Autor:

Adam Marszałek

WSTĘP DO TEORII POLA ELEKTRYCZNEGO Opracowanie teorii podstawowych pojęć opisujących pole elektryczne wraz z przykładowymi rozważaniami teoretycznymi.

SKRYPT 1.

Niniejsze opracowanie w całości ani we fragmentach nie może być powielane ani rozpowszechniane za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych, w tym również nie może być umieszczane ani rozpowszechniane w Internecie, jaki w sieciach lokalnych bez pisemnej zgody autora.

2

1. ROZKŁAD ŁADUNKÓW ELEKTRYCZNYCH

W otaczającej nas przestrzeni ładunki elektryczne rozłożone są w dowolny sposób. Jedne

podporządkowane są porządkowi inne rozłożone są w sposób chaotyczny.

Wówczas, gdy rozpatrujemy ładunek jako pojedynczą cząstkę lub prościej rzecz ujmując,

wymiary samego ciała naładowanego są nieporównywalnie mniejsze względem rozciągłości

rozpatrywanego pola elektrycznego, mamy wówczas do czynienia z ładunkiem elektrycznym

nazywanym ładunkiem punktowym.

Rozłożenie ładunku równomiernie w obszarze ograniczonym geometrycznie daje nam pojęcie

możliwość korzystania z pojęcia gęstości objętościowej ρ równomiernie rozłożonego ładunku

Q w obszarze o objętości V.

𝜌 =𝑄

𝑉

Stąd też przy znanej gęstości objętościowej ładunku określonego przestrzenią możemy

wyznaczyć jego wartość.

𝑄 = 𝜌𝑉

Jeżeli ładunek natomiast, rozłożony jest równomiernie na danej płaszczyźnie to jego

rozłożenie możemy określić poprzez gęstość powierzchniową ładunku σ na znanym polu

powierzchni S.

𝜎 =𝑄

𝑆

Stąd przy znanej gęstości powierzchniowej, ładunek równy jest:

𝑄 = 𝜎𝑆

Rozpatrzyliśmy zatem rozłożenie ładunku równomiernie na obszarze powierzchni i objętości.

Możemy również rozpatrzyć jego rozłożenie w sposób liniowy. Przykładem niech będzie tutaj

dostatecznie cienki i długi przewód. W ten sposób otrzymujemy gęstość liniową ładunku 𝜏 na

przewodzie liniowym o długości 𝑙.

𝜏 =𝑄

𝑙

Podobnie jak w przypadku dwóch poprzednich ładunek możemy określić znając gęstość

liniową:

𝑄 = 𝜏𝑙

Całkowita wartość ładunku jest zawsze stała dla zamkniętego układu. Innymi słowy ciało może

zmienić swój ładunek tylko poprzez zetknięcie z innym ładunkiem bądź też z elementem

3

neutralnym. Wówczas zgodnie z Zasadą zachowania ładunku cały ładunek rozdzieli się równo

na obydwa ciała.

2. PRAWO COULOMBA

Podstawowe prawo fizyczne leżące u podstaw teorii pola elektrycznego.

Siła z jaką oddziaływają na siebie dwa ładunku punktowe umieszczone w środowisku zdolnym

do propagowania pola elektrycznego jest wprost proporcjonalna do iloczynu tych ładunków i

odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

𝐹 =𝑄1𝑄2

4𝜋𝜀𝑟2=

𝑄1𝑄2

4𝜋𝜀0𝜀𝑟𝑟2

Gdzie: Q1 i Q2 – ładunki punktowe, r – odległość pomiędzy punktami, 𝜀 – przenikalność elektryczna środowiska,

𝜀0 – przenikalność elektryczna bezwzględna określana dla próżni = 8,85 ⋅ 10−12 𝐹

𝑚 , 𝜀𝑟 – przenikalność względna

środowiska określana względem próżni.

Wzór ten przedstawiany jest często z wykorzystaniem tzw. stałej elektrostatycznej 𝑘

bezpośrednio dla próżni lub powietrza.

𝐹 = 𝑘𝑄1𝑄2

𝑟2

Gdzie:

𝑘 =1

4𝜋𝜀0

= 9 ⋅ 109𝑁𝑚2

𝐶2

Istotnym szczegółem w operowaniu prawa Coulomba jest wartość z jaką naładowany jest

każdy z ładunków. Ładunek może bowiem przyjmować teoretycznie ujemną wartość. Tylko

teoretycznie, powiem oznacza to, że posiada on więcej ładunków elementarnych ujemnych

niż dodatnich.

Na tym etapie warto wyjaśnić sobie czym jest ww. ładunek elementarny. Jest to bowiem

najmniejszy niepodzielny ładunek o wartości równej ładunku elektronu(-) lub pozytonu.

𝑒 ≈ 1,60218 ⋅ 10−19𝐶

W warunkach rzeczywistych rzadko mamy jednak do czynienia z ładunkami punktowymi.

Rozpatrujemy powiem ciała, o często nieregularnej objętości, będącymi odzwierciedleniem

4

rzeczywistego trójwymiarowego otoczenia. W takich przypadkach ładunek nie rozciąga się

często jednorodnie tj. nie dochodzi do równomiernego rozłożenia ładunku elektrycznego.

�⃗�𝐵𝐴 =1

4𝜋𝜀0𝜀𝑟∫ ∫

𝑑𝑞𝐴 ⋅ 𝑑𝑞𝐵

𝑟𝐴𝐵3

𝑞𝐵𝑞𝐴

𝑟𝐴𝐵

Wzór ten ulega oczywiście uproszczeniu dla ciał w których rozkład ładunku zmienia się

radialnie np. dla kuli. Wówczas możemy ją traktować jako ładunek punktowy.

3. NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO

W około dowolnego ładunku 𝑄 znajdującego się w przestrzeni powstaje pole elektryczne.

Załóżmy teraz, że chcemy zbadać pole elektryczne w około takiego ładunku. W tym celu w

otoczeniu ładunku 𝑄 musimy umieścić tzw. ładunek próbny 𝑞 będącym wielokrotnie

mniejszym niż rozpatrywany ładunek.

Zgodnie z poznanym przed chwilą prawem Coulomba na ładunek próbny działa więc siła:

𝐹 =𝑄𝑞

4𝜋𝜀𝑟2

Możemy w ten sposób określić wartości sił przepadającej na jednostkę ładunku próbnego.

𝐸 =𝐹

𝑞

W ten sposób otrzymaliśmy wartość natężenia pola elektrycznego.

Natężeniem pola elektrycznego nazywamy stosunkiem siły działającej na ładunek

umieszczony w polu elektrycznej do wielkości tego ładunku.

Tak więc możemy również w prosty sposób wyznaczyć natężenie pola elektrycznego w

dowolnym punkcie oddalonym od środka ładunku punktowego.

𝐸 =𝑄

4𝜋𝜀𝑟2

Natężenie elektryczne jest wielkością wektorową, zatem rozpatrywane natężenie wypadkowe

wytwarzane przez dowolną ilość ładunków w rozpatrywanym punkcie jest równe sumie

geometrycznej natężeń poszczególnych pól.

�⃗⃗� = ∑ �⃗⃗�𝑛

𝑛

𝑖=1

4. POTENCJAŁ I NAPIĘCIE ELEKTRYCZNE

5

Załóżmy teraz, że ładunek próbny umieścimy pomiędzy dwoma naładowanymi płytami

elektrycznymi, umieszczamy w ten sposób ładunek w zamkniętym polu elektrycznym.

Podczas zadziałania na ładunek siły 𝐹 przemieści się on z punktu A do punktu B, innymi słowy

pokona drogę Δ𝑙. Zgodnie z prawami mechaniki zostanie zatem wykonana praca równa

iloczynowi siły oraz drogi jaką pokonał ładunek.

𝑊 = 𝐹Δ𝑙

Pracę tę, możemy określić przy pomocy natężenia pola elektrycznego.

𝑊 = 𝑞𝐸Δ𝑙

Można wykazać, że praca wykonana wzdłuż dowolnej drogi zamkniętej, przechodzącej przez

punkty A i B jest zawsze równa zeru. Jest to jedna z podstawowych własności pola

elektrycznego.

Stosunek pracy jaką wykonały by siły pola elektrycznego podczas przemieszczania ładunku

„próbnego” dodatniego q z punktu A do punktu B, do wartości tego ładunku jest określany

napięciem elektrycznym pomiędzy tymi punktami.

𝑈𝐴𝐵 =𝑊

𝑞= 𝐸Δ𝑙

Dla rozpatrywanego pola elektrycznego, wartość natężenia pola elektrycznego w punktach A

i B jest różna. Wobec tego praca wykonana zależy od położenia punktu początkowego i

końcowego. W ten sposób należy wprowadzić wielkość zwaną potencjałem elektrycznym.

6

Potencjał elektryczny w punkcie pola elektrycznego nazywany jest stosunkiem pracy

wykonanej podczas przemieszczania ładunku z punktu A do punktu położonego w

nieskończoności od wartości ładunku.

𝑉𝐴 =Δ𝑊𝐴→∞

𝑞

Tym samym analogicznie dla punktu B:

𝑉𝐵 =Δ𝑊𝐵→∞

𝑞

W związku z tym, otrzymamy że:

Δ𝑊 = Δ𝑊𝐴→∞ − Δ𝑊𝐵→∞ ⇒ 𝑈𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵

Jak więc widzimy, napięcie elektryczne jest równe różnicy potencjałów w punktach A i B.

5. INDUKCJA ELEKTRYCZNA . STRUMIEŃ INDUKCJI ELEKTRYCZNEJ.

Poprzez indukcję elektryczną 𝐷 rozumiemy iloczyn natężenia pola elektrycznego 𝐸 i

przenikalności bezwzględnej środowiska 𝜀.

𝐷 = 𝜀𝐸

Wyznaczymy przykładowo indukcję elektryczną w punkcie pola elektrycznego w otoczeniu

ładunku punktowego 𝑄, w odległości 𝑟 od tego ładunku. Zgodnie ze wzorem natężenia pola

elektrycznego:

𝐸 =𝑄

4𝜋𝜀𝑟2

Uwzględniając wzór na indukcję elektryczną:

𝐷 =𝑄

4𝜋𝑟2

Jeśli wyobrazilibyśmy sobie, że ładunek 𝑄 znajduję się w środku kuli o promieniu 𝑟, wówczas

indukcja elektryczna w każdym punkcie powierzchni kulistej zależy tylko od wartości tego

ładunku i promienia. Nie zależy ona jednak od środowiska.

Jeśli więc w każdym punkcie powierzchni, indukcja elektryczna ma taką samą wartość, to w

wyniku pomnożenia jej przez powierzchnię otrzymamy wielkość zwaną strumieniem indukcji

elektrycznej( strumień elektryczny).

Ψ = 𝐷𝑆

7

6. TWIERDZENIE GAUSSA

Rozpatrując ponownie przypadek uwzględniony w pkt. 5; na podstawie wzoru na pole

powierzchni kuli oraz wzoru na indukcję elektryczną występującą na powierzchni kuli, możemy

wyznaczyć strumień elektryczny przenikający całą powierzchnię kuli.

Ψ = 𝐷𝑆 =𝑄

4𝜋𝑟24𝜋𝑟2 = 𝑄

Stwierdzamy więc, że strumień przenikający powierzchnię kuli równy jest co do wartości,

ładunkowi ograniczonemu przez jej powierzchnię.

W ten sposób dla konkretnego przypadku naładowanej kuli wyznaczyliśmy Twierdzenie

Gaussa.

Strumień wektora indukcji elektrycznej przenikający powierzchnię ograniczoną równy jest

sumie wszystkich ładunków zamkniętych w tym obszarze.

Wzór ogólny twierdzenia Gaussa:

Ψ = ∑ 𝑄

𝑛

𝑖=1

Załóżmy teraz, że płyta metalowa o nieskończenie wielkich wymiarach jest naładowana

ładunkiem dodatnim o gęstości powierzchniowej 𝜎.

8

W około płyty możemy wyznaczyć obszar składających się z dwóch powierzchni

𝑆 równoległych do płyty o ograniczonej przestrzeni. Wówczas strumień elektryczny

wytworzony przez ładunek znajdujący się na płycie przenika powierzchnię 2S( obydwie

powierzchnię S), do której linie pola są prostopadłe.

Wartość ładunku o ograniczony obszarze jest równa:

𝑄 = 𝜎𝑆

Zgodnie z twierdzeniem Gaussa:

Ψ = 𝑄 = 𝜎𝑆

Następnie po uwzględnieniu wzorów na natężenie pola elektrycznego w około ładunku

punktowego oraz strumień indukcji elektrycznej otrzymamy, że:

𝜀𝐸2𝑆 = 𝜎𝑆

Natężenie pola elektrycznego w otoczeniu metalowej płyty będzie zatem równe:

𝐸 =𝜎

2𝜀

Wynika więc stąd jasno, że pole elektryczne w około metalowej płyty jest równomierne i nie

zależy od odległości od płyty.

W podobny sposób można wyznaczyć pole elektryczne w otoczeniu przewodu

prostoliniowego jak i naładowanej kuli dielektrycznej.

7. POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA

Kondensator tworzą dwa przewodniki zwane okładzinami lub elektrodami rozdzielone

dielektrykiem.

Każdy kondensator posiada własność nazywana pojemnością. Określa ona zdolność

kondensatora do nagromadzenia ładunku elektrycznego. Pojemność 𝐶 każdego kondensatora

zależna jest od napięcia na jego okładzinach 𝑈 oraz zgromadzonego przez niego ładunku.

𝐶 =𝑄

𝑈

Kondensator może przyjmować różne formy geometryczne. Najczęściej rozpatrujemy

kondensatory płaskie i cylindryczne. W warunkach rzeczywistych najprostszy kondensator

tworzą dwa przewodniki z płynącym prądem oddzielone izolacją(dielektrykiem). Co za tym

idzie każdy przewód i kabel będący pod napięciem posiada pojemność.

9

8. POJEMNOŚĆ KONDENSATORA PŁASKIEGO

Przypomnijmy sobie teraz zależność napięcia w polu elektrycznym od natężenia pola

elektrycznego i drogi jaką przebył ładunek. Jako napięcie przyjmijmy napięcie pomiędzy

okładkami kondensatora 𝑈, zaś drogę zastąpmy przestrzenią pomiędzy okładzinami tj.

odległością między nimi 𝑑. Wówczas natężenie pola elektrycznego w kondensatorze możemy

przedstawić w następujący sposób:

𝐸 =𝑈

𝑑

Wiemy, że gęstość powierzchniową ładunku możemy określić w dwojaki sposób.

𝜎 = 𝐸𝜀 =𝑄

𝑆⇒ 𝐸 =

𝑄

𝜀𝑆

Spróbujmy więc wyprowadzić pojemność kondensatora płaskiego pamiętając, że jest to

stosunek ładunku do napięcia.

𝑈

𝑑=

𝑄

𝜀𝑆⇒ 𝑈 =

𝑄𝑑

𝜀𝑆⇒

𝑈

𝑄=

𝑑

𝜀𝑆⇒

𝑄

𝑈=

𝜀𝑆

𝑑

W ten sposób wyznaczyliśmy więc pojemność kondensatora płaskiego.

𝐶 =𝜀𝑆

𝑑=

𝜀0𝜀𝑑𝑆

𝑑

9. POJEMNOSĆ KONDENSATORA CYLINDRYCZNEGO

Kondensator cylindryczny, zwany również walcowym, zbudowany jest z okładzin w kształcie

cylindrów współosiowych rozdzielonych dielektrykiem.

10

Okładzinę wewnętrzną tworzy walec o promieniu 𝑟1 = 𝑎, z kolei zewnętrzną walec o

promieniu 𝑟2 = 𝑏. Załóżmy, że napięcie między okładkami kondensatora wynosi

𝑈. Wprowadźmy więc pomiędzy okładziny kondensatora fikcyjną powierzchnię o odległości

𝑟 od środka(czerwona linia). Ładunek ograniczony powierzchnią cylindryczną wynosi 𝑄, przy

czym ze względu na prostopadły względem powierzchni kierunek linii pola elektrycznego

(traktujemy nasz kondensator jako fragment kondensatora o nieskończonej długości) można

założyć, że cały strumień przecina tę powierzchnię zgodnie z twierdzeniem Gaussa.

Ψ = 𝐷𝑆 = 𝜀𝐸𝑆 = 𝜀𝐸2𝜋𝑟𝑙 = 𝑄

Stąd natężenie pola elektrycznego w kondensatorze cylindrycznym nie jest równomierne i

zależy one od oddalenia rozpatrywanego punktu od środka kondensatora.

𝐸 =𝑄

2𝜋𝜀𝑟𝑙

W przypadku nierównomiernych pól elektrycznych pojemność musimy zatem wyznaczyć przy

pomocy metody całkowania. W efekcie czego otrzymamy, że pojemność kondensatora

cylindrycznego jest równa:

𝐶 =2𝜋𝜀𝑙

ln (𝑟2

𝑟1)

Podobnie jednak, jak w przypadku kondensatora płaskiego, pojemność kondensatora

cylindrycznego zależna jest od jego wielkości geometrycznej.

Pojemność została wyznaczona w następujący sposób.

𝑈 = ∫ 𝐸𝑑𝑠

+

−

=𝑞

2𝜋𝜀𝑙∫

𝑑𝑟

𝑟=

𝑞

2𝜋𝜀𝑙ln (

𝑟2

𝑟1)

𝑎

𝑏

Z czego podobnie jak w przypadku kondensatora płaskiego otrzymaliśmy ostatecznie

pojemność kondensatora cylindrycznego.

11

10. ZADANIE NR 1

Wyznacz wartość pracy jaką wykonana zostanie poprzez przesunięcie ładunku w próżni o

wartości 𝑞 = 2 ⋅ 10−12 𝐶 od punktu A do punktu B. Ładunek znajduję się w polu elektrycznym

wytworzonym przez drugi ładunek 𝑄 = 5 ⋅ 10−6𝐶. Punkt a znajduję się 1m od ładunku Q, a

punkt B 1m od punktu A, przy czym ładunek oraz punkty A i B ustawione są w jednej linii.

Rozwiązanie:

W zadaniu należy pominąć natężenie pola elektrycznego wywarzane przez mniejszy ładunek

q, z racji jego znacznie mniejszej wartości od ładunku Q. Możemy zatem skorzystać wprost ze

wzoru na napięcie elektryczne.

𝑈𝐴𝐵 =𝑊

𝑞⇒ 𝑊 = 𝑞𝑈𝐴𝐵

Napięcie przedstawmy następująco jako różnicę potencjałów:

𝑊 = 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)

Potencjał w poszczególnych punktach możemy przedstawić w następujący sposób:

𝑉𝐴 =𝑄

4𝜋𝜀0𝑟𝐴, 𝑉𝐵 =

𝑄

4𝜋𝜀0𝑟𝐵

Gdzie 𝑟 − odległość punktu od ładunku 𝑄

Stąd też analitycznie możemy dojść do następujących wniosków:

𝑊 = 𝑞 (𝑄

4𝜋𝜀0𝑟𝐴−

𝑄

4𝜋𝜀0𝑟𝐵) =

𝑞𝑄

4𝜋𝜀0(

1

𝑟𝐴−

1

𝑟𝐵)

Po podstawieniu danych otrzymamy:

𝑊 =2 ⋅ 10−12 ⋅ 5 ⋅ 10−6

4𝜋 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12(

1

1−

1

2) = 0,45 ⋅ 10−7𝐽 = 45𝑛𝐽

12

11. ZADANIE NR 2

Wyznaczyć wartość natężenia pola elektrycznego 𝐸1 i 𝐸2 w dielektrykach kondensatora

płaskiego dwuwarstwowego(zbudowanego z trzech okładzin). Napięcie doprowadzone do

układu 𝑈 = 400𝑉, grubość warstw kondensatora 𝑑1 = 0,2𝑐𝑚, 𝑑2 = 0,4𝑐𝑚, a przenikalności

względne warstw 𝜀𝑟1 = 3, 𝜀𝑟2 = 10.

Rozwiązanie:

Kondensator dwuwarstwowy można traktować jako dwa osobne kondensatory połączone ze

sobą szeregowo. Wobec tego napięcie doprowadzone do kondensatora jest równe sumie

napięć występujących na poszczególnych warstwach:

𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2

Ładunek związany z każdą z warstw jest taki sam i wynosi Q.

Z kolei napięcie na poszczególnych warstwach:

𝑈1 = 𝐸1𝑑1, 𝑈2 = 𝐸2𝑑2

Indukcja w każdej warstwie jest taka sama, zatem:

𝐷 =𝑄

𝑆= 𝐸1𝜀1 = 𝐸2𝜀2

Stąd po przyrównaniu do siebie otrzymujemy, że:

𝐸1

𝐸2=

𝜀2

𝜀1

Wobec tego napięcie na okładkach kondensatora wynosi:

𝑈 = 𝐸1𝑑1 +𝐸1𝜀1

𝜀2𝑑2 = 𝐸1 (𝑑1 +

𝜀1

𝜀2𝑑2)

Ostatecznie natężenie pola elektrycznego jest równe:

𝐸1 =𝑈

𝑑1 +𝜀1

𝜀2𝑑2

=400

0,2 +3 ⋅ 0,4

10

= 1250𝑉

𝑐𝑚

𝐸2 =𝐸1𝜀1

𝜀2=

1250 ⋅ 3

10= 375

𝑉

𝑐𝑚

13

12. ZADANIE NR 3

1000 jednakowych jednakowo naelektryzowanych kropli deszczowych zlewa się w jedną.

Ładunek pojedynczej kropli wynosi 𝑞 = 10−12𝐶, a promień małej kropli 𝑟 = 2𝑚𝑚. Wyznacz

ładunek oraz potencjał dużej kropli. Krople należy traktować jako kulę.

Rozwiązanie:

W zadani wykorzystujemy zasadę zachowania ładunku elektrycznego. Krople złączą się w

jedną całość, zatem ładunek złączonej kropli będzie równy sumie ładunków pojedynczej kropli:

𝑄 = 1000𝑞 = 103 ⋅ 10−12 = 10−9𝐶

Promień dużej kropli musimy obliczyć z jej objętości która będzie sumą objętości wszystkich

kropli.

Wyznaczmy zatem objętość pojedynczej kropli:

𝑂𝑏𝑗. =4𝜋𝑟3

3=

4𝜋 ⋅ 23

3= 33,5𝑚𝑚2

Objętość dużej kropl będzie zatem równa:

𝑂𝐵𝐽. = 1000 ⋅ 33,5 = 33 500𝑚𝑚3

Następnie wyznaczamy promień większej kropli:

𝑟 = √3 ⋅ 33 500

4𝜋

3

≈ 20𝑚𝑚 = 0,02𝑚

Tak więc końcowym punktem pozostaje jeszcze jedynie wyznaczenie potencjału złączonej

kropli:

𝑉 =𝑄

4𝜋𝜀𝑟= 𝑘

𝑄

𝑟= 9 ⋅ 109

10−9

0,02=

9

0,02= 450𝑉

14

13. ZADANIE NR 4

Wyznacz natężenie elektryczne w około prostoliniowego przewodu o długości 𝑙

naładowanego z gęstością liniową 𝜏.

Rozwiązanie:

Zadanie rozpoczynamy od pewnego założenia. Potraktujemy mianowicie nasz przewód, jako

fragment nieskończenie długiego przewodu naładowanego z gęstością liniową 𝜏. Oprócz tego

zakładamy, że przewód będzie otoczony powierzchnią cylindryczną o promieniu 𝑟, w tak

sposób aby znajdował się on w osi symetrii tej powierzchni.

Wiemy z definicji gęstości liniowej, że ładunek zawarty w obszarze ograniczonym gęstością

liniową można zdefiniować jako iloczyn gęstości liniowej 𝜏 i długości tej powierzchni 𝑙.

𝜏 =𝑄

𝑙⇒ 𝑄 = 𝜏𝑙

Zgodnie z twierdzeniem Gausa:

Ψ = 𝑄 = 𝜏𝑙

Strumień indukcji elektrycznej możemy z kolei określić poprzez iloczyn indukcji elektrycznej i

powierzchni. Gdzie powierzchnia będzie zakreślona przez otaczającą przewód powierzchnię

cylindryczną:

Ψ = 𝐷𝑆 = 𝐷2𝜋𝑟𝑙

Samą indukcję elektryczną określamy jako:

𝐷 = 𝜀𝐸

Stąd też:

Ψ = 𝜀𝐸2𝜋𝑟𝑙

Tak więc przyrównując do siebie strumień indukcji elektrycznej z powyższego wzoru, jak i

bezpośrednio z Twierdzenia Gausa otrzymamy natężenie pola elektrycznego.

𝜀𝐸2𝜋𝑟𝑙 = 𝜏𝑙 ⇒ 𝐸 =𝜏

2𝜋𝜀𝑟

15

14. ZADANIE NR 5

Wyznacz pole elektryczne naładowanej kuli o promieniu a i objętości 𝑉 równomiernie poprzez

ładunek o gęstości objętościowej 𝜌.

Rozwiązanie:

Zadanie rozpatrujemy analogicznie do zadania nr 4. Otaczamy kulę powierzchnią sferyczną o

promieniu 𝑟 większym od promienia kuli (𝑟 > 𝑎). Przekrój takiego układu przypominać będzie

nam przekrój kondensatora cylindrycznego.

Ładunek ograniczony w kuli będzie zatem zgodnie z definicją gęstości objętościowej równy:

𝑄 = 𝜌𝑉

Zgodnie z twierdzeniem Gaussa:

Ψ = 𝑄 = 𝜌𝑉 = 𝜌4

3𝜋𝑎3

Strumień indukcji elektrycznej możemy z kolei określić poprzez iloczyn indukcji elektrycznej i

powierzchni. Gdzie powierzchnia będzie zakreślona przez otaczającą kulę powierzchnię

sferyczną:

Ψ = 𝐷𝑆 = 𝐷4𝜋𝑟2

Samą indukcję elektryczną określamy jako:

𝐷 = 𝜀𝐸

Stąd też:

Ψ = 𝜀𝐸4𝜋𝑟2

Tak więc przyrównując do siebie strumień indukcji elektrycznej z powyższego wzoru, jak i

bezpośrednio z Twierdzenia Gausa otrzymamy natężenie pola elektrycznego.

𝜀𝐸4𝜋𝑟2 = 𝜌4

2𝜋𝑎3 ⇒ 𝐸 =

𝜌𝑎3

3𝜀𝑟2