Úvod do teorie pravdepodobnostifusekmi/esmat/Prednaska09.pdfÚvod do teorie pravdepodobnostiˇ Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, [email protected] 9. pˇrednáška z ESMAT

Úvod do teorie pravdepodobnosti

Michal Fusek

Ústav matematiky FEKT VUT, [email protected]

9. prednáška z ESMAT

Michal Fusek ([email protected]) 1 / 33

Obsah

1 Náhodné jevy

2 Pravdepodobnost

3 Podmínená pravdepodobnost

4 Úplná pravdepodobnost

5 Bayesuv vzorec


Náhodné jevy

Pravdepodobnost intuitivne

Znáte ze stredí školy.

Provedeme pokus (hod mincí/kostkou, výber karty z balícku)a sledujeme jeho výsledek (padla šestka, vybrali jsme eso).

Jaká je šance, že nastane výsledek?

PríkladMáme balícek obsahující 108 karet. Jakou máme šanci, že vybranákarta bude žolík?

Rešení:

4108


Náhodné jevy

Základní pojmyPokus:

Deterministický (splnení stejných pocátecních podmínek vedevždy ke stejnému výsledku).Náhodný (výsledek pokusu se mení i pri zachování stejnýchpocátecních podmínek).

Základní prostor - množina všech možných výsledku pokusu:

Ω = ω1, ω2, ω3, . . . , ωn, . . .︸︷︷︸elementární jevy

Náhodný jev - libovolná podmnožina Ω.

Jev nemožný: ∅

Jev jistý: Ω


Náhodné jevy

Operace s náhodnými jevyS náhodnými jevy pracujeme jako s množinami.

Prunik jevu A a B je jev, který nastane práve tehdy, když nastanoujevy A a B soucasne. Znacíme jej A ∩ B.

Jestliže A ∩ B = ∅, mluvíme o jevech disjunktních (neslucitelných).


Náhodné jevy

Sjednocení jevu A a B je jev, který nastane práve tehdy, když nastanealespon jeden z jevu A a B. Znacíme jej A ∪ B.

Opacný jev (nebo též doplnek) k jevu A je jev, který nastane právetehdy, když nenastane jev A. Znacíme jej A a platí

A = Ω \ A.


Náhodné jevy

PríkladHázíme klasickou kostkou. Jev A znací, že padne sudé císlo. Jev Bznací, že padne císlo vetší než 4. Urcete Ω, A, B, A, B, A ∩ B, A ∪ B,A \ B, B \ A.


Náhodné jevy

Jevové pole

Bud’ Ω 6= ∅ a S systém podmnožin množiny Ω, který má tyto vlastnosti1) Ω ∈ S,2) jestliže A ∈ S, pak také A = Ω \ A ∈ S,

3) jestliže Ak ∈ S, k = 1,2, . . . , pak také∞⋃

k=1Ak ∈ S.

Pak S nazveme množinovou σ-algebrou a dvojici (Ω,S) nazvemejevovým polem.Množinu A ⊆ Ω nazveme náhodným jevem, jestliže A ∈ S.

S každými dvema množinami A,B ∈ S obsahuje σ-algebra nejenjejich doplnky, ale i jejich sjednocení, prunik a rozdíl.

σ-algebra je systém uzavrený na obvyklé operace s množinami.

Každá σ-algebra musí obsahovat prázdnou množinu ∅.


Náhodné jevy

PríkladPro množinu Ω = 1,2,3 je príkladem σ-algebry:

systém všech jejích podmnožinS1 = ∅, 1, 2, 3, 1,2, 1,3, 2,3, 1,2,3.systém podmnožin S2 = ∅, 1, 2,3, 1,2,3.

PríkladPro množinu Ω = 1,2,3 je príkladem systému podmnožin, kterýnení σ-algebrou napr. S3 = ∅, 1, 2, 1,2,3.

Doplnek množiny A = 1, tj. A = 2,3, není prvkem S3.Sjednocení množin A = 1, B = 2, tj. množina A ∪ B1,2,není prvkem S3.


Pravdepodobnost

Axiomatická definice pravdepodobnosti

Necht’ (Ω,S) je jevové pole. Pak zobrazení P : S → R nazvemepravdepodobností, jestliže splnuje následující tri axiomy:

1) P(Ω) = 1,2) P(A) ≥ 0 pro každé A ∈ S,3) jestliže Ak ∈ S, k = 1,2, . . . , jsou navzájem disjunktní jevy,

Ai ∩ Aj = ∅ pro i 6= j , pak P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = P(A1) + P(A2) + · · · .Pro libovolný náhodný jev A císlo P(A) nazveme pravdepodobnostíjevu A.

Trojice (Ω,S,P) se nazývá pravdepodobnostní prostor.

Pravdepodobnost je funkce, která každé množine ze σ-algebry Sprirazuje jakousi „velikost“, pricemž „velikost“ celé množiny Ω jerovna jedné.


Pravdepodobnost

Klasická pravdepodobnost

Jevy mužeme hodnotit podle toho, jak velkou mají nadeji, že prináhodném pokusu nastanou (= pravdepodobnost nastoupení).

Necht’ základní prostor Ω je konecný a nastoupení všechelementárních jevu je stejne možné. Pravdepodobnost jevu Aoznacíme P(A) a definujeme ji jako

P(A) =pocet možností príznivých jevu A

pocet všech možností=|A||Ω|

,

kde | · | znací pocet prvku množiny.

Pravdepodobnost – míra možnosti nastoupení daného jevu (sjakou relativní cetností nastane príslušný jev v dlouhé (!!)posloupnosti pokusu)

Pearson dostal z 24 000 hodu mincí relativní cetnost lícu 0,5005.Michal Fusek ([email protected]) 11 / 33

Pravdepodobnost

PríkladHázíme klasickou kostkou. Jev A znací, že padne sudé císlo. Jev Bznací, že padne císlo vetší než 4. Urcete P(Ω), P(A), P(B), P(A),P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B), P(A \ B), P(B \ A).

PríkladPokud se ke zkoušce naucíte z 10 otázek pouze 4, jaká jepravdepodobnost, že ze 3 vylosovaných otázek budete znát

a) práve 2 (jev A),b) alespon 1 (jev B)?

Rešení:

a) P(A) =(4

2)(61)

(103 )

= 0,3

b) P(B) = 1− P(B) = 1− (40)(6

3)(10

3 )= 5

6


Pravdepodobnost

PríkladHázíme 2x klasickou kostkou. S jakou pravdepodobností bude soucetna obou kostkách vetší než 9?

Rešení:A...soucet vetší než 9A = [5,5], [4,6], [6,4], [5,6], [6,5], [6,6]P(A) = 6

36 = 16

PríkladKolikrát je treba hodit hrací kostkou, aby pravdepodobnost, že alesponjednou padne 6, byla vetší než 0.7?

Rešení:A...alespon jednou padne 6A...ani jednou nepadne 6P(A) = 1− P(A) = 1−

(56

)n> 0,7 ⇒ n > 6,6... ⇒ n = 7


Pravdepodobnost

Když nelze použít klasickou pravdepodobnostCo když jsou porušeny predpoklady použití klasicképravdepodobnosti, tedy

základní prostor Ω není konecný,

nastoupení všech elementárních jevu není stejne možné?

Množina Ω se nazývá spocetná, jestliže její prvky lze usporádat donekonecné posloupnosti, tj.

Ω = ω1, ω2, . . . .

Spocetná množina – napr. N, Z,...

Nespocetná množina – napr. R, 〈0,1〉,...


Pravdepodobnost

Když nelze použít klasickou pravdepodobnost

Predpokládejme, že množina všech možných výsledku pokusu Ω jenanejvýš spocetná a jednotlivým elementárním jevum ωi , i = 1,2, . . . ,jsou prirazeny pravdepodobnosti P(ωi) ≥ 0, které mohou být navzájemruzné a které splnují ∑

ω∈Ω

P(ω) = 1.

Pravdepodobnost jevu A ⊆ Ω pak definujeme jako

P(A) =∑ω∈A

P(ω).

Pravdepodobnost jevu A tedy pocítáme tak, že sectemepravdepodobnosti všech elementárních jevu, které do jevu Aspadají.


Pravdepodobnost

Nastoupení všech element. jevu není stejne možnéPríkladMáme kostku, která není homogenní, takže šestka na ní padá spravdepodobností 0,75. Jednicka padá jen s pravdepodobností 0,01.U všech ostatních císel jsou pravdepodobnosti stejné. Jaká jepravdepodobnost, že na této kostce padne sudé císlo?

Rešení:

Ω = ω1, . . . , ω6, kde ωi znací, že na kostce padlo císlo i , i = 1, . . . ,6.

A = ω2, ω4, ω6

P(ω1) = 0,01, P(ω6) = 0,75, P(ω2) = P(ω3) = P(ω4) = P(ω5) =?

P(ω1)+· · ·+P(ω6) = 1 ⇒ 0,01+4P(ω2)+0,75 = 1 ⇒ P(ω2) = 0,06.

P(A) = P(ω2) + P(ω4) + P(ω6) = 0,06 + 0,06 + 0,75 = 0,87.


Pravdepodobnost

Základní prostor Ω není konecný, ale spocetnýPríkladHázíme mincí, dokud nepadne líc. Jaká je pravdepodobnost, žebudeme muset hodit více než trikrát?

Rešení:Ω = L,RL,RRL,RRRL,RRRRL, . . . A = RRRL,RRRRL, . . . Výpocet P(A) = soucet nekonecné rady císel...Opacný jev = líc padne dríve než na ctvrtý pokusPadne L hned napoprvé: 1/2Padne RL: 1/4 (LL, LR, RL a RR)Padne RRL: 1/8 (LLL, LLR, LRL, RLL, RRR, RRL, RLR, LRR)

P(A) = 1−(

12

+14

+18

)= 1− 7

8=

18


Pravdepodobnost

Geometrická pravdepodobnost

Co když je základní prostor Ω nespocetný?

Jestliže množina všech výsledku pokusu Ω tvorí oblast v Rm, všechnyjejí prvky jsou stejne pravdepodobné a µ(Ω) <∞, pakpravdepodobnost jevu A ⊆ Ω definujeme jako

P(A) =µ(A)

µ(Ω),

kde symbolem µ(·) myslíme míru oblasti. Pro jednorozmernou oblastmáme na mysli její délku, pro dvourozmernou obsah a protrírozmernou objem.


Pravdepodobnost

1D

PríkladNa semaforu pro chodce svítí vždy jednu minutu zelená a tri minutycervená. K semaforu mohu prijít se stejnou pravdepodobností vkterémkoli okamžiku. Jaká je pravdepodobnost, že zrovna budezelená?

Rešení:Ω = 〈0,4)

A = 〈0,1) (zelená svítí 1 minutu)

P(A) =µ(A)

µ(Ω)=

14


Pravdepodobnost

2D

PríkladHonza a Marek mají sraz v hospode mezi osmou a devátou hodinou(každý okamžik príchodu je stejne pravdepodobný). První príchozí sidá pivo, což mu zabere 15 minut. Jestliže do vypití piva kamarádneprijde, tak zaplatí a odejde. Jaká je pravdepodobnost, že se Honza sMarkem setkají?

Rešení:Mají se potkat behem 1 hodiny.x - cas príchodu Honzy (v hodinách)y - cas príchodu MarkaΩ = (x , y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1A - potkají seA =

(x , y) : |x − y | ≤ 1

4


Pravdepodobnost

µ(Ω) = 1

µ(A) = 1−(3

4

)2= 1− 9

16 = 716

P(A) =µ(A)

µ(Ω)=

7161

=7

16


Podmínená pravdepodobnost


Jaká je pravdepodobnost nejakého výsledku, když už víme, žeprvní fáze pokusu dopadla urcitým zpusobem?

Pravdepodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazvemepodmínenou pravdepodobností a oznacíme ji

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), P(B) > 0.

Jev A nazýváme podmíneným jevem, o jevu B mluvíme jakoo hypotéze.

Podobne mužeme definovat pravdepodobnost jevu B zapodmínky, že nastal jev A.



PríkladHodíme dvema homogenními kostkami, bílou a cervenou. Jev A znací,že na bílé kostce padne šestka. Jev B znací, že soucet na oboukostkách bude vetší než 10. Urcete P(A|B), P(B|A) a P(B|A).Rešení:Ω = [1,1], [1,2], . . . , [6,6], P(Ω) = 1A = [6,1], [6,2], [6,3], [6,4], [6,5], [6,6], P(A) = 6

36

B = [6,5], [5,6], [6,6], P(B) = 336

A ∩ B = [6,5], [6,6], P(A ∩ B) = 236

B ∩ A = [5,6], P(B ∩ A) = 136

P(A|B) = P(A∩B)P(B) =

2363

36= 2

3

P(B|A) = P(B∩A)P(A) =

2366

36= 1

3

P(B|A) = P(B∩A)

P(A)=

1363036

= 130



PríkladMáme sadu výrobku, z nichž jedna tretina nefunguje. Dále víme, žejedna ctvrtina z celkového poctu výrobku má poškozený obal. Z tech,které mají poškozený obal, jich nefunguje 80 %. Jestliže náhodnevybereme jeden výrobek, jaká je pravdepodobnost, že má poškozenýobal a nefunguje?

Rešení:A...výrobek má poškozený obalB...výrobek nefungujeP(A) = 1/4P(B) = 1/3P(B|A) = 4/5

P(B|A) =P(B ∩ A)

P(A)⇒ P(B ∩ A) = P(A) · P(B|A) =

14· 4

5=

15

Informace o poctu nefungujících výrobku byla nadbytecná.



Závislost a nezávislostNekdy narazíme na jevy, které se navzájem nijak neovlivnují.

Jevy A a B, které mají nenulovou pravdepodobnost, nazvemenezávislé v prípade, že pravdepodobnost jevu A není nijak ovlivnenatím, zda jev B nastal nebo nenastal (a naopak), tj. platí-li

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B).

Je-li pravdepodobnost nekterého z jevu A, B nulová, pak jevy A, B takéoznacíme za nezávislé.Jestliže jevy A,B nejsou nezávislé, pak jsou závislé.

Nutná a postacující podmínka nezávislosti

Rekneme, že náhodné jevy A,B jsou nezávislé, jestliže

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).



Pravdepodobnost pruniku/sjednocení jevuSjednocení jevu:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (jsou-li jevy A, B disjunktní)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

P(A ∪ B ∪ C) =P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C)

Prunik jevu:P(A ∩ B) = P(A) · P(B) (jsou-li jevy A, B nezávislé)

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)

P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B|A)P(C|A ∩ B)



PríkladZjistete, zda jsou jevy A, B nezávislé, jestliže P(A) = 0,4, P(B) = 0,6 aP(A ∪ B) = 0,7.

Rešení:P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

⇒ P(A ∩ B) = P(A) + P(B)− P(A ∪ B) = 0,4 + 0,6− 0,7 = 0,3

P(A) · P(B) = 0,4 · 0,6 = 0,24 6= 0,3(nejsou nezávislé)

PríkladZ karetní hry obsahující 52 karet je náhodne vybrána 1 karta.Vypocítejte pravdepodobnost, že je to kríž nebo karta s poctem boduod 6 do 10 (vcetne) nebo dvojka. [31

52

]Michal Fusek ([email protected]) 27 / 33


PríkladDelník obsluhuje 3 stroje, které pracují nezávisle na sobe.Pravdepodobnost, že dojde behem smeny k poruše na 1. stroji je 0,1,na 2. stroji 0,2 a na 3. stroji 0,05. Jaká je pravdepodobnost, že behemsmeny nedojde k poruše na žádném stroji?

Rešení:Ai ...porucha na stroji i , i = 1,2,3B...nedojde k poruše na žádném stroji

P(B) = P(A1 ∩ A2 ∩ A3)

P(A1) = 0,1 ⇒ P(A1) = 0,9P(A2) = 0,2 ⇒ P(A2) = 0,8P(A3) = 0,05 ⇒ P(A3) = 0,95

P(B) = P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,684


Úplná pravdepodobnost

Úplná pravdepodobnostZákladní prostor Ω rozdelen na n navzájem disjunktníchnáhodných jevu H1,H2, . . . ,Hn (hypotézy).

Ω =⋃n

i=1 Hi (tvorí úplný systém neslucitelných jevu).

Známe P(Hi) > 0 pro i = 1, . . . ,n (apriorní pravdepodobnosti).




Necht’ H1,H2, . . . ,Hn jsou navzájem disjunktní náhodné jevy (tzv.hypotézy) takové, že P(Hi) > 0 pro i = 1, . . . ,n. Dále necht’

H1 ∪ H2 ∪ · · · ∪ Hn = Ω.

Pak pro každý náhodný jev A platí

P(A) =n∑

i=1

P(Hi) · P(A|Hi) = P(H1) · P(A|H1) + · · ·+ P(Hn) · P(A|Hn)



PríkladZkoušku z matematiky delali studenti dvou oboru: Realitní inženýrstvía Expertní inženýrství v doprave. Z celkového poctu studentu bylo60 % z Realitního inženýrství. U zkoušky uspelo 80 % studentuRealitního inženýrství a 75 % studentu Expertního inženýrství vdoprave. Jestliže náhodne vybereme jednoho studenta, jaká jepravdepodobnost, že uspel?

Rešení:A...student udelal zkouškuHR...student Realitního inženýrstvíHE ...student Expertního inženýrství v doprave

P(HR) = 0,6P(HE ) = 0,4

P(A|HR) = 0,8P(A|HE ) = 0,75

P(A) = P(HR)P(A|HR) + P(HE )P(A|HE ) = 0,78


Bayesuv vzorec

Bayesuv vzorecCo když už víme, jak pokus dopadl, a ptáme se napravdepodobnost nekteré z hypotéz?

Jestliže P(A) > 0, pak pro každé j = 1, . . . ,n platí

P(Hj |A) =P(Hj) · P(A|Hj)

P(A)=

P(Hj) · P(A|Hj)∑ni=1 P(Hi) · P(A|Hi)

.

Príklad (pokracování)

Náhodne oslovený student zkoušku udelal. Jaká je pravdepodobnost,že je studentem Realitního inženýrství?

Rešení:

P(HR|A) =P(HR) · P(A|HR)

P(A)=

0,6 · 0,80,78

= 0,615


Bayesuv vzorec

PríkladDo obchodu s potravinami dodávají rohlíky 3 pekárny v poctech 500,1000 a 1500 kusu denne. Zmetkovitost dodávek je 5 %, 4 % a 3 %.Dodávky jsou v obchode smíchány do celkové zásoby. Urcetepravdepodobnost, že náhodne vybraný rohlík z celkové zásoby jezmetek. Po koupi rohlíku jste zjistili, že vám prodavac podstrcil zmetek.Jaká je pravdepodobnost, že byl dodán 2. pekárnou?Rešení:A...vybraný rohlík je zmetekHi ...rohlík byl dodán i-tou pekárnou, i = 1,2,3

P(H1) = 1/6P(H2) = 1/3P(H3) = 1/2

P(A|H1) = 0,05P(A|H2) = 0,04P(A|H2) = 0,03

P(A) =∑3

i=1 P(Hi) · P(A|Hi) = 0,036

P(H2|A) = P(H2)·P(A|H2)P(A) = 0,36


Documents

Úvod do teorie pravdepodobnostifusekmi/esmat/Prednaska09.pdfÚvod do teorie pravdepodobnostiˇ Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, [email protected] 9. pˇrednáška z ESMAT