Wstęp do optyki i fizyki materiiskondensowanej

Jacek Szczytko

Wojciech Wasilewski

Spójne oddziaływanie atomudwupoziomowego ze światłem

przyblizenie dipolowe, optyczne równania Blocha, oscylacje Rabiego, prążki Ramseya.

Relaksacja – T1 i T2. Stan stacjonarny.

Linia Lorentza.

Poszerzenie niejednorodne. Echo fotonowe.

od równań Blocha do równań kinetycznych.

Zasady

• Wykład

• Ćwiczenia rozszerzające lub ilustrujące

• Obowiazkowe prace domowewww.fuw.edu.pl/~wwasil/

• Egzamin

• Zasady zaliczania:

30% zadania domowe, 30% egz. pisemny, 40% egz. ustny

Plan części optycznej

• Odziaływanie atomu ze światłem: spójnie i niespójnie

• Kwantowanie pola E-M.

• Emisja spontaniczna itp.

• Atom ze spinem i jądrem

• Efekty wielofotonowe i kolektywne

Optyka współczesna

Elektrodynamikakwantowa(QED)

OptykakwantowaLasery

Impulsy femto-i attosekundowe

ultraprecyzyjnaspektroskopia

Czas

Quantum Enhanced

Technologies

Metamateriały Ultrazimneatomy i molekuły,

BEC

telekomunikacja,światłowody,

optyka zintegrowana

pojedyncze jonyi atomy

optyka nieliniowa

Jeden atom (wodoru)

• Było:

• Nam starczy:

i∂ψ

∂t=

(p2

2m+ U

)ψ

i∂ψ

∂t=∑

n

En|n〉〈n|︸ ︷︷ ︸

H0

ψ

Zaburzenie od fali E-M

• Było:

• Nam starczy:

dokładne wyprowadzenie:

np. L. I. Shiff,

er =∑

n,m

〈n|er|m〉︸ ︷︷ ︸

dn,m

|n〉〈m|︸ ︷︷ ︸σn,m

i∂ψ

∂t=

((p− eA)2

2m+ U + φ

)ψ

i∂ψ

∂t= H0ψ + (e E · r + . . .)ψ

W obrazie oddziaływania

obraz oddziaływania:

tzn. bez oddziaływania

cn=const

E = E0 cos(ωt)

dwa poziomy

w rezonansie

|ψ〉 =∑

n

cne−iEnt/|n〉

i∂cn∂t

=∑

m

E · dn,me−iωm,ntcm(t)

Rotating Wave Approximation

Ω = d · E0eiωt/2

E = E0e−iωt/2

︸ ︷︷ ︸E+

+ E0eiωt/2

︸ ︷︷ ︸E−

H = ω0σz + 1

2+ (Ωσ− +Ω

∗σ+)

H = ω0σz + 1

2+ e E · (dσ− + d∗σ+)

σ± = σx ± iσy

Sfera stanów - Sfera Blocha

• moglibyśmy opisywać

|ψ〉 = c0|0〉+ c1|1〉

|ψ〉 =cos(θ/2)|0〉+ eiφ sin(θ/2)|1〉

|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

|0〉−i|1〉√2

Ze stanu do sfery i z powrotem

• współrzędne na sferze|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

|0〉−i|1〉√2

xi = 〈ψ|σi|ψ〉

|ψ〉〈ψ| = 1+∑

i xiσi2

• Bardzo wygodna analiza w obrazieHeisenberga (stan stały, zmienneoperatory)

Ewolucja na sferze

( )(

−

)( )

dσidt

= i[H/, σi]

• Bardzo wygodna analiza w obrazieHeisenberga (stan stały, zmienneoperatory)

Ewolucja na sferze

|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

|0〉−i|1〉√2

xi = 〈ψ|σi|ψ〉

wirują z częstością~ω0

dx

dt= x×

ℜΩℑΩω0

idσidt

= −[H, σi]

Równania Blocha w układzie

wirujacym wraz z polem E-M

|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

ΩΩΩΩ

∆∆∆∆

dxrdt

= xr ×

ℜΩrℑΩr∆

Oscylacje Rabiego|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

ΩΩΩΩ

∆∆∆∆

Ω2R = |Ω|2 +∆2

Zastosowanie: zegar atomowy

F=4

F=3

133Cs2S1/2

ω0=2π.9.192 631 770GHz.

Prążki Ramseya

|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

Ω · t = π/2

∆∆∆∆

∂xr∂t

= xr ×

ℜΩrℑΩr∆

π2

π2 tP

Pomiar

F=4

F=3

133Cs2S1/2

ω0=2π.9.192 631 770GHz.

|ψ〉 =√1− p0|0〉+ i

√p0|1〉

Prążki Ramseya

ω0=2π.9 192 631 770 Hz.

∆ ∆ ∆ ∆ [Hz][Hz][Hz][Hz]

zegar NIST-F1, około roku 2000

Macierz gęstości

ρ =∑

n

pn|ψn〉〈ψn| |1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

∆∆∆∆

Sfera: stany czyste

Wnętrze kuli: stany mieszane

ρ =1+

∑i xiσi2

Relaksacja podłużna – T1

|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

x3 = −x3T1

Relaksacja podłużna – T1

ale stan przestaje być czysty…

|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉|β|2 → (1− τ/T1)|β|2

σz → (1− τT1)σz

σx → (1− τ2T1)σx T2<2T1

(1− τ

2T1

)β

|ψ〉〈ψ| →(α|0〉+ (1− τ

2T1)β|1〉

)(. . .)† + τ

T1|0〉〈0|

Równania Blocha z relaksacją|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

dxrdt

= xr ×

ℜΩrℑΩr∆

−

x1/T2x2/T2

(x3 + 1)/T1

Stan stacjonarny|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

ΩΩΩΩ

∆∆∆∆

0 = xr ×

ℜΩrℑΩr∆

−

x1/T2x2/T2

(x3 + 1)/T1

Stan stacjonarny

dla słabych pól xr ≃[Ω∆, Ω/T2]

1/T 22 +∆2

0 = xr ×

ℜΩrℑΩr∆

−

x1/T2x2/T2

(x3 + 1)/T1

xr =1

1/T 22 +∆2 +ΩT1/T2

Ω∆Ω/T2

−(1/T 22 +∆2)

Polaryzacja atomowa

〈d〉 = 〈σx〉 cos(ωt) + 〈σy〉 sin(ωt)

Część dyspersyjna Część absorpcyjna

Polaryzacja

xr ≃[Ω∆, Ω/T2]

1/T 22 +∆2

n〈d〉 = χǫ0E

E = ℜE0e−iωt+ik·r k =√1 + χω

2

c2

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)E = 1

c2ǫ0∂2

∂t2P

Profil Lorentza

〈σx〉 = Ω

∆

∆2T 22

1+∆2T 22

〈σy〉 = ΩT21

1+∆2T 22

Część dyspersyjna

Część absorpcyjna

Poszerzenie niejednorodne

Inhomogeneous broadening

np. Cr3+:Al2O3

Poszerzenie dopplerowskie

p(vx) = e−mv2x2kT

profil Voighta

α(ω) ∝∫

dω0p(ω0)1

1 + (ω − ω0)2T 22

Poszerzenie niejednorodne – T2*

|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

∆∆∆∆

Echo

fotonowe

Równania kinetyczne|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

T2 ≪ T1dxrdt

= xr ×

Ωr00

−

x1/T2x2/T2

(x3 + 1)/T1

Równania kinetyczne

A B

n1 = IB(n0 − n1)− An1n0 = IB(n1 − n0) + An1

x3 =n1 − n0

N

dx3dt

= −Ω2T2︸ ︷︷ ︸2R

x3 −x3 + 1

T1

Absorpcja promieniowania

B

prawd. absorpcji

dla każdego atomu/s

∆z

I = cǫ0E

2

2[W/cm2]

moc absorbowana NR · ω N = nA∆z

absorption cross section

attenuation coefficient

R =Ω2T22

=E2d2T222

∆I

∆z= −nR · ω = −In

d2T2ω

ǫ0c= −Iα = −Inσ

W domu

1. Wyprowadzić równania Blocha bez tłumienia z

Hamiltonianu

2. Narysować trajektorje stanów z przekroju sfery

blocha pod wpływem relaksacji z T2=2T1

3. Co będzie jeśli złamiemy nierówność?

4. Znaleźć stan stacjonarny z tłumieniem

5. Znaleźć szerokość 1/e linii [MHz] dla par

Rubidu w temperaturze pokojowej. λ=795nm, T2=35ns.

Obliczanie momentów dipolowych

• http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node422.html

• http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html