Tárgymutató
Tárgymutató
Általános statisztika II
Kriszt, Éva
Varga, Edit
Kenyeres, Erika
Korpás, Attiláné
Csernyák, László
Általános statisztika II
Kriszt, Éva
Varga, Edit
Kenyeres, Erika
Korpás, Attiláné
Csernyák, László
Publication date 1997
Szerzői jog © 1997 dr. Korpás Attiláné, Sándorné dr. Kriszt Éva,
Varga Edit, Veitzné Kenyeres Erika, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt.
Dr. Korpás Attiláné- főiskolai docens
Sándorné Dr. Kriszt Éva - főiskolai docens (9. és 10.
fejezet)
Varga Edit - főiskolai adjunktus (11. fejezet)
Veitzné Kenyeres Erika - főiskolai tanársegéd (6., 7. és 8.
fejezet)
A gyakorlófeladatokat:
Dr. Korpás Attiláné állította össze.
Szakmai lektor:
Dr. Csernyák László - egyetemi tanár, tanszékvezető, a
matematikatudomány kandidátusa
A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása,
illetve utánközlése a kiadó engedélye nélkül tilos!
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tartalom
6. Mintavétel 0
1. 6.1. Alapfogalmak, jelölések 0
2. 6.2. Véletlen mintavételi eljárások 0
2.1. 6.2.1. Független, azonos eloszlású minta kiválasztása 0
2.2. 6.2.2. Egyszerű véletlen mintavétel 0
2.3. 6.2.3. Szisztematikus mintavétel 0
2.4. 6.2.4. Rétegzett mintavétel 0
2.5. 6.2.5. Csoportos mintavétel 0
2.6. 6.2.6. Többlépcsős mintavétel 0
2.7. 6.2.7. Kombinált eljárások 0
3. 6.3. Nem véletlen mintavételi eljárások 0
4. 6.4. A mintajellemzők fontosabb tulajdonságai 0
5. 6.5. Gyakorlófeladatok 0
7. Statisztikai becslések 0
1. 7.1. Alapfogalmak 0
2. 7.2. A becslőfüggvényekkel szemben támasztott követelmények
0
2.1. 7.2.1. Torzítatlanság 0
2.2. 7.2.2. Konzisztencia 0
2.3. 7.2.3. Hatásosság 0
2.4. 7.2.4. Elégségesség 0
3. 7.3. Intervallumbecslés 0
3.1. 7.3.1. A sokaság várható értékének becslése 0
3.2. 7.3.2. A sokasági értékösszeg becslése 0
3.3. 7.3.3. A sokasági arány becslése 0
3.4. 7.3.4. A sokasági szórásnégyzet becslése 0
4. 7.4. A konfidenciaintervallum meghatározása rétegzett
mintavétel esetén 0
5. 7.5. A minta elemszámának meghatározása 0
6. 7.6. Gyakorlófeladatok 0
8. Hipotézisvizsgálat 0
1. 8.1. A hipotézisvizsgálat alapfogalmai 0
2. 8.2. A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák 0
3. 8.3. A statisztikai hipotézisvizsgálat menete 0
4. 8.4. Egymintás statisztikai próbák 0
4.1. 8.4.1. A várható értékkel kapcsolatos próbák 0
4.2. 8.4.2. A sokasági szórásra vonatkozó próba 0
4.3. 8.4.3. A sokasági arányszámmal (valószínűséggel)
kapcsolatos próba 0
5. 8.5. Kétmintás statisztikai próbák 0
5.1. 8.5.1. Két sokasági várható érték különbségének vizsgálata
0
5.2. 8.5.2. Két sokasági arányra (valószínűségre) vonatkozó
próba 0
5.3. 8.5.3. Két sokasági szórás egyezőségére vonatkozó
statisztikai próba 0
6. 8.6. Egyéb hipotézisvizsgálatok 0
6.1. 8.6.1. Illeszkedésvizsgálat 0
6.2. 8.6.2. Függetlenségvizsgálat 0
6.3. 8.6.3. Varianciaanalízis 0
7. 8.7. Gyakorlófeladatok 0
9. Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 0
1. 9.1. Kétváltozós korrelációszámítás 0
1.1. 9.1.1. A kovariancia 0
1.2. 9.1.2. A lineáris korrelációs együttható 0
1.3. 9.1.3. A rangkorrelációs együttható 0
2. 9.2. Kétváltozós regressziószámítás 0
2.1. 9.2.1. Az elméleti regresszió 0
2.2. 9.2.2. A tapasztalati regresszió 0
2.3. 9.2.3. A regressziófüggvény paramétereinek meghatározása
0
2.4. 9.2.4. A változók felcserélhetősége 0
2.5. 9.2.5. A rugalmassági együttható 0
3. 9.3. Statisztikai következtetések a kétváltozós lineáris
regresszió alapján 0
3.1. 9.3.1. A regressziós modell feltételrendszere 0
3.2. 9.3.2. A regressziós becslés pontosságának mérése 0
3.3. 9.3.3. A regressziófüggvény paramétereinek
intervallumbecslése 0
3.4. 9.3.4. Regressziós becslések és prognózisok 0
3.5. 9.3.5. A regressziófüggvény eredményeinek
hipotézis-ellenőrzése 0
3.6. 9.3.6. A reziduális változó vizsgálata 0
3.7. 9.3.7. A paraméterek robusztus becslése 0
4. 9.4. Nemlineáris regresszió 0
5. 9.5. Gyakorlófeladatok 0
10. Többváltozós korreláció- és regressziószámítás 0
1. 10.1. A lineáris regressziófüggvény meghatározása 0
1.1. 10.1.1. A háromváltozós lineáris regressziófüggvény 0
1.2. 10.1.2. A legkisebb négyzetek módszere és tulajdonságai
0
1.3. 10.1.3. A regressziófüggvény paramétereinek
intervallumbecslése 0
1.4. 10.1.4. A regressziófüggvény eredményeinek ellenőrzése
0
1.5. 10.1.5. A varianciaanalízis alkalmazása a többváltozós
regressziószámításban 0
2. 10.2. Többváltozós korrelációszámítás 0
2.1. 10.2.1. Páronkénti korrelációs együttható 0
2.2. 10.2.2. Parciális korrelációs együttható 0
2.3. 10.2.3. Többszörös korrelációs és determinációs együttható
0
2.4. 10.2.4. A multikollinearitás és mérése 0
3. 10.3. Néhány kiegészítés a regressziószámításhoz 0
3.1. 10.3.1. Minőségi ismérvek kezelése a regressziós modellben
0
3.2. 10.3.2. A tényezőváltozók kiválasztása 0
4. 10.4. Gyakorlófeladatok 0
11. Az idősorok összetevőinek vizsgálata 0
1. 11.1. Az idősorok összetevői 0
1.1. 11.1.1. Additív és multiplikatív komponensek 0
2. 11.2. Trendszámítás 0
2.1. 11.2.1. Trendszámítás mozgóátlagolással 0
2.2. 11.2.2. Analitikus trendszámítás 0
3. 11.3. A szezonalitás vizsgálata 0
3.1. 11.3.1. Szezonális eltérések számítása 0
3.2. 11.3.2. Szezonindexek számítása 0
4. 11.4. Előrejelzés az eredmények alapján 0
5. 11.5. Gyakorlófeladatok 0
A. Függelék 0
B. Tárgymutató 0
Általános statisztika II
Általános statisztika II
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az ábrák listája
6,1. A képviselők életkor szerinti megoszlásának hisztogramja
0
6,2. A mintaátlagok megoszlásának hisztogramja 100 db 30 elemű
minta alapján 0
6,3. A mintaátlagok megoszlásának hisztogramja 100 db 100 elemű
minta alapján 0
7,1. A és becslőfüggvény eloszlás 0
7,2. A konfidenciaintervallum ábrázolása 0
7,3. A konfidenciaintervallum elhelyezkedése a mintavétel
többszöri végrehajtása esetén 0
7,4. A standard normális és a Student-féle t-eloszlás 0
7,5. A sűrűségfüggvénye különböző szabadságfokok esetén 0
8,1. Az elfogadási és a kritikus tartomány lehetséges
elhelyezkedés 0
8,2. ábra a. Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés
a z próbafüggvénynél 0
8,2. ábra b. Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés
a z próbafüggvénynél 0
8,2. ábra c. Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés
a z próbafüggvénynél 0
8,3. Az elfogadási és a kritikus tartomány elhelyezkedés 0
8,4. Az α és a β grafikus meghatározása különböző
alternatívhipotézisek esetén 0
8,5. Az α és a β grafikus meghatározása különböző kritikus
értékek esetén 0
8,6. Az F-eloszlás sűrűségfüggvénye különböző szabadságfokok
esetén 0
9,1. Pontdiagramok különböző korrelációs együtthatókkal 0
9,2. Rangszámpárok ábrázolása 0
9,3. A munkában töltött évek számának és a bruttó kereseteknek
megfelelő pontok 0
9,4. A bruttó átlagkereset a munkában töltött évek számának
függvényében a középfokú végzettségű nőknél 0
9,5. Korrrelálatlanság 0
9,6. Függvényszerű kapcsolat 0
9,7. A függvénytípus kiválasztását segítő grafikus ábrák 0
9,8. A legkisebb négyzetek módszere 0
9,9. A megfigyelt adatok és a különböző módon számolt
regressziófüggvények 0
9,10. A szállítási távolság és a szállítás időtartamának
pontdiagramja 0
9,11. A koordináta-rendszer transzformációja 0
9,12. A változók felcserélése 0
9,13. A hibatényező eloszlásának vizsgálata 0
9,14. A mérési hiba hatása a regressziófüggvényre 0
10,1. A regressziós együtthatók közötti összefüggések 0
10,2. Útdiagram 0
11,1. Az idősorok komponensei 0
11,2. A háztartások gázfelhasználásának alakulása Nógrád
megyében 1990 és 1994 között 0
11,3. A népesség természetes fogyásának alakulása Nógrád
megyében 0
11,4. Az ellátatlan munkanélküliek létszámának alakulása 0
11,5. A kiemelt üdülőövezet vendéglétszámának idősora és
exponenciális trendje 0
11,6. Az urántermelés parabolikus trendje 0
Általános statisztika II
Általános statisztika II
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A táblázatok listája
6.1. A sokaság típusa, a mintavétel módja és a mintaelemek
kapcsolata 0
6.2. 30 elemű minták mintaátlagainak megoszlása 0
6.3. A 100 elemű minták átlagai 0
6.4. 100 elemű minták mintaátlagainak megoszlása 0
7.1. A mintába került üvegek nettó töltési tömeg szerinti
megoszlása 0
7.2. A mintába került kávécsomagok megoszlása 0
7.3. A rétegzett mintából történő becslés jelölésrendszere 0
7.4. A számításhoz szükséges adatok 0
7.5. A sokaság és a minta elemszámának megoszlása 0
7.6. 1000 elemű minta adatai 0
8.1. A hipotézisvizsgálat során hozott döntések és
bekövetkezésük valószínűsége 0
8.2. A másodfajú hiba elkövetésének valószínűsége különböző
ellenhipotézisek esetén 0
8.3. Az z-próba elfogadási tartományának határai
szignifikanciaszint mellett 0
8.4. A t-próba elfogadási tartományának határai α
szignifikanciaszint mellett 0
8.5. A elfogadási tartományának határai α szignifikanciaszint
mellett 0
8.6. Két mintát igénylő próbák esetén alkalmazott jelölések
0
8.7. A 10 elemű minta mérési eredményei 0
8.8. Az F-próba elfogadási tartományai α szignifikanciaszint
mellett 0
8.9. A minta valamilyen ismérv szerinti megoszlása 0
8.10. A kiválasztott vendégek kiszolgálási idő szerinti
megoszlása 0
8.11. A próbafüggvény számított értékének meghatározására
szolgáló munkatábla 0
8.12. A megkérdezett személyek nemhez való tartozás és beosztás
szerinti megoszlása 0
8.13. Munkatábla a próbafüggvény aktuális értékének
meghatározásához 0
8.14. Varianciaanalízis-tábla sémája 0
8.15. Az egyes dolgozók teljesítményadatai 0
9.1. Az olvasók megoszlása kölcsönzési idő és a kölcsönzött
kötetek szerint 0
9.2. Az olvasók megoszlása kölcsönzési idő és a kölcsönzött
kötetek szerint 0
9.4. Munkatábla a lineáris korrelációs együttható kiszámításához
0
9.5. A versenyen elért helyezések 0
9.6. Munkatábla a rangkorrelációs együttható kiszámításához
0
9.7. Munkatábla a rangkorrelációs együttható kiszámításához
0
9.8. A hallgatók létszámmegoszlása 0
9.9. A hallgatók matematika- és statisztika-vizsgaeredményei
közötti kapcsolat tapasztalati regressziófüggvénye 0
9.11. A munkában töltött évek száma és a havi átlagkereset
tapasztalati regressziófüggvénye a középfokú végzettségű nőknél
0
9.12. Munkatábla az analitikus regressziófüggvény
meghatározásához 0
9.13. Munkatábla a normálegyenletekkel történő megoldáshoz 0
9.14. Munkatábla a transzformált normálegyenletekkel történő
megoldáshoz 0
9.15. A maradék-négyzetösszeg kiszámításának táblázata 0
9.16. Varianciaanalízis-tábla 0
9.17. Varianciaanalízis-tábla 0
9.18. Eredménytábla a szállítási távolság és a szállítási idő
közötti összefüggés vizsgálatához 0
9.19. A feljegyzett adatok táblázata 0
9.20. Munkatábla a reziduumok számítására 0
9.21. A megmaradó adatok táblázata a 0
9.22. Munkatábla a hatványkitevős regressziófüggvény
meghatározásához 0
9.23. A tokaji aszú életkora és eladási ára közötti összefüggés
0
9.24. Munkatábla az exponenciális regressziófüggvény
meghatározásához 0
10.1. A szállítási idő vizsgálatára vonatkozó adatok 0
10.2. Számítások a transzformált változók alapján 0
10.3. A maradéktag négyzetösszegének kiszámítása 0
10.4. Az eddigi részeredmények 0
10.5. A regressziófüggvény paramétereinek ellenőrzéséhez
szükséges részeredmények 0
10.6. A varianciaanalízis-tábla többváltozós regressziószámítás
esetén 0
10.7. A varianciaanalízis-tábla 0
10.8. A 20 elemű minta adatai 0
10.9. Az felbontása 0
10.10. Az felbontása 0
11.1. Háromtagú mozgóátlagok számítása () 0
11.2. Négytagú mozgóátlagok számítása () 0
11.3. A háztartások számára értékesített gázmennyiség Nógrád
megyében 1990 és 1994 között negyedéves bontásban 0
11.4. A mozgóátlagolású trendszámítás munkatáblája () 0
11.5. A népesség természetes fogyásának alakulása Nógrád
megyében 0
11.6. Munkatábla a paraméterek meghatározásához 0
11.7. Munkatábla a paraméterek meghatározásához 0
11.8. A legkisebb négyzetek módszerének megfelelő négyzetösszeg
kiszámítása 0
11.9. Az ellátatlan munkanélküliek létszámának alakulása Nógrád
megyében 1991 és 1994 között (ezer fő) 0
11.10. Munkatábla az ellátatlan munkanélküliek létszámának
alakulását kifejező lineáris trendfüggvény kiszámításához 0
11.11. A legkisebb négyzetek módszerének megfelelő négyzetösszeg
kiszámításának munkatáblája 0
11.12. Egy kiemelt üdülőövezet vendégeinek létszáma 1982 és 1992
között 0
11.13. A legkisebb négyzetek módszerének megfelelő négyzetösszeg
számítása 0
11.14. A trendtől való eltérések összehasonlítása 0
11.15. Az urántermelés alakulása Magyarországon 0
11.16. Az egyedi szezonális eltérések számítási táblázata 0
11.17. Egy márkakereskedő személygépkocsi-értékesítésének adatai
0
11.18. Munkatábla az egyedi szezonindexek kiszámításához 0
11.19. A személygépkocsi-értékesítés szezonalitását jellemző
szezonindexek 0
11.20. A trend és a szezonhatás előrejezése 0
1. A standard normális eloszlású valószínűségi változó
eloszlásfüggvényének táblázata 0
1. A standard normális eloszlású valószínűségi változó
eloszlásfüggvényének táblázata (folytatás) 0
2. A -eloszlás táblázata 0
2. A -eloszlás táblázata (folytatás) 0
3. AzF-eloszlás táblázata 0
3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 0
3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 0
3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 0
3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 0
3. Az F-eloszlás táblázata (folytatás) 0
4. A Student-féle t-eloszlás táblázata 0
Általános statisztika II
Általános statisztika II
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
6. fejezet - Mintavétel
1. 6.1. Alapfogalmak, jelölések
Tankönyvünk első kötetében a megfigyelt statisztikai sokaság
elemzésére szolgáló különböző eszközökkel, mutatószámokkal
ismerkedtünk meg. A sokaságot ismertnek feltételezve, figyelmünket
csak arra fordítottuk, hogyan lehet annak összetételét, változását,
törvényszerűségeit megvizsgálni. Nem tértünk ki részletesen arra,
hogy az alapadatokhoz teljes körű vagy részleges felvétellel
jutottunk. Utólag azt mondhatjuk, hogy az eddigiek során
megfigyelésünk a sokaság minden elemére kiterjedt, tehát
elemzéseink a sokaság teljes körű megfigyelésén alapultak. Ebben a
kötetben olyan módszerekkel ismerkedünk meg, amelyekhez nem
szükséges a sokaság minden egyes elemének megfigyelése, mivel erre
gyakran nincs is lehetőségünk.
A társadalmi-gazdasági statisztikában azonban az adatokhoz való
hozzájutás gyakori formája a részleges adatgyűjtés, melynek egyik
módja a reprezentatív megfigyelés. Reprezentatív megfigyelésre vagy
más néven mintavételes megfigyelésre van szükség pl. a lakosság
életkörülményeivel kapcsolatos kérdések (jövedelem, fogyasztási
szokások stb.) megválaszolásához, a tömegtermelés
minőség-ellenőrzési eljárásaihoz vagy a közvélemény-kutatásokhoz.
Ily módon becsüljük pl. a várható termés mennyiségét a
mezőgazdaságban vagy a kisvállalkozások tevékenységének eredményeit
is. (Ilyen jellegű kérdésekkel már a Valószínűségszámítás c.
tárgyban is foglalkoztunk.)
A reprezentatív megfigyelés, röviden szólva a mintavétel célja,
hogy valamely sokaság egy részének megfigyelése révén
következtetéseket tudjunk levonni a sokaság egészére, annak
jellemzőire, összetételére vonatkozóan.
Azt a sokaságot, amelyre a mintavétel segítségével következtetni
szeretnénk, alap sokaságnak, az alapsokaság azon részét, amely
alapján a következtetéseket levonjuk, mintasokaságnak nevezzük
.
A továbbiakban az alapsokaságot röviden sokaságnak, a
mintasokaságot pedig mintának fogjuk nevezni.
Tekintsük át először a sokaság megadásának módjait és a
legfontosabb sokasági jellemzőket. A sokaság elemszáma lehet véges
vagy végtelen.
Legyen X a sokaság egy ismérve. Ha a sokaságból véletlenszerűen
kiemelünk egy egyedet, ennek ismérvértéke a véletlentől függ, ezért
valószínűségi változó, ezt a véletlentől függő ismérvértéket
jelölje Ekkor eloszlásfüggvénye
Véges sokaság esetén az egyedeket, illetve azok ismérvértékeit
nagyság szerint sorba rendezhetjük. Az ismérvértékek legyenek
(N az egyedek száma). Ekkor
A várható értéke, vagy másképpen a sokaság ismérvértékének
várható értéke véges sokaság esetén – mint ismeretes – az átlaggal
egyenlő:
szórásnégyzete
Végtelen elemszámú sokaság esetén két esetet különböztetünk meg.
Ha diszkrét valószínűségi változó, ami azt jelenti, hogy az
ismérvértékek véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmazt
alkotnak, akkor az F eloszlásfüggvény szintén egy „lépcsősfüggvény”
(az intervallumban állandó), várható értéke
Ha folytonos és létezik a sűrűségfüggvénye, akkor a várható
értéke
(ha ez az improprius integrál is létezik).
A szórásnégyzetet a szokásos módon kapjuk:
(A jobb oldalon szereplő várható értékeknek is létezniük
kell.)
A gyakorlatban a mintavétel általában véges sokaságból történik.
Ugyanakkor a nagy elemszámú sokaságokat tekinthetjük végtelennek,
így a végtelen elemszámú sokaságra kidolgozott eszközök jól
használhatók ezen sokaságok esetén is.
Ezek után tekintsük át a mintával kapcsolatos alapfogalmakat. A
minta elemszáma, tekintet nélkül arra, hogy véges vagy végtelen
sokaságból származik, mindig véges. Elemszámát n-nel jelöljük. Az
egyes mintaelemek valószínűségi változók, értékük mintáról mintára
változhat. Ezeket célszerű-nel jelölni. A minta elemei csak addig
tekinthetők változóknak, míg a mintavétel nem történt meg, a minta
elemeinek kiválasztása után konkrét számértékek lesznek:
A mintából különböző mintajellemzők (átlag, szórás, értékösszeg,
arány stb.) számíthatók. Miután a minta elemei valószínűségi
változók, az ezekből számított mintajellemzők is valószínűségi
változók lesznek, értékük mintáról mintára változhat attól függően,
hogy mely sokasági elemek kerültek a mintába. Ez a
mintajellemzőknek nagyon fontos tulajdonsága.
A véges elemszámú sokaságból történő mintavételnél alapvető
fontosságú, hogy rendelkezésre álljon egy ún. mintavételi keret,
amely egyenként tartalmazza a vizsgálni kívánt sokaság elemeit,
mégpedig mindegyiket, és mindegyiket csak egyszer. Egy ilyen teljes
keret biztosítása sokszor nem könnyű feladat, mert vannak olyan
sokaságok, amelyeknél az elemek száma és összetétele napról napra
változik, s bármilyen jó is a megszűnő és az újonnan létrejövő
egységek nyilvántartása, ez szükségszerűen különbözik a mintavételi
keret összeállításakor létező sokaságtól. (Ilyen nehézség léphet
fel a mintavételi keret összeállításánál, ha a sokaságot pl.
Magyarország népessége vagy a Magyarországon működő
kisvállalkozások stb. képezik.)
A mintavétel tervezése, a mintavételi eljárás megválasztása
során két egymásnak ellentmondó követelményt kell figyelembe
vennünk. Az egyik követelmény a pontosság, a másik az olcsóság.
Mivel az egyik követelmény előtérbe helyezése a másik háttérbe
szorulását jelenti, lényeges a mintavétel tervezése során az elvárt
célok és a lehetséges eszközök pontos megfogalmazása, számbavétele.
Az, hogy ezen követelményeket mennyire vesszük figyelembe a
mintavétel tervezése során, lényegesen befolyásolja a mintaelemek
kiválasztási eljárását. A következőkben a mintaelemek kiválasztási
módjait tekintjük át.
A mintaelemek kiválasztása visszatevéssel vagy visszatevés
nélkül történhet. Végtelen (vagy végtelennek tekintett) elemszámú
sokaságból akár visszatevéssel, akár visszatevés nélkül választjuk
ki a minta elemeit, azok mint valószínűségi változók minden esetben
függetlenek lesznek egymástól. Véges sokaság esetén csak a
visszatevéses mintavétel eredményez független mintaelemeket. A
mintaelemek ezen tulajdonságára a későbbiek során még visszatérünk.
Az elmondottakat a 6.1. táblázatban foglaltuk össze.
6.1. táblázat - A sokaság típusa, a mintavétel módja és a
mintaelemek kapcsolata
A sokaság elemszáma
A mintavétel módja
A mintaelemek
végtelen
visszatevéses
visszatevés nélküli
függetlenek
véges
visszatevéses
visszatevés nélküli
nem függetlenek
Az elmondottak alapján különbséget teszünk független mintavételi
eljárások és nem független mintavételi eljárások között.
Véges sokaság esetén a minta fontos jellemzője a kiválasztási
arány, amely azt mutatja meg, hogy a sokaság elemeinek mekkora
hányada kerül a mintába. Adott N mellett annál nagyobb
valószínűséggel lehet a mintából a sokaságra következtetni, minél
nagyobb a kiválasztási arány. Az n-nek, a minta elemszámának
azonban nagyobb jelentősége van a kiválasztási aránynál, mert ez
határozza meg a mintából való következtetésnél használható
módszereket.
A mintavétel során és a mintából történő következtetésnél meg
kell különböztetnünk a kis és a nagy minta fogalmát. Ennek
jelentőségét az adja, hogy a mintából számított jellemzők nagy
részének (pl. mintaátlag, mintabeli arány) eloszlása nagy minta
esetén közelítőleg normális eloszlásúvá válik, ennélfogva kezelésük
egyszerűsödik. (Ezen megállapításra a későbbiek során még
visszatérünk.) Felvetődik a kérdés, hogy mi tekinthető kis, illetve
nagy mintának. Azt mondhatjuk, hogy már nagy mintának tekinthető,
azaz egyes mintajellemzők eloszlásfüggvényei ezen mintaelemszám
fölött már közelítőleg normális eloszlásúvá válnak.
A mintanagysághoz szorosan kapcsolódik a mintavételi hiba
fogalma. A mintavételi hiba abból adódik, hogy a sokaság egy
részéből következtetünk az egészre. Meghatározásának módszerei
matematikailag kidolgozottak. Nagysága, illetve annak valószínűsége
– a sokaság jellege, az alkalmazott mintavételi eljárás és a mutató
fajtája mellett – alapvetően a mintanagyságtól függ, hiszen a
mintanagyság növelésével a sokaság egyre nagyobb részét vizsgáljuk
meg, s így egyre kisebbé válik a mintavételből eredő nagy hiba
valószínűsége.
A mintaelemek kiválasztása során elkövethetünk ún. nem
mintavételi hibát is, amely több forrásból adódhat: többek között a
sokaságot nem tökéletesen fedi le a mintavételi keret (pl. ilyen
fordulhat elő, ha a megfigyelt sokaság a Magyarországon működő
kisvállalkozások), nem sikerül a megfigyeléseket a terv szerint
végrehajtani, válaszmegtagadás vagy egyéb okok miatt hiányoznak
adatok. Hiba adódhat abból is, hogy a kérdésekre kapott válaszok
nem egészen pontosak (tudatosan vagy önhibáján kívül téves adatot
szolgáltat a válaszadó), vagy hibákat követhetnek el a kódolás,
táblázás stb. során.
Az ilyen típusú hibák nagyságát nehéz meghatározni.
Vizsgálatuknak, feltárásuknak elsődlegesen az a célja, hogy a
mintavétel tervezésének és végrehajtásának különböző fázisaiban
hatásukat csökkenteni lehessen.
Egy mintából csak akkor lehet számítható megbízhatóságú
következtetéseket levonni a sokaságra vonatkozóan, ha a minta
elemeit nem önkényesen, hanem véletlenszerűen választjuk ki. A
véletlenszerűség nem feltétlenül jelenti azt, hogy a sokaság minden
egyes elemének egyenlő esélye van a mintába történő kerülésre,
hanem csak azt jelenti, hogy minden elemhez egy előre meghatározott
ismert valószínűség tartozik, és biztosítjuk, hogy ezzel a
valószínűséggel kerüljön be a mintába az adott elem, továbbá azt,
hogy a mintaelemek kiválasztási eljárásának előre meghatározottnak
és egyértelműnek kell lennie.
Ha a minta elemeit véletlenszerűen választjuk ki a sokaságból,
véletlen (vagy valószínűségi) mintát kapunk. Attól függően, hogy a
mintavétel során biztosítjuk-e a véletlenszerűséget vagy sem,
különböző mintavételi eljárásokról beszélhetünk.
2. 6.2. Véletlen mintavételi eljárások
2.1. 6.2.1. Független, azonos eloszlású minta kiválasztása
Független, azonos eloszlású mintát akkor kapunk, ha homogén és
végtelen (vagy nagyon nagy) sokaságból veszünk véletlen
(visszatevéses vagy visszatevés nélküli) mintát, illetve amikor
véges sokaságból visszatevéssel választjuk ki a minta elemeit.
Tehát független mintát veszünk. Ilyenkor a minta elemei független
(vagy függetlennek tekinthető), azonos eloszlású valószínűségi
változók lesznek.
Ugyanis az i-edik mintaelem ismérvértékére nyilvánvalóan igaz,
hogy tehát az egyes mintaelemek mint valószínűségi változók
eloszlása a ismérvérték sokaságbeli eloszlásával azonos.
Alkalmazása elsősorban a tömegtermelés minőség-ellenőrzésénél
célszerű. Például azonos eloszlású, független mintához jutunk, ha
az 1 kg-os liszt töltési tömegének ellenőrzéséhez mintát veszünk.
Ekkor a sokaság végtelennek tekinthető, így a minta elemei minden
esetben függetlenek lesznek.
A gyakorlatban azonban nem túl gyakran jutunk független, azonos
eloszlású mintához, mivel a valóságban ritkán áll rendelkezésünkre
végtelen vagy végtelennek tekinthető sokaság, vagy véges sokaság
esetén nem minden esetben van lehetőség a mintaelemek megvizsgálása
után a sokaságba történő visszatevésre (pl. egy adott cégtől
vásárolt gumiabroncsok elhasználódásának minőségi
vizsgálatakor).
Ennek ellenére ez a mintavételi eljárás későbbi vizsgálataink
során kiemelt szerepet kap, mert matematikailag rendkívül könnyen
kezelhető, és ezen a mintatípuson keresztül lehet a legkönnyebben
megmutatni a sokasági és a mintajellemzők kapcsolatát.
2.2. 6.2.2. Egyszerű véletlen mintavétel
Egyszerű véletlen mintavételt hajtunk végre homogén, véges
elemszámú sokaság esetén, amikor a mintát visszatevés nélkül
választjuk ki, elemenként egyenlő valószínűséggel. (Ezt az esetet a
valószínűségszámításban is vizsgáltuk.)
A végrehajtásához egy, a mintavételi keret minden elemét, de
mindegyiket csak egyszer tartalmazó komplex lista szükséges. Ezen
listából a mintaelemek kiválasztása történhet sorsolással, ún.
véletlenszám-táblázattal, illetve számítógépes
véletlenszám-generálással. A visszatevés nélküliség követelményét a
sorsolásnál oly módon biztosíthatjuk, hogy a kihúzott cédulákat nem
tesszük vissza az urnába, míg a véletlenszám-táblázatnál, illetve a
számítógépes véletlenszám-generálásnál az ismételten előforduló
sorszámot átugorjuk, és haladunk tovább a táblázatban, illetve a
számítógép által előállított listában.
Az egyszerű véletlen mintavétel során különböző összetételű
mintát kaphatunk. Minden n elemű minta előfordulásának a
valószínűsége ugyanakkora. Természetesen a mintavétel végrehajtása
után csak egyetlenegy mintánk lesz, s ebből következtetünk a
sokaság jellemzőire.
A gyakorlatban a sokaságok ritkán homogének, ezért az egyszerű
véletlen mintavétel tiszta alkalmazása sem fordul elő gyakran, de
ugyanakkor kiindulópontként szolgál a bonyolultabb
eljárásokhoz.
2.3. 6.2.3. Szisztematikus mintavétel
A gyakorlatban a véletlen kiválasztást a szisztematikus
mintavétellel lehet legegyszerűbben megvalósítani. Az eljárás
lényege a következő: egy n elemű mintát kívánunk venni egy N elemű
sokaságból. Ehhez először a sokaságot valamely szempont szerint
sorba rendezzük – általában eleve adott egy sorrend –, majd
meghatározzuk a számértéket, ahol a szám egész részét jelenti. Az
első k elem közül egyenlő valószínűséggel kiválasztjuk a
kiindulópontot, s ezután szisztematikusan az erre következő minden
k-adik elem kerül be a mintába.
A szisztematikus mintavétel végrehajtása rendkívül egyszerű, nem
igényel szakismeretet, ellenőrzése is könnyű. Ezen mintavételi
eljárás azonban csak akkor eredményez véletlen mintát, ha a
listaképző ismérv és a megfigyelt ismérv között nincs
sztochasztikus kapcsolat. Súlyos torzítást okozhat az is, ha a
lista rejtett trendet vagy periodicitást tartalmaz.
Tekintsük a következő példát. Valamely főiskola hallgatóinak –
akikről rendelkezésre áll egy ábécé szerinti lista – a
tandíjfizetéssel kapcsolatos véleményére vagyunk kíváncsiak. Ekkor
a szisztematikus mintavétel nagy valószínűséggel véletlen mintát
fog eredményezni, hiszen nagyon valószínű, hogy a hallgató nevének
kezdőbetűje és a tandíj fizetéséről alkotott véleménye között nincs
sztochasztikus kapcsolat. Ebben az esetben a szisztematikus
kiválasztás egyszerűsíti a munkát.
2.4. 6.2.4. Rétegzett mintavétel
Minden mintavételnél felmerül az a kérdés, hogyan lehet a
mintaelemek kiválasztását úgy végrehajtani, hogy az meghatározott
mintanagyság mellett minél jobban reprezentálja a vizsgálni kívánt
sokaságot. Célszerű továbbá olyan becslési eljárásokat alkalmazni,
amelyek minél kisebb hibával becsülik az ismeretlen sokasági
jellemzőt. A leggyakrabban alkalmazott ilyen eljárás az ún.
rétegzett mintavétel.
A rétegzett mintavétel során a vizsgált ismérv szempontjából
heterogén sokaságot több homogén (minél kisebb szórású)
részsokaságra (rétegekre) bontjuk úgy, hogy a csoportok kiadják a
teljes sokaságot, továbbá egyetlen sokasági elem se tartozzon két
vagy több csoportba. Az egyes rétegeken belül a minta elemeinek a
kiválasztása egyszerű véletlen mintavétellel történik.
A rétegzett mintavétel eredményeként egyrészt jobb
keresztmetszetet kapunk a vizsgált sokaság összetételéről, másrészt
az egyes rétegek nagyobb homogenitása miatt ezeken belüli kisebb
mintákból is megfelelő pontosságú következtetést vonhatunk le.
Ilyen módon az eredetileg heterogén sokaságra ugyanakkora minta
esetén pontosabb következtetést tudunk levonni rétegzett mintából,
mint ha egyszerű véletlen mintavételt alkalmaztunk volna.
A rétegzés nem csupán pontosságnövelő hatása miatt elterjedt
mintavételi eljárás. A rétegzett kiválasztást arra is
felhasználhatjuk, hogy az egyes rétegek sokasági jellemzőire
megbízható becslést adjunk. Pl. az egyik kisvárosunkban a
háztartások jövedelemviszonyait szeretnénk megvizsgálni. Ehhez a
város háztartásait a gyermekszám alapján rétegekbe soroljuk. A
mintavétel végrehajtása után lehetőség van egyrészt a kisvárosban
lévő háztartások egy főre jutó jövedelmének, másrészt az egyes
rétegek – tehát a gyermektelen, az 1 gyermekes, a 2 gyermekes stb.
háztartások – esetén az egy főre jutó jövedelemnek a
becslésére.
Rétegzett mintavételt alkalmaz többek között a Központi
Statisztikai Hivatal – negyedéves rendszerességgel – az 50 vagy
kevesebb főt foglalkoztató iparba és a kivitelező építőiparba
sorolt kisszervezetek reprezentatív megfigyelésére. (Az 50 főt
meghaladó létszámú szervezetek megfigyelése teljes körű és
folyamatos.) A rétegzés során több szempontot is figyelembe vettek:
jogi személyiségű-e a gazdasági társaság; a jogi személyiségű
társaságokon belül 21 és 50 fő közötti vagy 21 fő alatti
létszámkategóriába tartozik-e; budapesti vagy vidéki székhelyű-e,
illetve azt, hogy mikor alakult meg a gazdasági társaság. Ezen
szempontok alapján a feldolgozóiparban 16, a kivitelező
építőiparban 12 réteget alakítottak ki [footnoteRef:1]1 a vizsgálat
végrehajtásához. [1: 1 A módszer részletes leírása Dr. Telegdi
László: Az ipari és építőipari kisszervezetek reprezentatív
megfigyelése (Statisztikai Szemle 1993. március) c. tanulmányában
olvasható.]
A továbbiak megértéséhez néhány újabb jelölés bevezetésére van
szükség.
A sokaság rétegeinek számát M-mel jelöljük, az egyes rétegeken
belül a sokaság elemszáma pedig:
ekkor:
Rétegenként elemű mintákat veszünk, és a mintákra igaz, hogy
Felvetődik a kérdés, hogy hogyan osszuk el a minta elemeit az
egyes rétegek között. A mintaelemek szétosztása történhet arányos
elosztással, illetve nem arányos elosztással.
a) Az arányos elosztás lényege, hogy a mintában a sokasági
rétegarányoknak megfelelően választjuk meg a minta elemszámát,
tehát adott réteg aránya a mintában és a sokaságban megegyezik,
azaz
Ezt a kedvező tulajdonságot a későbbi számításoknál fogjuk
felhasználni.
A j-edik réteg mintaelemszámát ekkor a következő összefüggéssel
állapíthatjuk meg:
b) A nem arányos elosztás során a mintában a rétegarányok nem
egyeznek meg a sokaságbeli arányokkal. Tehát
A következőkben – a nem arányos elosztáshoz tartozó – néhány, a
statisztikai gyakorlatban legtöbbször előforduló eljárást mutatunk
be.
– Egyenletes elosztás során minden egyes rétegbe azonos számú
mintaelem kerül. Így a j-edik réteg mintaelemszáma lesz. Előnyös
tulajdonsága, hogy egyszerű, semmilyen tervezési előkészítést nem
igényel, végrehajtása kényelmes. Hátránya pedig, hogy az egyes
rétegek nagyságát, szórását stb. nem veszi figyelembe a szükséges
mintaelemszám meghatározásához. Így nagyfokú torzítást okozhat.
– A Neyman-féle optimális elosztás végrehajtásához szükséges,
hogy előre ismerjük (vagy legalább hozzávetőlegesen becsülni
tudjuk) a sokaság rétegenkénti szórásait. Ekkor rögzített
mintaelemszám mellett kedvezőbb tulajdonságú mintát kapunk, ha
nagyobb szórású rétegből aránylag nagyobb, kisebb szórásúból pedig
kisebb mintát veszünk. Ezt az eljárást a rendszeres időközönként
megismétlődő megfigyeléseknél alkalmazzák. Így a megelőző időszak
eredményei felhasználhatók az egyes rétegek mintaelemszámának
meghatározásához.
A j-edik réteg mintaelemszáma az alábbi összefüggés alapján
határozható meg:
ahol a j-edik réteg elemszáma a sokaságban,
a j-edik réteg szórása a sokaságban,
n: a minta elemszáma.
2.5. 6.2.5. Csoportos mintavétel
Az egyszerű véletlen, a szisztematikus és a rétegzett mintavétel
során feltételeztük, hogy rendelkezésünkre áll egy olyan lista – a
mintavételi keret –, amely a sokaság összes elemét tartalmazza, s
ebből választjuk ki a mintát. A gyakorlati feladatok egy részénél
azonban ilyen lista nem áll rendelkezésre, bár elkészíthető volna,
de előállítása költséges és munkaigényes lenne. Más esetekben
rendelkezésre áll ugyan a lista, de ha abból választanánk ki
közvetlenül a mintaelemeket, a felvétel végrehajtása rendkívül
költséges lenne. Ezen feladatoknál célszerű a sokaság elemeit nem
közvetlenül kiválasztani, hanem ezek természetes vagy mesterséges
csoportjait megfigyelni.
A csoportos mintavétel során a homogén sokaság elemeinek
(természetes vagy mesterséges) csoportjai közül egyszerű véletlen
mintát veszünk, majd a kiválasztott csoportokon belül minden egyes
egyedet megfigyelünk.
A csoportos mintavétel esetén a költségtakarékosságot tartjuk
elsődleges szempontnak, míg a megfigyelés megbízhatósága némileg
háttérbe szorul. Bizonyos esetekben a csoportos mintavétel
segítségével, ugyanazon költségkeret mellett lényegesen nagyobb
mintához juthatunk, mint egyszerű véletlen mintavétellel.
Nézzünk néhány példát a csoportos mintavétel alkalmazására.
Egy adott évben vizsgálni kívánjuk a szakközépiskolában
végzettek továbbtanulását, illetve munkába állását az érettségi
után 3 hónappal. Ha egyszerű véletlen mintavételt hajtanánk végre,
akkor az országban található valamennyi szakközépiskola végzős
évfolyamának tanulóiról teljes körű listát kellene összeállítani. A
mintát ebből a listából kellene kiválasztani. Egy ilyen lista
összeállítása rendkívül nehézkes és költséges lenne. További
jelentős költséget jelentene, hogy az így kiválasztott diákok
területileg is rendkívül szétszórtan helyezkednek el, így az
információk begyűjtése is hosszadalmas lenne. Ha azonban csoportos
mintavételt végzünk, akkor a középiskolák rendelkezésre álló
országos listájából egyszerű véletlen mintavétellel kiválaszthatunk
néhány középiskolát. Ilyenkor a kiválasztott iskola végzős
évfolyamának valamennyi hallgatója belekerül a mintába, s a
felvétel során mindannyiukat meg kell kérdezni. Ebben az esetben a
csoportok területi koncentráltsága miatt a csoportos mintavétel
olcsóbb, mint az egyszerű véletlen mintavétel.
Az egyik nagy országos politikai párt valamely döntés
meghozatala előtt kíváncsi a tagság véleményére. Ekkor egyszerűbb
és olcsóbb a helyi pártszervezetek közül néhányat egyszerű véletlen
mintavétellel kiválasztani, s ezeknél minden párttagot megkérdezni,
mint egy részletes címlistát összeállítani a párt tagságáról. Csak
akkor célszerű a csoportos mintavétel alkalmazása, ha a helyi
szervezeteken belül a párt tagjainak véleménye nem azonos a
vizsgált kérdésről. Ellenkező esetben a csoportos mintavétel torz
eredményre vezethet.
A fenti példákból is kitűnik, hogy a csoportos mintavétel során
kétféle egység különül el: elsődleges mintavételi egység, amelyre a
felvétel közvetlenül irányul (iskolák, helyi szervezetek), végső
mintavételi egység, amelyre vonatkozóan következtetéseket akarunk
levonni a kapott mintából (tanulók, párttagok).
2.6. 6.2.6. Többlépcsős mintavétel
A többlépcsős mintavételt hasonló esetekben alkalmazzuk, mint a
csoportos mintavételt – amelyet egylépcsősnek is szoktak nevezni –,
azzal a különbséggel, hogy többször ismételjük meg egymás után az
egyszerű véletlen mintavételt, tehát a mintaelemek kiválasztása
több fokozatban, több lépcsőben történik.
A mintavétel végrehajtása során először kiválasztjuk az
elsődleges mintavételi egységeket. Attól függően, hogy hányszor
ismételjük meg egymás után az egyszerű véletlen kiválasztást, két-,
három- vagy többlépcsős mintavételről beszélhetünk. Ha az
elsődleges mintavételi egységeken belül rögtön a megfigyelni kívánt
elemeket választjuk ki (egyszerű véletlen mintavétellel), akkor
kétlépcsős a mintavétel. Ha az elsődleges mintavételi egységeken
belül először újabb nagyobb csoportokat választunk ki, majd az így
képzett csoportokból választjuk ki a mintaelemeket, akkor a
mintavétel három- (vagy több-) lépcsős lesz.
A többlépcsős mintavétel előnye a csoportos kiválasztással
szemben, hogy homogén elsődleges mintavételi egységek homogenitása
esetén a teljes körű megfigyelés helyett mintára támaszkodik, s
ezáltal csökken a fölösleges adatfelvételek száma, s így
ugyanakkora elemszámú minta esetén kisebb a mintavételi hiba
valószínűsége, mint a csoportos mintavételnél.
Előző példánkat folytatva, ha a helyi szervezetekben nem
kérdeznek meg minden párttagot, hanem egyszerű véletlen
mintavétellel kiválasztanak néhányat, s csak ezeknek teszik fel a
megfelelő kérdéseket, akkor kétlépcsős mintavételi eljárást
hajtanak végre. Ebben az esetben az első lépcső a helyi szervezetek
(elsődleges mintavételi egységek) kiválasztása, a második lépcső
pedig a megkérdezésre kerülő tagok (végső mintavételi egységek)
kiválasztása.
2.7. 6.2.7. Kombinált eljárások
A kombinált eljárások gyakorta egy lépésben alkalmaznak több,
eddig megismert mintavételi módszert. Ily módon ötvözhető például a
rétegzés pontosságnövelő előnye a csoportos vagy többlépcsős
mintavétel költségmegtakarításával. A KSH pl. az egységes lakossági
adatfelvételi rendszerben (ELAR) egyszerre alkalmaz rétegzést és
lépcsőzést.
A kombinált eljárások külön csoportját képezik a ismétlődő
felvételek, illetve panelfelvételek. Ezen felvételek alkalmazására
akkor van szükség, ha a vizsgált sokaság szerkezetét vagy az egyes
egyedek jellemzőinek időbeni változását akarjuk vizsgálni.
Az ismétlődő felvételek esetén nem szükséges, hogy a mintában
szereplő egyedek azonosak legyenek. E módszer legfőbb erénye, hogy
egy-egy időpontban a vizsgált sokaság keresztmetszetéről megbízható
képet ad. Az ismétlődő felvételek általában úgy történnek (például
a legtöbb országban a munkaerő-felvételek), hogy a minta elemei
néhány egymás után következő megkérdezéskor azonosak, majd előírt
rend szerint cserélődnek.
A panelfelvételeknél a minta elemeinek a lehetőségek keretei
között azonosaknak kell lenniük, s ezáltal alkalmasak az egyes
egyedek jellemzőinek időbeni vizsgálatára. A panelfelvétel előnye,
hogy számos társadalmi jelenségre vonatkozóan pontosabb
információkat ad, mint a szerkezeti változásokból levonható
következtetések. Ezeket az előnyöket már az 1940-es években
felismerték, és törekedtek a panelfelvételek alkalmazására. Az
eljárás hátránya, hogy a mintába került egyedek nyomon követése
nehéz, és a válasz megtagadása miatti torzítás gyorsan növekszik.
Ilyen panelfelvételnek tekinthető például a KSH
háztartás-statisztikája, amelyben ELAR mintára támaszkodva nyernek
kétévenként összehasonlító adatokat a lakosság jövedelmére és
fogyasztási szokásaira vonatkozóan.
A gyakorlatban sokszor előfordul a teljes körű felvétel és a
mintavétel összekapcsolása. Pl. Magyarországon jelenleg 3-4 évente
tartanak teljes körű állatszámlálást, amikor a kisgazdaságok teljes
állatállományát összeírják. Ezen információ kiegészítéseként
negyedévente reprezentatív felvételt végeznek egyes fontosabb
állatfajták állományának becslése érdekében. A teljes körű
felvételek közötti időszakban a reprezentatív felvételből és a
megelőző teljes körű felvételből következtetnek a sokaság
állapotára, a teljes állatállományra. Ez úgy történik, hogy
kiválasztják a sokaságnak a reprezentatív felvétel során a mintába
került egyedeit, majd ezeknél a teljes körű és a reprezentatív
megfigyelés során nyert eredményeket összehasonlítják. A tapasztalt
változásokat a sokaságra matematikai módszerek segítségével
általánosítják.
3. 6.3. Nem véletlen mintavételi eljárások
Az eddigiek során áttekintettük a véletlenen alapuló mintavételi
eljárásokat. Vannak azonban olyan mintavételi eljárások, amelyekre
a véletlen kiválasztás nem jellemző, így ezen eljárásokkal
létrejövő minták nem tekinthetők véletlen avagy valószínűségi
mintáknak. Az eddig ismertetett mintavételi eljárásoknak számtalan
hátrányos tulajdonsága van. Ezek közül a leglényegesebb, hogy nincs
biztosítva, a minta a sokaságra valóban jellemző legyen, így
félrevezető következtetések forrása lehet. Továbbá a nem véletlen
minták esetén nem lehetséges a mintából számított jellemzők
hibájának a meghatározása, tehát nem tudjuk a bizonytalanság, a
tévedés várható hibáját becsülni. Ennek ellenére a nem véletlen
mintavételi eljárásokat széles körben alkalmazzák, mivel
végrehajtásuk egyszerűbb és esetenként lényegesen olcsóbb, mint a
korrektül megtervezett és végrehajtott véletlen mintavétel. Főleg
igénytelen felvételeknél (gyors elővizsgálatoknál) használják,
korlátozott következtetési lehetőségekkel.
A szisztematikus kiválasztásról a véletlen mintavételi eljárások
között már esett szó. Láttuk, ha a listaképző ismérv és a
megfigyelt ismérv között nincs sztochasztikus kapcsolat, akkor ez
az eljárás véletlen mintát eredményez. Ellenkező esetben a kapott
mintaelemek nem lesznek függetlenek egymástól, így a
következtetések levonása során figyelembe kell venni a mintaelemek
függőségéből adódó torzítást is. Időbeni megfigyeléseknél a
periodicitás veszélye miatt alkalmazása nem célszerű.
Eléggé elterjedt mintavételi eljárás a kvóta szerinti
kiválasztás. Ennek lényege, hogy a felvételt végző személyek
(kérdezőbiztosok) előre megkapják, hogy milyen összetételű mintához
kell jutniuk, de az előre adott kereteken belül rájuk van bízva a
véletlenszerű kitöltés. A kvóta szerinti kiválasztás legnagyobb
hátránya, hogy a kapott minta a kérdezőbiztosok szimpátiája,
illetve ítélőképessége szerint áll össze. Ez a statisztikailag nem
számszerűsíthető szubjektivitás jelentős mértékben befolyásolja a
kapott eredményeket.
Az önkormányzati választások várható eredményét mintavételes
eljárással kívánják meghatározni. Kvóta szerinti kiválasztás esetén
a kérdezőbiztos úgy kapja meg a feladatát, hogy kérdezzen meg az
adott választókörzetben öt 18 és 30 év, tíz 31 és 40 év közötti
férfit, három 18 és 30 közötti nőt stb. Ezeken a határokon belül
saját maga választja ki a megkérdezett személyeket, elvben
véletlenszerűen, gyakorlatban azonban szubjektíven, ötletszerűen.
Annak ellenére, hogy a kérdezőbiztos korrektül jár el,
előfordulhat, ha kora délutáni órában végzi a felmérést, hogy a
felvett mintában nagyobb lesz pl. a munkanélküliek aránya, mint a
sokaságban. Továbbá gyakori, hogy a kérdezőbiztos saját ismeretségi
köréből igyekszik „véletlen mintát” biztosítani, ez viszont
bizonyos szempontból homogén csoportok megfigyelését jelenti.
Az önkényes kiválasztás során a felvételt végző személy szakmai
ismereteire támaszkodva – a véletlent figyelmen kívül hagyva –
választja ki a sokaságra jellemző (vagy legalábbis általa
jellemzőnek tartott) mintát. Sokéves tapasztalatok mutatják, hogy
az ilyen kiválasztáson alapuló megfigyelés sokszor erősen torzított
eredményt ad. Meg kell említenünk, hogy az önkényes kiválasztás a
mintavétel történelmileg elsőként alkalmazott módszere volt, mára
azonban eléggé visszaszorult. Az utóbbi időben elterjedt az ún.
exit pool eljárás, amelyet elsősorban a választási eredmények
előrejelzésére alkalmaznak. A módszer lényege, hogy a
szavazóhelyiségből kijövő választót megkérdezik arról, hogy kire
adta a voksát, s az így kapott minta alapján következtetnek a
választási eredményekre.
4. 6.4. A mintajellemzők fontosabb tulajdonságai
Ha a minta elemeit véletlen mintavételi eljárással választjuk
ki, akkor a mintaelemek ismérvértékei és a mintajellemzők
valószínűségi változók lesznek.
A következőkben a mintajellemzők közül a minta átlagával
foglalkozunk részletesen. Kiszámítása a
összefüggéssel történik, ahol az i-edik mintaelem ismérvértéke.
Egy konkrét mintavételnél, ha adódik, akkor a mintaátlag
A mintaátlag tulajdonságait független, azonos eloszlású minta
esetén mutatjuk be, mivel ezen mintavételi mód kezelése
matematikailag egyszerűbb. Néhány esetben gyakorlati jelentősége
miatt kitérünk az egyszerű véletlen mintavétel esetére is.
Tekintsük először a mintaelemek eloszlását. A független, azonos
eloszlású minta esetén a minta elemeinek eloszlása megegyezik a
sokaság eloszlásával. A mintaelemek várható értéke és szórása pedig
a sokaság várható értékével és szórásával fog megegyezni.
Hiszen
és
Feladatunk azonban a mintaátlag vizsgálata. A mintaátlagot mint
valószínűségi változót várható értékével, szórásával és
eloszlásával jellemezhetjük.
Vizsgáljuk meg először a mintaátlag mint valószínűségi változó
várható értékét. Valószínűségszámításból ismeretes, hogy
Így a minta átlagának várható értéke:
vagyis megegyezik a sokaságra vonatkozó várható értékkel.
A mintaátlag szórásnégyzete a mintaelemek függetlensége
miatt
Így a mintaátlag szórásnégyzete
azaz a mintaátlag szórása
A mintaátlag szórását, a -ot a mintaátlag standard hibájának
nevezzük. A standard hiba megmutatja, hogy mekkora a
mintaátlagok sokasági várható értéktől való átlagos (négyzetes)
eltérésének várható értéke. Nagysága a sokasági szórástól és a
mintanagyságtól (n) függ. Egyszerűbben fogalmazva a standard hiba
arra ad választ, hogy egyetlen mintavétel esetén mekkora hibát
követünk el „átlagosan”. Mivel a hiba elkövetésének „oka” maga a
reprezentatív mintavétel, szokásos ezt a hibát a reprezentatív
megfigyelés hibájának is nevezni.
Ha a mintaelemek kiválasztása egyszerű véletlen mintavétellel
történt, akkor a mintaátlag standard hibájának meghatározása
(bizonyítás nélkül) a következő összefüggéssel történik:
ahol a -t korrekciós tényezőnek vagy véges szorzónak
nevezzük.
A fenti összefüggésben a korrekciós tényező alkalmazása egyszerű
véletlen mintavételnél abból következik, hogy ezen eljárás esetén a
mintaelemek nem függetlenek, és ezért a standard hiba levezetésekor
a mintaelemek közötti kapcsolatszorosságról tájékoztató
kovarianciát is figyelembe kell venni. Az összefüggésből jól
látható, hogy egyszerű véletlen mintavétel esetén a mintaátlag
szórása jelentős mértékben függhet a kiválasztási aránytól.
A korrekciós tényező értéke 0 és 1 között lehet. Alacsony (pl.
1% alatti) kiválasztási arány esetén értéke közel esik 1-hez, ezért
elhagyása lényegesen nem befolyásolja a kapott eredményt. Ha
viszonylag magas a kiválasztási arány (5 és 10% közötti vagy ennél
nagyobb), akkor a korrekciós tényező alkalmazására feltétlenül
szükség van.
Konkrét mintavételnél a standard hibát -gal fogjuk jelölni, és
a
összefüggéssel határozzuk meg.
Végül vizsgáljuk meg a mintaátlag eloszlását.
Független, azonos eloszlású minta esetén a mintaátlag ()
eloszlásáról a következők mondhatók (a bizonyításokat nem
részletezzük, de felhívjuk a figyelmet arra, hogy a a valószínűségi
változók összegének konstansszorosa):
1. Normális eloszlású sokaság esetén a mintaátlag is normális
eloszlású, függetlenül a minta nagyságától. (Normális eloszlású
valószínűségi változók összege is normális eloszlású.)
2. Ha a sokaság eloszlása nem ismert, de nagy mintát veszünk,
akkor a mintaátlag közelítőleg normális eloszlású lesz, a centrális
határeloszlás-tétel [footnoteRef:2]2 következményeként. [2: 2
Matematika üzemgazdászoknak. Valószínűségszámítás. (Szerk: dr.
Csernyák László.) Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1990. 187.
oldal. (A további hivatkozásoknál: Valószínűségszámítás.)]
3. Ha a sokaság eloszlása nem ismert és kis mintát veszünk,
akkor a mintaátlag eloszlása függ a sokaság eloszlásától, ezért
általánosan semmit sem tudunk mondani.
A mintaátlag egy-egy mintavételnél megvalósuló konkrét
értékeinek eloszlását is szemléltethetjük. Erre vonatkozóan nézzük
a következő példát.
Az 1994-ben megválasztott 371 országgyűlési képviselő életkor
szerinti megoszlása a következő hisztogrammal szemléltethető
[footnoteRef:3]3 (6.1. ábra): [3: 3 Az alapadatokat nem
közöljük.]
6,1. ábra - A képviselők életkor szerinti megoszlásának
hisztogramja
A mintaátlag eloszlásának vizsgálatához a 371 elemű sokaságból
először 30, majd 100 elemű mintákat vettünk számítógépes
véletlenszám-generálás segítségével, visszatevéssel, így független,
azonos eloszlású mintához jutottunk. A mintavételt mindkét esetben
100-szor ismételtük meg, majd minden egyes mintára vonatkozóan
kiszámítottuk a mintaátlagot. A 30 elemű minták mintaátlagainak
megoszlása a következő volt (6.2. táblázat):
6.2. táblázat - 30 elemű minták mintaátlagainak megoszlása
A mintaátlag értéke (év)
A mintaátlagok megoszlása (%)
– 43,90
43,91 – 45,00
45,01 – 46,10
46,11 – 47,20
47,21 – 48,30
48,31 – 49,40
49,41 – 50,50
50,51 – 51,60
51,61 – 52,70
52,71 – 53,80
1
5
13
15
22
25
15
2
1
1
Összesen
100
Ezt követően a 100 elemű mintákat választottuk ki a 30 elemű
mintákhoz hasonló módon. A kiszámított mintaátlagokat a 6.3.
táblázat tartalmazza:
6.3. táblázat - A 100 elemű minták átlagai
47,08
49,51
51,25
48,99
49,45
49,34
46,09
47,97
48,27
48,49
48,64
47,78
47,71
46,74
48,71
47,05
47,87
46,88
49,10
48,44
48,38
46,94
47,55
46,62
46,08
48,13
46,07
47,92
46,17
46,66
46,54
49,34
47,57
47,83
47,16
47,14
47,69
47,48
47,77
50,24
48,68
46,25
47,21
46,70
47,14
50,17
47,79
46,77
48,14
48,05
47,74
47,48
47,78
48,04
48,52
47,54
50,11
47,91
47,16
48,64
46,29
48,21
47,82
47,33
49,47
48,07
47,89
47,35
49,45
47,22
47,52
47,71
46,13
45,68
47,06
48,45
48,68
47,32
46,86
48,17
48,46
46,78
48,58
48,13
48,33
47,98
46,99
46,70
48,96
46,08
48,02
46,03
48,32
47,39
47,65
48,37
47,80
46,73
48,49
46,94
A kapott mintaátlagokat osztályközös relatív gyakorisági sorba
rendeztük (6.4. táblázat).
6.4. táblázat - 100 elemű minták mintaátlagainak megoszlása
A mintaátlag értéke (év)
A mintaátlagok megoszlása (%)
– 46,10
46,11 – 47,20
47,21 – 48,30
48,31 – 49,40
49,41 – 50,50
50,51 – 51,60
6
25
40
21
7
1
Összesen
100
A mintaátlagok megoszlásait hisztogrammal szemléltethetjük (6.2.
és 6.3. ábra).
6,2. ábra - A mintaátlagok megoszlásának hisztogramja 100 db 30
elemű minta alapján
6,3. ábra - A mintaátlagok megoszlásának hisztogramja 100 db 100
elemű minta alapján
A grafikus ábrákat összehasonlítva azt láthatjuk, hogy a
tapasztalati eloszlás 100 elemű minták esetén jobban közelíti a
normális eloszlást, mint 30 elemű minták esetén. (A mintaátlag
eloszlására tett 2. megállapításunk is ezt mondja ki.) A relatív
gyakorisági sorokból és a hisztogramokból az is kitűnik, hogy a
mintaátlagok kisebb intervallumban szóródnak 100 elemű minták
esetén, mint 30 eleműeknél. Ez egyben azt is jelenti, hogy a 100
elemű minták esetén kisebb a standard hiba.
A példánkban mindkét esetben meghatározhatjuk − a mintaelemek
függetlenségének feltételezésével − a mintaátlag standard hibáját.
(A sokasági szórás 9,84 év.)
a) 30 elemű minták esetén:
b) 100 elemű minták esetén: év.
S mint vártuk, 100 elemű minták esetén valóban kisebb a
mintaátlagok sokasági átlagtól vett átlagos négyzetes eltérésének
várható értéke, mint 30 elemű minták esetén.
A mintaátlagok átlagát is kiszámíthatjuk:
a) 30 elemű minták esetén:
b) 100 elemű minták esetén:
Természetesen egyik esetben sem kaphatjuk eredményül a sokasági
átlagot (ami 47,776 év), mert a 100 kísérlet lényegesen kisebb,
mint az összes lehetséges minta száma, mely de ennek ellenére a b)
esetben a mintaátlagok átlaga nagyon jól megközelíti a sokasági
átlagot.
Meg kell jegyeznünk, hogy csak a könnyebb megértés érdekében
határoztuk meg a sokasági várható értéket. A gyakorlatban éppen
ezen érték mintából történő becslése a cél, ezért ez természetesen
ismeretlen.
5. 6.5. Gyakorlófeladatok
1. Az alábbi adatokat, információkat ismerjük:
a) A BKV által szállított utasok száma 1992-ben Budapesten 1481
ezer fő volt.
b) A Budapestre hullott csapadék mennyisége 1996 februárjában 28
mm volt.
c) Egy édességbolt kávéforgalma 1996 decemberében.
d) A magyar lakosság egy főre jutó húsfogyasztása (kg/fő).
e) A dohányzók aránya a 14–18 éves fiatalok körében.
f) A kiszolgálási idő átlagos nagysága egy ARAL
benzinkútnál.
g) A fogyasztói árak alakulása.
h) A lakossági tulajdonban lévő személygépkocsik átlagos
életkora 8,2 év volt 1992-ben.
i) A magyar háztartások jövedelmüknek átlagosan 30%-át fordítják
élelmiszer-vásárlásra.
j) A felsőfokú intézményekben végzettek száma 1995-ben.
Feladat:
Gondoljuk át, hogy a fenti információkból melyek azok, amelyek
reprezentatív megfigyelésből származnak!
2. Tételezzünk fel egy mindössze 5 elemű sokaságot, amelyben egy
mennyiségi ismérv értékei a következők:
A sokaság elemei
értékei
A
B
C
D
E
2
6
8
10
15
Feladat:
a) Számítsuk ki az összes lehetséges kételemű és háromelemű –
visszatevés nélküli kiválasztással kapható – mintákat és
mintaátlagokat!
b) Határozzuk meg a standard hibát:
1. a kételemű minták alapján,
2. a háromelemű minták alapján!
c) Hasonlítsuk össze a kapott eredményeket!
3. Néhány, a fejezetben található jelölés:
a j-edik réteg nagysága a sokaságban,
a sokaság szórásnégyzete,
a mintaátlag szórása,
a sokaság átlaga,
a minta átlaga.
Feladat:
Párosítsuk a fenti jelöléseket a helyes megnevezéssel!
4. Tételezzük fel, hogy egy sokaság 10 elemből áll. Egy
tetszőleges mennyiségi ismérv értékei a sokasági egységeknél:
Sokasági egység
Ismérv értéke
Feladat:
a) Számítsuk ki a sokaság átlagát és szórását!
b) Határozzuk meg az ismétlés nélkül kiválasztható
kételeműminták átlagait!
c) Rendezzük a kapott mintaátlagokat osztályközös gyakorisági
sorba! Készítsünk az adatokból gyakorisági poligont!
d) Vizsgáljuk meg a mintaátlagok sokasági átlag körüli
szóródását!
5. A katonai sorozáson megjelenő fiúk átlagos testmagassága 175
cm, a testmagasság szórása 8 cm. (A testmagasság szerinti eloszlás
normálisnak tekinthető.)
Feladat:
A sokaságból 20 elemű mintát véve, mekkora a valószínűsége
annak, hogy a mintaátlag a sokasági átlag 3 cm-es környezetében
lesz?
6. A felnőtt korú népesség testtömege szerint normális
eloszlású, 78 kg-os várható értékkel, 8 kg-os szórással. A
sokaságból 10 fős véletlen mintát veszünk.
Feladat:
a) Mi a valószínűsége annak, hogy
1. a mintába kerülők mindegyikének a testtömege meghaladja a 80
kg-ot,
2. a mintaátlag nagyobb, mint 80 kg?
b) Magyarázzuk meg a kapott eredményeket!
7. Valamely termék gyártásánál az éves termelésben a
szabvány-előírásnak megfelelő termékek aránya 90%.
Feladat:
Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy 200 elemű egyszerű
véletlen mintában legalább 95% a szabványnak megfelelő termékek
aránya! (Megjegyzés: a mintabeli arányok normális eloszlásúak!)
8. Hosszú évek tapasztalata alapján feltételezhetjük, hogy a
hallgatók statisztikadolgozatainak pontszáma normális eloszlást
követ. Az átlagos pontszám: pont, a szórás: pont. (A dolgozatok
elérhető maximális pontszáma 100 pont.)
Feladat:
a) Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy 40 fős
tanulócsoportban az átlagos pontszám 72 pont felett lesz!
b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen
kiválasztott hallgató 72 pont felett teljesít?
Mintavétel
Mintavétel
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7. fejezet - Statisztikai becslések
1. 7.1. Alapfogalmak
Az előző fejezetben a mintavétel alapfogalmaival, a mintavételi
eljárásokkal és a mintaátlag tulajdonságaival ismerkedtünk meg.
Ebben a fejezetben valamely sokasági jellemző (várható érték,
szórás, értékösszeg, arány stb.) mintából történő közelítő
meghatározásával foglalkozunk.
A mintából való következtetés fontos alapfogalma a
becslőfüggvény.
Becslőfüggvényen a mintaelemek olyan n-változós függvényét
értjük, amelynek értéke a sokaság valamely paraméterének mintából
történő becslésére szolgál. [footnoteRef:4]1 [4: 1 A mintaelemek
ezen függvényét statisztikának is szokták nevezni.]
Becslőfüggvény lehet például a mintaelemek átlaga amellyel a
sokasági várható értéket vagy a mintabeli arány, amellyel a
sokasági arányt becsülhetjük. Ugyanazon sokasági jellemző értékének
közelítő meghatározásához több becslőfüggvény is használható.
Például a sokasági várható érték becslésére a mintaelemek számtani
átlagán kívül szimmetrikus eloszlás esetén a mediánt, a harmonikus
átlagot, a négyzetes átlagot stb. is használhatjuk.
A sokasági szórásnégyzet becslésére is több becslőfüggvényt
konstruálhatunk. Ezek közül a legfontosabbakat emeljük ki.
Becsülhetjük a
statisztikával, amelynek egy konkrét mintavételnél az értéke
az
összefüggéssel határozható meg. A fenti becslőfüggvényt
tapasztalati szórásnégyzetnek nevezzük. A sokasági szórásnégyzet
becslésére használhatjuk a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet,
a
becslőfüggvényt is, amelynek egy adott mintánál az értéke
Mivel a legtöbb sokasági jellemző becslésére több becslőfüggvény
is konstruálható, ezért felvetődik a kérdés, hogy melyiket
használjuk. Ehhez nyújtanak támpontot a becslőfüggvényekkel szemben
támasztott követelmények, amelyek alapján el tudjuk dönteni, hogy
melyik becslőfüggvény mondható jónak, jobbnak, illetve bizonyos
esetben a legjobbnak.
A becslőfüggvény értéke valószínűségi változó, értéke mintáról
mintára változhat, de egyetlen n elemű mintához csak egyetlenegy
értéket rendel. Ezt az értéket nevezzük valamely sokasági jellemző
pontbecslésének. Például -nek pontbecslése az és -nak az s* vagy az
s. Ezzel szemben az intervallumbecslésnél egyetlenegy minta alapján
olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy)
valószínűséggel tartalmazza az ismeretlen sokasági jellemzőt. Ezt
az intervallumot konfidenciaintervallumnak vagy megbízhatósági
intervallumnak nevezzük.
2. 7.2. A becslőfüggvényekkel szemben támasztott
követelmények
2.1. 7.2.1. Torzítatlanság
Torzítatlannak nevezünk egy becslőfüggvényt, ha annak várható
értéke megegyezik a becsülni kívánt sokasági jellemző
értékével.
Jelöljük a sokasági jellemzőt -val, a becslőfüggvényét pedig
továbbra is -pal. E követelmény szerint akkor tekinthető
torzítatlan becslőfüggvényének, ha
Véges sokaság esetén a torzítatlanság tulajdonsága azt jelenti,
hogy ha az összes lehetséges módon kiválasztjuk az n elemű
mintákat, és minden egyes minta esetén kiszámítjuk a becslőfüggvény
értékét, majd ezek számtani átlagát képezzük, akkor e követelmény
szerint a sokasági jellemző értékét kell kapnunk. Vagyis az összes
lehetséges pontbecslés átlaga a tényleges érték.
Ennél kevésbé szigorú, ám a gyakorlatban mégis sokszor
elfogadható az aszimptotikus torzítatlanság követelményének
teljesülése is. Eszerint
azaz a minta elemszámának növelésével a becsülni kívánt
paraméter és a becslőfüggvény várható értékének különbsége egyre
kisebb lesz.
Nézzük meg e követelmények teljesülését néhány becslőfüggvény
esetén.
A mintaátlag a sokasági várható érték torzítatlan
becslőfüggvénye.
E tulajdonság teljesülését már a 6.4. pontban bizonyítottuk.
Vagyis beláttuk, hogy ha a azonos eloszlású, független
valószínűségi változók alkotják a mintát, akkor
ahol a sokaság (egyben a ) várható értéke.
Ha konkrétan egy mintavételre sor kerül, és adódik, akkor az
értékeknek ugyanazon függvénye, mint a valószínűségi változóknak,
vagyis az úgy tekinthető, mint e minta esetén felvett értéke (azaz
olyan valószínűségi változó által felvett érték az , amelynek
várható értéke ).
Most vizsgáljuk meg, hogy a szórásnégyzetekre teljesül-e ez a
követelmény. Tekintsük először a tapasztalati szórásnégyzet várható
értékét:
Mivel , továbbá , így
Vagyis a tapasztalati szórásnégyzet a sokasági szórásnégyzet
torzítottbecslőfüggvénye. Igaz viszont, hogy
a tapasztalati szórásnégyzet tehát a sokasági szórásnégyzet
aszimptotikusan torzítatlan becslőfüggvénye.
A korrigált tapasztalati szórásnégyzet viszont már torzítás
nélkül becsüli a -et. Ezt könnyen igazolhatjuk. A korrigált
tapasztalati szórásnégyzetet a tapasztalati szórásnégyzet
felhasználásával a következőképpen írhatjuk fel:
Ezen összefüggést és a tapasztalati szórásnégyzet várható
értékének levezetésénél leírtakat felhasználva
tehát a becslőfüggvény torzítatlan. Ezért a gyakorlatban a
korrigált tapasztalati szórásnégyzetet használjuk a sokasági
szórásnégyzet becslésére.
2.2. 7.2.2. Konzisztencia
A konzisztencia követelménye azt írja elő, hogy a becslés
torzítatlan (vagy legalább aszimptotikusan torzítatlan) legyen, és
a mintanagyság minden határon túl történő növelése esetén annak a
valószínűsége, hogy a becsülni kívánt paraméter és a becslőfüggvény
eltérése kisebb egy számnál, 1 legyen. Képlettel felírva:
Másképpen megfogalmazva: a konzisztencia azt a követelményt
támasztja a becslőfüggvényekkel szemben, hogy nagyon nagy minta
esetén a becslőfüggvény mintából számított értéke nagy
valószínűséggel közelítse meg a sokasági jellemző értékét. Véges (N
elemű) sokaság és visszatevés nélküli mintavétel (tehát egyszerű
véletlen mintavétel) esetén a konzisztencia azt jelenti, hogy
esetén a becslőfüggvény „mintából” számított értéke megegyezik a
sokasági paraméter értékével.
2.3. 7.2.3. Hatásosság
Ha a és a torzítatlan becslőfüggvénye -nak, és akkor azt
mondhatjuk, hogy hatásosabb becslőfüggvénye -nak, mint Más
szavakkal: az a becslőfüggvény hatásosabb, amelynél a
becslőfüggvény mintából számított értékeinek a sokasági
paramétertől számított átlagos négyzetes eltérésének várható értéke
(tehát szórása) kisebb.
A 7.1. ábrán két torzítatlan (, ) becslőfüggvény
sűrűségfüggvénye látható. A kettő közül azt tekintjük hatásosabb
becslőfüggvényének, amelynek szórása (standard hibája) kisebb,
mivel ez azt jelenti, hogy becslésünk nagyobb valószínűséggel áll
közel a sokasági paraméterhez.
7,1. ábra - A és becslőfüggvény eloszlás
Ha egy sokasági paraméter összes becslőfüggvénye között létezik
egy olyan, amelynek minimális a szórása, azt hatásos becslésnek
nevezzük.
2.4. 7.2.4. Elégségesség
Ez a követelmény azt mondja ki, hogy az elégséges becslés minden
mintából nyerhető információt tartalmaz a becsülni kívánt
jellemzőről.
3. 7.3. Intervallumbecslés
Az alapfogalmak áttekintése után a becslések különböző eseteivel
foglalkozunk. A becslés egyik célja egy olyan intervallum megadása,
amely megadott nagy valószínűséggel tartalmazza a sokasági
jellemzőt. Ekkor konfidenciaintervallumot határozunk meg.
A becslés során egyetlen n elemű minta alapján egyetlenegy
értéket is adhatunk az ismeretlen sokasági jellemzőre. Ekkor – mint
már említettük – pontbecslést hajtunk végre. Pl. pontbecslést
adunk, ha azt mondjuk, hogy a sokaság várható értéke a
mintaátlaggal (), vagy a sokasági arány a mintabeli aránnyal
egyenlő stb.
Térjünk vissza ismét a konfidenciaintervallum
meghatározására.
3.1. 7.3.1. A sokaság várható értékének becslése
A sokaság várható értékének becslőfüggvényeként a mintaátlagot
használjuk. Mint azt már beláttuk, torzítatlan és konzisztens
becslést eredményez. A sokasági várható értékre adott
konfidenciaintervallum meghatározásánál a mintaátlag eloszlásáról
elmondottak (6.4. pont) alapján a következő alpontokat fogjuk
megkülönböztetni:
a) Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokaság szórása
ismert.
b) Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokaság szórása nem
ismert.
c) Nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, ha nagy
mintát vettünk.
d) Nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, ha kis
mintát vettünk, illetve ismeretlen eloszlású sokaság esetén.
A további tárgyalás során a minta elemszáma legyen n, és az
előre rögzített (magas) valószínűségi szint .
a) Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokaság szórása
ismert
Ha a sokaság normális eloszlású, a minta elemei és a mintaátlag
is normális eloszlású lesz, a minta elemszámától függetlenül. Mivel
a sokasági szórás ismert, definiálhatunk egy valószínűségi változót
oly módon, hogy a normális eloszlású mintaátlagból kivonjuk annak
várható értékét és elosztjuk a szórásával Jelöljük ezt a változót
Z-vel, tehát
Így Z standard normális eloszlású valószínűségi változó lesz. A
konfidenciaintervallum meghatározása során keressük azt a
intervallumot, amely valószínűséggel tartalmazza a Z változót,
azaz
és valószínűséggel nem tartalmazza azt. A keresett intervallumot
úgy határozzuk meg, hogy ugyanakkora valószínűsége legyen annak,
hogy a Z változó kisebb, mint az intervallum alsó határa, mint
annak, hogy a Z nagyobb, mint annak felső határa. Ez a valószínűség
-vel egyenlő, mivel a keresett intervallum a Z valószínűségi
változót valószínűséggel nem tartalmazza, azaz
Mivel a Z változó standard normális eloszlású (és ezen eloszlás
szimmetrikus az Y tengelyre), ezért az intervallum is szimmetrikus
lesz a Y tengelyre, így helyett határokat használhatunk. A keresett
intervallumba esés valószínűsége (Z standard normális eloszlású, az
ismert összefüggések felhasználásával [footnoteRef:5]2 ) pedig: [5:
2 Valószínűségszámítás 142. oldal]
Előre megadott magas valószínűségi szint esetén a Z
valószínűségi változónak a konfidenciaintervallumba valószínűséggel
kell esnie. Ekkor
azaz
Ebből z meghatározható táblázat (Függelék 1. táblázat) alapján,
a megoldás legyen . A tehát az az érték, amely mellett a
intervallum kimetszi a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye
alatti terület %-át. Ezt szemlélteti a 7.2. ábra.
7,2. ábra - A konfidenciaintervallum ábrázolása
Mivel a sokaság várható értékére (μ-re) akarunk egy
intervallumot adni, rendezzük át a egyenlőtlenséget oly módon, hogy
az intervallum középpontjában a sokaság várható értéke (μ) álljon.
Tehát azt jelenti, hogy Ebből
Vagyis a konfidenciaintervallum
Egy konkrét mintaesetén a konfidenciaintervallum
A mennyiséget hibahatárnak vagy maximális hibának nevezzük és
Δ-val jelöljük. Ez az érték azt mutatja meg, hogy a becslés során
valószínűséggel Δ-nál kevesebbet tévedünk.
A becslés hibahatárának csökkentésére több lehetőség is adódik.
Csökkenthetjük a standard hibát, a értéket, illetve mindkettőt. A
standard hiba, a mintaátlag szórása csak a minta elemszámától függ
(a sokasági szórás () adott), mégpedig annak gyökével fordítottan
arányos. Így a standard hiba, s ezáltal a hibahatár csökkentésének
egyik módja a minta elemszámának növelése. A értéke a
megbízhatósági szinttől, az (1 – μ)-tól függ. Tehát a
megbízhatósági szint csökkentésével (az intervallumunk kisebb
valószínűséggel tartalmazza a sokasági paramétert) a hibahatárt is
csökkentjük. Összefoglalva az elmondottakat, a becslési pontosságot
a minta elemszámának növelésével vagy a megbízhatósági szint
csökkentésével javíthatjuk. De ez utóbbi csak látszateredmény, mert
hiába adunk meg kis intervallumot, ha kis valószínűséggel esik csak
bele a μ.
Jól látható, hogy az intervallum határai valószínűségi változók,
értékük függ a minta átlagától. Mivel csak egyetlenegy minta áll a
rendelkezésünkre, ezért a konfidenciaintervallum határai is konkrét
számértékek lesznek. Ekkor a konfidenciaintervallumot úgy
értelmezhetjük, hogy a sokaság várható értéke valószínűséggel
határok közé esik.
Tekintsünk vissza a 6. fejezetben elkezdett számpéldára.
Határozzuk meg, hogy milyen határok közé esik 95%-os
valószínűséggel a 371 országgyűlési képviselő átlagéletkora, ha
csak egyetlen 100 elemű mintát vettünk.
A konfidenciaintervallum megadásához tételezzük fel, hogy a
sokaság normális eloszlású, és a minta elemeit visszatevéssel
választottuk ki (tehát függetleneknek tekinthetjük). A kiválasztott
100 elemű minta átlaga 47,08 év. A 371 képviselő életkorának
szórása (sokasági szórás) 9,85 év. Tehát:
A becslőfüggvény értéke a 100 elemű minta alapján:
A mintaátlag standard hibája:
Ezek után határozzuk meg a hibahatárt. Ehhez szükség van a
értékére – a meghatározásához így –, amely a standard normális
eloszlás táblázatából kereshető ki. . A hibahatár:
Tehát 95%-os valószínűséggel 1,93 évnél kevesebbet tévedünk a
becslés során. A konfidenciaintervallum határai: 47,08 ± 1,93, így
a 371 képviselő átlagéletkora 95%-os valószínűséggel 45,15 év és
49,01 év között van.
7,3. ábra - A konfidenciaintervallum elhelyezkedése a mintavétel
többszöri végrehajtása esetén
Már említettük, hogy a konfidenciaintervallum határait
befolyásolja a minta átlaga, vagyis az a tény, hogy a kiválasztás
során melyik sokasági elem kerül be a mintába. Mivel a sokaság
szórása ismert, továbbá változatlan a konfidenciaintervallumba esés
valószínűsége (95%), ezért a maximális hiba, s ezáltal a
konfidenciaintervallum hossza is ugyanaz lesz minden esetben. Tehát
az intervallum elhelyezkedése csak egyetlen tényezőtől, a
mintaátlagtól függ. A 7.3 ábra 5 különböző minta esetén – amelyek
mintaátlagai a 6.3. táblázatban találhatók és amelyek rendre 47,08
év, 49,51 év, 51,25 év, 48,99 év és 49,45 év – a
konfidenciaintervallum elhelyezkedését szemlélteti.
b) Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokaság szórása ()
nem ismert
A becslés célja továbbra is az, hogy konfidenciaintervallumot
készítsünk a sokaság várható értékére, Mivel a sokaság szórása (σ)
nem ismert, ezért azt a mintából a korrigált tapasztalati szórás ()
segítségével kell becsülni. Ennek következtében a
változót lehet csak használni az intervallum meghatározásához.
Ez a változó (Student-féle) t-eloszlású valószínűségi változó
szabadságfokkal. [footnoteRef:6]3 (Azért a szabadságfok, mert a
számlálóban lévő valószínűségi változó nem független a
valószínűségi változóktól.) [6: 3 A Student-féle t-eloszlás
sűrűség- és eloszlásfüggvénye a Valószínűségszámítás 196. oldalán
található.]
7,4. ábra - A standard normális és a Student-féle t-eloszlás
A t-eloszlással kapcsolatban meg kell említenünk, hogy a
standard normális eloszláshoz hasonlóan szimmetrikus az Y
tengelyre, továbbá a szabadságfok növelésével a t-eloszlás egyre
inkább közelít a standard normális eloszláshoz, 100 feletti
szabadságfok esetén (azaz jelen esetben 100-nál több elemű minta
esetén) [footnoteRef:7]4 a két eloszlás eltérése minimális lesz. A
7.4. ábrán a standard normális és a Student t-eloszlás
sűrűségfüggvényét szemléltetjük. (Az N(0, 1) jelölés a standard
normális eloszlásra utal.) [7: 4 Ez az egyik magyarázata annak,
hogy a 100-nál nagyobb elemű mintákat már nagy mintáknak
tekintjük.]
A konfidenciaintervallum az a) pontban megfogalmazott esethez
hasonlóan vezethető le, azzal a különbséggel, hogy a Z helyett a
változót használjuk, továbbá az egyenlet megoldása helyett lesz,
amely a Student t-eloszlás táblázatából kereshető ki (Függelék 4.
táblázat).
Az elmondottaknak megfelelően a konfidenciaintervallum
határai:
Konkrét minta esetén:
ahol és
Folytassuk a példánkat azzal a feltevéssel, hogy a sokaság
szórása (σ) nem ismert. Ekkor mintából kell becsülnünk. A minta
elemeiből számított korrigált tapasztalati szórás A mintaátlag
standard hibája:
(Mivel a standard hiba kiszámításához a korrigált tapasztalati
szórást használtuk fel, ezért konkrét minta esetén az jelölést
használjuk a helyett.)
A hibahatár kiszámításához a Student t-eloszlás táblázatából
kell kikeresni a -t, amelynek értéke a példában Ennek megfelelően a
hibahatár:
A konfidenciaintervallum pedig: (47,77 ± 2,0) év. Tehát a 371
képviselő átlagéletkora 95%-os valószínűséggel 45,77 év és 49,77 év
között van.
c) Nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, ha nagy
mintát vettünk
Nagy minta esetén – a 6.4. fejezetben elmondottak alapján – a
mintaátlag a centrális határeloszlás tétele értelmében közelítőleg
normális eloszlású lesz, így a sokaság várható értékére adott
konfidenciaintervallum alsó és felső határa konkrét minta esetén
az
illetve a
összefüggés alapján határozható meg attól függően, hogy ismert
vagy sem a sokasági szórás.
Mivel nagy mintánk van – és nagy mintához tartozó szabadságfok
esetén a Student t-eloszlás megközelítőleg egybeesik a standard
normális eloszlással –, a konfidenciaintervallum meghatározásához
ismeretlen sokasági szórás esetén is használhatjuk a standard
normális eloszlás táblázatát. (A fentiek közül az első
intervallumot azzal a különbséggel, hogy a sokasági szórás (σ)
helyett a mintabeli korrigált tapasztalati szórást (s)
használjuk.)
d) Nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, ha kis
mintát vettünk, illetve ismeretlen eloszlású sokaság esetén
Mivel ekkor a minta átlagának eloszlásáról általánosan semmit
sem tudunk mondani, ezért a konfidenciaintervallum meghatározása a
valószínűségszámításból megismert Csebisev-egyenlőtlenség
[footnoteRef:8]5 alapján történik, amely a következő formában
írható fel: [8: 5 Valószínűségszámítás 108. oldal]
Tegyük fel, hogy valószínűségi változónk amelynek várható értéke
szórása pedig ekkor a fenti egyenlőtlenség felírható a következő
módon:
A felírt egyenlőtlenség nagyon hasonlít a korábban meghatározott
konfidenciaintervallumra azzal a különbséggel, hogy itt a
„szorzószám” nem egy eloszlás táblázatából vett érték, hanem az
összefüggésből határozható meg. Tehát a Csebisev-egyenlőtlenség azt
mutatja meg, hogy az intervallumba esés valószínűsége legalább.
Természetesen, ha a sokaság szórása nem ismert, a helyett
használható a is.
Konkrét mintánál a Csebisev-egyenlőtlenség
formában írható fel, amelynél, ha a sokaság szórása nem ismert,
a helyett az is használható.
Tekintsük a következő példát! Egy biztosítótársaság központjában
az átlagkereset meghatározása céljából egy 20 elemű mintát vettek.
A mintában az átlagkereset a keresetek korrigált tapasztalati
szórása pedig s = 21 300 Ft. Becsüljük meg legalább 95%-os
valószínűséggel, hogy milyen határok között van a központ
dolgozóinak átlagkeresete!
Először határozzuk meg a k értékét!
A mintaátlag standard hibája:
Ezek után kiszámíthatjuk a konfidenciaintervallum határait:
A központ dolgozóinak átlagkeresete legalább 95%-os
valószínűséggel 26 910,3 Ft és 69 489,7 Ft között lesz.
Az eddigiek során feltételeztük – a pontos matematikai tárgyalás
érdekében –, hogy független, azonos eloszlású minta áll a
rendelkezésünkre. Ha a minta elemei egyszerű véletlen mintavételből
származtak, akkor a konfidenciaintervallum meghatározása némiképp
módosul az eddigiekhez képest.
A sokaság várható értékének a becslésére továbbra is a
mintaátlag használható. A mintaátlag standard hibája (ami
független, azonos eloszlású minta esetén illetve volt, konkrét
minta esetén pedig , illetve ) a 6.4. fejezetben leírtaknak
megfelelően illetve a korrigált tapasztalati szórás
felhasználásával lesz. Az egyszerű véletlen mintavételnek számtalan
jó tulajdonsága mellett hátránya, hogy kismintás vizsgálatoknál
csak közelítő módon tudunk konfidenciaintervallumot adni az
átlagbecslésre. Szerencsére belátható, hogy nagy minták esetén
a
változó standard normális eloszlást követ, így az
intervallumbecslést az eddigiekben megismert módon lehet elvégezni.
Egyetlen eltérés csupán, hogy a standard hiba kiszámításakor a
korrekciós tényezőt is figyelembe kell venni. Mivel nagy mintánk
van, a fenti valószínűségi változó akkor is standard normális
eloszlású, ha a sokasági szórás (σ) helyett a mintából becsült
korrigált tapasztalati szórást () használjuk.
Nézzünk néhány példát!
Tegyük fel, hogy az országgyűlési képviselők életkorának
becslésére felhasznált minta elemeit nem visszatevéssel, hanem
visszatevés nélkül választottuk ki (tehát egyszerű véletlen
mintavétel történt). A minta elemei nem függetlenek, így a
mintaátlag standard hibájának kiszámításánál alkalmaznunk kell a
korrekciós tényezőt:
A hibahatár:
A konfidenciaintervallum pedig: (47,08 ± 1,65) év, azaz (45,43 ;
48,73) év.
Az a) pontban számított eredménnyel (45,15 ; 49,01)
összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy visszatevés nélküli
mintavétel esetén a konfidenciaintervallum rövidebb – tehát
pontosabb becslést eredményez –, mint visszatevéses mintavételnél.
Ez az eltérés azzal magyarázható, hogy visszatevéses mintavétel
esetén a „szélsőséges” mintaelemek ismét bekerülhetnek a mintába,
így a becslési hiba nagyobb lehet.
Vegyünk egy másik példát!
Egy konzervipari vállalat 50 000 üvegből álló
gyümölcskonzerv-szállítmány értékesítését tervezi.
Minőség-ellenőrzés céljából egy 500 üvegből álló mintát vesznek
egyszerű véletlen mintavétellel. A mintába került üvegek nettó
töltőtömeg szerinti megoszlása a következő (7.1. táblázat):
7.1. táblázat - A mintába került üvegek nettó töltési tömeg
szerinti megoszlása
Üvegek nettó töltési tömege, gramm
Üvegek száma
441 – 460
461 – 480
481 – 500
501 – 520
521 – 540
15
85
160
190
50
Összesen
500
Becsüljük meg 95%-os valószínűséggel, hogy milyen határok között
van az üvegek átlagos nettó töltőtömege a szállítmányban!
Mivel a sokaság eloszlása nem ismert, de nagy mintát vettünk, a
c) pontban megfogalmazott esettel van dolgunk. A feladat megoldása
során első lépésként ki kell számolnunk a becslőfüggvény értékét, a
mintaátlagot, majd a korrigált tapasztalati szórást kell
meghatároznunk. A mintaátlag (súlyozott számtani átlag formát
alkalmazva):
A korrigált tapasztalati szórás:
A mintaátlag standard hibája:
Az értékhez és az szabadságfokhoz tartozó Student t-eloszlású
változó értéke és így a hibahatár:
A konfidenciaintervallum határai pedig:
az alsó határ: 497 – 1,7 = 495,3 gramm,
a felső határ: 497 + 1,7 = 498,7 gramm.
Tehát az 50 000 üveg átlagos nettó töltőtömege 95%-os
valószínűséggel 495,3 és 498,7 gramm között van.
Megjegyzés: A hibahatár meghatározásához (tekintettel a nagy
mintaelemszámra) használhatjuk a Student t-eloszlás helyett a
standard normális eloszlás táblázatát is. Az esetén a standard
normális eloszlású változó értéke . A és a érték megegyezik, ezért
ugyanahhoz az eredményhez jutunk.
3.2. 7.3.2. A sokasági értékösszeg becsl
