[Vnmath.com] skkn 2012-2013--quyet

Së gd®t qu¶ng b×nh

TR¦êNG THPT Sè 1 Bè TR¹CH ------

S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM

§Ò TµI

øng dông tÝch ph©n

®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tæ hîp

Gi¸o viªn thùc hiÖn: NguyÔn H÷u QuyÕt Tæ: To¸n

N¨m häc: 2012-2013

Bố Trạch, tháng 4 năm 2013

Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com

Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 1

MỤC LỤC

Trang

PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................ 2

1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... 2

2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu............................................. ….2

3. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................. 2

NỘI DUNG.......................................................................................................... 3

1. Nhị thức Newton............................................................................................... 3

2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân................................. ..3

3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân ........................................................ 4

3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản ................................................... 4

3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước .................................... 9

3.3. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng

........................................................................................................................... 12

4. Bài tập đề nghị ............................................................................................... 14

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................................... 16

1. Kết quả từ thực tiễn........................................................................................ 16

2. Kết quả thực nghiệm ...................................................................................... 16

KẾT LUẬN ...................................................................................................... 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 20



PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện

trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Trong nội dung này

có một số bài toán ứng dụng tích phân để giải quyết. Tuy nhiên, tích phân được học

ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11. Hệ

thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các

bài toán tổ hợp thì không được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng

này trên lớp. Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh

phần lớn không làm được.

Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp,

chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề

tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm

của mình.

2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.

- Các bài toán của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.

3. Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương

pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.

Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu

trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học

sinh mà mình đang giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả năng tự đọc, tự tìm

kiếm tài liệu học tập,…). Từ đó lựa chọn các bài tập cụ thể giúp học sinh vận dụng

hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của mình để đưa ra lời giải

đúng cho bài toán.

Do khuôn khổ của sáng kiến, ở mỗi phần tôi xin không nhắc lại các kiến thức

cơ bản về đại số tổ hợp và tích phân vì những kiến thức này được trình bày chi tiết

trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ nhắc lại công thức khai triển nhị

thức Newtơn và đi chú trọng các bài tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.



NỘI DUNG

1. Nhị thức Newton

Cho n là số nguyên dương, a và b là hai số thực.

n

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n k n k kn n n n n

k 0

a b C a C a b C a b ... C b C a b

Nhận xét:

- Trong khai triển na b có n + 1 số hạng.

- Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển na b bằng n.

- Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng: k n kn nC C k , k n

n n n n 1 n 1 2 n 2 2 0 nn n n na b C a C a b C a b ... C b

- Nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của a thì số hạng tổng quát thứ k + 1 trong

khai triển na b là k n k knC a b

Chú ý:

1) n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n nn n n n na b C a C a b C a b C a b ... ( 1) C b

2) n 0 1 2 3 nn n n n n2 C C C C ... C

3) 0 1 2 3 n nn n n n n0 C C C C ... ( 1) C

2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân

Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1 1 1 1

1; ; ; ;...; ;...2 3 4 n

và

mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ

ngay đến việc sử dụng tích phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp.

Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã

khai triển.

Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận.

Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng k kb a , ta chọn cận từ a đến b, tức là

b

a

f x dx



Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:

b bn 0 1 2 2 n n

n n n n

a a

b bn 1 2 3 n 10 1 2 nn n n n

aa

1) 1 x dx C C x C x ... C x dx

1 x x x xC x C C ... C

n 1 2 3 n 1

b bn n0 1 2 2 n n

n n n n

a a

b bn 1 2 3 n 1n0 1 2 n

n n n n

aa

2) 1 x dx C C x C x ... 1 C x dx

1 x x x xC x C C ... 1 C

n 1 2 3 n 1

b bn 0 n 1 n 1 2 n 2 n

n n n n

a a

b bn 1 n 1 n n 10 1 2 nn n n n

aa

3) x 1 dx C x C x C x ... C dx

x 1 x x xC C C ... C

n 1 n 1 n n 1

b b

n n0 n 1 n 1 2 n 2 nn n n n

a a

4) x 1 dx C x C x C x ... 1 C dx

b bn 1 n 1 n n 1n0 1 2 n

n n n n

aa

x 1 x x xC C C ... 1 C

n 1 n 1 n n 1

Ta sẽ gọi hàm số ny x 1 và ny x 1 là các hàm đa thức cơ bản.

3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân

3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản

Bài 1. Cho *n . Tính tổng: 2 3 n 1

0 1 2 nn n n n

2 1 2 1 2 1S C C C ... C

2 3 n 1

(ĐH Khối B-2003)

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một

đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích



phân, các cận và số được thay vào cho biến. Vì số hạng cuối cùng có hệ số n 12 1

n 1

nên ta biết cận từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng 2

n

1

1 x dx

Giải

Ta có n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1 x C C x C x C x ... C x

Suy ra 2 2

n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n

1 1

1 x dx C C x C x C x ... C x dx

2 2n 1

0 1 2 2 3 n n 1n n n n

11

n 1 n 1 2 3 n 10 1 2 nn n n n

1 x 1 1 1C x C x C x ... C x

n 1 2 3 n 1

3 2 2 1 2 1 2 1C C C ... C

n 1 2 3 n 1

Vậy 2 3 n 1 n 1 n 1

0 1 2 nn n n n

2 1 2 1 2 1 3 2S C C C ... C

2 3 n 1 n 1

Bài 2. Cho *n . Chứng minh rằng:

n 10 1 2 nn n n n

1 1 1 2 1C C C ... C

2 3 n 1 n 1

(ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000)

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân.

Tổng không đan dấu, ta sử dụng 1

n

0

1 x dx

Giải

Xét n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1 x C C x C x C x ... C x

1n 11 n 1n

0 0

1 x 2 11 x dx

n 1 n 1

(1)

1

0 1 2 2 3 3 n nn n n n n

0

C C x C x C x ... C x dx



10 1 2 2 3 n n 1n n n n

0

1 1 1C x C x C x ... C x

2 3 n 1

0 1 2 nn n n n

1 1 1C C C ... C

2 3 n 1

(2)

Từ (1) và (2) suy ra n 1

0 1 2 nn n n n

1 1 1 2 1C C C ... C

2 3 n 1 n 1


n n0 1 2 2 3 n n 1n n n n

1 1 1 12C C 2 C 2 ... 1 C 2 1 1

2 3 n 1 n 1

(ĐH Giao thông Vận tải - 1996)

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Vì

số hạng cuối cùng có hệ số n 12

n 1

nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử

dụng 2

n

0

1 x dx

Giải

Xét n n0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1 x C C x C x C x ... 1 C x

2n 12n n

0 0

1 x 11 x dx 1 1

n 1 n 1

(3)

2

n0 1 2 2 3 3 n nn n n n n

0

C C x C x C x ... 1 C x dx

2

n0 1 2 2 3 n n 1n n n n

0

1 1 1C x C x C x ... 1 C x

2 3 n 1

n0 1 2 2 3 n n 1n n n n

1 1 1C 2 C 2 C 2 ... 1 C 2

2 3 n 1

(4)

Từ (3) và (4) suy ra

n n0 1 2 2 3 n n 1n n n n

1 1 1 12C C 2 C 2 ... 1 C 2 1 1

2 3 n 1 n 1




n1 2 3 nn n n n

n-1 2 +11 2 3 nC + C + C + ...+ C =

2 3 4 n+1 n+1

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số

hạng cuối cùng có hệ số n

n 1 nên ta không thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để

tính tích phân. Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k

n n

k 1C = 1- C

k+1 k+1

, cho ta

tổng 1 2 3 n 1 2 3 nn n n n n n n n

1 1 1 1C +C +C +...+C - C + C + C +...+ C

2 3 4 n+1

.

Từ đó, ta sử dụng 2

nn

1

2 1 x dx

Giải

Cách 1: Xét số hạng tổng quát trong vế trái k k

n n

k 1C = 1- C

k+1 k+1

với k = 0, 1, 2,…,n.

Do đó,

1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 nn n n n n n n n n n n n

1 2 3 n 1 1 1 1C + C + C +...+ C = C +C +C +...+C - C + C + C +...+ C2 3 4 n+1 2 3 4 n+1

= nn+11

nn n

0

n-1 2 +12 -12 - 1+x dx=2 - =

n+1 n+1

Cách 2: Xét n 0 1 2 2 3 3 n n

n n n n n1+x =C +C x+C x +C x +...+C x

Lấy đạo hàm hai vế ta được: n-1 1 2 3 2 n n-1n n n nn 1+x =C +2C x+3C x +...+nC x

Ta có 1 1 1

n-1 n-1 n n-1

0 0 0

nx 1+x dx= n 1+x-1 1+x dx=n 1+x - 1+x dx

1n+1 n n

n+1 n

0

1+x 1+x n-1 2 +1n= n - = 2 -1 - 2 -1 = (5)

n+1 n n+1 n+1

1

1 2 3 2 n n-1 1 2 3 nn n n n n n n n

0

1 2 3 nC +2C x+3C x +...+nC x dx= C + C + C +...+ C

2 3 4 n+1 (6)



Từ (5) và (6) suy ra n

1 2 3 nn n n n

n-1 2 +11 2 3 nC + C + C + ...+ C =

2 3 4 n+1 n+1


2n1 3 5 2n 12n 2n 2n 2n

1 1 1 1 2 1C C C ... C

2 4 6 2n 2n 1

(ĐH khối A - 2007)

Giải

Xét các khai triển

2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x (7)

2n 0 1 2 2 3 3 2n 2nn 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x (8)

Trừ vế theo vế (7) và (8) ta được:

2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 12n 2n 2n1 x 1 x 2 C x C x ... C x

2n 2n1 3 3 2n 1 2n 12n 2n 2n

1 x 1 xC x C x ... C x

2

Suy ra

2n 2n1 11 3 3 2n 1 2n 12n 2n 2n

0 0

1 x 1 xdx C x C x ... C x dx

2

1

12n 1 2n 11 2 3 4 2n 1 2n2n 2n 2n

00

1 x 1 x 1 1 1C x C x ... C x

2(2n 1) 2 4 2n

2n1 3 5 2n 12n 2n 2n 2n

1 1 1 1 2 1C C C ... C

2 4 6 2n 2n 1

Nhận xét: Nếu phải tính tổng 0 2 4 2n2n 2n 2n 2n

1 1 1C + C + C +...+ C

3 5 2n+1 thì ta xét

2n 2n

0 2 2 2n 2n

2n 2n 2n

1+x + 1-xP x = =C +C x +...+C x

2

Sau đó tính tích phân 1

0

P x dx .

Còn nếu phải tính tổng 0 2 4 2n2n 2n 2n 2n

1 1 1 1C + C + C +...+ C2 4 6 2n+2

thì ta lại xét

0 2 3 2n 2n+12n 2n 2nQ x =x.P x =C x+C x +...+C x



Sau đó tính tích phân 1

0

Q x dx . Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo.


2n 10 2 4 2n2n 2n 2n 2n

2 2 2 22C C C ... C

3 5 2n 1 2n 1

Giải

Xét 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x

12n 11 2n 1

2n

1 1

1 x 21 x dx

2n 1 n 1

(9)

10 1 2 2 3 3 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n

1

C C x C x C x ... C x dx

10 1 2 2 3 3 4 2n 2n 12n 2n 2n 2n 2n

1

1 1 1 1C x C x C x C x ... C x

2 3 4 2n 1

0 2 4 2n2n 2n 2n 2n

2 2 22C C C ... C

3 5 2n 1

(10)

Từ (9) và (10) suy ra 2n 1

0 2 4 2n2n 2n 2n 2n

2 2 2 22C C C ... C

3 5 2n 1 2n 1

3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước

Đối với dạng này, thông thường trong một câu có hai ý: ý thứ nhất yêu cầu tính

tích phân và ý thứ hai là chứng minh đẳng thức tổ hợp hoặc tính tổng. Khi đó, ta linh

hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau.

Bài 1. Cho 2 n .

a) Tính 1 n2 3

0

I x 1 x dx

b) Chứng minh rằng: n 1

0 1 2 nn n n n

1 1 1 1 2 1C C C ... C

3 6 9 3(n 1) 3(n 1)

(ĐH Mở Hà Nội - 1999)

Giải



a) Đặt 3 2dtt 1 x x dx

3

Đổi cận x 0 t 1 ; x 1 t 2

Khi đó,

22 n 1 n 1n

1 1

1 1 t 2 1I t dx

3 3 n 1 3(n 1)

(11)

b) Xét 1

2 0 1 3 2 6 3 9 n 3nn n n n n

0

I x C C x C x C x ... C x dx

1

0 2 1 5 3 8 5 11 n 3n 2n n n n n

0

C x C x C x C x ... C x dx

1

0 3 1 6 2 9 n 3n 3n n n n

0

1 1 1 1C x C x C x ... C x

3 6 9 3n 3

0 1 2 nn n n n

1 1 1 1C C C ... C

3 6 9 3(n 1)

(12)

Từ (11) và (12) suy ran 1

0 1 2 nn n n n

1 1 1 1 2 1C C C ... C

3 6 9 3(n 1) 3(n 1)

Bài 2. Cho *n .

a) Tính tích phân 1

n2

0

x 1-x dx

b) Chứng minh rằng:

n

0 1 2 3 nn n n n n

-11 1 1 1 1C - C + C - C +...+ C =2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)

(ĐH Luật, ĐH Bách Khoa Hà Nội - 1997)

Giải

a) Đặt 2 dtt 1 x xdx

2

Đổi cận x 0 t 1 ; x 1 t 0

Khi đó,

10 n 1n

1 0

1 1 t 1I t dx

2 2 n 1 2(n 1)

(13)

b) Xét 1

n0 1 2 2 4 3 6 n 2nn n n n n

0

I x C C x C x C x ... 1 C x dx



1

n0 1 3 2 5 3 7 n 2n 1n n n n n

0

C x C x C x C x ... 1 C x dx

1

0 2 1 4 1 6 1 2n 2n n n n

0

1 1 1 1C x C x C x ... C x

2 4 6 2n 2

n0 1 2 nn n n n

1 1 1 1C C C ... 1 C

2 4 6 2(n 1)

(14)


n

0 1 2 3 n

n n n n n

-11 1 1 1 1C - C + C - C +...+ C =2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)

Bài 3. Cho *n .


n2n

0

I = 1-x dx


n

1 2 3 n

n n n n

-1 2n !!1 1 11- C + C - C +...+ C =3 5 7 2n+1 2n+1 !!

Giải

a) Đặt n n 1

2 2u 1 x du 2nx 1 x dx

dv dx v=x

Khi đó,

1 1n n 12 2 2

n0 0

1 1n 1 n 12 2 2

0 0

n 1 n

n

n 1

I x 1 x 2nx 1 x dx

2n 1 x dx- 1-x 1 x dx

2n I I

I 2n

I 2n 1

Do đó,

n n 1 1

n 1 n 2 0

2 n 1 2n !!I I I 2n 2. ..... . .....

I I I 2n 1 2n 1 3 2n 1 !!

Suy ra

n 0

2n !! 2n !!I I

2n 1 !! 2n 1 !!

(15)



b) Xét 1 1n n2 0 1 2 2 4 3 6 n 2n

n n n n n

0 0

I= 1-x dx C C x C x C x ... 1 C x dx

1n0 1 3 2 5 3 7 n 2n 1

n n n n n0

n1 2 3 nn n n n

1 1 1 1C x C x C x C x ... 1 C x

3 5 7 2n 1

-11 1 11- C + C - C +...+ C (16)

3 5 7 2n+1


n

1 2 3 nn n n n

-1 2n !!1 1 11- C + C - C +...+ C =3 5 7 2n+1 2n+1 !!

3.3. Tính tích phân của hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng

Khi bài toán cho mà số hạng tổng quát không phải là kn

1C

k+1 mà là k

n1

Ck+2

thì ta

phải nhân thêm x vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, còn nếu là

kn

1C

k+3 thì ta phải nhân thêm x2 vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân,…


n 10 1 2 nn n n n

1 1 1 1 n2 1C C C ... C

2 3 4 n 2 n 1 n 2


hạng cuối cùng có hệ số kn

1C

k+2 thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước

khi tính tích phân. Khi đó, ta sử dụng 1

n

0

x 1 x dx .

Giải

Xét n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n nx 1 x x C C x C x C x ... C x

1 1 1n n 1 n

0 0 0

1n 2 n 1

0

x 1 x dx 1 x dx 1 x dx

1 x 1 x

n 2 n 1



n 2 n 1 n 12 1 2 1 n2 117

n 2 n 1 n 1 n 2

1 1n 0 1 2 2 3 3 n n

n n n n n

0 0

10 1 2 2 3 3 4 n n 1n n n n n

0

x 1 x dx x C C x C x C x ... C x dx

C x C x C x C x ... C x dx

10 2 1 3 2 4 n n 2n n n n

0

1 1 1 1C x C x C x ... C x

2 3 4 n 2

0 1 2 nn n n n

1 1 1 1C C C ... C

2 3 4 n 2

(18)


n 10 1 2 nn n n n

1 1 1 1 n2 1C C C ... C

2 3 4 n 2 n 1 n 2


n0 1 2 nn n n n

1 1 1 1 1C C C ... 1 C

2 3 4 n 2 n 1 n 2


hạng cuối cùng có hệ số kn

1C

k+2 thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước

khi tính tích phân. Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng 1

n

0

x 1 x dx .

Giải

Xét n n0 1 2 2 3 3 n nn n n n nx 1 x x C C x C x C x ... 1 C x

Đặt u 1 x du dx

Đổi cận x 0 u 1 ; x 1 u 0

Khi đó, 11 1 n 1 n 2

n n

0 0 0

u ux 1 x dx 1 u u dx

n 1 n 2

1 1 1

19n 1 n 2 n 1 n 2



1 1n n0 1 2 2 3 3 n n

n n n n n

0 0

1n0 1 2 2 3 3 4 n n 1

n n n n n

0

x 1 x dx x C C x C x C x ... 1 C x dx

C x C x C x C x ... 1 C x dx

1

n0 2 1 3 2 4 n n 2n n n n

0

1 1 1 1C x C x C x ... 1 C x

2 3 4 n 2

n0 1 2 nn n n n

1 1 1 1C C C ... 1 C

2 3 4 n 2

(20)


n0 1 2 nn n n n

1 1 1 1C C C ... 1 C

2 3 n 1 n 1 n 2

4. Bài tập đề nghị


n0 1 2 nn n n n

1 1 1 1C C C ... 1 C

2 3 n 1 n 1

HD: Vì tổng đan dấu và hệ số 1

n 1gắn với n

nC nên sử dụng 1

n

0

1 x dx


nn0 1 2 n

n n n n

11 1 1C C C ... 1 C

n 1 n n 1 n 1

HD: Vì tổng đan dấu và hệ số 1

n 1gắn với 0

nC nên sử dụng 1

n

0

x 1 dx


n 10 1 2 2 3 n n n 1n n n n

1 1 1 3 12C C 2 C 2 ... C 2

2 3 n 1 n 1

(ĐH Đà Nẵng - 2001)

HD: Sử dụng 2

n

0

1 x dx

Bài 4. Tính tổng: 0 1 2 nn n n n

1 1 1 1S C C C ... C

3 4 5 n 3



HD: Sử dụng 0

n2

0

x 1 x dx

Bài 5. Chứng minh rằng:

a) n+1 n+1n n

k k k 1n n

k=0 k=0

1+e 1 2 1+ C + C e

n+1 k+1 n+1 k+1

b)

2n+2 n+1n nk kn nk 1 n 1

k=0 k=0

1 1 2 3C C

k+1 k+1 2 n+1 2

Bài 6. Đặt n1 1 1 1

S 1 ...2 3 4 n

. Chứng minh rằng:

a) n 11 2 3 4 nn n n n n n

1 1 1 1S C C C C ... 1 C

2 3 4 n

b) n 1

n1 2 n 1n n n 1 n n 2 n 1

1S C S C S ... 1 C S

n

Bài 7. Tính tổng n0 1 2

nn n n1 1 1 11 2 3 n 1

n 1 .C1.C 2.C 3.CS ...

A A A A

, biết 0 1 2

n n nC C C 211

HD: Phân tích 0 1 2 3 n 1 2 nn n n n n n n n

1 1 1S C C C C ... C C C ... C

2 3 n 1



THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1. Kết quả từ thực tiễn

Trước khi dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát cả ba lớp mà mình đang

đảm nhiệm. Qua kết quả khảo sát, tôi thấy rằng phần lớn học sinh không làm được

các bài toán nêu ra. Học sinh không làm được là tất nhiên vì các l ý do sau:

+ Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để

giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày.

+ Các kiến thức của Đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11, học sinh đã quên.

+ Học sinh chưa định hình được cách giải.

Tuy nhiên, trước khi bắt đầu dạy thực nghiệm, tôi đã yêu cầu học sinh ôn tập

lại các kiến thức của Đại số tổ hợp. Trong khi giảng dạy, tôi hướng dẫn học sinh tỉ

mỉ cách nhận biết bài toán tổ hợp vận dụng được tích phân, phân tích các yếu tố có

trong bài toán để từ đó đưa ra hàm lấy tích phân, các cận của tích phân và thay số

tương ứng để đi đến lời giải đúng.

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài toán

có sử dụng tích phân để giải thì các em đã thận trọng trong khi đi tìm hàm lấy tích

phân và trình bày lời cho bài toán đặt ra.

2. Kết quả thực nghiệm

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012-2013.

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả

thi và hiệu quả của đề tài.

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường

THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.

+ Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), được áp dụng sáng kiến.

+ Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến.

Sau khi dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, còn không dạy thực nghiệm ở

lớp 12A3, tôi cho cả 3 lớp làm bài kiểm tra.

Với kết quả như sau:



Xếp loại

Đối tượng Giỏi Khá Tb Yếu Kém

12A1 10,9% 26,1% 34,8% 15,2% 13,0%

12A2 9,1% 22,7% 36,4% 18,2% 13,6%

12A3 0% 0% 13,6% 25,0% 61,4%

Vì như đã nêu ở trên nên đa số các em lớp 12A3 làm không được, chỉ tính

được tích phân ở Bài 3. Còn lớp 12A1, 12A2, do các em đã được trang bị các kiến

thức và phương pháp giải quyết vấn đề nên phần lớn các em biết cách làm. Do đó,

kết quả kiểm tra cho ta sự khác biệt giữa lớp dạy thực nghiệm và lớp không dạy thực

nghiệm.

Đề kiểm tra khảo sát 45 phút

SỞ GDĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM

TRƯỜNG THPT SỐ 1 BỐ TRẠCH Thời gian làm bài: 45 phút

Họ và tên:………………………………………………………………………….Lớp: 12A…

Bài 1. (2,0 điểm) Chứng minh rằng:

20130 2 4 20122013 2013 2013 2013

1 1 1 2C C C ... C

3 5 2013 2014

Bài 2. (2,0 điểm) Tính tổng: n0 1 2 nn n n n

1 1 1 1S C C C ... 1 C

n 3 n 2 n 1 3

Bài 3. (4,0 điểm) Cho *n .


n2

0

x 1+x dx


n n+10 1 2 3 n

n n n n n

1 1 1 1 1 2 -1C + C + C + C +...+ C =2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)

Bài 4. (2,0 điểm) Tìm hệ số chứa 2x trong khai triển

n

4

1x

2 x

, biết n là số

nguyên dương thỏa mãn 2 3 n 1

0 1 3 nn n n n

2 2 2 65602C C C ... C

2 3 n 1 n 1



Hướng dẫn:

Bài 1. Sử dụng 1

2013

1

1 x dx


n2

0

x x 1 dx

Bài 3. a) Đặt 2u 1 x .

b) Từ câu a), ta khai triển n

2x 1+x và tính tích phân cả hai vế.

Ta có thể rút gọn 1

2 và sử dụng

1n

0

1 x dx


n

0

1 x dx . Kết quả: Hệ số cần tìm là 21

4.



KẾT LUẬN

Trong các đề thi Đại học và Cao đẳng có nhiều dạng toán mà trong chương

trình sách giáo khoa không được giới thiệu, trên cơ sở những kinh nghiệm của bản

thân trong quá trình dạy học lớp 12, tôi đã mạnh dạng đưa ra một số bài tập của Đại

số tổ hợp có ứng dụng tích phân để giới thiệu cho các em trên lớp và hy vọng vấn đề

này trong những năm học tiếp theo học sinh được biết đến trên lớp và trong nội dung

của chương trình học.

Do sự hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy và nghiên cứu,

trong sáng kiến này không thể tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý, bổ sung

của quý thầy cô và các bạn để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn.



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2009.

2. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản giáo

dục 2009.

3. Phạm Trọng Thư, Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học môn Toán, Nhà xuất bản Đại

học Sư phạm 2012.

4. Nguyễn Đức Hoàng, Giới thiệu nhanh đề thi toán học, Toán, Nhà xuất bản Đại

học Sư phạm 2010

5. Võ Thanh Văn (chủ biên), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong giải

toán THPT, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2009.

6. Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất bản tri

thức 2006.

----------- HẾT ---------

Documents

[Vnmath.com] skkn 2012-2013--quyet