[Vnmath.com] Lg 11

Baøi taäp haøm soá löôïng giaùc & Phöông trình löôïng giaùc

Leâ Xuaân Hieáu – 0966004478 [email protected] 1

KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ LÖÔÏNG GIAÙC

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

0

6

4

3

2

2

3

3

4

5

6

sin 0

1

2

2

2

3

2

1 3

2

2

2

1

2

0

cos 1 3

2

2

2

1

2

0

1

2

2

2

3

2

1

tan 0 3

3

1 3 || , 3 1 3

3

0

cot || , 3 1 3

3

0 3

3

1 3 || ,

www.VNMATH.com



1800

2100

2250

2400

2700

3000

3150

3300

3600

7

6

5

4

4

3

3

2

5

3

7

4

11

6

2

sin 0

1

2

2

2

3

2

1 3

2

2

2

1

2

0

cos 1 3

2

2

2

1

2

0

1

2

2

2

3

2

1

tan 0 3

3

1 3 || , 3 1 3

3

0

cot || , 3 1 3

3

0 3

3

1 3 || ,

A. Caùc heä thöùc Löôïng Giaùc Cô Baûn

2 2sin cos 1 R

tan .cot 1 k ,k Z

2

1

tan k ,k Z

cot 2

1

cot k ,k Z

tan 2

2

2

11 tan k ,k Z

2cos

2

2

11 cot k ,k Z

sin

Heä quaû

2 2

sin 1 cos 2 2

cos 1 sin

1

tan

cot

1

cot

tan

www.VNMATH.com



B. Giaù Trò Caùc Cung Goùc Lieân Quan Ñaëc Bieät

1. Hai cung ñoái nhau (Tính ñoái xöùng)

2. Hai cung buø nhau

3. Hai cung khaùc nhau 2 (Tính tuaàn hoaøn)

4. Hai cung khaùc nhau

5. Hai cung phuï nhau (Tính tònh tieán)

sin x cosx

2

cos x sinx

2

tan x cot x

2

cot x tanx

2

sin( x) sinx

tan( x)

cos( x) cos

tanx

cot( x) cot x

x

cos( x) cosx

tan( x

sin( x) sinx

) tanx

cot( x) cot x

sin(x 2 ) sinx

cos(x 2 ) cosx

tan(x 2 ) tanx

cot(x 2 ) cot x

sinx sin(x k2 )

cosx cos(x k2 )

tanx tan(x k )

cot x cot(x k )

k Z

sin( x) sinx cos( x) cosx

tan( x) tanx cot( x) cot x

www.VNMATH.com



C. Baûng giaù tri löôïng giaùc

1. Tìm giaù trò löôïng giaùc theo baûng

Nhö treân

2. Tìm giaù trò löôïng giaùc theo ñöôøng troøn löôïng giaùc

a. Theo truïc sin

cos

sin

O

A

www.VNMATH.com



b. Theo truïc cos

cos

sin

O

A

www.VNMATH.com



c. Theo truïc tan

cos

sin tan

O

A

www.VNMATH.com



d. Theo truïc cot

cos

sin

cot

O

A

www.VNMATH.com



D. Coâng thöùc löôïng giaùc

1. Coâng thöùc coäng

Vôùi moïi cung coù soá ño , ta coù:

2. Coâng thöùc nhaân ñoâi

3. Coâng thöùc nhaân ba

cos a b cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

tan tan

tan

1 tan .tan

tan tan

tan

1 tan .tan

1 tan tan

cot

tan tan

1 tan tan

cot

tan tan

sin2 2sin cos 1

sin cos sin

2

2 2

2

2

cos2 cos sin

2cos 1

1 2sin

2

2tantan2

1 tan

3

sin3 3sin 4sin

3

cos3 4cos 3cos

www.VNMATH.com



4. Coâng thöùc haï baäc

2 1 cos2

tan

1 cos2

2 2 1 cos4

sin cos

8

6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích

2 1 cos2

cos 2

2

2 1 cos2

sin 2

2

3 3sin sin3

sin

4

3 3cos cos3

cos

4

4 cos4 4cos2 3

sin

8

4 cos4 4cos2 3

cos

8

cos cos 2cos cos

2 2

cos cos 2sin sin

2 2

sin sin 2sin cos

2 2

sin sin 2cos sin

2 2

www.VNMATH.com



7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång

Coâng thöùc nghieäm

1

cos .cos cos( ) cos( )

2

1

sin .sin cos( ) cos( )

2

1

sin .cos sin( ) sin( )

2

1

cos .sin sin( ) sin( )

2

u v k2

sin u sinv ,k Z

u v k2

u v k2

cosu cosv ,k Z

u v k2

tanu tanv u v k ,k Z

cot u cot v u v k ,k Z

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

cos sin 2 cos 2 sin

4 4

sin( )

tan tan , k ,k Z

cos .cos 2

sin( )

tan tan , k ,k Z

cos .cos 2

www.VNMATH.com



Coâng thöùc nghieäm ñaëc bieät

Ñeà kieåm tra 1 tieát (Chöông trình chuaån)

Ngaøy 6 thaùng 10 naên 2011

Ñeà baøi. (Ñeà soá 1)

Caâu 1. (2 ñieåm) Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá

a. y tan x 1 b. x.sin3x

y

cos2x

Caâu 2. (2 ñieåm) Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuû haøm soá

3y cos 2x 1 2

Caâu 3. (6 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình

a. 2sin 3x 3 0

5

b. 0 0

cos x 30 3sin x 30 1

c. tan3x 3cot3x 2 0 d. 4 4

sin x cos x sin2x

Ñeàø baøi. (Ñeà soá 2)


a. y cot x 3 b. x.cos3x

y

sin2x

Caâu 2. (2 ñieåm) Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá

y 3sin 2x 1 2


a. 2cos 3x 3 0

5

b. 0 0

sin x 30 3 cos x 30 1

c. 2

tan 3x 3tan3x 2 0 d. 4 4

sin x cos x 2cos2x 0

sin u 1 u k2

2

sin u 1 u k2

2

sinu 0 u k cosu 0 u k

2

cosu 1 u k2 cosu 1 u k2

www.VNMATH.com



Ñeà baøi. (Ñeà soá 3)


a. sinx

y

1 2cos

b. y tan x

5


a. 0 02sin x 30 2, x 0;90 b.

22cos x 3sinx 1 0

c. sin4x 3 cos4x 3 d. cotx 3tanx 2 0


3y 3sin x x 2 2

Ñeà baøi. (Ñeà 4)


a. sinx

y

1 2sinx

b. y cot x

5


a. 0 02cos x 30 2, x 0;90 b.

22sin x 3sinx 1 0

c. 3sin2x cos2x 3 d. tanx 3cotx 2 0


2

y 2 3cos (x 1)

www.VNMATH.com



PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn theo sin

Baøi 1. (Hoïc sinh töï giaûi töông töï)

a. 1

sin 2x

3 2

b. 0 2

sin 2x 10

2

c. sin 2x sin x

3 4

d. sin 2x cos2x

6

e. sin x cos x

6 3

f. sin 2x 1

6

_____Giaûi_____

a. 1

sin 2x

3 2

sin 2x sin

3 6

2x k2

3 6

2x k2

3 6

2x k2

3 6

2x k2

3 6

2x k2

2

52x k2

6

x k

4, k Z

5x k

12

a. 1

sin 2x

3 2

b. 0 2

sin 2x 10

2

c. sin 2x sin x

3 4

d. sin 2x cosx

5

e. 2

sin x cos x

3 3

f. sin 2x =1

3

www.VNMATH.com



b. 0 2sin 2x 10

2

0 0sin 2x 10 sin45

0 0 0

0 0 0 0

2x 10 45 k360,k Z

2x 10 180 45 k360

0 0 0

0 0 0 0

2x 10 45 k360,k Z

2x 10 180 45 k360

0 0

0 0

2x 55 k360,k Z

2x 145 k360

0 0

0 0

x 27 30 k180,k Z

x 72 30 k180

c. sin 2x sin x

3 4

2x x k2

3 4,k Z

2x x k2

3 4

2x x k2

3 4,k Z

2x x k2

3 4

7x k2

3,k Z

113x k2

12

7x k2

3,k Z

11 2x k

36 3

d.

sin 2x cosx

5

sin 2x sin x

5 2

2x x k2

5 2,k Z

2x x k2

5 2

www.VNMATH.com



2x x k2

5 2,k Z

2x x k2

5 2

33x k2

10,k Z

3x k2

10

2x k

10 3,k Z

3x k2

10

e. 2

sin x cos x

3 3

2

sin x sin x

3 2 3

sin x sin x

3 6

x x k2

3 6

x x k2

3 6

0.x k2

3 6

72x k2

3 6

0.x k2 ,(pt vn)

3 4

52x k2

6

5

x k , k Z

12

f. =1sin 2x

3

2x k2 ,k Z

3 2

2x k2 ,k Z

3 2

5

2x k2 ,k Z

6

5x k ,k Z

12

www.VNMATH.com



Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn theo cos

Baøi 2 (Hoïc sinh töï giaûi)

A. 2cos2x 1 0 B. 2cos3x 2 0

C. 2

cos 2x cos x

6 3

D. cos 2x cos

5 5

E. cos x sinx

3

F. cos 2x =sin2x

3

_____Giaûi_____

a. 1

cosx

2

2

cosx cos

3

2x k2 ,k Z

3

b. 2

cos3x

2

3

cos3x cos

4

33x k2 ,k Z

4

2

x k ,k Z

4 3

c.

3cos 2x cos x

3 4

32x x k2

3 4

32x x k2

3 4

32x x k2

3 4

32x x k2

3 4

a. 1

cosx

2

b. 2

cos3x

2

c. 3

cos 2x cos x

3 4

d.

2cos 2x cos

5 7

e. cos x sinx

3

f. cos x =sin5x

3

www.VNMATH.com



5x k2

12, k Z

133x k2

12

5x k2

12, k Z

13 2x k

36 3

d. 2

cos 2x cos

5 7

22x k2

5 7

22x k2

5 7

22x k2

5 7

22x k2

5 7

32x k2

35

172x k2

35

3x k

70, k Z

17x k

70

e. cos x sinx

3

cos x cos x

3 2

x x k2

3 2

x x k2

3 2

x x k2

3 2

x x k2

3 2

0.x k2 ,pt vn

6

52x k2

6

5

2x k2 , k Z

6

5

x k , k Z

12

f. cos x sin5x

3

cos x cos 5x

3 2

x 5x k2

3 2

x 5x k2

3 2

www.VNMATH.com



x 5x k2

3 2

x 5x k2

3 2

56x k2

6

4x k2

6

5x k

36 3, k Z

x k

24 2

Baøi 3. Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn theo tan

Baøi 3. (Hoïc sinh töï giaûi)

a. tanx 3 0 b. 03tan 3x 60 3 0

c. 2

tan x 1 0

3

d.

2xtan 3 0

3 5

e. 3 cot 2x 3 0

3

f.

42011cot 3x 0

3

_____Giaûi_____

a. tanx 3 tanx tan

3

x k ,k Z

3

a. tanx 3 b. 03x 3

tan 60

2 3

c. 2

tan x 1

3

d.

2xtan 3

3 5

e. cot 2x 3

3

f.

4cot 3x 0

3

www.VNMATH.com



b. 0

3x 3tan 60

2 3

0 03xtan 60 tan 30

2

0 0 03x

60 30 k180 ,k Z

2

0 0 03x

60 30 k180 ,k Z

2

0 03x

30 k180 ,k Z

2

0 0

3x 60 k360 ,k Z

0 0

x 20 k120 ,k Z

c. 2

tan x 1

3

2x k ,k Z

3 4

2

x k ,k Z

3 4

11x k ,k Z

12

d. 2x

tan 3

3 5

2x

arctan 3 k ,k Z

3 5

2x

arctan 3 k ,k Z

3 5

3

2x 3arctan 3 k3 ,k Z

5

3 3 3

x arctan 3 k ,k Z

10 2 2

e. cot 2x 3

3

cot 2x cot

3 6

2x k ,k Z

3 6

www.VNMATH.com



2x k ,k Z

3 6

2x k ,k Z

6

x k ,k Z

12 2

f. 4

cot 3x 0

3

4

3x k ,k Z

3 2

43x k ,k Z

3 2

5

3x k ,k Z

6

5x k ,k Z

18 3

Baøi 4. Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc bieán ñoåi veà cô baûn

Baøi 4. (Hoïc sinh töï giaûi)

a. 02cos 3x 10 2 0 b. 4sin x 2 0

3

c. 3 tan 2x 3 0

4

d. 0

5cot 3x 15 1

_____Giaûi_____

a. 2cosx 2 0

2cosx 2 2

cosx

2

cosx cos

4

x k2 ,k Z

4

b. 4sin x 2 0

4

4sin x 2

4

1sin x

4 2

a. 2cosx 2 0 b. 4sin x 2 0

4

c. 3 tan2x 3 0 d. 5cot3x 1

www.VNMATH.com



sin x sin

4 6

x k2

4 6, k Z

x k2

4 6

x k2

4 6, k Z

5x k2

4 6

5x k2

12, k Z

13x k2

12

c. 3 tan2x 3 0

3 tan2x 3 3

tan2x 3

3

tan2x tan

3

2x k ,k Z

3

x k , k Z

6 2

d. 5cot3x 1

1

cot3x

5

1

cot3x cot arccot

5

1

3x arccot k ,k Z

5

1 1

x arccot k ,k Z

3 5 3

Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc theo phöông trình baäc hai

a. 2

2sin x 3sinx 1 0

b. 2

cos x 4cosx 3 0

c. 2

6sin 3x 2sin3x 4 0 d. 2

tan x tanx 2 0

e. 2

5tan x 3tan x 8 0

3 3

f. 23 cot 2x 1 3 cot2x 1 0

g. 23 1 tan 2x 2 3 tan2x 3 1 0

www.VNMATH.com



_____Giaûi_____

a. 2

2sin x 3sinx 1 0

sinx 1

1sinx

2

x k2

2

sinx sin

6

x k2

2

x k2 ,k Z

6

5x k2

6

b. 2

cos x 4cosx 3 0

cosx 1

cosx 3,pt vn

cosx 1 x k2 , k Z

c. 2

6sin 3x 2sin3x 4 0

sin3x 1

2sin3x

3

3x k2

2

23x arcsin k2 ,k Z

3

23x arcsin k2

3

2x k

6 3

1 2 2x arcsin k ,k Z

3 3 3

1 2 2x arcsin k

3 3 3 3

d. 2

tan x tanx 2 0

tanx 1

tanx 2

x k, k Z4

x arctan2 k

e. 2

5tan x 3tan x 8 0

3 3

www.VNMATH.com



tan x 1

3

8tan x

3 5

x k

3 4,k Z

8x arctan k

3 5

x k

3 4,k Z

8x arctan k

3 5

7x k

12,k Z

8x arctan k

3 5

f. 2

3 cot 2x 1 3 cot2x 1 0

cot x 1

1 3cot x

33

x k

4,k Z

2cot x cot

3

x k

4,k Z

2x k

3

g. 2

3 1 tan 2x 2 3 tan2x 3 1 0

tan2x 1

3 1tan2x 2 3

3 1

2x k

4, k Z

tan2x tan

12

x k

8 2, k Z

2x k

12

x k

8 2, k Z

x k

24 2

www.VNMATH.com



Baøi 6. Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc theo phöông trình baäc hai

_____Giaûi_____

a. 2

cos 2x sin2x 1 0

2

1 sin 2x sin2x 1 0 2

sin 2x sin2x 2 0

sin2x 1

sin2x 2 , pt vn

sin2x 1

2x k2 ,k Z

2

x k ,k Z

4

b. 2

3sin 3x 7cos3x 3 0

23 1 cos 3x 7cos3x 3 0

23cos 3x 7cos3x 6 0

cos3x 3,pt vn

2cos3x

3

2

cos3x

3

23x arccos k2

3

,k Z

23x arccos k2

3

1 2 2x arccos k

3 3 3

,k Z

1 2 2x arccos k

3 3 3

c. 2

6cos x 5sinx 7 0

26 1 sin x 5sinx 7 0

a. 2

cos 2x sin2x 1 0 b. 2

3sin 3x 7cos3x 3 0

c. 2

6cos x 5sinx 7 0 d. cos2x 5sinx 3 0

e. cos2x cosx 1 0 f. 4 2

4sin x 12cos x 7

g. 2

3cot x 1 0

5

h. 7tanx 4cotx 12

www.VNMATH.com



2

6sin x 5sinx 1 0

1sin x

3

1sin x

2

1x arcsin k2

3

1x arcsin k2

3

sinx sin

6

1x arcsin k2

3

1x arcsin k2

3,k Z

x k2

6

5x k2

6

d. cos2x 5sinx 3 0

2

1 2sin x 5sinx 3 0

2

2sin x 5sinx 2 0 2

2sin x 5sinx 2 0

1sinx

2

sinx 2,pt vn

1

sinx sin

2 6

x k2

6,k Z

7x k2

6

Vaäy …

e. cos2x cosx 1 0

22cos x 1 cosx 1 0

2

2cos x cosx 0

www.VNMATH.com



cosx 0

1cosx

2

cosx 0

2cosx cos

3

x k

2,k Z

2x k2

3

Vaäy phöông trình coù ba hoï nghieäm …

f. 4 2

4sin x 12cos x 7

4 24sin x 12 1 sin x 7 0

4 2

4sin x 12sin x 5 0

2

2

5sin x ,pt vn

2

1sin x

2

2 1

sin x

2

2

sinx

2

sinx sin

4

sinx sin

4

x k2

4

3x k2

4,k Z

x k2

4

7x k2

4

x k ,k Z

4 2

Vaäy phöông trình coù moät hoï nghieäm x k ,k Z

4 2

www.VNMATH.com



g. 2

3cot x 1 0

5

2

3cot x 1

5

2 1cot x

5 3

1 3cot x

5 33

1 3cot x

5 33

2cot x cot

5 3

cot x cot

5 3

2x k

5 3,k Z

x k

5 3

2x k

5 3,k Z

x k

5 3

7x k

15,k Z

2x k

15

h. 7tanx 4cotx 12

Ñieàu kieän coù nghieäm cuûa phöông trình x k , k Z

2

Nhaân 2 veá phöông trình cho tanx, ta ñöôïc phöông trình

7tanxtanx 4tanxcotx 12tanx

2

7tan x 4.1 12tanx

2

7tan x 12tanx 4 0

tanx 2

2tanx

7

x arctan2 k

, k Z2x arctan k

7

www.VNMATH.com



Baøi 7. Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc

a. 2 2

sin x sin2x 3cos x 0 b. 2 2

6sin x sinxcosx cos x 2

c. 2

sin2x 2sin x 2cos2x

d. 2 2

2sin 2x 3sin2xcos2x cos 2x 2

e. 2 2 1

sin x sin2x 2cos x

2

f. 2 2

4sin x 3 3sin2x 2cos x 4

g. 2 23sin x 1 3 sinxcosx cos x 3 1

h. 2 2

sin x 2sinxcosx 2cos x 1

_____Giaûi_____

a. 2 2

sin x sin2x 3cos x 0

2 2sin x 2sinxcosx 3cos x 0 (*)

Neáu cosx 0 thì 2

cos x 0 ; 2

sin x 1 vaø sinx 1

Thay vaøo (*) 1 2. 1 .0 3.0 0 (khoâng thoûa)

Neân cosx 0

Chia 2 veá phöông trình cho 2

cos x , ta ñöôïc

2

tan x 2tanx 3 0

tanx 1

tanx 3

x k,k Z4

x arctan3 k

Vaäy phöông trình coù hai hoï nghieäm


_____Giaûi_____

a. 4sinx 3cosx 5 b. 3sin2x 2cos2x 3

c. 9

3cosx 2 3sinx

2

d. sin3x 3 cos3x 2

e. 2 1

sin2x sin x

2

f. 2sinx -2cosx 2

g. 5cos2x 12sin2x 13 h. x x

sin 3 cos 3

2 2

www.VNMATH.com



a. 4sinx 3cosx 5 (chia 2 veá cho 2 2

4 3 5 )

4 3

sinx cosx 1

5 5

Vì

2 2

4 31

5 5

Neân R : 4

arccos

5

nghóa laø 4

cos

5

vaø 3

sin

5

Ta ñöôïc phöông trình : sinxcos cosxsin 1

sin x 1

x k2 ,k Z

2

x k2 ,k Z

2

Vaäy phöông trình coù hoï nghieäm 4

x arccos k2 ,k Z

5 2

.

b. 3sin2x 2cos2x 3 (chia 2 2

3 2 13 )

3 2 3

sin2x cos2x

13 13 13

Vì

2 2

3 21

13 13

Neân R : 3

arccos

13

; 3

cos

13

vaø 2

sin

13

Ta ñöôïc phöông trình sin2xcos cos2xsin cos

sin 2x cos

sin 2x sin

2

2x k2

2,k Z

2x k2

2

www.VNMATH.com



2x 2 k2

2,k Z

2x k2

2

x k

4,k Z

x k

4

3x arccos k

4 13,k Z

x k

4

Vaäy phöông trình coù hai hoï nghieäm 3

x arccos k

4 13

vaø

x k

4

, k Z

c. 9

3cosx 2 3 sinx

2

6cosx 4 3sinx 9 (chia 2

26 4 3 2 21 )

3 2 3 9

cosx sinx

21 21 2 21

Vì

22

3 2 31

21 21

neân R : 3

arccos

21

Nghóa laø 3

cos

21

vaø 2 3

sin

21

Ta ñöôïc phöông trình

9

cosxcos sinxsin

2 21

9

cos x

2 21

cos x cos vôùi 9

arccos

2 21

x k2

,k Z

x k2

www.VNMATH.com



d. sin3x 3 cos3x 2 (Chia 2

21 3 4 2 )

1 3

sin3x cos3x 1

2 2

sin3xcos cos3xsin 1

3 3

sin 3x 1

3

3x k2 ,k Z

3 2

3x k2 ,k Z

3 2

5

3x k2 ,k Z

6

5 2x k ,k Z

18 3

e. 2

1sin2x sin x

2

2

2sin2x 2sin x 1 1 cos2x

2sin2x 2. 1

2

2sin2x 1 cos2x 1

2sin2x cos2x 0 (chia 2 2

2 1 5 )

2 1

sin2x cos2x 0

5 5

Vì

2 2

2 11

5 5

neân R cao cho

2arccos

5

Nghóa laø 2

cos

5

vaø 1

sin

5

Ta ñöôïc phöông trình

sin2xcos cos2xsin 0

sin 2x 0

2x k ,k Z

2x k ,k Z

1

x k ,k Z

2 2

Vaäy phöông trình coù nghieäm 1 2

x arccos k ,k Z

2 25

www.VNMATH.com



f. 2sinx 2cosx 2

2 sinx cosx 2 2 2 sin x 2

4

1

sin x

4 2

sin x sin

4 6

x k2

4 6,k Z

5x k2

4 6

x k2

4 6,k Z

5x k2

4 6

5x k2

12,k Z

13x k2

12

g. 5cos2x 12sin2x 13 (hoïc sinh töï giaûi töông töï)

h. x x

sin 3 cos 3

2 2

(hoïc sinh töï giaûi töông töï)


a. sinx.sin7x sin3x.sin5x b. sin5x.cos3x sin9x.sin5x

c. cosxcos2x cos3x d. sin3x sin5x sin7x 0

e. tanx tan2x tan3x f. 2 2 2 3

sin x sin 2x sin 3x

2

g. sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x

h. 2 2 2 2 2 2

sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x

_____Giaûi_____

a. sinx.sin7x sin3x.sin5x (AÙp duïng coâng thöùc bieán ñoåi thaønh toång)

1 1

cos6x cos8x cos2x cos8x

2 2

cos6x cos8x cos2x cos8x cos6x cos2x

6x 2x k2

,k Z

6x 2x k2

4x k2,k Z

8x k2

2.4x k2 ,k Z x k ,k Z

4

www.VNMATH.com



b. sin5x.cos3x sin9x.sin5x

sin5x.cos3x sin9x.sin5x 0 sin5x cos3x sin9x 0

sin5x 0

cos3x sin9x 0

sin5x 0

cos3x sin9x

sin5x 0

sin9x sin 3x

2

5x k

9x 3x k2 ,k Z

2

9x 3x k2

2

x k

5

12x k2 ,k Z

2

6x k2

2

x k

5

12x k2 ,k Z

2

6x k2

2

x k

5

x k ,k Z

24 6

x k

12 3


a. sinx 2 sin5x cosx b.3 2sinxsin3x 3cos2x

c. 4 4 3 cos6x

sin x cos x

4

d.

2 2 2 2sin x sin 2x sin 3x sin 4x 2

e. 2

2cos 4x sin10x 1 f. 2sinxcos2x 1 2cos2x sinx 0


a. tanx tan2x sin3xcosx b. cos2x 3sinx 2

c. sin4x 3 cos4x 2 d. 3tanx 2cot3x tan2x

e. 2sin2x sinx 3cosx f. 22sinx cosx 1 cosx sin x

www.VNMATH.com




1. sinx cosx 1 2sin2x

2. 3 cos5x sin5x 2cos3x 0

3. 2 2

6tan x 2cos x cos2x

4. sin3x 3 cos3x 2sin2x (CD A 2008)

5. 2 2 2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x (DH B 2002)

6. 2

1 2sinx cosx 1 sinx cosx (CD 2009)

7. 2sinx (1 cos2x) sin2x 1 2cosx (CD 2008)

8. 1 sin2x cosx 1 cos2x sinx 1 sin2x

www.VNMATH.com



ÑEÀ CÖÔNG OÂN TAÄP CHÖÔNG I - ÑS 11

(Löôïng giaùc)

A. HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC

1. Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá

a. sinx 5

y

sin2x

b.

sinxy

1 2cosx

c. tanx

y

2 2cos3x

d. cot 2x

y

3 2sinx

e. sinx 5

y

1 sin2x

f.

cosx 5y

1 sin2x

g.

2cot x

y

1 sin2x

h. 2

5 cosxy

cos 2x

2. Xeùt tính chaün leû cuûa haøm soá

a. y tan 3x b. y sin2x.cot3x c. 2

y cosx sin x

d. y cosx.cot2x e. 2

tanxy

1 cos x

f.

2tan x

y

cosx+2

g.sinx 5

y

sin2x

h.

2

5 cosxy

sin 2x

3. Tìm GTLN – GTNN cuûa caùc haøm soá

a. y 2sinx 5 b. y 4 5cos2x c. x x

y sin cos 3

2 2

d. y sinx cosx e. 2

y 2sin x 1 5 f. 3

y cos(x ) 2 3

g. y cosx cos(x )

3

h. y 3 cosx sinx

B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC

1. Giaûi phöông trình

a. 0

2sin(2x 30 ) 2 0 b. 2cos(2x ) 3 0

3

c. x

tan 3 0

2 4

d.

x 23 cot 1 0

2 3


a. 2

sin x 5cosx 5 0 b. 2 x x

2cos 4sin 4 0

2 2

www.VNMATH.com



c. 2

3sin x 2cosx 2 0 d. cos2x 3sinx 1 0

e. cos4x 3cos2x 1 0 f. tan2x 4cot2x 3 0


a. 3sinx cosx 1 0 b. 3 cosx sinx 1 0

c. sinx cosx 2 d. sin2x cos2x 1

e. x x

3sin cos 2sin3x

2 2

f. 3sinx cosx 2cos2x


a.2 2

sin x sin2x 3cos x 0 b. 2 23

sin x sin2x 3cos x 1

2

c. 2 2

4sin x 3cos x 0 d. 2 21

2sin x sin2x cos x 3

2

e. 2 2

2cos x 3sin2x sin x 1 f. 2

sin x 3sinxcosx 1

BAØI TAÄP NAÂNG CAO

1. Giaûi caùc phöông trình

a. 5

sin 3x cos 3x 0

6 4

b. cosx cos 2x

3

c. 3 7

tan 2x cot 4x 0

4 8

d.

2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x

2

e. 4 4

sin x cos x cos4x f. sinxsin7x sin3xsin5x

2. Giaûi caùc phöông trình

a. 2

sin2x 2sin x 2cos2x b. 2 2

cos x 3sin2x 1 sin x

c. 1 sinxcos2x sinx cos2x d. 3 3 2

sin xcosx sinxcos x

8

e. 2

(2sinx 1)(2sin2x 1) 3 4cos x

f. 2

(2sinx cosx)(1 cosx) sin x

g. (2cosx 1)(2sinx cosx) sin2x sinx

h. 6 2 6

sin x 3sin xcosx cos x 1

i. 1

2sin x sin 2x

3 6 2

2sin 2x sin x

4 4 2

www.VNMATH.com



CAÙC ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG

(DBÑH1_D 2006). 3 3 2

cos x sin x 2sin x 1

(DBÑH2_B 2006). cos2x (1 2cosx)(sinx cosx) 0

(DBÑH2_D 2006). 3 2

4sin x 4sin x 3sin2x 6cosx 0

(DBÑH2_B 2006). 2 2 2

(2sin x 1)tan 2x 3(cos x 1) 0

(DBÑH_A 2006). 2sin 2x 4sinx 1 0

6

(ÑH_D 2007).

2

x xsin cos 3 cosx 2

2 2

(ÑH_A 2007). 2 2

(1 sin x)cosx (1 cos x)sinx 1 sin2x

(ÑH_A 2005). 2 2

cos 3xcos2x cos x 0

(ÑH_ A 2008). 1 1 7

4sin x

sinx 43sin x

2

(ÑH_B 2008). 3 3 2 2

sin x 3 cos x sinxcos x 3sin xcosx

(ÑH_A 2010).

(1 sinx cos2x)sin x

4 1cosx

1 tanx 2

(ÑH_A 2011). 2

1 sin2x cos2x2 sinxsin2x

1 cot x

(ÑH_B 2011). sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx

(ÑH_D 2011). sin2x 2cosx sinx 1

0

tanx 3

.

www.VNMATH.com



TUYEÅN TAÄP ÑEÀ THI TREÂN “TOAÙN HOÏC TUOÅI TREÛ – 2010”

HD. Bieán ñoåi phöông trình ta ñöôïc 2

1 cos2x sinx 2sin x sinx

Ñaùp soá.

HD. 2cos2x sin2x sin x 2 cos 2x sinx

4

cos 2x sinx 1 0

4

HD. 2

4 15 0

sin2xsin 2x

Ñeà 4. 2cosxcos2xcos3x 5 7cos2x

HD. 2

cos2x 1 2cos2x 5 0 cos2x 1

HD.

21 cosx cosx sinxsin x 0

1 cosx cosx sinx 1 cosx 1 cosx 0

1 cosx cosx sinx sinxcosx 0

Ñeà 1. Giaûi phöông trình 2 2 2 1cos x cos x sinx 1

3 3 2

Ñeà 2. Giaûi phöông trình

22

2

sinx cosx 2sin x 2sin x sin 3x

2 4 41 cot x

Ñeà 3. Giaûi phöông trình 2 2 1

tan x cot x 3

sin2x

Ñeà 5. Giaûi phöông trình 2 3

cos x cosx sin x 0

www.VNMATH.com



HD.

cos2x 13x

cos2x cos 2 3x4 cos 1

4

HD. Vieát haøm soá döôùi daïng

2

2

1 tan xy

tan x 2 tanx

Ñaët t tanx 0 t 3

Khaûo saùt haøm soá 2

2 3

1 tf(t) , 0 t 3

2t t

Ñöôïc keát quaû miny 2 khi t 1 hay x

4

HD. Ñieàu kieän cos x cos x 0

6 3

Ta coù tan x tan x 1

6 3

sin2x 2cosx 1 0

HD. Bieán ñoåi phöông trình veà daïng

Ñeà 6. Giaûi phöông trình 4 1 3x 7

4cos x cos2x cos4x cos

2 4 2

Ñeà 7. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá

2

cosxy , 0 x

3sin x 2cosx sinx

Ñeà 8. Giaûi phöông trình tan x tan x sin3x sinx sin3x

6 3

Ñeà 9. Giaûi phöông trình 1

1 cosx 1 cos2x 1 cos3x

2

www.VNMATH.com



2

x 3x 1cos cosxcos

2 2 16

Ñaùp soá. k 2

x ; x k2

4 2 3

HD. 2

2sin x 3sinx 2 0

Ñaùp soá. 7

x k2 ; x k2

6 6

HD. AÙp duïng baát ñaúng thöùc Cauchy

Ñaùp soá. Phöông trình voâ nghieäm

HD. Ñaët 2x 1 1

t t

3x 10

Ñaùp soá. 1 2

x ; x

3 4 5 4

HD.

Ñeà 10. Giaûi phöông trình 4 4

3sinx 1 sin x cos x

Ñeà 12. (THTT 2003) Tìm caùc nghieäm cuûa phöông trình thoûa maõn

22x 1 2x 1 2x 1

sin sin cos 0

x 3x 3x

thoûa maõn

1x

10

Ñeà 13. (THTT 2004)

a. CMR ABC coù caùc goùc thoûa maõn tính chaát sau thì ABC ñeàu

A B C A B C 3

sin sin sin cos cos cos sinA sinB sinC

2 2 2 2 2 2 2

b. Tìm ñieàu kieän ñeå hai phöông trình sau töông ñöông

sinx sin2x

1

sin3x

vaø cosx msin2x 0

Ñeà 11. (THTT 2003) Giaûi phöông trình

8 8 14 14cos x sin x 64 cos x sin x

www.VNMATH.com



a. Vôùi moïi tam giaùc ABC A B A B

sin sin cos cos

2 2 2 2

b. sinx sin2x

1

sin3x

cosx 0 . Ñaùp soá.

1m

2

HD.

a. A B B C C A

4sin sin sin sin C B sin B A sin A B

2 2 2

b. Neáu y

tan 0

2

thì heä coù nghieäm l ;k2

Neáu y

tan 3

2

thì heä coù nghieäm 2

l2 ; k2

3

trong ñoù ;0

2

vaø

1 4 3cos , sin

7 7

Neáu y

tan 3

2

thì heä coù nghieäm 2

l2 ; k2

3

trong ñoù ;0

2

vaø

1 4 3cos , sin

7 7

HD.

Ñaùp soá. x k2

Ñeà 14. (THTT 2004)

a. CMR ABC coù caùc goùc thoûa maõn tính chaát sau thì ABC ñeàu

A B B C C Asin2A sin2B sin2C sinA sinB sinC 4sin sin sin

2 2 2

b. Giaûi heä phöông trình

y3tan 6sinx 2sin y x

2

ytan 2sinx 6sin y x

2


1cos3xsin2x cos4xsin2x sin3x 1 cosx

2

www.VNMATH.com



HD.

Ñaùp soá. 25

8

HD.

a. Ñaùp soá. x k ; x k

4 2 3

b. Söû duïng C

sinA sinB 2cos

2

HD. Söû duïng 3

4sin x 3sinx sin3x ; 3

4cos x 3cosx cos3x

Ñaùp soá. x k

6

HD. Söû duïng 3

4sin x 3sinx sin3x ; 3

4cos x 3cosx cos3x

Ñaùp soá. x k ; x k ; x k

8 2 12 3 4

Ñeà 16. (THTT 2004) Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc

2 2 2Q sin A sin B 2sin C trong ñoù A, B, C laø 3 goùc ABC baát kì.

Ñeà 17. (THTT 2010)

a. 4cosxcos2xcos3x cos6x

b. Chöùng minh raèng ABC coù caùc goùc thoûa maõmn tính chaát sau

thì ABC ñeàu

A B C

2sinA 3sinB 4sinC 5cos cos cos

2 2 2


3 3sin xsin3x cos xcos3x 1

8tan x tan x

6 3


1cosxcos2xcos3x sinxsin2xsin3x

2

www.VNMATH.com



HD.

a. Ñaët A B

x tan ; y tan x 0, y 0

2 2

b. Ta coù 2 2 2

F (3 2)cot A (12 4)cot B (18 9)cot C

2 2 2 2 2 2F (3cot A 12cot B) (4cot B 9cot C) (18cot C 2cot A) 12

Ñaùp soá. min

1 1F 12khi cot A 1, cot B , cotC

2 3

HD. Khaûo saùt haøm soá

Ñaùp soá. 0 0 0

0;4

5 5 5max khix 2 k4 0; ;sin

3 2 3

HD.

a. Ñaùp soá. x k

3

b. 0 0

A B 30 , C 120

Ñeà 20. (THTT 2005)

a. Cho ABC thoûa maõn

A B 2 3tan tan

2 2 3

cosA cosB 1

. CMR ABC ñeàu

b. Xeùt ABC. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc

2 2 2

F 5cot A 16cot B 27cot C

Ñeà 21. (THTT 2005)

Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x x

y sin 1 6cos

2 2

Ñeà 21. (THTT 2006)

a. Giaûi phöông trình 2cos4x

cot x tanx

sin2x

b. Tìm caùc goùc A, B, C cuûa ABC sao cho bieåu thöùc

2 2 2

Q sin A sin B sin C ñaït giaù trò nhoû nhaát

www.VNMATH.com



HD. Nhö ñeà 1.

HD.

a.

b. Ñaùp soá. x k2

3

,

2x k2

3

HD.

Ñaùp soá. x k2

2

HD.

Ñaùp soá. 0 0 0

A 45 ; B 30 ; C 105

Ñeà 24. Giaûi phöông trình

2 21 8 12cosx cos x sin2x 3cos x sin x

3 3 2 3

Ñeà 23. (THTT 2006)

a. Chöùng minh raèng trong moïi ABC ta luoân coù

A B C A B Ctan 3 tan 3 tan 3 4 tan tan tan 3

3 3 3 3 3 3

b. Giaûi phöông trình

2 2

2 2

sin x sin 2x2

sin 2x sin x


2 2 2 1cos x cos x sinx 1

3 3 2

Ñeà 25. Tính caùc goùc cuûa ABC bieát 2A 3B; a 2b


2 2 3 3tan x tan xsin x 1 cos x 0

www.VNMATH.com



HD. Ñöa veàø daïng tích

Ñaùp soá.

x k2

x k

42 1

cos

x k2 24

x k2

4

HD.

a. Haøm soá x

y 2 4x ñoàng bieán treân R coù y(x) 1 x 0

Ta coù

sinA

sinB

24sinA 1 4sinB

2

sinA sinB

b. Ñaùp soá. 7 2 5 2

x k2 ;x k2 ;x k ;x k

6 6 18 3 18 3


2cosxcos2xcos3x 5 7cos2x

HD. 2

cos2x 1 2cos2x 5 0 cos2x 1

Ñaùp soá. x k


3 3

sin x cos x cos2xtan x tan x

4 4

HD. Ñöa veà daïng tích

Ñaùp soá. x k2 ;x k2

2

Ñeà 27. (THTT 2007)

a. Chöùng minh raèng ABC ñeàu neáu

sinA

sinB

sinB

sinC

24sinA 1 4sinB

2

24sinB 1 4sinC

2

b. Giaûi phöông trình 23 4sin 2x 2cos2x 1 2sinx

www.VNMATH.com




sin 3x sin2xsin x

4 4

HD.

Ñaùp soá. x k

4 2


1

1 cosx 1 cos2x 1 cos3x

2

HD. Bieán ñoåi veà

2

x 3x 1cos cosxcos

2 2 16

Ñaùp soá. 2

x k ; x k2

4 2 3


5 3 2

2sin x 2sin xcos x cos2x sinx 0

HD.

Ñaùp soá. x k ; x k2

4 2

Ñeà 33. (THTT 2008)

a. Giaûi phöông trình 1 tanxtan2x cos3x

b. Cho ABC thoûa maõn 5

cos2A 3 cos2B cos2C 0

2

. Tính ñoä lôùn

ba goùc cuûa tam giaùc ñoù.

HD.

a. Ñaùp soá. cos3x 0

cosx 1

b. Ñaùp soá. 0 0

A 30 , B C 75


tan x tan x sin3x sinx sin2x

6 3

HD.

www.VNMATH.com



Ñaùp soá. x k ; x k ; x 2 k2

2 3


4 1 3x 7

4cos x cos2x cos4x cos

2 4 2

HD. Bieán ñoåi phöông trình veà daïng

3x

cos2x cos 2

4

cos2x 1

3xcos 1

4

Ñaùp soá. x k8


5 cos2x

2cosx

3 2tanx

HD.

Ñaùp soá.

Ñeà 37. (THTT 2010)

a. Giaûi phöông trình 2 2

2cos 2x cos2xsin3x 3sin 2x 3

b. Tìm GTLN – GTNN cuûa haøm soaù

xsinx 2cos

2f(x)

xcosx 2sin

2

treân 0;

2

HD.

Ñaùp soá.


2

4

2

1 tan x16cos x 4 2sin4x

4 1 tan x

HD.

Ñaùp soá.


sin3x cos3x 2 2 cos x 1 0

4

HD.

Ñaùp soá.

www.VNMATH.com




2 sinx 12 1 cosx cot x 1

cos sinx

HD.

Ñaùp soá.


1

2011tanx cot x 2 1005 3

sin2x

HD.

Ñaùp soá.

Ñeà 42. (THTT 2011)

Tìm x 2; thoûa maõn phöông trình

2(2x 1) 2x 1

sin 2 sin 1

x 1 x 1 4

HD.

Ñaùp soá.

www.VNMATH.com

Documents

[Vnmath.com] Lg 11