Embed Size (px)
Citation preview
Katedra stavební mechaniky
Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia
Výpočet vnitřních sil
přímého nosníku II
Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým zatížením
Výpočet nosníku v prostorové úloze
Výpočet nosníku v krutové úloze
2
Základní pojmy:
+z
+y +x
a b
l
h
d
F2
F1=2F
F F
1 2
Rovina souměrnosti
prutu
Řídící čára, osa prutu
(přímý prut), střednice (přímý i zakřivený prut)
P1 P2
1 2
Raz Rbz
Rax
a b
l
Statické schéma –
statický model nosné
konstrukce
Těžiště průřezu
Prut - geometrický popis prutu, idealizace
1,0,
l
dh
Průřez prutu
Prut rovinně nebo prostorově lomený.
3
M M
+ V
V
N N
M M
- V
V
N N
Směr působení vnitřních sil
Kladné směry vnitřních sil:
Záporné směry vnitřních sil:
4
Schwedlerovy vztahy -
Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové úloze
N N+dN
x1
x2 x
x dx
z
n
-N + (N+dN) + n.dx = 0
nx
N
d
d
Rx = 0:
Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:
5
Schwedlerovy vztahy –
Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze
V
V+dV
M M+dM
x1
x2 x
x dx
z
m
q
dQ = q.dx
-V + (V+dV) + q.dx = 0
-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0
qx
V
d
d
mVx
M
d
d
Rz = 0:
Mi,x2 = 0:
Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:
pro m=0: Vx
M
d
d
+
6
Závěry ze Schwedlerových vztahů
0d
dq
x
V
0d
dV
x
M
Extrém posouvajících sil V
je v průřezu, kde q=0
Extrém ohybových momentů
M je v průřezu, kde V=0 nebo
mění znaménko
inte
gra
ce
de
riva
ce
M
V
-q
Derivačně – integrační schéma
qx
V
d
d
Vx
M
d
d
Rax
b
Rbz
a
Raz l
n -
+
+
q
M
V
0 0
maxM
vodorovná
tečna
Q
3º
2º
1º
1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech
2. místa extrému u V(x) a M(x)
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením
a průběhy vnitřních sil
7
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103
qx
V
d
d
d
dV
x
M
Závěry:
inte
gra
ce
derivace
M
V
-q
1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech
2. místa extrému u V(x) a M(x)
8
Konstantní spojité zatížení – konzola – V síly
Rbz
a
l=2m
b
Mb q =10kN/m
Q = q.l=20kN
-
x lx ,0
Posouvající síla zleva
kNlqQR
R
bz
bx
20.
,0
kNmlq
M
lQM
b
b
202
.
2.
2
V
Rbx
0
Úloha řešena zleva
- Q = 20kN
+
9
xqV L
x .
Konstantní spojité zatížení – konzola – V síly
Rbz
a
l=2m
b
Mb q =10kN/m= konst.
Q = q.l=20kN
-
x lx ,0
Reakce: nutno řešit z podmínek rovnováhy
kNlqQR
R
bz
bx
20.
,0
00xa VV
kNRlqVV bzlxb 20.
kNmlq
M
lQM
b
b
202
.
2.
2
x.qVx
20
V
Rbx
kNlq
102
.
1º
0º
0
Náhr. břemeno Q nelze použít pro výpočet vnitřních sil na úseku daného spojitého zatížení.
V síla nepřechází přes 0, na celé délce prutu nebude extrém momentu.
Úloha řešena zleva
Posouvající síla v polovině délky prutu
kNqlqVV xlx101
212
+
Posouvající síla zleva
10
Konstantní spojité zatížení – konzola - momenty
Rbz = 20 kN
a
l=2m
b
Mb = 20 kNm q =10kN/m
Q = 20 kN
-
-
x
Ohybový moment
20
20
0
M
V
Rbx = 0 kN
0
vodorovná
tečna
Úloha řešena zleva
20bPb MM
+
+
kNml
QM Lb 20
2
220
2.
11
2
.
2..
2xqxxqM L
x
xqV L
x .
Konstantní spojité zatížení – konzola - momenty
a
l=2m
b
q =10kN/m= konst. Q = q.l
-
2º
-
x lx ,0
Posouvající síla
Ohybový moment
00xa MM
kNmlq
MM lxb 202
2.10
2
. 22
x.qVx
2
2.
2
.2
2
12
lqxqMM xlx
20
20
0
5M
V
2
2x.qM x
101º
0º
0
vodorovná
tečna
Náhr. břemeno Q nelze použít pro výpočet vnitřních sil na úseku daného spojitého zatížení.
Úloha řešena zleva
kNmq
M x 52
1. 2
1
Rbz = 20 kN
Mb = 20 kNm
Rbx = 0 kN
12
2
.
2..
2xqxxqM x
xqV x .
Důkaz Schwedlerových vztahů
a
l=2m
b
q =10kN/m= konst. Q = q.l
-
2º
-
x
x.qVx
20
20
0
5
V
2
2x.qM x
101º
0º
0
Úloha řešena zleva
M
Posouvající síla:
qx
V
d
d
Vx
M
d
d
Spojité zatížení:
konstqqx )(
Ohybový moment:
inte
gra
ce
de
riva
ce
M
V
-q
13
Nebezpečný průřez
b
Rbz
a
Raz
Q = q.l
x
M
V
Posouvající síla
Ohybový moment
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení
Reakce
Rax
Úloha řešena zleva x
q = 2 kN/m
l = 6 m
kNQ
RR bzaz 62
12
2
14
mq
Vx
xqVV
an
nan
32
6
00
q = 2 kN/m
kNmx
xqxRM nnnazn 9
2
3.23.6
2...
2
Nebezpečný průřez
b
Rbz
a
Raz l = 6 m
Q = q.l = 2.6 = 12 kN
n
2º
+
+
-
x
6
0
M
V
0
6
Posouvající síla
Ohybový moment
kNRV azLa 6
kNRV bzPb 6
kNQ
RR bzaz 62
12
2
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení
Reakce 0axR
Rax
Úloha řešena zleva
xn=3 m
x
9nM
vodorovná
tečna
1º
15
xqVxqRV aaz
L
x .
q
VxxqVV a
nnan 00
2
..
2.
2xqxR
xxqxRM azaz
L
x
q = konst.→
2
2
.8
1lqMM lxn
Nebezpečný průřez
b
Rbz
a
Raz l
Q = q.l
n
2º
+
+
-
x
2
.lq
0
M
V
0
2
.lq
Posouvající síla
Ohybový moment
2
.0
lqRVV azxa
bzaazlxb Rlq
lqVQRVV2
00xa MM 0lxb MM
2
.
2
lqQRR bzaz
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení
Reakce 0axR
Rax
Úloha řešena zleva
Umět odvodit, řešeno na tabuli, vzorec
platí jen pro tento případ
xn
x
2.8
1lqM n
vodorovná
tečna
1º
0º
16
Va = 7,35 = Vc
Příklad– normálové a posouvající síly - výpočet zleva
7 3
10
a b Rax= 0
Raz=
7,35kN
Rbz=13,65kN
q = 3kN/m Q = 3.7 = 21 kN
c
Výpočet V síly v důležitých bodech:
Va-c = Raz=Vc=7,35kN
Vb = Raz – Q= -13,65kN
+
xnL
n Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
Vn = 0
Vc – q . xnL = 0
xnL = 7,35/3 = 2,45 m
-13,65
xnP
1°
= 0 N
V
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
V(x) = Vc – q . xL
např. pro x=1:
V(1) = 7,35 – 3 . 1=4,35kN
např. pro x=5:
V(5) = 7,35 – 3 . 5= -7,65kN
xL
V(5)
V(1)
17
Va = 7,35 = Vc
Příklad–posouvající síly - výpočet zprava
7 3
10
a b Rax= 0
Raz=
7,35kN
Rbz=13,65kN
q = 3kN/m Q = 3.7 = 21 kN
c
Výpočet V síly v důležitých bodech:
Vb = -Rbz = -13,6kN
Vc-a = - Rbz + Q=7,35kN
Va = Vc
xnL
n Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
Vn = 0
Vc + q . xnP = 0
xnP = 13,65/3 = 4,55 m -13,65
xnP
1°
= 0 N
V
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
V(x) = Vb + q . xP
např. pro x=1:
V(1) = -13,65 + 3 . 1= -10,65kN
např. pro x=5:
V(5) = -13,65 + 3 . 5= 1,35kN
xP
+
V(1)
V(5)
18
7,35
Raz=7,35kN
Příklad - ohybové momenty
7 3
10
a b Rax
Rbz=13,65kN
q = 3 kN/m
c
1
2
xnL
-13,65
Mc=22,05
Extrémní moment v nebezpečném průřezu:
MnL = Raz . (3+xn
L) - q . (xnL)2 / 2
MnP = Rbz . xn
P - q . (xnP )2 / 2 xn
P
Ohybový moment v bodě e:
MeL = Raz . (3+4) - q .42 /2 = 27,45kNm
MeP = Rbz . 3 - q . 32 / 2 = 27,45kNm
na úseku c-b obecně zleva:
MxL = Raz . (3+xL) - q . (xL)2/2
na úseku b-c obecně zprava:
MxP = Rbz . x
P - q . (xP)2 / 2
d
4 3
n
n
Md
Me
e
na úseku a-c obecně:
Mx = Raz . x
Mc = Raz . 3
Podobně dopočítejte moment v d
(v místě náhradního břemene):
MdL= Md
P = 29,4 kNm
Ma = Mb = 0
1°
= 0 N
V
M
Mn = 31,05 kNm
20
N
3 6
L=9
a b
Rax=0
Raz=
Rbz=
Q
V
qx
x
L
xqq
x )(
Příklad 2 – normálové a posouvající síly
Výpočet V síly v krajních bodech:
+ Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
Vnitřní síly u trojúhelníkového zatížení nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!
q = 4kN/m
např. pro x=2:
Rax=0
Raz=6 kN
Rbz=12 kN
21
N
vodor. tečna
3 6
L=9
a b
Rax=0
Raz=6 kN
Rbz=12 kN
Q =0,5 .4.9 =18 kN
V
2
6
- 12
qx
x
5,11
= 0
L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!
L
xqV
x
L
xqV
xqVV aaxax 222
2
)(
L
xqq
x )(
Příklad 2 – normálové a posouvající síly
Výpočet V síly v krajních bodech:
Va = Raz=6kN
Vb = Raz – Q= -12kN
+ Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
Vnitřní síly u trojúhelníkového zatížení nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!
např. pro x=2: 1
9
8
9
24kNm
L
xqqx
q = 4kN/m
2
2
9
862V
L
xqVV a
2
2
222
xqVV xa nebo
kNV 11,592
246
2
2nebo
22
N
vodor. tečna
3 6
L=9
a b
Rax=0
Raz=6 kN Rbz=12 kN
Q =0,5 .4.9 =18 kN
n
n
V xn=
2
6
- 12
= 0
L
xqq
x )(
Příklad 2 – posouvající síly – nebezpečný průřez
+
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
q = 4kN/m
qn
xn 0nV
23
N
vodor. tečna
3 6
L=9
a b
Rax=0
Raz=6 kN Rbz=12 kN
Q =0,5 .4.9 =18 kN
n
n
V xn=5,196
2
6
- 12
= 0
L
xqq
x )(
Příklad 2 – posouvající síly – nebezpečný průřez
+
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
q = 4kN/m
qn
xn
mq
LVx a
n 196,52
0nV
02
nxan
xqVV
n
02
2
L
xqVV n
an
24
M
vodor. tečna
3 6
9
a b Rax=0
Raz=6 kN Rbz=12 kN
n
n
V xn=5,196
2
6
- 12
x
L
xqq
x )(
Příklad 2 – ohybové momenty
Obecně výpočet momentu pod
spojitým zatížením: q = 4kN/m
Výpočet momentu v nebezpečném
průřezu:
+
Výpočet momentu např. pro x= 2m od a:
25
M
vodor. tečna
3 6
9
a b Rax=0
Raz=6 kN Rbz=12 kN
n
n
V xn=5,196
2
3
Mn=20,785
6
- 12
vodor. tečna
Mx = Raz . x -1/2 . qx . x . x /3
= Raz . x -1/2 . (q.x/L). x .x /3
= Raz . xn - q . x3/6.L
Ma = Mb = 0
L
xqxRMobecně az
L
x 6:
3
)(
x
M(x=2) = 11,4kNm (dopočtěte)
11,4
5,11
L
xqq
x )(
Příklad 2 – ohybové momenty
Obecně výpočet momentu pod
spojitým zatížením:
Mn = Raz . xn - q . xn3/6.L
= 6 . 5,196 – 4 . 5,1963/6.9
= 20,785 kNm
q = 4kN/m
Výpočet momentu v nebezpečném průřezu:
+
26
M
vodor. tečna
L
a b Rax
Raz Rbz
n
n
V
2
3
Mn
Va=Raz
Vb
vodor. tečna
L
xqxRM azx 6
3
)(
x
L
xqq
x )(
Důkaz Schwedlerových vztahů
L
xqRV azx 2
2
)(
Posouvající síla (Va=Raz):
q
qx
V
d
d
Vx
M
d
d
Spojité zatížení:
L
xqq
x )(
Ohybový moment:
inte
gra
ce
de
riva
ce
M
V
-q
Jednoduchý důkaz, pokud je spojité zatížení po celé délce nosníku – platí ovšem vždy
27
Porovnání průběhů vnitřních sil
a
L =1,5m
b Mb
q=5kN/m
5,2
3º
-
x
75,394,0
2º
23,0
875,1
l
xqqx
.
Rax
x
c
qx
l
xqVx
.2
. 2
l
xqM x
.6
. 3
Mx
Vx
1º
Výpočet vnitřních sil zleva!!
q
-
28
Porovnání průběhů vnitřních sil (doma spočtěte - důležité)
a
L =1,5m
b Mb
q=5kN/m
5,2
3º
-
x
75,394,0
2º
23,0
875,1
l
xqqx
.
Rax
x
c
qx
l
xqVx
.2
. 2
l
xqM x
.6
. 3
Rbz
a
L=1,5m
b
Mb
q
3º
2º
x
75,3
0
81,2
17,1
75,3
Rax
x
c
l
xqqx
.
qx
Mx
Vx
1º
1º
l.
x.qVV bx
2
2
l.
x.qx.RMM bzbx
6
3
Výpočet vnitřních sil zleva!! Výpočet vnitřních sil zprava !!
q
-
-
-
29
Spojité zatížení v osové úloze
b a
Rax
l
Výpočet reakcí
Normálová síla
lnNRNR
F
axax
ix
.0
:0
lxnxnlnxnRN ax
L
x ....
n = konst.
N = n.l
lnRN axa .-
Při působení spojitého osového zatížení se vodorovná reakce určí pomocí
výslednice celého spojitého zatížení – plocha zatěžovacího obrazce
(obecně integrace, u jednoduchých obrazců elementární vzorce geometrie).
Obdobně se při výpočtu normálové síly určí dílčí výslednice spojitého
zatížení vlevo nebo vpravo od uvažovaného průřezu.
x
N
lxn.ln.
30
mRV az
L
x konst.
b
Rbz
a
l
Posouvající síla
Ohybový moment
ml
MRaz
ml
MRbz
0.... xmxmxmxRM az
L
x
m = konst.
M = m.l
Raz
-
Prostý nosník zatížený momentovým zatížením
M
V
mVV xa 0
mVV lxb
m
x
Reakce 0axR
Rax
31
Výpočet nosníku v prostorové úloze
Staticky určitý nosník v prostoru musí být podepřen nv=6 jednoduchými
vnějšími vazbami, které musí být správně uspořádány, aby nevznikl
výjimkový případ podepření.
Při řešení prostorového nosníku vycházíme z 6-ti podmínek rovnováhy:
a) Konzola
složky reakcí: Rax, Ray, Raz, Mx, My, Mz
b) Nosník na dvou podporách
složky reakcí: Rax, Ray, Raz, Rbx, Rby, Rbz
0,sixM 0,siyM
0ixF 0izF0iyF
0,sizM
Složky reakcí:
3 silové podmínky rovnováhy:
3 momentové podmínky rovnováhy:
z
Pz
x
y
Py qz
Px
32
Výpočet nosníku v krutové úloze
Jedna vnější vazba – jediná složka
reakce (nv = 1) z podmínky rovnováhy:
xaxaxxx
ix
MMMMM
M
0
:0
321
Jediná složka vnitřních sil
– kroutící moment T (torze).
Kladný směr při pohledu proti kladnému
smyslu osy x se snaží prut otáčet proti
směru hodinových ručiček – pravidlo pravé
ruky (proti-proti, levotočivé kroucení).
Mxa Mx3 Mx2 Mx1
3213 xxx MMMT
212 xx MMT
11 xMT
a b b
Zatížení nosníku kroutícím momentem Mx (momentem kolem osy x)
Podrobněji v předmětu Pružnost a plasticita
33
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým
rovnoměrným zatížením
2. Řešení trojúhelníkového zatížení nosníku
3. Výpočet nosníku v krutové úloze
4. Výpočet nosníku v prostorové úloze
