VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA … · 4/3/2010 · Objemová stlačitelnost tekutin je schopnost zmenšovat svůj objem při zvýšení vnějšího tlaku

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Fakulta strojníkatedra hydromechaniky a hydraulických zařízení

Cvičení z mechaniky tekutin

Ing. Sylva Drábková, Ph.D.Doc. RNDr. Milada Kozubková, CSc.

2004OSTRAVA

Bernoulliho efekt se projeví poklesem statického tlaku a zvýšením rychlosti

tlakováenergie

kinetickáenergie

potenciálníenergie

Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin I

Obsah1. Úvod 1

2. Základní pojmy 2

2.1 Fyzikální vlastnosti tekutin 2

Hydrostatika 8

3. Tlakové poměry v kapalině za klidu 8

3.1 Hydrostatický tlak 8

3.2 Hladinové plochy 11

3.3 Pascalův zákon 13

4. Tlakové síly 15

4.1 Dno nádoby 15

4.2 Tlakové síly na šikmé rovinné stěny 15

4.3 Tlakové síly na křivé plochy 18

5. Relativní pohyb kapaliny 23

5.1 Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený 23

5.2 Pohyb rovnoměrně otáčivý 24

Hydrodynamika 28

6. Základní pojmy a rozdělení proudění 28

6.1 Rozdělení proudění 28

7. Proudění dokonalých kapalin 32

7.1 Rovnice kontinuity 32

7.2 Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu 33

8. Proudění vazké tekutiny 41

8.1 Proudění skutečných kapalin 41

8.2 Bernoulliho rovnice pro skutečnou tekutinu 41

9. Laminární proudění 44

9.1 Proudění v trubici kruhového průřezu 44

9.2 Proudění mezi paralelními deskami 46

9.3 Proudění mezi paralelními deskami s unášivým pohybem 47

9.4 Proudění válcovou mezerou 48

9.5 Stékání po svislé stěně 49

9.6 Proudění klínovou mezerou tvořenou rovinnými deskami 50

10. Turbulentní proudění 51

10.1 Bernoulliho rovnice pro turbulentní proudění 51

11. Hydraulický výpočet potrubí 53

11.1 Třecí ztráty v potrubí 53

11.2 Místní ztráty 61

11.3 Jednoduché potrubí 65

11.4 Gravitační potrubí 70

11.5 Složené potrubí 71

Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin II

11.6 Charakteristika potrubí 73

12. Výtok z nádob, přepady 77

12.1 Stacionární výtok kapaliny malým otvorem 77

12.2 Výtok velkým otvorem v boční stěně 78

12.3 Výtok ponořeným otvorem 79

12.4 Výtok při současném přítoku 80

12.5 Vyprazdňování nádob 81

12.6 Přepady 83

13. Proudění v rotujícím kanále 85

13.1 Bernoulliho rovnice pro rotující kanál 85

13.2 Odstředivé čerpadlo 87

13.3 Čerpadlo a potrubí 89

14. Neustálené proudění v potrubí 97

14.1 Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění nestlačitelné kapaliny 97

14.2 Rozběh proudu v potrubí při výtoku z nádoby 98

14.3 Hydraulický ráz 103

15. Věta o změně hybnosti 107

15.1 Deska v klidu 107

15.2 Pohybující se deska 109

15.3 Rotační těleso 110

15.4 Peltonovo kolo 110

15.5 Silový účinek proudu na potrubí 111

16. Obtékání těles 113

16.1 Odpor těles a tloušťka mezní vrstvy 113

17. Proudění v korytech 116

17.1 Rovnoměrný průtok 116

18. Fyzikální podobnost a teorie modelování 119

18.1 Hydrodynamická podobnost při proudění kapalin 119

19. Přílohy 121

19.1 Hustota vody, vzduchu a rtuti, dynamická viskozita a kinematická viskozita vody a

vzduchu v závislosti na teplotě121

19.2 Hustota suchého vzduchu v závislosti na tlaku a teplotě 122

19.3 Napětí nasycené vodní páry při teplotách 95 ¸ 140 0C 122

19.4 Dynamická viskozita vody a páry v závislosti na teplotě a tlaku 123

19.5 Kinematická viskozita vody a páry v závislosti na teplotě a tlaku 124

19.6 Fyzikální vlastnosti plynů při 0 °C a tlaku 0.1 MPa, pevných látek a kapalin při 18 °C 125

19.7 Absolutní drsnosti potrubí 126

19.8 Stupeň drsnosti při proudění v otevřených kanálech 126

19.9 Rychlostní součinitel C podle Pavlovského 127

19.10 Těžiště a momenty setrvačnosti některých ploch a objemy těles 128

19.11 Součinitelé odporu těles 129

Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin III

20. Laboratorní cvičení z hydromechaniky 130

20.1 Měření třecí ztráty v potrubí 130

20.2 Experimentální stanovení charakteristiky čerpadla 132

20.3 Měření rychlostního profilu volného kruhového proudu 135

21. Přehled použitých označení 138

Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 1

1. ÚvodMechanika tekutin je základem pro řešení praktických inženýrských úloh v řadě oborů. Nachází

uplatnění nejen v oblasti strojírenství, ale také ve stavebnictví, energetice, ekologii, biologii, medicíně

a dalších disciplínách. Kromě teoretických vědomostí je podmínkou řešení úloh i schopnost aplikovat

nabyté poznatky v praxi.

Sbírka příkladů z mechaniky tekutin je určena k prohloubení a praktickému procvičení znalostí

získaných v předmětu Mechanika tekutin a Hydromechanika, přednášených na Fakultě strojní, Fakultě

metalurgie a materiálového inženýrství, Fakultě bezpečnostního inženýrství a Hornicko-geologické

fakultě. Je členěna tématicky, označením jednotlivých kapitol a podkapitol navazuje na skripta

„Janalík, J., Šťáva, P.: Mechanika tekutin“, vydané na VŠB-TU Ostrava v roce 2001.

Úvod každé kapitoly je věnován stručnému přehledu teorie a výčtu nezbytně nutných vztahů a

konstant, které slouží pro přípravu na výpočtová cvičení. Teoretický základ je následován souborem

řešených i neřešených příkladů s výsledky řešení. Součástí cvičení z hydromechaniky jsou laboratorní

úlohy, ve kterých se studenti seznámí s přípravou měření, jeho provedením a vyhodnocením. Ve

skriptech jsou uvedeny návody k měření a návrhy tabulek pro zpracování měření a vyhodnocení

hledaných veličin. Sbírku příkladů doplňují v příloze potřebné tabulky, grafy a závislosti vyhodnocené

statisticky z tabulek pro snadnější použití, které doplňují podle potřeb a zkušeností získaných ve

výuce.

Ve skriptech je důsledně používána soustava jednotek SI. Označení veličin je převzato ze skript

„Janalík, J., Šťáva, P.: Mechanika tekutin“. Upozorňujeme na podobnost značek rychlosti v a

kinematické viskozity n , které vyplývají z podobnosti písma v aplikovaném editoru rovnic.

Cvičení z mechaniky tekutin vychází ve druhém přepracovaném vydání.


2. Základní pojmyTekutina je pojem zahrnující kapaliny a plyny. Je to spojité prostředí, které je homogenní a

izotropní (jeho vlastnosti jsou ve všech směrech stejné). Kapaliny se odlišují od plynů a par konstantní

či téměř konstantní měrnou hmotností, tj. hustotou ( konst=r ) a jsou tedy nestlačitelné či velmi málo

stlačitelné. Zavádí se pojem kapaliny ideální, což je kapalina bez vnitřního tření a nestlačitelná.

2.1. Fyzikální vlastnosti tekutin

Měrná hmotnost neboli hustota tekutiny je hmotnost objemové jednotky tekutiny podle vztahu

Vm

=r

Hustota kapalin je závislá na teplotě )(Trr = přibližně lineárně. Měrná hmotnost (hustota) plynů

závisí nejen na teplotě, ale též významně na tlaku ),( pTrr = a pro ideální plyn je dána stavovou

rovnicí ve tvarurTpmrTpV =Þ= r (kde r je měrná plynová konstanta). Závislosti měrné

hmotnosti technicky důležitých látek jsou uvedeny v příloze 19.

Viskozita tekutiny se projevuje při proudění skutečných tekutin. Míra velikosti vnitřního tření

charakterizuje tekutost či fluiditu. S využitím Newtonova vztahu pro tečné napětí laminárního proudu

lze dynamickou vazkost h vyjádřit takto:

yv

¶¶

=ht

Jednotka součinitele h v předchozím vztahu, tj. dynamické viskozity, se definuje

Pa.sm.skg

mN.s

][][][

][2

====v

yth

Technická soustava jednotek (stále používaná v příručkách a tabulkách) zavádí pro jednotku

dynamické viskozity označení 1 P (Poise), což je sPascmgP ×=××= -- 1,011 11 .

Vazkost (viskozita) se vyjadřuje dále součinitelem kinematické vazkosti (viskozity) s příslušnými

jednotkami

123

][ -×=××

== smkgm

smkg

nrh

n

V praxi je dosud stále důležitá jednotka kinematické viskozity v soustavě technické – 1 Stokes, pro

niž platí 12412 1011 --- =×= smscmS .

Z měření vazkosti kapalin Englerovým viskozimetrem vyplývá další jednotka viskozity Englerův

stupeň, která se definuje se jako poměr doby výtoku t objemu 200 cm3 zkoumané kapaliny při dané

teplotě k době výtoku destilované vody o teplotě t = 20oC, tedy

][2

Eo

OHE t

tn =


Viskozitu vyjádřenou v Englerových stupních lze převádět na kinematickou viskozitu v SI jednotkách

pomocí empirického vztahu

E];s[m10316317 o126 --×÷÷ø

öççè

æ-=

EE

,,n

nn

Viskozita je obecně funkcí veličin stavu, tj. tlaku a teploty. Mimo závislosti pro vodu a vzduch, které

jsou uváděny v přílohách 19, jsou technicky důležité závislosti dynamické viskozity na teplotě pro

minerální oleje. Tyto závislosti lze dobře aproximovat exponenciální funkcí ve tvaru

)(0

Tke ×-×= hh nebo BtA

e +×¢= 0hh

kde BAk ,,,, 00 hh ¢ jsou konstanty, které je nutno pro jednotlivé druhy olejů určit experimentálně a

statisticky např. metodou nejmenších čtverců (např. pomocí software EXCEL).

Objemová stlačitelnost tekutin je schopnost zmenšovat svůj objem při zvýšení vnějšího tlaku.

Vyjadřuje se součinitelem stlačitelnosti

[ ]1Pa1 -

= DD

=÷÷ø

öççè

æ¶¶

-=p.V

VpV

V konstTd

který vyjadřuje změnu objemu kapaliny 0VVV -=D připadající na jednotku původního objemu

V při změně tlaku ( )ppp -=D 0 . 0V a 0p jsou objem a tlak tekutiny po stlačení.

Převrácená hodnota součinitele objemové stlačitelnosti d je modul objemové pružnosti kapaliny K

][1 PaKd

= , který závisí na stavových veličinách, tj. tlaku a teplotě.

Součinitel objemové roztažnosti kapalin vyjadřuje schopnost kapaliny zvětšit svůj objem při

zvýšení teploty

[ ]1O1 C,K1 --

= DD

=÷÷ø

öççè

æ¶¶

=t.V

VtV

V konstpb

a je definován změnou objemu kapaliny VVV -=D 0 připadající na jednotku původního objemu V

při změně teploty ( )ttt -=D 0 . 0V a 0t jsou objem a teplota kapaliny po zahřátí. Pro výpočet

objemu 0V po roztažení z původního objemu V lze použít vztah ( )t.VV D+= b10 .

Povrchové napětís působí na rozhraní mezi kapalinou a jinou látkou. Definuje se jako tzv.

kapilární konstanta [ ]1Nm-=l

Fpns , kde pnF je výsledný účinek povrchových sil mezi molekulami

kapaliny a jiné látky a l je délky rozhraní.

Kapilární jevy jsou důsledkem povrchového napětí. Vyskytují u trubiček velmi malého průměru

– kapilár, nebo v porézním prostředí. Když adhezní síly jsou větší než kohezní, vystupuje kapalina

v kapiláře do výšky h . V opačném případě, kdy kohezní síly jsou větší než adhezní, zůstává kapalina

v kapiláře o výšku h níže než je hladina okolní kapaliny. Kapilární výšky h se dají spočítat

z podmínky rovnováhy mezi gravitačními silami a povrchovými silami:


ghdd rpsp 2

4= , odtud

gdh

rs4

=

Příklad 2.1.1

Ve zcela zaplněné tlakové nádrži je voda o tlaku p . Po vypuštění objemu VD vody klesl tlak na tlak

atmosférický, tj. 10 =p bar = 105 Pa abs. Určete objem vody v nádrži při zanedbání pružnosti nádoby.

Zadáno: Vypočtěte: Výsledek:p abs. = 10 bar V = ? m3 80.00

VD = 36 dm3

K = 2000 MPa

Řešení:pVKV

DD

=

Příklad 2.1.2

Při tlakové zkoušce potrubí o průměru d a délce l klesl za hodinu tlak z .1relp na .2relp . Určete,

kolik vody vyteklo netěsnostmi potrubí, je-li potrubí absolutně tuhé.

Zadáno: Vypočtěte: Výsledek:d = 400 mm VD = ? m3 0.06283

l = 2 kmK = 2000 MPa

.1relp = 7.5 MPa

.2relp = 7 MPa

Příklad 2.1.3

Potrubí průměru d a délky l je naplněno vodou při atmosférickém tlaku. Jak velký objem VD je

nutno vtlačit do potrubí při tlakové zkoušce, aby se tlak zvýšil o pD ? Potrubí považujte za tuhé, měrná

hmotnost vody je r , modul pružnosti kapaliny je K . Určete součinitel stlačitelnosti d a teoretickou

rychlost zvuku ta .

Dp

l

d

DVZadáno:l = 70 md = 450 mmpD = 0.5 MPa

K = 2E+09 Par = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:VD = ? m3 0.00278d = ? MPa-1 0.00050

ta = ? m.s-1 1414.21


Příklad 2.1.4

Přístroj na kontrolu manometrů má šroub se závitem M20 x 1,5. Vnitřní objem má tvar válce o

průměru D a délce l . Určete změnu tlaku při zašroubování šroubu o 3 otáčky vřetena. Vypočtěte

teoretickou rychlost zvuku ta .

p

M20

x1.5

l

D

Příklad 2.1.5

Stanovte posunutí pístu lD hydraulického válce vlivem stlačitelnosti kapaliny při zatížení pístnice

silou F . Určete teoretickou rychlost zvuku v oleji ta , vypočtěte součinitel stlačitelnosti kapaliny d .

F

l

Dl

d

K, r

olej

Příklad 2.1.6

Kapalina má viskozitu 100 E a měrnou hmotnost r . Určete její kinematickou a dynamickou viskozitu

v soustavě SI.

Zadáno: Vypočtěte: Výsledky:n = 10 0E n = ? m2s-1 0.0000725r = 0.89 kg.dm-3 h = ? Pa.s 0.0645250

Řešení: Kinematická viskozita se určí z empirického vztahu 60

0 1031,631,7 -×÷øö

çèæ -×=

EEn a

dynamická viskozita ze vzorce rnh ×= .

Zadáno:D = 30 mml = 100 mm

K = 2000 MPar = 1000 kg.m-3

s = 1.5 mmVypočtěte: Výsledky:

VD = ? m3 0.0000014V = ? m3 0.000071pD = ? MPa 39.43662

ta = ? m.s-1 1414.21

Zadáno:l = 1000 mmd = 80 mmF = 28000 Nr = 900 kg.m-3

K = 1300 MPaVypočtěte: Výsledky:

pD = ? MPa 5.57043lD = ? m 0.00428

ta = ? ms-1 1 201.85

d = ? MPa-1 0.00077


Příklad 2.1.7

Závislost dynamické viskozity na absolutní teplotě je dána tabulkou. Najděte koeficienty 0h a k této

závislosti ve tvaru ( )Tke ×-×= 0hh pomocí lineární regrese a určete hodnotu viskozity pro teplotu t =

24oC a 58oC.

Řešení:

Teplota a viskozita v prvních

dvou sloupcích se překopíruje

do EXCELu, teplota se

přepočítá na absolutní, tj.

15.273+= tT . Vytvoří se graf

závislosti viskozity na teplotě,

proloží se spojnice trendu ve

tvaru exponenciální funkce a

vyhodnotí se koeficienty 0h a k .

Závislost viskozity na teplotě

y = 16872.0799436e-0.0614571x

R2 = 0.9930166

0.00000

0.00005

0.00010

0.00015

0.00020

0.00025

290 295 300 305 310 315 320 325T [K]

h [Pa.s]

Příklad 2.1.8

Stanovte povrchové napětí s vody, jestliže ve skleněné kapiláře o průměru d byla naměřena

kapilární elevace h .

Zadáno: Vypočtěte: Výsledky:t [oC] h [Pa.s] 0h = ? Pa.s 16872.08

23 2.25E-04 k = ? K-1 -0.061457128 1.52E-04

24h = ? Pa.s 0.00019773932 1.18E-04

49h = ? Pa.s 4.25433E-05

38 7.89E-0543 5.89E-0548 4.52E-0550 4.32E-05


d

h

Příklad 2.1.9

Válcová nádrž o rozměrech d a h je zcela naplněna vodou o atmosférickém tlaku o teplotě 0t .

Určete změnu tlaku v nádrži při změně teploty na hodnotu 1t . Součinitel teplotní roztažnosti vody je

b a modul pružnosti vody je K . Poddajnost stěn nádoby zanedbejte.

Řešení:

VpV

KD

D= 0

0VVKp D

=DÞ

( ) tVVVVtVVtVV D=DÞD+=D+=D+= bbb 00000 1

( )010

0 ttKV

tKVp -=

D=D b

b

Příklad 2.1.10

V plynojemu se uchovává plyn o objemu V při teplotě t a přetlaku pp . Měrná plynová konstanta je

r ( mRr = , kde m je molekulová hmotnost, R je univerzální plynová konstanta) a 0p je

barometrický tlak. Určete hmotnost plynu m v plynojemu, látkové množství plynu n a objem plynu

nV při teplotě 0 OC a tlaku 101325 Pa (tj. při normálních podmínkách).

Zadáno: Vypočtěte: Výsledky:V = 100000 m3 m = ? kg 52 336.57t = 20 0C n = ? kmol 4 135.81

pp = 2.4 kPa nV = ? mn3 92 694.77

r = 657 J.kg-1K-1

0p = 984 hPaR = 8314 J.K-1.kmol-1

Řešeni:rTpVmmrTpV =Þ=

RTpVnnRTpV =Þ=

n

nn

n

nnpT

TpVV

TpV

TVp

=Þ=

Zadáno:h = 15 mmd = 2 mmr = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:s = ? N.m-1 0.07358

Řešení:

44 gdhgd

h rs

rs

=Þ=

Zadáno:d = 1 mh = 3 mK = 2000 MPa

0t = 20 OC

1t = 30 OC

b = 0.00064 (OC)-1

Vypočtěte: Výsledky:

pD = ? MPa 12.80


Hydrostatika

3. Tlakové poměry v kapalině za kliduTlak kapaliny je tlaková síla, působící na jednotku plochy. Je-li tlak na ploše rovnoměrně rozložen,

je dán poměremSFp = , při nerovnoměrném rozložení tlaku je dán obecně

SdFdp = . Jednotkou

tlaku v soustavě SI je 1 Pascal, tj. síla 1 N působící na plochu 1 m2 neboli 1Pa=1Nm-2.

3.1. Hydrostatický tlak

Hydrostatický tlak jako účinek kapalinového sloupce se vypočte ze vztahu

hgp r=

Tlak jako stavová veličina se vyjadřuje absolutní a relativní hodnotou. Absolutní tlak se vztahuje

k absolutnímu vakuu. Relativní tlak (podtlak resp. přetlak) se vztahuje k libovolně zvolené hodnotě,

nejčastěji ke hladině atmosférického tlaku 0p a platí vztah

0ppp relabs +=

Ve sporných případech je nutno za jednotkou označit, zda se jedná o tlak absolutní či relativní.

Tlaková diference je rozdíl tlaků ve dvou místech 1, 2

21 ppp -=D

Tlaky 21, pp je nutno dosazovat shodně, tj. oba absolutní nebo oba relativní, protože rozdíl dvou

tlaků udaných v absolutních či relativních jednotkách je stejný. Vztah mezi absolutním a relativním

tlakem je obdobou vztahu mezi absolutní a relativní teplotou ][273 KtT += . Schematicky je tento

vztah patrný obrázku

p [Pa]p

1

p0

p2

0

p

p

p-p

p

1a

1r0

2r2a

vakuum

barometrický tlak

(pod

tlak)

(pre

tlak)


Příklad 3.1.1

Vypočítejte tlak pod hladinou vody v hloubce h , je-li na hladině hustota r . Uvažujte nestlačitelnou a

stlačitelnou kapalinu. Výsledky porovnejte.

p0

h

Řešení: V případě nestlačitelné kapaliny konst=r a hgpnestl r-= . V případě stlačitelné

kapaliny se předpokládá závislost ,dhedh.gdp Kpp 0

0

-

-=-= rr a tedy ÷øö

çèæ +-=

Kgh

.Kp 01lnr

a

Khg0

0

1rr

r+

= . Výška h se zadává záporně vzhledem k definovanému souřadnému systému

Příklad 3.1.2

Určete změnu tlaku v atmosféře v závislosti na nadmořské výšce. Uvažujte následující varianty

výpočtu vzhledem k definici hustoty:

a) hustota r =konst.

b) hustota se mění v závislosti na přibližně

určeném modulu stlačitelnosti

c) hustota se určí ze stavové rovnice,

předpokládá se polytropická změna

d) hustota se určí ze stavové rovnice, přitom

teplota je konstantní (izotermická změna)

e) hustota se určí ze stavové rovnice, přitom

teplota se mění lineárně

Řešení: V následující tabulce je přehled

vztahů, použitých v jednotlivých variantách.

Tlak není obecně konstantní, proto je zapsán

v diferenciálním tvaru. Vztah pro tlak se získá

integrací a integrační konstanta se určí z

podmínek 0rr = , 0TT = , 0pp = . Teplota

se uvažuje konstantní, jen v případě e) je

Zadáno:h = 8000 m

0p = 0 MPaK = 2100 MPa

0r = 1020 kg.m-3

Vypočtěte:

nestlp = ? MPa 80.04960

stlp = ? MPa 81.55565

1r = ? 1060.42

Zadáno:hustota 0r = 1.226 kg.m-3

atmosférický tlak 0p = 101325 Pa

teplota 0T = 288.15 K

měr.plyn.konstanta r = 287 J.kg-1.K-1

polytrop. exponent n = 1.23modul pružnosti K = 141725.6 Pagradient teploty g = -0.0065 K.m-1

p0

T0

z

p T

g

z


definována jako lineární závislost.

r T pNestlačitelná tekutina a)

0rr = 0TT =ghpp

dhgdp

00

0 .r

r-=

-=

Stlačitelná tekutina b)K

pp

e0

0

-

= rr2

0cK r=0TT =

÷ø

öçè

æ +-=

-=-=-

Kgh

ln.Kpp

dhedh.gdp Kpp

00

0

1

0

rrr

c)n

pp

1

00 ÷÷

ø

öççè

æ= rr 0TT =

1

00

1

00

11

..

-

÷÷ø

öççè

æ --=

÷÷ø

öççè

æ-=-=

nn

n

hrTg

nnpp

dhgppdhgdp rr

d)

0rTp

=r0TT =

00

0.

rTgh

epp

dhrT

pdhgdp

-=

-=-= r

e)

( )hTrp

gr

-=

0hTT g-= 0 ( )

gg

gr

rg

Thpp

dhhTr

pdhgdp

-

÷÷ø

öççè

æ-=

--=-=

00

0

1

.

Výše uvedené vztahy lze tabelovat v EXCELu a zobrazit pro porovnání tlak v závislosti na výšce h.

Závislost tlaku na výšce v atmosféře

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

75000 80000 85000 90000 95000 100000 105000

p [Pa]

h [m]

a) konst. hustota

b) modul pružnosti K

c) polytropie

d) izotermie

e) teplota je funkcí výšky


3.2. Hladinové plochy

Hladinové plochy jsou hladiny s konstantní hodnotou tlaku 0, == dpkonstp , případně dalších

skalárních veličin (teplota, hustota, měrná tíha, měrný objem). Hladinové plochy jsou ekvipotenciální

plochy a jsou vždy kolmé na výsledné zrychlení vnější hmotnostní síly a . Hladinové plochy mají

v úlohách hydrostatiky význam při výpočtu tlaků a tlakových sil.

Příklad 3.2.1

Otevřená svislá válcová nádrž je naplněna vodou o výšce 1h a olejem o výšce 2h . Tlak vody u dna

nádrže je změřen piezometrickou trubicí s výškou hladiny h . Jaká je hustota oleje or ? Jaká bude

výška hladiny v piezometrické trubici ( h¢ ), když se nádrž uzavře a tlak v nádrži stoupne o pD ?

p

voda

0p

olej

rV

0r

h

hh

12

Řešení: Pro otevřenou nádrž platí, že 0pp = .

ghpghghp vvo rrr +=++ 0120 a odtud( ) ( )

2

1

2

1

hhh

ghghh vv

orr

r-

=-

=

Pro uzavřenou nádrž s tlakem p , kde ppp D+= 0

ghpghghp vvo rrr ¢+=++ 012 a tedy( )

120 h

hgpp

hv

o

v++

-=¢

rr

r

Příklad 3.2.2

Jaký je rozdíl tlaků pD ve vodorovném potrubí (ve kterém proudí voda), který je měřen U-trubicí

naplněnou rtutí. Rozdíl výšek hladin je hD .

Dh

h

p1 2

pv

Hg

Zadáno:

1h = 0.2 m

2h = 1.2 mh = 1.2 m

0p = 0.10132 MPa

vr = 1000 kg.m-3

=Dp = 0.01 MPaVypočtěte: Výsledky:

or = ? kg.m-3 833.33

h¢ = ? m 2.21936

Zadáno:hD = 0.35 m

vr = 1000 kg.m-3

Hgr = 13600 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:pD = ? Pa 43262.10


Řešení: Podmínka rovnováhy v levém a pravém rameni diferenciálního U-manometru:

pL pp = ( ) hghhgphgp Hgvv D+D-¢=¢+Þ ..... 21 rrr

( ) hgppp vHg D-=-=D ..21 rr

Příklad 3.2.3

Tlak vody v potrubí se měří U-trubicí s otevřeným koncem. Rozdíl hladin rtuti v U-trubici je hD .

Poloha spodní hladiny rtuti ve vztahu k ose potrubí je dána výškou h . Jak veliký je měřený tlak p ?

Jak se při stejném tlaku p v nádobě změní údaj v U-trubici, změní-li se h na h¢ . Tlak ovzduší je 0p .

Příklad 3.2.4

Určete přirozený tah pD v topeništi, které je spojeno s komínem vysokým h . Hustota vzduchu je vzr

a hustota kouřových spalin je spr .

Příklad 3.2.5

V soustavě ústředního topení ohřívá kotel K vodu na teplotu 1t . V radiátoru R se voda ochladí na

teplotu 2t . Ostatní části jsou tepelně izolovány. Výškový rozdíl kotle a radiátoru je h . Určete přetlak

21 ppp -=D , který bude působit na ventil V , který za provozu přeruší cirkulaci vody.

hh

Dh

Dh

p rV

rHg

'

'

Zadáno:hD = 0.3 mh = 1 mh¢ = 1.5 m

0p = 0.1 MPa

vr = 1000 kg.m-3

Hgr = 13600 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:p = ? Pa 130214.80h¢D = ? m 0.33673

rVZ

SPr

h

Zadáno:

vzr = 1.29 kg.m-3

spr = 0.44 kg.m-3

h = 20 mVypočtěte: Výsledky:

pD = ? Pa 166.77


Řešení: ( ) hgp ..21 rr -=D

Příklad 3.2.6

Určete absolutní tlak vzduchu v nádobě, jsou-li údaje na dvoukapalinovém manometru následující :

1h , 2h , 3h a tlak ovzduší je 0p .

p

Hgr

rV

vzduch

h

hh

0

1

23

p

3.3. Pascalův zákonTlak je obecně funkcí polohy. Pokud jsou však hmotnostní síly působící na kapalinu v klidu mnohem

menší než síly tlakové, je tlak ve všech místech kapaliny konstantní, což je zákon Pascalův. Toho se

využívá například u hydraulických lisů, hydraulického akumulátoru, hydraulických pohonů.

Hydraulický lis je v podstatě nádoba s kapalinou, ve které se pohybují dva písty různých průměrů. Na

obou pístech je dle Pascalova zákona stejný tlak2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1÷÷ø

öççè

æ==Þ==

dd

SS

FF

SF

SFp

Příklad 3.3.1

Do nádrže naplněné kapalinou jsou vestavěny dva písty o průměrech 1d a 2d . Na první z nich

působí síla 1F . Určete tlak p v kapalině a sílu 2F udržující píst v rovnováze.

S1

S2

F1

F2

t2

1p p

2

t1

V

K

R

h

Zadáno:

1t = 90 oC

2t = 60 oCh = 8 m

Vypočtěte: Výsledky:== 901 rr ? kg.m-3 965.3== 602 rr ? kg.m-3 983.2

p = ? Pa 1404.79

Zadáno:

1h = 700 mm

2h = 600 mm

3h = 300 mm

Hgr = 13600 kg.m-3

vr = 1000 kg.m-3

0p = 0.1 MPaVypočtěte: Výsledky:

p = ? Pa 139043.8

Zadáno:

1d = 0.29 m

2d = 0.55 m

1F = 1407 kNVypočtěte: Výsledky:

p = ? MPa 21.30135

2F = ? kN 5060.84929


Příklad 3.3.2

Dva válce o různých velikostech jsou pevně spojeny tyčí. Jestliže na plochu 1S působí tlak daný 1p ,

pak na tuto plochu působí síla 1F , která je přenášena na plochu 2S a na výstupu se získá tlak 2p .

Určete hodnotu tohoto tlaku.

S1

S2

p1

F2

p2

Příklad 3.3.3

Táhlem spojené písty silového zařízení se ustálí v poloze naznačené na obrázku. Určete h , je-li dán

poměrdD

a H .

Příklad 3.3.4

Určete tlak plynu v plynojemu jestliže v U – trubici naplněné lihem je rozdíl hladin hD . Do jaké výšky

vystoupí hladina vody v trubici, kterou je plynojem spojen s vodní nádrží?

Zadáno:

1S = 20 cm2

2S = 16 cm2

1p = 1 MPaVypočtěte: Výsledky:

2p = ? Pa 1 250 000.0

p0

h

H

p0

D d

Zadáno:

dD

= 3

H = 4 mr = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:h = ? m 3.56

p

t

Dh

Zadáno:hD = 0.02 m

0p = 0.101 MPa

líhr = 800 kg.m-3

vodar = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:p = ? MPa 0.10084t = ? m 0.01631


4. Tlakové síly

4.1. Dno nádoby

Tlaková síla na dno nádoby (rovinná vodorovná plocha) se určí ze vztahů

VgShgSpF rr ===

Objem V je tzv. zatěžovací objem definovaný třemi

plochami, které ho omezují:

§ plocha S , na niž působí tlaková síla F

§ hladinová plocha tlaku ovzduší ( konstp =0 )

§ válcová plocha vzniklá pohybem povrchové

(tvořící) přímky po obrysu plochy S . Povrchová

přímka je rovnoběžná se silou FHydrostatický tlak p působící na vodorovné plochy,

pokud se uvažuje jen zemská tíže, je konstantní.

Tlaková síla F prochází těžištěm zatěžovacího objemu V .

4.2. Tlakové síly na šikmé rovinné stěny

Tlaková síla od kapaliny působící na šikmé a svislé rovinné plochy je dána vztahem

VgSpShgF TT rr ===

kde:

Tp - hydrostatický tlak v těžišti plochy

Th - svislá vzdálenost těžiště plochy S od

hladinové plochy tlaku ovzduší .0 konstp =

V je zatěžovací objem omezený následujícími

plochami:

§ plochou S , na kterou se počítá tlaková síla

§ sklopenou hladinovou plochou tlaku ovzduší

§ válcovou plochou vzniklou opsáním přímky rovnoběžné s hledanou silou F po obrysu plochy S .

Tlaková síla F je kolmá na plochu S , prochází těžištěm zatěžovacího obrazce a působiště tlakové

síly leží vždy pod těžištěm T plochy S . Platí vztah:

y

yTT

y

yP M

Jx

MJ

x +==

yJ - moment setrvačnosti plochy S k ose y

yTJ - moment setrvačnosti plochy S k ose Ty procházející těžištěm plochy a rovnoběžné s y

yM - statický moment plochy S k ose y , pro který platí SxM Ty =

h

V

F

TS

T

1

D

TP

x

x P

T

a

F

H O2

h t


Pro plochy nesouměrné k ose Tx platí

y

xyT

y

TT

y

xyt M

JM

yxSMJ

y +××

== kde

xyJ - deviační moment k osám x, y

xyTJ - deviační moment k souřadnému systému s počátkem v těžišti plochy.

Rozložením tlakové síly F do os kartézského systému se získají složky yx FF , .

Svislá složka tlakové síly yy VgF r= , kde je zatěžovací objem yV je opět určen:

§ plochou S§ hladinovou plochou tlaku ovzduší

§ válcovou plochou tvořenou svislou přímkou, která opíše plochu S po obrysu.

Vodorovná složka tlakové síly xF se rovná tlakové síle na průmět plochy S do svislé roviny

xTx ShgF r= .

Příklad 4.2.1

Stanovte velikost tlakové síly F na kruhové víko výpustě a vzdálenost působiště tlakové síly px .

Určete svislou složku tlakové síly yF .

D

TP

x

x P

T

a

F

H O2

h t

Řešení:4

.).sin(.....2DxgShgF TT

parr ==

4..

64.

2

4

Dx

D

xMJ

xx

T

Ty

tTP

p

p

+=+=

acos.FFy =

pT xxx -=D

Zadáno:D = 1 m

Tx = 1.8 ma = 40 degr = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:F = ? N 8914.54

px = ? m 1.83472

yF = ? N 6828.93


Příklad 4.2.2

Stanovte velikost síly F na kruhové víko nádrže, jestliže v připojené trubce je hladina ve výšce h .

Vypočtěte vzdálenost hD působiště P tlakové

síly od těžiště T plochy. Nakreslete zatěžovací

obrazec. Měrnou hmotnost vody uvažujte r .

Příklad 4.2.3

Stanovte tlakovou sílu F a vzdálenost jejího působiště ph pro čtvercové víko kanálu v hloubce Th

pod hladinou ( 0p = konst.). Určete střední hodnotu tlaku p na víko.

p0

h ha

F

T

H O

p0

P

2

PT

Příklad 4.2.4

Určete sílu F na páce, kterou se otevře ventil o průměru d uzavírající otvor v tlakové nádobě. Sklon

roviny ventilu je a a pákový převod ba . Přetlak na hladině je np .

d

a

l F

pn

ab

F /

h

p0

D

h

Dh

FP

H OT2

Zadáno:h = 1.4 mD = 0.8 mr = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:F = ? N 6 903.46hD = ? m 0.02857

Zadáno:

Th = 1.6 m

a = 1 mr = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:F = ? N 15 696.00

ph = ? m 1.65208

p = ? Pa 15 696.00

Zadáno:d = 0.25 ml = 0.6 mh = 0.85 m

ba = 3a = 60 0

np = 30000 Pa

r = 1000 kg.m-3



4.3. Tlakové síly na křivé plochy

Tlakové síly na křivé plochy se řeší dvěma metodami, tj metodou složkovou a metodou

náhradních ploch.

Metoda složková spočívá v určení svislé a vodorovné složky tlakové síly na křivou plochu. Pro

svislou složku tlakové síly platí

yV

yS

yyy VgdVgdShgdFFyy

rrr ==== òòò

Objem yV zatěžovacího obrazce je stejně určen jako při výpočtu svislé

složky yF u šikmé rovinné plochy. Je omezen následujícími plochami:

1. křivou plochou S , na niž se počítá svislá složka tlakové síly

2. hladinovou plochou tlaku ovzduší ( konstp =0 )

3. pláštěm vytvořeným svislými přímkami rovnoběžnými se složkou

yF nad obrysem křivé plochy S .

Objem yV se zpravidla vypočte jako rozdíl objemů dvou základních geometrických těles. Svislá složka

yF prochází těžištěm zatěžovacího objemu yV .

Vodorovná složka tlaku je určena rovnicí

xtxV

xS

xxx ShgVgdVgdShgdFFxx

rrrr ===== òòò

xS je plocha průmětu křivé plochy do svislé roviny. Postup výpočtu je stejný jako u šikmé rovinné

plochy, tj. vodorovná složka xF na křivou plochu S se

rovná tlakové síle na průmět xS křivé plochy do svislé

roviny a prochází těžištěm zatěžovacího objemu xV .

Výslednice tlakové síly na křivou plochu pak je

22yx FFF += a směr výslednice se určí

x

y

FF

tg =a . Výslednice tlakové síly F pak prochází

průsečíkem složek yx FF , . V případech, kdy křivá plocha má několikanásobný průmět ve směru

uvažované složky tlakové síly, je nutno křivou plochu rozdělit na tolik částí, aby každá část měla

jednoduchý průmět. Výsledná složka tlakové síly se určí součtem tlakových sil na všechny části křivé

plochy ( se zřetelem na znaménko ).

Při výpočtu tlakové síly na křivou plochu metodou

náhradních ploch se postupuje takto:

§ křivá plocha se nahradí rovinnou plochou (nebo více

rovinnými plochami) tak, aby křivá plocha a náhradní

plocha uzavíraly objem V . Tíha kapaliny v tomto

S

dS

dVy

Vy

3

2

1

V

S SF

x

F xxx

G

SFN

FNG

F

NS


objemu je G .

§ vypočte se tlaková síla na náhradní plochu NF (případně se určí vektorovým součtem

vypočtených tlakových sil na všechny náhradní plochy)

§ tíha kapaliny G se vektorově odečte nebo přičte, jestliže náhradní plochou se objem V přidal

nebo odečetl od celkového objemu tekutiny v nádobě.

Příklad 4.3.1

Stanovte tlakovou sílu F na válcový segmentový uzávěr o poloměru R a šířce B . Určete sklon

tlakové síly, tj. úhela . Určete vodorovnou složku xF a svislou složku yF tlakové síly F .

R

H O

F

2

a

Řešení: BRRgShgF xtx ..2

.... rr == BRgVgF yy .4

....2p

rr ==

22yx FFF +=

x

y

FF

arctg=a

Příklad 4.3.2

Stanovte tlakovou sílu F na válcový jez o průměru D a šířce B . Určete složky tlakové síly xF a yF

a úhel a .

D

F a

Příklad 4.3.3

Stanovte velikost tlakové síly F na válcovou plochu u dna nádrže o šířce B . Určete vodorovnou

složku tlakové síly xF přímým výpočtem a svislou složku tlakové síly yF .

Zadáno:R = 0.8 mB = 3 mr = 1000 kg.m-3


xF = ? N 9 417.60

yF = ? N 14 793.12F = ? N 17 536.46a = ? deg 57.5184

Zadáno:D = 1 mB = 10 mr = 1000 kg.m-3


xF = ? N 49 050.00

yF = ? N 38 523.75F = ? N 62 369.719a = ? deg 38.146


h

R

S

F

Příklad 4.3.4

Určete velikost síly F a její sklon a na válcovou plochu. Nakreslete zatěžovací obrazec pro svislou

složku tlakové síly yF . Vypočtěte vodorovnou složku tlakové síly xF . Prochází vektor síly F

středem S ?

R

S

Fa

Příklad 4.3.5

Stanovte velikost síly F na plochu tvaru polokoule a úhel a , který svírá s vodorovnou rovinou.

Určete vodorovnou složku tlakové síly xF .

F a

R

h

Řešení: 2..... RhgShgF tx prr == 3..34

21.... RgVgF yy prr ==

22yx FFF +=

x

y

FF

arctg=a

Zadáno:h = 1.2 mR = 0.8 mB = 4.0 mr = 1000 kg.m-3


xF = ? N 25 113.60

yF = ? N 17 946.24F = ? N 30 866.82

Zadáno:R = 0.8 mb = 4 mr = 1000 kg.m-3


xF = ? N 12 556.80

yF = ? N 5 389.44F = ? N 13 664.53a = ? deg 23.22919

Síla neprochází středem.

Zadáno:h = 6.5 mR = 4 mr = 1000 kg.m-3


xF = ? N 3 205 175.78

yF = ? N 1 314 943.91F = ? N 3 464 423.37a = ? deg 22.31


Příklad 4.3.6

Do karburátoru se přivádí benzín potrubím o průměru d přetlakem pp . Stanovte rozměry kulového

plováku z podmínky, že hladina benzínu v karburátoru má být v ose otvoru a že plovák má být

ponořen z poloviny v okamžiku otevření jehly. Hmotnost jehly je jm a plováku pm .

a bR

d

m p m j

pp

Příklad 4.3.7

Určete tlakovou sílu F na polokulové víko nádoby. Určete směr tlakové síly tj. úhel a . Prochází

výslednice F bodem S ? Nakreslete zatěžovací obrazec pro xF a yF .

p0

h

Rr

F

a

Řešení: 2.... RhgFx pr= 3..34.

21.... RgVgF yy prr ==

22yx FFF +=

x

y

FF

arctg=a

Příklad 4.3.8

Jakou silou F je zvedán svršek formy při odlévání duté polokoule? Vypočtěte tlak Ap kovu v bodě

A po odlití.

Zadáno:d = 3 mm

pp = 0.04 MPaa = 45 mmb = 15 mm

jm = 15 g

pm = 25 gr = 800 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:R = ? m 0.02605

Zadáno:R = 0.5 mh = 1.8 mr = 1000 kg.m-3


xF = ? N 13 868.55

yF = ? N 2 568.25F = ? N 14 104.35a = ? deg 10.4915


H

s

R F

A

kov r písekK

Příklad 4.3.9

Určete tlakovou sílu F na polokulové víko válcové nádrže, která je naplněna kapalinou o hustotě r .

Použijte metody náhradních ploch. Výška hladiny je h , poloměr polokoule je R . Nakreslete

zatěžovací obrazec pro sílu F :

p0

R F

r

h

Příklad 4.3.10

Určete výsledný tlak vody na plochu polokulového víka, které zakrývá kruhový otvor v šikmé stěně

nádoby. Těžiště otvoru je v hloubce h , průměr otvoru je d . Šikmá stěna svírá s vodorovnou rovinou

úhel a . Použijte metody náhrad. ploch.

T

a

F

d

S

h b

Řešení:4.......

2dhgShgF NtNp

rr == 33 .32...

34

21.... rgrgVgG prprr ===

Þ-= GFF N acos..222 GFGFF NN -+=

Zadáno:R = 0.4 ms = 0.023 m

H = 0.8 m

kr = 7800 kg.m-3


Ap = ? Pa 28 847.29

Zadáno:r = 1000 kg.m-3

h = 3 mR = 1 m


NF = ? N 92 456.99

G = ? N 20 546.00F = ? N 71 910.99

Zadáno:h = 2.5 md = 0.4 ma = 45 o

r = 1000 kg.m-3


NF = ? N 3 081.90G = ? N 164.37F = ? N 2968.0


5. Relativní pohyb kapaliny

5.1. Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený

V závislosti na zrychlení se určí sklon hladinových plochgatg =a . Poloha hladinové plochy

atmosférického tlaku ovzduší (nebo daného tlaku) se určí podle následujících podmínek

§ kapalina za pohybu nepřetéká z nádoby, pak je objem tekutiny v nádobě před pohybem a za

pohybu stejný ( konstV = ).

§ kapalina za pohybu přetéká, pak hladina tlaku ovzduší prochází okrajem nádoby, kde kapalina

začala přetékat.

a

a

a

Po vyšetření hladinové plochy tlaku ovzduší za relativního klidu kapaliny se řeší úlohy stejně jako u

nádoby s kapalinou za klidu. Pro tlak v libovolném místě platí hgp r= , kde h je svislá vzdálenost

bodu od hladiny tlaku ovzduší. Tlaková síla kapaliny F na plochu S je určena obecně VgF r= ,

kde V je objem zatěžovacího obrazce. Zatěžovací obrazec je určen podle stejných pravidel jako dříve

( hladinová plocha .0 konstp = je šikmá rovina ).

Příklad 5.1.1

Vozík ve tvaru hranolu se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a . Jeho objem

je rozdělen přepážkou na dvě části, v nichž je voda ve výši 1h , 2h . Šířka vozíku je B . Určete

výslednou tlakovou sílu F na přepážku.

a

h

h

L

2/3L

FF

1

2

1

2

x 1

x 2

Zadáno:L = 3 m

1h = 1 m

2h = 1.75 m

B = 1 ma = 3.924 m.s-1

r = 1000 kg.m-3


1F = ? N 9 613.80

2F = ? N 11 784.26

F = ? N 2 170.46

1x = ? m 0.40

2x = ? m 0.20


Řešení:31Ltgx a= , ( ) ( )

BxhxhgF2

.. 11111

++= r

62Ltgx a= , ( ) ( )

Bxh

xhgF2

.. 22222

--= r 12 FFF -=

Příklad 5.1.2

V uzavřeném sudu je kapalina o hustotě r . Sud se na podvozku pohybuje rovnoměrně zrychleným

pohybem se zrychlením a . Určete tlakovou sílu F na levé kruhové dno, je-li délka sudu l a průměr

d . V sudu je v nejvyšším bodě objemu odvzdušňovací otvor, v němž je tlak ovzduší 0pp =

(hladinová plocha atmosférického tlaku musí procházet odvzdušňovacím otvorem, což je rozhraní

mezi kapalinou a ovzduším).

d

l

a

F

ap

0

Příklad 5.1.3

Nádrž ve tvaru hranolu s malým zavzdušňovacím otvorem ve víku u přední hrany se na podvozku

pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a . Nádrž byla za klidu zcela zaplněna

kapalinou o hustotě r . Stanovte za pohybu tlakovou sílu 1F působící na dno nádrže, sílu 2F na víko

a sílu 3F na zadní stěnu nádrže.

5.2. Pohyb rovnoměrně otáčivý

Pro určení tlakové síly na stěny při rovnoměrném otáčivém pohybu nádoby s kapalinou nutno

definovat výšku pH rotačního paraboloidu na poloměru R , pro kterou platí

( )g

Rg

uH p 22

22 w×==

Zadáno:l = 1 m

d = 0.6 mp = 101325 ma = 2.943 m.s-1

r = 800 kg.m-3


Zadáno:a = 4.905 ms-2

b = 0.5 mc = 1 mh = 0.5 mr = 720 kgm-3


1F = ? N 2 648.70

2F = ? N 882.90

3F = ? N 1 324.35

h

c

a

F

ap

0

F

F

13

2


Na jiném poloměru r je výška paraboloidu určena analogickou rovnicí( )

gr

guhp 22

22 w×==

Poloha hladinové plochy tlaku ovzduší se vyšetří pro

následující případy:

§ Nepřetéká-li tekutina za pohybu z nádoby, je objem

kapaliny v nádobě před pohybem a za pohybu stejný

( konstV = ).

§ U otevřené válcové nádoby, pokud kapalina nevytéká,

hladina se může volně zvednout, půlí původní hladina

výšku paraboloidu ph , protože objem rotačního

paraboloidu je roven polovině objemu opsaného válce.

Při přetékání se ustálí hladina tak, že prochází místem, kde tekutina začala přetékat, tj. okrajem

nádoby.

Po vyšetření hladinové plochy tlaku ovzduší za relativního klidu kapaliny se řeší úlohy stejně jako u

nádoby s kapalinou v klidu. Tlak v kapalině je ghp r= , kde h je svislá vzdálenost daného bodu od

hladiny tlaku ovzduší. Tlaková síla F od kapaliny na plochu S je VgF r= , kde V je zatěžovací

objem dříve určený (hladinová plocha konstp =0 je rotační paraboloid).

Příklad 5.2.1

Stanovte otáčky nádoby n , při kterých se hladina 0p = konst. dotkne dna nádoby a nakreslete

hladinovou plochu atmosférického tlaku. Vyteče zčásti kapalina z nádoby? Když ano, jaký objem V

vyteče? Jaký relativní tlak Ap bude v místě A na poloměru Ar při rotaci nádoby s kapalinou?

r

hh

d

n

0

A

A

Řešení:ïî

ïí

ì

³

á=

2pro

2pro2

0

00

hhh

hhhH p

ïïî

ïïí

ì

³-

£=

hhhdhd

hhV

.21li-je

4.

21

4.

.21li-je0

0

2

0

2

0

pp

Zadáno:

0h = 0.0667 mh = 0.1 md = 0.1 m

Ar = 0.025 m

r = 1000 kg.m-3


pH = ? m 0.10n = ? s-1 4.459

Ap = ? Pa 245.40V = ? m3 0.000131

H

Rr

h

w

p

H /2 p p


( )Þ

×=

÷øö

çèæ ×

=g

ndg

d

H p 82

22 2

2

pw

( ) 222

8

d

g.Hn p

p=

( )grn

ghgp AAA 8

2...2....

2prr ==

Příklad 5.2.2

Válcová nádoba o průměru d a výšce h je zaplněna kapalinou do výšky 0h ode dna nádoby. Určete

maximální otáčky, při kterých kapalina nevyteče z nádoby a jaká bude výška paraboloidu.

hh

d

n

0

Příklad 5.2.3

Nádoba je až po otvor naplněna vodou. Určete výšku rotačního paraboloidu hladinové plochy ph ,

vypočítejte tlakovou sílu 1F na dno a 2F na víko nádoby, tlak 1p a 2p v místech 1 a 2 při rotaci

nádoby otáčkami n . Nakreslete hladinovou plochu atmosférického tlaku při rotaci. Otvor ve víku je

velmi malý. Vypočítejte úhlovou rychlost w .

d

n

h

2

1

Řešení: npw 2=( )

gd.H p 8

2w=

÷øö

çèæ += pHhd.gF

21

4

2

1p

r ( ) gHhp p r+=1

Zadáno:

0h = 6.667 cmh = 10 cmd = 4 cm


pH = ? m 0.06666n = ? s-1 9.10066

Zadáno:h = 0.3 md = 0.2 mn = 2 ot.s-1

r = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:w = ? s-1 12.57

pH = ? m 0.08053

1F = ? N 104.87

2F = ? N 12.41

1p = ? Pa 3 733.00

2p = ? Pa 790.00


24

2

2pHd.gF p

r= gHp p r=2

Příklad 5.2.4

Stanovte otáčky n nádoby, při nichž se hladina atmosférického tlaku dotkne dna. Určete tlak Ap v

bodě A při rotaci nádoby s kapalinou. Nádoba má ve víku malý otvor. Nakreslete hladinovou plochu

atmosférického tlaku při rotaci.

D

n

h

2

1

hA

Řešení: Þ¢= vzduchukapaliny VV ( ) 28.

4.

1

211

2

21

2

hhh

DdhdhhD -=Þ=-

pp

( )pp

ww218

28 21

2

1dgh

ng

dh ==Þ= ,gDgghp AA 8

22wrr ==

Příklad 5.2.5

Nádoba je naplněna po okraj kapalinou. Vypočtěte objem kapaliny V , který přeteče otvorem ve víku

nádoby při její rotaci otáčkami n , při kterých se hladinová plocha 0p =konst dotkne dna. Určete

relativní tlak Ap v bodě A při rotaci nádoby. Kolikrát se zvětší tento tlak ve srovnání s původním

tlakem za klidu.

D

n

h

A

d

Zadáno:

1h = 1.1 m

2h = 0.9 mD = 1.4 mr = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:n = ? s-1 1.75160

Ap = ? Pa 29 675.29

Zadáno:d = 0.15 mD = 0.3 mh = 0.25 mr = 1000 kg.m-3

Vypočtěte: Výsledky:n = ? s-1 4.69979

V = ? m3 0.00221

Ap = ? Pa 9 809.99j = ? 4.00

Documents

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA … · 4/3/2010 · Objemová stlačitelnost tekutin je schopnost zmenšovat svůj objem při zvýšení vnějšího tlaku