Vypracovala: Martina Žiaková III.B

Rovnice a ich riešenia

Obsah

1.Rovnica1.1 čo je to rovnica1.2 Definícia rovnice1.3 Ekvivalentné úpravy

2. Lineárne rovnice 2.1 Príklady k lineárnym rovniciam

3. Kvadratické rovnice 3.1 Diskriminant kvadratickej rovnice 3.2 Príklady ku kvadratickým rovniciam

Bibliografické údajePoďakovanie

RovnicaČo je to rovnica?

Rovnica je jeden zo základných pojmov v matematike

a jeden z prostriedkov, vďaka ktorému celá matematika

funguje. Rovnica má svoju ľavú stranu, nasleduje znamienko

rovnosti a pravú stranu. Triviálna rovnica môže vyzerať takto:

x=10

Táto rovnica je jednoduchá a hovorí nám, že hodnota

premennej x je rovná desiatim. Premenná x  potom obvykle

predstavuje niečo, čo hľadáme.

Definícia rovnice

K definícii pojmu rovnice budeme potrebovať vedieť,

čo je to funkcia. Ak poznáme funkciu, potom si môžeme

rovnicu predstaviť ako zápis rovnosti dvoch funkcií:

f(x)=g(x)

Vezmeme si na pomoc rovnicu 4x = −4x+8. Potom

by platilo, že f(x) = 4x a g(x) = −4x+8. Hľadáme také x,

pre ktoré má funkcia f rovnakú hodnotu ako funkcia g.

Vyriešením rovnice pomocou ekvivalentných úprav

dostaneme:

4x = -4x + 8 4x + 4x = -4x + 4x + 8 8x = 8 x = 1Výsledkom rovnice je hodnota x = 1.

Ekvivalentné úpravy

výmena pravej a ľavej strany rovnice

pripočítanie toho istého čísla k obidvom stranám rovnice

odpočítanie toho istého čísla od obidvoch strán rovnice

vynásobenie oboch strán rovnice tým istým číslom rôznym od nuly

vydelenie oboch strán rovnice tým istým číslom rôznym od nuly

umocnenie nezáporných strán rovnice (

odmocnenie nezáporných strán rovnice

logaritmovanie kladných strán rovnice

Lineárne rovnice

Lineárnou rovnicou s neznámou x nazývame každú rovnicu tvaru ax + b = 0, kde a, b sú reálne čísla a a ≠ 0.

Pri riešení môžu nastať 3 prípady:

ak a≠0, potom ax = -b a rovnica má práve jeden koreň x = - ;

ak a = b = 0, po úprave dostaneme 0 = 0 a to je pravdivý výrok (rovnosť), takže pôvodná rovnica má nekonečne veľa riešení resp. koreňom tejto rovnice je každé reálne číslo;

ak a = 0, b ≠ 0, po úprave dostaneme 0 = -b, a keďže b ≠ 0, tak sme dostali nepravdivú rovnosť - pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.

Rieš v R rovnicu:

Skúška: L(1)

Rieš v R rovnicu: /.6

K=R Rovnica má nekonečne veľa riešení.

 Rieš v R rovnicu:

Rovnica nemá žiadne riešenie

Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnica alebo algebrická rovnica druhého stupňa je

matematická rovnica, ktorá má nasledujúci všeobecný tvar:

Kvadratická rovnica je rovnica, ktorá obsahuje jednu neznámu,

ktorá je umocnená na druhú. Ak rovnica obsahuje neznámu, ktorá je

umocnená na vyššiu exponent než na druhú, tak potom sa už nejde o

kvadratickú rovnicu nejde.

Základný tvar kvadratickej rovnice vyzerá nasledovne:

ax2 + bx+ c = 0 sa nazýva aj VŠEOBECNÁ KVADRATICKÁ

ROVNICA.

Rieš v R rovnicu: a)  

a)D= ; D4.5.(8)= 324+160=484; x1,2 = x1=4, x2=  

b) D= ;

Rovnica nemá riešenie v množine R. 

Diskriminant  

Výraz D= b2- 4ac sa nazýva DISKRIMINANT.

Ak je , má kvadratická rovnica v R dva rôzne korene.

Ak je , má kvadratická rovnica v R jeden tzv. DVOJNÁSOBNÝ KOREŇ.

Ak je , nemá kvadratická rovnica v R žiaden koreň ; v množine C má dva komplexne združené korene.

Pri riešení kvadratickej rovnice vypočítame najprv Diskriminant a až potom rovnicu riešime, hľadáme jej korene.

Riešenie kvadratickej rovnice pomocou diskriminantu udáva vzorec:

x1,2 =

Rieš v R rovnicu:

Podmienky:

Bibliografické údaje

http://pohodovamatematika.sk/vyklad-uciva/algebra/linearne-rovnice-a-sustavy/linearne-rovnice-a-ich-riesenie

http://pohodovamatematika.sk/vyklad-uciva/algebra/kvadraticke-rovnice

http://www.priklady.eu/sk/Piesene-priklady-matematika.alej

http://sk.wikipedia.org/wiki/Kvadratick%C3%A1 rovnica

http://www.matweb.cz/rovnice#gsc.tab=0 

Černák,P.:Zmaturuj z matematiky,Bratislava,Didaktis s.r.o,s.224.ISBN 80-89160-01-8

Testy 2005 matematika,Bratislava,Didaktis s.r.o,s. 135.ISBN 80-89160-12-3

Ďakujem za pozornosť a

dúfam, že sa Vám môj projekt páčil.

Gymnázium Jozefa Gregora Tajovského 2013