oliviabrizuela.files.wordpress.com · Web viewDespeje de formulas. Ecuaciones lineales. Aplicaciones. Ecuaciones cuadráticas. Aplicaciones. Regla de tres simple. Interés simple

1Ing. MSc. Olivia Brizuela Castillo Manual de Matemáticas Aplicada III Periodo 2010

UNIDADES:

1. Números Reales..

2. Polinomios: operaciones. Distancia entre dos puntos. Ecuación de una

recta, rectas paralelas y perpendiculares, grafica. Despeje de formulas.

Ecuaciones lineales. Aplicaciones.

3. Ecuaciones cuadráticas. Aplicaciones. Regla de tres simple. Interés simple y

compuesto. Anualidades

Unidad 1: Números Reales

Contenido:

1. Subconjuntos de R.

2. Propiedades de R.

3. Potencias en R

4. El conjunto de los números Naturales y Enteros.

5. El conjunto de los números Racionales.

6. El conjunto de los números Irracionales.

7. Intervalos reales

Evaluación:

Guía individual 10 %

Trabajo en equipo 20 %

Pruebas cortas 10 %

Investigaciones 10 %

Participación 10 %

Examen escrito 40 %


DESARROLLO:

1. Subconjuntos de R

El conjunto formado por los números racionales e

ir racionales es el conjunto de los números reales , se designa

por .

Con los números reales podemos real izar todas las

operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando

negat ivo, y la div is ión por cero.


La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y

a todo punto de la recta un número real .

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta

con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los

que podemos representar los de forma exacta.

Suma de números reales

2. Propiedades

1 Cerradura

El resul tado de sumar dos números reales es otro número real .

a + b


2.Asociativa :

El modo de agrupar los sumandos no varía el resul tado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3.Conmutativa :

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4.Elemento neutro :

El 0 es el e lemento neutro de la suma porque todo número

sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

+ 0 =

5.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si a l sumarlos obtenemos como

resul tado el cero.

e − e = 0


Diferencia de números reales

La diferencia de dos números reales se def ine como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo .

a − b = a + (−b)

Producto de números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se s igue manteniendo con los números reales .

Propiedades

1Cerradura

El resultado de multipl icar dos números reales es otro número real.

a · b

2.Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se

cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)


)

3.Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

4. Elemento neutro :

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación ,

porque todo número mult ipl icado por él da el mismo número.

a ·1 = a

· 1 =1

5. Elemento inverso :

Un número es inverso del otro s i a l mul t ip l icar los

obtenemos como resul tado el elemento unidad .

6.Distributiva :

El producto de un número por una suma es igual a la

suma de los productos de dicho número por cada uno de los

sumandos.


a · (b + c) = a · b + a · c

7.Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distr ibut iva.

Si var ios sumandos t ienen un factor común, podemos

transformar la suma en producto extrayendo dicho factor .

a · b + a · c = a · (b + c)

División de números reales

La div is ión de dos números reales se def ine como el

producto del div idendo por el inverso del d iv isor.

3.Potencias con exponente entero

Con exponente racional o fraccionario


Propiedades

1.a 0 = 1 ·

2.a 1 = a

3.Producto de potencias con la misma base : Es otra

potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes .

am · a n = am + n

(−2) 5 ·(−2) 2 = (−2) 5 + 2 = (−2) 7 = −128

4.División de potencias con la misma base : Es otra

potencia con la misma base y cuyo exponente es la

diferencia de los exponentes .

am : a n = am - n

(−2) 5 : (−2) 2 = (−2) 5 - 2 = (−2) 3 = -8

5.Potencia de una potencia : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes .

(am)n=am · n

[ (−2) 3 ] 2 = (−2) 6 = 64


6.Producto de potencias con el mismo exponente : Es

otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el

producto de las bases

an · b n = (a · b) n

(−2) 3 · (3) 3 = (−6) 3 = −216

7.Cociente de potencias con el mismo exponente : Es

otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el

cociente de las bases.

an : b n = (a : b) n

(−6) 3 : 3 3 = (−2) 3 = −8

4. Los números naturales y enteros

Con los números naturales contamos los elementos de un

conjunto (número cardinal ) .

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .}

La suma y el producto de dos números naturales es otro

número natural .

http://www.vitutor.net/1/a_c.html

http://www.vitutor.com/di/n/a_1.html


La diferencia de dos números naturales no siempre es un

número natural , sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que

sustraendo.

5 − 3

3 − 5

El cociente de dos números naturales no siempre es un

número natural , sólo ocurre cuando la div is ión es exacta.

6 : 2

2 : 6

Podemos ut i l izar potencias , ya que es la forma abreviada

de escr ib ir un producto formado por var ios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número

natural , sólo ocurre cuando la raíz es exacta.

Los números enteros

Los números enteros son del t ipo:

= {. . .−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . }

Se tiene la igualdad: Z- U {0 } U Z+


Nos permiten expresar: el d inero adeudado, la

temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al n ivel

del mar, etc.

La suma, la di ferencia y el producto de dos números

enteros es otro número entero .

El cociente de dos números enteros no siempre es un

número entero , sólo ocurre cuando la div is ión es exacta.

6 : 2

2 : 6

Podemos operar con potencias, pero el exponente t iene

que ser un número natural .

La raíz de un número entero no siempre es un número

entero , sólo ocurre cuando la raíz es exacta o s i se trata de

una raíz de índice par con radicando posi t ivo.

Valor absolutoEl valor absoluto de un numero a , se simboliza por |a | y se define así :

http://www.vitutor.com/di/e/a_9.html#re


Propiedades

|a| = |−a|

|a · b| = |a| · |b|

|a + b| ≤ |a| + |b|

Ejemplos

| 13 | = 13

| - 50 | = 50

| 12 | = 12

| 0 | = 0

| - 1 | = 1

El opuesto de un numero entero o inverso aditivo .

Si a es un numero entero, entonces el opuesto o inverso aditivo de a es –a

Ejemplos:

El opuesto de 20 es -20

El opuesto de -10 es 10

El opuesto de 0 es 0

Al sumar el entero a con su opuesto -a, el resultado es 0,es decir : a + (-a) = 0

Ejemplos

20 + (-20) = 0

-10 + 10 = 0

Adicion de enteros:


Reglas:

1. Para sumar dos numero con igual signo, se suman sus valores absolutos y

se escribe el signo común.

2. Para sumar dos numero de distinto signo. Se resta al número de mayor

valor absoluto el de menor valor absoluto y se escribe el signo del número

que tiene mayor valor absoluto.

3. Para sumar más de dos números , se suman los positivos , se suman los

negativos y luego se restan ambos resultados escribiendo el signo del

numero que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplos

Efectuar las siguientes operaciones:

a. 48 + 60 =

b. 76 + 475 =

c. -78 + ( - 116) =

d. (-374) + (- 68 ) =

e. 48 + (- 60 ) =

f. 76 + ( - 11 ) =

g. 65 + ( - 100 ) =

h. 3 + ( -2 ) + ( -5) + 9 =

i. 12 + 5 + ( -15 ) + ( -3) =

Sustraccion de enteros

Se considera como una suma: a - b = a + ( -b)

Ejemplos

Efectuar las siguientes operaciones

a. 78 – 46 =

b. – 2 – ( -5 ) =


c. ´-12-12-23-4 =

d. -7 - 10 -4 =

Ejemplos

Efectuar las siguientes operaciones

a. 12 ÷ (-2 ) =

b. ( - 100 ) ÷ 10 =

c. ( - 3 ) . ( 5 ) =

Signos de agrupación

Nos indican la operación a efectuar, se sigue el siguiente orden :

Primero se hace lo que esta en paréntesis.( )

Luego los corchetes. [ ]

Por ultimo las llaves. { }

5. Los números racionales

Se l lama número racional a todo número que puede

representarse como el cociente de dos enteros, con

denominador dist into de cero .

Los números decimales (decimal exacto, per iódico puro y

per iódico mixto) son números racionales ; pero los otros

números decimales i l imitados no.


La suma, la di ferencia, e l producto y el cociente de dos

números racionales es otro número racional .

Podemos operar con potencias, pero el exponente t iene

que ser un número entero .

La raíz de un número racional no siempre es un número

racional , sólo ocurre cuando la raíz es exacta y s i e l índice es

par el radicando ha de ser posi t ivo.

Las Fracciones

ab donde a se llama Numerador y b y denominador

a estas fracciones se les denomina números racionales

Operaciones en Q

Suma o adicion de números racionales

:Para sumar fracciones con el mismo denominador, o sea, fracciones

homogéneas, sumamos los numeradores únicamente. El resultado tiene el mismo

denominador que las fracciones que se suman. Ejemplos:

a) 57 +

37 =

b)1312 +

−712 =

c) −58 +

28 =

d)1115 +

−1715 =


Cuando se suman fracciones de distinto denominador, o sea, fracciones

heterogeneas, hay que ampliarlas de manera tal que las amplificaciones tengan

igual denominador. Ejemplo:

a) 26 +

17 =

b)34 +

518 =

c) 710 +

415 =

d)926 +

−513 =

e) 14 +

38 +

16 =

f)14 +

38 +

16 =

Resta o sustraccion de números racionales

De la misma manera que con los números enteros, para efectuar una resta,

sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo:

a)45 -

15 =

b)12 -

16 =

c) 8 - 23 =

d) 6 56 -

15 =

Multiplicacion de numeros racionales


Para multiplicar dos o mas fracciones se multiplican los numeradores entre si y los

denominadores entre si.

a) 57 x

23 =

b)−34 x

25 =

c)23 x

−65 x

154 =

d) 5 x 133 x

110 =

Halle el reciproco de cada numero

a) 25 =

b)−13 =

c)37 =

d) 5 =

e) – 7 =

Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el reciproco del divisor.

a)78 ÷

43 =

b)1110 ÷

−25 =

c)−58 ÷

−14 =

6. Los números irracionales


Un número es ir racional s i posee inf in i tas c i f ras decimales

no per iódicas , por tanto no se pueden expresar en forma de

fracción .

El número ir racional más conocido es , que se def ine

como la relación entre la longitud de la c i rcunferencia y su

diámetro.

= 3.141592653589. . .

Otros números i r racionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la

desintegración radiact iva, en la fórmula de la catenar ia, que es

la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctr icos.

e = 2.718281828459.. .

Un radical es una expresión de la forma , en la que n

y a ; con tal que cuando a sea negat ivo, n ha de ser

impar.


Potencias y radicales

Se puede expresar un radical en forma de potencia :

Simplif icación de radicales

Si existe un número natural que div ida al índice y a l

exponente (o los exponentes) del radicando, se obt iene un

radical simpli f icado

Solamente pueden sumarse (o restarse ) dos radicales cuando son radicales semejantes , es decir , s i son radicales con el mismo índice e igual radicando .


Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice .

Cuando terminemos de real izar una operación

extraeremos factores del radical , s i es posible.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican .

http://www.vitutor.com/di/re/r10.html


Radicales del mismo índice

Para div idi r radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de real izar una operación

simpli f icaremos el radical , s i es posible.

http://www.vitutor.com/di/re/r10.html


La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices .


La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador , lo que permite faci l i tar e l cálculo

de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos dist inguir t res casos.

1Racionalización del t ipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

2Racionalización del t ipo

Se multiplica numerador y denominador por .


3Racionalización del t ipo , y en general cuando

el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multipl ica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

También tenemos que tener en cuenta que: " suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados " .


7. Intervalos Reales

Se l lama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos, dados: a y b que se l laman

extremos del intervalo .

Intervalo abierto

Intervalo abierto , (a, b) , es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b .

(a, b) = {x / a < x < b}

También se puede representar ]a, b[ ó

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado , [a, b] , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b .

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}


Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda , (a, b] , es el

conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b .

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha , [a, b) , es el

conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b .

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Intervalos infinitos:

.

Definición


Sea a un número real. El conjunto cuyos elementos son los números

reales x tales que lo denotaremos por y lo representamos

geométricamente de la manera siguiente:

El símbolo se lee "más infinito" así:

En forma similar:

i. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo

denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la manera

siguiente:

Así:

ii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo

denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la manera

siguiente:


Así:

El símbolo se lee "menos infinito"

iii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo

denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la

manera siguiente:

Así:


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