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Centre Régional des Métiers Cycle secondaire qualifiantDe l’Education et de la Formation - Fès – 2014/2015 Filière : Physique -Chimie

CRMEF-FES 2014/2015

Physique-Chimie

Interférences lumineuses

Encadré par Réalisé par : Pr: E.KADIRA M. Hicham ASMI

M. Mohammed JAAOUANE

M. Redouane HAB ARRIH


SommaireI. Généralités sur les interférences lumineuses

1. Postulat fondamental2. Phénomène d’interférences3. Conditions d’interférences

II. Dispositif des trous d’Young1. Description2. Calcul de différence de marche 3. Eclairement4. Franges d’interférence5. Interfrange6. Contraste7. influence du déplacement de la source parallèlement à S1S2

III. Interférences par Division d’amplitude1. Etude d’une lames minces2. Calcul de la différence de marche3. Calcul des rayons des anneaux :4. Calcul de contraste des franges :

IV. Interféromètre de Michelson1. Interféromètre de Michelson théorique 2. Schéma équivalent3. Franges d’égale inclinaison ou Franges d’Hedinger4. Calcul de différence de marche en un point M à l’infini5. Calcul de l’intensité lumineux au point M


Objectifs

Définir le phénomène d’interférence. Conditions d’obtention d’interférence en optique. Etude d’interférences par division du front d’onde (trou d’Young) Etude d’interférences par division d’amplitude (lame mince)

I-Généralités sur les interférences lumineuses

1. Postulat fondamental

En un point M recevant deux ondes, la vibration lumineuse est la somme des vibrations lumineuses correspondant à chacune

a(M,t)= a1(M,t)+ a2(M,t)

Remarque : ceci provient de la linéarité des équations de Maxwell. Attention, ce sont les vibrations lumineuses qui s’ajoutent et non les intensités.

E⃗=E⃗1+ E⃗2 ,E x=E1x+E2x

Mais a priori E2≠E12+E2

2 ,ie I ≠ I 1+ I 2

2. Phénomène d’interférences

Soit deux sources ponctuelles S1 et S2, monochromatiques, de pulsations respectives ω1 et ω2.Soit un point M, « recevant » les deux ondes. La vibration lumineuse en M est d’après le postulat fondamental :a(M,t)= a1(M,t)+ a2(M,t) avec a1(M,t)=A1 cos(ωt−φ1(M )) et a2(M,t)=A2 cos(ωt−φ2(M ))

L’éclairement en M est donc (on suppose les amplitudes A1 et A2 indépendantes de M) :

I (M )=2 ⟨a2 (M ,t ) ⟩ =2¿ =2⟨a12 ⟩+2 ⟨a2

2 ⟩+4 ⟨a1a2 ⟩

=I 1+ I 2+T (M)

Avec

I 1 éclairement que produirait en M la source S1 seule


I 2 éclairement que produirait en M la source S2 seule

T(M) terme d’interferences

La plupart du temps, le terme T(M) est nul, et l’intensité en M est : I(M)=I 1+I2=cst : elle est indépendante de M. Dans ces cas, l’éclairement est uniforme, égal à la somme des éclairements que produirait chacune des sources si elle était seule :

C’est ce qui se passe la plupart du temps, quand aucune précaution particulière n’est prise.Cependant, dans certaines conditions particulières, le terme T(M) n’est pas identiquement nul. La théorie ondulatoire de la lumière prévoit qu’alors, on a un éclairement non uniforme (I1+I2+T(M) dépend de M) : c’est le phénomène d’interférences : en certains points de l’espace on peut avoir un éclairement supérieur à I1+I2, somme des éclairements obtenus avec chaque source seule, en d’autres points, on peut même avoir un éclairement nul

« lumière+lumière =obscurité ».

Nous allons voir que les conditions à remplir pour observer des interférences sont assez draconiennes. Si elles ne sont pas remplies, comme dans la grande majorité des cas, alors T(M)=0 et I=I1+I2 uniforme.

3. Conditions d’interférences Les sources doivent être synchrones :

Le terme d’interférence s’écrit :T(M)=4 ⟨a1a2 ⟩=4A1A2⟨cos (ω1 t−φ1(M ))cos (ω2 t−φ2(M )) ⟩

Or cos acosb=12¿

T(M)= 4A1A2¿

Or la moyenne temporelle de cos(ωt-b) est non nulle sauf pour ω=0

<cos(ωt-> ≠0 sauf pour ω=0

Le premier terme est donc toujours nul et le second n’est non nul que si les pulsations des deux ondes sont égales. On déduit une première condition de cohérence :

Deux ondes donnant lieu à des interférences ont nécessairement la même pulsation.

Le terme d’interférence s’écrit alors :T(M)= 2A1A2⟨cos (φ2 (M )−φ1 (M )) ⟩=2 A1 A2 ¿

Les sources doivent être cohérentes :

La condition trouvée précédemment est nécessaire mais non suffisante : l’expérience montre que deux ondes émises par deux sources ponctuelles monochromatiques, de même fréquence mais indépendantes, ne donnent pas d’interférences.


Pour comprendre, il faut revenir au processus d’émission de la lumière par les atomes. La lumière résulte de la désexcitation d’atomes. Un atome n’émet pas une onde purement sinusoïdale pendant une durée infinie mais émet des trains d’ondes de durée finie, et ce, à des instants aléatoires par rapport aux trains d’ondes suivants ou par rapport aux trains d’onde émis par l’atome voisin.

La durée moyenne d’un train d’onde est de l’ordre de τ=10-11s pour une lampe spectrale classique : elle est grande devant la période T=10-14s des ondes lumineuses, mais petite par rapport au temps de réponses tD des détecteurs (tD>10-6s).Or

φ2 (M )−φ1 (M )=φ (S2 )−φ (S1 )+2π (S¿¿2M )−(S¿¿1M )λ0

¿¿

L’émission des trains d’ondes étant complètement aléatoire, en général, les trains d’ondes seront déphasés au cours du temps de la quantité φ21(t).

Déphasage aléatoire φ21(t)

Le caractère aléatoire du d´déphasage φ21(t) entraîne que sur des durées supérieures à la durée τ des trains d’ondes, les moyennes suivantes sont nulles :

⟨φ12 ( t ) ⟩=0 et en particulier ¿

A l’échelle du temps de réponse des détecteurs, le déphasage en M entre deux ondes émises par deux atomes différents varie aléatoirement par le terme φ(S2)-φ(S1) et la valeur moyenne 2A1A2 < cos(φ(S2)-φ(S1)> est nulle, c’est-à-dire qu’on n’obtient pas d’interférences.On déduit une deuxième condition de cohérence :

Deux ondes donnant lieu à des interférences doivent être issues d’une même source ponctuelle monochromatique S.


Pour observer le phénomène d’interférence en M, il est nécessaire qu’à partir d’un point source unique S, les deux ondes suivent des trajets différents entre S et le point d’observation M : un train d’onde émis par la source S parvient au point d’observation M par deux trajetsdifférents (SM)1 et (SM)2.Pour le moment, cette notion signifiera que le déphasage φ21(t) n’est plus une fonction du temps et par conséquent n’est plus aléatoire : φ21 = Constante. La réalisation de cette condition est impossible sauf si l’on considère que : Dans ces conditions, on a : φ21 = Constante = 0. On a alors φ= 2πδ/λet < cos φ >= cos 2πδ/λ. Il y a interférences puisque Eperçu ≠ E1 + E2 :

Eperçu ¿ E1 + E2+2√E1E2cos 2π δλ

Longueur de cohérenceDans le cas théorique d’une source ponctuelle S et monochromatique. Cette situation théorique est un modèle relativement acceptable pour un laser.On appelle longueur de cohérence la distance parcourue, a priori dans le vide, par l’onde pendant la durée d’émission du train d’onde : lcohérence=τc est aussi la longueur moyenne des trais d’ondes

Plaçons nous dans un contexte où un train d’onde se trouve divisé en deux, chaque partie suivant un chemin différent pour atteindre le point M où les deux ondes se superposent. Nous avons appelé δ = r1-r2 la différence de marche. Observons les trains d’ondes au cours de leur progression sur les figures 16 et 17.

Comme on peut le comprendre sur les figures 16 et 17, une condition supplémentaire apparait sur la différence de marche :

δ<lcohérence=τc


ConclusionOn retiendra que lorsque la cohérence n’est pas assurée, il ne peut pas y avoir d’interférences ! L’éclairement résultant sera la somme des ´éclairements. Dans le cas où toutes les conditions d’interférences sont réunies, on utilisera pour les interférences à deux ondes la formule :

E(M) ¿ 2E0(1+cos2π δλ) ou E(M) ¿

Emax

2(1+cos2 π δ

λ)

En pratique, pour obtenir des interférences on utilisera deux types de dispositifs : les dispositifs à division du front d’onde et les dispositifs à division d’amplitude.

II- Dispositif des trous d’Young1. Description

Sur le trajet de la lumière entre la source ponctuelle S et le point d’observation M, on dispose un écran opaque percé de deux trous fins. On admet provisoirement, que ces trous, s’ils sont suffisamment fins diffractent la lumière et sont assimilables à deux sources ponctuelles sphériques cohérentes entre elles, appelées sources secondaires).On note O le milieu de S1S2, Oz la médiatrice de S1S2 perpendiculaire à l’écran où sont percés S1 et S2 . Le plan d’observation O’xy est normal à cette médiatrice, O’ étant sur la médiatrice, O’x parallèle à S1S2 orienté de S2 vers S1.

On étudie d’abord le cas où la source est ponctuelle et sur la médiatrice de S1S2.

2. Calcul de défference de marche

La différence de marche en M est :

δ(M)=(SM)2-(SM)1=(SS2)-(S2M) -(SS1)-(S1M)= (S2M)- (S1M)=n(S2M -S1M)


Déterminons une expression approchée de la différence de marche d(M) en un point M(x,y,D) de l’écran dans le cas où D>>a, |x|<<D et |y|<<D, c’est-à-dire quand la distance entre les deux trous est très faible devant leur distance à l’écran D et que le point M d’observation est à une distance du centre O’ très faible devant D.Les sources secondaires ont comme coordonnées :S1(a/2 ;0 ;0) et S2(-a/2 ;0 ;0) avec M(x,y,D)

On en déduit la ddm, le déphasage entre les deux ondes et l’ordre d’interférence au point M(x,y,D) :

δ (M )=naxD ; Δ φ (M )=2π δ

λ=2 π ax

λD; P (M )= δ

λ0= axλD

La ddm dépend effectivement du point d’observation M : on a donc un éclairement non uniforme sur l’écran.

3. Eclairement

I(M) ¿ I1 + I2+2√ I1 I2 cos2π δλ

Où Ii est l’éclairement en M lorsque la source secondaire Sj (j ≠ i) est occultée.Dans le cas usuel où les deux sources secondaires ont même amplitude (i.e. quand les trous sont identiques), les éclairements que chacun donnerait seul, sont égaux : I1=I2 noté I0. L’éclairement s’écrit :

Trous identiques I(M) ¿ 2I 0(1+cos2π axλD

)

L’éclairement est une fonction sinusoïdale de x. Il oscille entre

Imax ¿ I1 + I2+2√ I1 I2 et Imax ¿ I1 + I2- 2√ I1 I2

(0 dans le cas usuel), autour de la valeur moyenne Imoy I1 I 2 (2I0 dans le cas usuel).


Dans le cas usuel I1=I2=I0, l’éclairement minimum est nul et l’éclairement maximum vaut 4I0, Rappelons que si les deux sources n’étaient pas cohérentes, on observerait un éclairement uniforme 2I0. Quand les deux sources sont cohérentes, c’est l’éclairement moyen sur l’écran qui vaut 2I0, mais en certains points l’éclairement est nul, en d’autres, il vaut 4I0 (on a la même énergie lumineuse totale mais non uniformément répartie).

4. Franges d’interférence

Définition : Sur un écran d’observation, une frange d’interférence est un ensemble de points où la différence de marche est la même. Ainsi une frange d’interférence est un lieu d’égal éclairement puisque

Cas du dispositif des trous d’Young

Une frange d’interférence est caractérisée par =cst, ie puisque =nax/D par x=cst : les franges d’interférences sont des portions de droites d’équations ici x=cst, c’est-à-dire perpendiculaires au segment [S1S2].

On peut définir ainsi les franges brillantes et les franges sombres.Les franges brillantes sont obtenus lorsque les deux ondes sont en phase à 2près, c’est-à-dire lorsque la différence de marche est un multiple de la longueur d’onde dans le vide, ou encore lorsque l’ordre d’interférence est entier. On parle d’interférences constructives.Frange brillante FB : lieu des points où l’éclairement est maximumFB :I(M)max↔cos[∆ φ (M )]=1 ↔∆φ (M )=2kk∈Z↔λ0↔P

Frange brillante naxD

=¿λ0xFB=kλ0Dna

=k λDa

Les franges sombres, quant à elles, sont obtenues lorsque les deux ondes sont en opposition de phase, c’est-à-dire lorsque la différence de marche est un multiple impair de la demi longueur d’onde, ou encore lorsque l’ordre d’interférences est demi entier. On parle d’interférences destructives.FS :I(M)min↔cos[∆ φ (M )]=-1 ↔∆φ (M )=(k+1/2)2k∈Z↔2λ0↔P2Frange sombres naxD

=¿2λ0xFS=(k+12)λ0 Dna

=(k+12) λDa


Frange centrale

C’est le lieu des points où la différence de chemin optique pour les deux trajets est nulle.Frange centrale : δ ¿)=0 ↔∆ φ ¿)=0rad ↔ p(xFC)=0

Dans le cas étudié, elle a pour équation : xFC=0 (et sa position ne dépend pas de la longueur d’onde utilisée 0).

5. Interfrange

C’est la distance séparant les centres de deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives).Nous avons vu que l’éclairement est une fonction périodique de x. L’interfrange est donc la période de cette fonction I(x).

I(M) ¿ I1 + I2+2√ I1 I2 cos [2 π naxD λ0

]

De la forme I(M) ¿ I1 + I2+2√ I1 I2 cos [2 π xi]

i= λDa=λ0 Dna

L’interfrange est donc la variation |x| de x qui correspond à une variation du déphasage de 2, ou encore à une variation de l’ordre d’interférence d’une unité, ou encore à une variation de la ddm de .I interfrange ↔|∆φ ( x+i )−∆φ(x )|=2π↔|δ ( x+i )−δ(x )|=λ0↔|p ( x+i )−p (x)|=1

6. ContrasteDéfinition générale : On caractérise la visibilité des franges par le facteur de contraste C (aussi appelé « contraste » ou« facteur de visibilité ») défini par :

C=Imax−IminImax+Imin

où Imax est l’éclairement maximum et Imin l’éclairement minimum.Le contraste est toujours compris entre 0 et 1.


Cas du dispositif des trous d’Young :

C=2√ I 1 I 2

I 1+ I 2

Cas usuel I1=I2 : le contraste vaut alors 1 : C=1.

7. influence du déplacement de la source parallèlement à S1S2

Soit O’’X un axe parallèle à O’x, coupant la médiatrice de S1S2 en O’’, position primitive de la source S. Soit XS la nouvelle abscisse de la source S (après déplacement parallèlement à S1S2).

Pour calculer la différence de marche, il faut tenir compte cette fois de la contribution non nulle de (SS2)-(SS1). La géométrie des triangles S1S2S et S1S2M étant analogues, le calcul de cette deuxième contribution est identique à celui de la première.

S2M-S1M=axD et SS2-SS1 =

a XS

d

La ddm et l’éclairement en M s’écrivent donc, d étant la distance du plan des trous à la source S, distance supposée grande devant l’écart des trous « a » :

I(M) ¿ I1 + I2+2√ I1 I2 cos [ 2πλ0na( x

D+X S

d)]

δ (M)=δna( xD+XS

d)

Les franges sont toujours d’équation x=cst : ce sont toujours des droites orthogonales à la direction S1S2 .

L’interfrange est toujours le même : i=D/a. La frange centrale a été translatée par rapport au cas « symétrique » « S en O’’


», dans le sens opposé au sens de déplacement de la source Le plan contenant la frange centrale et S passe toujours par le milieu du segment S1S2 .

III-Interférences par Division d’amplitude

Le champ d’interférences dans ce cas n’est pas limité et les interférences sont dites non localisées. Il existe cependant une autre façon de produire des interférences en utilisant la division de l’amplitude d’une onde qui, partiellement réfléchie et transmise sur un dispositif,peut se recombiner pour former des interférences. On montre dans ce cas que lesinterférences sont localisées soit sur le dispositif soit à l’infini.

1. Etude d’une lame minceNous considérons une lame mince dont les deux faces sont rigoureusement parallèles entre elles que l’on éclaire par une source monochromatique en incidence normale placée au dessus de la lame. Le phénomène est observé en réflexion (ou en transmission) sur un écran placé à grande distance de la lame si la source est étendue.On observe une figure d’interférences constituée d’anneaux sombres et brillants concentriques dont le diamètre diminue quand l’épaisseur e de la lame augmente. L’utilisation d’une lentille permet de projeter les anneaux sur un écran placé à la distance focale f de la lentille de projection. Les anneaux sont aussi visibles à l’œil nu puisque le cristallin de l’œil permet de focaliser les rayons lumineux sur la rétine.

Figure 1 : Illustration de la division d’amplitude au passage aux points A, B et C du faisceau

Incident sur un dioptre.

L’onde incidente est divergente et est donc constituée d’une infinité de rayons contenus dans le cône d’émission de la source. Un rayon particulier issu de la source (Figure 1) se réfléchit en partie au point A sur le haut de la lame. De façon complémentaire une fraction du rayon incident est transmise à travers la lame en subissant une réfraction avant de se réfléchir au point B du bas de la lame pour ressortir au point C après une seconde réfraction. Au point A, l’onde incidente d’amplitude E0 subit donc une division d’amplitude puisque le champ réfléchi s’écrit r0;1E0 et le champ transmis t0;1E0: Les coefficients r0;1 et t0;1 sont respectivement les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude du dioptre air-lame. Ces coefficients sont définis par les relations de Fresnel qui traduisent la continuité du champ électrique et de sa dérivée à l’interface. En incidence normale, on peut montrer que


r0,1=n0−n1

n0+n1

t 0,1=2n0

n0+n1

avec la relation constitutive de Fresnel 1+r0;1 = t0;1

Pour le dioptre air-verre, n0=1et n1=1.5 Le coefficient de réflexion r0;1 est alors négatif et vaut sensiblement 20% ce qui conduit à une transmission de 80% du champ incident dans la lame. Le caractère négatif du coefficient de réflexion traduit le fait que l’onde est réfléchie en opposition de phase avec le champ incident ce qui peut aussi sevoir en écrivant

r0,1=|n0−n1

n0+n1|e iπ

Une réflexion sur le dioptre air-verre se fait donc avec un changement de phase de πSi le dioptre du bas est le dioptre milieu-air, nous pouvons réutiliser ces relations en interchangeant les indices et l’on obtient

r1,2=n1−n0

n0+n1

t 1,2=2n1

n0+n1

Il n’y a pas de changement de phase dans ce cas et l’on voit que r1;2 = -r0;1 = r et t1;2=120%. Il est à première vue surprenant que l’amplitude transmise puisse être supérieure à celle de l’onde incidente mais il n’y a pas de contradiction car ce qui importe c’est la conservation de l’énergie. Il est facile de vérifier que les modules au carré, R et T, des coefficients de réflexion et de transmission vérifient

R+T=r1,0 r1,0¿+n0

n1t 1,0 t1,0

¿

Nous voyons donc que le champ incident se divise en amplitude à chaque fois qu’il rencontre un dioptre. Les rayons issus de cette division ont une amplitude qui dépend du nombre de divisions effectuées. Ainsi le rayon incident d’amplitude E0 se divise en deux rayons d’amplitude -rE0 et t0;1E0 ce qui conduit à un rayon émergeant en C d’amplitude t0;1t1;0rE0: Nous pouvons facilement extrapoler le résultat aux rayons qui subissent des réflexions multiples pour trouver que leurs amplitudes seraient t0;1t1;0r3E0; t0;1t1;0r5E0…Les rayons émergeants ont donc une amplitude qui varie comme ¡0:2; 0:2x0:96, 0:23x0:96; 0:25x0:96: Il s’ensuit que les deux premiers rayons ont des amplitudes équivalentes alors que les rayons suivants ont des amplitudes négligeables.


Il est clair que les interférences observées sur l’écran proviennent de la superposition des deux premiers rayons que l’on appellera R1 et R2. Ces deux rayons sont issus du même rayon incident dont l’amplitude est divisée en A. Ils présentent donc à leur sortie de la lame une cohérence parfaite et ils interfèrent car ils ne parcourent pas le même trajet dans la lame.

2. Calcul de la différence de marche

Les rayon R1 et R2 sont parallèles entre eux après les diverses réflexions. Pourconnaître leur différence de marche il convient d’établir la différence de chemin optiqueparcourue par les deux ondes à l’issue de leur division en A (Figure 1). Nous remarquonsqu’à partir des points C et H les deux rayons parcourent les mêmes cheminsoptiques. La différence de marche est donc

δ=n1 ( AB+BC )−n0 AH=2n1 AB−n0 AH

δ=2n1e

cosr−n0 ACsini=2n1

ecosr

−n02e tanr sini

En utilisant la loi de Snell-Descartes, n0 sini = n1 sin r; nous obtenons

δ=2n1 ecosr

Cette différence de marche correspond à une différence de phase entre le rayon 2 etle rayon 1 qui est égale à

φ2−φ1=2π δλ0

Il convient de se souvenir alors que le rayon R1 a subi un déphasage de π à laréflexion ce qui n’est pas le cas du rayon R2. Il s’ensuit que

∆ φ=4 n1 ecosr

λ0±π

Nous voyons ainsi que la différence de phase entre les deux rayons R1 et R2 estobtenue en faisant la somme des différences de phase dues à la propagation et à laréflexion soit

∆ φ=∆φp−∆φr

Avec ∆ φp=4 n1 ecosr

λ0 et ∆ φr=±π

δ=2n1ecosr ±λ0

2

Nous remarquons que le déphasage entre les deux rayons ne dépend que :


de l’épaisseur de la lame et de son indice de l’angle de réfraction dans la lame donc de l’angle d’incidence par application

de la loi de Snell-Descartes de la longueur d’onde d’observation

Il en résulte que le déphasage est constant pour une lame et une longueur d’ondedonnées si l’angle d’incidence (égal à l’angle de réflexion) est constant soit

∆ φ=4 n1 ecosr

λ0±π=cte→r=cte→i=cte

Le lieu des points d’incidence constante à partir de la source est un cône de demiangleau sommet i. On voit donc de suite qu’un déphasage constant correspondra à des rayons incidents donc réfléchis ayant tous la même inclinaison ce qui explique pourquoi

a) on observe des anneaux si l’on place l’axe principal de la lentille perpendiculairementà la lameb) les anneaux sont qualifiés de franges d’égale inclinaison.c) les franges sont localisées à l’infini et que les anneaux sont observables dans leplan focal image d’une lentille minceNous notons que les anneaux brillants correspondent à un déphasage multiple de2π ce qui donne leur ordre d’interférence p

p=∆ φ=∆φ2π

=2n1 ecosr

λ0± 1

2 avec p=0,1,2

L’ordre d’interférence est demi-entier pour les anneaux sombres.D’une façon générale pour un angle r on peut calculer un ordre p quelconque (fractionnaire)qui vérifie

p=∆ φ=∆φ2π

=2n1ecosr

λ0± 1

2

3. Calcul des rayons des anneaux :

L’ordre d’interférence de kième anneau : p = δ/λ = 2 ne cos rk /λ + 1/2 L’ordre d’interférence au centre (i = 0 => r = 0) : p0 = δ0/λ = 2 ne/λ + 1/2 L’anneau central admet donc l’ordre d’interférence le plus élevé p0.Pour une incidence : ik ≠ 0, la variation d’ordre rapportée au centre est :

k = p0 – p = 2ne (1 – cos rk)/λ ; k entier

k ≈ (2ne/λ). (n/ik)2 /2 = (e/nλ). ik2


D’où ik=√ λne √k

C’est l’angle sous lequel on observe le kième anneau.Dans le plan focal (E) de la lentille (L), le rayon de cet anneau est :

ρ k =f . ik=f √ λne √k

f : la distance focale de la lentille

Cette mesure nous permet de déterminer par exemple soit l’épaisseur e, soit l’indice de réfraction n, ou bien la longueur d’onde λ.

4. Calcul de contraste des franges :Le contracte ou le facteur de visibilité des franges est donné par :

C=Imax−IminImax+ Imin

Avec (0≤ C ≤ 1) Dans le cas des interférences données par une lame à faces parallèles, d’indice n = 1.5, placée dans l’air, le contraste est :

Par réflexion : C = (2×0.21×0.19) / (0.04+0.038) ≈ 1 Par transmission : C = (2×0.96×0.038) / ((0.96)²+(0.038)²) ≈ 0

Les franges par réflexion sont très contrastées, et beaucoup moins par transmission.

IV- Interféromètre de Michelson

1. Interféromètre de Michelson théorique

C’est un dispositif interférentiel à deux ondes. Il est constitué essentiellement d’une lame semi-réfléchissante dite séparatrice notée SP de deux miroirs plans M1 et M2

Figure 2 Interféromètre de Michelson théorique


Les vis V3 et V4 permettant un réglage d’orientation grossier de M2

Les vis V1 et V2 permettant un réglage d’orientation plus fin de M1

Les vis V4 permettant un translation de M2 appelée parfois chariotage. V4 étant graduée, elle permet de repérer la position de M2 d’orientation

2. Shema équivalent

D’après la figure 2 ci-contre, la difference de marche Optique En un point M est :

δ (M )=(Sk+KP+PN+NM )−(SI+ IJ+JM)

Figure 2

Montrons que la figure 3 ci-contre est équivalente à la figure 2 au point de vue différence de marche optique (n’’oublions pas que l’on s’intéresse à des phénomènes d’interférences

deux ondes et que l’intensité lumineuse en point M :

I(M) ¿ I1 + I2+2√ I1 I2 cos [ 2πλδ(M)]

En effet, d’après la figure 3,S’,P’et M’2 sont respectivement les images de S,P et M2 par la séparatrice (Sp),donc :SK=S’K,KP=KP’,PN=P’N et SI=S’I et par conséquent :

δ (M)=S ' K+KP'+P ' N+NM ¿−(S ' I+ IJ+JM )


Figure 3

D’où :

δ (M )=¿(S’P’+P’M)-(S’J+JM)=((S2P’+P’+P’M)-(S1J+JM)

Avec :S1image de S’ par M’1, et S2image de S’ par M2

δ (M )= S2M-S1M

Par conséquent, le schéma équivalent de l’interféromètre de Michelson théorique est :

Figure4 :schéma équivalent de l’interféromètre de Michelson théorique

3. Franges d’égale inclinaison ou Franges d’Hedinger

Dans ce cas, les images M1 et M2 sont perpendiculaires c'est-à-dire M1 et M2’ sont parallèles.

On dit que l’interféromètre de Michelson est en lame d’air à faces parallèles.


2 clairons l’interféromètre de Michelson avec une source étendue monochromatique de longueur d’onde λ et émettant un faisceau convergent sur le miroir M2 (figure 5)

Figure 5

On observe donc une figure d’interférence avec le maximum de contraste à l’infini, puisque la surface de localisation des franges est l’ensemble de points M où interférent deux rayons lumineux issus d’un même rayon incident.

Pratiquement, on observe cette figure sur un écran loin de quelques mètres de l’interfère ou sur le plan focal image d’une lentille convergente.

4. Calcul de différence de marche en un point M à l’infini

Si e est la différence de marche entre M1 et M’2, alors la distance entre S1 et S2 est S1S2=2e. effectivement, si on écarte un miroir de e,l’image d’un objet s’écarte de 2e

On en déduit la différence de marche en un point M à l’infini (figure 5)

δ (M )=SM 2−S1M=S2H=2ecosi

L’ordre d’interférence au point M est donc :

P(M) =δ (M)λ

=2ecosiλ

On en déduit l’ordre d’interference au centre de la fégure (i=0)

P(M)¿2eλ≥ P (M )=2ecosi

λ

Comme p0 est quelconque, l’intensité du centre est quelconque(il peut être brillant,sombre ou d’intensité intérmédiaire.)

5. Calcul de l’intensité lumineux au point M :


I(M) ¿ I1 + I2+2√ I1 I2 cos [ 2πλ

2ecosi]

Les franges dégale intensité vérifient I(M)=cte,ce sont donc des anneaux d’égales inclinaisons localizes à l’infini.

Série d’exercices Optique Ondulatoire : Interférences Lumineuses

Exercice 1 : Superposition de deux vibrations

Soient deux vibrations cohérentes Ψ1 = a1 cosω t et Ψ2 = a2 cos (ωt – φ)

1- Calculer l’intensité lumineuse résultante en un point M où ces deux vibrations se superposent.

2- En déduire :a) La valeur maximale de l’intensité lumineuse et l’équation générale des franges brillantes.b) La valeur minimale de l’intensité lumineuse et l’équation générale des franges sombres.c) Le contraste des franges en fonction des amplitudes a1 et a2.

Exercice 2 : Fentes d’Young

On réalise l’expérience de Young en utilisant un système de deux fentes (F1, F2) placé dans l’air et éclairé par une source de lumière monochromatique de longueur d’onde λ. Les fentes F1 et F2 sont distantes de a et les franges d’interférences sont observées sur un écran (E) parallèle au plan des fentes et situé à la distance D = 100 cm de ce Plan.

1- Qu’observe-t-on sur l’écran (E) ? Pourquoi ? quel est l’avantage d’utiliser les fentes à la place des trous ?


2- Calculer la différence de marche δ en un point de l’écran (E) en fonction de x, a et D. On pose que : x = O’M et D >> a.

3- En déduire la position des franges brillantes et l’interfrange i. quelle est la position x 0 de la frange centrale ? quelle est sa nature ? justifier votre réponse.

4- Le centre de la 7ème frange brillante est à 14 mm de la frange centrale d’ordre zéro. Déterminer la longueur d’onde λ de la source, (a = 0.25 mm).

Exercice 3 : Miroir de Lloyd

On éclaire un miroir (m) par une source lumineuse ponctuelle (S), située à une hauteur d = 2

mm du plan du miroir. (S) émet une radiation de longueur d’onde λ = 655 nm. A et B sont les

deux points extrémités du miroir dans le plan de la figure, AB = b = 15 cm, HA = c = 25 cm (H

étant la projection orthogonale de (S) sur le plan (m)). Pour observer la figure

d’interférences, donnée par ce dispositif, on place un écran (E) perpendiculairement au plan

du miroir à 60 cm de l’extrémité B.

1- Faire un schéma complet du dispositif et expliquer brièvement ce qu’on observe sur l’écran

(E). Dire pourquoi ?

2- Soit D la distance entre la source (S) et l’écran d’observation (E).

Donner l’expression de la différence de marche δ en un point M de l’écran repéré par son abscisse x.

En déduire la nature de la frange située en B.

Exercice 4 : Lame à Face Parallèle


Une source ponctuelle monochromatique, de longueur d’onde λ, éclaire une lame à faces

parallèles d’épaisseur e constituée d’un matériau transparent (verre) d’indice n.

La source S émet des rayons dans toutes les directions, et on s’intéresse en particulier à l’un de

ces rayons, qui arrive sous l’incidence i sur la lame. Ce rayon se divise en une partie réfléchie et

une partie transmise au niveau de la face de la lame (voir figure). On ne s’intéresse qu’aux rayons

réfléchis sur la lame (représentés sur la figure), et non aux rayons transmis à travers la lame et

émergeant du côté non éclairé.

1) Qu’observe-t-on sur l’écran (E).

2) Calculer la différence de marche δ entres les deux rayons R et R’

Problème : Interféromètre de Michelson

On étudie des phénomènes d’interférences a deux ondes qu’on l’on illustre a l’aide de

l’interféromètre de Michelson

1. Pour obtenir des interférences a deux ondes on peut utiliser soit un dispositif a diviseur de

front d’ondes soit un dispositif à division d’amplitudes.

1.1 Préciser pour les deux cas suivants la localisation des franges en lumière monochromatique

avec :

a. Une source ponctuelle

b. Une source entendue


On donnera un dispositif de font d’onde

1.2 Quelle est le rôle de la longueur de cohérence dans les conditions d’observations des franges

d’interférences ?

2.Un interféromètre de Michelson est constitué par une lame semi réfléchissante non

absorbante appelé séparatrice Sp dont les facteurs de transmission et de réflexion énergétique

valent ½ et de deux miroirs plans M1 et M2 perpendiculaire l’un à l’autre. La lame SP inclinée à 45°

par rapport aux normales à M1 et M2.L’interféromètre est plongé dans l’air.

Dans toue le problème on ne tiendra compte ni des inconvénients liées à l’épaisseur non

négligeables de la séparatrice (qui sont supposées parfaitement corrigés à une lame

compensatrice), ni d’éventuels changement de phase par réflexion l’indice de l’aire soit pris

égale à 1.

On utilise comme source étendue S une lampe spectrale de symétrie de révolution autour de

l’axe SJ.

2.1 Comment sélectionner une raie quasi-monochromatique de la lumière émise par la lampe ?

2.2 On part de la situation où les deux bras sont égaux (JA 1=JA2 ) on observe en lumière

monochromatique dans le plan focal d’une lentille mince convergente L d’ax optique Jy et de

distance focale f’=1m

a. Qu’observe-t-on ?

b. Pourquoi est-il nécessaire de diaphragmer la lentille ou de limiter l’inclinaison des rayons

incidents issus de la source primaire ?

3. On déplace M2 normalement a son plan de e=1,1mm dans la direction des x positifs.


3.1 Donner le schéma équivalent du dispositif.

3.2 Donner en le justifiant le lieu de localisation des franges d’interférences

3.3 Avec une raie de longueur d’onde λ=546 ,1nm dans le vide, déterminer le rayon du

premier anneau brillant.

3.4 On place sur le bras JA1et parallèlement au miroir M1 , une lame d’épaisseur e’=9,5 μm

Et d’indice n=1,5117 .Calculer la variation de l’ordre d’interférence au centre et le rayon du

premier anneau brillant.

4. A partir de la situation où les deux bras sont égaux (JA1=JA2) , on fait tourner le miroir M2 d’un

angle α très faible autour d’un axe perpendiculaire JA1A2 et passant par A2.

4.1 Donner le schéma équivalent du dispositif.

4.2 Comment éclairer le coin d’air sous incidence quasi-normale ?

4.3 Pour des rayons lumineux voisins de l’incidence normale, faire apparaitre à l’aide d’un

schéma, la position du plan de localisation de la figure d’interférence.

4.4 Comment faut-il placer la lentille L pour observer les interférences sur un écran ?

4.5 Caractériser le système de franges et donner la valeur de l’interfrange i sur l’écran, sachant

que le grandissement de la lentille est 4.

4.6 On éclaire le coin d’air en lumière blanche, et on replace la lame d’épaisseur e’.Indiquer un

moyen de déterminer l’épaisseur e’ ou l’indice moyen de la lame.

5. L’interféromètre est réglé comme à la question 4, mais la source primaire est maintenant une

lampe à vapeur de sodium dont on suppose que le spectre d’émission ne contient que des raies

intenses , de couleur jaune et de longueur d’onde λ1=589nm λ2=λ1+Δλ avec Δλ≺¿ λ1

5.1 Expliquer le phénomène.

5.2 En déduire Δλ et λ2 .

6.L’interféromètre est réglé comme à la question 4.


La radiation utilisée maintenant, la raie rouge du cadmium (λ0=643 ,8nm ),n’est pas

rigoureusement monochromatique.

On peut admettre que le spectre d’émission : I ν=I ν0

est une constante entre

ν0−Δν2

et ν0+Δν2 ; ν0 est la fréquence centrale de la raie correspondant à la longueur

d’onde λ0 .

6.1 Déterminer le facteur de visibilité V (ou facteur de contraste) des franges en fonction de la

différence de marcheδ , de Δν et de la célérité de la lumière dans le vide.

6.2 Pour quelle valeur de δ , V s’annule-t-il pour la première fois ?

On notera Lc la longueur de cohérence temporelle de la source.

6.3 Michelson avait trouvé pour la raie rouge du cadmium L c= 30cm .Calculer Δν pour la raie

rouge du cadmium. En déduire la durée τ du train d’onde .


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· Web viewIl est facile de vérifier que les modules au carré, R et T, des coefficients de réflexion et de transmission vérifientR+T= r 1,0 r 1,0 * + n 0 n 1 t 1,0 t 1,0 * Nous