Ithptlytutronghatinh.edu.vn/images/giaoan/SKKN_noi_dung_1... · Web view1.a.1 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian Tính chất 1: Có một và chỉ một

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================ I. PHẦN MỞ ĐẦU

1/Lý do chọn đề tài: Bài tập hình học không gian nói chung và bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song nói riêng là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán THPT, các kiến thức liên quan của dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi vào các trường Đại học, cao đẳng trong cả nước. Đường thẳng và mặt phẳng là những khái niệm quen thuộc trong đời sống hàng ngày, chúng cũng là những đối tượng cơ bản, mở đầu của hình học không gian, học sinh được nghiên cứu chúng trong Chương II hình học lớp 11. Do tính trừu tượng của hình học không gian và sự bỡ ngỡ mới tiếp xúc nên học sinh thường lúng túng, mất định hướng và thiếu tự tin vào bản thân khi làm các bài tập về phần này ,về phần giáo viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức. Việc phân loại bài toán, đưa ra phương pháp giải phù hợp đối với từng trường hợp và hệ thống các ví dụ phong phú sẽ giúp học sinh định hướng được phương pháp trong quá trình giải bài tập. Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với bài tập hình học không gian, cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua nhiều năm giảng dạy; Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình Đại học Toán và đặc biệt là sự động viên, đóng góp ý kiến tận tình của các đồng nghiệp. Tôi mạnh dạn chọn đề tài “Phân dạng và hệ thống các bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian”. Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự phân loại được một số dạng bài tập thường gặp, nêu lên một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc giải bài tập và phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá các bài tập nhỏ. Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo trong học tập. Hy vọng rằng đề tài này sẽ là một tài liệu có ích cho các đồng nghiệp, cũng như học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập.

2/Mục tiêu nghiên cứu:Nhằm hệ thống được các kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ

song song trong không gian, trình bày các kết quả qua quá trình nghiên cứu. Giúp các em học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào việc giải bài tập, đồng thời định hướng cho các em học sinh suy nghĩ và sáng tạo những bài toán mới.

========================================================== 1

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================

Hệ thống được các ví dụ theo dạng giúp củng cố lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập thông qua đó nâng cao khả năng phân tích, định hướng cách giải bài tập.

3/Nhiệm vụ nghiên cứu:Thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy Toán làm cho học sinh sáng tạo

tìm những hướng giải quyết mới cho bài toán được đưa ra.Lựa chọn các ví dụ phù hợp, sau khi dạy mỗi dạng có bài tập tương tự cho

học sinh tự luyện tập ở nhà.Hệ thộng bài tập đưa ra được sắp xếp từ dễ đến khó.

4/Các phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận chung. Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học. Nghiên cứu tài liệu, tổng hợp lựa chọn phương pháp giải và ví dụ phù hợp. Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm. Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn. Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình

giảng dạy.

5/Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song trong không gian. Các kiến thức hình học phẳng.

6/Đối tượng khảo sát và thời gian thực hiện đề tài: Đề tài được áp dụng đối với học sinh các lớp 11A3, 11A4,11A10 – Trường THPT nơi tôi đang công tác với đối tượng là các học sinh học lực trung bình, trung bình khá. Thực hiện trong học kỳ I năm học 2013-2014 vào các giờ luyện tập, tự chọn và tăng buổi sau khi học sinh đã được học xong từng bài của chương II hình học 11 tương ứng.

========================================================== 2


II . PHẦN NỘI DUNG1/ Cơ sở lý khoa học của đề tài1.a) Cơ sở lý luận của đề tài 1.a.1 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 1.a.2 Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. b) Các tính chất: Định lý 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Định lý 2(về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng ( nếu có)cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.1.a.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng a) Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. b) Các tính chất: Định lý 1: Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và d song song với đường thẳng nằm trong thì song song với .

========================================================== 3

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================ Định lý 2: Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng chứa

và cắt theo giao tuyến thì song song với . Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. Định lý 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chúa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.1.a.4 Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. b) Các tính chất: Định lý 1: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a,b cùng song song với mặt phẳng thì song song với . Định lý 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Hệ quả 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với . Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng . Mọi đường thẳng đi qua A và song song với đều nằm trên mặt phẳng đi qua A và song song với . Định lý 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.1.b) Cơ sở thực tiễn của đề tài Trong quá trình giảng dạy của mình, tôi nhận thấy rằng học sinh thường lúng túng, e ngại khi học hình học, đặc biệt là hình học không gian. Học sinh không vẽ được hình biễu diễn hoặc vẽ không đúng, không tưởng tượng được không gian trên nền mặt phẳng, không xác định được sự cắt nhau của các đường thẳng , của đường thẳng với mặt phẳng; từ đó dẫn đến tâm lý buông xuôi, bỏ qua không học.2/ Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Sau khi dạy xong “Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng” của chương II- Hình học 11 Ban cơ bản, trước khi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho học sinh lớp 11A3, 11A4, 11A10 tôi đã ra bài tập về nhà cho học sinh với thời gian chuẩn bị một tuần. Nội dung bài tập như sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm SB,SD,OCa) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC).b) Tìm giao điểm của SA và (MNP).c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)Kết quả thu được như sau:

========================================================== 4


Lớp Tổng số

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến dưới 8 Điểm dưới 5

Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ

11A3 45 2 4,5% 10 22,2% 33 73,3%11A4 45 1 2,2 % 8 17,8% 36 80%11A10 44 0 0% 10 22,7% 34 77,3%

Từ kết quả thu được ta thấy mặc dù bài tập tương đối dễ, dạng toán cơ bản và thời gian chuẩn bị thoải mái nhưng học sinh vẫn chưa nắm được kỹ năng giải nên việc thực hiện đề tài là cần thiết. 3/Nội dung nghiên cứu:3.1 Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng3.1.a) Lý thuyết - Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng

- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng .

Chú ý : Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó . Giao điểm , nếu có của hai đường thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng .

3.1.b) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng ( ) cho tứ giác có các cặp cạnh đối không song song và điểm . a. Xác định giao tuyến của và (SBD).

b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD).Giải:a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)

Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SBD)Trong (a), gọi O = AC Ç BD O Î AC mà AC Ì (SAC) Þ O Î (SAC) O Î BD mà BD Ì (SBD) Þ O Î (SBD) Þ O là điểm chung của (SAC) và (SBD) Vậy: SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)

b.Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)Ta có:

S là điểm chung của (SAC) và (SBD)

========================================================== 5

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================ Trong (a) , AB không song song với CD, Gọi I = AB Ç CD

I Î AB mà AB Ì (SAB) Þ I Î (SAB) I Î CD mà CD Ì (SCD) Þ I Î (SCD)

Nên I là điểm chung của (SAB) và (SCD)Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD).

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD , M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABD , N là một điểm thuộc miền trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a. (AMN) và (BCD).

b. (DMN) và (ABC).

Giải: a. Tìm giao tuyến của (AMN) và (BCD)

Trong (ABD ) , gọi E = AM Ç BD E Î AM mà AM Ì ( AMN) Þ EÎ ( AMN) E Î BD mà BD Ì ( BCD) Þ EÎ ( BCD) Nên E là điểm chung của mp (AMN) và (BCD )

Trong (ACD ) , gọi F = AN Ç CD F Î AN mà AN Ì ( AMN) Þ FÎ ( AMN) F Î CD mà CD Ì ( BCD) Þ FÎ ( BCD)

B

C

ED

F

N

M

Q

P

A

Nên F là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD ) Vậy: EF là giao tuyến của mp( AMN) và (BCD ) b. Tìm giao tuyến của (DMN) và (ABC)

Trong (ABD ) , gọi P = DM Ç AB P Î DM mà DM Ì ( DMN) Þ PÎ (DMN ) P Î AB mà AB Ì ( ABC) Þ PÎ (ABC) Þ P là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC )

Trong (ACD) , gọi Q = DN Ç AC Q Î DN mà DN Ì ( DMN) Þ QÎ ( DMN) Q Î AC mà AC Ì ( ABC) Þ QÎ ( ABCA) Nên Q là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC ). Vậy: PQ là giao tuyến của mp ( DMN) và (ABC )Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nằm trong mp ( P) và a là một đường thẳng nằm trong mp ( P) và không song song với AB và AC . S là một điểm ở ngoài mặt phẳng ( P) và A’ là một điểm thuộc SA . Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: ========================================================== 6


a. mp (A’,a) và (SAB)b. mp (A’,a) và (SAC)

Giải: a. A’ Î SA mà SA Ì ( SAB) Þ A’Î ( SAB)

A’Î(A’,a)

Þ A’ là điểm chung của (A’,a) và (SAB ) Trong ( P), ta có a không song song với

AB, Gọi E = a Ç AB E Î AB mà AB Ì (SAB )

Þ E Î (SAB ) E Î ( A’,a)

Þ E là điểm chung của ( A’,a) và (SAB )Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB) b. Xác định giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)

A’ Î SA mà SA Ì ( SAC) Þ A’Î ( SAC) A’ Î ( A’,a)Þ A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAC ) Trong ( P) , ta có a không song song với AC, Gọi F = a Ç AC

FÎ AC mà AC Ì (SAC ) Þ F Î (SAC ) F Î ( A’,a)

Þ F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC )Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC )

3.1c) Bài tập tương tự :Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M,N lần lượt là trung điểm SB,SD; P là điểm thuộc cạnh Sc sao cho PC<PS. Tìm giao tuyến của :a) (SAC) và (SBD).b) (NMP) và các mặt của hình chóp. Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn AD. Gọi M,N là trung điểm BC,CD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:a) (SAC) và (SBD). b) (SMN) và (SAD).c) (SAB) và (SCD). d) (SMN) và (SAC). e) (SMN) và (SAB).Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thng đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm SA, M là điểm nằm trên AD sao cho K là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SK=2BK. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:a) (IMK) và (ABCD).b) (INK) và (SBD).c) (IMK) và (SBC).

========================================================== 7

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD coa đáy là hình bình hành tâm O. M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh SA,SB sao cho: . Tìm giao tuyến của :a) (OMN) và (SAB).b) (OMN) và (SAD).c) (OMN) và (SBC).d) (OMN) và (SCD).3.2) Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.3.2.a) Lý thuyết Bài toán : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (a) Phương pháp : Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (a)

Giao điểm của a và b là giao đường thẳng a và mặt phẳng (a) Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp (a) và mp (b) É a

Cần chọn mp (b) chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của mp (a) và mp (b) dễ xác định và giao tuyến không song song với a3.2.b) Ví dụ áp dụngVí dụ 1 : Trong mp (a) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (a). Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB.

a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (a) Giải: a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) Trong (SAB) , gọi E = SP Ç MN

E Î SP mà SP Ì (SPC) Þ E Î(SPC)

E Î MNVậy : E = MN Ç (SPC )

b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp (a) Trong (SAB) , MN không song song với AB, Gọi D = AB Ç MN D Î AB mà AB Ì (a) Þ D Î(a) D Î MN

Vậy: D = MN Ç (a)

A

M

DB

P

E

C

N

S

a

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD . Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM )Giải: ========================================================== 8

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================ Chọn mp phụ (SBD) É SD

Tìm giao tuyến của hai mp ( SBD) và (ABM )

Ta có B là điểm chung của ( SBD) và (ABM )

Tìm điểm chung thứ hai của ( SBD) và (ABM )

Trong (ABCD ) , gọi O = AC Ç BD

Trong (SAC ) , gọi K = AM Ç SO KÎ SO mà SO Ì (SBD)

Þ K Î( SBD) KÎ AM mà AM Ì (ABM ) Þ K Î( ABM )ÞK là điểm chung của (SBD)và (ABM ) Þ ( SBD) Ç (ABM ) = BK

Trong (SBD) , gọi N = SD Ç BK

NÎ BK mà BK Ì (AMB) Þ N Î(ABM)

N Î SD . Vậy : N = SD Ç (ABM)

M

A

D

O C

B

S

K

N

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, trên cạnh AB lấy một điểm M , trên cạnh SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) .

a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)

Giải:

========================================================== 9

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)

Chọn mặt phẳng phụ (SAC) É AN Tìm giao tuyến của ( SAC) và

(SBD) Trong (ABCD) , gọi P = AC Ç BD

Þ ( SAC) Ç (SBD) = SP

Trong (SAC), gọi I = AN Ç SP

I Î AN I Î SP

mà SP Ì (SBD) Þ I Î (SBD) Vậy : I = AN Ç (SBD)b. Tìm giao điểm của đường thẳng

MN với mặt phẳng (SBD) Chọn mặt phẳng phụ (SMC) É MN Tìm giao tuyến của ( SMC ) và

(SBD)Trong (ABCD) , gọi Q = MC Ç BD

Þ ( SAC) Ç (SBD) = SQ Trong (SMC), gọi J = MN Ç SQJÎ MN J Î SQ mà SQ Ì (SBD)ÞJÎ (SBD)Vậy: J = MN Ç (SBD)

3.2.c) Bài tập tương tự :Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD//BC). M,N là hai điểm bất kỳ trên SB,SD. Tìm giao điểm của:a) SA và (MCD) b) MN và (SAC) c) SA và (MNC)Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SC.a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD)b) Tìm giao điểm J của SD và (ABM).c) Gọi N là điểm thuộc cạnh AB. Tìm giao điểm của MN và (SBD).Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm nằm trên cạnh SA, AB, BC. Tìm giao điểm của a) MP và (SBD) b) SD và (NMP) c) SC và (MNP)Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm SB,AD và G là trọng tâm tam giác SAD.Tìm giao tuyến của:

========================================================== 10

J

Q

A

C

P

D

NI

B

M

S

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================a) GM và (ABCD) b) AD và (OMG) c) SA và (OMG)Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD,AB>CD). Lấy các điểm I,M,K lần lượt nằm trên các cạnh SA,CD,BC.a) Tìm giao tuyến của (IMK) với mặt phẳng (SAB).b) Tìm giao tuyến của (IMK) với mặt phẳng (SAC).c) Tìm giao tuyến của (IMK) với mặt phẳng (SAD).d) Tìm giao điểm của SB và (IMK).e) Tìm giao điểm của IC và (SMK).

3.3) Dạng 3: Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.3.3.a) Lý thuyết Thiết diện( hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng là phần chung của H và . Để xác định thiết diện của hình H khi cắt bởi mặt phẳng ta tìm giao tuyến của

với các mặt của hình chóp từ đó tìm các đoạn giao tuyến và kết luận. Chú ý: Nếu những giao tuyến của với các mặt của H nằm hoàn toàn phía ngoài hình H ta không cần tìm( nếu không cần thiết).

3.3.b) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB , AD và SC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)Giải: Trong (ABCD) , gọi E = MN Ç DC

F = MN Ç BCTrong (SCD) , gọi Q = EP Ç SDTrong (SBC) , gọi R = FP Ç SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Tìm thiết diện của tứ diện với mp (HKM ).Giải: Ta xét hai trường hợp :TH1 : M ở giữa C và D :

Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến ========================================================== 11

M

LN

B

C

D

A

K

H

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================của (HKM) với (ABC) và (BCD)

Trong (BCD), gọi L = KM Ç BDTrong (ABD), gọi N = AD Ç HLVậy : thiết diện là tứ giác HKMN

TH2: M ở ngoài đoạn CD: Trong (BCD), gọi L = KM Ç BDVậy : thiết diện là tam giác HKL

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và BC không song song .

a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN) . Giải: a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC):

Trong (ABCD) , gọi I = AD Ç BCVậy : SI = (SAD) Ç ( SBC)

b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN)

Trong (SBC) , gọi J = MN Ç SITrong (SAD) , gọi K = SD Ç AJ Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M, trong tam giác SCD lấy một điểm N.

a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)

c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCDGiải: a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC):

Chọn mp phụ (SMN) É MN Tìm giao tuyến của (SAC ) và

========================================================== 12

M

L

H

K

A

D

C

B

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================(SMN)Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN)

Trong (SBC), gọi M’ = SM Ç BCTrong (SCD), gọi N’ = SN Ç CDTrong (ABCD), gọi I = M’N’ Ç AC

M

N

B C

N'

E D

M'I

O

A

S

I Î M’N’mà M’N’ Ì (SMN) Þ I Î ( SMN)I Î AC mà AC Ì (SAC) Þ I Î (SAC)Þ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC)

Þ ( SMN) Ç (SAC) = SI Trong (SMN), gọi O = MN Ç SI

O Î MN O Î SI mà SI Ì ( SAC)

Þ O Î ( SAC)Vậy : O = MN Ç ( SAC )

P

S

A

O

I

M'

DE

N'

C

B

N

M

Q

b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : Chọn mp phụ (SAC) É SC Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN)

Ta có : ( SAC) Ç (AMN) = AO Trong (SAC), gọi E = AO Ç SC

E Î SC E Î AO mà AO Ì ( AMN) Þ E Î ( AMN)

Vậy : E = SC Ç ( AMN )c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD:Trong (SBC), gọi P = EM Ç SBTrong (SCD), gọi Q = EN Ç SD

Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ3.3.c) Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm SB,SD,OCa) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC).b) Tìm giao điểm của SA và (MNP).c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)

========================================================== 13

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, M nằm trên cạnh SC, N,P lần lượt là trung điểm AB,ADa) Tìm giao điểm của CD và (MNP).b) Tìm giao điểm của SD và (MNP).c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SBC).d) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP).Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang( AB//CD, AB>CD) . Gọi I,N theo thứ tự là trung điểm cạnh SA,SB; M là điểm thuộc cạnh SDa) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mặt phẳng (SBC).c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mặt phẳng (INM).d) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (INM).Bài 4: Cho tứ diện ABCD , trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J,K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK và (ABC).a) Hãy xác định điểm L.b) Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK).3.4) Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy.3.4.a) Lý thuyết Phương pháp:- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó .

- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba .3.4.b) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc (ABCD), M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC .

a. Xác định giao điểm I = AN Ç (SBD) b. Xác định giao điểm J = MN Ç (SBD) c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng

Giải: a. Xác định giao điểm I = AN Ç (SBD ) Chọn mp phụ (SAC) É AN Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD)

Þ ( SAC) Ç (SBD) = SO Trong (SAC), gọi I = AN Ç SO

I Î AN

========================================================== 14

J

E

I

O

S

C

N

M BA

D


I Î SO mà SO Ì ( SBD) Þ I Î ( SBD) Vậy: I = AN Ç ( SBD)b. Xác định giao điểm J = MN Ç (SBD) Chọn mp phụ (SMC) É MN

========================================================== 15

IJA

M

N

S

O

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================ Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD)

S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)Trong (ABCD) , gọi E = MC Ç BD Þ ( SAC) Ç (SBD) = SE

Trong (SMC), gọi J = MN Ç SEJÎ MN, JÎ SE mà SE Ì ( SBD) Þ J Î ( SBD)

Vậy J = MN Ç ( SBD) c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng

Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD) I Î SO mà SO Ì ( SBD) Þ I Î ( SBD) I Î AN mà AN Ì (ANB) Þ I Î (ANB)Þ I là điểm chung của (ANB) và ( SBD) J Î SE mà SE Ì ( SBD) Þ JÎ ( SBD) J Î MN mà MN Ì (ANB) Þ J Î (ANB)Þ J là điểm chung của (ANB) và ( SBD)

Vậy : B , I , J thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M .

a. Tìm giao điểm K = IJ Ç (SAC) b. Xác định giao điểm L = DJ Ç (SAC) c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng

Giải:a. Tìm giao điểm K = IJ Ç (SAC)

Chọn mp phụ (SIB) É IJ Tìm giao tuyến của (SIB ) và

(SAC)S là điểm chung của (SIB ) và (SAC)

Trong (ABCD) , gọi E = AC Ç BIÞ (SIB) Ç ( SAC) = SE

Trong (SIB), gọi K = IJ Ç SEKÎ IJ KÎ SE mà SE Ì (SAC )

Þ K Î (SAC) Vậy: K = IJ Ç ( SAC).

b. Xác định giao điểm L = DJ Ç (SAC) Chọn mp phụ (SBD) É DJ Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)

S là điểm chung của (SBD ) và (SAC)Trong (ABCD) , gọi F = AC Ç BD Þ (SBD) Ç ( SAC) = SF Trong (SBD), gọi L = DJ Ç SF

LÎ DJ ========================================================== 16

MK

FE

L

A

D

C

B

O

J

I

S


LÎ SF mà SF Ì (SAC ) Þ L Î (SAC) Vậy : L = DJ Ç ( SAC)c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàngTa có:A là điểm chung của (SAC) và ( AJO)

K Î IJ mà IJ Ì (AJO) Þ KÎ (AJO) K Î SE mà SE Ì (SAC ) Þ K Î (SAC )Þ K là điểm chung của (SAC) và ( AJO) L Î DJ mà DJ Ì (AJO) Þ L Î (AJO) L Î SF mà SF Ì (SAC ) Þ L Î (SAC )Þ L là điểm chung của (SAC) và ( AJO) M Î JO mà JO Ì (AJO) Þ M Î (AJO) M Î SC mà SC Ì (SAC ) Þ M Î (SAC )Þ M là điểm chung của (SAC) và (AJO)

Vậy: A ,K ,L ,M thẳng hàng.Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.

a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)b. Tìm giao điểm I = BC Ç ( LMN) và J = SC Ç ( LMN)c. Chứng minh rằng ba đường thẳng IJ, SB, MN đồng quy.

Giải: a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)

Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC)

Trong (SAB) , LM không song song với AB, Gọi K = AB Ç LM

K Î LM mà LM Ì (LMN ) Þ K Î (LMN )

K Î AB mà AB Ì ( ABC) Þ K Î ( ABC)

Vậy KN là giao tuyến của (LMN) và (ABC)b. Tìm giao điểm I = BC Ç ( LMN) Chọn mp phụ (ABC) É BC Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN)Þ (ABC) Ç ( LMN) = NK Trong (ABC), gọi I = NK Ç BC

IÎ BC IÎ NK mà NK Ì (LMN )

Þ I Î (LMN)Vậy : I = BC Ç ( LMN)Tìm giao điểm J = SC Ç ( LMN)

========================================================== 17

K

JI

S

C

M

L

N

B

A


Trong (SAC), LN không song song với SC, gọi J = LN Ç SCJÎ SC JÎ LN mà LN Ì (LMN )

Þ J Î (LMN). Vậy : J = SC Ç ( LMN)c. Chứng minh rằng ba đường thẳng IJ, SB, MN đồng quy Ta có: M = SB Ç MNÞ M Î ( LMN) Ç (SBC)

Mặt khác: IJ=( LMN) Ç (SBC) Vậy: M Î IJ hay ba đường thẳng IJ, SB, MN đồng quy tại M.Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD và S (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.

a. Tìm giao điểm I = BN Ç ( SAC) b. Tìm giao điểm J = MN Ç ( SAC)

c. Chứng minh C , I , J thẳng hàngGiải: a. Tìm giao điểm I = BN Ç ( SAC) Chọn mp phụ (SBD) É BN Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)

Trong (ABCD), gọi O = AC Ç BDÞ (SBD) Ç ( SAC) = SO

Trong (SBD), gọi I = BN Ç SOIÎ BN IÎ SO mà SO Ì (SAC )

Þ I Î (SAC). Vậy : I = BN Ç ( SAC)b. Tìm giao điểm J = MN Ç ( SAC) :

Chọn mp phụ (SMD) É MN Tìm giao tuyến của (SMD ) và (SAC)

Trong (ABCD), gọi K = AC Ç DMÞ (SMD) Ç ( SAC) = SK

Trong (SMD), gọi J = MN Ç SKJ Î MN J Î SK mà SK Ì (SAC )

Þ J Î (SAC). Vậy : J = MN Ç ( SAC)c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng :Ta có: C , I , J là điểm chung của

(BCN ) và (SAC)Vậy : C , I , J thẳng hàng.

3.4.c) Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có AB cắt CD tại E và I,K lần lượt là trung điểm cạnh SA,SB, N là điểm tùy ý trên cạnh SD.a) Tìm giao điểm M của SC và (IKN).b) CMR: Ba đường thẳng IK, MN, SE đồng quy.

========================================================== 18

O

J

K

I

M

N

AD

CB

S

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M,N lần lượt là trung điểm SA,SC. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M,N,Ba) Tìm giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SAB),(SBC).b) Tìm giao điểm I của SO với (P), giao điểm K của SD với (P).c)Xác định giao tuyến của (P) với (SAD) và (SCD).d)Xác định các giao điểm E,F của các đường thẳng DA,DC với (P). CMR: E,B,F thẳng hàng.Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có I, M là hai điểm nằm trên AD và SB.a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAC) và (SBI).b) Tìm giao điểm K của IM và (SAC).c) Tìm giao điểm L của DM và (SAC).d) CMR: A,K,L thẳng hàng.

3.5) Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng song song.3.5.a) Lý thuyết Các phương pháp thường dùng để chứng minh hai đường thẳng song song: Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung (áp dụng các tính chất của hình học phẳng)

Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba Sử dụng các định lý . Chứng minh bằng phản chứng.

3.5.b) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng: IJ ∕ ∕ CD Giải: Gọi E là trung điểm AB

Ta có : Þ IJ và CD đồng phẳng

Do đó : (tính chất trọng tâm)

Vậy : IJ // CD .

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB

a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CDb. Tìm P = SC Ç (ADN)

========================================================== 19

J

IE

C

D

B

A


c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?Giải: a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :

Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB

Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang )

Vậy : MN ∕ ∕ CDb. Tìm P = SC Ç (ADN):

Chọn mp phụ (SBC) É SC Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN)

Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN)

Trong (ABCD), gọi E = AD Ç ACÞ ( SBC) Ç (ADN ) = NE

Trong (SBC), gọi P = SC Ç NEVậy : P = SC Ç ( ADN )

I

E

S

B

C

M N

P

D

A

c. Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?Ta có : Xét ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB), M là trung điểm AB

Þ SI//MN, SI 2MNMà AB//MN, AB 2.MNDo đó : SI AB, SI=AB

Vậy : Tứ giác SABI là hình bình hành. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD,AD sao cho MN // BS, NP//CD, MQ // CD

a. Chứng minh : PQ // SA.b. Gọi K = MN Ç PQ , Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M

di động trên cạnh BC.Giải:

========================================================== 20

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================a. Chứng minh : PQ // SA.

Xét tam giác SCD :Ta có : NP // CD

Þ (1)Tương tự : MN // SB

Þ (2)Tương tự : MQ // CD

Þ (3)Từ (1) , (2) và (3), suy ra:

Vậy : PQ // SA

b. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BCTa có :

Þ giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng St qua S song song BC và AD

Mà K Î (SBC) Ç (SAD)Þ K Î St (cố định ) Vậy : K Î St cố định khi M di động trên cạnh BC.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’,B’,C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành. b. Gọi M là điểm bất kì trên BC. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCDGiải: a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :

Trong tam giác SAB, ta có : A’B’= AB, A’B’//AB

Trong tam giác SCD, ta có : C’D’= CD , C’D’//CD

Mặt khác AB =CD. AB=CD. Þ A’B’ // C’D’, A’B’ =C’D’

Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành

b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’

Gọi N = Mx Ç AD

========================================================== 21

P

K

Q

t

D

B C

A

M

N

S

N M

S

AB

D C

A' B'

C'D'

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN.

3.5.c) Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của BC,CD,SB,SD.a) CMR: PQ//MN.b) Gọi I là trọng tâm tam giác ABC, K là điểm thuộc cạnh SA sao cho . CMR: IK//SM.Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SB.a) Chứng minh rằng MN//CD.b) Tìm giao điểm P của SD và (AND).c) AN cắt DP tại I. CMR: SI//AB//CD. Tứ giác SABI là hình gì?Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SC, N là trung điểm OB.a) Tìm giao điểm I của SD và (AMN).b) Tính tỉ số .Bài 4: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N,P là trung điểm AB,BC,SC, SB=AC.a) Tìm giao điểm E của SA và (MNP).b) CMR: NP//ME//SB. Tứ giác MNPE là hình gì?c) Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC)3.6) Dạng 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.3.6.a) Lý thuyết Bài toán: Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng :

Phương pháp : Vận dụng định lý:

3.6.b) Ví dụ áp dụngVí dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD .

a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)b. Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP)c. Gọi G ,G lần lượt là trọng tâm của ABC và SBC. Chứng minh rằng:

// (SAB)Giải:

========================================================== 22


a. Chứng minh MN // (SBC):Ta có : Tương tự :

b. Chứng minh SB // (MNP):Ta có :

Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD)

Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD), MN // AD Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN, cắt SD tại Q

Þ PQ = (MNP) Ç (SAD) Xét SAD , Ta có : PQ // AD

P là trung điểm SA Þ Q là trung điểm SDXét SCD , Ta có : QN // SC

c. Chứng minh // (SAB) :

Xét SAI , ta có :

Þ // SADo đó :

Ví dụ 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M, N.a) Chứng minh: b) Chứng minh: M’N’//(DEF) .c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.Giải: a) Ta có : AD // BC; AF // BE mà và nên (CBE) // (ADF).

========================================================== 23

Q

M NC

D

P

B

A

S

Q

G1I

G2

S

D C

M

NP

A B

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================b) Vì MM' // AB nên MM' // DC

;

mà ( vì AC = BF)

nên

Mà: nên M’N’//(DEF) .

c) Phần thuận: * Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AB; CF. Nếu nên I P. Nếu nên I Q. Vậy quỹ tích của I là đoạn thẳng PQ. Phần đảo: Gọi I PQ bất kì. Chứng minh t tồn tại 2 điểm M; N: v và MN nhận I làm trung điểm. Thật vậy: Trong mặt phẳng (CPF). Qua I, dựng đường thẳng song song với FC,

cắt PC; PF lần lượt tại M1; N1.

Qua M1; N1 dựng các đường thẳng song song với AB cắt AC; BF tại M và N.

Áp dụng đlí Ta let, ta có :

Suy ra : (1)

+ Suy ra : (c-g-c) .

Định lí Talet. Ta có : hay IM = IN (2)

Vậy điểm I thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB và CD. Giả sử AB CD , mặt phẳng (a) đi qua điểm M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD.

a. Tìm giao tuyến của (a) với ( ICD ) và (JAB) .b. Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (a). Chứng minh thiết diện là

hình chữ nhật . c. Tính diện tích thiết diện của hình chữ nhật biết IM = IJ .Giải:a. Tìm giao tuyến của (a) với mặt ========================================================== 24

G

F

H

N

LM

Q

PI

J

E

D

C

B

A

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================phẳng ( ICD ):

Ta có :Þ giao tuyến của (a) và ( ICD ) là

đường thẳng đi qua M và song song với CD cắt IC tại L và ID tại N Tương tự :

Þ giao tuyến của (a) và ( JAB ) là đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt JA tại P và JB tại Qb. Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (a):

Ta có : Þ EF // AB (1) Tương tự : Þ HG // AB (2)Từ (1) và (2) , suy ra EF // HG // AB (3)Ta có : Þ FG // CD (4) Tương tự : Þ EH // CD(5)Từ (4) và (5) , suy ra FG // EH // CD (6)Từ (3) và (6) , suy ra EFGH là hình bình hành Mà AB CD (*)Từ (3) , (6) và (*), suy ra EFGH là hình chữ nhật c. Tính diện tích thiết diện của hình chữ nhật biết IM = IJ Ta có :

Xét tam giác ICD : Ta có : LN // CD Þ (7)

Xét tam giác IJD : Ta có : MN // JD Þ (8)

Từ (7) và (8), suy ra

Tương tự : Þ

Vậy :

3.6.c Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của SB,SO,OD.a) CMR: MN//(ABCD); MO//(SCD).b) CMR: NP//(SAD); Tứ giác NPOM là hình gì?c) Gọi I là điểm thuộc SD sao cho SD=4ID. CMR: PI//(SBC).Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng (a) qua MN, song song với SA.

a. Tìm các giao tuyến của (a) với (SAB) và (SAC).b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (a)

========================================================== 25

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================ c. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thangBài 3: Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lấy trung điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N bất kỳ . Gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .

a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng ( ) với tứ diện ABCD. b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành .Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I,M lần lượt là trung điểm BC,SC.a) CMR: OM//(SAD).b) CMR: OI//(SCD); IM//(SBD).3.7) Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song.3.7.a) Lý thuyết Các phương pháp thường dùng để chứng minh hai mặt phẳng song song: +) Thông thường tính chất trên được áp dụng dưới dạng sau:

+)

+)

3.7.b) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA ,SD

a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC)b. Gọi P, Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON, SB. Chứng minh :

PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)

========================================================== 26

M

b

a

b

a

N cd

a

b

a

b

M

a

b

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================Giải:

a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC):Xét tam giác SAC và SDB : Ta có : b. Chứng minh : PQ // (SBC)Ta có :

Þ M, N, P, O đồng phẳng Þ PQ Ì (MNO)

Mà Vậy : PQ // (SBC)b) Chứng minh: PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)

Ta có : (1)Xét tam giác SDB : ta có (2)Từ (1) và (2) , ta được

Ví dụ 2: Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau .Trên các đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho: MC = 2AM , NF = 2BN . Qua M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại M , N .

Chứng minh rằng :a.b.c.

Giải:a. :Giả sử EN cắt AB tại IXét NIB NEFTa có :

Þ I là trung điểm AB và (1)Tương tự : Xét MAI MCDTa có :

Þ I là trung điểm AB và (2)

Từ (1) và (2) , suy ra Þ

========================================================== 27

R

N P

Q

S

M

O

C

B

D

A


Vậy : b. :

Ta có : Þ (3) (3)

Tương tự : Þ (4)

Từ (3) và (4) , suy ra Þ

Ta được : Vậy :c. :Ta có : Vậy :

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD , ADB

a. Chứng minh : b. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng

Tính diện tích thiết diện theo diện tích của tam giác BCD. Giải: a. Chứng minh :

Gọi M , N , L lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CD và BD

Ta có :

Þ

Vậy :

b. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng :Ta có : Giao tuyến của (G1G2G3) và (ABC)

là đường thẳng đi qua và song song với BC cắt tại E và FTương tự : cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD

cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BDXét tam giác AMC và tam giác ABC

Ta có : Þ (1)

========================================================== 28

G3

G2G1

G

A

B

C

D

M NL

E

F


Þ (2)

Từ (1) và (2), ta được

Þ

Tương tự :

Þ

Diện tích thiết diện:

==

Vậy :

Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của AB , BC và I , J , K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF , ADC , BCE . Chứng minh (IJK) // (CDFE)Giải: Xét tam giác MFC :

Ta có : Þ

(1)Xét hình bình hành MNEF :Ta có :

Þ(2)Từ (1) và (2) , ta có:

FEIKFCIJ

////

Þ

Vậy : 3.7.c) Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I,M,G,P,Q lần lượt là trung điểm của DC,AB,SB,BG,BI.a) CMR : (IMG)//(SAD).b) CMR : PQ //(SAD).c) Tìm giao tuyến của (SAC) và (IMG).

========================================================== 29

A

D C

BI

NM

E

J

K

F

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================d) Tìm giao tuyến của (ACG) và (SAD).Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. M là trung điểm cạnh bên SA, N là trung điểm cạnh bên SC.a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng đi qua M và song song với (SBD), mặt phẳng đi qua N và song song với (SBD) . b) Gọi I,J là giao điểm của hai mặt phẳng nói trên với AC. CMR : .Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SA,CD,AD.a) CMR : (OMN)//(SBC).b) Gọi I là điểm trên MP. CMR : OI//(SCD).

CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢPVí dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AD, M là điểm thuộc cạnh CD, N là điểm thuộc cạnh SB. a) Kí hiệu (a) là mặt phẳng đi qua MN và song song với AB. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (a). b) Ký hiệu là mặt phẳng đi qua M và song song với BD,SC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .Giải: a) Do AB// , qua M kẻ đường thẳng song song với Ab cắt AD, Bc lần lượt tại K,L. Trong (SBC) LN cắt SC tại P. Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt SA tại P. Thiết diện là ngũ giác MPNQK.

========================================================== 30

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================b) Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, AD tại R,I. Trong mặt phẳng (SBC) qua R kẻ đường thẳng song song với SC cắt SB tại T. Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đường thẳng đi qua M song song với SC cắt SD tại V. Trong mặt phẳng (SAD) IV cắt SA tại U. Ta có : ngũ giác MRTUV là thiết diện cần tìm

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I là trung điểm cạnh B’C’.a) Chứng minh rằng AB’//(A’IC).b) M là điểm thuộc cạnh A’C’, AM cắt A’C tại P, B’M cắt A’I tại Q. Chứng minh

PQ//AB’. Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác A’PQ bằng diện tích tam giác

A’CI.c) J là điểm thuộc cạnh AC : JA=3JC. Kí hiệu là mặt phẳng đi qua J và song song với AB’,IC. Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (a). Giải: a) Gọi O là trung điểm của A’C ta có: AB’//IO mà IO (A’IC) Do đó AB’//(A’IC).b) Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’M) và (A’IC) nên PQ//A’B//IO.

Vậy Q là trọng tâm tam giác A’B’C’ suy ra M là trung điểm A’C’.

========================================================== 31

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================c) Do AB’//(A’IC) nên là mặt phẳng đi qua J và song song với (A’IC). Trong mặt phẳng (ACC’A’) kẻ đường thẳng đi qua J song song với A’C cắt AA’, A’C’, C’C lần lượt tại N,R,S. Trong mặt phẳng (BCC’B’), kẻ đường thẳng qua S và song song với IC cắt BC,B’C’ lần lượt tại K,H. Ngũ giác JKHLN là thiết diện cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’B’ và M là một điểm thay đổi trên đoạn B’C ( không trùng với hai đầu mút).a) Chứng minh rằng: D’M//(A’BD).b) Xác định giao điểm K của AM với (A’B’C’D’). Chứng minh rằng K luôn thuộc một đường thẳng cố định. c) N là điểm thuộc đoạn AC: AN=2CN. Kí hiệu là mặt phẳng đi qua N và song song với DA’,D’M. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (a).Giải: a) Ta có: (CB’D’)//(A’BD) mà D’M (CB’D’) nên D’M//(A’BD).b) Trong mặt phẳng (BCC’B’) kẻ đường thẳng đi qua M và song song với BB’ cắt BC,B’C’ lần lượt tại E,H. Trong mặt phẳng (AA’HE), AM cắt A’H tại K. Ta có . K là điểm chung của hai mặt phẳng (ACB’) và (A’B’C’D’) nên K thuộc giao tuyến d =(ACB’) ∩ (A’B’C’D’) là đường thẳng đi qua B’ song song với A’C’c) Ta có :

song song với (CB’D’) và (A’BD), do đó nếu qua D vẽ đường thẳng song song với BD trong mặt phẳng (ABCD) cắt BC,CD,AB,AD lần lượt tại P,Q,

========================================================== 32

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================R,L thì PQ là đoạn giao tuyến của với (ABCD). Trong mặt phẳng (ABB’A’) đường thẳng đi qua R song song với BA’ cắt A’B’, BB’ lần lượt tại U,V. Trong mặt phẳng (ADD’A’) đường thẳng qua L và song song với DA’ cắt DD’, D’A’ lần lượt tại S,T. Ta có lục giác PQSTUV là thiết diện cần tìm.Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Trên AB lấy một điểm M sao cho AM = x(0<x<a). Gọi (a) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC, CD lần lượt tại N, P, Q.

a. Tìm thiết diện của (a) với mặt phẳng hình chóp . Thiết diện là hình gì ? b. Cho = 900 và SA = a. Tính diện tích của thiết diện theo a và x .Tính x để

diện tích thiết diện bằng

Giải: a. Tìm thiết diện của (a) với mặt phẳng hình chóp:

Ta có :

Với

Với

Với (1) Vì

(2)Từ (1) và (2) , suy ra : là hình thang

Vậy : là hình thang.b. Tính diện tích của thiếtdiện theo a và x : Ta có :

Mà Nên: Tính :

========================================================== 33

SAD

S xI

MP

Q

S

C

N

D

BA


Ta có: SAD vuông cân tại A Do đó :

Tính : Đường thẳng qua B song song với SA cắt tại S0

Xét tam giác SBC , tam giác SBS và tam giác SAB

Ta có : Þ (1)

Þ (2)

Þ (3)

Từ (1) , (2) và (3) , ta được Þ

Þ INP vuông cân tại N Do đó :

Þ

Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành , E là trung điểm cạnh bên SC và M là điểm thay đổi trên cạnh bên SA. Kí hiệu là mặt phẳng đi qua EM và song song với BD.a) Chứng minh đi qua một đường thẳng cố định. Xác định giao điểm của SB,SD với .b) F là điểm thuộc mặt bên (SAB). Kí hiệu là mặt phẳng đi qua EF và song song với BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng . Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’B’ và I là trung điểm AB’.a) Chứng minh rằng: C’I//(ACD’).b) M là điểm thuộc cạnh DD’ ( không trùng hai đầu mút) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (C’IM) và (ACD’). Tìm vị trí điểm M để giao tuyến này đi qua trung điểm của AD’.c) N là điểm thuộc cạnh C’D’ không trùng với C’,D’. Xác định giao điểm của AB,AD với mặt phẳng (IMN).

========================================================== 34


KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ1/Kết luận: Kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian là những kiến thức nền tảng của môn hình học không gian trong chương trình môn Toán THPT. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó và học sinh hay thiếu tự tin vào bản thân khi làm bài tập dạng này. Sau khi thực hiện đề tài, để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành cho học sinh làm bài tập kiểm tra với đề bài tương tự kết quả thu được như sau:

Lớp Tổng số

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ

11A3 45 14 31,1% 24 53,3% 07 15,6%11A4 45 12 26,7% 26 57,7% 07 15,6%11A10 44 9 20,5% 27 61,4% 08 18,1%

Qua bảng số liệu thu được ta thấy đề tài đã có tác dụng định hướng cho học sinh trong quá trình giải bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian, đó là nền tảng để học sinh tiếp tục học, nghiên cứu về hình học không gian. Các em không còn lúng túng khi vẽ hình, tưởng tượng không gian mà đã có nhìn nhận bài toán đúng đắn hơn, tổng quát hơn. Đề tài được học sinh đồng tình đã có kết quả tốt cho học sinh ba lớp được khảo sát. Các em nâng cao được khả năng giải toán và hứng thú trong học tập hơn.2/ Kiến nghị: Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy đề tài có xuất phát điểm là những kiến thức tương đối đơn giản, tư duy rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu có thể áp dụng cho các học sinh có học lực từ trung bình, hiệu quả của đề tài tương đối tốt. Tôi đề nghị các thầy cô giáo dạy khối 11 cố gắng dành một số tiết tự chọn hoặc tiết tăng buổi để đề cập sâu hơn tới chủ đề này và có những góp ý, những ví dụ đóng góp cho đề tài được tốt hơn.

========================================================== 35

Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian============================================================ Kính đề nghị các cấp trên bổ sung, góp ý, yêu cầu chỉnh sữa( nếu cần) các đề tài của các giáo viên nộp về và phổ biến để các đồng nghiệp có thể học hỏi và vận dụng vào công tác giảng dạy để kết quả giáo dục ngày càng tốt hơn. Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có những điểm hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.3/Tài liệu tham khảo:

SGK Hình học 11 SBT Hình học 11 Tài liệu chuyên toán BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 ( Đoàn Quỳnh …) Một số tài liệu khác

MỤC LỤC MỤC LỤC

NỘI DUNGNỘI DUNG TrangTrangI.PHẦN MỞ ĐẦU 1/Lý do chọn đề tài 11 2/Mục tiêu nghiên cứu 11 3/Nhiệm vụ nghiên cứu 22 4/Các phương pháp nghiên cứu 22 5/Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 22 6/Đối tượng khảo sát và thời gian thực hiện đề tài 22II.PHẦN NỘI DUNG 1/Cơ sở khoa học của đề tài 33 2/Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 44 3/Nội dung nghiên cứu 55

3.1) Dạng 1 553.2) Dạng 2 77

3.3) Dạng 3 10103.4) Dạng 4 13133.5) Dạng 5 17173.6) Dạng 6 20203.7) Dạng 7 2424

========================================================== 36


Các bài tập tổng hợp 2828III.PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ1/Kết luận 33332/ Kiến nghị 33333/Tài liệu tham khảo3/Tài liệu tham khảo 3333

========================================================== 37

Documents

Ithptlytutronghatinh.edu.vn/images/giaoan/SKKN_noi_dung_1... · Web view1.a.1 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian Tính chất 1: Có một và chỉ một