ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

1

บทท่ี 2จำานวนจรงิ

1. จำานวนชนิดต่างๆ

จำ�นวนจรงิ ( )

จำ�นวนอตรรกยะ จำ�นวนตรรกยะ ( )

เศษสว่นที่ไมใ่ชจ่ำ�นวนเต็ม

จำ�นวนเต็ม ( )

จำ�นวนเต็มลบ จำ�นวนเต็มศูนย ์ จำ�นวนเต็มบวก ( ) ( ) ( )

จำานวนตรรกยะ หม�ยถึงจำ�นวนท่ีส�ม�รถเขยีนได้ในรูปเศษสว่นของจำ�นวนเต็มที่ตัวสว่นไมเ่ป็นศูนย์

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

2

จำานวนอตรรกยะ หม�ยถึง จำ�นวนที่ไมใ่ชจ่ำ�นวนตรรกยะ

หมายเหต ุ ยูเนียนของจำ�นวนตรรกยะและจำานวนอตรรกยะเรยีกว�่ เซตจำานวนจรงิตัวอยา่งท่ี 1 จงพจิารณาวา่จำานวนต่อไปน้ีเป็นจำานวนชนิดใดแล้วเขยีนเครื่องหมาย ขอ้ จำ�นวน จำ�นวน

นับจำ�นวนเ

ต็มจำ�นวนเต็ม

ลบจำ�นวนตรร

กยะจำ�นวนอตร

รกยะจำ�นวนจ

รงิ1. -32.3. 4 4.5.6. 07.8.9. 5.412

22...10.

11.

2.1354…

12.

1.999…

13.

14.

15.

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

3

16.

2. สมบติัของจำานวนจรงิระบบจำ�นวนจรงิเป็นโครงสร�้งท�งคณิตศ�สตรซ์ึ่งประกอบด้วยเซตของ

จำานวนจรงิ กับโอเปอเรชนับวกและคณู ซึ่งสมบติัพื้นฐ�นของจำ�นวนจรงิต้องอ�ศัยสมบติัก�รเท่�กันของจำ�นวนจรงิก่อนสมบติัการเท่ากันของจำานวนจรงิ1. สมบติัสะท้อน สำ�หรบัจำ�นวนจรงิ a ทกุตัว a = a

2. สมบติัสมมาตร ถ้� a และ b เป็นจำ�นวนจรงิซึ่ง a = b แล้ว b = a

3. สมบติัถ่ายทอด ถ้� a , b และ c เป็นจำ�นวนจรงิซึ่ง a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบติัการบวกด้วยจำานวนเดียวกัน ถ้� a , b , c เป็นจำ�นวนจรงิซึ่ง a = b แล้ว c + a = c + b

5. สมบติัการคณูด้วยจำานวนเดียวกัน ถ้� a , b , c เป็นจำ�นวนจรงิซึ่ง a = b แล้ว ca = cb

สมบติัพื้นฐานของจำานวนจรงิ1.สมบติัปิดสำาหรบัการบวก

ถ้� a และ b เป็นจำ�นวนจรงิ แล้ว a + b เป็นจำ�นวนจรงิด้วย

2.สมบติัเปลี่ยนกลุ่มสำาหรบัการบวกถ้� a , b , c เป็นจำ�นวนจรงิแล้ว (a + b) + c = a + (b + c)

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

4

3.สมบติัการมเีอกลักษณ์สำาหรบัการบวกมจีำ�นวนจรงิ 0 ซึ่ง 0 + a = a = a + 0 สำ�หรบัจำ�นวน a ทกุตัว เรยีก 0 ว�่เป็น เอกลักษณ์สำาหรบัการบวก

4.สมบติัการมอีินเวอรส์สำาหรบัการบวกสำ�หรบัจำ�นวนจรงิ a แต่ละตัว จะมจีำ�นวนจรงิ -a ซึ่ง -a+a = 0 = a+(-a) เรยีก -a ว�่เป็น อินเวอรส์สำาหรบัการบวกของ a

5.สมบติัการสลับท่ีสำาหรบัการบวกถ้� a และ b เป็นจำ�นวนจรงิแล้ว a + b = b + a

6.สมบติัปิดสำาหรบัการคณูถ้� a และ b เป็นจำ�นวนจรงิแล้ว ab เป็นจำ�นวนจรงิด้วย

7.สมบติัเปลี่ยนกลุ่มสำาหรบัการคณูถ้� a , b , c เป็นจำ�นวนจรงิแล้ว (ab)c = a(bc)

8.สมบติัการมเีอกลักษณ์สำาหรบัการคณูมจีำ�นวนจรงิ 1 ซึ่ง (1)a = a = a(1) สำ�หรบัจำ�นวนจรงิ a ทกุตัว เรยีก 1 ว�่เป็น เอกลักษณ์สำาหรบัการคณู

9.สมบติัการมอีินเวอรส์สำาหรบัการคณูสำ�หรบัจำ�นวนจรงิ a แต่ละตัว ท่ีไมเ่ท่ากับ 0 จะมจีำ�นวนจรงิ a –1 ซึ่ง a –1a = 1 =a a –1

เรยีก a –1 ว�่เป็น อินเวอรส์สำาหรบัการคณูของ a

10. สมบติัการสลับท่ีสำาหรบัการคณูถ้� a และ b เป็นจำ�นวนจรงิแล้ว ab = ba

11. สมบติัการแจกแจง

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

5

ถ้� a , b , c เป็นจำ�นวนจรงิแล้ว a ( b+c ) = ab + ac ( b+c ) a = b a+ ca

แบบฝึกหัดท่ี 2 สมบติัของจำานวนจรงิ1. จงบอกสมบติัของจำ�นวนจรงิท่ีทำ�ใหแ้ต่ละขอ้ต่อไปน้ีเป็นจรงิ

1. 2. 3. 4. เป็นจำ�นวนจรงิ5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

2. จงห�อินเวอรส์ก�รบวก และอินเวอรส์ก�รคณูของจำ�นวนต่อไปน้ีจำ�นวน อินเวอรส์ก�รบวก อินเวอรส์ก�รคณู

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

6

3. ขอ้ใดต่อไปน้ีจรงิใหเ้ขยีนเครื่องหม�ย ขอ้ใดเท็จใหเ้ขยีนเครื่องหม�ย ลงหน้�ขอ้

1. เซตของจำ�นวนตรรกยะมสีมบติัปิดของก�รบวก

2. เซตของจำ�นวนตรรกยะมสีมบติัปิดของก�รลบ

3. เซตของจำ�นวนตรรกยะมสีมบติัปิดของก�รห�ร

4. เซตของจำ�นวนตรรกยะมสีมบติัปิดของก�รห�รด้วยตัวห�รท่ีไมใ่ชศู่นย์

5. เซตของจำ�นวนนับมสีมบติัปิดสำ�หรบัก�รลบ

6. เซตของจำ�นวนเต็มมสีมบติัปิดสำ�หรบัก�รห�ร

7. เซตของจำ�นวนอตรรกยะมสีมบติัปิดภ�ยใต้ก�รบวก

8. เซตของจำ�นวนอตรรกยะมสีมบติัปิดภ�ยใต้ก�รคณู

9. เซตของจำ�นวนคู่มสีมบติัปิดสำ�หรบัก�รห�ร

10. เซตของจำ�นวนเต็มท่ีห�รด้วย 5 ลงตัวมสีมบติัปิดสำ�หรบัก�รบวก

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

7

11. เซตของจำ�นวนท่ีห�รด้วย 2 และ 3 ลงตัวมสีมบติัปิดสำ�หรบัก�รห�ร

12. เซต มสีมบติัปิดสำ�หรบัก�รคณู

13. เซต มสีมบติัปิดสำ�หรบัก�รบวก

14. เซต มสีมบติัปิดสำ�หรบัก�รห�ร

3) การนำาสมบติัของจำานวนจรงิไปใชใ้นการแก้สมการกำาลังสอง 2.1) การแยกตัวประกอบของพหนุาม 1. แยกตัวประกอบโดยการดึงตัวรว่ม ตัวอยา่งท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของพหนุ�มในขอ้ต่อไปน้ี

1) 2)

3) 4)

3) 4)

2. แยกตัวประกอบโดยการจบัคู่ดึงตัวรว่มตัวอยา่งท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของพหนุ�มในขอ้ต่อไปน้ี

1) 2)

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

8

3) 4)

2. แยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บตัวอยา่งท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของพหนุ�มในขอ้ต่อไปน้ี

1) 2)

3) 4)

5) 8)

9) 10)

11) 12)

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

9

การแยกตัวประกอบโดยการทำาให้เป็นกำาลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำาลังสองกำ�หนดให ้ และ เป็นจำ�นวนจรงิใด จะได้ว�่

1) 2) 3)

ตัวอยา่งท่ี 4 จงแยกตัวประกอบของพหนุ�มในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

10

2.2) การแก้สมการกำาลังสอง ถ้า และ เป็นจำานวนจรงิ และ แล้ว หรอื วธิท่ีี 1 แยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ ( ถ้าสามารถทำาได้ )ตัวอยา่งท่ี 5 จงหาเซตคำาตอบของสมการในแต่ละขอ้ตอ่ไปนี้ 1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

วธิท่ีี 2 ใชส้ตูร ( กรณีแยกตัวประกอบยาก) จ�กสมก�รกำ�ลังสอง จะได้วา่

1. ถ้� แล้วสมก�รมคีำาตอบเดียว คือ

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

11

2. ถ้� แล้วสมก�รมคีำาตอบเป็นจำานวนจรงิ3. ถ้� แล้วสมก�รไมม่คีำาตอบหรอืมคีำ�ตอบเป็น

จำ�นวนจนิตภ�พ

ตัวอยา่งท่ี 6 จงห�เซตคำ�ตอบของสมก�รในขอ้ต่อไปน้ี 1) 2)

3) 4)

ตัวอยา่งท่ี 7 ถ้� เป็นร�กของสมก�ร แล้ว ร�กอีกร�กหนึ่งของสมก�รน้ี

มค่ี�เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ีก. 1ข. 2ค. 3ง. 4

การแก้อสมการกำาลังสอง 1. สมบติัของการไมเ่ท่ากัน ให ้ เป็นจำ�นวนจรงิใดๆ

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

12

1.สมบติัการถ่ายทอด ถ้� และ แล้ว

2.สมบติัการบวกด้วยจำานวนเดียวกันถ้� แล้ว

3.จำานวนบวกและจำานวนลบเปรยีบเทียบกับ เป็นจำ�นวนบวก ก็ต่อเมื่อ เป็นจำ�นวนลบ ก็ต่อเมื่อ

4.สมบติัของการคณูด้วยจำานวนเท่ากันท่ีไมเ่ท่ากับศูนย์กรณี 1 ถ้� และ แล้ว กรณี 2 ถ้� และ แล้ว

5.สมบติัการตัดออกสำาหรบัการบวกถ้� แล้ว

6.สมบติัการตัดออกสำาหรบัการคณูกรณี 1 ถ้� และ แล้ว กรณี 2 ถ้� และ แล้ว

2. ชว่งและการแก้อสมการ กำ�หนดให ้ เป็นจำ�นวนจรงิ ท่ี

1. ชว่งเปิด หม�ยถึง เขยีนแทนเสน้จำ�นวนได้เป็น

2. ชว่งปิด หม�ยถึง เขยีนแทนเสน้จำ�นวนได้เป็น

3. ชว่งครึง่เปิด หม�ยถึง เขยีนแทนเสน้จำ�นวนได้เป็น

4. ชว่งครึง่เปิด หม�ยถึง เขยีนแทนเสน้จำ�นวนได้เป็น

5. ชว่ง หม�ยถึง เขยีนแทนเสน้จำ�นวนได้เป็น

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

13

6. ชว่ง หม�ยถึง เขยีนแทนเสน้จำ�นวนได้เป็น

7. ชว่ง หม�ยถึง เขยีนแทนเสน้จำ�นวนได้เป็น

8. ชว่ง หม�ยถึง เขยีนแทนเสน้จำ�นวนได้เป็น

การแก้อสมการของพหนุามอสมการกำาลังหน่ึงตัวอยา่งท่ี 1 จงห�เซตคำ�ตอบของอสมก�รในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี 1. 2.

3.

อสมการกำาลังสองเป็นต้นไปพจิ�รณ�ก�รห�เซตคำ�ตอบของอสมก�ร

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

14

ตัวอยา่งท่ี 2 จงห�เซตคำ�ตอบของอสมก�รในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี1. 2.

3. 4.

5. 6.

ตัวอยา่งท่ี 3 จงห�เซตคำ�ตอบของอสมก�รในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี

1. 2.

3. 4.

ครูเส บา้นเลขท่ี 70 ซอยขา้งอำาเภอ ซอย 1 ถ.ตากสนิมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมอืง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

15