Задание: изучить материал лекции.

Тема 1. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство Йенсена, неравенства о средних. Теорема Ферма о сумме квадратов.

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии. Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства. Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

С помощью классических неравенств во многих случаях можно осуществить исследования на максимум и минимум целого ряда функций без обращения к нахождению и исследованию их производных (тем более, что производная исследуемой функции может отсутствовать).

1. Неравенство Коши – Буняковского    К числу известных в математике числовых неравенств относится неравенство Коши – Буняковского, названного в честь французского математика, механика Огюстена Луи Коши (1789 – 1857) и русского математика Виктора Яковлевича Буняковского (1804 – 1889).

    Как и неравенство Коши, данное неравенство применяется во многих разделах школьной математики, в частности, при доказательстве неравенств и при решении некоторых уравнений повышенной сложности. Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Теорема (Неравенство Коши-Буняковского). Справедливо неравенство  .   

Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда   

Доказательство:  Из свойства невырожденности скалярного произведения следует, что для любых    справедливо неравенство

                                      .    (1)

Причем равенство достигается лишь в том случае,  когда    или  . Используя линейность и коммутативность скалярного произведения, неравенство (1) можно записать в виде

                     .

Разделив данное неравенство на положительное число  , получим

                 .

Это неравенство преобразуем к виду

Поскольку неравенство справедливо для любых  , то положив   получим

                                .   (2)

Отметим при этом, что равенство достигается при  . Из неравенства (2) следует      или  . Причем равенство достигается лишь при   .

Неравенство Коши-Буняковского  доказано.

Теорема 1. Для любых действительных чисел a1, a2¸ …, аn, b1, b2¸ …, bn

(n - любое натуральное число, больше 1) справедливо следующее неравенство (a1b1+a2b2+…+аnbn)²≤(a1²+ a2²+…+ an²)(b1²+ b2²+…+ bn²) или a1b1+a2b2+…+аnbn ≤√ a1²+ a2²+…+ a2

n · √ b1²+ b2²+…+ bn² ,

причем данное соотношение реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда выполняются условия b1/а1= b2/а2=…= bn/аn.

Доказательство.

1. Пусть а1=а2=…= аn=0 и утверждения теоремы 2 очевидно справедливы.

2. Пусть теперь хотя бы одно из чисел а1, а2,… аn отлично от нуля. Введем тогда следующие обозначения: А= a1²+ a2²+…+ an²>0, С=b1²+ b2²+…+ bn², В= a1b1+a2b2+…+аnbn, позволяющие записать изучаемое неравенство в следующем виде В2 ≥ АС. Очевидно, что ему будет равносильно неравенство (2В)2 – 4АС ≤ 0, что подсказывает ввести в рассмотрение следующую вспомогательную функцию f(x)=Ax2 + 2Bx+C, xєR. Легко видеть, что f(x)=Ax2 + 2Bx+C= (a1²+ a2²+…+ an)х2+2(a1b1+a2b2+…+аnbn)х+(b1²+ b2²+…+ bn²)=( a1х+b1)2 +… +( аnх+bn)2, т.е. при любом х значение этой квадратичной функции (с положительным коэффициентом при х2) неотрицательно, а это означает, что дискриминант рассматриваемого трехчлена меньше или равен нулю, т.е. D=4В2-4АС≤0, а значит, В2≤А·С, иначе говоря, для любых действительных чисел а1, а2,… аn , b1, b2, …,bn справедливо неравенство Коши-Буняковского: (a1b1+a2b2+…+аnbn)2≤(a1²+ a2²+…+ an)(b1²+ b2²+…+ bn²), причем равенство в полученном соотношении достигается тогда и только тогда, когда D=0, т.е. когда график функции f(x) касается оси ОХ, а значит, уравнение Ax2 + 2Bx+C=0 имеет ровно один корень, т.е. когда следующая система уравнений совместна:

a1х+b1=0, аnх+bn=0, т.е. когда b1 / a1 = b2 / a2 =…= bn / аn . Теорема доказана.

2. Неравенство Йенсена.

Пусть функция   является выпуклой на некотором промежутке   и числа   таковы, что   и  . Тогда каковы бы ни были числа   из промежутка  , выполняется неравенство:

или

.

Замечания:

Если функция   вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.

Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно

, оно отвечает случаю  .Доказательство  

Доказательство проводится методом математической индукции.

Для   неравенство следует из определения выпуклой функции. Допустим, что оно верно для какого-либо натурального числа  ,

докажем, что оно верно и для  , то есть

.

С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых   одним слагаемым

;

это даст возможность воспользоваться неравенством для   и установить, что выражение выше не превосходит суммы

.

Остается лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для  . Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью оправдано.

3.Неравенства о средних.Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического.

Хорошо известно, что с двумя положительными числами а и в, связаны

их среднее арифметическое   и среднее геометрическое ,

причем   (равенство выполняется только при а = в). Алгебраическое доказательство этого неравенства:(а – в)² ≥ 0;Применим формулу «квадрат разности»:

а² - 2ав + в² ≥0;

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав:

а² + 2ав + в² ≥4ав;Применим формулу «квадрат суммы»:

(а + в)² ≥4ав;Разделим обе части неравенства на 4:

;Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из

обеих частей неравенства квадратный корень:

Получили искомое выражение.

Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного.

По определению неравенства если (а – в) ≥0, то а ≥ в, а если (а – в)≤0, то а ≤ в. Но для положительных а и в имеет место выражение: если (а² - в²)≥0, то а ≥ в и наоборот.

Для доказательства   рассмотрим разность:

Значит по определению неравенства (при а≥0; b≥0) разность квадратов отрицательна, то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Таким

образом  , причём равенство достигается только при a=b.

Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического.

Докажем, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического,

то есть  . Рассмотрим

разность 

При условии, что a и b положительны разность квадратов 

, то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Значит  , причём равенство достигается лишь при a=b.

Таким образом мы доказали одно из важнейших неравенств, связанных со средними:

.

4.Теорема Ферма о сумме квадратов.Теорема Ферма — Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит: Любое простое число р=4n+1 , где n — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.Иначе говоря,

р=х2+ у2

х и у - целые числа, тогда и только тогда ,

р=4n+1 (mod 4)

Простые числа, для которых это справедливо называют Пифагоровы простые числа . Например, простые числа 5, 13, 17, 29, 37 и 41 могут быть выражены в виде суммы двух квадратов следующими способами:

5=12+22 , 13=22+32 , 17=12+42 ,37=12+62 и т. д .Ферма обычно не записывал доказательства своих претензий, и он не

представил доказательство этого утверждения. Первое доказательство было найдено Эйлера после долгих усилий и основано на бесконечном спуске . 

5.Малая теорема ФермаМа́лая теоре́ма Ферма́ — классическая теорема теории чисел, которая

утверждает, что:

Если p — простое число, и  не делится на  , то Другими словами,  при делении нацело на  даёт в остатке 1.

Равносильная формулировка:Для любого простого  и целого  :

делится на Теорема называется малой во избежание путаницы с Великой теоремой

Ферма.ДоказательствоДокажем, что для любого простого p и целого неотрицательного a, 

делится на p. Доказываем индукцией по a.База. Для a=0,  и делится на p.Переход. Пусть утверждение верно для a=k. Докажем его для a=k+1.

Но  делится на p по предположению индукции. Что же касается

остальных слагаемых, то  . Для  , числитель этой

дроби делится на p, а знаменатель — взаимно прост с p, следовательно, 

делится на  . Таким образом, вся сумма  делится на p.Для отрицательных a и нечётных p теорему легко доказать подстановкой

b=-a. Для отрицательных a и p=2 истинность теоремы следует

из Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, которая, в свою очередь, является частным случаем теорем Кармайкла и Лагранжа для конечных циклических групп.

Тема 2. Остатки и сравнения. Основная теорема арифметики. Алгоритм Евклида.

Функция Эйлера. Китайская теорема об остатках.

1.Остатки и сравнения«Остатки» играют в нашей жизни большую роль. Мы встречаемся с

ними буквально на каждом шагу. Приведем несколько примеров.

1. Говоря «30 год», мы указываем век, так как 30 год может быть и в XX в., и в XIX в., и в XVIII в.; 30 – это остаток от деления полного числа лет на 100.

2. Вы взглянули на часы, которые показывают 8 ч. Но это может быть и 8 ч и 20 ч, так как часы показывают остаток от деления полного времени на 12.

3. Счетчик показывает 0314 кВт • ч. Это может быть и 0314 кВт•ч и 10314 кВт•ч и 20314 кВт•ч, так как счетчик показывает остаток от деления израсходованного числа киловатт-часов на 10 000.

Таких примеров можно привести множество. Иногда найти остаток совсем нетрудно. А как, например, найти остаток от деления числа 1996•1997•1998•1999•2000•2001 на 7? Перемножить и разделить? Представьте себе проблемы, с которыми придется столкнуться.

Определение. Делитель в теории чисел называется модулем, а числа, дающие при делении на модуль одинаковые остатки, называются сравнимыми по модулю.

Например, 8 = 7•1 + 1, 15 = 7•2 + 1. Числа 8 и 15 при делении на 7 дают одинаковые остатки, равные 1, следовательно, 8 и 15 сравнимы по модулю 7. Это записывают так: 15 є 8 (mod 7), аналогично 22 є 15 (mod 7).

В качестве модуля можно взять любое натуральное число. Например, 20є5 (mod 3), 16є4 (mod 4), 37є7 (mod 10). 

Вообще aєb (mod m), если a = mc + r, b = mc + r, где 0 m r < m.Заметим, что если 15є8 (mod 7), то (15 – 8) 7. Здесь значок обозначает

«кратно» или «делится на...».Например, если 11є5 (mod 3), то (11 – 5) 3.Вообще, если aєb (mod m), то a – b = (mc + r) – (md + r) = m(c – d) m.Мы доказали, что если числа сравнимы по модулю m, то их разность

делится на модуль m.Верно и обратное утверждение: если разность двух чисел делится на m,

по эти числа сравнимы по модулю m.В самом деле, если бы эти числа не были сравнимы по модулю m, то

давали бы разные остатки при делении на m, но тогда их разность не могла бы делиться на m. Это свойство сравнений мы будем использовать, например, для доказательства сравнимости чисел:

10є3 (mod 7), так как 10 – 3 = 7 7;21є13 (mod 4), так как 21 – 13 = 8 4.

Из этого свойства вытекает способ получения сравнимых по модулю чисел: прибавить или вычесть из данного числа кратные модулю числа.

Например, 11є8є5є2 (mod 3). Причем, натуральное число, меньшее модуля и сравнимое с другими числами, служит остатком от деления этих чисел на модуль. В рассмотренном примере остаток равен 2.

Задача 1. Найдите остаток от деления суммы  1995 + 1996 + 1997 + 1998 + 1999 на 7.

Решение.Так как 1995 = 7•285, то 1995є0 (mod 7), то 1995 + 1996 + 1997 + 1998 +

1999є0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10є3 (mod 7).Остаток равен 3.Задача 2. Найдите остаток от деления: вашего года рождения, например

1988 г., на 11.Имеем 1988 = 11•80 + 8, значит, 1998є8 (mod 11); года рождения вашей

мамы, например 1953 г., на 11. Получаем1953 = 11•177 + 6, значит 1953є6 (mod 11);

суммы годов рождений, вашего и маминого, на 11. Находим 1988 + 1953є8 + 6 = 14є3 (mod 11).

Сравнения по одному и тому же модулю, можно перемножать, следовательно, и возводить в натуральную степень. (Это утверждение для шестиклассников можно не доказывать, только показать на примерах. Для старшеклассников его следует доказать.)

Итак, пусть aєb (mod m) и cєd (mod m).Докажем, что acєbd     (mod m).Доказательство. Рассмотрим разность

ac – bd = ac – bc + bc – bd = c(a – b) + b(c – d)   m,    так как (a – b) m и (c

– d)   m.Следовательно, acєbd (mod m), что и требовалось доказать.Задача 3. Найдите остаток от деления на 7 произведения чисел

1995•1996•1997•1998•1999.Решение. Так как 1995є0 (mod 7), то

1995•1996•1997•1998•1999 Ю 0•1•2•3•4 = 0 (mod 7).Таким образом, остаток равен 0.Задача 4. Найдите остаток от деления на 7 числа

1996•1997•1998•1999•2000•2001.Решение. Имеем   1996•1997•1998•1999•2000•2001є 1•2•3•4•5•6 =

720є20є6 (mod 7).Остаток равен 7.Часто встречаются произведения вида 1•2•3•4, 1•2•3•4•5, 1•2•3•4•5•6 и т

д.

Их обозначают 1•2•3•4 = 4!, 1•2•3•4•5 = 5!. Читают: 4-факториал, 5-факториал и т. д. Вообще, 1•2•3•...•n = n! (n-факториал).

(Найдите самостоятельно значения выражений 5!, 7!.)Заметим, что остаток от деления числа на 10 есть последняя цифра этого

числа.Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравнений.

Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для операций арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой символический язык для делимости, основного понятия теории чисел. Понятие сравнения впервые ввел Гаусс.

Изучая понятие сравнения, будем рассматривать все целые числа:0, ±1, ±2, ±3….Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на число m,

мы выражаем это записьюa ≡ b (mod m) (7.1.1)которая читается так:а сравнимо с b по модулю m.Делитель m мы предполагаем положительным; он называется модулем

сравнения. Наше высказывание (7.1.1) означает, чтоa — b = mk, где k — целое число. (7.1.2)Примеры.1) 23 ≡ 8 (mod 5), так как 23 — 8 = 15 = 5 3;2) 47 ≡ 11 (mod 9), так как 47–11 = 36 = 9  4;3) —11 ≡ 5 (mod 8), так как — 11 — 5 = —16 = 8  (-2);4) 81 ≡ 0 (mod 27), так как 81 — 0 = 81 = 27 3.Последний пример показывает, что вообще, вместо того, чтобы

говорить: число а делится на число m, мы можем записатьa ≡ 0 (mod m),так как это означает, чтоа — 0 = а = mk,где k — некоторое целое число. Например, вместо того, чтобы сказать,

что а — четное число, мы можем записатьa ≡ 0 (mod 2).Таким же образом видно, что нечетное число является числом,

удовлетворяющим сравнениюа ≡ 1 (mod 2).

2. Основная теорема арифметики.

Любое положительное число a, не равное 1, можно разделить на число p, если оно не является по отношению к a взаимно обратным числом.

Доказательство.

Наибольший общий делитель чисел a и p делит p. Так как p – простое число по условию, то его положительными делителями являются лишь 1 и p, следовательно, НОД(a, p) равен либо 1, либо p. В первом случае НОД(a, p)=1, откуда следует, что числа a и p – взаимно простые. Во втором случае НОД(a, p)=p, а так как a делится на НОД(a, p), то a делится на p.

3. Алгоритм Евклида

Алгори́тм Евкли́да — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел (или общей меры двух отрезков). Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида (III век до н. э.), который впервые описал его в VII и X книгах «Начал». Это один из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время.

В самом простом случае алгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть наибольший общий делитель исходной пары. Евклид предложил алгоритм только для натуральных чисел и геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Однако в XIX веке он был обобщён на другие типы математических объектов, включая целые числа Гаусса и полиномы от одной переменной. Это привело к появлению в современной общей алгебре такого понятия, как евклидово кольцо. Позже алгоритм Евклида был обобщён на другие математические структуры, такие как узлы и многомерные полиномы.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b - это наибольшее число, на которое делятся без остатка числа a и b.

Среди всех способов нахождения наибольшего общего делителя для двух чисел алгоритм Евклида наиболее удобный и простой.Нахождения НОД и НОК по алгоритму Евклида методом деления:Как известно, деление с остатком целых чисел a - делимое и b - делитель, где b ≠ 0, подразумевает нахождение таких целых чисел q и r, что выполняется

равенство:a = b ∙ q + r, гдеq - называется неполным частным,r - остаток от деления, который не может быть отрицательным числом и по модулю не может быть больше делителя.

Суть метода состоит в том, что сначала выбираем наибольшее из двух чисел, для которых требуется найти НОД и делим большее число на меньшее. Если остаток от деления не равен нулю, делим делитель на остаток от деления, так продолжаем до тех пор, пока остаток от деления не будет равен нулю.

Примеры:1) Найдем НОД (36; 30), для этого сначала найдем остаток от деления 36 на 3036 : 30 = 1 (остаток 6), так как 36 = 30 ∙ 1 + 6, остаток от деления не равен нулю, поэтому продолжаем деление, разделим 30 на 630 : 6 = 5 (остаток 0) так как 30 = 6 ∙ 5 + 0, остаток от деления равен нулю, значит НОД равен предыдущему остатку от деление 6Ответ: НОД (36; 30) = 6

Чтобы найти наименьшее общее кратное НОК чисел a и b необходимо произведение a и b разделить на НОД (a; b)НОК (36; 30) = (36 ∙ 30) : 6 = 180

Найдем НОД (176; 36), для этого сначала найдем остаток от деления 176 на 36

176 : 36 = 4 (остаток 32) так как 176 = 36 ∙ 4 + 32, остаток от деления не равен нулю, поэтому продолжаем деление, разделим 36 на 3236 : 32 = 1 (остаток 4) так как 36 = 32 ∙ 1 + 4, остаток от деления не равен нулю, поэтому продолжаем деление, разделим 32 на 432 : 4 = 8 (остаток 0) так как 32 = 4 ∙ 8 + 0, остаток от деления равен нулю, значит НОД равен предыдущему остатку от деление 4Ответ: НОД (176; 36) = 4

Чтобы найти наименьшее общее кратное НОК чисел a и b необходимо произведение a и b разделить на НОД (a; b)НОК (176; 36) = (176 ∙ 36) : 4 = 1584

4. Китайская теорема об остатках.Китайская теорема об остатках есть теорема теории чисел, в которой

говорится, что, если один знает, остатки от деления Евклида в качестве целого числа п нескольких целых чисел, то можно однозначно

определить остаток от деления п произведения этих чисел, при условии , что делители являются попарно взаимно просты .

Если натуральные числа ❑❑ а1 ,а2 , …, аn попарно взаимно просты, то для любых целых ❑❑r1 , r2 ,… , rn таких, что 00 0 ≤ r i≤ aiпри всех i∈ {1,2 ,…, n }ii найдётся число N, которое при делении на ❑❑ ai даёт остаток  ri при всех i∈ {1,2 ,…,n }ii . Более того, если найдутся два таких числа ❑❑ N1 и ❑❑ N 2, то ❑❑ N1 ≡ N2. . 

ДоказательствоПрименим индукцию по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно.

Пусть теорема справедлива при n=k−1, т. е. существует число M, дающее остаток ri при делении на ai при i=1,2,…,k−1. Обозначим

d=a1a2⋯ak−1и рассмотрим числа M,M+d,M+2d,…,M+(ak−1)d. Покажем, что хотя бы

одно из этих чисел даёт остаток rk при делении на ak. Допустим это не так. Поскольку количество чисел равно ak, а возможных остатков при делении этих чисел на ak может быть не более чем ak−1 (ведь ни одно число не даёт остаток rk), то среди них найдутся два числа, имеющих равные остатки (принцип Дирихле). Пусть это числа M+sd и M+td при 0≤s≤ak−1 и 0≤t≤ak−1. Тогда их разность (M+sd)−(M+td)=(s−t)d делится на ak, что невозможно, т. к. 0<|s−t|<ak и d=a1a2⋯ak−1 взаимно просто с ak, ибо числа a1,a2,…,ak попарно взаимно просты (по условию). Противоречие.

Таким образом, среди рассматриваемых чисел найдётся число N, которое при делении на ak даёт остаток rk. В то же время при делении на a1,a2,…,ak−1 число N даёт остатки r1,r2,…,rk−1 соответственно. Теорема доказана.

5. Взаимно простые числа и функция ЭйлераДва числа называются взаимно простыми, если они не имеют ни одного

общего делителя кроме единицы.Например, числа 11 и 12 взаимно просты (у них нет общих делителей

кроме единицы), числа 30 и 35 — нет (у них есть общий делитель 5 ).Исследованием закономерностей, связанных с целыми числами, долго

занимался швейцарский математик Леонард Эйлер (Leonard Euler). Одним из вопросов, которым он интересовался, был следующий: сколько существует натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n? Ответ на этот вопрос был получен Эйлером в 1763 году и этот ответ связан с каноническим разложением числа n на простые множители. Так, если

где p1, p2, ..., pn – разные простые множители, то число   натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n можно точно определить по формуле

Число натуральных чисел, не превосходящих n и, взаимно простых с n,

называется функцией Эйлера и обозначается Например, найдем количество натуральных чисел, не

превосходящих 12 и взаимно простых с 12. Из ряда натуральных чисел1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11взаимно простыми (не имеющими общих делителей) с 12 будут только

числа 1, 5, 7, 11. Их количество равно четырем. Таким образом Теперь попробуем подсчитать

по формуле, предложенной Эйлером. Для этого вначале запишем каноническое разложение числа 12:

12 = 22 * 3.

Теперь подсчитаем функцию Эйлера  :

Значения, вычисленные путем простого перебора взаимно простых чисел и по формуле Эйлера, совпали. Это неудивительно, так как формула для вычисления функции Эйлера может быть доказана строго математически.

Формулу Эйлера удобно использовать для больших n, если известно разложение числа n на простые множители. Для криптографии формула Эйлера важна тем, что она позволяет легко получить число

для простых и некоторых других чисел. В криптографии используются два следующих следствия формулы Эйлера.

Следствие 1. Если p – простое число, то Действительно, если p – простое число, то его каноническое

разложение состоит только из него самого. Тогда

Следствие 2. Пусть р и q — два различных простых (  ). Тогда

Эта формула объясняется следующим образом. Пусть р * q = N,

где р и q — два различных простых (   ). Тогда

Рассмотрим несколько примеров использования следствий формулы Эйлера.

Пример 1. Найдем   13 – простое число, значит, используя

следствие 1   Мы можем проверить, выписав все числа, меньшие 13:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12и подсчитав все взаимно простые с ним. Их действительно 12.

Пример 2. Найдем   35 – составное число, значит, первое следствие нам не подходит. Однако 35 является произведением двух простых

чисел: 35 = 5 * 7. Используя следствие 2, вычисляем  :

Проверяем, выписывая все числа, меньшие 35 и не имеющие с ним общих делителей:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34.

Их действительно оказалось 24. На последнем примере видно, что использовать формулу Эйлера гораздо удобнее, чем рассматривать все числа из довольно большого диапазона и проверять на взаимную простоту.