Wave Motion

قسم الفيزياء/ سعود بن محيد اللحياين كلية العلوم/ أعداد د


الفصل السابع

Wave motionاحلركة املوجية

Mechanical waves املوجات امليكانيكية 7-1

إن موجات احمليط تنتقل آالف األميال عرب احمليط ولكن جزيئات املاء ال تنتقل هـذه وكـذلك تنتقل عرب الغرفة خالل اهلواء ولكن جزيئات اهلواء ال تنتقلعندما تصرخ على صديق فإن املوجة الصوتية

أو اهتـزاز (كة اجلـسيمات إن الذي حيدث هو أن الطاقة وكمية احلركة مت انتقاهلما عرب حر . هذه املسافة إن احلركة املوجية تزودنا بطريقة بديلة حلركة الطاقة وكمية احلركة من مكان آلخر بدون مـا ) اجلسيمات

. ذلك الوسط بتلك الرحلة) أو جسيمات(تقوم جزيئات

: وموجات الصوت مها أمثلة على املوجات امليكانيكية ونقصد باملوجات بامليكانيكية موجات املاء deformable orتلك املوجات اليت تنتقل خالل وسط مرن وقابل ألن يـتغري شـكله الطبيعـي

elastic medium ولوجود خواص املرونة يف ذلك الوسط فإن اإلضطراب عند نقطـة مـا ينتقـل .وينتشر خالل الوسط

قتصر دراستنا يف هذا الفصل على دراسة املوجات امليكانيكية وكمثال بسيط عليها سـنأخذ ست .اهتزاز خيط مشدود

إن موجة ما بوصوهلا جبسم يف وسط ما فإا تسبب يف حركة هذا اجلسم وتزحزحه وهكذا تنتقل ك طبيعـة مـصدر ين ينتقل ليس فقط الطاقة ولكن كذل كالً من طاقة احلركة وطاقة وضع للجسم إن الذ

إن زحزحة هذا اجلسم هو تتمثل يف انتقاله مسافة كبرية إمنا تتمثل فقط اهتـزازه حـول مكانـه . املوجةهذا ما نراه عند تنتقل موجات املاء ومتر خالل ورقة سـجر . املستقر فيه يهتز مييناً ومشاالً وألعلى وألسفل

نتقل من مكاا ولكنها تز عنـدما متـر مـن أو قطعة فلني موجودة على سطح احلال إن هذه القطعة ل ت فبإمكاننا مثالً أن . طبقاً حلركة جسيمات الوسط مع الزمن خالهلا املوجة بإمكاننا كذلك أن نقسم املوجات

شـكل ( تنتقل عرب خيط مشدود وذلك عن طريق التأثري حبركة فردية االجتاه يف ايـة pulseتنتج نبضة تصله النبضة عندئذ يتحرك اجلسيم الفترة زمنيـة مث يعـود اجلـسيم كل جسم يبقى ساكن إىل أن ) 15

إذا ما أستمر عمل هذه احلركة عند اية اخليط فإننا نوجد قطار من املوجات املنتقلـة . للسكون كما كان فنوجد موجات دوريـة periodicلو كانت حركة اليد الباعثة هلذه املوجات حركة دورية . عرب اخليط

ة للموجات الدورية هو املوجات التوافقيـة فيها كل جسيم من احلبل حركة دورية أبسط حال واليت يتحرك harmonic waves واليت فيها يتذبـذب فيهـا اجلـسيم ذبذبـة توافقيـة بـسيطة simple

harmonic mohion .


تنبعث خارج النقطة airalar ripplesعند سقوط حجر يف بركة ماء تنتشر متوجات دائرية ) الدائرة(لو نظرنا لتموج دائري معني فإن كل النقاط الواقعة على تلك ) 2شكل ( سقط فيها احلجر اليت

تكون يف نفس احلالة من حيث احلركة تلك النقـاط على وذلك التموج الدائري تعرف سطح يسمى بـ

إذا كـان الوسـط wovefrontصدر املوجـة متجانس الكثافة فإن اجتاه حركة املوجـات يكـون

اخلط العمـودي علـى . مودي على صدر املوجة عصدر املوجات ميثل اجتاه حركة املوجة وهذا اخلـط

. rayيسمى الشعاع

إن صـدور املوجـات هــي هـي ) أو الشعاع (مستويات واألشعة

) 3شـكل (خطوط مستقيمة متوازية يف ( ومثلما يوجد موجـات دائريـة

يوجد كذلك موجات كرويـة ) معدين هـذه احلالـة فـإن يف ثالثة أبعاد يف

االضطراب ينتشر يف اخلارج يف كـل عبارة عن كرات واألشعة هي خطـوط االجتاهات من نقطة املصدر للموجات وهنا تكون صدور املوجات

). 3شكل ط (نصف قطرية تبدأ من نقطة األصل

Types of waves أنواع املوجات 7-2

ات الضوء موجات املاء وموجات الـصوت كلنا يعلم أن هناك موجات خمتلفة ومتنوعة مثل موج بإمكاننا أن نفـرق بـني املوجـات ولكننا سنعش املوجات هنا بطريقة أخرى . هذا التقسيم عام .وغريها

املختلفة من خالل كيفية اجتاه حركة جسيمات املادة بالنسبة الجتاه انتشار املوجـة فـإذا وهـي حركـة ـ سها فـإن هـذه املوجـة تـسمى موجـة مـستعرضة اجلسيمات عمودي على اجتاه انتشار املوجة نف

transverse wave اية واحـدة واملوجـة فمثالً اهتزاز حبل مشدود يتذبذب لألمام واخللف عند أي أن االضطراب ينتقل على طول احلبل ولكن جسيمات احلبل نفسه . املستعرضة تنتقل على طول اخليط

) 1aشـكل (propagation of disturbanceتتذبذب عمودياً، على اجتاه انتشار االضطراب . موجات الضوء مثالً بالرغم من أا موجات غري ميكانيكية غال أا تعترب موجات مستعرضة


أما إذا كانت حركة جسيمات يف املوجة امليكانيكية تكون لألمام واخللف موازنة االجتاه االنتشار حلركـة الذبذبـة ) 1b( انظـر شـكل longitudinal waveفنسمي هذه املوجة باملوجة الطولية

spring ًإن امللف يتذبذب لألمام واخللف موازي الجتاه انتقال االضطراب املوجات الصوتية يف غاز مثال .تعترب موجات طولية

بعض املوجات ليست طولية وال مستعرضة بالضبط فمثالً املوجات على سطح املاء جزيئات املاء .ام واخللف هذه احلركة متثل أو ترسم لنا شكل بيضاوي عندما متر املوجةتتحرك ألعلى وألسفل ولألم

املوجات كذلك ميكننا تقسيمها مـن حيث األبعاد، مبعىن أن املوجات يف خيط تنتشر

. يف بعد واحد

املوجات السطحية أو االضـطرابات على املاء نتيجة مسقط حجر مثالً تعترب موجات

و موجات الـضوء يف بعدين املوجات الصوتية أ .تنتشر يف ثالثة أبعاد

معـاً يـدالن علـى أن (1) ,(2)املعادلتني x بدالً من x-ut بتعويض xباستطاعتنا أن نغري دالة من أي شكل ملوجة منتقلة يف اجتاه

f (x) = x2فمثالً لو أن

f (x – ut) = (x – ut)2فإن

x مع ترابطها مع t,x جيب أن تعق حفظ على t x وزيادة على هذا فإن املوجة املنتقلة يف اجتاه – ut 22 وهكذا فإن – (ut)2 ال تعرب عن هذه املوجة املنتقلة.

بـأقتراض ) 4شكل ) (Phaseأو طور املوجة ( يف جزء معني من املوجة pلو تتبعنا حركة نقطة .يتغري بتغري الزمن جيب أن pأن شكل املوجة ال يتغري فإن هذا يعين أن اإلحداثي السيين للنقطة

أي أن حركة أي طور للموجة جيب أن يكون له

x – ut = constatثابت (3)

تصف حركة الطور املوجي بتفاضل بالنسبة لالزمن (3) للتحقق من أن املعادلة

udtdxou

tdxd

=⇒=−


السرعة

dtdx سرعة لطور تصف حركة الطور ملوجة وهذه السرعة تسمى بـphase velocity

وعند مسافات بعيدة عن املصدر فإن حتدب هذه الصدور املوجية يكون عرب مسافة حمدودة صـغري وهلـذا . مستوياتميكن اعتبار هذه الكرات عبارة عن

traveling waves انتقال املوجات 7-3

أن لإلضـطراب أيxyاملوجة موجدة يف املستوى (t = o يبني شكل موجة عند (4a)شكل لونظرنا نظرة سريعة لنبضة تنتقل على طول خـيط x اجتاه أما اجتاه انتقال املوجة فهو يف xyيف املستوى

فإن النبـضة t فعند زمن الحق u بسرعة xن املوجة تتحرك يف االجتاه بض أ ن (1c)كاملوضحة يف شكل مع الزمن اإلحـداثي الـصادي مل يتغري الحظ أن شكل املوجة ) 4bشكل (utتكون قد حتركت مسافة

(y) يوضح اإلزاحة املستعرضة لنقطة على احلبل، هذا اإلحداثي يعتمد على كالً من املوقع x والـزمن t بالدالة ) 4aشكل ( وبأمكاننا أن منثل شكل املوجة y (x,t)وستعرب عن هذا االعتماد بالدالة

)1 ( y (t,t= o) = f (x) الدالة اليت تصف شكل املوجة

f (i) فإن شكل املوجة يف املرجع املتحـرك هـو (o, y)) على أحدايثاا(ندما جتري النبضة ع يف املرجعني xالعالقة بني اإلحداثيات ). 4bشكل (

utxx −= توصف بـ tوعليه فإن املوجة عند أي زمن

(2) y (t,t) = t (x) = f (x – ut) .t عند الزمن x = ut هلا نفس الشكل بالنسبة للنقطة f(x – ut)وهذا يين أن الدالة

(7) يف (8)بالتعويض من

( ) )9(2,

−ℵ

=Ttxlinytxy m λ

عند أي نقطة هلا نفس القيمة عند y يتضح أن (9)من معادلة

,....2, λλ +xtxx عند أي نقطة له نفس القيمة عند األزمنة yوأن اإلحداثي

T, t + T , t + 2 T,….


: ميكننا صياغتها كالتايل(9)عادلة م

( ) ( ) )10(, wtnuytxy n −= λ

حيث λxzK الرقم املوجي ⇒=

)11(22==⇒

Tx

ωالتردد املوجي

ميكن كتابتها x –وإن أي معادلة تصنف موجة تتحرك يف اجتاه

( ) ( ) )12(2, wtkhinytxy m + (11)و (8)مبقارنة معادلة

)13(kTωλ

λσ ==∂=

Sinusoidal wavesاملوجات احليبية

t = oلو اعتربنا ألن موجة مستعرضة هلا شكل حييب بافتراض أن عند

)6(2),(λxhinyoxy m=

حىن احلبييب للمن amplitvde تسمى السعة (6)شكل هذه املوجة موضح يف شكل

wavelength ميثل الطـول املـوجي λالرمز x هلا نفس القيمة عند أي نقطة yاإلزاحة املستعرضة . لقطار املوجات ومتثل املسافة بني أي نقطتني متتاليتني هلما نفس الطور

. فإن معادلة املوجةϑ بسرعة طور txإذا كانت املوجة تنتقل يف اجتاه

( ) ( ) )7(, utxxnytxy m −=λ

ϑλ


Tالالزمة للموجة املتحركة معادلـة الـزمن الـدوري f ( x – ut)عادلة هلا الشكل الحظ أن هذه املللموجة هو الزمن الالزم ألي نقطة على اإلحداثي السيين لتعمل دورة كاملة حلركة استعراضية خالل هذا

.λ والذي جيب أن يطابق الطول املوجي Tϑ فإن املوجة تنتقل مسافة Tالزمن

)8(Tϑλ = frequency للموجة γإن معكوس هذا الزمن الدوري هو التردد

Tnf=γ

hert2 (H2)وهو ما يسمى باهلريتز ) الدورة لكل ثانية(التردد له وحدة

Group speed and Dispersionسرعة اموعة واالنتشار

النبضات والـيت حتـافظ علـى . لقد استخدمنا سرعة الطور لوصف حركة نوعني من املوجات يف حاالت أخرى جيـب أن نـستخدم سـرعة ) 6شكل (واملوجة احلبيبية ) 4شكل (شكلها عندما تنتقل

ت يف وهي السرعة اليت تنتقل ـا الطاقـة أو املعلومـا group speedخمتلفة تسمى بسرعة اموعة .املوجة احلقيقية

يوضح نبضة تنتقل خالل وسط أن شكل املوجة يتغري عندما تنتقل هـذه النبـضة يف الوسـط (8)شكل إن حمتـوى disperses أو تتـشتت spreads our) أو تنتشر(نالحظ أن النبضة متتد وتتباعد

فنقـول ) أو تباعد النبضة(ت ميكن أن يصل ثابت عندما تنتقل بالرغم من تشت ) 8يف شكل (الطاقة للنبضة medium is disprove but norأن الوسـط مـشتق ولـيس مـضيع أو هـادر للطاقـة

incessantly dissipative ويف هـذه األوسـاط novdispesiveإن بعض األوساط اليت تنتقل فيها املوجات تكون غري مـشتقه

مثال على هذا هو موجات الصوت ) رعةوكل مركبات املوجة تنتقل بنفس الس (حتافظ املوجة على شكلها أي حمادثة بينك وبـني لو أن اهلواء وسط مشتت قوي للصوت بأنه سيصبح من املستحيل مساع . يف اهلواء . صديقك

املوجات الضوئية يف الفراغ تعترب غري مشتته إن تشتت موجات الضوء يف األوساط الـيت يـسري هـذا مـا (يت نراها يف قوس قزح يف الوسط الغري مـشتت فيها الضوء هي املسؤولة عن ألوان الطيف ال

فإن مركبات املوجات تنتقل بنفس السرعة سرعة الطـور املـشتركة والـيت ) سنتعطل معه يف هذا الفصل .تساوي سرعة اموعة

phace and phase constantالطور وثابت الطور


هي + xالصيغة العامة للموجة احلبيبية املنتقلة يف االجتاه

( ) ( ) ( )14, φπ −−= wtuytxy m ) argumentوالكمية اليت تظهر يف متغري الدالة املطلق )φ−− wtux يسمى بطور الدالةphase

of the wove نفـس "يقـال أمـا يف ) 2xn أو 2أو فرق الطور بينهما (نقول إن موجتني هلما نفس الطور

تـسمى بثابـت الطـور φركة يف نفس الوقت والزاوية أي أما يعمالن نفس احل inphqse" الطورphase constant إن هذا الثابت ال يؤثر على شكل املوجة، إن هذا الثابت حيرك املوجة لألمـام أو . بشكلني متكافئني14لنرى هذا نكتب معادلة اخللف يف املكان والزمان

( ) ( )

( ) ( )bw

twnkinytxy

awtk

xkinytxy

m

m

15,

15,

+−℘=

−

−℘=

φ

φ

واملعادلة o=φ واليت فيها (11) ممتثلني مبعادلة t يوضح لقطة املوجتني عند أي حلظة زمنية (7a)شكل 14 ( )omφ الحظ من الشكل (a) أن املوجةA تسبق املوجة B مبسافة k

φ وعندما نقول تسبقها هنا A فإن املوجـة (b) الشكل أن أا على ميينها أما يف

w باملقدار Bتسبق φوالسبق هنا جلهة اليسار .

إن قيمة هذا الثابت سنتحصل عليه مـن التحليـل امليكانيكي أو من التجربية هذه الطرق تبني أن الثابت

. يساوي الوحدة

: التحليل امليكانيكي

ϑلنبضة موجة تتحرك من اليـسار للـيمني بـسرعة )ظيةأو صورة حل( نبني صورة سريعة (9)يف شكل سنتصور أن السلك كله يتحرك من اليمني لليسار بـنفس : ولكي خنتار حماور مرجعية مناسبة هلذه املسألة

يف الفضاء هذا يعين أن بدالً من أخذ مرجعنـا "fixed"السرعة يف هذه احلالة فإن النبضة ستبقى ثابتة أو اجلدران املشدود بينهما السلك سنأخذ املرجع حبيث يكون يتحرك بسرعة مع املوجة (ليكون هو اجلدار . بالنسبة للجدران


هذا القطاع يشكل قوس من دائـرة ) 9انظر الشكل (Slوبأخذ قطاع صغري من النبضة طوهلا هي الكتلة لكل وحدة طول من µ حيث lδµ هلذا القطاع هو Sm الكتلة املكافئة Rنصف قطرها هلذا القطـاع ) طرف( عند كل اية tangential pull يف السلك هو سحب قاسي Fالسلك الشد

وهلذا تكون املركبة الرأسـية Fsinواملركبات الرأسية كل منها . تلغي بعضهاFاملركبات األفقية للقوة F هي θsin2 f ولكون θ صغرية فإنθθ ≈sin

R/2 يتبني لنا أن 9من شكل lδθ =

( )1722R

FFSinFF lδθθ =≈=⊥

oهذه القوة تسبب العجلة املركزية على جسيمات السلك متجهة للنقطة θ

θδ

≈

= SinR/2l

)املؤثرة على كتلة وتعلم أن القوة املركزية )slµ=sin

هي ϑ بسرعة Rتتحرك يف دائرة نصف قطرها θ

ϑθ

22

sin2/2

≈

≈

seR

Rse

هلذا العنصر على طول القوس هي أفقية ومقدرها يـساوي سـرعة املوجـة ϑالحظ أن السرعة احملاسبة ⇐ بالقوة الطاردة املركزية الالزمة (17)معادلة ) احملصلة للقوة (مبساواة القوة الرأسية

Wave speed سرعة املوجة 7-4

مشدود وسـنبني يف ) أو خيط (يف هذا اجلزء سنركز اهتمامنا على املوجات املستعرضة يف سلك وسـنتبع يف هـذا الفـصل . مـة الفصل التايل كيفية حساب سرعة هذه املوجات بشكل عام واخلاصة عا

األوىل معتمدة على حتليل األبعاد والتحليل امليكانيكي واليت حنسب فيها سرعة نبضة مـستعرضة : طريقتني . ألطول سلك مشدود

Dimemeional Analysisالتحليل البعدي

ك على القـوة بـني إن سرعة املوجات يف سلك تعتمد على كتلة حدة طول من السلك وكذل الواقع حتته السلك لو زدنا الشد، فإن القوة العناصر املتجاورة سـتزداد F املتجاورة وهي الشد العناصر

. ونتوقع أن سرعة املوجة ستزداد


وهي µ inear massdensityسنميز كتلة عنصر من السلك بداللة كثافة الكتلة اخلطية مكاننا استخدام طريقة حتليل إب µ و F تعتمد فقط على ϑ أن السرعةبافتراضالكتلة لكن وحدة طول

. األبعاد ونكتبbaF µαϑ

T والزمن L والطول M أسس املطلوب حتدي قيمها من حتليلنا لألبعاد وبداللة أبعاد الكتلة b,aحيث ⇐

[ ] [ ][ ]( ) ( )ba

ba

MLTLMTL

F121 −−− =

= µϑ

.حبل هذه املعادلة تساوي أسس الكميات الواحدة

وهكذا

}

}

µµαϑ

FF

babaa

aabba

=

−=−=−=−==⇒−=−

=−=⇒−=

− 21

21

21

211

211,

2121

2111

) هو ثابت التناسب Cحيث )16µ

ϑFc= وأقصى ما نستنتجه من هذا التحليـل أن سـرعة

املوجة تساوي ثابت ليس له بعد يف µF

)املعادلة ) ( )21, 2 ywtxa =

لكن يف ) املستعرضة(تدلنا على أن العجلة املستعرضة عند أي نقطة تتناسب مع اإلزاحة الرأسية هذا يوضح أن كل جسم من السلك يعمل حركة توافقية بسيطة مـستعرضة عنـد مـرور . اجتاه معاكس .املوجة احلبيبية

أفقي مشدود بقضيب يتحرك ألعلـى موجة حبيبة مستعرضة بدأت من إحدى اييت خيط طويل : 1مثال . مرة يف الثانية125بانتظام مبعدل احلركة منتظمة وتتكرر 1.30وألسفل خالل مسافة من

(a) لو أن كثافة السلك اخلطية mky251.0 96وظل حتت تأثري شد قدرةN ،أوجد الـسعة، التـردد السرعة والطول املوجي حلركة املوجة؟


يكون عند القطـع x-o عنصر السلك عند t = o، وعند x +راض أن املوجة تتحرك يف اجتاه بافت) ط(y = o ويتحرك ألسفل أوجد معادلة املوجدة؟

فإن اية السلك يتحـرك مـسافة قـدرها sin 1.30مبا أن القضيب يتحرك مسافة كلية قدرها : احلل( )cin30.1

2cinynق هذه النقطة مث إذا سعة املوجة فو: من نقطة االتزان أوال1ً 65.0=

ذبذبــة يف 125= مــرة كــل ثانيــة أي أن التــردد 125كــل احلركــة تعــاد مبعــدل 2125 ⇐الثانية H=ϑ

سرعة املوجة 18من املعادلة µFu =

smmkg

N /6.19/251.0

96==

طول املوجي الδϑ

λ =

( )18

6.75675.02125/6.19

2

2

µϑ

µδ

δ

λ

FR

useReF

orRlemF

cinmH

sm

=∴

=

===∴

⊥

1 قيمة 16 يف معادلة c تبني أن من التحليل امليكانيكي فإن الثابت 18معادلة

transverse Veloaty of a Particleالسرعة املستعرضة جلسيم

سرعة املوجـة yر تتجه يف اجتاه حمو ) 6مثل اليت يف شكل (إن حركة جسيم يف موجة مستعرضة xتصف احلركة على طول اجتاه انتشار املوجة اجتاه

لـو . بالنسبة للـزمن yإلجياد السرعة املستعرضة جلسيم يف سلك حنتاج ملعرفة التغري يف إحداثي y فإن حنتاج ملعرفـة تفاضـل yركزنا اهتمامنا على جسيم واحد يف السلك، أي يف إحداثي واحد فقط

أي تفاضل واحد مـن املـتغريات ( هذا يتم بإجراء التفاضل اجلزئي xذلك عند ثبوت و tبالنسبة للزمن tyونرمز هلذا التفاضل بالرمز ) ونثبت املتغريات الثانية ϑϑ /


)يف البداية ) ( )[ ]φ−−== wtkxytxyy m sin, السرعة ( )tytxu

ϑϑ

=,

( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )20sin, wwtkxsosywtkxyt

txu mm −−−=−−= φφϑϑ

ضل مرة أخرى وإلجياد العجلة تفا

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )21sin

sin,,

22 ywwtkxyw

wwwtkxyt

txutxa

m

m

−=−−−=

−−−−−==

φ

φϑ

ϑ

(21)العجلة من معادلة إلجياد

( )( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )ttxa

tx

txwywtxa

78987.9sin1005.4,7895.24403.0sin65.0789

789403.0sin65.0,

5

2

2

2

−×−=

−−=

−−=

−=

/2 وحدا هي aحيث العجلة scin

the wave Equation معادلة املوجة 7-5

يغة يف حالة احلركة التوافقية البسيطة فإن املعادلة اليت تصف جسم متذبذب تكتب علـى الـص

( )ϕ== wtcasmxx هذه الصيغة تعرب حل للمعادلة التفاضلية xmk

dtxd

−=2

2

.مشاة عند دراستنا للحركة املوجية ثابت املرونة واحلالة تعترب k هي كتلة املتذبذب و mحيث

صر يعمل ومرور املوجة خالله جعلت العن F يوضح عنصر على طول سلك حتت تأثري شد بقوة 10شكل ، وبتطبيق قانون نيوتن الثـاين لتحليـل xδ طول العنصر من السلك y=oإزاحة من موقع التوازن عند كيفية جعل العنصر يتحرك؟

أن العنصر تؤثر عليه قوسني على كل من جانيب السلك هاتني القوتني متـساويتني يف املقـدار

وذلك ألمـا ولكن هلما اجتاهني خمتلفني قليالً ) أو العنصر (يؤثران كمماس على اييت السلك

yحمصلة القوى يف اجتاه

1sinsin θθ FFFy −=


(b) الصيغة العامة ملوجة مستعرضة يف اجتاه +x

( ) ( )φ−−= twxkytxy m sin, oyotyعندما : الشروط االبتدائية =< ,ϑϑ 0 = عندما, x = o

( ) ( ) oyooy mm =−=−− φφ sinsin

( )[ ] ( ) owym <−−− φcos ومن التفاضل

هذا يعين أن ثابت الطور ميكن اعتباره صفر

. وهلذا فاملوجةλ2أو أي مضروب يف


( ) ( )[ ]

( ) ( )( )txy

sradanradsmkw

cinradmradK

ywtxkytxy

m

mm

m

789403.0sin65.0/789/3.40/6.19

/403.0/3.40126.022

65.0sin,

−====

====

=∴−=

ϑ

λλλ

. بالثانيةt بالسنتمتر و x, yحيث

يف السلك فكل جسيم من السلك يتحـرك بالرجوع للموجة يف املثال األول، كلما مرت املوجة : 2 مثال = xp يتع عند p أوجد صيغة للسرعة والعجلة للجسيم (a)ألعلى وألسفل عمودياً على اجتاه احلركة

0.245 m (b) احسب اإلزاحة املستعرضة السرعة والعجلة هلذا اجلسيم عند t = n .55

حبيث نعوض عن(20)من معادلة / احلل

( ) ( ) owtlexwytxu m =⇐−= ϕcos, mxpcmxpعند النقطة 245.05.42 =←=

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )tsltxostxu 78987.9cos7895.2453.078965.0, −−=−−= . بالثواين t و cm/s هي nحيث وحدة

12وإذا ما اعتربنا اإلزاحات قليلة من نقطة التوازن فإن الزوايا , θθ تكون صغري وبإمكاننـا أن نكتـب θθ tansin ≈

( ) ( )22tantan 12 θδθθ FFtamfFy =−= )حيث ) 12 tantan θθθ −= tamS

xSSmوحمصلة قوة هذه جيب أن تساوي كتلة العنصر µ= أو املركبة العادية هلذه ( مضروباً يف عجلته . ال قوى االحتكاكمحوذلك بأ) العجلة

. ومن قانون نيوتن الثاين

( )( ) ay

Fx

ayxstamsFaysmFy

µδ

θδµθ

=

==

tan

2املستعرضة سنعوض عنها بعجلة اجلسيم ayبالنسبة لـ

2

ty

ϑϑ


سنعوض عنها بالتفاضل اجلزئي θtanوبالنسبة لـ xy

ϑϑ) وهذا هو امليل .(

( ) ( )23/2

2

ty

Fxxy

ϑϑµ

δϑϑδ

=

xδ→0 يؤول عند النهاية (23)اجلانب األيسر من املعادلة

( )2

2/limxy

xy

xnxy

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

δθϑδ

=

=

. على الصيغة(23)وهلذا ميكننا كتابة معادلة

( )242

2

2

2

ty

Fy

ϑϑµ

ϑλϑ

=

2`وبالتعويض عن

1uF

=µ نتحصل على uهي سرعة انتشار املوجة .

)معادلة املوجة )2512

2

22

2

ty

uxy

∂∂

=∂∂

y لإلزاحـة املوجيـة التفاضل الثاين : نص املعادلة : هي الصورة العامة اليت تصف املوجات (25)املعادلة 2 يف اجتاه انتشار املوجة يساوي xبالنسبة إلحداثي

1u

مضروبة يف التفاضل الثاين بالنسبة للـزمن وهـذه لست قاصرة فقط على املوجات امليكانيكية ولكن على املوجات الكهرومغناطيسية ) معادلة املوجة (املعادلة

) سرعة الضوء يف الفراغϑ←cيف هذه احلالة (

.واآلن سنخترب كيف أن هذه املعادلة العامة حلها هو الصيغة العامة

letnلو املتغريات حبيث ±=2 ( ) ⇐= 2fyأن ي أ ( )x22 =

( )

( )

2

2

22

2

2

2

2

22

2

22

22

2

2

2

2

12

222

22

22

2

222

22

222

ty

xy

dfd

dfdu

dfu

tdfdU

dd

ty

dfdU

tf

ty

dfd

dfd

df

xy

utxxxd

fdxb

df

xy

∂∂

=∂∂

=

=±=

±=

∂∂

±=∂∂

=∂∂

=∂∂

∂=

∂∂

±∂∂

=∂∂

=∂∂∂

=∂∂

ϑ

ϑϑϑ

ϑϑ


(25)وهذا حيقق معادلة

Power and intensity in wave Motionوالشدة يف حركة املوجة القدرة 7-6

) وذلك ببذل شغل عليه (يف بداية هذا الفصل عندما حتدثنا عن انتقال املوجة يف سلك نتيجة هزة الطاقة اليت ) أو يتحصل على (من إحدى ايتيه فإن وجدو صديق لك على النهاية الثانية للسلك أن يستلم

بشكل طاقة وضع وطاقة حركة لعناصر السلك ويستخدم الطاقة هذه لعمـل سلك وذلك مت نقلها عرب ال هي يف احلقيقة إحدى أغراض توليـد ) وكمية احلركة (إن هذه الطريقة لنقل الطاقة . شغل على نظام آخر

. نبني املعدل الذي به ينقل السلك الطاقةاملوجات يف هذا اجلزء س

t + dt و tني يبني لقطة من موجة عند زمن11شكل

)سرعة املوجة )wtxkcrswytyU m −−=

∂∂

=

القوة املبذولة على عنصر من السلك مبنية يف الشكل القوة تسبب انبعاث أو انتشار الطاقة مبعدل يعطـي ufyFuباملعادلة =

→→

ادية هي الـيت ص القدرة وهي معدل بذل الطاقة بالنسبة للزمن نالحظ أن املركبة ال . . اهم يف القدرةتس

بالتعويض عن املركبة الصادية للقوة

∂∂

∂∂

==xyf

tyyFup

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )wtxkwuytwxkxosFwky

wtxuykwtxkwyF

mm

mm

−=−=

−−−−=22222 cos

coscosµ

,/µحيث استخدمنا fukwu ==

غري ثابت والسبب هو أن القـدرة الداخلـة ) أو معدل إنسياب الطاقة (الحظ من هذه املعادلة أن القدرة الشغل املبذول على السلك بواسطة اليد اليت تتحرك عند اية الـسلك يـتغري أو باألخرى ألن : تتذبذب

باإلزاحة املستعرضة عند تلك التغطية وكلما انتقلنا الطاقة عرب السلك فإا ختزن يف كل عنـصر منـه يف


ة للحركة التوافقية البسيطة ملتذبـذب إن القـدر هصورة مجع بني الطاقة احلركية وطاقة الوضع وهذا مشاب يف السلك تؤخذ عادة بأا متوسط خـالل دون زمنيـة واحـدة للحركـة power inputالداخلة

. ومتوسط القدرة املزودة( )271

∫+−

=Tt

tpat

Tp

. هو الزمن الدوريTحيث


( )[ ]∫+

−=Tt

t m dtwtxkwyT

222 cos1ϑµ

= خالل دورة واحدة θ2cos أو θ2sinمتوسط رقم 21

( )2821 22 wyp m ϑµ=

إن اعتماد معدل نقل الطاقة على مربع سعة املوجة ومربـع t أو xوهذه النتيجة ال تعتمد على التردد املوجي نتيجة صحيحة لكل املوجات

موديـة علـى العA تعرف الشدة بأا متوسط القدرة لكل وحدة املساحة املنبعثة مبد املساحة (I)الشدة .اجتاه انتقال املوجة

( )29ApI =

ية فإن السعة غـري ثابتـة والشدة ألي موجة دائماً تتناسب مع مربع السعة يف حالة موجات دائرية أو كر .كلما انتقلتا املوجة

نتيجـة االحتكـاك أو نتيجـة ) أو در (وكلما انتقلت املوجة خالل الفضاء فإن طاقتها تتبعثر . للزوجةا

موجات كروية تنتقل من مصدر للموجـات : مثالً) فرضاً( ثابتة poweroutpurقدرته الصادرة

بني كيفية اعتماد شدة املوجة ) 12بالنظر لشكل ( على املسافة من املصدر؟

وأن isobopicاحلل بافتراض أن الوسط متماثل املصدر يبحث إشعاع متجانس يف كل االجتاهـات

تماثــل كرويــة مــن معادلــة أي أن إشــعاعه م( )29

ApI =24rA القدرة متوزعة بالتجانس على سطح كروي مساحة =

24 rp

ApI

λ==

هذا يعين أن شدة املوجة تتناسب عكسياً مع مربـع املـسافة مـن املـصدر ومبـا أن الـشد ( ) 2

2

1myI

rI سعة فإن سعة موجة جيب أن يتناسـب عكـسياً مـع املـسافة تتناسب مع مربع ال ≈≈

21

≈⇒ y من املصدر وعليه فإن بزيادة املسافة للضعف من املصدر فإن سعة املوجـة الكرويـة تـنقص . للنصف والشدة تنقص للربع


mg قيمتها µسلك مشدود له كثافة خطية : مثال موجة ترددها =N45مشدود بقوة شد قدرها 525/f وسعتها ym 2120,5.8 حيث Hymmym تنتقل عرب السلك إحسب متوسط معدل انتقال ==

الطاقة يف السلك؟ ϑ وسرعة املوجة w جيب أن حنسب التردد الزاوي pقبل أن حسب : احلل

( ) ( )

smmkg

NF

sradHw

/26.9/525.0

45

/75421202

===

===

µϑ

λγλϑ

واآلن

( ) ( ) ( )

wp

msradmkg

ywp m

100

0085.0/754/5525.021

21

22

22

=

=

== ϑµ

the principle of Superposition مبدأ التراكب 7-7

قد حيدث أحياناً أن موجتني أو أكثر قد متر يف نفس اللحظة خالل نفس املنطقة من أمثلـة علـى وجات الصوتية تسقط يف نفس اللحظة علـى هذا عند إمساعنا ملوجات الصوت من أجهزة خمتلفة إن هذه امل

األذن ومثال آخر عندما تصطدم موجات الراديو لتحرك نتيجة كل هذه املوجات املؤثرة يف نفس الوقـت .على نفس املوجة موجات املاء يف حبرية ميكن أن تتراكب من موجات صادرة من قوارب خمتلفة

أن وبــافتراضســلك مــشدود إذا افترضــنا أن مــوجتني منطلقــتني آنيــاً علــى طــول ( ) ( )txytxy ,,, هي اإلزاحات اليت يعاينها السلك يف حالة حدوث كل موجة على حدة فإن اإلزاحة 12

. املوجتني آنياً ميكن كتابتها على الصورةالكلية يف حالة وجود ( ) ( ) ( )txytxytxy ,,, 21

1 += لك يعين تداخل املوجـات ومجعهـم وهذا اجلمع هو مجع جربي إن هذا اجلمع لإلزاحتني يف الس

sultant waveجربياً للحصول على حمصلة موجية إن مبدأ التراكب يتوال أن عندما حتدث عدة تأثريات آنياً فإن حمصلتها

.تكون جمموع التأثريات اجلزئية والذي يبني لقطات حلظة ملوجتني يف سـلك 12هذا ما يوضحه شكل

فس السلك املشدود عنـدما تتـداخل تنتقل يف اجتاهني خمتلفني على ن املوجتني فإن احملصلة هي عبارة عن جمموعهما باإلضافة هلذا فـإن كـل


موجة تتحرك خالل الثانية كما لو كانت األوىل غري موجودة أي أن تداخل موجتني ال يؤثر على حركـة . كل منهما

Fourier Annlysisحتليل فورير (Jean Baptist Fourior 1786-1830)فورير هو عامل فرنسي رياضي

non – sinusoidalشرح كيف ميكننا استخدام مبدأ التراكب لتحليل املوجـات الغـري حبيبيـة wave ولقد وضح أنه بأمكاننا أن منثل أي موجة مكان مبجموع عدد كبري من املوجات ذات تـرددات

.وذات سعات معينةكله أو بأي طريقة تتم احلصول عليه أصالً ميكننا ختربنا بأن أي منحىن أيا كان ش إن نظرية فورير

الشكل يـبني 14أن ننتجه أو منثله بتداخل عدد كايف من املوجات التوافقية احلبيبية هذا ما يوضحه شكل هذا هو اسم هذا اجلمع إن املنحىن الذي على شكل أسنان Fourier Seriesمثال ملتسلسات فورير

للموجة اليت نريد متثيلها إن متسلسلة (x = o)عند موقع ( الزمن يوضح التغري يف Sawtoothمنشار فورير اليت متثل هذا الشكل ميكن أن تكتب على الصيغة

( )

( )31...........331

2211

−−

−−=

wtSin

wtSinwtSinty

λ

λλ

واليت فيها 1

2λ=w حيث T هذا الزمن الدوري للمنحىن الذي

(6)على شكل على شكل أسنان منشار ناتج من مجـع الـست وينطبق هذا املنحىن على املـنحىن (31)حدود األول من املعادلة

املنقط وبإضافة حدود أخرى ميكننا أن نقترب أكرب وأكثـر مـن . الشكل املنقط

Interference of Waves تداخل املوجات 7-8

لو افترضنا أن موجتني جيبيتني هلما نفس الطول املـوجي اه على طول سلك مشدود يف هذه احلالة ميكننا تطبيق مبدأ التراكـب ونفس السعة وتسريان يف نفس االجت

ولكن ما هي حمصلة املوجتني للسلك؟ إن اإلجابة تعتمد إىل حد ما هل املوجتني هلما نفس الطور أم ال؟ أو مبعىن آخر كم مقدار زحزحة

أي أن (extracted in theseإحدى املوجتني بالنسبة لألخرى إذا كان املوجتني هلما نفس الطـور فإن املوجتني سيتداخالن ونتحصل على سـعة أو إزاحـة ) قممها وقيعاما متطابقتني على بعضهما اآلخر

out of كل من املوجتني على حدة لو كانت املوجتني خمتلفـتني متامـاً يف الطـور ضعن إزاحة أو سعة


phase) يلغيان بعضهما ويف هذه احلالة يكون فإن املوجتني ) أي أن قمة إحدامها تنطبق على قاع األخرىالسلك مستقيماً ونسمي ظاهرة االجتاد بني املـوجتني أو ظـاهر إلغـاء املـوجتني لبعـضهما بالتـداخل

interferemce ما متداخلتنيونسمي املوجتني أو نقول عنهما أ interfere . حتها باملعاوعنا نفترض أن إحدى املوجتني تنتقل على طول السلك املشدود وتعطي إزا

( ) ( ) ( )32,1 wtxkytxy m −=

ϕواملوجة األخرى مزحزحة بالنسبة لألوىل بغارق طور ( ) ( ) ( )33sin,2 ϕ+−= wtkxytxy m

ونفس متجه املوجـه ifوهكذا اهلما نفس التردد (wإن هاتني املوجتني هلما نفس التردد الزاوي k) أي هلما نفس الطول املوجيλ ( وهلما كذلك نفس السعة يف نفس االجتاه+x مـابنفس السرعة إ

إن هاتني املوجتني يقـال phase constcnt واليت نسيمها ثابت الطور ϕخيتلفان فقط يف زاوية ثاتبة بالنـسبة phase shifrبينهما زحزحة يف الطور أو يقال أنه يوجد ϕ بزاوية out of phaseأما

)لبعضهما بزاوية باستخدام مبدأ التراكب فإن املوجة املتحدة هلما إزاحة )txy . تعطي باملعادلة1,( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )34sin,,, 21

ϕ+−+−=+=′

wtkxSinywtxkytxytxytxy

mm

من قوانني اجليب وجيب التمام( ) ( ) ( )35

21cos

21sin2sinsin βαβαβα −+=+

اعتبار أن (34)ة بتطبيق هذه املعادلة على املعادل


( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )2/sin362/sin2/cos2,

2/sin2/cos2

121cos22

212,

22

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕβαϕβϕβαα

+−′+−=′+−=

+−=′

−=−+−−=+−=+−=

wtxkywtxkytxywtxky

wtkxSinytxy

wtkxwtxkwtux

m

m

m

m

وهذه هي املوجة الوحيدة اليت ميكن مالحظتـها x+أي أن املوجة احملصلة هي موجة جيبية تتحرك يف اجتاه . يف السلك زاويتني إن حمصلة املوجة ختتلف عن املوجات األصلية من

ϕ= ثابت الطور للموجة احملصلة -121

)عة املوجة احملصلة س -2 )2/cos21 ϕmm yy = يف هذه (15a) فإن املوجتني هلما نفس الطور كما هو موضح يف الشكل oo أو rado=ϕإذا كانت

ميكن كتابتها (36)احلالة فإن معادلة ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )wtkxywtxkyowtkxytxy

m

mm

−−=+−=′

sin37sin2sin12,

mmالحظ أن سعة املوجة احملصلة ضعف سعة املوجة األصلية yy وهذا هو أقصى سعة وذلـك ألن ′=2( )2/cos ϕ له أقصى قيمة عندما o=ϕ إن التداخل الذي يؤدي إىل أقصى سعة ممكنة يسمى تـداخل

lily contractive intertermبناء كلي radλϕإذا كانت فإن ) o180أو (=

out ofاملوجات املتحدة تكون خارج طور بعضها

phase) 15كما يف شكلb ( عندئـذϕ21cos

=oيصبح 2

cos λ وهلذا فإن السعة احملصلة =o

( ) otxy =′ , طـول موجتني تنتقالن يف نفس االجتاه علـى : مثال

سلك وتتداخالن، املوجتني هلما نفس الطول املوجي mm 9.7وهلما نفس السرعة سـعة كـل منـها

110oويوجد فرق يف الطور بينهما قدرة )a( أحسب سعة املوجة املوحدة الناشئة من تداخل هاتني املوجتني؟


)b( ألي قيمة جيب أن يتغري فرق الطور وذلك لكي تصبح سعة املوجة اجلديدة تـساوي سـعة املوجة األصلية؟

(36) سعة املوجة املتحدة أو الناشئة من التداخل تعطي باملعادلة (a): احلل( ) ( ) ( ) mmmmcasyy o

mm 1.112/110cos7.922/2 ===′ ϕ (b) املطلوب حتقيق الشرط mm yy =′

( ) ( )( ) ( )

oo

mm

or

yyor

120120

5.0cos2212/cos

12/cos22/cos21

−=

==⇒=

=⇒=−ϕϕ

ϕϕ

أنه إذا وجد فـرق أي رقم صحيح يف أي ) -أو (+ 120oكالً من املوجتني ممكن أن تسبق األخرى بـ : فإن هذا يعطينا نفس السعة األصلية 120oالطرق

إذا وجد هناك مستمع عنـد نقطـة ) حيث مكربي صوت متصلية بنفس املصدر (يف الشكل املقابل : مثال ومكانة مباشرة أمام أحد املكربين m 1.2على بعد

= Dاملبكرين توجد بينهما مسافحة فاصلة قدرها 2.3m ت طوهلا املـوجي ترسل موجاλ عنـدها

تسري بنفس الطور أحـسب تنطلق املوجات املكربين ع املستمع ألقل شـدة تألي من األطوال املوجية سيم

صوت؟ إن أقل شدة صورة حيدث وذلـك يف حالـة : احلل

التداخل اهلدم والتداخل اهلدم حبيث إذا كان فـرق القة املسري بني املوجتني يعطي بالع

( )38,2

,23,

221λ

λλ Sxx =−

أما التداخل البناء حيدث إذا كان فرق املسري بني املوجتني هو ( )39,3,2,, 21 λλλ=xx

21وإلجياد فرق املسري xx − mxنفترض أن املستمع جالس أمام املكرب الثاين هذا يعين من السؤال أن 2.12 ـ = ة ميكننـا يف هذه احلال

من نظرية فيثاغورس x1حساب ( ) ( )

mmmxxmmmDxxn

4.12.16.26.23.22.1

21

22222

=−=−⇒

=+=+=

) املكتوب أعاله(ومن شرط التداخل اهلدام


λλλ

25,

23,

24.121 ==− mxx

وهذا يعين أن األطوال املوجية اليت تسبب أقل شدة mmm 52.0,93.0,8.2=λ

Starding Wavesاملوجات املوقوفة تداخل موجتني هلما نفس الطول املوجي ونفس الـسعة تـسريان يف درسنا يف اجلزء املاضي تأثري

نفس االجتاه والسؤال اآلن ما الذي حيدث إذا كانت هاتني املـوجتني تـسريان يف اجتـاهني متعاكـسني oppositedireetions

– يوضح بيايناً تأثري تداخل موجتني هلما اجتاهني متضاوين الشكل يوضـح كـذلك 17شكل فترات زمنية خمتلفة كل عند–لقطات

4 . دورة1

واليت nodesتوجد نقاط خاصة على طول السلك تسمى عقد : من النتائج املهمة هلذا التداخل ويوجد بني هذه العقـد منـاطق تـسميها بطـون alltimesتكون عندها اإلزاحة صفر طوال الوقت

antiodes وتبقى هذه املناطق هكذا طوال الوقت مثل هذا النموذج حيث تكون اإلزاحة أكرب ما ميكن Starting wavesاملوجي من العقد والبطون الثابتة تسمي موجات موقوفة

ولتحليل املوجات املوقوفة رياضياً سنمثل موجتني بالعالقات )+ و –الحظ اختالف اإلشارات ) ( )wtxnytxy m −= sin,

)اهني متضاوين وذلك الن املوجتني تسريان يف اجت ) ( )wtuxytxy m += sin,2 ميكننا كتابة احملصلة على الصيغة

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]wtxkwtkxy

txytxytxy

m

n

++−=+=

sinsin.,, 2

ــة ــتخدام العالقـــــ وباســـــ( ) ( )βαβαβα −+=+

21cos

21sin2sinsin


:يف هذه احلالة

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )40cossin2,

cossin2

221cos.2

21sin2,

22

wtxxytxywtkxy

wtkxytxy

wtkx

wtkxwtun

m

m

m

==

−=∴

−=−=+⇒

+=−=

βαβα

βα


ال يوجـد t,xكالً من معادلة موجة موقوفة، وال ميكن أن تتمثل موجة متحركة وذلك ألن (40)معادلة )(أن متحدين بصيغة tx ϑ+ أو ( )tx ϑ−الضرورية للموجة املتحركة .

تعمل حركة توافقية بسيطة مع تغري الـزمن، وكـل xمن اجلديد باملالحظة أن عند أي موقع، إن السعة ليست ثابتة عند نقاط خمتلفـة ولكن يف املوجة املوقوفة ف wاجلسيمات تز بنفس التردد الزاوي

(40) للجسيم يف احلقيقة الـسعة مـن العالقـة xولكن السعة تتغري بتغري املوقع ) أو جلسيمات خمتلفة (]وتعطي ]knym sin2 هلا قيمة قصوى وهي my2عند النقاط التالية :

عندما 2

22

3,2

λλλ mxk = : القيم تقابلها األطوال املوجيةوهذا

( )4145,

23,

4

2

λλλ

λλ

=⇒

=

x

kQ

وهذه النقاط املسافات البينية ) antinadesمعكوس العقد (وهذه النقاط يكون عندها ما مسيناه البطون ))بينها نصف طول موجة )2/λ

إا السعة تكون أقل ما ميكن عند العقد حيث

,23,,

2

32,

λλλ

λλλ

=

=

x

xk

)وهذه كذلك منفصلة عن بعضها بنصف طول موجة )2/λ املسافة الفاصلة بني عقدة وبطن متجاورين

4λ

من الواضح أن الطاقة ال تنتقل عرب السلك يف حالة املوجات املوقوفة وهلذا تبقى الطاقـة ثابتـة "standing" اهتزازيـة (لرغم من أنه يتبدل أو يتغري بني طاقة حركة تذبذبية أو موقوفة يف السلك با ( عندها تكون البطون كلها عند اإلزاحة القصوى elastic potential emergyوطاقة وضع مرنة

) أو نتيجـة املرونـة (فإن الطاقة تكون خمزونة يف صورة طاقة وضع باألخص يف صورة طاقة وضع مرنـة متر يف حالة توازن يف نفس اللحظة فإن الطاقة تكون خمزونة يف صـورة وعندها تكون كل أجزاء السلك

. يبني بتفصيل أكثر التغري بني صوريت الطاقة وذلك خالل دورة كاملة(18)طاقة شكل


من الطرق البسيطة للحصول على موجة موقوفة هو تراكب موجة منتقلة ألسفل سلك مع موجة منعكسة . يف اجتاه مضاد

Resonance الرنني 7-9من دراستنا للموجات املوقوفة وكيفية حدوثها وجدنا أنه بإرسال موجة يف سلك مـن لليميـد

فإن هذه املوجة تسري حنو اجلانب الثابـت مـن الـسلك ) عندما حندث ذبذبة يف اجلانب احلرمني السلك ( . وتنعكس على نفسها وحيدث بينهما تداخل

هـذا (موجات موقوفة ذات شكل ومنوذج معـني هذا التداخل ينتج إنه عند ترددات معينة فإن إن مثل هذه املوجة 19كاملوضحة يف شكل له عقد وبطون كبرية oscillating) يسمى النمط التذبذي

resonate والسلك يقال أنه يـرق resonanceعند الرنني ) أو أحدثت(املوقوفة يقال أا أنتجت .resonant frequenciesوهذا الترددات تسمى ترددات الرنني عند هذه الترددات املعينة

لو حدث تذبذب للسلك بتردد غري هذا التردد الرنيين فإن املوجة املوقوفة لن تتكـون يف هـذه احلالة فإن التداخل الذي حيدث بني املوجة املتجهة حنو اليمني واملتجهة حنو اليسار حتدث فقـط اهتـزازه

. بسيطة يف السلك

وحيدث ذبذبات موقوفة أن أنه يتذبذت بالتذبذب الرنيين ومبا Lلو اعتربنا سلك مشدود طوله أو هـذا (أنه السلك مثبت من طرفية فإنه توجد عقدة عند كل اية إن أسهل شكل يعرب عن هذا الالزم

هـو كمـا ( والذي يوضح السلك عند كال إزاحتية القصوى (20a)كما هو موضح يف شكل ) الشرطال حظ وجود بطن يف ) موضع باخلط املتصل واخلط املنقط

(20a)املنتصف وكذلك من اجلدير مالحظة أن يف شكل وهلذا يوجد فقط نصف طول موجة Lيوجد خالل الطول


L=λأن ) a-20من شكل (فقول 2 أي أن طول موجة املوجة املتجهة لليمني وطول موجـة املوجـة 1

L (c 20) ومن شكل L=λ (b 20) من شكل L2=λليسار هلا طول موجي املتجهة ل32

=λ للموجة املوقوفة هلا الصيغة λ,Lوبشكل عام نقول إن العالقة بني

( )42,3,2,1;2

== nLn

λ األطوال املوجية وترددات الرنني املقابلة هلذه

( )433,4,1;2

=== nLnϑ

λϑ

ν نستنتج أن ترددات الرنني هـي ) 43من معادلة ( هي سرعة املوجات املنتقلة يف السلك أي أن ϑحيث

عبارة عن مفروبات رقم صحيح يف أقل تردد رينين

== 1;

2n

lϑ

ν إن النمط التذبذيب الذي له أقل

سمى النمط األساسي تردد يindamental mate first harmonicأو التردد التوافقي األول r = 2 هو الذي له second harmonicأو التردد التوافقي الثاين

r = 3 هو الذي له third harmonicوهكذا التردد التوافقي الثالث ,,......,بـ وهذه الترددات يرمز هلا 321 ννν

= L هذا اجلهاز متصل بـ طوله H2 120 يوضح جهاز يولد ذبذبات بتردد قدرة (21)شكل : مثال1.2 m 1.6تساوي ) الكتلة لكل وحدة األطوال( وكثافته الطولية g/m ما هو الوزن الذي يوضح يف

(n = 4) بطون 4الكفة لكي نتحصل على

ومن القانون fاحلل إلجياد الشد µ

ϑF

=

µϑµ

ϑ 22 =⇒=⇒ FF

(43) من املعادلة 2ϑمث نعوض عن

( ) ( ) ( ) ( ) NmkgoHmnLF

nL

Ln

3.84

/16.121202.14

4

22

2

322

22

2

=×

=

=⇒

=⇒=

−

µν

νϑϑ

ν


متارين على الباب السابع احسب m 3.2 بطول موجي 240m / sتسري موجة بسرعة -1

(a) التردد؟ (Ans: 75 H2) (b) الزمن الدوري؟ (Ans: 0.013s)

رب سلك الزمن الالزم لنقطة على السلك لتتحرك من اإلزاحة القصوى موجة جيبية تنتقل ع -2 : إحسبs 0.170إىل الصفر

(a)الزمن الدوري؟ (Ans: 0.68 s) (b)التردد؟ (Ans: 1.47 H2)

(c) 1.4 إذا علمت أن الطول املوجي m إحسب سرعة املوجة

smAns 06.1:

وترددها 0.010m سعتها xالجتاه السالب على طول حمور اكتب معادلة موجة تنتقل يف ا -3ssoH2 330 بسرعةm/s ؟

( ) ( )[ ]( )txmtxyAns 110033.3sin010.0,: += λ معادلة موجة مستعرضة عرب سلك -4

)0.4020.0(sin0.6 txy λλ += : بالثانية إحسب ما يليt بالسنتمتر و y, xحيث (a) السعة (Ans: 4 cm) (b) الطول املوجي (Ans: 100cm)

(c)لتردد ا(2 H2) (d) سرعة املوجة

scm200

(e) إجتاه انتشار املوجة (-x) (t) أكــرب ســرعة مــستعرضة لنقطــة علــى الــسلك (g) أحــسب اإلزاحــة املــستعرضة عنــد cmxt 5.3,265.0 ==

وذلك عندما يكون السلك مشدود بقـوة 170m /sسرعة موجة مستعرضة على سلك -5120N كم جيب أن تكون قوة الـشد لتـزداد سـرعة املوجـة إىل أحسب

sm180 ؟

( )NAns 21035.1: × معادلة موجة مستعرضة يف سلك -6

( ) ( ) ( )[ ]tsxmmmy 11 60020sin0.2 −− −= إحسبlsNالقوة املؤثرة

(a) سرعة املوجة (Ans: 30m /s) (b) بوحدة ( كثافة الكتلة الطولية للسلكg/m( ؟ (Ans: 17 g/m)


radموجتان متماثلتان وتتحركان يف نفس االجتاه بفرق طور -72λ احـسب سـعة حمـصلة

ym (Ans:1.4ym)تداخل هاتان املوجتان بداللة سعة كل منها احسب فرق الطور بني موجتني تتحركان يف نفس االجتاه على طول سلك مـشدود سـعة -8

سعة كل من املـوجتني قبـل ymحيث (1.50ymوجتان تساوي املوجة الناجتة من تداخل امل عرب عن النتيجة بالدرجة، بالراديان والطول املوجي؟ ) التداخل

( )λϕ 23.0,45.1,8.82: radAns o= sin15.0)1379.0(معادلة موجة مستعرضة تنتقل على سـلك -9 txy y و x حيـث =−

. بالثانيةtباملتر و )a( احسب اإلزاحةy عند Ans: 2.039m) t = 0.16s, x = 2.3m )b( إذا تداخلت موجة أخرى مع املوجة املعطاة فما هي معادلة هذه املوجة الناجتة مـن تـداخل

) املوجتني موجة موقوفة؟ ) ( )otxmtxyAns =++=′ ϕ1379.0sin15.0,:( )c( احــــسب اإلزاحــــة الرأســــيةyللموجــــة املوقوفــــة عنــــد

t=0.16s, x=2.3m (Ans: -0.14m) . بني ايتني ثابتني7.0Nبقوة ) 2.00g وكتلته 125mطوله (سلك مشدود - 10

)a( احسب سرعة املوجة على السلك؟ (Ans: 66.1 m/s) )b( احسب أقل تردد رنني هلذا السلك؟ (Ans: 26.4H2)

11 -

Documents

Wave Motion