Embed Size (px)
Citation preview
Бүлэг 1
Натурал илтгэгчтэй зэрэг
8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах
1. Зэргийн чанар хэрэглэн илэрхийллийг хялбарчлах.1) A) x3∙ ( x2 )5=x3∙ x10=x13;б ¿ (a3 )2 ∙ a5=a6 ∙ a5=a11;
b) (a2 )3∙ (a4 )2=a6∙ a8=a14; г¿ ( x2 )5 ∙ ( x5 )2=x10 ∙ x10=x20 ;
д) (m2 ∙ m3 )4=(m5 )4=m20; е) ( x4 ∙ x )2 ∙ ( x5 )2=x10;
2¿a¿ (a2 )4=a8 б)a3∙ (a3 )2=a3 ∙ a6=a9;
b¿ ( a5 )2 ∙ (a2)2=a10 ∙ a4=a14 ; г) (a3 )3 ∙ (a3 )4=a9 ∙ a12=a21 ;
д)(a3 ∙ a3 )2=(a6 )2=a12 ; e) ( x2 )3 ∙ ( x3 )5=x6 ∙ x15=x21;
3) a)x5∙ ( x2 )3=x5 ∙ x6=x11 ; б) x8∙ ( x3 )4=x8∙ x12=x20 ;
b)¿ ( x4 )2 ∙ ( x5 )3=x8∙ x15=x23 ; г) ¿ ( x2 )3∙ ( x3 )5=x6 ∙ x15=x21;
2. Илэрхийллийн утгыг ол.a) 26 ∙55=64 ∙ 3025=200000b) 24 ∙ 54=105=100000c) 23 ∙54=103 ∙5=5000d) 24 ∙ 53=103 ∙2=2000
e) ( 12 )
3
∙23=( 12
∙ 2)3
=1
f) ( 13 )
2
∙32=( 13
∙ 3)2
=1
g) 104 ∙0.15=( 110
∙10)4
∙ 0.1=0.1
3. Илэрхийллийн утгыг ол.
a) 25 ∙ (23 )4
213 =25 ∙212
213 =217
213 =24=16
b) 57 ∙ (58 )2
522 =57 ∙516
522 =523
522 =51=5
c) (25 )2
26 ∙ 4= 210
26∙ 22 =210
28 =22=4
d)37 ∙27(34 )3 =37 ∙33
312 =310
312 =132 =
19
4. Илэрхийллийн утгыг ол.(2 ∙522−9 ∙521 ) :521=521 (10−9 ) :521=1 ;
5. Илэрхийллийн утгыг ол.
(5 ∙233−4 ∙ 230 ): 416=232 (10−1 ):232=9 ;
6. (4 ∙ 322+7 ∙321) ÷ (19 ∙274 )2=321 (4 ∙3+7 )÷ (19∙ (33 )4 )2= 321 ∙19192 ∙324=
119 ∙27
= 1513
;
7. 5∙ (3 ∙ 715−19 ∙714 )÷ (716+3 ∙715 )=5 ∙ ( 3∙715−19 ∙714 )(716+3 ∙715)
=5∙ 714 (3 ∙7−19 )
715 (7+3 )= 5 ∙2
7 ∙10=1
7;
8. Илэрхийллийн утгыг ол.
a¿ (−0.5 )4 ÷ (−0.5 )3=−0.5 . б ¿3 ∙26−8 ∙43+5 ∙ 82=3 ∙ 26−8 ∙ (22 )3+5 ∙ (23 )2=26 (3−8+5 )=0 ;в¿ 4 ∙36−11 ∙ 272+7 ∙93=4 ∙36−11 ∙ 36+7 ∙36=0 ;
г ¿ 253∙ 142
49 ∙106 =56 ∙22 ∙72
72 ∙ 26 ∙56 =124 =
116
;д¿ 363∙ 152
184 ∙103 =183 ∙23 ∙32 ∙52
184 ∙23 ∙53 = 110
;
е ¿5 ∙( 12 )
8
−3 ∙( 14 )
4
−7 ∙( 116 )
2
=5 ∙( 12 )
8
−3 ∙(( 14 )
2)4
−7 ∙((12 )
4)2
=( 12 )
8
(5−3−7 )=(12 )
8
∙ (−5 )= −5256
;
9. ∀n∈N хувьд2n+2n+1+2n+2 ⋮ 14 2n (1+2+22 )=2n ∙ 7=2n−1 ∙2∙ 7=2n−1 ∙14
10.∀n∈N хувьд (5n+5n+1) ⋮ 30 5n (1+5 )=5n−1∙ 5∙ 6=5n−1 ∙ 30
11. (35−34 ) ∙ (32+33 ) ⋮ 24=33 (3−1 ) ∙32 (3+1 )=34 ∙3∙ 2 ∙4=34 ∙ 24
12. (163−83 )∙ ( 43+23 ) ⋮ 63 a¿ (212−26 ) ∙ (26+23 )=26 ∙ (26−1 ) ∙ 23∙ (23+1 )=26 ∙ 23 ∙63 ∙9б ¿ (16−8 ) ∙ ( 162+16 ∙8+82 ) ∙ ( 4+2 ) (42−2 ∙ 4+22)=8 ∙6 ∙12 ∙ 448=8∙ 2 ∙4 ∙64 ∙63
13. (1252+252 ) ∙ (52−1 ) ⋮ 39→ (56+54 ) ∙ (52−1 )=54 ∙ (52+1 ) (52−1 )=54∙ 2 ∙13 ∙ 3∙ 8=54 ∙2∙ 8 ∙39
Бүлэг 2
Рациональ илэрхийллийн адилтгал хувиргалт
14 .( a2
a+b− a3
a2+2ab+b2 )÷ ( aa+b
− a2
a2−b2 )=( a2
a+b− a3
(a+b )2 )÷( aa+b
− a2
(a−b ) (a+b ) )= a2
a+b∙(1− a
a+b )÷ aa+b (1− a
a−b )= a2
a+b∙( a+b−a
a+b )÷ aa+b ( a−b−a
a−b )= a2
a+b∙( b
a+b )∙ a+ba ( a−b
−b )=a (b−a )a+b
;
15.(3a−1 ) ∙ (3a−9 )
2 (a2−9 )−2a−92 ∙ (a−3 )
a+3=
(3a−1 ) ∙3 ∙ (a−3 )−2 ∙ (2a−9 ) ∙ (a−3 )2 (a−3 ) ( a+3 )
=( a−3 ) (9a−3−4 a+18 )
2 (a−3 ) (a+3 )=
(5 a+15 )2 (a+3 )
=5 ∙ (a+3 )2 (a+3 )
=52=2.5
16. (5a+3 ) ( a−1 )2 (a2−1 )
−6a+33a+3
= (5 a+3 ) ( a−1 )2 (a−1 ) (a+1 )
−3∙ (2 a+1 )3 (a+1 )
=5a+3−4 a−22 (a+1 )
= a+12 (a+1 )
=12=0.5 ;
17. a2−5 a+65 ( a2−4 )
− a2 (a+2 )
=(a−3 ) ( a−2 )
5 (a−2 ) ( a+2 )− a
2 (a+2 )=2 a−6−5a
10 (a+2 )=
−3 (a+2 )10 ( a+2 )
=−0.3
18. (a−2 )2
( a2−5 a )∙ 2a−10
4−a2 + 2 a−4a (a+2 )
=(a−2 )2
a ( a−5 )∙ 2 (a−5 )
(2+a ) (2−a )+ 2a−4
a (a+2 )=4−2 a+2a−4
a (a+2 )=0
19.( a+1a2−1
− a+1a2−a )∙ (a−a2 )=( a+1
(a−1 ) (a+1 )− a+1
a (a−1 ) )∙ a ∙ (1−a )=a−a−1a (a−1 )
∙ a (1−a )=1
20.[ (x+ y )2
x−2 y ] ∙ x2 ∙ y2
x2+ y2 =( x2+2 xy+ y2−2xyx )∙ x2 ∙ y2
x2+ y2 =x ∙ y2
21. ( x− y )2+3 xyxy
÷ x3− y3
x2 y2 = x2−2 xy+ y2+3xyxy
∙ x2 y2
( x− y ) ( x2+xy+ y2 )= xy
x− y
22.( a2+b2
a2−b2 −a−ba+b ) ∙ a−b
ab=( a2+b2
(a−b ) (a+b )−a−b
a+b )∙ a−bab
=( a2+b2−a2+2ab+b2
a2−b2 ) ∙ a−bab
= 2a+b
23.( x2− y2
x− y− x2+ y2
x+ y )÷ 2 xyx2− y2 =( ( x− y ) ( x+ y )
x− y− x2+ y2
x+ y )÷ 2xyx2− y2=
x2−2 xy+ y2−x2− y2
x+ y∙
( x− y ) ( x+ y )2 xy
=x− y
24.( 4 x9−x2 −
x−39+3 x ) ∙ 18 ( x−3 )
x+3=( 4 x
(3−x ) (3+x )− x−3
3 (3+x ) )∙ 18 ( x−3 )x+3
=( 12 x+x2−6 x+93 (3−x ) (3+x ) ) ∙ 18 ( x−3 )
x+3=
(x+3 )2
3 (3−x ) (3+x )∙ 18 ( x−3 )
x+3=−6
25. a2+b2
ab− a3+b3
a2 b−b3 ÷ a2+aba2−b2 =
a2+b2
ab−
(a+b ) (a2−ab+b2 )b (a−b ) (a+b )
∙(a−b ) (a+b )
a (a+b )=a2+b2−a2+ab−b2
ab=1
26.(a−ba+b
+ a+ba−b ) ∙( a2+b2
2 ab+1) ∙ ab
a2+b2 =a2−2 ab+b2+a2+2 ab+b2
(a+b ) (a−b )∙ a2+2ab+b2
2ab∙ ab
a2+b2 =2 ( a2+b2 )
(a+b ) (a−b )∙
(a+b )2
2ab∙ aba2+b2 =
a+ba−b
;
27.( x2
y2 −2+ y2
x2 ) ∙ x 4 y 4
xy+ y2 ∙
xy−1+ x
yx3−2 x2 y+x y2=
x4−2 x2 y2+ y 4
x2 y2 ∙ x4 y4
y ( x+ y )∙ x2−xy+ y2
x ( x2−2 xy+ y2 )=
( x2− y2 )2
( x+ y )∙ ( x2−xy+ y2 )
( x− y )2=
( x− y )2 (x+ y )2
( x+ y )∙ ( x2−xy+ y2)
(x− y )2=x3+ y3 ;
28. a b2
a2b+ab2 +a3−a2ba3−a b2=
ab2
ab (a+b )+
a2 (a−b )a (a−b ) (a+b )
=( a+b )( a+b )
=1
29. xx2+ y2 −
y ( x− y )2
x4− y4 = xx2+ y2 −
y ( x− y )2
( x2− y2 ) ( x2+ y2 )= x
x2+ y2 −y (x− y )2
( x− y ) (x+ y ) ( x2+ y2 )= x2+xy−xy+ y2
(x+ y ) ( x2+ y2 )= 1
x+ y
30. a2+a−2a4−3 a3 ∙( (a+2 )2−a2
4 a2−4− 3
a2−a )= (a+2 ) (a−1 )a3 (a−3 )
∙( a2+4 a+4−a2
4 (a+1 ) (a−1 )− 3
a (a−1 ) )= (a+2 ) (a−1 )a3 (a−3 )
∙( 4 ( a+1 )4 (a+1 ) (a−1 )
− 3a ( a−1 ) )= ( a+2 ) (a−1 )
a3 ( a−3 )∙ a−3a (a−1 )
=a−2a4
31.( x2
x+ y− x3
x2+ y2+2 xy )÷( xx+ y
− x2
x2− y2 )=( x2
x+ y− x3
( x+ y )2 )÷( x2−xy−x2
x2− y2 )=( x3+x2 y−x3
( x+ y )2 )∙(−( x− y ) ( x+ y )xy )= x ( y−x )
x+ y
32. x−2x ( x−2 )+4
+ 4 (1−x )+x2
8+x3 − 1x+2
= x−2x2−2 x+4
+ 4−4 x+x2
(x+2 ) ( x2−2 x+4 )− 1
x+2= x2−4+4−4 x+x2−x2+2x−4
( x+2 ) ( x2−2 x+4 )= x2−2 x−4
x3+8
33. b2
xy+ (b+x )2
x2−xy− (b+ y )2
xy− y2 =b2
xy+ b2+2bx+ x2
x ( x− y )−b2+2by+ y2
y (x− y )=b2 x−b2 y+b2 y+2bxy+x2 y−b2 x−2bxy−x y2
x ( x− y )= xy ( x− y )
xy ( x− y )=1
34.(ax−ba+b
−bx+ab−a ) ∙( a2−b2
x2−1÷ a2+b2
x−1 )=( abx−b2−a2 x+ab−abx−b2 x−a2−abb2−a2 )∙ a2−b2
x2−1∙ x−1a2+b2=
−x (b2+a2)−(b2+a2 )b2−a2 ∙ a2−b2
(x−1 ) ( x+1 )∙ x−1a2+b2 =
( b2+a2 ) ( x+1 )a2−b2 ∙ a2−b2
( x−1 ) ( x+1 )∙ x−1a2+b2=1
35.( aa2−4
+ 8a2+2a ) ∙ a2−2 a
4−a+ a+8
a+2=( a
(a−2 ) (a+2 )+ 8
a (a+2 ) )∙ a (a−2 )4−a
+ a+8a+2
= a2−8 a+16a ( a−2 ) (a+2 )
∙ a (a−2 )4−a
+ a+8a+2
=(4−a )2
(a+2 )∙ 14−a
+ a+8a+2
=4−a+a+8a+2
= 12a+2
36.2b+a−4 a2−b2
ab3+2 a2 b−3 a2b
∙ a3 b−2a2b2+a b3
a2−b2 =
2 ab+a2−4a2+b2
ab (b2+2 a2−3a2 )
∙ab (a2−2ab+b2 )
a2−b2 = 2ab−3 a2+b2
b (b2+2a2−3a2 )∙ ab (a−b )2
(a−b ) (a+b )=a−b
a+b;
37. a+b−1a2+ab
+ a−b2 ab
∙( ba2−ab
+ ba2+ab )=a+b−1
a (a+b )+ a−b
2ab∙( b
a (a−b )+ b
a (a+b ) )=a+b−1a (a+b )
+ a−b2 ab
∙ ab+b2+ab−b2
a (a−b ) (a+b )=a+b−1
a (a+b )+ 1
a (a+b )= a+b
a ( a+b )=1
a;
38.( c+55 c−1
+ c+5c+1 )÷ c2+5 c
1−5 c+ c2+5
c+1=
(c+5 ) (c+1 )+(c+5 ) (5 c−1 )(5 c−1 ) (c+1 )
∙ 1−5 cc (c+5 )
+ c2+5c+1
=(c+5 ) (c+1+5 c−1 )
(5 c−1 ) (c+1 )∙ 1−5 cc (c+5 )
+ c2+5c+1
= −6c+1
+ c2+5c+1
= c2−1c+1
=c−1 ;
39 .Дараахь илэрхийллийн утга “а” параметрийн утгаас хамаарахгүй болохыг батал.
2−a5
+( 11−2 a )
2
÷( a+24a3−4 a2+a
− 2−a1−8 a3 ∙ 4a2+2 a+1
2 a2+a )=2−a5
+( 11−2 a )
2
÷ ( a+2a (4 a2−4 a+1 )
− 2−a(1−2 a ) ( 4a2+2 a+1 )
∙ 4 a2+2 a+1a (2a+1 ) )=2−a
5+( 1
1−2a )2
÷( a+2a (2a−1 )2
− 2−a(1−2a )
∙ 1a (2a+1 ) )=2−a
5+( 1
1−2a )2
÷ ( a+2+2a2+4 a−2+4 a+a−2a2
a (2a−1 )2 (2a+1 ) )=2−a5
+( 11−2 a )
2
∙ a (2a−1 )2 (2 a+1 )10 a
=2−a5
+ 1+2a10
=4−2a+1+2a10
=12
;
40.( y−37 y−4
− y−3y−4 )÷ 7 y−4
9 y−3 y2 +4 y−14
4− y=( ( y−3 ) ( y−4 )−( y−3 ) (7 y−4 )
(7 y−4 ) ( y−4 ) ) ∙ (7 y−4 )3 y (3− y )
+ 4 y−144− y
=¿
¿( y−3 ) ( ( y−4 )−(7 y−4 ) )
( y−4 )+ 4 y−14
4− y=−4
41. Дараахь илэрхийллийн утга “x”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
( x2−2 x+44 x2−1
∙ 2 x2+xx3+8
− x+22 x2−x )÷ 4
x2+2 x− x+4
3−6 x=( x2−2 x+4
(2x−1 ) (2 x+1 )∙ x (2 x+1 )
( x+2 ) ( x2−2 x+4 )− x+2
x (2 x−1 ) )÷ 4x2+2 x
− x+43−6 x
=( 1(2 x−1 )
∙ x( x+2 )
− x+2x (2x−1 ) )÷ 4
x2+2 x− x+4
3−6 x= x2−x2−4 x−4
x (2 x−1 ) ( x+2 )∙ x ( x+2 )
4+ x+4
3 (2 x−1 )= x2−x2−4 x−4
(2 x−1 )∙ 14+ x+4
3 (2 x−1 )=
−4 ( x+1 )(2 x−1 )
∙ 14+ x+4
3 (2 x−1 )=
−( x+1 )(2 x−1 )
+ x+43 (2 x−1 )
=−3 x−3+x+43 (2 x−1 )
= −2 x+13 (2 x−1 )
=−13
;
42.( 13 p−q
+ 3 pq−427 p3−q3 )÷( 1
9 q2+3 pq+q3 +2−2 q
q3−27 p3 )=9 q2+3 pq+q2+3 pq−427 p3−q3 ÷ q−3 p+2−2q
q3−27 p3 =(3 p+q )2−427 p3−q3 ∙ q3−27 p3
2−3 p−q=
(3 p+q−2 ) (3 p+q+2 )2−3 p−q
=−(3 p+q+2 ) ;
43. Дараахь илэрхийллийн утга “n”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
3 n+14n+4
−( n−4n+6 )
2
∙( n+2116−8 n+n2 −
n+316−n2 )=3 n+14
n+4−( n−4
n+6 )2
∙( n+21(4−n )2
− n+3(4−n ) ( 4+n ) )=3 n+14
n+4−( n−4
n+6 )2
∙( 4 n+84+n2+21 n−4 n−12+n2+3n )
( 4−n )2 (4+n )=3 n+14
n+4−( n−4
n+6 )2
∙(2 n2+24 n+72 )
(4−n )2 (4+n )=3n+14
n+4− 2
n+4=3n+12
n+4=3 ;
44.( 1+6aca3−8 c3 −
1a−2c )÷( 1
a3−8c3 −1
a2+2 ac+4 c2 )=( 1+6 ac(a−2c ) (a2+2ac+4 c2 )
− 1a−2 c )÷( 1
(a−2c ) (a2+2ac+4 c2 )− 1
a2+2ac+4c2 )=1+6ac−a2−2 ac−4 c2
a3−8c3 ∙ a3−8 c3
1−a+2 c=1−(a−2 c )2
1∙ 11−a+2 c
=1+a−2 c ;
45. Дараахь илэрхийллийн утга “x”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
( x+5x2−81
+ x+7x2−18 x+81 )÷ ( x+3
x−9 )2
+ 7+x9+x
=( x+5( x−9 ) ( x+9 )
+ x+7(x−9 )2 )÷( x+3
x−9 )2
+ 7+x9+x
=( x2−45+5 x−9 x+x2+7 x+9 x+63( x−9 )2 ( x+9 ) )÷( x+3
x−9 )2
+ 7+x9+x
=( 2 x2+12 x+18( x−9 )2 ( x+9 ) )÷ ( x+3
x−9 )2
+ 7+x9+x
=2 ( x+3 )2
( x−9 )2 ( x+9 )∙
( x−9 )2
( x+3 )2+7+x
9+x= 2
1 ∙ ( x+9 )∙ 11+ 7+x
9+x= 2
( x+9 )+ 7+x
9+x=9+x
9+x=1;
46.( 1c2−4c
+ 216−c2 +
14c+16 )÷( c−4
2c+8 )2
+ 4c+164c2−c3 =( 1
c ( c−4 )+ 2
(4−c ) (4+c )+ 1
4 (c+4 ) )÷( c−42c+8 )
2
+ 4 c+16c2 (4−c )
=( 4 c+46−8 c+c2−4 cc ( 4−c ) ( 4+c ) )÷( c−4
2 c+8 )2
+ 4 c+16c2 ( 4−c )
=(4−c )2
c (4−c ) ( 4+c )∙ 4 (c+4 )2
(4−c )2+ 4 c+16
c2 (4−c )= 4
c (4−c )∙ 4+c
1+ 4 c+16
c2 (4−c )= c2+4 c+4 c+16
c2 (4−c )=
(c+4 )2
c2 (4−c );
47. Дараахь илэрхийллийн утга “a”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
[( a+1a−1 )
2
+3]÷ [( a−1a+1 )
2
+3]÷ a3+1a3−1
− 2 aa−1
=[ (a+1 )2+3 (a−1 )2
(a−1 )2 ]÷[ ( a−1 )2+3 (a+1 )2
(a+1 )2 ]÷ a3+1a3−1
− 2aa−1
=(a+1 )2+3 (a−1 )2
( a−1 )2÷ (a−1 )2+3 (a+1 )2
(a+1 )2÷ a3+1
a3−1− 2 a
a−1=a2+2 a+1+3 a2−6 a2+3
(a−1 )2÷ a2−2 a+1+3 a2+6 a2+3
(a+1 )2÷ a3+1
a3−1− 2 a
a−1=4 a2−4 a+4
( a−1 )2∙ ( a+1 )2
4 a2+4a+4∙ a3−1
a3+1− 2 a
a−1=
4 (a+1 ) (a3+1 )4 ( a−1 ) (a3−1 )
∙ a3−1a3+1
− 2 aa−1
=a+1−2 aa−1
=1−aa−1
=−1;
48. 9 y−273 y2− y3 +(3 y+9
y−3 )2
∙( 13 y−9
+ 29− y2 −
1y2+3 y )= 9 ( y−3 )
y2 (3− y )+(3 ( y+3 )
y−3 )2
∙( 13 y−9
+ 29− y2 −
1y2+3 y )=−9
y2 +9 ( y+3 )2
( y−3 )2∙( 1
3 ( y−3 )+ 2
(3− y ) (3+ y )− 1
y ( y+3 ) )=−9y2 +
9 ( y+3 )2
( y−3 )2∙( y2+3 y−6 y−3 y+9
3 ( y−3 ) y ( y+3 ) )=−9y2 +
9 ( y+3 )2
( y−3 )2∙
( y−3 )2
3 ( y−3 ) y ( y+3 )=−9
y2 +3 ( y+3 )
1∙ 1
( y−3 ) y=−9 y+27+3 y2+3 y
( y−3 ) y2 =3 y2−6 y+27( y−3 ) y2 =
3 ( y2−2 y+9 )( y−3 ) y2 ;
49.Дараахь илэрхийллийн утга “b”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
12b−4 b2
2b+3+ 1
2 b−3÷( 4
4b2−9− 6 b−9
8b3+27 )=12 b−4 b2
2b+3+ 1
2 b−3÷( 4
(2 b−3 ) (2 b+3 )− 6 b−9
(2 b+3 ) ( 4 b2−6 b+9 ) )=12 b−4b2
2 b+3+ 1
2b−3÷( 16 b2−24 b+36−12 b2+18 b+18 b−27
(2 b−3 ) (2 b+3 ) ( 4 b2−6b+9 ) )=12b−4b2
2b+3+ 1
2b−3÷( 4 b2+12 b+9
(2b−3 ) (2b+3 ) ( 4b2−6 b+9 ) )=12 b−4 b2
2b+3+ 1
2 b−3∙
(2 b−3 ) (2b+3 ) ( 4 b2−6 b+9 )(2b+3 )2
=12 b−4 b2+4 b2−6b+92b+3
=6b+92b+3
=3;
50. 9a(3−a )2
−1 ÷( aa−3
+ 12 a2−9 a27−a3 + 9
a2+3a+9 )= 9 a(3−a )2
−1÷( aa−3
+ 12 a2−9 a(3−a ) (a2+3 a+9 )
+ 9a2+3 a+9 )= 9 a
(3−a )2−1÷( a3−9a2+27 a−27
(3−a ) (a2+3a+9 ) )= 9 a(3−a )2
−1÷ ( a−3 )3
(3−a ) ( a2+3a+9 )= 9 a
(3−a )2−
(a2+3a+9 )(a−3 )2
=−(a−3 )2
(a−3 )2=−1 ;
51. x−4x−2
÷( 80 xx3−8
+ 2 xx2+2 x+4
− x−162−x )− 6 x+4
( 4−x )2= x−4
x−2÷( 80 x
( x−2 ) ( x2+2 x+4 )+ 2 x
x2+2 x+4+ x−16
x−2 )− 6 x+4( 4−x )2
= x−4x−2
÷ ( 80 x+2 x2−4 x+x3+2 x2+4 x−16 x2−32 x−64( x−2 ) ( x2+2 x+4 ) )− 6 x+4
( 4−x )2= x−4
x−2÷( x3−12 x2+48 x−64
( x−2 ) ( x2+2 x+4 ) )− 6 x+4(4−x )2
= x−4x−2
∙( x−2 ) ( x2+2 x+4 )
( x−4 )3− 6 x+4
(4−x )2= x2+2x+4−6x−4
( x−4 )2= x2−4 x
(x−4 )2=
x ( x−4 )( x−4 )2
= xx−4
;
52.Дараахь илэрхийллийн утга “t”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
[ 3+t(3−t )2
− 69−t2 +
3−t(t +3 )2 ]÷ 24 t 2
81−t 4 + 2t2
t2−9=[ 27+27 t+9 t2+t 3−54+6 t2+27−27 t+9 t2−t 3
(9−t2 )2 ]÷ 24 t 2
81−t 4 +2t 2
t2−9= 24 t 2
( 9−t 2 )2∙
( 9−t 2 ) ( 9+t 2 )24 t2 + 2 t2
t 2−9= 9+t2
9− t2 −2t 2
9−t2 =1 ;
53.(3a+2 x+ 3a+2 x3 a−2 x )÷ ( 6 a+1
9 a2−4 x2 +1)− 13a+2 x+1
=(3a+2 x ) (3 a−2 x )+3 a+2 x
3 a−2x÷( 6a+1+9 a2−4 x2
9 a2−4 x2 )− 13a+2 x+1
=(3a+2 x ) (3a−2 x+1 )
3a−2x÷
(3 a+1 )2−4 x2
9a2−4 x2 − 13a+2x+1
=(3a+2 x ) (3 a−2x+1 )
3 a−2 x∙
(3 a+2 x ) (3a−2 x )(3 a+2 x+1 ) (3a−2 x+1 )
− 13 a+2x+1
=(3a+2x )2
(3 a+2x+1 )− 1
3 a+2 x+1=
(3a+2 x+1 ) (3 a−2 x+1 )3a+2x+1
=3a+2 x−1 ;
54. 15 x− y−1
−(5 x− y−5 x− y5 x+ y )÷(1− 10 x−1
25 x2− y2 )= 15 x− y−1
−( (5x+ y ) (5 x− y )−5 x− y5 x+ y )÷(25 x2− y2−10 x+1
25 x2− y2 )= 15 x− y−1
−( (5 x+ y−1 ) (5x− y )5 x+ y )÷ ( (5 x−1 )2− y2
25 x2− y2 )= 15 x− y−1
−(5x+ y−1 ) (5 x− y )
5 x+ y∙ (5x+ y ) (5 x− y )
(5 x+ y−1 ) (5 x−1+ y )= 1
5 x− y−1−
(5x− y )2
5 x− y−1=
(5 x+1− y ) (1−5 x+ y )5 x− y−1
= y−5 x−1 ;
55. x+2y−1
+ 2 x− y−1( x−1 ) (x− y )
÷[ x− yx2+xy− y−1
− x−1x2+x− y− y2 ]= x+2
y−1+ 2 x− y−1
( x−1 ) (x− y )÷[ x− y
x2−1+xy− y− x−1
x2− y2+x− y ]= x+2y−1
+ 2 x− y−1( x−1 ) ( x− y )
÷[ x− y( x−1 ) ( x+1 )+ y ( x−1 )
− x−1( x− y ) ( x+ y )+ x− y ]= x+2
y−1+ 2 x− y−1
( x−1 ) ( x− y )÷ [ x− y
( x−1 ) ( x+ y+1 )− x−1
( x− y ) ( x+ y+1 ) ]= x+2y−1
+ 2 x− y−1( x−1 ) (x− y )
÷ ( x− y )2−( x−1 )2
( x−1 ) ( x+ y+1 ) ( x− y )= x+2
y−1+ 2 x− y−1
( x−1 ) ( x− y )∙ ( x−1 ) (x+ y+1 ) ( x− y )
( x− y−x+1 ) ( x− y+x−1 )= x+2
y−1+ x+ y+1
( y−1 )= x+2−x− y−1
( y−1 )= 1− y
( y−1 )=−1 ;
56.( 2a+c4 a2−2 ac−c−1
− 2 a+14 a2−2 a−c−c2 )∙ (2a+c ) (2 a+1 )
4 a+c+1− 2 a−2
2a−c−1=( 2 a+c
(2a+1 ) (2 a−1 )−c (2 a−1 )− 2a+1
(2a−c ) (2 a+c )−(2a+c ) )∙ (2a+c ) (2a+1 )4 a+c+1
− 2 a−22 a−c−1
=(2a+1+2a+c ) (2a+c−2a−1 )
(2a+1 ) (2a−c−1 ) (2 a+c )∙ (2 a+c ) (2a+1 )
4a+c+1− 2a−2
2a−c−1=
1∙ (2 a+c−2 a−1 )1∙ (2 a−c−1 ) ∙1
∙ 1 ∙ 11
− 2a−22a−c−1
=(c−1 )
(2 a−c−1 )− 2 a−2
2 a−c−1= c+1−2 a
2a−c−1=−1;
57.( 4a2−4 a
−3a+32a3−64 )÷ a−8
a3+4 a2+16 a− 4
4−a=( 4
a (a−4 )− 3a+32
(a−4 ) (a2+4 a+16 ) ) ∙ a (a2+4 a+16 )a−8
− 44−a
=( 4 a2+16 a+64−3 a2−32 aa (a−4 ) ( a2+4 a+16 ) ) ∙ a ( a2+4 a+16 )
a−8− 4
4−a=a2−16 a+64
(a−4 ) ∙ 1∙ 1
a−8− 4
4−a= a−8
a−4+ 4
a−4=1 ;
58. 9x2−9
+ x4+3 x3+9 x2
( x+6 )2∙( 1
9−x2 +9
27−x3 )= 9x2−9
+x2 ( x2+3x+9 )
( x+6 )2∙( 1
(3−x ) (3+x )+ 9
(3−x ) ( x2+3 x+9 ) )= 9x2−9
+x2 ( x2+3 x+9 )
( x+6 )2∙( x2+3 x+9+27+9 x
(3+x ) (3−x ) ( x2+3 x+9 ) )= 9x2−9
+ x2
( x+6 )2∙ ( x+6 )2
9−x2 =9−x2
x2−9=−1 ;
59. 54 p+3q
∙ [ 3q+5(4 p−5 )2+3 q ( 4 p−5 )
− 4 p−512 pq+9 q2+20 p−25 ]= 5
4 p+3 q∙[ 3 q+5
( 4 p−5+3 q ) (4 p−5 )− 4 p−5
4 p (3q+5 )+ (3 q+5 ) (3q−5 ) ]= 54 p+3 q
∙[ (3q+5+4 p−5 ) (3q+5−4 p+5 )(5+3 q ) (4 p−5 ) (4 p+3q−5 ) ]= 5
4 p+3 q∙[ (3 q+4 p ) (3q−4 p+10 )
(5+3 q ) (4 p−5 ) (4 p+3 q−5 ) ];60.( 2m−5
4 m2+6mn+15 n−25+
2m−3n−525−4 m2 )÷ 3n2
(2m−5 )2+3n (2m−5 )−
6 (m+3 )2 m+5 =( 2m−5
(2m−5 ) (2 m+5 )+3n (2m+5 )+
2m−3n−5(2m−5 ) (2m+5 ) )÷ 3 n2
(2m−5 ) (2m−5+3n )−
6 (m+3 )2 m+5 =
((2m−5 )2−(2m−5 )2+9n2 )(2 m−5 ) (2 m+5 ) (2 m+3 n−5 )
∙(2 m−5 ) (2 m−5+3 n )
3 n2 −6 (m+3 )2m+5 =
31 ∙ (2 m+5 ) ∙1
∙ 1∙ 11 −
6 ( m+3 )2m+5 =
3−6 m−182 m+5 =
−6m−152 m+5 =−3 ;
61.( 2x+9x2−x−42
− x+62 x2−5 x−63 ) ∙( 4
x+5+ 12
x+3 )=( 2x+9( x+6 ) ( x−7 )
− x+6(2 x+9 ) ( x−7 ) ) ∙( 4 x+12+12x+60
(x+5 ) ( x+3 ) )= (2x+9+x+6 ) (2 x+9−x−6 )( x+6 ) ( x−7 ) (2 x+9 )
∙ 16 x+72(x+5 ) ( x+3 )
= 3 (x+5 ) ( x+3 )(x+6 ) ( x−7 ) (2 x+9 )
∙ 8 (2 x+9 )(x+5 ) ( x+3 )
= 3∙ 1(x+6 ) ( x−7 )∙ 1
∙ 8 ∙ 11
= 24(x+6 ) ( x−7 )
;
62.[ x2+24(2x−5 )2
+ 85−2 x ]÷[ 1
(2 x−5 )2− 2
2x2+x−15+ 1
( x+3 )2 ]= x2+24+40−16 x(2 x−5 )2
÷ [ x2+6 x+9−4 x2−2 x+30+4 x2−20 x+25(2 x−5 )2 (x+3 )2 ]= ( x−8 )2
(2 x−5 )2∙
(2 x−5 )2 ( x+3 )2
x2−16 x+64=( x+3 )2;
Бүлэг 5,5
Үржигдэхүүн болгон задлах
128. 2 a>0b>0бол √(a+b )+2√ab=√(√a )2+ (√b )2+2√a ∙√b=√(√a+√b )2=√a+√b
a>b>0бол √a+b−2√ab=√ (√a )2+(√b )2−2√a ∙√b=√(√a−√b )2=√a−√b
1. √9+4√5=√ (2+√5 )2=2+√52. √28+10√3=√ (5+√3 )2=5+√33. √6−2√5=√5−14. √8−2√7=√7−15. √11−4√7=2−√76. √24−6√15=√15−3
131.
1. 2√2
=(√2 )2
2 =√2
2.7√7
=√7
3.15
√3 ∙√5= 15
√15=√15
4.28
√2 ∙√7=2 ∙14
√14=2√14
5. x2−8x+2√2
=( x−√8 ) ( x+√8 )
x+√8=x−√8=x+2√2
6. a2−27a−3√3
=a+3√3
7. x−6√x−√6
=(√x )2−(√6 )2
√x−√6=
(√ x−√6 ) (√ x+√6 )√x−√6
=√x+√6
8. a−40√a−2√10
=(√a−√40 ) (√a+√40 )
√a−√40=√a+√40
9. 2 a2−10√a+√5
=2 ( a−5 )√a−√5
=2 (√a+√5 )
10. 30−3 x2
√10−x=
3 (10−x2)√10−x
=3 ( √10+x )
132. Дараах илэрхийллүүдээс нийлбэр эсвэл ялгаварын бүтэн квадрат ялгаарай.
1. 3+2√2=1+2√2+2=(1+√2 )2
2. 7+4√3=(2+√3 )2
3. 28+10√3=(5+√3 )2
4. (16+6 √7 )=(3+√7 )2
5. 46−12√10=(6−√10 )2
6. 19−8√3=(4−√3 )2
7. 54−14√5=(7−√5 )2
8. 92−18√11=(9−√11 )2
9. 5+2√6=(√3+√2 )2
10. 7+2√6= (1+√6 )2
11. 12+2√35=(√7+√5 )2
12. 10+2√21=(√7+√3 )2
13. 5−2√6=(√3−√2 )2
14. 12−2√35=(√7−√5 )2
133. Бутархайг хураа
1. 8+2√71+√7
=1+2√2+ (√77 )2
1+√7=1+√7
2. 7−2√10√5−√2
=(√5−√2 )2
√5−√2=√5−√2
3. 7−2√10√2−√5
=(√2−√5 )2
√2−√5=√2−√5
4. 9−2√14√7−√2
=(√7−√2 )2
√7−√2=√7−√2
134.
1. √4−2√3+√7−4√3=√3−1+2√3=12. √14−6√5+√9−4√5=3−√5+√5−2=13. √9−2√14−√17−2√70=√7−√2−(√10−√7 )=2√7−√10−√24. √8−2√15−√15−2√50=√5−√3−√10+√5=2√5−√3−√10
135. Илэрхийллийн хуваарийг язгуураас чөлөөл.
1. √ 29=√2
3
2. √ 37=√ 3 ∙7
7 ∙ 7=√21
7
3. √3 13=√ 10∙ 3
3 ∙3=√30
3
4. x √ x ∙ yy ∙ y
=z√ xy
y
5. 6 m√ m2 n
=6 m√m
2 n=
3 m√mn
6. 3 x2 y √ 12xy
=3 x ∙√ 12 x2 y2
xy=6 x√ xy
136. Илэрхийллийг a√b хэлбэртэй болго. / энд aϵQ bϵ Ν /
1.1
√14= √14
√14 ∙√14= 1
14=√14
2.4√5
= 4 ∙√5√5 ∙√5
=15 √5
3.5√6
=56
∙√6
4.8
√21= 8
21∙√21
137. Дараах тоонуудыг жишээрэй.
1. 2√3ба 3√22√3=√12<3√2=√18 2√3<3√22. 5√3ба 4√5√75<√80 5√3<4 √53. 2−√5ба 3−√10 2−2.2333 ба 3−3.162−0,233←0.162 2−√5<3−√10
4. 1+√5ба2+√31+2.23<2+1.723.23<3.721+√5<2+√3
5. 3+√7ба 2+√103+2.65>2+3.165.65>5.163+√7>2+√10
6. 7−√10 ба 9−√297−3.16>9−5.383.84>3.627−√10>9−√29
Бүлэг 5.6Иррациональ илэрхийллийг хялбарчлах
138. Илэрхийллийг хялбарчил.
1.4 √a−1a−√a
− 3√a
+ 2√a−1
= 4 √a−1√a (√a−1 )
− 3√a
+ 2√a−1
=4 √a−1−3√a+3+2√a√a (√a−1 )
2.3
√b+4− 3
√b+ 2−3√b
b−4 √b= 3
√b+4− 3
√b+ 2−3√b
√b (√b−4 )=3b−12√b−3 b+48+2√b+4−3 b+12√b
√b (√b+4 ) (√b−4 )= 52+2√b−3b
√b (√b+4 ) (√b−4 )
3.√h−2
h (√h+2 )− h−7
√h (h+4√h+4 )+3=h+4−h√h+7√h+h√h+4 h+4 √h
h (√h+2 )2=5 h+11√h−4
h (√h+2 )2
4.2− y
√ y ( y−2√ y+1 )−2+ √ y+1
y (√ y−1 )=2√ y− y √ y−2 y√ y+4 y−2√ y+ y−1
y (√ y−1 )2= 5√ y−3 y
y (√ y−1 )2=5√ y−3 y√ y−1
y (√ y−1 )2
5.5√h−7
h−4−3√h−2
2−√h= 5√h−7
(√h+2 ) (√h−2 )+3 √h−2
√h−2=5√h−7+3 h+6√h−2√h−2
(√h+2 ) (√h−√2 )= 3 h+9√h−9
(√h+2 ) (√h−2 )
6.2+3√t
t−9−5−2√t
3−√ t= 2+3√ t
(√ t−3 ) (√t +3 )+5−2√t
√ t−3=2−3√ t+5√ t+15−2 t−6√t
(√t−3 ) (√t +3 )= 17−4 √t−2 t
(√ t−3 ) (√t +3 )7.
30 α−26√αβ9 α+6√αβ+ β
∙ √ β+3√α2α
− √α−1√β+10√α
: 2 α−2√α100 α−β
= 2√α (15√α−13√β )(3√α+√ β ) (3√α−√ β )
∙ √ β+3√α2√α
− √α−1√β+10√α
∙(√ β+10√α ) (10√α−β )
2√α (√α−1 )=¿
¿ 15√α−13√ β√α (3√α−√β )
−10√α−√β2√α
=30√α−26√β−30√α +10√βα +3√αβ−β2√α (3√α−√β )
=30√α−30 α−26 √β+13√αβ−β2√α (3√α−√ β )
8.
39t−12√ tz36 t−4 z ∙ 2√ z+6√t
3√z−3√t−2√ z
2√z+√ t: 3√tz−2 z9 t +12√tz+42
=3√ t (13√ t−4 √z )
( 6√t−2√ z ) (6 √t +2√z )∙ 2√ z+6√t
3√t−3√t−2√ z
2√z+3√ t∙
(3√ t+2√ z )2
√z (3√ t−2√z )=¿
13√t−4√ z2 (3√t−√z )
−3√ t+2√ z√ z
=13√ t z−4 z−18 t−12√ tz+6√ tz+4 z2 (3√ t−√z )
= 7 √tz−18 t2 (3√ t−√z )
139. Илэрхийллийг хялбарчил.
1. Хэрэв −1<x<1 бол √ x2+4 x+4+√x2−6 x+9√ x2−6 x+9=|x−3|x−3 ≥ 0 үед√ x2−6 x+9=x−3 x−3≤ 0 үед√x2−6 x+9=3−x−1<x<1 нь x<3 завсарт багтах учир√ x2+4 x+4+√x2−6 x+3=x+2+3−x=5
2. Хэрэв 0 ≤ x≤ 3 бол √ x2−8 x+16+√x2+2 x+1=|x−4|+ x+1
x−4≥ 0 x ≥ 4 үед √ x2−8 x+16=x−4 x−4 ≤ 0 x ≤ 4 үед√ x2−8 x+16=4−x
0 ≤ x≤ 3нь x≤ 4 завсарт багтах учир√ x2−8 x+16+√ x2+2 x+1=4−x+x+1=53. Хэрэв −2<x<0 бол √ x2+6 x+9+√x2−2 x+1=x+3+|x−1|
√ x2−2x+1 нь x−1≥ 0 x ≥1 үед√ x2−2 x+1=x−1 x−1 ≤ 0 x ≤1 үед√x2−2 x+113−x−2<x<0 нь x ≤1 завсартбагтах учир√x2+6 x94+√ x2−2 x+1=x+3+1−x=4
4. Хэрэв −1 ≤ x ≤ 4 бол √ x2−10 x+25+√x2+4 x+4=|x−5|+x+2
√ x2−10 x+25нь x ≥5 үед x−5 тайx<5үед5−x тэй тэнцэнэ.
−1≤ x ≤ 4 нь x<5 завсартбагтах учир−1 ≤ x ≤ 4√ x2−10 x+25+√x2+4 x+4=5−x+x+2=7
140. Иррационалт илэрхийлэл.Илэрхийллийг хялбарчил.
1. √a√a−√b
− b√a+√b
=a+√ab−√ab+ba−b
= a+ba−b
2.1
a+a√b− 1
a−a√b=1−√b−1−√b
a(1−b)= 2√b
a (1−b)
3.a
√ac+c+ c
√ac−a−a+c
√ac=a√ac−a2+c √ac+c2−c2+a2
√ac (c−a )=√ac (a+c )
c−a= c+a
c−a
4.1
a+√a2−b2+ 1
a−√a2−b2=a−√a2−b2+a+√a2+b2
a2−( a2−b2 )=2a
b2
5.
54−√11
+ 13−√7
− ❑√7−2
−√7−52
=5 (4−√11)
16−11+ 3+√7
9−7−√7+2
7−4−√7−5
2=4−√11+ 3+√7
2−√7+2
3−√7−5
2=24−6√11+9+3√7−2√7−4−3√7+15
6=44−6√11−2√7
6=11−3√11−√7
3
6.
4√5−√2
+ 3√5−2
− 2√3−2
+ √3−16
=4(√5−√2)
5−2+
3 (√5+2)5−4
−2(√3−2)
3−4+ √3−1
6=4 √5+4√2
3+ 3√5+6
1+2√3+4
1+ √3−1
6=8√5+8√2+18√5+36+12√3+24+√3−1
6=26√5+8√2+13√3+39
6
7. √2+1√2−1
+ √2−1√2+1
−√2+32
=3+2√21
+ 3−2√21
−2+3√22
=10−3√22
8. √5−√3√5+√3
+ √5+√3√5−√3
− √5+1√5−1
=8−2√152
+8+2√152
−6−2√54
=13+√52
9. (1+ a√a2−b2 ): (a+√a2−b2 )=√a2−b2+a
√a2−b2∙ 1a+√a2−b2
= 1√a2−b2
10. ( 3√1+x
+√1−x) :( 3√1−x2
+1)= 3+√1−x2
√1+x: √1−x2
3+√1−x2=√1−x
11. (√a+ a b2+c√a b2+c ) : (b√a+b√a b2+c )=(√a+√a b2+c ): b (√a+√a b2+c)=1
b
12.
( m+√m2−n2
m−√m2−n2 −m−√m2−n2
m+√m2−n2 ) : 4m √m2−n2
n2 =m2+m2−n2+2m √m2−n2−m2−m2+n2+2m√m2−n2
m2−m2+n2 : 4 m√m2−n2
n2 =4m √m2−n2
n2 ∙ n2
4 m√m2−n2 =1
13.
n+2+√n2−4n+2−√n2−4
+ n+2−√n2−4n+2+√n2−4
=(n+2 )2+n2−4+2 (n+2 ) √n2−4+ ( n+2 )2+n2−4−2 (n+2 )√n2−4
(n+2 )2−n2+4=
2 (n2+4 n+4+n2−4 )n2+4 n+4−n2+4
=4n2+8n4 n+8
=n
14.
(√a+ b−√ab√a+√b ):( a
√ab+b+ b
√ab−a+ a+b
√ab )=a+√ab+b−√ab√a+√b
: ( a(√a+√b )√b
+ b√a (√b−√a )
+ a+b√ab )= a+b
√a+√b: a√ab−a2+b √ab+b2+a2−b2
√ab (b−a )= a+b
√a+√b: √ab (√b−√a ) (√b+√a )
√ab (a+b )=√b−√a
15.
√a+√b−1a+√ab
+ √a−√b2√ab
∙( √ba−√ab
+ √ba+√ab )= √a+√b−1
√a (√a+√b )+ √a−√b
2√ab∙ a√b+b√a+a√b−b√a
√a ( a−b )= √a+√b−1
√a (√a+√b )+ √a−√b
2√ab∙ 2 a√b√a (√a−√b ) (√a+√b )
= √a+√b−1√a (√a+√b )
+ √b√a (√a+√b )
=√a+2√b−1√a (√a+√b )
141. Батал
1. x>1бол x+√( x−1 )2=2 x+1x<1бол x+√( x−1 )2=1Баталгаа: x>1бол|x−1|= x−1x+√ ( x−1 )2=x+|x−1|=x+x−1=2 x−1
x<1бол|x−1|=−x+1 x+√ (x−1 )2=x+√x−1=x−x+1=1
2. m>nбол (m−n ) ∙√ m+n( m−n )2
=√m+n
m<nбол (m−n ) ∙√ m+nm−n2 =−√m+n
Баталгаа: m−n>0бол|m−n|=m−n (m−n ) ∙√ m+n(m−n )2
= (m−n )√m+n|m−n|
= (m−n ) √m+nm−n
=√m+n
m−n<0бол|m−n|=n−m (m−n ) ∙√ m+n(m−n )2
=(m−n )√m+n
(m−n )=−√m+n
Бүлэг 6Рационал тоо, үет бутархай
142. Үет аравтын бутархайг энгийн бутархайд шилжүүл.
1. 0 , (354 )=354999
2. 5 , (27 )=5 2799
3. 0,5 (36 )=536−5990
=531990
4. 2,4 (9 )=2 49−490
=2 4590
=2 12
5. 2,45 (3 )=2 453−45900
=2 408900
6. 67,5 (23 )=67 523−5990
=67 518990
7. 7,06 (8 )=7 68−6900
=7 62900
8. 0,108 (45 )=10845−10899000
=1073799000
9. 13,6 (5 )=13 65−690
=13 5990
10. 0,375 (28 )=37528−37599000
=3715399000
143. Үет аравтын бутархайг энгийн бутархайд шилжүүл.
1. 0,23 (7 )=237−23900
=214900
2. 7,5 (3 )=7 53−590
=7 4890
3. 2,1 (32 )=2 132−1990
=2 131990
4. 0,5 (61 )=561−5990
=556990
5. 0,1 (6 )=16−190
=1590
6. 0 , (3 )=39
7. 1,1 (6 )=1 16−190
=1 1590
8. 0,13 (6 )=136−13900
=123900
144. Үет аравтын бутархайг энгийн бутархайд шилжүүл.
1. 1,23 (7 )=1 237−23900
=1 214900
2. 2,23 (9 )=2 239−23900
=2 216900
=2 24100
=2 625
3. 0 , (394 )=394999
4. 9,89 (5736 )=9 895736−89999900
=9 895747999900
145. Энгийн бутархайг аравтын бутархайд шилжүүл.
1.13=0 , (3 )
2.17=0 , (142857 )
3.911
=0 , (81 )
4.4
21=0 , (1904761 )
5.344343
=2918
=1,6 (1 )
146. Дараахь тоонуудыг жишээрэй.
1) 0.42857 ба 37
37=0.428571 > 0.42857
2) 56
ба 0,8(32)
56=0.8333>0.8(32)
147. Тоонуудын бүхэл хэсгийг нэрлэ.
1. [15,751000…]=152. [-15,751000…]=-143. [314,32666…]=3144. [-314,32666…]=-3135. [0,888…]=06. [-0,888…]=-17. [1,111…]=18. [2,965774..]=2
Бүлэг 7
Квадрат функцийн график
148. f ( x )=15
x2 бол дараахь хүснэгтийг нөхөж, функцийн графикийг байгуул.
х 0 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5f ( x ) 0 1
545
95
165
255 =5
f (−2.5 )=15
(−2.5 )2=15
∙6.25=1.25 ; f (−2.5 )=15
(2.5 )2=15
∙6.25=1.25 ;
f (−3.5 )=15
(−3.5 )2=15
∙ 12.25=2.45; f (3.5 )=15
(3.5 )2=15
∙12.25=2.45;
g ( x )=−15
x2 графикийг байгуул.
g (2.5 )=−15
(2.5 )2=−15
∙6.25=−1.25 ; f (−2.5 )=−15
(−2.5 )2=−15
∙ 6.25=−1.25 ;
g (3.5 )=−15
(3.5 )2=−15
∙ 12.25=−2.45 ;g (−3.5 )=−15
(−3.5 )2=−15
∙ 12.25=−2.45 ;
149. y=2 x2 функц ба a) y=200 б) y=800 b) y= 50x г) y = - 3200x функцүүдийн огтлолын цэгийн координатыг тэдгээрийн графикийг нь байгуулахгүйгээр олоорой.
200=2 x2 ;100=x2; x1,2=± 10 ;800=2 x2; 400=x2 ;x1,2=±20 ;
50 x=2 x2 ;2 x (25−x )=0 ;x1=0; x−25=0 ; x2=25 ;
−3200 x=2 x2 ;2 x ( x+1600 )=0 ; x1=0 ; x2=−1600 ;
150. y=−25 x2 функцийн графикт а) A(-2;-100) b) B(2;100) c)C(15
;−1¿ цэгүүд харъяалагдах
уу?
y=−25 (−2 )2=−25 ∙4=−100 ;учир А цэг харъяалагдана.
y=−25 (2 )2=−25 ∙ 4=−100 ; учир В цэг харъяалагдахгүй.
y=−25( 15 )
2
=−25 ∙ 125
=−1;учир С цэг харъяалагдана.
154. y=x2 функцийн графикийг ашиглан дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
159. Дараахь функцийн графикийг байгуулаарай.
163.Квадрат гурван гишүүнтийн графикийг байгуул.
165.y=x2−2 функцийн графикийг байгуул..Функцийн утга эерэг ба сөрөг байх “х”-ийн утгуудыг олоорой.
Функцийн утга эерэг байх : x∈ ¿−∞;−1. 5¿¿∪¿
Функцийн сөрөг байх : х∈ [−1,5;1.5 ]
166.y=−x2+4 функцийн графикийг байгуул..Функцийн утга эерэг ба сөрөг байх “х”-ийн утгуудыг олоорой.
Функцийн утга сөрөгбайх : x∈ ¿−∞;−2¿¿∪¿
Функцийн эерэгбайх : х∈ [−2 ;2 ]
167.y=x2−2 x функцийн графикийг байгуул..Функцийн утга эерэг ба сөрөг байх “х”-ийн утгуудыг олоорой.
Функцийн утга эерэг байх : x∈ ¿−∞; 0¿¿∪¿
Функцийн сөрөг байх : х∈ [ 0 ;2 ]
168.y=x2+2 x функцийн графикийг байгуул..Функцийн утга эерэг ба сөрөг байх “х”-ийн утгуудыг олоорой.
Функцийн утга эерэг байх : x∈ ¿−∞;−2¿¿∪¿
Функцийн сөрөг байх : х∈ [−2;0 ]
169. Дараахь тэгшитгэлүүдийн графикийг байгуул.
170. y=4 x2−4 функцийн график А (−0,5 ;−3 ) цэгийг дайрах ба В (1 ;−4 ) ийг дайрахгүй болохыг батал.
172. Функцийн графикийг байгуул.
173. Графикийг байгуул.y= f ( x ) функц өгөгдөв.f ( x )={−x2+4 ;−3 ≤ x≤ 1−12
x+2 ;1≤ x≤ 5
Бүлэг 8
Зэрэгт функц
8.1 Зэрэгт функцийн график, хэрэглэх
181. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
182. Функцийн графикийг байгуул.
183. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
184. Дараахь зураг дээр дүрслэгдсэн графикуудын тэгшитгэлийг бичээрэй.
Бүлэг 9
Модультай шугаман функц
Модультай хялбар шугаман функцийн график байгуулах
185. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
186. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
187. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
Бүлэг 10
Квадрат тэгшитгэл
10.1 Гүйцэд биш квадрат тэгшитгэл
188. Тэгшитгэлийг бод.
1) 3 x2=4 x2=43
;|x|=√ 43=2√3
3;2. 5 x2=8 ; x2=8
5;|x|=√ 8
5=2√10
5;
3.2 x2+18=0; x2=−9 ;x=∅ ;4.5 x2+125=0 ; x2=−25 ; x=∅
5. 23
x2−23=0; 2
3x2=2
3; x2=1 ;|x|=1 ;6. 3
5x2−5
3=0; 3
5x2=5
3; x2=1 ;|x|=1 ;
7.1−4 x2=0 ; x2= 14
;|x|=12
;8.1−9 x2=0 ; x2=19
;|x|=13
;
10. 121−x2=0 ; x2=121;|x|=11;11. x2+9=0 ; x2=−9 ; x=∅ ;
12. x2+16=0 ; x2=−16 ; x=∅ ;13. 10 x2−121=0 ; x2=1.21;|x|=1.1 ;
14. 10 x2=0.4 ; x2=0.04 ;|x|=0.2;15. 3 ( x2−2 )=2 ( x2−3 ) ;3 x2−6=2 x2−6 ;
x2=0 ; x=0 ;
16. 6 (3−x2 )=13+5 ( 1−x2 );18−6 x213+5−5 x2 ; x2=0 ; x=0 ;
17. t2−2t=0 ; t ( t−2 )=0 ;[ t=0t−2=0
; [ t=0t=2
↔ t={0 ;2 }
18. p2+10 t=0 ; p ( p+10 )=0; [ p=0t+10=0
;[ t=0t=−10
↔t= {−10 ;0 }
19. 5u2−7 u=0;u (5 u−7 )=0 ; [ u=05u=7
;[ u=0
u= 75=1.4
↔ u= {0 ;1.4 }
20. 7 x2−14 x=0 ;7 x ( x−2 )=0 ;[ x=0x−2=0
; [x=0x=2
↔ x= {0 ;2 }
21. 1.2 x+0.6 x2=0 ;0.6 x (2+x )=0 ;[ x=0x+2=0
;[ x=0x=−2
↔ x= {−2;0 }
22. 16
a+ 13
a2
=0 ; 16
a (1+2a )=0 ;[ a=01+2 a=0
; [ a=0
a=−12
↔ a={−12
;0}23. 2.7 m=0.1 m2;0.1 m (m−2.7 )=0 ; [ m=0
m−2.7=0; [ m=0
m=2.7↔m= {0 ;2.7 }
24. 4.2 q=0.2 q2 ;0.2 q (q−2.1 )=0 ; [ q=0q−2.1=0
;[ q=0q=2.1
↔ q={0 ;2.1 }
25. 23
ϑ (ϑ+6 )=15
ϑ (5ϑ−10 ); 23
ϑ 2+6ϑ=ϑ 2−10 ϑ ;
13
ϑ2
−16 ϑ=0; 13
ϑ (ϑ−16 )=0 ; [ ϑ=0ϑ−16=0
;[ ϑ=0ϑ=16
↔ ϑ={0 ;16 }
26. r (3−r )=r (7+r ) ;3 r−r2=7 r+r2 ;2r (5+r )=0 ;[ r=0r+5=0
;[ r=0r=−5
↔ r= {−5;0 };
10. 2 Гүйцэд квадрат тэгшитгэл.Квадрат тэгшитгэл бодох томъёо.
a x2+bx+c=0 ;a (x2+ ba
x+ ca )=a (x2+2 ∙ b
2ax+ b2
4 a2 −b2
4 a2 +ca )=a [(x+ b
2 a )2
− b2−4ac4 a2 ]=0 ;a ≠ 0 ;(x+ b
2 a )2
=b2−4 ac4 a2 ;|x+ b
2 a|=b2−4 ac4 a2 ; x+ b
2a=± √b2−4 ac
2a; x1.2=
−b ±√b2−4 ac2 a
; x1=−b+√b2−4ac
2a; x2=
−b−√b2−4 ac2 a
; D=√b2−4ac ↔
x1=−b+√ D
2a; x2=
−b−√D2a
Хэрэв a=1 ;x2+bx+c=0; x1=−b+√D
2;x2=
−b−√ D2
189. 1.x2−6 x+5=0 D=√36−20=4 x1,2=6∓ 4
2x1=1 ; x2=5
2. x2+2 x−35=0 ; x1,2=−1∓ √1+35=−1∓6 ; x1=−7 ; x2=5
3. x2−2x−35=0 ; x1,2=−1∓√1+35=−1∓6 ; x1=−5 ;x2=7
4.u2−7u−18=0 ;u1,2=7∓√49+72
2=7∓11
2; x1=−2 ; x2=9
5.u2−6 u+9=0 ;u1,2=3∓ √9−9=3 ; (u−3 )2=0 ;u=3
6. t2−8 t−16=0 ; (t−4 )2=0 ; t−4=0 ; t=4
7. q2−22q+121=0 ; (q−11 )2=0 ;q=11
8. x2+18 x+81=0; ( x+9 )2=0 ; x=−9
9.−p2+7 p−10=0; p2−7 p+10=0 ; p1,2=−7∓√49−40
−2=−7∓3
−2; p1=5 ; p2=2
10. a−72−a2=0 ;a2−a−72=0 ;a1,2=1∓√1+288
2=1∓17
2;a1=−8 ;a2=9
11. x+42−x2=0 ;x2−x−42=0; x1,2=1∓√1+168
2=1∓13
2; x1=−6 ; x2=7
12. 2 x+120−x2=0; x2−2 x−120=0 ; x1,2=1∓ √1+120=1∓11; x1=−10 ; x2=12
13. t−t2−1=0 ; t 2−t+1=0 ; t1,2=−1∓√1−4
2=−1∓√−3
2t=∅
14. 3t +9+t 2=0 ; t 1,2=−3∓√9−36
2=−3∓√−27
2; t=∅
190.Дараах тэгшитгэлүүдийг бодож язгуурууд нь координатын шулуун дээр ямар бүхэл тоонуудын хооронд байрлахыг барагцаалан тэмдэглэ.
1. p2+6 p−20=0 ; p1,2=−3∓√9+80=−3∓√89 ;−13<−3−√89<−12 ;6<−3+√89<7 ;−13< p1<−12 ;6< p2<7
2. x2+8 x−14=0 ; x1,2=−4∓√16+14=−4∓√30;−10<−4−√30<−9 ;
1<−4+√30<2 ;−10<x1<−9;1<x2<2
3. x2−x−60=0; x1,2=1∓√1+240
2=1∓√241
2;x1=
1−√2412
; x2=1+√241
2;
−8<x1←7 ;8<x2<9
4.u2−u−40=0 ;u1,2=1∓√161
2;u1=
1−√1612
;u2=1+√161
2;
−6<u1<−5 ;6<u2<7
5. x2+x−60=0 ; x1,2=−1∓ √1+240
2=−1∓ √241
2; x1=
−1−√2412
;
x2=−1+√241
2;−9<x1<−8 ;7<x2<8
6.u2+u−40=0;u1,2=−1∓√161
2;u1=
−1−√1612
;u2=1+√161
2;
−7<u1<−6 ;5<u2<6
7.u2−12 u+18=0;u1,2=6∓√36−18 ;u1=6−√18
2;u2=
1+√182
;
1<u1<2 ;5<u2<6
8.q2−14 q+35=0 ;q1,2=7∓√49−35 ;q1=7−√14 ;q2=7+√14 ;
3<q1<4 ;10<q2<11
191 Тэгшитгэлийг бод.
1.2 x2−5 x+2=0 ; x1,2=5∓√25−16
4=5∓√9
4; x1=
12
; x2=2
2.2 x2−7 x−4=0 ; x1,2=7∓ √49+32
4=7∓√81
4; x1=
−12
; x2=4
3.3 x2−10 x+3=0 ;x1,2=10∓√100−36
6=10∓√64
6; x1=
13
; x2=3
4.5 ϑ2−8ϑ+3=0 ;ϑ1,2=8∓√64−60
10=8∓ √4
10;ϑ 1=
35
;ϑ2=1
5.8 t2−4 t +1=0 ; (2 t−1 )2=0 ;2 t−1=0 ; t=12
6.9 x2−6 x+1=0 ; (3 x−1 )2=0 ;3 x−1=0 ; x=13
7.7 u2+7u+5=0 ;u1,2=−7∓ √49−140
14;D<0 ;u=∅
8.3 p2+9 p+10=0 ; p1,2=−9∓√81−120
6; D<0 ; p=∅
9. 18 ϑ2−15ϑ+2=0 ;ϑ1,2=15∓√225−144
36=15∓√81
36;ϑ 1=
15−936
= 636
=16
;
¿ϑ2=15+9
36=24
36=2
3
10. 50 q2−35 q+6=0 ;q1,2=35∓√1225−1200
100=35∓√225
100;q1=
35−5100
= 30100
= 310
;q2=35+5100
= 40100
= 410
11.12 m2+36 x+27=0 ;∨÷ 3 ;4 m2+12 m+9=0 ; (2m+3 )2=0;2 m+3=0 ;m=−32
12. 45 t 2+60 t +20=0;∨÷ 3 ;9 t2+12 t+4=0 ; (3 t+2 )2=0 ;3 t +2=0; t=−23
192.Дараах тэгшитгэлүүдийг бодож язгуурууд нь координатын шулуун дээр ямар бүхэл тоонуудын хооронд байрлахыг барагцаалан тэмдэглэ.
1.2x2+8 x−11=0 ; x1,2=−8∓ √64+88
4=−8∓√152
4; x1=
−8−√1524
; x2=−8+√152
4;−6<x1<−5;1<x2<2
2.2 x2+6 x−25=0 ; x1,2=−6∓ √36+200
4=−6∓ √236
4; x1=
−6−√2364
; x2=−6+√236
4;−6<x1<−5 ;2< x2<3
3.3 t2−10 t−20=0 ; t1,2=10∓√100+240
6=10∓ √340
6; t1=
10−√3406
; t2=10+√340
6;−2<t 1<−1; 4<t 2<5
4.3 ϑ2−12ϑ−40=0 ;ϑ1,2=12∓√144+480
6=12∓√624
6;ϑ 1=
12−√6246
;ϑ 2=12+√624
6;−3<ϑ 1<−2;6<ϑ2<7
5.5 p2+14 p+1=0 ; p1,2=−14∓√196−20
10=−14∓ √176
10; p1=
−14−√17610
; p2=−14+√176
10;−3< p1<−2 ;−1< p2<0
6.5 n2+20 n+1=0 ;n1,2=−20∓ √400−20
10=−20∓√380
10;n1=
−20−√38010
;
n2=−20+√380
10;−4<n1<−3 ;−1<n2<0
7.2 x2+7 x−25=0 ;x1,2=−7∓√49+200
4=−7∓ √249
4; x1=
−7−√2494
;
x2=−7+√249
4;−6<x1<−5 ;2<x2<3
8. 2q2+9 q−20=0 ;q1,2=−9∓ √81+160
4=−9∓√241
4; x1=
−9−√2414
; x2=−9+√241
4
193 . Тэгшитгэлийг бод.
1 (2 x+1 ) (x+2 )−( x−1 ) (3 x+1 )=11;
2 x2+5 x+2−(3 x2−2 x−1 )=11;
x2−7 x−8=0 x1.2=7±√49+32
2=7 ±√81
2=7 ± 9
2; x1=8 ; x2=−1
2. (3u−1 ) (u−2 )−(u+1 ) (u+2 )=12 ;
3 u2−7 u+2+u2+3u+2=12 ;
4 u2−4 u−8=0 ;u2−u−2=0 ;u1.2=1±√1+8
2=1±√9
2=1± 3
2;u1=2;u2=−1
3. ( x−1 ) ( x−2 ) ( x−3 )=x3−14 x−2 ;
( x2−3 x+2 ) ( x−3 )=x3−14 x−2; x3−3 x2+2x−3 x2+9 x−6=x3−14 x−2 ;
6 x2−25 x+4=0 x1.2=25 ±√625−96
12=25 ±√529
12=25±23
12; x1=
16
; x2=4
4. x (x−1 ) ( x−2 )=( x+1 ) ( x+2 ) (x+3 )
x3−3 x2+2x=( x2+3 x+2 ) (x+3 )
x3−3 x2+2 x=x3+3 x2+2 x+3 x2+9 x+6
9 x2+9 x+6=0 ;3 x2+3 x+2=0 ;x1.2=−3±√9−24
6; D<0 ; x=∅
5. ( x+7 ) ( x−3 )−(2 x+1 ) ( x+4 )+18=0
x2+7 x−21−2 x2−9 x−4+18=0
x2+5 x+7=0 ; x1.2=−5 ±√25−28
2; D<0 ; x=∅
6 .( 12
x−2) ( x+6 )−(1− x ) (3− x )+16=0
12
x2
−2 x+3 x−12−3+4 x−x2+16=0 ;
12
x2
−5 x+4=0 ; x2−10 x+2=0 ; x1.2=5 ±√25−8=5 ±√17 ;x1=5−√17 ; x2=5+√17
7. (2 x−3 ) (2 x+3 )−2 (1−x )2−(3 x+1 )2=0
4 x2−9−2+4 x−2 x2−9 x2−6 x+1=0
7 x2+2 x+10=0; x1.2=−2 ±√4−280
14; D<0 ; x=∅
8. (5−4 x )2−(3 x+6 )2−(3 x−4 ) (3 x+4 )=0
25−40 x+16 x2−36−36 x−9x2−9x2−16=0 ;
2 x2+76 x−27=0 ; x1.2=76 ±√5776+216
4=76 ±√5992
4;
x1=76+√5992
4; x2=
76−√59924
194. y=−x2+8 ; y=2 xогтлолцлыг ол .
−x2+8=2 x; x2+2 x−8=0 ;x1.2=−1±√1+8=−1±√9 ;x1=−4 ; x2=2 ;
x=−4 ; y=− (−4 )2+8=−8; x=2; y=2∙ 2=4 ; хариу : {(−4 ;−8 ) , (2; 4 ) }
195. Дараах квадрат гурван гишүүнтийн язгуурыг ол.
1 a . x2−8 x+15=0 ; x1.2=4 ±√16−15=4 ±1 ; x1=3 ; x2=5 ;
1 б .− y2+3 y−10=0 ; y1.2=3±√9−40
−2; D<0 ; x=∅
1b . 4 b2−16 b+12=0 ;b2−4 b+3=0 ;
b1.2=2 ±√4−3=2 ±1 ;b1=1;b2=3 ;b= {1 ;3 }
1 г . 2 a2−a=0;2 a2−a=2 a(a− 12 )=0 ; [ a=0
a− 12=0
↔[a=0
a=12
;a={0 ; 12 }
2 a . 5 y2+14 y−3=0; y1.2=−14 ±√196+60
10=−14 ± 16
10;[ y1=−3
y2=−15
; y={−3 ;−15 }
2 б .10 b2−7 b+1=0 ;b1.2=7±√49−40
20=7±3
20;[b1=
−15
b2=12
; y={−15
; 12 }
2 b .−0.4 c2+0.8=0 ;−0.4 (c2−2 )=0 ;c2=2 ;|c|=√2 ;[c1=−√2c2=√2
; c={−√2 ;√2 }
2 г .7 x2−28=0 ;7 ( x2−4 )=0; c2=4 ;|c|=2 ;[c1=−2c2=2
; c= {−2 ;2 }
3 a . 0.5 x2−x−1=0 ;0.5 ( x2−2 x−2 )=0 ; x1.2=1±√1+2=1 ±√3 ; x1=1+√3 ; x2=1−√3 ; x= {1−√3;1+√3}
3б .−100 c2+20 c+3=0;100 c2−20 c−3=0 ; c1.2=10 ±√400+1200
200=10 ± 40
200;c1=
−30200
=−320
;c2=50
200=1
4;c={−3
20; 1
4 }196. Квадрат гурван гишүүнт “в” ямар утганд
a¿b2−4 b+9 ;b=−−42
=2 утгад ;б ¿−b2+6 b−14 ;b=−6−2
=3 утгад
197. Квадрат гурван гишүүнт “х” дурын утганд
a)x2−10 x+28=0 ; D=102−4 ∙28=100−128=−12<0 ;a>1>0 шийдгүй
б ¿−x2+4 x−6=0 ; D=16-24=-8<0;-1=a<0 заавар унш
198. Квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задал.
a) x2−7 x+10=x2−2 x−5 x+10=x (x−2 )−5 ( x−2 )= (x−2 ) ( x−5 );
б) 3 x2+3 x−6=3 ( x2+x−2 )=3 ( x2−1+x−1 )=3 ( ( x−1 ) ( x+1 )+ (x−1 ) )=¿
¿3 ( x−1 ) (x+2 ) ;
b)7 x2−63=7 ( x2−9 )=7 ( x−3 ) ( x+3 );
г) 5 x2+19 x−4=5(x2+195
x−45 )=5(x2+4 x−1
5x−4
5 )=5( x ( x+4 )−15
( x+4 ))=¿
¿5 ( x+4 )(x−15 )=( x+4 ) (5 x−1 );
199. Квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задал.
a) x2+ x−72=x2+9 x−8 x−72=x ( x+9 )−8 ( x+9 )=( x+9 ) (x−8 ) ;
б) 7 x2+20 x−3=7( x2+ 207
x−37 )=7( x2+3 x−1
7x−3
7 )=7(x ( x+3 )−17
( x+3 ))=¿
¿7 ( x+3 )(x−17 )=( x+3 ) (7 x−1 );
b)12 x2−588=12 ( x2−49 )=12 (x−7 ) ( x+7 );
г) 3 x2−12 x+3=3 ( x2−4 x+1 ) ; шугаман олон гишүүнтийн дүрсээр бичиж болохгүй.
200. Дараах квадрат гурван гишүүнтүүдийг яагаад шугаман олон гишүүнтийн дүрсээр бичиж болохгүй вэ?
a) x2−5 x+17=( x−2. 5 )2+10.75
б) −3 x2+2 x−1=−3(x2−23
x−13 )=−3((x−1
3 )2
−29 )
b)x2−12 x+39=( x−6 )2+3
г)−4 x2+4 x−3=−4 (x2−x+ 34 )=−4((x−1
2 )2
+ 12 ) иррациональ тоонууд гарч ирнэ.
Дискриминант нь бүхэл тооны квадрат болохгүй.
201. Квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задал
1)u2+5u−6=u2−u+6 u−6=u (u−1 )+6 (u−1 )=(u−1 ) (u+6 );
2)x2−2 x−15=x2−2 x+1−16=( x−1 )2−16=( x−1 )2−42= (x−1−4 ) ( x−1+4 )=¿
¿ ( x−5 ) ( x+3 )
3)t 2−4 t+4=(t−2 )2;
4)u2+6 u+9=(u+3 )2;
5) v2+v+1=v2+2 ∙ 12
v+ 14+ 3
4=(v+1
2 )2
+ 34
; болохгүй
6) z2−2 z+2=( z−1 )2+1 болохгүй
7)z2+4 z+1= (z+2 )2−3 болохгүй
8) x2+10 x+1= (x+5 )2−24болохгүй
9) x2−(a+b ) x+ab=x2−ax−bx+ab=x ( x−a )−b ( x−a )= (x−a ) ( x−b ) ;
10)x2−(2+a ) x+2 a=x2−2 x−ax+2 a=x ( x−2 )−a ( x−2 )= (x−a ) ( x−2 ) ;
11) 2 r2−r−2=2(r2−12
r−1)=2((r−14 )
2
−1716 ) болохгүй
12)3 v2−2v−1=3 (v2−23
v−13 )¿3¿¿
¿3(v−13−2
3 )(v−13+ 2
3 )=3 (v−1 )(v+ 13 )=(v−1 ) (3 v+1 ) ;
13)−5 m2+3 m+2=−5(m2− 35
m−25 )=−5(m2−1
5m− 2
5m−2
5 )=−5((m−1 )(m+ 25 ))
14) −4q2−q+3=−4(q2+ 14
q−34 )=−4 (q+1 )(q−3
4 );
15) −9 p2−3 p−2=−9 ( p2+ 13
p+ 29 )
16) −25 z2+5 z−4=−25( z2−15
z+ 425 )
17) 7 x2+6 x+1=7(x2+67
x+ 17 )
18) 9 t 2−10 t+2=9(t 2−109
t + 29 )
19) −11 z2+20 z+3=−11( z2−2011
z− 311 )
20) −13 x2−16 x+3=−13( x2+ 1613
x− 313 )
202. ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн дискриминантыг D=b2−4 ac томъёогоор олж дараах тэгшитгэлүүдийн шийдийг шинжил. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг түүний коэффициентүүд ба дискриминантаар шинжлэх:
1) x2−7 x−44 2) x2−6 x 3) x2−5.5 x−3
D=49+56=105 D=36 D=5.52+12=42.25
a>0 ;D<b2 x>0|D|=ba>0|D|=6.5 D<b2
b<0 b<0 ;b<0 D<b2
Эсрэг тэмдэгтэй 0;6 гэсэн хоёр Эерэг 2 шийдтэй.
Хоёр шийдтэй шийдтэй.
4) 2 x2−7 x+5=0 5) 3 x2−2 x−6=0 6) −2 x2−6 x+8=0
D=49−40=9 D=4+72=76 D=36+64=100
a>0 D<b2 a>0 D>b2a<0 D>b2
b<0 b<0 b<0
Эерэг тэмдэгтэй Эсрэг тэмдэгтэй Эсрэг тэмдэгтэй
Хоёр шийдтэй. Хоёр шийдтэй Хоёр шийдтэй
11-р бүлэг.
Бутархай рациональ тэгшитгэл
203.Тэгшитгэл бод.
1 . x2+3 x+52 x−1
=−x2−2 x+82 x−1
;
{x2+3 x+5=−x2−2x+82x−1≠ 0
↔{2 x2+5 x−3=02x ≠1
↔ x1.2=−5±√25+24
4=−5 ± 7
4;
{x1=−3
x2=12
x ≠ 12
↔ хариу : x1=−3
2 . 3 x2−10 x+105 x−7
=7 x−2 x2−45 x−7
;
{3 x2−10 x+10=7x−2 x2−45 x−7 ≠ 0
↔{5 x2−17 x+14=05x ≠ 7
↔ x1.2=17±√289−280
10=17 ± 3
10;
{x1=75
x2=2
x ≠ 75
↔ хариу : x2=2
3 . 1x−1
+ 1x2−1
=58
;
{8 x+8+8=5 x2−5x2−1≠ 0
↔{5 x2−8 x−21=0x2 ≠1
↔ x1.2=8±√64+420
10=8 ±22
10;
{x1=−75
x2=3|x|≠ 1
↔ хариу : x1={−75
;3}
4 . 1x2−4
− 1x−2
=3 ;
{4−x−2=3 x2−12x2−4≠ 0
↔{3 x2+x−14=0x2≠ 4
↔ x1.2=−1±√1+168
6=−1 ± 13
6;
{x1=−73
x2=2|x|≠ 2
↔ хариу : x1={−73 }
5 . 1x+ 1
x+5− 1
x−3=0 ;
{x2+2 x−15+x2−3 x+x2+5 x=0x≠ 0 ; x+5 ≠0 ; x−3 ≠ 0
↔ { 3 x2+4 x−15=0x ≠0 ; x ≠−5 ; x≠ 3
↔ x1.2=−4 ±√16+180
6=−4±14
6;
{ x1=−3
x2=53
x≠ {−5 ;0 ;3 }
↔ хариу : x1={−3 , 53 };
6 . 1t−2
+ 1t+8
+ 1t−5
=0 ;
{t2+3 t−40+ t2−7 t+10+t 2+6 t−16=0t−2≠ 0 ; t+8≠ 0 ; t−5≠ 0
↔ { 3 t2+2 t−46=0t ≠2 ; t ≠−8 ; t ≠ 5
↔ t 1.2=−2±√4+552
6=−2 ±√556
6=−1 ±√139
3;
{t 1=−1+√139
3
t2=−1−√139
3t ≠ {−8 ;2 ;5 }
↔ хариу : t 1.2={−1−√1393
, −1+√1393 };
7 . x+12 x−3
+ xx+1
− 11 x−x2+8(2 x−3 ) ( x+1 )
=0 ;
{x2+2 x+1+2x2−3 x−11 x+x2−8=02 x−3≠0 ; x+1 ≠0 ;
↔ {4 x2−12 x−7=02x ≠3 ; x≠−1 ;
↔ x1.2=12±√144+112
8=12 ±16
8;
{ x1=−12
x2=72
x≠ {−1; 32
;}↔хариу : x1={−1
2, 7
2 };
8 . x2 x−5
+ x−1x
−13 x−x2−20(2x−5 ) x
=0 ;
{x2+2 x2−7 x+5−13 x+ x2+20=02 x−5≠ 0; x ≠ 0;
↔{ (2 x−5 )2=02 x ≠5 ; x ≠0 ;
↔ x1.=52
;
{ x1=52
¿ x≠ {0; 52
;}↔ хариу : x1= {∅ }
9 . xx−4
+ x−42x+6
− 7 x−3.5( x+3 ) ( x−4 )
=0 ;
{2 x2+12 x−x2+8 x−16−14 x+7=0x−4 ≠ 0 ; x+3 ≠ 0
↔ {x2+6 x−9=0x ≠−3 ; x ≠ 4 ;
↔ x1.2=−3 ±√9+9=−3 ±√18=−3 ± 3√2 ;
{x1=−3−3√2x2=−3+3√2
x ≠ {−3; 4 }↔ хариу : x1.2= {−3−3√2 ,−3+3√2 }
10 . t−4t−12
+ 12−t2 t+4
− 14 t−70( t +2 ) (t−12 )
=0;
{2t 2−4 t−36−t2+24 t−144−28 t +140=0t +2 ≠ 0; t−12 ≠ 0 ;
↔ {t 2−8 t−20=0t ≠−2 ; t ≠12 ;
↔t 1.2=4 ±√16+20=4 ±√36=4 ±6 ;
{ t 1=4+6=10t2=4−6=−2
t ≠ {−2;12 }↔ хариу : t 1.2= {10 }
11 . 16+
1 23
u−2
2 u−2−2.5u+9
3u+9=0 ; 1
6+
1 23
u−2
2 (u−1 )−2.5 u+9
3 (u+3 )=0;
{u2+2u−3+5u2+15 u−6 u−18−5u2−18 u+5 u+18=0u−1≠ 0 ;u+3 ≠ 0 ;
↔ {u2−2u−3=0u ≠1 ;u ≠−3 ;
↔u1.2=1±√1+3=1 ±2 ;
{ u1=1+2=3u2=1−2=−1
u≠ {−3 ;1 }↔ хариу : u1.2={−1 ;3 }
12 .1+ 5 z−16z−3
−5 z+18z+1
=0;
{z2−2 z−3+5 z2+5 z−16 z−16−5 z2−18 z−16+15 z+54=0z−3 ≠ 0 ; z+1≠ 0 ;
↔ {z2−16 z+35=0z≠ 3 ; z≠−1;
↔ z1.2=8±√64−35=8±√29 ;
{z1=8+√29z2=8−√29z≠ {−1 ;3 }
↔ хариу : z1.2={8−√29;8+√29 }
13 . 144 ϑ2−1
+ 34 ϑ 2+4 ϑ+1
− 54 ϑ2−4 ϑ+1
=0; 144 ϑ2 +
3(2ϑ+1 )2
− 5(2ϑ−1 )2
=0
{56 ϑ2−14+12ϑ 2−12 ϑ+3−20ϑ 2−20ϑ−5=02ϑ−1≠ 0 ;2ϑ +1≠ 0 ;
↔ {48 ϑ2−32 ϑ−16=0
2ϑ ≠ 12
;2 ϑ ≠−12
;↔ ϑ1.2=
2 ±√4+126
=2± 46
=1± 23
;
{ ϑ 1=−13
ϑ2=1
ϑ ≠{−12
; 12 }
↔ хариу : ϑ1.2={−13
;1}
14 . 174 t 2−12 t+9
+ 654 t 2+12t +9
− 989−4 t2 =0 ; 17
(3−2 t )2+ 65
(3+2t )2− 98
9−4 t 2=0
{68 t2+204 t 153+260t 2−780 t−585−882+392t 2=03−2t ≠ 0 ;3+2 t ≠ 0 ;
↔{720 t 2−576 t−144=0
t ≠−23
; t ≠ 23
;↔5 t 2−4 t−1=0 ; t1.2 =
4±√16+2010
=4 ±√3610
=2 ± 35
;
{t 1=1
t 2=−15
t ≠ {−23
; 23 }
↔ хариу : t1.2={−15
;1}
15 . 5u+2− 81−3u
=0 ;
{2−u−15u2−8=01−3 u≠ 0 ;
↔ {15u2+u+6=03u ≠ 1 ;
↔ D=1−360<0 ;
хариу :u={∅ }
16 . 2 z−1− 157 z−3
=0 ;
{14 z2−13 z+3−15=07 z−3 ≠ 0 ;
↔ {14 z2−13 z−12=07 z ≠3 ;
↔ z1.2=13 ±√169+672
28=13 ±29
28;
{z1=−1628
=−47
z2=4228
=32
z≠ {−1 ;3 }
↔ хариу : z1.2={−47 ; 3
2 }
17. 2 m+ 232m−7
=−4 ;
{4 m2−14 m+23+8m−28=02m−7 ≠ 0 ;
↔ {4 m2−6 m−5=02 m≠ 7 ;
↔ m1.2=6 ±√36+80
8=6±√116
8=6±2√29
8=3±√29
4;
{m1=3+√29
4
m2=3−√29
4m≠ {3.5 }
↔ хариу : m1.2={3−√294
; 3+√294 }
18. 2 x+ 70.54 x+9
=7.5 ;
{8 x2+18 x+70.5−30 x−67.5=04 x+9 ≠0 ;
↔{8 x2−12 x−3=04 x ≠−9 ;
↔ x1.2=12±√144+96
16=12±√240
16=12 ± 4√15
8=3 ±√15
2;
{x1=3+√15
2
x2=3−√15
2x≠ {−2.25 }
↔ хариу : x1.2={3−√152
; 3+√152 }
19. u(u+1)+(2 u−1)2−2(4−1)(u−2)−3
u3−3u2+5 u−3=0
u2+u+4u2−4 u+1+2u2+6u−4−3u3−3u2+5u−3
{ 3u2+3 u−6=0u3−3 u2+5u−3≠ 0
u2 (u−1 )−2 u (u−1 )+3 (u−1 )≠ 0
{u1.2=−1 ±√1+8
2=−1±3
2u1=−2u2=1u ≠ 1
(u−1 ) (u2−2 u+3 ) ≠ 0 { u−1 ≠0u2−2 u+3 ≠0 {u≠ 1
u≠∅ Хариу : u=−2
20. (v−1 ) ( v+1 )−2 v (v−2 )−(v−1 ) ( v−3 )−3
v3+2 v2−10 v+4=0
v2−1−2 v2+4 v−v2+4 v−3−3v3+2v2−10 v+4
=0
2v2−8v+7=0
{v1.2=−8 ±√64−56
4=−8±√8
4=−4 ±√2
2=−2± √2
2v3+20 v2−10 v−4 ≠ 0
204. Бутархайг хураа
1) 4 b+12b2−9
=4 (b+3 )
(b−3 ) (b+3 )= 4
b−3;
2) c2+c−6
7 c+21=
(c+3 ) (c−2 )7 (c+3 )
= c−27
;
3) 16−2 x
8+7 x−x2 =2 (8−x )
−( x−8 ) (x+1 )=
−2 ( x−8 )−( x−8 ) ( x+1 )
= 2x+1
;
4) a2+c−6
7 c+21=
( c+3 ) (c−2 )7 (c+3 )
= c−27
;
5) y3+7 y2−60 y10 y−50
=y ( y+12 ) ( y−5 )
10 ( y−5 )=
y ( y+12 )10
;
6) 3+14b−5 b2
3 b−b2 =(3−b+15 b−5 b2 )
b (3−b )=
3−b+5 b (3−b )b (3−b )
=(3−b ) (1+5 b )
b (3−b )=
(1+5 b )b
;
7) 24 x2−38 x+1512 x2−16 x+5
=24 (x−5
6 )(x−34 )
12(x−56 )( x−1
2 )=
2(x− 34 )
(x−12 )
=4 x−32x−1
;
8) 32 v2+44 v+15
8v2+14 v+3=
32(x+ 58 )( x+ 3
4 )12(x+ 1
4 )(x+ 32 )
=(8 x+5 ) ( 4 x+3 )
3 (4 x+1 )(x+ 32 )
;
32 v2+44 v+15=0 D=√442−4 ∙32 ∙15=√16=± 4 ;v1,2=−44 ± 4
64;v1=
−44+464
=−4064
=−58
;v2=−44−4
64=−48
64=−6
8=−3
4;
8 v2+14 v+3=0; D=√142−4 ∙3∙ 8=√100=± 10 ;v1,2=−14 ± 10
16; v1=
−14+1016
=−416
=−14
;v2=−14−10
16=−24
16=−3
2;
9) 5u2−6u−325u2−11u−16
=5(u2−6
5u−32
5 )5(u2−11
5u−16
5 )=
5(u−165 )(u+2 )
5(u−165 ) (u+1 )
=(u+2 )(u+1 )
;
5 u2−6u−32=0 ; D=√62+4 ∙32∙ 5=√676=± 26 ;u1,2=6 ± 26
10;u1=
6+2610
=3210
=¿ 165
;u2=6−26
10=−20
10=−2 ;
5u2−11u−16=0 ;D=√112+4 ∙16 ∙ 5=√441=±21 ;u1,2=11± 21
10;u1=
11+2110
=3210
=165
;u2=11−21
10=−10
10=−1;
10) 7 t2+9 t−36
7 t2+16 t−48= 7 t2+9 t−36
7 t 2+16 t−48=
7 (t−127 )( t +3 )
7(t−127 ) ( t+4 )
=(t+3 )( t+4 )
;
7 t 2+9t−36=0 ; D=√92+4 ∙36 ∙7=√1089=± 33 ; t1,2=−9 ±33
14; t1=
−9+3314
=2414
=127
; t2=−9−33
14=−42
14=−3;
7 t 2+16 t−48=0; D=√162+4 ∙ 48 ∙ 7=√1600=± 40 ; t1,2=−16 ± 40
14; t 1=
−16+4014
=2414
=127
; t 2=−16−40
14=−56
14=−4 ;
205. 1) 1
27 u2−15 u−2+ 1
18u2−27 u+10= 1
(3u−2 ) (9 u+1 )+ 1
(3 u−2 ) (6u−5 )= 6 u−5+9u+1
(3 u−2 ) (9u+1 ) (6 u−5 )=¿
¿ 15u−4(3u−2 ) (9 u+1 ) (6u−5 )
2) 1
8 t2+2 t−35+ 1
32 t2−212t−27= 1
(2 t+5 ) ( 4 t−7 )+ 1
(4 t−27 ) (8 t +1 )= 8t +1+2 t+5
(2 t+5 ) ( 4 t−7 ) (8 t+1 )= 10 t+6
(2 t+5 ) ( 4 t−7 ) (8 t+1 )
3)1
50 v2+345 v+99− 1
75 v2−505 v+66= 1
(10 u+3 ) (5u+33 )− 1
(15 u−2 ) (5u+33 )
¿ 15u−2−10u−3(10u+3 ) (15 u−2 ) (5 u+33 )
=¿
¿ 5u−5(10u+3 ) (15 u−2 ) (5u+33 )
4)1
24 z2−106 z−93− 1
54 z2−267 z−62= 1
(6 z−31 ) (4 z+3 ) - 1
(6 z−31 ) (9 z+2 ) =
9 z+2−4 z−3(6 z−31 ) (4 z+3 ) (9 z+2 )
=¿
5 z−1(6 z−31 ) (4 z+3 ) (9 z+2 )
206. Бутархайн утгыг олоорой.
a)x=−9;12 ;111 үед x2−8 x−33
10 x+30=
(x+3 ) ( x−11 )10 ( x+3 )
= x−1110
;−9−1110
=−2; 12−1110
= 110
; 111−1110
=10;
б) y=−4 ;22.5 ;24 үед 8 y−56
y2−27 y+140=
8 ( y−7 )( y−7 ) ( y−20 )
= 8y−20
; 8−4−20
=−13
; 822.5−20
= 82.5
=8025
=¿
¿ 165
; 824−20
=84=2;
Бүлэг 13
Виетийн теорем
265.f ( x )=−x2+ px+q
−x2+ px+q=0 ;={−(−5)2+ p (−5 )+q=0−32+3 p+q=0
↔ {25−5 p+q=09+3 p+q=0
↔ {−5 p+q=−253 p+q=−9
↔ 8 p=16 ; p=2 ;−5 ∙2+q=−25; q=−15 ;
266.{24 x2+bx+25=0x1
x2=1.5
↔{x1+x2=−b24
x1
x2=1.5
x1 ∙ x2=1
↔{ 1.5 x22=1
x1+ x2=−b24
↔ x2=√ 23
; x1=32
∙√ 23=√ 3
2
√ 23+√ 3
2=
−b24
;b=24(2+3)√3 ∙√2
=20√6
267.
{11 x2+8 x+r=0x1+11 x2=2
↔ { x1∙ x2=r
11
x1+x2=−811
/ ∙11
x1+11 x2=2
↔ { x1 ∙ x2=r
1111 x1+11x2=−8 ↔
x1+11 x2=2
↔ { x1 ∙ x2=r
1110 x1=−10
x1=−1
↔−1+11 x2=2↔ x2=3
11; 3
11∙ (−1 )= r
11↔ r=−3;
268. {4 x2+9 x+a=04 x1+x2=−6
↔ { x1 ∙ x2=a4
x1+x2=−94
/ ∙ 4↔
4 x1+ x2=−6{ x1 ∙ x2=
r11
4 x1+4 x2=−9 ↔4 x1+x2=−6
3 x2=−3;x2=−1
4 x1+(−1 )=−6 ; x1=−54 ;
−54
∙ (−1 )=a4
↔ a=5 ;
269. {x2+(2−a−a2 ) x−a2=0x1+x2=0
↔{ x1 ∙ x2=−a2
x1+x2=−(2−a−a2)↔x1=−x2
{ −x2∙ x2=−a2
x1+x2=−(2−a−a2)↔x1=−x2
x2=a;
0=−(2−a−a2); 2−a−a2=0 ;a2+a−2=0 ;a1=−2; a2=1
270.{(r+1 ) x2+4 x+r+3=0x1
x2=1
4↔ {x2+ 4
r+1x+ r+3
r+1=0
x1
x2= 1
4
↔ {x1+x2=−4r+1
x1 ∙ x2=r+3r+1
x1
x2=1
4
↔ x22= r+3
r+1∙ 4
1 ;
x1=14
∙2 ∙√ r+3r+1
=12
∙√ r+3r+1
; 12
∙√ r+3r+1
+2∙√ r+3r+1
= −4r+1
; 52
∙√ r+3r+1
= −4r+1
;
52
∙√ r+3r+1
+ 4r+1
=0 ; 1√r+1
∙( 52
∙√r+3+ 4√r+1 )=0
52
∙√r+3+ 4√r+1
=0 ; 52
∙√r+3= −4√r+1
/∙√r+1
52
∙√r+3√r+1=−4 ;√(r+3 ) (r+1 )=−85
; (r+3 ) (r+1 )=6425
;
r2+4 r+1−6425
=0 ; r2+4 r−4925
=0 ; D=16+4 ∙ 4925
= 425
∙ 149 ;
r1.2=−4±√ 4
25∙ 149
2=
−4 ± 25 √149
2
271. {x2−3 x+2 b+3=05 x1+3 x2=23
↔{ x1 ∙ x2=2 b+3x1+x2=3 / ∙5 ↔5 x1+3x2=23 { x1∙ x2=2b+3
5 x1+5 x2=15 ↔5 x1+3 x2=23 {x1 ∙ x2=2b+3
2 x2=−8↔5 x1+3 x2=23
{x1 ∙ x2=2b+3x2=−4
5 x1+3 x2=23↔5 x1+3 (−4 )=23 ; x1=7 ;7 ∙ (−4 )=2b+3 ;b=15.5
272. {25 x2−25 x+c−2=0x1−x2=0.2
c=? { x1+x2=1x1−x2=0.2
x1 ∙ x2=2−c25
↔{ 2 x1=1.22 x2=0.8
x1 ∙ x2=2−c25
↔{ x1=0.6x2=0.4
0.6 ∙0.4=2−c25
↔6=2−c↔ c=−4 ;
273. {2 x2−6 x+c=0x1+2 x2=5
c=? {x1=5−2 x2
x1+x2=3
x1 ∙ x2=c2
↔{ x1=5−2 x2
5−2x2+ x2=3
x1 ∙ x2=c2
↔ {x1=1x2=2c=4
274. {x2−4 x+q=0
5 x1+9 x2=0q=?
↔ {x1=−q x2
5x1+x2=4x1 ∙ x2=q
↔ { x1=−q x2
5−q x2
5+ x2=4
x1 ∙ x2=q
↔ { x1=−q x2
55 x2−q x2=20
x1 ∙ x2=q
↔{ x1=9x2=−5
q=9 ∙ (−5 )=−45
275. {x2+(2 a−1 ) x+a2+2=0
x1=2 x2
a=?
{ x1=2x2
x2+2 x2=−2 a+1x1 ∙ x2=a2+2
↔ { x2=1−2a
3
x1=2−4a
31−2a
3∙ 2 (1−2 a )
3=a2+2
↔ 2−8 a+8 a2=9 a2+18↔ a2+8 a+16=0↔ (a+4 )2=0↔ a=−4 ;
276. {x2+(3 a+2 ) x+a2=0
x1=9 x2
a=?↔ { x1=9 x2
x1+x2=3a+2x1 ∙ x2=a2
↔{ x1=9 x2
10 x2=3 a+29x1
2=a2
↔ { x1=9 (3 a+2 )
10
x2=3a+2
10
9( 9 (3 a+2 )10 )
2
=a2
↔ 81a2+108 a+36=100 a2 ;
19 a2−108 a−36=0 ;a1.2=108 ±√11664+2736
38=108 ± 120
38;
a1=−1238
=−619
;a2=22838
=6 ;
277. {3 x2−5 x−2=0x1
3+x23=?
↔ { x1+x2=53
x1 ∙ x2=−23
↔x13+x2
3=( x1+x2 ) (( x1+x2 )2−x1 ∙ x2) 53 [( 5
3 )2
+ 32 ]=5
3 (259
+ 69 )=155
27;
278. {x2+x+4=02x1
+ 2x2
=?↔{x1+x2=−1
x1 ∙ x2=4↔ 2
x1+ 2
x2=
x1+x2
x1∙ x2=−1
4;
279. { 2 x2−8x+3=0x1
1=x1+1x2
1=x2+1байх тэгшитгэл зохио
↔ x11+x2
1=x2+x1+2=6 ;{x11=x1+1=6−√10
2
x21=x2+1=6+√10
2
x1.2=8±√64−24
4
=8±√404
= 4±√102
↔ { x11+x2
1=6
x11 ∙ x2
1=36−104
=264
=132
;2 x2−12 x+13=0
280. { 4 x2−13 x+7=0
x11= 1
x1
x21= 1
x2байх тэгшитгэл зохио
↔ x11+x2
1=1x2
+1x1
=x1+x2
x1∙ x2=
137
x11 ∙ x2
1= 1x1
∙ 1x2
=47
; x1+x2=134
; x1 ∙ x2=74
; x2−137
x+ 47=0 ;7x2−13 x+4=0
281. {x2+3 x+2=0
x11= 1
x1
x21= 1
x2
байхтэгшитгэл зохио ↔ x11+x2
1=1x2
+1x1
=x1+x2
x1 ∙ x2=
−32
x11∙ x2
1= 1x1
∙ 1x2
=12
; x1+x2=−3 ; x1 ∙ x2=2; x2+ 32
x+ 12=0 ;2 x2+3 x+1=0
282. {x2−3 x−10=0x1
1=x1+x2
x21=x2 ∙ x1
байх тэгшитгэл зохио ↔ { x1+x2=3x2 ∙ x1=−10
↔ { x11+x2
1=x2∙ x1+ x1+x2=3−10=−7x1
1 ∙ x21=x2∙ x1 ( x1+ x2 )=3 ∙ (−10 )=−30 ; x2+7 x−30=0
283. {2 x2−6 x+1−a=0x1=x2+10
a=?↔{ x1+x2=3
x2 ∙ x1=1−a
2x1−x2=10
↔ { x1=132
132
∙(−72 )=−1−a
2
x2=−72
↔−912
=1−a ;a=1−912
=892
284. {2 x2−( p−10 ) x+6=0x1
x2=12;
p=?
↔ {x1+x2=10−p
2x2 ∙ x1=3x1=12 x2
↔ 12 x22=3 ; x2
2=14
;
|x2|=12
;|x1|=12∙ 12=6
285. {x2−3 x+2=0x1
2+x22=?
↔ {x1+x2=3x1 ∙ x2=2
↔{x12+2 x1 ∙ x2+x2
2=9−2 x1 ∙ x2=−4
↔ x12+x2
2=5 ;
286. {x2+ax−7=0a=?
↔{6=x1+x2=−ax1∙ x2=−7
↔ a=−6 ;
287. {2 x2−x+a=0a=?
↔ {x1+x2=12
a2=x
1∙ x2
↔ x1=1 ; x2=−12
; a2=x
1∙ x2=
−12
; a=−1 ;
288. 1.{ x1=1x2=−3
↔{−b=x1+x2=1−3=−2c=x1 ∙ x2=1 ∙ (−3 )=−3
↔{ b=2c=−3
↔ x2−2x−3=0
288. 2.{ x1=5x2=−4
↔ { −b=x1+x2=5−4=1c=x1 ∙ x2=5 ∙ (−4 )=−20
↔{ b=−1c=−20
↔ x2−x−20=0
288. 3.{x1=−1x2=−5
↔{−b=x1+x2=−5−1=−6c=x1 ∙ x2=−5 ∙ (−1 )=5
↔{b=−6c=5
↔ x2−6 x+5=0
288.4{x1=−4x2=−6
↔ {−b=x1+x2=−6−4=−10c=x1∙ x2=−6 ∙ (−4 )=24
↔ {b=10c=24
↔ x2+10 x+24=0
288.5{x1=1+√6x2=1−√6
↔{−b=x1+ x2=1+√6+1−√6=2c=x1∙ x2=(1+√6 ) ∙ (1−√6 )=−5
↔ {b=−2c=−5
; x2−2x−5=0
288.6{x1=3−√2x2=3+√2
↔ {−b=x1+x2=3−√2+3+√2=6c=x1 ∙ x2=(3−√2 ) ∙ (3+√2 )=7
↔{b=−6c=7
; x2−6 x+7=0
288.7{x1=−1+√7
2
x2=−1−√7
2
↔{−b=x1+x2=−1+√7
2+−1−√7
2=−1
c=x1 ∙ x2=(−1+√72 )∙(−1−√7
2 )=−3↔ {b=1
c=7; x2+x−3=0
288.8{x1=3−√3
4
x2=3+√3
4
↔{−b=x1+x2=3−√3
4+ 3+√3
4=3
2
c=x1 ∙ x2=(3−√34 ) ∙( 3+√3
4 )=38
↔ {b=−32
c=38
; x2−32
x+ 38=0
288.9{ x1=√3x2=−√3
↔ {−b=x1+x2=√3+(−√3 )=0c=x1 ∙ x2=√3 ∙ (−√3 )=−3
↔ { b=0c=−3
; x2−3=0
288.10{ x1=√7x2=−√7
↔ {−b=x1+x2=√7+(−√7 )=0c=x1 ∙ x2=√7 ∙ (−√7 )=−7
↔{ b=0c=−7
; x2−7=0
288.11{x1=√2x2=√3
↔ { −b=x1+ x2=√2+√3c=x1 ∙ x2=√2 ∙ (√3 )=√6
↔{b=−(√2+√3 )c=√6
;
x2−(√2+√3 ) x+√6=0
288.12{x1=3√3x2=−√3
↔ {−b=x1+x2=3√3+(−√3 )=2√3c=x1 ∙ x2=3√3 ∙ (−√3 )=−9
↔ {b=2√3c=−9
;x2−2√3 x−9=0
289. Квадрат тэгшитгэлийг язгуурыг томъёо ашиглаж бодолгүйгээр олоорой.
1. x2−7 x+12=0 ; x1=6 ; x2=12. x2−10 x+21=0 ; x1=7 ; x2=33. x2−11 x+10=0 ; x1=10 ; x2=14. x2−5 x+4=0 ; x1=4 ; x2=15. x2+5 x+6=0 ; x1=−2 ; x2=−36. u2+7 u+12=0 ;u1=−6 ;u2=−17. x2+12 x+20=0 ;x1=−10; x2=−28. v2+13 v+42=0 ; v1=−6 ; v2=−79. x2+ x−6=0 ;x1=−3; x2=210. t 2+ t−12=0 ; t1=−4 ; t2=311. x2−5 x−6=0 ; x1=6 ; x2=−112. z2−6 z−7=0 ; z1=7 ; z2=−113.−u2+6 u−8=0 ;u1=4 ;u2=214.−x2+8 x−15=0 ; x1=5 ; x2=3
15.2 t2+t−2=0 ; t2+ 12
t−1=0 ; t 1=14
(√17−1 ); t 2=−14
(√17+1 )
16.2 p2−p−2=0 ; p2−12
p−1=0 ; p1=14
(1−√17 ) ; t 2=14
(√17+1 )
17.2 r2−3 r+2=0 ;r2−32
r+1=0 ;шийдгүй
18.2 u2+3u+2=0 ;u2+ 32
u+1=0 ;шийдгүй
19.q2+2q+1=0 ; (q+1 )2=0 ;q1.2=−1 ;
20. y2−2 y+1=0 ; ( y−1 )2=0 ; y1.2=1 ;
Бүлэг 14
290. Квадрат тэгшитгэлд шилжих тэгшитгэлүүд
1. x4−5 x2+4=0; x2=a гэвэл a2−5 a+4=0 ;a1=4 ;a2=1 ;x2=1 ; x1=1 ; x2=−1 ; x2=4 ; x3=2 ; x4=−2;
2.k4−13k2+36=0 ;k2=aгэвэл a2−13a+36=0; a1=4 ;a2=9 ;k 2=9 ;k1=3 ;k 2=−3 ;k2=4 ;k 3=2 ;k4=−2 ;
3. t 4−10 t 2+1=0 ; t 2=a гэвэлa2−10 a+1=0 ;a1=5+√6 ;a2=5−√6 ;t 2=5+√6 ; t1=√5+√6 ; t 2=−√5+√6 ;t 2=5−√6 ; t 3=√5−√6 ; t 4=−√5−√6 ;
4. p4−20 p2+10=0 ; p2=aгэвэл a2−20 a+10=0 ; a1=10+3√10; a2=10−3√10 ;p2=10+3√10 ; p1=√10+3√10 ; p2=−√10+3√10 ;
p2=10−3√10 ; p3=√10−3√10 ; p4=−√10−3 √10 ;
5. u4−4 u2−45=0 ;u2=a гэвэл a2−4 a−45=0 ; a1=9 ;a2=−5 ;u2=9 ;u1=3 ;u2=−3 ;u2=−5 ;шийдгүй
6. x4+6 x2−35=0 ; x2=a гэвэл a2+6 a−35=0 ;a1=−3+4 √11; a2=−3−4 √11;x2=−3+4√11; x1=√4√11−3; x2=−√4√11−3 ;
x2=−(3+4√11) ;шийдг үй
7. 2v4−5 v2+2=0 ;v2=aгэвэл a2−2.5 a+1=0 ;a1=2; a2=12
;
v2=2; v1=√2; v2=−√2 ;
v2=12
;v3=√ 12
;v 4=−√ 12
;
8. 3t 4−10 t 2+3=0 ; t 2=aгэвэл a2−10 a+3=0 ;a1=5+√22; a2=5−√22 ;t 2=5+√22; t 1=√5+√22 ; t2=−√5+√22 ;
t 2=5−√22 ; t3=√5−√22 ; t4=−√5−√22 ;
9. 7t 4+23 t 2+3=0 ; t 2=a гэвэл 7 a2+23 a+3=0; a1=−23+√445
14;a2=
−23−√44514
;
t 2=√445−2314
; t1=√ √445−2314
; t 2=−√ √445−2314
;
t 2=−(√445+23 )14
;шийдгүй
10.9v4+41 v2+5=0 ;v2=a гэвэл 9a2+41 a+5=0 ;a1=−41+√1501
18;a2=
−41−√150118
;
v2=−41+√150118
;v1=√−41+√150118
; v2=−√−41+√150118
;
v2=−(√1501+41 )18
;шийдг үй
11.16y4−24 y2+9=0 ; y2=a гэвэл16 a2−24 a+9=0; (4a−3 )2=0; a1.2=34
;
y2=34
; y1=√ 34
; y2=−√ 34
;
12.25z4−20 z2+4=0 ; z2=a гэвэл 25 a2−20 a+4=0 ; (5a−2 )2=0 ;a1.2=25
;
y2=25
; y1=√ 25
; y2=−√ 25
;
291. Тэгшитгэлийг бод.
1. ( x2+x )2−8 ( x2+ x )+12=0 ; x2+x=a гэвэл a2−8a+12=0; a1=2 ;a2=6 ;x2+x=2 ; x2+x−2=0 ; x1=5+√22; a2=5−√22;
2. (u2−3u )2−14 (u2−3u )+40=0 ;u2−3u=a гэвэлa2−14 a+40=0 ;a1=10 ;a2=4 ;u2−3 u=10 ;u2−3u−10=0;u1=5 ;u2=−2 ;u2−3u=4 ;u2−3u−4=0 ;u3=4 ;u4=−13. (1−t2 )2+7 (1−t2 )+12=0 ;1−t2=aгэвэлa2+7 a+12=0 ;a1=−4 ;a2=−3;1−t2=−4 ;1−t2+4=0 ;5−t 2=0 t 1=√5; t 2=−√5 ;1−t 2=−3 ;1−t2+3=0 ;4−t 2¿0 ; t 3=2 ; t 4=−24. ( v2−9 )2
+17 ( v2−9 )+16=0 ; v2−9=aгэвэлa2+17 a+16=0 ;a1=−16 ; a2=−1 ;v2−9=−16 ; v2−9+16=0 ;v2+7=0 шийдг үй .
v2−9=−1; v2−8=0 ;v2=8 ; t 3=2√2; t 4=−2√2
5. ( 3−4 x5 )
2
−2 (3−4 x )+25=0 ;( 3−4 x5 )
2
−10 (3−4 x )
5+25=0 ; 3−4 x
5=a гэвэл
a2−10 a+25=0 ; (a−5 )2=0 ;a1.2=5 ; 3−4 x5
=5 ;3−4 x=25;−22=4 x ;x=−10.5
6. ( 3 x+18 )
2
+(3 x+1 )+16=0 ;( 3 x+18 )
2
+( 3 x+18 ) ∙ 8+16=0 ; 3 x+1
8=a гэвэл
a2+8a+16=0 ; (a+4 )2=0 ; a1.2=−4 ; 3 x+18
=−4 ;3 x+1=−32 ;−33=3 x ;
x=−116. x6−9 x3+8=0 ; x3=a ;гэвэл a2−9 a+8=0 ; ;a1=8 ;a2=1 ; x3=8 ;
x=2 ; x3=1; x=17. x6+28 x3+27=0 ; x3=a; гэвэл a2+28 a+27=0 ; ;a1=−27 ;a2=−1 ; x3=−27 ;
x1=−3 ; x3=−1 ; x2=−1
292. Туслах үл мэдэгч оруулан тэгшитгэлүүдийг бод.
1. √u+u=6 ;√u=a ;a2+a−6=0 ;a1=−3 ;a2=2;√u=−3 ;u1=9 ;√u=2 ;u2=4
2. x−√ x=12 ; x−√x−12=0 ;√ x=a ;a2−a−12=0 ;a1=−3 ;a2=4 ;√ x=−3 ; x1=9 ;√ x=4 ; x2=16 ;
3. t−√ t−1=7 ; t−1+√ t−1−6=0 ;√ t−1=a; a2+a−6=0;a1=−3 ;a2=2;√ t−1=−3 ; t 1=10 ;√ t−1=2 ; t2=5 ;
4. z−√ z−1=11;z−1+√z−1−10=0; √z−1=a ;a2+a−10=0 ;
a1=−1+√41
2;a2=
−1−√412
;√ t−1=−1+√412
; t 1=(−1+√412 )
2
+1 ;
√ t−1=−1−√412
; t1=( 1+√412 )
2
+1;
5. v−√v−3=5 ;v−3−√v−3−2=0 ;√v−3=a ; a2−a−2=0;a1=2; a2=−1 ;√v−3=2 ;v1=7 ;√ v−3=−1; v2=4 ;
6. p−√ p−6=96 ; p−6−√ p−6−90=0; √ p−6=a; a2−a−90=0 ;
a1=10 ;a2=−9; √ p−6=10 ; p1=106 ; √ p−6=−9; p2=87 ;
7.a−2+4√a−5=0; a−5+4√a−5+3=0 ;√a−5=t ; t 2+4 t +3=0;
t 1=−3 ; t 2=−1; √a−5=−3 ; t1=14 ;√a−5=−1 ; t2=6;
8. x+4+6√x−4=0 ; x−4+6√ x−4+8=0 ;√x−4=t ; t 2+6 t+8=0 ;
t 1=−4 ; t2=−2; √x−4=−4 ; t 1=20 ;√ x−4=−2; t 2=8 ;
293. . Тэгшитгэлийг бод.
1.(t +2t )
2
−2( t2+2t )−3=0 ; t 2+2
t=a гэвэл
a2−2a−3=0 ;a1=3 ;a2=−1 ; t2+2t
=3 ; t2−3 t+2=0 ; t1=2 ; t 2=1 ; t 2+2t
=−1; t 2+t+2=0 ;шийдгүй
2. ( x2−3x )
2
+4(x−3x )−5=0 ; x2−3
x=a гэвэл a2+4 a−5=0 ;a1=−5 ;a2=1 ;
x2−3x
=−5 ; x2+5 x−3=0 ; x1=−5+√37
2; x2=
−5−√372
x2−3x
=1; x2−x−3=0 ; x3=1+√13
2; x4=
1−√132
;
3.
z2+ 1z2 −z−1
z−4=0 ; z2+2+ 1
z2 −(z+ 1z )−6=0 ; z+ 1
z=a гэвэл a2−a−6=0 ; a1=3 ;a2=−2; z+ 1
z=3 ; z2−3 z+1=0; z1=
3+√52
; z2=3−√5
2;
z+1z=−2; z2+2 z+1=0 ; (z+1 )2 ¿0 ; z3.4=−1 ;
4. y2+ 1y2 +6 y+ 6
y+6=0 ; y2+2+ 1
y2 +6( y+ 1y )+4=0 ; y+ 1
y=aгэвэл
a2+6 a+4=0 ; a1=−3+√5 ;a2=−3−√5 ; y+ 1y=−3+√5; y2−(−3+√5 ) y+1=0 ; y+ 1
y=−3−√5 ; y2+(3+√5 ) y+1=0
;
294. Хялбар иррациональ тэгши тгэлийг бод.
1. √ x+1=x+1;√ x+1 (1−√x+1 )=0 ;√x+1=0; x=−1;1−√x+1=0;
√ x+1=1; x=0 ;
2. √ x=x ; √x (1−√ x )=0 ;√ x=0 ; x=0 ;1−√ x=0 ;√ x=1 ;x=1;
3. √ x+1=1−x ;{ x+1≥ 01−x>0
(√x+1 )2=(1−x )2↔ { x≥−1
1>x1+ x=1−2 x+x2
↔ 1+x=1−2 x+x2;2 x+x2−3 x=0 ; x1=0 ;
x−3=0 ; x2=3
4. √ x+1=x−1 ; (√x+1 )2= (x−1 )2;1+x=1−2 x+x2;2 x+x2−3 x=0 ; x1=0 ;
x−3=0 ; x2=3
5. √4−x=x−2; (√4−x )2= ( x−2 )2; 4−x=4−4 x+ x2 ;2 x+x2−3 x=0 ; x1=0 ;
x−3=0 ; x2=3
6. √4−x=2−x ; (√4−x )2= (2−x )2; 4−x=4−4 x+ x2 ;2x+x2−3 x=0 ; x1=0 ;
x−3=0 ; x2=3
7.√– x−1=1+x ; (√– x−1 )2=( x+1 )2;−x−1=1+2 x+x2; x2+3 x+2=0 ;
x1=−2 ; x2=−1;
8. √ – x−1=−1−x ; (√– x−1 )2=(−x−1 )2;−x−1=1+2 x+x2 ; x2+3 x+2=0 ;x1=−2 ; x2=−1;
9. √7−x−2 x=1 ; (√7− x )2=(1+2 x )2;7−x=1+4 x+4 x2 ;4 x2+5 x−6=0;
x1=−5+11
8=3
4; x2=
−5−118
=−2;
10.√6+x+2 x=3 ; (√6+x )2=(3−2 x )2;6+ x=3−12 x+4 x2 ;4 x2−13 x−3=0 ;
x1=13+11
8=3 ; x2=
13−118
=14
;
11.√3 x2+5 x−2=3x−1 ; (√3 x2+5 x−2)2=(3 x−1 )2;3 x2+5 x−2=9 x2−6 x+1=0 ;6 x2−11 x+3=0 ;
x1=11+7
12=3
2; x2=
11−712
=13
;
12.√5 x−2 x2+3=2x+1 ;(√5 x−2x2+3 )2= (2 x+1 )2;5 x−2 x2+3=4 x2+4 x+1 ;6 x2−x−2=0 ;
x1=1+712
=23
; x2=1−712
=−12
;
13.√−x2+6x+4=x+2 ; (√−x2+6 x+4 )2=( x+2 )2;−x2+6 x+4=x2+4 x+4 ;2 x2−2 x=0 ;2 x ( x−1 )=0 ;
x1=0 ; x2=1 ;
14.√2 x2+8 x+7−x=2; (√2 x2+8x+7 )2=( x+2 )2;2 x2+8 x+7=x2+4 x+4 ; x2+4 x+3=0 ;
x1=−3 ; x2=−1 ;
15.√3 x2−x−6= x√2; (√3 x2−x−6 )2=( x √2 )2;3 x2−x−6=2 x2 ; x2−x−6=0 ;
x1=3 ; x2=−2 ;
16.√9+5 x−2 x2=3−x ; (√9+5 x−2 x2 )2=(3−x )2 ;
9+5 x−2 x2=9−6 x+x2 ;3x2−11x=0 ; x (3 x−11)=0 ;
x1=0 ; x2=113
=3 23
;
17.√4+2x−x2=x−2; (√4+2 x−x2 )2=( x−2 )2;4+2 x−x2=4−4 x+ x2 ;2 x2−6 x=0 ;2 x ( x−3 )=0;
x1=0 ; x2=3 ;
18.√24+2 x−x2=−x−4 ; (√24+2x−x2 )2=(−x−4 )2;24+2x−x2=16+8 x+x2 ;2x2+6 x−8=0 ; x2+3 x−4=0 ;
x1=−4 ; x2=1;
19.√1+2 x+x2=3 x+15; √(1+x )2=3 x+15;|1+x|=3 x+5 ;1+x=3 x+5 ;2 x=−4 ; x1=−2;−1−x=3x+5 ;4 x=−6 ; x2=−1.5 ;
20.√−x2−x+30=2 x−10 ; (√−x2−x+30)2= (2 x−10 )2 ;−x2−x+30=100−40 x+4 x2 ;5x2−39 x+70=0 ;
x1=39+11
10=5 ; x2=
39−1110
=2.8 ;
Бүлэг 15
Модультай хялбар тэгшитгэл тэнцэтгэл биш.
295.
a) |x|>3 ; x>3 ; x←3b) |x|>4.5; x>4.5; x←4.5c) |x|<8 ;−8<x<8 ;d) |x|>12 ; x>12 ; x←12e) |x|<12 ;−12<x<12 ;f) |x|<1 ;−1<x<1 ;
296.
a) |x|<1 ;−1<x<1 ;b) |x|<4 ;−4<x<4 ;c) |x|≤5 ;−5≤ x ≤5 ;d) |x|>2 ; x>2; x←2e) |x|≥5 ; x ≥5 ; x≤−5f) |x|≤7 ;−7≤ x≤ 7 ;
297. a-параметрийн ямар утгуудад дараахь илэрхийллүүд эерэг байх вэ?
1) |a|+3>0↔|a|>−3б үхтоон шулуунбайна .2) 3−|a|>0 ↔3>|a|↔−3<a<33) |a|−3>0 ↔|a|>3↔−3>a;a>3
298. a-параметрийн ямар утгуудад дараахь илэрхийллүүд сөрөг байх вэ?
1) |a|−4<0↔|a|<4 ↔−4<a<42) 4−|a|<0↔ 4<|a|↔−4>a ;a>43) −|a|−4<0↔−(|a|+4 )<0 ↔|a|+4>0 ;|a|>−4 ; Бүх тоон шулуун
299.Дараах тэгшитгэл ба тэнцэтгэл бишийн шийд болох “х”-ийн утгуудыг тоон шулуун дээр заагаарай.
1) |x−2|=4 ; x−2=4 ; x1=6 ; x−2=−4 ; x2=−2 ;2) |x−3|<1;−1<x−3<1 ;2<x<4 ;3) |x+1|≥3 ;−3 ≥ x+1 ;−4 ≥ x; x+1≥3 ; x≥ 2 ;4) |x−5|≤ 4 ;−4 ≤ x−5≤ 4 ;1≤ x≤ 9 ;5) |4−x|<2;−2<4− x<2 ;−6← x←2;2<x<6
6) |3 x−2|≤ 9 ;−9≤ 3 x−2 ≤ 9;−7≤ 3 x ≤11; /÷3 ;−73
≤ x≤ 113
7) |x+1|=4 ; x+1=4 ; x1=3 ; x+1=−4 ;x2=−5;8) |x|+1>4 ;|x|>3 ;−3>x ; x>3 ;9) |x−2|≤ 8 ;−8≤ x−2 ≤ 8 ;−6 ≤ x≤ 10 ;
300. дараахдавхар тэнцэтгэл бишийг хангах х-ийн олонлогийг тоон шулуун дээр тэмдэглээрэй.
1) -3<x<3
2)
−1≤ x ≤1
3)x>5 ; x←5
4)x≤−2; x ≥2
301.Модулийн тодорхойлолт ашиглан тэгшитгэл бод.
1) |x|+1=5 ;|x|=4 ;x1=4 ; x=−4 ; x2=−4 ;2) 7+3|x|=22−2|x|;5|x|=15 ;|x|=3 ; x1=3 ; x=−3 ; x2=−3 ;3) 2|x|−1=|x|+7 ;|x|=8 ; x1=8 ; x=−8; x2=−8 ;4) 5|x|−7=−3|x|+26 ;8|x|=33 ;|x|=338
; x1=338
; x=−338
; x2=−33
8;
5) |3 x−7|=x ;3 x−7=x ;2 x=7 ; x1=3.5 ;3 x−7=−x ; 4 x=7 ; x2=74
;
-3
30
-1
10
-5 50
-2 20
6) |2 x−3|=x−1 ;2 x−3=x−1 ; x=2; x1=2 ;2 x−3=−x−1;3 x=2 ; x2=23
;7) |15−4 x|−4=1 ;|15−4 x|=5;15−4 x=5 ;4 x=10 ; x1=2.5 ;15−4 x=−5 ; 4 x=20 ; x2=5 ;8) |2 x−9|=x;2 x−9=x ; x=9 ;x1=9;2 x−9=−x ;3 x=9 ;x2=3 ;9) |15−x|=−4 x ;15−x=−4 x ;3 x=−15 ; x1=−5 ;15−x=4 x ;5x=15 ; x2=3 ;10) |x−8|=2 x−4 ; x−8=2x−4 ; x=−4 ; x1=−4 ; x−8=−2x+4 ;3 x=12 ;x2=4 ;11) |x−2|=2 x−10 ;x−2=2 x−10 ; x=8 ; x1=8 ; x−2=−2 x+10 ;3 x=12 ;x2=4 ;12) |2 x−3|+|x+1|=5 x−10 ;2 x−3=0 ;2 x=3 ; x1=1.5; x+1=0; x2=−1 ;
a) ¿−∞ ;−1¿¿ мужид −(2 x−3 )− (x+1 )=5 x−10 ;−2 x+3−x−1=5x−10 ;2 x=12; x=6 ;
b) ¿−1;1.5¿¿ мужид −(2 x−3 )+( x+1 )=5 x−10 ;−2 x+3+x+1=5 x−10 ;
6 x=14 ; x= 73
;
c) ¿1.5 ;+∞ ¿¿ мужид (2 x−3 )+( x+1 )=5 x−10 ;2 x−3+x+1=5 x−10 ;2 x=8 ; x=4 ;13) |x+1|−|3−x|=x+1−|3−6 x|;3−x=0 ; x=3 ; x+1=0 ; x2=−1 ;
3−6 x=0 ; x=12;
a) ¿−∞ ;−1 ¿¿ мужид−( x+1 )−(3−x )=x+1−(3−6 x );
−x−1−3+x=x+1−3+6 x ;7 x=−2; x=−27
;
b) ¿−1; 12¿ ( x+1 )−(3−x )=x+1−(3−6 x ); x+1−3+x=x+1−3+6 x;5 x=0 ; x=0
c) ¿ 12
;3 ¿ ( x+1 )−(3−x )=x+1+ (3−6 x ) ;
x+1−3+x=x+1+3−6 x ;7 x=6 ; x=67
d) ¿3 ;+∞¿ ( x+1 )+(3−x )=x+1+(3−6 x );x+1+3−x=x+1+3−6 x;5 x=0 ; x=014) |3−2 x|−|x+1|+|2− x|=|3−9 x|+x−5 ;3−2 x=0 ; x=1.5 ;
x+1=0 ; x=−1 ;2−x=0 ;x=2;3−9 x=0 ; x=13
;
a) ¿−∞ ;−1¿¿ мужид3−2x+x+1+2−x=3−9 x+ x−5 ;6 x=−8 ; x=−43
;
b) ¿ 13
;1.5¿
c) ¿1.5 ;2¿¿ мужид−3+2 x−x−1+2− x=−3+9 x+x−5 ;10 x=6 ; x=35
;
d) ¿2 ;+∞ ¿ −3+2 x−x−1−2+ x=−3+9 x+x−5 ;8 x=2 ;x=14
;
15) √ x2−6 x+9+√ x2−2 x+1=4 ;|x−3|−|x−1|=4 ;x−3=0 ; x=3 ; x−1=0 ; x=1 ;
a¿¿−∞ ;1¿¿ мужид – x+3+x−1=4 ;2=4 ;шийдгүйb) ¿1 ;3¿¿ мужид – x+3−x+1=4 ;2 x=0 ; x=0c) ¿3 ;+∞¿ x−3−x+1=4 ;−2=4 ; шийдгүй
302.Модуль дотроо үл мэдэгч агуулсан тэнцэтгэл бишийг бодоорой.
1) |x−3|<x+2; x−3=0 ; x=3 ;
a) ¿−∞ ;3¿¿ мужид−x+3<x+2;1<2 x; x> 12
;
b) ¿3 ;+∞¿2) |x−4|<3 x−12; x−4=0 ; x=4 ;
a) ¿−∞ ;4¿¿ мужид−x+4<3 x−12;16<4 x ; x>4 ;b)¿4 ;+∞ ¿
3) |2 x−3|>9 ;−9>2 x−3 ; ;−6>2 x ;−3>x ;2x−3>9 ;2x>12 ; x>6 ;4) 2|x+1|>x+4 ; x+1=0 ; x=−1 ;
a) ¿−∞ ;−1 ¿¿ мужид−2 x−2>x+4 ;−6>3 x ;−2>x ;b) ¿−1;+∞ ¿
5) 2|x+1|>−x+4 ; x+1=0; x=−1;a) ¿−∞ ;−1 ¿¿ мужид−2 x−2>−x+4 ;−6> x ;b)¿−1;+∞ ¿
6) 3|x−1|≤ x+3 ; x−1=0 ; x=1;b) ¿−∞ ;1¿¿ мужид−3 x+3≤ x+3 ;0 ≤ 4 x ;0 ≤ xb)¿1 ;+∞ ¿
7) 5 x−|2 x+1|>3 ;2x+1=0 ; x=−0.5;
a) ¿−∞ ;−0.5¿¿ мужид5 x+2x+1>3 ;7 x>−1; x>−17
;
b)¿−0.5 ;+∞ ¿8) 4|x+2|<2x+10 ; x+2=0 ; x=−2 ;
c) ¿−∞ ;−2 ¿¿ мужид−4 x−8<2 x+10;−18<6 x ;−3<xb)¿−2;+∞ ¿
9) 3|x+1|≥ x+5 ; x+1=0 ; x=−1 ;d) ¿−∞ ;−1 ¿¿ мужид−3 x−3 ≥ x+5 ;−8≥ 4 x ;−2 ≥ x ;b)¿−1;+∞ ¿
10)|x−2|≤ 2x+1 ; x−2=0 ; x=2 ;
a) ¿−∞ ;2¿¿ мужид−x+2≤ 2 x+1 ;1≤3 x ; 13
≤ x ;
b)¿2 ;+∞ ¿
11) |x−2|+|3−x|>4+x ;
3−x=0 ; x=3 ; x−2=0 ; x=2 ;
a¿¿−∞ ;2¿¿ мужид – x+2+3−x>4+ x ;1>3 x ; 13>x ;
b) ¿2 ;3¿¿ мужид x−2+3−x>4+ x;−3>x;c) ¿3 ;+∞¿ x−2−3+x>4+ x; x>9 ;
12) |2−5x|+|x+1|≥ 3+x;
2−5 x=0; x=2.5; x+1=0; x=−1;
a¿¿−∞ ;−1¿¿ мужид 2−5 x−x−1≥ 3+x ;−2 ≥7 x ;−27
≥ x ;
b) ¿−1;2.5¿¿ мужид 2−5 x+x+1≥ 3+x ;0≥ 5 x;0 ≥ x ;
c) ¿2.5 ;+∞¿ −2+5 x+ x+1≥ 3+x ;5 x≥ 4 ; 45
≤ x;
13) |2 x+5|−|3x−4|≤ 2 x−4 ;
2 x+5=0 ; x=−2.5 ;3 x−4=0; x=−43
;
a¿¿−∞ ;−2.5¿¿ мужид −2 x−5+3 x−4 ≤2 x−4 ; x≥−5
b) ¿−2.5 ;−43
¿¿ мужид 2 x+5+3 x−4 ≤ 2 x−4 ;3 x≥ 0 ; x≥ 0 ;
c) ¿−43
;+∞¿
14) |x−1|+|2−x|>3+x ;
x−1=0 ;x=1;2−x=0 ; x=2 ;a¿¿−∞ ;1¿¿ мужид – x+1+2−x>3+x ;0>3 x ; 0>x;b) ¿1 ;2¿¿ мужид x−1+2−x>3+x ;−2>x ;c) ¿2 ;+∞ ¿
15) |2 x+1|+|3 x+2|≤ 3+5 x ;
2 x+1=0 ; x=−0.5 ;3 x+2=0 ; x=−23
;
a¿¿−∞ ;−0.5¿¿ мужид – 2 x−1−2−3 x≤ 3+5 x ;0 ≤ 10x ;0 ≤ x ;
b) ¿−0,5 ;−23
¿¿ мужид 2 x+1−2−3 x≤ 3+5 x ;−4≤6 x ;−23
≤ x ;
c) ¿2 ;+∞ ¿
16) |x−1|−|x|+|2 x+3|>2 x+4 ;
x−1=0 ;x=1; x=0;2 x+3=0 ; x=−32
;
a¿¿−∞ ;−1.5¿¿ мужид – x+1+x−2 x−3>2 x+4 ;−6>4 x ;−32
>x ;
b) ¿−1,5 ;0¿¿ мужид – x+1+x+2 x+3>2 x+4 ;0>0 ;шийдг үйc) ¿0 ;1¿d) ¿1 ;+∞ ¿
17) |5 x−1|−|4 x+2|≤|x−3|
5 x−1=0 ; x=15
; 4 x+2=0 ; x=−12
; x−3=0 ; x=3 ;
a¿¿−∞ ;−0.5¿¿ мужид – 5 x+1+4 x+2≤−x+3 ;0 ≤ 0 ;б үхтоон шулуун
b) ¿−0,5 ; 15
¿¿ мужид −5 x+1−4 x−2≤−x+3;−4≤ 8 x ;−12
≤ x ;
c) ¿15
;3 ¿
d) ¿3 ;+∞¿
18) |x−2|−|x−5|≤ 13
x−2=0 ; x=2; x−5=0 ; x=5 ;a¿¿−∞ ;2¿¿ мужид – x+2+x−5 ≤ 13 ;0≤ 16 ;б үх тооншулуунb) ¿2 ;5¿¿ мужид x−2+x−5 ≤ 13 ;2 x ≤20 ; x≤ 10c) ¿5 ;+∞ ¿
19) |x−1|≤|2x−1|2
+1/ ∙ 2;2|x−1|≤|2 x−1|+2
x−1=0 ;x=1;2 x−1=0; x=0.5;a¿¿−∞ ;0.5¿¿ мужид – 2 x+2≤−2 x+1 ;0≤−1 ;шийдгүйb) ¿2 ;5¿¿ мужид 2 x−2≤ 2 x−1; 0≤ 1 ;б үх т үүн шулуунc) ¿5 ;+∞ ¿
303.1) 3<|x|<7 ; 3<x<7 ;3← x<7/ ∙ (−1 ) −7<x←32)1<|x−2|<4 ; 1<x−2<4; ; 3<x<6; ; 1← ( x−2 )<4; 1← x+2<4 ;−1← x<2;/(-1);−2<x<1;3)3<|2 x−1|<5 ;3<2x−1<5 ; 4<2 x<6 ;2< x<3 ;3←2 x+1<5;
2←2x<4 ;−2<x←14) 5 ≤|x|<9 ; 5 ≤ x<9 ;5≤−x<9 /∙ (−1 ) −9<x←55) 2 ≤|x+1|≤ 6 ;1≤ x≤ 5 ;;3≤−x≤ 7 ;−7 ≤ x≤−3 ;
6)4 ≤|4 x−3|≤ 12 ;4≤ 4 x−3≤ 12 ;7≤ 4 x≤ 15 ; 7
4≤ x≤ 15
4;4 ≤−4 x+3≤ 12;1 ≤−4 x≤ 9 ;−9
4≤ x ≤−1
4;
Бүлэг 17
322. 4 x2+ px+4=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D=p2−4 ∙ 4 ∙ 4>0↔ p2−82>0; pϵ ¿−∞ ;−8[∪]8 ;+∞¿
323. 2 x2+ px−p=0 шийдгүй байх вэ?
D=p2−4 ∙ 2 ∙ p<0 ↔ p2−8 p>0 ; p ( p−8 )<0 ; pϵ ¿0 ;8¿
324. 4 x2+4 x+ p2=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D=42−4 ∙4 ∙ p2>0↔ 42−16 p2=16 (1−p2)>0; pϵ ¿−1 ;1¿
325. 3 x2+ px+3=0 шийдгүй байх вэ?
D=p2−4 ∙ 3 ∙3<0↔ p2−62<0 ; pϵ ¿−6 ;6¿
326. x2−(2 p−1 ) x+ p2+3=0 шийдгүй байх вэ?
D= (2 p−1 )2−4 ∙ ( p2+3 )<0↔ 4 p2−4 p+1−4 p2−12<0 ↔−4 p−11<0 ;4 p>11; p> 114
;
327. 4 x2+4 x+ p2=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D=42−4 ∙4 ∙ p2>0↔ 42−16 p2=16 (1−p2)>0; pϵ ¿−1 ;1¿
328. 2 p x2+(4 p−3 ) x+ (2 p−6 )=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D= (4 p−3 )2−4 ∙2 p ∙ (2 p−6 )>0 ↔16 p2−24 p+9−16 p2+48 p=24 p+9>0↔
p>−38
;
329. x2−(2 p−1 ) x+ p2−3=0 шийдгүй байх вэ?
D= (2 p−1 )2−4 ∙ ( p2−3 )<0 ↔ 4 p2−4 p+1−4 p2+12<0 ↔−4 p+13<0 ;4 p>13; p> 134
;
330. x2+2 px+ p2−3 p+6=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D= (2 p )2−4 ∙ ( p2−3 p+6 )<0↔ 4 p2−4 p2+12 p−24<0↔ 12 p−24<0 ; p<2 ;
Бүлэг 18
Тоон дараалал
335. Дарааллын эхний таван гишүүнийг ол.
a)10,11,12,13,14,15,b)1,4,9,16,25c)4,7,10,13,16
336. {an } дараалал an=5 n−2 томъёогоор өгөгдөв.
a1=5 ∙1−2=3
a6=5 ∙6−2=28
a10=5∙10−2=48
a100=5 ∙ 100−2=498
ar=5 ∙ r−2
ar+1=5∙ (r+1 )−2=5 r+3
337. Хоёр,тав ба арав дахь гишүүдийг ол.
a) x2=2+6=8 ; x5=5+6=11; x10=10+6=16 ;
b) x2=22=4 ; x5=52=25 ; x10=102=100 ;c) x2=23−4=4 ;x5=53−4=121 ;
d) x2=2∙ 2−1
3=1 ; x5=
2 ∙5−13
=3 ; x10=2∙ 10−1
3=19
3;
e) x2=2 (2−1 )=2 ; x5=2 (5−1 )=8 ; x10=2 (10−1 )=18 ;
f) x2=(−1 )2=1 ; x5=(−1 )5=−1 ; x10=(−1 )10=1 ;
338. an=55−4 n дарааллын хэддүгээр гишүүн нь 15 вэ? 55−4n=15 ;n=10
339. Дарааллын эхний таван гишүүнийг ол.
a)c1=3 ;cn+1=cn+4 c2=c1+4=3+4=7 ;c3=c2+4=7+4=11;c4=c3+4=11+4=15 ;c5=c4+4=15+4=19
b) c1=4 ;cn+1=2 cn c2=2c1=2 ∙4=8 ;c3=2c2=2 ∙8=16 ;c4=2 c3=2∙16=32;c5=2c4=2 ∙32=64
340. an=n2−2n+3 ; n2−2n+3=3 ; n2−2n=0 ;n (n−2 )=0 ;n=2;
n2−2n+3=66 ;n2−2 n−63=0 ;n=9 ;
n2−2n+3=103;n2−2n−100=0 гишүүн биш
341. a)b1=4 ; bn+1=bn+4 b2=b1+4=4+4=8 ;b3=b2+4=8+4=12 ;b4=b3+4=12+4=16 ;b5=b4+4=16+4=20
d=8−4=4 ; bn=b1+d ( n−1 )=4+4 (n−1 )=4 n
. b)b1=1;bn+1=5bn+24b2=5∙ 1+24=29 ;b3=29+24=53 ;
Бүлэг 19
Арифметик прогресс
Бүлэг 19
342. 2 x2−5 x+2=0¿: 2 a1ба a4тэгшитгэлийн шийдүүд бол түүнийг ол.
x2−2.5 x+1=0 a1+a5=0.5+2=2.5
x2−2.5 x+1=0 x1=2 a1=0.5
x2=0.5 a4=2
343. S7=8 S8=7 бол S15=?
S8−S7=a8 S15=2a1+d (15−1)
2 ∙ 15 =
2∙ a1+14 d2
∙ 15= (a1+7 d )∙ 15
7−8=−1; a8=−1 S15=15 ∙(114
−154
¿=−15
S8=¿ a1+a8
2∙8
7=(a1−1)∙4
4 a1=11
a1=114
S7=2a1+6 d
2 ∙ 7 8=(a1+3 d) ∙7 8=( 11
4+3d) ∙7
87=11+12d
4 87−11
4=3 d
3d=32−7728
=−4528 d=−15
28;
345. a3+a11=40
a6+a7+a8=40+a7=40+a6+a8
2=40+20=60
a6+a8=40
a7=a6+a8
2=40
2=20
346. S3=3 ; S6=7 S9=?
Sn=( a1+an ) ∙ n
2=
( ar+an−r+1 )∙ n2
a1+a6=a3+a4
{ S6=a1+a6
2∙6=
a3+a4
2∙ 6=a3+a4=7
S3=a1+a3
2∙3=3=
a1+a3
2∙3=a1+a3=2
=¿ {a1+2 d+a1+3d=7a1+a1+2 d=2 S9=
a1+a9
2∙ 9
a1+a1+2d=2 a1=−43
∙ 12=−2
3 2a1=2−2 ∙ 53=−4
3 3d=5 d=53
S9=S6+a7+a8+a9=S6+a1+6d+a2+6d+a3+6d=S6+S3+18 d=7+3+18 d=10+18 ∙ 53=40
347. a3+a4+a5+a6+a7=45 S9=?
S9=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=¿ 2 a+b=45
45 ∙ 2−a5=90−9=81
348. 1,4,7 , …………. an=298 n=?
a1=1d=3 an=¿ a1+d (n−1 )=1+3 (n−1 )=3 n−2
Sn=a1+an
2∙ n=1+3 n−2
2∙ n
298=n2
(3 n−1 ) 3n2−n+596=0
D=1+4 ∙3∙596=1+7152=7153 a100=298
349. ( x+1 )+( x+4 )+ (x+7 )+…+( x+28 )=155
3n−2=28 n=10
10 x+ (1+4+7+…+28 )=155
S10=1+28
2∙ 10=29 ∙ 5=145
10 x+145=155
x=1
350. ( x+1 )+( x+4 )+ (x+7 )+…+( x+58 )=610
1+4+7+…+58
a1=1 d=3
an=a1+3 (n−1 )=3 n−2
n=20
20 x+ (1+4+…+58 )=610
S20=1+58
2∙ 20=590
20 x+590=610
20 x=20 x=1
351.x−1
x+ x−1
x+…+ 1
x=3
x+( x−1 )+ (x−2 )+…+1−xx
=13
1+x2
∙ x−x
x=1
3x≠ 0
x+x2−2 x2 x
=13
x2−x2 x
=13
x−12
=13
x=23+1=5
3
352. 33 ∙35 ∙….∙ 32 n−1=275
33+5+…+2 n−1=(3¿¿3)5=315 ¿
3+5+…+2 n−1=15
a1=3d=2
an=a1+2 (n−1 )=3+2n−2=2 n+1
Sn=a1+an
2∙ n=3+2 n+1
2∙ n=(n+2 ) n
n2+2n=15 n2+2n−15=0
n=−5←шийд бишn=3
353. 22∙ 24 ∙26∙ …∙ 22n=(0.25 )−28
22+4+6+…+2n=(2¿¿−2)−28=256¿
2 (1+2+3+…+n )=56
1+2+3+…+n=28
n=−8 шийд биш n=7
354. 1+4+7+…+n=117
a1=1 d=3
an=1+3 n−3=3 n−2
Sn=1+3n−2
2∙ n=3n−1
2=117
3n2−n−234=0
D=1+43234=2809=532
n1,2=1± 53
6n1=9n2=
−56
355. 1+7+13+…+n=280
a1=1d=6
an=a1+d (n−1 )=1+6 (n−1 )=6 n−5
Sn=1+6n−5
2∙ n=6n−4
2∙ n= (3 n−2 ) n=280
3n2−2 n−280=0
D=4+12 ∙ 280=4 (1+3 ∙280 )=4 ∙841=(2∙29 )2=582
n1,2=2± 58
6n1=10 n2=
−566
356. a1=3.4a2=−0.2
a3=? a4=? a5=?a6=?
d=a2−a1=−0.2−3.4=−3.6
a3=a2+(−3.6 )=−0.2+(−3.6 )=−3.8
a4=−3.8+ (−3.6 )=−7.4
a5=−7.4+ (−3.6 )=−11
a6=−11+ (−3.6 )=−14.6
357. b1=−0.8 d=4
b3=b1+2 d=−0.8+4 ∙2=7.2
b7=b1+6 d=−0.8+6 ∙ 4=23.2
b24=b1+23 d=−0.8+23 ∙4=91.2
br+1=b1+(r+1 ) ∙d=−0.8+4 (r+1 )=4 r+3.2 358. a . a1=16
a8=a1+7 dd=? 37=16+7 d a8=37
21=7 d d=3
b . a1=4 a18=−11d=?
a18=a1+17 d=4+17 d−11=4+17 d
−15=17 d d=−1517
c .a1=0.5 a23=−23d=?
a23=a1+22 d−23=0.5+22 d−23.5=22 dd=−23.522
359. a1=106 d=12
a7=a1+6 d=106+6 ∙ 12=178
a12=a1+11d=106+11∙12=238
360. x1=14 d=0.5
a . an=17.5 n=? 17.5=a1+d (n−1 )
17.5=14+0.5 n−0.5
0.5 n=4 n=8
b . an=15n=? 15=a1+d (n−1 )
15=14+0.5n−0.5
1.5=0.5 nn=3
c . an=34 n=? 34=14+0.5n−0.5
20.5=0.5 n n=41
361. a . 18 ;14 ;…………… .. a1=18 d=−14 an=18−14 ( n−1 )=32−14 n
−38=32−14n 14n=70 n=5
5−р гишүүн байна
b .−64=32−14 n 14 n=96 n=9614
гишүүнбиш байна
c .−80=32−14 n14 n=112n=8 8−р гишүүнбайна
362. 2 ;an ;an+1;22 an=?
an+an+ 1=2+22=24
an=2+d
an+1=2+2 d
2+d+2+2 d=24
3d=20 d=203
an=2+ 203
=263
an+1=2+ 2∙ 203
=463
363. a2+an−2=a5+an−5 батал
2+n−2=n Sn=a1+an
2∙ n
a2=a1+d an−2=a1+(n−2 ) d
a2+an−2=a1+d+a1+dn−2d=2 a1+dn−d
a5=a1+4d an−5=a1+ (n−5 ) d
a5+an−5=a1+4 d+a1+dn−5 d=2 a1+dn−d 2 a1+dn−d=2 a1+dn−d
364. a1=7 a2=n2 a3=(n+1 )2=n2+2n+1=a2+2n+1
a2=a1+d a3=a1+2 d 7+2 d=7+d+2 n+1
a2=7+d a3=7+2d
n2=7+ (n+1 )2
22 n2=7+n2+2n+1
n2−2n−8=0 n=4 n=−2∅
7;16;25………… болов
365. a2;b2;c2 – арифметик прогресс
b2=a2+c2
21
b+c1
a+c1
a+b1
a+c=1
2 ( 1b+c
+ 1a+b )
366. a1=−16a2=−13
d=−13— 16=3 an=a1+d (n−1 )=−16+3 (n−1 )=3 n−19
Sn=−16+3n−19
2∙ n=n
2(3 n−35 )
a. Sn=62
(3 ∙6−35 )=−51
b. S16=162
(3 ∙ 16−35 )=104
c. S25=252
(3 ∙ 25−35 )=500
d. Sr+1=r+1
2 (3 ∙ (r+1 )−35 )= (r+1 ) (3 r−32 )2
367. а . a1=4 d=2S12=?a12=a1+11 ∙ d=4+11 ∙2=26S12=4+26
2∙12=30 ∙6=180
б . a1=−5d=3 S12=?a12=a1+11 ∙ d=−5+11 ∙ 3=28 S12=−5+28
2∙12=23∙ 6=138
в .a1=16.5d=−1.5 S12=?
a12=a1+11 ∙ d=16.5+11 ∙ (−1.5 )=16.5−16.5=0 S12=16.5+0
2∙12=16.5 ∙6=99
г . a1=1+√3 d=−√3 S12=?
a12=a1+11 ∙ d=1+√3−11 ∙√3=1−10 ∙√3=0 S12=1+√3+1−10 ∙√3
2∙12= (2−9 ∙√3 )∙ 6=12−54 ∙√3
368. an=3 n+2S5=?
a1=3 ∙1+2=5
a2=3 ∙2+2=8
d=a2−a1=8−5=3
a5=a1+4d=5+4 ∙ 3=17
S5=5+17
2∙5=11 ∙5=55
369. a. 1+2+3+4+…+80=?
a1=1 a2=2d=1a80=80
S80=1+80
2∙ 80=81∙ 40=3240
b. 10+11+12+…+98+99=?
a1=10 d=1an=10+(n−1 )=99n=90
S90=10+99
2∙90=109 ∙ 45=4905
c. 2+4+6+…+98+100=?
a1=2 d=2 an=a1+2 (n−1 )
100=2+2n−2=2nn=50
S50=2+100
2∙50=102 ∙25=2550
370. a. a1=8 a7=24S9=?
a7=a1+6 d a9=a7+2d=24+2 ∙3=30
24=8+6 d S9=8+30
2∙ 9=19 ∙ 9=171
d=3
b. a4=16 a12=88 S9=?
a12=a4−8d
88=16+8 d
d=9
a9=a4+5d=16+5 ∙ 9=61
S9=16+61
2∙9=77 ∙9
2=296 1
2
371. 26 m∙ 2m=52 m
52m+15 m=67m
372. S3=48 S6=141 a1=? d=?
{ a1+a3
2∙3=48
a1+a6
2∙ 6=141
=¿ {a1+a3=32a1+a6=47
=¿ {a1+a1+2 d=32a1+a1+5 d=47
=¿ {2 a1+2d=322 a1+5d=47
3 d=15 d=3
2 ∙ a1+2∙3=322 a1=26 a1=13
374. 3+7+11+…+x=289
a1=3a2=7 d=4
x=3+4 (n−1 )=4n−1
(3+4 n−1 )2
∙ n=289
(4 n+2 )2
∙ n=289
(2n+1 ) n=289 шийдгүй
b. 8+5+2+…+x=270
a1=8 a2=5 d=−3
x=8+ (−3 ) (n−1 )=11−3 n
270=(8+11−3 n )
2∙n
540=209−33 n−57 n+9n2
9n2−90 n−331=0 шийдгүй
375. Sn=5 n2+3 n
Sn=(2 a1+d (n−1 ) )
2∙ n
S1=5 ∙12+3∙1=8=a1
S2=5 ∙4+3 ∙2=26
a2=26−8=18
d=18−8=10 a1=8 d=10
b. Sn=3 n2
a1=3 ∙12=3 a2=S2−a1=12−3=9
S2=3 ∙ 22=12d=a2−a1=9−3=6
c. Sn= (4 n−1 ) n
a1=(4 ∙ 1−1 ) ∙1=3 a2=14−3=11
S2= (4 ∙ 2−1 ) ∙2=14 d=a2−a1=11−3=8
376. S3=66a2 ∙ a3=528
¿
22 ∙ (22+d )=528 d=2 ;a1=20
377. 113 ;a2;a3;a4 …a9 ;a10 ;163
a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a7=276
a1+d+a1+9d=276
2a1+10 d=276 ; a1+5 d=138;113+5 d=138 ;d=5
113,118,123,128,133,138,143,148,153,158,163
378.s20=? {a1+a4+a7=45a4 ∙ a6=315
↔{a1+a1+3d+a1+6 d=45(a1+3 d ) ( a1+5 d )=315
↔ { a1+3 d=1515 (15+2 d )=315
↔ a1=6 ;d=3
a20=a1+19 d=6+19∙3=63 ; s20=10 ( a1+a20)=10 (6+63 )=690 ;
379. 10+15+20+…+an=2475 n=?
a1=10 ;a2=15 ;d=15−10=5;
an=a1+d (n−1 )=10+5 (n−1 )=5 n+5
sn=10+5n+5
2∙ n=15+5 n
2∙ n ;2475=5 (3+n )
2∙ n ;n2+3 n−990=0; n=30
380..s50=? {a2+a6+a10=36a6 ∙ a9=216
↔ {a1+d+a1+5d+a1+9 d=36(a1+5d ) (a1+8 d )=216
↔ { a1+5d=1212 (12+3d )=216
↔
d=2;a1=2 ;
a50=a1+49 d=2+49 ∙ 2=100 ; s50=25 (a1+a50 )=25 (2+100 )=2590 ;
381. 96+98+100+…+126+128=? ;a1=96 ;a2=98 ; d=98−96=2;
128=96+2 (n−1 );n=17 ;s17=17(a1+a17 )
2=112∗17=1904 ;
382. ..s15=? {a3+a5+a7=60a5 ∙ a6=300
↔ {a1+2 d+a1+4 d+a1+6 d=60(a1+4 d ) (a1+5d )=300
↔ { a1+4d=2020 (20+d )=300
↔
d=−5 ;a1=40;
a15=a1+14 d=40+14 ∙ (−5 )=−20 ;s15=15( a1+a15 )
2=15
( 40+(−20))2
=150;
383. a6+a9+a12+a15=20 бол s20=? a6+a15=a9+a12=a ;2a=20 ;a=10;
s20=a1+a2+a3+a4+…+a17+a18+a19+a20=10 ∙ 202
=100 ;
384. {a3+a2+a1=9a1 ∙ a2∙ a3=15
↔ { a1+2d+a1+d+a1=9a1 ( a1+d ) (a1+2 d )=15
↔ {a1+d=3 ;a1=3−da1 ∙3 (3+d )=15
↔
(3−d ) ∙ (3+d )=15 ;9−d2=15; d2=−7шийдг үй
385. 3a2 , a3 ,a4 , a5 , a6 , a7 ,24
a2+a7=a3+a6=a4+a5=27 ; a1+d+a1+6 d=27 ;2 a1+7 d=27 ;
2∗3+7 d=27 ;d=3 ;2a1=27−7d; a1=3 ;3,6,9,12,15,18,21,24
386. sn=2n2−3 n бол эхнийгишүүн ба ялгаврыг ол.
s1=2 ∙ 12−3 ∙1=−1; a1=−1 ;
s2=2 ∙ 22−3 ∙2=8−6=2 ;a2=s2−s1=2 — 1=3 ;d=3−(−1 )=4
387. −2 ;−6 ;−10 дарааллын 13-р гишүүн ба нийлбэрийг ол.
a1=−2 ;a2=−6 ; d=−6 — 2=−4 ;
an=a1+d (n−1 ); a13=−2−4 (13−1 )=−50 ;
s13=−2+ (−50 )
2∙ 13=−169;
388. a1+a2+a3=0 ;a1+a2+a3+a4=1 бол s12=?
0+a4=1; a1+3d=1 ;a1+a1+d+a1+2d=0 ;
3a1+3 d=0 ;a1=−d ;−d+3d=1 ;d=0.5; a12=−d+11d=10 d ;
s12=( a1+a12 )∙ 6=−d+10 d=9 d=9 ∙ 0.5∙ 6=27
389.
{s8+s6−s3=1646a1−a5=8
↔ {4 (a1+a8 )+3 (a1+a6 )−1.5 (a1+a3 )=1646 a1−a1−4d=8
↔{11 a1+40 d=1645 a1−4 d=8/¿10
↔ {11a1+40 d=16450 a1−40 d=80
↔ a1=4 ;5 ∙4−4 d=8 ;d=3;
390. 3,5,7 , … дарааллын хувьд sn>143 ;n=?
a1=3 ;a2=5 ;d=5— 3=2;
an=a1+d (n−1 ); an=3+2 (n−1 )=2 n+1 ;
sn=3+2 n+1
2∙ n>143 ;n2+2 n−143>0 ;n>11
391.
{s9+s7−s4=240a6−7 a1=2
↔ {4.5 ( a1+a9 )+3.5 ( a1+a7 )−2 ( a1+a4 )=240a1+5d−7 a1=2
↔ {12 a1+51 d=2405d−6 a1=2/¿2
↔ {12 a1+51 d=240−12 a1+10 d=4
↔ 61 d=244 ; d=4 ;5∙4−6 a1=2 ;a1=3
392. 2,5,8 ,… дарааллын хувьд sn>100 ;n=?
a1=2; a2=5 ;d=5 — 2=3 ;
an=a1+d (n−1 ); an=2+3 (n−1 )=3n−1;
sn=2+3n−1
2∙ n>100 ;3n2+n−200>0; n>8
393. {a2+a3=15a1 d=9
↔ . {a1+d+a1+2 d=15a1 d=9
↔{2 a1+3 d=15a1 d=9
↔ a1=9d
;2 ∙ 9d+3 d=15
d2−5d+6=0 ;d=2;d=3 ;a1=92=4.5 ;a1=
93=3
Бүлэг 20
Геометр прогресс
394. √5 ∙5 ∙√5=( x+1 )2;25=( x+1 )2 ; ( x+1−4 ) (x+1+5 )=0 ; x=4 эсвэл x=6
395. b2=a ∙ cбайна . Эндээс a ∙c нь ү ржвэр ньтэгээс их тоо байна . D=b2−4 ∙ a ∙ c=¿a ∙ c−4 ∙ a∙ c=−3∙ a ∙ c<0болох учиршийдг ү й .
396. a4 ∙a8=a3∙ q ∙a8
q=a3 ∙ a8=−512 болно .
{ a3+a8=124a3 ∙ a8=−512
=¿a3=124−a8 үү нийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулбал
a8 ∙ (124−a8 )=−512 ;a8=xгэе . x2−124 ∙ x−512=0
D=1242−4 ∙ (−512 )=15376+2048=17424
397. S3 ∶ S2=3 ∶ 2 ;b1+b2+b3
b1+b2=
b1 ∙ (1+q+q2)b1 ∙ (1+q )
=32
;2+2∙ q+2 ∙ q2=3+3 ∙q
2 ∙q2−q−1=0 ; D=1−4 ∙2∙ (−1 )=9; q=1+34
=1 ;q=1−34
=−12
;
399. q3=a4 ∶ a1=3 ∶ 19=27 ;q=3 ;a3=3 ∶ 3=1 ;
a1 ∙ a5=a32
a2 ∙ a4=a32болно a1 ∙ a2 ∙ a3 ∙ a4 ∙ a5=a3
5=15=1
400. b1+b2=7b1+b2+b3+b4+b5+b6=91 ;b3+b4+b5+b6=91−7=84
S4=b1+b2+b3+b4; q2 ∙ (b1+b2+b3+b4 )=84 ;q2∙ (b1+b2+b3+b4 )=84 ;q2∙ (b1+b2+q2 ∙ ( b1+b2 ))=84 ;
q2 ∙ (7+7 ∙ q2 )=84 ;7 ∙ q4+7 ∙q2−84=0 ;q4+q2−12=0(q2+4 ) (q2−3 )=0; q=±√3
I . q=−√3 үед b1+b1 ∙ q=7 ; b1=7
1+q= 7
1−√3II . q=√3үед b1+b1 ∙ q=7 ;b1=
71+q
= 71+√3
401. q=1.8 ∶ 0.3=6b3=1.8 ∙ 6=10.8b4=10.8∙ 6=64.8
402. a¿b3=1.6 ∙22=1.6 ∙ 4=6.4b¿b5=1.6 ∙24=1.6 ∙ 16=25.6c ¿b7=1.6 ∙26=1.6 ∙ 32=51.2d ¿bγ=1.6 ∙ 2γ−1
403. a¿a6=3 ∙ 25=3 ∙32=96b¿a5=125 ∙( 15 )
4
=53∙( 15 )
4
=15
c ¿a7=64 ∙(−14 )
6
=26 ∙ 1212 =
126
d ¿a8=2∙√2∙( 1√2 )
7
=2∙√2∙ 18 ∙√2
=14
404. a¿b1=b6 ∶ q5= 127
∶( 13 )
5
=(13 )
3
∶ (13 )
5
=(13 )
−2
=9b¿b1=b7 ∶ q6=256 ∶ (−2 )6=28∶ 26=22=4
405. a¿q=b5∶ b3=48 ∶ 12=4b¿q=b6∶ b4=16∶ 25=1625
;
406. b1=19
;b6=27 болноq5=b6∶ b1=27 ∶ 19=33∙ 32=35; q=3
b2=19
∙ 3=13
;b3=19
∙ 32=1 ;b3=19
∙27=3 ;b4=19
∙81=9 ;
407. a1;a2;a3 …геометр прогресс учир a1 ∙ a3=a22байна .
a¿ (2 ∙ a2 )2=2 ∙ a1 ∙ 2 ∙ a2=¿4 ∙ a22=4 ∙ a1∙ a3=¿a2
2=a1 ∙ a3 болох тул геометр прогрес сүү снэ .
b¿ ( a2+3 )¿2=( a1+3 ) ∙ ( a3+3 )=¿a22+6 ∙ a2+9=a1 ∙ a3+3∙ a1+3 ∙ a3+9=¿
a22+6 ∙ a2=a1 ∙ a3+3∙ a1+3 ∙ a3 ; эндээс 6 ∙ a2=3 ∙ a1+3 ∙a3биелэх эсэхийг шалгана .
2 ∙ a2=a1+a3 геометр прогресс дээр биелэхг ү й учир дараалалгеометрпрогресс үү сгэхг ү й .
c ¿ (√a2 )2=√a1 ∙√a3 ;a2=√a1 ∙√a3 хоёр талыг квадрат зэрэг дэвш үүлэе
a22=a1 ∙ a3 ньг еометр прогрессын дараалсан гурван гишүү ний хувьд биелдэг учир
дараалал геометрпрогресс үү сгэнэогресс
409. { b4−b2=8b5−b3=36 { b1∙ (q3−q )=8
b1 ∙ ( q4−q2)=36харгалзан хуваавал
b1∙ (q3−q )b1 ∙ ( q4−q2 )
= 836
=¿
q ∙ ( q2−1 )q2 ( q2−1 )
= 836
=¿ 1q=2
9=¿q=4.5 b1=
8q ∙ ( q2−1 )
= 84.5 ∙ (4.52−1 )
84.5 ∙ (20.25−1 )
= 84.5 ∙19.25
= 886.625
410. b2=a ∙ cбиелэнэ(a+b+c ) ∙ ( a−b+c )=(a+c )2−b2=¿a2+2∙ a ∙ c+c2−b2=a2+2 ∙ b2+c2−b2=a2+b2+c2
411.
a¿ S5=b1∙ (q5−1 )
q−1=
32∙(( 14 )
5
−1)14−1
=32 ∙( 1
45 −1)−34
=32 (1−45 )
45(−34 )
=25∙ (1−45 )
45 ∙(−34 )
=1−1024−3 ∙23 =1023
3∙8=1023
24
b¿ S5=27 ∙((−1
3 )5
−1)−13
−1=
33 ∙(−135 −1)−43
=33 ∙ (−1−35 )
35 ∙ (−43 )
=−1−2433 (−4 )
=24412
=613
c ¿S5=2∙√3∙ ( (√3 )5−1)
√3−1=
2 ∙√3 ∙ (2 ∙√3−1 )√3−1
416. a¿Xn+1
Xn=
Xn
Xn−1болохыг шалгана 2 ∙3n+1
2 ∙3n = 2 ∙3n
2∙ 3n−1 ;3=3 учраас геометр прогресс м ө н
b¿ 3n+1−33n−3
= 3n−33n−1−3
; (3n+1−3 )∙ (3n−1−3 )=( 3n−3 ) ∙ (3n−3 )
32 n−3 ∙ 3n+1−3 ∙3n−1+9=32 n−2 ∙ 3∙ 3n+9 ;32n−9 ∙3n−3n+9=32 n−6 ∙3n+9 ;
−10 ∙3n=−6 ∙ 3n тэнцэх гү й . Иймд геометр прогресс бишc ¿ Xn2=Xn−1∙ Xn+1болохыг шалгая
22 n=2n−1 ∙2n+1;22 n=22 n болох учир геометрпрогресс м ө н
417. b6−b4=72b5−b3=9 {b1∙ (q5−q3 )=72
b1 ∙ ( q4−q2 )=9харгалзан хуваавал q ∙ (q2−1 )
q2−1=8 ;q=8
b1=9
84−82 =9
82 ∙ (82−1 )= 9
64 ∙63= 1
7 ∙64= 1
448 S8=
1448
∙ (88−1 )
8−1= 88−1
7 ∙ 448;
418. {b1+b2+b3=13b1
2+b22+b3
2=91
b2=b1 ∙b3байх тул үүнийг хоёр дахьтэгшитгэлд орлуулбалb12+b1
2 ∙ b32+b3
2=91
b12+b1∙ b3+b3
2=91 ; (b1+b3 )2−b1∙ b3=91; эхний тэгшитгэлээс b1+b3=13−b2
үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд оруулбал (13−b2 )2−b22=91 болно .
169−26∙ b2+b22−b2
2=91 ;26 ∙b2=169−91;26 ∙ b2=78;b2=3 болно .
{b1+b3=10b1
2+b32=82
b1=10−b3 үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулбал
(10−b3 )2+b32=82 ;100−20 ∙ b3+2 ∙b3
2=82 ;b32−10∙ b3+9=0b3=9 ;
b3=1b3=9 үед b1=1
b3=1үедb1=9 болно.
422. S=b1
1−q;
b1
1−q=
6 ∙ (√30+5 )5
;b1=6 ∙ (√30+5 )
5∙(1−1
6∙√3)=6 ∙ (√30+5 )
5∙( 6−√3
6 );
424. b2=24 s=b1
1−q=108
b2
q ∙ (1−q )=108 24
q ∙ (1−q )=1082=q ∙ (1−q ) ∙9
9 ∙ q2−9 ∙q+2=0 D=81−4 ∙ 9∙ 2=81−72=9q1=9+318
=1218
=23
;q2=9−318
= 618
=13
425. { b1+b2+b3=26b5+b6+b7=2106 { b1∙ (1+q+q2 )=26
b1 ∙q4 ∙ ( 1+q+q2 )=2106 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
1q4 =
181
;буюу q=3 ;болно .b1 ∙ (1+3+9 )=26 ;13∙ b1=26 ;b1=2 ;
426. { b1+b2+b3=21b7+b8+b9=1344 { b1 ∙ (1+q+q2 )=21
b1 ∙q6∙ (1+q+q2)=1344 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
1q6 =
164
;q6=64=26 ;q=2;b1 ∙ (1+2+4 )=21 ;b1 ∙7=21 ;b1=3 ;
1q6 =
164
;q6=64=26 ;q=2;b1 ∙ (1+2+4 )=21 ;b1 ∙7=21 ;b1=3 ;
427. {b3+b5=180b1+b3=20
b1 ∙ q2 ∙ ( 1+q2 )b1 ∙ (1+q2 )
=18020 q2=9 ;q=± 3 ;
q=3 үед b1 ∙ (1+q2 )=b1∙ (1+9 )=20 ;b1=2q=−3 үед b1 ∙ ( 1+q2 )=b1 ∙ (1+9 )=20 ;b1=2
428. {b5+b1=45b1+b3=15 {b1 ∙ (q4−1 )=45
b1 ∙ (1+q2 )=15эдгээрийг харгалзан хуваавал
b1∙ (q2−1 ) ∙ (q2+1 )b1 ∙ (1+q2 )
=4515
;q2−1=3 ;q2=4 ; q=± 2 үед b1=3
429. {b1+b2+b3=28b4+b5+b6=3,5 { b1∙ (1+q+q2 )=28
b1 ∙q3 ∙ (1+q+q2 )=3,5 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
1q3 =8 ;q3=1
8; q=1
2;b1∙(1+ 1
2+ 1
4 )=28 ;b1 ∙( 4+2+14 )=28 ;
b1=4 ∙ 28 ÷ 7=16 ;b8=b1 ∙ q7=16 ∙(12 )
7
=18
;
430. {b1 ∙b2=−18
b1∙ b5=1
64
эдгээрийг харгалзан хуваавал 1q3 =−8 ;q=−1
2эхний
тэгшитгэлээс b12∙ q=−1
8;b
1
2
=−18
∙(−12 )= 1
16;b1=± 1
4;
b6=± 14
∙ (−2 )5
431.{b1 ∙b3=1
144
b3 ∙b4=12
эдгээрийг харгалзан хуваавал 1q3 = 1
72;q3=72;q= 3√72=2 ∙ 3√9
b22= 1
144;b2=
112
;b1=b2 ÷ q= 112
∙ 12∙ 3√9
= 124 ∙ 3√9
S4=1
24 ∙ 3√9∙
3√724−13√72−1
;
432. 63 ≤ b1+b2+b3≤ 93 60 ≤b2+b3 ≤90 ;60 ≤ b1 ∙ ( q+q2 )≤ 90 ;
60 ≤ 3∙ (q+q2 ) ≤ 90 ;20 ≤ ( q+q2 )≤ 30 ;q=4 ; q=5байх боломжтой .
433. { b2−b1=20b4−b1=140 b1 (q−1 )= 20 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
b1 (q3−1 )= 140
11+q+q2 =
17 ; q+q2 - 6 = 0 (q+3)(q - 2)=0 q = - 3 эсвэл q = 2
q = - 3 үед b1= - 5
q = 2 үед b1= 20
434. a1+a3+a5 = 182 a1(1+q2+q4)=182 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
a2+a4+a6 =546 a2(1+q2+q4)=546
1q =
13 q=3 a1(1+92+814)=182 a1 = 2
Sn= a 1(qn−1)q−1
2(3n−1)3−1
= 242 (3n−1)= 242 3n=243 3n= 34
n=4
435. a1-a2=8 a1(1−q)= 8 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
a2+a3= 12 a2(1 + q )=12 (1−q)2(1+q)
= 23 2q2 +2q = 3- 3q 2q2 +5q -3 = 0
D = 25-4∙2∙(-3) = 25+24=49
a1 = −5+7
4 = 12 a1(1−
12)= 8 a1= 16
436. 155≤ b1+b2+b3≤215 155≤ b2+b3≤210 155≤ b1(q+q2¿≤210
150≤ 5(q+q2)≤210 30 ≤ q(q+1) ≤ 42 q=6 байх боломжтой
437. a22 = a1 ∙ a3 a1+a2+a3=7a1 a1+a2+a1
3=7a1 1+q+a12 =7
q + a12= 6 q- натурал тоо q= 2 үед a1= 2 болно
Арифметик ба геометр прогрессийн хавсарсан бодлогууд
438. a1+a2+a3= 56
a1 - 1; a2 - 7; a3 - 21 2(a2 - 7)= a1 - 1+ a3 - 21
2a2 -14= a1 + a3 - 22 2a2= a1 + a3 - 8 (*)
Эхний тэгшитгэлээс a1 + a3 = 56 – a2 үүнийг (*) – д орлуулбал 2a2= 56-a2 -8 3a2=48 a2= 16
Геометр прогрессийн чанар ёсоор {a1+a3=40162=a1∙ a3
{a1+a3=40a1 ∙ a3=256 үүнийг бодно
439. a1+a2+a3= 39 эндээс 3a2 =39 a2 = 13 болно
a1 - 4; a2 - 5; a3 - 2 Геометр прогрессийн чанар ёсоор
(a2- 5 )2= (a1 - 4)(a3 - 2) 64= (a2 –d - 4)( a2 +d -2)
64= (9-d)(11+d) 99+9d -11d + d2 – 64 = 0 d2 -2d +35=0
(d+7)(d-5)=0 d= -7 a1 = 13-(-7)= 20 a3 = a2 +d= 13-7 = 6
16;8;4 тоонууд геометр прогресс үүсгэнэ q=12
S8= 16 ∙(( 1
2 )8
−1)
12−1
= 16(( 1
2 )8
−1)
−1 ∙ 2= -32∙((1
2 )8
−1)
440. a1 ; a2 ; a3 ; a1+a2+a3=70
a1 - 2; a2 - 8; a3 - 24 2(a2 - 8)= a1 – 2 + a3 -24
2a2 – 16= a1 + a3 -10; (*) эхний тэгшитгэлээс
a1 + a3 = 70 – a2 үүнийг (*)-д оруулбал
2a2= 70- a2 -10; 3a2=60 a2=20 болно
a1 = 20q a3 = 20∙ q Эдгээрийг эхний тэгшитгэлд оруулбал
20q + 20+20q=70
20q + 20q= 50
2a + 2q=5 2q2 -5q +2= 0 D= 25-4∙2∙2 = 9
q= 5+3
4 = 2 a1 = 10 a3= 40 S1,2= 10∙(212−1)2−1
441. . a1 ; a2 ; a3 ; a1+a2+a3=15 3a2= 15 a2= 5
a1 +1; a2 +4; a3 +19 (a2 + 4)2 = (a1 +1)( a3 +19) 81= (a2-d+1)( a2+d+19)
81= (6-d)(24+d) 81= 144+6d-24d-d2 d2+18d-63=0
(d+21)(d-3)=0 d=3 a1= 2; a3= 8
3;9;27 q=3 S8= 3∙(38−1)3−2
= 1,5∙ (38−1)
![АЮУЛГҮЙ АЖИЛЛАГААНЫ ЗӨВЛӨМЖ PET_CT.pdfажиллагааны үндсэн стандарт (ААҮС) [2] зэрэг нь сүүлийн жилүүдэд олон](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5e4232cacd8a75689c173e37/-oe-petctpdf-.jpg)
