Waktu Paruh dan Peluruhan Radioaktif

Misalkan kita mempunyai dua ratus keping koin dan kita lemparkan bersama-sama, maka

berdasarkan teori peluang akan muncul sekitar 100 koin menampakkan sisi kepala (head) dan

sekitar 100 sisanya menampakkan sisi ekor (tail), meskipun belum jelas bagi saya yang mana

kepala dan yang mana ekor dari suatu koin. Perkiraan ini diperoleh karena setiap koin hanya

memiliki dua buah sisi yang mungkin muncul, yakni sisi kepala (anggap yang bertulis angka) dan

sisi ekor (anggap yang bergambar Garuda) sehingga peluang munculnya salah satu sisi ialah

seperdua.

Nah, andaikan kita melakukan eksperimen, di mana dua ratus koin tadi kita lempar

bersama-sama (boleh meminta bantuan teman), kemudian koin yang menampakkan sisi angka kita

singkirkan dan koin yang menampakkan sisi Garuda akan lanjut ke pelemparan selanjutnya

(pemilihan sisi mana yang lanjut semata-mata karena alasan nasionalisme :). Misalkan 91 koin

menunjukkan sisi angka dan 109 koin menampakkan sisi Garuda, maka 91 koin kita singkirkan dan

yang 109 kita lempar lagi. Koin yang menampakkan sisi angka lalu disingkirkan lagi dan koin yang

menampakkan sisi Garuda lanjut ke pelemparan ketiga, dan seterusnya sampai tidak ada lagi koin

yang menampakkan sisi Garuda. Banyaknya koin yang menampakkan sisi Garuda tiap pelemparan

kita catat dalam tabel, misalnya seperti berikut.

Pelemparan ke-n

Banyaknya kemunculan sisi Garuda

0 (200) 1 109 2 54 3 26 4 15 5 6 6 3 7 2 8 2 9 1

10 0

Andaikan kita masukkan variabel waktu, di mana pada waktu 𝑡 = 0 kita memilih 200 koin,

pada 𝑡 = 𝑡𝑝 kita lakukan pelemparan pertama, pada 𝑡 = 2 × 𝑡𝑝 kita lakukan pelemparan ke-dua,

dan seterusnya, maka dapat kita simpulkan jumlah koin setiap selang 𝑡𝑝 akan berkurang sebesar

setengahnya secara probabilistik.

Oke, sekarang kita akan membahas suatu atom X dengan inti yang tidak stabil. Untuk

mendapatkan kestabilan, inti tadi dapat memancarkan radiasi 𝛼,𝛽, atau 𝛾, yang kita sebut sebagai

peluruhan dan berubah menjadi inti anak Y. Jadi, atom-atom dalam suatu bahan radioaktif

dihadapkan pada dua pilihan, yakni meluruh dalam selang ini 𝑡𝑝 ataukah nanti. Nah, bagi atom-

atom yang “memutuskan” nanti baru akan meluruh, sekarang kembali dihadapkan pada dua

pilihan, meluruh sekarang 2𝑡𝑝 atau nanti lagi. Demikianlah seterusnya.

Dari analogi di atas kita memilih 𝑡𝑝 sebagai padanan dari satu pelemparan, demikian pula

para fisikawan merumuskan waktu paruh peluruhan radioaktif sebagai padanan dari selang waktu

suatu bahan radioaktif meluruh hingga setengah jumlah mula-mulanya1, yang dirumuskan sebagai

𝑁 𝑡

𝑁0=

1

2 𝑡/𝑡𝑝

(1)

Jadi, misalkan sebuah bahan radioaktif X mengandung 𝑁0 atom, setelah satu waktu paruh,

bahan radioaktif itu akan bersisa setengahnya, setelah dua waktu paruh akan bersisa

seperempatnya, dan seterusnya. Patut diingat kebenaran kalkulasi di atas hanyalah kebenaran

probabilistik, namun mengingat sepotong kecil saja massa bahan mengandung amat banyak atom,

maka perumusan di atas kiranya memiliki akurasi yang cukup baik. Dari persamaan (1) dapat pula

diketahui banyaknya atom X yang meluruh (dengan kata lain banyaknya atom Y) adalah jumlah

atom X mula-mula dikurangi jumlah atom X yang bertahan.

Δ𝑁 = 𝑁 𝑡 − 𝑁0 (2)

Sekarang, untuk memudahkan perumusan dalam kalkulus, fisikawan mengganti mantis ½

pada persamaan (1) menjadi bilangan natural, 𝑒, dengan faktor pemangkatan yang sesuai.

Mengingat 𝑎log 𝑎 𝑘 = 𝑘, maka 1

2= 𝑒ln 1/2 , sehingga persamaan (1) dapat kita tulis ulang menjadi

𝑁 𝑡

𝑁0= 𝑒−𝜆𝑡 (3.a)

atau

𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒−𝜆𝑡 (3.b)

Di mana 𝜆 = −ln

1

2

𝑡𝑝=

ln 2

𝑡𝑝 dikenal sebagai tetapan peluruhan. Banyaknya atom-atom yang

meluruh dalam selang waktu t ialah

𝑑𝑁

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑁0 𝑒−𝜆𝑡 = −𝜆𝑁0𝑒

−𝜆𝑡

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜆𝑁 (4)

Banyaknya atom-atom yang meluruh dalam selang waktu ini disebut aktivitas peluruhan,

𝐴 = 𝜆𝑁 (5)

Dan atom X yang meluruh dalam selang t,

1 Tentunya peluruhan radioaktif berlangsung [dapat dianggap] secara kontinyu terhadap waktu, tidak seperti

pelemparan koin yang diskrit (perubahan hanya terjadi pada waktu dengan kelipatan 𝑡𝑝 ).

𝑑𝑁 = −𝜆𝑁 𝑑𝑡 = − 𝜆𝑁0𝑒−𝜆𝑡 𝑑𝑡 = 𝑁0𝑒

−𝜆𝑡 + 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

Melihat kembali persamaan 2, maka mestilah Δ𝑁 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 −𝑁0 , maka konstanta integrasi

di atas pastilah −𝑁0, sehingga 𝑑𝑁 = −𝑁0(1 − 𝑒−𝜆𝑡 ). Jadi dapat disimpulkan untuk suatu unsur

radioaktif X yang meluruh dengan tetapan peluruhan 𝜆𝑋 menghasilkan unsur Y yang stabil

diperoleh persamaan

𝑑𝑁𝑋

𝑑𝑡= −𝜆𝑁𝑋 (6)

𝑑𝑁𝑌

𝑑𝑡= 𝜆𝑁𝑋 (7)

Ingatlah bahwa peluruhan unsur X selalu mengurangi jumlah atom unsur X dan semakin

menambah jumlah atom unsur hasil peluruhannya (unsur Y) dengan jumlah total yang tetap,

sehingga 𝑑𝑁𝑋 = −𝑑𝑁𝑌 .

Peluruhan Berantai

Sekarang kita akan membahas peluruhan suatu unsur radioaktif X (dengan jumlah inti pada

saat mula-mula 𝑁𝑋0) yang meluruh menghasilkan inti anak Y, tetapi inti atom Y sendiri belum stabil

(masih merupakan unsur radioaktif) yang meluruh menghasilkan inti anak Z (cucunya X) yang

stabil.

Bagaimana mengetahui perkiraan jumlah inti atom X, Y, dan Z pada sembarang waktu jika

𝑁𝑋 𝑡 = 0 = 𝑁𝑋0 , 𝑁𝑌0 = 𝑁𝑍0 = 0, dan tetapan peluruhannya diketahui? Mula-mula kita panggil

persamaan (4),

𝑑𝑁𝑋

𝑑𝑡= −𝜆𝑋𝑁𝑋

Perubahan jumlah atom unsur X hanya berkurang akibat peluruhannya, sedangkan

perubahan jumlah atom Y bertambah akibat peluruhan unsur X dan berkurang akibat

peluruhannya sendiri menjadi unsur Z.

𝑑𝑁𝑌

𝑑𝑡= 𝜆𝑋𝑁𝑋 − 𝜆𝑌𝑁𝑌

Sedangkan jumlah atom unsur Z bertambah akibat peluruhan unsur Y.

𝑑𝑁𝑍

𝑑𝑡= 𝜆𝑌𝑁𝑌

X Z Y 𝜆𝑋 𝜆𝑌

Solusi untuk unsur X telah jelas, namun di sini akan kita turunkan sekali lagi.

𝑑𝑁𝑋

𝑁𝑋= − 𝜆𝑋 𝑑𝑡

ln𝑁𝑋 = −𝜆𝑋𝑡 + 𝐶

𝑁𝑋 = 𝑒𝐶𝑒−𝜆𝑋 𝑡

Konstanta integrasinya mestilah ln𝑁𝑋0 agar hasilnya sesuai dengan persamaan 3.b.

𝑁𝑋 = 𝑁𝑋0𝑒−𝜆𝑋 𝑡

Sekarang, kita akan menyelesaikan persamaan untuk Y.

𝑑𝑁𝑌

𝑑𝑡= 𝜆𝑋𝑁𝑋 − 𝜆𝑌𝑁𝑌

Pilih 𝑁𝑌 beerbentuk perkalian dua fungsi t, 𝑁𝑌 𝑡 = 𝑢 𝑡 ⋅ 𝑣(𝑡), sehingga:

𝑣𝑑𝑢

𝑑𝑡+ 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝜆𝑋𝑁𝑋0𝑒

−𝜆𝑋 𝑡 − 𝜆𝑌𝑢𝑣

Pilih:

𝑣𝑑𝑢

𝑑𝑡= −𝜆𝑌𝑢𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑡= −𝜆𝑌𝑢

𝑢 = 𝑒−𝜆𝑌 𝑡

𝑢𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝜆𝑋𝑁𝑋0𝑒

−𝜆𝑋 𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝜆𝑋𝑁𝑋0𝑒−𝜆𝑋 𝑡

𝑢= 𝜆𝑋𝑁𝑋0𝑒

(−𝜆𝑋+𝜆𝑌 )𝑡

𝑣 = 𝜆𝑋𝑁𝑋0𝑒−(𝜆𝑋+𝜆𝑌)𝑡 𝑑𝑡 =

𝜆𝑋

𝜆𝑌−𝜆𝑋𝑁𝑋0𝑒

(−𝜆𝑋+𝜆𝑌 )𝑡 + 𝐶

Solusi untuk 𝑁𝑌 ,

𝑁𝑌 𝑡 = 𝑢 𝑡 ⋅ 𝑣 𝑡 = 𝑒−𝜆𝑌𝑡 𝜆𝑋

𝜆𝑋−𝜆𝑌𝑁𝑋0𝑒

−𝜆𝑋 +𝜆𝑌 𝑡 + 𝐶

𝑁𝑌 𝑡 =𝜆𝑋

𝜆𝑌−𝜆𝑋𝑁𝑋0𝑒

−𝜆𝑋 𝑡 + 𝐶𝑒−𝜆𝑌𝑡

Pekerjaan kita masih menyisakan suatu konstanta integrasi yang belum diketahui nilainya.

Untuk itu, kita terapkan syarat jika 𝜆𝑌 → 0 dan jika 𝜆𝑋 → 0. Jika 𝜆𝑌 → 0, maka unsur Y akan meluruh

sangat lambat sehingga kondisinya akan mendekati bila unsur Y adalah unsur stabil. Jika Y stabil,

maka persamaan jumlah atomnya haruslah tereduksi menjadi persamaan (2), 𝑁𝑌 = 𝑁𝑋0 −

𝑁𝑋0𝑒−𝜆𝑋 𝑡 . Kita coba bandingkan untuk 𝜆𝑌 = 0.

𝜆𝑋0 − 𝜆𝑋

𝑁𝑋0𝑒−𝜆𝑋 𝑡 + 𝐶𝑒 0 𝑡 = 𝑁𝑋0 −𝑁𝑋0𝑒

−𝜆𝑋 𝑡

𝐶 − 𝑁𝑋0𝑒−𝜆𝑋 𝑡 = 𝑁𝑋0 −𝑁𝑋0𝑒

−𝜆𝑋 𝑡

Teramati bahwa untuk 𝜆𝑌 = 0, 𝐶 = 𝑁𝑋0 . Adapun jika 𝜆𝑋 → 0, maka jumlah atom unsur Y

pastilah selalu nol jika 𝑁𝑌0 = 0.

0

𝜆𝑌 − 0𝑁𝑋0𝑒

(0)𝑡 + 𝐶𝑒−𝜆𝑌𝑡 = 0

Teramati bahwa untuk 𝜆𝑋 = 0, 𝐶 = 0. Dengan menggunakan fungsi aritmetika yang

sederhana, diperoleh nilai yang memenuhi 𝐶 = 𝑁𝑋0𝜆𝑋

𝜆𝑌−𝜆𝑋 , sehingga diperoleh persamaan akhir

𝑁𝑌 =𝜆𝑋

𝜆𝑌−𝜆𝑋𝑁𝑋0 𝑒

−𝜆𝑋 𝑡 + 𝑒−𝜆𝑌𝑡 (8)

Dan mengingat hukum kekekalan materi, maka jumlah atom unsur Z,

𝑁𝑍 = 𝑁𝑋0 −𝑁𝑋 −𝑁𝑌 (9)

Sekarang kita coba mengambil kasus bila 𝑁𝑌0 ≠ 0. Bila jumlah unsur Y pada keadaan awal

tidaklah nol, maka kita dapat menghitung jumlah atom unsur Y dari unsur Y mula-mula dan dari

hasil peluruhan X secara terpisah, sehingga diperoleh:

𝑁𝑌 = 𝑁𝑌(1)

+ 𝑁𝑌(2)

𝑁𝑌 =𝜆𝑋

𝜆𝑌 − 𝜆𝑋𝑁𝑋0 𝑒

−𝜆𝑋 𝑡 + 𝑒−𝜆𝑌𝑡 + 𝑁𝑌0𝑒−𝜆𝑌𝑡

𝑁𝑍 = 𝑁𝑋0 + 𝑁𝑌0 − 𝑁𝑋 −𝑁𝑌

Pemisahan perhitungan ini sama sekali tidak masalah karena peluruhan bersifat linear. Bola

U-235 seberat dua gram akan meluruh sama besarnya dengan total peluruhan dua bola U-235

bermassa masing-masing satu gram yang dipisah pada belahan dunia yang berbeda. Analog dengan

hasil pelemparan dua ratus koin secara bersamaan oleh satu orang tidak memberikan perbedaan

berarti dibanding bila terdapat sepuluh orang berbeda yang melempar masing-masing dua puluh

koin di rumahnya masing-masing.

Untuk rantai peluruhan yang lebih panjang, dapat digunakan rumus Bateman, yakni

𝑁𝐷 =𝑁𝑖(0)

𝜆𝐷 𝜆𝑖𝑐𝑖𝑒

−𝜆𝑖𝑡𝐷𝑖=1 (10)

𝑐𝑖 = 𝜆𝑗

𝜆𝑗−𝜆𝑖

𝐷𝑗=1,𝑖≠𝑗 (11)

Peluruhan Dua Cabang

Berikutnya, kita akan membahas peluruhan atom X yang memiliki dua pilihan, yakni

menghasilkan inti anak Y ataukah Z. Jadi dalam kasus ini unsur terjadi peluruhan radioaktif X → Y

dan X → Z secara paralel. Jika kita namakan tetapan peluruhan X menjadi Y sebagai 𝜆𝑌 dan tetapan

peluruhan X menjadi Z sebagai 𝜆𝑍 , dan mengingat hukum kekekalan materi, 𝑁𝑋 + 𝑁𝑌 + 𝑁𝑍 = 𝑁𝑋0

maka diperoleh persamaan

𝑑𝑁𝑋

𝑑𝑡= −

𝑑𝑁𝑌

𝑑𝑡+

𝑑𝑁𝑍

𝑑𝑡 (12)

𝑑𝑁𝑋

𝑑𝑡= −𝜆𝑌𝑁𝑋 − 𝜆𝑍𝑁𝑋 = −𝑁𝑋 𝜆𝑌 + 𝜆𝑍 (13)

Jika diselesaikan akan diperoleh

𝑑𝑁𝑋

𝑁𝑋= 𝜆𝑌 + 𝜆𝑍 𝑑𝑡

𝑁𝑋 = 𝑁𝑋0 𝑒− 𝜆𝑌+𝜆𝑍 𝑡 (14)

Dan

𝑁𝑌 + 𝑁𝑍 = 𝑁𝑋0 −𝑁𝑋

𝑁𝑌 + 𝑁𝑍 = 𝑁𝑋0 1 − 𝑒− 𝜆𝑌+𝜆𝑍 𝑡 (15)

Telah dapat diketahui jumlah total atom Y+Z pada sembarang waktu, tapi berapa jumlah

atom Y dan berapa jumlah atom Z belum dapat diketahui. Berdasarkan persamaan (12) dan (13),

diperoleh

− 𝜆𝑌 + 𝜆𝑍 𝑁𝑋 = −𝑑𝑁𝑋

𝑑𝑡=

𝑑𝑁𝑌

𝑑𝑡+𝑑𝑁𝑍

𝑑𝑡= 𝜆𝑌𝑁𝑋 + 𝜆𝑍𝑁𝑋

Sehingga,

𝑁𝑌 =𝜆𝑌

𝜆𝑌+𝜆𝑍𝑁𝑋0 1 − 𝑒− 𝜆𝑌+𝜆𝑍 𝑡 (16)

𝑁𝑍 =𝜆𝑍

𝜆𝑌+𝜆𝑍𝑁𝑋0 1 − 𝑒− 𝜆𝑌+𝜆𝑍 𝑡 (17)

Pustaka: http://en.wikipedia.org/wiki/Radioactive_decay

Sunkar E. Gautama

http://paradoks77.blogspot.com

26/5/2013