oksanarafalska.ucoz.ua · Web viewЗавдання 2-го етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 2002 року 6 клас Комп'ютерний

Завдання 2-го етапу Всеукраїнської

олімпіади з математики 2002 року

6 клас

1. Комп'ютерний вірус кожного дня знищує певну частину інформації на

жорсткому диску. Протягом першого дня вірус знищив половину всієї інформації,

протягом другого - 1/3 того, що залишилося. Протягом третього дня вірус знищив 1/4

того, що залишилося, на четвертий день - 1/5 решти. Яка частина початкового об'єму

інформації залишилася?

2. Двоє гравців по черзі дістають з скриньки кульки. Програє той, хто забирає

останню кульку. Хто може забезпечити собі перемогу, перший, чи другий, якщо

спочатку в скриньці було 2002 кульки і за один хід можна виймати не менше однієї і

не більше п'яти кульок?

3. Було 7 аркушів паперу. Деякі з них розрізали на 8 частин, потім деякі з

одержаних частий розрізали ще на 8 частин і т.д. Чи може на деякому етапі загальна

кількість кусків паперу дорівнювати 2002?

4. У класі навчаються 37 учнів. Довести, що хоча б четверо з них відмічають день

народження протягом одного місяця.

7 клас

1. Обчислити: 22003- 22002- 22001-...- 22 -2-1.

2.Скільки існує трицифрових чисел виду ABC (а ≠0), таких, що а + 3b + с ділиться на

З?

3.В клітинах таблиці 3x3 розставлені числа -1, 0, 1. Доведіть, що якісь дві із 8 сум по

всім рядкам, всім стовпчикам і по двом головним діагоналям будуть рівні.

4.Скільки води треба випарити з 500 кг целюлозної маси, яка містить 85% води, щоб

одержати масу з 75% вмістом води?

8 клас

1.Розв'язати рівняння (а - 3)3 х =aг - 9, в залежності від параметра а.

2. Чи існують цілі числа х і у, які задовольняють рівнянню

x2+ 2002 = y2?

3.Чи може сума цифр натурального числа, яке є точним квадратом, дорівнювати 2003?

4.В трапеції АBCD сума кутів при основі АD дорівнює 90°. Точка К - середини

відрізку ВС, N - середина АD, М - середина АС, Р - середина ВD. Доведіть, що КN =

МР.

5.На папері в рядок написані декілька мінусів. Двоє гравців по черзі виправляють

один, чи два сусідніх мінуса на плюси. Виграє той, хто виправить останній мінус. Хто

виграє в цій грі і як йому треба діяти, якщо спочатку були написані 2002 мінуси?

9 клас

1.Скільки коренів має рівняння І ІхІ – 1 І = а в залежності від параметра а?

2.Скільки п’ятицифрових чисел, які діляться на 3, можна записати цифрами 1, 2, 3, 4,

5, 6?

3.Знайдіть висоту трапеції, в якій гострі кути при більшій основі дорівнюють 15° і 75°,

а різниця основ дорівнює т.

4.Дано пряму і коло, які не мають спільних точок. Побудувати квадрат так, щоб дві

його вершини лежали на даній прямій, а дві інші на даному колі.

5.У літньому таборі відпочивали хлопці і дівчата, причому хлопців було не менше 28 і

не більше 32. Скільки дітей відпочивало в таборі, якщо кожний хлопець був знайомий

із 10 дівчатами, а кожна дівчина - із 6 хлопцями?

Відповіді та вказівки до розв’язання завдань олімпіади з математики 2002 року

6 клас

1. Найменше спільне кратне чисел 2,3,4,5 = 60. Позначимо через 60V початковий об’єм ще не знищеного диску. Тоді після першого дня залишилося 30V, а після другого дня - 20 V , а після третього дня 15 V і після четвертого дня - 12 V. Отже, відношення вцілілої частини диску до початкового об’єму = 12V

60V = 15 .

2. Виграє перший, якщо першим ходом забере три кульки, за кожен наступний хід він забиратиме скільки кульок, щоб в сумі з кульками, які взяв другий, було 6 кульок. В кінці гри залишиться одна кулька, яка дістанеться другому.

3. Може після кожного такого розрізання загальна кількість кусків паперу збільшиться на 7, а 2002 : 7 = 286. Отже, це станеться після 285 розрізань.

4. Вказівка: застосуйте принцип Діріхле.

7 клас1. 22003 – 22002 – 22001 - … - 22 – 2 – 1 = 22002(2 - 1) – 22001 - …. – 22 – 2 – 1 = 22001(2 - 1) –

22000 - ….- 22 – 2 – 1 = 22(2-1) – 2 – 1 = 2(2 - 1) – 1 = 12. Оскільки число а + 3b + с ділиться на З, то а + с ділиться на З і число AB

ділиться на 3. Двоцифрових чисел, кратних 3 є 30 і до кожного з них можна поставити одну з десяти цифр від 0 до 9, а трицифрових чисел є 30•10 = 300.

3. Ці суми можуть прийняти лише сім різних значень відповідно до них можна застосувати принцип Діріхле.

4. 500кг маси з 85% води містить 15% целюлози, тобто 75кг становитиме 25% у масі з 75% вмістом води. Отже, ця маса = (12•25)кг = 300кг. Тому має випаровуватись (500 - 300)кг = 200кг води.

8 клас

1. (а - 3)3 х =(a – 3)( a + 3)

{a−3≠ 0

x= a+3a−3

{a−3=0x∈ R

Відповідь: якщо a≠ 3, то x= х+3х−3 , якщо a=3 , то x∈R.

2. Ні, не існують, бо 2002 = 2•7•11•13, і тому система відповідних рівнянь

{ y−x=2n ,y+ x=2m+1 цілих розв’язків не має. Інакше, оскільки 2002 є число парне, а парні

повинні бути і співмножниками (у-х)(у+х) = х2 – у2 = 2002, тобто ліва частина ділиться на чотири, п права лише на 2, що неможливо.

3. Якщо сума цифр числа n2(n∈N ) = 2003 , то воно не ділиться на 3, відповідно і число n не ділиться на 3(при діленні на 3 дає остачу 1 або 2). Але тоді n2 при діленні на 3 дає остачу 1. Але остача від ділення на 3 числа 2003 дорівнює 2. Звідси, суми цифр числа, яке є точним квадратом, не може дорівнювати 2003.

4. AB∩CD= X. Тоді кутAXD = 90˚. В трикутнику ABC KM – середня лінія. Тоді KM паралельна AB, KM = 1

2 AB. В трикутнику ABD PN – середня лінія. Тоді PN

паралельна AB, PN = 12 AB. Отже KNMP – паралелограм. Але кут MKP = куту

AXD = 90˚. Тому KNMP – прямокутник і KN = MP.5. Вказівка. Виграє перший, якщо буде ходиш так, щоб після коленого

виправлення розташування плюсів було симетричним відносно середин заданого рядка.

9 клас1. Побудуємо графік даної функції. Тоді, якщо а¿0 , коренів немає . Якщо а = 0, то 2

корені, якщо 0<¿а ¿1, то 4 корені, якщо а= 1, то три корені, якщо а¿1, то 2 корені.2. Розв'язок: 6 •6 • 6• 6 • 2 = 2592. Вказівка. Перші чотири цифри числа можна

написати довільні. Для останньої цифри після цього буде дві можливості: ! або 4, якщо сума попередніх цифр при діленні на 3 дає остачу 2; 2 або 5, якщо ця сума при діленні на 3 дає остачу 1; 3 або 6. якщо сума попередніх цифр ділиться на 3.

3. AB∩CD= E, кут AED = 90˚. Доведемо, що прямокутному трикутнику з кутами 15˚ і 75˚ висота проведена до гіпотенузи дорівнює четвертій частині гіпотенузи.

В ∆ AED О – центр описаного кола лежить на середині гіпотенузи AD. ∆АОЕ – рівнобедрений. Тоді кут АЕО = 15˚, кут АОЕ = 150˚, кут ЕОN = 30˚. Тоді з ∆ ЕО N

(кут N = 90˚) маємо: EN= 12

OE=12 • 1

2 AD= 14 AD. Нехай AD = а, BC = b. Тоді EN

= а4 , ЕМ = b

4 , MN = EN - EM = а−b4 = m

4 . Відповідь: m4

4. Проведемо ОМ перпендикулярну l , М ∈l . ОМ перетинає коло в точці N . Побудуємо квадрат ABCD так, щоб точка М була серединою відрізка АВ і АВ = МN. Проведемо прямі МD і МС. Точка перетину цих прямих з колом – D1, D2 і C1 і C2. Нехай точка М – центр гомотетії з коефіцієнтом k = MD 1

MD . Побудуємо квадрат A1B1C1D1, гомотетичний квадрату ABCD. Тоді A1B1C1D1 – шуканий. Задача має ще одне розв’язання – квадрат A2B2C2D2 гомотетичний даному квадрату ABCD.

5. Нехай хлопців було х, а дівчат було у. Тоді розглянемо діаграму знайомств у вигляді графа. З кожного елемента х0 множини хлопців виходить 10 ліній (знайомства з дівчатами), а з кожного елемента у0 виходить 6 ліній (знайомства з хлопцями). Зрозуміло, що сумарна кількість ліній, що виходять із множини хлопців, має дорівнювати сумарній кількості ліній, що виходять з множини дівчат. Тоді 10х = 6у, 5х = 3у, звідси х повинен ділитися на 3. Враховуючи умову 28≪ х≪32, маємо х = 30 і у = 50. Тоді х+у = 80 дітей у таборі.

Завдання 2-го етапу і Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2003

р.

6 клас

1.На склад надійшло 100кг грибів. Аналіз показав, що в грибах 99% води. Через

деякий час аналіз повторили. Виявилось, що води стало 98% Яка тепер маса грибів?

2.Знайдіть найбільше число, всі цифри якого різні, а їх добуток дорівнює 360.

3.Є сім зовні однакових монет, серед яких п'ять справжніх (всі однакової маси) і дві

фальшиві (однакової маси, але легші за справжні). Як за допомогою двох зважувань

на терезах без гир виділити три справжні монети?

4.На прямій взяли декілька точок. Потім між кожними сусідніми вставили ще по одній

точці. Так можна повторити декілька разів. Чи можна всього одержати: а) 2003

точки; б) 2004 точки?

7 клас

1. Скільки води потрібно долити до 25г 90-відсоткової кислоти, щоб одержати 75-

відсоткову кислоту?

2.Який кут утворює між собою годинна і хвилинна стрілка годинника о 5 год. 48 хв.?

3.У середині тупого кута АОВ провели три промені ОС, ОD і ОЕ, причому ОС

перпендикулярна ОА, ОD - бісектриса куга АОВ, ОЕ - бісектриса кута ВОС. Знайти

міру кута DОЕ.

4.В таксі їдуть п'ять пасажирів. Доведіть, що серед них знайдуться два пасажири, що

мають однакову кількість знайомих серед цих п'яти пасажирів.

8 клас

1. Розкладіть на множники многочлени: х3 + 6х2 + 11х + 6.

2. Нехай АF - медіана трикутника АВС, D - середина відрізка АР, Е - точка перетину

прямої СD зі стороною АВ. Виявилось, що ВD=DF=FС. Доведіть, що АЕ=ЕD.

З Чи можна в таблицю розміром 5x5 записати числа 1,2,...,25 так, щоб у кожному

рядку сума деяких із записаних у ньому чисел дорівнювала сумі решти чисел

цього рядка?

4. Чи існують цілі числа, які задовольняють рівнянню х3 - х = 3у2 +1 ?

5 Десять учнів на олімпіаді розв'язали 35 задач, причому відомо, що серед них є учні,

які розв'язали 1 задачу, які розв'язали 2 задачі і які розв'язали 3 задачі. Довести, що

серед них є учень, який розв'язав не менше п'яти задач.

2-й етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2003 р.

Відповіді та вказівки.

6 клас

1.Відповідь: 50 кг.

2.Відповідь: 95421.

3.Занумеруємо монети 1,2,....7. Першим зважуванням порівняємо монети 1,2,3 з

монетами 4,5,6.

а) Якщо маси однакові, то в кожній трійці є одна фальшива монета, а монета 7—

справжню, тоді наступним зважуванням порівняємо монети і і 2. Якщо їх маси

однакові, то вони справжні, а якщо ні, то важча з монет 1 або 2, монета 3 і монета 7

— справжні:

б)Якщо під час першого зважування переважили монети 1,2 і 3, то всі ці монети

справжні.

4.а) Можна. Візьмемо на прямій 1002 точки і поставимо між ними 1001 точку.

б) Не можна. Продовжуючи процес, весь час будемо отримувати непарну кількість

точок, але 2004 – ЧИСЛО ПАРНЕ.

7 клас

1. Відповідь: 5 г.

2. Відповідь: 114˚

3. Відповідь: 45˚

4. Якщо хтось із пасажирів знає інших чотирьох, то в кожного із п’яти пасажирів

число знайомих не менше одного і не більше чотирьох. Якщо ж немає пасажира,

що знає всіх, то в кожного з п’яти число знайомих 0 і не більше 3. Знову

застосуємо принцип Діріхле.

8 клас

1. х3 + 6х2 + 11х + 6= х3+3•2х2 + 3•4х+8-х-2= (х+2)3 – (х+2)= (х+2)((х+2)2-1)= (х+2)

(х+1)(х+3)

2. Трикутник BDF - рівнобедрений. Кут DВF= куту ВDF= куту ВFD =60° Кут

DFС=120°. Трикутник DFС - рівнобедрений, Кут FDС= куту FCD = 30°; Кути

ADF і FDС - вертикальні, АDЕ=30°; ЕDВ=180°- АDЕ - ВDF = 90° ADB = 120°, ∆

АВD - рівнобедрений, ВАD = АВD=30°. Тоді АDЕ=ЕАD=30° і ∆AED –

рівнобедрений, AE=ED.

3. Не можна, бо тоді сума чисел у кожному рядку, а отже, і в усій таблиці, була би

парною. Але 1+2+...+25=325 - непарне число.

4. (х-1)х(х+1)=3у2+1; (х-1)х(х+1)=: 3, Зу2 +1не ділиться на 3. Отже розв'язків не

існує.

5.Знайдеться 7 учнів, які розв'язали разом 35 - (1+2+3)=29 задач. Оскільки 29>7-4,

то знайдеться учень, який розв'язав не менше 5 задач.

Завдання 2-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2004 р.

6 клас

1. Четверо білочок з’їли 2005 горішків, причому кожна з’їла не менше 100. Перша білочка з’їла більше, ніж інші. Друга й третя з’їли разом 1269 горішків. Скільки горішків з’їла перша білочка?

2. Зафарбуйте декілька клітинок у квадраті 10 10 так, щоб у кожної клітинки було рівно дві сусідні за стороною зафарбовані клітинки.

3. Тетянка сказала: «У Андрійка більше ста книг». Данилко заперечив: «Ні, менше». Марійка сказала: «Ну, хоча б одна книга у нього напевне є». Скільки книг може бути у Андрійка, якщо з цих трьох тверджень рівно одне істинне?

4. Маємо 2004 сірники. За один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до 5 сірників. Грають двоє. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з двох гравців – перший чи другий, може забезпечити собі виграш?

5. Доведіть, що серед довільних 2005 натуральних чисел знайдуться два такі, що їх різниця ділиться на 2004.


7 клас

1. Учора число учнів, присутніх у класі, було у 8 разів більше числа відсутніх. Сьогодні не прийшли ще два учні і виявилося, що кількість відсутніх складає 20% від числа присутніх у класі. Скільки всього учнів у класі?

2. Із записаних чисел 1,2,…,2005 дозволяється будь-які два числа «викинути», а замість них записати різницю їх. Внаслідок многократного повторення цієї операції залишається тільки одне число. Доведіть, що це число не може бути 0.

3. Чи можна прямокутник 8 9 розрізати на прямокутники 1 6?4. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює: а) нулю,

б) одиниці.5. Є 2005 монет, серед яких 1002 фальшиві, які відрізняються за вагою на 1 грам

від справжніх. Вибирають з них довільно одну монету. Чи можна за одне зважування на терезах з двома шальками з’ясувати фальшива вона чи ні? (Можна використовувати гирьки).


8 клас

1. Коло дотикається до сторін кута NMP в точках А і В, а дотична m до цього ж кола перетинає їх в точках K і L. Знайдіть периметр трикутника KМL, Якщо відомо, що KL=16см, АВ=7см і АВМ=60 .

2. Числа 22004 і 52004 записані одне за одним і утворюють нове число. Скільки цифр при цьому було використано.

3. По колу написано n натуральних чисел. Між кожними двома сусідніми числами вписується їх найбільший спільний дільник. Після цього попередні числа стирають, а із числами, що залишились , виконують ту ж операцію. Доведіть, що через декілька кроків всі числа на колі будуть рівні.

4. Відомо що для простого числа р>3 число рk, записується 20-ма цифрами. Довести, що принаймні три його цифри однакові.

5. Побудувати прямокутний трикутник за сумою катетів і гіпотенузою.


9 клас

1. Розв’язати рівняння .( означає найбільше ціле число, що не перевищує х.).

2. Троє грають в таку гру. Кожний по черзі кладе на круглий стіл п’яти копійчані монети, монети можуть торкатися, але не повинні накладатися одна на одну. Програє той, чия монета не вміститься на столі. Довести, що перший та третій (за порядком ходів) гравці можуть так змовитись, що другий гравець завжди програватиме.

3. У колі проведено два радіуса. Побудуйте хорду, яка ділиться цими радіусами на три рівні частини.

4. Найти всі пари (х;у) цілих чисел, які є розв’язками рівняння .

5. Визначити дві останні цифри числа 22004.6. Тисяча точок є вершинами опуклого тисячокутника, всередині якого взято 503

точки так, що жодні три із 1503 точок не лежать на одній прямій. Многокутник розрізають на трикутники, вершинами яких є задані 1503 точки. Скільки трикутників отримаємо?


10 клас

1. Знайдіть а, при яких відстань між вершинами парабол і

менша .

2. Розв’язати нерівність .( означає найбільше ціле число, що не

перевищує х, ).3. У квадраті з площею 6 розташовані з прямокутника, кожний із площею 3.

Довести що площа спільної частини принаймні двох із прямокутників не менша 1.

4. Троє грають в таку гру. Кожний по черзі кладе на круглий стіл п’яти копійчані монети, монети можуть торкатися, але не повинні накладатися одна на одну. Програє той, чия монета не вміститься на столі. Довести, що перший та третій (за порядком ходів) гравці можуть так змовитись, що другий гравець завжди програватиме.

5. Побудувати трикутник, знаючи його сторону, протилежний кут і висоту, яка проведена до іншої сторони.

6. Нехай , а . Знайти .Завдання 2-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2004 р.

11 клас

1. Розв’язати рівняння .( означає найбільше ціле число, що не

перевищує а, ).2. Довжини сторін чотирикутника, який описано навколо кола радіуса r,

утворюють геометричну прогресію. Обчисліть площу цього чотирикутника, якщо один з його кутів дорівнює .

3. На колі взято n точок і проведено всі можливі хорди, що сполучають ці точки. Відомо, що жодні три з проведених хорд не перетинаються в одній точці. На скільки частин розіб’ється круг?

4. Нехай , а . Знайти .5. Застосовуючи теорему косинусів, знайти найменше значення виразу:

.6. Одну з вершин правильного 2004 – кутника пофарбовано у чорний колір, а

решту його вершин – у білий. За один крок дозволяється вибрати будь-яку зафарбовану у чорний колір вершину та змінити колір на протилежний у неї та ще у двох сусідніх із нею вершин. Чи можливо за декілька зазначених кроків перефарбувати всі вершини даного 2004 – кутника у білий колір?



6 клас

1. Відповідь. 636. Оскільки перша білочка з’їла найбільше горішків, а друга і третя з’їли 1269 горішків, то перша білочка з’їла не менше 636 горішків. Оскільки четверта білочка з’їла не менше 100 горішків, то перша з’їла не більше, ніж 2005– 1269 – 100 = 636 горішків. Отже, перша білочка з’їла 636 горішків.

2.

3. Можливі три випадки: правду сказала або Тетянка або Данилко, або Марійка. Якщо правду сказала Тетянка, то Марійка теж сказала правду, що суперечить умові. Отже, цей випадок не можливий. Якщо правду сказала Марійка, то Тетянка і Данилко повинні сказати неправду. Це можливо, якщо у Андрійка рівно 100 книг. Якщо правду сказав Данилко, то твердження Тетянки і Марійки невірні. Це можливо, якщо у Андрійка книг немає. Відповідь: 0 або 100.

4. Відповідь: другий (він має доповнювати ходи першого гравця до 6 сірників).

5. При діленні числа на 2004 остача може дорівнювати 0,1,2,…, 2003 – всього 2004 різних варіантів. Тому, за принципом Діріхле, серед 2005 чисел знайдуться принаймні два, які дають однакову остачу при діленні на 2004, а їх різниця буде ділитися на 2004 без остачі.

7 клас

1. Відповідь:36.

2. Серед початкових чисел – непарних чисел непарна кількість. При кожному перетворенні кількість непарних чисел або лишається незмінною, або зменшується на 2. Тому останнє число неодмінно непарне.

3. Розв’язання

1 2 3 4 5 6 1 2 3

2 3 4 5 6 1 2 3 4

3 4 5 6 1 2 3 4 5

4 5 6 1 2 3 4 5 6

5 6 1 2 3 4 5 6 1

Розфарбуємо прямокутник у 6 кольорів так, як показано на рисунку. Якби таке розрізання було б можливим, то кожен прямокутник 1 6 мав би по одній клітинці кожного кольору і тоді клітинок кольору №2 мало б бути 72:6=12.Неважко порахувати, що насправді таких клітинок маємо 13. Отже, таке розрізання не можливе.

6 1 2 3 4 5 6 1 2

1 2 3 4 5 6 1 2 3

2 3 4 5 6 1 2 3 4

4. а) Легко бачити, що кожне з цих чисел дорівнює 1 або –1. Для того, щоб їх добуток дорівнював додатному числу 1, треба, щоб кількість від’ємних множників була парною. З іншого боку, сума може дорівнювати, нулю, якщо кількість чисел (–1 ) дорівнює кількості чисел 1, тобто 11. Але 11 – число непарне. б)Нехай сума дорівнює 1. Кількість додатних доданків дорівнює n, кількості від’ємних доданків дорівнює 22–n. Тоді 1∙n–1(22– n) =1, тобто 2n–22=1, але 2n і 22 – парні числа. Тому їх різниця не може бути непарною.

5. Відкладемо вибрану монету, а решту порівну кладемо на шальки за допомогою гирьок домагатимуся рівноваги. Якщо відібрано справжню монету, то для цього необхідна парна кількість грамів, а інакше – непарна.

8 клас

1. Відповідь: 46 см.

2. Нехай при десятковому записі числа 22004 було використано n цифр, а числа 52004 – m

цифр, тобто , . Тоді перемноживши данні нерівності,

отримаємо , звідси

n+m–1=2004 і n + m=2005.

3. Якщо не всі числа на колі рівня ,то після виконання вказаної операції сума всіх n чисел зменшується (оскільки між кожними різними двома числами запишеться число, не більше, ніж найменше у парі). При цьому ця сума зменшиться на натуральне число. Але вона не може зменшуватись нескінченно, оскільки найменше можливе значення цієї суми не менше, ніж n. Отже, на якомусь кроці вказана сума перестане змінюватися. Це й означає, що всі числа на колі рівні.

4. Жодні три цифри числа рk не будуть однаковими лише тоді, коли кожна цифра буде використана двічі. Але тоді сума його цифр повинна дорівнювати 2∙(0+1+2+…+9)=90 і тому таке число має ділитись на 3. Але якщо просте число р>3, то рk не ділиться на 3.

5. Аналіз. Продовжимо один з катетів від прямого кута так, щоб одержати суму катетів. З’єднаємо одержану точку з третьою вершиною прямокутного трикутника.

Одержимо трикутник, у якого один кут 45 і відомі дві сторони. Його можна побудувати, отже можна побудувати шуканий трикутник.

9 клас

1. Оскільки +1, то 3≤3х<5. Тому розв’язки рівняння

знаходяться на проміжку . Тоді , , звідки 2≤2х<3. Отже, .

2. Першим ходом перший гравець сумістить центр столу і центр монети. Після довільного ходу другого гравця третій гравець покладе свою монету на місце, яке

утвориться після повороту монети другого гравця на 120 за годинниковою стрілкою

відносно центру столу, а потім перший – на 120 проти годинникової стрілки.

3. Нехай ОА і ОВ – два даних радіуса. Продовжимо відрізок АВ в обидві сторони так, що АС=ВD=АВ. ОС і ОD перетинає коло в точках Е і F. Очевидно що ЕF – шукана хорда (використовується гомотетія).

4. З умови випливає, що х і у – натуральні числа. Зведемо рівняння до

спільного знаменника і помножимо його на . Отримаємо рівняння

. Ліва частина сума невід’ємних чисел, то кожен доданок не

більше 5. З умови і , найдемо , що х≤5; у≤5. Підбором знаходимо пари чисел (1;2) і (2;1), які задовольняють дане рівняння.

5. Переформулюємо задачу інакше: знайти остачу від ділення числа 22004 на100. Знайдемо послідовно остачі від ділення на 100 чисел вигляду 2n . Вона має вигляд:2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4,…. Бачимо, що починаючи з другої остачі4 для n=22, остачі від ділення повторюються періодом 20. Оскільки 2004 при діленні на 20 дає остачу 4, то останні дві цифри числа 22004 такі ж, як дві остання цифри числа 2n, тобто 1 та 6.

6. Нехай n – число трикутників. Зауважимо, що , де в правій частині рівності перший доданок дорівнює сумі внутрішніх кутів тисячокутника. Звідси n=2004.

10 клас

1. Абсциса вершини параболи , а ордината . Для другої параболи

, . Тоді відстань між вершинами цих парабол =

. Враховуючи умову, отримали, що а є розв’язком нерівності

. Підкореневий вираз і права частина нерівності – додатні. Тому

підносячи обидві частини нерівності до квадрату, отримаємо , звідки

. Оскільки ,то наша нерівність рівносильна нерівності

. Тому .

2. Запишемо нерівність у вигляді . Оскільки , тобто ,

то шукані х повинні задовольняти умові . При цьому очевидно, що всі

значення х, при яких є розв’язками нашої нерівності і тоді х<5. Розглянемо

випадок коли . Тоді 1≤х–4<2, 5≤х<6. При цьому , . Тоді

і .

Відповідь: .

3. Нехай S12, S13, S23 – відповідно площі спільних частин першого і другого, першого і третього та другого і третього прямокутників. Тоді разом ці прямокутники покривають площу, не меншу за 3∙3 – (S12+ S13+S23), де 3∙3 = 9 – сума площ даних прямокутників (величину S12+ S13+S23 слід відняти, щоб не враховувати двічі площі спільних частин). Оскільки всі три прямокутники помістились у квадраті з площею 6, то 9 – (S12+ S13+S23) ≤ 6. Тому S12+S13+S23≥3. А отже, принаймні одне з чисел S12+S13+S23

не менше 1.

4. Першим ходом перший гравець сумістить центр столу і центр монети. Після довільного ходу другого гравця третій гравець покладе свою монету на місце, яке

утвориться після повороту монети другого гравця на 120 за годинниковою стрілкою

відносно центру столу, а потім перший – на 120 проти годинникової стрілки.

5. Будуємо ГМТ, з яких основу видно під даним кутом (цьому ГМТ належить шукана вершина трикутника, далі будуємо ГМТ, з яких основу видно під прямим кутом

(півколо) і з вершини при основі радіусом, який дорівнює висоті, проводимо дугу до перетину з цим півколом – одержимо основу висоти на бічній стороні. Подальша побудова очевидна.

6. Відповідь. 2004. , а , то .

11 клас

1. Дане рівняння рівносильне сукупності систем:

або звідки маємо ,

.

2. У описаного чотирикутника суми протилежних сторін рівні. Виходячи з цього, легко довести, що знаменник геометричної прогресії дорівнює 1. Отже даний чотирикутник ромб.

3. Сполучимо послідовно точки, взяті на колі, хордами і підрахуємо, на скільки частин розбивається діагоналями утворений n – кутник. Для цього діагоналі будемо проводити послідовно. Після проведення кожної діагоналі число частин збільшується на число, яке на одиницю більше від числа точок перетину, що з’являються після

проведення однієї діагоналі. Число всіх діагоналей n–кутника дорівнює . А

число точок перетину діагоналей n–кутника дорівнює . Отже,

круг розіб’ється на частини.

4. Відповідь. 2004. , а , то .

5. Розглянемо рівнобедрений прямокутний трикутник, у якого катет дорівнює 1, а на промені, який ділить прямий кут на 30 і 60 .Відкладемо відрізок х. Тоді відповідний

відрізок є довжиною ламаної, яку утворюють відрізки, які лежать напроти кутів у 30 і 60 . Тоді зрозуміло, що довжина цієї ламаної мінімальна, коли це відрізок прямої, тобто гіпотенуза прямокутного трикутника зі стороною 1. Тому найменше значення

виразу – .

6. Легко бачити, що після кожного перефарбування кількість чорних вершин змінюється на парне число. Тому, якщо вказане перефарбування можливе, то воно складається з непарного числа кроків. Позначимо А1, А2,…, А2004, починаючи з вершини А1 чорного кольору. Нехай аk – кількість тих кроків, при яких центром зміни

кольорів була вершина Аk. Тоді – це загальна кількість всіх кроків

і вона, згідно доведеного, має бути непарним числом. Але +

+…+ . Тут у кожних дужках суми трьох записаних доданків співпадають із загальною кількістю змін кольорів відповідно у вершинах А2, А5,…, А2003.Оскільки у них і спочатку, і в кінці колір буде білим, то кожна з цих сум, а з ними і S,є парною. Одержане протиріччя доводить неможливість вказаного перефарбування.


6 клас

6. Знайдіть значення дробу ,де різні букви – це різні цифри, між буквами стоїть знак множення.

7. Вчитель написав на листку паперу число 20. Тридцять три учні передають листок один одному, і кожен за бажанням додає або віднімає від числа одиницю. Чи може в результаті одержатись число 10?

8. голодні Вінні-Пух і П’ятачок з’їли мед із горщика і стали ситими. Відомо, що мед із горщика легший від голодного П’ятачка, а ситий Вінні-Пух важить стільки ж, скільки два голодних П’ятачка. Хто важить більше: голодний Віні-Пух чи ситий П’ятачок? Не забудьте обґрунтувати свою відповідь.

9. В школі, де вчиться більше 225, але менше 245 учнів, частина учнів є відмінниками, а інші хорошистами. Після складної контрольної роботи 2/7 відмінників стали хорошистами, а хорошити так і залишились хорошистами за винятком одного чоловіка, який став трієчником. При цьому хорошистів і відмінників стало порівну. Скільки учнів могло бути в школі? Наведіть усі можливі варіанти відповіді.

7 клас

1. З пунктів А і В одночасно виїхали назустріч друг другу два велосипедиста і зустрілись в 70 км від А. В кінцевих пунктах вони відпочивали по годині і виїхали назад з тими ж швидкостями. Друга зустріч відбулася в 40 км від А. Знайдіть відстань від А до В.

2. Як розрізати хрест, який утворюють п’ять рівних квадратів (грецький хрест) на п’ять (або чотири) частин так, щоб з цих частин можна було б скласти квадрат?

3. Відомо, що з чотирьох однакових на вигляд кілець одне відрізняється від інших, але не відомо, на скільки. Як знайти його не більш як за два зважування на шалькових терезах без гир?

4. Чи можна попарно з’єднати 19 телефонів так, щоб кожен з них був з’єднаний рівно з 13 іншими?

5. Василь задумав чотиризначне число і написав остачі від ділення цього числа на 2, на 3, … ,на 101 (всього 100 остач). Чи можливо, щоб серед виписаних чисел виявилось не менше 20 сімок?

8 клас

1. Сума цифр натурального числа дорівнює 2006. Може це натуральне число бути точним квадратом.

2. Дано опуклий чотирикутник АВСД. Серединні перпендикуляри до діагоналей ВД і АС перетинають сторону АД в точках Х і У відповідно, причому Х лежить між А та У. Виявилось, що прямі ВХ і СУ паралельні. Доведіть, що прямі ВД і АС перпендикулярні.

3. Дано . Доведіть, що .4. В трикутнику АВС А=60°. На променях ВА і АС відкладені відрізки ВХ і СУ,

що дорівнюють стороні ВС. Доведіть, що пряма ХУ проходить через точку перетину бісектрис трикутника.

5. На колі довжиною 101 см відмічена 101 точка. Відмічені точки ділять коло на рівні дуги. Петрик поставив в одну з цих точок фішку і рухає її за таким правилом: за один хід можна перемістити фішку за годинниковою стрілкою на 6, 7, 8, 9 або 10см (відстань вимірюється по колу), при цьому фішка повинна опинитися у відміченій точці, в якій ще ні разу не була. Петрик уже зробив 45 ходів. Доведіть, що він зможе зробити ще один хід.

9 клас

1. Розв’язати рівняння: .2. Навколо трикутника PQR описано коло, RS – дотична, проведена до нього в

точці R. На прямій PQ вибрали точку Т, щоТRP = PRS. Доведіть, що

. 3. На відрізку АЕ лежить точка С. По один бік від прямої АЕ побудовані

рівносторонні трикутники АВС і СДЕ. М і Р – середини відрізків АД і ВЕ. Доведіть, що трикутник СРМ рівносторонній.

4. Про додатні числа відомо, що . Доведіть, що

.5. Семеро шукачів скарбів ділять скарб, який складається з 55 золотих виробів

вагою 306 г, 307 г, 308 г, ..., 359 г, 360 г відповідно. Кожний з шукачів буде

задоволений, якщо йому дістанеться не менше 2,5 кг золота. Чи можуть шукачі скарбів розділити скарб так, щоб кожен з них залишився задоволеним?

10 клас

7. Розв’яжіть рівняння .8. Серединні перпендикуляри до діагоналей ВД і АС вписаного чотирикутника

АВСД перетинають сторону АД в точках Х і У відповідно. Доведіть, що середина сторони ВС рівновіддалена від прямих ВХ і СУ.

9. У просторі дано три попарно мимобіжні прямі та . Побудуйте пряму паралельну , так щоб вона перетинала та .

10.Доведіть, що для всіх виконується нерівність .11.Знайдіть всі функції такі, що при всіх виконується рівність

12.Квадрат розміром 40 40 кліток розбили на прямокутники 1 4. Для кожного вертикального прямокутника написали номер стовпчика, в якому він лежить, а для кожного горизонтального – номер рядка, в якому він лежить. (Рядки і стовпчики пронумеровані числами від 1 до 40). Доведіть, що сума всіх написаних чисел ділиться на 4.

11 клас

1. Розв’язати нерівність:

2. Дотична в точці А до описаного кола трикутника АВС перетинає продовження сторони ВС за точку В в точці К. Точка L – середина АС, а точка М на відрізку АВ така, що АКМ=СКL. Доведіть, що МА=МВ.

3. Всі плоскі кити тригранного кута прямі. Перерізом цього тригранного кута деякою площиною є трикутник. Доведіть, що цей трикутник гострокутний.

4. Для довільних дійсних чисел доведіть нерівність .

5. Знайдіть всі функції такі, що при всіх виконується рівність .

6. Двоє грають у таку гру. Є дві купки цукерок. Гравці по черзі роблять ходи. Хід полягає в тому, що гравець з’їдає одну з купок, а другу ділить на дві (не обов’язково рівні) частини. Якщо він не може розділити купку, оскільки в ній всього одна цукерка, то він її з’їдає і виграє. На початку в купках було 33 і 35 цукерок. В кого з двох гравців є виграшна стратегія?



6 клас

1. Різних букв десять, то серед них є і 0. Але на 0 ділити не можна, то нуль стоїть у чисельнику дробу, тому дріб дорівнює нулю.

2.Відповідь:ні. Вказівка: врахуйте парність.

3. Відповідь: голодний Вінні-Пух важить більше.

4. Відповідь: 231 або 241. Розділимо всіх відмінників перед контрольною на 7рівних груп. Можна вважати, що після контрольної 2 з цих груп стали хорошистами, а інші 5 – залишились відмінниками. Тоді хорошистів у школі стало також рівно 5 груп. Разом кількість відмінників і хорошиств ділиться на 10. Таким чином, з урахуванням трієчника, кількість учнів може бути 231 або 241.

7 клас

1. До першої зустрічі вони проїхали АВ, до другої – 3АВ. Тому один проїхав до другої зустрічі 70 км ∙3=210 км. Проїхавши ще 40 км, він проїхав би 2АВ. Тому АВ = 125 км.

2. Розв’язок. Дивись малюнок.

3. Вказівка: покладіть спочатку на шальки по 1 кільцю.

4. Неможна. Загальне число всіх з’єднань визначається так: 19∙13/2. Але це дробове число.

5. Відповідь: можливо. Для цього досить знайти число, у якого богато двозначних дільників, і додати до нього 7. Наприклад, 5047=7!+7. Дійсно, число 7! Має достатню кількість двозначних дільників: 14,21,28,35,42,56,63,70,84,12,24,36,48,60,72,10,20,30,40,60,80,90.

8 клас

1. Ні. Воно не ділиться на 3. Квадрат натурального числа , котре не ділиться на 3, повинен мати вид 3а +1, а дане число має вид 668∙3+2.

2. Серединний перпендикуляр до діагоналі ВД є бісектрисою кута ВХД. Аналогічно, другий серединний перпендикуляр – бісектриса кута АУС.

Із паралельності прямих ВХ і СУ випливає, що ці серединні перпендикуляри перпендикулярні один одному.. Справді, ВХУ + ХУС= 180°. Нехай М – точка перетину цих перпендикулярів. Тоді МХУ+ХУМ=90°. Значить, ХМУ=90°, тобто МХ МУ. А оскільки перпендикуляри до діагоналей перпендикулярні, то й самі діагоналі АС і ВД також перпендикулярні.

3. = = .

4. Позначимо точку перетину бісектрис трикутника АВС через І. Зауважимо, що СІВ=ХІВ, СІВ=СІУ. Але СІВ=180°– ІВС– ІСВ=180°–1/2(АВС+АСВ)=120°. Звідки СІХ= СІУ=120°. Тому точки І,Х,У лежать на одній прямій.

5. Занумеруємо точки по колу числами від 0 до 100. Нехай Петрик стоїть в нульовій точці. Якщо Петрик не зможе зробити хід, то він уже був у 6-й, 7-й, …, 10-й точках. Очевидно, що знаходячись в довільній з цих п’яти точок, Петрик не зможе відразу перейти в яку-небудь іншу з цих п’яти точок (всі вони розташовані занадто близько одна від одної), значить, він зможе попасти в цю іншу точку, тільки, якщо виконати один оберт по колу. Значить, при русі фішка вже зробила 4 повних оберти і ще один майже повний, тобто фішка пройшла не менше 494 см. Значить, вона зробила не менше, ніж 49 ходів, що невірно

9 клас

1. Модуль добутку дорівнює добутку модулів. Тому дане рівняння рівносильне

рівнянню ;

; це можливо або при рівності підмодульних виразів, або в випадку коли сума цих виразів дорівнює нулю. В першому випадку дійсних коренів не має, в

другому х1=0; х2=–3,5; х3=–7.

2. Кути PRS і RQP рівні, оскільки кожен з них дорівнює половині дуги RP. Отже, ∠

TRP= ∠PQR і RPT QRP за двома кутами. Тому RPQP

= PTRP .

3. Розглянемо поворот на 60∘ відносно точки С. Він переводить точку Е в точку Д,

точку В в точку А. Тому відрізок АД, а отже, точка Р у точку М. Тому СРМ рівносторонній.

4. З умови бачимо, що аb= 1

с , bс=1

a ,сa=1

b . Тому перепишемо нерівність у вигляді

1+ 1c

1+b+

1+ 1a

1+c+

1+ 1b

1+a≥3

, або . Застосуємо нерівність Коші.

Тоді =

5. Відповідь. Ні. Всього виробів 55 і це менше, ніж 78=56. Отже, хтось з них одержить 7 виробів, але вага семи найбільших з них 360+359+...+354 = ((360+354)/2)7 = 2499 (г). Отже, шуканий розподіл неможливий.

10 клас

1. Перепишемо наше рівняння у вигляді , або

. Розв’яжемо це рівняння як квадратне відносно .

Тоді .Перше рівняння сукупності розв’язків не має, а друге має розв’язки

1± .

Відповідь: 1± .

Досить довести , що ХВС=ВСУ.(Тоді прямі ВХ, СУ, ВС визначають рівнобедрений трикутник з основою ВС і Тому прямі ВХ і СУ рівновіддалені від середини відрізка ВС). Зауважимо, що ХВД=ХДВ, а оскількиХДВ=АСВ (бо спираються на

одну дугу), то ХВД=АСВ. Аналогічно УГДВС=УГУСА. Тому ХВД+ДВС=АСВ+УСА. Отже ХВС=ВСУ.

3.Через пряму b проведемо площину β, паралельну до прямої l. Якщо К – точка перетину площини β і прямої а, то пряма, яка проходить через точку К і паралельна до

прямої l, є шуканою. Якщо , то задача розв’язку не має.

4.За нерівністю Коші, .

5.Відповідь: . Покладемо х=у=0 Тоді 2005 = , звідки =0.

Покладемо у=–х, 2005х= . Тоді 2005 = , звідки .Перевірка показує, що функція задовольняє умову задачі.

6. Розставимо в квадраті числа 0,1,2 і 3, як показано на малюнку. Як би не був розташований прямокутник , він покриває одне число, причому це число точно

дорівнює остачі від ділення на 4 написаного на прямокутнику числа. Якщо ж прямокутник покриває чотири числа, то їх сума при діленні на 4 дає остачу 2, і таку ж остачу дає при діленні на 4 число, записане на прямокутнику. Отже, сума записаних на прямокутниках чисел має ту саму остачу при діленні на 4, що й сума чисел, записаних у клітинках квадрата, а вона дорівнює 1000.

1 1

1 2 3 0 1 2 3 0

3 3

0 0

1 1

1 2 3 0 1 2 3 0

3 3

0 0

11 клас

1. Розв’язок.

; ; ; х Ø. Відповідь: хØ.

2. Трикутники САК і АВК подібні, оскільки К у них спільний і КСА=КАВ як вписаний кут, що спирається на дугу АВ, і кут між хордою АВ і дотичною. Оскільки АКМ=СКL, то відрізки КL і КМ – відповідні елементи в трикутниках САК і АВС. При цьому КL – медіана.

Значить, КМ – також медіана і МА=МВ.

3. Нехай а,b,c– довжини сторін даного трикутника, х,у,z – довжини відрізків, які

відтинає ця площина від тригранного кута тоді , , .

Звідки , ,

. Додатність правих частин рівностей рівносильна гострокутності трикутника.

4. Розглянемо вектори та . Тоді =

= . Розглянемо тепер вектори та .

Тоді = . Звідки випливає необхідна нерівність.

5. Покладемо у=0. Тоді , звідки . Покладемо у=–1. Тоді

, звідки . Позначимо . Тоді

. Перевіркою встановлюємо, що всі ці функції задовольняють умову.

6. Першим ходом перший гравець з’їсть купку в 33 цукерки, а другу розділить на купки в 17 і 18 цукерок. В подальшому він має грати так, щоб залишати другому гравцю в обох купках 2к+2 або 5к+3 цукерок. Таким чином, другий гравець вимушений буде ділити купку в 2 або в 3 цукерки і програє.


6 клас

1. Як можна відміряти 9 хвилин за допомогою пісочних годинників на 5 хвилин та на 7 хвилин?

2. Сума 2008 цілих чисел непарна. Довести, що добуток цих чисел парне число.3. 7 листів паперу розрізали на 5 частин, потім деякі листи із загальної купи знову

розрізали на п’ять частин і т.д. Коли підрахували, то вийшло 2008 шматків паперу. Чи правильно зроблено підрахунок?

4. Голодні Малюк і Карлсон з’їли торт і стали ситими. Відомо ,що голодний Карлсон легший від ситого Малюка, а ситий Карлсон важить стільки ж, скільки два голодних Малюка. Що важить більше: торт чи голодний Малюк? Чому?

7 клас

1. В двох бочках було води порівну. Кількість води в першій бочці спочатку зменшили на 10%, а потім збільшили на 10%. Кількість води в другій бочці спочатку збільшили на 10%, а потім зменшили на 10%. В якій бочці стало більше води?

2. Чи існує тризначне число, яке дорівнює добуткові своїх цифр?3. Голодні Малюк і Карлсон з’їли торт і стали ситими. Відомо ,що голодний

Карлсон легший від ситого Малюка, а ситий Карлсон важить стільки ж, скільки два голодних Малюка. Що важить більше: торт чи голодний Малюк? Чому?

4. Чи може жучок обійти всі білі квадратики шахівниці, жодного разу не ступивши на чорне поле і жодного разу не пройшовши одне й теж саме біле поле двічі?

5. Як можна відміряти 9 хвилин за допомогою пісочних годинників на 5 хвилин та на 7 хвилин?

8 клас

1. Довести нерівність .2. В двох колах, які дотикаються зовнішньо одне до одного, проведено взаємно

паралельні діаметри. Довести, що пряма, яка сполучає протилежні кінці діаметрів, пройде через точку дотику кіл.

3. Семеро піратів хочуть розділити скарб, який складається з 55 золотих злитків вагою 306г, 307г, … , 359г, 360г відповідно. Кожен з піратів буде задоволеним, якщо йому дістанеться принаймні 2,5 кг золота (і ні на грам менше). Чи можуть пірати розділити скарб, не розпилюючи злитки так, щоб кожен був задоволений?

4. Нехай m і n – такі цілі числа, що ділиться на 11. Доведіть, що ділиться на 11.

5. Число записане у вигляді скінченого десяткового дробу. Яка цифра у нього стоїть на четвертому з кінця місці?

9 клас

1. Розв’язати рівняння .2. Два квадрата розташовані так, як показано на малюнку. Нехай точка М –

середина відрізка АВ, а точки О1 і О2 – центри квадратів. Доведіть, що відрізки МО1 і МО2 рівні і знайдіть кут між ними.

3. Розв’язати нерівність: .4. В лісі росли сосни, кедри та ялинки, причому на всіх деревах

було порівну шишок. Подув легкий вітерець, і декілька шишок упало на землю. виявилось , що з кожної сосни упало рівно11% її

шишок, з кожного кедра – рівно 54%, а з кожної ялинки – рівно 97%. При цьому з усіх дерев разом упало рівно 30% усіх шишок. Доведіть, що кількість дерев у лісі ділиться на 43.

5. Дано прямокутну дошку розміром 3 х 7 клітинок. Чи може шаховий кінь, починаючи з якого-небудь кутового поля цієї дошки обійти всі клітинки за шаховими правилами, побувавши в кожній клітинці тільки один раз і останнім ходом стати знову в кутову клітинку (можливо початкову)?

10 клас

1. Розв’язати рівняння: .2. На стороні квадрата зовні побудовано прямокутний трикутник, гіпотенуза якого

збігається зі стороною квадрата. Довести, що бісектриса прямого кута цього трикутника поділяє площу квадрата навпіл.

3. Знайдіть всі функції визначені на множені дійсних чисел, для яких при всіх дійсних х, і у виконується рівність .

4. Знайдіть всі пари (х,у) цілих чисел х и у, які задовольняють системі нерівностей:

5. Натуральне число поділили з остачею на 10, 35 і 42. Виявилось, що сума остач від ділення на 35 і 42 дорівнює остачі від ділення на 10. Доведіть, що число – складне.

11 клас

1. Розв’язати рівняння: .2. Доведіть, що три точки, симетричні точці перетину висот трикутника відносно

трьох його сторін, лежать на описаному колі.3. Знайдіть всі функції визначені на множені дійсних чисел, для яких при всіх

дійсних х, і у виконується рівність .4. Чи існують цілі числа m і n такі, що

.5. В основі піраміди лежить правильний многокутник. В кожній вершині піраміди

розташовані по одному цілі числа, причому сума чисел, які стоять у вершинах довільної грані, дорівнює 2007, а сума чисел в вершинах основи дорівнює 2008. При якому найменшому числі вершин при основі піраміди це можливо? Знайдіть відповідні числа у вершинах.

2-й етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2007 р.Відповіді та вказівки.

6 клас

1. Встановлюємо обидва годинники і, коли пройде 5 хвилин, перевертаємо п’ятихвилинний годинник, а потім, коли закінчить йти семихвилинний годинник, п’ятихвилинний потрібно перевернути знову, і чекати поки він знову зупиниться. Таким чином відмірюється 9 хвилин.

2. Якби всі 2008 чисел били непарні, то їх сума була б парним числом, оскільки доданків парне число. Але за умовою їх сума непарна. Отже, серед доданків є хоча б один парний. Але тоді добуток цих чисел – теж парне число.

3. Ні, неправильно. Кожне розрізання збільшує кількість кусків паперу на 4. Тому після к розрізань ми повинні одержати 7+4к=2008. Звідки витікає, що к не є цілим, що суперечить умові.

4. Відповідь: торт важить більше ніж голодний Малюк.

7 клас

1. Позначимо початкову кількість води в кожній з двох бочок через а. В першій бочці після зменшення кількості води на 10% її стало 0,9а; після збільшення на 10% води стало 0,9а + 0,09а = 0,99а. 2. Припустимо, що існує тризначне число , для якого виконується рівність

. Маємо . Тоді . Отже, . Але

та – цифри, тому і . Одержане протиріччя показує, що такого трицифрового числа не існує.

3. Відповідь: торт важить більше ніж голодний Малюк.

4. Може. Один з можливих маршрутів наведено на малюнку.

5. Встановлюємо обидва годинники і, коли пройде 5 хвилин, перевертаємо п’ятихвилинний годинник, а потім, коли закінчить йти семихвилинний годинник, п’ятихвилинний потрібно перевернути знову, і чекати поки він знову зупиниться. Таким чином відмірюється 9 хвилин.

8 клас

1. Оскільки , то

підсумовуючи ліві та праві частини нерівностей, отримаємо

.

2. Точки О, Е, О1 належать одній прямій ∠ВОЕ =∠ЕО1С. З рівнобедрених трикутників ОЕВ і ЕО1С випливає, що ∠ОЕВ =∠ О1ЕС, а це означає, що точки В,Е,С належать одній прямій.

3. Не можуть. Хтось з піратів обов’язково одержить не більше 7 злитків. Але вага 7 навіть найважчих злитків 360 + 359 + 358 + … + 354 = 2499(г) < 2,5(кг).

4. , тому на 11 ділиться . Оскільки 11 просте

число, то на 11 ділиться і . Отже, також ділиться на 11.

5. Оскільки , то досить знайти четверту з кінця цифру числа

. Виконаємо послідовно декілька множень числа 2007 на 5. 1) 2007∙5=…0035; 2)…0035∙5=…0175; 3)… 0175∙5=…0875; 4)…0875∙5=…4375; 5)…4375∙5=…1875; 6)…1875∙5=…9375; 7)…9375∙5=…6875; 8)…6875∙5=…4375; 9)…4375∙5=…1875. Як бачимо, далі будуть повторюватись останні цифри 9375, 6875, 4375 і т.д. Період

повторення –4. Тепер неважко побачити, що результат 2007-го множення буде закінчуватися на 6875. Відповідь: 6.

9 клас

1. ; ; . Після заміни

одержимо: , звідки ; маємо

; ; тоді і . Дискримінант

першого рівняння від’ємний, а з другого рівняння маємо: ;

.

2. Вказівка. З’єднаємо центри квадратів з вершинами і опустимо з них перпендикуляри на основи. Тепер можна довести, що прямокутні трикутники О1Р1М і МР2О2 рівні. Тому рівні їх гіпотенузи О1М і МО2, і кут між ними прямий.

3. Перепишемо дану нерівність у вигляді . Оскільки , то

. Тому шукані х повинні задовольняти умову . При цьому

очевидно, що всі значення х, при яких , є розв’язками нашої нерівності, тоді

. Розглянемо тепер випадок, коли . Тоді , .

при цьому , , . Відповідь: .

4. Нехай m, n, k –кількість сосен, кедрів та ялин відповідно. Тоді

. Віднімемо від обох частин :

. Тепер видно, що і справді ділиться на 43.

5. Ні (див. малюнок). Оскільки у клітинку В можна потрапити тільки через клітинку А, але і вийти з неї можна тільки через

клітинку А. Але ця клітинка не може бути кінцевою. Отже, шуканий маршрут коня неможливий.

10 клас

1. Оскільки , а , то рівняння

рівносильне системі , звідки .

2.Якщо АВСД – даний квадрат, а ВМС – прямокутний трикутник, то коло , яке описано навколо трикутника ВМС, проходить через точку О – центр квадрата. А оскільки ВО=ОС, то й бісектриса кута ВМС також проходить через т. О. Отже, вона поділяє площу квадрата навпіл.

3. Покладемо х = у = 0. Тоді . Покладемо у=0. Тоді , тобто

. Перевірка показує, що ця функція задовольняє рівність.

4. Запишемо перше рівняння системи у такому вигляді: . Звідки

витікає, що і в цілих числах можуть приймати значення 0 або 1. Розв’язуючи відповідні системи рівнянь і виконуючи перевірку другої нерівності,

одержимо такі розв’язки: або .

5. Остачі від ділення на 35 і на 42 відрізняються на число, кратне 7. При цьому їх сума не перевищує 9. Якщо ці остачі дорівнюють одна одній, то остача від ділення на 10 парна, і саме ділиться на 2. Значить, ми маємо справу з парою остач (0;7) – тоді початкове число ділиться на 7 або (1;8) – тоді остача від ділення на 10 дорівнює 9. Залишилось відмітити, що останній випадок неможливий, оскільки остачі від ділення на 10 і на 35 відрізняються на величину, кратну 5.

11 клас

1.Перепишемо рівняння у вигляді . Оскільки ліва частина рівняння не перевищує 2, а права не менше ніж 2, то дане рівняння рівносильне

системі Звідки х=0.

2. Нехай АА1, ВВ1, СС1 – висоти трикутника АВС перетинаються в точці Р, а описане коло ці висоти перетинає в точках А2, В2, С2т відповідно. Доведемо, що НС1 = С2С1. Розглянемо випадок коли трикутник АВС – гострокутний. Нехай ∠ВАС = . Тоді ∠АВВ1 = 90°– , ∠АСС1 = 90°– . ∠АСС1 і ∠С2ВС1 спираються на одну дугу. Тому ∠С2ВС1 = ∠НВС. Отже , в трикутнику НВС2 ВС1– висота і бісектриса, а тому і медіана, а тому НС1 = С2С1, тобто точки Н і С2 – симетричні. Аналогічно доводиться, що точки В2 і А2 симетричні точці Н відносно сторін АС і ВС. Випадок, коли трикутник АВС – тупокутний, розглядається аналогічно.

3. Замінимо послідовно х на 1–х, х=1 та х=0. Тоді з системи

Знайдемо . Перевірка показує, що ця функція задовольняє рівність.

4. Позначимо . Тоді рівність набуває вигляду

або . Остання рівність означає, що при діленні на 3 квадрата цілого числа одержимо остачу 2, а це неможливо. Дійсно,

якщо , то і остача дорівнює 0. Якщо , то

і остача дорівнює 1. Якщо , то

і остача дорівнює 1. Відповідь: не існує.

5. Вказівка. Позначимо числа в вершинах як х (вершина піраміди), х1, х2,…,хп. Тоді

маємо систему: Тепер почленно додамо всі рівняння системи, крім першого, і одержимо: . Звідки видно, що найменше шукане значення n =4 . Далі знаходимо число в вершині: x =1003 . Легко тепер довести, що кожне число при вершинах основи дорівнює 502.

Завдання 7-ГО етапу Всеукраїнської ОЛІМПІАДИ ЮНИХ математиків 2008 р.

6 КЛАС

1.У СЕРГІЯ ОДНОКЛАСНИКІВ НА 7 БІЛЬШЕ, НІЖ ОДНОКЛАСНИЦЬ. У ЙОГО КЛАСІ ХЛОПЦІВ

ВДВІЧІ БІЛЬШЕ, НІЖ ДІВЧАТ. СКІЛЬКИ ОДНОКЛАСНИЦЬ У СЕРГІЙКОВОЇ ОДНОКЛАСНИЦІ

КАТРУСІ?

2. КВАДРАТ ЗІ СТОРОНОЮ 6М РОЗРІЗАНИЙ НА ПРЯМОКУТНИКИ ТАК, ЯК ПОКАЗАНО НА І

МАЛЮНКУ. СУМА ДОВЖИН ВИДІЛЕНИХ ВІДРІЗКІВ ДОРІВНЮЄ 2М. ЗНАЙДІТЬ ПЕРИМЕТР

ВНУТРІШНЬОГО ПРЯМОКУТНИКА. ОБҐРУНТУЙТЕ ВІДПОВІДЬ.

3.У КЛАСІ КІЛЬКІСТЬ ВІДСУТНІХ УЧНІВ СКЛАДАЄ 1 / 6 ВІД КІЛЬКОСТІ ПРИСУТНІХ. КОЛИ З

КЛАСУ ВИЙШОВ ОДИН УЧЕНЬ, ТО КІЛЬКІСТЬ ВІДСУТНІХ СТАЛА 1 / 5 ВІД КІЛЬКОСТІ

ПРИСУТНІХ. СКІЛЬКИ УЧНІВ НАВЧАЄТЬСЯ В КЛАСІ?

4. В КЛАСІ 33 УЧНЯ, РАЗОМ ЇМ 430 РОКІВ. ДОВЕДІТЬ, ЩО В КЛАСІ ЗНАЙДУТЬСЯ 20 УЧНІВ,

ЯКИМ РАЗОМ НЕ МЕНШЕ 260 РОКІВ.

5.ІЗ ПУНКТІВ А І В ОДНОЧАСНО НАЗУСТРІЧ ДРУГ ДРУГУ, З ПОСТІЙНИМИ ШВИДКОСТЯМИ,

ВИЇХАЛИ ДВА ВЕЛОСИПЕДИСТИ, ЯКІ ЗУСТРІЛИСЯ НА ВІДСТАНІ 70 КМ ВІД А. В КІНЦЕВИХ

ПУНКТАХ ВОНИ ВІДПОЧИВАЛИ НА ПРОТЯЗІ ЧАСУ, ПІСЛЯ ЧОГО ВИЇХАЛИ НАЗАД З ТИМИ Ж

САМИМИ ШВИДКОСТЯМИ І ЗУСТРІЛИСЯ В 40 КМ ВІД А. ЗНАЙДІТЬ ВІДСТАНЬ ВІД А ДО В,

7 клас

1. ЗНАЙДІТЬ НАЙМЕНШЕ 4-ЗНАЧНЕ НАТУРАЛЬНЕ ЧИСЛО, ЯКЕ ПРИ ДІЛЕНІ НА 2;3;5;7 І 11

ДАЄ В ОСТАЧІ 1.

2.ЗНАЙДІТЬ ВСІ ПРОСТІ ЧИСЛА х І у ТАКІ, ЩО ЧИСЛО ху + ух - ПРОСТЕ.

3.СУМА НОМЕРІВ ДОМІВ НА ОДНІЙ СТОРОНІ ЖИТЛОВОГО КВАРТАЛУ ДОРІВНЮЄ 247.

ЗНАЙДІТЬ НОМЕР БУДИНКУ, СЬОМОГО ВІД ПОЧАТКУ КВАРТАЛУ.

4.ІЗ ПУНКТІВ А І В ОДНОЧАСНО НАЗУСТРІЧ ДРУГ ДРУГУ, З ПОСТІЙНИМИ ШВИДКОСТЯМИ,

ВИЇХАЛИ ДВА ВЕЛОСИПЕДИСТИ, ЯКІ ЗУСТРІЛИСЯ НА ВІДСТАНІ 70 КМ ВІД А. В КІНЦЕВИХ

ПУНКТАХ ВОНИ ВІДПОЧИВАЛИ НА ПРОТЯЗІ ЧАСУ, ПІСЛЯ ЧОГО ВИЇХАЛИ НАЗАД З ТИМИ Ж

САМИМИ ШВИДКОСТЯМИ І ЗУСТРІЛИСЯ В 40 КМ ВІД А. ЗНАЙДІТЬ ВІДСТАНЬ ВІД А ДО В.

5.В ВЕРШИНАХ КУБИКА РОЗТАШОВАНІ ЧИСЛА, СУМА ЯКИХ ДОРІВНЮЄ 2008. ЧИ МОЖНА

РОЗТАШУВАТИ ЦІ ЧИСЛА ТАК, ЩОБ СУМА ЧИСЕЛ У ВЕРШИНАХ ПРИ КОЖНІЙ ГРАНІ КУБИКА

БУЛА МЕНШЕ 1000?

8 КЛАС

1.ОБЧИСЛІТЬ ЗНАЧЕННЯ ВИРАЗУ а2 +b 2 +с 2 , ЯКЩО а + b + с = 7 І аb + bс + ас = - 5

2.ЗНАЙДІТЬ СУМУ ВНУТРІШНІХ КУТІВ ПРИ ВЕРШИНАХ ЗІРЧАСТОГО СЕМИКУТНИКА.

3.ТОЧКИ К І L - СЕРЕДИНИ ОСНОВ АВ І СD ТРАПЕЦІЇ АВСD ВІДПОВІДНO.

ВИЯВИЛОСЯ, ЩО АВ=2CD, А ТОЧКА К ЛЕЖИТЬ НА БІСЕКТРИСІ КУТА С,

ДОВЕДІТЬ, ЩО АC=2КL.

4.В КОЖНІЙ КЛІТИНЦІ КЛІТЧАСТОЇ ДОШКИ 16X30 СИДИТЬ ЖУК. ЧИ МОЖУТЬ ЦІ ЖУКИ

ПЕРЕЛЕТІТИ НА ДОШКУ 15X32 ТАК, ЩОБ В КОЖНІЙ КЛІТИНЦІ БУЛО ПО ЖУКУ І ЩОБ ЖУКИ,

ЯКІ БУЛИ СУСІДАМИ РАНІШЕ, ЗАЛИШИЛИСЬ СУСІДАМИ НА НОВІЙ ДОШЦІ? (СУСІДНІМИ

ВВАЖАЮТЬСЯ ЖУКИ, ЯКІ СИДЯТЬ В КЛІТИНКАХ ЗІ СПІЛЬНОЮ СТОРОНОЮ).

5.ЛЕТИТЬ ЗГРАЯ СОРОКОНІЖОК І ТРИГОЛОВИХ ДРАКОНІВ. У ВСІХ РАЗОМ 26 ГОЛІВ І 298 НІГ.

У КОЖНОЇ СОРOКОНІЖКИ ОДНА ГОЛОВА. СКІЛЬКИ НІГ У ТРИГОЛОВОГО ДРАКОНА?

9 КЛАС

1.ЗНАЙДІТЬ СУМУ ВНУТРІШНІХ КУТІВ ПРИ ВЕРШИНАХ ЗІРЧАСТОГО СЕМИКУТНИКА.

2.ДОВЕСТИ, ЩО √10+√24+√40+√60=√2+√3+√5

3.ДОВЕСТИ, ЩО ЯКЩО Х І у - ТАКІ ЦІЛІ ЧИСЛА, ЩО ВИРАЗ х2 + 3ху + у2 ДІЛИТЬСЯ НА 25, ТО

КОЖНЕ З ЧИСЕЛ Х І У ДІЛИТЬСЯ НА 5.

4.ABCD, DCEF I FEKM – РІВНІ КВАДРАТИ. ЗНАЙТИ СУМУ КУТІВ DBK,

FBK I MBK.

5.ДВОЄ ГРАВЦІВ ПО ЧЕРЗІ СТАВЛЯТЬ КОРОЛІВ НА ШАХОВУ ДОШКУ: ПЕРШИЙ

ГРАВЕЦЬ - БІЛИХ КОРОЛІВ, ДРУГИЙ - ЧОРНИХ. ЗАБОРОНЯЄТЬСЯ СТАВИТИ

СВОГО КОРОЛЯ ПІД БІЙ КОРОЛЯ ПРОТИВНИКА. ПРОГРАЄ ТОЙ - ХТО НЕ ЗМОЖЕ

ЗРОБИТИ ХІД. ХТО З ДВОХ ГРАВЦІВ МАЄ ВИГРАШНУ СТРАТЕГІЮ?

2-Й ЕТАН ВСЕУКРАЇНСЬКОЇ ОЛІМПІАДИ ЮНИХ МАТЕМАТИКІВ 2008 Р.

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ,

6 КЛАС

1. ЯКЩО ДІВЧАТ У КЛАСІ Х, ТО ХЛОПЦІВ - 2Х. ТОДІ 2Х-Х=8, Х=8. ОДНОКЛАСНИЦЬ 7.

2. ВІДПОВІДЬ: 20М.

3. НЕХАЙ В КЛАСІ Х УЧНІВ, А В ДАНИЙ ДЕНЬ У - ВІДСУТНІ, у = 1/6(х-у)→у=1/7х.

КОЛИ З КЛАСУ ВИЙШОВ УЧЕНЬ, ТО ВІДСУТНІХ СТАЛО у+1 = 1/5 (х-у-1) ; у= 1/6х

– 1 . ОТРИМАЄМО 1 /7х = 1/6 х- 1, ЗВІДКИ Х=42.

4. ЯКЩО ТІЛЬКИ 19 УЧНІВ МАЮТЬ 13 РОКІВ, ТО 13X19+12X14, ЩО МЕНШЕ 430.

5. ДО ПЕРШОЇ ЗУСТРІЧІ ВОНИ ПРОЇХАЛИ АВ, ДО ДРУГОЇ - ЗАВ. ТОМУ ОДИН З НИХ ПРОЇХАВ

ЗРАЗУ 70 КМ, А ТЕПЕР - 70X3=210, А ПРОЇХАВШИ ЩЕ 40 КМ, ВІН БИ ПРОЇХАВ 250 КМ,

ТОБТО 2АВ. ОТЖЕ, АВ=125 КМ. 1

7 клас

1. ВІДПОВІДЬ: 2311.

2. ВІДПОВІДЬ. 2 І 3.

3. ВІДПОВІДЬ. 19. СТОРОНА НЕПАРНА І КІЛЬКІСТЬ БУДИНКІВ НЕПАРНА: 247=13 Х 19, СУМА

НОМЕРІВ БУДИНКІВ ОБЧИСЛЮЄТЬСЯ ЯК ДОБУТОК НОМЕРА СЕРЕДНЬОГО БУДИНКУ НА

КІЛЬКІСТЬ БУДИНКІВ, ТОБТО НОМЕР СЕРЕДНЬОГО БУДИНКУ 19, ВСЬОГО БУДИНКІВ 13.

4. ДО ПЕРШОЇ ЗУСТРІЧІ ВОНИ ПРОЇХАЛИ АВ, ДО ДРУГОЇ - ЗАВ. ТОМУ ОДИН З НИХ ПРОЇХАВ

ЗРАЗУ 70 КМ, А ТЕПЕР - 70X3=210, А ПРОЇХАВШИ ЩЕ 40 КМ, ВІН БИ ПРОЇХАВ 250 КМ,

ТОБТО 2АВ. ОТЖЕ, АВ=125 КМ,

5. ПРИПУСТИМО, ЩО ЦЕ МОЖЛИВО, ТОДІ СУМА ЧИСЕЛ В ШЕСТИ ГРАНЯХ РАЗОМ МЕНШЕ

6000, АЛЕ 2008x3 БІЛЬШЕ 6000. ПРОТИРІЧЧЯ.

8 КЛАС

1. ВІДПОВІДЬ: 59.

2- ВІДПОВІДЬ . 540°,

3. КУТ ВСК = КУТУ СКВ І КУТ DСК = КУТУ КСВ. ТОМУ КУТ СКВ = КУТУ КСВ,

ТРИКУТНИК КВС - РІВНОБЕДРЕНИЙ. КВ = ВС = ОС, НЕХАЙ Е - СЕРЕДИНА ВС,

ТРИКУТНИК КLС = ТРИКУТНИКY КЕС ЗА ДВОМА СТОРОНАМИ І КУТОМ МІЖ НИМИ.

АЛЕ КЕ - СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ В AВС, ОТЖЕ, АС=2КЕ. А ТОМУ АС=2КL.

4. НІ. ЖУКИ ІЗ ВНУТРІШНЬОГО ПРЯМОКУТНИКА ПОВИННІ ПЕРЕЛЕТІТИ У ВНУТРІШНІЙ

ПРЯМОКУТНИК, АЛЕ (16-2)Х(30-2)=392, А (15-2)Х(32-2)=390. ПРОТИРІЧЧЯ.

5.НЕХАЙ Х - КІЛЬКІСТЬ СОРОКОНІЖОК, У - КІЛЬКІСТЬ ДРАКОНІВ. ТОДІ Х+3У=26, 40X ≤

298, ЗВІДСИ х ≤7. ОСКІЛЬКИ 26 - Х ДІЛИТЬСЯ НА 3, ТО Х=2 АБО Х=5. ПЕРЕВІРКА

ПОКАЗУЄ, ЩО Х=5, У=7. ТОДІ КІЛЬКІСТЬ НІГ ДРАКОНА (298 - 40 • 5): 7 = 14.

9 клас

1. ВІДПОВІДЬ. 540°.

2. (√2+√3+√5)2 = 2+3+5+2( √6+√10+√15) = 10 + √24+ √40+√60 .

3. х2 +3ху + у2 = (х-у)2 + 5ху. Так як весь вираз ділиться на 25, то 5ху ділиться на 5,

то (х - у)2 ділиться на 5, а значить, (х - у) 2 ділиться на 25. Тому 5ху ділиться на 25, а

значить або х, або у діляться на 5. Але (х - у) ділиться на 5, ТОМУ ОБИДВА ЧИСЛА

ДІЛЯТЬСЯ НА 5.

4.ВІДПОВІДЬ . 90°.

5. ВИГРАШНА СТРАТЕГІЯ Є В ПЕРШОГО ГРАВЦЯ. ДЛЯ ЦЬОГО ЙОМУ ДОСТАТНЬО ПЕРШОГО

КОРОЛЯ ПОСТАВИТИ НА КЛІТИНКУ , ЩО ПРИЛЯГАЄ ДО ЦЕНТРУ ДОШКИ (НАПРИКЛАД

D4), А ПІСЛЯ ЦЬОГО ПОВТОРЮВАТИ ХОДИ ДРУГОГО ГРАВЦЯ СИМЕТРИЧНО ВІДНОСНО

ЦЕНТРУ ДОШКИ. ОЧЕВИДНО, ЩО ПРИ ТАКИХ ДІЯХ ПІСЛЯ КОЖНОГО ХОДУ ПЕРШОГО

ГРАВЦЯ ВСІ КОРОЛІ НА ДОШЦІ, КРІМ ПЕРШОГО, ЗАЙМАЮТЬ СИМЕТРИЧНУ МНОЖИНУ

КЛІТИН І ПРИ ЦЬОМУ В ЧОТИРЬОХ ЦЕНТРАЛЬНИХ КЛІТИНАХ НЕМАЄ ІНШИХ КОРОЛІВ,

КРІМ ПЕРШОГО. ЯКЩО ДРУГИЙ ГРАВЕЦЬ ЗНАЙДЕ ВІЛЬНУ КЛІТИНКУ ДЛЯ ЧОРНОГО

КОРОЛЯ, ЩО НЕ ЗНАХОДИТЬСЯ ПІД БОЄМ БІЛОГО КОРОЛЯ, ТО СИМЕТРИЧНА КЛІТИНКА

ТАКОЖ ВІЛЬНА І НЕ Б'ЄТЬСЯ ЧОРНИМ КОРОЛЕМ. ТАКИМ ЧИНОМ, ПЕРШИЙ ГРАВЕЦЬ

ВИГРАЄ.

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2009 р.Завдання

6 клас

1. Андрійкові було років місяців тому, а Миколці буде років через місяців. Хто із них старший за віком? Відповідь обґрунтуйте.

2. Назвемо число «дзеркальним», якщо справа наліво воно читається так само, як і зліва направо. Наприклад, число – «дзеркальне». Знайдіть усі «дзеркальні»

п’ятицифрові натуральні числа, в записі яких використовуються тільки цифри та . Відповідь обґрунтуйте.

3. Марійка подивилася на малюнок і сказала: «Тут зображено сім прямокутників: один великий і шість маленьких». «Тут є ще інші – середні прямокутники» – сказала її матір. Скільки ж всього прямокутників на цьому малюнку? Відповідь обґрунтуйте.

4. Третина військової роти залишилася на території військової частини, а всі інші її бійці поїхали на стрільби. Бійці цієї роти, що залишилися, за обідом з’їли четвертину приготовленого для роти борщу, а бійці, що повернулися зі стрільб, отримали порції борщу в півтора рази більші, ніж видавалися за обідом. Скільки борщу залишилося для ротної собаки Найди? Відповідь обґрунтуйте.

5. Двоє по черзі вписують хрестики в клітинки таблиці розміром . Програє той, після чийого ходу утвориться квадрат , в усіх клітинках якого вписані хрестики. Хто виграє: той хто починає гру чи його суперник, і як потрібно грати, щоб виграти? Відповідь обґрунтувати.

7 клас

1. Знайдіть x з рівняння 5−(1−(2 x−5 ) )=2009 .

2. У кімнату з периметром підлоги 22 м поклали килим, краї якого знаходяться на відстані 50 см від кожної стіни. Скільки метрів становить периметр килима?

3.Є карток, у кожній із яких одна сторона чорна, а друга – біла. Усі ці картки лежать на столі білою стороною догори. Андрійко спочатку перевертає карток, потім якісь карток, а потім якісь карток. Чи зможе Андрійко такими діями в кінцевому результаті перевернути усі карток чорною стороною догори? Відповідь обґрунтуйте.

4. Вздовж дороги довжиною ростуть лише липи (більше однієї). Перший

турист йде по дорозі зі швидкістю . Біля кожної липи він зупиняється і відпочиває одне і те саме ціле число годин. Другий турист їде на велосипеді зі

швидкістю і біля кожної липи відпочиває в двічі довше за першого туриста. Вибули і прибули вони одночасно. Скільки дерев біля дороги? Відповідь обґрунтуйте.

5. Чи можна на дошці розміром 2010×2010 клітинок розташувати декілька тур так, щоб кожна тура била рівно одну іншу туру і при цьому, на кожній вертикалі і на кожній горизонталі повинна бути хоча б одна тура.

Відповідь обґрунтуйте. (Тура – це шахова фігура, яка тримає під боєм усі клітинки своєї вертикалі і своєї горизонталі.)

8 клас1. При яких значеннях рівняння

і

мають спільний корінь?

2. Модуль значення виразу 3 x+1 не перевищує 5. Скільки різних цілих значень

може набувати значення виразу 8 x+7 ?

3. Є карток, у кожної із яких одна сторона чорна, а друга – біла. Усі ці картки лежать на столі білою стороною догори. Петрик спочатку перевертає карток, потім якісь карток, а потім ще якісь карток. В кінцевому результаті усі

карток виявилися перевернутими чорною стороною догори. Скільки карток були перевернутими три рази? Вкажіть усі можливі відповіді і доведіть, що інших немає.

4. Іванко і Марічка живуть у висотному будинку, на кожному поверсі якого по квартир. Номер поверху Іванка дорівнює номеру квартири Марічки, а сума номерів

їх квартир дорівнює 239. Який номер квартири, в якій живе Іванко? Відповідь обґрунтуйте.

5. В п’ятикутній зірці, що зображена на малюнку, і . Відомо також, що . Доведіть, що .

9 клас

1. Розв’яжіть рівняння

2x−1

+ 3x−2

=3−( x−2 )2

( x−1 ) ( x−2 ) .

2. Дано графік лінійної функції (див. малюнок). Знайдіть значення виразу . Відповідь обґрунтуйте.

3. Вчителька написала на дошці два натуральних числа. Андрійко помножив перше число на суму цифр другого і отримав

,

а Миколка помножив друге число на суму цифр першого і отримав

.

Доведіть, що хтось із них помилився.

4. На стороні трикутника знайшлися точки і такі, що – середина і – бісектриса кута . Крім цього, відомо, що . Доведіть, що

.

5. Доведіть, що на дошку розміром клітинок не можна покласти по клітинках доміно (тобто прямокутників ) так, щоб у кожній горизонталі і у кожній вертикалі вони покривали непарну кількість клітинок. Доміно можуть дотикатися сторонами, але не можуть перекриватися.

10 клас

1. Графік рівняння y=kx+b перпендикулярний прямій 3 y=x+6 і проходить

через точку з координатами (3 ;22 ) . Чому дорівнює сума k+b?

2. Відомо, що число є коренем рівняння . Знайдіть значення

виразу . Відповідь обґрунтувати.

3. Нехай – сума всіх цифр десяткового запису натурального числа .

Знайдіть усі такі натуральні числа , для яких . Відповідь обґрунтувати.

4. На продовженні сторони вписаного чотирикутника за точку

відмітили точку так, що і . Відомо, що .

Знайдіть довжину сторони .

5. Доведіть, що для всіх натуральних справджується нерівність

.

11 клас

1. Скільки цілих значень x задовольняють нерівність

(2 x+21 ) ( x−5 )( x−18 ) ( x−12 )

≤0 ?

2. Дано куб ABCDA1 B1 C1 D1 з ребром довжини 1. Розглянемо трикутник, одна з

вершин якого є точка A , а дві інших лежать на ребрах BB1 і CC1 . Знайдіть довжину третьої сторони цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін, які виходять із

вершини A , дорівнюють 1,5 та 1 ,25 .

3. Знайдіть усі такі дійсні значення , при яких числа

і обидва цілі.

4. В трикутнику з кутом при вершині , рівним , проведено бісектрису . Нехай – центр вписаного

кола трикутника . Описане коло трикутника перетинає сторону в точці . Доведіть, що точки , , і лежать на одному колі.

5. Нехай , і – додатні дійсні числа. Доведіть нерівність

.

На виконання роботи виділяється 4 години.

Використання записників і калькулятора не дозволяється.

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2009 р.

Відповіді та вказівки6 клас

6.1. Відповідь. Старший Миколка.

Із умови задачі випливає, що зараз Андрійкові років і місяців, а Миколці – років і місяців.

6.2. Відповідь. , , , .

Оскільки першою цифрою будь-якого натурального числа не може бути , то першою і п’ятою цифрою усіх наших чисел може бути лише . Після цього, легко знаходимо два розв’язки, коли посередині «симетричного» числа стоїть , і ще два розв’язки, коли посередині «симетричного» числа стоїть .

6.3. Відповідь. .

Крім прямокутників, які назвала Марійка, є ще чотири види прямокутників:

1) два прямокутники виду:

;

2) чотири прямокутники виду:

;

3) два прямокутники виду:

;

4) три прямокутники виду:

.

Всього: .

6.4. Відповідь. Для собаки Найди борщу не залишилося.

На стрільби поїхало роти, що в двічі більше, ніж залишилося. Якби вони отримали такі самі порції, як бійці за обідом, то вони з’їли б в двічі більше, ніж за обідом, тобто з’їли б половину приготовленого для них усіх борщу. Так як насправді

їх порції були в півтора рази більшими, то вони з’їли приготовленого для них усіх

борщу. А так як всього борщу була з’їдена за обідом, то для собаки Найди нічого не залишилося.

6.5. Відповідь. Виграє другий гравець.

Розділимо дошку на дві рівні частини горизонтальною прямою (див. малюнок).

На кожний хід першого гравця другий повинен відповідати точно таким же ходом, але на другій частині дошки. Наприклад, якщо перший гравець поставив хрестик у лівий верхній кут, то другий гравець повинен поставити хрестик на лівій вертикалі у другу клітинку, рахуючи знизу.

Покажемо, що така стратегія другого гравця призведе його до виграшу. Після кожного ходу другого гравця картинка на обох половинках дошки буде однаковою. Якщо після ходу першого гравця в одній із половинок дошки не утворився квадрат

, заповнений хрестиками, то і після ходу другого в другій половинці дошки такий квадрат утворитися не зможе.

Припустимо, що такий квадрат утворився після ходу другого гравця на «стику» двох половинок дошки. Але тоді такий же квадрат утворився раніше, після ходу першого гравця на одній із половинок дошки (див., наприклад, малюнок; останні ходи обох гравців позначені товстим і тонким пунктирним хрестиком відповідно).

7 клас

7.1. Відповідь. 1005 .

7.2. Відповідь. 18.

7.3. Відповідь. Так, зможе.

Наприклад, наступним чином. Пронумеруємо картки. Нехай Андрійко спочатку

перевернув картки . Потім перевернув картки . І втретє перевернув

картки . В результаті цих трьох дій картки , , , , і перевернулися лише один раз, тобто будуть повернутими чорною стороною догори, а картки , , , перевернулися три рази, тобто також будуть повернутими чорною стороною догори.

7.4. Відповідь. дерев.

Перший турист знаходився у русі годин, а другий турист годин. Тому другий турист відпочивав на годин більше першого туриста. Звідси випливає, що перший турист відпочивав рівно годин. Але час відпочинку першого туриста дорівнює добутку числа дерев (лип, їх більше ) на час відпочину біля одного дерева (за умовою це число годин також ціле). Так як – просте число, то це може

бути, тільки якщо дерев було і турист відпочивав біля кожного дерева рівно .

7.5. Відповідь. Так, можна.

Дошка розміром клітинок розбивається на квадрати клітинки. Потім у кожному квадраті , через який проходить головна діагональ дошки, розташувати фігури так, як це вказано нижче на малюнку, а в усіх інших квадратах фігур не повинно бути. Тоді таке розташування фігур на дошці задовольняє усі умови задачі.

8 клас


Легко перевірити, що при умова задачі не виконується. Якщо , то

коренем першого рівняння буде , а коренем другого рівняння буде .

Отже, для виконання умови задачі необхідно і достатньо, щоб . Звідки

. Звідки .

8.2. Відповідь.27.

8.3. Відповідь. карток були перевернутими три рази.

Так як усі картки на при кінці виявилися перевернутими, то кожну з них перевертали один або три рази. Всього було зроблено перевертань:

із них були потрібні для того, щоб перевернути кожну картку один раз; інші перевертань – для того, щоб якісь із карток перевернути ще по два рази. Отже, карток були перевернуті по три рази.


Нехай – номер квартири Іванка. Тоді, номер його поверху дорівнює . Частка від ділення з остачею номера квартири на дорівнює номеру попереднього

поверху, тому: , де . Звідки знаходимо: ,

тобто . Оскільки – натуральне число, то – ціле число. Оскільки

, то . Звідки випливає, що , а .

8.5. Нехай відрізки і перетинають відрізок у точках і

відповідно (див. малюнок). Із умови випливає, що трикутники і рівні за стороною і двома прилеглими до неї кутами. З рівності цих трикутників випливає, що

і . Тоді як суміжні до рівних кутів. Одержали, що в трикутнику кути при стороні рівні, тобто цей трикутник рівнобедрений. Звідки . Таким чином, ,

тобто трикутник – рівнобедрений, з основою . Тому, , що і треба було довести.

9 клас

9.1. Відповідь.−3 .


З малюнку видно, що графік лінійної функції проходить через точки і

. Це означає, що і . Звідки і . Отже, .

9.3. Припустимо, що вони обидва не помилилися. Тоді із результату Миколки випливає, що добуток другого числа на суму першого ділиться на , бо сума цифр числа дорівнює і ділиться на . Звідси випливає, що друге число ділиться на , або друге число ділиться на і сума цифр першого ділиться на , або сума цифр першого числа ділиться на . З ознаки подільності на випливає, що сума цифр другого числа ділиться на , або сума цифр другого числа ділиться на і перше число ділиться на , або перше число ділиться на . Звідси випливає, що результат Андрійка ділиться на , що неможливо, бо сума цифр числа

дорівнює і на не ділиться.

9.4. Нехай – середина . Тоді і трикутники і рівні за двома сторонами і кутом між ними. З рівності цих трикутників випливає, що

і . Із останньої рівності випливає, що (як зовнішні до рівних кутів). Тоді трикутники і рівні за двома сторонами і кутом між ними. Отже, , що і треба було довести.

9.5. Припустимо, що потрібне розташування доміно вдалося здійснити. Якщо в першій вертикалі доміно займають непарне число клітинок, то хоча б одна клітинка першої вертикалі покрита горизонтальним доміно. Аналогічно хоча б одна клітинка третьої, п’ятої, сьомої, …, -тої вертикалі покрита хоча б одним горизонтальним доміно. Отже, у нас є не менше горизонтальних доміно і вертикальних доміно. Тому, всього на дошці є принаймні доміно,

що суперечить умові задачі (адже нас просять здійснити потрібне розташування доміно за допомогою -ти доміно.

10 клас

10.1 Відповідь.28.


Оскільки – корінь рівняння , то , тобто

Тому . Таким чином,

.

10.3. Відповідь. і . .

Якщо десятковий запис числа містить не більше трьох цифр, то сума цих цифр

не перевищує . Отже, . Тому, – чотирицифрове число, перша цифра якого дорівнює або . Якщо перша цифра числа дорівнює , то

і . Нехай , де – цифра, тоді

. Звідки . Нехай , тоді

. Якщо перша цифра числа дорівнює , то перевіривши числа від до , знаходимо ще одне значення .


Нехай , тоді як кути при основі рівнобедреного трикутника. за умовою задачі;

як вписані кути, що спираються на одне і ту саму дугу. Крім того, помічаємо, що . Тоді трикутники і рівні за двома сторонами і кутом між ними. Отже,

.

10.5. Скористаємося методом математичної індукції.

1) При одержуємо правильну нерівність: .

2) Припустимо, що доводжувана нерівність правильна для , тобто

. Доведемо, використовуючи припущення, що доводжувана нерівність буде правильною і при . Дійсно,

,

бо .

Отже, задана нерівність виконується при всіх натуральних .

11 клас

11.1. Відповідь.21.

11.2. Відповідь. √17

4 .

Нехай M∈BB1 і N∈CC1 - вершини трикутника. Оскільки 1,5>√2 , то AN=1,5

і MB=1 ,25 . За теоремою Піфагора маємо NC=0,5 ; MB=0 ,75 .

11.3. Відповідь. , де .

Нехай , а , де і – цілі числа. Використовуючи формулу для

тангенса подвійного аргументу, одержимо: . Звідки випливає, що

. Якщо , то число взаємно просте з числами і .

Тому, для того щоб число було цілим, потрібно щоб число було цілим.

Звідки випливає, що або . Отже, , але тоді і .

Розв’язавши рівняння , знаходимо, що , де .

11.4. Оскільки – центр вписаного кола трикутника , то прямі і – бісектриси кутів і . Тому,

.

Отже, як зовнішній кут трикутника . Оскільки точки , , , лежать одному колі, то (як вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу). Звідки (як суміжний кут до кута ). Таким чином,

, тобто чотирикутник – вписаний, що і треба

було довести.

11.5. Розглянемо різницю між лівою і правою частинами даної нерівності і доведемо, що вона невід’ємна. Дійсно,

Завдання ІІ (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2010

p.

6 клас

1.Дев'ять автобусних зупинок розташовані на прямій вулиці так, що відстані між

будь-якими сусідніми зупинками однакові, між першою і третьою зупинкою

відстань 600 м. Яка відстань між першою і останньою зупинкою?

2.Петрик купив декілька яблук і приніс їх додому. Сестра запитала його: «Скільки

заплатив за ці яблука?». Петрик відповів: «Здогадайся! Я купив у 4 рази більше

яблук, ніж ти учора, але заплатив за кошик яблуко в 3 рази менше». Скільки грошей

витратив Петрик, якщо його сестра витратила 6 гривень. Відповідь обґрунтуйте.

3.У Андрійка є калькулятор, який дозволяє помножити число на 3, додати до числа 3

або (якщо число ділиться на 3) ділити одержане число на 3. Як на такому

калькуляторі, скориставшись усіма його діями із числа 11 отримати число 2011?

Відповідь обґрунтуйте.

4.На дошці були виписані 10 послідовних натуральних чисел. Коли стерли одне з них,

то сума дев'яти чисел, які залишилися дорівнює 2010. Яке число стерли з дошки?


5.Яку найбільшу кількість фігурок виду (див. мал.), які складаються із трьох

квадратів 1x1, можна вирізати із прямокутника в клітинку розміром 20x10?

Вирізати фігурки потрібно по сторонах клітинок прямокутника. Відповідь

обґрунтуйте.

7 клас

1.Запишіть число 2010 за допомогою 11 трійок і арифметичних дій.

2.Знайдіть усі трицифрові числа, які зменшуються в п'ять разів після ви креслення

першої цифри, відповідь обґрунтуйте.

3. Іра і Оля пішли по гриба, вони знайшли 70 грибів. 59грибів, які знайшла

Іра, є лисички, а 217 грибів, які знайшла Оля, є маслята. Скільки грибів знайшла Іра?

4. В акваріумі живе 200 рибок. З них 1% голубого кольору, решта жовті. Скільки

жовтих рибок потрібно забрати з акваріуму, щоб голубі рибки становили 2%

рибок, що залишилися в акваріумі?

5. Трикутник розбили на 25 трикутників. Які утворюють трикутну гратку (див.

мал.). У комір цієї гратки розставили натуральні числа від 1 до 25, по одному числу

до кожної комірки. Доведіть, що сума якихось двох чисел, які стоять у сусідніх

(таких, що мають спільну сторону) комірках, є парною.

8 клас

1. Скільки коренів має рівняння √ х(х4 - 17 + 1

8) = 0

2.Скількома способами число 2010 можна подати у вигляді різниці квадратів двох

натуральних чисел? Відповідь обґрунтуйте.

3.Ціну яблук підняли на 20%. Однак для того, щоб записати нову ціну за 1 кг яблук у

гривнях, продавцеві було достатнім поміняти місцями цифри числа, записаного на

ціннику. Скільки гривень коштував 1 кг яблук до їхнього подорожчання, якщо ця ціна

була меншою за 100 гривень? Відповідь обґрунтуйте.

4.В турнірі за олімпійською системою(нічиїх не буває; той хто програв вибуває)

беруть участь 50 боксерів. Яку найменшу кількість сутичок потрібно провести,

щоб виявити переможця?

5.АВСВ - опуклий чотирикутник. Відомо, що кут СВD = куту САВ і кут АСD = куту

ВDА. Доведіть, що кут АВС = куту АDС .

6.На сторонах шестикутника записано по одному числу, а у кожній його вершині -

число, яке дорівнює сумі двох чисел, що виходять з вершини. Після цього всі числа на

сторонах і в одній з вершин стерли. Чи можна відновити стерте число у вершині?


9 клас

1. Знайдіть суму коренів рівняння (х - 1)3 = 4(х - 1).

2. Обчисліть значення виразу (1 -2)-(3 -4)-...-(2009-2010).

3. Рівність (х2+ах + 2)(х + 3) = (х + b)(х2+сх + 6) є тотожністю. Знайдіть

суму

а+b+с.

4 .У рівнобічній трапеції АВСD точка X - середина бічної сторони АВ, ВХ=1 і кут

СХD = 90°. Знайдіть периметр трапеції АВСD.

5. Сума двох дільників числа 640 000 дорівнює 1 025. Знайдіть їх добуток.

6. На клітчастій дошці 4x4 грають двоє: Миколка і Петрик. Ходять по черзі, і

кожний гравець своїм ходом зафарбовує одну клітинку. Програє той, після чийого

ходу утворюється квадрат 2x2, який складається із зафарбованих клітинок. Першим

свій хід робить Миколка. Хто виграє при правильній грі: Миколка чи Петрик?


Відповіді та рекомендації шодо розв'язування завдань II (районного) етапу

Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики

6 клас

6.1. Відповідь. 2400 метрів.

6.2. Відповідь. 8 гривень.

Якби Петрик купив яблука за такою ціною, як і його сестра, то заплатив би за

свої яблука 6x4=24 грн. оскільки за кожне своє яблуко він заплатив у З рази менше,

ніж його сестра, то насправді він сплатив 24:3=8 грн.

6.3. Відповідь. 11 • 3 + 3:3 +3+3+….+3⏟ = 2011

659 ДОДАНКІВ

Можливі і інші приклади отримання 2011.

6.4. Відповідь. 225

Нехай П + 1,п + 2, ...,П + 10 - числа, які виписали на дошці. Тоді їх сума 10п + 55 .

Припустимо, що викреслили число П + І, де 1 < І < 10/ за умовою 10п + 55 — (п + і)

= 2010, звідки 9п = 1955 + І. Серед чисел від 1956 до 1965 на 9 ділиться лише 1962,

тобто, І = 7, а П = 218. Таким чином, на дошці були записані числа від 219 до 228,

а з дошки стерли число 218+7=225.

6.5. Відповідь.6.6

Кожна фігурка складається з трьох клітинок, а заданий прямокутник має 20x10-

220 клітинок. Якщо припустити, що з даного прямокутника можна вирізати 67 і

більше фігурок, то всього їх буде вирізано 67x3=201 або більше клітинок, що

неможливо, бо їх усього 200. отже, із даного прямокутника можна вирізати не

більше 66 фігурок. Приклад, коли можна вирізати 66 наведіть самостійно, беручи

до уваги те, що дві фігурки утворюють прямокутник 2x3

7 клас

7.1. 2010 = 3 • 333 + 3-333 + 3 • 3 + З

7.2. Відповідь. 125,250, 375.

Нехай П — АBС - шукане число, А 0, B 0 . За умовою АBС — 5 • BС, звідси с ⋮5,

тобто с=0 або с=5. Якщо с=0, то 5а = 2b, звідки B = 5, а = 2, якщо с=5, то 5а =

2B + 1 ,звідки B = 2 або B = 7. Якщо b=2, то А=1. Якщо b=7, то А=3.

7.3. Відповідь. 3,6

Число грибів, знайдених Ірою, має ділитися на 9. Число грибів, знайдених Олею, має

ділитися на 17. Іра: 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63 Оля: 17; 34; 51.

Разом вони зібрали 70 грибів. Отже, Іра зібрала 36, а Оля - 34.

7.4. кількість рибок голубого кольору 1100• 200 = 2. щоб вони становили 2 %, в

акваріумі повинно бути 100 рибок, тому вони повинні забрати 200-100=100 рибок з

акваріуму.

7.5. Якщо розфарбувати трикутник у шаховому порядку, то суміжні комірки

будуть різного кольору, сума чисел у сусідніх комірках непарна тоді і тільки тоді,

коли в них стоять числа різної парності. Таким чином, якби всі суми сусідніх чисел

були непарними, то всі парні числа стояли би в комірках одного кольору, а всі непарні

- у комірках іншого кольору. Але комірок одного кольору 10, а іншого 15. Із чисел від 1

до 25 парних буде 12, а непарних 13. отже, таке розміщення неможливо..

8 клас

8.1.Два корені.

8.2.Відповідь. 0

Рівняння 2010 = (х + у)(х — у) не має розв'язків в натуральних числах.

8.3.Відповідь. 45 грн.

З умови випливає, що початкова ціна яблук у гривнях була двоцифровим числом, кратним п'яти.

Дійсно 20% = 15 і оскільки цифра одиниць цього числа не може бути нулем (інакше

нова ціна починатиметься з нуля) та при перестановці цифр число повинно

збільшитися, то достатньо перевірити числа 15, 25, 35 і 45. Із цих чисел тільки 45

при перестановці цифр збільшується на 20%.

8.4.Відповідь: 45 сутичок (боїв), тільки один боксер тне програв жодного бою, це

переможець турніру. Всі решта рано чи пізно були переможені. Всього їх 49. Саме

стільки і відбулося боїв, адже кожний боксер програв в якомусь одному бої, а кожен

бій закінчувався поразкою одного з боксерів.

8.5.Нехай О - точка перетину діагоналей даного чотирикутника АВСО. В

трикутниках АВС і ВОС кут при вершині С спільний, а кут при

вершині першого дорівнює кутові при вершині В другого. Тому

кут при вершині В першого дорівнює кутові при

вершині О другого, тобто кут АВС = кут ВОС.

Аналогічно доводиться, що кут ВОС = кут АОD , тому кут АВС = кут АDС.

8.6. Відповідь. Так, можна. Занумеруємо поспіль вершини за годинниковою стрілкою

А1,А2, ...,А6, починаючи з вершини, в якій стерли число, вважатимемо, що А; - це

число у і-тій вершині; А5 - стерте число. Зрозуміло, що А2 + А4 + А6 — А-, + А3 + А5,

звідки A1 = А2 + А4 + А6 -А3 - А5.

9 клас

9.1 х1 +х2 +х3 = -1 + 1 + 3 = 3.

9.2 Відповідь: 1003

9.3 Підставляючи в дану систему рівнянь значення х=-1; 0; 1 отримаємо систему

рівнянь відносно невідомих А, B, с, звідки отримаємо А = З, B = 1, С = 5, а тому А + B

+ С = 9.

9.4. Нехай ХМ - середні лінія трапеції АВСD. Оскільки CXD = 90° і М - середина СО,

то СМ=МD=МХ=1. BC+AD2 = 1. Тому РАВСD = АВ + ВС + СD + В А = 2 + 2 + 2 = 6 .

9.5.Відповідь. 1024, 25000, 250000.

і d2 - дільники числа 640000. за умовою задачі d1 + D2 = 1025. Звідси випливає, що один із цих

дільників - непарне число. У числа 640000 існує всього п'ять непарних дільників 1, 5, 52,

53 і 54 . Перевіривши ці дільники знаходимо відповідь.

Bідповідь. Виграє Петрик.

a b c d

e f g h

a b c d

e f g h

Розіб'ємо клітинки на пари так, як це вказано на малюнку (клітинкам, які входять до

однієї пари відповідає одна й та сама буква). Петрик виграє, якщо кожним своїм

ходом зафарбовувати клітинку з тією буквою, яку перед його ходом, зафарбував

Миколка.

Завдання районного етапу олімпіади з математики 2011 р.

6 клас

1. Під час канікул Антон, Богдан і Тарас разом заробили 280 грн. Антон працював у 2 р. довше, ніж Богдан, і у 4 р. довше, ніж Тарас. Вони вирішили чесно поділити свій заробіток (відносно затраченого часу). Скільки грн.. отримав Тарас?

2. Чи може число в десятковому записі якого використано 2011 одиниць та 2011 двійок, а решту цифр нулі, бути точним квадратом?

3. Під час проведення олімпіади з математики кожен учень одержав один зошит, одну ручку і один олівець. Всього у організаторів було 90 зошитів, а олівців було вдвічі більше, ніж ручок. Після закінчення олімпіади з’ясувалося, що число не розданих ручок вдвічі менше, числа не розданих зошитів, і в 3 рази менше, не розданих олівців. Скільки школярів брало участь в олімпіаді?

4. Чи можна в клітинку квадрату 5х5, вписати числа від одного до двадцяти п’яти, так, щоб сума чисел в усіх рядках і стовпчиках була непарною?

5. У скриньці лежать 2011 кульок. Двоє гравців по черзі виймають від однієї до 9 кульок. Програє той, хто вийме останню кульку. Хто і як може забезпечити собі виграш?

7 клас

1. Обчисли 2011201120112 – 201120112010 •201120112012.

2. Скільки п’ятицифрових чисел, які діляться на три можна записати цифрами 1,2,3,4,5,6?

3. У ящику лежать 10 червоно – синіх (одна половина червона, друга - синя) сім синьо – зелених і 5 червоно – зелених кульок. Яку найменшу кількість кульок треба вийняти, не підглядаючи, щоб стверджувати, що знайдеться такий колір, який присутній у розфарбуванні не менше, ніж 6 кульок?

4. На катет прямокутного трикутника зовні побудовані квадрати з вершин квадратів, які найбільш віддалені від вершини прямого кута проведені перпендикуляри на продовження гіпотенузи. Знайдіть суму цих перпендикулярів, якщо довжина гіпотенузи даного трикутника дорівнює с?

5. У скриньці лежать 2011 кульок. Двоє гравців по черзі виймають від однієї до 9 кульок. Програє той, хто вийме останню кульку. Хто і як може забезпечити собі виграш?

8 клас

1. Розв’яжіть рівняння в цілих числах ху = х + у + 2010.

2. Розв’яжіть систему рівнянь {І х+1 І+ І у−1 І=5ІХ+1 І=4 у−4

3. Мені вдвоє більше років, ніж вам було тоді, коли мені було стільки років, скільки вам зараз. Коли вам буде скільки років, скільки мені зараз сума наших років буде 63. Скільки років кожному?

4. Обчислити пробу і вагу сплаву срібла з міддю, якщо його сплав з 3 кг чистого срібла буде мати 900 пробу, а сплав з 2 кг сплаву 900 проби дасть сплав 840 проби?

5. В середині круга радіус якого дорівнює 46 задано 2011 точок. Чи можна в середині даного круга побудувати коло одиничного радіуса, яке не перетинає дане коло і не містить жодної з даних точок?

9 клас

1. Обчислити значення виразу √√7−√5−√37−√7−√5−√37−4√63.2. Відомо, що а+ b + с ¿0 і рівняння ax2 + bx + c = 0 не має дійсних коренів

(дискримінанта). Визначити знак коефіцієнта с?3. У банку на зберігання поклали 1640 грн., а в кінці року забрали 882 грн. Ще

через рік на рахунку виявилося 882 грн. Скільки процентів річних нараховує банк?

4. В середині правильного 13 – кутника задано 1000 точок. Кожні три з яких не належать одній прямій. Вершини многокутника і задані точки попарно з’єднані відрізками так, щоб вони між собою не перетиналися. Яку максимальну кількість трикутників можна при цьому одержати?



6 клас 1.Відповідь . 24. 64 рази відрізали по одному чурбаку і ще 88-64=24 чурбаків утворилися як залишки 24 колод.

2.Відповідь. 10. Сім разів зважуємо по два яблука, а останні три зважуємо по два у різних комбінаціях і їх спільну вагу знайдемо як половину суми трьох зважувань.

3.Відповідь. Одночасно пустити обидва годинники. Як тільки мине час на 5-хв годиннику, одразу його перевернути, потім знов його перевернути як тільки вийде час на 7-хв годиннику (5+2+2=9).

4.Відповідь: 4 числа. Спочатку наведемо відповідний приклад. Серед чотирьох чисел 3 , 4 , 6 , 7 не можна вибрати шуканих трьох, у чому легко переконатись простим перебором.

Припустимо, що таких чисел можна обрати п’ять. Усього числа можуть мати три різні

остачі при діленні на 3 , це числа 0 , 1, 2 . Якщо там є такі три, які мають попарно різні остачі при діленні на 3 , то їх сума кратна 3 . Інакше, тоді якоїсь остачі повинно не бути. Тобто різних остач щонайбільше дві, але чисел п’ять, тому якась остача зустрічається принаймні у трьох різних чисел. Тоді вже їх сума кратна 3 .

5.Відповідь. Намалюємо цю карту послідовно. Очевидно, що для першого кола це твердження справедливе. Тепер для кожного наступного кола будемо змінювати кольори країн в середині кола на протилежні, що дозволить побудувати шукане розфарбування.

7 клас 1.Відповідь. 82 або 93. N=10x+y=xy+66, або y=(10x-66)/(x-1). Легко бачити, що x може набувати тільки значення 7, 8 або 9.

2.Відповідь. Це число складене.

3.Відповідь. Це неможливо. Розфарбуємо кубики у шаховому порядку у два кольори – білий і чорний. Оскільки кубиків всього непарна кількість, то жуки, які сидять в кубиках одного кольору повинні переповзти в кубики іншого кольору. Але число таких кубиків завідомо має іншу парність.

4. Відповідь . 50 кг. 100 * 0,99 = 99(кг) води у 100 кг грибів; 100 – 99 =1 (кг) сухої маси у свіжих грибах; 100% - 98% = 2% (сухої маси) у підсушених грибах; 1 : 0,02 = 50 (кг) підсушених грибів.

5.Відповідь. Перемогу може забезпечити собі той, хто починає гру першим. Розіб’ємо клітинки з номерами від 2 до 17 на 4 набори по 4 послідовні клітинки. Перший гравець спочатку закреслює першу клітинку, а потім діє аналогічно другому гравцю: якщо другий закреслює клітинку з парним номером, то перший – іншу парну з цього ж

набору клітинок; якщо другий закреслює клітинку з непарним номером, то перший – іншу непарну з цього ж набору; якщо другий закреслює дві клітинки, то перший – інші дві з цього ж набору. Так перший гравець завжди матиме можливість ходу.

8 клас1. Відповідь. Ні. ділиться на 3, а ліва частина при ділення на 3 дає остачу 1.

2.Відповідь.714285. Нехай шукане число X=7abc…z = 7*10n +A, де A =abc…z ; A – n-значне. Після перестановки першої цифри одержимо число Y = abc…z7 = 10 A + 7 . За умовою 7*10n + A=5(10A+7), звідки 49A = 7(10n - 5), або 7А = 10n - 5. Оскільки число 10n - 5 повинно ділитись на 7, то найменше ціле додатне число n, яке задовольняє умову, дорівнює 5, і А = 14285 – найменше значення А. Тоді найменше значення Х = 714285, шукане число.

3.Відповідь. 125 км. Рейс автобуса туди і назад триває 7,5 годин, при цьому, так як в гору він йде в два рази повільніше, ніж під гору, то на всі підйоми автобус витрачає у два рази більше часу, ніж на спуски. Таким чином, на спуски він витрачає 2,5 години, а на підйоми – 5 годин. Отже, відстань від А до В дорівнює (255 + 502,5)/2=125 км.

4.Відповідь. 8 або 512. Нехай кожну сторону куба розпиляли на n частин. Тоді кубиками, у яких виявилась пофарбованою рівно одна грань, будуть ті і тільки ті кубики, які прилягають до граней вихідного куба, але не містять його ребер. Неважко зрозуміти, що таких кубиків у кожної грані (n-2)2, а всього кубиків, у яких пофарбована рівно одна сторона 6(n-2)2. Нефарбованими залишаться ті кубики, які не мають «виходу» на поверхню вихідного куба, тобто всі кубики, крім шару товщиною в один маленький кубик. Таких кубиків (n-2)3. Точний розв’язок рівняння 6(n-2)2=(n-2)3

приводить до двох відповідей n=2 або n=8. Відповідно, куб розпиляли на 8 або 512 кубиків.

5.Відповідь. той хто починає першим.(Див. Зад. №5 7 кл.)

9 клас

1.Відповідь. Розглянемо допоміжну нерівність:

, або

Очевидно, що вираз P більше лівої частини вихідної нерівності.

2. Відповідь. 180. Цей результат можна одержати різними способами. Навколо такої зірки можна накреслити коло і сума шуканих кутів буде дорівнювати половині суми градусної міри дуг цього кола, на які спираються ці кути, а ці дуги в сумі дадуть коло.

3. Відповідь.n=4 .Припустимо, що n задовольняє умови задачі, тоді позначимо

9 n+28=x2 та n+5= y2

, де x , y>0 . Тоді маємо:9 y2−x2=(3 y−x )(3 y+x )=45−28=17 .

Тоді можливі такі варіанти, оскільки 3 x+ y>0 :{3 y−x=1 ,3 y+x=17 ,

{3 y−x=17 ,3 y+x=1 .

Звідси ми знаходимо, що y=6 та n=4 . Перевіркою переконуємось, що це значення задовольняє умову.

4. Відповідь. (660/169). Треба двічі застосувати теорему Фалеса.

5. Відповідь. 101 .Оскільки |a−b|≤a та |a−b|≤b , то при кожній операції найбільше число не може збільшитись. Тому якщо вдасться залишити число 101 – це буде шукана відповідь. А цього досягти можна таким чином: розіб’ємо числа на такі пари: (1 ;2), (3 ;4 ) , ..., (99 ;100) (число 101 залишаємо без пари). Для кожної пари проводимо описану операцію і одержимо для кожної число 1 , і таких чисел буде 50. Далі їх

просто розбиваємо на 25 пар типу (1 ;1 ). Для кожної такої пари операція дає число 0 . Таким чином на дошці залишиться записаними 101 та 25 нулів. Звідси очевидно, що останнім залишиться число 101 .

10 клас

1. Відповідь. (660/169). Треба двічі застосувати теорему Фалеса.

2. Відповідь. Перша нерівність зводиться до вигляду: . Ця нерівність в цілих числах виконується тільки в трьох випадках:

Розв’язавши ці системи і виконавши перевірку для другої нерівності вихідної системи одержимо два розв’язки: (-6; 6), (-7; 7).

3. Відповідь. Нехай , тоді і =

=

4. Відповідь.m=2 , q=13 . Відомо, що

3= m1−q

= m1− 1

n

= mnn−1

. Таким чином 3 n−3=mn

або n(3−m)=3 . Оскільки n – натуральне, то n=1 або n=3 . Тоді у першому випадку 3−m=3 , що неможливо для натурального m . У другому випадку m=2 . Що дає єдиний можливий розв’язок.

5. Відповідь. Введемо заміну , тоді +2 f(t)= . Одержимо систему рівнянь:

, з якої . Замінимо змінну t на x, отримаємо шукану функцію

. Виконавши перевірку, робимо висновок, що знайдена функція є розв’язком даного функціонального рівняння.

11 клас

1. Відповідь. . Областю допустимих значень рівняння є відрізок . Запишемо

рівняння у вигляді . Розкладаючи

ліву частину рівняння на множники, одержимо: .

Залишається розв’язати стандартними методами рівняння ,

.

2. Відповідь. Задана рівність рівносильна таким співвідношенням:

, ,

, ,

, .

Для та

3. Відповідь. 13. Треба виконати і обґрунтувати відповідну побудову перерізу куба.

4. Відповідь. Зафіксуємо змінну x, тоді функціональне рівняння стане лінійним

рівнянням з двома невідомими. Введемо заміну , тоді .

Отримаємо систему рівнянь: . Знаходимо функцію:

. Отже, виконавши перевірку, робимо висновок, що функція

є розв’язком даного функціонально рівняння.

5. Відповідь. Олена дівчина Павла, Катерина дівчина Андрія, Ірина дівчина Петра. Нехай один з юнаків купив х подарунків, а його дівчина у подарунків; тоді вони заплатили відповідно х2 гривень і у2 гривень. За умовою х2 – у2 = 63, (х – у)(х + у) = 337. Отримаємо три системи:

х + у = 9, х + у = 21, х + у = 63,х – у = 7, х – у = 3, х – у = 1, і три пари розв’язківх = 8 х = 12 х = 32у = 1 у = 9 у = 31

Оскільки Петро купив на 23 подарунка більше від Олени то Петро купив 32, а Олена 9 подарунків. Оскільки Павло купив на 11 подарунків більше від Катерини, то Павло купив 12, а Катерина 1 подарунок. Звідси: Олена дівчина Павла, Катерина дівчина Андрія, Ірина дівчина Петра.


6 клас

1. Білка за 8 хвилин приносить горіх у дупло. На якій відстані від дупла знаходиться горішник, якщо без горіха вона біжить зі швидкістю 5 м/с, а з горіхом – 3 м/с.

2. У класі навчаються 37 учнів. Доведіть, що хоча б четверо з них відмічають день народження протягом одного з місяців року.

3. Чи можна квадрат зі стороною 20 см розрізати на 10 не рівних між собою менших квадратів, довжини сторін яких виражаються цілим числом сантиметрів?

4. Чи існує таке трьохзначне число, яке при множенні на 2, 3 або 4 дає нове трьохзначне число, яке записане тими самими цифрами?

5. У скриньці знаходяться білі і червоні кульки. Навмання виймають дві з них. Якщо вони одного кольору, то замість них кладуть червону кульку. Якщо різного, то червону кульку забирають, а білу кладуть назад у скриньку. Нарешті у скриньці залишилась одна кулька. Якого вона кольору, якщо спочатку у скриньці було 2014 білих кульок.


7 клас

1. Спростити вираз: 2. Задача Арнольда. На світанку дві бабусі вийшли назустріч одна одній з пунктів

А і В. В 12 годин дня вони зустрілися і кожна продовжила свій путь. Після чого перша прийшла в пункт призначення о 16 годині, а друга – в 9 годин вечора. Коли в цей день наступив світанок?

3. Два учні, високий і низенький, вийшли одночасно з одного і того ж дому в одну школу. В одного крок був на 20% коротший, ніж у другого, але він встигав за цей час зробити на 20% кроків більше, ніж другий. Хто з них раніше прийшов до школи?

4. Чи існує таке чотирьохзначне число, яке при множенні на 2, 3 або 4 дає нове чотирьохзначне число, яке записане тими самими цифрами?

5. В скриньці лежать 2014 кульок. Двоє гравців по черзі беруть зі скриньки кульки. За один хід дозволяється взяти від 1 до 10 кульок. Виграє той, хто візьме останню кульку. Який з гравців і як може забезпечити собі перемогу?

8 клас


1. Скільки пар натуральних x і y задовольняють рівняння: . Відповідь обґрунтуйте.

2. Задача Безу. Дехто купив коня і через деякий час продав його за 24 пістолі (пістоль – грошова одиниця Франції в минулому). При цьому він втратив стільки відсотків від попередньої вартості, скільки пістолів заплатив за коня. За яку суму він сам купив коня?

3. У рівності СУК СУК = БАРСУК замість кожної букви необхідно поставити певні цифри так, щоб одержати тотожність (різним буквам відповідають різні цифри).

4. Чи можна провести в кожному квадратику на поверхні кубика Рубіка діагональ так, щоб одержати ламану лінію без самоперетинів?

5. В скриньці лежать 2014 кульок. Двоє гравців по черзі беруть зі скриньки кульки. За один хід дозволяється взяти 1 або 2 кульки. Але один і той же гравець не має права взяти 2 кульки двічі підряд. Виграє той, хто візьме останню кульку. Який з гравців і як може забезпечити собі перемогу?

9 клас


1. При якому дійсному значенні параметру а сума квадратів коренів рівняння

буде найменшою?2. Для додатних і нерівних a, b, c довести нерівність:

.

3. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 дм і 20 дм. Знайдіть відстань від центра вписаного кола до висоти трикутника, яка проведена до гіпотенузи.

4. На площині задано 2014 точок і коло одиничного радіуса. Доведіть, що на колі знайдеться точка, сума відстаней від якої до даних точок не менше 2014.

5. В скриньці лежать 2014 кульок. Двоє гравців по черзі беруть зі скриньки кульки. За один хід дозволяється взяти 1 або 2 кульки. Але один і той же гравець не має права взяти 2 кульки двічі підряд. Виграє той, хто візьме останню кульку. Який з гравців і як може забезпечити собі перемогу?


10 клас

1. Довести нерівність:

.

2. Пряма l перетинає два кола, як показано на малюнку. Доведіть, що кут ABC дорівнює куту MNL.

3. Знайдіть всі дійсні числа х, які задовольняють рівнянню: 55x+44{x}=19, де {x} – дробова частина числа х, тобто {x}=x-[x], а [x] – найбільше ціле число, яке не перевищує х.

4. На площині задано 2014 точок і коло одиничного радіуса. Доведіть, що на колі знайдеться точка, сума відстаней від якої до даних точок не менше 2014.

5. Функція має вигляд , де – деякі числа. Відомо, що , , . Чому дорівнює ?


11 клас

1. Чи можливо куб, всі ребра якого одиничної довжини, обклеїти шістьома квадратами, 2 з яких мають площу по 2 квадратні одиниці, а 4 – по 0,5 квадратних одиниць?

2. Від двох даних кусків бронзи, які мають різну вагу p і q і різні частки олова, треба відрізати куски однакової ваги і сплавити їх з рештками інших кусків так, щоб частка олова (в процентах) після цього в обох кусках стала однаковою. Яку вагу мають ці куски? Розв’язати задачу у загальному випадку і у випадку, коли вага першого куска дорівнює 6 кг, а другого – 12 кг.

3. Задача Паскаля. Два однаково вправні гравці грають у гру, яка не допускає нічиєї. Вони зробили ставки по 10 пістолів (пістоль – грошова одиниця Франції в минулому) і домовилися, що той, хто першим набере 10 виграних партій,

одержить всі гроші. Гру довелося припинити при рахунку 9:8. Як вони повинні розділити гроші?

4. Знайдіть усі функції , які задовольняють рівняння .

5. Задача Діофанта. Знайдіть такі три натуральні числа. щоб сума всіх трьох і кожних двох з них були повними квадратами.



6 клас 1. Відповідь . 900.

2. Відповідь. Застосуємо принцип Діріхле. У році 12 місяців, отже 37 : 12 = 3 (ост. 1). Тобто, протягом місяця у класі відмічають три дня народження, а так як один учень залишився в остачі, то протягом одного з місяців день народження відмічають четверо учнів. Що й треба було довести.

3 . Відповідь. Не можна. Найменші можливі суми квадратів 10 цілих чисел рівні 385 і 406 (Не рівні 400).

4. Відповідь. Не існує. Очевидно, що таке число не більше 250. Тому першою цифрою може бути 1 або 2. Обидва припущення при перевірці приводять до протиріччя: для запису такого числа треба чотири різні цифри.

5. Відповідь. Очевидно, що кількість білих кульок або не змінюється, або зменшується на 2. Тому залишитися може тільки червона кулька.

7 клас 1. 2014.

2. Відповідь. Бабусі вийшли в дорогу о 6 годині ранку.

3. Відповідь. Нехай – довжина кроку високого учня, – кількість кроків, зроблених ним за одиницю часу. Тоді пройдений ним за цей час шлях дорівнює ln. Відповідно

низенький учень пройде лише шлях .Отже високий прийде швидше.

4. Відповідь. Не існує. Очевидно, що таке число не більше 2500. Тому першою цифрою може бути 1 або 2. Далі одержуємо два можливі набори цифр, з яких не можна скласти число, яке ділиться на 3.

5. Відповідь. Виграє перший. Спочатку він бере 1 кульку і далі кожного разу доповнює кількість кульок, які взяв другий до 11. Це забезпечує йому перемогу, бо 2013 ділиться на 11.

8 клас 1. Відповідь. 12. Приведемо дане рівняння до такого виду: . Тепер враховуємо, що y-1 буде натуральним дільником 2016. А кількість таких дільників можна підрахувати з умови: 2016 = 12222263.

2. Відповідь. Нехай він купив коня за х пістолів. Маємо рівняння: . Маємо два розв’язки: х1=40, х2=60.

3. Відповідь. Від обох частин рівності віднімемо СУК. Одержимо: СУК (СУК-1) = БАР 1000. Два послідовні натуральні числа СУК і СУК-1 взаємно прості, а їх добуток ділиться на 1000 = 53 23. Тому одне з них ділиться на 125, але не ділиться на 2. А друге ділиться на 8, але не ділиться на 5. Трьохзначні непарні числа, які діляться на 125, це 125, 375, 625 і 875. Серед сусідніх з ними чисел на 8 діляться тільки 376 і 624. Перевірка показує, що підходить тільки друге число. Отже маємо: 625 625 = 390625.

4. Відповідь. Не можна. На поверхні кубика Рубика всього 54 квадратиків (тобто, якщо путь із діагоналей існує, то він складається з 54 діагоналей) і 56 точок, через які цей путь може проходити. Отже, через одну з цих точок путь проходити не може, тобто, в квадратах, які «оточують» цю точку, проведені діагоналі, які утворюють замкнений цикл (довжини 3 або 4), і путь має самоперетин.

5. Відповідь. Виграє перший. Спочатку він бере 1 кульку і після свого другого ходу залишає в скриньці 2010 кульок. Далі, на любий хід другого він бере 1 кульку, а другим ходом досягає того, щоб за дві пари ходів кількість кульок зменшилась на 5 і т.д.

9 клас 1. Відповідь. а=1.

2. Вказівка. Скористатися нерівністю між середнім арифметичним і середнім геометричним.

3. Відповідь. 1 дм. Скористатися умовою, що дотичні до кола, проведені з однієї точки, рівні і подібністю прямокутних трикутників.

4. Відповідь. Позначимо задані точки М1, М2, …, М2014. Розглянемо на колі дві довільні діаметрально протилежні точки Р1 і Р2. Враховуючи, що Р1Р2 = 2, відповідно до нерівності трикутника, для довільної точки Мі маємо: МіР1+МіР2 ≥ 2. Додавши такі

нерівності для всіх точок, одержимо: . Отже, принаймні одна з вказаних сум у лівій частині нерівності не менше 2014.

5. Відповідь. Див. задачу № 5 8 класу.

10 клас

1. Відповідь. Скористаємося тим, що для довільного n, яке задовольняє нерівність 1

n 2014, виконується нерівність . Склавши відповідні нерівності одержимо:

, звідки легко одержати шукану нерівність.

2. Вказівка. Треба розглянути вписані чотирикутники ABNL і BCMN і скористатися властивістю, що сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює .

3. Відповідь. Представимо х у вигляді: х=n+, де n=[x], а ={x}. Тоді вихідна рівність перетвориться у наступну: 55n+99=19, або 55n=19-99. Але 0<0, тобто -80<19-

9919. З останніх двох рівностей маємо: -80<19-55n 19, або . Існують тільки два цілих значення числа n, які задовольняють останню нерівність: n=-1 або n=0. Далі з рівності 55n+99=19 знаходимо два значення для : 74/99 або 19/99. Їм відповідають два значення х: х=-1+74/99=-25/99 або х=0+19/99=19/99.

4. Відповідь.. Див. задачу № 4 9 класу.

5. Відповідь. Оскільки то и тому можна подати у вигляді

, оскільки , то и тому має вид .

Аналогічно маємо , звідси и тому функцію можна

подати у вигляді . При заданих умовах . Тобто .

11 клас

1. Відповідь. Можна. Великі квадрати наклеюють на дві протилежні грані, а кути загинають на суміжні. Маленькі квадрати наклеюють так, щоб їх діагоналі співпадали с непокритими ребрами.

2. Відповідь. . Треба від кожного куска відрізати по 4 кг.

3. Відповідь. 15 і 5 золотих. Треба підрахувати ймовірності перемоги кожного з гравців.

4. Відповідь. Застосуємо заміну , маємо рівняння:

. Тоді . Позначивши через , одержимо

, де . Очевидно, що функція задовольняє вихідне

рівняння (переконуємося в цьому, зробивши перевірку). Тобто , де .

5. Відповідь. Нехай . Нехай1. Вказівка. Треба розглянути вписані чотирикутники ABNL і BCMN і скористатися властивістю, що сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює .

, тоді . Нехай також . Тоді маємо:

, , . Але за умовою і повинно бути

повним квадратом. Найменші значення для дають наступні трійки шуканих чисел: (16, 0, 9), (32, 32, 17), (80, 320, 41).

Documents

oksanarafalska.ucoz.ua · Web viewЗавдання 2-го етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 2002 року 6 клас Комп'ютерний