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波動波動 ( ( Wave Motion )Wave Motion )

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簡介

• 波動 ( wave ) 是一種

傳遞振動

傳遞能量 的運動形式

不傳送質量

• 機械波 ( 或 力學波 , mechanical wave ) : 需要經介質傳遞

電磁波 ( electromagnetic, EM, wave ) : 不需要經介質傳遞

• 根據波動的特性 ,波動的種類可以分為二大類

橫波 ( Transverse Wave )

縱波( Longitudinal Wave )

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• 橫波 : ( 波動粒子的運動方向 ) ⊥ ( 波傳遞或前進的方向 )

( 此類波動存在於固体中或液体的表面 )

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• 縱波 : ( 波動粒子的運動方向 ) // ( 波傳遞或前進的方向 )

( 此類波動存在於固体或流体中 ) ( 流體 包括了 氣體 與 液體 )

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波動介質的運動

• 傳遞波動的介質會有相對於其靜止或平衡位置的往復擾動 , 但不會有實際質量或物質的傳送

• 波動會傳遞能量及動量

• 傳遞波動的介質 , 其往復擾動會造成某種物理性質的變化及這種變化的傳遞，這種物理性質變化可以以一波動函數來表示，此函數可為

純量或向量形式

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波長 , 波速 , 頻率 及 振幅( Wavelength, Velocity, Frequency, and Amplitude )

對一個周期性的波動 ( 周期波 , periodic wave ) 而言

λ

amplitude x

λ : wavelength , v : wave velocity ( 波峰或波谷行進的速度 )

T : period , υ : frequency

T = λ / v , υ = 1 / T ( v = λ • υ = λ / T )

波峰

波谷

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行進波 ( Traveling Wave )

• 首先假設參考座標軸與行進中的波以相同的固定速度行進

x

y

y(x) = f(x), not a function of time

y(0) = f(0)

f(0)

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• 若參考座標靜止不動, 行進波以v 的速度大小往 +x 方向運動 :

t = 0

t = t1

x

y

vt1

f(0)

x

y

f(0)

y(x,t) = f(x-vt)

y(x,0) = f(x)

at x = 0 , y(0,0) = f(0)

y(x,t1) = f(x-vt1)

at x = vt1y(x,t1) = f(0)

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• 若參考座標靜止不動, 行進波以v 的速度大小往 –x 方向運動 :

t = 0

t = t1

x

y

vt1

f(0)

x

y

f(0)

y(x,t) = f(x+vt)

y(x,0) = f(x)

at x = 0 , y(0,0) = f(0)

y(x,t1) = f(x+vt1)

at x = – vt1y(x,t1) = f(0)

v : phase velocity ( or wave velocity )

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Ex. At t=0, a pulse is described by y(x) = A / (B+x2) . Pulse moves in +x direction at 3m/s. Wave function at t=1s ⇒ ?

x

y

3(m)

t=0 s t=1 s

Sol. Y(x,t=0) = A / (B+x2)

replace x with x-vt

y(x,t) = ——————AB + (x-vt)2

= ——————AB + (x-3t)2

y(x,1) = ——————AB + (x-3)2

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• 行進諧波 ( Traveling Harmonic Waves )

If at t = 0 , y(x,t=0) = A sinkxk = 2π/λ , wave numberλ : wavelength

when x = λ , y(x=λ) = A sin[ (2π/λ) • λ ] = A sin 2π one cycle

so y(x,t) = A sin [ k(x-vt) ] = A sin(kx – kvt) = A sin (kx – ωt)

v = υλ = 2πυ (λ/2π) = ω/k

or y(x,t) = A sin(kx-ωt+Φ) ( more general, if y ≠ 0 at t=0 and x=0 )

y

xλ

A

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y(x,t) = A sin(kx+ωt)

For a harmonic wave moving at –x direction :

or y(x,t) = A sin(kx+ωt+Φ) ( more general, if y ≠ 0 at t=0 and x=0 )

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• wave velocity ( v ) ≠ velocity of a particle of the medium ( ∂y / ∂t )

Ex.

particles move only along the y-direction

y = A sin(kx-ωt+Φ)

∂y/∂t = - ωA cos(kx-ωt+Φ)

∂2y/∂t2 = - ω2A sin(kx-ωt+Φ)

⏐∂y/∂t ⏐max = ωA

⏐∂2y/∂t2 ⏐max = ω2A

∂y / ∂t

x

y

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波動傳遞的能量 ( Energy Transfer of a Wave )

利用波動傳遞能量與一般利用粒子碰撞傳遞能量的不同 :

(1) 波動傳遞能量 , 但不用遷涉質量的傳輸

(2) 波動可以同時將能量傳至空間中不同的位置

• 對一行進諧波 ( Traveling Harmonic Waves ) 而言

y = A sin(kx-ωt)

rate of energy production or transmission :

p = ( energy per wavelength ) x υ

水池

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Etotal = Ep + Ek = constant = Ek,max

Ek,max = ½ Δm vymax2

vy = ∂y/ ∂t = - ωA cos(kx-ωt) vymax = - ωA

⇒ E ( for particle C ) = ½ Δm vymax2 = ½ Δm ω2 A2

⇒ energy per wavelength = ½ (mass in 1 wavelength) ω2 A2= ½ μ λ ω2 A2 , μ : mass per unit length

⇒ p = (energy per λ) x υ = ½ μ λ ω2 A2 υ = (μ/2) ω2 A2 v , ( v = υ λ )

p ∝ A2 , p ∝ v

x

y C

for this small length of string :

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• 對於在三度空間中傳播的波動而言 ( 例如 聲波 及 光波 )

define I , intensity : power transmitted per unit area perpen-dicular to the direction of wae propagation

I ( W/m2 ) ∝ A2

• 任何形式的波動都具有以下的兩個特性 :

(1) power transported ∝ A2

(2) power transported ∝ v