Embed Size (px)
Citation preview
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ HỌCMÔN TOÁN LỚP 11A1
Thời gian: Từ ngày 31/03/2020 đến ngày 15/04/2020
GIẢI TÍCHBÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Giới hạn hàm số tại một điểma) Giới hạn hữu hạnĐịnh nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm và hàm số xác định trên K hoặc trên .
Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi x dần đến nếu với dãy số bất kì, và
, ta có .
Kí hiệu: hay khi
b) Giới hạn vô cựcCác định nghĩa về giới hạn (hoặc ) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa ở trên.Chẳng hạn, giới hạn của hàm số khi x dần đến dương vô cực được định nghĩa như sau:
Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên khoảng .
Ta nói hàm số có giới hạn là khi nếu với mọi dãy số bất kì, và ,
ta có: .
Kí hiệu: hay khi
Nhận xét:
* Các giới hạn đặc biệt:
1. ; với c là hằng số 2.
3. 4.
2. Giới hạn hàm số tại vô cựcĐịnh nghĩa
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi
và chỉ khi nếu với mọi dãy số bất kì, và ta có: .
Kí hiệu: hay khi
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi
và chỉ khi nếu với mọi dãy số bất kì, và ta có: .
Kí hiệu: hay khi
Kí hiệu: hay khi
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạnĐịnh lý 1:
Giả sử và . Khi đó:
* * * (nếu )
Định lý 2: Giả sử và . Khi đó:
a) b)
c) Nếu và thì: và
(Dấu của được xác định trên khoảng đang tìm giới hạn, với )4. Giới hạn một bênĐịnh nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên khoảng . Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm
số khi nếu với dãy số bất kì, và ta có: .
Kí hiệu:
Định nghĩa 2: Cho hàm số xác định trên khoảng . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm
số khi nếu với dãy số bất kì, và ta có: .
Kí hiệu:
Nhận xét:
5. Giới hạn vô cực
Các định nghĩa , được phát biểu tương tự định
nghĩa 1 và định nghĩa 2.
Định lý: Nếu thì
6. Các quy tắc tính giới hạn vô cựca) Quy tắc tìm giới hạn của tích
Nếu và (hoặc ) thì được tính theo quy tắc trong bảng sau:
b) Quy tắc tìm giới hạn của tích
Dấu của
Tùy ý
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thứcPhương pháp: Để tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện:
1. Nếu là hàm số sơ cấp xác định tại thì
2. Áp dụng các định lý tính giới hạn và các quy tắc về giới hạn Bài tập rèn luyệnBài 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
a) ; b) ; c)
Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau
a) ; b) ; c) ;
Bài 3. Tìm các giới hạn của hàm số sau
a) ; b) ; c) ; d)
Bài 4. Tính các giới hạn sau
a) ; b) ; c) ; d) ; e)
Bài 5. Tìm các giới hạn sau
a) ; b) ; c)
Dạng 2. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bênPhương pháp
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hàm số
Bài 2. Cho hàm số . Tính
Bài 3. Cho hàm số:
Tìm giá trị của m để hàm số có giới hạn khi . Tính giới hạn đóBài 4. Tính các giới hạn sau
a) ; b) ; c)
Bài 5. Tính các giới hạn sau
a) ; b) ; c)
Dạng 3. Tính giới hạn vô cựcBài tập rèn luyệnBài 1. Tìm giới hạn hàm số sau:
a) b)
Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau:
a) khi ; b) khi
c) khi ; d) khi
Dạng 4. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định
Phương pháp
1. Nhận dạng vô định : khi
2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước
và tính
Nếu phương trình có nghiệm là thì Đặc biệt:
Nếu tam thức bậc hai , mà có hai nghiệm phân biệt thì
được phân tích thành
Phương trình bậc 3:
thì phương trình có một nghiệm là , để phân tích thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner
thì phương trình có một nghiệm là , để phân tích thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-nẻ
3. Nếu và có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để giản ước.
lượng liên hiệp là: lượng liên hiệp là:
lượng liên hiệp là:
lượng liên hiệp là:
lượng liên hiệp là:
Bài tập rèn luyệnBài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
a) b) c)
Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
a) b) c)
Bài 3. Tính các giới hạn sau
a) ; b) ; c)
Bài 4. Tính các giới hạn sau
a) ; b) ; c)
Bài 5. Tính các giới hạn sau
a) b) c) d)
Dạng 5. Dạng vô định
Phương pháp:
1. Nhận biết dạng vô định
khi
khi
2. Chia tử và mẫu cho với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử rồi giản ước)
3. Nếu hoặc có chứa biến x trong dấu căn thì đưa ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lùy thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu). Bài tập rèn luyệnBài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau
a) b) c)
Bài 2. Tính các giới hạn sau
a) ; b) ; c)
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
a) ; b) c)
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a) b) c)
Dạng 6. Dạng vô định
Phương pháp:1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp2. Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức3. Thông thường, các phép đổi biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định hoặc
chuyển về dạng vô định
Bài tập rèn luyệnBài 1. Tính các giới hạn sau
a) ; b) ; c)
Bài 2. Tính các giới hạn sau
a) ; b) ; c)
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤCA. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Hàm số liên tục tại một điểmĐịnh nghĩa: Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số liên tục tại khi và
chỉ khi . Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại .
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạnĐịnh nghĩa:
liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó
liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.3. Các định lí:Định lí 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng
Định lí 2: Giả sử và là hai hàm số liên tục tại điểm . Khi đó:
a) Các hàm số và cũng liên tục tại điểm
b) Hàm số liên tục tại điểm , nếu
Định lí 3: Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm
sao cho
Mệnh đề tương đương: Cho hàm số liên tục trên đoạn và . Khi đó phương trình
có ít nhất một nghiệm trong khoảng B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Phương pháp
Cho hàm số:
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm , chúng ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tính
Bước 2: Tính
Bước 3: Đánh giá hoặc giải phương trình , từ đó đưa ra kết luậnBài tập rèn luyệnBT 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
BT 2. Cho hàm số: . Tìm m để hàm số liên tục tại .
BT 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) b)
Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm và
Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số sau:
a) b)
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểmPhương pháp
Cho hàm số:
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm , chúng ta thực hiện các bước sau:
– Bước 1: Tính – Bước 2: (Liên tục trái) tính:
Đánh giá hoặc giải phương trình , từ đó đưa ra kết luận liên tục trái.– Bước 3: (Liên tục phải) tính:
Đánh giá hoặc giải phương trình , từ đó đưa ra kết luận liên tục phải.
– Bước 4: Đánh giá hoặc giải phương trình , từ đó đưa ra kết luậnII. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại :
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) tại b) tại
Bài 5. Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm .
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng KPhương phápĐể xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng K, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao Bước 3: Kết luận
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hàm số . Xét sự liên tục của hàm số.
Bài 3. Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên
Bài 4.
a) Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng
.
b) Cho hàm số . Tìm a và b để hàm số liên tục, vẽ đồ thị của hàm số.
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số
Phương pháp: là điểm gián đoạn của hàm số nếu tại điểm hàm số không liên tục. Thông thường
thỏa mãn một trong các trường hợp:
1. không tồn tại
2. không tồn tại,
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hàm số:
Với là hai tham số. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số
Bài 2. Tìm các giá trị của a và b để hàm số liên tục tại điểm và gián đoạn
tai
Bài 3. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số:
Dạng 5. Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp1. Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm
– Tìm hai số a và b sao cho
– Hàm số liên tục trên đoạn
– Phương trình có ít nhất một nghiệm
2. Chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm
– Tìm k cặp số sao cho các khoảng rời nhau và
– Phương trình có ít nhất một nghiệm
3. Khi phương trình có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho:
– không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi
– Hoặc còn chứa tham số nhưng tích luôn âmBài tập rèn luyệnBài 1. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm âmVậy phương trình có ít nhất hai nghiệm
Bài 2. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm trong khoảng với mọi a
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn
Bài 5.a) Chứng minh phương trình có 3 nghiệm trên khoảng
b) Chứng minh phương trình có 3 nghiệm duy nhất ÔN TẬP CHƯƠNG 4
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) b) c)
Đáp số: a) b) c)
Bài 2. Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn:
a)
b)
c)
Hướng dẫn và đáp số: a) b) c)
Bài 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn … (chu kì 131) dưới dạng số hữu tỉ.
Đáp số:
Bài 4. Cho dãy số
a) Chứng minh dãy số dãy tăng
b) Dãy hội tụ có giới hạn hữu hạnHướng dẫn và đáp số:
a) Chứng minh
b)
a) b)
Bài 5. Tìm các giới hạn sau:
a) ; b) ; c) ; d)
Đáp số: a) 1; b) c) d) 0
Bài 6. Cho hàm số . Chứng minh hàm số liên tục.
Hướng dẫn: Với : hàm số liên tục Với : hàm số liên tục
Vậy hàm số liên tục trên tập xác định
Bài 8. Cho hàm số . Tìm a, b để hàm số liên tục.
Đáp số: với bất kì thì hàm số liên tục trên Bài 9. Tìm các giới hạn sau:
a) ; b) ; c) ; d)
Đáp số: a) b) c) 1 d)
Bài 10. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:a) có ít nhất một nghiệm
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trong khoảng
c) có 3 nghiệm trong các khoảng Hướng dẫn:
có nghiệm trong đoạn
a) khoảng
b)
c)
HÌNH HỌC.
Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
KIẾN THỨC CƠ BẢN1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của song song hoặc trùng với đường thẳng d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho , và , cùng đi qua một điểm. Khi đó:
Giả sử lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và .
Khi đó:
Nếu hoặc thì .
3. Hai đường thẳng vuông góc:
.
Giả sử lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: Cho . Nếu thì .
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN1. Định nghĩa:
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
3. Tính chất: Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của
đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Nếu vuông góc với thì góc giữa và là .
Nếu không vuông góc với thì góc giữa và là thì góc giữa và với là hình
chiếu của d trên .
Chú ý: góc giữa và là thì .
BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a,SA=a ,AD=3a, SA
(ABCD)Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC và SDa.Chứng minh : các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuôngb.Chứng minh: SC (AHK) và I (AHK)c.Tìm góc giữa SD và đáy, SC và đáy, SC và (SAB)d.Tìm góc giữa CD và SB
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, biết SA (ABCD), AB = 2a,SA= ,AD=3a,
a.Xác định và tính góc giữa 2 đường thẳng CB, SD
b.Gọi I, K lần lượt thuộc SA, SD sao cho . xác định góc giữa AC và IK
c.Xác định và tính góc giữa SD và (SAB)d.Xác định và tính góc giữa SD và (SAC) trong đó = 300
Bài 3:Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , .
a) Chứng minh: .
b) Cho . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Bài 4: Cho hình chóp có và . Hãy xác định góc giữa cặp
vectơ và ?
Bài 5: Cho tứ diện có hai mặt và là các tam giác đều. Tính góc giữa và .
Bài 6:Cho tứ diện đều . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng và
Bài 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh bên đều bằng .
Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tính số đo của góc .
Bài 8: Cho tứ diện có vuông góc với , . là điểm thuộc cạnh sao
cho . song song với và lần lượt cắt tại . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ?
CHÚ Ý: 1. HỌC SINH LÀM THÊM CÁC BÀI TẬP TRONG SGK:
Giải tich: Bài 3,4,6 trang132,133; Bài 2,3 trang 141; Bài 3,5,7 trang 141,142 Ôn tập. Hình học: Bài 1,2,4 trang 97,98; Bài 3,4,5 trang 104,105.
2. HỌC SINH LÀM BÀI VÀO VỞ, GIÁO VIÊN SẼ KIỂM TRA VỞ KHI CÁC EM ĐI HỌC TRỞ LẠI. CÁC EM CỐ GẮNG ÔN TẬP NHÉ. CHÚC CÁC EM LÀM BÀI TỐT.
