Embed Size (px)
Citation preview
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
1. Volumen de un cuerpo
2. Unidades de volumen
3. Unidades de capacidad
4. Volumen y capacidad
5. Volumen del ortoedro
6. Volumen del cubo
7. Volumen del prisma
8. Volumen del prisma hexagonal9. Volumen del cilindro
10. Volumen de la pirámide 11. Volumen del cono
12. Volumen de la esferaResolución de problemas
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.
Estos dos cuerpos ocupanel mismo espacio. Cada uno de ellos está
formado por 8 ladrillos.
La unidad de volumen que hemos empleado es el ladrillo.
Empleando el cubo comounidad, la figura adjunta
tiene un volumen de
26 cubos unidad
2 + 9 + 15 = 26
1. Volumen de los cuerpos
Volumen:
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Calcular el volumen de un cuerpo es contar las unidades de que está formado el cuerpo.
Ejercicio resuelto ¿Cuál es el volumen de estas figuras?Eligiendo el cubo como unidad, se tiene:
13
36
6
En total, 19 cubos.
13 × 3 = 9
5 × 5 = 257 × 7 = 49
En total, 1 + 9 + 25 + 49 = 84 cubos.
Volumen de un cuerpo (I)
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Unidades del sistema métrico decimal:
El metro cúbico: m3
Es un cubo de un
metro de arista.
El decímetrocúbico: dm3
Es un cubo de un
dm de arista.
El centímetrocúbico: cm3
Es un cubo de un
cm de arista.
El milímetro cúbico (mm3) esun cubo de un mm de arista
Unidades de volumen (I)
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Las unidades de volumen menores que el metro cúbico se llaman SUBMÚLTIPLOS.
Es un cubo de 100 metros de arista.El hectómetro cúbico (hm3)
dm3, cm3 y mm3 son submúltiplos del m3
Las unidades de volumen mayores que el metro cúbico se llaman MÚLTIPLOS. Las principales son:
El decámetro cúbico (dam3). Es un cubo de 10 metros de arista.
Es un cubo de 1000 metros de arista.El kilómetro cúbico (km3)
m3dam3hm3 cm3 mm3km3 dm3
Unidades de volumen (II)
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
El litro es la unidad fundamental de capacidad.
El mililitro (ml), el centilitro (cl) y el decilitro (dl) son submúltiplos del litro.
El hectolitro (hl), el kilolitro (kl) y el decalitro (dal) son múltiplos del litro.
1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml
1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l.
Un litro es la capacidad de un cubo de 1 dm de arista.
33 cl 30 ml
3. Unidades de capacidad
Cuando nos referimos a la capacidad que tiene un recipiente, hacemos mención a la cantidad de líquido que éste puede contener.
Capacidad:
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
1000 l = 1 kl
1 dm3 tiene 1 000 cm3
¿A qué capacidad equivale 1 dm3?
Esta caja es 1 dm3 Si vertemos agua cabe exactamente 1 litro
1 dm3 = 1 l
¿A qué capacidad equivale 1 m3?
El m3 tiene 1 000 dm3 En el m3 caben 1 000 l.
1 m3 = 1 kl
¿A qué capacidad equivale 1 cm3?
1 l tiene 1 000 cm3 1 cm3 = 1 ml
Las unidades de volumen y capacidad están estrechamente relacionadas
4. Volumen y capacidad
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
c
b
a
Ortoedro Su volumen es igual a
largo por ancho y por alto
V=área de la base por la altura
V = a ·b ·c
Ejemplo: V = 12·4·6 = 288
124
6
B = 12·4 = 48V = 48·6 = 288
5. Volumen del ortoedro
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Calcula el volumen de la pecera en cm3
Largo = 1 m = 100 cm.Ancho = 45 cmAlto = 50 cm
El volumen será: V = 100 × 45 × 50 = 225 000 cm3.
Volumen del ortoedro. Ejercicio resuelto
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
a
V = a·a·a = a3
El cubo es un ortoedro con las tres aristas iguales
a
a
6. Volumen del cubo
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
El volumen de un prisma es igual al área de su base por su altura. V = B.h
hhh
h·2
a·b V
Prisma triangular Prisma rectangular Prisma pentagonal
B
ab
V = a·b·h V = (área del pentágono)·h
ab
7. Volumen del prisma
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Ejemplo. Calcula el volumen del prisma si el perímetro de la base es 6 cm y su altura 3,5 cm.
El volumen del prisma es igual al áreadel hexágono de la base por su altura. V = B.h
La base es un hexágono regular
Si p = 6, entonces l = 1, y su apotema a = 0,86.
Área de la base:
2cm 58,22
86,0·6
2
p·a B V = 2,58·3,5 = 9,03 cm3
1
0,5
a2 = 12 - 0,52 = 0,75
8. Volumen del prisma hexagonal
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Ejemplo. Calcula el volumen de un cilindro de altura 15 cm y radio de la base 4 cm.
El volumen del cilindro es igual al áreade su base (que es un círculo) por su altura.
V = 3,14·42·15 = 753,6 cm3
h·r· V 2
r
h 15·4· V 215 cm
4
9. Volumen del cilindro
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
El volumen de la pirámide es igual aun tercio del área de la base por la altura.
B·h·3
1 V B
h
Pirámide pentagonal
Pirámide cuadrangular
Ejemplo:
Calcula el volumen de una pirámide de 9 cm de altura, y cuya base es un rectángulo de 4 cm de largo por 2,5 de ancho.
3cm 309·10·3
1 B·h·
3
1 V
Área de la base: B = 4·2,5 = 10
Luego:
10. Volumen de la pirámide
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
El volumen del cono es igual a un tercio del área de la base por la altura. 3
·h·r V
2
Ejemplo:
Calcula la máxima cantidad de líquido que puede contener un embudo cuyas medidas aparecen en la figura.
32
cm 2253
·8,63,14·5 V
Si el diámetro vale 10, el radio r = 5 cm.
Luego:
225 cm3 = 225 ml = 0,225 litros.
11. Volumen del cono
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
3·r3
4 V
Ejemplo. Calcula el volumen del cuerpo de la figura.
Se trata de dos medias esferas y de un cilindro.
El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del producto 3·r
radio = r
El radio de las esferas y del cilindro es 7 cm; la altura del cilindro, 70 - 2·7 = 56 cm.
1436·73
4 V 7, r Si 3 El volumen total es: 32 ·r
3
4h·r· V
Luego, V = 3,14·72·56 + 1436 = 8616,16 + 1436 = = 10.052,16 cm3
56 cm
12. Volumen de la esfera
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Para resolver un problema: MEDIR VOLÚMENES “A OJO”
El alcalde está preocupado por el agua que va a consumir la piscina municipal a lo largo del próximo verano. Es mucha la sequía y poca el agua disponible. Él mismo se pregunta: ¿Cuánta agua será necesaria para llenar la piscina?
ESTIMA LONGITUDES
CALCULA MENTALMENTE
PROBLEMA
Hace las siguientes reflexiones:
Mi paso equivale a 1 m, y las dimensiones aproximadas de la piscina son:
Largo: unos 20 m. Ancho: unos 12 m. Profundidad: alrededor de 1,5 m.
Mentalmente hace este cálculo: 20 × 10 × 1,5 = 300Salen unos 300 m3, que equivalen a 300 000 litros de agua.
Resolución de problemas
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Leer y comprender el enunciadoPrimero:
Hacer esquemas o dibujosSegundo:
El contenedor es como una caja de 30 por 24 y por 18 dm. Se debe llenar con cajas cúbicas lo más grandes que se pueda.Se preguntan dos cosas:
Dibujamos un contenedor:
Introducimos cajas:
Problema. Una empresa tiene que transportar sus productos en contenedores con forma de ortoedro. Sus dimensiones interiores son de 30 dm, 24 dm y 18 dm. Los productos se envasan en cajas cúbicas iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuál es el volumen del contenedor? ¿Cuántas cajas caben exactamente en el contenedor?
1º) el volumen del contenedor; 2º) el número de cajas que pueden entrar en él.
30 dm
24 dm
18 dm
Resolución de problemas (I)
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Buscar la ideaTercero:
Aplicar las fórmulasCuarto:
Para que las cajas cúbicas quepan en número exacto, su arista debe ser divisor de 30, 24 y 18. Para que sean las de mayor tamaño, ese divisor será el más grande de ellos: el m.c.d.Como 30 = 2 · 3 · 5, 24 = 23 · 3 y 18 = 2 · 32, entonces m.c.d. (30, 24, 18) = 2 · 3 = 6. Luego la arista de las cajas valdrá 6 dm.
Volumen del contenedor :
V = 30 · 24 · 18 = 12960 dm3
Volumen de cada caja : 6 · 6 · 6 = 216 dm3
Número de cajas que caben: 12960 : 216 = 60
Problema. Una empresa tiene que transportar sus productos en contenedores con forma de ortoedro. Sus dimensiones interiores son de 30 dm, 24 dm y 18 dm. Los productos se envasan en cajas cúbicas iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuál es el volumen del contenedor? ¿Cuántas cajas caben exactamente en el contenedor?
30 dm
24 dm
18 dm
Resolución de problemas (II)
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Ejercicio resuelto La torre que se muestra en la figura se ha construido con cubos de 1 cm de arista. ¿Cuál es su volumen?
12 × 2 = 4
9
En total, 1 + 4 + 27 = 32.
El cubo que muestra el dibujo es un dado de los que se utilizan para jugar.
Con una regla comprobamos que su arista mide 1 centímetro.
Su volumen es 1 centímetro cúbico.
El centímetro cúbico es el volumen de un cubo de 1 cm de arista. El volumen del centímetro cúbico se indica así: 1 cm3
× 3 = 27
1 cm3
Volumen = 32 cm3
2. La unidad de volumen
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Por tanto: 1 dm3 = 1000 cm3
La figura adjunta representa un decímetro cúbico. Como 1 dm = 10 cm, en la primera capa hay 100 cubos de 1 cm3: 10·10.
1 m3 = 1000 dm3Luego:
Con 10 capas completamos el dm3. Luego, caben 1000 cm3: 100·10.
Análogamente puede verse que:
1 m3 = 1000 dm3 1 cm3 = 1000 mm3
= 1.000.000 cm3 1.000.000.000 mm3= por 1000 por 1000
Relación entre las unidades de volumen
VOLÚMENES Y CAPACIDAD
Regla general:
Una unidad de volumen es 1000 veces mayor que la de orden inmediatoinferior, y 1000 veces menor que la del orden inmediato superior.
Para pasar de una unidad a otra se sigue el esquema:
m3 dm3 cm3hm3km3 mm3dam3
De mayor a menor: Se multiplica por 1000
: 1000
x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000
De menor a mayor: Se divide entre 1000
: 1000 : 1000 : 1000 : 1000 : 1000
Cambio de unidad
