1

Лекція № 14Тема:

ОСНОВНІ УЯВЛЕННЯ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ .

14-18 квітня, 2013 - 2014 н.р. Потоки А,Б,В,Г,П (Лікувальний факультет №1, №2)

Лектор : ст. викладач, ЖЕЛІБА В'ячеслав Трохимович

Змістовий модуль 7. Елементи квантової механіки .

Конкретні цілі: • Трактувати основні поняття квантової механіки; • Пояснювати квантово-механічну модель атома водню (енергетичні стани, квантові числа, принцип Паулі); • Пояснювати основи застосування квантово-механічних резонансних методів в медицині.

ПЛАН ЛЕКЦІЇ

1. Вступ …………………………………………………………………. 2

2. Елементи квантової фізики. Ядерна модель атома.

Теорія Бора і її затруднення. ..……………………………………………………2

3. Квантово-механічна модель атома водню. Постулати Бора.

Геніальна здогадка Гейзенберга. .………………..……………..3

4. Корпускулярно - хвильовий дуалізм речовини.

Хвильові властивості мікрочастинок. Формула де Бройля .….... 5

5. Рівняння Шредінгера. Хвильова функція та її

фізичний зміст . …………………………………………………………… 6

6. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга. ……….…… 8

7. Квантові числа. ………………………….………………....…….. 9

8. Енергетичні рівні. Принцип Паулі. …………………..…..…. 11

9. Заповнення оболочок атомів. ……………………………….… 13

Додаток: Тест-Питання з теми Лекції №14 до Дифзаліку…..….. .16

2

ОСНОВНІ УЯВЛЕННЯ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ .

1. В С Т У П

1.1. Кожна завершена наука не повинна мати логічних протиріч.Прикладом такої науки довгий час була МЕХАНІКА – наука про рух тіл. Рух – одне з самих складних понять фізики. З ним пов’язані уявлення про найрізноманітніші образи : від шелесту листя дерев до польоту ракет. Ці образи пов’язані з уявою трєкторіі руху тіла (матеріальної точки) . Але перші спроби скласти уяву про рух електричних зарядів - електричних сигналів по лінії електропередачі – провідниках викликали труднощі в створенні образів явищ. Перші труднощі виникають, наприклад, при бажанні створити образ передачі сигналів між мобільними (безпровідними) телефонами . Про яку траєкторію тут можна говорити? Електромагнітні хвилі – це не рідина, яка «тече» по проводах!

Нагадаємо собі загальний принцип створення (або накопичення) знань. Всяке пізнання природи, процесів і явищ в ній починається з мотивації (свідомої чи підсвідомої), починається з ВІДЧУТТІВ : дитина торкається до іграшки, слухає голос матері , смокче соску – людина з перших миттєвостей життя попадає в світ ЯВИЩ , які створюють у неї свої ОБРАЗИ , від з’ясовування та спілкування з якими з’являються ПОНЯТТЯ , які з часом і вивченням колективного досвіду, узагальненого однозначно для всіх !!! В науці практично кожному ПОНЯТТЮ поставлена відповідна ФОРМУЛА – набір символів і чисел, задані правила дій над ними, тим самим досягається ОДНОЗНАЧНІСТЬ НАУКИ, яка дозволяє СПІЛКУВАТИСЯ між собою вченим різних країн і поколінь!!! Таким чином ми остаточно отримуемо ДОСВІД , іншим словом – ЗНАННЯ про те явище, яке ми почали ВИВЧАТИ.

Зв’язок ЯВИЩЕ → ОБРАЗ → ПОНЯТТЯ → ФОРМУЛА → ДОСВІД можна використати і з’ясувати на прикладі виникнення поняття «ХВИЛЯ»:

- в ід спостереження ЯВИЩА (хвилі на поверні води – хвилі на морі) - до створення ОБРАЗА ( утворення кругів на поверхні води від кинутого на поверхню води камінця) і далі – - до ПОНЯТТЯ (характеристик образа): Т - періодичність, А – Амплітуда, υ – швидкість поширення коливань, ν – частота коливань поверхні, λ – довжина хвилі. - Нарешті, у ФОРМУЛАХ всі ці характеристики об’єднані, що дозволяє однозначно описати конкретне ЯВИЩЕ!!! - Ми отримали ЗНАННЯ (ДОСВІД) про виучуване нами ЯВИЩЕ.

Рекомендую Вам постійно пам’ятати цю «Схему Пізнання» і користуватися нею в будь-яку мить стикання з явищами, що є середовищем Вашого існування, буття. Це стосується і матеріалу теми лекції, яка пропонується Вам для вивчення.

2. Елементи квантової фізики.2.1. Ядерна модель атома. Теорія Бора і її затруднення.

До кінця 19-го сторіччя атом вважали неподільним. На початку 20-го сторіччя було висунуто кілька моделей будови атома. При допомозі цих моделей вчені пробували пояснити ряд незрозумілих експериментальних фактів - лінійність спектрів випромінювання газів при високій температурі, електричну нейтральність і стійкість атомів. Першу спробу побудувати теорію будови атома в межах класичної фізики зробив у 1903 р. англійський фізик Д.Томсон. За гіпотезою Томсона атом уявлявся у вигляді сфери, яка рівномірно

3

заповнена позитивним зарядом, в середині якої містяться електрони. Проте ця модель була неспроможна пояснити спектральні закономірності атомів. Наприклад, за цією гіпотезою число ліній у спектрі не повинно було перевищувати число електронів в атомі, тоді як в дійсності навіть у спектрі атома водню число ліній перевищувало 30. Крім того гіпотеза Томсона не опиралася на будь-які дослідні дані. )

Вирішальне значення для теорії будови атома мали досліди Резерфорда, який у 1913 році вивчав розсіяння пучка α – частинок на тонкій металевій пластинці.

Ці дослідні факти дали можливість Резерфорду описати ядерну модель атома (рис. 1.1): в центрі атома міститься позитивно заряджене ядро атома, розміри якого мають величину порядку 1· 10−14 м, навколо ядра по замкнутих орбітах в об ємі сфери радіусом порядку 1· 10-10 м обертаються електрони, причому їх кількість дорівнює порядковому номеру елемента Z. В такому вигляді ядерна модель атома зберегла своє значення і до нашого часу, хоч і зазнала багатьох уточнень.

Рис. 1.1. Планетарна модель атома (на прикладі Водню – Н: Z = 1 )

На кожний рухомий електрон в атомі (рис. 1.2., нижче) діє F⃗ дцдоцентрова сила ядра, яка дорівнює кулонівській силі притягання електрона до ядра. Ця сила забезпечує стійкий орбітальний рух електрона в атомі, подібно орбітальному руху планет в сонячній системі. Однак і планетарна модель атома незабаром виявилась неприйнятною. Виникли затруднення в поясненні невідповідності створених Резерфордом ОБРАЗ та ПОНЯТТЯ про ЯВИЩЕ): 2.1.2. Дійсно, електрони рухаючись в атомі з доцентровими прискореннями, згідно з теорією Максвелла повинні випромінювати енергію у вигляді електромагнітних хвиль, що робить атоми не стійкими – енергія електрона з часом зменшується і він мав бив «впасти» на ядро, а атом - припинити своє існування! Але насправді атоми досить стійкі і при невисоких температурах енергії не випромінюють і не поглинають.

2.1.3. В той же час при високих температурах будь-які атоми, перебуваючи у газоподібному стані, випромінюють електромагнітні хвилі (рис. 2.2., a; б) у вигляді лінійчатих спектрів.

Рис. 2.1. «Падіння» електрона на ядро.

Рис. 2.2. Лінійчаті спектри (а, б)

3. Квантово-механічна модель атома водню. Постулати Бора. Геніальна здогадка Гейзенберга.

Вихід із затруднень знайшов датський фізик Нільс Бор: в основу нової моделі атома була покладена планетарна модель Резерфорда ( вище: рис. 1.1) , але Бор висунув припущення, що

4

рух електронів в атомі, випромінювання і поглинання атомами електромагнітних хвиль підпорядковуються не класичним законам, а квантовим. І ці закони Бор сформулював у вигляді наступних 2-х постулатів:

1. Електрони, які рухаються в атомі на окремих стаціонарних рівнях, не випромінюють і не поглинають електромагнітних хвиль.

2. В стаціонарних станах атома електрони рухаються вздовж колових орбіт (рис. 1.1), які мають дискретні значення моменту імпульсу : L l = ℏ ·√l (l+1) , де l = 0, 1, 2, … , (п — 1).

При переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу, наприклад, з 2-ої (n =2) на 1-шу (n =1), – випромінюється квант енергії ε (рис. 3.1) :ε=h · ν2−1=E2−E1 , ( 3.2.1 ) або поглинається квант енергії (з 1-шої на 2-гу), який дорівнює різниці енергій цих двох стаціонарних 1 та 2 рівнів: E2−E1.

Частота νk−nелектро−магнітних магнітних хвиль становить :

νk−n=m ·e4

4 πℏ3 ·( 1n2 −

1k2 ) ( 3.2.2 ) ,

де m · e4

4 πℏ3 - постійна Рідберга, k – номер енергетичного рівня, з якого електрон при

випромінюванні атома, перейшов на рівень n.

Зміст формул (3.2.1 і 3.2.2) має принципове значення. Він відображає два нових фундаментальних твердження:

a ). Енергетичний c пектр атома дискретний (р ис. 3.2). b ). Частоти атомного випромінювання пов' язані з атомними рівнями.

Рис. 3.2 Величезна заслуга Нільса Бора перед наукою полягає в тому, що він вперше усвідомив дискретність енергетичного спектра атома. Однак теорія Бора має ряд внутрішніх протиріч.

1). Рух електронів в атомі не підкоряється законам електродинаміки: він не падає на ядро ( рис.2.1 , вище) і… 2 )… навіть не випромінює , якщо атом не

збуджений !.

По Бору випромінювання атому виникає при умові, виведення атому з стану рівноваги! Це випромінювання має строго визначену довжину хвилі і виникает при перестрибуванні з однієї стаціонарної орбіти на іншу. Сама схема Бора не відповідала на питання:

що ж відбувається з електроном в момент стрибка?

Рис. 3.1.

Рис. 3.3.

5

І незвичною була здогадка Гейзенберга: ЕЛЕКТРОН НЕ БУВАЄ «МІЖ» СТАЦІОНАРНИМИ СТАНАМИ - Х12 , Х21 , (див. приклад на рис. 3.4), такої властивості у електрона просто немає!!! Але є «ДЕЩО» і це «ДЕЩО» повинно залежати тільки від того, КУДИ перейшов електрон і ЗВІДКИ він прийшов: з Х12 в Х21 , або з Х21 в Х12 . Гейзенберг стверджував: а). Такої неперервної траєкторії в атомі НЕМАЄ! А замість

траєкторії є набір дискретних чисел (як на рис.3.3, 3.4 ): Х nk, Х kn ,…, Х12 , Х21 , де n та k – номери кінцевого та початкового стану електрона. б). Числа Х nk, Хkn , …, Х12, Х21, - не можна назвати координатами електрона в атомі а тільки їх «представляють». ОТЖЕ, РУХ ЕЛЕКТРОНУ В АТОМІ НЕ МОЖНА УЯВЛЯТИ СОБІ ЯК РУХ

МАЛОЇ КУЛЬКИ ПО ТРАЄКТОРІІ З одного боку в розглядуваній (квантово-механічній) моделі використовуються закони класичної фізики, а з іншого боку вона базується на квантових постулатах. Так результати теорії вивчення випромінювання атома водню і воднево подібних атомів блискуче співпали з експериментом. Теорія Бора також пояснила причину випромінювання лінійчатих спектрів складними атомами, періодичний закон Менделєєва і закон Мозлі. Однак залишалось не виясненим : а) Чому рух електронів в атомах підпорядкований двом постулатам Бора? б) Чому одні лінії спектра досить інтенсивні, а інші ні?в) Чому здійснюються лише певні переходи електронів в атомах при випромінюванні і поглинанні ними енергії? г) Досить значним недоліком теорії Бора була неможливість описати з її допомогою будову атома гелію, наступного за атомом водню елемента.

Відповіді на поставлені запитання дала квантова механіка , в якій на принципово новій основі установлені закономірності руху електронів в атомах і будь-яких частинок в інших системах.

4. Корпускулярно - хвильовий дуалізм речовини. Хвильові властивості мікрочастинок. Формула де Бройля.

4.1. Гіпотеза і формула де Бройля. Дослідне обгрунтування корпускулярно - хвильового дуалізму речовини.

Початком квантової теорії електромагнітного випромінювання – є дослідження Макса Планка і Альберта Ейнштейна з взаємодії світла з речовиною. З квантової точки зору світло - це фотони з енергією ε = hν і імпульсом pф=mυ :

p ф = mф · с = h · νc =

hλ ( 4.1.1)

Ліва частина p = m · υ = mф · с є ознаками частинок корпускул (маса та швидкість ),

а праві частина h · ν

c = hλ (частотаν і довжина хвилі λ ¿ є ознаками електромагнітних хвиль.

Рис. 3.4

6

Формулою ( 4.1.1) відображено дуалізм « хвиля-частинка» світла: світло з одного боку схоже на «газ», який складається з фотонів енергією ε і імпульсом р . З другого боку він є неперервною електромагнітною хвилею з частотою v.

4.2. Хвильові властивості мікрочастинок. Формула де Бройля

У 1924 році французький фізик Луї де Бройль висунув гіпотезу про те, що дуалізм не є особливістю фотона і що подібним властивістю володіє будь-яка матерія. Він писав: «в оп ти ц і п ротя г ом стол іт ь д уже нехт ув али к орп уск ул я рни м сп особом роз гл я ду п роц ес і в в п ор ів ня н ні з хв и льов им , не роби тьс я чи в теор і ї речов и ни з ворот на п оми л ка» .За де Бройлем : всякий мікрооб'єкт, будь то молекула, атом, електрон або фотон, являє собою утворення особливого роду, що поєднує в собі властивості і хвилі і частинки ; при цьому мікротела ведуть себе: ні як частка, ні як хвиля. Для нерелятивистской частинки, швидкість якої менше швидкості світла υ << c

( c = 3·108 мс ) , довжина хвилі речовини λ може бути визначена за формулою:

λ = h

m· υ ( 4.2.1 )

Допускаючи, що мікрочастинки поряд з корпускулярними володіють і хвильовими властивостями, він переніс на випадок частинок речовини ті ж правила переходу від однієї картини до іншої, які справедливі у випадку світла. Де Бройль вважав, що рух релятивістської мікрочастинки пов'язано з хвильовим процесом, довжина хвилі якого визначається її імпульсом рф і енергією ε . Ми знаємо, що фотон має енергію : ε = h·ω (ω = 2πν) і імпульсом : рф = m· υф

Від λ в (4.2.1 ) перейдемо до λф → λф = ℏ

m·υф , де = ℏ h

2π ( 4.2.2 )

Гіпотеза де Бройля була підтверджена вже в 1927 році американськими фізиками Девіссон і Джермером, які отримали дифракцію електронів, використовуючи природню дифракційну решітку монокристалу нікелю, виявили, чітку дифракційну картину. Схема зображена на рис. 4.1.

а) б)

Рис. 4.1

Електронний пучок (рис.4.1,а)), який вилітав з нагрітої нитки катода К, прискорювався полем з різницею потенціалів U, і проходячи через ряд діафрагм. Порівнявши наведені факти (утворені інтерференційні максимуми – б)), можна зробити висновок, що електронний пучок проявляє хвильові властивості і при цьому довжина хвилі електронного пучка залежить від швидкості електронів. Отримані результати практично ідеально збігалися з результатами, обчисленими за формулою Брега для дифракції рентгенівських променів.

5. Рівняння Шредінгера. Хвильова функція та її фізичний зміст.

7

5.1. Рівняння Шредінгера.

Оптико-механічна аналогія залишається справедливою також і у випадку хвильової оптики. Це означає, що завжди будь-який рух частинок можна уподібнити поширенню хвиль. Тобто, рух частинок повинен проявляти хвильові властивості в тих областях простору , розміри яких порівня нні з довжиною хвилі цих частинок. Більшою мірою це відноситься і до руху електрона в атомі (рис. 5.1) .

Порівнявши формули де Бройля р = h / mv і Бора m v r = h / 2π , легко побачити, що ( див. зверху на рис.5.1) радіус атома r = λ / 2π приблизно в 6 разів менший , ніж довжина хвилі електрона λ ( див. внизу λ на рис.5.1) . Якщо цю

довжину λ ототожнити з розміром електрона в атомі , то стає відразу очевидним ,

що представляти його в атомі частиною ядра неможливо , бо тоді доведеться допустити , що атом побудований з таких частинок , які більші його самого (??? )

Звідси відразу , і трохи несподівано , слідує вже відомий нам з попередньої глави постулат Гейзенберга : не існує поняття траєкторії електрона в атомі . Дійсно , не може щось більше рухатися всередині чогось меншого , і притому по траєкторії . Але тоді не існує і проблеми стійкості атома , так як електродинаміка забороняє електрону рухатися в атомі лише по траєкторії і не відповідає за явищам , які відбуваються при інших типах рухів. Все це означає , що в атомі е лектрон и і снують не у вигляді частинок , , а у вигляді деяких хвиль .

Яка б не була природа цих електронних хвиль , їх рух повинен підкорятися хвильовому рівнянню. Шредінгер знайшов це рівняння . Ось воно:

Примітка: Щоб з’ясувати фізичний зміст хвильової функції звернимося до аналогії з струною, що здійснює коливання. Це рівняння добре відомо в классичній фізиці :

Рис. 5.2

Запишемо в більш широко прийнятній формі рівняння хвиль – механічних – а) нерелятивістських υ >> с : (5.1.1); (5.1.2) і

б) мікрочастинок – електронів атомів υ = с : (5.1.3) ; (5.1.4) : ********************************************************************* а) нерелятивістських υ >> с :

Рис. 5.1

8

Дифереційне рівняння хвилі механічних коливань струни в системі відліку відносно координати Ox :

d2 sd x2 =¿− A · ω2

υ2 · cos ⦋ω (t – xυ)¿ (5.1.1),

розв’язок рівняння (5.1.4): s = Acos⦋ω(t – xυ )]

- рівняння механічної хвилі (хвильова функція ) (5.1.2)**********************************************************************

б) мікрочастинок – електронів атомів υ = с Диференційне рівняння хвилі коливання електрона в атомі (стаціонарний стан) в системі відліку відносно координати Ox: d2Ψdx2 + 2m

ℏ2 · [ E заг−Eпот ] ·Ψ=0 (5.1.3) ,

де m = 9,10953 · 10 -31 - маса електрона, ℏ = h

2 π=1,055 ·10−31 Дж·с - постійна Планка;

розв’язок рівняння (5.1.2): Ψ = Ψ0 cos(ωx + φ0 ) (5.1.4) - це стаціонарне рівняння Шредінгера , що описує поведінку електрона атома в полі свого ядра , яке не змінюється з часом - тобто, в стаціонарному стані.- Ψ хвильова функція.

Важливо!!! Рівняння Шредінгера точно співпадає с рівнянням струни ( рис. 5.2)! І розв’язки їх співпадають !!! До складу хвильової функції Ψ (х, y, z) входять 3 квантових числа(див. с.9 Плану) :

1. Г о л о в н е к в а н т о в е ч и с л о n ; 2. О р б і т а л ь н е к в а н т о в е ч и с л о l і ; 3. М а г н і т н е к в а н т о в е ч и с л о m l . У разі дії зовнішніх (змінних, наприклад В⃗ ,полів) враховують четверте – 4. C п і н о в е к в а н т о в е ч и с л о ms .

5.2. Фізичний зміст хвильової функції:

| Ψ |2 = dPe

dV (5.2.1)

- квадрат модуля хвильової функції | Ψ | 2 визначає густину ймовірності dPe

dVзнаходження

електрону е (або будь-якої мікрочастинки) в певному місці атома – в електронній хмарці;

| Ψ |2 = dPe

dV - функція розподілу об’ємної густини

ймовірності знаходження мікрочастинки в даній точці простору (наприклад, електрона в електронній хмарці свого атому, умовою нормування є : P=∫ dP=∫ ¿Ψ∨¿2¿ · dV = 1 .

Отже, за цією функцією можна визначити PdV - ймовірність знаходження електрону е в наперед визначеному просторі атому, об’єм якого dV . Для цього достатньо обчислити інтеграл: PdV = ∫ dPe=∫ ¿Ψ ∨¿2 · dV ¿ (5.2.2) 6. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга .

Щодо координат електрона в атомі. Їх визначення є обов’язковим в описі стану тіла при з’ясуванні ОЗНАК – на

одному з етапів пізнання ЯВИЩА (див. 1. ВСТУП, с.2.)

9

У випадку хвильових властивостей елементарних частинок: поняття «координати хвилі» не має фізичного змісту. Така закономірність мікросвіту відображена співвідношеннями невизна-ченостей Гейзенберга. Наприклад, в квантовій фізиці з урахуванням хвильових властивостей частинок і згідно з принципом невизначеності Гейзенберга: ∆ px· ∆x ≥ ℏ (6.1.1),

показано, що у частинки не існує одночасно точних значень координат і імпульсу і що ці величини між собою навіть не пов`язані. Якщо імпульс частинки ∆ px → 0 (має точне значення), то її місце знаходження невизначене (∆x → ∞) і навпаки.

Згідно з принципом невизначеності Гейзенберга можна записати і таке: ∆E · ∆t ≥ ℏ , (6.1.2) З (6.1.2) видно: точно визначити місцезнаходження електрона в будь-якій точці області тривимірного простору ( Х, Y, Z ) - dV в будь-який визначений момент часу t неможливо. Однак можна вказати ймовірність цього . ( Область dV тривимірного простору ( Х, Y, Z ) , у якій ймовірність знаходження електрона найбільш висока , називається орбиталлю) . Примітка: Електрони можуть займати 4 орбіталі різних типів – s, p, d, f , які називаються s - ( sharp - різка ) , р - ( principal - головна ) , d - ( diffuse - дифузна ) і f - ( fundamental - базова ) орбіталі . Раніше цими літерами позначали спектральні лінії водню , але в даний час їх використовують тільки в якості символів , без розшифровки . Орбіталі можна представити у вигляді тривимірних поверхонь . Зазвичай області простору (електронні хмарки) , обмежені цими поверхнями. Їх вибирають так , щоб ймовірність (надійність виявлення всередині них електрона) становила не менше 95 %. Схематичне зображення орбіталей представлено на рис. 6.1; 6.2 . Рис.1. Рис. 6.2

7. Квантові числа

Стан електрона в атомі визначається сукупністю чотирьох квантових чисел.1. Г о л о в н е к в а н т о в е ч и с л о n = 1, 2, 3, … ; воно визначає дозволену енергію електрона обумовлену його взаємодією з ядром; за моделлю Резерфорда-Бора - визначають порядкові номери орбіт та їх радіуси (для еліптичних орбіт – велику напіввісь b – Рис. 7.1).Кожному значенню n відповідає свій енергетичний рівень . З збільшенням n квантовані значення енергії збільшуються, зростає розмір електронної хмари (див. внизу с.12, рис. 8.2). 2. О р б і т а л ь н е к в а н т о в е ч и с л о l і - визначає дозволені значення орбітального моменту кількості руху ( імпульсу ) електрона по орбіті ( в моделі Бора-Зомерфельда – дозволені співвідношення малої a та великої b півосей еліптичних орбіт ( рис.7.1; та 7.2) :

l і = ℏ ·√l(l+1) , де l = 0, 1, 2, 3, 4, … , (п — 1). s p, d, f, g, …

10

Рис 7.1 Рис .7.2

3. М а г н і т н е к в а н т о в е ч и с л о m l - визначає можливу просторову орієнтацію електронних орбіт (Рис. 7.3, a) в зовнішньому магнітному полі з індукцією B⃗ орбітального моменту імпульсу електрона L⃗l , і пов'язаного з ним орбітального магнітного моменту pm. Можлива лише така орієнтація вектора L⃗l , при якій його проекція L⃗l zна заданий напрямок Z - Z є кратною ℏ ( див. Рис. 7.4: a, b )

Рис. 7.3

a) b)

11

.

b) a) Рис. 7.4. a, b. Просторова орієнтація орбіт у зовнішньому магнітному полі з індукцією В⃗ (по осі Z )

( наприклад , напрямок індукції B⃗ зовнішнього магнітного поля ) приймає ряд дискретних значень , кратних ℏ , просторове квантування ) : L⃗l z=mlℏ , де ml приймає значення 0, ± 1, ± 2, ... , ± l , де l - орбітальне квантове число ( всього 2 |l | + 1 значень ). Це означає, що орієнтація орбіталі може здійснюватися 2 |l | + 1 способами – Рис.7.3. де показано можливе розташування вектора L⃗i для p - електрону ( l = 1 ) . У цьому випадку ml = + 1, 0, - 1 і Ll z=+ℏ , 0 , - ℏ . Одначе, з причини співвідношення невизначеності , вектор L⃗l не може займати певного положення в просторі ( при данному значенні ml ) - він неперервно рухається навколо осі ( прецесує ) за твірною конуса з кутом ϑ при вершині ( рис. 7.5: с – у відсутності зовнішнього магнітного поля , б - при наявності зовнішнього поля з B⃗ ).

с) Рис. 7.5 б)

4. C п і н о в е к в а н т о в е ч и с л о ms в и з н а ч а є м о ж л и в і о р і є н т а ц і ї с п і н а - в л а с н о г о м о м е н т у і м п у л ь с у L⃗s і пов'язаного з ним спінового магнітного моменту е л е к т р о н а - ms=+1/2,−1/2 ( рис. 7.6.).

12

Рис. 7.6 .

Н А О С Н О В І Д О С Л І Д І В УСТАНОВЛЕНО , ЩО ТАКИХ ОРІЄНТАЦІЙ МОЖЕ БУТИ ДВІ .

ОТЖЕ, СПІНОВЕ КВАНТОВЕ ЧИСЛО ms МОЖЕ ОБРАТИ 2 ЗНАЧЕННЯ: ± 12ℏ .

( У ПРИЙНЯТОМУ ВИРАЗІ «СПІН ± ½ » ЙДЕТЬСЯ НЕ ПРО САМ СПІН L⃗s , А ПРО ЙОГО ПРОЕКЦІЇ ± ½ ℏ , ТОБТО В ОДИНИЦЯХ ℏ ).Чотири квантових числа n , l , ml і ms достатні для повної характеристики електрона в атомі.

8. Енергетичні рівні. Принцип Паулі. 8.1.1. Енергетичні рівні. Г о л о в н е к в а н т о в е ч и с л о n = 1, 2, 3, … визначає дозволену енергію електрона (тобто, енергетичний рівень), обумовлену його взаємодією з ядром.

Кожному значенню n відповідає свій енергетичний рівень – дозволену енергію електрона. Сукупність точок можливих положень електронів в об'ємі атома називається орбіталлю. Орбіталь умовно позначається у вигляді просторової хмарки (Рис. 8.2), густина якого характеризує розподіл ймовірності знаходження електрона, а, отже, і розподіл його заряду в різних точках об'єму атома. Зі збільшенням n квантовані значення енергії збільшуються, зростає розмір електронної хмари.

Розподіл електронів атома по орбіталях підпорядкований фундаментальному принципу Паулі: В атомі не може бути двох або більше електронів з 4 - ма однаковими квантовими числами: n, l ,ml і ms .

б)а)

Рис. 8.1. Енергетичні рівні E k

13

в) Рис. 8.2. а) Фотомодель електронної хмарки в атомі; б) схема: s - орбиталь , в): d – орбіталь.

Примітка: Зрозуміло, що електрон, який під'єднується до атома, посідає в ньому вільний рівень з найменшою енергією.

Розподіл електронів в атомі по рівнях та підрівнях.

Енергія електронів від двох квантових чисел - n , l . При даному значенні n змінюється при зміні квантового числа l . Сукупність електронів з даним значенням n в багато електронному атомі називають шаром і позначають символом, відповідно до значення n : n = 1, 2, 3, 4 …, ;

K, L, M, N, …, - позначення відповідних енергетичних рівнів (шарів) - ( Рис. 8.1; 8.3) . Всередині шару електрони розподіляються на підрівні, згідно зі значенням квантового числа l .В одному шарі ( n ) може бути така кількість електронів l = 0, 1, 2, … , (п — 1) - n підрівнів. Одному підрівню (l ) відповідає (всього 2 |l | + 1 значень: ml = + 1, 0, - 1 ).

На одній орбіталі ( n, l ,ml) - 2 електрона ( бо ms=+12

,−12 ).

ОТЖЕ, НА ОДНОМУ ПІДРІВНІ МОЖЕ ЗНАХОДИТИСЬ 2 · ( 2l + 1 ) ЕЛЕКТРОНІВ, А В ОДНОМУ

ШАРІ : ∑l=0

n−1

2 (2 l+1 )=2 n2 .

ПРИКЛАД:Шар Кількість електронів Підрівень Кількість електронівK 2 s 2L 8 P 6M 18 d 10

9. Заповнення оболочок атомів. (Самостійно) Ⅰ Ψ Ⅰ2 = f ( n, l, mi ).

Спін - орбітальні взаємодії між собою змінює систему енергетичних рівнів і тонкої структури спектральних ліній випромінювання

Рис. 8.3. Енергетичні рівні (шари) Ek,L,M,N….

14

Рис. 9.1. Заповнення оболонок атом ів.

15

Рис. 9.2

Рис. 9.3

16

Рис.9.4

17

Тема лекції № 14:

ОСНОВНІ УЯВЛЕННЯ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ .

Тестові питання до дифзаліку(Підготував ст.викл. Желіба В.Т._27/4/2014 )

Питання 1. Вибрати відповідь, що відповідає Планетарній моделі атома Резерфорда:

А) Рух електрона здійснюється навколо ядра по орбіті, радіус якої зменшується під дією доцентрової сили з боку ядра;Б) При віддаленні електрона від ядра атом випромінює енергію, а при наближенні – поглинає;В) Навколо позитивно зарядженого ядра обертається негативно заряджений електрон;Г) В атомі відбуваються переходи електрона з одного енергетичного рівня на інший, що спричиняє випромінювання або полгинання енергії атомом.

Питання 2. Які затруднення щодо Планетарної моделі атому Резерфорда спричинили подальшу необхідність удосконалення моделі атома:

А) Лінійчатість спектрів випромінювання іі поглинання; Б) відсутність факту швидкого припинення існування атому, що перебувае в стаціонарному стані; В) Лінійчатість спектрів випромінювання і поглинання та відсутність факту швидкого припинення існування атому, що перебувае в стаціонарному стані; Г) Існування явища випромінювання та поглинання енергії атомом.

Питання 3. Які дослідження спонукали до висновку про притаманність атомам речовини квантових властивостей:

А) Лінійчатість спектрів випромінювання іі поглинання та відсутність факту швидкого припинення існування атому, що перебувае в стаціонарному стані;Б) Існування явища випромінювання та поглинання енергії атомом;В) Завдяки запропонованій Резерфордом Планетарної моделі атома : в центрі розташоване позитивно заряджене ядро, а електрон, заряджений від’ємно, рухається навколо ядра; Г) Затруднення пояснити поцеси випромінювання більш складними атомами, ніж водень.

Питання 4. В чому полягала геніальна «здогадка» Гейзенберга щодо поведінки електрона в атомі.

А) Неперервної траєкторії руху електрона в атомі НЕМАЄ! Електрон не буває «між» стаціонарними станами;Б) Рух електрону в атомі не можна уявляти собі як рух малої кульки по траєкторіі;В) Електрон в атомі не можна розглядати як матеріальну частинку;Г) Електронам в атомі властива здатність дифрагувати та інтеферувати.

18

Питання 5. Які доповнення Бора до моделі атома Резерфорда дозволили перейти до квантово-механічної моделі Резерфорда-Бора? А) Електрони, які рухаються в атомі на окремих стаціонарних рівнях, не випромінюють і не поглинають електромагнітних хвиль. Б) При переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу випромінюється або поглинається квант енергії : ε=E1−E2 ; В) Рух електрону в атомі не можна уявляти собі як рух малої кульки по траєкторії; Г) 1-ший та 2-гий постулати Бора.

Питання 6. Вкажіть запис Першого Постулату Бора. А) Електрони, які рухаються в атомі на окремих стаціонарних рівнях, не випромінюють і не поглинають електромагнітних хвиль; Б) При переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу випромінюється або поглинається квант енергії, який дорівнює різниці енергій цих двох стаціонарних рівнів атома; В) Електрони в атомі на стаціонарних рівнях, не випромінюють і не поглинають енергію. Тільки при переході електрона з одного енергетичного рівня на інший відбувається випромінювання (випромінювання або поглинання) кванту енергії: ε=h · ν ; Г) Всякий мікрооб'єкт - молекула, атом, електрон або фотон - являє собою утворення особливого роду, що поєднує в собі властивості і хвилі і частинки.

Питання 7. На основі 2-го постулату Бора знайдіть правильну відповідь з

Мал. 9.6 .

А) атом випромінює при переході: з n=1 на n=3 ; Б) атом випромінює при переході: з n=3 на n=1 ; В) атом випромінює при переході: тільки з n=1 на n=2 ; Г) атом поглинає енергію при переході: з n=1 на n=3; з n=3 на n=2.

Питання 8. В чому полягає суть к орпускулярно - хвильового дуалізму речовини?

А) Під час руху частинка ( m ≠ 0 ) повинна проявляти хвильові властивості. Більшою мірою це відноситься до руху ( 𝓿 С ) ⋍ електрона в атомі; Б) В атомі електрони існують не у вигляді частинок ( m = 0 ) , а у вигляді деяких хвиль;

19

В) У частинки не існує одночасно точних значень координат і імпульсу і що ці величини між собою навіть не пов`язані;

Г) Для частинки, швидкість якої менше швидкості світла 𝓿 << c ( c = 3·108 мс ) , довжина

хвилі речовини λ може бути визначена за формулою: λ = h

m·υ .

Питання 9. Знайдіть формулу де Бройля і вірне пояснення до неї:

А) λ = h

m·υ ;

Б) ε = h ·ω ;

В) = ℏ h2π ;

Г) | Ψ |2 = dPe

dV .

Питання 10. Знайдіть символ (запис) та вірне пояснення того, що визначають за допомогою головного квантового числа.

1. n = 1, 2, 3, … ; воно визначає дозволену енергію електрона обумовлену його взаємодією з ядром; 2. l і - визначає дозволені значення моменту кількості руху ( імпульсу ) електрона (рис.1) по орбіті : ⃗L=m v⃗ r⃗ та дозволені співвідношення малої a та великої b півосей еліптичних орбіт електрона в атомі; 3. m l - визначає можливу просторову орієнтацію електронних орбіт (рис.) в зовнішньому магнітному полі з індукцією B⃗; 4. ms : в и з н а ч а є м о ж л и в і о р і є н т а ц і ї в л а с н о г о м о м е н т у і м п у л ь с у L⃗s і пов'язаного з ним власного магнітного моменту е л е к т р о н а . Питання 11. Знайдіть символ (запис) та пояснення того, що визначають за допомогою орбітального квантового числа.

1. n = 1, 2, 3, … ; воно визначає дозволену енергію електрона обумовлену його взаємодією з ядром; 2. l і - визначає дозволені значення моменту кількості руху ( імпульсу ) електрона (рис.1) по орбіті : ⃗L=m v⃗ r⃗ та дозволені співвідношення малої a та великої b півосей еліптичних орбіт електрона в атомі; 3. m l - визначає можливу просторову орієнтацію електронних орбіт (рис.) в зовнішньому магнітному полі з індукцією B⃗; 4. ms : в и з н а ч а є м о ж л и в і о р і є н т а ц і ї в л а с н о г о м о м е н т у і м п у л ь с у L⃗s і пов'язаного з ним власного магнітного моменту е л е к т р о н а .

20

Питання 12. Знайдіть символ (запис) та пояснення того, що визначають за допомогою магнітного квантового числа.

1. n = 1, 2, 3, … ; воно визначає дозволену енергію електрона обумовлену його взаємодією з ядром; 2. l і - визначає дозволені значення моменту кількості руху ( імпульсу ) електрона (рис.1) по орбіті : ⃗L=m v⃗ r⃗ та дозволені співвідношення малої a та великої b півосей еліптичних орбіт електрона в атомі; 3. m l - визначає можливу просторову орієнтацію електронних орбіт (рис.) в зовнішньому магнітному полі з індукцією B⃗; 4. ms : в и з н а ч а є м о ж л и в і о р і є н т а ц і ї в л а с н о г о м о м е н т у і м п у л ь с у L⃗s і пов'язаного з ним власного магнітного моменту е л е к т р о н а .

Питання 13. Знайдіть символ (запис) та пояснення того, що визначають за допомогою спінового квантового числа.

1. n = 1, 2, 3, … ; воно визначає дозволену енергію електрона обумовлену його взаємодією з ядром; 2. l і - визначає дозволені значення моменту кількості руху ( імпульсу ) електрона (рис.1) по орбіті : ⃗L=m v⃗ r⃗ та дозволені співвідношення малої a та великої b півосей еліптичних орбіт електрона в атомі;3. m l - визначає можливу просторову орієнтацію електронних орбіт (рис.) в зовнішньому магнітному полі з індукцією B⃗;4. ms : в и з н а ч а є м о ж л и в і о р і є н т а ц і ї в л а с н о г о м о м е н т у і м п у л ь с у L⃗s і пов'язаного з ним власного магнітного моменту е л е к т р о н а .

Питання 14. Рівняння Шредінгера .

А) d2Ψdx2 + 2m

ℏ2 · [ E заг−Eпот ] · Ψ=0 ;

Б) | Ψ |2 = dPe

dV ;

В) ν=m·e4

4 πℏ3 ·( 1n2 −

1k2 ) ;

Г) λ = hm·υ .

Питання 15. Хвильова функція та її фізичний зміст.

А) s = Acos [ω(t – xυ )] ;

21

Б) λ = hm· υ - для частинки масою m, швидкість якої менша швидкості світла υ << c (

c = 3·108 мс ), відповідає довжині хвилі, випромінюваної цією частинкою;

В) d2Ψ

dx2 + 2mℏ2 · [ E заг−Eпот ] · Ψ=0 , описує процес зміни координати частинки в просторі

dV атома;

Г) Ψ = Ψ0 cos(ωx + φ0) - фізичний зміст: | Ψ |2 = dPe

dV - квадрат визначає об’ємну густину

ймовірності dPe

dVзнаходження електрону е в певному місці електронної хмарки атома .

Питання 16. С піввідношення невизначеностей Гейзенберга

А) ∆ px· ∆x ≥ ℏ ; Б) ∆ px· ∆x ≥ ;ℏВ) m · Δ𝓿 · r = ∆ px;Г) ∆E · ∆x ≥ ℏ .

Питання 17. Що в квантовій механіці розуміють під поняттям «Енергетичні рівні» ?

А) Це номер орбіти, на якій знаходиться електрон в атомі: n1=1; n2 = 2; n3 = 3; …Б) Це місце на орбіті електрона в атомі.В) Це значення енергії атома, визначеної для певного стану електрона в атоміГ) Це значення дозволеної енергії , яку може мати квантова система, наприклад атома тощо.

Питання 18. Принцип Паулі.

А) В атомі не може бути двох або більше електронів з 4 - ма однаковими квантовими числами n , l , ml і ms ; Б) В атомі не може бути двох або більше електронів з 2 - ма однаковими квантовими числами ms; В) В атомі не може бути двох або більше електронів з 2 - ма однаковими квантовими числами l ; Г) В атомі не може бути двох або більше електронів з 2 - ма однаковими квантовими числами n . Питання 19. Атом водню має 4-ри найяскравіших ліній: червону, блакитну,

синю, фіолетову (див. мал. 9.6.). Вкажіть з якого енергетичного рівня на який

здійснює перехід атом водню, якщо утворюється червона лінія випромінювання:

22

а¿ ν= m ·e4

4 πℏ3 ·( 112 −

152 ) ; з 1 на 5.

б) ν=m· e4

4 πℏ3 ·( 152 −

122 ); з 2 на 5.

в) ν= m· e4

4 πℏ3 ·( 122 −

132 ); з 3 на 2.

г) ν=m· e4

4 πℏ3 ·( 122 −

152 ); з 2 на 5.

Питання 20. Атом водню має 4-ри найяскравіші лінії: червону, блакитну,

синю, фіолетову ( див. Мал. 9.6.). Вкажіть з якого енергетичного рівня на який

здійснює перехід атом водню, якщо утворюється с иня лінія випромінювання ?

а) з n=4 на n=2;

б) з n=2 на n=3;

в) з n=5 на n=2;

г) з n=4 на n=3;

Автор: cт. викладач кафедри БІтаМА Желіба В.Т.

23