ) 4 4 , '( ) 4 4= = - = = -

Tiế p tuyế n t ại A, B l ần l ượ t có phươ ng trình là:

y f a x a f a y f a x f a af a( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )¢ ¢ ¢= - + Û = + -

y f b x b f b y f b x f b bf b( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )¢ ¢ ¢= - + Û = + - Hai tiế p tuyế n của (C) t ại A và B song song hoặ c trùng nhau khi và chỉ khi:

3 3 A B

k k a a = 4b b a b a ab b2 2

4 4 4 ( )( 1) 0= Û - - Û - + + - = (1)

Vì A và B phân biệt nên a b¹ , do đ ó (1) Û a ab b2 2

1 0+ + - = (2)M ặ t khác hai tiế p tuyế n của (C) t ại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:

a ab b a ab ba ba a b b f a af a f b bf b

2 2 2 2

4 2 4 21 0 1 0( )3 2 3 2( ) ( ) ( ) ( )

ì ìï ï+ + - = + + - =Û ¹ Ûí í¢ ¢ - + = - +- = - ïï îî

Giải hệ này ta đượ c nghiệm là a b( ; ) ( 1;1)= - hoặ c a b( ; ) (1; 1)= - , hai nghiệm này t ươ ng ứ ng vớ i cùng một cặ p đ iể m trên đồ thị là ( 1; 1)- - và (1; 1)- V ậ y đ iề u kiện cần và đủ để hai tiế p tuyế n của (C) t ại A và B song song vớ i nhau là:

a ab b

a a b

2 2 1 0

1;

ì + + - =í

¹ ± ¹î


2

y =

+

(C).


2) Viết phươ ng trình tiế p tuyến của đồ thị (C), biết r ằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ

thị (C) đến tiế p tuyến là lớ n nhất.



www.VNMATH.com


Trang 25

· Tiế p tuyế n (d) của đồ thị (C) t ại đ iể m M có hoành độ a 2¹ - thuộc (C) có phươ ng trình:

a y x a x a y a

aa

2 2

2

4 2( ) 4 ( 2) 2 0

2( 2)= - + Û - + + =

++

Tâm đố i xứ ng của (C) là ( ) I 2;2- . Ta có:

a a ad I d

aa a4 2

8 2 8 2 8 2( , ) 2 2

2 2 216 ( 2) 2.4.( 2)

+ + += £ = =++ + +

d I d ( , ) l ớ n nhấ t khi aa

a2 0

( 2) 44

é =+ = Û ê = -ë

.

T ừ đ ó suy ra có hai tiế p tuyế n y x= và y x 8= + .


y x

2

2 3

+=

+(1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2) Viết phươ ng trình tiế p tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiế p tuyến đó cắt tr ục hoành, tr ụctung lần lượ t tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

· Gọi x y0 0( ; ) là toạ độ của tiế p đ iể m Þ y x x

0 20

1( ) 0

(2 3)

-¢ = <+

DOAB cân t ại O nên tiế p tuyế n D song song vớ i đườ ng thẳ ng y x= - (vì tiế p tuyế n có hệ số

góc âm). Nghĩ a là: y x x

0 20

1( ) 1

(2 3)

-¢ = = -+

Þ x y

x y

0 0

0 0

1 1

2 0

é = - Þ =ê

= - Þ =êë

+ V ớ i x y0 01; 1= - = Þ D: y x y x1 ( 1)- = - + Û = - (loại)

+ V ớ i x y0 02; 0= - = Þ D: y x y x0 ( 2) 2- = - + Û = - - (nhận)V ậ y phươ ng trình tiế p tuyế n cần tìm là: y x 2= - - .

Câu 72. Cho hàm số y =1

12

-

- x.


2) Lậ p phươ ng trình tiế p tuyến của đồ thị (C) sao cho tiế p tuyến này cắt các tr ục O x, O y lần

lượ t tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.

· Giả sử tiế p tuyế n d của (C) t ại M x y C 0 0( ; ) ( )Î cắ t Ox t ại A, Oy t ại B sao cho OA B4O= .

Do DOAB vuông t ại O nên OB AOA

1tan4

= = Þ H ệ số góc của d bằ ng 14

hoặ c 14

- .

H ệ số góc của d là y x x x

0 2 20 0

1 1 1( ) 0

4( 1) ( 1)

¢ = - < Þ - = -- -

Û x y

x y

0 0

0 0

31 ( )

25

3 ( )2

é= - =ê

êê = =ë

Khi đ ó có 2 tiế p tuyế n thoả mãn là: y x y x

y x y x

1 3 1 5( 1)

4 2 4 41 5 1 13

( 3)4 2 4 4

é é= - + + = - +ê ê

Ûê êê ê= - - + = - +ë ë

.


y x

2 3

2

-=

-có đồ thị (C).




www.VNMATH.com


Trang 26

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiế p tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại

A, B sao cho AB ngắn nhất.

· Lấ y đ iể m M mm

1; 2

2

æ ö+ç ÷

-è ø( )CÎ . Ta có: y m

m2

1( )

( 2)

¢ = --

Tiế p tuyế n (d) t ại M có phươ ng trình: y x mmm 2

1 1( ) 2

2( 2)= - - + +

--

Giao đ iể m của (d) vớ i tiệm cận đứ ng là: Am

22;2

2

æ ö+ç ÷

-è ø

Giao đ iể m của (d) vớ i tiệm cận ngang là: B m(2 – 2;2)

Ta có: AB mm

2 2

2

14 ( 2) 8

( 2)

é ù= - + ³ê ú

-ê úë û. Dấ u “=” xả y ra Û m

m

3

1

é =ê =ë

V ậ y đ iể m M cần tìm có t ọa độ là: M (3;3) hoặ c M (1;1)

Câu 74. Cho hàm số x y x2 3

2-=

-.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.

2) Cho M là điểm bất kì trên (C ). Tiế p tuyến của (C) tại M cắt các đườ ng tiệm cận của (C )tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đườ ng tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đườ ng

tròn ngoại tiế p tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.

· Giả sử x

M x x x

00 0

0

2 3; , 2

2

æ ö-¹ç ÷ç ÷-è ø

,( )

y x

x0 2

0

1'( )

2

-=

-

Phươ

ng trình tiế p tuy

ế n (

D

) vớ

i ( C) t ạ

i M: ( )

x

y x x x x

0

020

0

2 31

( ) 22

--= - +

--

Toạ độ giao đ iể m A, B của ( D ) vớ i hai tiệm cận là: ( ) x

A B x x

00

0

2 22; ; 2 2;2

2

æ ö--ç ÷ç ÷-è ø

Ta thấ y A B M

x x x x x0

0

2 2 2

2 2

+ + -= = = , A B

M

y y x y

x

0

0

2 3

2 2

+ -= =

-suy ra M là trung đ iể m

của AB.M ặ t khác I(2; 2) và D IAB vuông t ại I nên đườ ng tròn ngoại tiế p tam giác IAB có diện tích

S = x

IM x x x x

2

2 2 200 0 20 0

2 31( 2) 2 ( 2) 2

2 ( 2)p p p p

é ù é ùæ ö-ê ú ê ú= - + - = - + ³ç ÷ç ÷ê ú- ê ú-è ø ë ûë û

Dấ u “=” xả y ra khi x

x x x

2 00 2

00

11( 2)

3( 2)

é =- = Û ê =- ë

Do đ ó đ iể m M cần tìm là M(1; 1) hoặ c M(3; 3)


12

-

+=

x

x y có đồ thị (C).


2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiế p tuyến của (C) tạiM cắt 2 tiệm cận tại A và B vớ i chu vi tam giác IAB đạt giá tr ị nhỏ nhất.



www.VNMATH.com


Trang 27

· Giao đ iể m của 2 tiệm cận là I (1;2) . Gọi M ÷÷ ø

öççè

æ

-+

1

32;

0

0 x x Î (C).

+ PTTT t ại M có d ạng: y x x x x

0200

3 3( ) 2

1( 1)

-= - + +

--

+ Toạ độ các giao đ iể m của tiế p tuyế n vớ i 2 tiệm cận: A ÷÷ ø öçç

è æ

-+

162;1

0 x , B x0(2 1;2)-

+ Ta có: IABS IA IB x

x0

0

1 1 6. 2 1 2.3 6

2 2 1D

= = × × - = =-

( đ vdt)

+ D IAB vuông có diện tích không đổ i Þ chu vi D IAB đạt giá tr ị nhỏ nhấ t khi IA= IB

Û êêë

é

-=

+=Þ-=

- 31

3112

1

6

0

0

0

0 x

x x

x

V ậ y có hai đ iể m M thỏa mãn đ iề u kiện ( ) M 1 1 3;2 3+ + , ( ) M 2 1 3;2 3- -

Khi đ ó chu vi D AIB = 6234 + .

Chú ý: V ớ i 2 số d ươ ng a, b thoả ab = S (không đổ i) thì biể u thứ c P = a b a b2 2+ + + nhỏ nhấ t khi và chỉ khi a = b.

Thật vậ y: P = a b a b2 2+ + + ³ ab ab ab S 2 2 (2 2) (2 2)+ = + = + .

Dấ u "=" xả y ra Û a = b.

Câu 76. Cho hàm số: x

y x

2

1

+=

-(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2) Cho điểm A a(0; ) . Tìm a để từ A k ẻ đượ c 2 tiế p tuyến tớ i đồ thị (C) sao cho 2 tiế p điểm

tươ ng ứng nằm về 2 phía của tr ục hoành.

· Phươ ng trình đườ ng thẳ ng d đ i qua A a(0; ) và có hệ số góc k: y kx a= +

d là tiế p tuyế n của (C) Û H ệ PT

xkx a

x

k x

2

2

13

( 1)

ì += +ïï -

í -=ï

ï -î

có nghiệm

Û PT: a x a x a2(1 ) 2( 2) ( 2) 0- + + - + = (1) có nghiệm x 1¹ .

Để qua A có 2 tiế p tuyế n thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x x1 2,

Û a a

aa

1 1

23 6 0D

ì ¹ ì ¹Ûí í¢ > -= + > îî

(*)

Khi đ ó ta có:a a

x x x xa a1 2 1 2

2( 2) 2;

1 1

+ ++ = =

- -và y y

x x1 21 2

3 31 ; 1

1 1= + = +

- -

Để 2 tiế p đ iể m nằ m về 2 phía đố i vớ i tr ục hoành thì y y1 2. 0<

Û x x1 2

3 31 . 1 0

1 1

æ ö æ ö+ + <ç ÷ ç ÷

- -è ø è ø Û

x x x x

x x x x

1 2 1 2

1 2 1 2

. 2( ) 40

. ( ) 1

+ + +<

- + + Û a3 2 0+ > Û a

2

3> -

K ế t hợ p vớ i đ iề u kiện (*) ta đượ c: a

a

2

31

ìï > -íï ¹î

.



www.VNMATH.com


Trang 28


y x

3

1

+=

-.


2) Cho điểmo o o

M x y( ; ) thuộc đồ thị (C). Tiế p tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C)

tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.

· o o o

M x y( ; ) Î (C) Þ y x0

0

411

= +-

.

Phươ ng trình tiế p tuyế n (d) t ại M 0 : y y x x x

0 020

4( )

( 1)- = - -

-

Giao đ iể m của (d) vớ i các tiệm cận là: A x B y0 0(2 1;1), (1; 2 1)- - .

Þ A B A B x x y y

x y0 0;2 2

+ += = Þ M 0 là trung đ iể m AB.

Câu 78. Cho hàm số : x y x

21

+=-

(C)


2) Chứng minh r ằng mọi tiế p tuyến của đồ thị (C) đều lậ p vớ i hai đườ ng tiệm cận một tam

giác có diện tích không đổi.

· Giả sử M a

aa

2;

1

æ ö+ç ÷

-è ø Î (C).

PTTT (d) của (C) t ại M:a

y y a x aa

2( ).( )

1

+¢= - +-

Û a a

y xa a

2

2 2

3 4 2

( 1) ( 1)

- + -= +

- -

Các giao đ iể m của (d) vớ i các tiệm cận là: a Aa

51;1

æ ö+ç ÷-è ø

, B a(2 1;1)- .

IAa

60;

1

® æ ö= ç ÷

-è ø Þ IA

a

6

1=

-; IB a(2 2; 0)

®

= - Þ IB a2 1= -

Diện tích IABD : S IABD

= IA IB1

.2

= 6 ( đ vdt) Þ Đ PCM.

Câu hỏi t ươ ng t ự đố i vớ i hàm số x

y x

2 4

1

-=

+ ĐS: S = 12.

Câu 79. Cho hàm số y =1

2

++

x x .


2) Gọi I là giao điểm của 2 đườ ng tiệm cận, D là một tiế p tuyến bất k ỳ của đồ thị (C). d là

khoảng cách từ I đến D . Tìm giá tr ị lớ n nhất của d.

· y x

2

1

( 1)

-¢ =

+. Giao đ iể m của hai đườ ng tiệm cận là I(–1; 1). Giả sử

x M x C

x

00

0

2; ( )

1

æ ö+Îç ÷

+è ø

Phươ ng trình tiế p tuyế n D vớ i đồ thi hàm số t ại M là:

( )

x

y x x x x

0

020

0

21

( ) 11

+-

= - + ++ ( ) ( )( ) x x y x x x

2

0 0 0 01 1 2 0Û + + - - + + =



www.VNMATH.com


Trang 29

Khoảng cách t ừ I đế n D là d =

( )

x

x

0

4

0

2 1

1 1

+

+ +

=

( )( ) x

x

2

02

0

22

11

1

£

+ ++

V ậ y GTLN của d bằ ng 2 khi x0 0= hoặ c x0 2= - .


y x

2 1

1

-=

-.


2) Viết phươ ng trình tiế p tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiế p tuyến bằng

2 .

· Tiế p tuyế n của (C) t ại đ iể m M x f x C 0 0( ; ( )) ( )Î có phươ ng trình:

y f x x x f x0 0 0'( )( ) ( )= - + Û x x y x x2 2

0 0 0( 1) 2 2 1 0+ - - + - = (*)

Khoảng cách t ừ đ iể m I(1; 2) đế n tiế p tuyế n (*) bằ ng 2 x

x

0

40

2 2 2

1 ( 1)

-Û =+ -

Û x x

0

0

02

é =ê =ë

Các tiế p tuyế n cần tìm : x y 1 0+ - = và x y 5 0+ - =


y x

1

1

+=

-(C).


2) Tìm trên O y tất cả các điểm từ đó k ẻ đượ c duy nhất một tiế p tuyến tớ i (C).

· Gọio

M y(0; ) là đ iể m cần tìm. PT đườ ng thẳ ng qua M có d ạng:o

y kx y= + (d)

(d) là tiế p tuyế n của (C)o o o o

xkx y y x y x y

x

x k k x x

2

22

1( 1) 2( 1) 1 0 (1)

122 1;

( 1)( 1)

ì + ì= + - - + + + =ïï ï-Û Û -í í- ¹ ==ï ï

-îï -î

(*)

YCBT Û hệ (*) có 1nghiệm Û (1) có 1 nghiệm khác 1

oo o

o o oo

y y x y k

x y y y x y k 2

1 11 ; 1 81 2

' ( 1) ( 1)( 1) 0 0; 1 22D

ì é= ì ¹ï ï = = Þ = -êÛ Ú Ûí íê= = + - - + =ïï î = = - Þ = -î ë

V ậ y có 2 đ iể m cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).


y x

2 1

1

+=

+.


2) Viết phươ ng trình tiế p tuyến của đồ thị (C), biết r ằng tiế p tuyến cách đều hai điểm

A(2; 4), B(-4; -2).

· Gọi x0 là hoành độ tiế p đ iể m ( x0 1¹ - ).

PTTT (d) là x

y x x x x

002

00

2 11( )

1( 1)

+= - +

++ Û x x y x x

2 20 0 0( 1) 2 2 1 0- + + + + =

Ta có: d A d d B d ( , ) ( , )= Û x x x x x x2 2 2 2

0 0 0 0 0 02 4( 1) 2 2 1 4 2( 1) 2 2 1- + + + + = - + + + + +

Û x x x0 0 01 0 2= Ú = Ú = -



www.VNMATH.com


Trang 30

V ậ y có ba phươ ng trình tiế p tuyế n: y x y x y x1 5

; 1; 54 4

= + = + = +


1

-=

- y .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2) Gọi I là giao điểm của hai đườ ng tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiế ptuyến tại A của (C) cắt hai đườ ng tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ r ằng A là trung điểm của

PQ và tính diện tích tam giác IPQ.

· a

I A aa

2 1(1; 2), ;

1

æ ö-- ç ÷

-è ø. PT tiế p tuyế n d t ại A:

2

1 2 1( )

(1 ) 1

-= - +

- -

a y x a

a a

Giao đ iể m của tiệm cận đứ ng và tiế p tuyế n d:2

1;1

æ öç ÷

-è ø

a P

a

Giao đ iể m của tiệm cận ngang và tiế p tuyế n d: Q a(2 –1; 2)-

Ta có:P Q A

x x a x2 2+ = = . V ậ y A là trung đ iể m của PQ.

IP =2 2

21 1

aa a

+ =- -

; IQ = 2( 1)a -

S IPQ =1

2 IP.IQ = 2 ( đ vdt)


y x

2 3

2

-=

-(C).


2) Viết phươ ng trình tiế p tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiế p tuyến đó cắt tiệm cận đứng và

tiệm cận ngang lần lượ t tại A, B sao cho côsin góc· ABI bằng

4

17, vớ i I là giao 2 tiệm cận.

· I(2; 2). Gọi x

M x C x

00

0

2 3; ( )

2

æ ö-Îç ÷

-è ø , x0 2¹

Phươ ng trình tiế p tuyế n D t ại M: x

y x x x x

002

00

2 31( )

2( 2)

-= - - +

--

Giao đ iể m của D vớ i các tiệm cận:x

A

x

0

0

2 22;

2

æ ö-ç ÷

-è ø

, B x0(2 2;2)- .

Do· ABI

4cos

17= nên

· IA ABI

IB

1tan

4= = Û IB IA

2 216.= Û x

40( 2) 16- = Û

x

x0

0

0

4

é =ê =ë

K ế t luận: T ại M 3

0;2

æ öç ÷è ø

phươ ng trình tiế p tuyế n: y x1 3

4 2= - +

T ại M 5

4;3

æ öç ÷è ø

phươ ng trình tiế p tuyế n: y x1 7

4 2= - +



www.VNMATH.com


Trang 31

KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠ NG TRÌNH

Câu 85. Cho hàm số y x x3 23 1= - + + .


2) Tìm m để phươ ng trình x x m m3 2 3 2

3 3- = - có ba nghiệm phân biệt.

· PT x x m m3 2 3 23 3- = - Û x x m m3 2 3 23 1 3 1- + + = - + + . Đặ t k m m3 23 1= - + + S ố nghiệm của PT bằ ng số giao đ iể m của đồ thị (C) vớ i đườ ng thẳ ng d: y k =

Dự a vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt Û k 1 5< < Û m ( 1;3) \ {0;2}Î -

Câu 86. Cho hàm số 4 25 4= - + y x x có đồ thị (C).


2) Tìm m để phươ ng trình 4 2

2| 5 4 | log x m- + = có 6 nghiệm.

· Dự a vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm Û 9

4412

9log 12 144 12

4m m= Û = = .

Câu 87. Cho hàm số y f x x x4 2( ) 8 9 1= = - + .


2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phươ ng trình:

x x m4 2

8cos 9cos 0- + = vớ i x [0; ]p Î

· Xét phươ ng trình: x x m4 2

8cos 9cos 0- + = vớ i x [0; ]p Î (1)

Đặ t t xcos= , phươ ng trình (1) tr ở thành: t t m4 2

8 9 0- + = (2)Vì x [0; ]p Î nên t [ 1;1]Î - , giữ a x và t có sự t ươ ng ứ ng một đố i một, do đ ó số nghiệm của

phươ ng trình (1) và (2) bằ ng nhau.Ta có: t t m4 2(2) 8 9 1 1Û - + = - (3)

Gọi (C 1 ): y t t 4 28 9 1= - + vớ i t [ 1;1]Î - và (d): y m1= - . Phươ ng trình (3) là phươ ng trìnhhoành độ giao đ iể m của (C 1 ) và (d).Chú ý r ằ ng (C 1 ) giố ng như đồ thị (C) trong miề n x1 1- £ £ .

Dự a vào đồ thị ta có k ế t luận sau:

m 0< m 0= m0 1< < m81

132

£ < m81

32= m

81

32>

vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm


y x

3 4

2

-=

-(C).


2) Tìm các giá tr ị của m để phươ ng trình sau có 2 nghiệm trên đoạn2

0;3

p é ùê úë û

:

x x m x x6 6 4 4sin cos (sin cos )+ = +

· Xét phươ ng trình: x x m x x6 6 4 4sin cos ( sin cos )+ = + (*)

x m x2 23 1

1 sin 2 1 sin 24 2

æ ö

Û - = -ç ÷è ø Û x m x2 24 3sin 2 2 (2 sin 2 )- = - (1)

Đặ t t x2

sin 2= . V ớ i x2

0;3

p é ùÎ ê ú

ë ûthì [ ]t 0;1Î . Khi đ ó (1) tr ở thành:



www.VNMATH.com


Trang 32

t m

t

3 42

2

-=

-vớ i t 0;1é ùÎ ë û

Nhận xét : vớ i mỗ i t 0;1é ùÎ ë û ta có : x t x t

x t

sin2sin2

sin2

é = -Û =ê

=ë

Để (*) có 2 nghiệm thuộc đ oạn 20;3

p é ùê úë û

thì t t 3 3;1 ;12 4

é ö é öÎ Þ Î÷ê ÷ê÷ ë øêë ø

Dư a vào đồ thị (C) ta có: y m y m3 7

(1) 2 1 24 5

æ ö< £ Û < £ç ÷

è ø Û m

1 7

2 10< £ .


.1

x y

+=

-


2) Biện luận theo m số nghiệm của phươ ng trình1

.

1

xm

x

+=

-

· Số nghiệm của1

1

xm

x

+=

-bằng số giao điểm của đồ thị (C¢):

1

1

x y

x

+=

-và . y m=

Dựa vào đồ thị ta suy ra đượ c:

1; 1< - >m m 1= -m 1 1- < £m

2 nghiệm 1 nghiệm vô nghiệm

Câu 90. Cho hàm số: y x x4 22 1= - + .


2) Biện luận theo m số nghiệm của phươ ng trình: x x m4 222 1 log 0- + + = (m > 0)

· x x m4 2

22 1 log 0- + + = Û x x m4 2

22 1 log- + = - (*)

+ S ố nghiệm của (*) là số giao đ iể m của 2 đồ thị y x x4 22 1= - + và y m2log= -

+ T ừ đồ thị suy ra:

m1

02

< < m1

2= m

11

2< < m 1= m 1>

2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ


1 y

x

+=

+(C).


2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.

· Gọi M x y0 0

( ; ) Î (C), ( x0

1¹ - ) thì x

y x x

0

0 0 0

2 1 12

1 1

+= = -

+ +

Gọi A, B l ần l ượ t là hình chiế u của M trên TC Đ và TCN thì:



www.VNMATH.com


Trang 33

MA x MB y x

0 00

11 , 2

1= + = - =

+

Áp d ụng B ĐT Cô-si ta có: MA MB MA MB x x

00

12 . 2 1 . 2

1+ ³ = + =

+

Þ MA + MB nhỏ nhấ t bằ ng 2 khi x x x x

00

00

01121

é =+ = Û ê = -+ ë.

V ậ y ta có hai đ iể m cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).Câu hỏi t ươ ng t ự :

a)2 1

1

-=

+ y ĐS: 0 1 3 x = - ±


y x

3 4

2

-=

-(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.

· Gọi M x y( ; ) Î (C) và cách đề u 2 tiệm cận x = 2 và y = 3.

Ta có: x x

x y x x x x

3 42 3 2 2 2

2 2

-- = - Û - = - Û - =

- -

x x x

x x

1( 2)

42

é =Û = ± - Û ê =- ë

V ậ y có 2 đ iể m thoả mãn đề bài là : M 1( 1; 1) và M 2(4; 6)


y x

2 4

1

-=

+.


2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đườ ng thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).

· MN (2; 1)= - uuur

Þ Phươ ng trình MN: x y2 3 0+ + = .

Phươ ng trình đườ ng thẳ ng (d) ^ MN có d ạng: y x m2= + . Phươ ng trình hoành độ giao đ iể m của (C) và (d):

x x m

x

2 42

1

-= +

+ Û x mx m x22 4 0 ( 1)+ + + = ¹ - (1)

(d) cắ t (C) t ại hai đ iể m phân biệt A, B Û m m2

– 8 – 32 0D = > (2) Khi đ ó A x x m B x x m1 1 2 2( ;2 ), ( ;2 )+ + vớ i x x1 2, là các nghiệm của (1)

Trung đ iể m của AB là x x I x x m1 21 2;

2æ ö+ + +ç ÷è ø

º m m I ;4 2

æ ö-ç ÷è ø

(theo định lý Vi-et)

A, B đố i xứ ng nhau qua MN Û I Î MN Û m 4= -

Suy ra (1) Û x x x

x2 0

2 4 02

é =- = Û ê =ë

Þ A(0; –4), B(2; 0).

Câu 94. Cho hàm số 3 3 2 y x x= - + + (C).


2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đườ ng thẳng d: x y2 – 2 0+ = .

· Gọi ( ) ( )1 1 2 2; ; ;M x y N x y thuộc (C) là hai đ iể m đố i xứ ng qua đườ ng thẳ ng d

I là trung đ iể m của AB nên 1 2 1 2;2 2

x y y I

+ +æ öç ÷è ø

, ta có I d Î



www.VNMATH.com


Trang 34

Có:( ) ( )3 3

1 1 2 21 2 1 23 2 3 2

2. 22 2 2

x x x x y y x x- + + + - + ++ += = +

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

1 1 2 2

03 3 2

1

+ =éÞ - + + + + + = + Þ ê

- + =ë

x x x x x x x x x x x x

x x x x

Lại có:( ) ( )2 1 2 1

.1 .2 0MN d x x y y^ Þ - + - =

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2

77 2 0

2Þ - - - + + = Þ + + = x x x x x x x x x x x x

- Xét 1 20 x x+ =

1 2

7 7;

2 2 x xÞ = ± = m

- Xét

2 22 2

1 21 1 2 2

2 2

1 1 2 21 2

91

47

52

4

x x x x x x

x x x x x x

ìì + =- + = ïï ï

Û Þí í+ + =ï ï =î ïî

vô nghiệm

V ậ y 2 đ iể m cần tìm là: 7 1 7 7 1 7; 2 ; ;22 2 2 2 2 2

æ ö æ ö- - +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø


y x

2 1

1

-=

+(C).


2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiế p tuyến của (C) tại M vớ i đườ ng thẳng đi qua M và

giao điểm hai đườ ng tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.

· Giao đ iể m 2 tiệm cận là I ( 1;2)- .

Gọi M I IM

M I

y y M x C k x x x x

0 20 0

3 3;2 ( )1 ( 1)

-æ ö -- Î Þ = =ç ÷+ - +è ø

+ H ệ số góc của tiế p tuyế n t ại M:( )

M k y x

x0 2

0

3( )

1

¢= =+

+ YCBT M IM

k k . 9Û = - Û x

x0

0

0

2

é =ê = -ë

. V ậ y có 2 đ iể m M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5)

Câu 96. Cho hàm số

x

y x x

32 11

33 3= - + + -

.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua tr ục tung.

· Hai đ iể m M x y N x y C 1 1 2 2( ; ), ( ; ) ( )Î đố i xứ ng nhau qua Oy Û x x

y y

2 1

1 2

0ì = - ¹ïí

=ïî

Û

x x

x x x x x x2

2 1

3 32 31 21 1 2

0

11 113 3

3 3 3 3

ì = - ¹ïí

- + + - = - + + -ïî

Û x

x

1

2

3

3

ì =ïí

= -ïîhoặ c

x

x

1

2

3

3

ì = -ïí

=ïî

V ậ y hai đ iể m thuộc đồ thị (C) và đố i xứ ng qua Oy là: M N 16 163; , 3;3 3

æ ö æ ö-ç ÷ ç ÷è ø è ø

.



www.VNMATH.com


Trang 35


1

x y

x=

-.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại

đỉnh A vớ i A(2; 0).

· Ta có C y x

2( ) : 2

1= + - . Gọi B b C cb c

2 2;2 , ; 2

1 1+ +- -

æ ö æ öç ÷ ç ÷è ø è ø vớ i b c1< < .

Gọi H, K l ần l ượ t là hình chiế u của B, C lên tr ục Ox.

Ta có:· · · · · · ·

AB AC BAC CAK BAH CAK ACK BAH ACK 0 0; 90 90+ = + Þ= = Þ = =

và:· · { AH CK

BHA CKA ABH CAK HB AK

090 D D

== = Þ = Þ

=

Hay: {b

bc

cc

b

22 2

112 3

2 2

1

- = += -- Û=

+ = -

-

ìïïíï

ïî

.

V ậ y B C ( 1;1), (3;3)-


12

+

-=

x x

y .


2) Tìm tọa độ điểm M Î (C) sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(- I tớ i tiế p tuyến của (C) tại

M là lớ n nhất.

· Giả sử )(

1

32;

0

0 C

x

xM Î÷÷

ø

öçç

è

æ

+

- . PTTT D của (C) t ại M là:

)()1(

3

1

32 02

00

x x x x

y -+

=+

+- Û 0)1(3)2()1()(3 0

2

00=+--+-- x y x x x

Khoảng cách t ừ )2;1(- I t ớ i tiế p tuyế n D là:

( ) 2

02

0

4

0

0

4

0

00

)1()1(

9

6

)1(9

16

19

)1(3)1(3

+++

=++

+=

++

+---=

x x

x

x

x

x xd .

Theo B ĐT Cô–si: 692)1()1(

9 2

02

0

=³+++

x x

Þ 6£d .

Khoảng cách d l ớ n nhấ t bằ ng 6 khi ( ) 3131)1()1(

90

2

0

2

02

0

±-=Û=+Û+=+

x x x x

.

V ậ y có hai đ iể m cần tìm là: )32;31 -+-M hoặ c )32;31 +--M

Câu 99. Cho hàm số 3 3 2 y x x= - + + (C).


2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).

· Gọi ( ) A x y0 0; , B là đ iể m đố i xứ ng vớ i A qua đ iể m M ( 1;3)- ( ) B x y0 02 ;6Þ - - -

A B C , ( )Î Û y x x

y x x

30 0 03

0 0 0

3 2

6 ( 2 ) 3( 2 ) 2ì = - + +ïí

- = - - - + - - +ïî

( ) ( ) x x x x x x33 2

0 0 0 0 0 06 3 2 2 3 2 2 6 12 6 0Û = - + + - - - + - - + Û + + =

H K

B

A

C



www.VNMATH.com


Trang 36

Û x y0 01 0= - Þ =

V ậ y 2 đ iể m cần tìm là: ( )1;0- và ( )1;6-


y x

2

2 1

+=

-.


2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).

· PT đườ ng trung tr ự c đọan AB: y x= . Nhữ ng đ iể m thuộc đồ thị cách đề u A và B có hoành độ là nghiệm của PT:

x x

x

2

2 1

+=

- Û

x x x

x

2

1 5

21 01 5

2

é -=ê

ê- - = Û+ê

=êë

Hai đ iể m cần tìm là:1 5 1 5 1 5 1 5

, ; ,2 2 2 2

æ ö æ ö- - + +

ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø

Documents

[VNMATH.COM]-100-BAI-TOAN-KHAO-SAT- kshs-TRAN-SI-TUNG