Teorie čísel

• Prvočíslo

• Eulerova funkce φ(n)

• První hodnoty funkce φ: 1,1,2,2,4,2,6,3,6,4

• Pro a, b nesoudělná φ(ab)= φ(a). φ(b)

• P prvočíslo: φ(p)=p-1

Vlastnosti prvočísel

• Binomický koeficient (p nad i) mod p = 0, pro i=1..p-1

• (a+b)p mod p=ap+bp

• Pro c menší než p je cpmod p = c, cp-1mod p = 1

• N je součin dvou prvočísel p,q. φ(N)=(p-1)(q-1), c φ(N) mod N = 1

• Malá Fermatova věta

Distribuce klíčů D-H *1976

Whitfield Diffie *1944 Martin Hellban *1945

Massachusetts Institute of Technology (Boston)

Protokol SSL

Metoda Diffie Hellman

• Použiji jednosměrnou funkci f(x)=px mod q p,q jsou velká prvočísla.

• Uživatel A zvolí tajný klíč t, uživatel B tajný klíč s.

• Uživatel A spočítá f(t) = pt mod q = α a pošle• Uživatel B spočítá f(s) = ps mod q = β a pošle

Metoda Diffie Hellman

• A spočítá βt mod q = pst mod q = K.

• B spočítá αs mod q = pts mod q = K.

• K se použije jako klíč pro jednorázovou šifru (např. DES)

RSA šifra *1977

• Ronald Rivest *1947

Adi Shamir *1952

Leonard Adelman *1945

University of Southern California, Los Angeles

Protokol PGP

RSA šifra

• Dvě prvočísla p,q

• Šifrovací modul N=p.q

• Dešifrovací exponent t nesoudělný s N

• Φ(N)=(p-1).(q-1)

• s je řešení kongurence s.t mod Φ(N)=1

• Veřejný klíč: N,s

• Tajný klíč: p,q, Φ(N), t

RSA šifra

• Šifrovací zobrazení y=xs mod N

• Dešifrovací zobrazení x=yt mod N

• xst mod N = xkΦ(N)+1 mod N = 1k.x mod N = x

Příklad

• p=7, q=13

• N=91, Φ(N)=6.12=72

• t=7

• s.7 mod 72 = 1, s=31

• Veřejný klíč s=31, N=91, y=x31mod 91

• Tajný klíč t=7, p=7, q=13, Φ(N)=72, x=y7 mod 91

Příklad

• x=24• y= x31mod 91= 2431mod 91 =

(2416mod 91). (248mod 91). (244mod 91). (242mod 91). (241mod 91) = 24.30.81.9.81mod 91= 42515280 mod 91 = 80

• x = 807 mod 91= (801 mod 91). (802 mod 91). (804 mod 91) = 80.30.81 mod 91 = 24

Elektronický podpis

• X=yt mod N, y =xs mod A

• y=yst mod N = y

Jak vybrat prvočísla p, q

• Prvočísel je nekonečně mnoho

• Počet prvočísel menších než n: π(n)≈n/ln(n)

• Počet 100místných prvočísel: π(10100)- π(1099) ≈4,3*1097

• ln(10100) ≈ 230, každé 230 číslo je prvočíslo

Algoritmus pro hledání prvočísla

• Zvol náhodné číslo n

• Otestuj, jestli je prvočíslo

• Pokud ne, polož n:=n+1

Test prvočíselnosti

• Vyzkoušet všechny dělitele – nereálné

• Malá Fermatova věta, pro c<p, p prvočíslo platí: cp-1 mod p = 1

• Obrácené tvrzení neplatí

• Čísla, která splňují cp-1 mod p = 1 pro každé c a nejsou prvočísla, Carmichaelova čísla, nejmenší 561=3*11*17