w3 - Metode Simplex-2

8/16/2019 w3 - Metode Simplex-2

1/26

METODE SIMPLEKS


2/26

Pengertian Umum

Motode simpleks adalah prosedur aljabar yang bersifatiteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah,dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah sibel(ruang solusi) menuju ke titik ekstrem yang optimum.

sehingga akhirnya diperoleh suatu pemecahan dasaryang optimal.

Metode ini digunakan karena metode grafk tidakdapat menyelesaikan persoalan linear programyang memilki variabel keputusan yang cukup

besar atau lebi dari dua!


3/26

!impleks". #ormulasi dalam bentuk standar

$. %on&ersi pada bentuk standart' alam menyelesaikan persoalan programa linier dengan

menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakanadalah

' !eluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda *) denganruas kanan yang non negatif

' !eluruh &ariabel harus merupakan &ariabel non negatif ' #ungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi

' #ormulasi yag belum standar kedalam bantuk standar a. Pembatas (constraint)' Pembatas bentanda + atau dapat dijadikan suatu persamaan

(bertanda *) dengan menambahkan atau mengurangi dengan suatu

&ariabel slack pada ruas kiri pembatas tersebut.-ontoh "

" / $ $ + 0 maka kita tambahkan slack s" 1 pada ruas kiri sehinggamemperoleh "# $ %"% $ s# & '


4/26

-ontoh $ 23" / $3$ 4 232 5 maka harus dikurangkan &ariabel s$ 1 pada ruaskiri sehingga diperoleh persamaan ()# $ %)% * ()( * s% & +

6uas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan ".

-ontoh $3" 23$ 732 * 5 secara matematis adalah sama dengan,%)#$()%$-)( & +

8rah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruasdikalikan dengan ".

-ontoh $ 9 : adalah sama dengan ,% . ,/$3" 4 3$ + 5 adalah sama dengan ,%)# $ )% 0 +

b! 1ariabel!uatu &ariabel ;i yang tidak terbatas dalam tanda dapat

dinyatakan sebagai dua &ariabel non negatif denganmenggunakan subtitusi.

c! 2ungsi Tu3uan


5/26

2. Menentukan solusi basis' =#! (!olusi =asis #isibel) nilai sumber daya pembatas yang masih

tersedia. Pada solusi a>al, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlahsumber daya pembatas a>al yang ada, karena akti&itas belum

dilaksanakan.imana diterapkan " * $ * 2 * 1 sehingga didapatkan nilai ?, !",

!$, !2 dan !:.

' =@ (=asis @ariabel) merupakan &ariabel yang nilainya bukan nol padasembarang iterasi

Menentukan &ariabel yang akan dicari nilainya, seperti ?, !", !$, !2dan !:

' A=@ (Aon =asis @ariabel) &ariabel yang nilainya diatur menjadi nolpada sembarang iterasi.

&ariabel yang dinolkan. !eperti ", $, dan 2.

:. ari formulasi kanonik diatas bah>a seluruh A=@ mempunyaikoe sien yang berharga negatif sehingga pada iterasi ini =#!belum optimal. -ontoh 4 * '5"# * (5"% * %5"( & 5


6/26

=entuk Matematis Maksimumkan ? * 2 " / 5 $ =atasan (constrain)

(") $ " ≤ B

($) 2 $ ≤ "5

(2) 0 " / 5 $ ≤ 21


7/26

8da beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalammetode simpleks, diantaranya

Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalamperhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya. 1ariabel non basis adalah &ariabel yang nilainya diaturmenjadi nol pada sembarang iterasi. alam terminologiumum, jumlah &ariabel non basis selalu sama dengan derajatbebas dalam sistem persamaan.

1ariabel basis merupakan &ariabel yang nilainya bukan nolpada sembarang iterasi. Pada solusi a>al, &ariabel basismerupakan &ariabel slack (jika fungsi kendala merupakanpertidaksamaan + ) atau &ariabel buatan (jika fungsi kendalamenggunakan pertidaksamaan atau *). !ecara umum,

jumlah &ariabel basis selalu sama dengan jumlah fungsipembatas (tanpa fungsi non negatif).

Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber dayapembatas yang masih tersedia. Pada solusi a>al, nilai kananatau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas a>alyang ada, karena akti&itas belum dilaksanakan.


8/26

1ariabel slack adalah &ariabel yang ditambahkan ke modelmatematik kendala untuk mengkon&ersikan pertidaksamaan+ menjadi persamaan (*). Penambahan &ariabel ini terjadi

pada tahap inisialisasi. Pada solusi a>al, &ariabel slack akanberfungsi sebagai &ariabel basis.

1ariabel surplus adalah &ariabel yang dikurangkan darimodel matematik kendala untuk mengkon&ersikanpertidaksamaan menjadi persamaan (*). Penambahan initerjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi a>al, &ariabelsurplus tidak dapat berfungsi sebagai &ariabel basis.

1ariabel buatan adalah &ariabel yang ditambahkan kemodel matematik kendala dengan bentuk atau * untukdifungsikan sebagai &ariabel basis a>al. Penambahan&ariabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. @ariabel ini harusbernilai 1 pada solusi optimal, karena kenyataannya &ariabelini tidak ada. @ariabel hanya ada di atas kertas.

Kolom kunci 6kolom ker3a7 adalah kolom yang memuat&ariabel masuk. %oe sien pada kolom ini akn menjadipembagi nilai kanan untuk menentukan baris kunci(bariskerja).


9/26

8aris kunci 6baris ker3a7 adalah salah satu baris dariantara &ariabel basis yang memuat &ariabel keluar.

Elemen kunci 6elemen ker3a7 adalah elemen yang terletakpada perpotongan kolom dan baris kunci. Clemen kunci akanmenjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

1ariabel masuk adalah &ariabel yang terpilih untuk menjadi&ariabel basis pada iterasi berikutnya. @ariabel masuk dipilihsatu dari antara &ariabel non basis pada setiap iterasi.@ariabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

1ariabel keluar adalah &ariabel yang keluar dari &ariabelbasis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh &ariabelmasuk. @ariabel keluar dipilih satu dari antara &ariabel basispada setiap iiterasi. @ariabel ini pada iterasi berikutnya akanbernilai nol.


10/26

Model 9mum Metode Simpleks!

#! Kasus Maksimisasi!

#ungsi Dujuan Maksimumkan ? 4 - " " - $ $ . . . . . 4- n n 1! " 1! $ . . . 1! n * A%

#ungsi Pembatas

a "" "" /a "$ "$ /. . . ./a "n n / ! " /1! $ /. . ./1! n * b "

a $" $" /a $$ $$ /. . . ./a $n n / 1! " /"! $ /. . ./1! n * b $

EE. EE.. EE. E.. E.. E. E..* E

a m" m" /a m$ m$ /. . . ./a mn n / ! " /1! $ /. . ./"! n * b m

@ar. %egiatan !lack @ar


11/26

Dabel !impleks

Var.Dasar

X1 X2 . . . . Xn S 1 S 2 . . . . S n NK

Z -C 1 -C 2 . . . . -C n 0 0 0 0 0

S 1 a 11 a 12 . . . a 1n 1 0 0 0 b1

S 2 a 21 a 22 . . . a 2n 0 1 0 0 b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S n a m1 a m2 . . . a mn 0 0 0 1 bm


12/26

$. %asus Minimisasi

#ungsi Dujuan Minimumkan

? 4 - " " - $ $ . . . . . 4- n n 1! " 1! $ . . . 1! n * A%

#ungsi Pembatas

a "" "" /a "$ "$ /. . . ./a "n n ! " 1! $ . . . 1! n * b "

a $" $" /a $$ $$ /. . . ./a $n n 1! " "! $ . . . 1! n * b $ EE. EE.. EE. E.. E.. E. E..* E

a m" m" /a m$ m$ /. . . ./a mn n ! " 1! $ . . . "! n * b m

&ar.kegiatan Surplus &ar.


13/26

Dabel !impleks

Var.Dasar

X1 X2 . . . . Xn S 1 S 2 . . . . S n NK

Z -C 1 -C 2 . . . . -C n 0 0 0 0 0

S 1 a 11 a 12 . . . a 1n -1 0 0 0 b1

S 2 a 21 a 22 . . . a 2n 0 -1 0 0 b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S n a m1 a m2 . . . a mn 0 0 0 -1 bm


14/26

Langkah-langkah metode simpleks

Langkah 1

!eng"bah #"ngsi t"$"an dan batasan-batasan

%"ngsi t"$"an

Z & 'X 1 ( )X 2 di"bah men$adi Z - 'X 1 - )X 2 & 0.

%"ngsi batasan *di"bah men$adi kesamaan + di ( sla,k ariabel

*1 2X1 ≤ / men$adi 2X 1 ( X ' & /

*2 'X 2 ≤ 1) men$adi 'X 2 ( X & 1)

*' X1 ( )X 2 ≤ '0 men$adi X 1 ( )X 2 ( X ) & '0

Sla,k ariabel adalah ariabel tambahan ang me3akili tingkat pengangg"ranata" kapasitas ang mer"pakan batasan


15/26

LFAC86 P6GH68MMFAH

MCDG C !FMPLC%!

%"ngsi t"$"an !aksim"mkan Z - 'X 1 - )X 2 & 0

%"ngsi batasan*1 2X1 ( X ' & /

*2 'X 2 ( X & 1)

*' X1 ( )X 2 ( X ) & '0


16/26

Langka %:Menyusun persamaan,persamaan didalam tabel

Beberapa Istilah dalam Metode Simplek NK adalah nilai kanan persamaan4 ait" nilai di belakang tanda samadengan * & . 5nt"k batasan

*1 & /4 *2 & 1)4 dan *' & '0.

Variabel dasar adalah ariabel ang nilain a sama dengan sisi kanandari persamaan. 6ada persamaan 2X 1 ( X ' & /4 kala" bel"m adakegiatan apa-apa4 berarti nilai X 1 & 04 dan sem"a kapasitas masihmengangg"r4 maka pengangg"ran ada / sat"an4 ata" nilai X ' & /. 6adatabel terseb"t nilai ariabel dasar *X ' 4 X 4 X) pada #"ngsi t"$"an padatabel perm"laan ini har"s 04 dan nilain a pada batasan-batasanbertanda positi#


17/26

". Dabel simpleks yang pertama

VariabelDasar Z

X1 X2 X' X X) NK

Z 1 -' -) 0 0 0 0

X' 0 2 0 1 0 0 /

X 0 0 ' 0 1 0 1)

X) 0 ) 0 0 1 '0

Z = 3X1 + 5X2 diubah me !adi Z " 3X1 " 5X2 = #$

%1& 2X1 ' me !adi 2X1 + X3 = '%2& 3X2 15 me !adi 3X2 + X( = 15%3& )X1 + 5X2 3# me !adi )X1 + 5X2 + X5 = 3#


18/26

Langka (: Memili kolom kunci Kolom kunci adalah kolom ang mer"pakan dasar "nt"kmeng"bah tabel simplek. 6ilihlah kolom ang memp"n ai nilaipada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka

terbesar .Dalam hal ini kolom X 2 & 7).

8erilah tanda segi empat pada kolom X 24 seperti tabel berik"t


19/26

VariabelDasar Z X1 X2 X' X X) NK Keterangan*9ndeks

Z 1 -' -) 0 0 0 0

X'

0 2 0 1 0 0 /

X 0 0 ' 0 1 0 1)

X) 0 ) 0 0 1 '0

$ Dabel simpleks pemilihan kolom kunci pada tabel pertama

:ika s"at" tabel s"dah tidak memiliki nilai negati# pada baris #"ngsi t"$"an4 berarti:ika s"at" tabel s"dah tidak memiliki nilai negati# pada baris #"ngsi t"$"an4 berartitabel it" tidak bisa dioptimalkan lagi *s"dah optimal .tabel it" tidak bisa dioptimalkan lagi *s"dah optimal .


20/26


21/26

2 Dabel simpleks -ara mengubah nilai baris kunci

VariabelDasar Z

X1 X2 X' X X) NKKeterangan *9ndeks

Z 1 -' -) 0 0 0 0

X' 0 2 0 1 0 0 /

X 0 0 ' 0 1 0 1)

X) 0 ) 0 0 1 '0

Z

X3

X2

X5

1I ( 1I ( 2I ( 1I ( "I ( 1I ( "5I (

/;0 & >

1);' & )

'0;) &

0 0 1 0 01;' 1);'


22/26

,a -kah,a -kah ). Me -ubah ilai" ilai selai pada baris ku i). Me -ubah ilai" ilai selai pada baris ku i

?"m"s ?"m"s 8aris bar" & baris lama 7 *koe#isien pada kolom k"n,i @ nilai bar" baris k"n,i8aris bar" & baris lama 7 *koe#isien pada kolom k"n,i @ nilai bar" baris k"n,i

A-' -) 0 0 04 0 B

*-) A # 1 # 1*3 #/ 5 B * -

Nilai bar" & A-' 0 0 );' 04 2)B

=aris pertama (?)=aris pertama (?)

8aris ke-2 *batasan 18aris ke-2 *batasan 1

A2 0 1 0 04 / B

*0 A # 1 # 1*3 #/ 5 B * -

Nilai bar" & A2 0 1 0 04 /B


23/26

8aris ke- *batasan '

A ) 0 0 14 '0 B

*) A # 1 # 1*3 #/ 5 B * -

Nilai bar" & A 0 0 -);' 14 ) B

VariabelDasar Z

X1 X2 X' X X) NK

Z 1 -' -) 0 0 0 0

X' 0 2 0 1 0 0 /

X 0 0 ' 0 1 0 1)

X) 0 ) 0 0 1 '0

Z 1 -' 0 0 );' 0 2)X3 0 2 0 1 0 0 /

X2 0 0 1 0 1;' 0 )

X5 0 0 0 -);' 1 )

abel pertama nilai lama dan tabel ked"a nilai bar"abel pertama nilai lama dan tabel ked"a nilai bar"


24/26

VariabelDasar Z

X1 X2 X' X X) NKKeterangan

*9ndeks

Z 1 -' 0 0 );' 0 2)

X' 0 2 0 1 0 0 /

X 0 0 1 0 1;' 0 )

X) 0 0 0 -);' 1 )

Z 1X' 0

X2 0

X1 0 ; 0 0 -);1/ 1; );

,a -kah 0. Mela !utka perbaika5langilah langkah-langkah perbaikan m"lai langkah ' sampai langkah ke-"nt"k memperbaiki tabel-tabel ang telah di"bah;diperbaiki nilain a. 6er"bahanbar" berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilainegatif

0I ' 1I ' 1I ' ( 5I2)I ' "I ' 5I '

& /;2 &

& ); *minim"m


25/26

Nilai baruNilai baru 8aris ke-18aris ke-1

A-' 0 0 );' 04 2) B

*-' A 1 # # "5*1' 1*)/ 5*) B * -

Nilai bar" & A 0 0 0 ); 4 2E1;2B

A 2 0 1 0 04 / B

*2 A 1 # # "5*1' 1*)/ 5*) B * -

Nilai bar" & 0 0 1 );F -1;'4 1;' B

8aris ke-2 *batasan 18aris ke-2 *batasan 1

8aris ke-' tidak ber"bah karena nilai pada kolom k"n,i & 08aris ke-' tidak ber"bah karena nilai pada kolom k"n,i & 0A 0 1 0 1;' 04 ) B

*0 A 1 # # "5*1' 1*)/ 5*) B * -

Nilai bar" & 0 1 0 1;' 04 )B


26/26

Documents

w3 - Metode Simplex-2