Upload
others
View
11
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL DAN SISTEM
PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT
Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika
SMA 1
Dosen Pengampu : Padrul Janna, M.Sc.
Disusun Oleh :
Kelompok 7
Kelas V A4
1. Nur Fajar Yuniarti 14144100121
2. Siam Tri Khasanah 14144100122
3. Andon Insani Fahrika 14144100136
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2016
1. SISTEM PERSAMAA LINIER DENGAN TIGA VARIABEL (SPLTV)
Sistem persamaan linier dengan tiga variabel (SPLTV) terdiri atas tiga persamaan linier yang masing-masing memuat tiga variabel. Dengan demikian SPLTV dalam variabel x,y dan z dapat ditulis sebagai berikut:
{ax+by+cz=dex+ fy+gz=hix+ jy+kz=l
atau {a1 x+b1 y+c1 z=d1
a2 x+b2 y+c2 z=d2
a3 x+b2 y+c2 z=d3
Dengan a , b , c , d , e , f , g , h , I , j , k ,dan l atau a1, b1 , c1 ,d1 , a2 , b2 , c2 , d2 , a3 , b3 , c3 , dan d3 ,merupakan bilangan-bilangan real. Untuk selanjutnya kita gunakan bentuk umum sistem persamaan linier yang kedua.
Jika x=x0 , y= y0 , dan z=z0, dapat ditulis dengan pasangan terurut (x0 , y0 , z0), memenuhi SPLTV diatas, maka haruslah berlaku hubungan:
{a1 x0+b1 y0+c1 z0=d1
a2 x0+b2 y0+c2 z0=d2
a3 x0+b3 y0+c3 z0=d3
Dalam hal demikian, (x0 , y0 , z0) disebut penyelesaaian sistem persamaan linier tersebut dan himpunan penyelesaaiannya ditulis sebagai {(x0, y0 , z0)}. Seperti halnya dalam SPLDV, penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:
i) Metode subtitusiii) Metode eliminasi, daniii) Metode determinan.
Dalam pasal ini, hanya akan dibahas dua metode yang pertama.
1. Metode SubtitusiLangkah-langkah penyelesaaian SPLTV ( dalam x , y , dan z¿
dengan menggunakan metode subtitusi adalah sebagai berikut.Langkah 1:
Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyataan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z , atau zsebagai fungsi x dan y .Langkah 2:
Subtitusikan x atau y atau zyang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat SPLDV.Langkah 3:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada Langkah 2.Contoh:
Carilah himpunan SPLTV berikut dengan metode subtitusi.
{ x−2 y+z=63 x+ y−2 z=4
7 x−6 y−z=10
Jawab:
Dari persamaan x−2 y+z=6 x=2 y−z+6. Peubah x ini disubtitusikan ke persamaan 3 x+ y−2 z=4 dan 7 x−6 y− z=10 diperoleh:
3 (2 y−z+6 )+ y−2 z=4
6 y−3 z+18+ y−2 z=4
7 y−5 z=−14 …………………(1)
Dan
7 (2 y−z+6 )−6 y−z=10
14 y−7 z+42−6 y−z=10
8 y−8 z=−32
y−z=−4 ……….(2)
Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y dan z:
{7 y−5 z=−14y−z=−4
Dari persamaan y−z=−4 y=z−4.
Peubah y disubtitusikan ke persamaan 7 y−5 z=−14, diperoleh:
7(z−4)−5 z=14
7 z−28−5 z=−14
2 z=14
z=7
Subtitusikan nilai z=7ke persamaan y=z−4, diperoleh:
y=7−4=3
Subtitusikan nilaiy=3 dan z=7 ke persamaan x=2 y−z+6, diperoleh:
x=2 (3 )−7+6=5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5,3,7)}
1. Metode EliminasiLangkah-langkah penyelesaian SPLTV (dalam x , y , daan z) dengan
menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut,Langkah 1:
Eliminasi salah saatu peubah x dan y atau z sehingga diperoleh SPLDV.Langkah 2:
Selesaiakan SPLTV yang didapat paada langkah 1.Langkah 3:
Subtitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada Langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah lainnya.
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut denga metode eliminasi.
{ 2 x− y+z=6x−3 y+ z=−2x+2 y−z=3
Jawab:
Eliminasi peubah z:
Dari persamaan pertama dan kedua:
2 x− y+z=6
x−3 y+z=−2
x+2 y=8………………………..(1)
Dari persamaan kedua dan ketiga:
x−3 y+z=−2
x+2 y−z=3 +
2 x− y=1…....................................(2)
Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV x dan y .
{x+2 y=82x− y=1
Eliminasi peubah y:
x+2 y=82 x− y=1|×1
× 2|¿ x+2 y=84 x−2 y=2 +
5 x=10
x=2
Eliminasi peubah x :
x+2 y=82 x− y=1|× 2
×1|¿2 x+4 y=262 x− y=1 +
5 y=15
y=3
Nilai z dicari dengan mensubtitusikan x=2 dan y=3 ke salah satu persamaaan semula,
Misalnya dipilih persamaan x+2 y−z=3, diperoleh:
2+2 (3 )−z=3
z=5
Jadi, himpunan peyelesaian SPLTV itu adalah {(2,3,5)}.
Catatan:
Setelah diperoleh sistem persamaan:
{x+2 y=82x− y=1
SPLTV ini dapat saja diselesaikan dengan menggunakan metode subtitusi. Dalam hal demikian, dikatakan menggunakan gabungan metode eliminasi dan subtitusi.
2. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat
Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linier dan sebuah
persamaan berbentuk kuadrat yang masing masing bervariabel dua disebut sistem
persamaan linier dan kuadrat. Berdasarkan karakteristik dari bentuk bagian
kuadratnya, sistem persamaan linier dan kuadrat (SPLK) dapat dikelompokkan
menjadi SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit dan SPLK dengan
bagian kuadrat berbentuk implisit.
1. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit
Suatu persamaan dua peubah x dan y dikatakan bentuk eksplisit jika
persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y=f (x ) atau x=f ( y ).
Contoh persamaan dua peubah (x dan y) dalam bentuk eksplisit:
a. y=3 x−2
b. x=5−4 y
c. y=x2−4 x+5
d. x=3 y2+6 y−2
Bentuk umum SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk eksplisit
dapat dituliskan sebagai berikut.
{ y=ax+b … bagianliniery=p x2+qx+r … bagiankuadrat
Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.
Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari SPLK
{ y=ax+by=p x2+qx+r
dapat ditentukan melalui langkah langkah sebagai berikut.
Langkah 1:
Substitusikan bagian linier y=ax+b ke bagaian kuadrat y=p x2+qx+r,
diperoleh:
ax+b=p x2+qx+r
p x2+qx−ax+r−b=0
p x2+(q−a ) x+(r−b )=0 , merupakan persamaan kuadrat dalam x
Langkah 2:
Nilai-nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan
y=ax+b.
Untuk lebih memahami cara menentukan penyelesaian SPLK, akan
diberikan contoh sebagai berikut:
{y=x+2 … bagianliniery=x2 … bagian kuadrat
Substitusi bagian linier y=x+2 ke bagian kuadrat y=x2, diperoleh:
x+2=x2
x2−x−2=0 (merupakan persamaan kuadrat dalam x)
( x+1 ) ( x−2 )=0x=−1atau x=2
Substitusi x=−1 atau x=2 ke persamaan y=x+2, diperoleh:
y=−1+2=1 atau y=2+2=4
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK itu adalah {(−1,1 ) , (2,4 ) }.
Secara geometri, anggota anggota dari himpunan penyelesaikan SPLK
di atas dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara garis y=x+2
dengan parabola y=x2. Perhatikan gambar berikut.
Dapat diingat bahwa nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat
p x2+(q−a ) x+(r−b )=0 disebut akar-akar dari persamaan kuadrat itu. Banyak
nilai x (banyak akar) dari persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh nilai
diskriminan D= (q−a )2−4 p (r−b ). Dengan demikian, banyak anggota
himpunan dalam penyelesaian SPLK { y=ax+by=p x2+qx+r ditentukan oleh nilai
diskriminan D= (q−a )2−4 p (r−b ) sebagai berikut:
a. Jika D>0, maka SPLK mempunyai dua anggota dalam himpunan
penyelesaiannya.
b. Jika D=0, maka SPLK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan
penyelesaiannya.
c. Jika D<0, maka SPLK tidak mempunyai anggota dalam himpunan
penyelesaiannya. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan
kosong, ditulis .
Anggota anggota dari himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan
secara geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y=ax+b dengan
parabola y=p x2+qx+r. Kedudukan garis terhadap parabola itu ditentukan
oleh nilai diskriminan D= (q−a )2−4 p (r−b ) sebagai berikut.
a. Jika D>0, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
b. Jika D=0, maka garis memotong parabola tepat di sebuah titik. Dalam hal
demikian, dikatakan garis menyinggung parabola.
c. Jika D<0, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.
Pada gambar diperlihatkan tiga kemungkinan kedudukan garis
y=ax+b terhadap parabola y=p x2+qx+r.
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLK berikut ini, kemudian buatlah
sketsa tafsiran geometrinya.
a. { y=x−1y=x2−3 x+2
b. { y= x−3y=x2−x−2
c. { y=−2 x+1y=x2−4 x+3
Jawab:
a. Substitusikan bagian linier y=x−1 ke bagian kuadrat y=x2−3 x+2,
diperoleh:
x−1=x2−3 x+2x2−4 x+3=0
( x−1 ) ( x−3 )=0x=1 atau x=3
Nilai x=1 atau x=3 disubstitusikan ke persamaan y=x−1.
Untuk x=1 diperoleh y=1−1=0→ (1,0 )
Untuk x=3 diperoleh y=3−1=2→ (3,2 )
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,0 ) , (3,2 ) }Tafsiran geometrinya, garis y=x−1 memotong parabola
y=x2−3 x+2 di dua titik yaitu (1,0 ) dan di (3,2 ). Perhatikan gambar berikut.
b. Substitusikan bagian linier y=x−3 ke bagian kuadrat y=x2−x−2,
diperoleh:
x−3=x2−x−2x2−2 x+1=0
( x−1 )2=0x=1
Nilai x=1 disubstitusikan ke persamaan y=x−3.
y=1−3=−2→ (1 ,−2 )
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1 ,−2 ) }Tafsiran geometrinya, garis y=x−3 menyinggung parabola
y=x2−x−2 di titik (1 ,−2 ). Perhatikan gambar berikut.
c. Substitusikan bagian linier y=−2 x+1 ke bagian kuadrat
y=x2−4 x+3, diperoleh:
−2 x+1=x2−4 x+3x2−2 x+2=0
Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real, sebab
D= (−2 )2−4 (1 ) (2 )=−4<0. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
himpunan kosong, ditulis .
Tafsiran geometrinya, garis y=−2x+1 tidak memotong maupun
menyinggung parabola y=x2−4 x+3. Perhatikan gambar berikut.
2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit
Persamaan dua peubah x dan y dikatakan bentuk implisit jika
persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y=f (x ) atau x=f ( y ).
Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f ( x , y )=0.
Contoh persamaan dua peubah (x dan y) dalam bentuk implisit:
a. x2+ y2+8=0
b. x2+ y2+2 x− y=0
c. x2+ y2−3 x+4 y+1=0
d. 2 x2−xy+ y2+3 x+ y−4=0
Secara umum, SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dapat
dituliskan sebagai berikut.
px+qy+r=0 …bagianlinierax2+by2+cxy+dx+ey+ f =0 …bagian kuadrat berbentuk implisit
Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r merupakan bilangan bilangan real.
Bagian kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu:
bentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dan bentuk implisit yang dapat
difaktorkan.
a. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit yang Tak Dapat
Difaktorkan
Penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang
tak dapat difaktorkan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai
berikut.
Langkah 1:
Pada bagian persamaan linier, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
Langkah 2:
Substitusikan x atau y pada Langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga
diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3:
Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada Langkah 2, kemudian
nilai-nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan linier.
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
x+ y−1=0 … bagian linier
x2+ y2−25=0 … bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat
difaktorkan
Jawab:
Dari persamaan x+ y−1=0 y=1−x.
Substitusikan y=1−x ke persamaan x2+ y2−25=0, diperoleh:
x2+ (1−x )2−25=0
x2+1−2 x+x2−25=0
2 x2−2 x−24=0
x2−x−12=0
( x+3 ) ( x−4 )=0
x=−3 atau x=4
Substitusikan nilai nilai x=−3 atau x=4 ke persamaan y=1−x.
Untuk x=−3 diperoleh y=1−(−3 )=4 (−3,4).
Untuk x=4 diperoleh y=1−4=−3 (4 ,−3).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3,4 ) ,(4 ,−3)}.
Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK itu dapat ditafsirkan
sebagai koordinat titik potong garis x+ y=1 dengan lingkaran
x2+ y2=25. Perhatikan gambar berikut.
b. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit yang Dapat
Difaktorkan
Cara menentukan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat
berbentuk implisit yang dapat difaktorkan, sama dengan pembahasan pasal
a. Dalam pasal ini akan dipelajari cara lain. Untuk tujuan itu, simaklah
SPLK berikut ini.
{ x− y=3x2−4 xy+4 y2−25=0
(bagianlinier )(bagian kuadrat berbentuk implisit ¿ yangbisa difaktorkan)
Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.
x2−4 xy+4 y2−25=0
( x−2 y )2−25=0
( x−2 y+5 ) ( x−2 y−5 )=0
x−2 y+5=0 atau x−2 y−5=0
Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linier semula, diperoleh dua SPLDV, yaitu:
{ x− y=3x−2 y−5=0
atau{ x− y=3x−2 y+5=0
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaikan:
x− y=3
x−2 y=−5 -
y=8
Subtitusi y=8 ke persamaan x− y=3, diperolehx−8=3 x=11
SPLDV yang pertama ini memberikan penyelesaian (11,8) .
x− y=3
x−2 y=−5 -
y=−2
Subtitusi y=−2 ke persamaan x− y=3, dperolehx−(−2)=3 x=1. SPLDV yang kedua ini memberikan penyelesaian (1 ,−2).
Jadi, himunan penyelesaian SPLK itu adalah {(11,8) ,(1 ,−2)}.
Berdasarkan pembahasan di atas, langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK dengan pembagian kuadrat berbentuk implicit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.
Langkah 1
Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor-faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1 . L2=0.
L1 . L2=0L1=0 atau L2=0 dengan L1 danL2 masing-masing berbentuk linier.
Langkah 2:
Bentuk-bentuk linier yang diperoleh pada Langkah 1 digabungkan dengan persamaan linier semula, sehinngga diperoleh dua buah SPLDV. Kemudian selesaikan masing-masing SPLDV itu.
Langkah-langkah di atas dapat diperhatikan dalam bentuk bagan seperti di bawah ini.
3. Model Matematika Yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan
Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari,
seringkali suatu masalah dapat diterjemahkan ke dalam model matematika yang
berbentuk sistem persamaan. Sistem persamaan yang diperoeh itu dapat berbentuk
SPLDV, SPLTV, atau SPLK. Penyelesaian SPLDV, SPLTV, dan SPLK yang
telah dibahas di depan memegang peran penting dalam pemecahan masalah
tersebut.
Langkah pertama yang diperlukan adalah mengidentifikasi bahwa
karakteristik masalah yang akan diselesaikan berkaitan dengan sistem persamaan
(SPLDV, SPLTV, atau SPLK). Setelah masalahnya teridentifikasi, penyelesaian
selanjutnya melalui langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan
dengan huruf-huruf) sistem persamaan.
2. Merumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari
masalah.
3. Menentukan penyelesaian dari model matematika sistem persamaan yang
diperoleh pada Langkah 2.
4. Menafsirkan terhadap hasil yang diperoleh dan disesuaikan dengan masalah
semula.
Selanjutnya akan dibahas model matematika yang berbentuk SPLTV dan
SPLK.
1. Model Matematika yang Berbentuk SPLTV
Dalam poin ini akan dijelaskan bagaimana cara memecahkan masalah
yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk SPLTV. Untuk
tujuan itu, dapat disimak ilustrasi berikut ini:
Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku.
Ali membeli 2 buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus.
Ali harus membayar Rp 4.700,00.
Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah
penghapus. Badar harus membayar Rp 4.300,00.
Carli membeli 3 buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah
penghapus. Carli harus membayar Rp 7.100,00.
Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah
penghapus?
Penyelesaian:
Langkah 1:
Misalkan bahwa:
Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah,
Harga intuk sebuah pensil adalah y rupiah, dan
Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah.
Langkah 2:
Dengan demikian, model matematika yang sesuai dengan data persoalan di atas
adalah:
{ 2 x+ y+z=4.700x+2 y+z=4.300
3 x+2 y+z=7.100
yang merupakan SPLTV dengan variabel x, y, dan z.
Langkah 3:
Penyelesaian SPLTV itu dapat ditentukan dengan metode substitusi,
metode eliminasi, atau gabungan keduanya.
Eliminasi peubah z:
2 x+ y+z=4.700x+2 y+z=4.300
x− y=400−¿
x+2 y+ z=4.3003x+2 y+z=7.100−2 x=−2.800
x=1.400
−¿
Substitusi nilai x=1.400 ke persamaan x− y=400, diperoleh:
1400− y=400 y=1.000
Substitusi nilai x=1.400 dan y=1.000 ke persamaan 2 x+ y+z=4.700,
diperoleh:
2 (1.400 )+1.000+z=4.7003.800+z=4.700
z=900
Jadi, harga sebuah buku tulis adalah Rp 1.400,00; harga sebuah pensil adalah
Rp 1.000,00; dan harga sebuah penghapus adalah Rp 900,00.
Agar lebih memahami dalam memecahkan masalah yang berkaitan
dengan model matematika berbentuk SPLTV, dapat disimak contoh berikut ini.
Contoh:
Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16.
Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi 2.
Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian
ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu.
Jawab:
Misalkan bilangan itu xyz, x menempati tempat ratusan, y menempati tempat
puluhan, dan z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu
100 x+10 y+z. Berdasarkan data pada soal diperoleh SPLTV sebagai berikut.
{ x+ y+ z=16x+ y=z−2
100 x+10 y+z=21 ( x+ y+z )+13 { x+ y+z=16x+ y−z=2
79 x−11 y−20 z=13Eliminasi peubah y:
x+ y+z=16x+ y−z=2
2 z=18z=9
−¿
x+ y+z=1679x−11 y−20 z=13|×11
×1 |❑ +
11 x+11 y+11z=17679 x−11 y−20 z=13
90 x−9 z=189 +¿
Substitusi nilai z=9 ke persamaan 90 x−9 z=189, diperoleh:
90 x−9 (9 )=189
90 x−81=189
90 x=270
x=3
Substitusi nilai x=3 dan z=9 ke persamaan x+ y+z=16, diperoleh:
x+ y+z=16
y=4
Jadi, karena x=3, y=4, dan z=9 maka bilangan itu adalah 349.
2. Model Matematika yang Berbentuk SPLK
Untuk lebih memahami cara memecahkan masalah yang berkaitan
dengan model matematika yang berbentuk SPLK, dapat disimak ilustrasi
berikut ini.
Sebuah mobil bergerak cepat dengan kecepatan tetap 80 m/detik di
suatu kawasan sekolah. Sebuah mobil pratoli mengejar mobil itu tepat
setelah mobil itu melewatinya. Mobil pratoli bergerak dari keadaan
berhenti dengan percepatan konstan 8 m/detik2. Tentukan waktu yang
diperlukan mobil pratoli untuk dapat menangkap mobil mengebut itu
dan dimana tempatnya.
Penyelesaian:
Langkah 1:
Misalkan x adalah jarak yang ditempuh (dalam meter) diukur ketika mobil
pratoli mulai bergerak dan t adalah waktu yang diperlukan (dalam detik) untuk
menempuh jarak sejauh x meter.
Langkah 2:
Berdasar ketentuan yang ada dalam soal:
Untuk mobil yang mengebut bergerak dengan kecepatan konstan
v0=80 m /detik , maka
x=v0 ∙ t
x=80 t
Untuk mobil pratoli bergerak dengan percepatan konstan a=8m /detik2,
maka
x=12
∙ a t2
x=4 t 2
Kedua persamaan yang diperoleh di atas merupakan model matematika dari
masalah yang berbentuk SPLK
x=80 t
x=4 t 2
Langkah 3:
Penyelesaikan SPLK pada Langkah 2 diperoleh dengan metode substitusi,
yaitu dengan mensubstitusikan persamaan x=80 t ke persamaan x=4 t 2.
80 t=4 t2
4 t2−80 t=0
4 t (t−20 )=0
t=0atau t=20
Untuk t=0, diperoleh x=80 (0 )=0
Untuk t=20, diperoleh x=80 (20 )=1600
Langkah 4:
Untuk t=0 dan x=0, berarti peristiwa ini terjadi ketika pengebut tepat
melewati mobil patroli. Jelas bahwa solusi ini bukan merupakan jawaban dari
penyelesaian masalah. Jadi, mobil patroli dapat menangkap mobil pengebut
ketika t=20 detik dalam posisi x=1600 meter=1,6 km.
Model matematika SPLK yang berbentuk { y=ax+by=p x2+qx+r lebih
banyak digunakan untuk menganalis hubungan antara grafik fungsi linier
y=ax+b (berupa garis) dengan grafik fungsi kuadrat y=p x2+qx+r (berupa
parabola). Analisis itu dikaitkan dengan tafsiran geometri, diantaranya adalah:
Apakah garis memotong parabola di dua titik yang berlainan dan jika
berpotongan bagaimana menentukan koordinat titik potongnya?
Apakah garis menyinggung parabola dan jika bersinggungan bagaimana
menentukan koordinat titik singgungnya serta persamaan garis
singgungnya?
Apakah garis tidak memotong maupun menyinggung parabola?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menganalisis hubungan
antara garis dan parabola, dapat disimak contoh berikut ini.
Contoh:
Suatu garis lurus dengan gradien −1 dan memotong parabola y=x2−6x+8 di
titik (2,0 ).
a) Tentukan persamaan garis lurus itu.
b) Tentukan koordinat titik potong yang lain.
Jawab:
a) Misalkan persamaan garis itu adalah y=−x+n
Titik (2,0 ) merupakan titik potong antara garis y=−x+n dengan parabola
y=x2−6 x+8, artinya titik (2,0 ) terletak pada garis dan sekaligus juga
terletak pada parabola. Substitusi x=2 dan y=0 ke persamaan garis
y=−x+n, diperoleh hubungan:
0=−(2 )+n
n=2
Jadi, persamaan garis lurus itu adalah y=−x+2
b) Substitusi persamaan y=−x+2 ke persamaan y=x2−6x+8, diperoleh:
x2−6 x+8=−x+2
x2−5 x+6=0
( x−2 ) ( x−3 )=0
x=2 atau x=3
Untuk x=2, diperoleh y=−(2 )+2=0 → (2,0 ). Titik potong ini sudah
diketahui dalam soal.
Untuk x=3, diperoleh y=−(3 )+2=−1 → (3 ,−1 )
Jadi, koordinat titik potong yang lain adalah -(3 ,−1 ).